单元测试(一) 三角形

（时间：120分钟满分：120分）

一、选择题(每小题3分，共30分)下列各题均有四个选项，其中只有一个是正确的.

1.下列各组数可能是一个三角形的三边长的是 (C）

A.1,2,4 B.4,5,9 C.4,6,8 D.5,5,11

2.如图， \angle 1 的度数为 （ D ）

A. { 4 0 } ^ { \circ } （20 B.50° C.60° D. { 7 0 } ^ { \circ } （20

第2题图

第3题图

3.如图， \triangle A B C 中边BC上的高是

A.AE B.BD C.BE D.CF

4.如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的 (D)

A.三边高的交点
B.三条角平分线的交点
C.最长边的中点
D.三边中线的交点

5.满足下列条件的 \triangle A B C 中，不是直角三角形的是 (D

A. \angle A + \angle B = \angle C B \angle A - \angle B = \angle C （ \therefore \angle A : \angle B : \angle C = 1 : 2 : 3 \quad { D } . \angle A = \angle B = 3 \angle C

6.“三角形的内角和为 { 1 8 0 } ^ { \circ , \prime } 是《几何原本》中第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和为 { 1 8 0 } ^ { \circ , \dotsc } 的是 (B)

7.如图，在 5 x 4 的方格纸中，每个小正方形的边长为1，点 ^ { ( O , A } 0B 在方格纸的交点(格点)上.建立如图所示的平面直角坐标系，在第四象限内的格点中找点 c ，使 \triangle A B C 的面积为3，则这样的点 c 共有 （B）

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

第7题图

第8题图

8.如图， O 是 \triangle A B C 内一点， \angle A = 8 0 ^ { \circ } \angle 1 = 1 5 ^ { \circ } \angle 2 = 4 0 ^ { \circ } ，则\angle B O C = (C

A.95° B.120° C. 1 3 5 ^ { \circ } D.无法确定

9.如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂 A B 与操作台 B C 的夹角 \angle A B C = 1 2 0 ^ { \circ } ，支撑臂 B D 为 \angle A B C 的平分线.物体被吊起后，机械臂AB的位置不变，支撑臂绕点 B 旋转一定的角度并缩短，此时 \angle C B D = 2 \angle A B D ， \angle B D C 增大了 { 1 0 } ^ { \circ } ，则\angle D C B 的变化情况为 (D)

A.增大 { 1 0 } ^ { \circ } B.减小 { 1 0 } ^ { \circ } C.增大 { 3 0 } ^ { \circ } （20 D.减小 { 3 0 } ^ { \circ }

10.如图，在 \triangle A B C 中， B D 平分 \angle A B C ，交 A C 于点 D , C F 平分\angle A C E ，交BA的延长线于点 F ，交 B D 的延长线于点 M ，下列结论： { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } \ , { } , { } , { } , { } , { } \ , { } , { } , { } , { } \ , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } \ , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , { } , , { } , { } , { } , , { } , { } , { } , , { } , { } , { } , { } , , { } , { , } , { } , , { } , { } , { } , , { } , { } , { } , { } \angle D C M + \angle D M C ; { 3 } 2 \angle B M C = \angle B A C ; { 4 } 3 ( \angle B D C + \angle F ) = 4 { \\overset { } { \angle } } B A C . 其中正确的个数为 (C)

A. 1
B. 2
C.3
D.4

二、填空题(每小题3分，共15分）

11.如图所示，在发射运载火箭时，运载火箭的发射架被焊接成了许多三角形，这样做的原因是三角形具有稳定性

第11题图

第13题图

12.已知等腰三角形的一边长为 6 ~ {cm } ，另一边长为 7 \ {cm } ，则它的周长为19cm或 2 0 ~ {cm }

13.如图，这是叠放在一起的两张长方形卡片，图中有 \angle 1 . \angle 2 .\angle 3 ，则其中一定相等的是∠2与∠3

14.如图，在 \triangle A B C 中，已知 D , E , F 分别是 B C , A D , B E 的中点，且 \triangle A B C 的面积为 8 ~ { {cm } ^ { 2 } } ，则 \triangle B C F 的面积为_ 2 {cm } ^ { 2 } ：

第14题图

第15题图

15.在探究“入射光线和反射光线夹角与两块镜子夹角的关系”为主题的项目式学习中，创新小组将两块平面镜 A B , B C 竖直放置在桌面上，并使它们镜面间夹角的度数为 α ( 0 ^ { \circ } < α < 9 0 ^ { \circ } ) .在同一平面内，用一束激光射到平面镜 A B 上，分别经过平面镜 A B , B C 两次反射后，入射光线 \mathbf { \Psi } _ { m } 与反射光线 n 形成的夹角度数为 β （如图).请利用数学和物理知识，得到 β 与α 的数量关系为_ β = 1 8 0 ^ { \circ } - 2 α

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）

16.（本题8分)如图，在 \triangle A B C 中， D , E 为边 B C 上两点，且满足A B = B E , A C = C D ，连接 A D , A E

(1)写出以 A C 为边的三角形.

(2)找出图中的等腰三角形.

解：（1）以AC为边的三角形有 \triangle A C E \triangle A C D , \triangle A C B (2)图中的等腰三角形有ABE， \triangle A C D

17.（本题8分）如图，在 \triangle A B C 中， A D , A E 分别是边 B C 上的中线和高， . A E { = } 3 ~ {cm } , S _ { \triangle A B C } { = } 1 2 ~ {cm } ^ { 2 } ，求 B C 和 D C 的长.

解：由题意，得 S _ { \triangle A B C } = / { 1 } { 2 } \ B C \ * \ A E = 1 2 ~ {cm } ^ { 2 } （2号
{ { R P } } / { 1 } { 2 } { { B C } } x 3 = 1 2 .∴BC=8 cm.
： A D 是边 B C 上的中线，
（204 \therefore D C = / { 1 } { 2 } B C = 4cm . （202

18.（本题8分）如图所示，在 \triangle A B C 中， \angle A = 6 2 ^ { \circ } 0 \angle B = 7 4 ^ { \circ } 0 C D 是 \angle A C B 的平分线，点 \boldsymbol { \mathscr { E } } 在 A C 上，且 D E / / B C ，求 \angle C D E 的度数.

解 \therefore \angle A = 6 2 ^ { \circ } , \angle B = 7 4 ^ { \circ }
： * \angle A C B = 1 8 0 ^ { \circ } - 6 2 ^ { \circ } - 7 4 ^ { \circ } = 4 4 ^ { \circ } .
： C D 平分 \angle A C B
\angle A C D = \angle D C B = 2 2 ^ { \circ }
∵DE//BC,
： \therefore \angle C D E = \angle D C B = 2 2 ^ { \circ }

19.（本题8分）如图， \angle A = 4 5 ^ { \circ } , \angle B = 5 5 ^ { \circ } , \angle D = 2 0 ^ { \circ } 求 \angle B C D 的度数.下面是学习小组的同学们交流时得到的解决问题的三种方法：

方法一：作射线AC.
方法二：延长 B C 交 A D 于点 E
方法三：连接BD.
请选择上述一种方法，求 \angle B C D 的度数.
解：答案不唯一，以方法二为例：
延长 B C 交 A D 于点 \mathbb { E }
\ddots \angle C E D = \angle A + \angle B , \angle B C D = \angle C E D + \angle D .
\begin{array} { c } { { \therefore \angle B C D = \angle A + \angle B + \angle D } } \\ { { = 4 5 ^ { \circ } + 5 5 ^ { \circ } + 2 0 ^ { \circ } } } \\ { { = 1 2 0 ^ { \circ } . } } \end{array}

20.（本题9分）已知 a , b , c 是 \triangle A B C 的三边长， a = 4 , b = 6 .\triangle A B C 的周长是小于18的偶数.

(1)求 it { c } 的值.
(2)判断△ABC的形状.解： ( 1 ) ^ { \circ \circ } \circ a , b , c 是ABC的三边长， a = 4 , b = 6 ： . 6 - 4 < c < 6 + 4 ，即 2 < c < 1 0
： \triangle A B C 的周长是小于18的偶数，
* 4 + 6 + c < 1 8 ∴c<8.:2<c<8.
： c = 4 或6.
(2)当 \scriptstyle c = 4 或 _ 6 时， \triangle A B C 是等腰三角形，

21.（本题10分）如图，在 \triangle A B C 中， A E 是角平分线， A D 是高，\angle C = 4 0 ^ { \circ } , \angle B = 7 0 ^ { \circ } , D F \bot A E ，垂足为 F

(1)求 \angle C A E 的度数.
(2)求 \angle A D F 的度数.
解 : ( 1 ) \because \angle C = 4 0 ^ { \circ } , \angle B = 7 0 ^ { \circ }
（2 \therefore \angle B A C = 1 8 0 ^ { \circ } - ( \angle C + \angle B ) = 7 0 ^ { \circ } . ： * _ { A E } 是 \angle B A C 的平分线，
\therefore \angle C A E = / { 1 } { 2 } \angle B A C = 3 5 ^ { \circ } .
(2)∵AD是 \triangle A B C 的高，
* \angle C A D = 9 0 ^ { \circ } - \angle C = 5 0 ^ { \circ } .
\therefore \angle D A E = \angle C A D - \angle C A E = 1 5 ^ { \circ } . ∵DF⊥AE,
\therefore \angle A D F = 9 0 ^ { \circ } - \angle D A E = 7 5 ^ { \circ } . （20号

22.（本题11分)新定义：如果一个三角形存在两个内角之差是第三个内角的两倍，那么称这个三角形为关于第三个内角的“差倍角三角形”.例如：在△ABC中， \angle A = 1 0 0 ^ { \circ } \angle B = 6 0 ^ { \circ } \angle C = 2 0 ^ { \circ } ，满足 \angle A - \angle B = 2 \angle C ，所以 \triangle A B C 是关于 \angle C 的“差倍角三角形”.

(1)若在 \triangle D E F 中， \angle D = 1 1 0 ^ { \circ } ， \angle E = 4 0 ^ { \circ } ， \angle F = 3 0 ^ { \circ } ，则\triangle D E F 是关于 \angle E 的"差倍角三角形”.
(2)如图，在 \triangle A B C 中， \angle C = 3 0 ^ { \circ } \angle B A C 和 \angle A B C 的平分线相交于点 D .若 \triangle A B D 是关于 \angle A B D 的"差倍角三角形”，求 \angle B A C 的度数.

解：： \angle B A C 和 \angle A B C 的平分线相交于点D，\therefore \angle B A D = / { 1 } { 2 } \angle B A C , \angle A B D = / { 1 } { 2 } \angle A B C . ： \angle C = 3 0 ^ { \circ }

（204号 \therefore \angle B A D + \angle A B D = / { 1 } { 2 } ( \angle A B C + \angle B A C ) = / { 1 } { 2 } x ( 1 8 0 ^ { \circ } - 3 0 ^ { \circ } ) = 7 5 ^ { \circ } , （204
： \because \angle D + \angle B A D + \angle A B D = 1 8 0 ^ { \circ } , \therefore \angle D = 1 8 0 ^ { \circ } - 7 5 ^ { \circ } = 1 0 5 ^ { \circ } . （2
： \triangle A B D 是关于 \angle A B D 的“差倍角三角形”，
（204号 \therefore \angle D - \angle B A D = 2 \angle A B D . （204号
\therefore \angle D = 2 \angle A B D + \angle B A D
\therefore 1 0 5 ^ { \circ } = \angle A B D + 7 5 ^ { \circ } \therefore \angle A B D = 1 0 5 ^ { \circ } - 7 5 ^ { \circ } = 3 0 ^ { \circ } .
: \angle B A D = 1 8 0 ^ { \circ } - \angle A B D - \angle D = 4 5 ^ { \circ } . （2号
\therefore \angle B A C = 2 \angle B A D = 2 x 4 5 ^ { \circ } = 9 0 ^ { \circ } . （2号

23.（本题13分）综合与探究：

已知 \angle M O N = 4 0 ^ { \circ } , OE平分 \angle M O N , A , B , C 分别是射线O M , O E , O N 上的动点（点 A , B , C 不与点 O 重合)，连接 A C 交射线 O E 于点 D .设 \angle O A C = x ^ { \circ }

(1)如图1，若 A B / / O N ，则：① \angle A B O 的度数是 2 0 ^ { \circ } （20号② 当 \angle B A D = \angle A B D 时， x = \underline { { 1 2 0 } } ；当 \angle B A D = \angle B D A 时， x = \quad 6 0

(2)如图2，若 B A \bot O M ，则是否存在 x 的值，使得 \triangle A D B 中有两个相等的角？若存在，求出 \mathbf { \Psi } _ { x } 的值；若不存在，请说明理由.

图1

图2

解：存在.

① 当点 \mathbb { D } 在线段 O B 上时，
若 \angle B A D = \angle A B D ，则 x = 2 0
若 \angle B A D = \angle B D A ，则 x = 3 5
若 \angle A D B = \angle A B D ，则 x = 5 0 业
② 当点 D 在射线BE上时，
： \angle A B E = 1 1 0 ^ { \circ } ，且三角形的内角和为 { 1 8 0 } ^ { \circ }
∴只有当 \angle B A D = \angle B D A = 3 5 ^ { \circ } ，满足 \triangle A D B 中有两个相等的角。： \scriptstyle * { \boldsymbol { x } } = 9 0 + 3 5 = 1 2 5
综上所述，当 x 的值为20或35或50或125时， \triangle A D B 中有两个相等的角.

期中测试

（时间：120分钟满分：120分）

一、选择题(每小题3分，共30分)下列各题均有四个选项，其中只有一个是正确的.

1.人们常说：“地下文明看陕西，地上文明看山西.”山西素有“三晋古建甲天下"之称，以下是山西一些古城的图标设计图，其中是轴对称图形的有 (C)

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

2.已知点 \scriptstyle A ( 2 , a ) 关于 x 轴的对称点为点 B ( b , - 3 ) ，则 a + b 的 值为 (A)

A.5 B.1 C.-1 D.-5

3.综合实践课上，嘉嘉制作了一个燕尾型风筝，如图， A D = C D =\angle A D B = \angle C D B ，她准备用刻度尺测量 A B 和 B C ，并比较两者的长度是否相等，淇淇说：“不用测量，因为 \triangle A B D 和\triangle C B D 全等，所以 _ { A B } 一定和 B C 相等.”则淇淇得到 \triangle A B D 和 \triangle C B D 全等的依据是 （B）

A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS

4.将一副三角板按如图所示的方式叠放在一起，则 \angle α = (D)

A.55° B. { 6 0 } ^ { \circ } （204号 C.65° D. 7 5 ^ { \circ } （20

第4题图

第6题图

5.下列命题的逆命题中，是真命题的是 (C）

A.两直线平行，同旁内角互余B.等边三角形是等腰三角形C.全等三角形的三条边对应相等D.若两个数相等，则它们的绝对值相等

6.如图， A C = B C , A E = C D , A E \bot C E 于点 E , B D \bot C D 于点 D ，A E { = } 7 , B D { = } 2 ，则 D E 的长是 （ B）

A.2 B.5 C.7 D.9

7.如图，在等边三角形 A B C 中， A D \perp B C 于点 D , E 是 A D 的延长线上一点.若 A E { = } A C ，则 \angle A E C 的度数为 (D)

A.45° B. { 6 0 } ^ { \circ } （204号 C . 6 5 ^ { \circ } D. 7 5 ^ { \circ }

8.如图， D 为 \triangle A B C 内一点， C D 平分 \angle A C B , B D \bot C D , \angle A = \angle A B D 若 B D = 1 . B C = 3 ，则 A C 的长为 (A)

A.5 B.4 C.3 D.2

第8题图

第10题图

第7题图

9.设 M 表示直角三角形， N 表示等腰三角形， P 表示等边三角形， Q 表示等腰直角三角形.下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是 (C)

10.如图，在 \triangle A B C 中， \angle A C B = 9 0 ^ { \circ } \angle B = 3 0 ^ { \circ } ，将 \triangle A B C 折叠，使点B 落在点 A 处， D E 为折痕，则下列结论中正确的是 （C）{ 1 } \triangle A D E \cong \triangle B D E ; { 2 } A E 垂直平分 C D · { 3 } \triangle A D C 是等边三角形； { 4 } A B { = } 4 C E

A. ① B. ① ②
C. ① { 2 } { 3 } D. { 1 } { 2 } { 3 } { 4 }

二、填空题(每小题3分，共15分）

11.一个三角形的两边长分别为2和3，则第三边的长可以是2(答案不唯一） (写出一个即可).

12.如图， P O 是 \angle A O B 的平分线， C 为 P O 上一点， C E \bot O B 于点 E , O C = 6 , C E { = } 2 在射线 O A 上有一动点 Q ，则在运动过程中，点 Q 到点 C 的最短距离是2，

第12题图

第14题图

第15题图

13.如图，在平面直角坐标系中有一个 \triangle M B N . 已知 \angle M B N = 9 0 ^ { \circ } M B { = } N B , M ( 3 , 0 ) , N ( 1 , - 4 ) ，则点 B 的坐标为 ( 0 , - 1 )

14.如图，在 \triangle A B C 中， \angle A C B = 1 0 0 ^ { \circ } A C = A E B C = B D ，则\angle D C E 的度数为 { 4 0 } ^ { \circ }

15.如图，在 \triangle A B C 中， A C { > } A B ，边 B C 的垂直平分线 F G 与BA的延长线交于点 F ，与 \triangle A B C 外角的平分线交于点 D ，过点D 作 D E \bot A C ，垂足为 \ E . 若 A B = 5 , A E = 2 ，则 A C = \quad \mathbf { 9 } \quad

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）

16.（本题8分)如图，已知 C A = C D \angle B C E = \angle A C D , B C = E C 求证： A B = D E

证明： \because \angle B C E = \angle A C D
* \angle B C E + \angle E C A = \angle A C D + \angle E C A , 即 \angle B C A = \angle E C D
在 \triangle B C A 和 \triangle E C D 中，
B C { = } E C
\angle B C A = \angle E C D
c { \boldsymbol { A } } = c { \boldsymbol { D } }
： \bigtriangleup BCA≌△ECD(SAS).
： \mathbf { \nabla } _ { A B } = D E

第13题图

17.（本题9分)如图， A D , A E 分别是 \triangle A B C 的高和中线， A B = 6 ~ {cm } 0 A C = 8 \ { {cm } } B C = 1 0 \ {cm } \angle B A C = 9 0 ^ { \circ } ·

(1)求 A D 的长. (2)求 \triangle A C E 和 \triangle A B E 的周长之差. (3)若 \angle B = 5 0 ^ { \circ } ，求 \angle D A E 的度数. 解： ( 1 ) A D 是 \triangle A B C 的高， \angle B A C = 9 0 ^ { \circ } \therefore S _ { \triangle A B C } = { / { 1 } { 2 } } A C * A B = { / { 1 } { 2 } } B C * A D . （20 \therefore / { 1 } { 2 } x 8 x 6 = / { 1 } { 2 } x 1 0 A D \therefore A D = 4 . 8cm

(2)∵AE是 \triangle A B C 的中线， \therefore B E = C E
： \begin{array} { r } { { ~ \dot { ~ } A B = 6 ~cm , A C = 8 ~cm , } } \end{array} （2
： \triangle A C E 和 \triangle A B E 的周长之差为 ( A C + A B + C E ) - ( A B + B E + A E )
= A C - A B = 8 - 6 = 2 ( { {cm } } ) .
(3)∵在 R t \triangle A B D \Phi , \angle B = 5 0 ^ { \circ } , \therefore \angle B A D = 9 0 ^ { \circ } - 5 0 ^ { \circ } = 4 0 ^ { \circ } .
：在 \mathbb { R } ^ { { t } } \triangle A B C 中 , A \mathbb { E } 是 \triangle A B C 的中线， \begin{array} { r } { { ~ ~ \Omega ~ } _ { \circ } ^ { \circ } \ A \mathbb { E } = \mathbb { B } \mathbb { E } } \end{array}
： \angle B A E = \angle B = 5 0 ^ { \circ } \therefore \angle D A E = 5 0 ^ { \circ } - 4 0 ^ { \circ } = 1 1 0 ^ { \circ }

18.（本题9分)如图，网格中的 \triangle A B C 与 \triangle D E F 为轴对称图形.

(1)如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出 \triangle A B C 的面积：3

(2)在网格图中画出 \triangle A B C 与 \triangle D E F 的对称轴 \mathbf { \Sigma } _ { m } (3)结合所画图形，在直线 \mathbf { \Psi } _ { m } \mathbf { \Psi } _ { m } 上找到点 Q ，使 \triangle Q A C 的周长最小，画出此时△QAC.

解：(2)如图，直线 m 即为所求。
(3)如图，点 \varrho , \triangle \varrho A c 即为所求。

19.(本题9分)如图， C B = C D , \angle D + \angle A B C = 1 8 0 ^ { \circ } , C E \bot A D 于点 E . (1)求证： A C 平分 \angle D A B (2)若 A E { = } 1 0 ， D E { = } 4 ，求 A B 的长.

解：(1)证明：过点 c 作 { C F \perp A B } ，交 A B 的延长！于点 F
： C E \perp A D , \therefore \angle D E C = \angle C F B = 9 0 ^ { \circ } .
∵∠D+∠ABC=180°,∠CBF+∠ABC=180°,\therefore \angle D = \angle C B F 业
在△CDE和△CBF中，
\angle D = \angle C B F
\scriptstyle { \left\{ \angle D E C = \angle B F C \right. }
C D { = } C B
∴△CDE≌△CBF(AAS).: C { E } \equiv C { F }
\therefore A C 平分 \angle D A B
(2)由(1)可得， B F { = } D E { = } 4
AC=AC,
在Rt△ACE和Rt△ACF中
CE=CF,
∴Rt△ACE≌Rt△ACF(HL).
\therefore A E = A F = 1 0 \therefore A B = A F - B F = 6 .

20.（本题9分)我们知道，在一个三角形中，相等的边所对的角相等.那么不相等的边所对的角之间的大小关系是怎样的呢？

【观察猜想】

(1)如图1，在 \triangle A B C 中， A B { > } A C ，猜想 \angle C 与 \angle B 的大小关系： \angle C > \angle B

【操作证明】

(2)如图2，将 \triangle A B C 折叠，使边 A C 落在 A B 上，点 \vert C \vert 落在A B 上的点 D 处，折痕 A E 交 B C 于点 E ，连接 D E . 发现：由于 \angle A D E = \angle B + \angle D E B ….根据发现，请证明（1)中所猜想的结论.

【类比探究】

(3)如图3，在 \triangle A B C 中， \angle A C B { > } \angle B ，小洛同学通过类似的操作进行探究：将 \triangle A B C 折叠，使点 B 与点 C 重合，折痕交A B 于点 F ，交 B C 于点 G ，连接 F C . 求证： { } _ { ; A B > A C }

图1

图2

图3

解：(2)证明：由折叠可得， \scriptstyle A C = A D , \angle C = \angle A D E . ： \angle A D E = \angle B + \angle B E D
： \angle C = \angle B + \angle B E D ∴∠C>∠B.
(3)证明：由折叠可得， B \mathbb { F } { = } C \mathbb { F }
在 \triangle A C F 中 , A F + F C > A C
\because A F + B F > A C ，即 A B > A C

21.(本题10分)如图，在 \triangle A B C 中， C D 垂直平分 A B ，延长AC至点 E ，使 C E { = } A C ，连接 B E (1)求证： \triangle A B E 是直角三角形.(2)请用直尺和圆规作 \angle E C M ，使 \angle E C M = \angle A ，且射线CM交 B E 于点 F （保留作图痕迹，不写作法）.

(3)在(2)的条件下，求证： { } _ { : F } 是 E B 的中点.

解： { \bf \Pi } ( 1 ) 证明： \because C D 垂直平分 A B ，： A D = D B \angle A D C = 9 0 ^ { \circ }
： \scriptstyle * _ { A C } = C E , \therefore C D / / B E .
\angle A B E = \angle A D C = 9 0 ^ { \circ }
∴ \triangle A B E 是直角三角形.(2)如图所示，
(3)证明： \because C D 垂直平分 A B , \therefore C A = C B ： C A { = } C E , \circ ^ { \circ } , C E { = } C B
： \angle E C M = \angle A ,:CM//AB.
： \angle C F E = \angle A B E = 9 0 ^ { \circ } .∴CF⊥BE.又： \scriptstyle C B = C E , \therefore F 是 E B 的中点.

22.（本题10分)数学实验能激发学生学习数学的兴趣，也是提高学生动手能力和发展创新意识的手段之一.八年级(1)班同学在运用数学实验研究角的平分线时提出了如下问题，请一一解答.

（1)“行知"小组开展"用无刻度的直尺和圆规作角的平分线”的探究活动，作图痕迹如下图：

其中射线 O P 为 \angle A O B 的平分线的共有D.(填序号)

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个(2)如图1，“善思”小组尝试制作可以用来平分角的仪器 A B C D ,其中 A B = A D ， B C = D C ，将仪器上的点 A 与 \angle P R Q 的顶点 R 重合，调整 A B 和 A D ，使它们分别落在角的两边上，沿 A C 画一条射线 A E ，则 A E 就是 \angle P R Q 的平分线.请说明理由.

图1

（3)如图2，“智慧”小组尝试制作可以用来三等分角的仪器，仪器是一个直角角尺，图中的点 A , B , C 在一条直线上，且 B C \bot N A \angle M B C = 9 0 ^ { \circ } A B { = } B C

图3

图2

图4

图5

小组同学给出仪器三等分 \angle E O F 的步骤：
第一步，将仪器按如图3所示的方式放置，使NA落到\angle E O F 的边OF所在的直线上，画出此时MB所在直线G H ：
第二步，将仪器按如图4所示的方式放置，使BM所在直线过\angle E O F 的顶点 O _ { \ l } 且点 ^ { A , C } 分别落在直线 G H ，射线 O E 上；第三步，在图4中分别作射线 O A ，射线 O B ，得到图5，则射线OA，射线 O B 就是 \angle E O F 的三等分线.
下面是小组同学展示的部分推理过程：

如图5，过点 A 作 \overline { { A D \perp O F } } ，垂足为 D ，连接 A B 业由仪器特征和操作过程可知， A B \bot O B ，且 A D = A B ·： \scriptstyle * \angle A O B = \angle A O D ( \mathbf { A } ) 车

① 1 \blacktriangle ”处的推理依据是 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上

② 补全推理过程，
解：(2)在△ABC和 \triangle A D C 中，
( A B = A D
A C { = } A C
B C = D C
∴△ABC≌△ADC(SSS).
： \angle B A C = \angle D A C 即 \mathbf { \nabla } A \mathbb { E } 为 \angle P R Q 的平分线.0 3 ) { 2 } \because \angle M B C = 9 0 ^ { \circ } （2
： \angle A B O = \angle C B O = 9 0 ^ { \circ }
又： \scriptstyle * ^ { \prime } A B = C B , O B = O B =
∴△ABO≌△CBO(SAS).
： \angle A O B = \angle C O B
:∠AOD=∠AOB=∠COB.
∴射线 { O A } , { O B } 就是EOF的三等分线.

23.（本题11分）综合与实践：

【问题情境】

三角板是我们生活中常用的工具，一副三角板由如图1所示的两块三角板构成，内角分别为30°，60°，90°和45°，45°，90°.八年级数学兴趣小组开展了关于三角板的项目化学习活动，下面是他们的探究过程，请仔细阅读，共同解决相关问题.

【初步探究】

(1)如图2(左图)，将两个三角板重叠摆放，小组同学将其绘制成如图2（右图)所示的图形， D 为含45°角的三角板斜边 B C 的中点.若含45角的三角板的直角边长为8cm，那么两个三角板重叠部分的面积为16 {cm } ^ { 2 } ：

【深入探究】

(2)该小组同学继续探究，如图3(左图)，将两个三角板重叠摆放，图3(右图)是此时的示意图.若 D 仍为含45°角的三角板斜边 B C 的中点，其直角边的长还为8cm，请计算两个三角板重叠部分AMDN的面积；

【拓展延伸】

(3)如图4， \triangle A B C 是等腰直角三角形， D 是斜边 B C 的中点.\triangle D E F 是直角三角形， \angle E D F = 9 0 ^ { \circ } ，边 E F 恰好经过点A，连接BF.若 B F \bot E F ，请直接写出线段 B { \cal F } , E { \cal F } , A { \cal F } 之间的数量关系： E F { = } B F { + } A F

图1

图2

图3

图4

解：连接 A D

： \triangle A B C 是等腰直角三角形， { } _ { , D } 为 B C 的中点，
\therefore A D = { / { 1 } { 2 } } B C = C D , \angle M A D = { / { 1 } { 2 } } \angle B A C = { / { 1 } { 2 } } x 9 0 ^ { \circ } = 4 5 ^ { \circ } , \angle C = 4 5 ^ { \circ } , A D （204号⊥BC.
： \angle M A D = \angle C , \angle A D C = 9 0 ^ { \circ }
： \angle F D E = \angle A D C = 9 0 ^ { \circ } ,∴∠FDE-∠ADE=∠ADC-∠ADE,即 \angle A D M = \angle C D N :△ADM≌△CDN(ASA). :.S△ADM =S△①N.\therefore S _ { \Delta A B E } = S _ { \Delta A B M } + S _ { \Delta A D N } = S _ { \Delta C D N } + S _ { \Delta A D N } = S _ { \Delta A D C } = { / { 1 } { 2 } } S _ { \Delta A B C } = { / { 1 } { 2 } } x { / { 1 } { 2 } } x 8 x 8 = 1 6 ( { {cm } } ^ { 2 } )

期末测试

（时间：120分钟满分：120分）

一、选择题(每小题3分，共30分)下列各题均有四个选项，其中只有一个是正确的.

1.下列几何图形中，不一定是轴对称图形的是 （ D

A.角 B.等边三角形C.等腰三角形 D.直角三角形

2.我国古代数学家祖冲之推算出 π 的近似值为 / { 3 5 5 } { 1 1 3 } ，它与 π 的误差小于0.000000267.将0.000000267用科学记数法表示为(C)

A. 2 . 6 7 x 1 0 ^ { - 5 } （20 { B } . 2 . 6 7 x 1 0 ^ { - 6 } （204号 C.2 \phantom { - } 6 7 x 1 0 ^ { - 7 } （204号 { { D } } . 2 . 6 7 x 1 0 ^ { - 8 } （204号

3.下列运算正确的是

A. ( - x ^ { 2 } ) ^ { 3 } = - x ^ { 5 } B. ( x + y ) ^ { 2 } = x ^ { 2 } + y ^ { 2 } C. x ^ { 2 } * x ^ { 3 } = x ^ { 5 } 1 ) . x ^ { 5 } / x ^ { 2 } = x ^ { 4 }

4.若一个三角形的两边长分别是 6 ~ {cm } , 6 ~ {cm } ，则它第三边的长不可能是 (D ）

5.如图， A D 为 \triangle A B C 的高， E 为 A C 上一点， B E 交 A D 于点 F 若 B { \cal F } = A C , F D = C D ，则 \triangle B F D { \cong } \triangle A C D 的理由是（D ）

A. SSS B. SAS C. ASA D.HL

第5题图

第6题图

6.如图，一艘船从某港口 A 出发，以10海里/时的速度向正北方向航行，从港口 A 处测得一礁石 C 在北偏西 { 3 0 } ^ { \circ } 的方向上.如果这艘船上午8时从港口 A 出发，10时到达小岛 B ，此时在小岛 B 处测得礁石 C 在北偏西 { 6 0 } ^ { \circ } 的方向上，那么小岛 B 与礁石C 的距离是 (C）

A.40海里 B.30海里 C.20海里 D.10 海里

7.大同到太原的铁路长为274千米，动车运行后的平均速度是原来火车平均速度的1.8倍，这样由大同到太原的行驶时间缩短了2小时.设原来火车的平均速度为 \mathbf { \Psi } _ { x } 千米/时，则下列方程正确的是 (C)

8.如图，在三角形纸片 A B C 中， A B = 1 0 \ { {cm } } , B C = 7 \ { {cm } } , A C = 6 ~ {cm } ，沿过点 B 的直线折叠这个三角形，使顶点 c 落在边 A B 上的点 E 处，折痕为 B D ，则 \triangle A E D 的周长为 (A)

A. 9 \ {cm } （204号 { B } . 1 3 \ {cm } { C . 1 6 ~cm } D. 1 0 ~ {cm }

第8题图

第9题图

第10题图

9.如图， c 是线段 B G 上的一点，以 B C , C G 为边向两侧作正方形，面积分别是 S _ { 1 } 和 S _ { 2 } ，两个正方形的面积和 S _ { 1 } + S _ { 2 } = 2 0 已知 B G = 6 ，则图中阴影部分的面积为 (A)

A.4 B.6 C.7 D.8

10.如图， \angle C A B = \angle D A E = 3 6 ^ { \circ } , \triangle A D E 和 \triangle A B C 均为等腰三角形，其中 A B = A C , A D = A E ，连接 B E 并延长交 A C , A D 于点 F , G ，连接 C D . 若 B E 平分 \angle A B C ，则下列结论中不正确的是 (C)

A. \angle D A C = \angle E A B B. CD//AB C. A { \cal F } { = } { \cal C } { \cal F } D. A F { = } B F

二、填空题(每小题3分，共15分）

11.若分式 / { x ^ { 2 } - 9 } { x - 3 } 的值为0，则 x = - 3

12.因式分解： 2 a ^ { 2 } - 1 8 = 2 ( a - 3 ) ( a + 3 ) .

13.若正方形的边长增加 3 \ {cm } ，其面积增加 2 7 \ {cm ^ { 2 } } ，则该正方形的边长是3 cm.

14.如图，课间小明拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两张凳子之间(凳子与地面垂直).已知 D C = 6 0 , C E = 8 0 ，则两张凳子的高度之和为140

第14题图

第15题图

15.如图，在 \triangle A B C 中， \ A B = A C = 1 0 , B C = 1 2 , A D 是 \angle B A C 的平分线，且 A D = 8 .若 P , Q 分别是 A D ， A C 上的动点，则P C + P Q 的最小值是9.6

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）

16.（本题共2个小题，每小题5分，共10分）

(1)计算： \left( x + 2 \right) ^ { 2 } - \left( x + 1 \right) \left( x - 1 \right)

解：原式 \begin{array} { l } { { \scriptstyle : = x ^ { 2 } + 4 x + 4 - ( x ^ { 2 } - 1 ) } } \\ { { \scriptstyle = x ^ { 2 } + 4 x + 4 - x ^ { 2 } + 1 } } \\ { { \scriptstyle = 4 x + 5 . } } \end{array} (2)解分式方程： { / { 3 x } { x - 1 } } - { / { 2 } { 1 - x } } = 1 解：方程两边乘 _ { x - 1 } ，得 3 x + 2 = x - 1 解得 x { = } - / { 3 } { 2 } 检验：当 x { = } - / { 3 } { 2 } { \not { \boldsymbol { \mathfrak { q } } } } , x { - } 1 { \not { = } } 0 . ? x = - / { 3 } { 2 } 是原分式方程的解，

17.（本题8分)如图，在平面直角坐标系中，已知 \triangle A B C (1)请画出 \triangle A B C 关于 y 轴对称的 \triangle A ^ { \prime } B ^ { \prime } C ^ { \prime } ，并写出 \boldsymbol { A } ^ { \prime } , \boldsymbol { B } ^ { \prime } .C ^ { \prime } 三点的坐标(其中 A ^ { \prime } , B ^ { \prime } , C ^ { \prime } 分别是 A , B , C 的对应点，不写画法).

(2）求 \triangle A B C 的面积.

解：(1)如图所示， \Delta A ^ { \prime } B ^ { \prime } C ^ { \prime } 即为所求.
A ^ { \prime } ( 2 , 3 ) , B ^ { \prime } ( 3 , 1 ) , C ^ { \prime } ( - 1 , - 2 ) . （204号
（204号 ( 2 ) S _ { \triangle \ A B C } = 4 x 5 - / { 1 } { 2 } x 1 x 2 - / { 1 } { 2 } x 3 x 5 - / { 1 } { 2 } x 3 x 4 = / { 1 1 } { 2 } .

18.（本题8分）下面是小颖同学进行分式化简的过程，请认真阅读，并完成相应任务：

( / { x ^ { - } 1 } { x + 1 } - / { x ^ { 2 } - 1 } { x ^ { 2 } - 2 x + 1 } ) / / { x } { x - 1 } \begin{array} { r l } & { = [ / { x } { x + 1 } - / { { s } * ( x + 1 ) ^ { 2 } * x ^ { 2 } * \ y ^ { 2 } } { ( x - 1 ) ^ { 2 } } ] + / { λ } { x - 1 } - { s } * { s } * { s } * { s } * { s } } \\ & { = ( x / { x - 1 } { x + 1 } - / { x + 1 } { x - 1 } ) + / { x } { x - 1 } - { s } * { s } * { s } * { s } * { s } * { s } } \\ & { = / { ( x - 1 ) ^ { 2 } - ( x + 1 ) ^ { 2 } } { ( x + 1 ) ( x - 1 ) } + / { x } { x - 1 } - { s } * { s } * { s } * { s } * { s } * { s } } \\ & { = / { x ^ { 2 } - 2 x + 1 - x ^ { 2 } + 2 x + 1 } { ( x + 1 ) ( x - 1 ) } + / { x - 1 } { x } . { s } * { s } * { s } * { s } * { s } * { s } * { s } * { s } * { s } { s } } \\ & { = / { 2 } { x ( x + 1 ) } - { s } * { s } * { s } * { s } * { s } } \\ & { = / { 2 } { x ^ { 2 } + x } . { s } * { s } * { s } * { s } * { s } * { s } * { s } } \end{array}

任务一：

① 以上化简步骤中，第一步将原式中的 x²-2x+1这一项变形为 / { \left( { { x } - 1 } \right) \left( { { x } + 1 } \right) } { \left( { { x } - 1 } \right) ^ { 2 } } 属于B.(填字母)

A.整式乘法 B.因式分解② 以上化简步骤中，第三步是进行分式的通分，其依据是分式的基本性质

③ 从第 四 步开始出现错误，出现错误的具体原因是括号前面是负号，去括号时，后两项没变号

任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果.解 \overset { * } { : } ( / { x - 1 } { x + 1 } - / { x ^ { 2 } - 1 } { x ^ { 2 } - 2 x + 1 } ) \overset { * } { / } / { x } { x - 1 } = - / { 4 } { x + 1 } .

19.(本题8分)如图，在 \triangle A B C 中， \angle C = 9 0 ^ { \circ } A B 的垂直平分线交 A C 于点 D ，垂足为 E 若 \angle A = 3 0 ^ { \circ } = D E = 2 ，求 \angle D B C 的度数和 C D 的长.

解： \stackrel { \circ \circ } { \circ } { D } { B } 垂直平分 _ { A B } 5
： A D = B D
： \angle D B E = \angle A = 3 0 ^ { \circ }
： \angle A + \angle A B C + \angle C = 1 8 0 ^ { \circ } , \angle C = 9 0 ^ { \circ }
： \angle A B C = 6 0 ^ { \circ }
（2号 \therefore \angle D B C = \angle A B C - \angle D B E = 3 0 ^ { \circ } . （204号
： \angle D B E = \angle D B C ，即 B D 平分 \angle A B C
叉∵DE⊥AB,DC⊥BC,
： C D = D E = 2 ：

20.（本题8分）为全力做好2025年春运期间新能源汽车充电服务，国网电动汽车（山西)服务有限公司启动节日保障模式：24小时服务高速充电站.张师傅在某高速服务站充电时了解到以下信息：

① 该服务站有数量相同的甲、乙两种型号的充电桩；
② 购买甲型充电桩花费了12万元，购买乙型充电桩花费了 18万元；
③ 已知甲型充电桩的单价比乙型充电桩少0.4万元.
求甲、乙两种型号充电桩的单价.
解：设甲型充电桩的单价是 x 万元，则乙型充电桩的单价是 ( x + 0 . 4 ) （204 万元.根据题意，得
x=x+0.4,解得 x=0.8.
经检验， \scriptstyle x = 0 , 8 是所列方程的解，且符合题意，
： x + 0 . 4 = 0 . 8 + 0 . 4 = 1 . 2 . （204号
答：甲型充电桩的单价是0.8万元，乙型充电桩的单价是1.2万元.

21.(本题9分)如图，在四边形 A B C D 中， \angle A = \angle C = 9 0 ^ { \circ }

(1)尺规作图：作 \angle A B C 的平分线，交 A D 于点 E .（不写作法，保留作图痕迹)
(2)点 F 在BC上，连接 D F ，若 D F / / B E ，请判断 D F 是否平分 \angle A D C ,并说明理由.
解： ( 1 ) 如图所示，
(2）结论： D F 平分 \angle A D C
理由： \angle A = \angle C = 9 0 ^ { \circ } * \angle A B C + \angle A D C = 1 8 0 ^ { \circ }
∵DF//BE,
： \angle D F C = \angle C B E
： * _ { B E } 平分 \angle A B C
\scriptstyle * \angle A B C = 2 \angle C B E = 2 \angle C F D
： \angle C F D + \angle C D F = 9 0 ^ { \circ }
\therefore 2 \angle C F D + 2 \angle C D F = 1 8 0 ^ { \circ }
： \angle A B C + 2 \angle C D F = 1 8 0 ^ { \circ }
： \scriptstyle * \angle A D C = 2 \angle C D F
∴DF平分 \angle A D C

22.（本题11分)拓展性学习：

学习主题：完全平方公式的拓展性应用，

学习内容：

① 我们已经知道完全平方公式： ( a ± b ) ^ { 2 } = a ^ { 2 } ± 2 a b + b ^ { 2 } ，即a ^ { 2 } ± 2 a b + b ^ { 2 } 是 a ± b 的平方，因此我们把形如 * a ^ { 2 } ± 2 a b + b ^ { 2 } ”的式子叫作完全平方式.
② 恒等变形是把一个代数式变成另一个与它恒等的代数式，叫作恒等变形或恒等变换.通常的处理方法是在代数式中添加两个完全相反的项，以保证变化前后相等.例如：代数式 a ^ { 2 } = a ^ { 2 } + 2 a - 2 a 就是恒等变形.
③ 配方法是一种重要的数学思想方法，它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法.变形方式通常为： a ^ { 2 } ± 2 a b { = } a ^ { 2 } ± 2 a b + b ^ { 2 } - b ^ { 2 } { = } ( a ± b ) ^ { 2 } - b ^ { 2 } a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = a ^ { 2 } + 2 a b + b ^ { 2 } - 2 a b = ( a + b ) ^ { 2 } - 2 a b . （20例如：把代数式 x ^ { 2 } + 4 x - 5 进行配方.解： * x ^ { 2 } + 4 x - 5 = x ^ { 2 } + 2 * 2 * x - 5 = x ^ { 2 } + 2 * 2 * x + 2 ^ { 2 } - 2 ^ { 2 } - 5 = ( x + 2 ) ^ { 2 } - 4 - 5 = ( x + 2 ) ^ { 2 } - 9 . 从而利用平方差公式可以将代数式 x ^ { 2 } + 4 x - 5 因式分解为 \left( x + 5 \right) \left( x - 1 \right)

问题解决：

(1)已知 M 是含字母 x 的单项式，要使多项式 x ^ { 2 } + M + 1 是完全平方式，则 M 为 ± 2 x 或 * ^ { / { x ^ { 4 } } { 4 } }

(2)利用上述方法分解因式： x ^ { 2 } - 8 x - 2 0 (3)已知 a ^ { 2 } + b ^ { 2 } - 6 a + 1 0 b + 3 4 = 0 ,求多项式 4 a ^ { 2 } + 1 2 a b + 9 b ^ { 2 } 的值.

解：(2)原式 = x ^ { 2 } - 2 * 4 * x + 4 ^ { 2 } - 4 ^ { 2 } - 2 0 =(x-4)²-36= ( x - 4 + 6 ) ( x - 4 - 6 ) = ( x + 2 ) ( x - 1 0 ) .
( 3 ) \because a ^ { 2 } + b ^ { 2 } - 6 a + 1 0 b + 3 4 = 0 ,
\therefore a ^ { 2 } - 6 a + 9 - 9 + b ^ { 2 } + 1 0 b + 2 5 - 2 5 + 3 4 = 0 .
\therefore ( a - 3 ) ^ { 2 } + ( b + 5 ) ^ { 2 } = 0 \therefore a = 3 , b = - 5 * （20
∴原式 \equiv ( 2 a ) ^ { 2 } + 2 * 2 a * 3 b + ( 3 b ) ^ { 2 } \equiv ( 2 a + 3 b ) ^ { 2 } \equiv [ 2 x 3 + 3 x
( - 5 ) ] ^ { 2 } = ( 6 - 1 5 ) ^ { 2 } = 8 1 . 2

23.（本题13分）如图 1 , P , Q 分别是边长为 4 \ {cm } 的等边三角形ABC的边 A B , B C 上的动点，点 P , Q 分别从顶点 A , B 同时出发，都以 1 \ {cm / s } 的速度分别向点 ^ { { \cal B } , { \cal C } } 运动.

(1)若 A Q , C P 相交于点 M ，则在点 P , Q 运动的过程中，\angle C M Q 的大小发生变化吗？如果变化，请说明理由；如果不变，求出它的度数.
(2)当点 P , Q 运动的时间为多少时， \triangle P B Q 为直角三角形？
(3)如图2，若点 ^ { P , Q } 运动到终点后继续在射线 A B , B C 上运动，直线 A Q , C P 相交于点 M ，则 \angle C M Q 的度数为120°解： ( 1 ) \angle C M Q = 6 0 ^ { \circ } 不变.理由如下：
由题意知 { } , A P { = } B Q
： \triangle A B C 为等边三角形，
\scriptstyle * _ { A C } = B A , \angle C A P = \angle B = 6 0 ^ { \circ } :△APC≌△BQA(SAS).:∠ACP=∠BAQ.
： \angle C M Q = \angle A C P + \angle Q A C
： \scriptstyle * \angle C M Q = \angle B A Q + \angle Q A C = \angle B A C = 6 0 ^ { \circ } . （20号
∴在点 ^ { p } , { Q } 运动的过程中， \angle C M Q 的大小不变，为 { 6 0 } ^ { \circ }
(2)设点 P , \varrho 运动的时间为 bf { it { t s } } ，则 A P = B Q = t { ~cm } , B P = ( 4 - t ) {cm } , （204① 当 \angle P Q B = 9 0 ^ { \circ } 时， \because \angle B = 6 0 ^ { \circ } , \therefore \angle B P Q = 3 0 ^ { \circ } .
： B Q = { / { 1 } { 2 } } B P ，即 \scriptstyle t = { / { 1 } { 2 } } ( 4 - t ) ，解得 \scriptstyle t = { / { 4 } { 3 } }
② 当 \angle B P Q = 9 0 ^ { \circ } 时， \because \angle B = 6 0 ^ { \circ } ,∴∠BQP=30°.
： B P = / { 1 } { 2 } B Q ，即 4 - t = / { 1 } { 2 } t 解得 \scriptstyle t = { / { 8 } { 3 } }
∴当点 ^ { p } , { Q } 运动的时间为 / { 4 } { 3 } s或 / { 8 } { 3 } s时， \Delta P B Q 为直角三角形.

图1

图2