情景学习，六维想象，逻辑思维，教育强国

名师名题

情境为基 探究为径 思维为魂 立体化学习体系

学考闭环：课时学·章末练·大单元·微专题·综合测

主编陈纪兰

山东

情景学习，六维想象，逻辑思维，教育强国

名师名题

情境为基 探究为径 思维为魂 立体化学习体系

考闭环：课时学·章末练·大单元·微专题·综合测

主编 陈纪兰

图书在版编目(CIP)数据

名师名题．数学九年级．上册：RJ／陈纪兰主编．--海口：海南出版社，2021.4(2025.4重印).ISBN 978-7-5443-9875-6

I. ① 名.…Ⅱ. ① 陈·….Ⅲ. ① 中学数学课一初中－习 题集IV. ① G634

中国版本图书馆CIP数据核字（2021)第062880号

主编 陈纪兰
责任编辑 张家顺
封面设计 于杰
出版发行 海南出版社
地址 海口市金盘开发区建设三横路2号
邮编 570216
网 址 http://www.hncbs.cn
电 话 010—84254239（北京）0898—66830929（海口）
开 本 880\mm{x}1\ 230\mm 1/16
印 张 11
字 数 575千字
版 次 2021年4月第1版
印 次 2025年4月第5次印刷
印 刷 三河市腾飞印务有限公司
经 销 全国各地新华书店
书 号 ISBN 978-7-5443-9875-6
定 价 56.80元

（本书如有印装质量问题，影响阅读，请直接与承印厂联系调换）

前言

在新时代建设教育强国战略的指引下，“立德树人"成为当下教育的核心，与之配套的目标教学理论、“目标导向和反馈矫正"的教学体系日趋成熟。学生学习的循序渐进的认知过程，由“思维"所主导的本质已被教学过程所体现。结合当前人工智能的蓬勃兴起与应用，名师名题系列丛书经历了从知识传授向核心素养培养的深刻变革。

丛书以国家教育发展新要求一坚持育人为本、德育为先，实施素质教育，提高教育现代化水平为纲领，以培养学生创新思维与实践能力为主旨，构建“情景为基、探究为径、思维为魂"的立体化学习体系，为新时代人才培养提供解决方案。丛书遵循教育教学规律，呈现“三维一体"教学理念。

一、情景化预习：情景化知识建构体系

突破传统习题的平面化设计范式，将 80% 的习题融人真实生活场景与科技前沿情景；将体现学生学习兴趣的探究性内容融入到核心模块；引导学生提前熟悉课程内容，理清思路，带着问题去学习，往往能更加聚焦重难点，增强听课针对性,提高听课效果;提前对新知识有所了解，便于学生提前做出计划和安排，提高学习主动性，培养自主学习能力，增强自信心。

二、探索式课堂：探究性学习进阶路径

独创“启航一探秘一突破"三级梯度设计：基础层注重概念迁移（知识应用正确率达 90% ，提高层侧重跨学科整合（倡导STEM教育模式,打破学科界限,培养综合型人才),拓展层聚焦复杂问题解决(引人人工智能测评理念）。

三、创新型训练：创新性思维培育机制

创新性构建“巧思乐园”概念，引入“思维跃迁"理念，配置学科知识应用竞赛的变式题，使学生的思维在潜移默化中升格；章末模拟“智慧创客坊”，设计1个跨学科创新项目，培养和强化学生解决跨学科问题的能力，以适应当前考试命题形式。

微专题设置“金头脑挑战题”，培养思维竞赛的能力，参照“四维评价系统”，实现学一练一考闭环：基础达标度( 30% )、思维灵活度 (30% )、实践创新度 (25% )、持续发展度（ 15% ），配套考试云APP动态成长档案，追踪学习轨迹。

丛书结构为“一书一卷"式，方便学生学、练、测。答案给出了“关键点拨”，计算类试题给出了“解题范式”。为学生“会做题，做对题”保驾护航。

本丛书历经多次修订，在全国多个课改实验区开展教学研究，我们期待通过这套与时俱进的助学读物，让教育回归思维生长的本质，为培育具备全球竞争力的新时代人才筑基赋能。

第1部分 课时学习

第一章特殊平行四边形

1菱形的性质与判定

第 1 课时 菱形的性质··
第2课时 菱形的判定·
第3课时 菱形的综合应用· 6

2 矩形的性质与判定

第1课时 矩形的性质· 9
第2课时 矩形的判定 12
第3课时 矩形的综合应用 15

3正方形的性质与判定· 18

第 1 课时 正方形的性质 18
第2课时 正方形的判定 21
章末整合 23

第二章一元二次方程

1认识一元二次方程· 26
2用配方法求解一元二次方程 29
第 1 课时二次项系数为 1 的一元二次方程
29
第2课时二次项系数不为 1 的一元二次方程
31
3用公式法求解一元二次方程·· 33
第 1 课时公式法求解一元二次方程 33
第2课时方案设计问题 35
4用因式分解法求解一元二次方程·…· 37
\*5一元二次方程的根与系数的关系· 39
6应用一元二次方程 41
第1课时一元二次方程的几何应用 41
第2课时一元二次方程的实际应用 44
名师微专题一实际问题与一元二次方程 47
章末整合 48

第三章概率的进一步认识

1用树状图或表格求概率 51
第 1 课时用树状图法求概率 51
第2课时用列表法求概率 ， 53
2用频率估计概率 56
名师微专题二概率 59
章末整合 60

第四章图形的相似

1 成比例线段 63
2 平行线分线段成比例· 65
3 相似多边形·. 68
4探索三角形相似的条件 71
第 1 课时相似三角形的判定定理(一) 71
第2课时相似三角形的判定定理(二) ...74
第3课时黄金分割 77
\*5相似三角形判定定理的证明 79
6 利用相似三角形测高··· 82
7 相似三角形的性质 85
8图形的位似 88
第1课时 位似图形的概念与作图 88
第2课时 位似图形的坐标变换 91
章末整合 94

第五章投影与视图

1投影·. 97
第 1 课时 中心投影 97
第2课时 平行投影 99
2视图 102
第 ^{1} 课时 三视图· 102
第2课时 由三视图到立体图形·· 105
名师微专题三视图与几何体的相互关系 107
章末整合 108

第六章反比例函数

L 反比例函数 110
2反比例函数的图象与性质 112
第 1 课时反比例函数的图象 112
第2课时反比例函数的性质 115
3反比例函数的应用 118
名师微专题四反比例函数系数 k 的几何意义
121
章末整合 122

第②部分 综合试卷 (单独成册)

第一章综合试卷 第四章综合试卷 17
第二章综合试卷 第五章综合试卷 21
第三章综合试卷 第六章综合试卷 25
期中综合试卷 期末综合试卷 29

附赠参考答案

第一章 特殊平行四边形

1菱形的性质与判定

第1课时 菱形的性质

主干知识

No.2 探索式课堂

知识点菱形的性质

【例】如图,已知菱形ABCD的周长为 16~cm ， \angle A B C=120° ，求对角线BD和 A C 的长.

基础小题

1.菱形不一定具有的性质的是 (

A.对角线相等 B.邻边相等 C.对边相等 D.对角相等

2.菱形的一边长为 2\cm ，则这个菱形的周长为 cm.

点拨

菱形具有四条边相等，对角线互相垂直平分并平分一组对角等性质.知道了周长可求得边长，根据 \angle A B C=120° 可得到等边三角形，进而可求得对角线的长.

关妙法

与菱形有关的计算题，主要涉及计算周长、边长、角度等，解决问题需要将菱形的性质与直角三角形或等边三角形相结合.

对应练

1.如图,在菱形ABCD中,若\angle C=100° ，则 \angle A B D 的度数是 ( ）

A. {10}° B. {40}° C.50° D. {80}°

2.若菱形的周长为 20\cm ，一条对角线长为8\cm ，则另一条对角线长为 C ）

A. 6~cm B.5 cm C. 4\cm D. 3\cm

3.菱形的边长为17，一条对角线长为16，则其面积为

4.如图，点 E,F 分别在菱形ABCD的边 B C ，C D 上，且 \angle B A E{=}\angle D A F. 求证： \scriptstyle A E=A F

基础达标题

1.如图，在菱形ABCD中,对角线 A C,B D 交于点O，下列说法错误的是 ( ）

A. A B//D C B. A C{=}B D
C .A C\bot B D D. O A{=}O C

第1题图

第2题图

2.如图，在菱形ABCD中， A C=8,B D=6 ，则菱形的面积为 ( ）

A.20 B. 40 C.28 D.24

3.如图，下列直线是该菱形的对称轴的是( ）

5.如图，在菱形 A B C D 中， \angle A=60° ， A B{=}4 ，O 为对角线 B D 的中点，过 O 点作 O E\bot A B ，垂足为 E

(1)求 \angle A B D 的度数；
(2)求线段 B E 的长.

A. l_{1} B. l_{2} 和 l_{4} C. l_{1} 和 l_{3} D.全部都是

4.菱形的周长为4，一个内角为 {60}° ,则较短的对角线长为 （ ）

A. 2 \begin{array}{c}{B.√(3)}\\ {D.\displaystyle(1)/(2)}\end{array}
C.1

5.菱形的一个内角是 {120}° ，一条较短的对角线的长为10,则菱形的周长是

思维灵活题

6.如图，在菱形ABCD中，点 \scriptstyle{E,F} 分别是边 A D 民B D 的中点.若 E F{=}2 ，则 B C 的长为

第6题图

第7题图

7.如图，已知菱形 A B C D 的一个内角 \angle B A D= {80}° ，对角线 A C,B D 相交于点 O ，点 \boldsymbol{\mathbf{\mathit{E}}} 在_{A B} 上，且 B E{=}B O 则 \angle B E O= 度.

8.(创新题)如图， P 为菱形ABCD的对角线上 一点， P E\bot A B 于点 E,P F\bot A D 于点 F ， P F{=}3~cm ，则 P 点到 A B 的距离是 cm.

9.如图，在菱形ABCD中， A E\bot B C 于点 E ，且 B E{=}C E,A D{=}4\ {cm}.

(1)求 B D 的长；
(2)求菱形 A B C D 的面积.

10.如图，已知点 E,F 分别是口ABCD的边B C,A D 上的点，且 B E{=}D F

(1)求证：四边形AECF是平行四边形；

(2)若 B C=10 ， \angle B A C=90° ，且四边形 AECF是菱形，求 B E 的长.

素养提升题

11.【核心素养推理能力】已知：如图，四边形A B C D 是菱形， E 是 B D 延长线上一点， F 是 D B 延长线上一点，且 D E{=}B F. 请你以F 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一组线段相等即可).

(1)连接 ；
(2)猜想： \c= ；
(3)证明你的猜想.

第 2课时 菱形的判定

主干知识

基础小题

在下列条件中，能够判定四边形是菱形的是( ）

A.两条对角线相等B.两条对角线互相垂直平分C.两条对角线互相垂直D.两条对角线相等且互相垂直知识点菱形的判定

【例】如图，已知平行四边形ABCD 的对角线 A C 的垂直平分线与边 A D ,BC分别相交于点 \scriptstyle{E,F}

求证：四边形AFCE是菱形.

点拨

本题利用垂直平分线的基本性质和全等三角形的判定与性质得到四边形AFCE是平行四边形，进而可证明四边形AFCE是菱形.

关妙法

判定菱形，若先判定为平行四边形，则可以根据题意选择两个条件： ① 一组邻边相等；② 对角线互相垂直.

对应练

1.如图，点 E,F,G,H 分别是任意四边形ABCD中 A D,B D,B C,C A 的中点，

当四边形ABCD的边满 足条件 时，四边 形EFGH是菱形.

2.如图，在四边形ABCD中， A B=A D,C B= C D,E 是 C D 上一点， B E 交 A C 于点 F ，连接DF.

(1)求证： \angle B A C=\angle D A C;

(2)若 A B//C D ，试证明四边形ABCD是 菱形.

基础达标题

1.在四边形 A B C D 中 .A D=B C,A B=C D. 下列说法能使四边形 A B C D 为菱形的是( ）

A. A C{=}B D B. \angle C=\angle D
C. \scriptstyle\angle A=\angle B\quad\quad\quadD.~A C\bot B D

2.如图,四边形ABCD的对角线互相垂直，且O B{=}O D ,请你添加一个适当的条件：，使四边形ABCD成为菱形.(只需添加一个即可)

思维灵活题

3.（创新题）下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是 ( ）

4.如图， C D 与 B E 互相垂直平分， A D\perp D B \angle B D E=70° ，则 \angle C A D=

5.如图，四边形ABCD为平行四边形， E F// B D ，分别交 B C,C D 于点 P,Q, 交 A B,A D 的延长线于点 E,F ，且 B E{=}B P ，求证：

(1)\angle E=\angle F; (2)四边形ABCD是菱形.

素养提升题

6.【核心素养推理能力】如图，在 \triangle A B C 和\triangle D C B 中， A B=D C,A C=D B,A C 与 D B 交于点 M ：

(1)求证： \triangle A B C{\cong}\triangle D C B

(2)过点 c 作 C N//B D ，过点 B 作 B N//A C ，CN与BN交于点 N ,试判断线段BN与C N 的数量关系，并证明你的结论.

第3课时 菱形的综合应用

1.下列说法中，错误的是 （

A.平行四边形的对角线互相平分B.对角线互相平分的四边形是平行四边形

知识点1菱形的面积

【例1】如图,已知菱形ABCD的周长是52\cm ，一条对角线 A C 的长是 24~cm ，求它的面积.

已知菱形的周长以及一条对角线的长，根据菱形的性质以及勾股定理可求得另一条对角线的长度，然后易求得菱形的面积.

C.菱形的对角线互相垂直D.对角线互相垂直的四边形是菱形

关妙法

点拨

2.菱形的面积等于 ，还等于

2.已知菱形的周长是 20~cm ，一条对角线长是8\cm ,则菱形的面积是 cm^{2} ，

3.如图，四边形 A B C D 是菱形，且对角线 A C= 10,B D{=}24 ，求菱形的边长和高 \vert A E\vert 的长.

熟练掌握菱形的性质和菱形的面积：菱形的面积等于对角线乘积的一半，同时要熟练应用勾股定理.

对应练

1.如图，在 \triangle A B C 中， A D 是角平分线， D E//A C 交 _{A B} 于点 E D F//A B 交 A C 于点 F. 若A E{=}4~cm ,那么四边形AEDF的周长为

( ）

A. 12\cm B. 16~cm C. 20\cm D. 22\cm 知识点2菱形的判定与性质的应用

【例2】如图，在一张长 12\cm 、宽 5\cm 的矩形纸片内，要折出一个菱形.李颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH（见方案一)，张丰同学按照沿矩形的 A C 折出\scriptstyle\angle C A E=\angle D A C,\angle A C F=\angle A C B 的方法得到菱形AECF（见方案二），请你通过计算，比较李颖同学和张丰同学的折法中，哪种菱形面

积较大.

对应练

4.如图，两条笔直的公路 l_{1},l_{2} 相交于点 o ，村庄 C 的村民在公路的旁边建三个加工厂 A ，B,D. 已知 A B{=}B C{=}C D{=}D A{=}5 千米，村庄 C 到公路 l_{1} 的距离为4千米，则村庄 C 到公路 l_{2} 的距离是 ( ）

A.3千米 B.4千米 C.5千米 D.6千米

5.为美化校园，学校在周长为 12~m~ ，夹角为{60}° 的菱形花坛里栽十株花.试证明：不论如何安排，至少有两株花的距离小于 √(3)~m~

点拨

方案一采用矩形的面积减去四个三角形的思路，方案二设未知数，从直角三角形的角度列方程，再用矩形的面积减去两个三角形的面积.

关妙法

菱形是一个美丽的图形，在菱形中，计算问题时，首先要理解并掌握菱形的性质以及在菱形中的一些特殊线段、角的关系.

^{5,P} 是对角线 A C 上任一点（点 P 不与点 ^{A,C} 重合)，且 P E//B C 交 A B 于点 E ，P F//C D 交 A D 于点 F ,则阴影部分的面积是

5.如图，在 Rt\triangle A B C 中， \angle A C B=90° ” \angle B A C= 60°,D E 垂直平分 B C ，垂足为 D ，交 _{A B} 于点 E_{\ast} 点 F 在 D E 的延长线上，且 A F{=}C E. 求证：四边形ACEF是菱形.

6.如图， A D//F E 点 ^{13,C} 在 A D 上， \angle1=\angle2 ，B F{=}B C.

(1)求证：四边形BCEF是菱形；

(2)若 A B{=}B C{=}C D ，求证：△ACF△BDE.

素养提升题

7.【核心素养推理能力】如图，四边形ABCD是菱形， B E\bot A D,B F\bot C D. ，垂足分别为\scriptstyle{E,F}

(1)求证： B E{=}B F
(2)当菱形 A B C D 的对角线 A C=8,B D=6 时，求 B E 的长.

2矩形的性质与判定

第1课时 矩形的性质

主干知识

基础小题

1.如图，在矩形ABCD中，已知 A E\bot B D 于点 \boldsymbol{\mathbf{\mathit{E}}} ，\angle B D C=60° B E=1 ，则A D 的长为

( >

2.在 Rt\triangle A B C 中， \angle A=90° A B{=}6,A C{=}8 点 D 为斜边 B C 中点，则 A D 的长为（ ）

A. 4 B. 5 C.6 D.3

知识点2直角三角形斜边上的中线的性质

【例2】如图， \triangle A B C 和 \triangle A B D 都是直角三角形， O 是 \scriptstyle A B 的中点.求证： \scriptstyle{α c={O D}}.

点拨

两个直角三角形共有一条斜边，因为 O 是A B 的中点，所以可以利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半来解答.

关妙法

清楚直角三角形斜边上的中线是斜边的一半是解答问题的关键所在，同时要注意直角边的中点不具有此性质，防止出错.

对应练

2.如图，已知 \triangle A B C 是直角三角形， \angle A C B= 90°,D 是线段 A B 的中点，并且 C D=6 ，那么 A B=

3.如图，在 Rt\triangle A B C 中， \angle A C B=90° ， \angle A= {30}° ， A B=8,C D 是斜边 _{A B} 上的高， C E 是中线，求 D E 的长.

No.3 创新型训练

基础达标题

1.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点0， \angle A O B=60° ， A B=2 ,则矩形的对角线 A C 的长是 ( ）

A.2 B. 4C. 2{√(3)} D. \phantom{-}4√(3)

第1题图

第2题图

2.如图，在矩形ABCD中， E,F,G,H 分别为边 A B,B C,C D,D A 的中点.若 A B=2 ，A D{=}4 ,则图中阴影部分的面积为（ ）

A.8 B.6
C. 4 D.3

思维灵活题

3.矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成
3和5两部分，则该矩形的周长是（ ）
A. 16 B.22
C. 26 D.22或26

4.（创新题)如图，矩形ABCD的对角线 A C= 10,B C=8 ，则图中五个小矩形的周长之和 为

5.如图，在 \triangle A B C 中， A C 的垂直平分线分别交 A C,A B 于点 D,F,B E\bot D F 交 D F 的延长线于点 E .已知 \angle A=30°,B C=2,A F=

B{\cal F} ,则四边形BCDE的面积是

6.如图是矩形 A B C D,A B{=}2,B C{=}4 ，求这个矩形 A B C D 的周长和对角线 B D 的长.

8.如图，在矩形ABCD中， E 是 B C 上一点，D F\bot A E 于点 F,A E{=}B C 求证： C E{=}E F

7.如图，四边形ABCD是矩形， O 是它的中心， \scriptstyle{E,F} 是对角线 A C 上的点.

(1)如果 ，则 \triangle D E C{\cong}\triangle B F A （请你填上能使结论成立的一个条件)；

(2)证明你的结论.

素养提升题

9.【核心素养推理能力】如图，在矩形ABCD中， E 是 A D 上的一点， F 是 A B 上的一点，E F\bot E C ，且 E F=E C ， D E=4~{cm} ，矩形A B C D 的周长为 32\cm ，求 A E 的长.

第 2课时 矩形的判定

主干知识

基础小题

如图，四边形ABCD为平行四边形,请你添加一个合适的条件：,使其成为矩形.（只需添加一个即可

No.2 探索式课堂

知识点矩形的判定

关妙法

【例1】如图，在四边形 A B C D 中，点 H 是 B C 的中点，作射线 A H ，在线段 A H 及其延长线上分别取点 \scriptstyle{E,F} ，连接 B E,C F .

(1)请你添加一个条件，使得 \triangle B E H\cong \triangle C F H ，你添加的条件是 ,并证明；

(2)在问题(1)中，当 B H 与 E H 满足什么关系时，四边形BFCE是矩形，请说明理由.

要判定一个四边形是矩形，要从矩形本身性质去入手，即从角和对角线两个方面去考虑.

对应练

1.下列说法正确的是 (

A.有一组对角是直角的四边形一定是矩形B.有一组邻角是直角的四边形一定是矩形C.对角线互相平分的四边形是矩形D.对角互补的平行四边形是矩形

2.如图，要使口ABCD成为矩形，需添加的条件是 ( ）

A. A B{=}B C B.AC⊥BD C. \angle A B C=90° D. \angle1=\angle2

3.用一把刻度尺来判定一个零件是矩形的方法是

4.如图， A D//B C 且 A D{=}B C ，则四边形ABCD 是 ，对角线 A C,B D 交于点 O 若 \angle1=\angle2 ,则四边形ABCD是

点拨

由SAS证 \triangle B E H\cong\triangle C F H ；先证四边形BFCE是平行四边形，再证它是矩形.

【例2】如图，已知 A B= A C ， A D{=}A E ， D E=B C ，且\angle1=\angle2.

求证：四边形BCED是矩形.

点拨

本题给出的是一个四边形，所以要用最基本的判定方法去证明，可以直接证明四个角都是直角，也可以先证明这个四边形是平行四边形，然后再证明一个角是直角，从而证明出最后结论.

关妙法

判定四边形是矩形，要根据条件灵活运用判定方法，如果已知一个角是直角，就先证明另外两个角也是直角，如果易证明对角线相等或一个角是直角，就先证明四边形是平行四边形.

对应练

5.已知，在四边形 A B C D 中， \angle A=\angle C=90° ，A B//C D ,求证：四边形 A B C D 是矩形.

6.如图，矩形 A B C D 的对角线 A C,B D 相交于点 O ，点 E,F,G,H 分别在 O A,O B,O C,O D 上，且 A E=B F=C G=D H. 求证：四边形EFGH是矩形.

ABCD是矩形，则所添加的条件是.(写出一种情况即可)

5.如图，菱形ABCD的对角线相交于点 o ， C E//B D,B E//A C. 求证：四边形OBEC是 矩形.

6.（创新题）如图，在口ABCD中， E,F 分别是A B,C D 的中点，连接 A F,C E

(1)求证： \triangle B E C{\cong}\triangle D F A (2)连接 A C ，若 C A{=}C B ,判断四边形 A E C F 是什么特殊四边形？并证明你的结论.

素养提升题

7.【核心素养推理能力】如图，将口ABCD的边 D C 延长到点 E ，使 C E{=}D C ，连接 A E 交 B C 于点 F ：

(1)求证： \triangle A B F{\cong}\triangle E C F
(2)若 \angle A F C=2\angle D, 连接 \begin{array}{r}{A C,B E,}\end{array} 求证： 四边形 A B E C 是矩形.

第3课时 矩形的综合应用

主干知识

基础小题

1.工人师傅在制作门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形，请根据所学知识，写出其中应用的矩形的判定定理：

2.如图，把一张矩形纸片ABCD沿 E F 折叠后，点 \mathbf{\xi}_{C,D} 分别落在C^{\prime},D^{\prime} 的位置上, E C^{\prime} 交 A D 于点G.已知 \angle E F G=58° ，那么\angle B E G=

No.2 探索式课堂

知识点1矩形的综合运用

【例1】如图是一块矩形 A B C D 的场地，长 A B{=}102{~m} ，宽 A D{=}51~m ，从 A,B 两处人口的路宽都为 1m ,两小路汇合处路宽为 2~m ，其余部分为草坪，则草坪面积为 ( ）

A.5 050 m² B.4 900 m²
C.5 000 m² D.4 998 m²

微点拨

根据平移的性质：平移不改变图形的大小.本题可将两侧的草坪分别向中间平移 {~1~m~} 向下平移 {~1~m~} ，三块草坪拼成了一个长为100~m~ ，宽为 50~m~ 的矩形.

关妙法

矩形在日常生活中有非常广泛的应用，利用矩形的性质与平移、折叠等相结合可以解决生活中的许多相关问题.

对应练

1.在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是( ）

A.测量对角线是否相互平分B.测量两组对边是否分别相等C.测量一组对角是否都为直角D.测量其中三个角是否都为直角

2.如图，小贤为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，B 与 D 两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化，下列判断错误的是 （）

A.四边形ABCD由矩形变为平行四边形
B. B D 的长度增大
C.四边形 A B C D 的面积不变
D.四边形 A B C D 的周长不变

知识点2矩形的折叠问题

【例2】如图，在矩形纸片ABCD中，A B{=}2~cm ，点 E 在 B C 上，且 A E{=}C E. 若将纸片沿 A E 折叠，点 B 恰好与 A C 上的点 B_{1} 重合，求 A C 的长.

点拨

根据题意得出 A B{=}A B_{1}{=}2\cm 由 A E= C E 得出 {}⟨ A B_{1}{=}B_{1}C ，进而求得 A C 的长.

关妙法

本题主要考查翻折的性质、矩形的性质、线段的垂直平分线的判定，解题的关键在于得出 A B{=}A B_{1}

对应练

3.如图，四边形ABCD为矩形纸片，把纸片 A B C D 折叠，使点 B 恰好落在 C D 边的中点 E 处,折痕为AF.若 C D=6 ，则 A F 等于 ( ）

A. 4{√(3)} B. 3√3
C. 4√(2) D.8

4.把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点 B 和点 D 重合，折痕为 E F_{*} 若A B{=}3~cm B C{=}5\cm ，则重叠部分 \triangle D E F 的面积是 cm^{2} ：

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