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（2023 顺义一模）★★★☆

26．已知：抛物线

2

y ax ax = − − 4 3 ( 0) a  ．

（1）求此抛物线与 y 轴的交点坐标及抛物线的对称轴；

（2）已知点

1 A n y ( , ) ， 2 B n y ( 1, ) +

在该抛物线上，且位于对称轴的同侧．若

2 1 y y − 4，

求 a 的取值范围．

同类题：2023 西城一模

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吴老师图解

（1）

(0, 3) − ， x = 2 .

思路&图解

1）令

x = 0

，解得

y =−3

，即抛物线与

y

轴的交点坐标为

(0, 3) − ，

2）易求得对称轴为

4

2

2 2

b a

x

a a

−

= − = − = .

（2）

0 4  a .

思路一：

分析

本题为“极差”问题…

其中“横长”为 1（固定），那么，“纵长”有最小值！

只不过，取最小值时不是关于对称轴对称的，而是点

A

或点

B

在对称轴上的时候（临界

值不能取等）…

那么，根据题意，只需保证“纵长”的最小值

4

即可！

注意：题中交代

A ， B

两点在对称轴的同侧，故临界值不能取等！

思路&图解

1）由题知

a  0 ，

2）如图，

对于函数

2

y ax =

，当它的图像过点

(1,4)

时，易求得

a = 4

（备注：题中交代

A ， B

两

点在对称轴的同侧，故临界值不能取等！），

3）由【分析】知抛物线的开口得变大，即

a

要变小.



综上所述：

0 4  a .

x

y

y=ax

2

4

O 1

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思路二：代数硬算

思路&图解

1）由题知点

A

与点

B

在对称轴（

x = 2

）的同侧，故有 2 种情况：

①

n + 1 2

，即

n 1

；②

n  2 ，

2）

2 2

1

y an an n n a = − − = − − 4 3 ( 4 ) 3 ， 2 2

2

y a n a n n n a = + − + − = − − − ( 1) 4 ( 1) 3 ( 2 3) 3，

 2 1 y y n a − = − (2 3) ，

3）①当

n 1

时，

2 3 0 n − 

，且

a  0 ，

 2 1 y y n a − = − (3 2 ) 4

，即

4

3 2

a

− n

，

且当

n =1

时，有

max

4

4

3 2n

    =

  −

（提示：本题为“存在性”问题），即

a  4 ，

②当

n  2

时，同理，

2 1 y y n a − = − (2 3) 4

，即

4

2 3

a

n −

，

且当

n = 2

时，有

max

4

4

2 3 n

    =

  −

，即

a  4 .



综上所述：

0 4  a .