96 第六章 勾股定理 几何辅助线 三、成果检测 1. 如图 6.3-2，将正方形 OABC 放在平面直角坐标系中，O 是原点，A 的坐标为(1， 3)，则点 C 的坐标为.(%//A//%) A．(－ 3，1) B．(－1， 3) C．( 3，1) D．(－ 3，－1) y %/ B % 3A C O1 x 图 6.3-2 2. 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发 现，当两个全等的直角三角形如图 6.3-3①或图 6.3-3②摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小 聪利用图①证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按图①所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2＋b2＝c2． 证明：连接 DB，过点 D 作 BC 边上的高 DF，则 DF＝EC＝b－a． A D ∵ S 四边形 ADCB＝S△ACD＋S△ABC＝12b2＋12ab． ca A 又∵ S 四边形 ADCB＝S△ADB＋S△DCB＝12c2＋12a(b－a)， cac bE ∴ 21b2＋12ab＝12c2＋21a(b－a)， D bE b c ∴ a2＋b2＝c2． C F Ca B aB ① ② 图 6.3-3 请参照上述证法，利用图②完成下面的证明． 将两个全等的直角三角形按图②所示摆放，其中∠DAB＝90°．求证：a2＋b2＝c2． %//证明：连结 BD，过点 B 作 DE 边上的高 BF，则 BF＝b－a， ∵ S 五边形 ACBED＝S△ACB＋S△ABE＋S△ADE ＝ 1 ab＋ 1 b2＋ 1 ab， 2 2 2 又∵ S 五边形 ACBED＝S△ACB＋S△ABD＋S△BDE ＝ 1 ab＋ 1 c2＋ 1 a(b－a)， 2 2 2 ∴ 1 ab＋ 1 b2＋ 1 ab＝ 1 ab＋ 1 c2＋ 1 a(b－a)， 2 2 2 2 2 2 ∴ a2＋b2＝c2．//%

动态数学 6.3 勾股弦图 97 3. 请阅读下列材料： 问题：现有 5 个边长为 1 的正方形，排列形式如图 6.3-4①，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要 求：画出分割线并在正方形网格图(图中每个小正方形的边长均为 1)中用实线画出拼接成的新正方形．小 东同学的做法是：设新正方形的边长为 x(x＞0)．依题意，割补前后图形的面积相等，有 x2＝5，解得 x＝ 5．由 此可知新正方形的边长等于两个小正方形组成的矩形对角线的长．于是，画出如图②所示的分割线，拼出 如图③所示的新正方形． 请你参考小东同学的做法，解决如下问题： 现有 10 个边长为 1 的正方形，排列形式如图④，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：在图④ 中画出分割线，并在图⑤的正方形网格图(图中每个小正方形的边长均为 1)中用实线画出拼接成的新正方 形．(说明：直接画出图形，不要求写分析过程．) ①② ③ ④ ⑤ 图 6.3-4 %//解：所画图形如图所示． //% 4. 如图 6.3-5①，有一组平行线 l1∥l2∥l3∥l4，正方形 ABCD 的四个顶点分别在 l1，l2，l3，l4 上，EG 过点 D 且垂直于 l1 于点 E，分别交 l2，l4 于点 F，G，EF＝DG＝1，DF＝2． (1)AE＝%//1//%，正方形 ABCD 的边长＝%//√10//%； (2)如图 6.3-5②，将∠AEG 绕点 A 顺时针旋转得到∠AE′D′，旋转角为 α(0°＜α＜90°)，点 D′在直线 l3 上，以 AD′为边在 E′D′左侧作菱形 AD′C′B′，使点 B′，C′分别在直线 l2，l4 上． ①写出∠B′AD′与 α 的函数关系并给出证明； AE l1 A l1 ②若 α＝30°，求菱形 AD′C′B′的边长． F E′ l2 l2 B B′ %//解：(1)在 Rt△AED，Rt△GDC 中，AD＝DC， D l3 D′ l3 G′ ② l4 又有∠ADE 和∠DAE 互余，∠ADE 和∠CDG 互余， C ① G l4 C′ 故∠DAE 和∠CDG 相等，△AED≌△GDC，知 AE＝GD＝1， 图 6.3-5 又因为 ED＝1＋2＝3，所以正方形 ABCD 的边长为 12＋32＝ 10． (2)①过点 B′作 B′M 垂直于 l1 于点 M，在 Rt△AE′D′，Rt△AB′M 中，B′M＝AE′，AD′＝AB′， 故 Rt△AE′D′≌Rt△AB′M， 所以∠D′AE′，∠B′AM 互余，∠B′AD′与 α 之和为 90°， 故∠B′AD′＝90°－α． ②过 E′点作 ON 垂直于 l1 分别交 l1，l2 于点 O，N， 若 α＝30°，∠E′D′N＝60°，AE′＝1，故 E′O＝ 1 ，E′N＝ 5 ，E′D′＝5 3 ， 2 2 3 由勾股定理可知菱形边长为 235＋1 ＝ 384＝2 321．//%

98 第七章 平行四边形 几何辅助线 第七章 平行四边形 一、本章概述 平行四边形常在中考解答题中出现，多与几何计算相结合，作为中档题目或压轴题出现．本章重点讲解： 通过平移构造辅助线、与中点相关的辅助线及特殊的平行四边形． 二、知识回顾 1.平行四边形 (1)平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． (2)平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分． (3)平行四边形的判定：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边 形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． (4)三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半． 2.特殊的平行四边形 (5)矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 性质：具有平行四边形的一切性质；四个角都是直角；对角线相等． 判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边 形是矩形． (6)直角三角形：斜边上的中线等于斜边的一半． (7)菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 性质：具有平行四边形的一切性质；四条边都相等；两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组 对角． 判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四边相等的四边形是菱形． (8)正方形：四条边都相等，四个角都是直角；既是矩形又是菱形，既有矩形的性质，又有菱形的性质．

动态数学 7.1 平行四边形相关辅助线 99 7.1 平行四边形相关辅助线 一、本节概述 本节重点讲解与平行四边形相关的辅助线，即通过构造平行四边形改变线段和角的位置，从而使条件结合更 紧密，达到解题的目的．构造平行四边形也是线段平移的过程，因此平行四边形与平移变换紧密相关． 二、典例精析 知识点 1：平行四边形相关辅助线 【例 1】如图 7.1-1，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AB＋AD＝BC＋CD，求证：四边形 ABCD 是平行四边形． AD B C 图 7.1-1 思路分析 由 AB＋AD＝BC＋CD 知，可构造长为“AB＋AD”和“BC＋CD”的线段．

100 第七章 平行四边形 几何辅助线 思维探究(扫描二维码进行动态探究) 构造 AB＋AD． 证明：延长 DA 至点 M，使 AM＝AB． 构造 BC＋CD． A D 延长 BC 至点 N，使 CN＝CD． ∵ AB＋AD＝BC＋CD， ∴ %//AM//%＋AD＝BC＋%//CN//%， B C ∴ MD＝%//BN//%． 在四边形 ABCD 中，AD//BC， ∴ MD// %//BN//%， ∴ 四边形 MBND 是平行四边形，(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形) ∴ MB＝%//DN//%，∠M＝∠%//N//%． ∵ AM＝AB， ∴ ∠M＝∠%//ABM//%， 利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． ∴ ∠BAD＝∠M＋∠ABM＝2∠M． 在△CDN 中同样可以得到类似的结论． 同理：∠BCD＝2∠%//N//%， ∴ ∠BAD＝∠%//BCD//%． ∵ AD//BC， ∴ ∠BAD＋∠%//ABC//%＝180°， ∴ ∠BCD＋∠ABC＝180°， ∴ AB//CD， 又∵ AD//BC， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形． 方法总结 利用平行四边形改变线段和角的位置，达到解题的目的．此方法可以理解为图形变换中的“平移变换”．

动态数学 7.1 平行四边形相关辅助线 101 【例 2】如图 7.1-2，在△ABC 中，AB＞AC，BD＝CE，求证：BC＞DE． A E D B C 图 7.1-2 思路分析 观察题目中线段的位置，这两条线段无法比较大小，需要构造辅助线——通过平移改变线段的位置． 思维探究(扫描二维码进行动态探究) 证明：作 EF//BD，BF//DE，EF，BF 相交于点 F， 由平行四边形定义可知，四边形 BDEF 是平行四边形． ∴ BD＝%//EF//%＝CE， 做到这之后，可用如下三种解法． A E 解法一：构造全等三角形转化边的关系 C 作 EG 平分∠CEF 交 BC 于点 G，连接 FG， 作角平分线构造出全等三角形． D B ∵ EF＝EC，∠FEG＝∠CEG，EG＝EG， ∴ △CEG≌△%//FEG//% ， ∴ CG＝%//FG//% ． 在△BFG 中， BG＋FG＞BF，

102 第七章 平行四边形 几何辅助线 ∴ BG＋%//CG//%＞BF(等量代换，向结论靠拢)， D A ∴ %//BC//% ＞BF． B E 又∵ DE＝BF， C ∴ BC＞DE． 解法二：构造等腰三角形 考虑到 EF＝CE，构造等腰三角形． 连接 CF． ∵ △CEF 是等腰三角形， ∴ ∠EFC＜90°． 根据平行四边形的一个内角小于 180°． ∵ 四边形 DBFE 是平行四边形， ∴ ∠BFE＜180°， 钝角三角形，钝角所对的边最长． ∴ ∠BFC＝360°－∠EFC－∠BFE＞90°， D A ∴ △BCF 是钝角三角形． B E ∵ BC 是钝角所对的边， C ∴ BC＞BF＝DE， ∴ BC＞DE． 解法三：“A 字模型” 直接利用“A 字模型”BCEF 证明线段不等关系： BC＋CE＞BF＋EF． 结合所求代入相等线段． ∵ DE＝BF，CE＝EF， ∴ BC＋CE＞DE＋CE， ∴ BC＞DE． 方法总结 通过构造平行四边形，改变线段和角的位置，我们又多了种构造辅助线的方法，本题还可构造其他的平 行四边形，大家可以尝试下．

动态数学 7.1 平行四边形相关辅助线 103 知识点 2：平行四边形面积相关性质 B 【例 3】如图 7.1-3，点 E 是平行四边形 ABCD 内一点，求证：S△ABE＋S△CDE＝12S□ABCD． A E D C 图 7.1-3 思路分析 求面积关系，可根据面积公式表示出三角形和平行四边形的面积，因为已经有底了，故需作出它们 的高． 思维探究(扫描二维码进行动态探究) 作出相关的高． 证明：作 BF⊥CD 于点 F，作 EG⊥CD 于点 G，延长 GE 交 AB 于点 H， 表示出相关面积． ∴ S△ABE＝21AB·%//EH//%，S△CDE＝12CD·%//EG//%． 结合平行四边形性质得到相关结论． ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB＝CD，AB//CD． ∵ BF⊥CD，HG⊥CD， ∴ BF＝%//HG//%， ∴ BF＝EH＋EG． 根据所求，表示出面积和． S△ABE＋S△CDE＝12AB·EH＋12CD·EG＝21CD·(EH＋EG)＝12CD·BF． ∵ S□ABCD＝CD·BF， ∴ S△ABE＋S△CDE＝21S□ABCD． 方法总结 本题是与平行四边形面积相关的典型题目，利用面积公式和平行四边形性质即可． 思考拓展 若点 E 不在平行四边形内部，又有什么样的结论？

104 第七章 平行四边形 几何辅助线 三、成果检测 1. 已知：如图 7.1-4，在□ABCD 中，点 E，F 在 AC 上，且 AE＝CF．求证：四边形 BEDF 是平行四边形． A D %//证明：如图，连接 BC，设对角线交于点 O．∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， E ∴ OA＝OC，OB＝OD． F ∵ AE＝CF，OA－AE＝OC－CF， B C 图 7.1-4 ∴ OE＝OF． ∴ 四边形 BEDF 是平行四边形．//% 2. 如图 7.1-5，在□ABCD 中，AD＝2AB，F 是 AD 的中点，作 CE⊥AB，垂足 E 在线段 AB 上，连接 EF， CF，则下列结论中一定成立的是%//①②④//%．(把所有正确结论的序号都填在横线上) ①∠DCF＝21∠BCD；②EF＝CF；③S△BEC＝2S△CEF；④∠DFE＝3∠AEF %//解：①∵ F 是 AD 的中点，∴ AF＝FD， AFD ∵ 在□ABCD 中，AD＝2AB， E ∴ AF＝FD＝CD，∴ ∠DFC＝∠DCF， ∵ AD∥BC，∴ ∠DFC＝∠FCB， BC 图 7.1-5 ∴ ∠DCF＝∠BCF， ∴ ∠DCF＝ 1 ∠BCD，故此选项正确； 2 ②延长 EF，交 CD 延长线于 M，∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB∥CD，∴ ∠A＝∠MDE， ∵ F 为 AD 中点，∴ AF＝FD， ∠A＝∠FDM， 在△AEF 和△DFM 中， AF＝DF， ∠AFE＝∠DFM， ∴ △AEF≌△DMF(ASA)，∴ FE＝MF，∠AEF＝∠M， ∵ CE⊥AB，∴ ∠AEC＝90°，∴ ∠AEC＝∠ECD＝90°， ∵ FM＝EF，∴ FC＝EF，故②正确； ③∵ EF＝FM，∴ S△EFC＝S△CFM， ∵ MC＞BE，∴ S△BEC＜2S△EFC，故 S△BEC＝2S△CEF 错误； ④设∠FEC＝x，则∠FCE＝x，∴ ∠DCF＝∠DFC＝90°－x， ∴ ∠EFC＝180°－2x，∴ ∠EFD＝90°－x＋180°－2x＝270°－3x， ∵ ∠AEF＝90°－x，∴ ∠DFE＝3∠AEF，故此选项正确． 故答案为：①②④．//%

动态数学 7.1 平行四边形相关辅助线 105 3. 如图 7.1-6，在平行四边形 ABCD 中，∠C＝60°，M，N 分别是 AD，BC 的中点，BC＝2CD． (1)求证：四边形 MNCD 是平行四边形； (2)求证：BD＝ 3MN． AMD %//证明：(1)∵ ABCD 是平行四边形， BN C ∴ AD＝BC，AD∥BC， ∵ M、N 分别是 AD、BC 的中点， 图 7.1-6 ∴ MD＝NC，MD∥NC， ∴ MNCD 是平行四边形； (2)如图：连接 ND，∵ MNCD 是平行四边形， ∴ MN＝DC． ∵ N 是 BC 的中点， ∴ BN＝CN， ∵ BC＝2CD，∠C＝60°， ∴ △NCD 是等边三角形． ∴ ND＝NC，∠DNC＝60°． ∵ ∠DNC 是△BND 的外角， ∴ ∠NBD＋∠NDB＝∠DNC， ∵ DN＝NC＝NB， ∴ ∠DBN＝∠BDN＝ 1 ∠DNC＝30°， 2 ∴ ∠BDC＝90°． ∵ ∠DBN＝30°， ∴ 设 BC＝2DC＝2a， ∴ 由勾股定理得 DB＝ 3 DC＝ 3 MN．//%

106 第七章 平行四边形 几何辅助线 7.2 特殊的平行四边形 一、本节概述 矩形、菱形和正方形都是特殊的平行四边形，它们比平行四边形有更多的限定条件，因此在解题的时候， 充分利用这些特殊的关系是解题的关键． 二、典例精析 知识点 1：矩形 能力目标： 1.了解矩形的特性； 2.灵活运用矩形的特性解决相关问题． 【例 1】如图 7.2-1，点 E 是矩形 ABCD 内点，求证：AE2＋CE2＝BE2＋DE2． A B E D C 图 7.2-1 思路分析 求线段的平方关系，优先考虑勾股定理，需要构造直角三角形表示出所求线段的平方． 思维探究(扫描二维码进行动态探究) 过点 E 向矩形各边作垂线． 证明：作 EH⊥BC 于点 H，延长 HE 交 AD 于点 I， 结合矩形性质得到相关结论． ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ ∠DAB＝∠ABC＝90°， ∴ 四边形 ABHI 是矩形， ∴ AI＝%//BH//%． 同理：DI＝%//CH//%． 通过勾股定理求出各边平方． 在 Rt△AIE 中，由勾股定理得：AE2＝%//AI2＋IE2//%， 同理：BE2＝BH2＋%//EH//%2，CE2＝EH2＋%//CH//%2，DE2＝DI2＋%//IE//%2．

动态数学 7.2 特殊的平行四边形 107 ∴ AE2＋CE2＝(AI2＋IE2)＋(EH2＋CH2)＝BH2＋EH2＋DI2＋IE2＝BE2＋DE2， ∴ AE2＋CE2＝BE2＋DE2． 方法总结 本题是利用矩形的四个角都是直角这一特性，并结合勾股定理证明． 思考拓展 若点 E 不在平矩形内部，又有什么样的结论？ 【例 2】如图 7.2-2，在矩形 ABCD 中，已知 AD＝12，AB＝5，P 是 AD 边上的任意一点，PE⊥BD 于点 E， PF⊥AC 于点 F，那么 PE＋PF 的值为%//60//%． 13 AP D F EO B C 图 7.2-2 思路分析 因为要求 PE＋PF 的值，可知它是定值，P 在不同位置这个值不变． 取 P 与 A 重合这个特殊位置． 作 AK⊥BD 于点 K． 利用等积变换：S△ABD＝12AK·BD＝12AB·AD． 则 AK 长即为所求：AK＝ABB·DAD＝6103． 如何证明？只要证明 AK＝PE＋PF 即可． 思维探究(扫描二维码进行动态探究) 可用截长补短法构造辅助线． 解：作 PQ⊥AK 于点 Q， ∵ PE⊥BD，AK⊥BD， ∴ 四边形 PQKE 是矩形， ∴ KQ＝PE． 只要证明 AQ＝PF 即可，可证△AQP≌△PFA，现在有一个公共边 AP，还有一对直角相等，只要再找一 个角或一条边相等即可． 考虑到矩形的特性，对角线相等且互相平分，可以得到矩形被对角线分成 4 个等腰三角形． ∵ 四边形 ABCD 是矩形， AP D ∴ AC＝BD，AO＝OC，BO＝OD， C ∴ AO＝OD，∴ ∠OAD＝∠ODA． F EO B

108 第七章 平行四边形 几何辅助线 欲证∠OAD＝∠APQ，只要证∠APQ＝∠ODA 即可． ∵ PQ//BD，∴ ∠APQ＝∠ODA，∴ ∠OAD＝∠APQ． 用 SAS 证明三角形全等后，利用全等三角形的性质． 又∵ AP＝PA，∠AQP＝∠PFA， ∴ △AQP≌△PFA，∴ AQ＝PF． 等量代换，换成和结论相关的线段． ∵ AK＝AQ＋KQ，∴ AK＝PF＋PE． 其他截长补短法：①作 AM⊥PE 于点 M；②作 KN//AP 交 PE 于点 N；③作 EW//AP 交 AK 于点 W；过 程略． 方法总结 与矩形相关的题目，注意利用矩形相对于平行四边形特有的性质，如对角线相等、四个角都是直角． 知识点 2：菱形 能力目标： 1.了解菱形的特性； 2.灵活运用菱形的特性解决相关问题． 【例 3】如图 7.2-3，在菱形 ABCD 中，∠ABC＝120°，E 是 AB 边的中点，P 是 AC 边上一动点，PB＋PE 的最小值是 3，求 AB 的值． DC P AE B 图 7.2-3 思路分析 题目中出现“两条线段之和的最小值”，恰好是“将军饮马”问题，作轴对称即可．由于菱形是关 于对角线成轴对称的，故很容易找到对称点． 思维探究(扫描二维码进行动态探究) 利用菱形的轴对称性构造全等三角形． 解：连接 DP， ∵ 四边形 ABCD 是菱形，

动态数学 7.2 特殊的平行四边形 109 ∴ ∠ACD＝∠ACB，CD＝CB， 又∵ CP＝CP， D C P ∴ △DCP≌△%//BCP//% ， ∴ DP＝%//BP//% ． 找出最小值． AE B 连接 DE， ∴ PB＋PE＝PD＋PE≥%//DE//%， ∵ 当点 P 运动到线段 DE 上时，PB＋PE 有最小值 3， ∴ DE＝%// √3 //%． 利用三线合一证明垂直． 连接 BD． ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AB＝AD，AD//BC， 又∵ ∠ABC＝120°， ∴ ∠BAD＝%//60//%°， ∴ △ABD 是等边三角形． ∵ E 是 AB 边的中点， ∴ DE⊥AB， 利用勾股定理求出 AB． ∴ ∠ADE＝%//30//% °． 设 AE＝x，则 AD＝%//2x//% ， 在 Rt△AED 中， 由勾股定理得：AE2＋DE2＝AD2， 即：x2＋( 3)2＝(2x)2， 解得：x＝%//±1//% ，(舍去负值) ∴ x＝%//1//% ， ∴ AB＝%//2AE＝2//% ． 方法总结 本题主要利用菱形的轴对称性——其对称轴是对角线所在的直线． 【例 4】如图 7.2-4，四边形ABCD 是平行四边形，∠1＝∠2，∠B＝120°，CE＝FG，CE∥FG，则∠BDG＝%//60//度． A D 12 BE C F G 图 7.2-4

110 第七章 平行四边形 几何辅助线 思维探究(扫描二维码进行动态探究) 图中有角平分线及平行线，我们可以证明出 AD＝DF，AB＝BE，CE＝CF． 解：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB//CD，∴ ∠1＝∠AFD． ∵ ∠1＝∠2，∴ ∠2＝∠%//AFD//%， ∴ AD＝%//DF//%． 同理：AB＝%//BE//%，CE＝%//CF//%． 补全图形，构造辅助线． 延长 AB，FG 交于点 H，连接 DH． 补全图形后，观察图形猜测四边形 AHFD 是菱形，且这个菱形是由两个等边三角形组成的． ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， A D ∴ AD//BC，AB//CD． 2 又∵ CE//FG， EC ∴ FG//AD， 1 GF ∴ 四边形 AHFD 是平行四边形． B ∵ AD＝DF， ∴ 平行四边形 AHFD 是菱形， ∴ AD＝AH． ∵ AB//CD，∠B＝120°， ∴ ∠BAD＝60°， ∴ △ADH 是等边三角形， ∴ AD＝DH＝DF，∠ADH＝∠HDF＝60°． 因为∠HDF＝60°，故只要证∠BDH＝∠GDF 即可求出∠BDG＝60°，只要证△BHD≌△GFD 即可． ∵ AH＝DF，AB＝CD，∴ CF＝%//BH//%． ∵ CE＝FG，CE＝CF，∴ FG＝CF＝BH． 又∵ ∠BHD＝∠GFD＝60°，DH＝DF， ∴ △BHD≌△%//GFD//%， ∴ ∠BDH＝∠%//GDF//%． ∵ ∠HDF＝∠HDG＋∠GDF， ∴ ∠HDF＝∠HDG＋∠BDH＝∠BDG＝60°， ∴ ∠BDG＝60°． 方法总结 有关菱形的题目，要注意应用菱形区别于平行四边形的特性：邻边相等，对角线平分一组对角，对角线 互相垂直．

动态数学 7.2 特殊的平行四边形 111 知识点 3：正方形 能力目标： 1.了解正方形的特性； 2.灵活运用正方形的特性解决相关问题． 【例 5】如图 7.2-5，在正方形 ABCD 中，E，F，G，H 分别是四条边上的点，且 EF⊥GH 于 I，求证：EF＝GH． AE D I H G C 思路分析(扫描二维码进行动态探究) BF 图 7.2-5 可拖动图中点 E，I，F 到不同位置观察，看能否找到思路． 在拖动过程中很容易发现，只要证明△ABF≌△BCH，即可证明 EF＝GH．这是一种特殊情况，可 通过辅助线将一般情况转化成特殊情况． 思维探究 通过平移构造辅助线． 证明：作 BH′//GH 交 EF 于点 J，作 AF′//EF 交 GH 于点 K，交 BH′于点 L． 通过平行证明平移后的数量关系． ∵ 四边形 ABCD 是正方形，∴ BG//HH′， AE D ∴ 四边形 GBH′H 是平行四边形，∴ BH′＝GH， 同理：AF′＝EF． 通过平行证明平移后的位置关系． I H G C ∵ EF⊥GH，BH′//GH，∴ BH′⊥EF， 同理：AF′⊥GH， BF ∴ 四边形 KIJL 是矩形，∴ AF′⊥BH′， 通过双垂直模型推导角的关系． ∴ ∠ABL＋∠BAL＝90°． ∵ ∠ABL＋∠LBF′＝90°，∴ ∠BAL＝∠LBF′， 通过全等证明线段相等． 又∵ AB＝CB，∠ABF′＝∠BCH′， ∴ △ABF′≌△BCH′，∴ AF′＝BH′，∴ EF＝GH．

112 第七章 平行四边形 几何辅助线 方法总结 本题是正方形常见的模型题目，建议记住结论． 【例 6】如图 7.2-6，E，F 是正方形 ABCD 的边 AD 上两个动点，满足 AE＝DF．连接 CF 交 BD 于点 G，连 接 BE 交 AG 于点 H．若正方形的边长为 2，则线段 DH 长度的最小值是多少？ A EF D H G BC 图 7.2-6 思维探究(扫描二维码进行动态探究) AE＝DF，结合正方形的对称性可知△ABE≌△DCF． 解：∵ 四边形 ABCD 是正方形，∴ AB＝DC，∠BAE＝∠CDF＝90°， 又∵ AE＝DF， ∴ △ABE≌△%//DCF//%， ∴ ∠ABE＝∠%//DCF//%． G 是正方形对角线上一点，结合正方形关于对角线对称，可知△DAG≌△DCG． ∵ 四边形 ABCD 是正方形，∴ AD＝CD，∠ADG＝∠CDG＝45°． 又∵ DG＝DG， A EF D H ∴ △DAG≌△%//DCG//% ， G ∴ ∠DCF＝∠%//DAG//% ， BC ∴ ∠ABE＝∠DCF＝∠DAG． ∵ ∠DAG＋∠BAH＝90°， ∴ ∠ABE＋∠BAH＝90°， ∴ ∠AHB＝%//90//% °． 这样在 Rt△ABH 中，AB 是定值，则斜边上的中线也是定值，因此可以构造 AB 边上中线． 取 AB 中点 I，连接 HI，DI，则 HI＝%// 12AB＝1 //% ． 在 Rt△DAI 中，由勾股定理得：DI＝ DA2＋AI2＝%// √5//% ． 在△HID 中，用三角形两边之差小于第三边求出范围． 在△HID 中，DH＞DI－HI＝%//√5－1//% ， 当点 H 在线段 DI 上时，DH＝%//√5－1//% ， ∴ DH 长度最小值是%//√5－1//% ． 方法总结 与正方形相关的题目，要充分利用正方形的特性：四条边相等，四个角都是直角，对角线相等且平分一 组对角等．

动态数学 7.2 特殊的平行四边形 113 三、成果检测 1. 如图 7.2-7，正方形 ABCD 的边长为 3 cm，E 为 CD 边上一点，∠DAE＝30°，M 为 AE 的中点，过点 M 作直线分别与 AD，BC 相交于点 P，Q．若 PQ＝AE，则 AP 等于%//1 或 2//%cm． AD M E BC 图 7.2-7 2. 请阅读下列材料： 问题：如图 7.2-8①，在菱形 ABCD 和菱形 BEFG 中，点 A，B，E 在同一条直线上，P 是线段 DF 的中点， 连结 PG，PC．若∠ABC＝∠BEF＝60°，探究 PG 与 PC 的位置关系及PPGC的值． 小聪同学的思路是：延长 GP 交 DC 于点 H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决． 请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题： (1)写出上面问题中线段 PG 与 PC 的位置关系及PPGC的值； (2)将图①中的菱形 BEFG 绕点 B 顺时针旋转，使菱形 BEFG 的对角线 BF 恰好与菱形 ABCD 的边 AB 在同 一条直线上，原问题中的其他条件不变(如图 7.2-8②)．你在(1)中得到的两个结论是否发生变化？写出你 的猜想并加以证明． DC C D P F P G %//解：(1)线段 PG 与 PC 的位置关系是 PG⊥PC； G A BF PPGC＝ 3 ． (2)猜想：(1)中的结论没有发生变化． A BE E ① ② 证明：如图②，延长 GP 交 AD 于点 H，连结 CH，CG．∵ P 是线段 DF 的中点图，7.∴2-8FP＝DP． 由题意可知 AD∥FG．∴ ∠GFP＝∠HDP． ∴ ∠GPF＝∠HPD，∴ △GFP≌△HDP． ∴ GP＝HP，GF＝HD． ∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴ CD＝CB，∠HDC＝∠ABC＝60°． 由∠ABC＝∠BEF＝60°，且菱形 BEFG 的对角线 BF 恰好与菱形 ABCD 的边 AB 在同一条直线上， 可得∠GBC＝60°．∴ ∠HDC＝∠GBC． ∵ 四边形 BEFG 是菱形，∴ GF＝GB．∴ HD＝GB． ∴ △HDC≌△GBC．∴ CH＝CG，∠DCH＝∠BCG． ∴ ∠DCH＋∠HCB＝∠BCG＋∠HCB＝120°．即∠HCG＝120°． ∵ CH＝CG，PH＝PG，∴ PG⊥PC，∠GCP＝∠HCP＝60°． ∴ PPGC＝ 3 ．//%

114 第七章 平行四边形 几何辅助线 3. 在□ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线 BC 于点 E，交直线 DC 于点 F． (1)在图 7.2-9①中，证明：CE＝CF； (2)若∠ABC＝90°，G 是 EF 的中点(如图 7.2-9②)，直接写出∠BDG 的度数； (3)若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连接 DB，DG(如图 7.2-9③)，求∠BDG 的度数． AD A DA D %//(1)证明：如图 1．∵ AF 平分∠BAD， ∴ ∠BAF＝∠DAF． C B E C C E G BE B F GF ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ③ ∴ AD∥BC，AB∥CD， ① ②F ∴ ∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠F． 图 7.2-9 ∴ ∠CEF＝∠F． ∴ CE＝CF． (2)∠BDG＝45°． (3)分别连结 GB、GE、GC(如图 2)∵ AB∥DC，∠ABC＝120°， ∴ ∠ECF＝∠ABC＝120°． ∵ FG∥CE 且 FG＝CE， ∴ 四边形 CEGF 是平行四边形． 由(1)得 CE＝CF， ∴ □CEGF 是菱形． ∴ EG＝EC，∠GCF＝∠GCE＝ 1 ∠ECF＝ 60°． 2 ∴ △ECG 是等边三角形． ∴ EG＝CG，① ∠GEC＝∠EGC＝60°． ∴ ∠GEC＝∠GCF． ∴ ∠BEG＝∠DCG．② 由 AD∥BC 及 AF 平分∠BAD 可得∠BAE＝∠AEB． ∴ AB＝BE． 在□ABCD 中，AB＝DC．∴ BE＝DC．③ 由①②③得△BEG≌△DCG． ∴ BG＝DG，∠BGE＝∠DGC． ∴ ∠BGD＝∠BGE＋∠DGE＝∠DGC＋∠DGE＝∠EGC＝60°． 180°－∠BGD ∴ ∠BDG＝ 2 ＝60°．//%

动态数学 7.2 特殊的平行四边形 115 4. 已知：如图 7.2-10，平面直角坐标系 xOy 中，正方形 ABCD 的边长为 4，它的顶点 A 在 x 轴的正半轴上运 动，顶点 D 在 y 轴的正半轴上运动(点 A，D 都不与原点重合)，顶点 B，C 都在第一象限，且对角线 AC， BD 相交于点 P，连接 OP． (1)当 OA＝OD 时，点 D 的坐标为%//(0，2√2)//%，∠POA＝%//45//%°； (2)当 OA＜OD 时，求证：OP 平分∠DOA； (3)设点 P 到 y 轴的距离为 d，则在点 A，D 运动的过程中，d 的取值范围是%//2＜d≤2√2//%． %//解：(1)(0，2 2 )，45； y 证明：(2)过点 P 作 PM⊥x 轴于点 M，PN⊥y 轴于点 N．∵ 四边形 ABCD 是正方形， C ∴ PD＝PA，∠DPA＝90°． D ∵ PM⊥x 轴于点 M，PN⊥y 轴于点 N， P ∴ ∠PMO＝∠PNO＝∠PND＝90°． OA B ∵ ∠NOM＝90°， 图 7.2-10 x ∴ 四边形 NOMP 中，∠NPM＝90°． ∴ ∠DPA＝∠NPM． ∵ ∠1＝∠DPA－∠NPA，∠2＝∠NPM－∠NPA， ∴ ∠1＝∠2． 在△DPN 和△APM 中， ∠PND＝∠PMA， ∠1＝∠2， PD＝PA， ∴ △DPN≌△APM． ∴ PN＝PM． ∴ OP 平分∠DOA． (3)2＜d≤2 2 ．//%

116 第七章 平行四边形 几何辅助线 5. 已知，如图 7.2-11①，∠MON＝60°，点 A，B 为射线 OM，ON 上的动点(点 A，B 不与点 O 重合)，且 AB＝4 3 ， 在∠MON 的内部，△AOB 的外部有一点 P，且 AP＝BP，∠APB＝120°． (1)求 AP 的长； (2)求证：点 P 在∠MON 的平分线上； (3)如图 7.2-11②，点 C，D，E，F 分别是四边形 AOBP 的边 AO，OB，BP，PA 的中点，连接 CD，DE， EF，FC，OP． ①当 AB⊥OP 时，请直接写出四边形 CDEF 的周长； ②若四边形 CDEF 的周长用 t 表示，请直接写出 t 的取值范围． %//解：(1)过点 P 作 PQ⊥AB 于点 Q． OO ∵ PA＝PB，∠APB＝120°，AB＝4 3 ， C ∴ AQ＝ 1 AB＝ 1 ×4 3 ＝2 3， A A D 2 2 B F B ∠APQ＝ 1 ∠APB＝ 1 ×120°＝60°． P P E 2 2 M NM N 在 Rt△APQ 中，sin∠APQ＝AAQP， ① ② 图 7.2-11 ∴ AP＝sin∠AAQPQ＝2sin630°＝2 3 ＝4． 3 2 (2)证明：过点 P 分别作 PS⊥OM 于点 S，PT⊥ON 于点 T，∴ ∠OSP＝∠OTP＝90°． 在四边形 OSPT 中， ∠SPT＝360°－∠OSP－∠SOT－∠OTP＝360°－90°－60°－90°＝120°， ∴ ∠APB＝∠SPT＝120°， ∴ ∠APS＝∠BPT． 又∵ ∠ASP＝∠BTP＝90°，AP＝BP， ∴ △APS≌△BPT， ∴ PS＝PT， ∴ 点 P 在∠MON 的平分线上． (3)①8＋4 3 ； ②4＋4 3 ＜t≤8＋4 3 ．//%

动态数学 7.2 特殊的平行四边形 117 6. 已知四边形 ABCD 和四边形 CEFG 都是正方形，且 AB＞CE． (1)如图 7.2-12①，连接 BG，DE．求证：BG＝DE； (2)如图 7.2-12②，如果正方形 ABCD 的边长为 2，将正方形 CEFG 绕着点 C 旋转到某一位置时恰好使得 CG//BD，BG＝BD． ①求∠BDE 的度数； ②请直接写出正方形 CEFG 的边长的值． AD AD %//(1)证明：∵ 四边形 ABCD 和 CEFG 为正方形，∴ BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠GCE＝90°． ∴ ∠BCD＋∠DCG＝∠GCE＋∠DCG． GG 即：∠BCG＝∠DCE． F F ∴ △BCG≌△DCE．∴ BG＝DE． BC B C E E ② ① 图 7.2-12 (2)①连接 BE．由(1)可知：BG＝DE．∵ CG∥BD，∴ ∠DCG＝∠BDC＝45°． ∴ ∠BCG＝∠BCD＋∠GCD＝90°＋45°＝135°． ∵ ∠GCE＝90°， ∴ ∠BCE ＝360°－∠BCG＝360°－135°－90°＝135°． ∴ ∠BCG＝∠BCE． ∵ BC＝BC，CG＝CE，∴ △BCG≌△BCE．∴ BG＝BE． ∵ BG＝BD＝DE，∴ BD＝BE＝DE． ∴ △BDE 为等边三角形．∴ ∠BDE＝60°． ②正方形 CEFG 的边长为 3 －1．//% 7. 如图 7.2-13，P 是正方形 ABCD 对角线 AC 上一点，点 E 在 BC 上，且 PE＝PB． (1)求证：PE＝PD； (2)连接 DE，试判断∠PED 的度数，并证明你的结论． A D P %//(1)证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形，∴ BC＝DC，∠1＝∠2． 又∵ PC＝PC，∴ △PBC≌△PDC．∴ PB＝PD． 又∵ PE＝PB，∴ PE＝PD． (2)判断：∠PED＝45°． BE C 证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形，∴ ∠BCD＝90°． 图 7.2-13 ∵ △PBC≌△PDC，∴ ∠3＝∠PDC． ∵ PE＝PB，∴ ∠3＝∠4． ∴ ∠4＝∠PDC． 又∵ ∠4＋∠PEC＝180°， ∴ ∠PDC＋∠PEC＝180°． ∴ ∠EPD＝360°－(∠BCD＋∠PDC＋∠PEC)＝90°． 又∵ PE＝PD，∴ ∠PED＝45°．//%

118 第七章 平行四边形 几何辅助线 8. 如图 7.2-14，正方形 ABCD 的边长为 6，点 E 是 BC 上的一点，连接 AE 并延长交射线 DC 于点 F，将△ABE 沿直线 AE 翻折，点 B 落在点 N 处，AN 的延长线交 DC 于点 M，当 AB＝2CF 时，求 NM 的长． A B %//解：∵ 四边形 ABCD 是正方形，∴ AB∥CD，∠D＝90°，AB＝CD＝AD＝6． ∵ AB＝2CF， E ∴ CF＝3． ∵ △ABE 沿直线 AE 翻折，点 B 落在点 N 处， N C F ∴ ∠1＝∠2，AN＝AB＝6． DM 图 7.2-14 ∵ AB∥CD，∴ ∠1＝∠F． ∴ ∠2＝∠F． ∴ AM＝MF． 设 AM＝x，则 MF＝x，MC＝MF－CF＝x－3， ∴ DM＝CD－MC＝9－x． 在 Rt△ADM 中，AD2＋DM2＝AM2 ， ∴ 62＋(9－x)2＝x2． 解得 x＝123，即 AM＝123． ∴ MN＝AM－AN＝ 1 ．//% 2 9. (1)如图 7.2-15①，在矩形 ABCD 中，AB＝2BC，M 是 AB 的中点．直接写出∠BMD 与∠ADM 的倍数关系； (2)如图 7.2-15②，若四边形 ABCD 是平行四边形，AB＝2BC，M 是 AB 的中点，过 C 作 CE⊥AD 与 AD 所在直线交于点 E． ①若∠A 为锐角，则∠BME 与∠AEM 有怎样的倍数关系，并证明你的结论； ②当 0°＜∠A＜%//120//%°时，上述结论成立；当%//120//%°≤∠A＜180°时，上述结论不成立． %//解：(1)∠BMD＝3∠ADM． (2)连接 CM，取 CE 的中点 F，连接 MF，交 DC 于 N，∵ M 是 AB 的中点， E D ∴ MF∥AE∥BC， DC ∴ ∠AEM＝∠1，∠2＝∠4， C ∵ AB＝2BC， ∴ BM＝BC，∴ ∠3＝∠4． A M B A MB ∵ CE⊥AE，∴ MF⊥EC， ① ② 图 7.2-15 又∵ F 是 EC 的中点， ∴ ME＝MC， ∴ ∠1＝∠2． ∴ ∠1＝∠2＝∠3． ∴ ∠BME＝3∠AEM． (3)当 0°＜∠A＜120°时，结论成立； 当 120°≤∠A＜180°时，结论不成立． //%

动态数学 7.3 中点相关辅助线 119 7.3 中点相关辅助线 一、本节概述 中点相关辅助线通常可以分为三类： 1.构造中心对称的全等三角形 倍长中线 中心对称全等三角形 2.构造中位线 外构中位线 内构中位线 3.三角形中线 三线合一 垂直平分线 直角三角形斜边中线

120 第七章 平行四边形 几何辅助线 二、典例精析 知识点 1：中点相关辅助线 1 能力目标： 1.熟练掌握中点相关辅助线模型； 2.会通过中点构造中心对称的全等三角形及构造中位线． 【例 1】在△ABC 中，点 P 为 BC 的中点． (1)如图 7.3-1①，求证：AP＜12 (AB＋AC)； (2)如图 7.3-1②，延长 AB 到 D，使得 BD＝AC，延长 AC 到 E，使得 CE＝AB，连结 DE．连结 BE，若 ∠BAC＝60°，请你探究线段 BE 与线段 AP 之间的数量关系，写出你的结论，并加以证明． AA C C P P B B① D E ② 图 7.3-1 思维探究(扫描二维码进行动态探究) A (1)倍长中线法 C 方法一： P B 证明：延长 AP 至点 K，使 PK＝AP，连接 BK， ∵ ∠BPK＝∠CPA，BP＝CP， ∴ △APC≌△KPB， ∴ AC＝BK， ∵ AB＋BK＞AK，AP＝PK， ∴ AB＋AC＞2AP， ∴ AP＜12(AB＋AC)．

动态数学 7.3 中点相关辅助线 121 方法二：延长 AP 至点 K，使 PK＝AP，连接 CK，之后同方法一． 方法三：延长 AP 至点 K，使 PK＝AP， 连接 BK，CK，则四边形 ABKC 是平行四边形，之后同一． 内构中位线 A 方法一：取 AB 中点 H，连接 PH，应用三角形中位线定理． ∴ PH＝12AC， C P 在△AHP 中，AH＋HP＞AP， B ∴ AP＜12(AB＋AC)． 方法二：取 AC 中点 G，连接 PG，之后同方法一． 外构中位线 A 方法一：延长 BA 至点 M，使 AM＝AB， 连接 MC，则 AP 是△BCM 的中位线． C ∴ AP＝12MC． P 在△AMC 中，AC＋AM＞MC， B ∴ AP＜12(AB＋AC)． A 方法二：延长 CA 至点 N，使 AN＝AC，连接 NB，之后同方法一． C P B (2)解：由题中条件可知△ADE 是等边三角形，通过测量可知 BE＝2AP， A ∵ BD＝AC，CE＝AB，∴ AD＝%//AE//%， C 又∵ ∠BAC＝60°， P ∴ △ADE 是%//等边三角形//%． 方法一：倍长中线 B 如图直接构造 2AP，不好确定倍长中线后辅助线的位置，因此采用迂回的方法．D E 作 BK//AE，交 DE 于点 K，连接 PK， ∴ ∠DBK＝∠DAE＝%//60//%°， ∵ ∠D＝60°，∴ △BDK 是%//等边//%三角形，

122 第七章 平行四边形 几何辅助线 E 证明三角形全等． A C ∴ BK＝BD＝AC． ∵ ∠PBK＝∠ACP，BP＝CP， P ∴ △APC≌△KPB，∴ ∠APC＝∠KPB． B D 证明三点共线，得到 2AP． ∵ ∠APC＋∠APB＝180°， ∴ ∠KPB＋∠APB＝180°， ∴ A，P，K 三点共线，∴ AK＝2AP． 通过全等三角形证明 AK＝BE． ∵ BD＝DK，AD＝DE，∠ABK＝∠EKB＝%//120//%°， A E ∴ △ADK≌△%//EDB//%， C ∴ AK＝%//BE//%，∴ BE＝2AP． P 方法二：外构中位线 B 延长 CA 至点 M，使 AM＝AC，连接 MB，则 MB＝2AP． D BM 与 BE 所在三角形不全等，故需要构造全等三角形，作 BK//AE，证明△AMB≌KBE 即可． 作 BK//AE，交 DE 于点 K， ∴ ∠DBK＝∠DAE＝60°． ∵ ∠D＝60°，∴ △BDK 是等边三角形， ∴ BK＝BD＝AC＝AM． ∵ BD＝DK，AD＝DE， ∴ AB＝KE． A ∵ ∠MAB＝∠BKE， ∴ △AMB≌△KBE， C ∴ BE＝BM＝2AP． 方法三：内构中位线 P B 取 AB 中点 H，连接 PH，作 BK//AE，通过 SAS 证明△AMP∽△EKB 即可． D E 方法总结 解与中点相关的题目方法很多，可尽量尝试多种方法，通常情况下倍长中线和构造中位线两个方法都可 以解题．

动态数学 7.3 中点相关辅助线 123 知识点 2：中点相关辅助线 2 能力目标： 1.熟练掌握“和差倍分”模型； 2.熟练掌握垂直平分线构造辅助线和构造直角三角形斜边中线的方法． 【例 2】已知：如图 7.3-2 所示，AD 平分∠BAC，AM⊥CM，AB＝AD，求证：AB＋AC＝2AM． A BD C M 图 7.3-2 思路分析 题目求证的是线段“和差倍分”问题，可以通过结论提供的线索构造辅助线，角平分线和垂直也是 构造辅助线的重要方向，但本题通过角平分线构造轴对称的全等三角形行不通，因为得到的结论和所求 没什么关系． 思维探究(扫描二维码进行动态探究) A C 证明：延长 AM 至点 N，使 MN＝AM，连接 CN． BD ∵ AM⊥CM， M ∴ AC＝NC， ∴ ∠N＝∠NAC， ∵ ∠BAN＝∠NAC， ∴ ∠BAN＝∠N， ∴ AB//CN， ∴ ∠B＝∠DCN， ∵ AB＝AD， ∴ ∠B＝∠ADB＝∠CDN， ∴ ∠CDN＝∠DCN， ∴ CN＝DN． 又∵ AC＝NC， ∴ AC＝DN， ∵ AN＝AD＋DN＝2AM， ∴ AB＋AC＝2AM． 方法总结 本题的关键是根据结论中“2AM”这一线索，根据线段垂直平分线的特征，构造一个等腰三角形．

124 第七章 平行四边形 几何辅助线 三、成果检测 1. 在△ABC 中，D 为 BC 中点，BE，CF 与射线 AE 分别相交于点 E，F(射线 AE 不经过点 D)． (1)如图 7.3-3①，当 BE∥CF 时，连接 ED 并延长交 CF 于点 H．求证：四边形 BECH 是平行四边形； (2)如图 7.3-3②，当 BE⊥AE 于点 E，CF⊥AE 于点 F 时，分别取 AB，AC 的中点 M，N，连接 ME，MD， NF，ND．求证：∠EMD＝∠FND． AA F MF N H C B D CB D EE ① ② 图 7.3-3 %//证明：(1)∵ D 为 BC 中点，∴ BD＝CD． ∵ BE∥CF， ∴ ∠1＝∠2． 又∵ ∠3＝∠4， ∴ △BDE≌△CDH． ∴ ED＝HD． ∴ 四边形 BECH 是平行四边形． (2)连接 FD、ED，延长 ED 交 CF 于点 H，∵ BE⊥AE，CF⊥AE， ∴ BE∥CF． 根据(1)可知 ED＝HD． 又∵ CF⊥AE， ∴ ED＝FD． ∵ Rt△AEB 中，M 是斜边 AB 中点， ∴ ME＝ 1 AB． 2 ∵ △ABC 中，D、N 分别是 BC、AC 中点， ∴ DN＝ 1 AB． 2 ∴ ME＝DN． 同理，MD＝NF． ∴ △MED≌△NDF． ∴ ∠EMD＝∠FND．//%

动态数学 7.3 中点相关辅助线 125 2. 在△ABC 中，AB＝AC，分别以 AB 和 AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，M 是 BC 边中点， 连接 MD 和 ME． (1)如图 7.3-4①所示，若 AB＝AC，则 MD 和 ME 的数量关系是%//MD＝ME//%． (2)如图 7.3-4②所示，若 AB≠AC，其他条件不变，则 MD 和 ME 具有怎样的数量和位置关系？请给出证 明过程； (3)在任意△ABC 中，仍分别以 AB 和 AC 为斜边，向△ABC 的内侧作等腰直角三角形，M 是 BC 的中点， 连接 MD 和 ME，请在图 7.3-4③中补全图形，并直接判断△MED 的形状． A A A D E DE %//解：(1)MD＝ME． BM C BM C B MC ① ② ③ 图 7.3-4 (2)如图，作 DF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为 F、G．∵ DF、EG 分别是等腰直角△ABD 和等腰直角△A CE 斜边上的高， ∴ F、G 分别是 AB、AC 的中点． 又∵ M 是 BC 的中点， ∴ MF、MG 是△ABC 的中位线． ∴ MF＝ 1 AC，MG＝ 1 AB，MF//AC，MG//AB． 2 2 ∴ ∠BFM＝∠BAC，∠MGC＝∠BAC． ∴ ∠BFM＝∠MGC．所以∠DFM＝∠MGE． ∵ DF、EG 分别是直角三角形 ABD 和直角三角形 ACE 斜边上的中线， ∴ EG＝ 1 AC，DF＝ 1 AB． 2 2 ∴ MF＝EG，DF＝MG． ∴ △DFM≌△MGE． ∴ DM＝ME，∠FMD＝∠GEM． ∴ ∠DME＝∠FMD＋∠FMG＋∠GME＝∠GEM＋∠MGC＋∠GME． ∵ EG⊥AC， ∴ ∠EGC＝90°． ∵ ∠GEM＋∠MGC＋∠GME＋∠EGC＝180°， ∴ ∠DME＝90°． (3)△MDE 是等腰直角三角形．//%

126 第七章 平行四边形 几何辅助线 3. 已知：等边三角形 ABC 中，点 D，E，F 分别为边 AB，AC，BC 的中点，点 M 在直线 BC 上，以点 M 为 旋转中心，将线段 MD 顺时针旋转 60°至 MD′，连接 ED′． (1)如图 7.3-5①，当点 M 在点 B 左侧时，线段 ED′与 MF 的数量关系是%//ED′＝MF//%； (2)如图 7.3-5②，当点 M 在 BC 边上时，(1)中的结论是否依然成立？如果成立，请利用图②证明，如果 不成立，请说明理由； (3)当点 M 在点 C 右侧时，请你在图 7.3-5③中画出相应的图形，直接判断(1)中的结论是否依然成立？不 必给出证明或说明理由． A AA DE DE DE D′ B B F CM M F C B MF C ③ D′ %//解：(1)ED′＝MF； ② (2)ED′与 MF 的相等关系依然成立； ① 图 7.3-5 证明：连接 DE、DF、DD′．∵ D、E、F 分别是 AB、AC、BC 的中点， ∴ DE//BC，DE＝ 1 BC，DF//AC，DF＝ 1 AC， 2 2 ∴ 四边形 DFCE 为平行四边形． ∵ △ABC 是等边三角形， ∴ BC＝AC，∠C＝60°， ∴ DE＝DF，∠EDF＝∠C＝60°． ∵ MD＝MD′，∠DMD′＝60°， ∴ △DMD′是等边三角形， ∴ ∠MDD′＝60°，MD＝DD′ ， ∴ ∠MDD′＝∠EDF． ∵ ∠MDF＝∠MDD′－∠FDD′，∠EDD′＝∠EDF－∠FDD′， ∴ ∠MDF＝∠EDD′， ∴ △DD′E≌△DMF(SAS)， ∴ ED′＝MF． (3)ED′与 MF 的相等关系依然成立．画出正确图形．//%

动态数学 7.3 中点相关辅助线 127 4. 已知等腰 Rt△ABC 和等腰 Rt△AED 中，∠ACB＝∠AED＝90°，且 AD＝AC． (1)发现：如图 7.3-6①，当点 E 在 AB 上且点 C 与点 D 重合时，若点 M、N 分别是 DB，EC 的中点，则 MN 与 EC 的位置关系是%//MN⊥EC//%，MN 与 EC 的数量关系是%//MN＝12EC//%． (2)探究：若把(1)题中的△AED 绕点 A 旋转一定角度，如图 7.3-6②所示，连接 BD 和 EC，并连接 DB， EC 的中点 M，N，则 MN 与 EC 的位置关系和数量关系仍然能成立吗？若成立，以顺时针旋转 45°得到 的图形(图 7.3-6③)为例给予证明数量关系成立，若不成立，请说明理由；请以逆时针旋转 45°得到的图 形(图 7.3-6④)为例给予证明位置关系成立． B B B B EM M M E M E NC ED N ND A N A C(D) A C AC ④ D ① ②③ 图 7.3-6 %//解：(1)MN⊥EC，MN＝ 1 EC． 2 (2)连接 EF 并延长交 BC 于 F， ∵ ∠AED＝∠ACB＝90°， ∴ DE∥BC， ∴ ∠DEM＝∠BFM，∠EDM＝∠MBF． 又 BM＝MD， ∴ △EDM≌△FBM ， ∴ BF＝DE＝AE，EM＝FM， ∴ MN＝ 1 FC＝ 1 (BC－BF)＝ 1 (AC－AE)＝ 1 EC． 2 2 2 2 延长 ED 到 F，连接 AF、MF，则 AF 为矩形 ACFE 对角线，所以必经过 EC 的中点 N 且 AN＝NF＝EN ＝NC． 在 Rt△BDF 中，M 是 BD 的中点，∠B＝45°， ∴ FD＝FB， ∴ FM⊥AB， ∴ MN＝NA＝NF＝NC， ∴ 点 A、C、F、M 都在以 N 为圆心的圆上， ∴ ∠MNC＝2∠DAC． 在四边形 MACF 中，∠MFC＝135°，∠FMA＝∠ACB＝90°， ∴ ∠DAC＝45°， ∴ ∠MNC＝90°，即 MN⊥EC．//%

128 第七章 平行四边形 几何辅助线 5. 如图 7.3-7①，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点 D 是 BC 的中点．作正方形 DEFG，使 点 A，C 分别在 DG 和 DE 上，连接 AE，BG． (1)试猜想线段 BG 和 AE 的数量关系是%//BG＝AE//%； (2)将正方形 DEFG 绕点 D 逆时针方向旋转 α(0°＜α≤360°)， ①判断(1)中的结论是否仍然成立，请利用图 7.3-7②证明你的结论； ②若 BC＝DE＝4，当 AE 取最大值时，求 AF 的值． F GF G %//解：(1)BG＝AE； A EB A 图 7.3-7 E (2)①成立．以下给出证明： DC 如图，连接 AD，∵ 在 Rt△BAC 中，D 为斜边 BC 中点， B ① DC ② ∴ AD＝BD，AD⊥BC， ∴ ∠ADG＋∠GDB＝90°． ∵ 四边形 EFGD 为正方形， ∴ DE＝DG，且∠GDE＝90°， ∴ ∠ADG＋∠ADE＝90°， ∴ ∠BDG＝∠ADE． 在△BDG 和△ADE 中， BD＝AD， ∠BDG＝∠ADE， GD＝ED， ∴ △BDG≌△ADE， ∴ BG＝AE． ②由①可得 BG＝AE，当 BG 取得最大值时，AE 取得最大值．如图，此时 AF＝ AE2＋EF2＝2 13 ．//%

动态数学 7.3 中点相关辅助线 129 6. 【探究】如图 7.3-8①，在△ABC 中， D 是 AB 边的中点，AE⊥BC 于点 E，BF⊥AC 于点 F，AE，BF 相 交于点 M，连接 DE，DF．则 DE，DF 的数量关系为%//DE＝DF//%． 【拓展】如图 7.3-8②，在△ABC 中，CB＝CA，点 D 是 AB 边的中点，点 M 在△ABC 的内部，且 ∠MBC＝∠MAC．过点 M 作 ME⊥BC 于点 E，MF⊥AC 于点 F，连接 DE，DF．求证：DE＝DF； 【推广】如图 7.3-8③，若将上面【拓展】中的条件“CB＝CA”变为“CB≠CA”，其他条件不变，试探 究 DE 与 DF 之间的数量关系，并证明你的结论． A A A D FD F D F M M B M %//解：【探究】DE＝DF． B EC B E C E C ① ② ③ 【拓展】如图②，连接 CD．∵ 在△ABC 中，CB＝CA，∴ ∠图C7A.B3-＝8 ∠CBA． ∵ ∠MBC＝∠MAC，∴ ∠MAB＝∠MBA． ∴ AM＝BM． ∵ 点 D 是边 AB 的中点，∴ 点 M 在 CD 上． ∴ CM 平分∠FCE．∴ ∠FCD＝∠ECD． ∵ ME⊥BC 于 E，MF⊥AC 于 F，∴ MF＝ME． 又∵ CM＝CM，∴ △CMF≌△CME．∴ CF＝CE． ∵ CD＝CD，∴ △CFD≌△CED． ∴ DE＝DF． 【推广】DE＝DF． 如图③，作 AM 的中点 G，BM 的中点 H．∵ 点 D 是边 AB 的中点，∴ DG∥BM，DG＝ 1 BM． 2 同理可得：DH∥AM，DH＝ 1 AM． 2 ∵ ME⊥BC 于 E，H 是 BM 的中点， ∴ 在 Rt△BEM 中，HE＝ 1 BM＝BH． 2 ∴ DG＝HE． 同理可得：DH＝FG． ∵ DG//BM，DH//GM， ∴ 四边形 DHMG 是平行四边形． ∴ ∠DGM＝∠DHM． ∵ ∠MGF＝2∠MAC，∠MHE＝2∠MBC， 又∵ ∠MBC＝∠MAC，∴ ∠MGF＝∠MHE． ∴ ∠DGM＋∠MGF＝∠DHM＋∠MHE． ∴ ∠DGF＝∠DHE．∴ △DHE≌△FGD． ∴ DE＝DF．//%

130 第八章 旋转 几何辅助线 第八章 旋转 一、本章概述 本章重点讲解旋转与几何证明，也就是是用旋转变换的思想解决几何证明题．运用旋转的全等变换，证 明线段与角相等或“和差倍分”关系，是近年中考压轴题的常考题型． 二、知识回顾 1.旋转及其基本性质 (1)旋转的概念：在平面内，将一个图形绕一个定点沿着某个方向(顺时针或逆时针)转动一个角度，这样 的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角． (2)旋转的基本性质：旋转前后两个图形的对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线所成 的角彼此相等． (3)理解旋转中的不变量：图形旋转的两个要素是旋转的方向和旋转的角度，在图形旋转的过程中，图形 上的每一点都按同样的方向旋转了相同的角度．图形在旋转后点的位置改变，但线段的长度不变，对应点到 旋转中心的距离不变，每对对应点与旋转中心连线所成的角都相等． 2.旋转前后两个图形的比较 (4)图形是由点组成的，图形中的主要元素有线段和角，也有一些其他可度量的元素，所以从这两个方面 加以分析． (5)旋转的特点有以下几个方面： ①旋转前后两个图形的形状和大小没有发生改变，位置发生了改变； ②对应线段相等，对应角相等； ③每对对应点与旋转中心连线所成的角都是相等的，它们都是旋转角．

动态数学 8.1 旋转与几何证明 131 8.1 旋转与几何证明 一、本节概述 在新课程标准中，图形变换是非常重要的部分，旋转变换就是图形变换的一种， C′ P 中考中大量压轴题都和旋转有关．关于旋转也有很多模型，利用这些模型能更容易解 题．本节对这些旋转模型进行了总结． BA C “等线段共端点”旋转模型：图 8.1-1 中两条红色线段相等且有公共端点 P，就 可将△PAC 绕 P 点旋转得到△PBC′． 图 8.1-1 二、典例精析 A 知识点 1：旋转与几何证明 1 P 图 8.1-2 【例 1】如图 8.1-2，设 P 是等边△ABC 内的一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5，则 B C ∠APB 是%//150//%度． 思路分析 本题为“等边三角形内有一点”的旋转模型题目，只要按照下面方法解题即可． 思维探究(扫描二维码进行动态探究) 可旋转△BPC 得到相关结论． 解：将△BPC 绕点 B 逆时针旋转 60°得到△BP′A，连接 PP′， ∴ AP′＝%//PC＝5//%，BP′＝%//BP＝4//%， ∵ ∠PBP′＝60°， ∴ △PBP′是%//等边//%三角形， ∴ PP′＝%//PB＝4//%，∠BPP′＝%//60//%°． 利用线段的数量关系，及勾股定理逆定理得到相关结论，进而求出∠APB 度数． A P 在△APP′中，AP＝3，PP′＝4，AP′＝5，∴ AP′2＝AP2＋PP′2， ∴ △APP′是%//直角//%三角形， ∴ ∠APP′＝%//90//%°， ∴ ∠APB＝∠APP′＋∠%//BPP′//%＝150°． 思考探究 BC 你还能想到其他方法吗？ 方法二：把△ABP 绕 A 点逆时针旋转 60°． 方法三：把△ABP 绕 B 点顺时针旋转 60°． 方法四：把△APC 绕 A 点顺时针旋转 60°． 方法总结 图形变换是解答几何题目的一个重要的思考方向，而旋转是重要的图形变换，从这个角度更容易入手．只 要满足图形变换的某个条件，即可反复尝试．旋转的条件其实很简单，只要满足“等线段共端点”即可旋转．

132 第八章 旋转 几何辅助线 【例 2】如图 8.1-3，△ABC 是等边三角形，P 是它外面一点 AP＝3，PC＝4，∠APC＝30°，则 BP 的长是%//5//%． B A PC 图 8.1-3 思路分析 题中只要有“共端点的等线段”就可尝试旋转．题目中△APB、△APC、△BPC 具有相同的条件， 所以旋转任何一个三角形都可以． 思维探究(扫描二维码进行动态探究) B A 方法一：以顺时针旋△APB 为例，并计算相关量． 解：将△APB 绕 A 点顺时针旋 60°，得到△AP′C，连接 PP′， ∴ P′C＝PB，AP＝AP′，∠PAP′＝60°， ∴ △APP′是等边三角形， ∴ ∠APP′＝60°，PP′＝AP． 由勾股定理求出 PB 长度． ∴ ∠P′PC＝∠P′PA＋∠APC＝90°， PC 在 Rt△CPP′中由勾股定理得： CP′＝ (P′P)2＋PC2＝5， B ∴ PB＝CP′＝5． A PC 方法二：△APB 绕 B 点逆时针旋转 60°． 方法三：△APC 绕 A 点逆时针旋转 60°． 方法四：△APC 绕 C 点顺时针旋转 60°． 方法五：△BPC 绕 C 点逆时针旋转 60°． 方法六：△BPC 绕 B 点顺时针旋转 60°． 方法总结 题目中出现“等线段共端点”就可尝试旋转．如果有等边三角形，通常旋转 60°，构造新的等边三角形 求解．

动态数学 8.1 旋转与几何证明 133 知识点 2：旋转与几何证明 2 B B′ A′ “构造线段”旋转模型 如图 8.1-4，将△ABP 绕 P 点旋转 α 得到△A′B′P，则 AA′＝2AP·sinα2． A 三种常见的构造： 若 α＝60°，则 AA′＝AP； α 若 α＝90°，则 AA′＝ 2AP； P 若 α＝120°，则 AA′＝ 3AP． 图 8.1-4 【例 3】如图 8.1-5，△ABC 的最大内角小于 120°，P 是平面内一动点，当 AP＋BP＋CP 取得最小值时，求 证：∠APB＝∠BPC＝∠APC＝120°． A P BC 图 8.1-5 思路分析 求三条线段和的最小值，可以考虑用“两点之间线段最短”．但本题中要改变图中三条线段的位置， 才可用此方法，可通过旋转改变图中线段的位置． 思维探究(扫描二维码进行动态探究) 证明：将△APC 绕点 C 顺时针旋转 60°，得到△A′P′C，连接 PP′，BA′， 利用旋转的性质得到相关结论，并找出最小值． ∴ AP＝A′P′，CP＝CP′，∠PCP′＝60°， A ∴ △PCP′是等边三角形，∴ PP′＝PC． ∵ BP＋PP′＋P′A′≥BA′，∴ AP＋BP＋CP≥BA′． 求出这三条线段之和取得最小值时各角的度数． 当点 P，P′落在线段 BA′上时，AP＋BP＋CP 取得最小值， P ∵ ∠CPP′＝60°，∴ ∠BPC＝120°， BC 同理：∠A′P′C＝120°，∴ ∠APC＝∠A′P′C＝120°， ∴ ∠APB＝120°， ∴ ∠APB＝∠BPC＝∠APC＝120°． 方法总结 本题实际上是著名的“费马点”的一种情况．本题利用旋转时，已经抛开了“等线段共端点”这一条件， 进一步拓展了旋转的应用条件．实际上旋转的目的就是改变图形的位置，构造条件，方便解题．

134 第八章 旋转 几何辅助线 【例 4】如图 8.1-6，在四边形 ABCD 中，∠BAD＝∠BCA＝∠DCA＝45°，△BCD 的周长为 m，AC＝n，求 证：m＝ 2 n． A BD C 图 8.1-6 思路分析 本题的关键是构造 2倍的线段，可以考虑把三角形旋转 90°来构造． 思维探究(扫描二维码进行动态探究) 将△ABC 绕点 A 逆时针旋转 90°或把△ADC 绕 A 点顺时针旋转 90°均可构造 2AC，考虑到旋转后要 证明的结论，仅以△ABC 为例． 证明：作 C′A⊥AC 交 CD 延长线于点 C′，作 B′A⊥BA 交 CD 延长线于点 B′． 利用条件证明三角形全等． ∵ ∠ACD＝45°，C′A⊥CA，∴ ∠C′＝∠ACD＝45°． A ∵ ∠BAB′＝∠CAC′＝90°，∴ ∠BAC＝∠B′AC′， 又∵ AC＝AC′，∴ △ABC≌△AB′C′， 利用全等三角形得到条件后，进一步证明另一对全等三角形． ∴ BC＝B′C′，AB＝AB′． BD ∵ ∠BAD＝45°，∠BAB′＝90°， C ∴ ∠BAD＝∠B′AD＝45°． ∵ AD＝AD，∴ △BAD≌△B′AD， 利用全等得到的线段关系，进行等量代换，进而得到结论． ∴ BD＝B′D． ∵ m＝BC＋BD＋CD， ∴ m＝B′C′＋B′D＋CD＝CC′． ∵ △ACC′是等腰直角三角形， ∴ CC′＝ 2AC， ∴ m＝ 2n． 方法总结 本题利用旋转 90°构造 2倍线段，使解题思路更清晰．

动态数学 8.1 旋转与几何证明 135 三、成果检测 1. 如图 8.1-7，正方形 ABCD 的边长为 6，点 O 是对角线 AC，BD 的交点，点 E 在 CD 上，且 DE＝2CE，过 点 C 作 CF⊥BE，垂足为 F，连接 OF，则 OF 的长为%// 6√5//%． 5 AD O FE B C 图 8.1-7 2. 如图 8.1-8，在四边形 ABCD 中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则 BD 的长为%// √41//%． D A C B 图 8.1-8

136 第八章 旋转 几何辅助线 3. 如图 8.1-9①，两个等腰直角三角板 ABC 和 DEF 有一条边在同一条直线 l 上，DE＝2，AB＝1．将直线 EB 绕点 E 逆时针旋转 45°，交直线 AD 于点 M．将图①中的三角板 ABC 沿直线 l 向右平移，设 C，E 两点间 的距离为 k． 解答问题： (1)①当点 C 与点 F 重合时，如图②所示，可得DAMM的值为%//1//%； ②在平移过程中，DAMM的值为%// //%(用含 k 的代数式表示)； 2 (2)将图②中的三角板 ABC 绕点 C 逆时针旋转，原题中的其他条件保持不变．当点 A 落在线段 DF 上时， 如图③所示，请补全图形，计算DAMM的值； (3)将图①中的三角板 ABC 绕点 C 逆时针旋转 α 度，0＜α≤90，原题中的其他条件保持不变．计算DAMM的 值(用含 k 的代数式表示)． %//解：(1)①1；② k ； D D D 2 M M E A A AB (2)解：连接 AE． ∵ △ABC，△DEF 均为等腰直角三角形，DE＝2，AB＝1， F (C) ∴ EF＝2，BC＝1，∠DEF＝90°E，C∠4＝B∠F5＝45°．l E F (C) B l ③ l ∴ DF＝2 2 ，AC＝ 2 ，∠EFB＝90°①． ② ∴ DF＝2AC，AD＝ 2 ． 图 8.1-9 ∴ 点 A 为 CD 的中点．∴ EA⊥DE，EA 平分∠DEF． ∴ ∠MAE＝90°，∠AEF＝45°，AE＝ 2 ． ∵ ∠BEM＝45°，∴ ∠1＋∠2＝∠3＋∠2＝45°． ∴ ∠1＝∠3．∴ △AEM∽△FEB． ∴ ABMF ＝AEEF．∴ AM＝ 2 ． 2 ∴ DM＝AD－AM＝ 2－ 2 2 ．∴ DAMM＝1． 2＝ 2 (3)过 B 作 BE 的垂线交直线 EM 于点 G，连接 AG、BG．∴ ∠EBG＝90°． ∵ ∠BEM＝45°，∴ ∠EGB＝∠BEM＝45°．∴ BE＝BG． ∵ △ABC 为等腰直角三角形，∴ BA＝BC，∠ABC＝90°． ∴ ∠1＝∠2．∴ △ABG≌△CBE． ∴ AG＝EC＝k，∠3＝∠4． ∵ ∠3＋∠6＝∠5＋∠4＝45°， ∴ ∠6＝∠5．∴ AG∥DE． ∴ △AGM∽△DEM．∴ DAMM＝ADGE＝ k ．//% 2

动态数学 8.1 旋转与几何证明 137 4. 边长为 2 的正方形 ABCD 的两顶点 A，C 分别在正方形 EFGD 的两边 DE，DG 上(如图 8.1-10①)，现将正 方形 ABCD 绕 D 点顺时针旋转，当 A 点第一次落在 DF 上时停止旋转，旋转过程中，AB 边交 DF 于点 M， BC 边交 DG 于点 N． (1)求边 DA 在旋转过程中所扫过的面积； (2)旋转过程中，当 MN 和 AC 平行时(如图 8.1-10②)，求正方形 ABCD 旋转的度数； (3)如图 8.1-10③，设△MBN 的周长为 p，在旋转正方形 ABCD 的过程中，p 值是否有变化？请证明你的 结论． E FE F E F AB AM AM B B %//(1)∵ A 点第一次落在 DF 上时停止旋转， D C GD NG D NG ∴ DA 旋转了 45°． ① ∴ DA 在旋转过程中所扫过的面积为453π6×022＝2π． C C ③ ② 图 8.1-10 (2)∵ MN∥AC， ∴ ∠BMN＝∠BAC＝45°，∠BNM＝∠BCA＝45°． ∴ ∠BMN＝∠BNM． ∴ BM＝BN． 又∵ BA＝BC，∴ AM＝CN． 又∵ DA＝DC，∠DAM＝∠DCN， ∴ △DAM≌△DCN．∴ ∠ADM＝∠CDN． ∴ ∠ADM＝ 1 (90°－45°)＝22.5°． 2 ∴ 旋转过程中，当 MN 和 AC 平行时，正方形 ABCD 旋转的度数为 45°－22.5°＝22.5°． (3)证明：延长 BA 交 DE 于 H 点，则∠ADE＝45°－∠ADM， ∠CDN＝90°－45°－∠ADM＝45°－∠ADM， ∠ADE＝∠CDN． 又∵ DA＝DC，∠DAH＝180°－90°＝90°＝∠DCN． ∴ △DAH≌△DCN． ∴ DH＝DN，AH＝CN． 又∵ ∠MDE＝∠MDN＝45°，DM＝DM， ∴ △DMH≌△DMN． ∴ MN＝MH＝AM＋AH． ∴ MN＝AM＋CN， ∴ p＝MN＋BN＋BM＝AM＋CN＋BN＋BM＝AB＋BC＝4． ∴ 在旋转正方形 ABCD 的过程中，p 值无变化．//%

138 第八章 旋转 几何辅助线 5. 如图 8.1-11①，正方形 ABCD 与正方形 AEFG 的边 AB，AE(AB＜AE)在一条直线上，正方形 AEFG 以点 A 为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为 α．在旋转过程中，两个正方形只有点 A 重合，其他顶点均不重合， 连接 BE，DG． (1)当正方形 AEFG 旋转至如图 8.1-11②所示的位置时，求证：BE＝DG； (2)当点 C 在直线 BE 上时，连接 FC，直接写出∠FCD 的度数； (3)如图 8.1-11③，如果 α＝45°，AB＝2，AE＝4 2，求点 G 到 BE 的距离． %//(1)证明：如图②，∵ 四边形 ABCD 是正方形， G ∴ AB＝AD，∠BAE＋∠EAD＝90°． G D C ∵ 四边形 AEFG 是正方形， AD G A F A F E D ③ B ∴ AE＝AG，∠EAD＋∠DAG＝90°． B C BC ∴ ∠BAE＝∠DAG． EF E ∴ △ABE≌△ADG(SAS)． ① ② 图 8.1-11 ∴ BE＝DG． (2)解：45°或 135°． (3)解：如图③，连接 GB、GE．由已知 α＝45°，可知∠BAE＝45°． 又∵ GE 为正方形 AEFG 的对角线， ∴ ∠AEG＝45°． ∴ AB∥GE． ∵ AE＝4 2 ， ∴ GE＝8，S△EFG＝S△AEG＝ 1 S 正方形 AEFG＝16． 2 过点 B 作 BH⊥AE 于点 H． ∵ AB＝2， ∴ BH＝AH＝ 2 ． ∴ HE＝3 2 ． ∴ BE＝2 5 ． 设点 G 到 BE 的距离为 h． ∴ 1 BE h＝ 1 ×2 5 ×h＝16． S△EFG＝ 2 2 16 5 ． ∴ h＝ 5 16 5 ．//% 即点 G 到 BE 的距离为 5

动态数学 8.1 旋转与几何证明 139 6. 如图 8.1-12，E 是线段 AC 上一点，AE＝AB，过点 E 作直线 EF，在 EF 上取一点 D，使得∠EDB＝∠EAB， 连结 AD． (1)若直线 EF 与线段 AB 相交于点 P，当∠EAB＝60°时，如图①，求证：ED＝AD＋BD； (2)若直线 EF 与线段 AB 相交于点 P，当∠EAB＝α(0°＜α＜90°)时，如图②，请直接写出线段 ED，AD，BD 之间的数量关系(用含 α 的式子表示)； (3)若直线 EF 与线段 AB 不相交，当∠EAB＝90°时，如图③，请你补全图形，写出线段 ED，AD，BD 之 间的数量关系，并证明你的结论． A EC A E C A EC F DP D P F F B B ③ B ② 图 8.1-12 %//(1)证明：作∠DAH＝∠EAB 交 DE 于点①H． ∴ ∠DAB＝∠HAE． ∵ ∠EAB＝∠EDB，∠APE＝∠BPD， ∴ ∠ABD＝∠AEH． ∵ 又 AB＝AE， ∴ △ABD≌△AEH． ∴ BD＝EH，AD＝AH． ∵ ∠DAH＝∠EAB＝60°， ∴ △ADH 是等边三角形． ∴ AD＝HD． ∵ ED＝HD＋EH． ∴ ED＝AD＋BD． (2)ED＝2ADsinα2＋BD ． (3)ED＝BD－ 2 AD ． 作∠DAH＝∠EAB 交 DE 于点 H． ∴ ∠DAB＝∠HAE． ∵ ∠EDB＝∠EAB＝90°， ∴ ∠ABD＋∠1＝∠AEH＋∠2＝90°． ∵ ∠1＝∠2， ∴ ∠ABD＝∠AEH． ∵ 又 AB＝AE， ∴ △ABD≌△AEH． ∴ BD＝EH，AD＝AH． ∵ ∠DAH＝∠EAB＝90°， ∴ △ADH 是等腰直角三角形． ∴ 2 AD＝HD． ∵ ED＝EH－HD，∴ ED＝BD－ 2 AD．//%

140 第八章 旋转 几何辅助线 7. 如图 8.1-13①，四边形 ABCD，将顶点为 A 的角绕着顶点 A 顺时针旋转，若角的一条边与 DC 的延长线交 于点 F，角的另一条边与 CB 的延长线交于点 E，连接 EF． (1)若四边形 ABCD 为正方形，当∠EAF＝45°时，有 EF＝DF－BE．请你思考如何证明这个结论(只思考， 不必写出证明过程)； (2)如图 8.1-13②，如果在四边形 ABCD 中，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，当∠EAF＝21∠BAD 时， EF 与 DF，BE 之间有怎样的数量关系？请写出它们之间的关系式(只需写出结论)； (3)如图 8.1-13③，如果在四边形 ABCD 中，AB＝AD，∠ABC 与∠ADC 互补，当∠EAF＝21∠BAD 时，EF 与 DF，BE 之间有怎样的数量关系？请写出它们之间的关系式并给予证明． (4)在(3)中，若 BC＝4，DC＝7，CF＝2，求△CEF 的周长(直接写出结果即可)． A AA E DE E D B B D %//解：(2)EF＝DF－BE． (3)EF＝DF－BE． C C B F F C ① ② F 图 8.1-13 ③ 证明：在 DF 上截取 DM＝BE，连接 AM．如图，∵ ∠D＋∠ABC＝∠ABE＋∠ABC＝180°， ∴ ∠D＝∠ABE． ∵ AD＝AB， ∴ △ADM≌△ABE． ∴ AM＝AE． ∴ ∠DAM＝∠BAE． ∵ ∠EAF＝∠BAE＋∠BAF＝ 1 ∠BAD， 2 ∴ ∠DAM＋∠BAF＝ 1 ∠BAD． 2 ∴ ∠MAF＝ 1 ∠BAD． 2 ∴ ∠EAF＝∠MAF． ∵ AF 是△EAF 与△MAF 的公共边， ∴ △EAF≌△MAF． ∴ EF＝MF． ∵ MF＝DF－DM＝DF－BE， ∴ EF＝DF－BE． (4)△CEF 的周长为 15．//%

动态数学 8.1 旋转与几何证明 141 8. 如图 8.1-14 中①、②是两个相似比为 1∶ 2的等腰直角△DMN 和△ABC，将这两个三角形如图③放置， △DMN 的斜边 MN 与△ABC 的一直角边 AC 重合． (1)在图③中，绕点 D 旋转△DMN，使两直角边 DM，DN 分别与 AC，BC 交于点 E，F，如图④．求证： AE2＋BF2＝EF2； (2)在图③中，绕点 C 旋转△DMN，使它的斜边 CM，直角边 CD 的延长线分别与 AB 交于点 E，F，如图⑤， 此时结论 AE2＋BF2＝EF2 是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． (3)如图⑥，在正方形 ABCD 中，E，F 分别是边 BC，CD 上的点且满足△CEF 的周长等于正方形 ABCD 的周长的一半，AE，AF 分别与对角线 BD 交于点 M，N．线段 BM，MN，DN 恰能构成三角形．请指出线 段 BM，MN，DN 所构成的三角形的形状，并给出证明． A D N F NC C(N) CN C (N) C %//(1)证明：如图④，延长 ED 至 E′，使 ED＝DME′，连结 E′B．F ∵ D 是 AB 中点，∴ AD＝BDM， ∵ ∠EDA＝∠BDE′，∴ △AED≌△BE′D．∠A＝∠EABE′． M DA B A (M) D BA D E D BE BA M⑤ FB ⑥ 连接①E′F， 在 Rt△B②E′F 中， ③④ 图 8.1-14 ∵ E′B2＋BF2＝E′F2 ，又∵ FD⊥EE′，ED＝DE′， ∴ AE2＋BF2＝EF2，∴ AE＝BE′． ∵ ∠FBE′＝∠ABC＋∠ABE′＝∠ABC＋∠A＝90°，∴ EF＝FE′，∴ AE2＋BF2＝EF2． (2)如图⑤，∵ AC＝BC，∴ AE＝BE′，CE＝CE′，∠CBE′＝∠CAB． 连接 E′F．∵ △CDM 是等腰直角三角形，∴ ∠FCE′＝∠MCE′－∠MCF＝45°，∴ ∠MCF＝∠FCE′． ∵ CE＝CE′ ，CF＝CF，∴ △CEF≌△CE′F． 在 Rt△BE′F 中，E′B2＋BF2＝E′F2， ∴ AE2＋BF2＝EF2，∴ 将△AEC 绕点 C 逆时针旋转 90°，得△BE′C． ∵ ∠FBE′＝∠ABC＋∠CBE′＝∠ABC＋∠CAB＝90°， ∴ 在 Rt△BE′F 中有 E′B2＋BF2＝E′F2，∴ ∠MCF＝45°． ∵ ∠MCE′＝90°，∴ EF＝FE′，∴ AE2＋BF2＝EF2． (3)线段 BM、MN、DN 能构成直角三角形． 延长 EB 至 G 点，使 BG＝DF．∵ ABCD 是正方形，∴ ∠ADF＝∠ABE＝∠ABG＝90°，AD＝AB，∴ △ ADF≌△ABG，∴ AG＝AF． ∵ △CEF 的周长等于正方形 ABCD 周长的一半， ∴ EF＝FD＋BE，EF＝GB＋BE．∵ AE＝AE，∴ △AEG≌△AEF． ∵ ∠GAF＝∠GAB＋∠BAF＝∠DAF＋∠BAF＝90°， 由(2)的结论可知：在等腰直角△ADB 中， ∵ ∠MAN＝∠EAF＝45°，∴ MN2＝BM2＋DN2， 线段 BM、MN、DN 可构成直角三角形， ∴ CE＋EF＋CF＝CD＋CB＝CF＋FD＋CE＋BE，EF＝EG， ∴ ∠EAF＝∠EAG，∴ ∠EAF＝∠EAG＝45°．//%

142 第九章 圆 几何辅助线 第九章 圆 一、本章概述 圆是初中几何唯一的曲线形状，它是中考的重点，本章主要介绍了圆中常见的作辅助线的方法和中考常 考的题型．圆的基本性质，圆与直线的位置关系中与切线相关的几何计算，以及不规则图形面积的求法，都 是平时考试及中考的重难点． 二、知识回顾 1.圆 (1)圆：在一个平面内，线段 OA 绕它的一个固定端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆．固 定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径． (2)弦：连接圆上任意两点的线段．直径是经过圆心的弦． (3)弧(圆弧)：圆上任意两点间的部分．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做 半圆．能够重合的两个圆叫做等圆，同圆或等圆的半径相等．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧． (4)垂直于弦的直径 ①圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴． ②垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． ③推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． (5)弧、弦、圆心角 ①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． ②在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等． ③在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的劣弧相等，优弧也相等． (6)圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． ①圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． ②推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． ③在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等． ④如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆就做这个多边形 的外接圆． ⑤圆内接四边形的对角互补． 2.点、直线、圆和圆的位置关系 (7)点和圆的位置关系 ①点 P 在圆外⇔d＞r；点 P 在圆上⇔d＝r；点 P 在圆内⇔d＜r．其中 d 为点 P 到圆心的距离，r 为半径． ②不在同一条直线上的三个点确定一个圆． ③经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆就叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边 的垂直平分线的交点，也叫做这个三角形的外心． (8)直线和圆的位置关系 ①直线 l 和⊙O 相交⇔d＜r；直线 l 和⊙O 相切⇔d＝r；直线 l 和⊙O 相离⇔d＞r．其中 d 为圆心到直线

动态数学 9.1 圆的基本性质的应用 143 l 的距离，r 为半径． ②切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． ③切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径． ④经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． ⑤切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切 线的夹角． ⑥与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三 角形的内心． (9)圆与圆的位置关系 ①相离：外离，内含 ②相切：内切，外切 ③相交 3.正多边形和圆 (10)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多 边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 4.弧长和扇形面积 (11)n°的圆心角所对的弧长：l＝n1π8R0． (12)扇形面积：S＝n3π6R02＝12lR．

144 第九章 圆 几何辅助线 9.1 圆的基本性质的应用 一、本节概述 本节重点讲解垂径定理、圆周角定理等圆的基本性质在解题中的应用，以及与之相关的基本辅助线的构造． 二、典例精析 A 知识点：圆的基本性质的应用 【例 1】如图 9.1-1，在⊙O 中，BC＝6，∠BAC＝45°． (1)求⊙O 的半径； (2)如果弦 AE⊥BC 于点 D，且 AD＝7，求 DE 的长． O BD C E 图 9.1-1 思路分析 第(1)问：需要将圆周角∠BAC 的角度运用到线段长度的计算中．在圆中，很容易通过直径和半径 构建等腰、等边、直角等特殊三角形，这些三角形可用来实现角度到边长的数量转化． 第(2)问：图中有两条垂直的弦，可以考虑作两弦的垂线(所成垂直线段即为垂径)，然后利用垂径定 理推导(过圆心的弦的垂线垂直平分弦)． 思维探究(扫描二维码进行动态探究) (1)方法一： 求半径，需连半径．容易想到用圆心角和圆周角的关系扩展已知条件，同时两半径构成等腰三角形． 解：连接 OB，OC， A 则∠BOC＝2∠BAC＝%//90//% °． ∵ OB＝OC． O ∴ △BOC 是%//等腰直角//% 三角形． BC △BOC 作为一个等腰直角三角形，我们知道直角边与斜边的比例是 22． 在等腰 Rt△BOC 中，OB＝sin45°×BC＝ 22×BC＝%// √22×6＝3√2 //%．

动态数学 9.1 圆的基本性质的应用 145 方法二： A 我们还可以通过连接直径，构造直角三角形． O 解：连接 BO 并延长，交圆于点 F，连接 CF． BC ∵ ∠A＝45°， ∴ ∠F＝%//45//% °， ∵ BF 是圆 O 直径， ∴ ∠BCF＝%//90//% °， 在 Rt△BCF 中， BF＝sBinCF＝sin645°＝%//6√2 //% ， ∴ BO＝21BF＝%//3√2 //% ， ∴ 圆 O 半径为%//3√2 //% ． (2)首先作 BC 的垂线，利用上问的类似推导，可计算 Rt△BOC 斜边的中线 OM 的长度． 解：作 OM⊥BC 于点 M， ° A C ∴ BM＝CM， ， ∵ ∠BOC＝90°， O ∴ ∠OBM＝%//45//% BD ∴ OM＝BD＝%// 1BC＝3//% E 2 然后作 AE 的垂线，利用长方形传递 OM 的值到 AE 上，然后计算 DE 的长度． 作 ON⊥AE 于点 N，则 AN＝%//NE//% ， ∵ AE⊥BC，OM⊥BC， ∴ 四边形 ONDM 是%//矩形//% ， ∴ DN＝OM＝%//3//% ， ∴ AN＝AD－DN＝%//7－3＝4//% ， ∴ NE＝%//AN＝4//% ， ∴ DE＝NE－DN＝%//4－3＝1//% ． 方法总结 第(1)问：上述两种方法是常见的对圆周角进行转化的方法． 方法一是将已知圆周角转化为圆心角，圆心作为等腰三角形的顶点； 方法二是将已知的圆周角转化到以直径为一边的圆周角，从而得到一个包含已知角的直角三角形． 第(2)问：针对垂直弦的问题，常见的一种作辅助线的方法就是作它们的垂线，然后利用垂径定理和所成 矩形进行推导．