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（2022 通州一模——全距）★★★★★
28．在平面直角坐标系 xOy 中，给出如下定义：点 P 为图形G 上任意一点，将点 P 到原点
O 的最大距离与最小距离之差定义为图形G 的“全距”特别地，点 P 到原点O 的最大距离与最小
距离相等时，规定图形G 的“全距”为 0．
（1）如图，点 A( 3,1) − ， B( 3,1)．
①原点O 到线段 AB 上一点的最大距离为________，最小距离为________；
②当点C 的坐标为(0,m) 时，且△ABC 的“全距”为 1，求 m 的取值范围；
备用图
（2）已知OM = 2 ，等边△DEF 的三个顶点均在半径为 1 的⊙M 上．请直接写出△DEF
的“全距” d 的取值范围．
x
y
–3 –2 –1 1 2 3
–1
–2
–3
1
2
3
A B
O x
y
–3 –2 –1 1 2 3
–1
–2
–3
1
2
3
A B
O
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吴老师图解
（1）① 2 ，1.
思路&图解
如图，
最大距离为OA = 2 （或OB ），
最小距离为OH =1 .
（2）1 2 < m≤ 或 m = −2 .
分析
首先，要想构成△ABC ，那么点C 不能在线段 AB 上，即 m≠1，
下面对点C 的位置进行分类讨论：
1】 m >1
如图，若 m >1，
1）最小距离恒为OH =1，最大距离由OA或OC 决定！
2）要使得“全距”为 1，则最大距离只能为 2，
3）已知OA = 2 ，所以有OC≤2，
∴1 2 < m≤ .
2】 − < 2 1 ≤m
如图，若 − < 2 1 ≤m ，
1）最大距离恒为OA = 2 ，最小距离由OC 或OG 决定！
2）要使得“全距”为 1，则最小距离只能为 1，
3）当OC =1时，OG <1，故此情况下只能由OG 来决定最小距离 1！
4）发现，当 m = −2 时，△ABC 为等边三角形，此时OG =1，恰好符合题意！
∴ m = −2 .
x
y
2
3
1
H A B
O
x
y
H
A B
O
C
x
y
H
A B
O
C
x
y
H
A B
O
C
x
y
H A B
O
C
x
y
G
H A B
O
C
x
y
30°
G
H A B
O
C
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分析
3】 m < −2
如图，若 m < −2 ，
1）最小距离为OH =1，
2）最大距离为OC > 2，
故“全距”不可能为 1.
思路&图解
由【分析】知，1 2 < m≤ 或 m = −2 .
补充：
思路&图解
如图，
以O 为圆心，1 和 2 为半径作圆（阴影
部分），
若要使得△ABC 的“全距”为 1，
则△ABC 三边上的点，应都在阴影部分
的内部或边上！
∴1 2 < m≤ 或 m = −2 .
（2） 3 3
2
≤d ≤ .
分析
此问比较复杂，越复杂的问题吴老师越不太好去尽细描述，所以，希望同学们先多多画
图思考，然后再来看吴老师的图解！
如图，由题知点 M 在半径为 2 的⊙O 上，
首先，同学们要明白，本题中△DEF 的“全距”与点 M 的位置无关！
x
y
H A B
O
C
x
y
C
A B
O
C
x
y
E
F
O
M
D
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分析
如图，我们不妨在 x 轴上取点 M (2,0) ，作半径为 1 的⊙M ，
根据题意，△DEF 是顶点在⊙M 上的等边三角形，且等边△DEF 会以 M 为中心，进行 360°的
旋转，然后求出整个旋转过程中△DEF 的“全距”的取值范围！
我们知道，“全距”是由最大距离与最小距离组成，简单分析后，发现 2 个距离一并讨论不太方
便，故吴老师打算先从最大距离开始讨论，然后再把最小距离加进去…
如图，在△DEF 旋转过程中，每个顶点到 O 的距离都有可能作为最大距离，
我们以图中三种情况为例，点 D ， E ， F 只是“代号”，是为了方便文字语言描述（图中的点
D 也有可能是点 E 或者点 F ，但不影响最终的结论）！
简单分析，我们发现：
1）当 DF 与 y 轴平行时，最大距离为 OD 或 OF ，且 OD OF = ，
2）当 DF 与 y 轴不平行时，最大距离为OD （绿色三角形）或 OF （红色三角形），
但是，根据圆的对称性，其实红色三角形与绿色三角形的最大距离是一样的！
所以，本题我们只需以 OD 为最大距离，讨论点 D 在 60°圆弧下的运动情况即可！如下图：
确定好最大距离的大致情况后，我们试着把最小距离再加进来…
x
y
E
D
O M
F
x
y D
F
D
F
E
D
O M
F
x
y
60°
D
F
D
F
E D
O M
F
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分析
如图，当点 D 在60°弧上运动时，最小距离有 2 种情况：OE 或OH （垂线段）！
1】“全距” d 的最大值
图 2-1 图 2-2
1）图 2-1， d OD OE DE = − ≤ ，
2）图 2-2， d OD OH DH DE = − ≤ ≤ ，
所以，当O ， E ， D 三点共线时，“全
距” d 取到最大值 DE ！
已知 DM =1，且∠ =° DME 120 ，
易求得 DE = 3 ，即 max d = 3 . 图 2-3
2】“全距” d 的最小值
图 2-4 图 2-5
1）图 2-4，延长OE 交 DF 于点 N ，则 d OD OE ON OE EN =− −= ≥ ，
2）图 2-5，作 DG EF ⊥ ， DK OH ⊥ ，则 d OD OH OK OH HK DG =− − = = ≥ ，
且图 2-4 中的 EN > 图 2-5 中的 DG ，故当O ， H ， D 共线时“全距” d 取到最小值！
x
y
60°
H D
F
E
D
O M
F
x
y
E
D
O M
F
x
y
H
E
D
F
O M
x
y
120° 1
E
D
O M
F
x
y
N
E
D
O M
F
x
y
K
G
H
E
D
F
O M
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分析
如图，易求得此时 1 3 1
2 2
DG = += ，即 min
3
2
d = .
补充：求“全距”d 的最小值，∠ >° OEF 90 时的另一种情况
分析
如图，作 DG EF ⊥ ， DK OE ⊥ ，
则 d = OD OE OK OE EK DG −>−=> .
思路&图解
如图，
1）当O ， E ， D 三点共线时， max d = 3 ，
2）当O ， M ， D 三点共线时， min
3
2
d = .
∴综上所述： 3 3
2
≤d ≤ .
x
y
30° 1
H(G)
E
D
F
O M
x
y
G
K
E D
O M
F
x
y
120° 1
E
D
O M
F
x
y
30° 1
H
E
D
F
O M
