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学霸微专题

数学 九年级（上）JS

思维训练

目 录

学霸微专题1利用根的定义整体求值
学霸微专题2用配方法求代数式的值 2
学霸微专题3用公式法解含字母系数的一元二次方程 3
学霸微专题4判别式与含字母系数的一元二次方程
学霸微专题5新定义运算问题·…·. 5
学霸微专题6用换元法解高次方程 6
学霸微专题7 利用根与系数的关系求值 /
学霸微专题8含参数的一元二次方程整数解问题 8
学霸微专题9含参数的一元二次方程求参数取值范围或求值 9
学霸微专题10动点问题 10
学霸微专题11运用圆的定义作辅助线 11
学霸微专题12垂径定理与弦心距··· 12
学霸微专题13 圆心角、弦、弧的相互转化 13
学霸微专题14 圆周角与直径、直角···. 14
学霸微专题15 圆周角与圆内接四边形 15
学霸微专题16 隐圆之定点十定长 16
学霸微专题17 隐圆之直角对直径 17
学霸微专题18 隐圆之定角 ^+ 定边 ·18
学霸微专题19 隐圆之定边对双直角 19
学霸微专题20 直线与圆的位置关系之分类讨论 20
学霸微专题21 常见辅助线 切线的性质 21
学霸微专题22常见辅助线- 切线的判定 22
学霸微专题23 切线长定理与内切圆 23
学霸微专题24弧长和扇形面积公式与圆锥中的计算 24

（答案见《参考答案》第 66~80 页)

学霸微专题1利用根的定义整体求值

【方法提示】根据一元二次方程根的定义，将根代入方程的左右两边，等式成立，再根据等式性质进行变形，从而求得代数式的值.

1.已知 a 是方程 x^{2}-27x+1=0 的根,则 2a^{2}-53a+(27)/(a^{2)+1}=_{

2.已知 a 是方程 x^{2}-3x+1=0 的根，求代数式 (2a^{5}-6a^{4}+2a^{3}-a^{2}-1)/(3a) 的值。

3.已知关于 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的一元二次方程 a x^{2}+b x+c=1,b x^{2}+c x+a=-3,c x^{2}+a x+b=2 恰好有一个相同的实数根,求 a+b+c 的值.

学霸微专题2用配方法求代数式的值

【方法提示】根据完全平方式的特征,将式子或式子的一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，再利用完全平方式的非负性解决问题.

1.已知 13x^{2}-6x y+y^{2}-4x+1=0 ，则 x^{+}y 的值为

A. 0 B.1 C.2 D.3

2.已知实数 x*y 满足 x^{2}+3x+y-3=0 ，求 x^{+}y 的最大值.

3.已知实数 m,n 满足 m^{2}+n^{2}=2+m n ，求 (2m-3n)^{2}+(m+2n)(m-2n) 的最大值和最小值.

学霸微专题3用公式法解含字母系数的一元二次方程

【方法提示】用公式法解含字母系数的一元二次方程时，需先化成一般形式，理清各项系数，需要注意公式的正确使用.

1.黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比.若 A B 的长为 a ，点 C 为线段 A B 的黄金分割点，且 A C{\>}B C ，则 A C 的长为

2.已知 a>b>0 ，且 (2)/(a)+(1)/(b)+(3)/(b-a){=}0 ，求 (a)/(b) 的值.

3.解关于 x 的方程： k x^{2}+2(k-2)x+k-3=0.

学霸微专题4判别式与含字母系数的一元二次方程

【方法提示】先理清一元二次方程各项系数，再运用根的情况与判别式之间的对应关系解决问题，过程中应注意二次项系数是否为0.

1.对于一元二次方程 a x^{2}+b x+c{=}0(a{\neq}0) ,有下列说法： ① 若 a+b+c=0 ,则 b^{2}-4a c>=slant 0; ② 若方程 a\ x^{2}+c {=} 0 有两个不相等的实数根，则方程 a x^{2}+b x+c=0 必有两个不相等的实数根； ③ 若 c 是方程 a x^{2}+b x+c=0 的一个根,则一定有 style a c+b+1=0 成立；\circledast 若 x_{0} 是一元二次方程 a x^{2}+b x+c=0 的根,则 b^{2}-4a c=(2a x_{0}+b)^{2} .其中正确的说法是_·(填序号)

2.如果关于 x 的方程 m x^{2}-2(m+2)x+m+5=0 没有实数根,试判断关于 x 的方程(m{-}5)x^{2}{-}2(m{-}1)x{+}m{=}0 的根的情况.

3.已知关于 x 的方程 (k-1)x^{2}+2k x+k+3=0.

(1)若方程有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围；

(2)当方程有两个相等的实数根时，求关于 y 的方程 y^{2}+(a-4k)y+a+1=0 的整数根( \rvert a 为正整数).

学霸微专题5新定义运算问题

【方法提示】理解新定义运算的算法是解决这类问题的关键.理解运算的算法后，直接代入再解方程即可，需要注意的是，当求出方程的解后，还需要关注求出的解是否在该算法的对应范围内，进行根的取舍.

1.我们规定:若 a=(x_{1},y_{1}) ,b=(x_{2} ,y_{2}) ，则 \boldsymbol{a}*\boldsymbol{b}{=}\boldsymbol{x}_{1}\boldsymbol{x}_{2}+\boldsymbol{y}_{1}\boldsymbol{y}_{2} .例如 \displaystyle{a=(1,3) ,b=(2)} 4),则 a\bullet b{=}1{x}2{+}3{x}4{=}2{+}12{=}14. 已知 \boldsymbol{a}=(\boldsymbol{x}-1,\boldsymbol{x}+1) ， b=(x+3,4) ，若 a* b{=} 7，且一 2{<=slant}x{<=slant}3 ,则 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的值为

2.对于实数 m,n ,定义一种运算“ \otimes mBn{=}\binom{m^{2}{+}m{+}n(m{>=slant}n)}{n^{2}{+}m{+}n(m{<}n)} , 若 x\bigotimes(-2)=10 ，则 实数 \mathscr{x} 的值为

3.定义新运算：对于两个不相等的实数 a,b ，我们规定符号 \operatorname*{max}\left\{a,b\right\} 表示 a,b 中的较大值，例如： ;\operatorname*{max}\{1,3\}=3,\operatorname*{max}\{-1,-3\}=-1. 按照这个规定,求方程 \operatorname*{max}\{x,-x\}= x²-2x-1的解。

学霸微专题6用换元法解高次方程

【方法提示】在方程中，当某个代数式重复出现时，可用一个字母来代替它，使得原方程由繁到简，实现降次和整体求解，换元后，还要记得换回去.分母中出现未知数的，还要有检验步骤。

1.用换元法解下列方程：

2.解方程： (x^{2}+3x-4)^{2}+(2x^{2}-7x+6)^{2}=(3x^{2}-4x+2)^{2}.

3.已知 \boldsymbol{\mathscr{x}} 是实数,且满足 (3)/(x^{2)+2x}-x^{2}-2x{=}2 ，求 x^{2}+2x 的值

学霸微专题7利用根与系数的关系求值

【方法提示】掌握根与系数的关系，并能将代数式变形为用两数和与两数积来表示，整体代入求值.根与系数的关系通常与一元二次方程的解、根的判别式等知识一起综合考查.

1.已知 a,b 是方程 x^{2}-x-3=0 的两个根,则代数式 a^{2}+2b^{2}+a+a b 的值为

2.已知实数 m,n 满足 3m^{2}+5m-3=0,3n^{2}-5n-3=0 且 m n{\neq}1 ，则 (1)/(n^{2)}+(m)/(n)-(5)/(3)m m的值 为

3.已知关于 _{x} 的一元二次方程 x^{2}-2m x+m^{2}+(3)/(2)m-1=0 m-1=0有两个实数根.

(1)求 m 的取值范围;

(2)设 x_{1}\setminus x_{2} 是方程的两个实数根，当 m 为何值时， x_{1}^{2}+x_{2}^{2} 有最小值？并求这个最小值.

学霸微专题8含参数的一元二次方程整数解问题

【方法提示】先利用因式分解或求根公式，将方程的根用参数表示出来，再根据根为整数，确定参数的值.

1.已知关于 _{x} 的一元二次方程 (m{-}1)x^{2}{+}(m{-}4)x{-}3{=}0(m 为实数且 m{\neq}1 ,

(1)求证：此方程总有两个实数根；
(2)如果此方程的两个实数根都是整数，求正整数 m 的值.

2.已知关于 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的一元二次方程 m x^{2}+(2+3m)x+(2m+2)=0.

(1)求证：方程总有两个实数根；

(2)若 m 为整数,当此方程有两个互不相等的负整数根时,直接写出 m 的值

3.已知关于 x 的一元二次方程 (x{-}2)(x{-}3){-}p^{2}{=}0,p 为实数

(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2) \rho 为何值时，方程有整数根？（直接写出三个，不需说明理由）