196 第十一章 锐角三角函数 几何辅助线 6. 我们知道：15°角可以看做是 60°角与 45°角的差．请借助有一个内角是 60°的直角三角形和等腰直角三角形 构造出一个图形,并借助它求出 sin15°的值．(要求画出构造的图形) %//解：如图，△ABC 为有一个内角为 60°的直角三角形，△ADC 为等腰直角三角形，所以∠DAB＝15°． 作 DE⊥AB，垂足为 E． 设 DC＝1，则 AC＝1，由勾股定理 AD＝ 2 ， 由∠BAC＝60°可得 AB＝2，BC＝ 3 ，∴ BD＝ 3 －1． 3 －1 在 Rt△BED 中，∠B＝30°，∴ DE＝ 2 ， 在 Rt△DEA 中，sin∠DAE＝EADD＝ 6－ 2 6－ 2 4 ， 即 sin15°＝ 4 ．//% 7. 如图 11.1-8，在△ABC 中，BD⊥AC 于点 D，AB＝2 2 ，BD＝ 6 ，并且∠ABD＝21∠CBD．求 AC 的长． %//解：在 Rt△ABD 中，∠BDA＝90°，AB＝2 2 ，BD＝ 6 ， B ∴ cos∠ABD＝2 6 ＝ 3 ， 2 2 ∴ ∠ABD＝30°，∠A＝60°． C DA 图 11.1-8 1 ∵ ∠ABD＝ 2 ∠CBD，∴ ∠CBD＝60°，∴ ∠ABC＝90°． ∴ 在 Rt△ABC 中，AC＝cAosBA＝4 2 ．//% 8. 如图 11.1-9，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点 D，BE∶AB＝3∶5，若 CE＝ 2，cos∠ACD＝54， 求 tan∠AEC 的值及 CD 的长． A %//解：在 Rt△ACD 与 Rt△ABC 中， D ∵ ∠ABC＋∠CAD＝90°，∠ACD＋∠CAD＝90°， ∴ ∠ABC＝∠ACD，∴ cos∠ABC＝cos∠ACD＝ 4 ． 5 B EC 在 Rt△ABC 中，BACB＝ 4 ． 图 11.1-9 5 令 BC＝4k，AB＝5k，则 AC＝3k． 由 BE：AB＝3:5，知 BE＝3k， 则 CE＝k，且 CE＝ 2 ，则 k＝ 2 ，AC＝3 2 ， ∴ Rt△ACE 中，tan∠AEC＝ACCE＝3， ∵ Rt△ACD 中，cos∠ACD＝CACD＝ 4 ，∴ CD＝152 2 ．//% 5