成果样例

嵇文红特级教师工作室

区域名师工作室

建设创新实践

嵇文红特级教师工作室

主持人简介 工作室成果

北京市数学特级教师，正高级教师，

北京市师德先锋，北京市优秀教师，

北京教育学院丰台分院中学数学学科兼职教研员。

嵇文红 工作室共有成员 20 人，取得近 100 多项成果或获奖，录制了《立足数学核心

素养，提升学生学习力》的研究课 10 节、录制了《近五年北京市中考综合题解题

策略研究》的微课 30 多节；撰写 50 多篇教学论文和教学案例以及作业设计等在北

京市区获奖并发表；撰写的《理性 • 诗性 • 创造性 ---- 基于核心素养的中学数学教

学》即将出版发行；11 人被评为区级骨干，4 人实现了职称晋升， 1 人加入中国共

教学理念 产党。

“理性 • 诗性 • 创造性”——我的三性数学教学主张

04

丰台区“春晖计划”特级教师工作室项目

( 第三期 )

学员感言

感谢嵇老师指导佟麟阁学校数学组，我们对大单元教学和项目式学习有了更深的了解，拓展了课堂教学设

计思路，嵇老师手把手的教我们课堂教学实施策略，提升了我们的教学基本功。——张敏等

在春晖特级教师工作室嵇老师的带领下，两年的研修收获成长特别大，我将教学理论不断与教学实践相融

合，课题得以成功立项，希望未来春晖计划特级工作室可以越办越好——杨晓萌

证 书

王明文老师所做研究课和说课《二次函数的概念》在“北京市初中数学

教学研讨会”进行了大会展示，获得与会教师一致好评。特颁此证，以资鼓

励。

北京市教育学会中学数学教学专业委员会

二零二三年

“新定义问题”的初步探索——以2021 年北京中考第28题为例丰台区“春晖计划”嵇文红老师特级教师工作室 中国人民大学附属中学丰台学校王兴谞一、教学分析

“理性之思•诗性之美”是嵇文红特级教师工作室的教学主张，对学生理性、诗性、创造性的培养应渗透在每节课中。“新定义问题”以新的概念、新的情境为切入点，不仅考察知识本身，更考察到了学生是否能理性的分析问题、创造性地解决问题。本节课是一节析题课，是在九年级学生进行一轮复习时安排的。作为北京中考数学的最后一道题目，其多以圆为载体，通过新定义背景，综合考察初中阶段的几何与代数知识。本节课为学生今后解决新定义问题时提供一些思考问题的切入点与角度。无论是从内容上看，还是从思考问题的方法上看，新定义问题所涉及的相关知识及重要思想都是今后进行深入学习的重要准备。本节课研究新定义微专题的基础是旋转、圆的概念、特殊三角形等几何内容以及坐标系、特殊角的三角函数、勾股定理等代数内容。学生需要首先理解新定义问题所描述的概念与特征，明确研究对象；其次需要在具体情境中通过作图等实际操作，找出满足新定义条件的相关要求，并在其他情境中结合已有知识，分析研究对象的，找到临界情况，在解决问题中进一步理解新定义。因此本节课的教学重点为：解决 2021 年北京中考数学第28 题。二、学情分析

九年级的学生已经掌握“旋转”、“圆”等几何知识以及“三角函数”、“勾股定理”等代数知识，具备探究综合问题的知识储备以及较强的推理证明能力。要想能够掌握新定义问题的一般探究思路，学生需要思考、交流、总结，进一步体会数学知识之间的联系与迁移，体会坐标系中数形结合、分类讨论的数学思想，并能够利用代数方法，解决新定义中研究对象的动态问题。为了更好的了解本班学生对新定义专题的掌握情况，明确学生对于本专题的相

关诉求，课前对学生的“本题得分、做题时的障碍、对新定义专题系列课的核心诉求”进行了问卷调查。统计结果显示，大部分同学新定义得分为 0-2 分，少部分同学得分为3-5分，几乎没有同学得分在 6-7 分。学生普遍反应做题时存在读不懂题、不会联系已有知识进行转化、想象不出研究对象的运动过程等问题。大部分同学希望自己能够通过新定义专题系列课的讲解，提高自己分析问题、知识迁移的能力，并能够顺利解决前两问。小部分同学希望老师课上能够对第三问的解题思路的切入点、突破口予以点拨。由于本节课的新定义题目涉及到旋转、圆等知识，为了检验学生对以上知识的概念能基础内容的掌握情况，课前对学生做了相应测试。统计结果显示，大部分学生全对，极少部分学生对旋转的性质、圆的概念等认识的不到位。说明大部分学生虽然基础知识相对比较扎实，但是由于读不懂题、无法将新定义与已有的知识联系起来，导致最终无法准确的理解新定义并解决问题。

因此本节课的教学难点为：理解“关联线段”，找出“关联线段”需要满足的条件，并解决有关问题。

教学方式为：探究教学法、启发式教学。

教学手段为：PPT、几何画板、板书。

三、教学目标

教学目标：

（1）从理新定义问题的题干中提取关键信息，明确研究对象，理解研究对象之间的对应关系；（2）在具体问题情境中，通过作图等实际操作，探索新定义，逐步体会“关联线段”的判断方法，进一步提升逻辑推理能力，渗透转化思想；

（3）经历探索满足新定义的研究对象的运动区域，通过数形结合，想象出研究对象的运动过程，找到符合题意的运动状态或临界状态，进一步提升直观想象能力；（4）通过交流探究新定义，进一步提升学生的问题解决与探究意识，使学生在研究问题时逐步具备严谨与坚持的情感态度。

教学目标达成的标志：

（1）学生能够通过阅读新定义的题干，独立思考，准确理解新定义题目中的文字语言信息，从中提取关键信息，找到研究对象；

（2）学生在理解题意、明确研究对象后，在实际作图操作中，经过独立思考、小组合作的环节，能够找到题中涉及的知识要素，分析出“关联线段”的判断方法；（3）学生在明确研究对象后，通过小组合作，能够在已有的“关联线段”判断方法的基础上，

从运动的角度出发，分析研究对象的运动状态，并找到满足新定义条件的B’C’的相应终止状态；

（4）学生在本节课的学习过程中，能够积极参加小组交流和师生交流，清晰的表达自己的想法，逐步成功的解决问题。

教学目标达成的途径：

（1）独立思考后，小组合作，完成“初识新定义”的探究活动，并在后续探究活动中，进一步理解新定义；

（2）独立思考后，小组合作，完成“初探新定义”的探究活动；（3）独立思考后，小组合作，完成“再探新定义”、“应用新定义”的探究活动；（4）在四个探究活动中，积极思考，参与小组交流和台前展示，参与思辨质疑和小结提升等环节。

四、教学过程

1. 创设情境

首先展示前期调查问卷结果。接着以点和圆的位置关系为例，回顾从文字、图形、符号三个方面出发，研究定义的一般方法。

图 1 点和圆的位置关系文字语言、图形语言、符号语言

2. 审题——初识新定义

接着，通过 2021 年北京中考数学第 28 题的题干信息，让学生耐心读题、审题、理解这个新定义问题，为后续的探究活动做铺垫。问题如下：

在平面直角坐标系?中，⊙ ?的半径为 1. 对于点和线段?，给出如下定义：若将线段?绕点旋转可以得到⊙ ?的弦'?'(', ?'分别是，?的对应点)，则称线段?是⊙?的以点为中心的“关联线段”。

【问题 1】画出题干关键信息，说说你是怎么理解这个新定义的？【设计意图】帮助学生仔细审题，初识新定义，在情境中读懂文字语言，为后续语言、符号语言的转化做好铺垫，让学生初步体会到数学的理想与诗性，激发学生的学习热情。【总结】

图 2 审题：提取关键信息，明确研究对象3. 解决第 1 问——初探新定义

接着，给出第一个问题，检验学生是否理解这个新定义问题。（1）如图，点，1，?1，2，?2，3，?3的横、纵坐标都是整数.在线段1?1，2?2，3?3中，⊙ ?的以点为中心的“关联线段”是______ ；

图 3 第 1 问配图

【答案】线段2?2

图 4 操作判断，解决第 1 问

【追问】判断线段 BC 是⊙ ?的以点为中心的“关联线段”的方法是什么？【设计意图】帮助学生体会到结合问题情景，依据定义作图，判断是否满足⊙?的以点为中心的“关联线段”的条件，逐步体会解决问题的方法，由特殊到一般，感悟数学的理性之美，增强学生的学习自信，体会数学的诗性之美。

【总结】

图 5 ⊙ ?的以点为中心的“关联线段”的转化4. 解决第 2 问——再探新定义

在第一问的基础上，学生能较好的理解新定义，并运用定义初步作出判断，最终总结出判断线段 BC 是⊙ ?的以点为中心的“关联线段”的方法。接下来将问题难度加以提升，让学生尝试解决新定义问题的第二问，具体问题如下：

（2）△ ?是边长为 1 的等边三角形，点(0,)，其中 ≠ 0.若?是⊙?的以点为中心的“关联线段”，求的值；

图 6 第 2 问配图 图 7 操作判断，解决第二问【问题 2】从第（2）问的题干信息，你想到了什么？

【演示】学生回答后，用几何画板展示学生描述的运动过程，如图7 所示。【设计意图】解决第 2 问，再探新定义，让学生体会在第 1 问结论的引领下，解决问题的思路。通过学生思辨质疑与交流展示，提升学生对数学的学习兴趣，感悟数学的理性与诗性之美。

【答案】

解：∵△ ?是边长为 1 的等边三角形，

根据旋转的性质可知△ '?'也是边长为 1 的等边三角形，

∵ (0,)，

∴ '?' ⊥ 轴，且'?' =1，

∴ ?为'?'边上的高的 2 倍，且此高的长为

3

2

∴ = 3或− 3

【总结】

图 8 解决第二问思路梳理与总结

5. 解决第 3 问——应用新定义

在刚才的探究过程中，学生进一步体会到满足⊙ ?的以点为中心的“关联线段”需要进行的操作和判断条件。最后，通过解决第三问，让学生进一步体会到这个新定义问题解决方法的一般路径，在探究过程中逐步提升理性分析问题的能力，通过交流展示，建立更多解决问题的信心，使学生体会到数学的理性之思与诗性之美。

（3）在△ ?中， = 1，? = 2.若?是⊙ ?的以点为中心的“关联线段”，直接写出?的最小值和最大值，以及相应的?长。

【问题 3】从第（3）问的题干信息，你想到了什么？

【演示】学生回答后，用几何画板展示学生描述的运动过程，如图12 所示。【设计意图】给学生启发做第三问的思路，为创造性的解决新问题提供参考。图 9 解决第三问思路启发

6. 梳理总结，归纳方法

【解决方法梳理】

（1）依据定义作图：以 A 为圆心，AB、AC 长为半径画圆

（2）判断线段 BC 是⊙ ?的以点为中心的“关联线段”，需满足：① 2 个⊙与⊙都有交点

② B、C 绕点 A 旋转后，能同时落在⊙上

图 10 ⊙ ?的以点为中心的“关联线段”的解决方法

【提炼图形语言和符号语言】

图 11 解决⊙ ?的以点为中心的“关联线段”的三种数学语言的转化【一般思路梳理】

图 12 “新定义问题”解决方法的初步探索流程图五、教学反思

中考“新定义”问题对大部分学生来说是一个挑战性问题，通过本节课的初步探索，多数同学能够全身心的投入课堂之中，积极参与思辨质疑、小组交流、展示互动，体会数学的理性之思，感悟数学的诗性之美。尽管通过这一节课，并不能立刻提升学生做题的正确率，但是可以逐步建立学生对数学学习的信心，结合自身情况完成适合自己的挑战性问题，提升对数学问题探究的兴趣，逐步提升数学核心素养，使学生在本节课的探究过程中感悟数学的理性、诗性与创造性。

1

案例：《素养立意下的<一次函数>单元项目学习作业设计与实践》案例分析丰台区“春晖计划”嵇文红特级教师工作室 北京市赵登禹学校张宽莉“理性之思•诗性之美”是嵇文红特级教师工作室的教学主张，对学生理性、诗性、创造性的培养应渗透在每节课中。课标提出，要引导学生关注社会生活中与数学相关的信息，主动参与数学活动；在解决实际问题的过程中，能够克服困难，树立学好数学的信心，感受数学在实际生活中的应用，体会数学的价值，欣赏并尝试创造数学美；养成独立思考、合作交流、反思质疑的学习习惯。

学生在现实的情境中做数学、用数学，自主地发现、选择和确定问题，选择处理问题的策略、解决问题的程序和步骤，理解数学知识的本质和数学价值.引导学生用数学的眼光观察现实世界，用数学思维思考现实世界，用数学语言表达自己的想法和观点，感受数学美，发展数学抽象和几何直观等关键能力，促使学生发展分析问题、解决问题、合作交流、实践探索、批判反思、组织协调等共同性的素养，养成热爱劳动、自主自立、意志坚强的生活态度.这与我们提出的“理性·诗性·创造性”不谋而合.在学习一次函数单元时，结合知识内容以及八年级学生的特点，我们设计了如下的项目学习的规划：

八年级学生，在知识上，已经学习了一次方程、代数式及求值，也会分析简单的实际问题中的数量关系；但是在函数概念的抽象和理解上，学生有一定的难度；想通过项目实践作业，引导学生在身边的真实事件中进一步的理解函数概念中“变化与对应”的思想.培养学生在的抽象理解能力，完成函数学习的理性之思.

2

在学习经验方面，学生具备了一定的思考和分析能力，能够根据自己的经验，设计研究方法和过程；在小组活动时，有一定的团队合作意识，会合理的分配任务；但是现在的学生很少参与家庭生活的具体事务，对数学知识的应用体会不深，欲通过这次的项目实践任务，一方面了解数学的应用价值，另一方面促使学生参与家庭生活，增强家庭和社会生活的责任意识.体现着我们提出的数学学习的诗性与创造性。

此项目实践探究共有 4 课时，学生经历发现、提出问题，建立模型；确定研究内容和方法；实施方案，计算反思，对比分析；逐步为成果展示和推广做好准备工作。借此活动的实施完成对函数知识的学习，理解函数思想中的变化与对应，同时能够培养学生的的几何直观、模型意识、运算能力和数据意识、应用意识、责任意识和创新意识。一、每课时的作业内容和设计意图、学生表现及改进，以及学生最终表现：第 1 课时 导引课后项目化作业任务

内容

1. 结合导引课的讨论，小组撰写项

目实践的计划书.

2.查找北京市的生活用水收费标准并用自己的方式记录下来；在第 4 课时后用适当的方法表示此收费标准中水费与用水量之间的函数关系.设计

意图

①在研究计划的设计过程中，要思

考哪些内容和实践活动，来增加减

少水费支出的说服力；需要大家集

思广益，提高思维严谨性、分析和

解决问题、交流与合作的能力；

②根据小组成员的各自优势合理

分配任务，提升学生的担当意识，

评估能力，组织和管理能力，团队

合作意识。渗透学习数学过程中的

①经历查找材料的过程；②了解北京市生活用水收费标准的构成和计费方式；

③用表格、图象、解析式三种方法表示水费与用水量之间的函数关系，进一步理解函数的概念，体会“变化与对应”的函数思想；感悟函数在生活中的体现；④意图③达成过程中，可为后续学习正比例函数和一次函数做了铺垫和典型案例。

3

诗性美。

学生

表现

及

教师

指导

建议

计划书大致板块：

①小组成员；

②明确研究减少用水支出涉及到

的研究对象——收费标准，用水

量，用水方式

③需要查找的资料——北京市生

活用水收费标准，自家用水及收费

情况；

④需要统计的数据，以及采集数据

的方法和渠道——自家节水前后

的用水量和费用；

⑤减少用水量的措施；

⑥节水后数据的采集方法和分析

方式；

⑦小组分工说明。

关于收费标准的函数表示出现的错误：①没有理解清楚阶梯收费的含义；或不会列正确的函数解析式. ②不会用图象表达水费与用水量之间的函数关系

修改建议：明确两个变量的意义；理解阶梯水费的收费方式，思考：181 立方米水怎么收费？

学生

最终

表现

第 5 课时 项目任务一的汇报交流后作业作业

内容

1.查找本年度前几个月自家用水量，统计当前家庭一周的用水量，并预估本年度自家用水量及支出；如果预估的年用水量进入第二阶梯，尝试计算进入第二阶梯的时间.

2.制定家庭中可行性节水措施并实施.

3.统计节水措施实施后一周家庭的用水量；根据这个用水量预估节水后本年度的用水量及水费支出；或根据这个用水量预估进入第二阶梯的时间，对比节水措施

4

实施前后进入下一阶梯的时间的变化情况.设计

意图

在实际问题中，利用所学函数知识计算对应值，推测用水支出的变化情况，体会数学学习的价值，提高运算能力，分析、解决问题的能力，培养理性分析意识。

通过项目实践作业，提高小组合作、表达交流等多种能力，追求全面发展；查看水表、查找用水量或上缴水费，提高了学生合理使用工具解决问题的能力、阅读理解的能力；促进学生了解和参与实际生活，增长生活技能，提高家庭和社会责任感，渗透在培养学生能力方面的诗性与创造性。学生

表现

及

教师

指导

建议

实践过程中，学生遇到的困难：①前期的用水支出和用水量查找渠道不清楚，②自家水表的位置、型号、读取数据的方法不明确；③计算过程中将周用水量、月用水量、年用水量的关系梳理不清……

老师给出建议：①利用网络（百度）查找获取用水缴费情况或者用水量的方法或途径；有的可能需要联系自家小区的水务人员；②咨询家长或物业确定自家水表的位置，在网上查找相应型号的水表的的计数、读数方法……学生

作业

展示

第 12 课时 项目任务二的汇报交流后作业作业

内容

1. 课本 105 页活动 2 2. 小组汇总研究的材料和数据，制作“减少家庭用水支出的海报”（海报内容包括：水费支出与用水量的关系；105 页活动2 的实验过程和分析；节水措施实施前后的家庭用水和支出的对比；各小组特色活动；注意美观和说服力.）设计

意图

加强实际问题中建立函数模型的能力，并会

用利用函数的解析式、图象和性质解决实际

根据实验和前期的数据，利用函数知识以及数据的对比分析，合理的

5

问题并从中归纳节水的重要性和策略，深刻

体会“节约用水从每一滴水开始”.体会用数

学的语言表达世界，用数学思维思考世界

说明节水前后的支出减少问题.把自己的研究过程及成果绘制成海报，直观的展示给大家，有效的宣传节水的必要性.学生

表现

及

教师

指导

建议

由于实验过程中，水滴的大小，数据的

读取误差，我们的实验数据得到的图象可

能不是完美的直线，可以引导学生根据数

据进行近似或趋近于某直线，从而求得函

数解析式.学生

最终

表现

第 19 课时 项目学习“制作减少用水支出的倡议海报”的展示课后任务任务

内容

1.结合各组的汇

报和评价，完善

本 组 的 海 报 设

计；

2.项目实践成果的推广：

（1）课代表和学委牵头，

与某社区联系，组织大家

利用各组的成果，在社区

进行一次节水宣传志愿活

动（需要准备展板，宣传

词）；

（2）宣传组负责把我们的

研究成果撰写成美文，在

学校或社区的公众号上进

行宣传.

回顾本次项目实践过程，谈谈你的收获.（可以从以下角度思考）①你遇到过什么困难？如何解决的？②你的贡献和提升点是什么？③你发现了哪个组员的什么才能？④意想之外的收获（发现或经历）是什么？⑤你认为此项目实践过程还有什么可以改进的？设计

意图

根据各组展示和

评价的结果，互

相学习、补充，

进一步的完善自

学生将自己的研究成果，

向社区群众进行展示，用

数学视角向大众说明我们

的节水措施的有效性，节

此问题，引导学生对研究过程进行回忆，找到自己和同伴的优势与收获，作为自我的一种评价，找到“我还需再努力”的学习欲

6

己的成果，让海

报既美观又有说

服力；并在之后

的研究学习中进

一步扬长避短，

共同发展，

水的必要性，使得我们的

可行性节水措施得以推

广，从中体会自己的研究

价值，学习价值，激发我

们进一步研究生活中的真

实问题的兴趣和热情。

望，树立“我能行”的信心；作为一种反思，“我学到了……”“我们还可以……”巩固相应的知识和方法；同时也可养成一种思维习惯，逐步培养成长型思维，提高学习效果。学生

表现

及

指导

建议

缺乏社交机会和经验，在成果推广环节，学生会犹豫怎么与社区联系，不知道都要筹备什么.鼓励学生准备好交流内容，勇敢走进社区，向社区工作人员说明我们的活动内容、方式和意义；并准备大的海报和宣传词.

学生

作品

展示

学生的海报中不包含了函数知识和数据对比，同时展现了学生设计版面、绘制精美图案的美育素养，第二小组的制作的 PPT 中，呈现了小组的所有研究过程和数据，最后将自己的研究从一个家庭的节水问题，扩大到了全国、甚至全球的水资源问题，提出“节约用水，从我做起”的倡议！倡导大家从当下做起，从自身做起，节约用水，“别让眼泪成为地球上的最后一滴水”！

7

二、项目实践作业的评价设计

学生不仅回顾整个学习实践的过程，还要反思自己的表现和学习效果，与他人的对比中发现自己的优势和不足，找到自己努力的方向，在对他人进行评价的同时，提升自己对问题的理解和分析、以及批判质疑的能力，也是自我成长的一种方式。首先是对个人作业表现的评价，按照实践作业的个人完成情况进行自评和组内互评，最后按照每组 20%的比例选出本次项目实践的“优秀学员”.评价内容

基本不符合

（1-4 分）

基本符合（5-7 分）完全符合（8-10 分）1.能用三种函数的表示方法准确表

示北京家庭用水收费标准

2.制定详细的节水措施并进行实施

3.真实的记录节水前后的数据，并

准确推算全年的用水量和支出

4.科学的进行了“水龙头的滴水实

验”并按照要求完成分析

5.为小组的海报制作贡献了大部分

力量

自 评

个人总分小组内互评总分

其次是对小组活动的评价，每次子任务展示结束后，以小组为单位及时进行自评和小组间互评、以及老师的评价，汇总后取总分前三名的小组评为“优秀小组”，另外评出“最齐心协力”组，“最美海报设计”组，“最具说服力宣讲”组，以此鼓励学生.任

务

评 价 内 容

基本不符合（1-4 分）基本符合（5-7 分）完全符合（8-10分）子

任

务

一

项目计划书详尽合理，研究过程可操作，

研究结果可达成目标

能清晰的阐述小组计划书的内容和设计

意图

能用不同的表示方法正确地呈现水费标

准中水费与用水量的函数关系

子

任

实践（实验）过程有痕迹，数据有记录，

推算正确

8

务

二

小组汇总全面，展示清晰，结论明确

小组的节水措施可行、有效

子

任

务

三

海报内容丰富、制作美观

海报上数学知识和方法突出

小组展示思路清晰，说理严谨，具有一定

的宣传影响力

小组在社区和学校推广有感染力，收到较

好的宣传效果

本小组自评得分 其他组评分 师评评分最 终 得 分“自评（30%）+组间（40%）+师评（30%）”三、总结反思

这次项目实践作业的完

成中，学生收获极大：不仅

学到了知识，还学习了跟自

己息息相关的生活技能，还

与同学、家长、社区工作者

进行了更多的沟通学习，尤

其是集思广益，想出了切实

可行的节水措施，为节约水

资源尽一份力。这正是我们

的“诗性之美”，最终培养了孩子们的创新意识和社会责任意识。1.学生在项目实践作业的探究中真实地体会了数学学习的应用价值；2.学生在“做中学”，促进学生素养的培养，激发了学习兴趣，提高了学习效果；3. 此项目实践作业，增强了学生对家庭和社会责任感，实现了学科的育人功能；正如学生在总结中提到的……既学

习了数学知识，体会了数学学习的实际

价值，提升了研究问题的能力，并且学

会了生活技能，还产生了“为国家、为

世界，为后代 节约用水”的担当意识。

在此数学实践作业的研究过程中，经历了又一次的“理性·诗性·创造性”的体验。