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课堂本

数学

九年级上RJ

教师用书

目录

三 第二十一章一元二次方程

21.1一元二次方程·..
21.2解一元二次方程21.2.1配方法·….第1课时直接开平方法 2第2课时配方法21.2.2公式法第1课时一元二次方程的根的判别式第2课时用公式法解一元二次方程· 621.2.3因式分解法 821.2.4一元二次方程的根与系数的关系 10
21.3实际问题与一元二次方程 11第1课时传播问题与数字问题 11第2课时平均变化率问题与销售问题 13第3课时几何图形问题 14
章末复习（一）一元二次方程 16

第二十二章二次函数

22.1二次函数的图象和性质 18
22.1.1二次函数 18
22.1.2二次函数 _{y=a x^{2}} 的图象和性质 19
22.1.3二次函数 y=a~(x-h)^{2}+k 的图象和性质 21
第1课时二次函数 y=a.x^{2}+k 的图象和性质 21
第2课时 二次函数 y=a~(x-h)^{2} 的图象和性质 23
第3课时二次函数 y=a(x-h)^{2}+k 的图象和性质 25
22.1.4二次函数 y=a.x^{2}+b x+c 的图象和性质· 27
第1课时二次函数 y=a.x^{2}+b x+c 的图象和性质·. 27
第2课时用待定系数法求二次函数的解析式 28
22.2二次函数与一元二次方程 30
22.3实际问题与二次函数..…. 32
第1课时二次函数与图形面积 32
第2课时二次函数与商品利润 33
第3课时实物抛物线 34
章末复习（二）二次函数 35
23.1图形的旋转 38
第1课时旋转的概念及性质 38
第2课时旋转作图 39
23.2中心对称 41
23.2.1中心对称 41
23.2.2中心对称图形 42
23.2.3关于原点对称的点的坐标 43
23.3课题学习图案设计. 45
章末复习（三）旋转 46
24.1圆的有关性质 48
24.1.1 圆 48
24.1.2 垂直于弦的直径 49
24.1.3 弧、弦、圆心角 51
24.1.4 圆周角 52
第1课时圆周角定理及其推论 52
第2课时圆内接四边形 54
24.2点和圆、直线和圆的位置关系 55
24.2.1点和圆的位置关系 55
24.2.2直线和圆的位置关系 56
第1课时直线和圆的位置关系 56
第2课时切线的判定和性质 58
第3课时 切线长定理 + 60
第4课时三角形的内切圆 62
24.3正多边形和圆 63
24.4弧长和扇形面积…. 64
第1课时弧长和扇形面积 64
第2课时圆锥的侧面积和全面积 66
章末复习(四）圆 67

第二十五章概率初步

25.1随机事件与概率 70
25.1.1随机事件 70
25.1.2概率 71
25.2用列举法求概率 73
第1课时用列表法求概率 73
第2课时用画树状图法求概率 75
25.3用频率估计概率…. 76
章末复习（五）概率初步… 77

第二十二章 二次函数

22.1 二次函数的图象和性质

22.1.1 二次函数

课堂精讲精练

知识点1 二次函数的识别

【例1】下列式子哪些是二次函数？如果是，请指出其二次项系数、一次项系数和常数项.(1)y=-x+1;(2)y=- — ;(3)y= 2 十x-2；(4)y= a²+2x-3;(5)y=a2²+bx+c\left(6\right)y=m^{2}x^{2}+4x-3(m 为常数).解:(1)不是。(2)是,二次项系数是一,一次项系数是0,常数项是0.(3)不是.(4)是，二次项系数是 /13 ,一次项系数是2,常数项是一3.(5)不是.(6)不是

【变式】写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项.

知识点2由二次函数的定义确定字母的值

【例 2】若 y=(m-2)x^{|m|}+1 是关于 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的二次函数，则 \begin{array}{r l}{m=}&{{}-2}\end{array}

【变式】当 \begin{array}{r l}{m={}}&{{}-2}\end{array} 时，函数 y= (m-1)x^{m^{2}+m}+1 是关于 \mathscr{x} 的二次函数。

知识点3 实际问题中建立二次函数模型

【例3】（教材P21T3改编）已知直角三角形的两条直角边的和等于 8\cm ，若它的一条直角边为 x ~cm~ ，面积为 \scriptstyle y\cm^{2}

(1)求 _y 与 _{\mathscr{x}} 之间的函数关系式，并写出自变量 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的取值范围；

(2)当 x=4 时，求 _y 的值.

解 :(1)y=/12x(8-x)=-/12x^{2}+4x(0<x<8). (2)当 x=4 时 \scriptstyle,y = -{(1)/(2)}x4^{2}+4x4 =8.

【变式】（教材P4习题T4改编）已知矩形的周长为 16~cm ，若这个矩形的一边长为x ~cm~ ，面积为 \boldsymbol{S}~cm^{2}

(1)求 S 与 \mathscr{x} 之间的函数关系式，并写出自变量 \boldsymbol{x} 的取值范围；(2)当 x=4 时，求 S 的值.解 :(1)S=x(8-x)=-x^{2}+8x(0-x-8). (2)当 x=4 时 ,S=-4^{2}+8x4=16

课堂小测

1.(3分）下列函数是关于 x 的二次函数的是（B）

A. y=(2)/(x) B.\ y=2x^{2}+3x-1 C.~y=3x-2\qquad\qquadD.~y=x(x+2)-x^{2}

2.(4分)把 y=( 3x-2 ) ( x+3 ) 化为 y= a x^{2}+b x+c 的形式为 y=3x^{2}+7x-6 其一次项系数为7，常数项为 -6

3.(4分)设圆的半径为 r ,请填空：

(1)这个圆的周长 \scriptstyle{C=\ \ 2π r} _，它是关于 r 的_一次 函数；

(2)这个圆的面积 \scriptstyle S = \quadπ r^{2} _，它是关于 r 的二次 函数.

4.（9分）某种商品的价格是2元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都是 \boldsymbol{\mathscr{x}} ，经过两次降价后的价格 y （元）随每次降价的百分率 _x 的变化而变化， y 与 _x 之间的关系可以用怎样的函数来表示？它是二次函数吗？如果是，写出二次项系数、一次项系数和常数项.

解：根据题意,得 {\boldsymbol{y}} 与 x 之间的函数关系式为 {\mathfrak{y}}= 2(1-x)^{2} ，即 y=2x^{2}-4x+2

它是二次函数，二次项系数为 2 , - 次项系数是一4,常数项是2.

22.1.2二次函数 \scriptstyle{\mathbf{y}}=a x^{2} 的图象和性质

课堂精讲精练

知识点1 用描点法画二次函数 \scriptstyle{\mathbf{y}}=a x^{2} 的图象

【例1】（教材P30例1改编）在同一平面直角坐标系中，画二次函数 y=x^{2} 和 y= 方x²的图象。

【变式】在同一平面直角坐标系中画出二次函数 y=-x^{2} 和 y=-(1)/(2)x^{2} x²的图象。

总结：|a|越大，抛物线的开口 越小

知识点2二次函数 \scriptstyle{\mathbf{y}}=a x^{2} 的图象和性质

【例2】已知抛物线 y=-(1)/(3)x^{2} ，则：

(1)开口向 下(2)对称轴是 y轴(3)顶点坐标是 \underline{{\mathbf{\Pi}}}( \mathbf{0} ,\mathbf{0} ) (4)当 \mathit{\Pi}_{x}=\mathit{\Pi}_{\mathbf{0}} 时， y 有最大值,为0 ；(5)当 x\qquad<0 时， _y 随 \mathscr{x} 的增大而增大.

知识点3 二次函数 \scriptstyle{\mathbf{y}}=a x^{2} 的性质的运用

【例3】已知点 (x_{1} ,y_{1} ) 与 \left(x_{2},y_{2}\right) 在抛物 线 y=(1)/(2)x^{2} 上,若 x_{1}<x_{2}<0 则 y_{1}\rightharpoonup\rightharpoonup y_{2}

【变式】二次函数 y=a x^{2} 的图象如图所示，则：

(1)a 0；

(2)开口向 上

(3)对称轴是_y轴

(4)顶点坐标是 {\bf\Pi}({\bf0} ,{\bf0})

(5)当 \scriptstyle x=\ \ 0 时， \boldsymbol{*}\boldsymbol{y} 有最小值,为

(6)当 x{>}0 时， \boldsymbol{*}\boldsymbol{y} 随 x 的增大而 增大

【变式】已知点 (x_{1} ,y_{1} ) 与 (x_{2} ,y_{2} ) 在抛物 线 _{y}=-x^{2} 上,若 x_{1}<x_{2}<0 ,则 y_{1}\_{<}\_y_{2}

课堂小测

1.(3分)在同一平面直角坐标系中，抛物线y=4x^{2} ,y={(1)/(4)}x^{2} ,y=-{(1)/(4)}x^{2} 的共同特点是D

A.关于 y 轴对称,抛物线开口向上B.关于 y 轴对称， y 随 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的增大而增大C.关于 y 轴对称， y 随 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的增大而减小D.关于 y 轴对称,抛物线的顶点在原点

2.(4分)关于函数 _{y=5x^{2}} 的叙述，错误的是（D）

A.图象的对称轴是 _y 轴
B.图象的顶点是原点
C.当 x{>}0 时， _y 随 x 的增大而增大
D. y 有最大值

3.(3分）已知点 ( - 1 ,y_{1} ) ,( - 2 ,y_{2} ) ,( - 4 , y_{3} )在抛物线 y=- 3x^{2} 上，则 y_{1} ,y_{2} ,y_{3} 的大小关系是_ y_{3}<y_{2}<y_{1}

4.（10分)已知二次函数 y=-(1)/(4)x^{2} (1)该函数的图象是 抛物线，顶点坐标是 {\left(0,0\right)}

(2)画出函数的图象.

22.1.3二次函数 y=a (x-h)^{2}+k 的图象和性质

第1课时二次函数 y=a x^{2}+k 的图象和性质

课堂精讲精练

知识点1画二次函数 y=a x^{2}+k 的图象及二次函数 y=a x^{2}+k 与 \scriptstyle{\mathbf{y}}=a x^{2} 的图象的位置关系

【例1】（教材P32例2改编）在同一平面直角坐标系中，画出函数 y=x^{2} y=x^{2}+1 y=x^{2}-1 的图象.

列表、描点、连线：

【变式】在同一平面直角坐标系中,画出函数 y=-x^{2} y=-x^{2}+2 的图象.

列表、描点、连线：

观察图象填空：

归纳：（1)抛物线 y=x^{2} 向 上平移1个单位长度可得到抛物线 _{y}{=}x^{2}+1

(2)抛物线 y=x^{2} 向下平移1个单位长度可得到抛物线 {{y}}={{x}}^{2}-1

观察图象填空：

归纳：(1)抛物线 y=-x^{2} 向上平移2个单位长度可得到抛物线的解析式为 {\mathfrak{y}}= -x²+2

(2)抛物线 y=-x^{2} 向下平移2个单位长度可得到抛物线的解析式为 y=-x^{2}-2

【方法指导】抛物线平移中的“变”与“不变”：抛物线平移后其开口大小和方向不变，即 a 的值仍与原抛物线的 \boldsymbol{a} 的值相同；抛物线上下平移后，抛物线上各点的横坐标不变，纵坐标发生变化.总结：上下平移的坐标规律一—上“加”下“减”

【例2】已知抛物线 y=-(1)/(2)x^{2}-5

(1)图象开口向 下 ：(2)对称轴是 {\boldsymbol{y}} 轴(3)顶点坐标是 (\mathbf{0} ,-5) (4)当 x\_\<0 时， y 随 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的增大而增大;当 x\_>0 时， y 随 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的增大而减小；(5)当 \mathit{\Pi}_{x}=\mathit{\Pi}_{\mathbf{0}} 时， _y 有最大值，为(6)它可由抛物线 y=-(1)/(2)x^{2} ²向下平移5个单位长度得到.

【变式】已知抛物线 y=2x^{2}+1 (1)图象开口向 上 ；(2)对称轴是 y轴 ；(3)顶点坐标是 \underline{{(0 ,1)}} (4)当 x<0 时， y 随 _{x} 的增大而 减
小，当 x{>}0 时， _y 随 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的增大而 增大 ；(5)当 \mathit{\Pi}_{x}=\mathit{\Pi}_{\mathbf{0}} 时，函数 y 的最 小 值
是 1(6)它可由抛物线 y=2x^{2} 向 上_平移个单位长度得到.

课堂小测

1.(3分)将抛物线 y=x^{2} 向上平移2个单位长度后，所得的抛物线的函数解析式为(A）

A.~y=x^{2} + 2\qquad~\quad~B.~y=x^{2} - 2 {C}.\;y=(x+2)^{2}\qquad{D}.\;y=(x-2)^{2}

2.(3分)下列函数中，当 x{>}0 时， _y 随 _{X} 的增大而增大的是 （B）

A. y=-x+1 B.\ y=x^{2}-1
C. y=- 2x \operatorname{D.} y=-x^{2}+1

3.(5分)对于二次函数 y=3x^{2}+2 ，下列说法错误的是 （B）

A.最小值为2B.图象与 _y 轴没有公共点C.当 x{<}0 时， _y 随 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的增大而减小D.其图象的对称轴是 y 轴

1.(9分)已知函数 y=-2x^{2}+2 ,y=2x^{2}-2 (1)分别画出它们的图象；(2)说出各个图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；(3)说出它们的增减性与最值.

解： (1) 如图所示.

(2)y=-2x^{2}+2 开 \mathbf{\Omega}° 向下，对称轴为y轴，顶点坐标为 ( 0 ,2 )
y=2x^{2}-2 开 \mathbf{\sigma} 向上,对称轴为 {\bf y} 轴，顶点坐标为(\mathbf{0},-2)
(3)y=-2x^{2}+2 ，当 x<0 时， {\boldsymbol{y}} 随 x 的增大而增大，当 x{>}0 时， {\boldsymbol{y}} 随 x 的增大而减小，当 x=0 时，{\bf y} 有最大值2；
y=2x^{2}-2 ，当 x<0 时 ,y 随 x 的增大而减小，当 x {>}0 时， {\boldsymbol{y}} 随 x 的增大而增大，当 x=0 时， {\boldsymbol y} 有最小值一2.

第 2 课时二次函数 _y=a(\chi-h)^{2} 的图象和性质

课堂精讲精练

知识点1 画二次函数 _{\mathbf{y}=a(\mathbf{\Delta}x-h)} 的图象

【例1】（教材P34思考改编）如图为二次函数 y=x^{2} 的图象，请在同一平面直角坐标系中画出二次函数 y=(x+1)^{2} 的图象.

列表、描点、连线：

【变式】如图为二次函数 y=-x^{2} 的图象，请在同一平面直角坐标系中画出二次函数 y=-(x-1)^{2} 的图象。

列表、描点、连线：

观察图象填空：

归纳：抛物线 y=x^{2} 向左平移1个单位长度可得到抛物线 y=(x+1)^{2}

观察图象填空：

归纳：抛物线 _{y}=-x^{2} 向右平移1个单位长度可得到抛物线 y=-(x-1)^{2}

知识点2二次函数 \scriptstyle{\mathbf{y}}=a(\mathbf{\varepsilon}_{x}-h)! 的图象和性质

【例2】已知抛物线 y=-3(x+1)^{2}

(1)它的开口方向 向下(2)它的对称轴是 直线 x=-1 (3)它的顶点坐标为 ( {-1},0 ) (4)当 x\_<-1 时， y 随 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的增大而增大；(5)当 \begin{array}{r l}{x={}}&{{}-1}\end{array} 时， _y 有最大值，其值是 0

【变式】关于 y=2 (x-3 )^{2} 的图象，下列叙述不正确的是 A

A.顶点坐标为 (-3,0)
B.对称轴为直线 x=3
C.当 x{>}3 时， y 随 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的增大而增大
D.当 x=3 时， y 有最小值0

【例3】（1)抛物线 y=- (x-2)^{2} 可看作是由抛物线 y=-\ x^{2} 沿着 x 轴向右 （填“左”或“右”)平移2 个单位长度得到的；

【变式】抛物线 y=m(x+n)^{2} 向左平移2个单位长度后，得到的抛物线解析式是 y= -4(x-4)^{2} ,则 \begin{array}{r l}{m=}&{{}-4}\end{array} ? \begin{array}{r l}{n=}&{{}-6}\end{array}

(2)抛物线 y=-2x^{2} 向左平移1个单位长度,得到的抛物线解析式为_ y{=}{-}2(x{+}1)^{2}

【方法指导】抛物线 _{y=a x^{2}} 左右平移规律的“四字口诀”：“左加右减”，抛物线 _{y=a x^{2}} 左移h(h{>}0) 个单位长度时，自变量 \boldsymbol{x} 加 h ，即 _y{=}a(x{+}h)^{2} ；右移 h(h{>}0) 个单位长度时，自变量 \boldsymbol{x} 减 h ，即 _y{=}a(\scriptstyle x{-}h)^{2}

课堂小测

1.(3分)抛物线 y=(x-1)^{2} 的顶点坐标是

A.(1,0) B.(-1,0) C.(0,1) D.(0,-1)

2.(3分)将抛物线 _{y}=2x^{2} 向左平移3个单位长度后得到的抛物线的解析式是 (C）

A. y=2x^{2}+3 B.\ y=2x^{2}-3
C. _y=2(x+3)^{2} D.\ y=2(x-3)^{2}

3.(4分)若抛物线 y=a(x+m)^{2} 的对称轴为直线 .x=-3 ，则 \scriptstyle m = {\begin{array}{l}{3}\end{array}}

4.(10分)请在同一平面直角坐标系中画出二次函数 ①y=(1)/(2)x^{2} ,②y=(1)/(2)(x-2)^{2} 的图象.说出两条抛物线的位置关系，指出 ⊚ 的开口方向、对称轴和顶点坐标.

解：如图所示。

抛物线 y=(1)/(2)(x-2)^{2} 可由抛物线 y=(1)/(2)x^{2} 向右平移 ^2 个单位长度得到.

⊚ 的开 \mathbf{\sigma}_{α} 向上,对称轴为直线 _{x=2} ，顶点坐标为 ( 2 ,0 )

课堂精讲精练

知识点1 画二次函数 y=a(x-h)^{2}+k 的图象

【例1】（教材P35例3改编）如图，这是二次函数 _{y=x^{2}} 的图象，请在同一平面直角坐标系中画出二次函数 y=(x-2)^{2}+1 的图象.

观察图象填空：

归纳：抛物线 _{y}=x^{2} 向右 平移 2个单位长度可得到抛物线 y=( x-2 )^{2} ，再向上 平移 1 个单位长度可得到抛物线y=(\ x-2)^{2}+1

【变式】如图，这是二次函数 y=-{(1)/(2)}x^{2} 的图象，请在同一平面直角坐标系中画出二次函数 y=-(1)/(2)(x+2)^{2}-4 的图象。

归纳：抛物线 y=-(1)/(2)x^{2} 向 左 _平移个单位长度可得到抛物线 y=-(1)/(2)(x+ 2)^{2} ，再向 下 平移 + 个单位长度可得到抛物线 y=-(1)/(2)(x+2)^{2}-4

知识点2二次函数 y=a (x-h)^{2}+k 的图象和性质

【例2】已知抛物线 y=3(x-2)^{2}-1 (1)图象开口向 上(2)顶点坐标是 (2,-1)

(3）对称轴是 直线 _{x=2} (4)当 x=~~2 时， * y 的最小值是

(5)当 x\_2 时， _y 随 _{\mathscr{x}} 的增大而 减小.

【变式】已知二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题：(1)抛物线的顶点坐标为(-2,1)

(2)对称轴为 直线 x=-2 (3)当 \scriptstyle x=\ -2 时， * y 有最大值,是(4)当 x{<}-2 时， _y 随 \mathscr{x} 的增大而增大;(5)当 -3{<}x{<}{-}1 时， y>0

【方法指导】确定抛物线 y=a(x-h)^{2}+k 的顶点坐标和对称轴的技巧：令平方项为〇确定顶点的横坐标或对称轴比较容易，也不会弄错符号.

【例3】抛物线 y=3x^{2} 向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线是 (A）

A. y=3(x-1)^{2}-2 B. y=3(x+1)^{2}-2 C. y=3(x+1)^{2}+2 D. y=3(x-1)^{2}+2

【变式】抛物线 y=- 2 (x+1 )^{2}-2 可由抛物线 y=- 2x^{2} 平移得到,则下列平移过程正确的是 （D）

A.先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度B.先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度C.先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度D.先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度

【方法指导】由抛物线 _{y=a x^{2}} 得到抛物线 y=a(x-h)^{2}+k 的两种平移方法：

（1)口诀法：按照“左加右减，上加下减”的平移规律确定平移方法；
(2)顶点法：根据顶点的平移方法确定抛物线的平移方向和平移距离.

课堂小测

1.(3分)抛物线 y=2(x-6)^{2}+9 的顶点坐标为 (6,9)

2.（3分)将抛物线 y=(x-3)^{2}-4 向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线解析式是_ y=(x-1)^{2}-1

3.(3分)已知 A(-2,y_{1}) ,B(-3 ,y_{2}) 在抛物线 y=(x+1)^{2}-3 上，则 y_{1}\underbrace{<\quad y_{2}} .（填" > ”< ”或“ = ”）

4.(11分)如图，抛物线 y=a(x-1)^{2}+4(a\neq0) 与 \boldsymbol{x} 轴交于 A ,B 两点，与 y 轴交于点 C ，过点C 作 C D//x 轴，交抛物线的对称轴于点 D ，连接 B D .已知点 A 的坐标为 (-1,0) ：

(1)求抛物线的解析式；
(2)求梯形COBD的面积.
解：(1)将 A(-1,0) 代入 y=a( x-1)^{2}+4
得 0=4a+4. 解得 a=-1
抛物线的解析式为 y=-(x-1)^{2}+4,
(2)对于 y=-(x-1)^{2}+4
令 \scriptstyle x = 0 ，得 y=3 ，即 O C{=}3
该抛物线的对称轴为直线 \scriptstyle x = 1 , \dot{*} * C D = 1
\because A(-1,0) ,\therefore B(3 ,0) ，即 O B=3, \therefore S_{\# \vec{\kappa} d\omegaab}=((1+3)x3)/(2)=6,

22.1.4二次函数 y=a x^{2}+b x+c 的图象和性质

第1课时二次函数 y=a.x^{2}+b x+c 的图象和性质

课堂精讲精练

? 知识点1 用配方法将 y{=}a x^{2}{+}b x{+}c 化成 y=a(x-h)^{2}+k 的形式

【例1】将下列二次函数的解析式用配方法化成 y=a(x-h)^{2}+k 的形式，并指出其开口方向、对称轴和顶点坐标.\left(1\right)y=x^{2}+6x-1 ;\left( 2 \right)y=x^{2}+x+1 (3)y{=}{-}2x^{2}{+}12x{-}10;(4)y{=}{-}(1)/(2)x^{2}{-}2x{+}3. 解 :(1) y=x^{2}+6 x-1=( x+3 )^{2}-10 开 \mathbf{\sigma} 向上,对称轴为直线 x=-3 ,顶点坐标为 (-3,-10) (2) y=x^{2}+x+1=(x+(1)/(2))^{2}+(3)/(4) , 开 \mathbf{\sigma}° 向上,对称轴为直线 x=-(1)/(2) ,顶点坐标为(一 (-(1)/(2),(3)/(4)) (3)y=-2x^{2}+12x-10=-2(x-3)^{2}+8 ，开口向下，对称轴为直线 \scriptstyle x = 3 ，顶点坐标为 ^{(3,8)} (4)y=-(1)/(2)x^{2}-2x+3=-(1)/(2)(x+2)^{2}+5 , 开口向下，对称轴为直线 x=-2 ，顶点坐标为 (-2,5)

【变式】将下列二次函数的解析式用配方法化成 y=a(x-h)^{2}+k 的形式，并指出其开口方向、对称轴和顶点坐标.\left(1\right)y=x^{2}-8x+1 ;\left( 2 \right)y=x^{2}-3x+2 (3)y=3x^{2}-12x-3;(4)y=-(3)/(2)x^{2}+3x+1. 解 :(1) y=x^{2}-8x+1=( x-4 )^{2}-15 ，开 \mathbf{\sigma} 向上,对称轴为直线 x=4 ,顶点坐标为 (4,-15) (2) y=x^{2}-3x+2=( x-{(3)/(2)} )^{2}-{(1)/(4)} , 开 \mathbf{\sigma} 向上,对称轴为直线 x=(3)/(2) ，顶点坐标为(， ((3)/(2),-(1)/(4)) (3) y=3x^{2}-12x-3=3 ( x-2 )^{2}-15 , 开 \mathbf{\sigma} 向上，对称轴为直线 _{x=2} ，顶点坐标为 (2,-15) (4)y=-(3)/(2)x^{2}+3x+1=-(3)/(2)(x-1)^{2}+(5)/(2), 2，开口向下,对称轴为直线 x=1 ,顶点坐标为 (1,(5)/(2))

知识点2二次函数 y=a x^{2}+b x+c 的图象变换

【例2】将抛物线 y=x^{2}+2x-3 先向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为_ y=(x+5)^{2}-7

【变式】抛物线 y=-/12x^{2}-x-1 可由抛物线 y=-(1)/(2)x^{2} 怎样平移得到？平移方式为 先向左平移1个单位长度，再向下平移 /12 个单位长度得到或先向下平移 /12 个单位长度，再向左平移1个单位长度得到

知识点3 用公式法求 y=a x^{2}+b x+c 的顶点坐标及对称轴

【例3】（1)抛物线 y=-(3)/(2)x^{2}+x+1 的对称轴为直线 x{=}{(1)/(3)} ,顶点坐标为 ((1)/(3),(7)/(6))

(2)若抛物线 y=x^{2}+m x+m-5 的对称轴为直线 x=2 ，则 \begin{array}{r l}{m=}&{{}-4}\end{array} _,顶点坐标为(2,-13)

【变式】 （1)抛物线 y=-(1)/(2)x^{2}-2x+3 的对称轴为直线 x=- 2 ，顶点坐标为(-2,5)

(2)若抛物线 y=2x^{2}+m x+n 的顶点坐 标为(1,1),则 \begin{array}{r l}{m=}&{{}-4}\end{array} n=\begin{array}{l l}{3}\end{array}

课堂小测

1.(4分)把二次函数 y=(1)/(3)x^{2}-2x 化为 y=\vdots a(x{-}h)^{2}+k 的形式，正确的是 （B)

A. y=(1)/(3)(x+3)^{2}-3 B.y= y=(1)/(3)(x-3)^{2}-3 C.~y=(x+3)^{2}-9\qquadD.~y=(x-3)^{2}-9

2.(4分)二次函数 y=2x^{2}-4x-6 的最小值是 (A)

A.-8 B.-2
C.0 D. 6

3.（4分)将抛物线 y=x^{2}-4x-4 先向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到抛物线的解析式为 (D）

A ..~y=(x+1)^{2}-13~\\\\B.~y=(x-5)^{2}-3 C. y=(x-5)^{2}-13 D.\;y=(x+1)^{2}-3

4.(8分)求下列抛物线的对称轴和顶点坐标.(1){y}=3x^{2}+4x+6 ; 解：对称轴为直线 x=- {(2)/(3)} , ,顶点坐标为(一 (-{(2)/(3)} , {(14)/(3)}).

解：对称轴为直线 x=(3)/(2) 顶点坐标为 ({(3)/(2)},{(9)/(2)})

第 2课时用待定系数法求二次函数的解析式

课堂精讲精练

知识点1 利用“一般式”求二次函数解析式

【例1】已知二次函数 y=a.x^{2}+b x+c 的图象经过 A\left(2,0\right),B(0,-1),C(4,5) 三点，求二次函数的解析式.

解：根据题意,得

\begin{array}{r}{\left\{{4a+2b+c=0 ,\atop{c=-1 ,}}^{4a+2b+c=0 ,}\right.\atop{b=a+4b+c=5 ,}}{\left.\atop{c=-1 .}\right.}\end{array} 二次函数的解析式为 y=(1)/(2)x^{2}-(1)/(2)x-1

【变式】已知二次函数 y=a.x^{2}+b x+c 图象上部分点的坐标 (x,y) 满足下表：

求该二次函数的解析式.解 :y=-x^{2}-4x-1.

【方法指导】已知三个点坐标，选用一般式 y=a x^{2}+b x+c(a\neq0) ，分别代入列方程组求解，这种方法叫做待定系数法.

知识点2 利用“顶点式”求二次函数解析式

【例2】已知二次函数的顶点坐标为（1，4)，且其图象经过点 (-2,-5) ，求此二次函数的解析式.

解：设二次函数的解析式为 y=a(x-1)^{2}+4 把 (-2,-5) 代入，得a(-2-1)^{2}+4=-5 ，解得 a=-1 ，所以二次函数的解析式为 y=-(x-1)^{2}+4.

【变式】已知二次函数的图象如图所示，求这个二次函数的解析式.

解:设二次函数的解析式为 y=a( x-2 )^{2}+4 , 把 {(0,1)} 代入，得4a+4{=}1 ，解得 \scriptstyle a=-{(3)/(4)}. 所以二次函数的解析式为 {\boldsymbol y} |=-{(3)/(4)}(x-2)^{2}+4.

【方法指导】已知顶点，设顶点式，再将另一点坐标代入求解.

?知识点3 利用“交点式”求二次函数解析式

【例3】已知抛物线经过三点 A (-1 ，\vdots 0) ,B(4 ,0) ,C(0 ,- 2) ，求抛物线的解析式.

解:设抛物线的解析式为 y=a(x+1)(x-4) , 把 C(0,-2) 代入，得
-4a=-2 ,解得 a=/12
抛物线的解析式为 y=(1)/(2)(x+1)(x-4).

【变式】 根据图中条件求抛物线的解析式.

解：设抛物线的解析式为 y=a( x-1)( x-3 ) 将 (0,-6) 代入，得 a=-2 抛物线的解析式为 {\mathfrak{y}}= -2(x-1)(x-3)=-2x²+8x -6.

【方法指导】已知抛物线与 \boldsymbol{\mathscr{x}} 轴相交，设交点式求解.

课堂小测

1.（3分）已知抛物线 y=x^{2}+b x+c 经过A\left(-1,0\right),B\left(3 ,0\right) 两点，则抛物线的解析式为 y=x^{2}-2x-3

2.（7分）已知抛物线 y=a x^{2}+b x+c 经过 A\left(0 ,0\right),B\left(1,9\right),C( 2 ,26 ) 三点，求该抛物 线的解析式.

解：根据题意,得 {\it\Delta}_{(c=0} _{(a=4} a+b+c=9 ，解得 \scriptstyle b = 5 ， 4a+2b=26 ， c=0 抛物线的解析式为 y=4x^{2}+5x.

3.（10分)已知二次函数 y=a x^{2}+b x+c(a\neq(1)/(2)) 0)的顶点坐标为 ( 2 ,-1 ) ，并经过点（4，3），求二次函数的解析式，并在所给的坐标平面内画出这条抛物线.（不要求列表)

解：设二次函数的解析式为 y=a(x-2)^{2} -1.
将点 (4,3) 代 \leftthreetimes ，得3=a(4-2)^{2}-1 ,
解得 a=1
二次函数的解析式为 y=( x-2 )^{2}- 1=x^{2}-4x+3.
抛物线如图所示。