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（2023 通州一模）★★☆

27．直线 MO 是线段 AB 的垂直平分线．垂足为点 O．点 C 是直线 OM 上一点，连接

AC

．以 AC 为斜边作等腰直角△ACD，连接 OD．

（1）如图 1，若 CO＝AB，求∠AOD 的度数；

（2）如图 2 所示，点 E 是直线 MO 上一点，且 CE＝AB，连接 DE，延长 DO 至点 F，使

得 OF＝OD，连接 AF．依题意补全图 2，写出线段 DE，AF 之间的关系，并证明．

图 1 图 2

M

D

C

O

A B

M

E

D

O

A B

C

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吴老师图解

（1）

135 .

思路&图解

法 1：

如图，连接

BD ，

1）“8 字”导角得

 =  1 2 ，

2）易证

CDO ADB

（SAS），

3）

DOB

是等腰直角三角形，

  =  AOD 135 .

法 2：角平分线的判定

如图，作

DP AB， DQ CO，

1）“8 字”导角得

 =  1 2 ，

2）易证

CDQ ADP

（AAS），

则

DP DQ = ，

3）

OD

平分

COB

（判定定理），

  =  AOD 135 .

法 3：共圆

如图，取

AC

的中点

T ，

1）利用“斜边中线”定理知，点

A ，O ，

D ，C

在

T

上，

2）

AOD

与

ACD

互补，

  =  AOD 135 .

M

1

2

D

C

O

A B

M

D

C

O

A B

M

2

1

P

Q D

C

O

A B

M

P

Q D

C

O

A B

M

D

T

C

O

A B

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（2）

AF DE = ， AF DE .

思路&图解

如图，连接

BD ，

1）与（1）【法 1】同理，易证得

CDE ADB

（SAS），

 DE DB = ， =  EDB 90 ，

2）易证

AOF BOD

（SAS，或利用对角线互相平分证得平行四边形），

 AF DB = ， AF DB // ，

 AF DE = ， AF DE .

备注：别忘了写位置关系！

M

F E

D

O A B

C

M

F E

D

O A B

C