1

一、有理数

一、单选题

1．−5 的相反数是（ ）

A． B． C．5 D．

2．据世界卫生组织 2020 年 10 月 21 日公布的数据显示，全球累计新冠确诊病例达 4066

万多例，将数据 4066 万用科学记数法表示为（ ）

A．4.066×10

5 B．4.066×10

6 C．4.066×10

7 D．4.066×10

8

3．某种细胞的直径是 0.000067 厘米，将 0.000067 用科学记数法表示为（ ）

A．6.7×10

﹣5 B．0.67×10

﹣6 C．0.67×10

﹣5 D．6.7×10

﹣6

4．若 | − 1| + | − 3| = 0 ，则 − −

1

2 的值是（ ）

A．−4

1

2 B．−2

1

2 C．−1

1

2 D．1

1

2

5．下列说法正确的是( )

A．-a 一定是负数 B．互为相反数的两个数的符号必相反

C．0.5 与 2 是互为相反数 D．任何一个有理数都有相反数

6．若有理数 a、b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中错误的是（ ）

A．a＜b B．ab＜0 C．a＞﹣b D．a+b＜0

7．已知：a，b 在数轴上位置如图所示，则下列结论中正确的是（ ）

A．a＜﹣a＜b B．|a|＞b＞﹣a

C．﹣a＞|a|＞b D．|a|＞|﹣1|＞|b|

8．−

2

3 的相反数是 ，倒数是 ，绝对值是 . 9．有理数 a、b、c 在数轴上的对应点如图所示，化简：||﹣| + | + |﹣| = ．

10．一个自然数和它倒数的和是 5.2，这个自然数是 。

11．计算：48 × ( −

1

2 +

7

12

) + ( − 3)

2.

2

12．计算： (3.1 − )

0 − | − 5| + ( 1

3

)−1 − 9

13．计算: |2 3 − 1| + ( 2 − 1)

0 − ( 1

3

)−1 + 9

14．计算：

（1）11+(-21) ÷ 3 +(-4) × (-2)

（2）−

1

24 × (3

2 − 5) −

1

4 + | −

1

23

| + |1 −

7

22

|

15（选做）．已知 a、b、c 是△ABC 的三边长，且 a

2+2b

2+c

2﹣2b（a+c）=0，试判断△ABC

的形状，并证明你的结论．

3

二、整式的加减

1．下面计算正确的是（ ）

A．(

3)

3 =

5 B．

3 +

3 =

6 C． ⋅

2 =

3 D．

10 ÷

2 =

5

2．多项式 x²-2xy²-0.5y-1 的次数是（ ）

A．一次 B．二次 C．三次 D．四次

3．单项式-?2

2 的系数和次数分别是( )

A．-2,2 B．-2，4 C．−

1

2 ，4 D．−

1

2，2

4．将-(-y+x-1)去括号以后，正确的形式为（ ）

A．-y+x-1 B．y-x-1 C．y-x+1 D．y+x-1

5．如果 1

3

+2?

3 与 −3

3?

2−1 是同类项，那么 a、b 的值分别是（ ）

A．

= 1

= 1 B．

= 0

= 2 C．

= 2

= 1 D．

= 1

= 2

6．代数式 y

2+2y+3 的值是 4，则 3y

2+6y+3 的值是（ ）

A．6 B．﹣6 C．12 D．﹣12

7．下列说法中错误的有（ ）个

⑴0 是单项式，⑵1

2 ?是二次单项式，⑶−2

3 的系数是−

2

3；⑷−

2

3与2

3互为倒数；⑸−

5

4

的相反数是

4

5

A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个

8．已知多项式 −33

2 + 2

2 −

1

2 ，它是 次三项式，最高次项的系

数 ，常数项为 ．

9．单项式﹣ 322?

2 的系数是 ．

10．已知 x、y 满足方程组

− 5? =− 2

2 + 5? =− 1 ，求代数式 ( − ?)

2 − ( + 2?)( − 2?) 的

值．

4

11．先化简，再求值： −2 + 3

2 − 2(

2 − ) ，其中 =− 1， =− 2

12．先化简，再求值：2(3x-y)-(4x-5y)，其中 x=

1

2 ，y= −

2

3 。

13．化简求值：已知：（x﹣3）2+|y+

1

3

|=0，求 3x

2y﹣[2xy

2﹣2（xy −

3

2

2? ）+3xy]+5xy

2

的值．

14．先化简，再求值： 3(2

2 −

2) − (5

2 − 4

2) ，其中 = 2、 =− 1

5

15．先化简，再求值：5

2 − 2(3?

2 + 2

2) + 3(2?

2 − ?)，其中 =−

1

2，? =− 1．

16（选做）．多多在学习《有理数》这一章时遇到了这样一道趣味题：“四个整数 a，b，

c，d 互不相等，且 abcd＝25，求 a＋b＋c＋d 的值．”多多苦苦思考了很长时间也没有解

决，聪明的你能解出答案吗？

6

三、整式的乘除

1．已知 = 2，

= 3 ，则 + 的值是（ ）

A．5 B．6 C．8 D．9

2．计算：

3

2=（ ）

A．

2

5 B．

2

3 C．

2

6 D．

6

3．下列算式能用平方差公式计算的是、（ ）

A．(3a+b)(3b-a) B．( 1

6 + 1)( −

1

6 − 1)

C．（2x-y）（-2x+y） D．（-m+n）（-m-n）

4．（ − )

2( − )

3 = （ ）

A．( − )

5 B．− ( − )

5 C．( − )

6 D．− ( − )

6

5．已知 a

2+2a﹣2=0，则(a+1)

2﹣523 等于（ ）

A．-520 B．520 C．-521 D．521

6．如果四个互不相同的正整数 m，n，p，q 满足(6-m)(6-n)(6-p)(6-q)=4，那么

m+n+p+q=( )

A．24 B．25

C．26 D．28

7．（﹣a

2b）2•a= ．

8．若 （x-2）0 没有意义,则 x 的值为 . 9．（1

2）﹣2+（2015）0= ．

10．已知 5

−3 = 1 ，则

−2 = ．

11．如果 = 16 ，

= 5 ，那么 am-2n =

12．已知（x﹣2016）2+（x﹣2018）2=80，则（x﹣2017）2= ．

13．化简： ( − 2)

2 + ·( + 4) .

7

14．计算：

（1）(

2)

3

⋅ ( − 2) ；

（2）( + 3)(2 − 1) ；

（3）( + ?)( − ?) − ( + 1)

2 ．

15．计算或化简：

（1）(2)

3

⋅ ( − 5?

2) ÷ ( − 2

2?)

2

（2）( + 2? − 3)( − 2? + 3)

（3）化简求值： (2 − 1)

2 + 6( + 1) − (3 + 2)(3 − 2) ，

其中

2 + 2 − 2022 = 0

8

16．计算图 中阴影部分的面积.

17（选做）．已知 a=

1

2019 +2019，b=

1

2019 +2020，c=

1

2019 +2021，

请计算代数式 a

2+b

2+c

2-ab-bc-ac 的值

9

四、因式分解

1．下列各式中，由左边到右边的变形属于因式分解的是（ ）

A．a(x－y )=ax－ay B．x

2－2x+2=x(x－2)+2

C．12x

2－4x=4x(3x－1) D．(x+y)(x－y)=x

2－y

2

2．把 x

3﹣9x 分解因式，结果正确的是（ ）

A．x（x

2﹣9） B．x（x﹣3）2

C．x（x+3）2 D．x（x+3）（x﹣3）

3． 用提取公因式法将多项式 4a

2b

3﹣8a

4b

2+10a

3b 分解因式，得公因式是（ ）

A．2a

2b B．2a

2b

2 C．4a

2b D．4ab

2

4．若 4

2 + 5 + 有一个因式为 ( − 3) ，则 k 的值为（ ）

A．17 B．51 C．－51 D．－57

5．因式分解：2

3 − 8

2 = ．

6．分解因式：

2 + 2 + 1 = ．

7．分解因式： 8 − 2

2 = ．

8．因式分解： 3

2 − = ．

9．4x

2﹣36 因式分解的结果 . 10．分解因式：5x

3﹣10x

2+5x= . 11．分解因式：a

2b－b

3＝ ．

12．已知 a＋b＝2，ab＝3，代数式 a

2b＋ab

2＋a＋b 的值为 ．

13．因式分解：a

2x

2﹣4+a

2y

2﹣2a

2xy

14．利用分解因式计算：

（1）0.41×27.6+0.35×27.6+2.76×2.4

10

（2）101

2﹣101 （3）5×998+10．

15．计算题

（1）计算：（a-1）²-a（a-1）；

（2）分解因式：xy²-4x；

16．因式分解

（1）

3? − ?

（2）(? −

2)

3 −

3(? − )

17（选做）．已知在 △ ? 中，三边长分别为 a，b，c，且满足等式

2 + − −

2 = 0，

请判断 △ ? 的形状，并写出你的理由.

11

五、一元一次方程

1．下列方程是一元一次方程的是（ ）

A．3 + ? = 1 B．1

=− + 2 C．

2 + 1 = D． − 1

2．已知 x＝3 是关于 x 的一元一次方程 mx+3＝0 的解，则 m 的值为（ ）

A．-1 B．0 C．1 D．2

3．若方程（a+3）x

|a|-2+6=0 是关于 x 的一元一次方程，则 a 的值是（ ）

A．3 B．−3 C．±3 D．±2

4．下列说法中，正确的是（ ）

A．若 ac=bc，则 a=b B．若

=

，则 a=b

C．若 a

2=b

2，则 a=b D．若|a|=|b|，则 a=b

5．若关于 x 的方程 2（ 1

2 ﹣k）x﹣3x=﹣1 无解，则（ ）

A．k=﹣1 B．k=l C．k≠﹣1 D．k≠1

6．甲乙两人练习赛跑，甲每秒跑 7 米，乙每秒跑 6.5 米，甲让乙先跑 5 米，设 x 秒后，

甲可以追上乙，则下列方程不正确结果是（ ）

A．7x=6.5x+5 B．7x﹣5=6.5

C．（7﹣6.5）x=5 D．6.5x=7x﹣5

7．某种商品若按标价的八折出售，可获利 20%，若按原价出售可获利( )

A．25% B．40% C．50% D．66.7%

8．若(m－2)x

|m|－1＝5 是一元一次方程，则 m＝ ．

9．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一.书中记载：“今有人共买鸡，人出九，

盈十一；人出六，不足十六.问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买鸡，如果每人

出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱.问：共有几个人？”设共

有 个人共同出钱买鸡，根据题意，可列一元一次方程为 . 10．服装店销售某款服装，一件服装的标价为 300 元，若按标价的八折销售，仍可

获利 60 元，则这款服装每件的进价是 元．

12

11．解方程

（1）2x﹣3＝6﹣x

（2）3−

3 ＝

−

4

12．解一元一次方程：

（1）7x﹣5＝3x﹣1

（2）

?−1

4 − 2 =

2?−3

6

13．已知关于 x 的方程 +2

3 − 1 =

−7

6 −

2 的解是 x=-2，求 k 的值．

13

14．已知关于 x 的方程(| k |－3)x

2－(k－3)x + 2m+1= 0 是一元一次方程. （1）求 k 的值；

（2）若已知方程与方程 3x = 4－5x 的解相同，求 m 的值.

15．某种商品的进价为 800 元，出售标价为 1200 元，后来由于该商品积压，商店准备

打折销售，但要保证利润不低于 5%，则最多打几折？

16．甲、乙两件服装进价共 500 元商店决定把甲服装按进价提高 50%标价，乙服装按进

价提高 40%标价，如果两件服装均按标价的九折出售，这样商店获利共 157 元。甲、乙

两件服装进价分别是多少？

17．一件商品先按成本提高 40% 标价，再以 8 折出售，获利 16.8 元 . 这件商品的成

本是多少元？

14

六、一元一次不等式（组）

1．不等式 x-2>0 的解集在数轴上表示为（ ）

A． B．

C． D．

2．不等式组

2 − 3 < 4 + 1

1

3

( + 3) ≤ 2 的解集在数轴上表示正确的是（ ）

A． B．

C． D．

3．不等式 x+2＜6 的正整数解有（ ）

A．3 个 B．4 个 C．2 个 D．1 个

4．某种品牌的八宝粥，外包装标明：净含量为 330±10g，表明了这罐八宝粥的净含量 x

的范围是（ ）

A．320＜x＜340 B．320≤x＜340 C．320＜x≤340 D．320≤x≤340

5．已知关于 x 的不等式组

3 − 1 ≺ 4( − 1)

≺

无解，则 m 的取值范围是（ ）

A．m≤3 B．m＞3 C．m＜3 D．m≥3

6．已知不等式 4x-a≤0 的正整数解是 1，2，则 a 的取值范围是（ ）

A．8＜a＜12 B．8≤a＜12 C．8＜a≤12 D．8≤a≤12

7．不等式 3x﹣4≥4+2（x﹣2）的最小整数解是 ．

8．不等式组

3 + 6 ≥ 0

4 − 2 > 0 的所有整数解的和为 ．

9．若不等式组

> + 1

− 3 < 0 有三个整数解，则 的取值范围是 . 10．解下列方程（或不等式）组：

（1）

3 − 2 < + 2

8 − ≥ 1 − 3( − 1)

15

（2）

4( − ? − 1) = 3(1 − ?) − 2

2 +

?

3 = 2

11．已知 5(x+1)-3x>2(2x+3),化简|2x-1|-|1+2x|

12．解不等式组：

9 + 5 < 8 + 7

4

3 + 2 > 1 −

2

3 ，并写出其整数解．

13．解不等式组

−3

4 + 6 ≥

4 − 5( − 2) < 8 − 2 ，并把解集在数轴上表示出来．

16

14．已知关于 x、y 的二元一次方程组

2 + ? = 3 − 1

+ 2? =− 2 的解满足 + ? > 2 ，求 的

取值范围.

15．双营服装店老板到厂家选购 A、B 两种型号的服装，若购进 A 种型号服装 9 件，B

种型号服装 10 件，需要 1810 元；若购进 A 种型号服装 12 件，B 种型号服装 8 件，需

要 1880 元，

（1）求 A，B 两种型号的服装每件分别多少元？

（2）若销售 1 件 A 型服装可获利 18 元，销售 1 件 B 型服装可获利 30 元，根据市场

需求，服装店老板决定，购进 A 型服装的数量要比购进 B 型服装数量的 2 倍还多 4 件，

且 A 型服装最多可购进 28 件，这样服装全部售出后，可使总的获利不少于 699 元，问

有几种进货方案如何进货？

17

七、二元一次方程组

1．二元一次方程 x﹣2y=1 有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解的是（ ）

A．

= 0

? =−

1

2

B．

= 1

? = 1 C．

= 1

? = 0 D．

=− 1

? =− 1

2．方程 2x﹣

1

? ＝0，3x+y＝0，2x+xy＝1，3x+y﹣2x＝0，x

2﹣x+1＝0 中，二元一次方

程的个数是( )

A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个

3．10 年前，小明妈妈的年龄是小明的 6 倍，10 年后，小明妈妈的年龄是小明的 2 倍，

小明和他妈妈现在的年龄分别是多少岁？若设小明和他妈妈现在分别是 x 岁和 y 岁，根

据题意可列方程组为（ ）

A．

? + 10 = 6( + 10)

? − 10 = 2( − 10)

B．

? − 10 = 6( − 10)

? + 10 = 2( + 10)

C．

? − 10 = 6( + 10)

? + 10 = 2( − 10)

D．

? + 10 = 6( − 10)

? − 10 = 2( + 10)

4．方程 2x＋y=9 的正整数解有（ ）

A．1 组 B．2 组 C．3 组 D．4 组

5．在抗击“新冠肺炎”的战役中，某品牌消毒液生产厂家计划向部分学校共捐赠 13 吨消

毒液.如果这 13 吨消毒液的大瓶装（500 克）与小瓶装（250 克）两种产品分装的数量（按

瓶计算）比为 3：7 .那么这两种产品应该各分装多少瓶？若设生产的消毒液应需分装

大瓶、 ? 小瓶，则以下所列方程组正确的是（ ）

A．

7 = 3?

500 + 250? = 13000000 B．

7? = 3

500 + 250? = 13000000

C．

7 = 3?

500? + 250 = 13000000 D．

7? = 3

500? + 250 = 13000000

6．若关于 x 的方程(k﹣2)x

|k|﹣1-7y＝8 是二元一次方程，则 k＝

7．若

= 2

? =− 1 是方程 2 − ? = 5 的一个解，则 = . 8．小亮解方程组

2 + ? = • 2 − ? = 12 的解为

= 5

? = ★

，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚

好遮住了两个数 • 和★，请你帮他找回 • 这个数， • = .

18

9．计算题

（1）解方程组：

= 1 − ? ⋅⋅⋅①

3 + ? = 1 ⋅⋅⋅②

（2）用代入消元法解方程组

2 + 3? = 12①

− 2? =− 1②

．

10．解方程组

（1）

? = 1 − ， ①

5 + 2? = 8； ②

（2）

+1

3 = 2?， ①

2( + 1) − ? = 11． ②

19

11．解方程组：

3 + ? = 3

4 − 2? = 14 ．

12．

2 − 3? + 4 = 12

− ? + 3 = 4

4 + ? − 3 =− 2

13． 某酒店客房有三人间、双人间客房，收费数据如表所示：

普通（元／间／天） 豪华（元／间／天）

三人间 150 300

双人间 140 400

为吸引游客，实行团体入住五折优惠措施，一个 50 人的旅游团优惠期间到该酒店入

住，住了一些三人普通间和双人普通间客房，若每间客房正好住满，且一天共花去住宿

费 1510 元，则旅游团住了三人普通间和双人普通间客房多少间？

20

八、分式

1．在 9

4 ， 3

， 2+?

4 ，

1

? ， 5

+ 中，分式的个数是（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

2．若分式 2

+1 有意义，则 x 的取值范围是（ ）

A．x＞1 B．x＞﹣1 C．x≠0 D．x≠﹣1

3．甲、乙二人做某种零件，已知甲每小时比乙多做 6 个，甲做 90 个所用的时间与乙做

60 个所用的时间相等，若设乙每小时做 个，则可列方程（ ）

A．

90

+6 =

60

B． 90

−6 =

60

C．90

=

60

−6 D．

90

=

60

+6

4．已知

1

−

1

? =3，则代数式

2+3?−2?

−?−? 的值是（ ）

A．−

7

2 B．−

11

2 C．9

2 D．3

4

5．分式

1

2−?2与

1

+?的最简公分母为（ ）

A．x-y B．x+y C．x

2-y

2 D．(x

2-y

2)(x+y)

6．对于非零实数 a、b，规定 a⊗ b=

1

−

1

．若 2⊗ （2x﹣1）=1，则 x 的值为（ ）

A．5

6 B．5

4 C．3

2 D．﹣ 1

6

7．计算： ( 2

)

2 =

8．计算

+1

2−

+

1

＝

9．分式

1

32?2 和

1

4?3 的最简公分母是 . 10．若分式

2−1

2+2−3 的值为零 , 则 = . 11．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展.据调查，某家小型快递公

司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣 120 个物件所用的时间与小江

分拣 90 个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣 20 个物件.若设小江每小

时分拣 个物件，则可列方程方程为 . 12．已知

2−+1 ＝ 1

7 ，则

2

4−2+1 ＝ ．

21

13．先化简、再求值：

2−2

2−1

÷

−1

+1 + (1 −

−1

)，其中 a=2

14．先化简，再求值： (

−3 −

1

3−

) ÷

+1

2−9 ，其中 满足方程

2 − − 6 = 0 ．

15．先化简，再求值： (1 −

2

−1

) ÷

−3

2−2+1 ，其中 =− 2 ．

16．先化简，再求值 −1

÷（2m﹣ 1+2

），其中 m＝ 2 ﹣1．

22

17．先化简： ( −

2−1

) ÷

3−

2 ，再从 − 2 < < 5 中选取一个合适的代入求值.

18．解分式方程：

−2 − 1 =

4

2−4+4 ．

19．某校改造维修田径运动场所，项目承包单位派遣了一号施工队进场施工，计划用 30

天完成整个工程．当一号施工队施工 10 天后，由于实际需要，要求整个工程比原计划

提前 8 天完成，于是承包单位再派遣二号施工队与一号施工队共同施工，结果按实际需

要如期完成整个工程

（1）如果二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？

（2）如果一号、二号施工队同时进场共同施工，完成整个工程需要多少天？

23

九、一元二次方程

1．下列方程属于一元二次方程的是（ ）．

（A）（x

2-2）·x=x

2 （B）ax

2+bx+c=0 （C）x+

1

x

=5 （D）x

2=0

2．已知 x=2 是关于 x 的方程

3

2

x

2-2a=0 的一个根，则 2a-1 的值是（ ）．

（A）3 （B）4 （C）5 （D）6

3．把方程 x

2-4x-6=0 配方，化为（x+m）

2=n 的形式应为（ ）．

（A）（x-4）2=6 （B）（x-2）2=4 （C）（x-2）2=0 （D）（x-2）2=10

4．下列方程中，无实数根的是（ ）．

（A）x

2+2x+5=0 （B）x

2-x-2=0 （C）2x

2+x-10=0 （D）2x

2-x-1=0

5．当代数式 x

2+3x+5 的值为 7 时，代数式 3x

2+9x-2 的值是（ ）．

（A）4 （B）0 （C）-2 （D）-4

6．某市计划经过两年时间，绿地面积增加 44%， 这两年平均每年绿地面积的增

长率是（ ）．

（A）19% （B）20% （C）21% （D）22%

7．在一幅长 80cm，宽 50cm 的矩形风景画的四

周镶一条金色纸边， 制成一幅矩形挂图，如

图所示．如果要使整个挂图的面积是 5 400cm

2设金色纸边的宽为 xcm， 那么 x 满足的方程

是（ ）．

（A）x

2+130x-1 400=0 （B）x

2+65x-350=0

（C）x

2-130x-1 400=0 （D）x

2-65x-350=0

8．方程 2x

2-x-2=0 的二次项系数是________，一次项系数是________， 常数项

是________．

9．已知 x

2+y

2-4x+6y+13=0，x，y 为实数，则 x

y=_________．

10．已知三角形的两边分别是 1 和 2，第三边的数值是方程 2x

2-5x+3=0 的根，则

这个三角形的周长为_______．

24

11．解方程：

8x

2=24x (x+2)

2=3x+6

(7x-1)

2=9x

2 （3x-1）2=10

x

2+6x=1 -2x

2+13x-15=0．

2

x  2 2x  2

2 2 1 1

3 6 2

x  x 

12．现将进货为 40 元的商品按 50 元售出时，就能卖出 500 件． 已知这批商品

每件涨价 1 元，其销售量将减少 10 个．问为了赚取 8 000 元利润，售价应定

为多少这时应进货多少件