数 学 建 模 案 例 精 选

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包饺子的数学问题

吴 鸿 华

饺子，是中国传统美食，是

医圣张仲景发明的，距今已有一

千八百多年的历史，是深受中国

人民喜爱的传统特色食品，是中

国民间的主食和地方小吃，也是

年节食品。有一句民谣叫“大寒

小寒，吃饺子过年。

”饺子多用

面皮包馅水煮而成。

1、问题背景

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通常，用1kg面粉和1kg

饺子馅包100个饺子。某次，

饺子馅做多了而面没有变。

为了把馅包完，应该饺

子包大一点，少包几个？

还是饺子应该小一点，

多包几个？

1、问题背景

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2、问题分析

大饺子用馅多，但用的面也多。

研究二者之间的量化关系。

设 V 和 S 分别表示大饺子的体积和面皮面积；

设 v 和 s 分别表示小饺子的体积和面皮面积。

“大饺子用馅多”

，应该包大饺子？

一个大饺子皮做成 n个小饺子皮

比较 V 和 nv 哪个大？ 大多少？

S

V

s

v

s

v

s

v ……

n个

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3、问题假设

1）假设饺子的面皮一样厚，所以大饺子皮和小饺子

皮面积满足：S=ns;

2）为了比较不同大小饺子馅的体积，假设饺子的形

状一样。

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4、模型建立

设大饺子和小饺子的半径分别为 R 和 r .

2

2

3

1 V  k R , S  k R

2

2

3

1 v  k r ,s  k r

则 2

3

2

3

2

1 S

k

k V 

2

3

2

3

2

1 s

k

k

v 

消去k1、k2和S、s得 V n v

2

3

  n(nv)

S=ns

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5、结果解释

V  n(nv) 不难发现 V 比 nv 大

100个饺子能包1kg馅，饺子的数量由100个变为50个大饺子，

能包多少馅呢？

则50个饺子包约1.4kg馅。

V  2(2v)

由

包大饺子

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6、小结

1）用数学语言（体积和表面积）表示现实对象（饺子馅和面皮）；

2）做出简化、合理假设（面皮厚度一样，饺子形状一样）；

3）利用蕴含的内在规律（体积、面积及半径的几何关系）。

拓展：如果大饺子的面皮比小饺子厚，如何建模？