名校课堂

名校题好：名校真题完全贴合新教材，更经典

紧扣新教材核心考点，采用经典素材、经典设问

一河北RJ一数学

八年级上

教师用书

配套资源全新升级

第十三章三角形

13.1 三角形的概念

13.2 与三角形有关的线段 3
13.2.1 三角形的边 3
13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 5

小专题1 三角形的中线、高线的运用

13.3 三角形的内角与外角

13.3.1 三角形的内角

第1课时 三角形的内角和· 9
第2课时 直角三角形的两个锐角互余 11

周测 ( 1 3 . 1 { ~ } 1 3 . 3 . 1 ) （2号 13

13.3.2三角形的外角 15

小专题2三角形中内、外角平分线的常见模型

小专题3利用数学思想方法求角度 9

?新教材新趋势

数学活动1 搭等边三角形/P20
数学活动2 多边形的三角剖分/P20

章末复习（一） 三角形· 21河北考点针对练 \diamondsuit 新中考·新情境·新题型综合与实践 确定匀质薄板的重心位置 23周测(第十三章) 25

第十四章全等三角形

14.1 全等三角形及其性质· 27
14.2 三角形全等的判定 29
第1课时 用“SAS”判定三角形全等 29
第2课时 用“ASA"或“AAS”判定三角形全等 31
第3课时 用“SSS”判定三角形全等 33
第4课时 三角形全等的判定与尺规作图 35
第5课时 用“HL”判定直角三角形全等 37
小专题4判定三角形全等的基本思路 39
小专题5全等三角形的基本模型 41

索引

名校经典题索引

1.人大附中校本经典题

P2T14 P12T13 P16T3 P28T12
P42T6 P45T8 P58T12 P77T1
P89T19 P95T8 P128T14 P141T6

2.清华附中校本经典题

P4T14 P18T4 P19T1 P31T4
P96T13 P134T17

3.北京四中校本经典题

P3T8 P28T15 P82T12 P86T7
P89T18 P117T10 P135T8

4.北京五中校本经典题

P10T13 P37T4 P59T8 P67T8

5.北师大附属实验校本经典题

P6T11 P6T15 P11T4 P15T11
P36T11 P56T14 P87T8 P98T17
P104T15 P115T12 P124T17 P136T9
P141T7 P156T6

7.石家庄外国语校本经典题

P2T16 P6T16 P12T12 P16T14
P19T2 P19T6 P28T14 P29T3
P42T5 P87T12 P89T21 P102T14
P112T15 P112T17 P115T11 P134T11

8.湖南师大附中校本经典题

P33T8 P34T13 P46T12 P58T14
P90T6 P94T17 P101T1 P104T16
P111T12 P118T8 P140T15 P146T12

周测 ( 1 4 . 1 ~ 1 4 . 2 ) 7

14.3 角的平分线

第1课时 角的平分线的性质 45
第2课时 角的平分线的判定 47

小专题6构造全等三角形的常用辅助线

章末复习（二) 全等三角形 51

河北考点针对练 \diamondsuit 新中考·新情境·新题型

周测(第十四章) 53

"第十五章轴对称

15.1 图形的轴对称 55

15.1. 1 轴对称及其性质 55
15.1. 2 线段的垂直平分线 57
第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定 57
第2课时 作轴对称图形的对称轴 59

15.2 画轴对称的图形 60

第1课时 画轴对称的图形 60
第2课时 用坐标表示轴对称 61

周测 ( 1 5 . 1 ~ 1 5 . 2 ) 63

15.3 等腰三角形 65

15.3.1 等腰三角形 65

第1课时 等腰三角形的性质 65
第2课时 等腰三角形的判定 67

小专题7分类讨论思想在等腰三角形中的应用 69

小专题8构造等腰三角形的常用方法 /1

15.3.2等边三角形 73
第1课时 等边三角形的性质与判定 73
第2课时 含 { 3 0 } ^ { \circ } 角的直角三角形的性质 75

小专题9 等腰三角形中常见的手拉手模型 77

周测(15.3) 79章末复习(三) 轴对称 81河北考点针对练 \diamondsuit 新中考·新情境·新题型

综合与实践最短路径问题 83
期中复习专题 与三角形有关的证明 85

第十六章整式的乘法

16.1 幂的运算 87
16.1. 1 同底数幂的乘法 87
16.1.2 幂的乘方与积的乘方 88
小专题10 幂的运算法则的应用 90

16.2 整式的乘法 91

第1课时 单项式与单项式相乘 91
第2课时 单项式与多项式相乘 92
第3课时 多项式与多项式相乘 93
第4课时 同底数幂的除法 95
第5课时 单项式除以单项式 96
第6课时 多项式除以单项式 97

索引

微专题索引

P12 微专题1三角形的角平分线、高线的夹角模型
P16 微专题2 运用“飞镖形""8字形"求角度
P68 微专题3 角平分线十平行线→等腰三角形
P76 微专题4 构造含 { 3 0 } ^ { \circ } 角的直角三角形的常见辅助线作法
P89 微专题5 利用幂的乘方法则比较大小
P120微专题6 运用“十字相乘法”分解因式
P132微专题7 分式约分求值的几种常用方法
P132微专题8 教你解决“x±1"型问题

P142微专题9利用整体思想求值

课标理念题索引

1.开放性问题

P40T7 P97T5 P117T3 P118T5
P127T9 P128T15 P134T16 P149T2

2.推理能力

P62T17

4.综合与实践

P23 P24 P83 P84

5.数学/传统文化

P22T16 P29T8 P34T11 P66T14
P82T14

6.阅读理解

P128T17 P150T16

7.跨学科

P22T15 P52T12 P62T11 P145T12

8.过程性学习

P38T8 P106T5 P120T13

周测 ( 1 6 . 1 ~ 1 6 . 2 ) （20 yy

16.3 乘法公式 101
16.3.1 平方差公式 101
16.3.2 完全平方公式 103
第1课时 完全平方公式· 103
小专题11 完全平方公式的变形 教材P118习题T7的变式与应用 105
第2课时 添括号法则 106
小专题12 整式探究性问题 107
周测(16.3) 109
章末复习(四) 整式的乘法 111

河北考点针对练 \diamondsuit 新中考·新情境·新题型杨辉三角—一教材P118"阅读与思考"变式 113

“新教材 新趋势

数学活动1 月历中的奥秘/P114
数学活动2 和为定值的两数积的规律/P114

三"第十七章 第十七章因式分解

17.1用提公因式法分解因式 115
第1课时直接利用提公因式法分解因式（一） 115
第2课时 直接利用提公因式法分解因式（二 116
17.2用公式法分解因式 117
第1课时 运用平方差公式分解因式 117
第2课时 运用完全平方公式分解因式 118
第3课时 综合运用公式法分解因式 119
小专题13 因式分解及其应用 121

新教材新趋势

数学活动1 个位数字是5的两位数的平方规律/P122
数学活动2 利用因式分解生成密码/P122

章末复习(五) 因式分解 123

河北考点针对练 \diamondsuit 新中考·新情境·新题型周测(第十七章) 125

三第十八章 "第十八章分式

8.1分式及其基本性质 127

18.1.1 从分数到分式 127
18.1.2 分式的基本性质 129
第1课时 分式的基本性质… 129
第2课时 分式的约分和通分 130
8.2分式的乘法与除法 133
第1课时 分式的乘法与除法 133
第2课时 分式的乘方及乘除混合运算 135
周测 \left( 1 8 . 1 { ~ } 1 8 . 2 \right) （20 137
18.3分式的加法与减法 139
第1课时分式的加法与减法· 139
第2课时分式的混合运算 141
小专题14分式运算的新情境- 分式运算的新情境一一河北中考特色题型 143
18.4整数指数幂 145
第1课时 负整数指数幂… 145
第2课时 用科学记数法表示绝对值小于1的数 146
周测 ( 1 8 . 3 ~ 1 8 . 4 ) 147
18.5 分式方程 149
第1课时 分式方程及其解法 149
小专题15 分式方程的解法 151
小专题16 由分式方程根的情况确定字母的取值范围 152
第2课时 分式方程的实际应用 153
小专题17 利用分式方程解决其他实际应用问题 155
章末复习(六) 分式 157

河北考点针对练 \diamondsuit 新中考·新情境·新题型

新教材新趋势

数学活动1 探究比例的性质/P159
数学活动2 探究 x ^ { 2 } + { / { 1 } { x ^ { 2 } } } 取值的规律/P160

周测(第十八章) 161

三期末复习

期末复习(一) 三角形 163
期末复习(二) 全等三角形 167
期末复习(三) 轴对称 171
期末复习(四) 整式的乘法 175
期末复习(五) 因式分解 179
期末复习(六) 分式 183

"《基础题》单独成册）

三”附赠河北标准卷

单元测试(一) 三角形 测试卷1
单元测试(二) 全等三角形 测试卷3
单元测试(三) 轴对称 测试卷5
期中测试 测试卷7
单元测试(四) 整式的乘法 测试卷9
单元测试(五) 因式分解 测试卷11
单元测试(六) 分式 测试卷13
期末测试 测试卷15

第十三章 三角形

13.1 三角形的概念

基础题

知识点1 三角形及其相关概念

1.下面是小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是 (C)

2.(教材P4习题T1变式)如图所示，以 B C 为边的三角形共有 (C）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

第2题图

第3题图

3.如图，在 \triangle A B C 中， \angle B 的对边是 AC，,在\triangle A B D 中， \angle B 的对边是AD，在 \triangle A C D 中，边 A C 的对角是 ∠ADC

4.如图所示.

(1)图中共有5 _个三角 形，它们是 △BED, △AED,△ACD,△ABD, △ABC

（2）线段AD是ABD ， \bigtriangleup （204号 ACDADE 的边.

(3) \angle B 是 BED = \bigtriangleup ABD ABC 的角.

知识点2 三角形的分类

5.(教材P3图改编)用 A 表示等边三角形， B 表示等腰三角形， C 表示三边都不相等的三角形，则下列四个分类图中，能正确表示它们之间的关系的是 (B)

6.（教材P3例变式)如图，在 \triangle A B C 中， A B = A C , A D { = } C D { = } C B ，则图中等腰三角形共有(D)

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

第6题图

第8题图

7.观察下面的三角形，并把它们的标号填入相应的圈内.

解：如图所示，

8.（教材P3新增练习T2变式)如图，在 \triangle A B C 中， \angle B A C 是锐角， A D \perp B C ，垂足为 D ，点 E 在线段 B D 上，则图中的锐角三角形有（204号 \Delta B A C , \Delta E A C _；直角三角形有_ \triangle A B D , \triangle A C D , \triangle A E D _；钝角三角形有 \triangle A B E （20

9.（教材P3练习T1变式）如图， A B = B C = C A = D A ，且 B D = C D ，找出图中的等腰三角形和等边三角形.

解：等腰三角形：△ABC，△DAB， \triangle D A C
\triangle B D C
等边三角形 : \triangle A B C

易错点 对三角形的分类不清晰致错

10.下列说法：

① 三角形按边分类可分为三边都不相等的三角形、等腰三角形和等边三角形；② 等边三角形是特殊的等腰三角形；③ 等腰三角形是特殊的等边三角形；④ 有两边相等的三角形一定是等腰三角形.其中正确的个数是 (B)

A.1 B.2 C.3 D.4

中档题

11.若 \triangle A B C 的三边长是 _ { a , b , c } ，且满足 \left| a - b \right| + | { \boldsymbol { a } } - { \boldsymbol { c } } | = 0 ，则 \triangle A B C 是 （D ）

A.钝角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形

12.已知有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以 B C 为公共边的"共边三角形"有3对.

第12题图

第13题图

13. A|华师二附中校本经典题 6个点按如图所示的方式放置，相邻两点的距离相等.把这些点作为三角形的顶点，可以画5个等边三角形.

14. A|人大附中校本经典题 如图， A B = O A { = } O B { = } O C { = } O D { = } C D ，找出图中的等腰三角形和等边三角形.

解：等腰三角形是 \triangle A O B \triangle A O D , \triangle B O C , \triangle C O D 等边三角形是AOB， \triangle C O D

15.(教材P3例变式)如图，在 \triangle A B C 中， A B = \scriptstyle A C , B E = A E = D E = A D = C D . （204号(1)写出以点 C 为顶点的三角形.(2)写出以 A B 为边的三角形.(3)找出图中的等腰三角形和等边三角形.

解：(1)以点 c 为顶点的三角形是 \triangle A B C △AEC,△ADC.

(2)以 A B 为边的三角形是ABC， \triangle A B D \triangle A B E (3)等腰三角形是 \triangle A B C , \triangle A B E , \triangle A E D , \triangle A C D ; （20等边三角形是 \triangle A E D

综合题

16. A|石家庄外国语校本经典题找规律，填空：

(1)请按照下列要求数出三角形的个数.

图1

图2

图3

① 边 B C 上有1个点(图1)，三角形的个数为3；

② 边 B C 上有2个点(图2)，三角形的个数为 6
③ 边 B C 上有3个点(图3)，三角形的个数为 10

(2)当边BC上有 \mathbf { \Psi } _ { m } 个点（不含 B , C 两点）时，图形中三角形的个数为/ { ( m + 1 ) ( m + 2 ) } { 2 }

13.2 与三角形有关的线段

13.2.1 三角形的边

基础题 《

知识点1 三角形的三边关系

1.（2023·长沙）下列长度的三条线段，能组成三角形的是 (C）

A.1,3,4 B.2,2,7 C.4,5,7 D.3,3,6

2.(2024·淮安)用一根小木棒与两根长度分别为 3 \ {cm } , 5 \ {cm } 的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是 (B)

A. 9 \ {cm } （204号 （204号 { B } . 7 \ {cm } （204号 { { C . 2 \cm } } D.1 cm

3.(2024·廊坊安次区期末)如图，这是折叠凳及其侧面示意图.若 A C = B C = 1 8 \ {cm } ，则折叠凳的宽 _ { A B } 可能为 (D)

{ A } . 7 0 \ {cm } （204号 { B } . 5 5 \ {cm } （204号 { { C . 4 0 ~cm } } （204号 D. 2 5 \ {cm }

第3题图

第4题图

4.如图，线段 A B 和线段 A C 是 \triangle A B C 的两条边，点 D 在线段 _ { A B } 上，点 E 在线段 A C 上，将\triangle A B C 沿 D E 所在直线裁去一个角得到四边形DBCE,则四边形DBCE的周长小于（填"大于"“等于"或“小于") \triangle A B C 的周长，理由是三角形两边之和大于第三边

5.已知一个三角形的一边长为 9 \ {cm } ，另一边的长为 3 \ {cm } ,第三边的长为 x { { ~cm } }

(1)求 x 的取值范围.
(2)当第三边的长为偶数时，求该三角形的周长.
(3)若第三边是最长的边，则 x 的取值范围为\scriptstyle \mathbf { 9 <=slant } x < 1 2
解：(1)∵三角形的一边长为 9 \ {cm } ，另一边的长为3 \cm , 0 . 9 - 3 < x < 9 + 3 ，即 6 { < } x { < } 1 2 业
(2)∵第三边的长为偶数，且 6 < x < 1 2
： x = 8 或10.
当 x { = } 8 时 9 + 3 + x = 2 0 ；当 x = 1 0 时 9 + 3 + x = 2 2 ：该三角形的周长为 2 0 ~ {cm } 或 2 2 ~ {cm }

知识点2 三角形的稳定性

6.下列图形具有稳定性的是 （ D

7.如图，一扇窗户打开后，用窗钩A B 可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形具有稳定性

易错点 没有验证是否满足三角形的三边关系致错

8. A北京四中校本经典题用一条长为 2 0 \ {cm } 的细绳围成一个等腰三角形.(1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长分别是多少？(2)能围成有一边长为 5 \ {cm } 的等腰三角形吗？如果能，请求出它的另两边的长.

解：(1)设底边长为 x {cm } , 则腰长为 2 x ~ {cm } . 依题意，得2 x + 2 x + x = 2 0 , 解得 \scriptstyle x = 4 .
\therefore 2 x = 8
∴各边的长分别为 ^ { 8 } \ {cm } , 8 \ {cm } , 4 cm.( 2 ) { 1 } 当底边长为 5 { \cm } 时，腰长为 / { 2 0 - 5 } { 2 } = 7 . 5 (cm ) 能构成三角形；
② 当腰长为 5 ~ { {cm } } 时，底边长为 2 0 - 2 x 5 = 1 0 (cm ) ： 5 + 5 = 1 0 ，∴不能构成三角形，故舍去，
∴能围成有一边长为 5 ~ {cm } 的等腰三角形，另两边的长分别为 7 . 5cm , 7 . 5cm

【变式1】已知等腰三角形的一边长为 8 \ {cm } 另一边的长为 9 \ {cm } ，则该等腰三角形的周长为2 5 \ {cm } 或 2 6 \ {cm } （204号

【变式2】已知等腰三角形的一边长为4，另一边的长为8，则该等腰三角形的周长为20

中档题

9.(教材P9新增习题T2变式)在长度分别为 2 \ {cm } _ { 3 { \cm , 4 \cm , 5 \cm } } 的线段中任意选择三条，将它们首尾顺次相接，组成的三角形有 (C)

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

10.如图，为使由五根木棒组成的架子不变形，至少还要在架子上钉上的木棒根数是（C）

A.0 B.1 C.2 D.5

第10题图

第11题图

11. 新考向真实情境（2024·石家庄行唐县期中)为方便劳动技术小组实践教学，需用篱笆围一块三角形空地，现已连接好三段篱笆 A B , B C , C D ，这三段篱笆的长度如图所示，其中篱笆 A B , C D 可分别绕轴BE和 C F 转动.若要围成一个三角形的空地，则在篱笆 _ { A B } 上接上新的篱笆的长度可以为（D）

12.已知 { \mathbf { \omega } } _ { a , b , c } 是一个三角形的三条边长，化简：| a + c - b | - | a - b - c | = \quad 2 a - 2 b \quad .

13.(1)若等腰三角形的周长为 1 6 ~ {cm } ，则腰长 x 的取值范围为 4 \ {cm } { < } x { < } 8 \ {cm }

(2)在 \triangle A B C 中，若三条边长均为整数，周长为11，且有一条边长为4，则这个三角形最长边可能取值的最大值是5

14. A清华附中校本经典题数学课本第21页复习题的第3题如下：如图1，填空：由三角形两边的和大于第三边，得 A B + A D > BD ， P D + C D > \_ P C .将不等式左边、右边分别相加，得 A B + A D + P D + C D > B D + P C ，即 A B + A C > B P + P C

(1)补全上面步骤.

(2)如图2，过点 P 作直线交 A B , A C 于点M , N . 仿照图1的方法，求证： A B + A C > P B + P C

图1

图2

证明：在 \triangle A M N 中 , A M + A N { > } M N
在 \triangle M P B 中 M P + M B > P B
在 \triangle N P C 中 N P + N C > P C
将三个不等式相加，得 A M + A N + M B + M P + N P
+ N C > M P + N P + P B + P C ,
即 A B + A C > P B + P C

综合题

15. A|华师二附中校本经典题在平面内，分别用3根、4根、5根、6根火柴首尾顺次相接(不能折断，且需全部用完)，能搭成什么形状的三角形呢？小明通过尝试，发现用3根、5根、6根火柴分别可以搭成一些三角形，如下表所示：

现在请你与小明一起继续尝试，并回答下列问题：

(1)用4根火柴能搭成三角形吗？(2)用8根、12根火柴分别能搭成几种不同形状的三角形？请画出它们的示意图.

解：(1)4根火柴不能搭成三角形.(2)8根火柴能搭成1种三角形 ( 3 , 3 , 2 ) ，如图所示：

等腰三角形

12根火柴能搭成3种不同的三角形 ( 4 , 4 , 4 , 5 , 5 , 2
3,4,5)，如图所示：

13.2.2三角形的中线、角平分线、高

基础题

知识点1 三角形的中线与重心

1.如图， A D 是 \triangle A B C 的中线，则 D 是线段BC 的中点， B D = C D { = } { / { 1 } { 2 } } . BC { \cal S } _ { \triangle A B D } = \begin{array} { c c c } { \displaystyle { \begin{array} { l } { { S } _ { \Delta A C D } } \\ { { S } _ { \Delta A B C } } \end{array} } } & { = / { 1 } { 2 } / { { S } _ { \Delta A B C } } { / { \partial { S } _ { \Delta A B C } } { \partial { S } _ { \Delta A B C } } } } \end{array} .若 S _ { \triangle A B D } = 5 ，则S _ { \triangle A B C } = \underline { { { 1 0 } } }

2.已知三角形的三条中线交于一点，下列结论：① 这一点在三角形的内部； ② 这一点有可能在三角形的外部； ③ 这一点是三角形的重心.其中正确的是 ① ③ .(填序号)

3.如图， A D 是 \triangle A B C 的中线， A E 是 \triangle A B D 的中线.若 D E { = } 3 ~ {cm } ，则 E C = { ~ bf ~ { ~ 9 ~cm ~ } ~ }

第3题图

第4题图

知识点2 三角形的角平分线

4.如图，在 \triangle A B C 中， A D , C E 是 \triangle A B C 的角平分线， \angle B A C = 6 0 ^ { \circ } \angle A C E = 4 0 ^ { \circ } ，则 \angle D A C = 30° \angle B C E = 4 0 ^ { \circ } °， \angle A C B = 8 0 ^ { \circ }

5.如图， D 是 \triangle A B C 中边 B C 上的一点， D E / / A C 交 A B 于点 E .若 \angle E D A = \angle E A D ，求证：A D 是 \triangle A B C 的角平分线.

解：DE// AC,
\therefore \angle A D E = \angle C A D . （204号
： \angle E D A = \angle E A D
： \angle C A D = \angle E A D . （20
\therefore A D 是 \triangle A B C 的角平分线。

知识点3 三角形的高

6.如图， . A D 是 \triangle A B C 的边 B C 上的高，则 A D 与 B C 的位置关系是 AD⊥ BC, \angle A D B = \angle \_ A D C = 9 0 ^ { \circ } .

7.如图，用三角板作 \triangle A B C 的边 A B 上的高，下列三角板的摆放位置正确的是 （B）

8.如图，在 \triangle A B C 中， \angle A C B = 9 0 ^ { \circ }

(1)图中边 B C 上的高为AC，边 A C 上的高为BC
(2)画出边 A B 上的高 C D ：
(3)若 B C = 3 , A C = 4 A B = 5 ，求边 A B 上的高 C D 的长.解：(2)如图所示，
(3) \because S _ { \triangle A B C } = { / { 1 } { 2 } } A C * B C = / { 1 } { 2 } A B * C D
∴CD=AC: BC_4×3=2.4.

9.如图，已知△ABC，试作出△ABC的三条高.

解：如图 , A E , B F , C G 分别为 \triangle A B C 的三条高.

思考：

(1)从图中可以看出，钝角三角形有2条高在三角形的外部，1条高在三角形的内部，
(2)延长 \triangle A B C 的三条高，发现三条高所在的直线交(填“交"或“不交")于一点.

易错点1对三角形的中线、角平分线、高的概念理解不清

10.下列说法正确的是 ② ④ .(填序号)

① 三角形的角平分线是射线；
② 三角形的三条角平分线都在三角形的内部，且相交于一点；
③ 三角形的三条高都在三角形的内部；
④ 三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分.

易错点2 无法正确找到对应边的高

11 A|北师大附属实验校本经典题如图，在 \triangle A B C 中，边 B C 上的高是AF，边 A B 上的高是CE；在 \triangle B C E 中，边BE上的高是CE，边 E C 上的高是BE；在 \triangle A C D 中，边 A C 上的高是CD，边 C D 上的高是AC

中档题

12.（2023·邯郸期末）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点 A , B , C , D , E , F , G 均在小正方形的顶点上，则 \triangle A B C 的重心是（B ）

A.点G B.点 D （204号 C.点E D.点 F （204号

第12题图

第13题图

13.如图，在 \triangle A B C 中， D , E 分别是边 B C , A B 的中点.若 \triangle A B C 的面积等于8，则 \triangle B D E 的面积等于_2

14.下图是甲、乙、丙三位同学的折纸示意图（折 叠后点 c 落到点 C ^ { \prime } 处）.

甲

丙

(1)折出的 A D 是边 B C 上的中线的是 丙(2)折出的 A D 是边 B C 上的高的是 甲(3)折出的 A D 是 \angle B A C 的平分线的是 乙

15. A北师大附属实验校本经典题 一个缺角的三角形残片如图所示.

(1)不恢复这个缺角，你能画出边 A B 上的高所在的直线吗？你是如何画的？依据是什么？
(2)小明分别画出 \angle A 和 \angle B 的平分线，两线相交于点 P ，又找到边 _ { A B } 的中点 Q ，作直线 P Q ，小明说他画出了第三个角的平分线所在的直线.他说得对吗？为什么？解：(1)能.如图所示.
① 分别过点 { \boldsymbol { A } } , { \boldsymbol { B } } 作三角形的高线 A C , B D , A C 与B D 相交于点0；
② 过点 0 作 O E \bot A B , 垂足为 { E } ：{ 3 } O E 即为边 A B 上的高所在的直线.
依据 : \stackrel { \circ , \circ } { \circ } A C , B D 是三角形的高线，锐角三角形的三条高线相交于一点，
∴点 \mathbf { o } 在边 A B 的高线上.
：过点 0 有且 8 有一条直线与 A B 垂直，
：OE为边 A B 上的高所在的直线.
(2)不对.理由：三角形的三条角平分线相交于一点 { P }
设缺角的顶点是 M , 则直线 P M 是第三个角的平分线所在的直线.
∵PM与 A B 不一定相交于 A B 的中点 \varrho ，
∴小明的说法不对.

综合题 《

16. A|石家庄外国语校本经典题如图，在 \triangle A B C 中， A B { = } A C , B E 是腰 A C 上的中线.

(1)若 A B { > } B C ，则 \triangle A B E 的周长与 \triangle B E C 的周长之差为 A B - B C
(2)若 \triangle A B E 的周长比 \triangle B C E 的周长多2，且_ { A B } 与 B C 的和为10，求 A B , B C 的长.
(3)若 \triangle A B C 的周长为 2 0 \ {cm } , B E 将 \triangle A B C 分成周长差为 4 \ {cm } 的两部分，求 \triangle A B C 的边长.
解：(2)由(1)可知， \triangle A B E 的周
长与 \triangle B C E 的周长之差为 A B
- _ { B C } 5
\therefore A B - B C = 2
又∵AB与 B C 的和为10，
即 A B + B C = 1 0 ，
解得 \scriptstyle A B = 6 , B C = 4 . 号
(3)设 A B = x { { ~cm } } , B C = y { { ~cm } } 1
① 当 x > y 时，根据题意，得
\displaystyle { \binom { 2 x + y = 2 0 } { x - y = 4 } } 解得 \left\{ { \begin{array} { l } { x = 8 , } \\ { y = 4 . } \end{array} } \right.
\therefore \Delta A B C 的三边长分别为8 { 3 ~cm , 8 ~cm , 4 ~cm } 1
② 当 x < y 时，根据题意，得
2x+y=20, 解得 \left\{ { \begin{array} { l } { x = / { 1 6 } { 3 } , } \\ { y = / { 2 8 } { 3 } . } \end{array} } \right.
y-x=4,
\therefore \triangle A B C 的三边长分别为 / { 1 6 } { 3 } cm, / { 1 6 } { 3 } cm, / { 2 8 } { 3 }

小专题1三角形的中线、高线的运用

类型1利用中线解决面积问题

1.【基本性质】三角形中线等分三角形的面积.

如图 1 , A D 是 \triangle A B C 的边B C 上的中线，则 { \cal S } _ { \triangle A B D } = S _ { \triangle A C D } = / { 1 } { 2 } S _ { \triangle A B C } .

图1

理由： A D 是 \triangle A B C 的边 B C 上的中线，： B D { = } C D
又： S _ { \triangle A B D } = { / { 1 } { 2 } } B D * A H
\begin{array} { l } { { \displaystyle S _ { \triangle A C D } = / { 1 } { 2 } C D * A H , } } \\ { ~ } \\ { { \displaystyle \therefore S _ { \triangle A B D } = S _ { \triangle A C D } = / { 1 } { 2 } S _ { \triangle A B C } } . } \end{array}
：三角形中线等分三角形的面积.

【基本应用】 在图2至图4中， \triangle A B C 的面积为 \mathbf { \Psi } _ { a } ：

图2

图3

图4

(1)如图2，延长 \triangle A B C 的边 B C 到点 D ，使C D = B C ，连接 D A 若 \triangle A C D 的面积为S _ { 1 } ，则 S _ { 1 } = \_ a （用含 \mathbf { \Delta } _ { a } 的代数式表示).

(2)如图3，延长 \triangle A B C 的边BC到点 D ，延长边 C A 到点 \boldsymbol { E } ，使 \mathit { C D } = \mathit { B C } , \mathit { A E } = \mathit { C A } ，连接 D E . 若 \triangle D E C 的面积为 S _ { 2 } ，则 S _ { 2 } = 2a（用含 \mathbf { \Delta } _ { a } 的代数式表示).

(3)在图3的基础上延长 _ { A B } 到点 F ，使 B F = A B ，连接 F D , F E ，得到 \triangle D E F （如图4）.若阴影部分的面积为 S _ { 3 } ，则 S _ { 3 } = 6 a （用含 a 的代数式表示).

【拓展应用】

(4)如图 5 , D 是 \triangle A B C 的边 B C 上任意一点，\scriptstyle { E , F } 分别是线段 _ { A D , C E } 的中点，且 \triangle A B C 的面积为 8 a ，则 \triangle B E F 的面积为2a（用含 \scriptstyle a 的代数式表示)，并写出理由.

解：理由： \mathbf { \Pi } _ { 0 } ^ { 0 } * \mathbb { E } 是线段 _ { A D } 的中点，
\therefore S _ { \triangle A B E } = S _ { \triangle B D E } , S _ { \triangle A C E } = S _ { \triangle D C E } . （204号
{ ~ \bar { ~ } { ~ o ~ } ~ } S _ { \Delta B C E } = / { 1 } { 2 } S _ { \Delta A B C } ,
： \varPsi 是线段 C E 的中点，
\begin{array} { l } { { \displaystyle { \therefore S _ { { \scriptscriptstyle { \Delta E F } } } = S _ { { \scriptscriptstyle \triangle B C F } } = / { 1 } { 2 } S _ { { \scriptscriptstyle \triangle B C E } } } . } } \\ { { \displaystyle { \vphantom { \Biggl ( } } } } \\ { { \displaystyle { \therefore S _ { { \scriptscriptstyle \triangle B E F } } = / { 1 } { 4 } S _ { { \scriptscriptstyle \triangle A B C } } = 2 a . } } } \end{array}

图5

（5）【转化思想】如图 6 , D , E 分别是 \triangle A B C 的边 A B , B C 上的点， A D = 2 B D , B E = C E ，设 \triangle A D F 的面积为 S _ { 1 } , \triangle C E F 的面积为 S _ { 2 } .若 S _ { \triangle A B C } = 6 ，求 S _ { 1 } { - } S _ { 2 } 的值.

图6

解 \therefore S _ { B E } = C E , S _ { \Delta A B C } = 6 , （2号
\therefore S _ { \Delta A E C } = / { 1 } { 2 } S _ { \Delta A B C } = / { 1 } { 2 } x 6 = 3 .
（204号 \because A D = 2 B D , S _ { \Delta A B C } = 6 ,
2
:.S△ACD 3 S△ABc=4.
\therefore S _ { 1 } - S _ { 2 } = ( S _ { \triangle A C D } - S _ { \triangle A F C } ) - ( S _ { \triangle A E C } - S _ { \triangle A F C } ) = S _ { \triangle A C D } - S _ { \Delta A E C } = 4 - 3 = 1 . （2

（20号

归纳

在三角形中，若遇到三角形的中线，就能得到两条相等的线段；三角形的任意一条中线能把三角形分成面积相等的两部分.

类型2 三角形高线的应用题型1等面积法在三角形高线问题中的应用

2.【教材母题】（教材P1O习题T7)如图，在\triangle A B C 中，若 A B { = } 2 , B C { = } 4 ，则 \triangle A B C 的高 A D 与 C E 的比是多少？（提示：利用三角形的面积公式)

解 \therefore S _ { \Delta A B C } = / { 1 } { 2 } A B * C E BC·AD,2X2CE=↓×4AD.2D一CE

【变式】如图， A B \bot B D 于点 B , A C \bot C D 于 点 C ，且 A C 与 B D 相交于点 E .已知 A E { = } 5 ， D E { = } 2 , C D { = } / { 9 } { 5 } 号，求AB的长.

解： O P \bot B D 于点 B , A C \bot C D 于点 \mathbb { C } ，
\therefore S _ { \triangle { \cal M E } } = / 1 2 A E * C D = / 1 2 D E . AB.
\therefore / { 1 } { 2 } x 5 x / { 9 } { 5 } = / { 1 } { 2 } x 2 A B .
\therefore A B = / { 9 } { 2 } .

归纳

在三角形的两条边和这两条边上的高这四个量中，已知其中的三个量，可用等面积法求第四个量.

3.如图，在 \triangle A B C 中， A B = A C . D E \bot A B =D F \bot A C , B G \bot A C . 垂足分别为 E , F , G . 求证： D E + D F = B G

证明：连接 A D
： S _ { \Delta A B C } = S _ { \Delta A B D } + S _ { \Delta A D C } , （20号
\therefore { / { 1 } { 2 } } A C \mathbf { \nabla } * \mathbf { \nabla } B G = { / { 1 } { 2 } } A B \mathbf { \nabla } * \mathbf { \nabla } D E +
{ / { 1 } { 2 } } A C * D F . （204号
又 \begin{array} { r } { { ~ ~ \nabla ~ } _ { A } \mathbb { B } = A \mathbb { C } , { ~ ~ \nabla ~ } _ { \circ } \mathbb { D } \mathbb { E } + \mathbb { D } \mathbb { F } = B \mathbb { G } , } \end{array} （2

归纳

遇到垂线时，先观察垂线在不在某个三角形中，若不在，需要连接辅助线，将垂线放到一个三角形中去，然后利用三角形的面积进行换算.

题型2分类讨论思想在高线问题中的应用

4.已知 A D 是 \triangle A B C 的高， \angle B A D = 6 0 ^ { \circ } \angle C A D = 2 0 ^ { \circ } ，求 \angle B A C 的度数.

解：当高 _ { A D } 在 \triangle A B C 外部时，如图：

\angle B A C = \angle B A D - \angle C A D = 6 0 ^ { \circ } - 2 0 ^ { \circ } = 4 0 ^ { \circ } ; 当高 A D 在 \triangle A B C 内部时，如图：

\angle B A C = \angle B A D + \angle C A D = 6 0 ^ { \circ } + 2 0 ^ { \circ } = 8 0 ^ { \circ } , （204号综上所述， \angle B A C 的度数为 { ^ 4 . 0 } ^ { \circ } 或 { 8 0 } ^ { \circ }

5.已知 A D , A E 分别是 \triangle A B C 中边 B C 上的高和中线，且 A D = 6 , E D = 3 , C D = 2 ，求 \triangle A B C 的面积.

解：如图1，当高 A D 在 \triangle A B C 的内部时，则 E C = E D
+ C D { = } 5 , \therefore B C { = } 2 E C { = } 1 0 .
\therefore S _ { \Delta A B C } = / { 1 } { 2 } x 1 0 x 6 = 3 0 : （204号
如图2，当高 A D 在 \triangle A B C 的外部时，则 E C = E D -
C D = 1 , \therefore B C = 2 . 5 C = 2 .
\therefore S _ { \triangle A B C } = / { 1 } { 2 } x 2 x 6 = 6 .

图1

图2

归纳

涉及三角形高的问题时，如果题目没有给出图形，一定要画出图形，然后分类讨论.

13.3 三角形的内角与外角

13.3.1 三角形的内角

第1课时三角形的内角和

基础题

知识点1 三角形的内角和定理

1.(教材P16习题T1变式)写出下列图形中 x 的值.

2.在一个三角形中，三个内角之比为 1 : 2 : 6 ，则这个三角形的形状是 (A)

A.钝角三角形 B.锐角三角形C.直角三角形 D.无法确定

3.(教材P13练习T2变式)如图，点 E , D 分别在 ^ { A B , A C } 上，若 \angle B = 3 0 ^ { \circ } \angle C = 5 5 ^ { \circ } ，则 \angle 1 + \angle 2 的度数为 (A)

A. 8 5 ^ { \circ } B. { 8 0 } ^ { \circ } { C } . 7 5 ^ { \circ } D. { 7 0 } ^ { \circ }

4.（教材P16习题T3变式）在 \triangle A B C 中， \angle B 比 \angle A 大 { 2 0 } ^ { \circ } \angle C 比 \angle B 大 { 2 0 } ^ { \circ } .求 \triangle A B C 的各内角的度数.

解：设 \angle A = x ^ { \circ } ，则 \angle B = \angle A + 2 0 ^ { \circ } = \left( x + 2 0 \right) ^ { \circ } , \angle C = \angle B + 2 0 ^ { \circ } = ( x + 2 0 + 2 0 ) ^ { \circ } = ( x + 4 0 ) ^ { \circ } . （2号* x + x + 2 0 + x + 4 0 = 1 8 0 解得 x = 4 0 \therefore \angle A = 4 0 ^ { \circ } , \angle B = 6 0 ^ { \circ } , \angle C = 8 0 ^ { \circ } .

5.为了证明“三角形的内角和是 1 8 0 ^ { \circ \bullet } ,林老师给出了如图所示四种作辅助线的方法：

图1

图2

图3

图4

回答下列问题：

(1)图1、图2在证明三角形内角和的过程中应用的数学思想是 A

A.转化思想 B.整体思想C.方程思想 D.数形结合思想(2)请选用图3或图4证明三角形的内角和是{ 1 8 0 } ^ { \circ } ：

解：选择图3，证明 \because D E / / B C , D F / / A C
\therefore \angle B = \angle E D A , \angle A = \angle F D B , \angle C = \angle D F B = \angle E D F .
根据平角的定义，得 \angle F D B + \angle E D A + \angle E D F =
1 8 0 ^ { \circ } , \therefore \angle A + \angle B + \angle C = 1 8 0 ^ { \circ } . （20
选择图4，证明： \ 、 { ~ bar { ~ } C D / / { { A B } } }
\therefore \angle A = \angle A C D , \angle B + \angle B C D = 1 8 0 ^ { \circ } .
中 \angle B C D = \angle A C B + \angle A C D ,
\therefore \angle B + \angle A C B + \angle A C D = 1 8 0 ^ { \circ } . （2号
\therefore \angle A + \angle B + \angle A C B = 1 8 0 ^ { \circ } .

知识点2三角形的内角和定理与三角形的角平分线、平行线的综合

6.(教材P12例1变式)如图，在 \triangle A B C 中， A D 平分 \angle B A C \angle B = 7 0 ^ { \circ } \angle B A D = 3 0 ^ { \circ } ，则 \angle C 的度数为 (D)

A. 3 5 ^ { \circ } （204号 B.40° C.45° D. 5 0 ^ { \circ }

第6题图

第7题图

7.(2023·徐州)如图，在 \triangle A B C 中，若DE//B C , F G / / A C \angle B D E = 1 2 0 ^ { \circ } \angle D F G = 1 1 5 ^ { \circ } 则 \angle C = 5 5 ^ { \circ }

知识点3 三角形的内角和定理的应用

8. A华师二附中校本经典题如图，这是一个建筑工地的三角形支撑架ABC，它的上部\angle A C B 被一个长方形钢架遮挡，测得 \angle A = { 6 0 } ^ { \circ } \angle B = 8 0 ^ { \circ } ，则被遮挡的 \angle A C B 的度数为(B)

A. { 3 0 } ^ { \circ } （204号 B.40° C.50° D. { 6 0 } ^ { \circ } （204号

第8题图

第9题图

9.（教材P12例2变式)如图， B 岛在 A 岛的南偏西 5 5 ^ { \circ } 方向， B 岛在 C 岛的北偏西 { { 6 0 } ^ { \circ } } 方向，C 岛在 A 岛的南偏东 { 3 0 } ^ { \circ } 方向，则从 B 岛看 ^ { A , C } 两岛的视角 \angle A B C 的度数为 6 5 ^ { \circ }

中档题

10.如图，在 \triangle A B C 中， P 是 \triangle A B C 三条角平分线的交点，则 \angle P B C + \angle P C A + \angle P A B = ( D）

A. 4 5 ^ { \circ } B. { 1 2 0 } ^ { \circ } C. { 1 8 0 } ^ { \circ } D. 9 0 ^ { \circ } （204号

11. 新考向真实情境(本课时T8变式)如图，直线 { \mathbf { \psi } } _ { a , b } 相交所成的角跑到画板外面了，某同学发现只要量出画板的边 \mathbf { \xi } _ { l } 分别与直线{ a , b } 相交所形成的角的度数就可求得该角.已知 \angle 1 = 7 1 ^ { \circ } \angle 2 = 7 8 ^ { \circ } ，则直线 { \mathbf { α } } _ { a , b } 相交所形成的锐角的度数为 3 1 ^ { \circ }

第11题图

第12题图

12.(2023·十堰)将一副三角板按如图所示的方式放置( \angle C = 3 0 ^ { \circ } \angle D = 4 5 ^ { \circ } ，点 A 在 D E 上，点 F 在 B C 上.若 \angle E A B = 3 5 ^ { \circ } ，则\angle D F C = 1 0 0 ^ { \circ }

13. A北京五中校本经典题如图，在 \triangle A B C 中，O 是 \triangle A B C 角平分线的交点.已知 \angle A B C = \boldsymbol { \mathfrak { j } } 0 ^ { \circ } , \angle A C B = 8 0 ^ { \circ } ，求 \angle B O C 的度数.

解：0是 \triangle A B C 角平分
线的交点，
（204号 \therefore \angle O B C = { / { 1 } { 2 } } \angle A B C =
1 ×60°=30°,
\angle O C B = / { 1 } { 2 } \angle A C B = / { 1 } { 2 } x 8 0 ^ { \circ } = 4 0 ^ { \circ } .
\therefore \angle B O C = 1 8 0 ^ { \circ } - \angle O B C - \angle O C B = 1 8 0 ^ { \circ } - 3 0 ^ { \circ } -
4 0 ^ { \circ } = 1 1 0 ^ { \circ }

【拓展变式1】 如图，在\triangle A B C 中， B E , C D 为角平分线，且交点为 \phantom { 0 } O . 若\angle B O C = 1 2 0 ^ { \circ } ，则 \angle A 的度数为 （20 { 6 0 } ^ { \circ } （204号

【拓展变式2】试猜想上题中 \angle A 与 \angle B O C 的数量关系：若 \angle A = α ，则 \angle B O C 的度数为9 0 ^ { \circ } + / { 1 } { 2 } a

综合题

14. A|石家庄外国语校本经典题如图， \triangle A B C 是一张纸片，把 \angle C 沿 D E 折叠，使点 C 落在点C ^ { ' } 的位置.

(1)当 \angle C = 4 5 ^ { \circ } 时，求 \angle 1 + \angle 2 的度数.(2)若 \angle C = α ，请直接写出 \angle 1 + \angle 2 的度数.（用含 α 的代数式表示）

解 \ B : ( 1 ) \because \angle C = 4 5 ^ { \circ } , \angle C D E + \angle C E D + \angle C = 1 8 0 ^ { \circ } \therefore \angle C D E + \angle C E D = 1 8 0 ^ { \circ } - 4 5 ^ { \circ } = 1 3 5 ^ { \circ }

由折叠可知， \angle C D E = \angle C ^ { \prime } D E , \angle C E D = \angle C ^ { \prime } E D
\therefore \angle C ^ { \prime } D E + \angle C ^ { \prime } E D = \angle C D E + \angle C E D = 1 3 5 ^ { \circ } .
∴ \angle 1 + \angle 2 = 3 6 0 ^ { \circ } - ( \angle C D E + \angle C E D ) - ( \angle C ^ { \prime } D E
+ \angle C ^ { \prime } E D ) = 3 6 0 ^ { \circ } - 1 3 5 ^ { \circ } - 1 3 5 ^ { \circ } = 9 0 ^ { \circ } . （20号
\begin{array} { r } { ( 2 ) \_ 1 + \_ 2 = 2 α . } \end{array} （204号

第2课时直角三角形的两个锐角互余

基础题

知识点1 直角三角形的两个锐角互余

1.如图，在 { R t } \triangle A B C 中， \angle C = 9 0 ^ { \circ } \angle B = 5 6 ^ { \circ } 则 \angle A 的度数为 (A

A. 3 4 ^ { \circ } （204号 B. 4 4 ^ { \circ } C.124° D. 1 3 4 ^ { \circ }

第1题图

第2题图

2.如图，某同学将一块三角板叠放在直尺上，则\angle 1 + \angle 2 = (C)

A. { 6 0 } ^ { \circ } （204号 B. 7 5 ^ { \circ } （20 { { C } . 9 0 } ^ { \circ } （20 D. 1 0 5 ^ { \circ }

3.(1)一个直角三角形的两个锐角相等，则这两个相等的锐角的度数为 4 5 ^ { \circ } （20号(2)在 \triangle A B C 中，已知 \angle A = 9 0 ^ { \circ } ，且 \angle B - \angle C = 2 0 ^ { \circ } ，则 \angle C 的度数为 3 5 ^ { \circ } （204

A北师大附属实验校本经典题已知：如图，在{ R t } \triangle A B C 中， \angle A C B = 9 0 ^ { \circ } C D \bot A B ，垂足为D .求证： \angle A = \angle D C B

证明：在 \mathbb { R } { t } \triangle A \mathbb { B } C 中， \angle A C B =
9 0 ^ { \circ }
： \angle A = 9 0 ^ { \circ } - \angle B . （204号
:CD⊥AB,
： . \angle C D B { = } 9 0 ^ { \circ }
（2号 \angle D C B = 9 0 ^ { \circ } - \angle B _ { * } （20
： \angle A = \angle D C B .

5.（教材P16习题T4变式）如图， A D \perp B C \angle 1 = \angle 2 , \angle B = 4 0 ^ { \circ } . 求 \angle B A C 的度数.

解：∵AD⊥BC,
（20号 \therefore \angle A D C = \angle A D B = 9 0 ^ { \circ } .
∴ \angle 1 + \angle 2 = 9 0 ^ { \circ } ，∠BAD+
\angle B = 9 0 ^ { \circ } \therefore \angle 2 = \angle 1 = 4 5 ^ { \circ } , \angle B A D = 9 0 ^ { \circ } - 4 0 ^ { \circ } = 5 0 ^ { \circ } .
\therefore \angle B A C = \angle B A D + \angle 1 = 5 0 ^ { \circ } + 4 5 ^ { \circ } = 9 5 ^ { \circ } .

知识点2有两个角互余的三角形是直角三角形

6.已知 \angle A = 3 7 ^ { \circ } \angle B = 5 3 ^ { \circ } ，则 \triangle A B C 为 （ C）

A.锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形 D.以上都不对

7.（教材P14练习T2变式）如图， E 是 \triangle A B C 的边 A C 上的一点，过点 E 作 E D \perp A B ，垂足为 D 若 \angle 1 = \angle 2 ，则 \triangle A B C 是直角三角形吗？为什么？

解： : \triangle A B C 是直角三角形.理由如下：（204号 \because E D \bot A B
： \angle A D E = 9 0 ^ { \circ }
（204号 \therefore \angle 1 + \angle A = 9 0 ^ { \circ } . （204号
又： \angle 1 = \angle 2 ，
\therefore \angle 2 + \angle A = 9 0 ^ { \circ } . （2号
\therefore \angle C = 1 8 0 ^ { \circ } - 9 0 ^ { \circ } = 9 0 ^ { \circ } . （204号
\therefore \triangle A B C 是直角三角形.

易错点 直角三角形中的直角顶点不确定导致漏解

8.如图，已知 \angle A O D = { 3 0 } ^ { \circ } , C 是射线 O D 上的一个动点.在点 C 运动

的过程中，当 \triangle A O C 恰好是直角三角形时，\angle A 的度数为 { 6 \mathbf { 0 } } ^ { \circ } 或 9 0 ^ { \circ }

中档题

9.（教材P21新增复习题T1变式）下列条件：{ 1 } \angle A + \angle B = \angle C ; { 2 } \angle A : \angle B : \angle C = 5 : 3 : 2 { 3 } \angle A = 9 0 ^ { \circ } - \angle B ; { 4 } \angle A = 2 \angle B = 3 \angle C { 5 } \angle A = / { 1 } { 2 } \angle B = / { 1 } { 3 } \angle C . 其中能确定 \triangle A B C 是直角三角形的有 (C）

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

10.如图，在四边形 A B C D 中， \angle B = \angle C = 9 0 ^ { \circ } 点 E 在边 B C 上，连接 A E , D E . 若 \angle A E D = 9 0 ^ { \circ } , D E 平分 \angle A D C ，则图中一定与 \angle 1 相等的角(除去 \angle 1 ⟩ 有 (B)

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

第10题图

第11题图

11.如图，在 \triangle A B C 中， \angle A C B = 9 0 ^ { \circ } ，将 \triangle A B C 沿 C D 折叠，使点 B 恰好落在边 A C 上的点E 处.若 \angle A = 2 4 ^ { \circ } ，则 \angle E D C = 6 0 ^ { \circ }

12. A石家庄外国语校本经典题如图， \angle A C B = 9 0 ^ { \circ } , C D 是 \triangle A B C 的高， D E 是 \triangle B D C 的高，\angle A = 3 \angle C D E ，求 \angle B 的度数.

解：∵DE是 \triangle B D C 的
高，
\angle D E B = 9 0 ^ { \circ }
： \angle A C B = 9 0 ^ { \circ }
:AC// DE.
号 \therefore \angle C D E = \angle A C D . （204号
CD 是 \triangle B D C 的高，
\therefore \angle A + \angle A C D = 9 0 ^ { \circ } .
： \angle A = 3 \angle C D E
（204号 \therefore 3 \angle A C D + \angle A C D = 9 0 ^ { \circ } . （204号
. \angle A C D = 2 2 . 5 ^ { \circ }
CD 是 \triangle B D C 的高 , \angle A C B = 9 0 ^ { \circ }
\therefore \angle A + \angle A C D = 9 0 ^ { \circ } , \angle A + \angle B = 9 0 ^ { \circ } . \therefore \angle A C D = \angle B
（20 \therefore \angle B = 2 2 . 5 ^ { \circ }

综合题

13. A人大附中校本经典题如图1，在 \triangle A B C 中，A D \bot B C 于点 D , C E \bot A B 于点 E .

(1)猜测 \angle 1 与 \angle 2 的大小关系，并说明理由.(2)如图2，如果 \angle A B C 是钝角，其余条件不变，(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由.

图1

图2

解： \ L ( 1 ) \_ { 1 } = \ L \_ { 2 } 2 . 理由如下：
\because A D \bot B C , C E \bot A B , （20
：： \triangle A B D 和 \triangle B C E 都是直角三角形.
\therefore \angle 1 + \angle B = 9 0 ^ { \circ } , \angle 2 + \angle B = 9 0 ^ { \circ } , \therefore \angle 1 = \angle 2 . (2)(1)中的结论仍然成立.理由如下：
（204 \because A D \bot B C , C E \bot A B ,
（2号 \therefore \angle D = \angle E = 9 0 ^ { \circ } .
\therefore \angle 2 + \angle A B D = 9 0 ^ { \circ } , \angle 1 + \angle C B E = 9 0 ^ { \circ } .
又： \angle A B D = \angle C B E
\therefore \angle 1 = \angle 2 .

微专题1 三角形的角平分线、高线的夹角模型

【母题】A|清华附中校本经典题如图，在\triangle A B C 中， A D , A E 分别是 \triangle A B C 的角平分线和高线， \angle A B C = α \angle A C B = β ( α < β )

（1）若 α = 3 5 ^ { \circ } ， β = 5 5 ^ { \circ } ，则 \angle D A E = \underline { { 1 0 } } ^ { \circ }

(2)小明说：“无需给出 α , β 的具体数值，只需确定 β 与 α 的差值，即可确定 \angle D A E 的度数."请通过计算验证小明的说法是否正确.

解 \therefore \angle A B C = α , \angle A C B = β , （20 \angle B A C = 1 8 0 ^ { \circ } - α - β . （2号 ： A D 平分 \angle B A C ∴∠BAD = 1 ∠BAC = B DE C
/ { 1 } { 2 } \left( 1 8 0 ^ { \circ } - α - β \right) . :AE⊥BC, （204号 \angle A E B = 9 0 ^ { \circ } \therefore \angle B A E = 9 0 ^ { \circ } - α . （20 \therefore \angle D A E = \angle B A E - \angle B A D = ( 9 0 ^ { \circ } - α ) -
/ { 1 } { 2 } ( { \mathbb { 1 } } 8 0 ^ { \circ } - α - β ) = / { 1 } { 2 } ( β - α ) . ： \angle D A E 的度数与 α , β 的具体数值无关， 9 和 β （204号
与 α 的差值有关. ∴小明的说法是正确的.

变式角度1 高线在三角形外部，与三角形的角平分线经过三角形的同一个顶点

1.如图，在 \triangle A B C 中，\angle B = 2 0 ^ { \circ } \angle A C B = { { 1 1 0 } ^ { \circ } } ， A E 平分\angle B A C , A D \perp B D 于1点 D ，则 \angle D A E 的度数为

4 5 ^ { \circ }

变式角度2过角平分线上一点(不含端点)作该角所对边的垂线

2.如图，在 \triangle A B C 中， \angle B < \angle C , A D 平分 \angle B A C E 为 A D （不与点 A , D 重合)上任意一点， E F \bot B C 于点F . 若 \angle B = 4 6 ^ { \circ } \angle D E F = 1 4 ^ { \circ } ，则 \angle C 的度数为7 4 ^ { \circ } （204号

变式角度3过角平分线的延长线(或反向延 长线)上一点作该角所对边的垂线

3.如图，在 \triangle A B C 中，点D , E 在边 B C 上， A D 平分 \angle B A C F 为 D A 延长线上一点， F E \bot B C \angle B = 3 5 ^ { \circ } . \angle C = 6 5 ^ { \circ } ，则\angle D F E 的度数为 1 5 ^ { \circ }

周测 ( 1 3 . 1 { ~ } 1 3 . 3 . 1 ) （20

（时间：40分钟满分：100分）

一、选择题(每小题4分，共32分）

1.把一根长 1 2 \ {cm } 的铁丝按下面所标长度剪开，剪成的三段首尾顺次相接可以围成三角形的是 (D）

2.在数学课上，同学们在练习画边 A C 上的高时，画出的以下四个图形中正确的是（C）

3.椅子是一种日常生活家具，现代的椅子追求美观时尚，一些椅子被赋予了更多科技，使人类的生活更加方便.下列椅子的设计中利用了“三角形稳定性”的是 (C)

4.在 \triangle A B C 中，若 \angle A = \angle B - \angle C ，则 \triangle A B C 是 （ B

A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不确定

5.如图， \triangle A B C 为直角三角形， \angle A C B = 9 0 ^ { \circ } C D \bot A B ，则图中所有与 \angle 1 互余的角是（C）

A. \angle B （204号
B. \angle A
C. \angle B C D 和 \angle A D. \angle B C D

6.若等腰三角形的周长为 1 0 \ {cm } ，其中一边长为2 \ {cm } ，则该等腰三角形的底边长为 （A）

A. 2 \ {cm } （20 B. 4 \ {cm } （204号 { C } . 6 \ {cm } D. 8 \ {cm }

7.如图，在 \triangle A B C 中， B { \cal F } 平分 \angle A B C , C F 平分\angle A C B \angle A = 7 0 ^ { \circ } ，则 \angle F = (A)

A. 1 2 5 ^ { \circ } （204号 B.130° { C } . 1 3 5 ^ { \circ } （204号 D. { { 1 4 0 } ^ { \circ } }

第7题图

第8题图

8.如图，将 \triangle A B C 沿 D E , H G , E F 翻折，三个顶 点均落在点 o 处.若 \angle 1 = 1 1 9 ^ { \circ } ，则 \angle 2 的度数 为 （B

A. 5 9 ^ { \circ } （204号 B.61° （204号 C . 6 9 ^ { \circ } （204号 D. 7 1 ^ { \circ }

二、填空题(每小题4分，共24分）

9.如图，在 \triangle A B D 中， \angle A 的对边是 BD

第9题图

第10题图

10.如图所示的是用一副三角板拼成的图案，则\angle B E C 的度数为 1 0 5 ^ { \circ }

11.如图，经测量， B 处在 A 处的南偏西 { 6 0 } ^ { \circ } 的方向， C 处在 A 处的南偏东 2 0 ^ { \circ } 方向， B E 为正北方向，且 \angle C B E = 1 0 0 ^ { \circ } ，则 \angle A C B 的度数是 { 6 \mathbf { 0 } } ^ { \circ }

第11题图

第12题图

12.如图，在 \triangle A B C 中， A D 为边 B C 上的中线，D E \bot A B 于点 E , D F \bot A C 于点 F , A B = 3 A C = 4 D F { = } 1 . 5 ，则 D E { = / { 2 } { 2 } }

13.如图，已知点 A , B , C 在直A BC线 \scriptstyle a 上，点 D , E 在直线 it { b } a上.以点 A , B , C , D , E 中的 Db任意三点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有9个.

14.已知 B D , C E 是 \triangle A B C 的高，且 B D , C E 所在直线相交所成的4个角中，有一个角的度数是 4 5 ^ { \circ } ，则 \angle B A C 的度数为 1 3 5 ^ { \circ } 45 ^ { \circ }$

三、解答题（共44分）

15.(8分)如图， A B = B C = A C , A D = C D , A C 与BD 相交于点 O (1)写出以 _ { A B } 为边的三角形.(2)找出图中的等腰三角形和等边三角形.

解： ( bf { 1 } ) \ : \nu x \ : A B 为边的三角形有\triangle A B C , \triangle A B D , \triangle A B O . （204号(2）图中的等腰三角形有\triangle A B C , \triangle A C D ; 等边三角形有\triangle A B C

16.(10分)如图， A D 是 \triangle A B C 的高， A E , B F 是\triangle A B C 的角平分线，且 \angle C B F = 3 0 ^ { \circ } ：

(1)求 \angle B A D 的度数.
(2)若 \angle A F B = 7 0 ^ { \circ } ，求 \angle D A E 的度数.
解：(1)由题意可知， \angle A B C
= 2 \angle C B F = 6 0 ^ { \circ }
： A D 是 \triangle A B C 的高，
（2号 { \bf \Pi } _ { 0 } ^ { 0 } \angle A D B = 9 0 ^ { \circ } #
（204号 \therefore \angle B A D = 1 8 0 ^ { \circ } - \angle A B D
- \angle A D B = 3 0 ^ { \circ }
(2)由题意可知， \angle B A C = 1 8 0 ^ { \circ } - \angle A B F - \angle A F B =
1 8 0 ^ { \circ } - 3 0 ^ { \circ } - 7 0 ^ { \circ } = 8 0 ^ { \circ } . （204号
： * _ { A E } 平分 \angle B A C ，
\therefore \angle B A E = / { 1 } { 2 } \angle B A C = 4 0 ^ { \circ } .
\therefore \angle D A E = \angle B A E - \angle B A D = 4 0 ^ { \circ } - 3 0 ^ { \circ } = 1 0 ^ { \circ } .

17.（12分）实践教育：为提高学生火灾逃生能力，学校组织学生进行模拟逃生演练，需要制作若干个铁质三角形框架模拟火灾中坍塌的情境.

数据收集：设计小组成员到建材市场收集数据如下表所示.

数据应用：设计小组需要制作两边长分别为2米和4米，第三边长为奇数的不同规格的三角形框架.

(1)根据市场能购买到的铁条制作满足上述条件的三角形框架，共有2种制作方案.
(2)若(1)中每种规格的框架各制作一个，则购买铁条共需多少钱？解：当三角形框架的边长为 ^ { 2 , 3 , 4 } 时，所需费用为6+ 8 + 1 0 = 2 4 ( π )
当三角形框架的边长为2，4,5时，所需费用为 ^ { 6 + } 1 0 + 1 5 = 3 1 ( π ) . （20
\therefore 2 4 + 3 1 = 5 5 ( 元).
答：购买铁条共需55元.

18.(14分)如图1，将三角板 ( \triangle M P N , \angle M P N = 9 0 ^ { \circ } . 放置在 \triangle A B C 上（点 P 在 \triangle A B C 内），三角板的两边 P M , P N 恰好经过点 B 和点C ，我们来探究 \angle A B P 与 \angle A C P 是否存在某种数量关系.

（1）特例探究：若 \angle A = 5 0 ^ { \circ } ，则 \angle P B C + \angle P C B = 9 0 ^ { \circ } （ ， \angle A B P + \angle A C P = { 4 0 } ^ { \circ } （204号

(2)类比探究：探究 \angle A B P + \angle A C P 与 \angle A 之间的数量关系.

(3)变式探究：如图2，改变三角板的位置，使点 P 在 \triangle A B C 外，三角板的两边 P M =P N 仍恰好经过点 B 和点 C ，探究\angle A B P , \angle A C P , \angle A 之间的数量关系.

图1

图2

4 0 ^ { \circ } : ( 2 ) \because ( \angle P B C + \angle P C B ) + ( \angle A B P + \angle A C P ) +
\angle A = 1 8 0 ^ { \circ }
\therefore 9 0 ^ { \circ } + ( \angle A B P + \angle A C P ) + \angle A = 1 8 0 ^ { \circ } . \therefore \angle A B P + \angle A C P = 9 0 ^ { \circ } - \angle A .
(3)设 _ { A B } 交 P C 于点 0
（20号 \because \angle A O C = \angle P O B , \angle A C O + \angle A + \angle A O C = \angle P +
\angle P B O + \angle P O B = 1 8 0 ^ { \circ } \because \angle A C O + \angle A = \angle P + \angle P B O
即 \angle A C P + \angle A = 9 0 ^ { \circ } + \angle A B P
（ \therefore \angle A C P - \angle A B P = 9 0 ^ { \circ } - \angle A 号

13.3.2 三角形的外角

基础题

知识点1 三角形的外角

1.图中， \angle 1 是 \triangle A B C 的外角的是 (D

知识点2 三角形的外角的性质

2.如图， B , C , D 三点在同一条直线上， \angle B = 5 6 ^ { \circ } \angle A C D = 1 2 0 ^ { \circ } ，则 \angle A 的度数为（B）

A.56° { B } , 6 4 ^ { \circ } （204号 C. { 6 0 } ^ { \circ } （204号 D. 7 6 ^ { \circ }

第2题图

第3题图

3.(2024·邯郸武安市期末)生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察，就会有许多意想不到的收获.如图，这是由三角板拼成的图形，则 \angle A B F 的度数为(B)

A. { 1 0 } ^ { \circ } （204号 B. 1 5 ^ { \circ } （204号 （204号 { { C } } . 2 0 { } ^ { \circ } D. 2 5 ^ { \circ }

4.如图，在 \triangle A B C 中， C E 是外角 \angle A C D 的平分线，且 \angle B = 2 8 ^ { \circ } \angle A C E = 6 2 ^ { \circ } ，则 \angle B A C 的度数为 （ B ）

A. 9 0 ^ { \circ } （204号 B.96° C.106° D. 1 2 4 ^ { \circ }

第4题图

第5题图

5.如图，已知直线 l _ { 1 } , l _ { 2 } , l _ { 3 } 两两相交，且 l _ { 1 } \perp l _ { 3 } 若 \angle α = 5 0 ^ { \circ } ，则 \angle β 的度数为 \underline { { 1 4 0 } } ^ { \circ } （20

6.(教材P16习题T1变式)在如图所示的三角形中， x 的值是60

第6题图

第7题图

7. 新考向 真实情境如图，这是一台放置在水平桌面上的电脑显示屏，将其侧面抽象成平面几何图形，测得 \angle A C D = 1 2 0 ^ { \circ } = \angle A B C = 2 \angle B A C ，则 \angle A B C = 8 0 ^ { \circ }

8.(2024·邯郸11中期中)如图， D 是 \triangle A B C 的边 B C 上的一点， \angle B = \angle B A D = \angle A D C = { 7 0 } ^ { \circ } \angle B A C = 8 0 ^ { \circ } ，求 \angle C 的度数.

解： \because \angle A D C = \angle B + \angle B A D , （204号
\angle B = \angle B A D , \angle A D C = 7 0 ^ { \circ } （20号
\angle B = \angle B A D = 3 5 ^ { \circ }
在 \triangle A B C 中， \angle B = 3 5 ^ { \circ } \angle B A C （204号 B （204号 （204号 D （204号 C
{ \bf \Lambda } = { 8 0 } ^ { \circ }
\angle C = 1 8 0 ^ { \circ } - ( \angle B + \angle B A C ) = 1 8 0 ^ { \circ } - ( 3 5 ^ { \circ } + 8 0 ^ { \circ } )
= 6 5 ^ { \circ } ：

知识点3 三角形的外角和

归纳：三角形的外角和等于 （20 3 6 0 ^ { \circ }

9.(教材P15例4变式)如图， \angle B A E , \angle C B F , \angle A C D 是 \triangle A B C 的三个外角.若 \angle A C D = 1 2 5 ^ { \circ } ，则 \angle B A E + \angle C B F = 2 3 5 ^ { \circ }

易错点 对三角形的外角的性质理解不清致错

10.下列说法错误的是 一 B

A.一个三角形中至少有两个锐角B.一个三角形中，一个外角大于任意一个内角C.直角三角形的外角不可能是锐角D.若三角形有一个外角为锐角，则这个三角形一定是钝角三角形

中档题

11. A北师大附属实验校本经典题如图，在△ABC中，点 D 在边 A C 上(不与端点重合),连接BD.则 \angle 1 , \angle 2 , \angle 3 的大小关系是 (A)

A. \angle 1 < \angle 2 < \angle 3
B. \angle 1 < \angle 3 < \angle 2
C. \angle 3 < \angle 2 < \angle 1
D. \angle 2 < \angle 1 < \angle 3

12. 新考向 真实情境如图，这是一台起重机的工作简图，前后两次吊杆位置 O P _ { 1 } , O P _ { 2 } 与吊绳的夹角分别是 { 3 0 } ^ { \circ } 和 { 7 0 } ^ { \circ } ，则吊杆前后两次的夹角 \angle P _ { 1 } O P _ { 2 } = (C）

A. { 6 0 } ^ { \circ } （204号 （20 { B } , 5 0 ^ { \circ } （204号 C. { 4 0 } ^ { \circ } （204号 D. { 3 0 } ^ { \circ }

第12题图

第13题图

13.如图，在 \triangle A B C 中， \angle A B C = 4 0 ^ { \circ } \angle A C D = 7 6 ^ { \circ } B E 平分 \angle A B C , C E 平分 \triangle A B C 的外角\angle A C D ，则 \angle E = \_ { 1 8 ^ { \circ } }

14. A石家庄外国语校本经典题 如图，在 \triangle A B C 中， D 为 A C 的延长线上一点， E 为边 _ { A B } 上一点，连接 D E 交 B C 于点 F . 已知 \angle B C D = 9 2 ^ { \circ } =\angle A = 2 7 ^ { \circ } \angle B E D = 4 4 ^ { \circ } ，求 \angle B F D 的度数.

解： \because \angle B C D = 9 2 ^ { \circ } , \angle A
= 2 7 ^ { \circ } \angle B C D 是△ABC
的外角，
： \angle B C D = \angle A + \angle B . （204号 E B
： \angle B = \angle B C D - \angle A = 6 5 ^ { \circ } . （20
∵∠BFD是 \triangle E F B 的外角，
： \angle B F D = \angle B + \angle B E D = 6 5 ^ { \circ } + 4 4 ^ { \circ } = 1 0 9 ^ { \circ } .

综合题

15.如图，在 \triangle A B C 中， \angle A C B > \angle B , A D 平分\angle B A C , P 为线段 A D 上的任意一点， E P \perp A D 交直线 B C 于点 E ·

(1)若 \angle B = 3 6 ^ { \circ } ， \angle A C B = 7 8 ^ { \circ } ，则 \angle E = 2 1 ^ { \circ }

(2）当点 P 在线段 A D 上运动时，求证：\angle E = / { 1 } { 2 } ( \angle A C B - \angle B ) . （20

证明： \angle B + \angle B A C A
+ \angle A C B = 1 8 0 ^ { \circ }
： \angle B A C = 1 8 0 ^ { \circ } . D
（2 ( \angle B + \angle A C B ) ：
\because A D 平分 \angle B A C B （204号 \boldsymbol { D } （204号 （20 C （204号 E （20
\therefore \angle B A D = / { 1 } { 2 } \angle B A C = 9 0 ^ { \circ } - / { 1 } { 2 } ( \angle B + \angle A C B ) . （204号
\therefore \angle A D C = \angle B + \angle B A D = \angle B + 9 0 ^ { \circ } - / { 1 } { 2 } ( \angle B +
\angle A C B ) = 9 0 ^ { \circ } - / { 1 } { 2 } ( \angle A C B - \angle B ) . （20
∵PE⊥AD,
\therefore \angle D P E = 9 0 ^ { \circ }
\therefore \angle A D C + \angle E = 9 0 ^ { \circ } . （204号
\therefore \angle E = 9 0 ^ { \circ } - \angle A D C = / { 1 } { 2 } ( \angle A C B - \angle B ) .

微专题2 运用"飞镖形""8字形"求角度

以题明法

常用的两个基本图形公式：

飞镖形结论：如图1， \angle B O C = \angle B A C + \angle B + \angle C .
推理过程：如图1,连接 A O 并延长至点 D _ { * }
： \angle B O D = \angle B + ∠BAD, \angle C O D = \angle C + \_ C _ { } ( \_ D _ { } ) , \therefore \_ B O C = \angle B O D + \angle C O D = \angle B A C + \angle B + \angle C .
还可以延长 B O 交 A C 于点 E 得出此结论，试试看吧！

图1

8字形结论：如图 2 , \angle A + \angle B = \angle C + \angle D 推理过程：如图 \angle , \because \angle A O C = \angle A + \angle B \angle A O C = \angle C + （ ∠D :∠A+ ∠B ∠C+_∠D

还可以根据 \angle A + \angle B + \angle A O B = \angle C + \angle D = / { 1 } { ! } \angle C O D 得出此结论，试试看吧！

针对训练

1.如图， A B , C D 相交于点 O ，连接 A D , B C . 若 \angle A = 4 3 ^ { \circ } \angle D = 5 7 ^ { \circ } \angle C = 3 7 ^ { \circ } ，则 \angle B 的度 数为 6 3 ^ { \circ } （204号

第1题图

第2题图

第3题图

2.如图， C E 平分 \angle A C D ，交 A B 于点 E . 若 \angle A = { } ^ { . } { 4 0 } ^ { \circ } \boldsymbol { { ) } } ^ { \circ } , \angle B = 3 0 ^ { \circ } \angle B D C = 1 1 0 ^ { \circ } ，则 \angle B E C 的度数 为 { 6 0 } ^ { \circ } （204号

3. A人大附中校本经典题如图， \angle A + \angle B + \angle C + \angle D + \angle E = 1 8 0 ^ { \circ }

小专题2三角形中内、外角平分线的常见模型

模型旧纳

【模型1】两内角平分线的夹角

【模型2】一内角平分线与一外角平分线的夹角

【模型3】两外角平分线的夹角

【条件】 BP平分 \angle A B C C P 平分 \angle A C B

【条件】 B P 平分∠ABC,CP平分 \angle A C D

【条件】 B P 平分 \angle D B C , C P 平分 \angle B C E

【结论】 \angle P = 9 0 ^ { \circ } + { / { 1 } { 2 } } \angle A

【结论】 \angle P = / { 1 } { 2 } \angle A

【结论】 \angle P = 9 0 ^ { \circ } - { / { 1 } { 2 } } \angle A

模型探究

母题 两内角平分线的夹角

【例】（教材P22复习题T8节选)如图，\triangle A B C 的 \angle A B C 和 \angle A C B 的平分线 B E , C F 相交于点 G .求证： \angle B G C = 9 0 ^ { \circ } + { / { 1 } { 2 } } \angle A （2号

证明：∵BE， C _ { \varepsilon } ^ { sqrt { \varepsilon } } 分别是
\angle A B C , \angle A C B 的平分线， ∠GBC+ ∠GCB
/ { 1 } { 2 } ( \angle A B C + \angle A C B ) . （2 ∴∠BGC=180°-（∠GBC+ ∠GCB) = 1 8 0 ^ { \circ } - { / { 1 } { 2 } } ( \angle A B C + \angle A C B ) . 又 * \angle A B C + \angle A C B = 1 8 0 ^ { \circ } - \angle A , \therefore \angle B G C = 1 8 0 ^ { \circ } - { / { 1 } { 2 } } ( 1 8 0 ^ { \circ } - \angle A ) = 9 0 ^ { \circ } + { / { 1 } { 2 } } \angle A .

变式角度1一内角平分线与一外角平分线的夹角

【变式1】如图所示， P 是 \triangle A B C 的内角\angle A B C 和外角 \angle A C D 的平分线的交点，试探究\angle P 与 \angle A 之间的数量关系.

解： { \bf \Sigma } ^ { \circ } \triangle A B C 的内角平 分线 B P 与外角平分线 C P 交于点 P ， \therefore \angle P B C = / { 1 } { 2 } \angle A B C , \angle P C D = / { 1 } { 2 } \angle A C D . （20

又： \angle A C D = \angle A + \angle A B C ， \angle P C D = \angle P + ∠PBC, \therefore / { 1 } { 2 } ( \angle A + \angle A B C ) = \angle P + / { 1 } { 2 } \angle A B C . \therefore \angle P = / { 1 } { 2 } \angle A .

变式角度2 两外角平分线的夹角

【变式2】如图所示， P 是 \triangle A B C 的两个外角 \angle E B C 和 \angle F C B 的平分线的交点，试探究\angle P 与 \angle A 之间的数量关系.

解：： \angle E B C = \angle A C B + \angle A （20号 \therefore \angle E B C + \angle F C B = \angle A C B + \angle A + \angle F C B = 1 8 0 ^ { \circ } + \angle A , \qquad E ^ { \prime } \setminus \bigvee ^ { * } F ∵BP, C P 分别是 \angle E B C P \angle F C B 的平分线，\begin{array} { c } { { \therefore \angle P B C = \displaystyle / { 1 } { 2 } \angle E B C , \angle P C B = \displaystyle / { 1 } { 2 } \angle F C B . } } \\ { { \ } } \\ { { \therefore \angle P B C + \angle P C B = \displaystyle / { 1 } { 2 } ( \angle E B C + \angle F C B ) = } } \\ { { \ } } \\ { { / { 1 } { 2 } ( 1 8 0 ^ { \circ } + \angle A ) = 9 0 ^ { \circ } + \displaystyle / { 1 } { 2 } \angle A . } } \\ { { \ } } \\ { { \therefore \angle P = 1 8 0 ^ { \circ } - ( \angle P B C + \angle P C B ) = 1 8 0 ^ { \circ } - ( 9 0 ^ { \circ } + } } \\ { { \ } } \\ { { \nonumber } } \end{array} { / { 1 } { 2 } } \angle A ) = 9 0 ^ { \circ } - { / { 1 } { 2 } } \angle A .

变式角度3 三等分线

【变式3】 如图，已知 \angle P B C = / { 1 } { 3 } \angle D B C \angle P C B = / { 1 } { 3 } \angle E C B ，试探究 \angle B P C 与 \angle A 之间的数量关系.

模型识别与运用

1.如图，在 \triangle A B C 中， B O , C O 分别平分 \angle A B C 0\angle A C B , C E 为外角 \angle A C D 的平分线，交 B O 的延长线于点 \boldsymbol { E } ，记 \angle B A C = \angle 1 \angle B E C = \angle 2 ，则下列结论中错误的是 (B)

A. \angle 1 = 2 \angle 2 B. \angle B O C = 3 \angle 2 （2 { C } . \angle B O C = 9 0 ^ { \circ } + { / { 1 } { 2 } } \angle 1 D. \angle B O C = 9 0 ^ { \circ } + \angle 2

2.如图，在 \triangle A B C 中， \angle A B C , \angle A C B 的三等分线分别对应交于点 E , D . 若 \angle E = 9 0 ^ { \circ } ，则\angle B D C 的度数为 \overline { { 1 3 5 } } ^ { \circ } ， \angle A 的度数为45°

第2题图

第3题图

3.如图， \triangle A B C 的两条内角平分线 B O , C O 相 交于点 O ，两条外角平分线 B P , C P 相交于点 P .已知 \angle B O C = 1 2 0 ^ { \circ } ，则 \angle P = 6 0 ^ { \circ }

4. A清华附中校本经典题【问题背景】已知\angle M O N { = } 9 0 ^ { \circ } 点 A , B 分别在 O M , O N 上运动(不与点 O 重合).

【问题思考】

（1)如图1所示， A E , B E 分别是 \angle B A O \angle A B O 的平分线，随着点 A , B 的运动，求 \angle A E B 的度数.

（2)如图2所示， B C 是 \angle A B N 的平分线， B C 的反向延长线与 \angle B A O 的平分线交于点D .如果 \angle M O N = α ，其余条件不变，随着点 A , B 的运动，求 \angle D 的度数.（用含 α 的式子表示)

图1

图2

解 : ( 1 ) \because \angle M O N { = } 9 0 ^ { \circ } , \therefore \angle B A O + \angle A B O { = } 9 0 ^ { \circ } .
0 \circ ^ { \circ } A \mathbb { E } , \mathbb { B } E 分别是/BAO， \angle A B O 的平分线，
\therefore \angle B A E = / { 1 } { 2 } \angle B A O , \angle A B E = / { 1 } { 2 } \angle A B O .
\therefore \angle B A E + \angle A B E = / { 1 } { 2 } ( \angle B A O + \angle A B O ) = 4 5 ^ { \circ } .
\therefore \angle A E B = 1 8 0 ^ { \circ } - ( \angle B A E + \angle A B E ) = 1 3 5 ^ { \circ } .
(2)设 \angle B A D = x
： { \mathbf { \Pi } } _ { A D } 平分 \angle B A O , \therefore \angle B A O = 2 x . （20
\therefore \angle A O B = a , \therefore \angle A B N = \angle A O B + \angle B A O = a + 2 x \angle A B N , \therefore \angle A B C = / { 1 } { 2 } \angle A B N = / { 1 } { 2 } α + x .
业 \therefore \angle A B C = \angle D + \angle B A D , （20
\therefore \angle D = \angle A B C - \angle B A D = / { 1 } { 2 } α + x - x = / { 1 } { 2 } α .

小专题3 利用数学思想方法求角度

类型1 方程思想

方法归纳

当问题中角度关系较为复杂时，可通过设元，寻找已知与未知间的等量关系，构造方程实现未知向已知的转化.

1 A|清华附中校本经典题如图，在 \triangle A B C 中，\angle C = \angle A B C = / { 3 } { 2 } \angle A , B D 是边 A C 上的高.求 \angle D B C 的度数.

解：设 \angle A = x ^ { \circ } ，则 \angle C = \angle A B C = { / { 3 } { 2 } } x ^ { \circ } ： * \angle A + \angle C + \angle A B C = 1 8 0 ^ { \circ } （2即 x + / { 3 } { 2 } x + / { 3 } { 2 } x = 1 8 0 +x=180,解得 x=45,\therefore \angle A = 4 5 ^ { \circ } , \angle C = 6 7 . 5 ^ { \circ } . （204号∵BD是边 A C 上的高，： \angle C D B = 9 0 ^ { \circ } ：\therefore \angle D B C = 9 0 ^ { \circ } - \angle C = 2 2 . 5 ^ { \circ } . （204号

【变式】如图，在 \triangle A B C 中，若B D 是 \triangle A B C 的角平分线，且\angle 1 = \angle A \angle 2 = \angle C ，则 \angle A 的度数为 （204号 3 6 ^ { \circ } （204号

类型2 整体思想

方法归纳

当题目中的条件或结论是以某几个元素的整体呈现时，则可以将其视为一个整体，运用整体思想求值.

2. A石家庄外国语校本经典题 如图， \angle E C A = \angle D A C 分别是ABC的两个外角.

(1)若 \angle B = 5 0 ^ { \circ } ，求 \angle E C A + \angle D A C 的度数. （2）若 \angle B = α ，请用含 α 的代数式表示 \angle E C A + \angle D A C 的度数.(直接写出结果)

解 : ( 1 ) \because \angle E C A = \angle B + \angle B A C , （204 A
\angle D A C = \angle B + \angle A C B
且 \angle B + \angle B A C + \angle A C B =
1 8 0 ^ { \circ } B CE\because \angle B C A + \angle D A C = \angle B + \angle B A C + \angle B + \angle A C B = \angle B + ( \angle B + \angle B A C + \angle A C B ) = 5 0 ^ { \circ } + 1 8 0 ^ { \circ } = 230°.
(2)∠ECA+∠DAC=180°+α.

3.(2024·石家庄藁城区期末)如图，将 \triangle A B C 沿 D E , E F 翻折，顶点 A , B 均落在点 O 处，且 E A 与 E B 重合于线段 E O 处.若 \angle C D O + \angle C F O = 1 0 4 ^ { \circ } ，则 \angle C 的度数为 (A)

A. 3 8 ^ { \circ } B. { 3 9 } ^ { \circ } （20 C. { 4 0 } ^ { \circ } （204号 D.41°

类型3 转化思想

方法归纳

转化思想是把一个未知(待解决)的问题化为已解决的或易于解决的问题来解决.（常常可以运用“8字形”进行导角）

4.如图， \angle A + \angle B + \angle C + \angle D + \angle E 的度数为 180°

第4题图

第5题图

5.小慧一笔画成了如图所示的图形，若 \angle A = { 6 0 } ^ { \circ } ，则 \angle B + \angle C + \angle D + \angle E = （B）

A. { 1 8 0 } ^ { \circ } （204号 B.240° { C } . 2 7 0 ^ { \circ } （204号 D. 3 0 0 ^ { \circ }

类型4 分类讨论思想

方法归纳

当图形的形状或位置不明确，可能出现不同情况时，则需要根据可能出现的情况分类讨论求解.

6 A|石家庄外国语校本经典题 \triangle A B C 的一个内角为 { 4 0 } ^ { \circ } ，且 \angle A = \angle B ，则 \angle C 的外角的度数是 8 0 ^ { \circ } 或 1 4 0 ^ { \circ } （20

7.如图，在 \triangle A B C 中， \angle C = 9 0 ^ { \circ } \angle B = 3 4 ^ { \circ } ，点 M , N 分别在边 A B ， B C 上，将\triangle B M N 沿 M N 折叠，使点

B 落在直线 A C 上的点 \boldsymbol { B ^ { \prime } } 处．当\triangle A B ^ { \prime } M 为直角三角形时， \angle B N M 的度数为 7 3 ^ { \circ } 或101°

数学活动

数学活动1 搭等边三角形

请根据上述材料，画出相应的示意图，并完成下表，

数学活动2 多边形的三角剖分

已知：把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段(这些线段不在多边形内部相交)划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分.如图所示的是七边形的三角剖分的几种方法，

(1)请画出六边形的一种三角剖分方法，并指出能剖分出多少个三角形.

(2)对于一个 n 边形的一种三角剖分，若这些三角形的内角总和是 { 1 ~ 8 0 0 } ^ { \circ } ，求 n 的值.

(3)一个多边形，往往有多种方法进行三角剖分.记 n 边形三角剖分的方法数为 D _ { n } ，则当n≥3时，Dn ,Dn+1=4n-6.已知D=1,求五边形的三角剖分方法数 D _ { 5 } ：

解：(1)如图所示(答案不唯 \lnot )，能剖分出4个三角形.

(2)由题意可知， \scriptstyle n 边形可三角剖分为 ( n - 2 ) 个三角形，
这些三角形的内角总和为 ( n - 2 ) x 1 8 0 ^ { \circ }
\therefore ( n - 2 ) x 1 8 0 = 1 8 0 0 解得 n = 1 2

(3)将 \scriptstyle n = 3 代 \scriptstyle λ { / { D _ { n + 1 } } { D _ { n } } } = { / { 4 n - 6 } { n } } 得/ { D _ { 4 } } { D _ { 3 } } = / { 4 x 3 - 6 } { 3 } = / { 1 2 - 6 } { 3 } = / { 6 } { 3 } = 2 . \because D _ { 3 } = 1 , \therefore D _ { 4 } = 2 D _ { 3 } = 2 x 1 = 2 . 将 n = 4 代 \scriptstyle * { / { D _ { n + 1 } } { D _ { n } } } = { / { 4 n - 6 } { n } } 得/ { D _ { 5 } } { D _ { 4 } } { = } / { 4 x 4 - 6 } { 4 } { = } / { 1 6 - 6 } { 4 } { = } / { 1 0 } { 4 } { = } / { 5 } { 2 } . \therefore D _ { 4 } = 2 , \therefore D _ { 5 } = / { 5 } { 2 } D _ { 4 } = / { 5 } { 2 } x 2 = 5 . ∴五边形的三角剖分方法数 \begin{array} { r } { D _ { 5 } = 5 , } \end{array}

章末复习（一） 三角形

河北考点针对练

考点1 三角形的概念

1.如图，在 \triangle A B C 中， A B = B C = A C , B D \bot A C 垂足为 D ，点 E 在边 B C 的延长线上，且有C E = C D , D B = D E .

(1)以点 c 为顶点的三角形有△ABC，△CBD,\triangle C D E ；以 C D 为边的三角形有 \Delta C B D , \triangle C D E （204号

(2)图中的等腰三角形有 \triangle A B C , \triangle C D E , \triangle B D E ；等边三角形有 △ABC

(3)图中的直角三角形有 \triangle A B D , \triangle C B D ；钝角三角形有△CDE， △BDE

考点2 三角形的边

2.(2024·石家庄辛集市期末)2024珠海风筝节于10月19日在海天公园沙滩盛大举办！敏敏自制了一个风筝去参加风筝节，为了风筝更稳定地在空中飞行，他所设计的风筝骨架结构为三角形，如图所示，这种设计的原理是(A)

A.三角形具有稳定性B.两点之间，线段最短C.两点确定一条直线D.垂线段最短

第2题图

第4题图

3.(2024·唐山路南区期中)使用 { \mathbf { α } } _ { a , b } 两根直的铁丝做成一个三角形框架，尺寸如图所示.若需要将其中一根铁丝折成两段，则 （B ）1 -8cm 1 -10cma b

A.只有 \mathbf { \Delta } _ { a } 可以 B.只有 b 可以C.a,b都可以 D. { \mathbf { \psi } } _ { a , b } 都不可以

4.（2023·河北)四边形ABCD的边长如图所示，对角线 A C 的长度随四边形形状的改变而变化.当 \triangle A B C 为等腰三角形时，对角线 A C 的长为 （B ）

A.2 B.3 C.4 D.5

考点3三角形的中线、角平分线、高

5.(2022·河北改编)如图，将 \triangle A B C 折叠，使边A C 落在边 A B 上，展开后得到折痕,则 \mathbf { \xi } _ { l } 是\triangle A B C 的 （B）

A.中线 B.角平分线C.高线 D.任意一条线

第5题图

第6题图

6.(2024·唐山路南区期中)如图，在 \triangle A B C 中，下列关于高的说法正确的是 (D)

A.线段 A D 是边 A C 上的高B.线段 C F 是边 B C 上的高C.线段 C F 是边 A C 上的高D.线段BE是边 A C 上的高

7.等腰三角形的底边长为 5 \ {cm } ,一腰上的中线把其周长分为两部分的差为 3 \ {cm } ，则腰长为8 cm

考点4三角形的内角与外角

8.（2024·邯郸11中期中）下列条件： { 1 } \angle A + \angle B = \angle C ; { 2 } \angle A : \angle B : \angle C = 1 : 2 : 3 { 3 } \angle A = 9 0 ^ { \circ } - \angle B . 其中能确定 \triangle A B C 是直角三角形的有 (C）

A.1个 B.2个 C.3个 D.0个

9.如图，分别过 \triangle A B C 的顶点 A , B 作 A D / / BE.若 \angle C A D = 2 5 ^ { \circ } \angle E B C = 8 0 ^ { \circ } ，则 \angle A C B 的度数为 (B)

A. 6 5 ^ { \circ } （20 B. 7 5 ^ { \circ } （204号 C.85° D. 9 5 ^ { \circ } （204号

第9题图

第10题图

10.(2024·廊坊四中期中)将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则 \angle 1 = 7 5 ^ { \circ } （204号

11.(2021·河北)如图，这是可调节躺椅的示意图（数据如图）， A E 与 B D 的交点为 C ，且\angle C A B \angle C B A . \angle E 保持不变.为了舒适，需调整 \angle D 的大小，使 \angle E F D = 1 1 0 ^ { \circ } ，则图中 \angle D 应减少 (填“增加”或“减少”){ \underline { { 1 0 } } } ^ { \circ } （204号

第11题图

第12题图

12.(2024·唐山期末)如图，将 \triangle A B C 沿 D E 折叠，使点 A 落在点 F 处.嘉嘉认为此题中 \angle A 与 \angle 1 , \angle 2 之间的数量关系为 \angle 1 + \angle 2 = 2 \angle A 淇淇认为此题中 \angle A 与 \angle 1 , \angle 2 之间的数量关系为 \angle 1 + \angle 2 = \angle A 业老师说她们的答案都有错误，则 \angle A 与 \angle 1 \angle 2 之间的数量关系是 \scriptstyle \angle 1 - \angle 2 = 2 \angle A

13.(2024·邢台襄都区月考)定义：在一个三角形中,如果有一个角是另一个角的 / { 1 } { 2 } ，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”.例如：在 \triangle A B C 中，如果\angle A = 8 0 ^ { \circ } . \angle B = 4 0 ^ { \circ } ，那么 \angle A 与 \angle B 互为“友爱角”， \triangle A B C 为“友爱三角形”.

(1)如图 1 , \triangle A B C 是“友爱三角形”，且 \angle A 与 \angle B 互为“友爱角”（ \angle A > \angle B ），\angle A C B = 9 0 ^ { \circ } ：① 求 \angle A , \angle B 的度数.② 若 C D 是 \triangle A B C 中边 _ { A B } 上的高，则\triangle A C D \triangle B C D 都是“友爱三角形”吗？为什么？

(2)如图2，在 \triangle A B C 中， \angle A C B = 7 0 ^ { \circ } = \angle A = 6 6 ^ { \circ } , D 是边 A B 上一点(不与点 A , B 重合)，连接 C D ，若 \triangle A C D 是“友爱三角形”，直接写出 \angle A C D 的度数.

图1

图2

解 : ( 1 ) { 1 } \because \Delta A B C 是“友爱三角形”，且 \angle A 与 \angle B
互为“友爱角” \angle A > \angle B ) ，
* \angle A = 2 \angle B ：
\therefore \angle A C B = 9 0 ^ { \circ } , \therefore \angle A + \angle B = 1 8 0 ^ { \circ } - 9 0 ^ { \circ } = 9 0 ^ { \circ }
即 2 \angle B + \angle B = 9 0 ^ { \circ } 。： \therefore \angle B = 3 0 ^ { \circ } ： \angle A = 6 0 ^ { \circ }
{ 2 } \triangle A C D , \triangle B C D 都是“友爱三角形”.
理由： \because C D 是 \triangle A B C 中边 A B 上的高，
\angle A D C = \angle B D C = 9 0 ^ { \circ } . （204号
： \angle A = 6 0 ^ { \circ } , \angle B = 3 0 ^ { \circ }
（204号 \therefore \angle A C D = 3 0 ^ { \circ } , \angle B C D = 6 0 ^ { \circ } .
在 \triangle A C D 中， \angle A = 6 0 ^ { \circ } \angle A C D = 3 0 ^ { \circ }
（2号 \therefore \angle A C D = / { 1 } { 2 } \angle A . \therefore \triangle A C D 为“友爱三角形”在 \triangle B C D 中 \angle B C D = 6 0 ^ { \circ } , \angle B = 3 0 ^ { \circ }
\therefore \angle B = / { 1 } { 2 } \angle B C D .
\therefore \triangle B C D 为“友爱三角形”.
( 2 ) \angle A C D 的度数为 3 3 ^ { \circ } 或 3 8 ^ { \circ }

新中考·新情境·新题型

14.（2023·衢州)如图，这是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角 \angle O 的大小，需将 \angle O 转化为与它相等的角，则图中与 \angle O 相等的角是 (B）

A. \angle B E A B.∠DEB C. \angle E C A D.∠ADO

第14题图

第15题图

15. 新考向跨学科实践小组利用激光笔和平面镜演示平行光的反射实验.如图，一组平行光线 { \mathbf { \omega } } _ { a , b , c } 经过平面镜反射后得到一组互相平行的反射光线.若 \angle 1 = \angle 2 = 6 5 ^ { \circ } ，则 \angle 3 的度数为 \underline { { 1 3 0 } } ^ { \circ }

16. 新考向 数学文化（2023·株洲)《周礼·考工记》中记载：“…半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之(zhu)"意思是：“直角的一半的角叫作宣，一宣半的角叫作”

(1宣 = / { 1 } { 2 } 矩，1 = 1 { / { 1 } { 2 } } 宣，1矩 { \bf \Phi } = 9 0 ^ { \circ } .

问题：图1为中国古代一种强弩图，图2为这种强弩图的部分组件的示意图.若 \angle A = 1矩， \angle B = 1 ，则 \angle C = \phantom { / { 1 } { 2 } } 2 2 . 5 ^ { \circ }

图1

图2

综合与实践 确定匀质薄板的重心位置

活动1确定简单平面图形的重心位置

1.对于一个形状规则的匀质长方形薄板，其重心位置在 B

A.长方形的任意一个顶点处 B.长方形两条对角线的交点处C.长方形的一条边上 D.长方形的外部

2.如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点 A , B , C , D , E , F , G 在小正方形的格点上，则\triangle A B C 的重心是 (A)

A.点 D （20 B.点 E （204号 C.点 F （204号 D.点 G （204号

3.发现与探究：三角形三条中线的交点叫三角形的重心.重心是个物理名词.从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心.如图1,如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心 o 处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态.为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案，

如图 2 , A D 是 \triangle A B C 的中线， \triangle A C D 与 \triangle A B D 等底等高，面积相等,记作 S _ { \triangle A C D } { = } S _ { \triangle A B D } ：如图3，若 \triangle A B C 的三条中线 A D , B E , C F 相交于点 G ，则 G D 是 \triangle G B C 的中线，利用上述结论可得 S _ { \triangle G C D } = S _ { \triangle G B D } ，同理 S _ { \triangle G B F } = S _ { \triangle G A F } S _ { \triangle G A E } = S _ { \triangle G C E }

图1

图2

图3

图4

(1)如图3，设 { \cal S } _ { \triangle G C D } = x , { \cal S } _ { \triangle G B F } = y , { \cal S } _ { \triangle G A E } = z ，猜想 x , y , z 之间的数量关系，并证明你的猜想.

(2)由(1)可知，被三条中线分成的六个三角形面积相等.如果 \triangle A B C 的面积为 \mathbf { \Psi } _ { m } ,那么用含有\mathbf { \Psi } _ { m } 的式子表示 \triangle B G C 的面积为 { / { 1 } { 3 } } m B G : G E { = } \quad { \bf 2 } : { \bf 1 } \quad .

(3)如图 4 , \triangle A B C 的两条中线 B D , C E 相交于点 G ，点 G 是 \triangle A B C 的重心， B D { = } 6 , C E { = } 9 , B D { \perp } C E ，求四边形 A E G D 的面积.

解：(1)猜想： \scriptstyle x = y = z
证明：由题意可知， S _ { \triangle α D } = S _ { \triangle \bar { α } D } = x , S _ { \triangle \bar { α } F } = S _ { \triangle \bar { α } F } = y , S _ { \triangle \bar { α } E } = S _ { \triangle α D } =z，
： S _ { \Delta A B D } = S _ { \Delta A C D } , \therefore 2 y + x = 2 z + x . \therefore y = z
0 \begin{array} { r } { { ~ ^ { \circ } ~ } S _ { \Delta C B E } = S _ { \Delta A B E } { ~ ^ { \circ } ~ } _ { 2 } x + z = 2 y + z \circ { ~ ^ { \circ } ~ } x = y , } \end{array} （204号
： \scriptstyle x = y = z
(3)∵点 \mathbb { G } 是 \triangle A B C 的重心，
∴由(2)可知 , B G : G D { = } C G : G E { = } 2 : 1 .
中 \begin{array} { r } { { { ~ ~ \bar { ~ } B D = 6 ~ } } , C E = 9 , \therefore B G = 4 , C G = 6 , } \end{array}
\because B D \perp C E , \therefore S _ { \triangle B C } = / { 1 } { 2 } B G * C G = / { 1 } { 2 } x 4 x 6 = 1 2 .
由 ( 2 ) 可知 , S _ { \triangle A B C } = 3 S _ { \triangle B G C } = 3 6 , S _ { \triangle B E G } = S _ { \triangle C D G } = / { 1 } { 2 } S _ { \triangle B G C } = 6 ,
\therefore S _ \scriptscriptstyle { { } } \scriptscriptstyle { { } } \scriptscriptstyle { { } } \scriptscriptstyle { { 1 } } x \scriptscriptstyle { { E } } \scriptscriptstyle { { 1 } } = 3 6 - 6 - 6 - 1 2 = 1 2 . （204号

活动2确定平面组合图形的重心位置

4.综合与实践：在机械加工车间，有一个三角形零件 ABC,其顶点坐标分别为 A \left( 2 , 2 \right) , B \left( 6 , 2 \right) C ( 4 , 4 ) .将这个三角形零件沿着过点 A 和 B C 的中点 D 的直线 \mathbf { \xi } _ { l } 分割成两部分，用于不同的加工工序.注： ① 在平面直角坐标系中，若点 A , B 的坐标分别为 ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) , ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) ，则线段 _ { A B } 中点的坐标为(x+x2,yi+y2)；②在平面直角坐标系中，若三角形三个顶点的坐标分别为（x1,y1），（x，y2），（x，y3），则三角形重心的坐标为(x1+x2+x3,y1+y2+y3).

(1)求出 B C 的中点 D 的坐标.
（2)分别求出△ABC， \triangle A B D 和 \triangle A C D 的重心 G , G _ { 1 } , G _ { 2 } 的坐标.

(3)验证 \triangle A B C 的重心 G 的坐标是否满足 x _ { G } = / { 1 } { 2 } ( x _ { G _ { 1 } } + x _ { G _ { 2 } } ) , y _ { G } = / { 1 } { 2 } ( y _ { G _ { 1 } } + y _ { G _ { 2 } } ) .

解 : ( 1 ) 根据中点坐标公式，得 { B } C 的中点 D 的横坐标 \scriptstyle x _ { D } = { / { 6 + 4 } { 2 } } = 5 ，纵坐标 y _ { D } = / { 2 + 4 } { 2 } = 3 , \therefore D ( 5 , 3 ) .

(2)在 \triangle A B C 中 , A \left( 2 , 2 \right) , B \left( 6 , 2 \right) , C \left( 4 , 4 \right) , （20
∴重心 \mathbb { G } 的横坐标 \scriptstyle x _ { G } = { / { 2 + 6 + 4 } { 3 } } = 4 ，纵坐标 y _ { G } = { / { 2 + 2 + 4 } { 3 } } = { / { 8 } { 3 } } 即 \mathbb { G } ( 4 , / { 8 } { 3 } ) 在 \triangle A B D 中 , A \left( 2 , 2 \right) , B \left( 6 , 2 \right) , D \left( 5 , 3 \right) , （204号
∴重心 G _ { 1 } 的横坐标 \scriptstyle x _ { G _ { 1 } } = { / { 2 + 6 + 5 } { 3 } } = { / { 1 3 } { 3 } } 纵坐标 2+2+3=，即G(}，). 在 \triangle A C D 中 , A ( 2 , 2 ) , C ( 4 , 4 ) , D ( 5 , 3 ) , （20号
∴重心 { \bf G } _ { 2 } 横坐标 \scriptstyle x _ { G _ { 2 } } = { / { 2 + 4 + 5 } { 3 } } = { / { 1 1 } { 3 } } , 纵坐标 y _ { G _ { 2 } } = / { 2 + 4 + 3 } { 3 } = 3 2+4+3=3,即 G( G _ { 2 } ( / { 1 1 } { 3 } , 3 )

(3)验证 : / { 1 } { 2 } ( x _ { G _ { 1 } } + x _ { G _ { 2 } } ) = / { 1 } { 2 } x ( / { 1 3 } { 3 } + / { 1 1 } { 3 } ) = / { 1 } { 2 } x / { 2 4 } { 3 } = 4 = x _ { G } . （2 / { 1 } { 2 } ( y _ { G _ { 1 } } + y _ { G _ { 2 } } ) = / { 1 } { 2 } x ( / { 7 } { 3 } + 3 ) = / { 1 } { 2 } x / { 1 6 } { 3 } = / { 8 } { 3 } = y _ { G } . （20 \triangle A B C 的重心 \mathbb { G } 的坐标满足 x _ { G } { = } / { 1 } { 2 } ( x _ { G _ { 1 } } { + } x _ { G _ { 2 } } ) , y _ { G } { = } / { 1 } { 2 } ( y _ { G _ { 1 } } { + } y _ { G _ { 2 } } ) .

5.物体受重力作用的作用点叫作这个物体的重心.例如：一根均匀的木棒,重心是木棒的中点；一块均匀的三角形木板，重心就是这个三角形木板三条中线的交点等等.

(1)你认为平行四边形的重心位置在哪里？(2)现有如图所示的一块均匀模板，请只用无刻度直尺和铅笔画出它的重心.

解：(1)平行四边形的重心位于两条对角线的交点处，
(2)如图，把模板分成两个长方形，连接各自的重心;把模板重新分成两个长方形，得到连接各自重心的第二条线段，两条线段的交点 \mathbb { G } 即为重心.

周测(第十三章）

（时间：40分钟满分：100分）

一、选择题(每小题5分，共30分）

1.下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（C）

A.1,2,3 B.1,2,4
C.2,3,4 D.2,2,4

2.如图，在 \triangle A B C 中， \vert A E \vert 是中线， A D 是角平分线， A F 是高，下列结论不一定成立的是（D）

A. B C { = } 2 C E
B. \angle B A D = / { 1 } { 2 } \angle B A C
C. \angle A F B = 9 0 ^ { \circ }
D. A E { = } C E

3.有一个厚薄均匀的三角形硬纸板，在硬纸板上选一点，在这个点上钻一个小孔，通过小孔系一条线将三角形硬纸板吊起.若三角形硬纸板处于平衡状态，则这一点可能是 (A)

A.点 N （204号 B.点 M （204号 C.点 P （20 D.点 Q （204号

第3题图

第4题图

4.如图， A B = B C = C D = D A = B D ，则图中的等腰三角形有 (C）

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

5.如图所示的是嘉禾同学在珠海航展上观察到的带底座的无人机简易模型，其中 A B / / E F .C G \bot E F 若 \angle A C D = 1 0 5 ^ { \circ } ， \angle B = 6 9 ^ { \circ } ，则\angle A + \angle B D C 的度数是 (C)

A.15° B.21° C.36° D.48°

6.如图，在 \triangle A B C 中， \angle A = 2 0 ^ { \circ } ，沿 B E 将此三角形翻折， B A ^ { \prime } 交 A C 于点 D ，又沿 B D 再一次翻折，点 C 落在 B E 上的点 C ^ { ' } 处，此时 \angle C ^ { \prime } D B = 7 4 ^ { \circ } ，则原三角形的 \angle C 的度数为 (D)

A.27° B.59° （204号 { C } . 6 9 ^ { \circ } （204号 D. 7 9 ^ { \circ }

第6题图

第7题图

二、填空题(每小题5分，共30分）

7.平板电脑是我们日常生活中经常使用的电子产品，它的很多保护壳还兼具支架功能，有一种如图所示，平板电脑放在它上面就可以很方便地使用了，这是利用了三角形具有稳定性·

8.如果将一副三角板按如图的方式叠放，那么\angle A E C 的度数为 7 5 ^ { \circ } （204号

第8题图

第10题图

9.三角形中一个内角 α 是另一个内角 β 的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中 α 称为"特征角”，如果一个“特征三角形”的“特征角”为 { 6 0 } ^ { \circ } ,那么这个“特征三角形"是直角三角形.(填"锐角""直角"或“钝角")

10.如图，在 \triangle A B C 中， D 是 B C 上的一点，D C = 2 B D ， E 是 A C 的中点， { \cal S } _ { \triangle A B C } \ = 2 0 ~ {cm ^ { 2 } } ，则 \begin{array} { r l } { S _ { \triangle A D E } = } & { { } / { 2 0 } { 3 } \quad {cm } ^ { 2 } . } \end{array} 业

11.如图， \angle M O N { = } 8 0 ^ { \circ } ，点 A , B 在 \angle M O N 的两条边上运动， \angle O A B 和 \angle O B A 的平分线交于点 C ，则在点 A , B 的运动过程中， \angle B C A 的度数为 { \underline { { 1 3 0 } } } ^ { \circ } （204号

第11题图

第12题图

12.如图，在 \triangle A B C 中， \angle A B C = 9 0 ^ { \circ } , D 为 A C 延长线上一点， \angle B A E = 3 \angle E A C \angle B C E = 3 \angle E C D ，则 \angle A E C 的度数为22.5°

三、解答题（共40分）

13.（8分）如图，在 \triangle A B C 中， D , E 分别是 B C =A C 上的点，连接 B E , A D 交于点 F ：

(1)图中共有多少个以 A B 为边的三角形？并把它们列出来.
(2)除 \triangle A B F 外，以点 F 为顶点的三角形还有哪些？

解： ( 1 ) \nu λ A B 为边的三角形有4个： \triangle A B F , \triangle A B D , \triangle A B E . \triangle A B C (2)除 \triangle A B F 外，以点 F 为顶点的三角形还有BDF， \triangle A \mathbb { E } \mathbb { F }

14.（10分）如图，在 \triangle A B C 中， A D 是边 B C 上的中线， \triangle A B D 的周长比 \triangle A D C 的周长多2，且 A B 与 A C 的长的和为10.

(1)求 A B , A C 的长.
(2)求边 B C 的长的取值范围.
解： ( 1 ) \because A D 是边BC上的中
线， \mathbf { \Phi } _ { 0 } ^ { \circ } * { B } { D } { = } C D
由题意，得 ( A B + A D + B D ) -
( A C + A D + C D ) = A B - A C = \angle
2 , A B + A C { = } 1 0 , \therefore A B { = } 6 , A C { = } 4 . （204
( 2 ) \because A B { = } 6 , A C { = } 4 ,
\therefore 6 - 4 < B C < 6 + 4 即 2 < B C < 1 0

15.（10分)某初中数学小组在学习了“三角形外角和"后，就证明问题进行了探讨：

如图， \angle 4 , \angle 5 , \angle 6 是 \triangle A B C 的三个外角.求证： \angle 4 + \angle 5 + \angle 6 = 3 6 0 ^ { \circ } ：

(1)该小组的明明进行了如下的证明，请你补充完整.

证明： \angle 4 是 \triangle A B C 的一个外角，
· * \angle 4 = \angle 2 + \angle 3
同理， \angle 5 = \angle 1 + \angle 3 , \angle 6 = \angle 1 + \angle 2
* \angle 4 + \angle 5 + \angle 6 = 2 ( \angle 1 + \angle 2 + \angle 3 )
\therefore \angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 1 8 0 ^ { \circ }
\therefore \angle 4 + \angle 5 + \angle 6 = 2 x 1 8 0 ^ { \circ } = 3 6 0 ^ { \circ } .

(2)事实上，还有另外一种证明方法，请给该小组展示出来.

证明： \because \angle 4 + \angle 1 = 1 8 0 ^ { \circ }
\angle 5 + \angle 2 = 1 8 0 ^ { \circ } \angle 6 +
\angle 3 = 1 8 0 ^ { \circ }
:∠4+∠5+∠6=3X
1 8 0 ^ { \circ } - ( \angle 1 + \angle 2 + \angle 3 ) .
： \angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 1 8 0 ^ { \circ }
\therefore \angle 4 + \angle 5 + \angle 6 = 3 x 1 8 0 ^ { \circ } - 1 8 0 ^ { \circ } = 3 6 0 ^ { \circ } .

16.(12分)如图， A D 为 \triangle A B C 的高， A E , B F 为\triangle A B C 的角平分线， \angle C B F { = } 3 2 ^ { \circ } \angle A F B { = } 7 2 ^ { \circ } (1)求 \angle D A E 的度数.(2)若 G 为线段 B C 上任意一点，当 \triangle G F C 为直角三角形时，求 \angle B F G 的度数.

解： ( 1 ) \because B \overline { { \cal F } } 平分 \angle A B C
\angle A B C = 2 \angle C B F = 6 4 ^ { \circ } . （20
\because A D 为 \triangle A B C 的高，
\therefore \angle A D B = 9 0 ^ { \circ }
（20 \therefore \angle B A D = 1 8 0 ^ { \circ } - 9 0 ^ { \circ } - 6 4 ^ { \circ } B DE
= 2 6 ^ { \circ }
（20号 \therefore \angle A B B = \angle C B F + \angle C , \therefore \angle C = 7 2 ^ { \circ } - 3 2 ^ { \circ } = 4 0 ^ { \circ } . （204
\therefore \angle B A C = 1 8 0 ^ { \circ } - \angle A B C - \angle C = 7 6 ^ { \circ } . （20号
∵AE平分 \angle B A C , \therefore \angle B A E = / { 1 } { 2 } \angle B A C = 3 8 ^ { \circ } . （204号
\therefore \angle D A E = \angle B A E - \angle B A D = 3 8 ^ { \circ } - 2 6 ^ { \circ } = 1 2 ^ { \circ } . （20号
(2)分两种情况讨论：
① 当 \angle F G C = 9 0 ^ { \circ } 时，则 \angle B F G = \angle F G C - \angle F B C =
9 0 ^ { \circ } - 3 2 ^ { \circ } = 5 8 ^ { \circ } ;
② 当 \angle G F C = 9 0 ^ { \circ } 时，则 \angle F G C = 9 0 ^ { \circ } - 4 0 ^ { \circ } = 5 0 ^ { \circ } ,
\therefore \angle B F C = \angle F G C - \angle E B F = 5 0 ^ { \circ } - 3 2 ^ { \circ } = 1 8 ^ { \circ } , （204号
综上所述， \angle B F G 的度数为 5 8 ^ { \circ } 或 1 8 ^ { \circ }