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（2023 海淀二模）★★★

26．在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线

2

y ax bx a = + + + 2 ( 0) a 

过点

(1,4 2) a + ．

（1）求该抛物线的顶点坐标；

（2）过该抛物线与 y 轴的交点作 y 轴的垂线 l，将抛物线在 y 轴右侧的部分沿直线翻折，

其余部分保持不变，得到图形 G， 1 M a y ( 1 , ) − − ， 2 N a y ( 1 , ) − +

是图形 G 上的点，设

1 2 t y y = + .

①当 a＝1 时，求 t 的值；

②若

6 9 t

，求 a 的取值范围．

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吴老师图解

（1）

( 1,2) − .

思路&图解

1）将点

(1,4 2) a +

代入解析式得

b a = 2 ，



抛物线的解析式为

2

y ax ax a = + + + 2 2 ，

2）易求得

2

1

2 2

b a

x

a a

= − = − = −

，代入解析式得

y = 2，



顶点坐标为

( 1,2) − .

备注：或用顶点式求…

（2）①

6 .

思路&图解

1）当

a =1

时，抛物线的解析式为

2

y x x = + + 2 3，

2）进一步求得点

M ， N

的坐标分别为

( 2,3) − ，(0,3) ，

 1 2 t y y = + = 6 .

（2）②

5

1

2

a .

分析

显然，通过①，我们知道当

a =1

时，t

恰好为 6，

那么，很容易联想到

a =1

可能是一个临界值，下面我们讨论

a 1

或

a 1

的情况：

1）如左图，当

a =1

时，

t = 6

，符合题意，

2）如中图，当

a 1

时，抛物线开口变大，点

M ， N

靠近对称轴（提示：点

M

与点

N

到对称轴

x =−1

的距离都为

a

），故

1

y ， 2

y

都小于

a + 2，且

a + 2 3

，故

1 2 t y y = +  6

，不

符合题意！

3）如右图，当

a 1

时，作点

M

关于对称轴

x =−1

的对称点

M '

，则

M ' 1 y y = ，同理，有

a + 2 3

，故

'

2( 2) 6 M N t y y a = + = + 

（提示：点

M '

与点

N

关于直线

y a = + 2

对称），符合

题意！最后，我们只需讨论

t = 9

的临界位置即可…

x

y

M N

O x

y

y=a+2 M N

O x

y

y=a+2

M'

N

M

O

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思路&图解

1）由①知，当

a =1

时，

t = 6，

2）如图，

当

a 1

时，

1 2 t y y = +  6

，不符合题意！

当

a 1

时，

1 2 t y y a = + = + 2( 2)

，令

t = 9

，解得

5

2

a = .



综上所述：

5

1

2

a .

x

y

y=a+2 M N

O x

y

y=a+2

M'

N

M

O