前言

高等职业教育作为我国教育体系中的重要组成部分,以其求实的培养目标,为社会输送大批的

高级实用型人才,高等职业招生考试是由各省市组织的国家级考试,国家对其非常重视,为了帮助

学校学生顺利进入高等职业院校继续学习,我们以《国务院关于大力发展职业教育的决定》精神为

指导,坚持以就业为导向,根据教育部最新颁布的《高等职业单招教学大纲》和研究省市高等职业单

招考试说明及命题思路,本着“重基础知识,强化基本技能、排除单招考试障碍”为宗旨编写这本复

习教材。

本教材全面、系统、精确地讲解单招考试知识要点深入浅出,循序渐进地点拨学习方法;精析典

型例题,提示解题技巧,深入地探索了命题、解题规律;分层次的课程训练,强化知识的吸收、巩固、

实现了知识的迁移。

本教材在编写过程中突出如下特点:

一、严格按照考试大纲要求,不仅仅是讲解知识,而是重在提高时效性。着重对考纲内容进行

系统梳理。从“考试要求”到“知识解读”、从“实例分析”到“仿真训练”和“参考答案”逐层深入。对

知识精讲、精析、精炼、举一反三,使学生更容易理解知识和掌握知识。

二、本教材立足于书本活学活用,激发学生的创造性,增强思辨力。这样使学生复习时有所依

凭,又不拘泥于教材,有利于帮助学生强化意识和提高学习能力。

三、本教材根据省最新考纲要求及命题思路安排了五大模块的学习内容。学生可以按顺序学

习这些内容,以期达到最佳的复习效果。

本书在编写过程中,得到有关省市教育行政部门及教学研究部门大力支持与协作,同时也得到

参与单招教材编写、考纲制定、统考命题的权威专家指导。他们提出了许多有益的建议和意见,在

此表示诚挚的感谢。

由于编者水平有限,加之时间紧迫,书中难免存有一些错误的疏漏,恳请广大读者批评指正,以

便进一步完善本教材。

编者

第一章 集合与常用逻辑用语 ……… 1

第1节 集合 …………………………… 1

第2节 充分条件与必要条件 ………… 4

第3节 全称量词与存在量词及其命题的

否定 …………………………… 6

第二章 函数、导数及其应用 ……… 8

第1节 函数及其表示 ………………… 9

第2节 函数的单调性与最值 ………… 11

第3节 函数的奇偶性、周期性 ……… 14

第4节 指数与指数函数 ……………… 16

第5节 对数与对数函数 ……………… 18

第6节 二次函数与幂函数 …………… 21

第7节 函数与方程 …………………… 24

第8节 函数的应用 …………………… 26

第9节 导数的概念及运算 …………… 30

第10节 导数的应用 ………………… 32

第三章 三角函数、解三角形 ……… 36

第1节 三角函数的有关概念及同角三角

函数的基本关系式及诱导公式

36

…

……………………………

第2节 三角函数的图象与性质 ……… 40

第3节 三角恒等变换 ………………… 45

第4节 解三角形 ……………………… 47

第四章 平面向量与复数 …………… 52

第1节 平面向量的概念、线性运算与基本

定理 …………………………… 52

第2节 平面向量的数量积及其应用

57

……

………………………………………

第3节 数系的扩充与复数的引入 …… 61

第五章 数列 …………………………… 64

第1节 数列的概念与简单表示法 …… 64

第2节 等差数列及前n项和 ………… 66

第3节 等比数列及其前n项和 ……… 69

第4节 数列的综合应用 ……………… 72

第六章 不等式………………………… 74

第1节 不等关系与不等式 …………… 74

第2节 一元二次不等式及其解法 …… 77

第3节 基本不等式及其应用 ………… 80

第七章 立体几何初步 ……………… 83

第1节 空间几何体的结构特征及其直观

图、表面积与体积 …………… 83

第2节 空间点、线、面的位置关系 …… 87

第3节 直线、平面平行的判定与性质

91

…

………………………………………

第4节 直线平面垂直的判定与性质

95

……

………………………………………

第八章 解析几何 …………………… 100

第1节 直线及其方程 ……………… 100

第2节 直线与直线的位置关系 …… 103

第3节 圆的方程 …………………… 106

第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系

109

…

………………………………………

第5节 椭圆 ………………………… 111

第6节 双曲线 ……………………… 115

第7节 抛物线 ……………………… 117

第九章 概率 ………………………… 120

第1节 随机事件的概率 …………… 120

第2节 古典概型 …………………… 124

第十章 统计与统计案例 ………… 126

第1节 随机抽样 …………………… 126

第2节 用样本估计总体 …………… 129

第3节 变量间的相关关系与统计案例

133

…

………………………………………

详解答案 ………………………………… 137

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1.集合

(1)集合的含义与表示

①了解集合的含义、元素与集合的“属于”或

“不属于”关系.

②能用自然语言、图形语言、集合语言(列举

法或描述法)描述不同的具体问题.

(2)集合间的基本关系

①理解集合之间包含与相等的含义,能识别

给定集合的子集.

②在具体情境中,了解全集与空集的含义.

(3)集合的基本运算

①理解两个集合的并集与交集的含义,会求

两个简单集合的并集与交集.

②理解在给定集合中一个子集的补集的含

义,会求给定子集的补集.

③能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及

运算.

2.常用逻辑用语

(1)命题及其关系

①理解命题的概念.

②了解“若p,则q”形式的命题的逆命题、否命

题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系.

③理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.

(2)简单的逻辑联结词

了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.

(3)全称量词与存在量词

①理解全称量词与存在量词的意义.

②能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

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第1节 集合

1.集合的基本概念

(1)集合中元素的三大特性:确定性、互异性、

无序性.

(2)元素与集合的关系:a∈A 或a∉A.

(3)常见数集的符号表示

名称

自然

数集

正整

数集

整数

集

有理

数集

实数

集

复数

集

符号 N N*或 N+ Z Q R C

注意:元素互异性的应用:①利用集合元素的

互异性找到解题的切入点;②在解答完毕时,

注意检验集合的元素是否满足互异性,以确

保答案正确

2.集合间的关系

(1)两个集合A,B 之间的关系

A⊆B(子集)

A=B(相等)⇔A⊆B且A⊇B A⫋B(真子集)=A⊆B且A≠B

A⊈B

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(2)空集

规定:①空集是任何集合的子集;

②空集是任何非空集合的真子集.

注意:遇到形如A⊆B 的问题,务必优先考虑

A=⌀是否满足题意.

3.集合子集、真子集的个数规律

集合的子集、真子集个数的规律为:含n个元

素的集合有 2

n 个 子 集,有 2

n -1 个 真 子 集

(除集合本身),有2

n -1个非空子集,有2

n -

2 个 非 空 真 子 集 (除 集 合 本 身 和 空 集,

此时n≥1).

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单招·数学

4.集合的运算及性质

名称 交集 并集 补集

符号 A∩B A∪B ∁UA

数学

语言

A∩B={x

|x∈A 且

x∈B}

A∪B={x

|x∈A 或

x∈B}

∁UA=

(x|x∈U 且x

∉A}

图形

运算

性质

A∩B⊆A,

A∩B⊆B

A∩⌀=⌀

B⊆A∪B,

A⊆A∪B,

A∪⌀=A

A∪(∁UA)=U,

A∩(∁UA)=⌀,

∁U(∁UA)=A

注意:空集(⌀)的特殊性:在解题中,若未指

明集合非空时,要考虑空集的可能性,如 A⊆

B,则有A=⌀和 A≠⌀两种可能,此时应分

类讨论.

5.集合间运算性质的重要结论

(1)A∪B=A⇔B⊆A.

(2)A∩B=A⇔A⊆B.

(3)A∩B=A∪B⇔A=B.

(4)狄 摩 根 定 律:∁U (A∪B)= (∁UA)∩

(∁UB);∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB).

考点一 集合的概念

[例1] (1)已知集合 A={0,1},则集合 A 的

子集个数是 ( )

A.5 B.4

C.3 D.2

(2)已知A={a+2,(a+1)2,a

2+3a+3},若

1∈A,则实数a的值为 ( )

A.-1 B.0

C.-2 D.-1或-2

解析:(1)集合 A 的子集有⌀,{0},{1},{0,

1}共4个,故选 B.一定要注意空集易遗漏.

(2)① 当 a+2=1 时,a= -1,此 时 A =

{1,0,1},不合题意,故a≠-1.②当(a+1)2

=1时,a=0或a=-2.若a=0,则 A={2,

1,3},符合题意;若a=-2,则 A={0,1,1},

不 符 合 题 意.③ 当 a

2 +3a +3=1 时,

(a+1)(a+2)=0,即a=-1或a= -2.由

①②知,不符合题意,综上可知a=0,选 B.

【总结升华】

解决集合的概念问题应关注两点:(1)研究一

个集合,首先要看集合中的代表元素,然后再

看元素的限制条件,当集合用描述法表示时,

注意弄清其元素表示的意义是什么,在例(1)

中写集合子集、真子集时要特别注意空集的

存在,不得遗漏.有时候也要注意非空真子

集.(2)对于含有字母的集合,在求出字母的

值后,要注意检验集合是否满足互异性.

跟踪训练1 已知集合 A={1,2,4,6,8},B=

{1,2,3,5,6,7},设P=A∩B,则集合P 的真

子集个数为 ( )

A.8 B.7

C.6 D.5

考点二 集合间的基本关系

[例2] (1)已 知 M={0,1,2,3,4,5,6},N

={x|x是不大于6的自然数},M 与 N 的

关系是 ( )

A.M⊆N B.M ⊇N

C.M∈N D.M=N

(2)已知集合 A={x|x<-1或x>4},B=

{x|2a≤x≤a+3},若 B⊆A,则实数a的取

值范围为 .

解析:(1)因为 N={x|x 是不大于6的自然

数},则 N={0,1,2,3,4,5,6},

又 M=(0,1,2,3,4,5,6},

显然 M=N,选 D.

(2)若B=⌀,即2a>a+3,

解得a>3,符合条件.

若B≠⌀,即2a≤a+3,解得a≤3.由B⊆A,

则a+3<-1,或2a>4,解得a<-4或a>

2.综上a的取值范围是a<-4或a>2.

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第一章 集合与常用逻辑用语

【总结升华】

(1)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系

时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏

解;

(2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是

将条件转化为元素或区间端点间的关系,进

而 转 化 为 参 数 所 满 足 的 关 系,常 用 数 轴、

Venn图来直观解决这类问题.

跟踪训练2 已知集合A={x|-2≤x≤7},B

={x|m+1<x<2m-1},若 B⊆A,则实数

m 的取值范围是 .

考点三 集合的基本运算

[例3] (1)已知全集U={1,2,3,4},集合A=

{1,2},B={2,3},则∁U(A∪B)= ( )

A.{1,3,4} B.{3,4}

C.{3} D.{4}

(2)设集合S={x|x>-2},T={x|-4≤x

≤1),则S∩T= ( )

A.[-4,+∞) B.(-2,+∞)

C.[-4,1] D.(-2,1]

解析:(1)本题考查集合的基本运算,

A∪B={1,2,3},所以∁U(A∪B)={4},

选 D.

(2)如图所示,S∩T=(-2,1],所以选 D.

【总结升华】

(1)一般来讲,集合中的元素若是离散的,则

用 Venn图表示;集合中的元素若是连续的

实数,则用数轴表示,此时要注意端点的情

况.(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系

的使用,灵活使用这些关系,会使运算简化.

跟踪训练3 若集合U={1,2,3,4,5,6},S=

{1,4,5},T={2,3,4},则S∩(∁UT),等于

( )

A.{1,4,5,6} B.{4}

C.{1,5} D.{1,2,3,4,5}

1.已知集合 A={x|-1-x<0},则下列各式

正确的是 ( )

A.0⊆A B.{0}∈A

C.∅∈A D.{0}⊆A

2.设集合A={1,2,3},B={-1,0,1},则 A∩

B= ( )

A.∅ B.{1}

C.{0,1,2,3} D.{-1,0,1,2,3}

3.已 知 集 合 P = x x

2 -2x≥3 ,Q =

x 2<x<4 ,则P∩Q= ( )

A. x 3≤x<4 B. x 2<x≤3

C. x -2<x<-1 D. x -1<x≤3

4.设全集U=Z,集合 A= 0,1,3,5,7,9 ,B=

1,2,4,5,9 ,则图 中 阴 影 部 分 表 示 的 集 合

是 ( )

A. 1,5,9 B. 0,3,7

C. 2,4,5,9 D. 2,4

5.已知集合A,B 是 R 的非空真子集且B⊆A,

则 ∁RA ∩B= ( )

A.∅ B.A

C.B D.∁RA

6.若a∈ 1,3,a

2 ,则a的可能取值有 ( )

A.0 B.0,1

C.0,3 D.0,1,3

7.已 知 集 合 A = x x

2 >3x ,B =

x a-2<x<a ,若B⊆A,则实数a的取值

范围是 ( )

A. 5,+∞

B. 2,3

C. -∞,0 ∪ 5,+∞

D. -∞,0 ∪ 5,+∞

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单招·数学

8.已 知 全 集 为 R,集 合 A= {x|x≥0},B=

xlog2x≤2 ,则A∩(∁RB)= ( )

A.[4,+∞) B.(4,+∞)

C. 0 ∪[4,+∞) D. 0 ∪(4,+∞)

9.已 知 集 合 M = -1,3,2m-1 ,集 合 N =

3,m

2 ,若 N⊆M,则实数m= .

10.已知集合 M= x|

4

x >1,x∈N ,那么 M 的

子集个数是 .

11.某班共38人,其中15人喜爱篮球运动,10

人喜爱乒乓球运动,16人对这两项运动都不

喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动

的人数为 .

12.已知集合A= -1,1 ,B= x|ax+1=0 ,

若B⊆A,则实数a 的所以可能取值组成的

集合是 .

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第2节 充分条件与必要条件

1.充分条件与必要条件的概念

推出关

系及符

号表示

由 p 通 过 推

理可 得 出q,

记作:p

q

由条 件 p 不 能 推

出结论q,记作:p

⇒/q

条件

关系

p 是q 的

条件

q 是 p 的

条件

p q的充

分条件

q p 的必

要条件

一般地,数学中的每一条判定定理都给出了

相应数学结论成立的一个 条件.

数学中的每一条性质定理都给出了相应数学

结论成立的一个 条件.

注意:充分、必要条件的判断讨论的是“若p,

则q”形式的命题.若不是,则首先将命题改

写成“若p,则q”的形式.

2.充要条件

一般地,如果既有p⇒q,又有q⇒p就记作

.

此时,我们说,p 是q 的 ,简称

.显然,如果p 是q 的充要条件,那么

q也是p 的充要条件.

概括地说,如果p⇔q,那么p 与q

.

3.从集合的角度判断充分条件、必要条件和充

要条件

设A={x|x满足条件p},B={x|x满足条件q}

若 A⊆B,则 p 是q 的充分条

件,若A⫋B,则p 是q 的充分

不必要条件

若 B⊆A,则 p 是q 的必要条

件,若B⫋A,则p 是q 的必要

不充分条件

若A=B,则p,q互为充要条件

若A⫋B 且B⫋A,则p既不是

q的充分条 件,也 不 是q 的 必

要条件

其中p:A={x|p(x)成立},q:B={x|q(x)

成立}.

4.“⇔”的传递性

若p是q 的充要条件,q是s 的充要条件,即

p⇔q,q⇔s,则有p⇔s,即p是s的充要条件.

考点一 充分条件、必要条件的判定

[例1] 判断下列各题中 p 是q 的充分条件

吗? p是q 的必要条件吗?

(1)p:x>1,q:x

2>1;

(2)p:(a-2)(a-3)=0,q:a=3;

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第一章 集合与常用逻辑用语

(3)已知:y=ax

2+bx+c(a≠0),p:Δ=b

2-

4ac>0,q:函数图象与x轴有交点.

答案:(1)由x>1可以推出x

2>1,因此p 是

q 的充分条件;由x

2>1,得x<-1,或x>1,

不一定有x>1.因此,p不是q 的必要条件.

(2)由(a-2)(a-3)=0可以推出a=2或a

=3,不一定有a=3,因此p 不是q 的充分条

件;由a=3可以得出(a-2)(a-3)=0.因

此,p是q 的必要条件.

(3)二次函数y=ax

2+bx+c,当Δ>0时,其

图象与x轴有交点,因此p是q 的充分条件;

反之若函数的图象与x 轴有交点,则Δ≥0,

不一定是Δ>0,因此p不是q 的必要条件.

【总结升华】

充分条件、必要条件的2种判断方法

(1)定义法:根据p⇒q,q⇒p进行判断.

(2)集合法:根据p,q成立的对应的集合之间

的包含关系进行判断.

提醒 判断充要条件需注意3点

(1)要分清条件与结论分别是什么.

(2)要从充分性、必要性两个方面进行判断.

(3)直接判断比较困难时,可举出反例说明.

跟踪训练1 判断下列说法中,p 是q 的充分

条件的是 .

①p:“x=1”,q:“x

2-2x+1=0”;

②设a,b是实数,p:“a+b>0”,q:“ab>0”.

考点二 充要条件的判断

[例2] 在下列各题中,试判断p 是q 的什么

条件.

(1)p:a+5是无理数,q:a是无理数;

(2)若a,b∈R,p=a

2+b

2=0,q:a=b=0;

(3)p:A∩B=A,q:∁UB⊆∁UA.

答案:(1)因为a+5是无理数⇒a是无理数,

并且a是无理数⇒a+5是无理数,所以p 是

q 的充要条件.

(2)因为a

2+b

2=0⇒a=b=0,并且a=b=0

⇒a

2+b

2=0,所以p是q 的充要条件.

(3)因为 A∩B=A⇒A⊆B⇒∁UA⊇∁UB,

并且∁UB⊆∁UA⇒B⊇A⇒A∩B=A,所以

p是q 的充要条件.

[例3] “x=1”是“x

2-2x+1=0”的 ( )

A.充要条件

B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件

D.既不充分也不必要条件

答案:A

解析:解x

2-2x+1=0得x=1,所以“x=1”

是“x

2-2x+1=0”的充要条件.

【总结升华】

1.充分条件、必要条件是每年高考的必考内容,多

以选择题的形式出现,难度不大,属于容易题.

2.高考对充要条件的考查主要有以下三个命题

角度:

(1)判断指定条件与结论之间的关系;

(2)探求某结论成立的充要条件、充分不必要

条件或必要不充分条件;

(3)与命题的真假性相交汇命题.

跟踪训练2 a,b中至少有一个不为零的充要

条件是 ( )

A.ab=0 B.ab>0

C.a

2+b

2=0 D.a

2+b

2>0

1.设集合A={x|0≤x≤3},集合B={x|1≤x

≤3},那么“m∈A”是“m∈B”的 ( )

A.充分条件

B.必要条件

C.既是充分条件也是必要条件

D.既不充分又不必要条件

2.设x∈R,则x>2的一个必要条件是 ( )

A.x>1 B.x<1

C.x>3 D.x<3

3.若a∈R,则“a=1”是“|a|=1”的 ( )

A.充分条件

B.必要条件

C.既不是充分条件也不是必要条件

D.无法判断

4.已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”

是“A⊆B”的 ( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

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·5·

单招·数学

5.已知A,B 是非空集合,命题p:A∪B=B,命

题q:A⫋B,则p是q 的 ( )

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.既不充分也不必要条件

D.必要不充分条件

6.“x

2+(y-2)2=0”是“x(y-2)=0”的 ( )

A.必要不充分条件

B.充分不必要条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

7.设x∈R,则“x<-1”是“|x|>1”的 ( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

8.若集合A={1,m

2},B={2,4},则“m=2”是

“A∩B={4}”的 条件.(填必要、不

必要)

9.关于x的不等式|x|>a的解集为 R 的充要

条件是 .

10.已知p:x<-2或x>10,q:x

2-2x+1-a

2

>0,若p 是q 的必要条件,求负实数a的取

值范围.

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第3节 全称量词与存在量词及其命题的否定

全称量词与存在量词、全称量词命题与存在

量词命题

量

词

全称

量词

短语“ ”在陈述中

表示所述事物的 ,

逻辑中通常叫做全称量词,

并用符号“ ”表

示.

存在

量词

短语“ ”或“有

些”或“ ”在陈

述中表示所述事物的

或 ,逻辑

中通常叫做 ,

并用符号“ ”

表示.

续表

命

题

全称

量词

含有 的命题叫做全

称量词命 题,形 如 “对 M 中

的 所 有x,p(x)”的 全 称 命

题,可以用符号简记为“

”.

存在量

词命题

含有 的命题叫做存

在量词命题,形如“存在集合

M 中的元素x,q(x)”的特称

命题,可以 用 符 号 简 记 为

.

命

题

的

否

定

∀x∈M,

p(x)

∃x0∈M,

p(x0)

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·6·

第一章 集合与常用逻辑用语

全称命题、特称命题

[例1] (1)下列命题中为假命题的是 ( )

A.∀x∈R,2

(x-1)>0

B.∀x∈N

* ,(x-1)2>0

C.∃x0∈R,lgx0<1

D.∃x0∈R,tanx0=2

(2)命题“对任意x∈R,都有x

2≥0”的否定

是 ( )

A.对任意x∈R,都有x

2<0

B.不存在x∈R,使得x

2<0

C.存在x0∈R,使得x

2≥0

D.存在x0∈R,使得x

2

0<0

解析:(1)A项,因为x∈R,所以x-1∈R,由指

数函数性质得2

(x-1)>0;B项,因为x∈N

* ,所

以当x=1时,(x-1)2=0,与(x-1)2>0矛

盾;C项,当x0=

1

10

时,lg

1

10

=-1<1;D 项,

当x0∈R时,tanx0∈R,所以x0∈R,tanx0=

2.选 B.

(2)全称命题的否定是特称命题,“对任意x

∈R,都有x

2≥0”的否定是“存在x0∈R,使

得x

2

0<0”,故选 D.

【总结升华】

全称命题“∀x∈M、p(x)”是真命题,需要对

集合 M 中的每个元素x,证明p(x)成立;要

判断特称命题是真命题,只要在定集合内至

少找到一个x=x0,使p(x0)成立.

(2)对全(特)称命题进行否定的方法

①找到命题所含的量词,没有量词的要结合

命题的含义先加上量词,再改变量词.

②对原命题的结论进行否定.

跟踪训练 (1)设命题p:∃∈N,n

2>2

n ,则¬p

为 ( )

A.∀n∈N,n

2>2

n B.∃n∈N,n

2≤2

n

C.∀n∈N,n

2≤2

n D.∃∈N,n

2=2

n

(2)有下列四个命题,其中真命题是 ( )

A.∀n∈R,n

2≥n

B.∃n∈R,∀m∈R,m·n=m

C.∀n∈R,∃m∈R,m

2<n

D.∀n∈R,n

2<n

1.下列是全称量词命题且是真命题的为( )

A.∀x∈R,x

2>0

B.∀x,y∈Q,都有x+y∈Q

C.∃x0∈Z,-x

2

0+1≥1

D.∀x,y∈R,x + y >0

2.命题“∀x>0,x

2>0”的否定是 ( )

A.∀x>0,x

2≤0 B.∃x0>0,x

2

0≤0

C.∀x≤0,x

2≤0 D.∃x0≤0,x

2

0≤0

3.已知命题p:∃x0∈R,x

2

0-2x0+1≤0,则命

题p的否定为 ( )

A.∀x∈R,x

2-2x+1≤0

B.x0∈R,x

2

0-2x0+1>0

C.∀x∈R,x

2-2x+1>0

D.∀x∈R,x

2-2x+1≥0

4.设命题p:∃n0∈ n0 ∣n0>1 ,n

2

0>2n0-1,

则¬p是 ( )

A.∀n∉{n∣n>1},n

2≤2n-1

B.∀n∈{n∣n>1},n

2≤2n-1

C.∃n0∈ n0 ∣n0≤1 ,n

2

0>2n0-1

D.∃n0∈ n0 ∣n0>1 ,n

2

0≤2n0-1

5.命题“∃x∈R,x

2+ax+4≤0”为真命题,则

实数a的取值范围是 ( )

A.a≥4 B.a≤-4

C.a≤-4或a≥4 D.-4≤a≤4

6.若“∃x∈R,sin

1

2

x+

π 3 >m”是假命题,则

实数m 的最小值为 ( )

A.0 B.-1

C.

3

2

D.1

7.下列命题是全称量词命题的是 ( )

A.有些平行四边形是菱形

B.至少有一个整数x,使得x

2+3x是质数

C.每个三角形的内角和都是180°

D.∃x∈R,x

2+x+2=0

8.已知命题“∃x∈R,x

2+x+a<0”是真命题,

则实数a的取值范围为 .

9.若命题“∃x0∈R,x

2

0+x+m<0”是假命题,

则实数m 的范围是 .

10.已知命题“∃x∈R,使4x

2+ a-2 x+

1

4

≤0”

是真命题,则实数a的取值范围是 .

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·7·

1.函数

①了解构成函数的要素,会求一些简单函数

的定义域和值域;了解映射的概念.

②在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当

的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.

③了解简单的分段函数,并能简单应用.

④理解函数的单调性、最大值、最小值及其几

何意义;结合具体函数,了解函数奇偶性的含

义.

⑤会运用函数图象理解和研究函数的性质.

2.指数函数

①了解指数函数模型的实际背景.

②理解有理数指数幂的含义,了解实数指数

幂的意义,掌握幂的运算.

③理解指数函数的概念,理解指数函数的单

调性,掌握指数函数图象通过的特殊点.

④知道指数函数是一类重要的函数模型.

3.对数函数

①理解对数的概念及其运算性质,知道用换

底公式能将一般对数转化成自然对数或常用

对数;了解对数在简化运算中的作用.

②理解对数函数的概念,理解对数函数的单

调性,掌握对数函数图象通过的特殊点.

③知道对数函数是一类重要的函数模型;

④了解指数函数y=a

x 与对数函数y=logax

互为反函数(a>0,且a≠1).

4.幂函数

①了解幂函数的概念.

②结 合 函 数 y=x,y=x

2,y=x

3,y=

1

x

,

y=x

1

2 的图象,了解它们的变化情况.

5.函数与方程

①结合二次函数的图象,了解函数的零点与

方程根的联系,会判断一元二次方程实根的

存在性及实根的个数.

②根据具体函数的图象,能够用二分法求相

应方程的近似解.

6.函数模型及其应用

①了解指数函数、对数函数以及幂函数的增

长特征;知道直线上升、指数增长、对数增长

等不同函数类型增长的含义.

7.导数概念及其几何意义

①了解导数概念的实际背景.

②理解导数的几何意义.

8.导数的运算

①能根 据 导 数 定 义,求 函 数 y=C(C 为 常

数),y=x,y=x

2,y=

1

x

的导数.

②能利用下面给出的基本初等函数的导数公

式和导数的四则运算法则求简单函数的导

数.

常见基本初等函数的导数公式:

C'=0(C 为常数);(x

n )'=nx

n-1(n∈N

* );

(sinx)'=cosx;(cosx)'=-sinx;(e

x )'=

e

x ;(a

x )'=a

xlna(a>0且a≠1);(lnx)'=

1

x

;(logax)'=

1

x

logae(a>0且a≠1).

常用的导数运算法则:

法则1 [u(x)±v(x)]'=u'(x)±v'(x).

法则2 [u(x)·v(x)]'=u'(x)·v(x)+

u(x)·v'(x).

法则3 [u(x)

v(x)

]=

u'(x)·v(x)-u(x)·v'(x)

v

2(x)

,

v(x)≠0.

9.导数在研究函数中的应用

①了解函数单调性和导数的关系;能利用导

数研究函数的单调性,会求函数的单调区间

(其中多项式函数不超过三次).

②了解函数在某点取得极值的必要条件和充

分条件;会用导数求函数的极大值、极小值

(其中多项式函数不超过三次);会求闭区间

上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不

超过三次).

10.生活中的优化问题

会利用导数解决某些简单的实际问题.

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·8·

第二章 函数、导数及其应用

第1节 函数及其表示

1.函数的基本概念

(1)函数的定义

设A,B 是两个非空的 ,如果按照某

种确定的对应关系f,使对于集合 A 中的任

意一个数x,在集合 B 中都有 确定

的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B 为从

集合A 到集合B 的一个函数,记作

.

(2)函数的定义域、值域

在函数y=f(x),x∈A 中,其中所有x 组成

的集合A 称为函数y=f(x)的 ;

将所有y 组成的集合叫做函数y=f(x)的

.

(3)函数的三要素: 、

和 .

(4)函数的表示法

表示函数的常用方法有 、

和 .

(5)分段函数

若函数在其定义域的不同子集上,因

不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函

数称为分段函数,分段函数的定义域等于各

段函数的定义域的 ,其值域等于各

段函数的值域的 ,分段函数虽由几

个部分组成,但它表示的是一个函数.

2.函数定义域的求法

类型 x满足的条件

2n f(x),n∈N

* f(x)≥0

1

f(x)

与[f(x)]0

logaf(x)(a>0,a≠1)

tanf(x)

f(g(x))(f(x)定义

域为[a,b])

a≤g(x)≤b 的 解

集

续表

类型 x满足的条件

四则运算组成的函数

各个函数定义域的

实际问题

使实际问题有

3.函数解析式的求法

求函数解析式常用方法有 、

、配凑法、消去法.

考点一 函数的基本概念

[例1] 下列各组函数中,表示同一函数的是

( )

A.f(x)=1与g(x)=

x

x

B.f(x)= x

2-1与g(x)=x-1

C.f(x)=x与g(x)=

3x

3

D.f(x)=|x|与g(x)=(x)2

解析:对于 A,f(x)的定义域为 R,g(x)的定义

域为{x|x≠0},不是同一函数,同理,对于 D,

两函数的定义域不同,而对于B,f(x)=|x|-

1,g(x)=x-1,对应法则不同,只有 C,定义域

相同,又g(x)=

3x

3 =x,对应法则相同,因而

值域也相同,所以为同一函数,故选C.

【总结升华】

构成函数的三要素是:定义域、值域和对应法

则,而值域可以由定义域和对应法则所确定.

分析判断两函数是否为同一函数时,就从这

三个方面进行分析,只有三者完全相同时才

为同一个函数.

跟踪训练1 下列各组函数中,表示同一函数

的是 ( )

A.f(x)=|x|,g(x)= x

2

B.f(x)= x

2,g(x)=(x)2

C.f(x)=

x

2-1

x-1

,g(x)=x+1

D.f(x)= x+1· x-1,g(x)= x

2-1

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·9·

单招·数学

考点二 函数的解析式

[例2] 根据给出的条件求f(x)的解析式.

(1)f(x+1)=2x;

(2)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)

-2f(x-1)=2x+17,求f(x).

解析:(1)换元法:令t=x+1,则x=t-1,所

以f(t)=2(t-1),即f(x)=2x-2.

(2)待定系数法:设f(x)=ax+b(a≠0),则

3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax

+2a-2b=ax+5a+b=2x+17,对应系数

相等,解得a=2,b=7,从而f(x)=2x+7.

【总结升华】

函数的解析式常用求法有待定系数法、换元

法(或凑配法).如果已知解析式的类型,可用

待定系数法;已知复合函数的表达式时,可用

换元法,使用换元法时,要注意研究定义域的

变化.

跟踪训练2 已知f(x)是二次函数,若f(0)

=0,且f(x+1)=f(x)+x+1,求函数f(x)

的解析式.

考点三 函数的定义域

[例3] (1)函数y= 1-x+ x的定义域为

( )

A.{x|x≤1} B.{x|x≥0}

C.{x|x≥1或x≤0} D.{x|0≤x≤1}

解析:

由1-x≥0 x≥0

得0≤x≤1,故选 D.

答案:D

(2)函数f(x)=

1

2-x

+ln(x+1)的定义域

为 ( )

A.(2,+∞)

B.(-1,2)∪(2,+∞)

C.(-1,2)

D.(-1,2]

解析:要使函数式有意义,需满足条件:

x+1>0

2-x≥0

2-x≠0

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?

??

??

⇒

x>-1 x<2

,解得:x∈(-1,2),故

选 C.

答案:C

【总结升华】

求解函数定义域要注意特殊函数的要求,比

如根式、对数、分式、y=x

0 等x的取值范围.

跟踪训练3 函数f(x)=

3x

2

1-x

+lg(x+1)

的定义域为 ( )

A.(-1,1) B.(-1,+∞)

C.(1,+∞) D.(-∞,1)

考点四 分段函数及其应用

[例4] 已知函数f(x)=

x,x>1

1,-1≤x≤1,

2+x,x<-1

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?

??

??

,

(1)画出函数的图象;(2)求f(2),f(-2),f

(f(-1))的值.

解析:(1)分别作出f(x)在x>1,-1≤x≤

1,x<1各段上的图象,如图所示,作法略.

(2)f(2)=2,f(-2)=0,f(f(-1))=f(1)

=1.

【总结升华】

分段函数是指自变量x在不同取值范围内对

应关系不同的函数,解决与分段函数有关的

问题,最重要的就是逻辑划分思想,即将问题

分段解决.

跟踪训练4 已知函数f(x)=

2

x ,x>0, x+1,x≤0,

若

f(a)+f(1)=0,则实数a的值等于 ( )

A.-3 B.-1

C.1 D.3

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·10·

第二章 函数、导数及其应用

1.在下列图像中,能表示函数图像的是 ( )

2.设函数f x =4x-5,g 2x+1 =f x ,则

函数g x 的解析式是 ( )

A.g x =2x+1

B.g x =2x-1

C.g x =2x+5

D.g x =2x-7

3.已知函数f(x)=

x+2,x≤0

x 2,0<x≤3

,若f(x)=3,

则x的值为 ( )

A.3 B.1或 3

C.- 3或 3 D.1或± 3

4.函数g(x)=x

2-2x-3在区间 0,4 上的值

域为 ( )

A. -3,5 B. -3,5

C. -4,5 D. -4,5

5.与y=|x|为相等函数的是 ( )

A.y=(x)

2

B.y= x

2

C.y=

x,x>0 -x,x<0

D.y=

3x

3

6.若函数y=

ax-2

ax

2-4ax+2

的定义城为 R,则

实数a的取值范围是 ( )

A.[0,1] B.[0,1)

C.[0,1

2

] D.[0,1

2

)

7.如 图 所 示 是 函 数 y=f x 的 图 象,则 f

f 3 的值为 .

8.若f 2x =

x

x

2+1

,则f 4 = .

9.函 数 f x = x+1+

1

2-x

的 定 义 域 为

.

10.已知f(x)=

x

2-ax,x>0 -x+a+1,x≤0

,若方程f(x)

=-x有实根,则a的取值范围是 .

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第2节 函数的单调性与最值

1.函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数 减函数

定

义

一般地,设函数f(x)的定义域为I,如

果对于定义域I内某个区间D 上的任

意两个自变量x1,x2

当x1<x2 时,都有

f(x1)<f(x2),那

么就 说 函 数 f(x)

在 区 间 D 上 是 增

函数

当x1<x2 时,都有

f(x1)>f(x2), 那

么就说函数f(x)

在区间 D 上 是 减

函数

续表

增函数 减函数

图

象

描

述 自左向右看图象是

上升的

自左 向 右 看 图 象

是下降的

(2)函数单调性的常用结论

①若f(x),g(x)均是区间A 上的增(减)函数,

则f(x)+g(x)也是区间A 上的增(减)函数;

②若k>0,则kf(x)与f(x)单调性相同;若

k<0,则kf(x)与f(x)单调性相反;

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·11·

单招·数学

③函数y=f(x)(f(x)>0)在公共定义域内

与y=-f(x),y=

1

f(x)

的单调性相反;

④函数y=f(x)(f(x)≥0)在公共定义域内

与y= f(x)的单调性相同;

⑤奇函数在其关于原点对称的区间上单调性

相同,偶函数在其关于原点对称的区间上单

调性相反.

2.函数的最大值和最小值

前提 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I

条件

(1)对 于 任 意 x

∈I,都 有 f(x)

≤M;

(2)存在x0 ∈I,

使得f(x0)=M

(1)对于任意x∈

I,都有f(x)≥m;

(2)存在x0∈I,使

得f(x0)=m

结论 M 为最大值 m 为最小值

考点一 函数单调性的判断

[例1] 判断并证明函数f(x)=

ax

x

2-1

(其中

a>0)在x∈(-1,1)上的单调性.

证明:法一(定义法):设-1<x1<x2<1,

则f(x1)=f(x2)=

ax1

x

2

1-1

-

ax2

x

2

2-1

=

ax1x

2

2-ax1-ax2x

2

1+ax2

(x

2

1-1)(x

2

2-1)

=

a(x2-x1)(x1x2+1)

(x

2

1-1)(x

2

2-1)

.

∵-1<x1<x2<1,

∴x2-x1>0,x1x2+1>0,(x

2

2-1)(x

2

2-1)

>0.

因此当a>0时,f(x1)-f(x2)>0,

即f(x1)>f(x2),此时函数f(x)在(-1,1)

上为减函数.

法二(导数法):

f'(x)=

a(x

2-1)-2ax

2

(x

2-1)2 =

-a(x

2+1)

(x

2-1)2 .

又a>0,所以f'(x)<0,所以函数f(x)在

(-1,1)上为减函数.

【总结升华】

利用定义法证明或判断函数单调性的步骤

取值 —

设x1,x2 是定义区间内的任意两

个值,且x1<x2

↓

作差、

变形

—

作差f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f

(x1)),并通过因式分解、配方、有

理化等方法,向有利于判断差的符

号的方向变形

↓

定号 —

确定差f(x1)-f(x2)(或f(x2)

-f(x1))的 符 号,当 符 号 不 确 定

时,可以进行分类讨论

↓

判断 — 根据定义作出结论

跟踪训练1 下列函数中,定义域是 R 且为增

函数的是 ( )

A.y=e

-x B.y=x

3

C.y=lnx D.y=|x|

考点二 函数单调性的应用

[例2] 已知函数f(x)=x

2-2ax+1在区间

(-∞,-1)上是单调递减的,则实数a的取

值范围是 ( )

A.(-∞,-1) B.(-∞,-1]

C.[-1,+∞) D.(-1,+∞)

解析:因为二次函数f(x)=x

2 -2ax+1的

对称轴为x=a,开口向上,又因为函数在区

间(-∞,-1)上是单调递减的,因此画图可

知,a≥-1,于是实数a的取值范国是[-1,

+∞),选 C.

【总结升华】

已知二次函数在给定区间上的单调性去求解

解析式中参数的取值范围时,数形结合是最

简便、最直观的方法,画出二次函数大致的图

象,观察对称轴与给定区间的位置关系.

跟踪训练2 如果函数f(x)=x

2+2(a-1)x

+2,在区间(-∞,4]上单调递减,那么实数

a的取值范围是 ( )

A.a≤-3 B.a≥-3

C.a≤5 D.a≥5

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·12·

第二章 函数、导数及其应用

考点三 函数的最值(值域)

[例3] 已知函数f(x)=

1

a

-

1

x

(a>0,x>0),

(1)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数;

(2)若f(x)在[1

2

,2]上的值域是[1

2

,2],求a

的值.

(1)证明:设x2>x1>0,

则x2-x1>0,x1x2>0,

∵f(x2)-f(x1)=(1

a

-

1

x2

)-(1

a

-

1

x1

)

=

1

x1

-

1

x2

=

x2-x1

x1x2

>0.

∴f(x2)>f(x1),∴f(x)在(0,+∞)上是增

函数.

(2)解:∵f(x)在[1

2

,2]上的值域是[1

2

,2],

又f(x)在[1

2

,2]上单调递增,

∴f(1

2

)=

1

2

,f(2)=2.

易得a=

2

5

.

跟踪训练3 已知函数f(x)=-

2

x+1

,x∈[0,

2],用定义证明函数的单调性,并求函数的最

大值和最小值.

1.下列函数中,在区间 0,+∞ 上是增函数的

是 ( )

A.y=-x

2 B.y=

1

x

C.y=

1 2

x

D.y=x

2.若函数f(x)=2x

2+mx-1在区间(-1,+∞)

上是增函数,则实数m 的取值范围是 ( )

A.(-∞,-4] B.[4,+∞)

C.[2,+∞) D.(-∞,-2]

3.设 函 数 f x =

3

1-x ,x≤1 2-log3x,x>1

,则 满 足

f x ≤3的x的取值范围是 ( )

A. 0,+∞ B. 1,+∞

C. -∞,0 D. 0,1

4.已知函数y=f(x)在[0,+∞)上单调递增,

且函 数f(x)的 图 象 关 于 y 轴 对 称,设a=

f(-1),b=f 2 ,c=f(3),则a,b,c的大小

关系为 ( )

A.a<b<c B.c<b<a

C.b<c<a D.b<a<c

5.若函数y=f(x)在 R 上单调递减,且f(2m

-3)>f(-m),则实数m 的取值范围是

( )

A.(-∞,-1) B.(-1,+∞)

C.(1,+∞) D.(-∞,1)

6.若函数f x =4x

2-kx-8在区间 1

2 ,2 上

是单调函数,则实数k的取值范围是 .

7.如果函数y=f(x)的图象如图所示,那么此

函数的减区间为 .

8.若函数f(x)在 R上为增函数,且f x-2 <

f 3 ,则x的取值范围是 .

9.已知函数y=f(x)在定义域 -∞,0 上是增

函数,且f 1-a <f a-3 ,则a 的取值范

围是 .

10.已知函数f x =4x

2-6x+2.

(1)求f x 的单调区间;

(2)求f x 在 2,4 上的最大值.

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·13·

单招·数学

第3节 函数的奇偶性、周期性

1.函数的奇偶性定义

(1)偶函数

一般地,如果对于函数f(x)定义域内的任意

一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)

就叫作偶函数.

(2)奇函数

一般地,如果对于函数f(x)定义域内的任意

一个x,都 有 f(-x)= -f(x),那 么 函 数

f(x)就叫作奇函数.

2.函数奇偶性的性质

(1)具有奇偶性的函数,其定义城关于原点对

称.函数定义域关于原点对称是函数具有奇

偶性的必要条件,判断函数奇偶性时,应先看

定义域是否关于原点对称.若不对称,则函数

为非奇非偶函数;若对称,再根据定义或者图

象判断.

(2)若函数f(x)为偶函数,则:

①函数图象关于y轴对称;

②f(x)=f(-x)=f(|x|)

③f(x)-f(-x)=0.

(3)若函数f(x)为奇函数,则:

①函数图象关于原点对称;

③f(x)+f(-x)=0;

③当函数f(x)在x=0有意义时,有f(0)=0.

(4)两个奇偶函数的四则运算性质;(注意:两

个函数要求是定义在同一个关于原点对称的

定义域上)

①两个奇函数的和仍为奇函数;

②两个偶函数的和仍为偶函数;

③两个奇函数的积是偶函数;

④两个偶函数的积是偶函数;

⑤一个奇函数和一个偶函数的积为奇函数.

3.函数的周期性

(1)定义:对于函数y=f(x),如果存在一个

非零常数 T,使得对于函数定义域内的任意

一个x,都有f(x+T)=f(x),那么就称函

数y=f(x)为周期函数,称 T 为这个函数的

周期.

(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所

有周期中存在最小的正数,那么这个最小的

正数就叫作函数f(x)的最小正周期.

(3)常用结论:

①若函数f(x)满足f(x+m)=-f(x),则

函数的周期为2m;

②若函数f(x)满足f(x+m)=

1

f(x)

,则函

数的周期为2m;

③若函数f(x)满足f(x+m)=-

1

f(x)

,则

函数的周期为2m;

④若函数y=f(x)的图象同时关于相邻两条

直线x=a和x=b对称,则y=f(x)是周期

函数,且2|a-b|(a≠b)是函数f(x)的最小

正周期;

⑤若函数y=f(x)的图象同时关于相邻两点

(a,0),(b,0)对称,则y=f(x)是周期函数,

且2|a-b|(a≠b)是函数f(x)的最小正周

期;

⑥若函数y=f(x)的图象同时关于点(a,0)

和直线x=b对称,则y=f(x)是周期函数,

且4|a-b|(a≠b)是函数f(x)的最小正周

期.

考点一 奇偶性

[例1] 已知函数f(x)=

x+m

2x

2-1

在(-∞,n)

∪(n+2,+ ∞)上 为 奇 函 数,则 m +n=

.

解析:因为函数f(x)=

x+m

2x

2-1

在(-∞,n)∪

(n+2,+∞)上为奇函数,故定义域关于原点

对称,所以n+(n+2)=0,故n=-1,因此定

义域为(-∞,-1)∪(1,+∞).因为函数为

奇函数,所以f(-2)=-f(2),代入解得 m

=0,所以m+n=-1.

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·14·

第二章 函数、导数及其应用

【总结升华】

判断函数奇偶性,一定记住定义域优先,如果

定义域不关于原点对称,则函数不具有奇偶

性,若函数f(x)为奇函数,且在x=0处有意

义时,有f(0)=0;反之不成立,若函数f(x)

为偶函数,则f(x)=f(|x|);反之成立.

跟踪训练1 下列函数为奇函数的是 ( )

A.f(x)=2

x -

1

2

x B.f(x)x

3sinx

C.f(x)2cosx+1 D.f(x)x

2+2

x

考点二 周期性

[例2] 已知函数f(x)是定义在 R上的函数,

对任意的x∈R 均满足f(x)=-

1

f(x+1)

,

试判断函数f(x)的周期性.

解析:因为函数f(x)满足对任意的实数x,

均有f(x)= -

1

f(x+1)

,故 f(x+1)= -

1

f(x)

,则f(x+2)=

-1

f(x+1)=f(x),因此

函数f(x)是以T=2为周期的函数.

【总结升华】

若函数f(x)对任意x都满足f(x+a)=f(x

+b),则函数f(x)为周期函数;若函数f(x)

对任意x都满足f(x+a)=f(b-x),则函数

f(x)的图象为轴对称图形.

跟踪训练 2 定 义 在 R 上 的 函 数 f(x)满 足

f(x+6)=f(x),当-3≤x<-1时,f(x)=

-(x+2)2;当 -1≤x<3 时,f(x)=x.则

f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2015)等于

( )

A.335 B.336

C.1678 D.2012

考点三 奇偶性和周期性的应用

[例3] 已知函数f(x)是定义域为 R 的奇函

数,且函数图象关于直线x=1对称,试判断

函数f(x)的周期性.

解析:因为函数为奇函数,所以有f(-x)=

-f(x),又由于函数图象关于直线x=1对

称,则f(1-x)=f(1+x),故f(-x)=f(x

+2),从而f(x+4)=f(x),所以函数f(x)

是以T=4为周期的周期函数.

【总结升华】

函数f(x)的图象关于x=a对称⇔f(a+x)

=f(a-x)⇔f(2a+x)=f(-x)⇔f(2ax)=f(x).

跟踪训练3 若f(x)是 R 上周期为5的奇函

数,且满足 f(1)=1,f(2)=2,则 f(3)-

f(4)等于 ( )

A.-1 B.1

C.-2 D.2

1.下列函数中,既是奇函数,又在(0,+∞)上单

调递增的函数是 ( )

A.y=-x B.y=- x

C.y=1-x

2 D.y=-

2

x

2.已 知 函 数 f x =ax

5 +bx

3 +cx + 1

abc≠0 ,若f -2 =5,则f 2 = ( )

A.-6 B.-5

C.-4 D.-3

3.若 函 数 f x =ax

2 +bx +1 是 定 义 在

-1-a,2a 上的 偶 函 数,则 该 函 数 的 最 大

值为 ( )

A.10 B.5

C.3 D.2

4.已知函数f(x)为奇函数,对任意x∈R,都有

f(x+6)=f(x),且f(2)=4,则f(2014)=

( )

A.-4 B.-8

C.0 D.-16

5.已知函数f(x)为定义在 R上的奇函数,当x

>0时,f x =

2

x

-x+2022,则f(-2)的值

为 .

6.已知f(x)=

x+a

x

2+1

是奇函数,则a= .

7.偶函数f x 对任意x∈R 都有f x+2 =

-f x ,则f 2021 = .

8.已知f(x)是定义在 R 上的周期为3的奇函

数,且f(-1)=2f(10)+3,则 f(2021)=

.

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·15·

单招·数学

9.f(x)是定义在(-2,2)上的偶函数,当x∈

[0,2)时f(x)单调递减.若f(1-m)<f(m)

成立,求m 的取值范围.

10.设 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f(x)在 区 间

0.+∞ 上单 调 递 减,如 果 f(m

2 -2)>f

(m),求实数m 的取值范围.

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第4节 指数与指数函数

1.根式

(1)概念:式子na叫做 ,其中n叫做

根指数,a叫做被开方数.

(2)性质:(na)n =a(a使na有意义);当n为

奇数时,n a

n =a,当n 为偶数时,n a

n =|a|

=

a,a≥0, -a,a<0.

.

2.分数指数幂

(1)规定:正数的正分数指数幂的意义是a

m

n

=

na

m (a>0,m,n∈N

* ,且n>1);正数的负

分数指数幂的意义是a

-

m

n = (a>0,

m,n∈N

* ,且n>1);0的正分数指数幂等于

0;0的负分数指数幂 .

(2)有理指数幂的运算性质:a

ra

s = ;

(a

r)s= ;(ab)r = ,其中a>0,

b>0,r,s∈Q.

3.指数函数及其性质

(1)概念:函数y=a

x (a>0且a≠1)叫做指

数函数,其中指数x是自变量,函数的定义域

是 R,a是底数.

(2)指数函数的图象与性质

a>1 0<a<1

图象

定义域 R

值域

性质

过定点 ,即x=0时,y=1

当 x > 0 时,

;当x<0

时,

当 x > 0 时,

;当x<

0时,

在(- ∞,+ ∞)

上是

在(-∞,+∞)

上是

重要结论

1.(na)n =a(n∈N

* ).

2.

n a

n =

a,n为奇数,

|a|=

a,a≥0, n为偶数, -a,a<0.

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??

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·16·

第二章 函数、导数及其应用

3.底数a的大小决定了图象相对位置的高低,

不论是a>1,还是0<a<1,在第一象限内底

数越大,函数图象越高.

考点一 有理指数幂的运算

[例1] 化简:(1) a

3b

23ab

2

(a

1

4b

1

2 )4a

-

1

3b

1

3

(a>0,b>0);

(2)(-

27

8

)-

2

3 +(0.002)-

1

2 -10(5-2)-1+

(2- 3)0.

思维点拨:可先将根式化成分数指数幂,再利

用幂的运算性质进行计算.

解:(1)原 式 = (a

3b

2a

1

3b

2

3 )

1

2 =a

3

2 +

1

6 -1+

1

3

b1+

1

3 -2-

1

3 =ab

-1.

(2)原式=(-

27

8

)-

2

3 +(1

500

)-

1

2 -

10

5-2

+1

=(-

8

27

)

2

3 +500

1

2 -10(5+2)+1

=

4

9

+10 5-10 5-20+1=-

167

9

.

跟踪训练1 计算:1.5

-

1

3 ×(-

7

6

)0+8

0.25×

42

+(32× 3)6- (2

3

)

2

3 .

【总结升华】

求解有理指数幂的运算时,应该注意化根式

为分数指数幂,化小数为分数,化负指数为正

指数,还要灵活运用有理数幂的运算法则.

①a

m ·a

n =a

m+n (a>0,m,n∈Q)(同底指数

幂相乘,底数不变指数相加);

②(a

m )n =a

mn (a>0,m,n∈Q)(指数幂的乘

方,底数不变,指数相乘);

③(ab)r =a

rb

r (a>0,b>0,r∈Q)(两数积的

乘方等于两数乘方的积).

考点二 指数函数及其性质

[例2] 函数f(x)=a

x-2+1(a>0且a≠1)的

图象必经过点 ( )

A.(0,1) B.(1,1)

C.(2,0) D.(2,2)

解析:∵a

0=1,∴f(2)=2,

故f(x)的图象必过点(2,2).

答案:D

【总结升华】

指数型函数或定点问题,牢记指数函数过定

点(0,1),再根据图象的平行移动,“左加右

减,上加下减”求解问题.

跟踪训练2 函数y=a

4x-1+2,则函数过定点

.

考点三 指数函数的综合应用

[例3] 函数y=(1

2

)

x

2

+2x-1的值域是 ( )

A.(-∞,4) B.(0,+∞)

C.(0,4] D.[4,+∞)

解析:因为x

2+2x-1=(x+1)2-2≥-2,

又函数y=(1

2

)t,其中t=x

2+2x-1是单调

递减的,所以0<y=(1

2

)t ≤(1

2

)-2,故所求

函数的值域为(0,4],因此选 C.

【总结升华】

指数型函数f(x)=a

g(x)的定义域就是函数g

(x)的定义域;求解函数f(x)的值域时,应该

先求出g(x)的取值范围,再根据底数a的范

围,得函数单调性,再利用函数的单调性求解

函数f(x)的值域.

跟踪训练3 若函数f(x)=a

x -1(a>0且a

≠1)的定义域和值域都是[0,2],则实数a=

.

1.下列根式与分数指数幂的互化,正确的是

( )

A.- x= -x

1

2 x>0

B.

6

x

2=-x

3 x<0

C.x

-

3

4 =

4

1 x

3

x>0

D.x

-

1

3 =-

3

x x>0

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·17·

单招·数学

2.下 列 函 数 中,既 是 指 数 函 数,又 在 区 间

0,+∞ 上为严格减函数的是 ( )

A.y=x

-

1

2 B.y=x

2

C.y=

1 2

x

D.y=2

x .

3.若指数函数y=a

x ,y=b

x ,y=c

x (其中a、b、c

均为不等于1的正实数)的图象如图所示,则

a、b、c的大小关系是 ( )

A.a>b>c B.c>a>b

C.c>b>a D.b>a>C

4.已 知 集 合 A = xlog2x<0 ,集 合 B =

y y=

1 2

x

,x<1 ,则A∩B= ( )

A.

1

2 ,1 B.0,1 2

C. 1,+∞ D.

1

2 ,+∞

5.函数f(x)=2

x-3(1<x≤5)的值域是 .

6.已 知 a

2 +a+2

x > a

2 +a+2

1-x ,则 x 的

取值范围是 .

7.不等式2

x <2

3-2x 的解集是 .

8.设 m,n 为实数,已知下列不等式成立,试比

较m,n的大小:

(1)2

m <2

n ;

(2)0.2

m <0.2

n ;

(3)a

m <a

n(0<a<1).

9.已知函数f(x)=a

x (a>0,a≠1),且f(2)-

4f(1)=-4.

(1)求a的值

(2)若f(3m-2)<f(2m+5),求实数 m 的

取值范围.

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第5节 对数与对数函数

1.对数运算

对数的性质、换底公式与运算性质

性

质

①loga1=0;②logaa=1;③a

logaN =N(a

>0且a≠1)

换

底

公

式

logab=

logcb

logca

(a,c均大于零且不等于1,

b>0).

推论:①logab=

1

logba

;②logabn n =logab;

③logabn m =

m

n

logab

续表

运

算

性

质

如果a>0,且a≠1,M >0,N >0,那

么:

①loga(M·N)=logaM +logaN;

②loga

M

N

=logaM -logaN;

③logaM

n =nlogaM(n∈R)

注意:对数的运算性质以及有关公式都是在

式子中所有的对数符号有意义的前提下才成

立的,不能出现log212=log2[(-3)×(-4)]

=log2(-3)+log2(-4)等错误.

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第二章 函数、导数及其应用

2.对数函数的图象与性质

a>1 0<a<1

图

象

性

质

定义域:(0,+∞)

值域:R

过点(1,0),即x=1时,y=0

当x>1时,y>0;

当0<x<1时,y<0

当x>1时,y<0;

当0<x<1时,y>0

是(0,+∞)上的增

函数

是(0,+ ∞)上 的

减函数

考点一 对数的运算

[例1] 计算下列各式的值:

(1)(log32+log92)×(log43+log83);

(2)lg25+lg2×lg50+(lg2)2.

解析:(1)原式=(log32+

1

2

log32)×(1

2

log23

+

1

3

log23)=

3

2

log32×

5

6

log23=

5

4

.

(2)原式=2lg5+lg2×(lg5+lg10)+(lg2)2

=2lg5+lg2×lg5+lg2+(lg2)2

=2lg5+lg2+lg2×(lgs+lg2)

=2lg5+2lg2=2.

【总结升华】

求解对数式的运算时,能化成同底的,先化成

同底的对数再进行求解;不能化成同底的对

数式,应注意对数的运算法则,灵活变通.

跟踪训练1 化简下列各式(1)4lg2+3lg5-

lg

1

5

;

(2)lg 27+lg8-lg 1000

lg1.2

;

考点二 对数函数的概念

[例2] 下列函数中,哪些是对数函数?

(1)y=loga x(a>0,a≠1);

(2)y=log2x+2;

(3)y=8log2(x+1);

(4)y=logx6(x>0,x≠1);

(5)y=log6x.

解析:(1)中真数不是自变量x,不是对数函

数.(2)中对数式后加2,所以不是对数函数,

(3)中真数为x+1,不是x,系数不为1,故不

是对数函数.(4)中底数是自变量x,而非常

数,所以不是对数函数.(5)中底数是6,真数

为x,符合对数函数的定义,故是对数函数.

【总结升华】

所给的函数中有些形似对数函数,解答时要严

格按照对数函数的定义寻找其满足的条件.

考点三 对数函数的单调性及应用

[例3] 设a=log36,b=log510,c=log714,则

( )

A.c>b>a B.b>c>a

C.a>c>b D.a>b>c

解析:因为a=log36=log3(2×3)=log32+

1,b=log510=log5 (2×5)=log52+1,c=

log714=log7(2×7)=log72+1,根据对数函

数的性质,知log32>log52>log72,因此a>b

>c,所以选 D.

【总结升华】

对数的大小比较

(1)底数相同,真数不同时,利用对数函数的

单调性;

(2)底数不同,真数相同时,利用对数函数的

图象,在x轴同侧,底数大于1时,越靠近x

轴,底数越大;底数大于0小于1时,越靠近

x轴,底数越大;

(3)底数不同,真数不同时,利用中间值法.

[例4] 函数y=log3x 在区间[a,b]上的值域

为[0,1],则b-a的值为 .

解析:因为y=log3x 是以3为底的对数函

数,所以在定义域上单调递增,因为在区间

[a,b]上的值域为[0,1],所以log3b=1,log3

a=0,因此b=3,a=1,则b-a=2.

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·19·

单招·数学

【总结升华】

求解对数函数问题时,要抓住底数的范围以

及函数的单调性,当底数的范围比较笼统(比

如底数大于0且不等于1)时,在解决问题的

过程中,应该注意对底数进行分类讨论.

跟踪训练2 已知a=2.1

1

3 ,b=log

2

4,c=log

1.6

3 ,

则 ( )

A.a>b>c B.a>c>b

C.b>a>c D.c>a>b

跟踪训练3 求函数y=log1

2 (-x

2+2x+3)

的单调区间.

1.7

1+log75= ( )

A.12 B.35

C.7

5 D.7

7

2.已知函数f(x)=

e

x ,x≤0 lnx,x>0

,则f(f(1))=

( )

A.e B.-1

C.0 D.1

3.设 集 合 A = x|2

x ≥4 ,集 合 B =

x|y=lg(x-1) ,则A∪B= ( )

A.[1,2) B.(1,2]

C.(1,+∞) D.[2,+∞)

4.函数y= 2-log2x的定义域是 ( )

A. 0,4 B. -∞,4

C. 0,+∞ D. 0,1 .

5.在同一个坐标系下,函数y=2

x 与函数y=

log1

2x的图象都正确的是 ( )

6.已知a=log23,b=

1 2

3

,c=log1

23,则a,b,c

的大小关系为 ( )

A.a>b>c B.b>a>c

C.c>b>a D.c>a>b

7.设函数f x =

log2 x+1 ,x≥0 -x,x<0

,则满足f

x <2的x的取值范围 .

8.解关于a的不等式:loga(1-a)<loga(2a).

9.(1)求使不等式log2x>5成立的x的集合.

(2)已 知log2 2x-1 =log2 x

2 -16 ,求 x

的值.

10.已知a>0,a≠1且loga3>loga2,若函数f

x =logax 在区间 a,2a 上的最大值与最

小值之差为1.

(1)求a的值;

(2)解不等式log1

3 x-1 >log1

3 a-x .

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·20·

第二章 函数、导数及其应用

第6节 二次函数与幂函数

1.幂函数

(1)幂函数的定义

一般地,形如 的函数称为幂函数,其

中x是自变量,a为常数.

(2)常见的5种幂函数的图象

(3)常见的5种幂函数的性质

函数特

征性质

y=x y=x

2 y=x

3 y=x

1

2 y=x

-1

定义域 R R R

{x|x∈R,

且x≠0}

值域 R [0,+∞) R [0,+∞)

奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇

2.二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式

一般式:f(x)= .

顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),顶点坐

标为 .

零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),

x1,x2 为f(x)的零点.

(2)二次函数的图象和性质

解析式

f(x)=ax

2 +bx

+c(a>0)

f(x)=ax

2+bx

+c(a<0)

图象

定义域 (-∞,+∞) (-∞,+∞)

值域

续表

单调性

在 (- ∞,-

b

2a

]

上单调递减;

在 上单

调递增

在 上

单调递增,

在[-

b

2a

,+∞)

上单调递减

对称性 函数的图象关于x=-

b

2a

对称

(3)二次函数的零点的分布问题

二次函数f(x)=ax

2+bx+c(a≠0)两个零

点为x1,x2 的分布情况如下表(只讨论a>0

的情况,a<0时可变形为a>0的情况):

根 的 分 布

(m <n<p

<s为常数)

图象 满足的条件

x1<x2<m

Δ>0

-

b

2a

<m

f(m)>0

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???

???

m<x1<x2

Δ>0

-

b

2a

>m

f(m)>0

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???

???

x1<m<x2 f(m)<0

m<x1 <x2

<n

Δ>0

m<-

b

2a

<n

f(m)>0

f(n)>0

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???

???

m <x1 <n

<x2<p

f(m)>0

f(n)<0

f(p)>0

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??

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·21·

单招·数学

考点一 幂函数的图象和性质

[例1] 幂函数y=x

m

2

-2m-3(m∈Z)的图象关

于y轴对称,且当x>0时,函数是减函数,则

m 的值为 ( )

A.1 B.0

C.-1<m<3 D.2

解析:由题意可知,当x>0时,函数是减函

数,于是m

2-2m-3<0,解得-1<m<3.又

函数图象关于y 轴对称,因此,m

2 -2m-3

为偶数,经过验证可得 m=1符合题意,因此

选 C.

【总结升华】

关于幂函数这一节,需要重点掌握的是五个

基本函数y=x,y=x

2,y=x

3,y=x

-1,y=

x

1

2 的图象和性质,以及偶函数图象关于y 轴

对称,奇函数图象关于原点对称.

跟踪训练1 幂函数y=x

m

2

-4m (m∈Z)的图象

如图所示,则m 的值为 ( )

A.0 B.1

C.2 D.3

考点二 二次函数的图象与性质

[例2] 已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f

(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,求此二

次函数的解析式.

解析:因为f(x)的最大值是8,所以设此二

次函数的解析式为f(x)=a(x-k)2+8.又

因为 f(2)= -1,-f(-1)=-1,所 以 有

a(2-k)2+8=-1

a(-1-k)2 +8=-1

,解得a=-4,k=

1

2

.

因此,二次函数的解析式为:f(x)=-4(x1

2

)2+8=-4x

2+4x+7.

【总结升华】

求解二次函数解析式的方法有:

(1)若二次函数与x 轴交点的横坐标为x1,

x2,可设f(x)=a(x-x1)(x-x2);

(2)顶点式:y=a(x-k)2+h;

(3)待定系数法:设二次函数的解析式f(x)

=ax

2+bx+c(a≠0),再根据条件列方程组

求解a,b,c即可.

跟踪训练2 如果函数f(x)=ax

2+2x-3在

区间-(-∞,4)上是单调递增的,则实数a

的取值范围是 ( )

A.a>-

1

4

B.a≥-

1

4

C.-

1

4

≤a<0 D.-

1

4

≤a≤0

考点三 一元二次方程根的分布

[例3] (1)已知一元二次方程2x

2-(m+1)x

+m=0有两个不相等的实数根,则实数 m

的取值范围是 .

(2)已知一元二次方程2x

2-(m+1)x+m

=0有两 个 不 相 等 的 正 实 根,则 实 数 m 的

取值范围是 .

解析:(1)因为一元二次方程2x

2-(m+1)x

+m=0有两个不相等的实数根,所以 Δ=

(m+1)2-8m>0,解得 m<3-2 2或 m>3

+2 2,因此实数m 的取值范围是(-∞,3-

2 2)∪(3+2 2,+∞).

(2)因为一元二次方程2x

2-(m+1)x+m=

0 有 两 个 不 相 等 的 正 实 根, 所 以

Δ=(m+1)2-8m>0

-

-(m+1)

4

>0

f(0)=m>0

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??

??

,解得m>3+2 2,因

此实数m 的取值范围是(3+2 2,+∞).

【总结升华】

一元二次方程的根的个数问题,要注意Δ.若

一元二次方程有两个不等实根,则Δ>0;若一

元二次方程有两个相等实根,则Δ=0;若方程

没有实根,则Δ<0;若方程有实数根,则Δ≥0.

跟踪训练3 关于x的方程ax

2-2(a+1)x+

a-1=0,求a为何值时:

(1)方程有一正一负根;

(2)方程两根都大于1.

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·22·

第二章 函数、导数及其应用

1.已 知 函 数 f x = a

2 -2a-2 x

1

a-3 为 幂 函

数,则实数a的值为 ( )

A.-1或3 B.-3或1

C.-1 D.1

2.图中C1,C2,C3 为三个幂函数y=x

a 在第一

象限内的图象,则解析式中指数a 的值依次

可以是 ( )

A.0.5,3,-1 B.-1,3,0.5

C.0.5,-1,3 D.-1,0.5,3

3.若f x 为幂函数,且f x 在 0,+∞ 上单

调递减,则f x 的解析式可以是 ( )

A.f x =-x

2 B.f x =

2

x

C.f x =x

3 D.f x =

1

x

2

4.使幂函数y=x

α 为偶函数,且在(0,+∞)上

是减函数的α值为 ( )

A.-1 B.-

2

3

C.-

1

2

D.2

5.如果二次函数y=ax

2+bx+1的图象的对称

轴是x=1,并且通过点A(-1,7),则 ( )

A.a=2,b=4 B.a=2,b=-4

C.a=-2,b=4 D.a=-2,b=-4

6.函数f(x)=-x

2+2x+3的单调递减区间

是 ( )

A.[1,+∞) B.(-∞,1]

C.(-∞,0) D.(0,+∞)

7.函数y=x

2+2(m-1)x+3在区间(-∞,-

2]上是减函数,则m 的取值范围是 ( )

A.m≤3 B.m≥3

C.m≤-3 D.m≥-3

8.二次函数y=f x 的图象经过坐标原点,若其

导函数为f

'(x)=3x1

2

,则f x = .

9.已知幂函数 f(x)= 2m

2 -m-2 x

4m

2

-2 (m

∈R)为偶函数.

(1)求f x 的解析式;

(2)若函数g(x)=f(x)-2(a-1)x+1在区

间 0,4 上的最大值为9,求实数a的值.

10.已 知 函 数 f x =x

2 +2ax +3,x ∈

-4,6 .

(1)当a=-2时,求f x 的最值;

(2)若f x 在区间 -4,6 上是单调函数,求

实数a的取值范围.

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·23·

单招·数学

第7节 函数与方程

1.函数的零点

(1)函数零点的定义

对于函数y=f(x)(x∈D),把使 的

实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点.

(2)几个等价关系

方程f(x)=0有实数根,函数y=f(x)的图象

与 有交点,函数y=f(x)有 .

(3)函数零点的判定(零点存在性定理)

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是

连续不断的一条曲线,并且有 ,那

么,函数y=f(x)在区间 内有零点,即

存在c∈(a,b),使得 ,这个 也

就是方程f(x)=0的根.

2.二次函数y=ax

2+bx+c(a>0)的图象与零

点的关系

Δ>0 Δ=0 Δ<0

二次函数y

=ax

2 +bx

+c(a>0)

的图象

与x轴的

交点

无交点

零点个数

3.二分法

对于在区间[a,b]上连续不断且 的

函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零

点所在的区间 ,使区间的两个端点

逐步逼近 ,进而得到零点近似值的

方法叫做二分法.

考点一 零点区间的判定

[例1] 函数f(x)=2

x +x

3-4的零点所在区

间为 ( )

A.(-1,0) B.(0,1)

C.(1,2) D.(2,3)

解析:判断函数零点所在区间的方法是看区

间端点的函数值是否异号,因为f(0)=-4

<0,f(1)=-1<0,f(2)=8>0,因此函数

f(x)=2

x +x

3-4的零点所在区间为(1,2),

故选 C.

【总结升华】

一般涉及函数零点所在区间的问题,就是对

零点存在性定理的考查.如果函数y=f(x)

在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲

线,并且有f(a)·f(b)<0,那么函数在区间

(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)

=0,这个c也就是方程的根,一般地,判断函

数y=f(x)有 没 有 零 点,也 就 是 判 断 方 程

f(x)=0有没有实数根,这里要注意函数的

连续性.

跟踪训练1 函数f(x)=2

x +3x 的零点所在

的一个区间是 ( )

A.(-2,-1) B.(-1,0)

C.(0,1) D.(1,2)

考点二 零点的个数及求法

[例2] 函数f(x)=x

2-(1

2

)x 的零点有

个.

解析:令f(x)=x

2-(1

2

)x =0,

得x

2=(1

2

)x ,分别画出画数x

2 与(1

2

)x 的图

象,如下图:

又当x=-4时,x

2=16,(1

2

)-4=16,结合图象

知,画函数f(x)=x

2-(1

2

)x 的零点有3个.

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·24·

第二章 函数、导数及其应用

【总结升华】

函数零点就是使得函数值为0的自变量的取

值,因此形如函数f(x)=g(x)+h(x)的零

点个数问题,可以转化为g(x)+h(x)=0的

解的个 数 的 问 题,进 一 步 转 化 为 g(x)=

-h(x)两个函数图象的交点个数问题.

跟踪训练2 函数f(x)=

lnx-x

2+2x,x>0, 4x+1,x≤0

的零点个数是 .

考点三 用二分法求方程的近似解

[例3] 关于“二分法”求方程的近似解,下列

说法中正确的是 ( )

A.“二分法”求方程的近似解一定可将y=f

(x)在区间[a,b]内的所有零点得到

B.“二分法”求方程的近似解有可能得不到y

=f(x)在区间[a,b]内的零点

C.应用“二分法”求方程的近似解,函数y=f

(x)在区间[a,b]内有可能无零点

D.“二分法”求方程的近似解可能得到f(x)

=0在区间[a,b]内的精确解

解析:近似解并非精确解,由二分法的定义可

知 B正确.

跟踪训练3 对于函数f(x)在定义域内用二分

法的求解过程如下:f(2011)<0,f(2012)<0,

f(2013)>0,则下列叙述正确的是 ( )

A.函数f(x)在(2011,2012)内不存在零点

B.函数f(x)在(2012,2013)内不存在零点

C.函数f(x)在(2012,2013)内存在零点,并

且仅有一个

D.函 数 f(x)在 (2011,2012)内 可 能 存 在

零点

1.函数f(x)=-x

2+5x-6的零点是 ( )

A.(-2,3) B.2,3

C.(2,3) D.-2,-3

2.函数f x =ax+8的零点为4,则实数a的

值为 ( )

A.2 B.-2

C.

1

2

D.-

1

2

3.函数f x =e

x-2-2的零点所在的区间是

( )

A. 0,1 B. 1,2

C. 2,3 D. 3,4

4.若方程x

2-2mx+4=0的两根满足一根大

于2,一根小于1,则m 的取值范围是 ( )

A.

5

2 ,+∞ B.-∞,5 2

C.

5

2 ,3 D.1,5 2

5.已知函数f x =2x-b的零点为x0,且x0∈

-1,1 ,那么b的取值范围是 .

6.已知方程x-(2x-a)

2

=2的解为负数,求正

整数a的值.

7.(1)若函数y=mx

2+6mx+m+8有且仅有

一个零点,求m 的值;

(2)若关于x的不等式mx

2+6mx+m+8≥0

在R 上恒成立,求m 的取值范围.

8.已知函数f x =x

2+ax+3.

(1)若f x 有一个零点为x=3,求a;

(2)若当x∈R 时,f x ≥a 恒成立,求a 的

取值范围.

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·25·

单招·数学

9.已知关于x的一元二次方程x

2-4x+2k=0.

(1)若方程有实数根,求实数k的取值范围;

(2)如果k是满足(1)的最大整数,且方程x

2

-4x+2k=0的根是一元二次方程x

2-2mx

+3m-1=0的一个根,求 m 的值及这个方

程的另一个根.

10.已知函数f x 是定义在R 上的偶函数,且

当x≥0时,f x =x

2-2x.

(1)求f 0 及f f 1 的值;

(2)若关于x的方程f x -m=0有四个不

同的实数解,求实数m 的取值范围.

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第8节 函数的应用

1.几类函数模型及其增长差异

(1)几类函数模型

函数模型 函数解析式

一次函数模型

f(x)=ax+b(a、b为常

数,a≠0)

反比例函数模型

f(x)=

k

x

+b(k,b 为 常

数且k≠0)

二次函数模型

f(x)=ax

2+bx+c

(a,b,c为常数,a≠0)

指数函数模型

f(x)=ba

x +c

(a,b,c为常数,b≠0,a>

0且a≠1)

对数函数模型

f(x)=blogax+c

(a,b,c为常数,b≠0,a>

0且a≠1)

幂函数模型

f(x)=ax

n +b(a,b为常

数,a≠0)

(2)三种函数模型的性质

函数

性质

y=a

x

(a>1)

y=logax

(a>1)

y=x

n

(n>0)

在(0,+∞)

上的增减性

单调 单调

单调

递增

增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳

图象的

变化

随x 的 增

大 逐 渐 表

现 为 与

平行

随x 的 增

大 逐 渐 表

现 为 与

平行

随 n 值

变 化 而

各 有 不

同

值的比较

存在一个 x0,当 x>x0 时,有

logax<x

n <a

x

2.解函数应用问题的步骤(四步八字)

(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数

量关系,初步选择数学模型;

(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文

字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立

相应的数学模型.

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·26·

第二章 函数、导数及其应用

考点一 一次函数、二次函数模型

[例1] 某跳水运动员在一次跳水训练时的跳

水曲线为如图所示的抛物线的一段,已知跳

水板AB 长为2m,跳水板距水面 CD 的高

BC 为3m,CE=5m,CF=6m,为安全和空

中姿态优美,训练时跳水曲线应在离起跳点

hm(h≥1)时达到距水面最大高度4m,规

定:以CD 为横轴,CB 为纵轴建立直角坐标

系.

(1)当h=1时,求跳水曲线所在的抛物线方

程;

(2)若跳水运动员在区域 EF 内入水时才能

达到压水花的训练要求,求达到压水花的训

练要求时h的取值范围.

解:(1)由题意知最高点为(2+h,4),h≥1,

设抛物线方程为y=a[x-(2+h)]2+4,

当h=1时,最高点为(3,4),方程为y=a(x

-3)2+4,

将A(2,3)代入,得3=a(2-3)2+4,解得a

=-1.

∴当h=1时,跳水曲线所在的抛物线方程为

y=-(x-3)2+4.

(2)将点A(2,3)代入y=a[x-(2+h)]2+4

得ah

2=-1,所以a=-

1

h

2.

由题意,得方程a[x-(2+h)]2+4=0在区

间[5,6]内有一解.

令f(x)=a[x-(2+h)]2+4=-

1

h

2[(x-(2

+h)]2+4,

则f(5)=-

1

h

2(3-h)2+4≥0,且f(6)=-

1

h

2(4-h)2+4≤0.

解得1≤h≤

4

3

.

所以达到压水花的训练要求时h的取值范围

为[1,4

3

].

【总结升华】

在实际问题中,有很多问题的两变量之间的

关系是一次函数或二次函数模型、对于一次

函数,其增长特点是直线上升或者直线下降,

构建一次函数模型,利用一次函数图象和单

调性求解.对于二次函数模型,如面积问题、

利润问题、产量问题等,构建二次函数模型,

利用二次函数图象与单调性,在解决应用问

题时,一定要注意定义域.

跟踪训练1 某租赁公司拥有汽车100辆,当

每辆车的月租金为3000元时,可全部租出.

当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的

车将会增加一辆、租出的车每辆每月需要维

护费150元,未租出的车每辆每月需要维护

费50元.

(1)当每辆车的月租金定为3600元时,能租

出多少辆车?

(2)当每辆车的月租金定为多少时,租赁公司

的月收益最大? 最大月收益是多少元?

考点二 分段函数模型

[例2] 已知 A、B 两地相距150千米,某人开

汽车以60千米/小时的速度从 A 地到B 地,

在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速

度返回A 地,把汽车离开A 地的距离x 表示

为时间t(小时)的函数表达式是 ( )

A.x=60t

B.x=60t+50

C.x

60t,0≤t≤2.5 150-50,t>3.5

D.

x=60t,0≤1≤2.5

150,2.5<t≤3.5

150-50(t-3.5),3.5<t≤6.5

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·27·

单招·数学

解析:当汽车以60千米/小时的速度从 A 地

到B 地时,x=60t,0≤t≤2.5;因为在B 地停

留了1小时,所以x=150,2.5<t≤3.5;汽车

以50千米/小时的速度返回时,x=150-50

(t-3.5),3.5<t≤6.5.故选 D.

【总结升华】

分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的

规律不同,可以先将其当作几个问题,将各段

的变换规律分别找出来,再合到一起,要注意

各段自变量的取值范围,特别是端点值,构造

分段函数时,要力求准确、简洁,做到分段合

理,不重不漏.

跟踪训练2 某学校制定奖励条例,对在教育

教学中取得优异成绩的教职工实行奖励,其

中有一个奖励项目是针对学生高考成绩的高

低对任课教师进行奖励的.奖励公式为f(n)

=k(n)(n-10),n>10(其中n是任课教师所

在班级学生参加高考该任课教师所任学科的

平均成绩与该科省平均分之差,f(n)的单位

为元),而k(n)=

0 (n≤10),

100 (10<n≤15),

200 (15<n≤20),

300 (20<n≤25),

400 (n>25).

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???

???

现 有

甲、乙两位数学任课教师,甲所教的学生高考

数学平均分超出省平均分18分,而乙所教的

学生高考数学平均分超出省平均分21分.则

乙所得奖励比甲所得奖励多 ( )

A.600元 B.900元

C.1600元 D.1700元

考点三 指数函数模型

[例3] 某城市现有人口总数为100万人,如

果年自然增长率为1.2%试解答下列问题:

(1)写出该城市人口总数y(万人)与年数x

(年)之间的函数关系式;

(2)计算10年以后,该城市人口总数(精确到

0.1万人);

(3)计算大约多少年以后,该城市人口将达到

120万人(精确到1年).

(1.012

10=1.127;1.012

15=1.196;1.012

16=

1.210)

解析:(1)y=100×(1+1.2%)x ,x∈N

* ;

(2)当x=10 时,y=100×(1+1.2%)10 =

100×1.127=112.7万人;

(3)当y=120时,100×(1+1.2%)x =120,

即1.012

x =1.2,解得15<x<16,故大约16

年以后,该城市人口将达到120万人.

答:10年后,该城市人口总数为112.7万人;

大约16年后,该城市人口将达到120万人.

【总结升华】

指数型增长模型y=N(1+p)x (其中x 为时

间,p 为增长率,N 为基础数)和幕函数增长

模型y=a(1+x)n (其中n为时间,x 为增长

率,a为基础数)的形式,解题时,要正确代入

各量.

跟踪训练3 某种病毒经30分钟繁殖为原来

的2倍,且知病毒的繁殖规律为y=e

kt (其中

k为常数,t表示时间,单位:小时,y 表示病

毒个数),则k= ,经过5小时,1个病

毒能繁殖为 个.

1.据调查,某存车处(只存放自行车和电动车)

在某天的存车量为400辆次,其中电动车存

车费是每辆一次2元,自行车存车费是每辆

一次1元.若该天自行车存车量为x辆次,存

车总收入为y元,则y 关于x 的函数关系式

是 ( )

A.y=x+400 0≤x≤400

B.y=x+800 0≤x≤400

C.y=-x+400 0≤x≤400

D.y=-x+800 0≤x≤400

2.某种植物生长发育的数量y与时间x 的关系

如下表:

x 1 2 3 …

y 1 2 5 …

下面的函数关系式中,能表达这种关系的是

( )

A.y=log2(x+1) B.y=2

x -1

C.y=2x-1 D.y=(x-1)2+1

3.某种产品的总成本y(万元)与产量x(台)之

间的函数关系式是y=3000+20x-0.1x

2(0

<x<240),若每台产品的售价为25万元,则

生产者不亏本时的最低产量是 ( )

A.200台 B.150台

C.100台 D.50台

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·28·

第二章 函数、导数及其应用

4.据你估计,一种商品在销售收入不变的条件

下,其销量y与价格x 之间的关系最可能是

下图中的 ( )

5.已知某停车场规定:停车时间在3小时内,车

主需交费5元,若停车超过3小时,每多停1

小时,车主要多交3元,不足1小时按1小时

计算.一辆汽车在该停车场停了7小时20分

钟,在离开时车主应交的停车费为 ( )

A.16元 B.18元

C.20元 D.22元

6.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长

10.4% ,要增长到原来的x 倍,需经过y 年,

则函数y=f(x)的图象大致为 ( )

7.如图,一个长为5,宽为3的矩形被平行于边

的两条直线所割,其中矩形的左上角是一个

边长为x的正方形,则阴影部分面积的最小

值为 .

8.某数学练习册,定价为40元.若一次性购买

超过9本,则每本优惠5元,并且赠送10元

代金券;若一次性购买超过19本,则每本优

惠10元,并且赠送20元代金券.某班购买x

(x∈N

* ,x≤40)本,则总费用f(x)与x的函

数关系式为 (代金券相当于等价金

额).

9.某公司将进一批单价为8元的商品,若按10

元/个销售,每天可卖出100个;假设销售价

每上涨1元/个,每天的销售量就减少10个.

(1)设商品的销售价上涨 x 元/个 (0≤x≤

10,x∈N),每天的利润为y 元,试用列表法

表示函数y=f(x);

(2)求销售价为13元/个时每天的销售利润;

(3)如果销售利润为360元,那么销售价上涨

了多少元?

10.汕头市某体育用品商店购进一批滑板,每件

进价为100元,售价为130元,每星期可卖出

80件.商家决定降价促销,根据市场调查,每

降价5元,每星期可多卖出20件.

(1)求商家降价前每星期的销售利润为多少

元?

(2)降价后,商家要使每星期的销售利润最

大,应将售价定为多少元? 最大销售利润是

多少?

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