罰新深 堂

千篇 初高中知沢衛接

11 数与式(1)

知回願単

1 ( 1 ) a ^ { 2 } - b ^ { 2 } 2/a+2ab十ゅ? ( 3 ) a ^ { 3 } + b ^ { 3 } ( 4 ) a ^ { 3 } - b ^ { 3 } G5)2(ab+bc +ac) 63a\*(73ab?

2.（1DB子0 (0 中身

典例研析単

例解 - ( 1 ) ( 1 + sqrt { 2 } ) ^ { 4 } - ( 1 - sqrt { 2 } ) ^ { 4 } = [ ( 1 + { sqrt { 2 } } ) ^ { 2 } ] ^ { 2 } - [ ( 1 - { sqrt { 2 } } ) ^ { 2 } ] ^ { 2 } = [ ( 1 + { sqrt { 2 } } ) ^ { 2 } + ( 1 - 2-1xL1十2一(1一21一6メ42ー2 4 { sqrt { 2 } } .2ドェ-3ェ+1-0,エチ0,中 * { x } + / { 1 } { x } = 3 ホェ十トー（十ー)(アー1+ツ)（十ー)(-+ー）ーミ1-3メ(ぷーa）--18.

例？ 解 (1(4十m(16-4m十m-4:+m:- m“+64. (2)(a+2(a--2a+4a+16)-(a\*4(a +4a+16-(a2ソミ-4-a“-64. (3)(エ+1:-エ(r+3r+3)-エ:+3r+3r +1-13-3-2-3r-1

例： 解 1-北山 出山27日 北T山2ab?r+ン? エソ+y? (ェ+y?3T1千1 「1 Y+y{ / { ( x - y ) y } { ( x + y ) y } } * { / { y } { x - y } } = 1 .

荷接桧制単

LAT方体的全面税 S = 2 a b + 2 b c + 2 c a = ( a + b + c ) ^ { 2 } - ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } ) = 1 3 2 , 故近A

2D 二原式 = / { ( 3 - 1 ) } { 2 } ( 3 + 1 ) ( 3 ^ { 2 } + 1 ) ( 3 ^ { 4 } + 1 ) ( 3 ^ { 8 } + DCS!+リーシ 故逸D

3.BC 由題意 2 m ^ { 2 } - 3 m n - 2 n ^ { 2 } = 0 得 ( m - 2 n ) “ ( 2 m + n ) = 0 可得 m = 2 n 或 m = - { / { n } { 2 } } 改当 \mathbf { \Sigma } _ { m } = 2 n { / { m - n } { m + n } } = { / { n } { 3 n } } = { / { 1 } { 3 } } m = - { / { n } { 2 } } / { m - n } { m + n } = / { - / { 3 } { 2 } n } { / { 1 } { 2 } n } = - 3 , 故辻 BC.

4℃ 根据題意・有 a ^ { 2 } b ^ { 2 } + a ^ { 2 } + 4 b ^ { 2 } - 1 0 a b + 9 =
0,即 ( a b - 3 ) ^ { 2 } + ( a - 2 b ) ^ { 2 } = 0 , 則 _ { a b = 3 , a = 2 b } 中

出整理得 a ^ { 2 } + / { 1 } { a ^ { 2 } } = 1 4 , { A } 正預- \natural \mp \left( a + { / { 1 } { a } } \right) \left( a ^ { 2 } - 1 + { / { 1 } { a ^ { 2 } } } \right) = a ^ { 3 } + { / { 1 } { a ^ { 3 } } } ,

答案精析

a ^ { 3 } + { / { 1 } { a ^ { 3 } } } = 4 x ( 1 4 - 1 ) = 5 2 , { B } 帯俣南+トー20（(+た）ー6。| | { sqrt { a } } + { / { 1 } { sqrt { a } } } = { sqrt { 6 } } 0エ- \scriptstyle \mathtt { H } \ a ^ { 2 } + { / { 1 } { a ^ { 2 } } } = 1 4 , \mathtt { / } \sharp \left( a - { / { 1 } { a } } \right) ^ { 2 } = 1 2 , 解得 a - { / { 1 } { a } } = ± 2 { sqrt { 3 } } D黌.哉逸AC]ートー+トーパ+ポナッパー2川 x + y = 2 , x y = - \ 5 時 { / { y } { x } } + { / { x } { y } } = アー2メイーシーーナコ

+T由++ト-4. 得 a+024ab. シー3ab+が シー丁 A+ab+が?

8:2：「・キ+エ-A+2+B(A+Bエ+2A5エ+4
： 5 A = 2 , B = 3 . ] -2 A { = } 4

9. 原式スー島（(m+n: m?+n? 2mn(m十n(m-n) Im+n? m+n]M十n （m一n） m十郡m一"-1t-t! (n十n ホ一1 ボ十nゴ m = 5 7 , n = 3 町原 = { / { m - n } { m + n } } = { / { 5 7 - 3 } { 5 7 + 3 } } = { / { 9 } { 1 0 } } ,

10. 証明法一因 a b c = 1 中 所以 ^ { a , b , c } 均不丸季 \begin{array} { l } { { / { \mu \vec { c } } { \vec { x } } , \vec { \vec { x } } _ { { s } } = \displaystyle / { a } { a b + a + 1 } + / { a b } { a ( k c + b + 1 ) } + / { a b c } { a b ( a c + c + 1 ) } } } \\ { { = \displaystyle / { a } { a b + a + 1 } + / { a b } { a b c + a b + a } + / { a b c } { a b a c + a b c + a b } } } \\ { { = \displaystyle / { a } { a b + a + 1 } + / { a b } { 1 + a b + a } + / { 1 } { a + 1 + a b } } } \\ { { = \displaystyle / { a + a b + 1 } { a b + a + 1 } = 1 . } } \end{array} 法二 因 a b c = 1 所以 { \mathbf { \nabla } } _ { a , b , c } 均不丸春 \begin{array} { l } { { \hat { \varsigma } = / { a } { a b + a + a b c } + / { b } { b c + b + 1 } + / { b c } { b ( a c + c + 1 ) } } } \\ { { \ } } \\ { { \displaystyle = / { 1 } { b + 1 + b c } + / { b } { b c + b + 1 } + / { b c } { b a c + b c + b } } } \\ { { \displaystyle = / { 1 } { b + 1 + b c } + / { b } { b c + b + 1 } + / { b c } { 1 + b c + b } } } \\ { { \displaystyle = / { 1 + b + b c } { b c + b + 1 } = 1 . } } \end{array}

12 数与式(2)

知回願単

1(1)相反数 季 2距高

典例研析単

例1解 1 { sqrt { x ^ { 2 } - 4 x + 4 } } + { sqrt { x ^ { 2 } + 4 x + 4 } } =
2エエ2.ェー21+ェ+2/ー/4,ー2<ェ<2,I-2rrー2.
2由 x + 2 = 0 得 \scriptstyle x = - 2 h田 3 x - 4 = 0 x = / { 4 } { 3 } ま
① 若 x { < } { - } 2 則原方程可化一 ( x + 2 ) + ( 3 x
- 4 ) = 2 x - 5 毛解：
② 山山T \scriptstyle { / { 4 } { 3 } } - 2 <=slant x < { / { 4 } { 3 } } 即原方程可化丸 x + 2 + ( 3 x
一4-2ェー5,解得ェーーチ：
- ③ 港 x >=slant / { 4 } { 3 } 則原方程可化丸 x + 2 - ( 3 x - 4 )
\scriptstyle = 2 x - 5 解得 \scriptstyle x = { / { 1 1 } { 4 } } ロ
韓上厚方程的解力 x = - / { 3 } { 2 } / / { 1 1 } { 4 }
3当 _ { x > 1 } 町 | x - 1 | + | x + 2 | = x - 1 + x + 2
= 2 x + 1 時
当 - 2 { <=slant } x { <=slant } 1 肘 | x - 1 | + | x + 2 | = 1 - x + x
+ 2 { = } 3 市
当 x { < } { - } 2 財 | x - 1 | + | x + 2 | = 1 - x - x - 2
= - 2 x - 1 . -
故 x 的耶値芭風 - 2 { <=slant } x { <=slant } 1 中

例？ 解 ( 1 ) x { > } / { 2 } { 3 } \sharp \scriptstyle y = 3 x - 2 日は\scriptstyle x = { / { 2 } { 3 } } サッー0- x { < } / { 2 } { 3 } { \mathbb { H } } , y { = } 2 { - } 3 x , -所以 y = \left| 3 x - 2 \right| 的図象如圏(1)所示( 2 ) _ { \displaystyle { y = | x - 1 | + | x + 1 | } } = \Biggl \{ 2 ( - 1 { < x < 1 ) } , 其図象如図(2)所示

(3y-Iェ十3I-Iェー11-
一4エ一3
\{ 2 x + 2 , - 3 < x < 1 共図象如図(3)所示
4エ少1
例：解 ( sqrt [ 4 ] { ( x - 2 ) ^ { 4 } } = | x - 2 | -
-山 _ - \left. \vert x ^ { - 2 , x >=slant 2 } \right. 店 \scriptstyle { \left\{ 2 - x , x < 2 \right. } ( 2 ) *s 3 - 2 { sqrt { 2 } } = 1 ^ { 2 } - 2 { sqrt { 2 } } + ( { sqrt { 2 } } ) ^ { 2 } = ( { sqrt { 2 } } - 1 ) ^ { 2 } \therefore { sqrt { 3 - 2 { sqrt { 2 } } } } + ( { sqrt [ { 3 } ] { 1 - { sqrt { 2 } } } } ) ^ { 3 } = { sqrt { ( { sqrt { 2 } } - 1 ) ^ { 2 } } } + 1 - { sqrt { 2 } } = { sqrt { 2 } } - 1 + 1 - { sqrt { 2 } } = 0 . ： \because - 3 { < } x { < } 2 中 原式 = | x + 3 | + | x - 2 | = x + 3 + 2 - x = 5 . ョ

荷接測単

I.A 「 | a - 4 | + { sqrt { b - 1 } } = 0 中 * a - 4 { = } 0 , b - 1 { = } 0 中 \therefore a = 4 , b = 1 , { sqrt { a b } } = { sqrt { 1 x 4 } } = 2 , 散逸A

2．AT根据対慎的性盾可知 \vert a ^ { 2 } \vert = \vert a \vert ^ { 2 } = a ^ { 2 } 中 只有A站項正禰散透R

3D “ sqrt { k - 2 \ 0 2 6 } 有意メ \therefore k - 2 0 2 6 >=slant 0 得に >=slant 2 ~ 0 2 6 , | 2 ~ 0 2 5 - k ~ | + { sqrt { k - 2 ~ 0 2 6 } } = k 可化力 k - 2 \ 0 2 5 + { sqrt { k - 2 \ 0 2 6 } } = k , 則 { sqrt { k - 2 \ 0 2 6 } } = 2025,得 k = 2 \ 0 2 5 ^ { 2 } + 2 \ 0 2 6 , / k - 2 \ 0 2 5 ^ { 2 } = 202 5 ^ { 2 } + 2 \ 0 2 6 - 2 \ 0 2 5 ^ { 2 } = 2 \ 1 026,散透D.

4℃ [: \mid a \mid = 4 , \mid b \mid = 2 , \therefore a = ± 4 , b = ± 2 , 市 \left| a - b \right| = \left| a \right| + \left| b \right| 因此当 a = 4 町 \scriptstyle . b = - 2 :： a + b = 2 当 a = - 4 肘 \scriptstyle - b = 2 h

-： a + b = - 2 . -
奈上 a + b 的値刃2或一2
故C

5D由 a = { / { 1 } { 3 + 2 { sqrt { 2 } } } } = 3 - 2 { sqrt { 2 } } , b = { / { 1 } { 3 - 2 { sqrt { 2 } } } } = 3 + 2 sqrt { 2 } 得 a + b = 6 , a b = 1 , a - b = - 4 { sqrt { 2 } } . 故原 式 = { / { ( a - 1 ) - ( b - 1 ) } { ( a - 1 ) ( b - 1 ) } } = { / { a - b } { a b - ( a + b ) + 1 } } = 1ー6ーN2:散途D

ん(ェーa+ー) +11-- 2℃0:

7.2 （本ー)(キ元中)
ビ一4 エ(エ一2:
2ェー2・エー4エ-王 - エ(ェー2)
(エー2:
当 _ { x = { sqrt { 2 } } + 1 } 財,原式 = { / { 2 } { ( { sqrt { 2 } } + 1 ) ( { sqrt { 2 } } + 1 - 2 ) } } =
/ { 2 } { ( sqrt { 2 } + 1 ) ( sqrt { 2 } - 1 ) } { = } 2 . ]

8.(1 ( { sqrt { 5 } } + 1 ) ^ { 2 } 26-7 L0D6+2/5-5+ 2 { sqrt { 5 } } + 1 = ( { sqrt { 5 } } ) ^ { 2 } + 2 { sqrt { 5 } } + 1 = ( { sqrt { 5 } } + 1 ) ^ { 2 } , (2)正方形的逸\*カ8一45 { sqrt { 8 - 4 { sqrt { 3 } } } } = { sqrt { 8 - 2 { sqrt { 1 2 } } } } = { sqrt { ( { sqrt { 6 } } - { sqrt { 2 } } ) ^ { 2 } } } = | { sqrt { 6 } } - { sqrt { 2 } } | = { sqrt { 6 } } - { sqrt { 2 } } . ]

9. 解 ( 1 ) y = \left| x - 2 \right| + \left| x + 2 \right| 2r(エニー2).= \left\{ 4 ( - 2 < x < 2 ) \right. 其図2 x ( x { >=slant } 2 ) 象如図所示

(2)由(1)中図象丁知,番 数的最小値4:

(3)法一(数形造合) 由(1)中図象可知
x { < } - / { 5 } { 2 } 高 x > / { 5 } { 2 } \sharp シ>5.
法二(分美寸詮） y = \vert x - 2 \vert + \vert x + 2 \vert
\stackrel { } { = } \stackrel { } { \left\{ \begin{array} { l l } { - 2 x ( x <=slant - 2 ) } \\ { 4 ( - 2 < x < 2 ) } \end{array} \right. } 中
2 x ( x { >=slant } 2 )
① 若 x { <=slant } - 2 則原不等式可変形 - 2 x { > } 5 解得 x < - { / { 5 } { 2 } } 灰 x { <=slant } - 2 所以 x < - { / { 5 } { 2 } } 店② 若一 \scriptstyle 2 < x < 2 即原不等式可交形丸 4 > 5 は所以不存在満足条件的 x 中
③ 若 x >=slant 2 則原不等式可変形 2 x { > } 5 田
解得 x { > } / { 5 } { 2 } 区 x { >=slant } 2 所以 x { > } / { 5 } { 2 } h
禁上所送.当 x { < } - / { 5 } { 2 } 村 x { > } / { 5 } { 2 } 時・yン5.

10. 解 (1原式 = { sqrt { ( { sqrt { 7 } } ) ^ { 2 } - 2 x { sqrt { 7 } } x 1 + 1 ^ { 2 } } } = { sqrt { ( { sqrt { 7 } } - 1 ) ^ { 2 } } } = { sqrt { 7 } } - 1 ; -2)原式 = ( { sqrt { 2 } } - 1 ) + ( { sqrt { 3 } } - { sqrt { 2 } } ) + ( { sqrt { 4 } } - { sqrt { 3 } } ) + *s + ( { sqrt { 1 0 0 } } - { sqrt { 9 9 } } ) = { sqrt { 1 0 0 } } - 1 = 1 0 - 1 = 9 .

13 因式分解

知回願単

1 . a ( b + c ) 言
2 多斑式
3低
4 ( a - b ) ( a ^ { 2 } + a b + b ^ { 2 } ) -
5. ( a + b + c ) ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } - a b - b c - c a ) ; ( x + a ) * ( x + b )
7 ( a _ { 1 } x + c _ { 1 } ) ( a _ { 2 } x + c _ { 2 } )

典例研析単

例1 解 (1D3エ(エー2ー(2ーエソ2-32(エー2- (ェー2)2ー(エー2)(3rーエ十2) 一2ェー2(ェ十1. 2-a,m+2+abzw+!-acrm -arm+? ---(a'm+2-abz+!+acz"+ar+$) --ar"（ar"br+c+r.

例2解 (pr\*-81y'ェク-9シンエ+9ンクエ-9ン)-(ェ十9y2(エ十3y)(エー3y)(202ァ\*ー-2rン”一2r(r-y)一2r（エーy(r2+エy+y?)(3)ェ“ッ一エン“一エy(エ一シク)ーエン（エクーy(エ+シク一エy（エーy(エ+シ(エ+シ

例3解 1

所以 x ^ { 2 } + 5 x - 2 4 = ( x - 3 ) ( x + 8 )

市

所以 3 x ^ { 2 } + 8 x y - 3 y ^ { 2 } = ( x + 3 y ) ( 3 x - y ) , ま

3

所以 x ^ { 4 } - 1 0 x ^ { 2 } y ^ { 2 } + 9 y ^ { 4 } = ( x ^ { 2 } - y ^ { 2 } ) ( x ^ { 2 } - 9 y ^ { 2 } ) = ( x - y ) ( x + y ) ( x - 3 y ) ( x + 3 y ) ロ

例4解 ( 1 ) a m + a n + b m + b n -- (am +an+ (bm 十bm) 一a (m十n)十b(m+n) = ( m + n ) ( a + b ) ま (2a22ab十ド-c? 一(a-2ab十ドソーc 一aーbー a-b+ca-b-c). (3ェ-3エy+2½2-2ェ+3y+1 -エー(3++2ェ+2½2+3y+1 エ(3y十2)エ十(シ十1(2y+1) -(ェーyー1(ェー2yー1.

荷接桧訓単

1．ç Lm(n一2)-m(2-n)-(n-2(m'+m) 一m(n一2)(m十1D.
2ć La(エーシ)+2byー-2bエ 一a(ェーシー2b(ェーシ) 一(ェーシ(aー2b).]
:D 口由題意 * x ^ { 2 } + 2 ( m - 3 ) x + 1 6 = ( x ± 4 ) ^ { 2 } 中 * 2 ( m - 3 ) = ± 8 , m = 7 或一1

4D 由題意知

所以 a = 5 b , - 5 + ( - b ) = - 3 故 a = - 1 0 , b = - 2 . ] 目

5ć L2aa+a+D+a\*+a?+1 -a(a\*+a+1+aCa\*+a+1+a\*+a\*+] -a(a?+a+D+a\*+a\*+a?+aa+1+1 -aa?+a+1+a\*(a?+a+リ+a+a+1 (a+a+1(a\*+a+) 言言 = ( a ^ { 2 } + a + 1 ) ^ { 2 } 故址C

6.(1+m N(1一m十n) [ 1 - m ^ { 2 } - n ^ { 2 } + 2 m n = 1 ] - ( m - n ) ^ { 2 } { = } ( 1 { - } m + n ) ( 1 { + } m - n ) . ]

7.（エー2(エ+2(ェ+3） Iェ:+3-2-4ェ-12-x ^ { 2 } ( x + 3 ) - 4 ( x + 3 ) = ( x + 3 ) ( x ^ { 2 } - 4 ) = ( x - 4 ) ( x + 3 ) 2(エ十2(エ十3.]

8.17 言言言言 [ x ^ { 3 } y - 2 x ^ { 2 } y ^ { 2 } + x y ^ { 3 } = x y ( x ^ { 2 } - 2 x y + y ^ { 2 } ) ニエンュージパーーメ36-17」

H. 解 \left( 1 \right) 3 a x - 3 a y + x y - y ^ { 2 } = 3 a \left( x - y \right) + y ( x - y ) = ( x - y ) ( 3 a + y ) ( 2 ) 8 x ^ { 3 } + 4 x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 8 x ^ { 3 } - 1 + 4 x ^ { 2 } - 2 x = ( 2 x - 1 ) ( 2 x + 1 ) ^ { 2 } ロ

14 方程的解

知回願単

1 . \ ( 1 ) _ { x } = / { b } { a } 2全体実数
2（1不相等 20 (3)无根
3(り加上 20 3)季

典例研析単

例解 (1方程化：{ / { x - 2 + 4 x - 2 ( x + 2 ) } { x ^ { 2 } - 4 } } = 1 , 所以 x - 2 + 4 x - 2 ( x + 2 ) = x ^ { 2 } - 4 -ホ即 x ^ { 2 } - 3 x + 2 = 0 解得 \scriptstyle x = 1 或 \scriptstyle x = 2 竪検弘 _ { x = 1 } 蒲足方程 \scriptstyle x = 2 不満足方程所以方程的解丸 x = 1 2合 t = sqrt { x ^ { 2 } - 2 x + 6 } 原ヵ程化 2 t ^ { 2 } - 9 + 2 t = 1 5 , 2 t ^ { 2 } + 2 t - 2 4 = 0 \scriptstyle t = 3 或 t = - 4 中当 \scriptstyle t = 3 時 { sqrt { x ^ { 2 } - 2 x + 6 } } = 3 中x ^ { 2 } - 2 x + 6 = 9 , x = 0 煎 \scriptstyle x = { / { 2 } { 3 } } まは当 t = - 4 肘 { sqrt { x ^ { 2 } - 2 x + 6 } } = - 4 方程毛解登検 \scriptstyle x = 0 , x = { / { 2 } { 3 } } 都満足方程,所以原方程的解丸 \scriptstyle x = 0 成 \scriptstyle x = { / { 2 } { 3 } } 中3役 \scriptstyle t = x ^ { 2 } - 2 x 原方程犠化丸t ^ { 2 } - 2 t - 3 = 0 , t = - 1 或 \scriptstyle t = 3 , 当 t = - 1 肘 \scriptstyle * x ^ { 2 } - 2 x = - 1 , x ^ { 2 } - 2 x + 1 = 0 , 解得 \scriptstyle x = 1 当 \scriptstyle t = 3 町 , x ^ { 2 } - 2 x = 3 , x ^ { 2 } - 2 x - 3 = 0 , 解得 _ { x = - 1 } 或3所以原方程的解 \scriptstyle x = 1 或 \scriptstyle x = - 1 或 \scriptstyle x = 3

例2解 - ( 1 ) ( m - 2 ) ( m + 2 ) _ { { X } } = ( m + 2 ) ( m - 3 ) h当去土2時,方程有唯一解カェー般二う当 \scriptstyle { m = 2 } 町方程曼有解：当 m = - 2 財方程有无数多解印 \mathbf { \Psi } _ { x } \in \mathbf { R } ( \mathbf { \Psi } _ { x } カ一切実勤2当 m = 0 財・方程化 x - 1 = 0 印 _ { x = 1 } 中当 m \neq 0 肘方程化 ( x - 1 ) ( m x + 1 ) = 0 車即 _ { x = 1 } 或 \scriptstyle x = - { / { 1 } { m } }

- ( 1 ) { i } \vec { \mathbb { C } } \left\{ \begin{array} { l l } { 4 x ^ { 2 } - x y + 3 y = 0 } \\ { 2 x ^ { 2 } - y ^ { 2 } - y = 0 . } \end{array} \right. ① 例： 解② ① 市 + 3 x { 2 } 式得 : 1 0 x ^ { 2 } - x y - 3 y ^ { 2 } = 0 即 ( 2 x + y ) ( 5 x - 3 y ) = 0 ホ所以 y = - 2 x 円 y = { / { 5 } { 3 } } x 中当 y = - 2 x 財代人 ② 式得 2 x ^ { 2 } - 4 x ^ { 2 } + 2 x = О解得 \scriptstyle x = 0 或 _ { x = 1 } 中

騎 \left\{ { \begin{array} { l } { x = 0 , } \\ { y = 0 ; } \end{array} } \right. \sharp \left\{ { \begin{array} { l } { x = 1 , } \\ { y = - 2 . } \end{array} } \right. -
酒 \scriptstyle { y = { / { 5 } { 3 } } x } 時・代人の来得 2 x ^ { 2 } - { / { 2 5 } { 9 } } x ^ { 2 } - { / { 5 } { 3 } }
エー0解得ェー0或ェーーチ
所 λ \left\{ { { x = 0 } , \atop { y = 0 ; } } \right. / { { { s u } } } { { { s u } } } \left\{ { { x = - / { 1 5 } { 7 } } , } \atop { y = - / { 2 5 } { 7 } . } \right.
年上所津・県カ郡 円舞力 \left\{ { \begin{array} { l } { x = 0 } \\ { y = 0 } \end{array} } \right. 魚
\left\{ { { x = 1 , \atop y = - 2 ; } } \right\} ^ { \stackrel { { R } } { = } - / { 1 5 } { 7 } , }
2由 ( x - y ) ^ { 2 } = ( x + y ) ^ { 2 } - 4 x y = 4 - 4 ( 1 + z ^ { 2 } )
= - 4 z ^ { 2 } { >=slant } 0 可得 z = 0 中
最本を川を海はー・部場じニトエ一1,
所以原カ程銀的解丸 \scriptstyle { \left\lfloor { \boldsymbol { y } } = 1 \right. } _ z = 0 ロ

荷接桧訓単

I.AL舎 t = x ^ { 2 } + 2 x + 3 = ( x + 1 ) ^ { 2 } + 2 . t >= 2 中
原方程蒔化丸 { / { t + 4 } { t } } { = } t + 1 , t ^ { 2 } = 4 . 所以 t = 2 都 t = - 2 ( 舎去印 ( x + 1 ) ^ { 2 } + 2 { = } 2 円 所以 x = - 1 . ] t = sqrt [ 3 ] { / { x + 3 } { 5 x + 2 } } 最方種社をカ t + { / { 1 } { t } } = / { 1 3 } { 6 } 華 t = { / { 3 } { 2 } } 朝 t = / { 2 } { 3 } / { x + 3 } { 5 x + 2 } = / { 2 7 } { 8 }
5ーイ鮮得ー x = - { / { 3 0 } { 1 2 7 } } { \stackrel { \circ } { \operatorname { s c } } } \ x = 5 . ] 「 \scriptstyle { t = x - { / { 1 } { x } } } 司 x ^ { 2 } + { / { 1 } { x ^ { 2 } } } = \left( x - { / { 1 } { x } } \right) ^ { 2 } + \scriptstyle 2 = t ^ { 2 } + 2 原方程叢化 2 ( t ^ { 2 } + 2 ) + t = 1 0
解得 t = - 2 中 \scriptstyle t = { / { 3 } { 2 } } き
最 x - { / { 1 } { x } } = - 2 煎 x - { / { 1 } { x } } = { / { 3 } { 2 } } .
解得 \scriptstyle x = - 1 ± { sqrt { 2 } } 煎 \scriptstyle x = 2 煎 x = - { / { 1 } { 2 } } . ]

ć [企 t = { sqrt { 2 x ^ { 2 } - 5 x + 2 } } \scriptstyle t >= 0 原方程化丸 2 t ^ { 2 } + t - 2 1 = 0 解得 \scriptstyle t = 3 即 2 x ^ { 2 } - 5 x + 2 \scriptstyle = 9 解得 x = - 1 扱 x = { / { 7 } { 2 } } . 」

「谷 t = { / { 4 x ^ { 2 } + 2 x } { x ^ { 2 } + 6 } } 泉方程静化力 t + / { 1 } { t } - 2 一0解得15取士2 得到 3 x ^ { 2 } + 2 x -- 6 { = } 0 解得 \scriptstyle x = { / { - 1 ± { sqrt { 1 9 } } } { 3 } } . ]

6.2L方程化カ（ェ一1) { sqrt { 4 - x } } = 0 得 _ { x = 1 } 或 x \sp { } = 4 . 7 7 a < 3 T国 { sqrt { x - 2 } } >=slant 0 所以若方程 sqrt { x - 2 } \scriptstyle = _ { a } 一3无解 a - 3 < 0 即 a < 3 . ]

:.1L当 a < 0 町方程毛解当 a = 0 財方程化力 | | x | - 1 | = 0 , | x | - 1 = 0 ロ\scriptstyle x = ± 1 方程有西不不同解:当 a { > } 0 財方程化刃 \mid \mid x \mid - 1 \mid = a , \mid x \mid - 1 = 土a, | x | = 1 ± a は{ 1 } 0 { < } a { < } 1 財方程化力 \mid x \mid = 1 + a > 0 或 \left| { \boldsymbol { x } } \right| = 1 - a > 0 得 x _ { 1 } = 1 + a , x _ { 2 } = - 1 - a , x _ { 3 } = 1 - { \mathbf { } } a , x _ { 4 } = a 一1有四不不同的解:{ 2 } a = 1 町方程化丸 | x | = 2 喜 \lvert \boldsymbol { x } \rvert = 0 得 x _ { 1 } = - { \scriptstyle 2 , x _ { 2 } = - 2 , x _ { 3 } = 0 } 有三不不同的解{ 3 } a > 1 肘方程化丸 \mid x \mid = 1 + a > 0 或 | x | = 1 - a < 0 得 \boldsymbol { x } _ { 1 } = 1 + \boldsymbol { a } \mathbf { \nabla } _ { x _ { 2 } } = - 1 - a 有西不不同的解奈上 . a = 1 . ] ョョョ

解 原方程等什子(で会0。 \left\{ \begin{array} { l l } { x \neq 0 , } \\ { ( 1 - a ) _ { { X } } = 1 } \end{array} \right.
\stackrel { { \tiny ~ registered } } { { mu } } \left\{ \stackrel { x < 0 , } { ( 1 + a ) _ { \mathscr I } } = - 1 . \right.
刃千 ①
()当 a { >=slant } 1 肘 ① 毛解:
2)当 a { < } 1 盗 ① 的解力 \scriptstyle x = { / { 1 } { 1 - a } }
対千 ② は
(当 a <=slant - 1 財 ② 毛解：
2)当a>ー1時,9的解カェー十赤上所途得
和 a { >=slant } 1 財-原方程的解力 \scriptstyle x = { / { - 1 } { 1 + a } } 時当一1Ka<1町,厚力程的鮮みェーキx { = } / { 1 } { 1 { - } a } ;
珈 a <=slant - 1 貯方程的解力 \scriptstyle x = { / { 1 } { 1 - a } } 中

10解 ( 1 ) ( m + 1 ) ( m - 2 ) \ d x = ( m - 1 ) ( m - 2 ) . 当 m = - 1 財・原方程无解：当 \scriptstyle { m = 2 } 財・原方程前解全体数：当 m \neq - 1 旦 m \neq 2 町原方程有曜一解ェ一飛(2 ( a - 1 ) x = b 当 a = 1 旦 b \neq 0 財原方程毛解：当 a = 1 旦 b = 0 町原方程前解全体実教：酒 a \neq 1 貯照方程有唯一 x = { / { b } { a - 1 } } , ( 3 ) / { ( a - b ) _ { x } - b } { x } = 0 . -- \stackrel { \scriptscriptstyle \Psi } { \stackrel { \scriptscriptstyle \equiv } { \scriptscriptstyle = } } \left\{ { a = b \ : , \atop b \ne 0 } \oplus { a \ne b \ : , \atop b = 0 } \right. は最ナをえ橋当 \scriptstyle a = b = 0 財原方程的解是清足 \scriptstyle x \neq 0 的一切実数当 a \neq b 耳 b \neq 0 財・原方程有准一解- x = { / { b } { a - b } } . -( 4 ) / { ( b + 1 ) _ { { X } } - a } { x ( x - a ) } { = } 0 . 当 \scriptstyle a = 0 耳 b = - 1 財原方程的解号満足 x \neq 的一切実教：\left\{ \begin{array} { l l } { { a \ne 0 , } } \\ { { b = - 1 } } \end{array} \right. \left\{ \begin{array} { l l } { { a = 0 , } } \\ { { b \neq - 1 } } \end{array} \right. 或当 b = 0 町原方程身 「毛解当 \scriptstyle a \neq 0 耳 b { \neq } 0 旦 b \neq - 1 財方程有曜- \mathbb { A } \mathbb { Z } _ { \boldsymbol { x } } = / { a } { b + 1 } . -

15 不等式

典例研析単

例解原不等式可化丸 * m ( m - 2 ) x { > } m { - } 2 言言(1当 m - 2 > 0 即 m { > } 2 財 m x { > } 1 不等式的毎力 x { > } / { 1 } { m } 時2当 m - 2 < 0 最 m { < } 2 財 * \boldsymbol { m } \boldsymbol { x } { < } 1 . - \Phi 0 < _ { m } < 2 島 * x { < } / { 1 } { m } 中{ 2 } m = 0 財 , x 任意実数：{ 3 } m < 0 肘 , x > { / { 1 } { m } } . (3当 \scriptstyle { m - 2 = 0 } 即 \scriptstyle m = 2 町 , x 毛解
例？解（法一 原不等式可化力\begin{array} { r l } & { \left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 < 0 , } \\ { x + 1 > 0 } \end{array} \right. / { \mathfrak { p } _ { \mathtt { k } } } { \mathtt { k } _ { * } } \left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 > 0 , } \\ { x + 1 < 0 } \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array} { l } { x < / { 3 } { 2 } , } \\ { x > - 1 } \end{array} \right. } \\ & { \left\{ \begin{array} { l } { x > / { 3 } { 2 } , } \\ { x < - 1 } \end{array} \right. } \end{array} ( 2 x - 3 ) ( x + 1 ) < 0 \Rightarrow - 1 { < x < } / { 3 } { 2 } .
(2国カ x ^ { 2 } - x + 1 = \left( x - / { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } + / { 3 } { 4 } > 0 , 原不等式可化力 { { : } x + 3 } >= 0 \Rightarrow x >= - 3 は

(3法一 原不等式可化： / { 1 } { x + 2 } - 3 <=slant 0 \Rightarrow / { - 3 x - 5 } { x + 2 } <=slant 0 \Rightarrow / { 3 x + 5 } { x + 2 } >=slant 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array} { l l } { ( 3 x + 5 ) ( x + 2 ) >=slant 0 , } \\ { x + 2 \neq 0 } \end{array} \right. \Rightarrow x < - 2 \ \sharp \ x >=slant - . 法ニ原不等式可化刃： \begin{array} { l } { \displaystyle / { 1 } { x + 2 } <=slant 3 \Rightarrow \Big \{ / { x + 2 > 0 , } { 3 ( x + 2 ) >=slant 1 } \Big \} / { \scriptscriptstyle { \vec { β } } } { \scriptscriptstyle { \vec { β } } \zeta } \Big \{ / { x + 2 < 0 , } { 3 ( x + 2 ) <=slant 1 } \Rightarrow } \\ { \Big \{ / { x > - 2 , } { x >=slant - / { 5 } { 3 } \scriptstyle { \mathscr { K } } } \Big \} \Big \{ / { x < - 2 , } { x <=slant - / { 5 } { 3 } } \ x >=slant - / { 5 } { 3 } } \\ { / { \scriptscriptstyle { \vec { β } } } { \scriptscriptstyle { \vec { β } } \zeta } x < - 2 . } \end{array} にビリーし中し \begin{array} { r l } & { \left\{ \begin{array} { l l } { 4 x - 3 >=slant 0 , } \\ { 4 x - 3 > 2 x + 1 ^ { / { 3 } { B λ } } \left\{ \begin{array} { l l } { 4 x - 3 < 0 , } \\ { - ( 4 x - 3 ) > 2 x + 1 . } \end{array} \right. } \\ { \qquad \quad } \\ { \quad } \\ { \quad } \\ { \quad } \end{array} \right. } \end{array} ェフ2成エくー 2当 x { <=slant } 1 町原不等式可化力- \bar { } ( x - 1 ) - ( x - 2 ) { > } 3 + x 解得 x { < } 0 当 1 { < x < } 2 肘・原不等式可化 ( x - 1 ) - ( x - 2 ) { > } 3 + x 此財不等式毛解 当 x { >=slant } 2 財・原不等式可化力 ( x - 1 ) + ( x - 2 ) { > } 3 { + } x 解得 x { > } 6 - 禁上原不等式的解 x { < } 0 或 x { > } 6

荷接桧測単

1.A 「由題意可得士 中 所以 \left\{ \begin{array} { l l } { ( x + 2 ) ( 3 - x ) >= 0 } \\ { 3 - x \neq 0 , } \end{array} \right. 解得 2 { <=slant } x 3散近4

2D「不等式 / { 3 x - 1 } { 2 - x } { <=slant } 1 町化寿 / { 4 x - 3 } { 2 - x } { <=slant } 0
- \sharp \left\{ \begin{array} { l l } { ( 4 x - 3 ) ( x - 2 ) >= 0 , } \\ { 2 - x \neq 0 , } \end{array} \right.
解得 x { <=slant } / { 3 } { 4 } 博 x { > } 2 . ]

3B - \left[ \left| a x - 2 \right| < 3 \right] 則 - 3 < a x - 2 < 3 ま- 1 { < } a x { < } 5 若 a { > } 0 則 - / { 1 } { a } < x < / { 5 } { a } \scriptstyle { / { 5 } { a } } = { / { 1 } { 3 } } 解得 5(舎):α-15若 \scriptstyle a = 0 不等式恒成立(舎):若aく0,則 / { 5 } { a } < x < - / { 1 } { a } \stackrel { . } { a } = - 3 . \beth

4AL当 x { < } - 2 財，| x + 2 | + | x - 1 | <=slant 5 \iff - 2 x - 1 <=slant 5 -解得 - 3 { <=slant } x { < } - 2 当- - 2 { <=slant } x { <=slant } 1 財 | x + 2 | + | x - 1 | <=slant 5 \Longleftrightarrow 3 <=slant 5 恒成立.-2rニ1:当 _ { x > 1 } 財 | x + 2 | + | x - 1 | <=slant 5 \Longleftrightarrow 2 x + 1 <=slant 5 解得 1 { < x } { <=slant } 2 リ奈上所途・不等式 | x + 2 | + | x - 1 | <=slant 5 的解- 3 { <=slant } x { <=slant } 2 . ]

5．AL由 a x - b > 0 寸得 \mathbf { \boldsymbol { a } } \mathbf { \boldsymbol { x } } > \mathbf { \boldsymbol { b } } 出又共解 x { < } 3 中\left\{ / { a < 0 , } { a } / { b } { = 3 } \right. 3.円-3aく0:不等式 / { b x ^ { 2 } + a x } { x + 1 } < 0 等併子

/ { a x ( 3 x + 1 ) } { x + 1 } < 0 h
幸餅ヶ（本ー!)
等什子 ( x + 1 ) \left( x + / { 1 } { 3 } \right) x > 0 ,
解得 - 1 { < x < } - / { 1 } { 3 } 喜 x { > } 0 改通A丁
西 x >=slant 4 或 - 4 <=slant x < 1 { / { x ^ { 2 } - 1 6 } { x - 1 } } >=slant 0 茶\{ { x - 1 > 0 } , \atop { x ^ { 2 } - 1 6 >= 0 } \overset { \scriptscriptstyle { x - 1 < 0 } } { \underset { x } { >= } } \overset { \scriptscriptstyle { x - 1 < 0 } } { \underset { x } { >= } } , -
x { >=slant } 4 - 4 <=slant x < 1 . ]
」 x <=slant - 2 或 x >=slant 1 原不等式等竹子' / { x + 5 - x ^ { 2 } - 2 x - 3 } { x ^ { 2 } + 2 x + 3 } { <=slant } 0 , \mathbb { E } { \| } / { - x ^ { 2 } - x + 2 } { ( x + 1 ) ^ { 2 } + 2 } { <=slant } 0 き国 ( x + 1 ) ^ { 2 } + 2 { > } 0 所以 - x ^ { 2 } - x + 2 <=slant 0 中ふ x ^ { 2 } + x - 2 >= 0
解得 x { <=slant } - 2 或 x { >=slant } 1 . ] -
x { > } 1 「不等式 { / { 1 } { | x | } } < x 四ソ x \neq 0
所 / { 1 } { | x | } { < x } { \Longleftrightarrow } x | x | { > } 1 . -
当 _ { x > 0 } 財 x ^ { 2 } > 1 解得 _ { x > 1 }
当 x { < } 0 町 - x ^ { 2 } > 1 无解。
所以不等式 { / { 1 } { | x | } } < x 的解丸 x { > } 1 . ]

は 解 ： a x - b > 0 的解是 _ { x > 1 } “： \scriptstyle a = b > 0 / { a x + b } { x - 2 } > 0 可.化 カエナツー0 ： ( x + 1 ) ( x - 2 ) > 0 , \therefore x < - 1 或 \scriptstyle x > 2

10解 (り由 0 < \left| { / { x } { x + 1 } } \right| x { \neq } 0 田 \scriptstyle x \neq - 1 時田 \left| { / { x } { x + 1 } } \right| <=slant 1 得: \mid x \mid <=slant \mid x + 1 \mid , x ^ { 2 } <=slant ( x + 1 ) ^ { 2 } 解得 x { >=slant } - { / { 1 } { 2 } } 一・所以原不等式前解丸
x >=slant - { / { 1 } { 2 } } \pounds { x } \neq 0 . -(2由題意不竿式可化 | 2 x + 1 | - | x - 4 | > 2 +当 x { >=slant } 4 肘不等式 | 2 x + 1 | - | x - 4 | > 2 化丸 x + 5 > 2 湿然成立：
引 \scriptstyle | - { / { 1 } { 2 } } <=slant x < 4 町:不等式 \left| 2 x + 1 \right| - \left| x - 4 \right|
{ > } 2 化 3 x - 3 { > } 2
解得 x > / { 5 } { 3 } 所以 / { 5 } { 3 } < x < 4 時
和 x { < } - / { 1 } { 2 } サ・不条式 | 2 x + 1 | - | x - 4 | > 2 化丸一2 \scriptstyle x - 1 + x - 4 > 2 解得 x { < } - 7 中崇上可得
東不等式前解みェイ一T式ェンテ

16 一次函数 二次函数和反比例函数

知回願単

正比例
2宣袋 (1)増大 2減小
3（1減小 (2増大
\begin{array} { r l r l } { { 4 } . x = - { / { b } { 2 a } } } & { { } \left( - { / { b } { 2 a } } , { / { 4 a c - b ^ { 2 } } { 4 a } } \right) } & { { } - { / { b } { 2 a } } } \\ { { / { 4 a c - b ^ { 2 } } { 4 a } } } & { { } } & { { } } \end{array}
典例研析単
例1解（)点 C ( 6 , a ) を宣 \scriptstyle y = { / { 1 } { 2 } } x - { / { 3 } { 2 } } - \scriptstyle ± , \therefore a = { / { 1 } { 2 } } x 6 - { / { 3 } { 2 } } = { / { 3 } { 2 } } , -一次図数 \boldsymbol { y } = k \boldsymbol { x } + \boldsymbol { b } 的図象辻点 A ( 8 , 0 ) 和

{ \stackrel { 5 } { * } } C \left( 6 , { / { 3 } { 2 } } \right) のナターテ・年トニーチ:真袋 * * * 曲解析式カ y = - { / { 3 } { 4 } } x + 6 ま

( 2 ) { 1 } ：・ M 点在袋 y = - / { 3 } { 4 } x + 6 上,耳 M
的横坐 \mathbf { λ } _ { m }
： M 曲軟生称者 - / { 3 } { 4 } m + 6 ：
：・ N 点在宣袋 y = / { 1 } { 2 } x - / { 3 } { 2 } 上,月 N 点前横
坐林丸 \mathbf { \Psi } _ { m } , \dot { \mathbf { \psi } } _ { \ast } N 点的姚坐林丸 / { 1 } { 2 } m - / { 3 } { 2 } 中
\therefore \vert M N \vert = - / { 3 } { 4 } m + 6 - / { 1 } { 2 } m + / { 3 } { 2 } -
= / { 1 5 } { 2 } - / { 5 } { 4 } m ,
:点 C \left( 6 , { / { 3 } { 2 } } \right) E Q 的\*度丸 \iota 出
-： | C Q | = l + / { 3 } { 2 }
： | M N | = | C Q | 中
* / { 1 5 } { 2 } - / { 5 } { 4 } m = l + / { 3 } { 2 } キ
町 1 l = 6 - / { 5 } { 4 } m \left( 0 { <=slant } m { < } / { 2 4 } { 5 } \right) ;
{ 2 } \because \triangle A O Q 前面釈3
* . / { 1 } { 2 } O A * E Q { = } 3 , ラ
{ \mathfrak { P } } { / { 1 } { 2 } } x 8 x E Q { = } 3 , - E Q { = } / { 3 } { 4 } も
白0知 , E Q = 6 - { / { 5 } { 4 } } m , \therefore \left| 6 - { / { 5 } { 4 } } m \right| = { / { 3 } { 4 } } ,
毎 \scriptstyle { m = { / { 2 1 } { 5 } } } 喜 \scriptstyle { m = { / { 2 7 } { 5 } } } \mathbf { \Sigma } _ { m } 円位 / { 2 1 } { 5 } 轄 / { 2 7 } { 5 } ：
例解 ( 1 ) { y } = / { 3 x + 1 } { x - 1 } = 3 + / { 4 } { x - 1 } , -
\scriptstyle { \widehat { \vec { \tau } } } \left\{ { \boldsymbol { y } } ^ { \prime } = { \boldsymbol { y } } - 3 , _ { \perp \parallel } { \boldsymbol { y } } ^ { \prime } = { / { 4 } { { \boldsymbol { x } } ^ { \prime } } } . \right. -
:番数 y ^ { \prime } { = } / { 4 } { x ^ { \prime } } 的対称中心カ(0
\therefore \left\{ { \begin{array} { l } { y - 3 = 0 , } \\ { x - 1 = 0 } \end{array} } \right\} _ { x = 1 , }
番数 y = / { 3 x + 1 } { x - 1 } 上的図象的対称中Δ丸(1,3)
( 2 ) *s y = 3 + { / { 4 } { x - 1 } } ( x >= 2 ) ,
・： _ { x - 1 >=slant 1 } ホ
\therefore 0 < / { 1 } { x - 1 } { <=slant } 1 , 0 { < } / { 4 } { x - 1 } { <=slant } 4 , -
:： 3 { < } y { <=slant } 7
例3解由題意知 m \neq 0 耳 \Delta = ( m - 3 ) ^ { 2 } - 4 m
= m ^ { 2 } - 1 0 m + 9 = ( m - 1 ) ( m - 9 ) > 0
散 m { > } 9 或 m { < } 1 ( m { \neq } 0 )
及 A \left( x _ { 1 } , 0 \right) , B \left( x _ { 2 } , 0 \right) -4つ0,
(の白理き得くキューード20- \biggl \vert x _ { 1 } x _ { 2 } { = } / { 1 } { m } { > } 0 -
(m9或 m { < } 1 , m { \neq } 0 も
m(3-m)20 今0n1.
リつ0Aつ0.r!エエー r! 0
m9 或 m { < } 1 , m { \neq } 0
m3一m)<0. つmつy.
m040,
(3)由題意得 エiエ2ー 一く
(四ン9式加く1,m千0ー川く0 m { < } 0
4: c = 1 \neq 0 旦図象点 ^ { ( 0 , c ) } 車
即 \scriptstyle x = 0 肘 { \scriptstyle * } y = c \neq 0 図象不会登辻原 点

例解（1〕由題意授二次番数解析式 y = a x ^ { 2 } + b x + c ( a \neq 0 ) - c = 5 十-10 \int \limits _ { 0 } ^ { ∞ } = - 4 も_ \scriptstyle { \left| { { a + b + c = 2 } } \right. } 店 - _ c = 5 , ニ次図数解析式 y = x ^ { 2 } - 4 x + 5 . (2)由題意没二次番数解析式丸 y = a \left( x - 1 \right) ^ { 2 } + 1 ( a { \ne } 0 ) ・岡条社点 \left( / { 5 } { 2 } , / { 1 3 } { 4 } \right) \therefore a \left( { / { 5 } { 2 } } - 1 \right) ^ { 2 } + 1 = { / { 1 3 } { 4 } } . と： a = 1 ・ニ次番数解析式 y = ( x - 1 ) ^ { 2 } + 1 印 y = x ^ { 2 } - 2 x + 2 ま(3)由題意及二次番数解析式- \begin{array} { l } { { y = a \left( x - 2 \right) \left( x + \displaystyle / { 1 } { 2 } \right) \left( a \neq 0 \right) , } } \\ { { \displaystyle \because \mid \Re \ncong a \left( x + \displaystyle / { 1 } { 2 } \right) \left( 0 , 2 \right) , \bigwedge _ { a } \left( 0 - 2 \right) \left( 0 + \displaystyle / { 1 } { 2 } \right) = } } \\ { { . } } \end{array} \scriptstyle a = - 2 -： = 次番数解析式 y = - \ 2 \ ( { \boldsymbol { \mathscr { x } } } - 2 ) 目\left( x + { / { 1 } { 2 } } \right) ュ即 y = - 2 x ^ { 2 } + 3 x + 2 .

例解 y = - 2 x ^ { 2 } - 4 x + 7 的対称軸 x = - 1 a = - 2 < 0 千日向下. )当 - 3 { <=slant } x { <=slant } - 2 肘 { } _ { * y } 陣 \scriptstyle { { x } } 的増大両増大 :当r--3町ym-1. 前 \scriptstyle x = - 2 財 { { y } _ { \operatorname* { m a x } } } = 7 2：一1満足 - 3 { <=slant } x { <=slant } 0 ・当 x = - 1 肘 Jmi-g. 又 0 { - } ( - 1 ) { < } { - } 1 { - } ( - 3 ) , .当エ--3時y1. 3：一1満足- * 3 { <=slant } { x } { <=slant } 3 山 当 x = - 1 財 { \boldsymbol { y } } _ { { m a x } } = 9 ロ 中 * _ { 3 - ( - 1 ) > - 1 - ( - 3 ) } 出 当 \scriptstyle x = 3 財 y _ { { m i n } } = - 2 3 4：当 0 { <=slant } x { <=slant } 3 町 _ y 随 x 的増大両城小・ 当 \scriptstyle x = 0 財 y _ { { m a x } } = 7 酒 \scriptstyle x = 3 財 y _ { \operatorname* { m i n } } = - 2 3

荷接桧訶!

1.C 寸度岡教的解祈式 y = [ \left( x + 1 \right) - 2 ] ^ { 2 } + 3 = ( x - 1 ) ^ { 2 } + 3 故逸
2ć [ { A } , y _ { 1 } 陣 _ x 前増大両増大故項A正禰:B,由図象可知一次留教 y _ { 1 } = a x + b ( a \neq 0 ) 的図象与 _ y 軸的交点在 y _ { 2 } = m x + n \left( m \neq 0 \right) 前図篆与 _ y 軸的交点前下方印 b { < } n 山散項B正彌：C,由図象可知当 x { < } 2 町 _ { \boldsymbol { y } _ { 1 } < _ { \boldsymbol { y } _ { 2 } } } 散逸項ć借燥：D由図象可知,西条真的交点(2,3)故美千 x , y 的方程塑 Yェーシニーり前解カ(三3:逸項D正預・散途C

3BL由象知甲西キ行 \mathbf { \Psi } _ { m } 百公里財甲毛油 4 0 - 2 4 = 1 6 \left( { L } \right) 毛油 4 0 - 2 0 = 20(じ)由題意得 2016-20番途B1

4/A「桜ニ次留数 y = a \left( x - { / { 1 } { 2 } } \right) ^ { 2 } ゴ \scriptstyle x = 2 五 _ { , y = 1 } 野 1 { = } / { 9 } { 4 } a ・ a = { / { 4 } { 9 } } , y = { / { 4 } { 9 } } \left( x - { / { 1 } { 2 } } \right) ^ { 2 } = { / { 4 } { 9 } } x ^ { 2 } - { / { 4 } { 9 } } x + - / { 1 } { 9 } 散通人丁

5．R - [ y = - x ^ { 2 } + 2 x + 3 = - ( x - 1 ) ^ { 2 } + 4 , -当 x { >=slant } 2 財 , x - 1 >= 1 , y <= 3 散R一ナナナーーで
6.一12一2由題意\left\{ - { / { 1 } { 2 } } x { / { 1 } { 3 } } = { / { 2 } { a } } \right. \begin{array} { c } { { \{ a = - 1 2 , } } \\ { { { b = - 2 . } } } \end{array} -
- \scriptstyle * y = x ^ { 2 } - 4 x 或 y = x ^ { 2 } - 4 x + 3 -\scriptstyle { c ^ { 2 } + b c + c = 0 } 「古題をパーテーシy = x ^ { 2 } - 4 x 付成 y = x ^ { 2 } - 4 x + 3 . ] -

: ② { 3 } { 4 } 番教図象是中心寸秩図形不是軸寸秤図形 ① 黌俣 ② 正禰：当 \scriptstyle x > 0 町留数有最小慎 ③ 正禰 _ { ; x } = 1 財 \scriptstyle y = 4 所以点(14)在図数図象上 ④ 正禰当 x { < } 0 財 \scriptstyle { y < 0 , { 5 } } 借所以20の正硝丁

解図数 y = a ( x - 1 ) ^ { 2 } + b 的対称軸 x = 1,× a { > } 0 中'当 _ { x >=slant 1 } 財随 x 増大 _ y 七増土ヌ \dot { x } _ { 2 } = 2 t ^ { 2 } + 3 > t ^ { 2 } + 2 = x _ { 1 } >= 1 , \dot { \bar { \star } } , y _ { 2 } > y _ { 1 } ,

10解（1)図象祭辻 \mathbf { δ A } ( 2 , 4 ) 中' \scriptstyle 4 = 4 a + 2 b + c 出又国条的対称軸村 x = { / { 1 } { 2 } } \not \equiv - { / { b } { 2 a } } = { / { 1 } { 2 } } も： \left\{ { \begin{array} { l } { b = - a , } \\ { c = 4 - 2 a } \end{array} } \right. 番数 \scriptstyle y = a x ^ { 2 } - a x + 4 - 2 a ま\mathbf { \Phi } _ { f } x _ { 1 } + x _ { 2 } = 1 イューーク+ミー(ナエパー2 x _ { 1 } x _ { 2 } = 1 - 2 x { / { 4 - 2 a } { a } } = 1 3 , \therefore a = - 1 . 此二次番教的解析式力 y = - x ^ { 2 } + x + 6 (2)由(1)丁知 . B ( - 2 , 0 ) , C ( 3 , 0 ) 又「A2,4 \triangle A B C 与 \triangle B D C 有相同的底辻BC.当 S _ { \triangle A B C } = 2 S _ { \triangle B D C } 臣 D 点的坐称丸？(因点 D 在 _ x 軸上方\therefore 2 = - x ^ { 2 } + x + 6 , x { = } / { 1 { ± } sqrt { 1 7 } } { 2 } , 存在蕭足条件的点 D 其坐丸\left( / { 1 ± sqrt { 1 7 } } { 2 } , 2 \right) ま

第一章 集合与常用揖用語

11 集合的概念

第一裸肘 集合的概念

新知 珣任芻単

-,1. A郡 対象

点体
3禰定性 无序性
4一祥的
は a \in A аEA
・NzoR
1メ提示 毛去硝定近仏値包括事値
2 . \surd
3 . x 提示当 a = 1 五 / { 1 } { a } = 1 \in \mathbf { N } .
4 * \surd
5 . x 提示 合有三不元兼1テナ

題型 研活劫単

例1解（1対任意一不案数能判断出是不是“不超辻20前非負数所以能杓成集合：2)能杓成集合方程只有西不央根：和一：:(3"高科技"毛明硝的転惟寸子一介正品是不是高科技声品毛法容咒判断困此不能杓成一不集合:4万的近似値”不明硝精硝到什程度困此根雅判断一不教如\*α”是不是官的近倶値・所以不能杓成集合:

川芽TAD LAD能杓成集合ニ者有預定的判断准。A中元泰是\*到原点的電萬等1的点”D中元幸是“葉桂高一年飯曲弖以下的学生BC項的寸象不能杓成集合・困“雅題”与“著名”准不明禰コ
例？（10（21[1依題意 a = 1 或 a = a ^ { 2 } 中当 a = 1 肘 { { } } * a ^ { 2 } = 1 . 与集合中元泰的互昇性矛盾:所以 a \neq 1 困北 \scriptstyle a = a ^ { 2 } 中所以 a = 0 或 a = 1 ( 舎去）赤上可知・実教 = 0 中2由 A = B 的意文及 a \neq 0 物 a + b = 0 官 / { b } { a } = - 1 も因比 b = 1 所以 \scriptstyle a = - 1 中故 a + 2 b = 1 . ]
川？ ( 1 ) - / { 1 } { 2 } 式1 (21(1)依題意 2 a + 1 { = } 0 或 a ^ { 2 } - 1 = 0 店鮮得 a = - { / { 1 } { 2 } } 喜 a = ± 1 き前 a = - { / { 1 } { 2 } } 財 a ^ { 2 } - 1 = - / { 3 } { 4 } 符令題意：当 a = 1 肘 2 a + 1 = 3 存合題意：当 a = - 1 肘 * 2 a + 1 = - 1 不満足元黍的互身性・舍去.株上・笑教 \scriptstyle a 的値丸 - { / { 1 } { 2 } } 式1(2由E知可得 a \neq 0 困西集合相等又 1 \neq 0 所以 / { b } { a } = 0 所以 b = 0 所以 a ^ { 2 } = 1 即 a = ± 1 中又当 a = 1 肘集合 A 不満足集合中元黍的互昇性舎去所以 a = - 1 , 所以 a ^ { 2 { { ~ 0 2 6 } } } + b ^ { 2 { { ~ 0 2 6 } } } = 1
例： (IBD 20é \in 2e éL(1) \overline { { 5 } } > 1 散A借猩: - 2 { < } 0 { < } 1 改B正魂;- 1 \notin M 故C黌: - 2 { < } - / { π } { 2 } { < } 1 畝D正禰( 2 ) \mathbb { \Phi } ^ { \bullet \bullet } 2 { sqrt { 3 } } = { sqrt { 1 2 } } > { sqrt { 1 1 } } , \therefore 2 { sqrt { 3 } } \notin B . 1 \therefore ( 1 + sqrt { 2 } ) ^ { 2 } = 3 + 2 sqrt { 2 } < 3 + 2 x 4 = 1 1 , \therefore 1 + { sqrt { 2 } } < { sqrt { 1 1 } } , \therefore 1 + { sqrt { 2 } } \in B . -{ 2 } \because n \in \mathbf { N } ^ { * } , \therefore n ^ { 2 } + 1 \neq 3 , \therefore 3 \notin 0 .当 \scriptstyle n = 2 町 x = n ^ { 2 } + 1 = 5 { 5 } { \in } C . ]
川芽：DA - ( 2 ) - 4 { < a <=slant } - 2 -L1当 a = 0 肘 { \bf \nabla } _ { * a } \in { \bf N } 旦一 \mathbf { \Psi } _ { \mathfrak { a } } \in \mathbf { N } . 却A不正硝.星黙辻項B,C,D正禰.2困カ 1 \notin A , 2 \in A 所以12メ1丁8く0創一4<aく一2-コロ

随堂演

L．ACLA.C中的元黍具番禰定性．可以杓成集合.A.C正禰.R中高一(1)斑鞍畔的同学不具有彌定性不能杓成集合R黌泯D中前元泰能杓成集合,D黌渠コ

2BT由干 { sqrt { 1 9 } } < { sqrt { 2 0 } } = 2 { sqrt { 5 } } 所以 a \notin M . ] 3：方程 x ^ { 2 } - 1 { = } 0 的実根 ^ { - 1 , 1 } 中方程 x ^ { 2 } - x = 0 的案根ヵ0．由千集合中的泰具有互昇性散集合中的元黍一1,0,1共 3 不]

行新 \scriptstyle { \left\{ \begin{array} { l l } { a ^ { 2 } = 0 , } \\ { a - 1 = - 1 } \end{array} \right. } A = B 日 a ^ { 2 } >=slant 0 a = 0 . ]

第二裸財 集合的表示

新知 璵任芻単

1一一列挙 花括号\* 1円
N \{ x { \in } A \vert P ( x ) \} -
二1 x 提示 \scriptstyle x = 0 或2
2 . x 提示 \{ ( x , y ) | x y { < } 0 , x { \in } \mathbf { R } , y { \in } \mathbf { R } \} ,
3「 5

題型 研活劫単

例1解（1不大千0的非免信教有о,2468,10,所以A-70:2.4.6.8.10.2小子8前腐数有2,357:所以 B = \{ 2 , 3 , 5 , 7 \} キ(3)方種 2 x ^ { 2 } - x - 3 = 0 的奏教根カー1 / { 3 } { 2 } 時所以 C = \left\{ - 1 , / { 3 } { 2 } \right\} \left\{ { \begin{array} { l } { y = x + 3 , } \\ { y = - 2 x + 6 } \end{array} } \right. \scriptstyle ( x = 1 y = 4 . _ { y = x + 3 } y = - 2 x + 6 的交点刃(1,4):所以 D = \{ { ( 1 , 4 ) } \}
刑芽1解（I)四カホ2旦小子 8 前整数包話3:4:5:6:7.所以 A = \{ 3 , 4 , 5 , 6 , 7 \} 中2困方程 ( x - 1 ) ^ { 2 } ( x - 2 ) = 0 的解 ^ { 1 } 或2所以集合 B = \left\{ 1 , 2 \right\} 中3)箸 \scriptstyle x = 0 代人入 y = 3 x + 1 得 _ y = 1 中所以西宣授的交点ヵ(01故 C = \{ ( 0 , 1 ) \} 中
例？解（D没代表元黍刃 x 則 x 清足 2 x - 3 < 1 中則 A = \{ x \ : | 2 x - 3 < 1 \} 即 A = \{ x \vert x < 2 \} ロ2没被：除余2的教力 _ x \scriptstyle x = 3 n + 2 中但元幸ヵ正整蜀散 x = 3 n + 2 , n \in \mathbf { N } 中所以集合 B { = } \{ x \vert x { = } 3 n { + } 2 , n { \in } \mathbf { N } \} 中(3平面真角坐荼中第二象限内的点的横坐負・凱坐正印 x { < } 0 , y { > } 0 故第二象限内的点塑成的集合 C = \{ ( x , y ) | x { < } 0 , y { > } 0 \}
I銑?(DACD ( 2 ) \{ ( x , y ) | - 1 { <=slant x } { <=slant } 3 , 0 { <=slant } y { <=slant } 3 \} 言LDB中, \{ x \mid x < 1 0 \} 表示“小王10的実数”“小10的整教”杓成的集合表示 \{ x \vert x < 10,耳 { \boldsymbol { x } } \in { \mathbf { Z } } ⟩ 其余的全正禰2没集合 B 中的代表元兼是 ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { y } ) 中由題意 - 1 { <=slant } x { <=slant } 3 耳 0 { <=slant } y { <=slant } 3 因此所求集合 B { = } \{ ( x , y ) | { - } 1 { <=slant } x { <=slant } 3 中0 { <=slant } y { <=slant } 3 \} ı
別：解（1当 \scriptstyle a = 0 財原方程交丸 2 x + 1 = 0 中北財ェ-- x = - { / { 1 } { 2 } } 一一待合題意：当 a \ne 0 町方程 a x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 0 カー元ニ次方程当 \Delta { = } 4 { - } 4 a { = } 0 印 a = 1 町原方程的解 x 一1待合題意.故当 A 中只有一不元黍財 { } _ { , a } 的値或1(2A中至多有一不元黍印 A 中有一不元黍或没有元黍。当 A 中只有一不元泰財由(1丁知 a = 0 或a = 1 . --当 A 中授有元泰財 \scriptstyle λ = 4 - 4 a < 0 旦 \scriptstyle a \neq 0 印a > 1 . -五当 A 中至多有一不元黍町 , a 的頭値芭国力\{ a | a = 0 或 \scriptstyle a >=slant 1 \} ：( 3 ) \because A = \{ 1 \} , \therefore 1 \in A 中 a + 2 + 1 = 0 印 a = - 3 又当 a = - 3 肘由 - 3 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 0 中\scriptstyle x = - { / { 1 } { 3 } } 朝 x = 1 即方程 a x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 0 有西不根 - / { 1 } { 3 } \# \Re 1 中
此時 A { = } \left\{ { - } / { 1 } { 3 } { , } 1 \right\} A = \{ 1 \} 矛盾。改不存在実数 \scriptstyle { a } 使 A = \{ 1 \} 中

川芽33或4T由方程 ( x - 1 ) ( x ^ { 2 } - 4 x + a ) = 0 解得 \scriptstyle x = 1 或 x ^ { 2 } - 4 x + a = 0 も当 x ^ { 2 } - 4 x + a = 0 存在西不相等的実教根財= ( - 4 ) ^ { 2 } - 4 x 1 x a = 0 解得 a = 4 此財方程 x ^ { 2 } - 4 x + 4 = 0 的解 _ { x = 2 \neq 1 } 符合題意：当 x ^ { 2 } - 4 x + a = 0 存在西不不相等前実数根目其中一不根 1 財 1 ^ { 2 } - 4 x 1 + a = 0 -解得 a = 3 此町 \Delta { = } ( - 4 ) ^ { 2 } - 4 { x } 1 { x } 3 { = } 4 > 0 , 方程易一不解 \scriptstyle x = 3 符合題意

赤上所迷当 a = 3 或 \phantom { - } 4 肘集合 A 中俗好有西不元泰コ

随堂演捺

．ć \{ x \vert - 3 <=slant x <=slant 3 耳 { \boldsymbol { x } } \in \mathbf { N } \} = \{ 0 , 1 , 2 , 3 \} .
2.BCLA中\*О”不能表示集合,両\* \{ 0 \} ”可以表示集合・散A昔堤根据集合中黍的毛性可却R正琲根据集台中元黍的互昇性可却L正預D不能用列番法表示原困是集合中有毛教不元泰不能一一列孝司
3:1(0,8,1,7,(2,4
4 \{ k \mid k < 1 旦 k \neq 0 \} T由題意方程 k x ^ { 2 } - 8 x + 1 6 = 0 有西不不相等実根故 k \neq 0 旦 \Delta { = } 6 4 { - } 6 4 k { > } 0 中故 k { < } 1 旦 k \neq 0 . ]

1,2 集合間的基本美系

新知 孤コ任単

-,1. { { V e n n } }

2任意一不 \subseteq -
3. x \notin A - A写B
「 \scriptstyle * A = B
5不含任何元奈　子集
二1 x 提示 西集合可相等
2 \surd 3 \surd -
- . x - 提示 当 A = { D } 財,B可8.5. \surd

題型 研活動単

例解 (: B { = } \{ x \mid ( x { - } 1 ) ( x { - } 2 ) { = } 0 \} \boldsymbol { \mathbf { \ell } } = \left\{ 1 , 2 \right\} 中 ..AB. (2)A,R爾不集合都表方形杓成的集合 故4 \scriptstyle = B 中 3)集合 M 与集合 N 都表正奇教望成的集 合,但由千 \boldsymbol { n } \in \mathbf { N } ^ { * } 所以 1 \in M 耳 1 \notin N 故 N { \subseteq } M ( 4 ) A = \{ x | 1 < x < 6 \} , B = \{ x | x - 1 < 8 \} , 即葉合 B { = } \{ x \vert x { < } 9 \} 用勢軸表集合 A , B 山 如図所示由図可知 A \subseteq B 中

川解 (1)集合 B { = } \{ x \vert x { < } 5 \} 用教軸表示集合 ^ { A , B } 図所示由図可知 A \subseteq B 中

2正方形号特珠的題形・献 A \subseteq B (3集合 A 的代表元黍是蜀・集合 B 的代表元黍是有序宍教対・故 A 与 B 之同毛包含芙承.

例？解由 ( x ^ { 2 } - 1 6 ) ( x ^ { 2 } + 5 x + 4 ) = 0 , 得 \scriptstyle x = - 4 或 \scriptstyle x = - 1 或 \scriptstyle x = 4 店因此集合 A = \{ - 4 , - 1 , 4 \} ・所以集合 A 的子集 x 中 \{ - 4 \} , \{ - 1 \} , 4;\{ - 4 , - 1 \} 町 \{ - 4 , 4 \} \{ - 1 , 4 \} 和 \{ - 4 , - 1 , 4 \} 円集合 A 的真子集 { D } 町 \{ - 4 \} , \{ - 1 \} , \{ 4 \} 中\{ - 4 , - 1 \} 11-44 \{ - 1 , 4 \}
刑禁？（1)D（2)7I()満足条什的集合 A 岡以是 \left\{ 1 \right\} , \left\{ 3 \right\} , \left\{ 1 , 2 \right\} , \left\{ 1 , 3 \right\} , \left\{ 2 , 3 \right\} 共有5不(2)由題意丁以禰定集合 M 舎有元泰1,2旦舎有元黍：45中的至少一不・国北依据菓合M 前元泰不教分英如下含有三イ元黍：12.計.12412引：舎有回千元黍:1:2341,23引1:2:4引:舎有五不元黍：123生品.散満足題意的集合 M 共有7不コ

例：解当 B = { O } 財,由 m + 1 > 2 m - 1 得 m { < } 2 当 B \neq { A } 財,如図所示.

n十1シ一2. _ { c } m + 1 > - 2 : 2m-15, 或 2-15,_ 2 m - 1 >= m + 1 - 12m--12m+1,解迅西不不等式墾・得 2 { <=slant } m { <=slant } 3 奈上可得 , m 的取弛国是 \{ m \vert m { <=slant } 3 \} 川捺：解 A = \{ x | x ^ { 2 } + x - 6 = 0 \} = \{ - 3 , 2 \} 若 B = { O } 則 m { = } 0 此財 B \subsetneq A ：当B+8時,北時B-1--ト- \sharp B \subsetneq A , \ M - 3 = - / { 1 } { m } \sharp \neq 2 = - / { 1 } { m } , 解得 \scriptstyle { m = { / { 1 } { 3 } } } 喜 m { = } - / { 1 } { 2 } ま株上所誌 \mathbf { \nabla } _ { * } m 的耶値集合 M = \left\{ - / { 1 } { 2 } , / { 1 } { 3 } , 0 \right\}

随堂演

I.ADLA度是 \{ 1 \} \subseteq \{ 0 , 1 , 2 \} 対B．集A中的元黍有毛性・故B正禰・寸任何集合都是本身的子集・故 \{ 0 , 1 , 2 \} \subseteq \{ 1 , 0 , 2 \} 散C正魂D度是8二0丁

2ć L由致軸知BA.

3. ala多6 F.A-rli<ェト6Bーエトェー -由 A \subseteq B 造合数軸可知 a { >=slant } 6 . ] -
4 \{ - 1 , 0 \} \{ - 1 , 0 \} 由 x ^ { 2 } + x = 0 得 x = 0 求x = - 1 町故 A = \{ - 1 , 0 \} ロ由千 \{ 0 \} { { G } } B { \subseteq } A 知 B { = } \{ { - } 1 , 0 \} . ]

1.3 集合的基本転算

第一裸財 并集和交集

新知・珣任単

.I.AUB \{ x \vert x \in A 或 \vert x \in B ⟩
2.IBUAA (2)B二A
3.旦AnB \{ x \vert x \in A 旦 { \boldsymbol { x } } \in B \}
I.DBnAg - \left( 2 \right) \subseteq
-1. x - 提示 A \cap B = { O } 表示 A 与 B 毛共同元茶
.I3. \surd 4「
5. x - 提示 当 B { \subseteq } A 肝,AU B { = } A 与 A 中元茶一祥多

題型・研活功単

例1 (10--1,0,1,3,4,5,62 \{ x \vert x < - 5 或 \mathbf { \sigma } _ { x } > - 3 \} \stackrel { - } { _ { - } } ( 1 ) \stackrel { \bullet * } { A } = \left\{ - 1 , 1 , 3 , 5 \right\} , B = \left\{ 0 , 1 , 3 , 4 , 6 \right\} , ..AUB \ c = --1,0,1,3,4,5,6.2)在教軸上表示出集合 M , N 如岡所示肌 M \cup N { = } \{ x | x { < } { - } 5 或 x { > } { - } 3 ) . _ { - } ^ { - }

川禁1 1A (2D L(由 B { = } \{ x \vert 3 x { - } 7 { >=slant } 8 { - } 2 x \} = \{ x \vert x >=slant 3 \} 得 A \cup B { = } \{ x \vert x { >=slant } 2 \} ( 2 ) \{ - 1 , 0 , 1 \} \bigcup \{ 0 , 2 , 3 \} = \{ - 1 , 0 , 1 , 2 , 3 \} 散D存合題意コ

例？1A 2DC1)在数軸上集合A , B 表示出茶図所示・由交集的定文可得 A \cap B 図中明影部分印 A \cap B = \{ x \mid - 3 < x < 2 \} ( 2 ) M { = } \{ x | { - } 2 { <=slant } x { < } 2 \} , N { = } \{ 0 , 1 , 2 \} 刃 M \cap N = \{ 0 , 1 \} . ] 言
山l捺2DA（2CL(1)易知 A = \left\{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 1 0 \right\} , -B = \{ - 3 , 2 \} 図中明影部分表示的集合ヵA印B = \left. 2 \right. 2)由(ナニ3得(第ニ?」Tエーy-1,サty-1,故 A \cap B = \{ ( 2 , 1 ) \} . 」

例：解 ()因丸 A - B = B 所以 A \subseteq B 画出 数軸(如図)

咒永教軸可知 \displaystyle { \binom { 2 >= a } { 4 <= 3 a } } 中
所以 / { 4 } { 3 } <=slant a <=slant 2 .
竪桧幕点可却符合題意・散 a 的取値芭田
- \left\{ a \biggm | / { 4 } { 3 } <=slant a <=slant 2 \right\} ま

(2画出教軸珈困, A \cap B = \{ x \mid 3 < x < 4 \} .

逸条田形可知1末3 ふ a = 3 .
3由子 A \cap B = { O } 合教軸(図酪得 a >=slant 4
或 3 a <=slant 2
又国丸 a { > } 0 所以 a { >=slant } 4 朝 0 { < } a { <=slant } / { 2 } { 3 } も
改実数 a 前耶値弛園是
ala>/ 0 { < } a { <=slant } / { 2 } { 3 } \}

川芽3 (ç 2 \{ t \mid t { <=slant } 2 \} (1)利用数軸,若 A \cup B { = } \mathbf { R } . 則 a <=slant - 1

2由 M \cap N = N 得 N二M.
鼓当 N = { O } 品 2 t + 1 { <=slant } 2 - t , t { <=slant } / { 1 } { 3 } \sharp \int \displaylimits _ { 0 } ^ { } \ d *
M \cap N = N 成立_ { I } 2 - t < 2 t + 1 中
当 N \neq { O } 財由図得 \int \limits _ { a } ^ { - ∞ } 2 t + 1 <=slant 5 ト\scriptstyle \left\lfloor 2 - t >= - 2 \right\rfloor
毎神 / { 1 } { 3 } < t <=slant 2 .
禁上可知・所才実獣 \mathbf { \chi } _ { t } 的取慎芭風 \{ t | t <=slant 2 \} .

随堂演

1D - A \cup B { = } \{ 1 , 2 , 4 , 6 \} . ト
2.A 口集合 A = \{ - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 \} 中B = \left\{ x \vert 0 { <=slant } x { < } { / { 5 } { 2 } } \right\} , { \therefore } A \cap B { = } \{ 0 , 1 , 2 \} . \operatorname { ] } -
：4 L由1,3し \vert A = \{ 1 , 3 , 5 \} 知 A \subseteq \{ 1 , 3 , 5 \} 耳A 中一定有元黍5此集合 A 丁以号品1,5,3,5,1,3,5.]
0或4T由 A \cup B { = } A 丁得 B { \subseteq } A 若 { sqrt { m } } = 2 則 m = 4 , B = \left\{ 1 , 2 \right\} , A = \left\{ 1 , 2 , 4 \right\} h成立若 { sqrt { m } } = m \scriptstyle m = 0 或 m = 1 中当 m { = } 0 町成立：当 m = 1 町 , A = \left\{ 1 , 2 , 1 \right\} , B = \left\{ 1 , 1 \right\} 不満足元条的互昇性舎去奈上 \scriptstyle * m = 0 或4

第二裸肘 社集及宗合度用

新知・預任単

-,1. 所有元泰

2不厨手 \complement _ { U } A - \{ x \vert x \in U EエeA
3.(DA U ( 2 ) { D }
二1 \surd
2 . x - 提示 全集的社集是空集
3. \surd -
4 . x 提示 未勢出全集・故不覇定
5「

題型 研活劫単

例1DA 2Å(1)国 U = \{ 2 , 3 , 5 , 7 \} 所以 \complement _ { U } A = \{ 5 , 7 \} 王2如図,在勢軸上表示出集合 M 可知 \complement _ { U } M = \{ x \mid - 2 <=slant x <=slant 2 \} . ] ョョ

川芽1 (10,1,5,6 10,2,3,4 2 \{ x \vert x < 1或 \scriptstyle 1 <=slant x <=slant 2 \} \{ x \mid - 4 { <=slant } x { < } - 1 或 x = 1 1 LTT)根据題意可知 , U = \{ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 所以 \complement _ { U } A = \{ 0 , 1 , 5 , 6 \} \complement _ { U } B = \{ 0 , 2 , 3 , 4 \} 中

2当 U = \{ x \mid x <=slant 2 \} 肘把 で
集合 U 和 A 表在教軸
上図所示
由図知 \complement _ { U } A = \{ x \mid x < - 1 或 1 { <=slant } x { <=slant } 2 \}
和吉 U { = } \{ x \vert { - } 4 { <=slant } x { <=slant } U 4
表示在数軸上・如図
所示:
由図知 \complement _ { U } A = \{ x \mid - 4 <=slant x < - 1 或 \scriptstyle x = 1 ]
例？ (1B (2D L(1: \complement _ { U } A = \{ 3 , 5 , 8 \}
： \complement _ { U } A ) \bigcap B = \{ 5 , 8 \}
( 2 ) A \cup B = \{ x | x <=slant 0 或 _ { x >=slant 1 ⟩ }
即 \complement _ { U } ( A \cup B ) = \{ x \mid 0 { < } x { < } 1 \} . ～
川捺2(1C (2 \scriptstyle \{ x \mid x <=slant - 2 或 2 { < } _ { x } { <=slant } 4 3
\{ x \vert x { <=slant } 2 戎 3 { <=slant } x { <=slant } 4 ) - L(1因丸 U = \{ x \in \mathbf { Z } |
- 3 < x < 3 \} = \left\{ - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 \right\} , A = \left\{ - 2 , 1 \right\} -
所以 \complement _ { U } A = \{ - 1 , 0 , 2 \}
所以( \complement _ { U } A ) \cup B = \{ - 2 , - 1 , 0 , 2 \} . -
(2)利用数軸分別表示出全集 U 及集合A．R
珈圏

肌 \complement _ { U } A = \{ x \mid x <=slant - 2 或 3 { <=slant } x { <=slant } 4 \} 車又 A \cap B = \{ x \mid - 2 < x <=slant 2 \} 所以 \complement _ { U } ( A \cap B ) = \{ x | x <=slant - 2 式 2 { < x <=slant } 4 ) ー \complement _ { U } A ) \cup B = \{ x \mid x <=slant 2 或 3 { <=slant } x { <=slant } 4 ) . = _例3解（1法一易知 A = \{ x | x >=slant - m \} 故 \complement _ { U } A = \{ x \mid x < - m \} 又 B { = } \{ x \vert { - } 2 { < } x { < } 4 \} 耳 \complement _ { U } A ) \cap B = \emptyset 所以一 m { <=slant } { - } 2 則 m >=slant 2 散実教 \mathbf { \Sigma } _ { m } 的耶値園号 \{ m \ : | m >=slant 2 \} ：法二由子 \complement _ { U } A ) \cap B = \emptyset 知 B { \subseteq } A 道又 B { = } \left\{ x \mid { - } 2 { < x < 4 } \right\} , A { = } \left\{ x \mid x { >=slant } { - m } \right\} 所以一 m <=slant - 2 則 m >= 2 散実数 \mathbf { \Omega } _ { m } 的取値芭風是 \{ m \ : | \boldsymbol { m } >=slant 2 \} 中2 \because ( \complement _ { U } A ) \cap B \neq \emptyset 中' - m > - 2 則 m { < } 2 国此実数 m 的取値弛国是 \{ m \ : | m { < } 2 \} 中3 \complement _ { U } B = \{ x \mid x <=slant - 2 或 \scriptstyle x >=slant 4 \} ：又 \complement _ { U } B ) \cup A = \mathbf { R } 所以 - m <=slant - 2 解得 m >=slant 2 故 \mathbf { \Sigma } _ { m } 的取値弛国 \{ m \vert m >=slant 2 \}

随堂演

川：解 (1困カ A = \{ x \vert x <=slant - 2 或 \scriptstyle x >=slant 3 \} 所以 \complement _ { U } A = \{ x \mid - 2 < x < 3 \} 中四丸 \complement _ { U } A ) \cap B = B 所以 B \subseteq ( \complement _ { U } A ) 当 B = { O } 財印 2 m + 1 >= m + 7 中所以 m >=slant 6 蒲足( \complement _ { U } A ) \bigcap B = B ま2 m + 1 < m + 7 当 B \neq 8財需蕭足 \scriptstyle ! 2 m + 1 >=slant - 2 毛解_ m + 7 <=slant 3 散実数 \mathbf { \Sigma } _ { m } 前取値風是 \{ m \ : | m >=slant 6 \} 中2因( \complement _ { U } A ) \cup B = B 中所以( \complement _ { U } A ) \subseteq B _ { l } 2 m + 1 { < } m + 7 ロ所以 \scriptstyle \summ + 1 <=slant - 2 m + 7 >= 3 は
解得一4大ルイータ散実数 \mathbf { \Psi } _ { m } 前取値田丸\left\{ m \Big | - 4 <=slant m <=slant - / { 3 } { 2 } \right\} . -
1A 由題意知 M = \left\{ 2 , 4 , 5 \right\} 散逸A
2CD 集合 P 中 1 \notin Q 改A黌泯P \cap Q = \{ 2 , 3 \} 敢B黌渠．C正禰\complement _ { \mathbb { R } } Q = \{ x \mid x { < } 2 或ェつ; \dag , ( \int _ { \mathbb { R } } Q ) \cap P = \{ 1 \} リ散D正禰丁
32T困丸 \complement _ { U } A = \{ x \mid x < 1 或 \scriptstyle x >=slant 2 ⟩ 所以 A = \{ x \mid 1 { <=slant } x { < } 2 \} 所以 b { = } 2 . ]
4 \{ a | a <=slant 1 \} T因 A = \{ x \vert x > 1 \} B { = } \{ x \vert x { > } a \} ：所以 \complement _ { U } A = \{ x \mid x <=slant 1 \} と由( \complement _ { U } A ) \cup B = \mathbf { R } 可知 a <=slant 1 . ] -

14 充分条件与必要糸件1,4,1 充分糸件与要条件

新知・璵任単
一1.(1真假 麻迷句 2真 假
2p「
3 \Rightarrow \ \Rightarrow 充分 必要 充分

二1 2 3

4 . x 提示 位ヵ充分荼伴
5. \surd
6 . x 提示 \boldsymbol { \mathbf { \ell } } _ { P } 不一例如 \scriptstyle * x = 1 或 x = - 1 都可得到 | { \boldsymbol { x } } | = 1 ま

題型 研活劫単

例解 (1偃命題.例 \scriptstyle 1 \neq 4 , 5 \neq 2 面 1 + 5 = 4 + 2 . -(2假命題反例当 \scriptstyle x = 0 肘 \scriptstyle x ^ { 3 } > x ^ { 2 } 不成立.(3真命題 * _ { m > 1 \Rightarrow \Delta = 4 - 4 m < 0 } 中方程 x ^ { 2 } - 2 x + m = 0 毛実教根(4偃命題国ヵ不共歩的三点硝定一不国印任何三角形都有外接園

川筇1解在命題(1D4中・由条件 \boldsymbol { \mathscr { p } } 通辻推理丁以幕出詰站 q 所以官仰是真命題.寸子(2\triangle A B C 各逸力 3 , 4 , 5 , \triangle D E F 各逆444周相等・但不全等対千(3)方程解或：所以在令題(23)中・由糸件 \boldsymbol { \mathbf { \ell } } _ { P } 不能得出結船 q 所以亡仰是假命題。

刑捺？解（1)由千 q { \Rightarrow } p , p { \Rightarrow } q 故 \boldsymbol { \mathscr { p } } 是 q 的鬘条件 * q 是 \boldsymbol { \mathbf { \rho } } _ { p } 的充分条件2由千 p { \Rightarrow } q , q { \Rightarrow } p 故 \boldsymbol { \mathbf { \mathit { \Pi } } } _ { P } 是 q 的充分条件 q 是 \boldsymbol { \mathbf { \ell } } _ { P } 的要条伴。
例：解由E却 * _ { x } \in P ”的充分荼件ヵ” x \in \scriptstyle Q ^ { \prime \prime } 即 x \in Q { \Rightarrow } x \in P 〔 Q 是 P 前子集:当 3 m - 2 > 5 m + 2 , 即 m { < } { - } 2 財 Q = { { O } } 満足題意当 3 m - 2 <=slant 5 m + 2 即 m >=slant - 2 町由題意得久イ2得0く川くー崇上 \mathbf { \nabla } _ { * } m 前取値国是\left\{ m \bigg \vert m < - 2 \sharp \sharp _ { * } 0 < m < / { 2 } { 5 } \right\} .
川3解 { \boldsymbol { x } } \in P ”是 x \in Q ”的要条伴,即 x \in Q { \Rightarrow } x \in P 中所以 Q { \stackrel { style \subset } { = } } P
所 \{ { a - 4 <=slant 1 } \hfill \{ { a - 4 \neq 3 } \kern - \nulldelimiterspace ももニー1,新以ー1<aく5故実数 a 的取値范風 \{ a \mid - 1 { <=slant } a { <=slant } 5 \} ：

例2解（T・函不三角形相や蘭不三角形全等・但西不三角形全等 \Rightarrow 西不三角形相似・： \boldsymbol { \mathscr { p } } 是 q 的久要条件但不是充分条件(2矩形的対角相等・ \scriptstyle { p \Rightarrow q } 両対角袋相等前四幼形不一定是矩形： q \not \Rightarrow p ' \boldsymbol { \mathbf { \ell } } _ { P } 是 q 的充分糸伴但不是要糸伴.(3 \scriptstyle { p \Rightarrow q } 旦 q { \Rightarrow } p も： \boldsymbol { \mathscr { p } } 既是 q 的充分永伴又是 q 的要永伴4： _ { \phi } { \Rightarrow } q 旦 q \Rightarrow p 中： \boldsymbol { \mathscr { p } } 既不是 q 的充分余件也不号 q 的荼件

随堂演

I.ABL只有 \scriptstyle x > 1 \Rightarrow x > 0 , x > 1 \Rightarrow x > - 1 , 其他透項均不可由 x { > } 1 推出コ
2DL四迅形的対角相等旦平分オ是矩形故A黌四逆形的西塑対逆分別相等平行四逆形散R黌・四形有三不内角都真角オ是矩形散C餝四迅形蘭塑対迅分別平行カ平行四形・剛相弥商角互社又有一塑寸角互社散相西角相等・相雨角和{ 1 8 0 } ^ { \circ } 故相傘勇角均ヵ真創・散夜平行四逸形星矩形散D正а]
円 a { <=slant } 1 T図刃 \scriptstyle { x > 1 \Rightarrow x > a } 所以 a <=slant 1 . ]
4必要充分T由子 \scriptstyle x = 0 \Rightarrow x ^ { 2 } = 2 x 所以“{ \bf \Psi } = 2 x { \bf \Psi } ”号” \scriptstyle x = 0 的要糸件 \scriptstyle { \dot { \boldsymbol { x } } } = 0 号“ x ^ { 2 } = 2 x ”的充分条件コ

142 充要糸件

新知 孤任単

二1 \surd 2 \surd 3 \surd

4 . x 提示 充要糸什5. \surd

晒型 研活劫単

例1解(当 | x | = | y | 町 \scriptstyle * x = ± y \neq x ^ { 3 } = y ^ { 3 } 山但 x ^ { 3 } = y ^ { 3 } \Rightarrow x = y \Rightarrow | x | = | y | 故 \boldsymbol { \mathbf { \mathit { \Pi } } } _ { P } 不是 q 的充要永件 ( \boldsymbol { \mathbf { \rho } } _ { P } 是 q 的以要不充分件.2在人ABC中,大逆対大角,苔 A B { > } A C { } \angle C { > } \angle B -川 p 是 q 的充要茶件(3若 A \subseteq B 則 A \cup B { = } B 中反え若 A \cup B { = } B A \subseteq B 出所以 \boldsymbol { \mathscr { p } } 是 q 的充要永件
例 2 a { <=slant } 9 - 6 { <=slant } a { <=slant } 9 ( 答案不惟一)ョ言ョ [ A \subseteq ( A \cap B ) \Leftrightarrow A \subseteq B , B = \{ x \mid 3 <=slant x <=slant 2 2 \} . 若 A = { O } 2 a + 1 { > } 3 a - 5 解得 a < 6 中28+1>3.若 A \neq { D } ロACB=)3一522, ト6a13a--5>2a+1崇上丁知・A三(AiR)的充余件 a <=slant 9 -不充分不以要荼伴可 6 { <=slant } a { <=slant } 9 . ]

川毎1 1A (21B

I()如図所示・甲是 日的要糸件 Z \Rightarrow 甲.
又・両是乙的充分条件
但不是的以要荼件
丙 \Rightarrow Z 但 { ~ \ } Z \Rightarrow 丙.
崇上有丙 \Rightarrow Z \Rightarrow 甲甲丙即丙是甲的充分余件・恒不是甲的弘余件.
\left( 2 \right) A = \left\{ x \left| x ^ { 2 } + x - 6 = 0 \right. \right\} = \left\{ 2 , - 3 \right\} ,
若 \scriptstyle m = 0 則 B = { O } BGA
若 m = 1 B = \{ 2 \} \subsetneq A ホ
希 m = - / { 2 } { 3 } 巨 B = \{ - 3 \} \subsetneq A き
： B \subseteq A 前一不充分不以要条伴是
m \in \left\{ 0 , - / { 2 } { 3 } \right\} . ]

例：証明 弘性 由 \triangle A B C 等三角形得 \scriptstyle a = b = c ロ所以 a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } = a b + a c + b c . -2充分性由 a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } = a b + a c + b c 得 2 a ^ { 2 } + 2 b ^ { 2 } + 2 c ^ { 2 } = 2 a b + 2 a c + 2 b c 店故 ( a - b ) ^ { 2 } + ( b - c ) ^ { 2 } + ( c - a ) ^ { 2 } = 0 則 a = b = c 所以 \triangle A B C 是等独三角形根揺(1(21却 \triangle A B C 是等逆三角形的充要条什是 a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } = a b + a c + b c 円

川2 征明 ① 充分性如果 b = 0 那ム \scriptstyle y = k x 中当 \scriptstyle x = 0 財 \scriptstyle y = 0 岡教図象社原点:② 要性 y = k x + b ( k \neq 0 ) 前図象辻原点所以当 \scriptstyle x = 0 肘 \scriptstyle y = 0 中得 0 = k * 0 + b ロ所以 b = 0 崇上・一次番数 y = k x + b ( k \neq 0 ) 前図泉辻原点的充要条件是 b = 0 ロ

例4解 - ( 1 ) \_ p : - 2 { <=slant } x { <=slant } 1 0 , q : 1 - m { <=slant } x { <=slant } 1 + m ( m > 0 ) 因 \boldsymbol { \mathscr { p } } 是 q 的典要不充分条伴・所以 q 是 \boldsymbol { \mathscr { p } } 的充分不要条件町 \{ x \mid 1 { - } m { <=slant } x { <=slant } 1 { + } m \} { <=slant } \{ x \mid { - } 2 { <=slant } x { <=slant } 1 0 \} \{ 1 { - } m { >= } - 2 , \atop 1 + m < 1 0 \} β \backslash \left\{ 1 { - } m > - 2 \atop 1 + m { <=slant } 1 0 , \right. 鱗得 m { <=slant } 3 . 又 m { > } 0 も所以実数 \mathbf { \Psi } _ { m } 的取値芭国 \{ m \mid 0 { < } m { <=slant } 3 \} ：言言 ( 2 ) \not { p } : - 2 { <=slant x } { <=slant } 1 0 , q : 1 - m { <=slant x } { <=slant } 1 + m ( m > 0 ) 因カ \boldsymbol { \mathbf { \mathit { \Pi } } } _ { P } 是 q 的充分不以条伴・投 \boldsymbol { \mathbf { \mathit { \Pi } } } _ { P } 代表的集合力 A , q 代表的集合 B 出所以 A \subsetneq B は

\begin{array} { r } { \mathopen { } \mathclose \bgroup \{ 1 - m <=slant - 2 , _ { / { p } { p \chi } } \aftergroup \egroup \} _ { 1 + m \ge 1 0 } ^ { 1 - m < - 2 } , } \end{array}
解得 m { >=slant } 9 中
即突教 \mathbf { \Omega } _ { m } 的取慎范国丸 \{ m \ : | \boldsymbol { m } >=slant 9 \} ：
3 \not p : - 2 <=slant x <=slant 1 0 , q : 1 - m <=slant x <=slant 1 + m ( m > 0 )
排 \boldsymbol { \mathbf { \ell } } _ { P } 黒 q 由菟要条伴 \left\{ { \begin{array} { l } { - 2 = 1 - \eta } \\ { 1 0 = 1 + m } \end{array} } \right. 不存在.
散不存在案教 \mathbf { \nabla } _ { m } 使得 \boldsymbol { \mathbf { \ell } } _ { P } 是 q 前充要条件

山筇解 (1囲刃 \boldsymbol { \mathbf { \rho } } _ { p } 是 q 的充分不英条件所以 \{ x \mid 1 { <=slant } x { <=slant } a \} { \underset { \neq } { \subset } } \{ x \mid 1 { <=slant } x { <=slant } 2 \} -所以 1 { <=slant } a { < } 2 店所以当 1 { <=slant } a { < } 2 肘 \boldsymbol { \mathbf { \mathit { \Pi } } } _ { P } 是 q 的充分不以要荼件(2困カ \boldsymbol { \mathbf { \mathit { \Pi } } } _ { P } 是 q 的充要荼件所以 \{ x \mid 1 { <=slant } x { <=slant } 2 \} = \{ x \mid 1 { <=slant } x { <=slant } a \} 所以 a = 2 所以当 a = 2 町 \boldsymbol { \mathscr { p } } 是 q 的充要永件

随堂演

2BL由 x ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0 得 \scriptstyle x = 5 或 \scriptstyle x = - 1 即当 x = 5 町 \scriptstyle * , x ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0 成立但当 x ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0 町 \scriptstyle x = 5 不一定成立。因此 \scriptstyle { \dot { * } } x ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0 是「 \dot { \boldsymbol { x } } = 5 ^ { \prime } 的要不充分糸什]
： m = - 2 雷数 y = x ^ { 2 } + m x + 1 前図象美子真歩 _ { x = 1 } 対稗則一 / { m } { 2 } = 1 即 m = - 2 反え・当 m = - 2 財即番教 y = x ^ { 2 } + m x + 1 前図象美千真袋 \scriptstyle x = 1 寸称]
4 \{ m \vert m <=slant - 7 或 m { >=slant } 1 \} 因 \boldsymbol { \mathbf { \ell } } _ { P } 是 q 成五的以要不充分条伴・所以 m + 3 <=slant - 4 或 m >=slant 1 故 m <=slant - 7 或 m >=slant 1.

.山L山 L由' \stackrel { * } { x } > 0 \stackrel { } { \Rightarrow } \stackrel { } { x } \ne 0 ^ { , } 反之不一定成立因此“ _ { x > } 0是“ x \neq 0 ”的充分不要条伴コ

15 全称量同与存在量司

1,5,1 全称量同与存在量司

新知 孤任芻単

一.1ギ 全称量司 上 _ { x } \in M , { } _ { { P } } ( { } _ { { x } } )

2ヨ 存在量司 \boldsymbol { x } \in M , \boldsymbol { \phi } ( \boldsymbol { x } )

二1 2

: . x 提示 全称量司命題可省路全称量司

題型 研活劫単

例1解（1是者踏全称量司\*任意一不”真令題2是全利畳司“”假命題(3是・省踏全称量司“任意一不”真命題川捺1解（1舎有全秩量司\*任意\*散是全称量嗣令題真令題。2背露了全秩量司可以表示力 \forall n \in \mathbf { N } , n ^ { 2 } >=slant 0散是全称量司命題真食題(聖舎有全秩量司”所有的"故是全秩量司命髭寸千任意二歩図鉄・官的図義的井日都向上是假令題

例2解　（1是.存在量司是“存在一不”因ヵ存在一不実数寸 ( - 1 , - 2 ) 車使得 2 x ( - 1 ) + 3 x ( - 2 ) + 3 < 0 . ま所以存在量司命題\*存在一不実教対 ( x , y ) 中使 2 x + 3 y + 3 < 0 是真令題(2)是存在量司是“ヨ”因 \forall x { \in } \mathbf { R } , ( 2 x - 3 ) ^ { 2 } { >=slant } 0 所以存在量司命題“ x \in \mathbf { R } , ( 2 x - 3 ) ^ { 2 } >=slant 0 是真命題。3是存在量司是“有一不”由千 \Delta { = } 4 { - } 4 x 4 { < } 0 市所以方程 x ^ { 2 } + 2 x + 4 = 0 毛宍根假命題

川捺？解（1存在量司命題・表示ヨ { \bf { \Psi } } _ { x \in { \bf { Z } } , x } 既能被2整除・能被3整除真命題(2)存在量司命題表示丸 \exists x \in \{ y \mid _ { y } 是四逸形 x 不是平行四形.真命題3可改豆ヵ存在一寸整数 _ { x , y } 使 3 x - 2 y = 10成立散ヵ存在量司命題.真命題。4)存在量令題・当 x = 4 \in \mathbf { N } , { sqrt { x } } = 2 \in \mathbf { N } , 真命題

例：解 (1由千 \boldsymbol { \mathbf { \ell } } _ { P } : \neg { x } \in B , x \in A ”是真命題m+1<2m--1,所以 B { \subseteq } A 又 B \neq { O } 所以 \scriptstyle { / { 1 } { m + 1 >=slant - 2 } } 中2 m - 1 { <=slant } 5 中解得 2 { <=slant } m { <=slant } 3 . -故 \mathbf { \Sigma } _ { m } 的取値弛風 \{ m \mid 2 <=slant m <=slant 3 \} ュ( 2 ) q 丸真〔 A \cap B \neq { O } 四丸 B \neq { A } 中所以 m >=slant 2
所以 (多州十1くら・式（先多2ュー1く。解得 2 { <=slant } m { <=slant } 4 . ラ散実数 m 前取値国 \{ m \mid 2 <=slant m <=slant 4 \} .
川捺3解・ x \in \mathbf { R } , x ^ { 2 } - 4 x + a = 0 ^ { \prime } 其命題方程 x ^ { 2 } - 4 x + a = 0 存在笑教根即 \Delta = ( - 4 ) ^ { 2 } - 4 a >= 0 鮮得 a { <=slant } 4 即実教 a 前取値弛国是 \{ a \vert a <=slant 4 \} 中

随堂演

TAC玩項A中的命題舎有全称量司“任意”是全利量司令題。辻項C中“悌形有西平行”是全秩量司命題丁
2．D[D透項是存在量令題丁
3存在量司命題　真T令題 \boldsymbol { \mathscr { p } } 是存在量司命題当 x = 0 , y = 0 肘 0 <=slant 1 成立故 \boldsymbol { \mathscr { p } } 是真命題門
4 \{ a \vert a <=slant 1 \} 「由 \boldsymbol { \mathbf { \mathit { \Pi } } } _ { P } 真命題知 a <=slant x 又 1 { <=slant } x { <=slant } 3 困此 a <=slant 1 . ]

1,5.2 全称量司命題和存在量司命題的否定

新知 預任単

1ヨ x \in M 中 \neg _ { \boldsymbol { p } ( \boldsymbol { x } ) } 存在量司
3 \forall x { \in } M , \lnot p ( x ) 全称量同

ニ1 x 提示 香定財度把全称量司改存在量司
2
3. x 提示存在量司改丸全称量司不是対“量司“辻行香定

4 5「

題型 研活劫単

例1解（1存在一不能被？整除的整教不是偶芽：2存在一卜三角形官前三不項点不在同=不團上:3存在案教 x 不是方程 5 x - 1 2 = 0 的根
刑捺1解（1ヨ n \in \mathbf { Z } , n \not \in \mathbf { Q } 中時2存在一不寄教的平方不是寄教：(3存在一不平行四逆形不是中心対秩図形:
例？解（命題的香定“任意一不者数都能装3整除(2夜命題前香定ヵ任意一不三角形的三不中角不都是 6 0 ^ { \circ \mathfrak { n } } ロ(3夜命題的香定ヵ“「 { \boldsymbol { x } } \in \mathbf { R } | x + 1 | > 1 ^ { \ast } ：
川禁？解（1命題的否定ヨ x \in \mathbf { R } と | x | + 1 - x = 0 是假命題2)令題的香定： \forall a \in \mathbf { R } 一次岡数 _ { y = x + a } 的図象不登寸原点・是假命題(3令題的香定毎一不平行四形都不是正方形是假命題

例：解因ヵ原命題假命題・所以原命題的否定カ真命題印\*ヨェ \scriptstyle \mathbf { \ell } _ { \mathbf { \ell } _ { Ḋ } a x Ḍ ^ { 2 } + 2 x + 1 = 0 } ”ヵ真a = 0 x \begin{array} { l } { { ( a { \ne } 0 , } } \\ { { \Delta { = } 4 { - } 4 a { >=slant } 0 } } \end{array} a x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 0 豚a = 0 a { <=slant } 1 a \neq 0 a { <=slant } 1 所以宍教 \scriptstyle a 的取値弛国ヵ | a <=slant 1 \} 中

刑捺3解 \lnot p 是假令題・所以 p 是真命題人 \forall x \in \{ x \mid - 3 <=slant x <=slant 2 \} 都有 x \in \{ x | a - 4 <=slant x <=slant a + 5 \} と所以 \{ x | - 3 { <=slant } x { <=slant } 2 \} { \subseteq } \{ x | a - 4 { <=slant } x { <=slant } a + 5 \} . 賢 \stackrel { a - 4 } { \scriptscriptstyle 1 } >=slant \stackrel { - } { \scriptscriptstyle 2 } 科 - 3 { <=slant } a { <=slant } 1 登松清息先七成立.散実数 a 的取値田是 \{ a \mid - 3 { <=slant } a { <=slant } 1 \}

随堂演録

1C此全称量命題的否定ヵヨ { \boldsymbol { x } } \in \mathbf { R } 中 | x | + x ^ { 2 } < 0 . ] -
2A存在量命題的香定是全称量司命題丁
3存在一不 { \boldsymbol { x } } \in \mathbf { R } . 使得 x ^ { 2 } - 2 x + 4 > 0 原命題全称量詞令題其否定ヵ存在量司命題百変量司香定造屯所以其香定“存在一不 { \boldsymbol { x } } \in \mathbf { R } 使得 x ^ { 2 } - 2 x + 4 > 0 ^ { 9 } . ]
ンッ L.“ヨェeR,使 4 x ^ { 2 } + x + { / { 1 } { 4 } } ( a - 2 ) = 0 是假命題 \forall x \in \mathbf { R } , 4 x ^ { 2 } + x + / { 1 } { 4 } ( a - 2 ) \neq 0 ^ { , } 是真令題即別 \varDelta = 1 ^ { 2 } - 4 x 4 x / { 1 } { 4 } ( a - 2 ) < 0 駐 a > { / { 9 } { 4 } } , 故数 a 前取僧菟田力 \left\{ a \left| a > / { 9 } { 4 } \right. \right\} . ロ

章末須提升

例1 DB 2ć

T11四 / { 4 } { 3 } \in \mathbf { Q } , sqrt { / { 4 } { 3 } } \in \mathbf { R } , 4 \in \mathbf { N } , -
所以ののの正彌.面10不是元泰 \{ \emptyset \} \neq \emptyset 故
③ ⑤ 皆俣散逸R
( 2 ) { 1 } 当 \scriptstyle x = 0 , y 分別取0,1,2肘 , x - y 的値分
別丸 0 , - 1 , - 2 :
- ② 印 { \bf \Phi } _ { x = 1 , y } 分別取0,1,2財 _ { x - y } 的値分別
カ ^ { 1 , 0 , - 1 }
③ 和 \scriptstyle x = 2 , y 分別取0,1,2財 _ { x - y } 的但分別
2,1,0
禁上可知 \scriptstyle * , x - y 前丁能取カ一2一1,0,1
2共5不丁
芽11C 2：或1Lop. { \mathfrak { a } } \in A beA \scriptstyle x = a + b \scriptstyle x = 2 3,4,5,6,8,B中有6不元素.2当 m + 2 { = } 5 財 * m = 3 , M = \{ 1 , 5 , 1 3 \} 苻合題意：当 m ^ { 2 } + 4 = 5 町 \scriptstyle * m = 1 或 m = - 1 . 若 m = 1 , M = \{ 1 , 3 , 5 \} 符合題意：若 m = - 1 . 則 m + 2 = 1 不満足元黍的互昇性故 \scriptstyle { m = 3 } 或11
例？(1D 2 \{ m \vert m <=slant 4 \} [(1)易知 U { = } \{ - 3 , - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 , 3 \} , リ困 ( \complement _ { U } P ) = P 生所以存在一介 \complement _ { U } P 山即有一不相度前 P 中由千 S = \{ - 2 , 1 , 3 \} ;月( \complement _ { U } P ) { \subseteq } S 中則集合 s 的子集 \complement _ { U } P 共有8不:所以集合 P 也有8介:(2当 B = { O } 財有 m + 1 >=slant 2 m - 1 \scriptstyle m <=slant 2 . 当 B \neq { A } 肘若 B { \subseteq } A 如四m+1>一2.
肌 ョ言 2 m - 1 <=slant 7 ホ 解得 2 { < _ { m } } { <=slant _ { 4 } } \ m + 1 { < } 2 m - 1 は
禁上 \mathbf { \Omega } _ { m } 的取値田丸 \{ m \vert m <=slant 4 \} -川芽？（(13 (2paaイー2 / { 1 } { 2 } <=slant a < 1 \} [(1在集合1,2,4,8的所有子集中,
由千 \forall x \in A 都有 { / { 4 } { x } } \in A
所以 A 中前元黍可能有2,1,4旦1与4同町存在因此具有“反射性”的集合ヵ142124共3不
2因 a { < } 1 所以 2 a < a + 1 所以 B \neq { A } 画数軸如図所示

由 B { \subseteq } A 知 * a + 1 { < } - 1 或 2 a >=slant 1 h解得 a < - 2 a { >=slant } / { 1 } { 2 } キ

由色知 a < 1 所以 a < - 2 / { 1 } { 2 } <=slant a < 1 中
都 a 的耶苑国是 \{ a \vert a < - 2 高 / { 1 } { 2 } <=slant a < 1 \} 」例：解I困 A = \{ x \mid 2 <=slant x <=slant 8 \}
B { = } \{ x \vert 1 { < } x { < } 7 \} と
C = \left\{ x \left| x > a \right. \right\} , U { = } \mathbf { R } 店
所以 \complement _ { U } A = \{ x \mid x < 2 或 \vert x > 8 \} 中
所以 { : } \complement _ { U } A ) \cap B = \{ x | 1 { < } x { < } 2 \} .
2困刃 A \cap C \neq \emptyset , A = \{ x \mid 2 <=slant x <=slant 8 \} 中
C = \{ x \mid x > a \} 魚
画数軸:

由図可幕 a 前取値弛国是 \{ a \vert a < 8 \} 中川黍3（1) \{ x \mid - 3 { < x < 5 \} } 2 1 - 2 <=slant b < - 1 \} [1因刃 A = \{ x \mid - 3 < x <=slant 6 \} 店- M = \{ x \vert - 4 <=slant x < 5 \} 所以 \scriptstyle \{ \bigcap M = \{ x \mid - 3 < x < 5 \} \} 日(2国刃 M = \{ x \vert - 4 <=slant x < 5 \} と所以 \complement _ { U } M = \{ x \mid x < - 4 或 \scriptstyle \left| x >=slant 5 \right\} -ヌ B { = } \{ x | b { - } 3 { < } x { < } b { + } 7 \} BU \complement _ { U } M ) = \mathbf { R } 貯以 \left\{ { b \atop b + 7 >= 5 } \right. , 鮮得 - 2 <=slant b < - 1 . -所以宍数 b 前取値弛国是 \{ b | - 2 { <=slant } b { < } - 1 \} . ] 例4解 - { ( 1 ) } A = \{ x | - 1 < x < 3 \} 因丸 a = 2 所以 B { = } \{ x \mid 0 { < } x { < } 4 \} 中所以 A \bigcup B = \{ x \mid - 1 < x < 4 \} A \cap B = \{ x \mid 0 < x < 3 \} 2困丸 _ { it { p } } 是 q 成立的以要不充分条伴所以 B { \stackrel { style \subset } { \neq } } A 出当 B = { D } 財 * 2 - a >=slant 2 + a 得 a <=slant 0 +\phantom { } _ { l } 2 - a < 2 + a 印 B \neq 時 \scriptstyle \lfloor 2 - a >=slant - 1 _ 2 + a <=slant 3 出等号不能同財取到:得 0 { < } a { <=slant } 1 所以実数 a 前取値弛国是 \{ a \vert a <=slant 1 \} 出

川銑4解（当 a = 1 町条件 \scriptstyle { p : 1 < x < 3 } 所以当 _ { p , q } 均成立町有リくく- 2 { < } x { <=slant } 3 中解得 2 { < } x { < } 3 中所以実数 x 的取値芭国是 \{ x \mid 2 < x < 3 \} 中( 2 ) \neg { } _ { P } 是 \neg q 前充分不要条件即 \lnot p { \Rightarrow } \lnot q 月 \lnot q \Rightarrow \lnot p ：投 A = \{ x \mid x <=slant _ { a } 或 \scriptstyle { X } >=slant 3 a -- \scriptstyle B = \{ x \mid x <=slant 2 或 _ { x > } 3,則 A \subseteq B ま所以 0 { < } a { <=slant } 2 旦 3 a > 3 印 1 { < } a { <=slant } 2 . 所以笑教 \mathbf { \Psi } _ { a } 的取但范国是 \scriptstyle | 1 < _ { a } <=slant 2 ⟩ .
例5解 x \in \{ x \mid 1 { <=slant } x { <=slant } 2 \} 恒有 1 + x <=slant 3 由正- x \in \{ x \mid 1 { <=slant } x { <=slant } 2 \} \scriptstyle a >=slant 1 + x 得 a >=slant 3 中因 \lnot p 是假命題・所以 p 是真命題即 \scriptstyle a >=slant 3 . 因 q 是真命題・所以方程 2 x ^ { 2 } + 5 x + a = 0 有数根,即A-25－0得α<
株上丁谷 3 { <=slant } a { <=slant } { / { 2 5 } { 8 } } 即美献 \scriptstyle a 南取田道\left[ 3 , { / { 2 5 } { 8 } } \right]
川捺解 投集合 A = \{ x \mid - 2 < x < 4 \} 町B { = } \{ x \vert 1 { - } a { < } x { < } 3 a { + } 1 \} 中\scriptstyle 1 - a <=slant - 2 ト由題意知 { \bf \nabla } , A \subseteq B 則有 style { \left\lfloor { 3 a + 1 } >= 4 \right. } 」 解得 \scriptstyle a >= 3 . _ 1 - a < 3 a + 1 散実数 \scriptstyle a 的耶値弛国刃 \{ a \vert a >=slant 3 \} ：

第二章 一元二次岡数方程和不等式

21 等式性与不等式性庫

第一裸肘 不等美系与不等式

新知・孤任単

一1不等夫系 不等式
2代数式 \scriptstyle a \neq b
3. 2ab \scriptstyle a = b -
ニ1.2. \surd 3
4 . x 提示 盛表示 | x | <=slant 1 0 ,
5「

題型 研活劫単

例1 解 夜番行 5 0 0 ~ {mm } 的管 \mathbf { \Psi } _ { x } 根

裁得 6 0 0 ~ { {mm } } 的管 _ y 根根据題意：① 裁得西利管的度不超社 4 ~ 0 0 0 ~ { {mm } } h+② 哉得 6 0 0 ~ { {mm } } 管的数量不能起寸 5 0 0 ~ {mm } 管数量的3借③ 哉得西荘飼管的数量都ヵ自然教所以可以用下面的不等式銀来表示：6 0 0 x + 6 0 0 y { <=slant } 4 ~ 0 0 0 3エラy{ \boldsymbol { x } } \in \mathbf { N } Gen.[ L > 0
川禁1解 像題意得M0L4W.\begin{array} { r } { \big \lfloor ( L + 1 0 ) ( W + 1 0 ) < 3 5 0 . } \end{array}
例？ 解 ( 1 ) ' ( x ^ { 2 } + 3 ) - 3 x = x ^ { 2 } - 3 x + 3 = 言言言言\Big ( x - / { 3 } { 2 } \Big ) ^ { 2 } + / { 3 } { 4 } >= / { 3 } { 4 } > 0 , \therefore x ^ { 2 } + 3 > 3 x . -- ) \because 5 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } - ( 2 x y + 4 x + 2 z - 2 ) = 4 x ^ { 2 } - 4 x + 1 + x ^ { 2 } - 2 x y + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } - 2 z + 1 = ( 2 x - 1p2+(ェーy十(クー1パク0,言言 \therefore 5 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } >= 2 x y + 4 x + 2 z - 2 , 当耳当 \scriptstyle x = y = { / { 1 } { 2 } } z = 1 財取等号
川筇2解 (2-2+5r十3)ー(エ+4エ十2)ニェ++十1ー（エ+ナ）+テ・\because \left( x + { / { 1 } { 2 } } \right) ^ { 2 } >=slant 0 , \therefore \left( x + { / { 1 } { 2 } } \right) ^ { 2 } + { / { 3 } { 4 } } >=slant { / { 3 } { 4 } } > 0 , 山 * ( 2 x ^ { 2 } + 5 x + 3 ) - ( x ^ { 2 } + 4 x + 2 ) > 0 , ま第： 2 x ^ { 2 } + 5 x + 3 > x ^ { 2 } + 4 x + 2 ,
例： 証明 a ^ { 3 } + b ^ { 3 } - ( a b ^ { 2 } + a ^ { 2 } b ) = ( a + b ) ( a ^ { 2 } - a b + b ^ { 2 } ) - a b ( a + b ) = ( a + b ) ( a ^ { 2 } - 2 a b + b ^ { 2 } ) 中* _ { a > 0 , b > 0 } 旦 a ^ { 2 } + b ^ { 2 } >=slant 2 a b 山\therefore a + b > 0 , a ^ { 2 } + b ^ { 2 } - 2 a b >= 0 , ロ * a ^ { 3 } + b ^ { 3 } - ( a b ^ { 2 } + a ^ { 2 } b ) >= 0 , ま故 a ^ { 3 } + b ^ { 3 } >= a b ^ { 2 } + a ^ { 2 } b キ
川3証明 法一(利用 a ^ { 2 } + b ^ { 2 } >=slant 2 a b -a ^ { 2 } + { / { 1 } { a ^ { 2 } } } = | { \boldsymbol { a } } | ^ { 2 } + { / { 1 } { | { \boldsymbol { a } } | ^ { 2 } } } >= 2 | { \boldsymbol { a } } | \ * { / { 1 } { | { \boldsymbol { a } } | } } = 2 , 当耳仏当 \vert a \vert = / { 1 } { \vert a \vert } , a = ± 1 町、等号立。\begin{array} { r l } { \displaystyle } & { \displaystyle \ddot { \mathbf z } = \mathbf { δ } * \mathbf { \boldsymbol { \dot { \mathbf { δ } } } } _ { a } ^ { 2 } + / { 1 } { a ^ { 2 } } - 2 = \left( a - / { 1 } { a } \right) ^ { 2 } , } \\ { \displaystyle } & { \displaystyle \vec { \mathbf { \nabla } } * \mathbf { \boldsymbol { * } } \left( a - / { 1 } { a } \right) ^ { 2 } >=slant \boldsymbol { 0 } , \therefore a ^ { 2 } + / { 1 } { a ^ { 2 } } >=slant 2 . } \end{array} ョ
随堂演\scriptstyle { { x } }
LC当号火案的度刃 煙米財懸虎的町同刃 2 x 秒人跪千的距萬 4 x 2 x 米了保証安全・有 4 x 2 x { > } 1 0 0 . ]
良 \because P - Q { = } 2 a \left( a - 2 \right) + 3 - \left( a - 1 \right) \left( a - 3 \right) = a ^ { 2 } { >=slant } 0 , \therefore P { >=slant } Q . ] x { > } sqrt { 1 0 } 『“ナ子”対度苻号“”・散力 _ x > { sqrt { 1 0 } } . ]
4 . < 「西式作着.得 a b - a ^ { 2 } - b ^ { 2 } = - \left( a - { / { b } { 2 } } \right) ^ { 2 } - / { 3 } { 4 } b ^ { 2 } < 0 所以 a b - a ^ { 2 } < b ^ { 2 } . _ { - } _

第二裸財 等式性贋与不等式性贋

新知・孤任芻単

ー Acb Acb a + c > b + d Acbd
二1 x 提示 当 \scriptstyle a = 2 , b = 1 , c = 3 , d = 1 財不等式不成立
N \surd 3 \surd
- x 提示 当 \scriptstyle a = c = 2 , b = 3 , d = 0 財不等式不成立.
5;「

題型 研活到単

例1 (1CD ( 2 ) { 1 } { 3 } (1)由 / { 1 } { a } < / { 1 } { b } < 0 丁得 b { < } a { < } 0 生

八面 \left| a \right| < \left| b \right| RR均不正禰:
a + b < 0 ”а0 a + b < a b 成立,C正勇：a ^ { 3 } > b ^ { 3 } D正禰.
\begin{array} { l } { { ( 2 ) a > b \Rightarrow b - a < 0 , } } \\ { { / { 1 } { a } > / { 1 } { b } \Rightarrow / { 1 } { a } - / { 1 } { b } > 0 \Rightarrow / { b - a } { a b } > 0 \} \Rightarrow a b < 0 . } } \end{array} 1中 \therefore a > b , \therefore a > 0 旦 b { < } 0 故の力真命題
寸千 ② 若 \scriptstyle a = 0 , b = - 1 , c = 2 , d = - 2 .
則 \scriptstyle a c = 0 < b d = 2 故 ② 假命題
対千 ③ 対千正数 \mathbf { \boldsymbol { a } } _ { 0 } , \boldsymbol { b } _ { 0 } , m 中
若 a < b 則 a m { < } b m 中
所以 a m + a b < b m + a b
所以 0 { < } a \left( b { + } m \right) { < } b \left( a { + } m \right)
は / { 1 } { b ( b + m ) } > 0 所以 / { a } { b } < / { a + m } { b + m }
語 ③ 丸命題。
奈上・真命題的序号是 ① ③ -川券1 解 (り国丸 / { a } { c } > / { b } { d } 所以 / { a } { c } - / { b } { d } > 0 \mathbb { H } / { a d - b c } { c d } > 0 , -
所以 \begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l } { a d - b c > 0 , } \\ { c d > 0 } \end{array} \right. / { { { \ell } } } { a \chi } / { _ { \ast } } { { { \ell } } _ { c } } { a } d - b c < 0 , } \end{array}
印 a d > b c 耳 c d { > } 0 . 或 a d < b c 旦 c d < 0 故(1)假命題
2由 a < b < 0 得 a < _ { a } - b < _ { 0 } 中
所 { / { 1 } { a - b } } { < } { / { 1 } { a } } ・散(の)カ英金題
(3四丸 a - / { 1 } { a } < b - / { 1 } { b } 一Pつ00
所以 a ^ { 2 } b - b < a b ^ { 2 } - a \Rightarrow a ^ { 2 } b - a b ^ { 2 } - b + a < 0 \Rightarrow a b ( a - b ) + ( a - b ) < 0 \Rightarrow ( a - b ) ( a b + 1 ) < 0 所以 a - b < 0 即 a < b 故(3)刃真命題)
例？ 証明 (1)因丸 c < d < 0 中
所以 - c > - d > 0 中
又 a > b > 0 中
所以 a - c > b - d > 0
則 ( a - c ) ^ { 2 } > ( b - d ) ^ { 2 } > 0 中
西北でーアイのーのア
灰 e { < } 0 所以 / { e } { ( a - c ) ^ { 2 } } { > } / { e } { ( b - d ) ^ { 2 } }
(2ドcくd<0：ーcノーd0.
Fαつbつ0..ーacつーbdつ0.
のイーミイーク
メ<o0ークーホ / { e } { a c } < / { e } { b d }

川？ 証明 中 * _ { a > b > c } , \therefore - c > - b 中- \therefore a - c > a - b > 0 , \therefore / { 1 } { a - b } > / { 1 } { a - c } > 0 , -- : * / { 1 } { a - b } + / { 1 } { c - a } > 0 火 b - c { > } 0 , \therefore / { 1 } { b - c } { > } 0 - * / { 1 } { a - b } + / { 1 } { b - c } + / { 1 } { c - a } > 0 .

例：解 1由 1 <=slant a + b <=slant 8 , 3 <=slant a - b <=slant 4 中所以 4 { <=slant } ( a + b ) + ( a - b ) { <=slant } 1 2 車即 4 { <=slant } 2 a { <=slant } 1 2 所以 2 { <=slant } a { <=slant } 6 中即実数 a 的取値風2,61四カ b { = } / { 1 } { 2 } [ ( a { + } b ) { - } ( a { - } b ) ] = / { 1 } { 2 } [ ( a + b ) + ( b - a ) ] , -由 3 { <=slant } a - b { <=slant } 4 所以 - 4 <=slant b - a <=slant - 3 -リ又 1 <=slant a + b <=slant 8 所以 - 3 { <=slant } ( a + b ) - ( a - b ) { <=slant } 5 . 所以 - / { 3 } { 2 } <=slant / { 1 } { 2 } [ ( a + b ) - ( a - b ) ] <=slant / { 5 } { 2 } . ラ\vert \vert - / { 3 } { 2 } \vert <= b <= / { 5 } { 2 } \vert 即美数 b 貯車値苑国丸 \left[ - / { 3 } { 2 } , / { 5 } { 2 } \right] .

2及 2 a - 5 b = m ( a + b ) + n ( a - b ) -= ( m + n ) a + ( m - n ) b 中

日イリニー・海
所以 2 a - 5 b = - / { 3 } { 2 } ( a + b ) + / { 7 } { 2 } ( a - b ) ,
* 1 { <=slant } a + b { <=slant } 8 , 3 { <=slant } a - b { <=slant } 4 . -
- \therefore - 1 2 <=slant - / { 3 } { 2 } ( a + b ) <=slant - / { 3 } { 2 } ,
/ { 2 1 } { 2 } { <=slant } / { 7 } { 2 } ( a - b ) { <=slant } 1 4 .
\therefore - / { 3 } { 2 } <= 2 a - 5 b <= / { 2 5 } { 2 }
野 2 a - 5 b 的取位造国丸 \left[ - / { 3 } { 2 } , / { 2 5 } { 2 } \right]

川禁3解 1 { < } a { < } 4 , 2 { < } b { < } 8 中'' \scriptstyle 2 < 2 a < 8 旦 6 { < } 3 b { < } 2 4 中円 * 8 { < } 2 a + 3 b { < } 3 2 ：重 * 2 < b < 8 , \therefore - 8 < - b < - 2 . 又ギla4.* - 7 < a - b < 2 店田 2 < b < 8 究 / { 1 } { 8 } < / { 1 } { b } < / { 1 } { 2 } ス 1 { < } a { < } 4 も所以 1 x / { 1 } { 8 } < a * / { 1 } { b } < 4 x / { 1 } { 2 } { \mathbb { H } } { / { 1 } { 8 } } { < } { / { a } { b } } { < } 2 . 故 2 a + 3 b 的取値弛国是 \displaystyle 8 < 2 a + 3 b < 3 2 , a - b 的耶値弛国是 - 7 { < a - b < 2 } / { a } { b } 約取但范用是 / { 1 } { 8 } < / { a } { b } < 2 ロ

随堂演

LB「 \therefore x ^ { 2 } - a x = x ( x - a ) > 0 , -： x ^ { 2 } > a x 又 a x - a ^ { 2 } = a ( x - a ) > 0 店中 * a x { > } a ^ { 2 } , \therefore x ^ { 2 } { > } a x { > } a ^ { 2 } . ]
2CL用排除法A替．昆黙 c = d = 0 財造飴不成立:B黌 . c < 0 財若不成立:D黌 \scriptstyle , a = - 2 , b = - 1 時・結詮不成立.故逸
尊 a > 0 > b [ \because / { 1 } { a } - / { 1 } { b } = / { b - a } { a b } , \vdots . a > b \neq / { 1 } { a } > -
/ { 1 } { b } 同時虚立的条件足 a > 0 > b -
4 - 1 8 < a - 2 b < - 1
由 3 < b < 1 0 得 - 2 0 < - 2 b < - 6 中
又 2 { < } a { < } 5 も
所以 - 1 8 < a - 2 b < - 1 . ]

22 基本不等式

第一深財 基本不等式

新知 * 孤任単

{ sqrt { a b } } <=slant { / { a + b } { 2 } } \scriptstyle a = b - / { a + b } { 2 } - sqrt { a b } 小手 2(12Np - ( 2 ) / { 1 } { 4 } S ^ { 2 }

二1 x 提示 却 a >=slant 0 , b >=slant 0 肘 a + b >=slant 2 Yab.

2 . x 提示 当 a { > } 0 時,不等式成立.

3 . \surd 4 . \surd

5 . x 提示 \mathbf { \Psi } _ { x } / { 1 } { x - 1 } 不是定値題型 研活劫単

例1 1DB 2D L(1因 a + b >=slant 2 sqrt { a b } 等什千 ( sqrt { a } - sqrt { b } ) ^ { 2 } >=slant 0 所以 a >=slant 0 , b >=slant 0 所以 \left| \mathbf { \sigma } _ { a b } >=slant 0 \right. ”是” a + b >=slant 2 { sqrt { a b } } ”的以要不充分条件.散辻R(2)対千A,若 a = - 1 , b = 1 官 / { b } { a } + / { a } { b } = - 2 散A借：/ { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + 2 a b } { 4 } >= a b , \lg \left( / { a + b } { 2 } \right) ^ { 2 } >= a b ( a - b ) ^ { 2 } { >=slant } 0 a ^ { 2 } + b ^ { 2 } >=slant 2 a b 中当旦々当 \scriptstyle a = b 肘取等号・散B餝

対千L.若 a = - 1 , b = - 1 , a + b = - 2 < - { sqrt { | a b | } } = 2 散C黌渠：寸千D,困刃 ( a + b ) ^ { 2 } >=slant 0 中所以 a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + 2 a b >= 0 h印 a ^ { 2 } + b ^ { 2 } >=slant - 2 a b 当旦仮当 a = - b 肘取等号散D正禰.散逸D
山l芽1(TDB (2D L(1法一 0 < a < b 中
： * a < / { a + b } { 2 } < b 群條A.C円頭.又 { sqrt { a b } } - a = { sqrt { a } } ( { sqrt { b } } - { sqrt { a } } ) > 0 即 sqrt { a b } > a ＃除D項.法二 \scriptstyle a = 2 , b = 8 { sqrt { a b } } = 4 , { / { a + b } { 2 } } = 5
所以ぉくaくナ(2)若 a < 0 官 a + / { 4 } { a } >= 4 不成立,散A贈：若 a = 1 , b = 1 則 a ^ { 2 } + b ^ { 2 } < 4 a b 故B借a = 4 , b = 1 6 , { sqrt { a b } } < { / { a + b } { 2 } } 由基本不等式可知D項正コ
例？ 解 - ( 1 ) \because x > 0 , \therefore / { 1 2 } { x } > 0 , 4 x > 0 , -
\therefore { / { 1 2 } { x } } + 4 x >= 2 { sqrt { / { 1 2 } { x } } } * 4 x = 8 { sqrt { 3 } } . -
当具伝堂 / { 1 2 } { x } { = } 4 x \scriptstyle x = { sqrt { 3 } } 時「耶兼木位 8 sqrt { 3 }
:当 x { > } 0 田 / { 1 2 } { x } + 4 x 的最小位 8 { sqrt { 3 } } き
2ギr0..- \scriptstyle * > 0
- \operatorname { s u p } { / { 1 2 } { - x } } + ( - 4 x ) >= 2 { sqrt { / { 1 2 } { - x } * ( - 4 x ) } } = 8 { sqrt { 3 } } , -
当耳々 { / { 1 2 } { - x } } = - 4 x 時円 \scriptstyle x = - { sqrt { 3 } } 財球幸
- \therefore { / { 1 2 } { x } } + 4 x <=slant - 8 { sqrt { 3 } } . -
:当 x { < } 0 / { 1 2 } { x } + 4 x 的最大値 - 8 sqrt { 3 }
( 3 ) \because x > 0 , a > 0 , \therefore 4 x > 0 , { / { a } { x } } > 0 ,
- 4 x + { / { a } { x } } >= 2 { sqrt { 4 x * { / { a } { x } } } } = 4 { sqrt { a } } ,
当耳々当 4 x = / { a } { x } 島 \scriptstyle a = 4 x ^ { 2 } = 3 6 町取等号
“： a = 3 6 . -
山券2（1DB (2℃L(1)因 { \mathbf { \Omega } } _ { a , b } 正宍教旦 a + b = 2 >= 2 sqrt { a b } i当旦仮当 \scriptstyle a = b = 1 町等号成立所以 a b <=slant 1 故逸R
の国丸 \scriptstyle x > 0 , y > 0 茶 { / { x + y } { 2 } } >= { sqrt { x y } } { ~ ~ } _ { x y <=slant ( / { x + y } { 2 } ) ^ { 2 } = 8 1 } , -当旦当 \scriptstyle x = y = 9 町 \left( x y \right) _ { { m a x } } = 8 1 . ]
例：（MD 2D I( \therefore x > 1 , \therefore x - 1 > 0 中
1 \therefore 4 x + 1 + { / { 1 } { x - 1 } } = 4 ( x - 1 ) + { / { 1 } { x - 1 } } + 5 >=slant - 2 sqrt { 4 ( x - 1 ) * / { 1 } { x - 1 } } + 5 = 9 ,
当豆夜当 4 ( x - 1 ) = / { 1 } { x - 1 } 中\scriptstyle x = { / { 3 } { 2 } } 財取幸： \scriptstyle x = { / { 3 } { 2 } } 電 \scriptstyle { \mathsf { y } } = 4 x + 1 + { / { 1 } { x - 1 } } 一取最小e9
2因丸 4 a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = 7 h
所以 { { \Omega } } _ { { { } } ^ { 2 } } \ sqrt { 1 + b ^ { 2 } } = { / { { { } } 1 } { { { } } ^ { 2 } } } x 2 a x sqrt { 1 + b ^ { 2 } }
= / { 1 } { 2 } sqrt { 4 a ^ { 2 } ( 1 + b ^ { 2 } ) } <=slant / { 1 } { 2 } x / { 4 a ^ { 2 } + 1 + b ^ { 2 } } { 2 } = 2 ,
当旦々当 4 a ^ { 2 } = 1 + b ^ { 2 } 」
即 a = 1 , b = { sqrt { 3 } } 財等号成立
所以 sqrt { 1 + b ^ { 2 } } 前最大値刃2丁
例A 因刃 _ { x > 1 } 所以 x ^ { - } 1 > 0 中{ / { x ^ { 2 } + 3 } { x - 1 } } = { / { ( x - 1 ) ^ { 2 } + 2 ( x - 1 ) + 4 } { x - 1 } } = x - 1 + 2 +
- { / { 4 } { x - 1 } } >= 2 + 2 { sqrt { \left( x - 1 \right) * { / { 4 } { x - 1 } } } } = 6 ,
当身々当 x - 1 = / { 4 } { x - 1 } _ { x = 3 } 町・等号成立

例5解 * _ { x > 0 , y > 0 , / { 8 } { x } + / { 1 } { y } = 1 , } - \therefore x + 2 y = \left( { / { 8 } { x } } + { / { 1 } { y } } \right) ( x + 2 y ) = 1 0 + { / { x } { y } } + { / { 1 6 y } { x } } - >= 1 0 + 2 { sqrt { { / { x } { y } } * { / { 1 6 y } { x } } } } = 1 8 , ;： \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle { / { 8 } { x } } + / { 1 } { y } = 1 , } \\ { \displaystyle { / { x } { y } } = / { 1 6 y } { x } , } \end{array} \right. \sharp \sharp \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle x = 1 2 , } \\ { \displaystyle y = 3 } \end{array} \right. , 二12町条号成立,改当 \scriptstyle x = 1 2 , y = 3 財 x + 2 y 取最小値18:

川徐3(D)A ( 2 ) / { 3 } { 2 } 35
(1)因刃 - 1 { < } _ { x } { < } 1 則 \scriptstyle 0 < 1 - x < 2 y = - / { 1 } { 2 } . / { ( 1 - x ) ^ { 2 } + 1 } { 1 - x } =
- / { 1 } { 2 } \left[ ( 1 - x ) + / { 1 } { 1 - x } \right] <=slant - / { 1 } { 2 } *
2 sqrt { ( 1 - x ) * / { 1 } { 1 - x } } = - 1 , 当身作当 1 - x =
/ { 1 } { 1 - x } 品 \scriptstyle x = 0 時 \ c = ;所以当 x = 0 五 y =
アー2チ有最大値一ト故透Ax > 0 , y > 0 , 2 x + 3 y = 6 x y = { / { 1 } { 6 } } ( 2 x * 3 y ) { <=slant } { / { 1 } { 6 } } * \left( { / { 2 x + 3 y } { 2 } } \right) ^ { 2 }
\scriptstyle = { / { 1 } { 6 } } * \left( { / { 6 } { 2 } } \right) ^ { 2 } = { / { 3 } { 2 } } . 当旦々当 2 x { = } 3 y
ヒェーテッー1 五 _ { , x y } 取到最大伯 / { 3 } { 2 } ：
(3)由 _ { x > 0 , y > 0 } 田 x + y = 1 中
院 \scriptstyle \ p = x + { / { 1 } { x } } + y + { / { 1 } { y } } = x + { / { x + y } { x } } + y + { / { x + y } { y } } -
= 3 + { / { y } { x } } + { / { x } { y } } >= 3 + 2 = 5 . -
当耳当 \scriptstyle { \boldsymbol { x } } = { \boldsymbol { y } } = { / { 1 } { 2 } } 財等号成立。
所以 \boldsymbol { \mathscr { p } } 的最小値丸5

随堂演禁

LBL由題可得 x > 0 , 3 - 3 x > 0 故 x ( 3 - 3 x ) = { / { 1 } { 3 } } x 3 x ( 3 - 3 x ) { <=slant } { / { 1 } { 3 } } x \left( { / { 3 x + 3 - 3 x } { 2 } } \right) ^ { 2 } = { / { 1 } { 3 } } x - { / { 9 } { 4 } } = { / { 3 } { 4 } } 当早作者 { 3 x = 3 - 3 x } 品 \scriptstyle x = { / { 1 } { 2 } } オ環等号

2B - [ / { x ^ { 2 } - x + 1 } { x - 1 } = / { x ( x - 1 ) + 1 } { x - 1 } = x + / { 1 } { x - 1 } = x - 1 + { / { 1 } { x - 1 } } + 1 >= 2 + 1 = 3 , 当耳夜当 x - 1 = / { 1 } { x - 1 } 川\scriptstyle \mathbf { { x } } = t = 2 町等号成立丁

中 sqrt { ( a - b ) ( b - c ) } <=slant / { a - c } { 2 } \quad [ \because a > b > c ,
\therefore a - b > 0 , b - c > 0
ーマーのナョーンン
当旦当 \scriptstyle a - b = b - c 即 2 b = a + c 町等号
成立コ

45 「国カ _ { x > 1 } 散有 x - 1 > 0 所以 x + { / { 4 } { x - 1 } } -= x - 1 + { / { 4 } { x - 1 } } + 1 >=slant 2 { sqrt { ( x - 1 ) * { / { 4 } { x - 1 } } } } + 1 = 5当旦当 x - 1 { = } / { 4 } { x - 1 } ニ印ェー3時等号成立因北所求的最小値ヵ5丁

第二裸肘 基本不等式的度用

新知 孤任芻単

1 . \surd

2 . x 提示 { / { 1 } { a } } + { / { 1 } { b } } = { / { a + b } { 4 } } * \left( { / { 1 } { a } } + { / { 1 } { b } } \right) = / { 1 } { 4 } \left( 2 + / { b } { a } + / { a } { b } \right) >= 1 当月作当 a = b = 2 野竿号

3. \surd 4題型 研活動単

例1証明 - / { b + c - a } { a } + / { a + c - b } { b } + / { a + b - c } { c } = / { b } { a }
+ / { c } { a } + / { a } { b } + / { c } { b } + / { a } { c } + / { b } { c } - 3
= \Big ( / { b } { a } + / { a } { b } \Big ) + \Big ( / { c } { a } + / { a } { c } \Big ) + \Big ( / { c } { b } + / { b } { c } \Big ) - 3 . _ { * _ { a } , b , c } 都是正数* { / { b } { a } } + { / { a } { b } } >= 2 { sqrt { / { b } { a } * { / { a } { b } } } } = 2 同理 / { c } { a } + / { a } { c }
>=slant 2 , { / { c } { b } } + { / { b } { c } } >=slant 2 , -
」 _ { * _ { a } , b , c } 不全相等・上迷三式不能同財取等号
目ョ \dot { * } \left( / { b } { a } + / { a } { b } \right) + \left( / { c } { a } + / { a } { c } \right) + \left( / { c } { b } + / { b } { c } \right) > 6 , \ : * / { b + c - a } { a } + / { a + c - b } { b } + / { a + b - c } { c } > 3 . \nonumber -

川捺1 証明 因 a > 0 , b > 0 , c > 0 中所以 a + b >= 2 { sqrt { a b } } , b + c >= 2 { sqrt { b c } } , c + a >= 2 { sqrt { c a } } 所以 2 ( a + b + c ) >= 2 ( { sqrt { a b } } + { sqrt { b c } } + { sqrt { c a } } ) 印 a + b + c >= { sqrt { a b } } + { sqrt { b c } } + { sqrt { c a } } . 由千 ^ { a , b , c } ヵ不全相等前正実数散等号不成立・所以 a + b + c > { sqrt { a b } } + { sqrt { b c } } + { sqrt { c a } } .

例2解授矩形前房一迅 a rm { m } 肌 y = 4 5 x + 1 8 0 ( x - 2 ) + 1 8 0 x 2 a = 2 2 5 x + 360a --360.由E知 a x = 3 6 0 得 a = / { 3 6 0 } { x } 故 y = 2 2 5 x + { / { 3 6 0 ^ { 2 } } { x } } - 3 6 0 . \because x > 0 , \therefore 2 2 5 x + { / { 3 6 0 ^ { 2 } } { x } } >= 2 \ { sqrt { 2 2 5 x 3 6 0 ^ { 2 } } } = 1 0 ~ 8 0 0 中中 : y = 2 2 5 x + { / { 3 6 0 ^ { 2 } } { x } } - 3 6 0 >= 1 0 \ 4 4 0 , 当旦仮当 2 2 5 x { = } / { 3 6 0 ^ { 2 } } { x } \boxplus \Sigma 中印 x = 2 4 財等号成立因此当利用旧増的度刃 2 4 { ~ m ~ } 町・修珪此矩形場地風塔的息用最小最小鳥弘用是 1 0 ~ 4 4 0 元.

川奈2解 1毛蓋方体竝坂池前容税6 0 ~ { m } ^ { 3 } 歩カ 6 { ~ m ~ } 高刃 田別寮カ0 / { 1 0 } { x } { ~ m ~ } \begin{array} { r l } & { y = 1 8 0 ( 6 x + 2 0 ) + 2 0 0 x / { 6 0 } { x } , } \\ & { tt { tt { g } } = 1 \ 0 8 0 x + / { 1 2 \ 0 0 0 } { x } + 3 \ 6 0 0 , 0 < x \ll 5 . } \\ & { ( 2 ) y = 1 \ 0 8 0 x + / { 1 2 \ 0 0 0 } { x } + 3 \ 6 0 0 } \\ & { >=slant 2 sqrt { 1 \ 0 8 0 x x / { 1 2 \ 0 0 0 } { x } } + 3 \ 6 0 0 = 1 0 \ 8 0 0 , } \end{array} 当旦仮当 1 ~ 0 8 0 x = / { 1 2 ~ 0 0 0 } { x } 印ン 一町取等号所以当竝坂池的高力 / { 1 0 } { 3 } 皿寛 3 { ~ m ~ } 財竝坂池息造竹最低力 1 0 ~ 8 0 0 ~ \hat { π } 中

例：解 1矩形 ABCD ( A B > B C ) 前周2 4 , \stackrel { * * } { * } A B = x , \stackrel { * } { * } * A D = / { 2 4 } { 2 } - x = 1 2 - x , * _ { A B > B C } = A D 得 _ { x > 1 2 - x }

-： 6 { < } x { < } 1 2
中 \triangle A P C 中 \angle P A C = \angle P C A
. A P { = } P C 人両得 D P = P B ^ { \prime } 中
i \scriptstyle \ddots A P = A B ^ { \prime } - P B ^ { \prime } = A B - D P = x - D P h
在 { R t } \triangle A D P 中・由勾殷定理得 ( 1 2 - x ) ^ { 2 } + D P ^ { 2 } = ( { \boldsymbol { x } } - D P ) ^ { 2 }
- \therefore D P = 1 2 - { / { 7 2 } { x } } ( 6 < x < 1 2 ) . -
2在 { { R t } } { \triangle } A D P 中;
\begin{array} { l } { { S _ { \triangle A D P } = \displaystyle / { 1 } { 2 } A D * D P = \displaystyle / { 1 } { 2 } ( 1 2 - x ) \left( 1 2 - / { 7 2 } { x } \right) } } \\ { { = 1 0 8 - \left( 6 x + / { 4 3 2 } { x } \right) ( 6 < x < 1 2 ) . } } \\ { { \ * : _ { 6 x } + / { 4 3 2 } { x } >=slant 2 sqrt { 6 x * / { 4 3 2 } { x } } = 7 2 sqrt { 2 } , } } \end{array} 当旦々当 6 x = / { 4 3 2 } { x } ョョョ 印 _ { x = 6 { sqrt { 2 } } } 財取等号
\therefore S _ { \triangle A D P } = 1 0 8 - \left( 6 x + / { 4 3 2 } { x } \right) <=slant 1 0 8 - 7 2 sqrt { 2 } { { , } } 当 \scriptstyle x = 6 { sqrt { 2 } } 財 \triangle A D P 的 面釈取最大値 108- 7 2 { sqrt { 2 } } 中

川芽：4 投 B M { = } x ( x { > } 0 ) 由DC/AIM { ~ \ G P } / { N D } { N D + 3 } = / { 4 } { 4 + x } 中鮮得 N D { = } / { 1 2 } { x } 故矩形 AIMIPN 的面釈丸 s = ( 4 + x ) \left( 3 + { / { 1 2 } { x } } \right) = 2 4 + 3 x + { / { 4 8 } { x } } >=slant 2 4 + 2 { sqrt { 3 x x { / { 4 8 } { x } } } } = 4 8 は当旦仮当 3 x = { / { 4 8 } { x } } 即 x = 4 財等号成立丁

随堂演

1,ç 没矩形模型的和竟分別 ^ { x , y } 出則 x { > } 0 , y { > } 0 中由題意可得 2 ( x + y ) = 8 所以 x + y = 4 中
所以矩形模里的百税らーツ(ナッース\scriptstyle = 4 当旦仮当 \scriptstyle x = y = 2 財取等号所以当題形模型的和寛都ヵ？財・面釈最大4丁

2： 工由題意得 * A ( 1 + a ) ( 1 + b ) = A ( 1 + x ) ^ { 2 } 中則 ( 1 + a ) ( 1 + b ) = ( 1 + x ) ^ { 2 } 国勢 ( 1 + a ) ( 1 + b ) <=slant \left( / { 1 + a + 1 + b } { 2 } \right) ^ { 2 } , ラ所以 1 + x { <=slant } / { 2 + a + b } { 2 } { = } 1 + / { a + b } { 2 } 中\scriptstyle x <=slant { / { a + b } { 2 } } a = b 財取等号コ

3,400 由題意没矩形花風的力 x { > } 0 寛丸 _ y { > } 0 短形花国的面釈 _ { x y } 根据題意作図如下困花国是矩形官 \triangle A D E 与ΔABC相(,
所会-空ホ又四 A G = B C = 4 0 中所以 A F { = } D E { = } x , F G { = } y も所以 x + y = 4 0 由基本不等式 x + y >= 2 sqrt { x y } 得 x y <=slant 4 0 0 中当旦々当 x = y = 2 0 財矩形花国面釈最大最大400.
45T申題意得年平均利洞カ / { y } { x } = - x - / { 2 5 } { x } + 12-12-（2+プ)イ12-2/ェ・ニ-2-当
耳仏当 \scriptstyle x = { / { 2 5 } { x } } _ { x = 5 } 時等号成立.故当 \scriptstyle x = 5 財 / { y } { x } 有最大値2印使琶岳的年平均利判最土・即毎鞆客革度菅転5年丁

2,3 二次爾数与一元二次方程不等式

第一裸財 二次函数与一元二方程不等式

新知 孤任芻単

一1一不2

2季点

3. (エトェ<エ」或ェフエス イチー治エエrエ?

二1 \surd

2 . x 提示 m \neq 0 財・オ是ー元ニ次不等式.: x 提示解集丸R
4 . x 提示 解集与 a 的正負有夫
5

題型・研活珈単

例1AL只有 - x ^ { 2 } - 3 x < 0 是一元ニ次不等式・其他都不是丁

川券 { bf { 1 } } b T由 a b \neq 0 知 \ J { \neq } 0 旦 a \neq 0 a ^ { 2 } b + 2 a b ^ { 2 } + 9 > 0 可化 b a ^ { 2 } + 2 b ^ { 2 } a + 9 > 0 は故 \scriptstyle a 的ニ次項系数カりコ

例？解 ( 1 ) \because \Delta > 0 方程 2 x ^ { 2 } - 3 x - 2 = 0 的根\mathbf { \Psi } _ { : } x _ { 1 } = - / { 1 } { 2 } , x _ { 2 } = 2 , -不等式 2 x ^ { 2 } - 3 x - 2 > 0 的解集\left\{ x | x < - { / { 1 } { 2 } } \Re x > 2 \right\} . -2: \varDelta = 0 方程 x ^ { 2 } - 4 x + 4 = 0 的根是 x _ { 1 } = x _ { 2 } = 2 不等式 x ^ { 2 } - 4 x + 4 > 0 的解集 \{ x \mid x \neq 2 \} 中3原不等式可化 2 x ^ { 2 } - x + 3 > 0 ロ\varDelta < 0 方程 2 x ^ { 2 } - x + 3 = 0 毛解・不等式 - 2 x ^ { 2 } + x - 3 < 0 的解集 \mathbf { R } . (4)原不等式可化 3 x ^ { 2 } - 5 x + 2 < 0 ミ \Delta > 0 方程 3 x ^ { 2 } - 5 x + 2 = 0 的西根丸 x _ { 1 } = / { 2 } { 3 } , x _ { 2 } = 1 , 不等式 - 3 x ^ { 2 } + 5 x - 2 > 0 的解集\left\{ x \bigg | / { 2 } { 3 } < x < 1 \right\} ：

川跡 _ { 2 } 解 ( 1 ) 由 x ^ { 2 } - 5 x { > } 6 得 x ^ { 2 } - 5 x - 6 > 0 山: x ^ { 2 } - 5 x - 6 = 0 的西根是 x = - 1 或原不等式的解集 \{ x \vert x < - 1 或 _ { x > 6 } ⟩ 中( 2 ) 4 x ^ { 2 } - 4 x + 1 { <=slant } 0 即 ( 2 x - 1 ) ^ { 2 } { <=slant } 0 方程(2ェー1½-0前根カェーア・ * 4 x ^ { 2 } - 4 x + 1 <=slant 0 的鮮集力 \left\{ { / { 1 } { 2 } } \right\} 中3由 - x ^ { 2 } + 7 x > 6 得 x ^ { 2 } - 7 x + 6 < 0 両 x ^ { 2 } - 7 x + 6 = 0 的西不根是 _ { x = 1 } 或・:不等式 - x ^ { 2 } + 7 x { > } 6 的解集刃 \{ x \vert 1 { < } x { < } 6 \} 山例3解原不等式可化 ( x + 1 ) ( x - a ) < 0 ま故方程 x ^ { 2 } + ( 1 - a ) x - a = 0 前西根 x _ { 1 } = - 1 中x _ { 2 } = a 又図数 y = x ^ { 2 } + ( 1 - a ) x - a 前図象向上則当 a < - 1 町原不等式的解集 \{ x \vert a < x < - 1 \} 中当 a = - 1 肘原不等式的解集 x 当 a > - 1 財・原不等式的解集力 \{ x \vert - 1 < x \scriptstyle < _ { a } \}

列4解（1当 a = 0 時・不等式可化力 x - 2 > 0故原不等式的解集力 \{ x \vert x > 2 \} (2当 a \neq 0 財方程 a x ^ { 2 } + ( 1 - 2 a ) x - 2 = 0 的西根分別丸2和 * { / { 1 } { a } } ① 却 a < - { / { 1 } { 2 } } 財・解不等式得一 / { 1 } { a } < x < 2 中
散庫不等式的舞集丸 \left\{ x \bigg | - / { 1 } { a } < x < 2 \right\} 中② 却 a = - { / { 1 } { 2 } } 財,不等式毛解・茨原不等式的解集 { D }
は「 ) \ y - / { 1 } { 2 } < a < 0 時

解不隼式得 2 < x < - { / { 1 } { a } } 故庫不等式的解集力 \left\{ x \bigg \vert 2 { < x < } - / { 1 } { a } \right\} ロ

禁3解 ( 1 ) \Delta = a ^ { 2 } - 1 6 下面分情咒付：
① ゴ \varDelta < 0 即 - 4 < a < 4 肘方程 2 x ^ { 2 } + a x + 2
= 0 元案根所以原不等式的解集丸 \mathbf { R } . -
② 当 \Delta >=slant 0 即 a >=slant 4 或 a <=slant - 4 肘方程 2 x ^ { 2 } +
a x + 2 = 0 的爾不根
x _ { 1 } = / { 1 } { 4 } ( - a - sqrt { a ^ { 2 } - 1 6 } ) , x _ { 2 }
= / { 1 } { 4 } ( - a + sqrt { a ^ { 2 } - 1 6 } ) .
当 a = - 4 財原不等式前的解集力 \{ x \mid x \in \mathbf { R } , 旦
_ { x \neq 1 \} }
当 a { > } 4 或 a < - 4 財原不等式的解集
\{ x \vert x { < } / { 1 } { 4 } ( - a { - } sqrt { a ^ { 2 } { - } 1 6 } ) { \sharp }
x { > } / { 1 } { 4 } ( - a + sqrt { a ^ { 2 } - 1 6 } ) ; -
当 a = 4 財原不等式的解集 \{ x \mid x \in \mathbf { R } 旦 x
\neq - 1 \} ：
(2若 \scriptstyle a = 0 原不等式 - x + 1 < 0
解得 _ { x > 1 }
港 a < 0 原不等式可化力 \left( x - { / { 1 } { a } } \right) ( x - 1 ) >
0,解得 x { < } / { 1 } { a } 成エン1:
港 a > 0 原不等式可化丸 \left( x - { / { 1 } { a } } \right) ( x - 1 ) -
< 0 , ( \ast )
共解的情咒度由 / { 1 } { a } 与1的大小夫系央定・故
① 和 a = 1 町由 ^ { ( \ast } )式可得 x \in { O }
② 聖 a { > } 1 財由 ( ~ * 式可得 / { 1 } { a } < x < 1 車
- ③ 朝 0 { < } a { < } 1 財,由(あ)式可得 1 { < } x { < } { / { 1 } { a } }
崇上所迷当 a < 0 財・不等式的解集
\{ x | x < { / { 1 } { a } } { \bar { y } } _ { * } ^ { \ast } x > 1 \} 卿 \scriptstyle a = 0 財不等式的解集 \{ x \vert x > 1 \} 中町
当 \scriptstyle 0 < a < 1 財不等式的解集
\left\{ x \bigg \vert 1 { < x < } / { 1 } { a } \right\} リ
郡 a = 1 財・不等式的解集8
川 a { > } 1 不等式的解集力 \left\{ x \bigg | / { 1 } { a } < x < 1 \right\} 中

随堂演

LDL困丸 \Delta { = } ( - 2 ) ^ { 2 } - 4 x 3 x 1 { = } 4 - 1 2 { = } - 8 { < } 0 所以不等式 3 x ^ { 2 } - 2 x + 1 > 0 N解集ヵR
2DL困 x ^ { 2 } + 4 x - 5 = \left( x - 1 \right) \left( x + 5 \right) < 0 , 所以不等式 x ^ { 2 } + 4 x - 5 < 0 的解集 \{ x \mid - 5 < x 21コ
3 \{ x \mid - 4 <=slant x < - 2 或 3 { < } { x } { <=slant } 7 \} - 「: M = \{ x \mid x ^ { 2 } - 3 x - 2 8 <=slant 0 \} = \{ x \mid - 4 <=slant x <=slant 7 \} , N = \{ x \mid x ^ { 2 } - x - 6 { > } 0 \} = \{ x \mid x { > } 3 或 x { < } - 2 \} :..Mn. { V } { = } \{ x \mid { - } 4 { <=slant x } { < } { - } 2 或 3 { < } x { <=slant } 7 \} . トーェシーー式ェイーリ) L四 a < 0 所以原不等式等竹子 ( x + 1 ) * \left( x + { / { 1 } { a } } \right) > 0 方程- \left( x + 1 \right) \left( x + / { 1 } { a } \right) = 0 的円根丸 - 1 , - / { 1 } { a } 武\not { P } { \underset { a } { \underbrace { \mathbb { A } } } } - { / { 1 } { a } } > 0 > - 1 . 所以 原不等式的集丸\left\{ x \bigg \vert x > - / { 1 } { a } \mathring { \Xi \chi } _ { \ast } x < - 1 \right\} . \exists

第二裸肘 一元二次不等式的度用

新知 孤任単

二1 \surd
ほ \therefore x 提示 因 x - 1 \neq 0 散解集 \{ x \vert x <=slant 0 或| x { \mathord { \ > } } 1 ⟩ ：3メ提示化メ \left( x - 1 \right) \left( x + 1 \right) > 0 解集 \{ x \mid - \scriptstyle x > 1 或 x { < } - 1 \} ：
II5. \surd

題型・研活劫単

例解 （1)原不等式等竹子目 \scriptstyle ( { { x } } + 2 ) ( 3 - x ) >= 0 中3 - x \neq 0
- \eta \left\{ { \begin{array} { l } { ( x + 2 ) ( x - 3 ) <=slant 0 } \\ { x \neq 3 } \end{array} } \right. パ - 2 { <=slant } x { < } 3 . -散原不等式的解集丸 \{ x \mid - 2 <=slant x < 3 \} 中
（の原不寺夫寸化号 / { 2 x - 1 } { 3 - 4 x } - 1 { > } 0
崎 / { 3 x - 2 } { 4 x - 3 } < 0 キ作子 ( 3 x - 2 ) ( 4 x - 3 ) < 0 解得 / { 2 } { 3 } < x < / { 3 } { 4 }
茨県不幸式的解集力 \left\{ x \bigg | / { 2 } { 3 } < x < / { 3 } { 4 } \right\} 出

川禁1解 ( 1 ) \not \equiv / { x + 2 } { 1 - x } < 0 \not \equiv / { x + 2 } { x - 1 } > 0 此不等式等什子 \ b { x } + 2 ) ( \ b { x } - 1 ) > 0 中散原不等式的解集 \{ x \vert x < - 2 或 _ { x > 1 ⟩ } 中(2)不等式移項 得社! ークー2イ0化荷得ナ5<=slant 0 , \mathbb { E } / { x ^ { - 5 } } { x - 2 } >=slant 0 , \left\{ { \begin{array} { l } { ( x - 2 ) ( x - 5 ) >= 0 } \\ { x - 2 \neq 0 , } \end{array} } \right. x { < } 2 x >=slant 5 . 散原不等式的解集 \{ x \vert x { < } 2 或 \scriptstyle x >=slant 5 \}

？解法「 a x ^ { 2 } + b x + c >=slant 0 前解集是\begin{array} { l } { \displaystyle x \Big \vert - / { 1 } { 3 } <=slant x <=slant 2 , } \\ { \displaystyle \qquad \therefore a < 0 , \Re ( - / { 1 } { 3 } ) x 2 { = } / { c } { a } < 0 , \dot { a } ; c > 0 . } \end{array}
ヌーナ2カカ程 a x ^ { 2 } + b x + c = 0 自西不根。\therefore - { / { b } { a } } = { / { 5 } { 3 } } , \therefore { / { b } { a } } = - { / { 5 } { 3 } } .
-
\vec { x } / { c } { a } = - / { 2 } { 3 } , \dot { * } \dot { * } b = - / { 5 } { 3 } a , c = - / { 2 } { 3 } a .
所求不等式奏丸 \left( - / { 2 } { 3 } a \right) x ^ { 2 } + \left( - / { 5 } { 3 } a \right) x + a < 0 即 2 a x ^ { 2 } + 5 a x - 3 a > 0 中
ヌ a < 0 , \therefore 2 x ^ { 2 } + 5 x - 3 < 0 .
所ネ不幸式的解集カノー! \left\{ x \bigg \vert - 3 { < x < } / { 1 } { 2 } \right\} 法二 自ビ知得 a { < } 0 , \operatorname { \mathbb { E } } \left( - / { 1 } { 3 } \right) + 2 { = } - / { b } { a } ま\left( - / { 1 } { 3 } \right) x 2 = / { c } { a } 煎 c { > } 0 ま
方程 c x ^ { 2 } + b x + a = 0 的西根分別 \mathbf { \Psi } _ { x _ { 1 } } , x _ { 2 } 宮 { } _ { x _ { 1 } + x _ { 2 } = - { / { b } { c } } , x _ { 1 } , x _ { 2 } = { / { a } { c } } , }
\begin{array} { l } { \displaystyle \mathfrak { F } \sharp \ : / { a } { c } = / { 1 } { \left( - / { 1 } { 3 } \right) x 2 } , - / { b } { c } = / { - / { b } { a } } { / { c } { a } } = } \\ { \displaystyle / { \left( - / { 1 } { 3 } \right) + 2 } { \left( - / { 1 } { 3 } \right) x 2 } = - / { 1 } { - / { 1 } { 3 } } + / { 1 } { 2 } , } \\ { \displaystyle / { { ~ i f ~ } } { { ~ d } x } _ { 1 } = - / { 1 } { - / { 1 } { 3 } } = - 3 , x _ { 2 } = / { 1 } { 2 } . } \end{array} 散不等式 c x ^ { 2 } + b x + a < 0 的解集
イートースくルイート

2+3--「川奈2 解 由題意知2×3ーーa0,\phantom { } _ { I } b = - 5 a \mid _ { c } = 6 a a { < } 0

代入不等式 c x ^ { 2 } - b x + a > 0 中得 6 a x ^ { 2 } + 5 a x + a > 0 -h又 a { < } 0 所以 6 x ^ { 2 } + 5 x + 1 < 0 中解 \scriptstyle * - { / { 1 } { 2 } } < x < - { / { 1 } { 3 } } , ラ所以所求不等式的解集e \left\{ x \Big \vert - / { 1 } { 2 } < x < - / { 1 } { 3 } \right\} . -例：解 (1り依題意物 y = 1 0 0 \Big ( 1 { - } / { x } { 1 0 } \Big ) x 1 0 0 \Big ( 1 { + } / { 8 } { 5 0 } x \Big ) . 又併不低千成本所以 1 0 0 \bigg ( 1 - / { x } { 1 0 } \bigg ) - 8 0 >= 0 , 解得 \scriptstyle x <=slant 2 ヌ _ { x >=slant 0 , x } 前取値弛国丸 0 { <=slant } x { <=slant } 2 h故 _ y 与 x 乙同的番教芙系式y = 2 0 \left( 1 0 - x \right) \left( 5 0 + 8 x \right) , 0 { <=slant } x { <=slant } 2 . (2)由題意得 2 0 ( 1 0 - x ) ( 5 0 + 8 x ) >= 1 0 2 6 ( -を荷 8 x ^ { 2 } - 3 0 x + 1 3 <=slant 0 . 慶 / { 1 } { 2 } <=slant x <=slant / { 1 3 } { 4 } ：所 _ x 由家住帝園見 \left\{ x \bigg | / { 1 } { 2 } <=slant x <=slant 2 \right\} ：

刑捺：解申匙意可得 s = - 2 x + / { 1 } { 1 8 } x ^ { 2 } >= 2 2 . 5 化筒得 x ^ { 2 } - 3 6 x - 4 0 5 >= 0 中 解得 x >=slant 4 5 或 x { <=slant } - 9 又: x >=slant 0 , \therefore x >=slant 4 5 . 玄鞠京幸判車前的遠至少 4 5 ~ { { k m / h } } 言

随堂演釿

レゅ「郡千条末丁 \left\{ { \begin{array} { l } { ( x + 1 ) ( . } \\ { x - 1 \neq 0 } \end{array} } \right. ークビo
…-1r1]
2B 不等式的解集 \{ x \mid - 2 < x < 1 \} 中
所以 a < 0 ＃除CD
又図数 y = a x ^ { 2 } - x - c 的図象与 x 軸交点的横
坐カ一2.1
所以A黌,B正禰
3. \{ t \mid 1 0 <=slant t <=slant 1 5 , t \in \mathbf { N } \} [ z = ( t + 1 0 ) ( - t + 3 5 ) 町
依題意有 ( t + 1 0 ) ( - t + 3 5 ) >= 5 0 0 中
解得 1 0 { <=slant } t { <=slant } 1 5 , t \in \mathbf { N } 中
所以解集 \{ t \mid 1 0 { <=slant } t { <=slant } 1 5 , t \in \mathbf { N } \} . -
士 \left\{ m \Big | m < - / { 1 } { 2 } \right\} 口依題意 . m { < } 0 中
\stackrel { i } { \chi } ( m x - 1 ) ( x + 2 ) > 0 \Longleftrightarrow \left( x - / { 1 } { m } \right) ( x + 2 ) < 0 .
又(m一1D(エ十2)0前解集力
\left\{ x \bigg \vert - 2 < x < / { 1 } { m } \right\} 中
揚 - 2 < / { 1 } { m } 円 m { < } 0 四北 m < - / { 1 } { 2 } ロ

微麦題 不等式恒(能)成立向題

題型・研活劫単

例1解当 k = 0 財原不等式可化力 - 2 < 0 是紫存合題意当 k { \neq } 0 財舎 y = k x ^ { 2 } + 2 k x - ( k + 2 ) , は由 y { < } 0 恒成立・知其図象都在 x 軸的下方即留数図象千向下旦与 _ x 軸毛交点\# λ \left\{ { k < 0 } , \atop { 4 k ^ { 2 } + 4 k ( k + 2 ) < 0 } , \right. 解得 - 1 { \ < } k { \ < } 0 崇上・実数 k 的取値弛囲是 \{ k \mid - 1 { < k <=slant 0 } \}
刑禁1解　原不等式可化丸 x ^ { 2 } - 2 x + a ^ { 2 } - 3 a - 3 { >=slant } 0 対 { \boldsymbol { x } } \in \mathbf { R } 恒成五故不等式 x ^ { 2 } - 2 x + a ^ { 2 } - 3 a - 3 >= 0 的解集R, \Delta { = } 4 { - } 4 ( a ^ { 2 } - 3 a - 3 ) { <=slant } 0 -ち解得 a <=slant - 1 或 a { >=slant } 4 中故実数 a 的取値芭国是 \{ a \mid a <=slant - 1 或 \scriptstyle a >=slant 4 \} 中
例解 ( 1 ) \because m { = } 1 , \therefore y { = } x ^ { 2 } { - } x { - } 2 中： \scriptstyle x ^ { 2 } - x - 2 >= 0 解幕 x { <=slant } - 1 或 x { >=slant } 2 改 y { >=slant } 0 的解集 \{ x \vert x <=slant - 1 或 \scriptstyle x >=slant 2 ⟩ 中(2シ一1,印 x ^ { 2 } - m x + 2 m - 3 >= 0 在 _ { x > 2 } 肘恒成立金 g ( x ) = x ^ { 2 } - m x + 2 m - 3 中の若 / { m } { 2 } { <=slant } 2 品 \scriptstyle { m <=slant 4 } 奥図只番 g ( 2 ) >=slant 0 中即 4 - 2 m + 2 m - 3 >= 0 , 1 >= 0 恒
炭立
所以 \scriptstyle { m <=slant 4 } 満足趣意：
の着 / { m } { 2 } { > } 2 ふ m { > } 4 図
只需 \Delta = m ^ { 2 } - 4 ( 2 m - 3 ) <=slant 0
即 ( m - 2 ) ( m - 6 ) <=slant 0 所以 2 <=slant
m { <=slant } 6 .
奈上所迷 , m 前取値弛国

川捺2 解 舎 y = x ^ { 2 } + m x + 4 中y < 0 左 1 { <=slant } x { <=slant } 2 上恒成立。“： \scriptstyle y = 0 的根ー不小于1男ー不大千2図可得 style { \left\{ \begin{array} { l l } { m + 5 < 0 , } \\ { 4 + 2 m + 4 < 0 . } \end{array} \right. }

-： m 的取弛田是 \{ m \ : | m < - 5 \} ロ例：2T困 x { > } 0 , y { > } 0 則 x + 2 sqrt { 2 x y } <=slant \begin{array} { l } { \displaystyle { a ( x + y ) \Theta a >= / { x + 2 sqrt { 2 x y } } { x + y } , \overline { { \| \eta } } / { x + 2 sqrt { 2 x y } } { x + y } = } } \\ { \displaystyle { / { x + 2 sqrt { x * 2 y } } { x + y } <=slant / { x + 2 * / { x + 2 y } { 2 } } { x + y } } = / { 2 x + 2 y } { x + y } = 2 , } \end{array} 当旦仮当 \scriptstyle x = 2 y 肘取等号則 a >=slant 2 所以宍教a 的最小値2山筇3AL由子 - x ^ { 2 } + 4 x = - ( x - 2 ) ^ { 2 } + 4 <=slant 4 , 又国刃 - x ^ { 2 } + 4 x >=slant a ^ { 2 } - 3 a 在 bf { R } 上有解只番 a ^ { 2 } - 3 a { <=slant } 4 解得 - 1 { <=slant } a { <=slant } 4 中即宍数 \scriptstyle { a } 的取値弛国刃 \{ a \mid - 1 { <=slant } a { <=slant } 4 \} . -

例4解 国 KmK3 町,不等式十m+4
> 2 m + 4 x 恒成立
所以 m ( x - 2 ) + ( x - 2 ) ^ { 2 } > 0 恒成立当 \scriptstyle x = 2 町,不等式不成立,散 \scriptstyle x \neq 2 ま今 y = m ( x - 2 ) + ( x - 2 ) ^ { 2 } , m 自交量
日」 * / { 1 } { 2 } { <=slant } m { <=slant } 3 則共図数図象是一条段
故対 / { 1 } { 2 } <=slant m <=slant 3 五 y { > } 0 恒蔵立等什子\left\{ / { 1 } { 2 } ( x - 2 ) + ( x - 2 ) ^ { 2 } > 0 , \right. 解得 x { > } 2 或 x { < } { - } 1 所以実数 x 前取値弛国是 \{ x \vert x > 2 求 x { < } - 1 \}
川筇解 y = m x ^ { 2 } - m x + m - 6 = -( x ^ { 2 } - x + 1 ) m - 6 店依題意知当 1 { <=slant } m { <=slant } 2 肘 . y < 0 恒成立.黒 x ^ { 2 } - x + 1 > 0 +:： _ y 是美千 \mathbf { \Psi } _ { m } 的一次番数・旦在 1 { <=slant } m { <=slant } 2 上陣
m 的増土両増土： y < 0 寸 1 { <=slant } m { <=slant } 2 恒成立等竹千 _ y 的最大恒小子即 2 ( x ^ { 2 } - x + 1 ) - 6 < 0 , 肌 x ^ { 2 } - x - 2 < 0 解得 - 1 { < } x { < } 2 は国此 x 的取値弛国是 \{ x \vert - 1 { < x < 2 \} } 中

随堂演

1,D 口不等式 x ^ { 2 } + m x + 1 >= 0 的解集 bf { R } 中則 \Delta = m ^ { 2 } - 4 <=slant 0 解得 - 2 { <=slant } m { <=slant } 2 中故実教 \mathbf { \nabla } _ { m } 前取値范国是一 2 <=slant m <=slant 2 . ]
2DT国 1 { <=slant } x { <=slant } 2 故 x { > } 0 中苔 x ^ { 2 } - a x > 0 在 1 { <=slant } x { <=slant } 2 上恒成立等併子\scriptstyle x - a > 0 在 1 { <=slant } x { <=slant } 2 上恒成立改 1 - a > 0 即 a < 1 . ] -
3. \{ k \mid - 3 { < k <=slant 0 } \} 「当 k = 0 財湿然成立：川 k { \neq } 0 財・即一元二次不等式 2 k x ^ { 2 } + k x - / { 3 } { 8 } { < } 0 対任意実教 x 均成立| \left\{ \begin{array} { l l } { \kappa \longrightarrow 0 , } \\ { \Delta = k ^ { 2 } - 4 x 2 k x \left( - / { 3 } { 8 } \right) < 0 , } \end{array} \right. 解得 - 3 < k < 0 ロ
株上・満足不等式 2 k x ^ { 2 } + k x - / { 3 } { 8 } < 0 対住意奏
数 _ x 均成立的 k 的取値弛囲 - 3 < k <=slant 0 . ] -
4 \{ x \vert x > 3 或 x { < } - 1 \} - [ x ^ { 2 } + \phi x > 4 x + \phi - 3 \Longleftrightarrow
( x - 1 ) p + x ^ { 2 } - 4 x + 3 > 0 . -
授 y = ( x - 1 ) p + x ^ { 2 } - 4 x + 3 , 0 <=slant p <=slant 4 表示
一糸段
依題意当 0 { <=slant } p { <=slant } 4 時 . y > 0 恒成立
奥ーク0十ー+30
解得 \mathbf { \Phi } _ { x > 3 } 或 x { < } { - } 1 . ]

章末須提升

例1 Dç 2Å L(当 a \neq 0 肘 | a | > 0 由 \scriptstyle x > y 得 | \boldsymbol { x } > | \boldsymbol { a } | _ { { I } } 郡 \scriptstyle a = 0 財 \mid a \mid x = \mid a \mid y 因 北 laIr多laIy.逸項A.R.D均不満足不竿式性膩・不正л.(2因カ0<aく所以 1 + a > 0 , 1 + b > 0 , a b < 1 . M - N = { / { 1 } { 1 + a } } - { / { b } { 1 + b } } - \left( { / { a } { 1 + a } } - { / { 1 } { 1 + b } } \right) = { / { 1 - a } { 1 + a } }
一 ー2の4リ0,所以 M { > } N . ]
川芽1 ()ABC - ( 2 ) \left\{ / { b ^ { 2 } } { a } \biggm | / { 1 } { 3 } < / { b ^ { 2 } } { a } < 2 \right\} -
「くりますでナく0得りくなく0輪 a ^ { 2 } < b ^ { 2 } , b ^ { 2 } > a b A,B正硝.\gtrsim b < a < 0 , / { b } { a } > 0 , / { b } { a } \neq / { a } { b } , -四比 / { b } { a } + / { a } { b } > 2 sqrt { / { b } { a } * / { a } { b } } = 2 逸項C正魂昆然 | a | + | b | = | a + b | = - ( a + b ) , D替渠(2困刃 - 2 < b < - 1 所以 1 { < } b ^ { 2 } { < } 4 因 2 { < } a { < } 3 中尊 \begin{array} { r l } & { \quad β \| v \| / { 1 } { 3 } < \displaystyle / { 1 } { a } < / { 1 } { 2 } , β \| v \| / { 1 } { 3 } < \displaystyle / { b ^ { 2 } } { a } < 2 . ] } \\ & { \| 2 { ~ { \scriptstyle ( \Lambda ) } ~ } ( c ) 1 } \\ & { \quad [ { \boldsymbol { ( 1 ) } } : \left( { \boldsymbol { * } } + \displaystyle / { 1 } { 2 y } \right) ^ { 2 } + \left( { \boldsymbol { y } } + \displaystyle / { 1 } { 2 x } \right) ^ { 2 } } \\ & { \quad = x ^ { 2 } + \displaystyle / { x } { y } + \displaystyle / { 1 } { 4 y ^ { 2 } } + { \boldsymbol { y } } ^ { 2 } + \displaystyle / { y } { x } + \displaystyle / { 1 } { 4 x ^ { 2 } } } \\ & { \quad = \left( x ^ { 2 } + \displaystyle / { 1 } { 4 x ^ { 2 } } \right) + \left( { \boldsymbol { y } } ^ { 2 } + \displaystyle / { 1 } { 4 y ^ { 2 } } \right) + \displaystyle / { y } { x } + \displaystyle / { x } { y } } \\ & { \quad >=slant 2 sqrt { x ^ { 2 } * \displaystyle / { 1 } { 4 x ^ { 2 } } } + 2 sqrt { { \boldsymbol { y } } ^ { 2 } * \displaystyle / { 1 } { 4 y ^ { 2 } } } + } \end{array}
-
-
-
2 { sqrt { / { y } { x } * { / { x } { y } } } } = 4 身具き \scriptstyle x = y = { / { sqrt { 2 } } { 2 } } オラ・カ : \left( x + / { 1 } { 2 y } \right) ^ { 2 } + \left( y + / { 1 } { 2 x } \right) ^ { 2 } 的最小値是42 x < - 1 , \therefore x + 1 < 0 , \therefore - ( x + 1 ) > 0 ,
:; / { ( \ b { x } + 5 ) ( \ b { x } + 2 ) } { \ b { x } + 1 } { = } / { \ b { x } ^ { 2 } + 7 \ b { x } + 1 0 } { \ b { x } + 1 } -
= / { ( x + 1 ) ^ { 2 } + 5 ( x + 1 ) + 4 } { x + 1 } = ( x + 1 ) + / { 4 } { x + 1 } + 5 = - \left[ - ( x + 1 ) + / { 4 } { - ( x + 1 ) } \right] + 5 { <=slant } - 2 sqrt { 4 } + 5 -= 1
当旦々当 ( x + 1 ) ^ { 2 } = 4 即 \scriptstyle x = - 3 町取等号
/ { ( x + 5 ) ( x + 2 ) } { x + 1 } 的最大伯丸1コ
川携2(1? ı 24 [ ( 1 ) _ { { \mathscr { y } } } = _ { { \mathscr { x } } } - 4 + { / { 9 } { { \mathscr { x } } + 1 } } =
( x + 1 ) + / { 9 } { x + 1 } - 5 ,
因丸 x { > } { - } 1 所以 x + 1 > 0 中
所以シ2+1)・エー5
= 2 x 3 - 5 = 1
当豆夜当十1-王 即 \scriptstyle x = 2 町等号成立
此財 \scriptstyle a = 2 , b = 1 .
(の目弟 2 x y = x * ( 2 y ) { <=slant } { \left( { / { x + 2 y } { 2 } } \right) } ^ { 2 } も「
所以 8 = x + 2 y + 2 x y <=slant x + 2 y + \Big ( / { x + 2 y } { 2 } \Big ) ^ { 2 } ,
印 ( x + 2 y ) ^ { 2 } + 4 ( x + 2 y ) - 3 2 >= 0 中
\begin{array} { r } { ( x + 2 y - 4 ) ( x + 2 y + 8 ) >= 0 , } \end{array}
因丸 x { > } 0 , y { > } 0 所以 x + 2 y >=slant 4 中
当旦々当 \scriptstyle x = 2 , y = 1 財取等号
x + 2 y 的最小値是4
例照（の着夫丁 x 曲不幸茶 2 k x ^ { 2 } + k x - / { 3 } { 8 }
{ < } 0 的解集丸 \left\{ x \Big \vert - / { 3 } { 2 } < x < 1 \right\} / { 3 } { 2 } 中1 2 k x ^ { 2 } + k x - { / { 3 } { 8 } } = 0 臼美根
日 k { > } 0 .
南根与家自央系・ターテメーテ
毎得トーす
の考夫子 x 曲不幸式 2 k x ^ { 2 } + k x - / { 3 } { 8 } < 0
集丸 bf { R } 中\displaystyle { k = 0 , \# \big \{ / { 2 k < 0 } { \Delta = k ^ { 2 } + 3 k < 0 , } \} }
求得 k = 0 式 - 3 < k < 0
改実教 k 的取値弛風刃 \{ k \mid - 3 { < } k { <=slant } 0 \}

川芽：解 (1依題意・可得方程 a x ^ { 2 } + 5 x - 2 \scriptstyle = 0 的西不実数根 / { 1 } { 2 } \# \mathbb { 2 } 月 a { < } 0 中自授与系数的美素 \begin{array}{c} \scriptstyle \mathbb { \} } ^ { \displaystyle { \int } \displaystyle { / { 1 } { 2 } } x 2 = { / { - 2 } { a } } , } \\ { \scriptstyle { \left\lfloor { / { 1 } { 2 } } + 2 = - { / { 5 } { a } } , \right. } } \end{array} 解得 a = - 2 a = - 2 / { 1 + 2 x } { x + 1 } > 3 整理得 { / { - ( x + 2 ) } { x + 1 } } > 0 等併子 x + 1 ) ( x + 2 ) < 0 解得一 2 < x < - 1 は不等式的解集 \{ x \mid - 2 { < x < - 1 \} }

例解 - ( 1 ) 当 { \boldsymbol { x } } \in \mathbf { R } 財 x ^ { 2 } + a x + 3 - a >= 0 恒成立則 \Delta { = } a ^ { 2 } { - } 4 ( 3 { - } a ) { <=slant } 0 中即 a ^ { 2 } + 4 a - 1 2 <=slant 0 中解得一 6 { <=slant } a { <=slant } 2 故 \scriptstyle a 的取値弛国 \{ a \mid - 6 { <=slant } a { <=slant } 2 \} ：2箸 y = x a + x ^ { 2 } + 3 看作美千 \scriptstyle a 前一次番教或常教勇教由子 a \in [ 4 , 6 ] 其図筇是一手袋段当 a \in [ 4 , 6 ] 肘 y { >=slant } 0 恒成立只霰在 a = 4 和a = 6 町 y { >=slant } 0 即可ロ +++0解得x { \leqslant } - 3 - { \sqrt { 6 } }或x \geqslant - 3 + { \sqrt { 6 } }中故x的取値芭風是\{ x \vert x \leqslant - 3 - { \sqrt { 6 } }或x \geqslant - 3 +\sqrt { 6 } \}$ 中

川等4 \{ m \vert - 1 { < } m { < } 4 \}
- : / { 2 } { x + 1 } + / { 1 } { y } = 2 2 y + x + 1 { = } 2 ( x + 1 ) y も所以 x + 1 { = } 2 x y 司 2 y = 1 + { / { 1 } { x } } 中
所以 \scriptstyle x + 2 y = x + { / { 1 } { x } } + 1 >= 2 { sqrt { x * { / { 1 } { x } } } } + 1 = 3 , 当旦々当 _ { x = 1 , y = 1 } 財等号成立所以 ( x + 2 y ) _ { { m i n } } = 3 所以 x + 2 y > m ^ { 2 } - 3 m - 1 恒成立即 ( x + 2 y ) _ { { m i n } } > m ^ { 2 } - 3 m - 1 ト所以 3 > m ^ { 2 } - 3 m - 1 ま則 m ^ { 2 } - 3 m - 4 < 0 解得 - 1 { < } m { < } 4 . ]

第三章 雨数的概念与性盾

3,1 函数的概念及其表示

31,1 国数的慨念

第一裸財 函数的概念(一)

新知 孤任単

一1非室的 任意一介 硝定　唯一禰定x \`
2定メ域 A
-.1「
- x 提示西不集合都以須是非空的実教集
3 x 提示値域也以類是非空的実数集
4 x 提示　任何一介 x 在置域中有唯一預定的 _ y 和宅対度.
5 . x 提示　値城是集合 B 的子集

題型 研活劫単

例1(IA (2)ABD LD辻項A中至少存在外如 \scriptstyle x = 0 一不横坐対度西不製坐玄相当子集合 A 中至少有一不元泰在集合 B 中寸度的元泰不唯一・散芽項A中的図形不是番数国象・其余R,C,D均符合番教定メ2站項A,ED中寸集合 A 中任意実教 _ x 妾飴定師寸度美事 f 在集合 B 中都有唯一笑教_ y 与寸度・此站斑A．RD苻A番教前定メ逸項C中対干 A 中表按対盛法則 f 山在 B 中有元黍一1和1与之対位・不苻合番数的定文コ

川捺1(IDD (2BL()只荷 y = \left| x \right| 是社合題意的対度美永(2站項A中前定メ域不是 \{ x \mid - 2 <=slant x <=slant 2 \} 尭項C中図形不蕭足一性辻項D中的値域不是 \{ y \vert 0 { <=slant } y { <=slant } 2 \} 只有斑R蕭足題意
例 2 ( 1 ) \{ x \mid - 2 <=slant x <=slant 4 \} - \{ y \vert - 2 <=slant y <=slant 3 \} (2DL(1)根据番数 \scriptstyle y = f ( x ) 前図象知定メ域力 \{ x \mid - 2 { <=slant } x { <=slant } 4 \} 中値域 \{ y \vert - 2 <=slant y <=slant 3 \} 中2国本 / { 1 } { 2 } \in \{ x | x <=slant 1 \} 所以 f { \biggl ( } { / { 1 } { 2 } } { \biggr ) } = 1 言 1 0 f { \Big ( } { / { 1 } { 2 } } { \Big ) } = 1 0 所以 f \left( 1 0 f { \left( / { 1 } { 2 } \right) } \right) = f ( 1 0 ) 又因 1 0 \in \{ x \mid x >=slant 2 \} 所以 f ( 1 0 ) { = } 3 -西北 f { \Big ( } 1 0 f { \Big ( } { / { 1 } { 2 } } { \Big ) } { \Big ) } = 3 . ]
刑禁？（) / { 1 } { 1 2 } 20,1Lop: g ( 3 ) = 3 ^ { 2 } + 2 = 1 1 ま・g(3コーf(11ー立2由 x \in \{ - 1 , 0 , 1 \} 旦 f ( x ) = x ^ { 2 } 中:： \scriptstyle f ( - 1 ) = 1 , f ( 0 ) = 0 , f ( 1 ) = 1 . 因此番数 f ( x ) 的値域是0,1丁
例： 解 \scriptstyle y = 4 { sqrt { x } } 是含有根式的図数・宅的定メ城是 \{ x \vert x >=slant 0 \} 但域是 B = \{ y \vert y >=slant 0 \} 対度栄系 f 把 \{ x \vert x >=slant 0 \} 中的任意一不数 x 対盛到 B 中曜一彌定的数 4 sqrt { x } 如果対 x 前取范傲出限制如 \{ x \vert x > 0 \} 中那可以杓珪如下情境：正方形的面釈 _ x 周 _ y 則 \scriptstyle y = 4 { sqrt { x } } 其中 x 前取値范園是 A = \{ x | x > 0 \} , y 的取値田是 B { = } \{ y \vert y { > } 0 \} 対度美系 f 己毎一不正方形的面税 _ x 対度到曜一定的周 4 sqrt { x } キ
刑禁：解尼 \scriptstyle y = { / { 3 0 0 } { x } } 看作反比例勇数郡公せ的定メ城 A = \{ x \mid x \neq 0 \} 値域是 B = \{ y \vert y \neq 0対度美系 f 把定メ域中任意一不数 _ x 対位国B申唯一а定的数200如果対 x 前取値芝国作出限制例如 x \in \{ x \mid x > 0 \} 那ム可以杓琵如下情境:某工丁現有原村料 3 0 0 { ~ t ~ } 平均毎用去 x { ~ t ~ } . 玄
批原杜料能用 _ y 夭則 \scriptstyle y = { / { 3 0 0 } { x } } 其中 \mathbf { \Psi } _ { { X } } 削取値
国是 \scriptstyle 1 = \left\{ x \mid 0 < x <=slant 3 0 0 \right\} , y 的敢値弛風是 B
= \{ y | y >=slant 1 \} 対度栄系 f 把毎的使用量 x 中言目 / { 3 0 0 } { x }
対度到曜一瑠定的使用教

随堂演

I,B 番数是表示毎不 x 値対盛唯一 _ y 値的一稗寸度栄荼寸E中留象寸千 x \neq 0 前 _ x 値・有西介 _ y 恒与之寸度・散不是番教図象司
2DL項D中寸千集合 A 中的元泰1在集合B 中有西十元幸 \mathbf { 4 } 和5与主財度不社合国勤由定メコ
3 \{ x \vert 0 { <=slant } x { < } 3 \} - \{ y \mid 0 { <=slant } y { <=slant } 1 或 _ { y = 2 ⟩ } T根据図象定メ域丸 \{ x \mid 0 { <=slant } x { < } 3 \} 値城丸 \{ { \bf { y } } \vert 0 { <=slant } y { <=slant } 1 或 _ { y = 2 ⟩ } -
4:1-200,4人

第二裸肘 函数的概念(二)

新知 珣任単

,1. La,b (α) [α, α
2. （--o,+o) La,+co) (--,a]
定以域 対度美系
二1 \surd
2メ提示 定メ壊与対度栄系相同ォ表示同一不図教
3. x 提示番教的慎域大口1 + ∞ ) 中
4 \surd 5. \surd 6「

題型・研活劫単

例1解 ( 1 ) \{ x | x { < } 0 \} = ( - ∞ , 0 ) ロ-- ? ) \left\{ x \vert - 1 < x < 1 \} = ( - 1 , 1 ) \right. (3) \{ x \mid 0 < x < 1 取24 \ c = 0,1UE2,41.
川芽1(1) ^ { ( - 2 , 0 ) } U0,2 (2一32)L(1) \{ x \mid - 2 < x <=slant 2 旦 x \neq 0 \} = ( - 2 , 0 ) ü0,21.2由 a ^ { 2 } + a + 1 < 7 得 \begin{array} { r } { ( a + 3 ) ( a - 2 ) < 0 , } \end{array} 散一 3 { < } a { < } 2 . ]
例？ ② 口の定メ城不同,不是同一番数.{ 2 } f ( x ) 与 g ( x ) 的定メ域都是一111,旦対度栄相同是同一番数言言言言 { 3 } f ( x ) = sqrt { ( x + 3 ) ^ { 2 } } = | x + 3 | 与 g ( x ) = x + 3 対位美烝不同不是同一図教.④ f ( x ) 町 g ( x ) 的定メ域不同,不是同一番数⑤ f ( t ) 与 g ( x ) 的定メ域和対度美系分別対度相同是同一番数司
ill捺?（IDAC（2C L(ID寸千A,爾澂対度法即与定入域相同是同一図数・対子 { { B } } , f ( x ) 的定メ域力 \mathbf { R } , g ( x ) = 1 定メ城力 \{ x \vert x \neq 0 \} 西不番数的定メ城不相同不是同一番教・対子 { { c } } , f ( x )
- = | x | = { \left\{ \begin{array} { l l } { x , x { >=slant } 0 , } \\ { - x , x { \prec } 0 } \end{array} \right. } 西不電教由定支城福号 bf { R } 対度法則相同是同一図教・寸子 { D } , g \left( x \right) = x + 1定メ域カ \{ x \vert x { \neq } 1 \} , f ( x ) 的定人城是 bf { R } 西不西教前定域不相同不基同一岡歌(2A項中 , y = ( sqrt { x } ) ^ { 2 } 的定入域カ0 + ∞ ) 与y = \left| { \boldsymbol { x } } \right| 的定メ城不同・不是同一留数.B項中 { { , } } y = { sqrt [ 3 ] { x ^ { 3 } } } = x 与 y = \left| { \boldsymbol { \mathbf { \mathit { x } } } } \right| 対度栄系不同不是同一番教ç項中 \scriptstyle * y = { sqrt { x ^ { 2 } } } = \left| x \right| 京 y = \left| x \right| 的定メ城・対盛美系分別相同・表示同一番教D項中 y = { / { x ^ { 2 } } { x } } 的定メ城 \{ x \mid x \neq 0 \} 与番数y = \left| x \right| 的定人域不同不是同一図教丁

例：（)解 : * f ( x ) = { / { x ^ { 2 } } { 1 + x ^ { 2 } } } \begin{array} { l } { { \displaystyle \ } { } * { } f ( 2 ) + f ( / { 1 } { 2 } ) = / { 2 ^ { 2 } } { 1 + 2 ^ { 2 } } { } + / { ( / { 1 } { 2 } ) ^ { 2 } } { 1 + ( / { 1 } { 2 } ) ^ { 2 } } = 1 . } \\ { { \displaystyle f ( 3 ) + f ( / { 1 } { 3 } ) = / { 3 ^ { 2 } } { 1 + 3 ^ { 2 } } } + / { ( / { 1 } { 3 } ) ^ { 2 } } { 1 + ( / { 1 } { 3 } ) ^ { 2 } } = 1 . } \end{array}

川：解 (り四カ f ( x ) = x + { / { 1 } { x } } き所以 f ( 1 ) = 1 + 1 = 2 は宮 f ( f ( 1 ) ) { = } f ( 2 ) { = } 2 { + } { / { 1 } { 2 } } { = } { / { 5 } { 2 } } . 2当 a \neq - 1 田 \scriptstyle * f ( a + 1 ) = a + 1 + { / { 1 } { a + 1 } } \therefore a + 1 + / { 1 } { a + 1 } = a + 2 鮮得 \scriptstyle a = 0 .

例4解（1当旦当 x - 2 \neq 0 即 \scriptstyle x \neq 2 肘岡/ { 3 } { 4 } x f ( x ) = / { 3 } { x - 2 } エー2有意メ所以立不番教的定メ域刃 \{ x \vert x \neq 2 \} 中r一1手0.(2番勢有意共当旦仮当 \left\{ { / { 2 } { x + 1 } } >= 0 \right. \left. \left\{ { \begin{array} { l } { \left[ x + 1 \right] } \end{array} } \right. \right. 解得 x { > } { - } 1 旦 x { \neq } 1 . 所以立不図教的定メ域カ \{ x \vert x > - 1 旦 \scriptstyle x \neq 1 \}
（の電教有ネス・当身名者 \left\{ { \begin{array} { l } { 3 - x >= 0 } \\ { x - 1 >= 0 } \end{array} } \right. 無 1 <=slant \scriptstyle x <=slant 3 , 所以玄不番教的定メ城 \{ x \mid 1 <=slant x <=slant 3 \} (4要使番教有意文自変量 x 的専置弘須満style { \left\{ { \begin{array} { l l } { x + 1 \neq 0 } \\ { 1 - x >= 0 } \end{array} } \right. } 鮮得 x { <=slant } 1 日 \scriptstyle x \neq - 1 も所以玄不番教前定メ域カ \{ x \mid x <=slant 1 , 旦\vert x \ne - 1 \} 中
例5解（1)由 - 1 { < } 2 x + 1 { < } 2 ゆ - 1 { < x < } / { 1 } { 2 } 中
所以 f ( 2 x + 1 ) 的定メ城丸 \left( - 1 , { / { 1 } { 2 } } \right) 中
2困カ - 1 { < } x { < } 2 所以 - 1 { < } 2 x + 1 { < } 5 ロ
所以 f ( x ) 的定文城力 _ { ( - 1 , 5 ) } -.
3由 f ( 2 x + 1 ) 的定人域 ( - 1 , 2 ) 山印 - 1 { < x < } 2 得- - 1 { < } 2 x + 1 { < } 5 出故 f ( x ) 的定入域力 ( - 1 , 5 ) 由 - 1 { < } x - 1 { < } 5 得 0 { < } x { < } 6 所以 f ( x { - } 1 ) 的
定文域刃 (0,り
川芽4(DB（2)A L(1)由題意得ニェキ++6>0・解得一2Kく1式1<く3散逸R
2由一 x ^ { 2 } + 2 x + 3 >= 0 解得 - 1 { <=slant } x { <=slant } 3
故図数 f ( x ) 前定メ壊カ一13
田 - 1 { <=slant } 3 x - 2 { <=slant } 3 解得 / { 1 } { 3 } <=slant x <=slant / { 5 } { 3 }
即電教 f ( 3 x - 2 ) 留定支球力 \left[ / { 1 } { 3 } , / { 5 } { 3 } \right] L

随堂演

1,D _ 2 a + 1 > a 一1円
2.℃D L転項AE中西番数的定文城不同・不是同一留数.並項CD中西番数定メ城相同対度未系一五是同一国勤司
:.10 「由チエリー旦 f ( a ) { = } 2 店
刊 / { a - 6 } { a + 2 } { = } 2 尾 a = - 1 0 . ] -
4 \{ x \mid x >=slant - 1 , 旦 \scriptstyle x \neq 1 \}
「由題意可谷(士0。 出所以 x { >=slant } - 1 旦 \scriptstyle x \neq 1 改数 y = { / { sqrt { x + 1 } } { x - 1 } } 的定文域 \{ x \mid x >=slant - 1 旦 \scriptstyle x \neq 1 \} ]

312 函数的表示法

第一裸肘 函数的表示法

新知 珣任芻単

一数学表送式 図象　表格
,1. x 提示 図数 y = x \left( x \in \mathbf { R } \right) 不能用列表法表示
2 . x 提示番数 y = { / { 1 } { x } } 的図象不是一条進不断的曲袋
3 \surd -
手 x - 提示 定メ城不相同,改図象不相同

晒型 研活珈単

例解 葉百教美荼用列表去表寿(2番教美承用図象法表示如図所示(3教美系用解析法表示丸 _ { y } = 5 0 - 1 0 x ret0,1,2,3,4,50.

川禁1 解 法一(列表法)

法二(図象 法)如図所示法三(解析法) y = 3 \ 0 0 0 x リ x \in 1,2,3,4,5,6,78,9,10.

例2解（D用措点法可以作出番数的象如図 ① 所示由図可知 y = x ^ { 2 } + x ( - 1 <=slant x <=slant 1 ) 的値城\left[ - / { 1 } { 4 } , 2 \right]

留の

図 ②

(2用措点法丁以作出番教的図象如臣 ② 所示. 由図可知 y = / { 2 } { x } ( 0 < x { <=slant } 1 ) 的値域丸2 + ∞ )

川奈？解（D困番数的定文城z．所以其図象ヵ高散的点其図象如因の所示由図可却 y = - x + 1 , x \in \mathbf { Z } . 値城刃 \mathbf { z } 2困 y = 2 x ^ { 2 } - 4 x - 3 = 2 ( x - 1 ) ^ { 2 } - 5 ( 0 <=slant x < 3 ) 定メ城不是R所以図象不是完整前地物参・面号地物的一部分。

図象如図＠所示.由岡丁知 y = 2 x ^ { 2 } - 4 x - 3 ( 0 { <=slant } x { < } 3 ) 的値域カ一5,3)

田の

臼 ②

例3解依題意及 f ( x ) { = } a x ^ { 2 } { + } b x { + } c ( a { \neq } 0 ) 由 f ( 0 ) { = } 1 得 c = 1 則 f ( x ) = a x ^ { 2 } + b x + 1 又困 f ( x + 1 ) - f ( x ) { = } 2 x 対任意 { \boldsymbol { x } } \in \mathbf { R } 成立;所以 \scriptstyle { \mathfrak { z } } ( { \boldsymbol { x } } + 1 ) ^ { 2 } + b ( { \boldsymbol { x } } + 1 ) + 1 - ( a x ^ { 2 } + b x + 1 ) { } = 2 x { } 即 2 a x + a + b = 2 x 由恒等式住房・科（ニニ 身食家ま葉兵語し ・f ( x ) = x ^ { 2 } - x + 1

例4解法一(換元法) 本 sqrt { x } + 1 = t 中則 x = ( t - 1 ) ^ { 2 } , t >= 1 キ所以 f ( t ) = ( t - 1 ) ^ { 2 } + 2 ( t - 1 ) = t ^ { 2 } - 1 ( t >=slant 1 ) , 所以解析式 f ( x ) { = } x ^ { 2 } { - } 1 ( x { >= } 1 ) 法二(配法） f ( { sqrt { x } } + 1 ) = x + 2 { sqrt { x } } = x + 2 { sqrt { x } } + 1 - 1 = ( { sqrt { x } } + 1 ) ^ { 2 } - 1 . 四 sqrt { x } + 1 >= 1 中所以解析式 f ( x ) { = } x ^ { 2 } { - } 1 ( x { >= } 1 )

例解 在己知等式中・将 x 検成 / { 1 } { x } 島歩 f { \biggl ( } { / { 1 } { x } } { \biggr ) } + 2 f ( x ) = { / { 1 } { x } } , 身ビ知力程験立。駐 \left\lfloor f { \left( { / { 1 } { x } } \right) } + 2 f ( x ) = { / { 1 } { x } } \right. \int f ( x ) + 2 f \left( { / { 1 } { x } } \right) = x 消去 f { \biggl ( } { / { 1 } { x } } { \biggr ) } 形 f ( x ) = - / { x } { 3 } + / { 2 } { 3 x } , x \neq 0 . -川芽3解 (1(扶元法)金 t = sqrt { x } - 1 ( t >= - 1 ) 只 x = ( t + 1 ) ^ { 2 } 出所以 f ( t ) = ( t + 1 ) ^ { 2 } ( t >= - 1 ) ：所以 f ( x ) 的解析式 f ( x ) = ( x + 1 ) ^ { 2 } 中x >=slant - 1 . 2(配奏法) ： * f \left( { / { 1 + x } { x } } \right) = f \left( { / { 1 } { x } } + 1 \right) = { \Big ( } { / { 1 } { x } } + 1 { \Big ) } ^ { 2 } - { \Big ( } { / { 1 } { x } } + 1 { \Big ) } + 1 - / { 1 } { x } { \neq } 0 , { \therefore } 1 { + } / { 1 } { x } { \neq } 1 田 \therefore f ( x ) = x ^ { 2 } - x + 1 ( x \neq 1 ) . (3)(解方程(塑)法）今 \scriptstyle x - 1 = t 中則 \scriptstyle 1 - x = - t , x = t + 1 西市ル \stackrel { } { x } \left\{ \begin{array} { l } { { 2 f ( t ) - f ( - t ) = 2 ( t + 1 ) ^ { z } - 1 , } } \\ { { 2 f ( - t ) - f ( t ) = 2 ( - t + 1 ) ^ { z } - 1 } } \end{array} \right. 解得 f ( t ) = 2 t ^ { 2 } + / { 4 } { 3 } t + 1 . ま銀 f ( x ) 的解析式力 f ( x ) { = } 2 x ^ { 2 } + / { 4 } { 3 } x { + } 1 鳥号夜き x - 1 = / { 9 } { x - 1 } ふ x = 4 時「上え京言： \scriptstyle * y = { / { x ^ { 2 } + 8 } { x - 1 } } ( x > 1 ) 時長木福住力政留教ッープビ時 的値城カ + ∞ ) ・

4) (揆 元法) 役 t = sqrt { x - 1 } 店則 t { >=slant } 0 旦 \scriptstyle x = t ^ { 2 } + 1 h所以 \scriptstyle y = 2 ( t ^ { 2 } + 1 ) - t = 2 { \Big ( } t - { / { 1 } { 4 } } { \Big ) } ^ { 2 } + { / { 1 5 } { 8 } } ち由 t >=slant 0 告令番教的図条得原雷教的城力

例解 (1(宣接去) ・ sqrt { x } >=slant 0 中： \scriptstyle { sqrt { x } } - 1 >= - 1 中:： \scriptstyle y = { sqrt { x } } - 1 的値城 [ - 1 , + ∞ ) ：(2(分高常数法) シー2ューク十12 + { / { 7 } { x - 3 } } , 長然 ェー3千0,所以yチ2,故番教的値域 ( - ∞ , 2 ) \bigcup ( 2 , + ∞ ) 中
ビシーニーーマールースt (3)(塞本不等式法）由 _ { x > 1 } 知 _ { x - 1 > 0 } = ( x - 1 ) + { / { 9 } { x - 1 } } + 2 >=slant 2 { sqrt { ( x - 1 ) * { / { 9 } { x - 1 } } } } + 2 ^ { = 8 }

川芽4解 (1(分高常茨法)* _ { y = / { x } { x + 1 } } = 1 - / { 1 } { x + 1 } 耳定メ城丸 \{ x \vert x \neq - 1 \} - \therefore { / { 1 } { x + 1 } } \neq 0 , \boxed { \sharp } \ y \neq 1 . -：番数 \scriptstyle y = { / { x } { x + 1 } } 附値球丸 \{ y \vert y \in \mathbf { R } 田 y { \neq } 1 \} ：

(2(換元法) 今 t = sqrt { 1 - x } ( t >= 0 ) 山 則 \scriptstyle x = 1 - t ^ { 2 } 出 厠 y = - 2 t ^ { 2 } + 4 t + 2 = - 2 ( t - 1 ) ^ { 2 } + 4 ( t >= 0 ) 結合図象可得教的値域 ( - ∞ 41

随堂演

LBT四 f ( x ) = 2 x + 3 , 所以 f ( x - 2 ) = 2 ( x ョョ - 2 ) + 3 = 2 x - 1 故 g ( x ) = 2 x - 1 . ] 2．CL苗題図知 f ( - 1 ) { = } { - } 1 , f ( 0 ) { = } 0 , f ( 1 ) { = } 1,所以 f ( - 1 ) + f ( 0 ) + f ( 1 ) = - 1 + 0 + 1 = 0 . 2 ] 3:4満足 f ( a ) = 3 只有 a = 4 オ存合題意コ \begin{array} { l } { \displaystyle { , f ( x ) = - / { \partial } { 8 x } + / { \partial } { 8 } x + / { λ } { 8 } ( x \neq 0 ) } } \\ { \displaystyle { [ \therefore 3 f ( x ) + 5 f \left( / { 1 } { x } \right) = / { 2 } { x } + 1 , \qquad \quad { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } } } \\ { \displaystyle { \ \ \therefore 3 f \left( / { 1 } { x } \right) + 5 f ( x ) = 2 x + 1 , \qquad { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } } } \\ { \displaystyle { \ { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } { ~ } } } \\ \displaystyle { { ~ } \therefore { ~ } f ( x ) = - / { 3 } { 8 x } + / { 5 } { 8 } x + / { 1 } { 8 } ( x \neq 0 ) . } \end{array}

第二裸財 分段函数

新知・孤任単

-1. 分段函数

2井集至集

二1 x - 提示　分段番教是一不番数・由若千段杓成
2 . x 提示 分段図数只有一不定メ城
3 . x 提示 x { <=slant } 1 与 x > 0 有重夏・不是弁段留教
4「

題型 研活劫単

例1解（ID苗于 - 5 \in ( - ∞ , - 2 ] , 1 \in ( - 2 2所以 f ( - 5 ) = - 5 + 1 = - 4 号f ( 1 ) { = } 3 { x } 1 { + } 5 { = } 8 , f ( f ( 1 ) ) { = } f ( 8 ) { = } 2 { x } 8 { - } 1 { = } 1 5 . 2因刃 a ^ { 2 } + 2 >= 2 き所以 f ( a ^ { 2 } + 2 ) { = } 2 ( a ^ { 2 } + 2 ) { - } 1 { = } 2 a ^ { 2 } + 3 -所以不等式 f ( a ^ { 2 } + 2 ) >= a + 4 化力 2 a ^ { 2 } - a - 1 >= 0 は解得α>1式<一て故実数 a 的取但国是 | a >=slant 1 喜 a { <=slant } - / { 1 } { 2 } \} 中

3)当 \scriptstyle x <=slant - 2 肘 \scriptstyle \int ( x ) = x + 1 > 2 x 即 x { < } 1 所以 x { <=slant } - 2 車
当 - 2 < x < 2 財 , f ( x ) = 3 x + 5 > 2 x 出
即 x { > } - 5 所以 - 2 { < } x { < } 2
当 x { >=slant } 2 肘 \scriptstyle * f ( x ) = 2 x - 1 > 2 x 不成立.
禁上可知 \mathbf { \Psi } _ { { X } } 的取値風是 ( - ∞ , 2 ) 中
亭 福 f ( x )
= \left\{ \begin{array} { l l } { x ^ { 2 } - 2 x , x > 1 , } \\ { - 3 r + 3 , r <=slant 1 } \end{array} \right.
所以 f ( - 2 ) { = } 9 , f ( 1 ) { = } 0 , f ( f ( 2 ) ) { = } f ( 0 ) { = } 3 .
2当 m { > } 1 町 * m ^ { 2 } - 2 m = 1 0 ま
解得 \scriptstyle { m = 1 + } 或 m { = } 1 { - } sqrt { 1 1 } 舎去):
郡 m { <=slant } 1 財 - 3 m + 3 = 1 0 解得 m { = } - / { 7 } { 3 }
所以 \mathbf { \Sigma } _ { m } 的丸 - / { 7 } { 3 } \Re \Im { \Re } 1 + sqrt { 1 1 } ま
3当 n { > } 1 肘 * n ^ { 2 } - 2 n { <=slant } 5
解得 1 - { sqrt { 6 } } <=slant n <=slant 1 + { sqrt { 6 } } 即 1 { < } n { <=slant } 1 + { sqrt { 6 } }
浦 \scriptstyle n <=slant 1 五 - 3 n + 3 <= 5 鮮得 - / { 2 } { 3 } <=slant n <=slant 1
所以不等式 f ( n ) { <=slant } 5 的解集
- \left[ - { / { 2 } { 3 } } , 1 + { sqrt { 6 } } \right] .

例2解 (1)在同一不坐系中画出番数 f ( x ) 中g ( x ) 前図象如図の

由図 ① 中番数取値的情咒合番数 \varphi ( x ) 的定
メ得番教 \varphi ( x ) 的図象如図 ②
今- x ^ { 2 } + 2 = x 得 \scriptstyle x = - 2 或 _ { x = 1 }
造合図 ② 得出 \varphi ( x ) 的解析式
官 \varphi ( x ) = \left\{ { \begin{array} { l } { - x ^ { 2 } + 2 , x <=slant - 2 } \\ { x , - 2 < x < 1 , } \\ { - x ^ { 2 } + 2 , x >=slant 1 . } \end{array} } \right. ：
2由図 ② 知 \varphi ( x ) 的定メ城 R.guリ1,
故 \varphi ( x ) 前値城入(一0,11川捺？解 0当 0 { <=slant } x { <=slant } 2 中 f ( x ) = 1 + { / { x - x } { 2 } } ^ { - 1 } ホ
朝 - 2 < x < 0 五 \scriptstyle * f ( x ) = 1 + { / { - x - x } { 2 } } = 1 - x . 所以() f ( x ) = \left\{ { 1 , 0 } { <=slant } x { <=slant } 2 \right. 0

2番数 f ( x ) 前図象如図所示

(3由(2)知 f ( x ) 在(一2,21上的値域カ1,3)例：解 （1)由題意・得\scriptstyle γ _ { 0 , 0 <=slant x <=slant 5 } 0 0 0 \mid ( \boldsymbol { { x } } - \boldsymbol { { 5 } } ~ 0 0 0 ) x 3 % , 5 ~ 0 0 0 < \boldsymbol { { x } } <= 8 ~ 0 0 0 , y - \bar { * } \bigcup _ { \substack { 0 0 + ( x - 8 0 0 0 ) x 1 0 % , 8 0 0 0 < x <=slant 1 7 \ 0 0 0 } } , \lfloor 9 9 0 + ( x - 1 7 \ 0 0 0 ) x 2 0 % , 1 7 \ 0 0 0 < x \ll 3 0 \ 0 0 0 (2夜取エ八月併交了54元的税款...5 000--.r8 000, ( x - 5 ~ 0 0 0 ) x 3 % = 5 4 ド解得 x = 6 800.散途名頭エ八月併前工是6800元

刑奈3解由題意知当 0 { < } x { <=slant } 5 肘 _ { y = 1 , 2 x } 当 5 { < x } { <=slant } 6 町 * y { = } 1 . 2 { x } 5 { + } ( x { - } 5 ) { x } 1 . 2 { x } 2 = 2 . 4 x - 6 中店当 6 { < } x { <=slant } 7 町 , y = 1 . 2 x 5 + ( 6 - 5 ) x 1 . 2 x 2 + ( x - 6 ) x 1 . 2 x 4 = 4 . 8 x - 2 0 . 4 . -r _ { i } 2 x , x \in ( 0 , 5 ] 中所以度交的水 y = \left\{ 2 . 4 x - 6 , x \in ( 5 , 6 ] \right. \lfloor 4 . 8 x - 2 0 . 4 , x \in ( 6 , 7 ]

随堂演

1A 当 x { > } 1 町 \scriptstyle , f ( x ) = x ^ { 2 } + x - 2 中官 f ( 2 ) = 2 ^ { 2 } + 2 - 2 = 4 , \therefore { / { 1 } { f ( 2 ) } } = { / { 1 } { 4 } } , 当 x { <=slant } 1 町 f ( x ) = 1 - x ^ { 2 } 出\therefore f \left( { / { 1 } { f ( 2 ) } } \right) = f \left( { / { 1 } { 4 } } \right) = 1 - { / { 1 } { 1 6 } } = { / { 1 5 } { 1 6 } } . 7

2ć ミ f ( x ) { = } / { x } { \left| x \right| } { = } \binom { 1 , x { > } 0 } { - 1 , x { < } 0 }
因此 f ( x ) 前図象逸項C
[ - 3 一11UL1,3]「当 a <=slant 0 時 a ^ { 2 } + 4 a <=slant
一3解得 - 3 { <=slant } a { <=slant } - 1 中店

当 a { > } 0 町 * a ^ { 2 } - 4 a <=slant - 3 1 { <=slant } a { <=slant } 3 . -禁上宍教 \scriptstyle a 的取値弛国是L一3,一11UL1,31丁4:2L0,4]I: f ( 2 ) = 0 “： * f ( f ( 2 ) ) = f ( 0 ) = 4 中 * f ( f ( f ( 2 ) ) ) = f ( 4 ) = 2 . 由図象可知 , f ( x ) 前値域是L04丁丁

3,2 函数的基本性属

3,21 単週性与最大(小値第一裸肘 函数的単週性

新知 孤任勇単

-1 ( 1 ) f ( x _ { 1 } ) { < } f ( x _ { 2 } ) f ( x _ { 1 } ) { > } f ( x _ { 2 } ) 2単週区同

2 増数 減函数

二1 x 提示 図数 y = \left| x \right| 在定メ域上不具有草週性

2× 提示 須是区同内任意 _ x 田

中

4 . x 提示 y = \left\{ { \begin{array} { l } { 2 x , 1 { \not { \subset } } x { \not { <=slant } } 2 } \\ { x , 2 { \not { \subset } } x { \not { < } } 3 } \end{array} } \right. 在区同(1,3)上不単週増

5メ 提示 図数 y = - \left| x \right| 在1,31上単週茸減但宅的叢区同 [ 0 , + ∞ ) 中

題型 研活劫単

例解 踊数 f ( x ) 前図象如図所示由図象可却・留数 f \left( x \right) 的定文城 \complement - 4 h+ ∞ ) 値域(一3単週祟増区同力 ( - 2 リ0単週董区同 ( - 4 , - 2 ) 和 ( 0 , + ∞ ) 円

川禁1 解 x { >=slant } 0 肘 y = - x ^ { 2 } + 2 x + 3 中時x { < } 0 町 y = - x ^ { 2 } - 2 x + 3

所以 y = \scriptstyle \tau - x ^ { 2 } + 2 x + 3 , x >= 0 , \left\{ - x ^ { 2 } - 2 x + 3 , x { < } 0 . \right. 画出番数前図象如図所示由国象却夜番数的単調叢増区同星(一00,-11,(0,11:単週叢蔵区同是(一1,0丁(1例2解 (1由 x ^ { 2 } - 1 \neq 0 得 \scriptstyle x \neq ± 1 中散番澂 f ( x ) 的定入城丸 \{ x \vert x \ne ± 1 \} 中2)番教 f ( x ) 在 ( 1 , + ∞ ) 上単週裳猿証明如下:\forall x _ { 1 } , x _ { 2 } \in ( 1 , + ∞ ) 耳 { \boldsymbol x } _ { 1 } { \mathop < } { \boldsymbol x } _ { 2 } 奥f(エシーf(エクーエ-iエ-1(エ?-1-(r1-1)-Gi--1--1（エ2ーエDエ2+エD(ri-D(r-D)国ヵ x _ { 1 } ^ { 2 } - 1 > 0 , x _ { 2 } ^ { 2 } - 1 > 0 中x _ { 2 } + x _ { 1 } > 0 , x _ { 2 } - x _ { 1 } > 0 , 所以 f ( x _ { 1 } ) { \ > } f ( x _ { 2 } ) 散番教 f ( x ) 在 ( 1 , + ∞ ) 上草週藏川禁2 正明 \forall x _ { 1 } , x _ { 2 } \in ( - ∞ , 0 ) 耳 \mathbf { \boldsymbol { x } } _ { 1 } { < } _ { x _ { 2 } } 中国丸 f ( x _ { 1 } ) - f ( x _ { 2 } ) = 1 { - } { / { 1 } { x _ { 1 } } } { - } \left( 1 { - } { / { 1 } { x _ { 2 } } } \right) = { / { 1 } { x _ { 2 } } } - { / { 1 } { x _ { 1 } } } { = } { / { x _ { 1 } - x _ { 2 } } { x _ { 1 } x _ { 2 } } } , 由題没可得 , x _ { 1 } - x _ { 2 } < 0 , x _ { 1 } * x _ { 2 } > 0 h所以 f ( x _ { 1 } ) - f ( x _ { 2 } ) { < } 0 印 f ( x _ { 1 } ) { < } f ( x _ { 2 } ) 散留数 f ( x ) { = } 1 { - } { / { 1 } { x } } 一在区同(- 一00上草週叢増例：解 - f ( x ) { = } { - } x ^ { 2 } { - } 2 ( a { + } 1 ) x { + } 3 = - ( x + a + 1 ) ^ { 2 } + ( a + 1 ) ^ { 2 } + 3 . 困此番数的単週董増区同 ( - ∞ , - a - 1 ] 山単週琵蔵区同 [ - a - 1 , + ∞ ) 中

(1由 f ( x ) 在(一00,3上単週遠増知 3 { <=slant } - a - 1 中
解得 a <=slant - 4 車
即実教 a 前取慎国ヵ(一0,一41
(2由題意 * - a - 1 { = } 3 , a { = } - 4
(3)由題意可知 - a - 1 <=slant 1 式 - a - 1 >=slant 2 即 a
>=slant - 2 或 a <=slant - 3
所以実数 a 的取値范囲
(--00,-3jUL-2,+c0)
例4 定き・ \left\{ \begin{array} { l l } { - 2 <=slant x - 2 <=slant 2 . } \\ { - 2 <=slant 1 - x <=slant 2 } \end{array} \right.
解得 ①
図丸 f ( x ) 是一2,21上的増番数
田 f ( x - 2 ) { < } f ( 1 { - } x )
所以 _ { x - 2 < 1 - x } 解得 x { < } / { 3 } { 2 } ②
由00得 \scriptstyle 0 <=slant x < { / { 3 } { 2 } }
所以 x 的取位范田丸 \left[ 0 , { / { 3 } { 2 } } \right) ：
川髮3(1DL4,8) (2(--8,1) \left( { / { 3 } { 2 } } , + ∞ \right) -
L(1)四 f ( x ) 是 bf { R } 上的増番数
所以 \left\{ \begin{array} { l } { { 4 { - } { / { a } { 2 } } { > } 0 , } } \\ { { 4 { - } { / { a } { 2 } } { - } 1 { <=slant } 1 } } \end{array} \right. 解得 4 { <=slant } a { < } 8 .
(2若 f ( x ) 在 ( - ∞ , + ∞ ) 上是増番教
耳 f ( 2 x - 3 ) { > } f ( 5 x - 6 ) 2 x - 3 > 5 x - 6 印 _ { x < 1 } ロ
改実数 x 的取但弛田 ( - ∞ , 1 ) ：
若数 f ( x ) 是定文在 ( 0 , + ∞ ) 上的蔵図教・
そ- \mathbb { I } \Big \downarrow \Big [ 5 x - 6 > 0 , 解得 x { > } / { 3 } { 2 } 6,
刊 _ x 前耶范田丸 \left( { / { 3 } { 2 } } , + ∞ \right) 」

随堂演

1ç 由図象知 f ( x ) 的単週遠増区同 [ - 3 中 11

2AL作出番教 y = ( x + 4 ) ^ { 2 } 前図象由図象知 y = ( x + 4 ) ^ { 2 } 的草週叢蔵区同是 ( - ∞ , - 4 ) . ]

3. ( - 1 , 2 ] 図致 \scriptstyle y = f ( x ) 是定メ在3,4上的増番数一32南4F(2m)フf(m一1),町) 一3<m一1く4,2nm-1,解得一1くm2]丁

\begin{array} { l l } { { 4 . f \left( / { 3 } { 2 } \right) <=slant f \left( a ^ { 2 } + 2 a + / { 5 } { 2 } \right) } } & { { [ \because a ^ { 2 } + 2 a + / { 5 } { 2 } } } \\ { { } } & { { } } \\ { { = ( a + 1 ) ^ { 2 } + / { 3 } { 2 } >=slant / { 3 } { 2 } , } } \end{array} 又留教 f ( x ) 是定メ在 bf { R } 上的増留数\therefore f \left( { / { 3 } { 2 } } \right) <=slant f \left( a ^ { 2 } + 2 a + { / { 5 } { 2 } } \right) * \operatorname { \exists }

第二裸財 函数的最大(小値

新知 孤任単

「 * , f ( x ) { <=slant } M ョョ f ( x ) { >=slant } M f ( x _ { 0 } ) { = } M 最高坐析 最低 坐

二1 x - 提示留数 y = { / { 1 } { x } } 既毛最大但七毛最
小値
N x 提示雷教 \scriptstyle y = x ^ { 2 } 在区同一2,21上前最
小値刃 f ( 0 ) { = } 0 ま
\surd 4 \surd
5 . x 提示番数 y = x ^ { 2 } + 4 >=slant 3 但番数的最小
値4

題型 研活劫単

例1解作出番数 f ( x ) 言目言目言的図象如図由国象丁知当 \ x = ± 1 肘 f \left( x \right) 重最大値f ( 1 ) = f ( - 1 ) = 1 . -当 \scriptstyle x = 0 町 , f ( x ) 取最小値刃故 f ( x ) 前最大値ヵ1最小値ヵ0

f ( 0 ) { = } 0 中刑捺1解（1当 x { >=slant } 1 財 , f ( x ) = 2 ( x - 1 ) - 3 x = - x - 2 ロ当 0 { <=slant } { x } { < } 1 肘 , f ( x ) = - 2 ( x - 1 ) - 3 x = - 5 x + 2 ま当 x { < } 0 町 f ( x ) = - 2 ( x - 1 ) + 3 x = x + 2 . 所以 f ( x ) = \left\{ { \begin{array} { l } { - x - 2 , x >=slant 1 , } \\ { - 5 x + 2 , 0 <=slant x < 1 , } \\ { x + 2 , x < 0 . } \end{array} } \right. 若合上途解析式作出図象・図所示

(2)由図象丁以看出当 x = 0 財 f ( x ) 耶得最大値 f ( x ) _ { { m a x } } { = } 2 図数没有最小値例2解 ( 1 ) f ( x ) 是増数証明如下:- \forall x _ { 1 } , x _ { 2 } \in [ 3 , 5 ] 耳 { \boldsymbol x } _ { 1 } { \mathop < } { \boldsymbol x } _ { 2 } f ( x _ { 1 } ) - f ( x _ { 2 } ) { = } / { x _ { 1 } { - } 1 } { x _ { 1 } { + } 2 } { - } / { x _ { 2 } { - } 1 } { x _ { 2 } { + } 2 } = / { 3 ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) } { ( x _ { 1 } + 2 ) ( x _ { 2 } + 2 ) } 四丸 3 { <=slant } x _ { 1 } { < } x _ { 2 } { <=slant } 5 中所以 x _ { 1 } - x _ { 2 } < 0 , ( x _ { 1 } + 2 ) ( x _ { 2 } + 2 ) > 0 所以 f ( x _ { 1 } ) - f ( x _ { 2 } ) { < } 0 即 f ( x _ { 1 } ) { < } f ( x _ { 2 } ) 所以 f ( x ) 在3,5上増番教.(2)由(1)知, f ( x ) 在3,5丁上カ増番教肌 f ( x ) _ { { m a x } } { = } f ( 5 ) { = } { / { 4 } { 7 } } f ( x ) _ { { m i n } } = f ( 3 ) = / { 2 } { 5 } .

川跡2 解 山四致 f ( x ) 杜 ( 4 , + ∞ ) 上単卿薨増

証明: \forall x _ { 1 } , x _ { 2 } \in ( 4 , + ∞ ) 耳 { \bf \Phi } _ { x _ { 1 } > x _ { 2 } }
{ \begin{array} { r l } & { \mathbb { M } \int \operatorname { { I } } ( x _ { 1 } ) - f ( x _ { 2 } ) = x _ { 1 } + { / { 1 6 } { x _ { 1 } } } - \left( x _ { 2 } + { / { 1 6 } { x _ { 2 } } } \right) } \\ & { = ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) + \left( { / { 1 6 } { x _ { 1 } } } - { / { 1 6 } { x _ { 2 } } } \right) } \\ & { = ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) + { / { 1 6 ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) } { x _ { 1 } x _ { 2 } } } } \\ & { = { / { ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) ( x _ { 1 } x _ { 2 } - 1 6 ) } { x _ { 1 } , x _ { 2 } } } . } \end{array} } エ1エ?
因丸 \boldsymbol { x } _ { 1 } { > } 4 , \boldsymbol { x } _ { 2 } { > } 4 所以 x _ { 1 } x _ { 2 } > 1 6
印 x _ { 1 } x _ { 2 } - 1 6 > 0 中
又図丸 { } _ { x _ { 1 } > x _ { 2 } } 則 { \boldsymbol x } _ { 1 } - { \boldsymbol x } _ { 2 } > 0 出
所以 f ( x _ { 1 } ) - f ( x _ { 2 } ) { > } 0 即 f ( x _ { 1 } ) { > } f ( x _ { 2 } ) 出
散番教 f ( x ) 在 ( 4 , + ∞ ) 上草邇瑳増
(2)由(1知,髷数 f ( x ) 在 ( 4 , + ∞ ) 上草調
遠増・所以歯教 f ( x ) 在L6,9上単潤琵増
散数 f ( x ) 在6,9上的最小値 f \left( 6 \right) { = } 6 { + }
{ / { 1 6 } { 6 } } = { / { 2 6 } { 3 } } 最大値 f ( 9 ) = 9 + { / { 1 6 } { 9 } } = { / { 9 7 } { 9 } }

例3解 f ( x ) = 3 x ^ { 2 } - 1 2 x + 5 = 3 ( x - 2 ) ^ { 2 } - 7 . (1)当 { \boldsymbol { x } } \in \mathbf { R } 財 * f ( x ) = 3 ( x - 2 ) ^ { 2 } - 7 >= - 7 恒成立散国教 f ( x ) 的最小値ヵ一7毛最大値

(2)雷数 f ( x ) = 3 ( x - 2 ) ^ { 2 } - 7
的図象図所示由図可却在
[0,31上,番数 f ( x ) 在 \scriptstyle x = 0 外
取得最大慎・5在 \scriptstyle x = 2 外
頭幕最小値・カ一7
(3苗四可知髷数 f ( x ) 在
一111上草週蔵・所以在 _ x
= - 1 処取得最大値力
f ( - 1 ) = 3 x ( - 1 - 2 ) ^ { 2 } - 7 = 2 0 ; 在 x = 1 外取
得最小値:
丸 f ( 1 ) { = } 3 { x } ( 1 { - } 2 ) ^ { 2 } { - } 7 { = } { - } 4 . 言目言言

例4 解 f ( x ) = x ^ { 2 } - 2 a x + 2 = ( x - a ) ^ { 2 } + 2 - a ^ { 2 } , x \in [ - 1 , 1 ]

日

四1

当 a { >=slant } 1 肘岡教 f ( x ) 前図象如図1中案所示,番教 f ( x ) 在区同L一1,11上草週減最小値丸 f ( 1 ) = 3 - 2 a
和 - 1 { < a < } 1 町図数 f ( x ) 前困象却図2宍歩所示番数 f ( x ) 在区同一1л＠)上単週董減在区同L,1丁上単週叢増
最小値 f ( a ) { = } 2 { - } a ^ { 2 }
当 a <=slant - 1 財岡数 f ( x ) 前図象如図：中宍歩所示・岡教 f ( x ) 在区同一1,11上単週叢増最小慎刃 f ( - 1 ) = 3 + 2 a 中
3--2a41,
奈上所途f(エmn-)2-a-1<a<1,
13+2aa<--1.

四

例5 解 f ( x ) = x ^ { 2 } - 2 x + 2 = ( x - 1 ) ^ { 2 } + 1 , x \in Lt ,t+ll,teR.

日

国1

円

当 t + 1 { < } 1 印 t { < } 0 町国数 f ( x ) 前図象如図1中宍所示数 f ( x ) 在区 同L,1十11上草週遠,所以最小値 g ( t ) = f ( t + 1 ) = t ^ { 2 } + 1
当 t <=slant 1 <=slant t + 1 印 0 { <=slant } t { <=slant } 1 町岡数 f ( x ) 削図象地園？中案所画獣 f ( x ) 在区両 [ t , t + 11上先減后増・所以最小 g ( t ) = f ( 1 ) = 1 当 t { > } 1 町番教 f ( x ) 郎国象如図3中宍所示番教 f ( x ) 在区同十1上単週遠増・所以最小但 g ( t ) { = } f ( t ) { = } t ^ { 2 } { - } 2 t { + } 2
+1.tく0.
禁上可得 , g ( t ) = \left\lfloor 1 , 0 <=slant t <=slant 1 \right\rceil 中
\begin{array} { r } { | { t } ^ { 2 } - 2 t + 2 , t > 1 . } \end{array}
I奈3解（1)留数 f ( x ) = x ^ { 2 } - 2 x - 3 図象的千日向上・対称軸ヵ真袋 \scriptstyle x = 1 中-： f ( x ) 在0,11上単週琵減在(1,21上単週瑾
増旦 f \left( 0 \right) = f \left( 2 \right) ま一田 { \boldsymbol { * } } { \boldsymbol { f } } ( { \boldsymbol { \mathscr { x } } } ) _ { { m a x } } = { \boldsymbol { f } } ( 0 ) = { \boldsymbol { f } } ( 2 ) = - 3 , -
f ( x ) _ { { m i n } } = f ( 1 ) = - 4 . -
(2)由(1知,番数 f ( x ) 図象的対称軸ヵ真袋
\scriptstyle x = 1 , 千向上
① 当 \scriptstyle 1 >=slant t + 2 即 t <=slant - 1 肘
岡数 f ( x ) 在区同Lt ^ { + + } 2上単週叢減所以 f ( x ) _ { { m a x } } { = } f ( t ) { = } t ^ { 2 } { - } 2 t { - } 3 -ウ
\begin{array} { r l } & { f ( x ) _ { \operatorname* { m i n } } = f ( t + 2 ) = t ^ { 2 } + 2 t - 3 . } \\ & { { 2 } / { \ y } { 2 } / { t + t + 2 } { 2 } <=slant 1 < t + 2 , \operatorname* { m i n } - 1 < t <=slant 0 } \end{array} 時.図数 f ( x ) 在区同 t + 2 ] 上先瑞減再叢増旦
\scriptstyle x = t 距高 \scriptstyle x = 1 乾近
\begin{array} { r l } & { β \not { { G } } \stackrel { } { \mathbb { M } } f ( x ) _ { \operatorname* { m a x } } = f ( t ) = t ^ { 2 } - 2 t - 3 , } \\ & { f ( x ) _ { \operatorname* { m i n } } = f ( 1 ) = - 4 . } \\ & { \bigcircledast \stackrel { >= } t <=slant 1 < / { t + t + 2 } { 2 } , \sharp \eta _ { 0 } < t <=slant 1 \sharp . } \end{array} 雷勢 f ( x ) 在区同山 * t + 2 ] 上先壌減再叢増・旦
\scriptstyle { \boldsymbol { x } } = t 距高 \scriptstyle x = 1 乾近
所以 f ( x ) _ { { m a x } } = f ( t + 2 ) = t ^ { 2 } + 2 t - 3 ,
f ( x ) _ { { m i n } } = f ( 1 ) = - 4 .
④ 当 t { > } 1 肘図数 f ( x ) 在区間 [ t , t + 2 ] 上単週叢増
所以 f ( x ) _ { { m a x } } = f ( t + 2 ) = t ^ { 2 } + 2 t - 3 ま
f ( x ) _ { { m i n } } { = } f ( t ) { = } t ^ { 2 } { - } 2 t { - } 3 . -f ( x ) g ( t ) 永木本後め \varphi ( t ) g \left( t \right) = \left\{ { t ^ { { { t ^ { 2 } } - { 2 t } - 3 , t } { { <=slant } 0 } } } \right. +2ー3メー1
2のー) パー4,ー1くレ<1.セ--2tー3,1>1.

例6解（月声量丸 \mathbf { \Psi } _ { x } 台則成本「- 2 0 ~ 0 0 0 + 1 0 0 x 中人面両 f ( x ) = \left\{ { \begin{array} { l } { \displaystyle - { / { 1 } { 2 } } x ^ { 2 } + 3 0 0 x - 2 0 ~ 0 0 0 , 0 { <=slant } x { <=slant } 4 0 0 , } \\ { \displaystyle 6 0 ~ 0 0 0 - 1 0 0 x , x { > } 4 0 0 . } \end{array} } \right. 2当 0 { <=slant } x { <=slant } 4 0 0 肘f ( x ) = - / { 1 } { 2 } ( x - 3 0 0 ) ^ { 2 } + 2 5 ~ 0 0 0 ; 所以当 _ { x = 3 0 0 } 肘 , f ( x ) _ { { m a x } } { = } 2 5 ~ 0 0 0 当 _ { x > 4 0 0 } 財 \scriptstyle * f ( x ) = 6 0 \ 0 0 0 - 1 0 0 x 是減図数f ( x ) { < } 6 0 ~ 0 0 0 { - } 1 0 0 { x } 4 0 0 { < } 2 5 ~ 0 0 0 . -所以当 \scriptstyle x = 3 0 0 町 f ( x ) _ { { m a x } } = 2 5 000.即毎月生声300台墨財利最土最大利潤25 000 元.

刑窯434没在甲地籠魯末声品 x 聴則在乙地箪髻索品 ( 1 0 - x ) 中由題意可得利滴 y = 5 x - / { 1 } { 4 } x ^ { 2 } + 3 ( 1 0 - x ) -= - { / { 1 } { 4 } } x ^ { 2 } + 2 x + 3 0 = - { / { 1 } { 4 } } ( x - 4 ) ^ { 2 } + 3 4 , -所以当 \scriptstyle x = 4 町荻得最大利洞 y = 3 4 万元コ

随堂演

1.C由題図却岡数在一4一3上単潤叢減在一3,11上草週叢増・当 x = - 3 財耶最小値0

- \begin{array} { l } { { { ~ { \cal { B } } ~ } } } \\ { { { ~ { \cal { B } } ~ } [ \because s = ( 4 + x ) \left( 3 - / { x } { 2 } \right) = - \displaystyle / { 1 } { 2 } x ^ { 2 } + x + } } \\ { { { ~ { \cal { 1 } } ~ } } } \\ { { \displaystyle { ~ { \cal { 1 } } 2 } = - / { 1 } { 2 } ( x - 1 ) ^ { 2 } + \displaystyle / { 2 5 } { 2 } , \Re \left\{ 3 - / { x } { 2 } > 0 , \displaystyle \sharp \ : 0 < \ : \right. } } \end{array} -
\scriptstyle x < 6 , \therefore 刊 _ { x = 1 } 町,S取最大伯 / { 2 5 } { 2 } 散途B{ \begin{array} { r l } { { 3 . { / { 4 } { 3 } } } } & { [ f ( x ) = { \cfrac { 1 } { 1 - x + x ^ { 2 } } } = { \cfrac { 1 } { ( x - { \cfrac { 1 } { 2 } } ) ^ { 2 } + { \cfrac { 3 } { 4 } } } } . } \\ { \because ( x - { \cfrac { 1 } { 2 } } ) ^ { 2 } + { \cfrac { 3 } { 4 } } >=slant { \cfrac { 3 } { 4 } } , { \therefore f ( x ) <=slant { \cfrac { 4 } { 3 } } } . { \rlap / { { \ast } } } { \hat { α } } } \end{array} } 門\sharp \chi _ { \boldsymbol { \mathscr { T } } } ( \boldsymbol { \mathscr { x } } ) 的最大 / { 4 } { 3 } 」
41T困丸 f ( x ) = - x ^ { 2 } + 4 x + a 的図象的対称軸真歩 \scriptstyle x = 2 岡数図象千向下所以 f ( x ) 社T0,11上単週 叢増.又国力 f ( x ) _ { { m i n } } = - 2 , 所以 f ( 0 ) = - 2 即 a = - 2 . 所以 f ( x ) _ { { m a x } } = f ( 1 ) = - 1 + 4 - 2 { = } 1 . ]

3,2,2 奇偶性

第一裸財 函数的奇偶性

新知 孤任芻単

- \mathbf { \nabla } _ { * } f ( x ) - f ( x ) - _ y 軸原点
二1 x 提示　定メ壌不栄千原点対称
2 . x 提示例如 f ( x ) = x ^ { 2 } + x 存在 x = 0 使得 f ( - x ) { \mathop { = } } - f ( x ) 但 f ( x ) 不是脊図数
:. x 提示例如 f ( x ) { = } 0 ( x \in \mathbf { R } ) 既是奇番数又是偶番教
4メ提示例如 f ( x ) = x ^ { 2 } - x 前定メ城R美子原点対称・但 f ( x ) 既不是奇番教也不是偶留費
5.

題型 ・研活劫単

例1解（留教的定文城ヵR美千原点対称又 f ( - x ) { = } ( - x ) ^ { 3 } + ( - x ) { = } - ( x ^ { 3 } + x ) 言目言言言言= - f ( x ) 中因北留数 f ( x ) 是奇番教2由 ー20得ェ-15印ェーエ1因北図教的定メ域力 \{ - 1 , 1 \} 美千原点寸粧× f ( 1 ) = f ( - 1 ) = - f ( - 1 ) = 0 中所以番数 f ( x ) 既是奇番教又是信番教(3)番数 f ( x ) 的定メ城是(一一1U ( - 1 中+ ∞ ; 不美千原 点対称所以番数 f ( x ) 既不是奇画對也不是偈番勢

例？ 解番数 f ( x ) 的定文域是 ( - ∞ , 0 ) U0,+ ∞ ) 因「 x \in ( - ∞ , 0 ) \bigcup ( 0 , + ∞ ) 中

都有 - x \in ( - ∞ , 0 ) \bigcup ( 0 , + ∞ )
当 x { > } 0 財 - x { < } 0
所以 f ( - x ) { = } { - } ( - x ) { + } 1 { = } 1 { + } x { = } f ( x )
当 x { < } 0 肘 - { x } > 0 中
所以 f ( - x ) = ( - x ) + 1 = 1 - x = f ( x ) ,
赤上可知,対千 x \in ( - ∞ , 0 ) \bigcup ( 0 , + ∞ )
都有 f ( - x ) { = } f ( x ) , f ( x ) 丸偶番数
川禁解 ( 1 ) f ( x ) 前定メ城是R美千原点対称;× f ( - x ) = | - x - 1 | + | - x + 1 | = | x + 1 | + | x - 1 | = f ( x ) 中
- ( 2 ) _ { { X } } f ( x ) に長義類え \left\{ { \begin{array} { l } { { 2 } \qquad x ^ { 2 } >=slant 0 , } \\ { \left| x + 2 \right| - 2 \neq 0 } \end{array} } \right. 解得一 { sqrt { 2 } } <=slant x < 0 或 \scriptstyle 0 < x <=slant { sqrt { 2 } } 改定メ域美子原点寸称千是 | x + 2 | - 2 = x + 2 - 2 = x 八両 f ( x ) = { / { sqrt { 2 - x ^ { 2 } } } { x } } , - f ( - x ) = { / { sqrt { 2 - x ^ { 2 } } } { x } } , 所以是奇番数( 3 ) f ( x ) 的定メ域力 bf { R } 美千原点対称当 x { > } 0 財 , - x < 0 , f ( - x ) = - ( - x ) ^ { 2 } - 2 = - ( x ^ { 2 } + 2 ) = - f ( x ) 当 x { < } 0 肘 - x > 0 , f ( - x ) = ( - x ) ^ { 2 } + 2 = - ( - x ^ { 2 } - 2 ) = - f ( x ) 当 \scriptstyle x = 0 肘 f ( 0 ) { = } 0 改 f ( x ) 寄番数

例： 解 (T由偈番数図象美子 _ y 軸対称社全踊数図象如図所示

(由国象丁却踊数 f ( x ) 前単調叢増区同 ( - 1 , 0 ) , ( 1 , + ∞ ) (3由図象可知使 f ( x ) { < } 0 的 x 的取値集合 カ \{ x \vert - 2 < x < 0 或 \scriptstyle 0 < x < 2 \} 川襟？解（D由子 f ( x ) 在定文城上是奇図教・ 図製美千原点寸稗基国象却図所.

(2)咒察図ま知 f ( 3 ) { < } f ( 1 )

例4（A ( 2 ) - { / { 3 } { 2 } } - I(1り法- 金 g \left( x \right) =
f ( x ) + 8 = x ^ { 5 } + a x ^ { 3 } + b x -
則 g ( x ) 是定メ在 bf { R } 上的奇番教
人面 g \left( - 2 \right) = - g \left( - / { } { } \right) 2即 f ( - 2 ) + 8 =
- ( f ( 2 ) + 8 )
所以 f ( 2 ) = - f ( - 2 ) - 1 6 = - 1 0 - 1 6 = - 2 6 .
法二由己知条件・得
バー2ー(ー2+α・（ー2+（一2ー8,0
\left\{ f ( 2 ) = 2 ^ { 5 } + a * 2 ^ { 3 } + b * 2 - 8 \right. 店 ②
{ 1 } + { 2 } 得 f ( 2 ) + f ( - 2 ) = - 1 6 .
又 f ( - 2 ) = 1 0 所以 f ( 2 ) = - 2 6
2因丸 g ( x ) { = } f ( 2 x ) { - } x ^ { 2 } 中
所以 g \left( { / { 1 } { 2 } } \right) = f ( 1 ) - { / { 1 } { 4 } } ,
ス f ( 1 ) { = } 2 所以 g \left( { / { 1 } { 2 } } \right) = { / { 7 } { 4 } }
因 g ( x ) 是奇番数
所以 g \left( - { / { 1 } { 2 } } \right) = - g \left( { / { 1 } { 2 } } \right) = - { / { 7 } { 4 } }
所以 g \left( - { / { 1 } { 2 } } \right) = f ( - 1 ) - \left( - { / { 1 } { 2 } } \right) ^ { 2 } = - { / { 7 } { 4 } }
所以 f ( - 1 ) = - / { 7 } { 4 } + / { 1 } { 4 } = - / { 3 } { 2 } . ー

川彝：(DD (2D (1困 f ( x ) 是春番数月当 x { > } 0 田 f ( x ) = x ^ { 2 } + { / { 2 } { x } } 所以 f ( - 2 ) = - f ( 2 ) = - 5 . 2法一由 f ( x ) - g \left( x \right) = x ^ { 3 } + x ^ { 2 } + 2 . 得f ( - x ) - g ( - x ) = - x ^ { 3 } + x ^ { 2 } + 2 . -因丸 f ( x ) , g ( x ) 分別是定メ在 bf { R } 上的信番数和奇番教所以 f ( x ) + g ( x ) = - x ^ { 3 } + x ^ { 2 } + 2 中所以 f ( 1 ) + g ( 1 ) = - 1 + 1 + 2 = 2 . 法二 根据題意・得 f ( - 1 ) - g ( - 1 ) = ( - 1 ) ^ { 3 } + ( - 1 ) ^ { 2 } + 2 { = } 2 即 f ( 1 ) + g ( 1 ) = 2 . ]

随堂演

I．ć 丁囲ヵ番蓼 \scriptstyle y = f ( x ) 是奇番数・図象上有一貞力 ( a , f ( a ) ) 所以 f ( - a ) = - f ( a ) 故図象以辻点(一a一f(α)-丁
2．PCL対子 f ( x ) = x ^ { 2 } - 2 x + 2 = ( x - 1 ) ^ { 2 } + 1 リ図数既不是奇番教也不是偶番教A諧：寸子 f ( x ) = x ^ { 3 } + 2 x 其定文城刃 \mathbf { R } , f ( - x ) = - x ^ { 3 } - 2 x = - ( x ^ { 3 } + 2 x ) = - f ( x ) 即番数是奇番教R正硝：対チf()ーェーー 其定メ城カ \{ x \mid x \neq 0 \} f ( - x ) = - x + { / { 4 } { x } } = - \left( x { - { / { 4 } { x } } } \right) = - f ( x ) , 即数是脊番数.C正彌：対千 f ( x ) = \left| x \right| + { / { 1 } { x ^ { 2 } } } 共定メ城 \{ x \mid x \neq 0 \} f ( - x ) { = } | - x | { + } / { 1 } { ( - x ) ^ { 2 } } { = } f ( x ) 肌番数是信番数,D黌渠丁
/ { 1 } { 7 } 偶番数前定メ城芙千原点対称・所
以 6 a - 1 = - a 解得 a = / { 1 } { 7 } ま所以 f ( x ) = { / { 3 } { 7 } } x ^ { 2 } + b x - { / { 5 } { 7 } } + b . -又由 f ( x ) 信番教得 f ( - x ) { = } f ( x )
丁得 b = 0 . 所以 a + b = { / { 1 } { 7 } } . コ
戸 \begin{array} { r l } { . - 2 } & { { } \left[ f ( - 2 ) + f ( - 1 ) = - f ( 2 ) - f ( 1 ) \right. } \end{array}
= - { / { 3 } { 2 } } - { / { 1 } { 2 } } = - 2 . ]

第二深財 函数奇偶性的度用

新知 孤コ任學!

-,1. 単週逸増(減) 相同

2, 単凋途減(増) 相反
3一M
ΔN
5. f ( 0 ) { = } 0 -
二1 \surd 2 3 4

題型 研活劫単

例解 (1(定又法) 及 x { < } 0 〔一 x { > } 0 出f ( - x ) = - 2 ( - x ) ^ { 2 } + 3 ( - x ) + 1 = - 2 x ^ { 2 } - 3 x + 1 中由千番教 f ( x ) 是定文在 bf { R } 上的奇番教所以 f ( - x ) = - f ( x ) = - 2 x ^ { 2 } - 3 x + 1 所以当 x { < } 0 肘 \scriptstyle * f ( x ) = 2 x ^ { 2 } + 3 x - 1 又 \scriptstyle x = 0 町 f ( 0 ) { = } 0 キ\phantom { } _ { l } - 2 x ^ { 2 } + 3 x + 1 , x > 0 , 所以 f ( x ) = \left\lfloor 0 , x = 0 \right. \left\lfloor 2 x ^ { 2 } + 3 x - 1 , x { < } 0 . \right. (2)(解方程銀法) 町 f ( x ) + g ( x ) = { / { 1 } { x - 1 } } ę得 f ( - x ) + g ( - x ) = { / { 1 } { - x - 1 } } . ② 因丸 f ( x ) 是偶留数 \mathbf { π } _ { g } ( \boldsymbol { x } ) 是奇番数・所以 f ( - x ) { = } f ( x ) , g ( - x ) { = } { - } g ( x ) ロ{ \begin{array} { r l } & { { { \# } } { { λ } } { { \wedge } } { { \bigotimes } } , { { \# } } { { \Delta } } f ( x ) - g ( x ) { = } { / { 1 } { - x - 1 } } . } \\ & { { / { { { \sc { \mathbb { D } } } } + { { \circled } { 2 } } } } , { { \# } } { { \Delta } } f ( x ) { = } { / { 1 } { x ^ { 2 } - 1 } } , x { \neq } ± 1 ; } \end{array} } ③

5 . x 提示 例如 f ( x ) = x , g ( x ) = x ^ { 2 } 両 f ( x ) + g ( x ) = x + x ^ { 2 } 是非春非偶番教

/ { \mathbb { O } - \mathbb { O } } { 2 } \stackrel { \triangledown } { \operatorname { \triangledown } } g ( x ) = / { x } { x ^ { 2 } - 1 } , x \neq ± 1 .

\scriptstyle ( 0 , x = 0 川券 イーェー1エイ0

：
\left( 2 \right) f ( x ) = \left\{ { \begin{array} { l } { - x ^ { 2 } - x , x { < } 0 , } \\ { x ^ { 2 } - x , x { >=slant } 0 } \end{array} } \right.
I(丸留数 f \left( x \right) = \left\{ { x ^ { 2 } + 1 , x { > } 0 } \right. 丸青
雷数
所以 f ( 0 ) { = } g ( 0 ) { = } 0
投 x { < } 0 - { x > 0 } 中
f ( - x ) = ( - x ) ^ { 2 } + 1 = x ^ { 2 } + 1 .
又 f ( x ) 奇番教
所以 f ( - x ) { = } { - } f ( x ) { = } x ^ { 2 } + 1
所以 f ( x ) = - x ^ { 2 } - 1 r
内 x { < } 0 町 f ( x ) { = } _ { g } ( x )
所以 g ( x ) = - x ^ { 2 } - 1
禁上可得 g ( x ) = \left\{ { \begin{array} { l l } { 0 , x = 0 , } \\ { - x ^ { 2 } - 1 , x < 0 } \end{array} } \right. ロ
2役 x { > } 0 則 - x { < } 0 も
則 f ( - x ) = - ( - x ) ^ { 2 } - ( - x ) = - x ^ { 2 } + x .
又 f ( x ) 是 bf { R } 上的奇番数
所以 f ( x ) = - f ( - x ) = x ^ { 2 } - x ,
又・番数的定メ域 bf { R } は
:： f ( 0 ) { = } 0 中
海上イ場 f ( x ) = { \biggl \{ } { \begin{array} { l } { - x ^ { 2 } - x , x { < } 0 } \\ { x ^ { 2 } - x , x { >=slant } 0 . } \end{array} } -

2B L(p)由子 \scriptstyle y = f ( { \boldsymbol { x } } ) 丸信番数因此 \scriptstyle a = f ( - 2 ) = f ( 2 ) , c = f ( - 1 ) = f ( 1 ) 又図数 \scriptstyle y = f ( x ) 在区同0,21上単週増 0 { < } 1 { < } 2 所以 f ( 0 ) { < } f ( 1 ) { < } f ( 2 ) 即 b { < } c { < } a 中2：番数 f ( x ) 奇番数旦 f ( x ) 在区同L0,十Q0)上単週叢増,: f ( x ) 在 bf { R } 上単潤叢増又 - 1 < - 0 . 5 < 0 中\` * f ( - 1 ) { < } f ( - 0 . 5 ) { < } f ( 0 ) . ] 例3（(1(一8,-3) 2ン(ッイー1北別イー)(1)四 f ( x ) 是 bf { R } 上的奇番数・由千 f ( 2 x + 1 ) + f ( 2 - x ) < 0 , は所以 f ( 2 x + 1 ) { < } f ( x - 2 ) ：又 \scriptstyle y = f ( x ) 在 bf { R } 上単週叢増所以 2 x + 1 { < } x - 2 解得 x < - 3 . 改原不等式前解集 ( - ∞ , - 3 ) 中2 g ( x ) 在一2,21上是偶番教旦当 _ { x >=slant 0 } 肘雷数 g ( x ) 是蔵番数因此 g ( 1 - m ) < g m)等竹千 g \left( \mid 1 - m \mid \right) < 一2イ1一nく2G(mD,年併王! - 2 <=slant m <=slant 2 | 1 1 - m | > | m | 中解得一K川くナ都 \mathbf { \Psi } _ { m } 的取箇国身 \left\{ m \bigg | - 1 <=slant m < / { 1 } { 2 } \right\} 」川窯2（DA 2L0,1(1)由 \begin{array} { r } { x _ { 1 } < 0 , } \end{array} 旦 x _ { 1 } + x _ { 2 } > 0 ホ得 x _ { 2 } > - x _ { 1 } > 0 国数 f ( x ) 在 ( 0 , + ∞ ) 上草潤琵蔵所以 f ( x _ { 2 } ) { < } f ( - x _ { 1 } ) 又 f ( x ) 是 bf { R } 上的信番教所以 f ( - x _ { 2 } ) { = } f ( x _ { 2 } ) 所以 f ( - x _ { 2 } ) { < } f ( - x _ { 1 } ) 散A正禰(2苗 f ( 1 - a ^ { 2 } ) + f ( 1 - a ) < 0 得 f ( 1 - a ^ { 2 } ) { { < } } - f ( 1 - a ) 四丸 \scriptstyle y = f ( x ) 在定メ域一1,11上是春図数所以 f ( 1 - a ^ { 2 } ) { < } - f ( 1 - a ) = f ( a - 1 ) 又 f ( x ) 在L0,11上阜週減故 f ( x ) 在一1,11上草週端減- 1 <=slant 1 - a ^ { 2 } <=slant 1 所以 -1<1ーa<1,解得0<a<l._ \ : | 1 - a ^ { 2 } > a - 1 \ : 市所以実教 \scriptstyle a 前取弛 国是0,1D)丁

例解 1番数 f ( x ) 是定文城 ( - 1 , 1 ) 上的奇雷数所以 f ( 0 ) { = } 0 人両 b = 0 \stackrel { \triangledown } { x } f \left( / { 1 } { 2 } \right) = / { 4 } { 5 } \left( / { a } { 2 } + b \right) = / { 2 } { 5 } a = 1 中西北のーチ2 \forall x _ { 1 } , x _ { 2 } \in ( - 1 , 1 ) 日 { \boldsymbol x } _ { 1 } { \mathop < } { \boldsymbol x } _ { 2 } 目 f ( x _ { 1 } ) - f ( x _ { 2 } ) = / { x _ { 1 } } { 1 + x _ { 1 } ^ { 2 } } - / { x _ { 2 } } { 1 + x _ { 2 } ^ { 2 } } = / { ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) ( 1 - x _ { 1 } x _ { 2 } ) } { ( 1 + x _ { 1 } ^ { 2 } ) ( 1 + x _ { 2 } ^ { 2 } ) } 四 x _ { 1 } , x _ { 2 } \in ( - 1 , 1 ) 日 x _ { 1 } < x _ { 2 } 所以 x _ { 1 } - x _ { 2 } { < } 0 , 1 - x _ { 1 } x _ { 2 } { > } 0 , 所以 f ( x _ { 1 } ) { - } f ( x _ { 2 } ) { < } 0 生印 f ( x _ { 1 } ) { < } f ( x _ { 2 } ) 所以番澂 f ( x ) 在 ( - 1 , 1 ) 上是増留数又因刃 f ( 2 t - 1 ) + f ( t - 1 ) { < } 0 旦 f ( x ) 奇図数所以 f ( 2 t - 1 ) { < } f ( 1 { - } t ) 中因丸 f ( x ) 号 ( - 1 , 1 ) 上的増番数所以 2 t - 1 { < } 1 - t 解得 t < / { 2 } { 3 } 又由 - 1 { < } 2 t - 1 { < } 1 四 - 1 { < } 1 - t { < } 1 \scriptstyle 0 < t < 1 禁上 \scriptstyle 0 < t < { / { 2 } { 3 } } 中改安教 \mathbf { \chi } _ { t } 的取位菟田星 \left( 0 , { / { 2 } { 3 } } \right)
川彝：解（1)当 x { < } 0 町 - { x } > 0 キ只 f ( - x ) = ( - x ) ^ { 2 } + ( - x ) = x ^ { 2 } - x 又由 f ( x ) 是 bf { R } 上的脊番数・肌 f ( x ) { = } { - } f ( - x ) { = } { - } x ^ { 2 } + x . -故 f ( x ) = - x ^ { 2 } + x ( x < 0 ) 中(2)当 x { >=slant } 0 五 \scriptstyle * f ( x ) = x ^ { 2 } + x = \left( x + { / { 1 } { 2 } } \right) ^ { 2 } - / { 1 } { 4 } 奥 f ( x ) 中 [ 0 , + ∞ ) 上単週増又由 f ( x ) 是 bf { R } 上的奇番数則 f ( x ) 在 ( - ∞ , 0 ) 上也単週増・故 f ( x ) 在R上阜週増番教旦 f ( x ) 奇番教又困ヵ f ( 1 + a ) + f ( 2 a ) > 0 店所以 f ( 1 + a ) { > } f ( - 2 a ) 所以 a + 1 { > } - 2 a 中解得 a { > } { - } / { 1 } { 3 } 」
島 \mathbf { \Psi } _ { a } 的京住国丸 \left( - { / { 1 } { 3 } } , + ∞ \right) ュ

随堂演

IAT当 x { < } 0 肘 , - x > 0 , f ( - x ) = - x - 1 . 由奇留教的性展可却当 x { < } 0 財，f ( x ) = - f ( - x ) = - ( - x - 1 ) = x + 1 . ]
2．ć 留数 f ( x ) 是偶番数
所以 f ( - π ) { = } f ( π ) , f \left( - { / { π } { 2 } } \right) { = } f \left( { / { π } { 2 } } \right) ,
又因カ f ( x ) 在0,三丁上単洞道増 π { > } 2 { > } / { π } { 2 } 町所以 f ( π ) { > } f ( 2 ) { > } f \left( / { π } { 2 } \right) 中
- \begin{array} { l } { \displaystyle \sharp \mathbb { \Gamma } f ( - π ) > f ( 2 ) > f \left( - / { π } { 2 } \right) * \big ] } \\ { \displaystyle ( - ∞ , 1 ) \lfloor \big \vert ( 3 . + ∞ ) } \end{array}

3（一e,1ロ?.十es）因丸 \scriptstyle y = f ( x ) 在 bf { R } 上是偶留茅旦 f ( 1 ) = 1 . 由 f ( 2 - x ) { > } 1 得 f ( \left| x - 2 \right| ) { > } f ( 1 ) 中又当 x { >=slant } 0 肘図数 y = f ( x ) 単週叢増致 | x - 2 | > 1 解得 x { < } 1 或 x { > } 3 . ]
4 \{ x \vert x >=slant 1 或 { \boldsymbol { x } } <=slant - 3 { \boldsymbol { \zeta } } T因偶図数 f ( x ) 在区同 ( 0 , + ∞ ) 上草潤董蔵・旦 f ( 2 ) = 0 所以 f ( - 2 ) = f ( 2 ) = 0 中則不等式 f ( x + 1 ) <=slant 0 等竹丸 f ( \mid x + 1 \mid ) <=slant f ( 2 ) \lvert x + 1 \rvert >=slant 2 解得 x { <=slant } - 3 或 x { >=slant } 1 . ]

微麦題 函数性贋的琮合同題

題型 研活劫単

例B「. \scriptstyle * _ { y = f ( x ) } 的田象送千点 \left( { / { 1 } { 2 } } , 0 \right) 対称\therefore f \Bigl ( / { 1 } { 2 } + x \Bigr ) + f \Bigl ( / { 1 } { 2 } - x \Bigr ) = 0 ,

や _ { x = 1 } 毎 f { \biggl ( } { / { 3 } { 2 } } { \biggr ) } = - f { \biggl ( } - { / { 1 } { 2 } } { \biggr ) }
= - f { \left( / { 1 } { 2 } \right) } = - \left( - { / { 1 } { 2 } } + { / { 1 } { 2 } } \right) = 0 . 7
川1B「番数 y = f ( x + 2 ) 是偶番数
* f ( 2 + x ) = f ( 2 - x )
故番数 \scriptstyle y = f ( { \boldsymbol { \mathbf { \mathit { \Phi } } } } _ { { X } } ) 的図象美千真巻 \scriptstyle x = 2 対称\therefore f \left( { / { 5 } { 2 } } \right) = f \left( { / { 3 } { 2 } } \right) , f \left( { / { 7 } { 2 } } \right) = f \left( { / { 1 } { 2 } } \right) , e又閣数 \scriptstyle y = f ( x ) 在区司(0,21上単週琵増・\therefore f { \left( / { 1 } { 2 } \right) } < f ( 1 ) < f { \left( / { 3 } { 2 } \right) } ,
四比 f \left( / { 7 } { 2 } \right) < f \left( 1 \right) < f \left( / { 5 } { 2 } \right) \dot { . }
例2解由 f ( x ) 是奇髷数
可得 f ( - x ) { = } { - } f ( x )
自 \scriptstyle π { / { m x ^ { 2 } + 2 } { - 3 x + n } } = - { / { m x ^ { 2 } + 2 } { 3 x + n } } = { / { m x ^ { 2 } + 2 } { - 3 x - n } } ,
可得- \displaystyle { - 3 x + n = - 3 x - n } 解得 \scriptstyle n = 0
\gtrsim f ( 2 ) = / { 5 } { 3 } , \lg / { 4 m + 2 } { 6 } = / { 5 } { 3 } , -
解得 \scriptstyle m = 2 -
・笑数 \mathbf { \Sigma } _ { m } 和 n 的値分別是 2 和0
の中さの娘 f ( x ) { = } / { 2 x ^ { 2 } { + } 2 } { 3 x } { = } / { 2 } { 3 } \left( x { + } / { 1 } { x } \right) , ェ1エeLー2ー11,日 { \boldsymbol x } _ { 1 } { \mathop < } { \boldsymbol x } _ { 2 } 」.
川 (ェィリーバ(ェュリー(ューチ（ユーー)2（エ1ーエ2(エ1エ2ー1)
： エ1エ!
* - 2 { <=slant } x _ { 1 } { < } x _ { 2 } { <=slant } - 1 中
\therefore x _ { 1 } - x _ { 2 } < 0 , x _ { 1 } x _ { 2 } > 1 , x _ { 1 } x _ { 2 } - 1 > 0 ,
\therefore f ( x _ { 1 } ) - f ( x _ { 2 } ) { < } 0 き
即 f ( x _ { 1 } ) { < } f ( x _ { 2 } ) 中
図数 f ( x ) 在一2,一11上阜週革増
\therefore f ( x ) _ { { m a x } } = f ( - 1 ) = - { / { 4 } { 3 } } ,
)テイー2ーチ
川鉢2解 \forall x _ { 1 } , x _ { 2 } \in ( 0 , + ∞ ) 耳 \mathbf { \Psi } _ { x _ { 1 } \neq x _ { 2 } } 財都有ーなシー学ンン <0.
所以 \scriptstyle y = f ( x ) 中 ( 0 , + ∞ ) 上単測逸藏・
又 \scriptstyle y = f ( x ) 在 bf { R } 上是奇番数
所以 \scriptstyle y = f ( x ) 在 ( - ∞ , 0 ) 上也単週壌減
- \sharp / { 3 f ( - x ) - 2 f ( x ) } { x } >=slant 0 , \sharp / { f ( x ) } { x } <=slant 0 .
(り当 x { > } 0 時由 { / { f ( \boldsymbol { x } ) } { x } } <=slant 0 f ( x ) { <=slant } 0 日 f ( 2 ) = 0 由番数 \scriptstyle y = f ( { \boldsymbol { \chi } } ) 中 ( 0 , + ∞ ) 上単週途減
得 x { >=slant } 2 ま
2当 x { < } 0 肘 { \mathfrak { q } } { / { f ( x ) } { x } } { <=slant } 0 得 f ( x ) { >=slant } 0 中
又由 f ( 2 ) = 0 得 f ( - 2 ) = - f ( 2 ) = 0
所以 f ( x ) { >=slant } f ( - 2 )
又 \scriptstyle y = f ( x ) 在 ( - ∞ , 0 ) 上単週減 x { <=slant } - 2 琮上知原不等式的解集 \{ x \vert x >=slant 2 或 \scriptstyle x <=slant - 2 \} ョ例3（1証明金 \scriptstyle x = y = 0 解得 f ( 0 ) { = } 0 店
金 y = - x 得 f ( x ) + f ( - x ) = f ( 0 ) = 0 , は即 f ( - x ) { = } { - } f ( x ) 旦 x \in ( - 1 , 1 )
都有 - x \in ( - 1 , 1 ) 所以番教 f ( x ) 是奇爵数2正明任取 x _ { 1 } , x _ { 2 } \in ( - 1 , 1 ) 耳 x _ { 1 } < x _ { 2 } 中則一 x _ { 2 } \in ( - 1 , 1 ) 所以 f ( x _ { 1 } ) - f ( x _ { 2 } ) = f ( x _ { 1 } ) + f ( - x _ { 2 } ) { = } f { \left( { / { x _ { 1 } - x _ { 2 } } { 1 - x _ { 1 } x _ { 2 } } } \right) } .
由 - 1 { < x _ { 1 } < x _ { 2 } < } 1 知 x _ { 1 } - x _ { 2 } < 0 旦 \vert x _ { 1 } \vert < 1 中\vert x _ { 2 } \vert < 1 中
所以 \vert x _ { 1 } x _ { 2 } \vert < 1 即 1 - x _ { 1 } x _ { 2 } > 0 中
/ { x _ { 1 } - x _ { 2 } } { 1 - x _ { 1 } x _ { 2 } } { < } 0 .
スーークード ロ十ン1ーエドー01ーエ1エ2
南イーエ イエe(ー10
貯以 f \left( { / { x _ { 1 } - x _ { 2 } } { 1 - x _ { 1 } x _ { 2 } } } \right) > 0 ま

所以 f ( x _ { 1 } ) - f ( x _ { 2 } ) > 0 即 f ( x _ { 1 } ) { \ > } f ( x _ { 2 } ) 中所以 f ( x ) 中 ( - 1 , 1 ) 上単週幕城

3解 由題き得 f ( x + 1 ) > - f \left( { / { 1 } { 1 - x } } \right) E又由 f ( x ) 喬番数
所以 バ十リク(ー)
由(2知 f ( x ) 中 ( - 1 , 1 ) 上単週壌
所以 - 1 < x + 1 < / { 1 } { x - 1 } < 1 も
解得 - 2 { < } x { < } - { sqrt { 2 } } 中
故不等式前解集 \{ x \mid - 2 < x < - { sqrt { 2 } } \} 中
川彝：T証明 \forall x _ { 1 } , x _ { 2 } \in \mathbf { R } 耳 { \boldsymbol x } _ { 1 } { \le } { \boldsymbol x } _ { 2 } 出
則 x _ { 2 } - x _ { 1 } > 0 中
又当 _ { x > 0 } 財 , f ( x ) { > } 1 知 f ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) { > } 1 店図数 f ( x ) 対 \forall a , b \in \mathbf { R } . 都有 f ( a + b ) = f ( a ) + f ( b ) - 1 も
\therefore f ( x _ { 2 } ) = f ( x _ { 2 } - x _ { 1 } + x _ { 1 } ) = f ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) + f ( x _ { 1 } ) { - } 1 { > } f ( x _ { 1 } ) 中
:： f ( x ) 是 bf { R } 上的増髷数.
2解 由題意知 f ( 4 ) = f ( 2 + 2 ) = 2 f ( 2 ) - 1 = 5 中
\therefore f ( 2 ) = 3 , \therefore f ( 3 m ^ { 2 } - m - 2 ) < 3 = f ( 2 ) ,
由（1)可知 f ( x ) 是 bf { R } 上的増番数
山 * 3 m ^ { 2 } - m - 2 < 2 即 3 m ^ { 2 } - m - 4 < 0 中
:-1K川くナ
故不等式 f ( 3 m ^ { 2 } - m - 2 ) < 3 前解集丸
- \left( - 1 , { / { 4 } { 3 } } \right) 中

随堂演

1.ç [ ① 中困丸番数 f ( x ) + f ( - x ) = f ( - x ) - + f ( x ) 所以是偶番数 ① 正禰： ② 中四カg ( x ) { = } f ( x ) - f ( - x ) , g ( - x ) { = } f ( - x ) - f ( x ) 所以 g ( x ) = - g ( - x ) 所以是奇番数② 正禰：又 f ( - x ) f ( x ) { = } f ( x ) f ( - x ) , 耳 f ( \mid - x \mid ) { = } f ( \mid x \mid ) +:： ③ 中番数与 ④ 中番均是偶数③ の正硝・寸子 ⑤ 投 h ( x ) = \mid f ( x ) \mid , h ( - x ) = \vert f ( - x ) \vert , h ( x ) 与 h ( - x ) 不一定相等所以\mid f ( x ) 不是偶番数 ⑤ 借丁
2．BT由 f ( x ) 是偶得 f ( - x ) { = } f ( x ) f ( - 2 ) = f ( 2 ) 由図泉知 . f ( - 2 ) = f ( 2 ) > 0 , f ( 6 ) > f ( 2 ) = f ( - 2 ) 中Å f ( - 2 ) - f ( 6 ) { \ < } 0 . ] -
3.0I' f ( x { + } 1 ) 是 bf { R } 上的奇爾教: \scriptstyle y = f ( { \boldsymbol { x } } ) 的図象美千点 _ { ( 1 , 0 ) } 対称f ( 5 ) = - f ( - 3 ) 即 f ( 5 ) + f ( - 3 ) = 0 . ]
す \left( { / { 1 } { 3 } } , { / { 2 } { 3 } } \right) 由千 \scriptstyle y = f ( x - 1 ) 的図象美千 \scriptstyle { { x } } ^ { - 1 } 対称,所以 \scriptstyle y = f ( x ) 的図象栄千 _ y 軸対称・肌 f ( x ) { = } f ( \mid x \mid ) .出 f ( 2 x - 1 ) < f \left( { / { 1 } { 3 } } \right) \Rightarrow f \left( \left| \ 2 x - 1 \right| \right) < f { \biggl ( } { / { 1 } { 3 } } { \biggr ) } 辻両報化丸不等式 | 2 x - 1 | < / { 1 } { 3 } 解玄不不幸式得 x 的耶位范園是 \left( { / { 1 } { 3 } } , { / { 2 } { 3 } } \right) ロ

33 幕数

新知 任芻単

-,1. y = x ^ { α } 自変量
2.(1(1,1 2奇個 (3)達増 逆減( 4 ) _ { \mathscr { I } } 軸 x 軸
二1 x 提示系教不ヵ1
ロ」 * \surd 3 \surd 4イ5
6 . x 提示定メ域不一定丸R与指教有美例如 _ { y = x ^ { / { 1 } { 2 } } } 定メ城 [ 0 , + ∞ )
ド . x 提示 y = x ^ { - 1 } 的定メ壌力 ( - ∞ , 0 ) Uo.+ ∞ ) 番数 y = x ^ { - 1 } 在 ( - ∞ , 0 ) 和 ( 0 , + ∞ ) 上単潤蔵
題型・研活劫単
例1解（T因刃番藪 f ( x ) = ( m ^ { 2 } - 2 m + 2 ) -言 x ^ { 1 - 3 m } 是緊番数所以 m ^ { 2 } - 2 m + 2 = 1 , 解 得 m -^ { - 1 } 所以 f ( x ) { = } x ^ { - 2 } 2番数 f ( x ) { = } { x } ^ { - 2 } 偶数証明如下：由(1知 f ( x ) { = } { x } ^ { - 2 } 出其定文壊 \{ x \vert x \ne 0 \} 美千原点寸秤因対千定メ域内的任意 _ x 都有 f ( - x ) = ( - x ) ^ { - 2 } = / { 1 } { ( - x ) ^ { 2 } } { = } / { 1 } { x ^ { 2 } } { = } x ^ { - 2 } { = } f ( x ) , 所以番数 f ( x ) { = } { x } ^ { - 2 } 偶番数( 3 ) f ( x ) 在 ( 0 , + ∞ ) 上草潤叢減証明如下在 ( 0 , + ∞ ) 上任取 { \boldsymbol { x } } _ { 1 } , { \boldsymbol { x } } _ { 2 } ト不坊没 \scriptstyle 0 < x _ { 1 } < x _ { 2 }
官 f ( x _ { 1 } ) - f ( x _ { 2 } ) = x _ { 1 } ^ { - 2 } - x _ { 2 } ^ { - 2 } = { / { 1 } { x _ { 1 } ^ { 2 } } } - { / { 1 } { x _ { 2 } ^ { 2 } } } = / { x _ { 2 } ^ { 2 } - x _ { 1 } ^ { 2 } } { x _ { 1 } ^ { 2 } x _ { 2 } ^ { 2 } } { = } / { ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) ( x _ { 2 } + x _ { 1 } ) } { x _ { 1 } ^ { 2 } x _ { 2 } ^ { 2 } } , 由 0 { < } x _ { 1 } { < } x _ { 2 } 得 x _ { 2 } - x _ { 1 } > 0 き旦 x _ { 2 } + x _ { 1 } > 0 , x _ { 1 } ^ { 2 } x _ { 2 } ^ { 2 } > 0 所以 f ( x _ { 1 } ) - f ( x _ { 2 } ) > 0 中即 0 { < } x _ { 1 } { < } x _ { 2 } 肘 f ( x _ { 1 } ) { > } f ( x _ { 2 } ) 店所以 f ( x ) 在 ( 0 , + ∞ ) 上単週達減:
川禁1(1り16 2)品 L(1)役 f ( x ) = x ^ { α } 因丸 f ( 4 ) = 1 6 ' 4 ^ { α } = 1 6 中解得 α { = } 2 , \dot { \iota _ { * } } f ( - 4 ) { = } ( - 4 ) ^ { 2 } { = } 1 6 . 2丸 f ( x ) = a x ^ { 2 a + 1 } - b + 1 是暴番数所以 a = 1 , - b + 1 = 0 即 a = 1 , b = 1 時只 a + b = 2 . ] -
例²（1D (2℃ L()由 f ( x ) 的図象美千 _ y 軸寸称可知 f ( x ) 偶図致散 f \left( x \right) = x ^ { 2 } 由h \left( x \right) 的図象可知 h \left( x \right) 非奇キ偶番数・故h \left( x \right) = x ^ { / { 1 } { 2 } } 由 g ( x ) 前図象美千原 点対称可知g ( x ) 奇図数・散 g ( x ) = x ^ { 3 } 散逸D2当 a { < } 0 肘図数 \scriptstyle y = a x - { / { 1 } { a } } 単週琵旦在 _ y 軸上的蔵題一 / { 1 } { a } > 0 きy = x ^ { a } 在 ( 0 , + ∞ ) 上単週琵所以BD瑜均不正禰：対千ALC項由 \scriptstyle y = a x - { / { 1 } { a } } 単週増可知 \mathbf { \Phi } _ { a } > \mathbf { \Phi } -0則 \scriptstyle y = x ^ { a } 在 ( 0 , + ∞ ) 上草週瑳増・所以A項黌C項正禰丁
川奈？(DB 2D [(1)在(0,1)内取同一値- x _ { 0 } 作宣袋 { \boldsymbol x } = { \boldsymbol x } _ { 0 } 与各図象有交点・如図所示根据点低着数大有 \scriptstyle 0 < m < 1 , n < - 1 , ま2当 a < 0 町 f ( x ) = x ^ { a } 的図象不廿原点目在第一象限 , f ( x ) 単週遠城 { { { ? } } } g ( { { { \it { x } } } } ) = { / { a } { x } } ( x { > } 0 ) 前国象在第四象限旦 g ( x ) 単週瑾増
如項所示
当 a = 0 財 , f ( x ) = 1 旦 x > 0 , g \left( x \right) = 0 \left( x > \right) O没有符合要求的図象
珈 a { > } 0 財 g ( x ) = / { a } { x } ( x > 0 ) 前四象在第一象限旦 g ( x ) 単週減：
当 0 { < } a { < } 1 財 f ( x ) = x ^ { a } \left( x >=slant 0 \right) 前図象原点・在第一象限旦 f ( x ) 単週琵増・旦増得越来越慢授有持合才的図象：
当 a { >=slant } 1 肘 , f ( x ) = x ^ { a } \left( x \ge 0 \right) 的図象廿原点・在第一象眼旦 f ( x ) 草遐増如AE所示.散遊D

例：解 (1困暴岡数 y = x ^ { 0 . 3 } 在 ( 0 , + ∞ ) 上是増勇数又 / { 2 } { 5 } > / { 1 } { 3 } 所 * \left( / { 2 } { 5 } \right) ^ { 0 . 3 } > \left( / { 1 } { 3 } \right) ^ { 0 . 3 } .

2困羅番教 y = x ^ { - 1 } 在 ( - ∞ , 0 ) 上是減図
数・又 - / { 2 } { 3 } < - / { 3 } { 5 }
所以 \left( - { / { 2 } { 3 } } \right) ^ { - 1 } > \left( - { / { 3 } { 5 } } \right) ^ { - 1 } .

例解 (1困カ f ( x ) 是暴番数所以 3 m ^ { 2 } - 2 m + 1 = 1 . -又 f ( x ) 是偶番数所以 3 k - k ^ { 2 } + 4 是信数又 f ( x ) 在 ( 0 , + ∞ ) 上草週毫増:所以 3 k - k ^ { 2 } + 4 > 0 解得一 { 1 } { < } k { < } 4 」所以 k = 0 , 1 , 2 或3所以 f ( x ) = x ^ { 4 } 或 f ( x ) = x ^ { 6 } 2)由(1)中偶番数 f ( x ) 在 ( 0 , + ∞ ) 上単週董増f ( 3 x + 2 ) > f ( 1 - 2 x ) 可化丸 f ( \left| 3 x + 2 \right| ) > f ( \left| 1 { - } 2 x \right| ) -\mathbb { E } \mathbb { 1 } | 3 x + 2 | > | 1 - 2 x | 中解得 x < - 3 煎 x { > } { - } / { 1 } { 5 } 中所以原不等式的解集是\left( - ∞ , - 3 \right) \cup \left( - / { 1 } { 5 } , + ∞ \right) .

：解 ( 1 ) \mathbb { \Phi } ^ { \bullet } { \boldsymbol { * } } { \boldsymbol { y } } = { \boldsymbol { x } } ^ { 0 , 5 } 中 [ 0 , + ∞ ) 上是増番数
/ { \mathbb { H } } { 3 } > / { 3 } { 5 } > / \Big ( / { 2 } { 3 } \Big ) ^ { 0 . 5 } > \Big ( / { 3 } { 5 } \Big ) ^ { 0 . 5 } . -
② ： \scriptstyle { y = x ^ { 3 } } 是 bf { R } 上前増番数旦 3 . 1 4 < π リ
\therefore 3 . 1 4 ^ { 3 } < π ^ { 3 } , \therefore - 3 . 1 4 ^ { 3 } > - π ^ { 3 } .
( 2 ) { 1 } 因 f ( x ) 是承番数
所以 m ^ { 2 } - m - 1 { = } 1 ホ
解得 m { = } { - } 1 或 \scriptstyle { m = 2 } も
又 f ( x ) 在 ( 0 , + ∞ ) 上草週違増
所以一2ー120,駅州く一ナ
所以 m = - 1 ま
② 由千 y = x ^ { - 1 } 在区同 ( - ∞ , 0 ) , ( 0 , + ∞ ) 上都
是減番数・旦 ( k + 1 ) ^ { - 1 } { < } ( 3 - 2 k ) ^ { - 1 } 車
分三利情咒廿È：
í当 k + 1 { < } 0 { < } 3 { - } 2 k 中
印 k { < } - 1 町原不等式成立：
i当 k + 1 { < } 0 旦 3 - 2 k < 0 財有 k + 1 > 3 - 2 k 山k { < } { - } 1 き札 k > / { 3 } { 2 } 2解集丸室集。k > / { 2 } { 3 }
川当 k + 1 > 0 旦 3 - 2 k > 0 肘有 k + 1 > 3 -
2：\scriptstyle \left( k > - 1 \right) k { < } / { 3 } { 2 } \scriptstyle { / { 2 } { 3 } } < k < { / { 3 } { 2 } } . k > / { 2 } { 3 }
奈上所迷・実蜀 k 的取値弛風是(一Q,一1U
\left( { / { 2 } { 3 } } , { / { 3 } { 2 } } \right) ま

随堂演

1,B [ f ( x ) = - x ^ { 3 } 与耨番数 \scriptstyle y = x ^ { 3 } 的図象美千- _ x 軸対罧．困此遊項B前図象活合
2CT四 f ( x ) = x ^ { 4 - m } 中 ( 0 , + ∞ ) 上単週韮増所以 4 - m > 0 即 m { < } 4 又国丸 m \in \mathbf { N } ^ { * } 所以 m = 1 , 2 , 3 又図 f ( x ) = x ^ { 4 - m } 是奇番数所以 4 - m 是奇教困此 m = 1 或 { \Delta } m = 3 . ]
3: m { < } p { < } n 由邪番教的図象知 n { \ > } 1 , 0 { < } p { < } 1 トm { < } 0 . 所以 m { < } p { < } n . ～
4 . \ : x ^ { / { 1 } { 2 } } - \{ x \vert - 4 { <=slant } x { <=slant } 4 \}
「百条中教授 \mathtt { A } \mathtt { { n } } / { sqrt { 2 } } { 2 } = \left( { / { 1 } { 2 } } \right) ^ { α } 所以 α { = } / { 1 } { 2 } 所以 f ( x ) = x ^ { / { 1 } { 2 } } 中

円 f ( \left| x \right| ) { <=slant } 2 得エ1でく2印エ4,散- * 4 { <=slant } x { <=slant } 4 . ]

微麦題 反比例数与対勾数

題型 研活劫単

例解 騒数 y = { / { 2 } { x } } 的図象如図所示

()由四象知留教 y = { / { 2 } { x } } 的定メ
城丸 \{ x \vert x \ne 0 \} 値域刃 \{ y \vert y { \neq } 0 \}
2舎 \scriptstyle y = f ( { \boldsymbol { \chi } } ) 由図象知 f ( x ) 的単週叢減区同 ( - ∞ , 0 ) 和 ( 0 , + ∞ ) 毛単週叢増区同正明下:
当 \scriptstyle x > 0 町 \forall x _ { 1 } , x _ { 2 } \in ( 0 , + ∞ ) 耳 \mathbf { \boldsymbol { x } } _ { 1 } < _ { { X } _ { 2 } } 出川(まシーデェーテーチ2エーエル四丸 x _ { 1 } > 0 , x _ { 2 } > 0 , x _ { 1 } < x _ { 2 }
所以 f ( x _ { 1 } ) - f ( x _ { 2 } ) { > } 0
即 f ( x _ { 1 } ) { > } f ( x _ { 2 } ) ナ
所以 f ( x ) 在 ( 0 , + ∞ ) 上草週皇戴：
同理当 x { < } 0 肘 , f ( x ) 在 ( - ∞ , 0 ) 上単週違減田 f ( - x ) { = } { - } / { 2 } { x } { = } { - } f ( x ) 耳定メ城美千原点対称故 f ( x ) 奇番澂
川芽11A(2C L(由比例留教的性廣得 m - 3 { < } 0 , m { < } 3 散逸A
(2)反比例留数ッニー2025,4 y = - / { 2 \ 0 2 5 } { x } \Psi \ , k = - 2 \ 0 2 5 < 0 , 図象位千第ニ四象限困 a < 0 所以 P ( a m ) 在第二象限・所以 m > 0 . 因 b > 0 所以Q ( b , n ) 在第四象限・所以 style n < 0 . 所以 n { < } 0 { < } m 中即 m > n 散五C

例2解数 f ( x ) = x + 一前図象如岡所示。 (1)由図象知番教ゞ(ェ)一 - x + { / { 1 } { x } } 的定メ城力 \{ x \vert x \neq - 0ł： 値域カ(一Q,一21UT2, + ∞ )

(2)由番数()ーェ十ー 的図象知番数 f ( x ) 在 ( - ∞ , - 1 ) 和 ( 1 , + ∞ ) 上単週叢増：
在一1,0)和(0,11上単週叢減.
証明如下:
任取 x _ { 1 } , x _ { 2 } \in \left( 0 , 1 \right]
早エi<t2
{ \begin{array} { r l } & { { \mathbb { M } } f ( x _ { 1 } ) - f ( x _ { 2 } ) = x _ { 1 } + { \cfrac { 1 } { x _ { 1 } } } - x _ { 2 } - { \cfrac { 1 } { x _ { 2 } } } } \\ & { = ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) * \left( 1 - { \cfrac { 1 } { x _ { 1 } x _ { 2 } } } \right) . } \end{array} }
四丸 0 { < } x _ { 1 } { < } x _ { 2 } { <=slant } 1 キ
所以 \scriptstyle x _ { 1 } - x _ { 2 } < 0 , 0 < x _ { 1 } x _ { 2 } < 1
所 / { 1 } { x _ { 1 } x _ { 2 } } { > } 1 所以 1 - / { 1 } { x _ { 1 } x _ { 2 } } < 0
所以 f ( x _ { 1 } ) - f ( x _ { 2 } ) { > } 0 h
即 f ( x _ { 1 } ) { \ > } f ( x _ { 2 } ) 中
所以 f ( x ) 在(0,11上草週壌減
任取 x _ { 3 } , x _ { 4 } \in ( 1 , + ∞ ) 耳 \mathbf { \Psi } _ { x _ { 3 } } { < } _ { x _ { 4 } }
賢 f ( x _ { 3 } ) - f ( x _ { 4 } ) = ( x _ { 3 } - x _ { 4 } ) \left( 1 { - } / { 1 } { x _ { 3 } x _ { 4 } } \right) . 四丸 { } x _ { 3 } - x _ { 4 } < 0 , x _ { 3 } x _ { 4 } > 1 店
貯 / { 1 } { x _ { 3 } x _ { 4 } } { < } 1 所以 1 - / { 1 } { x _ { 3 } x _ { 4 } } { > } 0
所以 f ( x _ { 3 } ) { - } f ( x _ { 4 } ) { < } 0 ト
所以 f ( x _ { 3 } ) { < } f ( x _ { 4 } )
所以 f ( x ) 在 ( 1 , + ∞ ) 上草週蛍増
同理 , f ( x ) 在 ( - ∞ , - 1 ) 上単週琵増・在 _ - 1 中の上単週琵蔵
円 f ( - x ) { = } { - } x { - } / { 1 } { x } { = } { - } f ( x ) ,

旦定文壌美子原点対称肌以番数 f ( x ) = x + { / { 1 } { x } } 丸香番数。

山捺2DB(2)B 1由寸勾番数的草週性知 * x \in [ 1 , 2 ] 財・単週療 x \in ( 2 , 3 ] 肘草週瑳増故 \scriptstyle x = 2 財図数有最小値 x = 1 町図数有最大値5散遊R2)当 k { <=slant } 0 肘 \scriptstyle * f ( x ) = x + { / { k } { x } } 中 ( - ∞ , 0 ) 上単潤鸞増・人両 f ( x ) 中 ( - ∞ 一21上単週増山 k { > } 0 財 f ( x ) = x + { / { k } { x } } 在(一C,一Jk1上単週増・由題意得 - sqrt { k } >=slant - 2 即 k { <=slant } 4 此財 0 < 三4奈上所途的取値范国力 k { <=slant } 4 散遊R
例：解（)当 a = 4 五 f ( x ) = { / { x ^ { 2 } - 2 x + 4 } { x } } = x + { / { 4 } { x } } - 2 . 法一結合対勾番数単週性可得。雷教 f ( x ) 在(0,21上単週減・在 ( 2 , + ∞ ) 上単週瑳増散当 \scriptstyle x = 2 財 f ( x ) 有最小値 f ( 2 ) = 2 + 2 - 2 { = } 2 . 法二当 x \in ( 0 , + ∞ ) 五 \scriptstyle * f ( x ) = x + { / { 4 } { x } } - 2 ->=slant 2 { sqrt { x * { / { 4 } { x } } } } - 2 { = } 2 , 当旦当 \scriptstyle x = { / { 4 } { x } } 即 \scriptstyle x = 2 財等号成立“： f ( x ) 在 ( 0 , + ∞ ) 上的最小値ヵ2
( 2 ) f ( x ) = x + / { a } { x } - 2 , \thinspace \thinspace { i g } \thinspace 0 < x _ { 1 } < x _ { 2 } < sqrt { a } \thinspace ,
(エイリートェリータイーュ十キート
- \begin{array} { c } { { = ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) \left( 1 - / { a } { x _ { 1 } x _ { 2 } } \right) } } \\ { { = / { ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) ( x _ { 1 } x _ { 2 } - a ) } { x _ { 1 } x _ { 2 } } , } } \end{array}
・ * _ { 0 } < \ b { x } _ { 1 } < \ b { x } _ { 2 } < sqrt { a } , \therefore \ b { x } _ { 1 } \ b { x } _ { 2 } < \ b { a } , -
“ * f ( x _ { 1 } ) - f ( x _ { 2 } ) > 0 即 f ( x _ { 1 } ) { > } f ( x _ { 2 } ) 中
: f ( x ) 在 ( 0 , { sqrt { a } } ) 上阜週琵濾同理可虹 f ( x )
在 ( sqrt { a } , + ∞ ) 上阜週叢増
前 0 { \prec } _ { a } { <=slant } 4 町 0 < sqrt { a } <=slant 2 図数 f ( x ) 在2,
+ ∞ ) 上単潤董増
- f ( x ) _ { { m i n } } = f ( 2 ) = { / { a } { 2 } } ;
当 a { > } 4 財 sqrt { a } > 2 図数 f ( x ) 袋 [ 2 sqrt { a } ) 上草潤
減
在 ( sqrt { a } 出 + ∞ ) 上単邇堪増・
f ( x ) _ { { m i n } } { \Longrightarrow } f ( { sqrt { a } } ) { = } 2 { sqrt { a } } - 2 .
＆ f ( x ) 中 [ 2 , + ∞ ) 上的最小値刃 g ( a ) 市
\begin{array} { r l } & { \therefore g ( a ) = \{ \displaystyle / { a } { 2 } , 0 { < } a { <=slant } 4 , } \\ & { \qquad \quad \vdots } \\ & { / { \notin } { { \Large ~ \{ ~ \mathfrak { A } ~ } 3 ~ } { \Large ~ \mathfrak { \mathfrak { H } } ~ } } \ddot { { \Large ~ \{ ~ \mathfrak { A } ~ } - { \Large ~ / ~ \mathfrak { ~ \mathfrak { A } } - { \Large ~ / ~ \mathfrak { ~ x } ~ } \} } } = / { 1 } { x + / { 4 } { x } } , x { > } 0 , \end{array}
由対勾番数前単週性可得当 x \in ( 0 , 2 ] 財; _ y -
草琵増
当 x \in ( 2 , + ∞ ) 肘 { } _ { , y } 単週董讀,散当 \scriptstyle x = 2 肘
{ y _ { { { m a x } } } } = { / { 2 } { 4 + 4 } } = { / { 1 } { 4 } } .
法ニ y = { / { x } { x ^ { 2 } + 4 } } = { / { 1 } { x + { / { 4 } { x } } } } <=slant { / { 1 } { 4 } } 当夜き _ x
\scriptstyle = 2 町取等号・改 y _ { { m a x } } = / { 1 } { 4 } ロ

随堂演禁

1.A [由E知,得 f ( x ) { = } { / { 1 } { x } } 共単遐琵減区同カ( - ∞ , 0 ) , ( 0 , + ∞ ) . ]

2. ARC T反比例騒数 y = / { 3 } { x } 酒 \scriptstyle x = 3 盗 _ { y = 1 } ホ散A正禰：因 y = { / { 3 } { x } } 分子大千所以図象在第一三象隈改E正硝反比例留教在第一三象熙上都単邇藏・故C
正禰：
四カ在 ( 0 , + ∞ ) ゴ y = { / { 3 } { x } } 単洞蓮城所以当 x
{ > } 1 肘 \scriptstyle 0 < y < 3 故D黌丁

33Г苗対勾番数N性顧可知 y = x + { / { 2 } { x } } 在2,
1+0)上単洞垂場・所以 { y _ { \operatorname* { m i n } } } = 2 + { / { 2 } { 2 } } { = 3 . } ]

40,2) 根据題意得 f ( x ) 在-0,-F,（F十Q)上単週叢増,要使 f ( x ) 在整数集 bf { z } 内単
朝道場河 \scriptstyle t > 0 ま 0く4.\scriptstyle \left\{ { sqrt { t } } < 2 \right. _ f ( 1 ) { < } f ( 2 ) \bar { \Psi } \left\{ 1 + t < 2 + / { t } { 2 } , \right. 解得 \scriptstyle 0 < t < 2 中実教 \mathbf { \chi } _ { t } 前取値苑園(0,2)コ

34 函数的度用(一)

新知 孤任単

,1. a { x } + b ( a , b 力常数 , a \ne 0 - a x ^ { 2 } + b x + c ( a 町^ { b , c } 対常数 . a \ne 0 )
.1. \surd -
2 . x 提示　不一定度根据実際同題意メ禰定
空 \surd 4
5 . x 提示位丸分段番数横型

題型 研活到単

例1解（D由四象及 y _ { 1 } = k _ { 1 } x + 3 0 ( k _ { 1 } \neq 0 ) 中ジ?ーヒ2エ(k子0)担点B(30,35),C(30,15)分別代人 y _ { 1 } = k _ { 1 } x + 3 0 , y _ { 2 } = k _ { 2 } x k _ { 1 } = / { 1 } { 6 } , k _ { 2 } = / { 1 } { 2 } 所以 y _ { 1 } = / { 1 } { 6 } x + 3 0 ( x >=slant 0 ) , y _ { 2 } = / { 1 } { 2 } x ( x >=slant 0 ) . 2会少ーy2：\sharp \mathbb { J } / { 1 } { 6 } x + 3 0 = / { 1 } { 2 } x 官 \scriptstyle x = 9 0 . 北新 \scriptstyle x = 9 0 財 { } _ { * y _ { 1 } = y _ { 2 } } 西和ホ收一致当 0 { <=slant } x { < } 9 0 町 , _ { { \boldsymbol { y } } _ { 1 } } > _ { { \boldsymbol { y } } _ { 2 } } 使用便民便宜：和 \scriptstyle x > 9 0 肘 _ { y _ { 1 } < y _ { 2 } } 使用如意便宜

川芽1DC 2D LTD対A去項・在題① 中 \scriptstyle * t = 2 4 肘 \scriptstyle * y = 2 0 0 改A辻項結正禰寸千B項・根据題 ② 点 ( 0 , 2 5 ) , ( 2 0 , 5 ) 琵歩的中点坐右(1015改R並項詰站正覇.寸千D去斑由題困の却第3箪150件由題図＠却第0一件品的箪魯利潤ヵ5元所以日鞠讐利洞ヵ 1 5 0 x 5 = 7 5 0 ( 元散D去項結正禰寸千C尭項・由題図 ① 知点(0,100),(24,200)珪袋的中点坐刃(12,150),即第毛和第弘毛的覇魯量相同根据暫図 ② 第1毛一件去品的鞠黌利調高千第羽毛一件声品前箪髻利所以第12与第30玄西无的日鞠魯利羽不相等・苔尭項詰毛借猩2没人甲色庫週在 A 暮的幸転勢力 x * 馴八甲色庫週往 B 具前車鞠善力 _ { 1 2 - x } 川乙住庫週往 A 暮的幸鞠数丸 _ { 1 0 - x } 八乙色庫週往 B 雲的革彌教 6 - ( 1 0 - x ) = x - 投用_ y 則 y = 4 0 x + 8 0 x ( 1 2 - x ) + 3 0 x ( 1 0 - x ) + 5 0 x ( x - 4 ) = 1 ~ 0 6 0 - 2 0 x ( 4 <=slant x <=slant 1 0 , x \in \mathbf { N } ) , 使鳳用 _ y 最少需 x 最大所以当 \scriptstyle x = 1 0 財用 _ y 最少・ヵ860元.散逸D.1
例？解（1根据題意・得 y = 9 0 - 3 ( x - 5 0 ) 車則 y = - 3 x + 2 4 0 ( 5 0 { <=slant } x { <=slant } 5 5 , x { \in } \mathbf { N } ) キ(2困ヵ夜批度商平均毎毛的籠魯利洞 \ c = 平均毎的蕭髻量メ毎箱甫筈利羽:所以 w = ( x - 4 0 ) ( - 3 x + 2 4 0 ) = - 3 x ^ { 2 } + 3 6 0 x -：60 0 ( 5 0 { <=slant } x { <=slant } 5 5 , x \in \mathbf { N } ) -(3困刃 w = - 3 x ^ { 2 } + 3 6 0 x - 9 í00= - 3 ( x - 6 0 ) ^ { 2 } + 1 ~ 2 0 ( ,所以当 x { < } 6 0 肘 { } _ { w } 随着 _ x 的増大両増大又 5 0 { <=slant } x { <=slant } 5 5 , x { \in } \mathbf { N } ホ所以当 x = 5 5 財 { . w } 有最大慎最大値ヵ1125所以当毎箱幸果的魯併5町・可以茨得最大利,旦最大利лカ1125元コ
例3解（1〕由題意得 R = k r ^ { 4 } \left( k \right. 是土千 \mathbf { \eta } _ { 0 } 的常 数2由 r { = } 3 \ {cm } , R { = } 4 0 0 \ {cm } ^ { 3 } / { s } , 得 k * 3 ^ { 4 } = 4 0 0 中所以 k = / { 4 0 0 } { 8 1 } 所勇教解析式丸 R { = } / { 4 0 0 } { 8 1 } * r ^ { 4 } ：田国斉 R { = } / { 4 0 0 } { 8 1 } * r ^ { 4 } 円所以当 r { = } 5 \ {cm } 肘 , R { = } { / { 4 0 0 } { 8 1 } } { x } 5 ^ { 4 } { \approx } 3 ~ 0 8 6 (cm ^ { 3 } / { s } ) . -所以五体通的管道半 5 \ {cm } 財五体的流量 rm { 3 0 8 6 } ~ {cm ^ { 3 } } , s.
川黍2（DA (21125 り結合題囲,可得24ー,得かー24ーク 短形片前面税 S = x y = x \left( 2 4 - { / { 4 x } { 5 } } \right) = - { / { 4 x ^ { 2 } } { 5 } } + 2 4 x 所以当 x = \scriptstyle - { / { 2 4 } { 2 x \left( - { / { 4 } { 5 } } \right) } } = 15肘 { } _ { , s } 最大此財 y = 2 4 - / { 4 } { 5 } x 1 5 = 1 2 敢進2)由E知入告用カ3万元町葵品利酒27万元代人 y = x ^ { a } 中得 3 ^ { a } = 2 7 解得 a = 3,散留数解析式 \scriptstyle { y = x ^ { 3 } } 所以当 _ { x = 5 } 財 _ y = 125.
例解 ()当 \phantom { + } 0 { < } x { < } 8 0 財,\begin{array} { l } { { \displaystyle y = 1 0 0 x - \left( / { 1 } { 2 } x ^ { 2 } + 4 0 x \right) - 5 0 0 } } \\ { { \displaystyle = - / { 1 } { 2 } x ^ { 2 } + 6 0 x - 5 0 0 } , } \end{array} 印 x { >=slant } 8 0 時\begin{array} { r l } & { y = 1 0 0 x - \left( 1 0 1 x + { / { 8 \ 1 0 0 } { x } } - 2 \ 1 8 0 \right) - 5 0 0 = 1 \ 6 } \\ & { - \left( x + { / { 8 \ 1 0 0 } { x } } \right) , } \\ & { \mp { / { \# \ } { \ast \ast } } \ y = { \Biggl \{ } ^ { - { / { 1 } { 2 } } \ x ^ { 2 } + 6 0 x - 5 0 0 , 0 < x < 8 0 , } _ { 1 } } \\ & { \qquad { \Biggl \} } \end{array} } :0(2)由(1)可知当 \scriptstyle 0 < x < 8 0 町y = - / { 1 } { 2 } ( x - 6 0 ) ^ { 2 } + 1 ~ 3 0 0 , 当 x = 6 0 町 _ y 取得最大但1300
\begin{array} { r l } & { \triangleq \operatorname { \mathbb { E } } \operatorname { { Z } } 8 0 \operatorname { \mathbb { H } } , y = 1 6 8 0 - \left( x + / { 8 \ 1 0 0 } { x } \right) } \\ & { <=slant 1 \ 6 8 0 - 2 sqrt { x * / { 8 \ 1 0 0 } { x } } = 1 \ 5 0 0 , } \end{array} -当旦当 \scriptstyle x = { / { 8 \ 1 0 0 } { x } } 即 \scriptstyle x = 9 0 肘 , _ { y } 取最大1500上所途,当年戸量 9 0 台厨企北在玄一庫子役番的生声中所茨利消最大,最大利洞丸1500万元.
川禁3(1C（2)240L1今 y = 6 0 若 4 x = 60 _ { x = 1 5 > 1 0 } 不合題意：若 2 x + 1 0 { = } 6 0 則 x = 2 5 満足題意若 1 . 5 x = 6 0 厠 \scriptstyle x = 4 0 < 1 0 0 不合題意改公司永用25人
2)由題岡可知当 t = / { 1 } { 2 } y = 1 , \operatorname { { } } \operatorname { { } } \operatorname { } \operatorname { { } } \operatorname { } / { 1 } { k x / { 1 } { 2 } } = 1 \Rightarrow k = 2 . 由題意丁作 * \left\{ \begin{array} { l l } { t { >= } / { 1 } { 2 } , } \\ { / { 1 } { 2 t } { < } 0 . 7 5 } \end{array} \right. 解得 t { > } / { 2 } { 3 } 即了不使人身体受到物害若使用消剥対房同辻行消舂則左消后至少辻 / { 2 } { 3 } x 6 0 { = } 4 0 \ { m i n } 人方可辻入尻同コ

随堂演

1D 困カ 9 0 \ { m i n } { = } 1 . 5 血所以汽車的速度1 8 0 / 1 . 5 = 1 2 0 ( { k m / h } ) 則露程 y ( { k m } ) 与財同(ñ之同的番数美式号 y { = } 1 2 0 t ( t { >= } 0 ) . ]
2CT利 L ( x ) = 3 0 x - ( x ^ { 2 } + 4 x + 1 0 ) = - x ^ { 2 } + 2 6 x - 1 0 { = } - ( x - 1 3 ) ^ { 2 } + 1 5 9 改最大利洞15万元,散逸C門
3о5T若以左的材根ヵ原点琵立平面真角坐荼・則地物的対秩軸真豊 \scriptstyle x = 1 . 物袋方程 y = a x ^ { 2 } - 2 a x + 2 . 5 当 _ { x = 0 . 5 } 町 , y = 0 . 2 5 a - a + 2 . 5 = 1 , 蝉得 a = 2 : y = 2 ( x - 1 ) ^ { 2 } + 0 . 5 中猩子前最低点距地面的距高ヵ05米コ
414.59：L授出租年行要 x 千米財付 _ y 元，9 , 0 { < } _ { , x } { <=slant } 3 中官 y = \Big \{ 8 + 2 . 1 5 ( x - 3 ) + 1 , 3 < x <=slant 8 , _ 8 + 2 . 1 5 x 5 + 2 . 8 5 ( x - 8 ) + 1 , x > 8 も当 _ { x = 5 . 6 } 町 , y = 8 + 2 . 1 5 x 2 . 6 + 1 = 1 4 . 5 9 ( 元.由 _ { y = 2 2 . 6 } 知 x { > } 8 由 8 + 2 . 1 5 x 5 + 2 . 8 5 ( x - 8 ) + 1 = 2 2 . 6 解得 \scriptstyle x = 9 . -

章末須提升

例1 1ç の (3)5或一3
L(由千 f ( x ) 的定メ城2,
因此要使 h \left( x \right) = f ( 2 x ) + sqrt { 9 - x ^ { 2 } } 有意メ〔
物 \left\{ \begin{array} { l l } { 2 { <=slant } 2 x { <=slant } 8 } \\ { 9 - x ^ { 2 } >=slant 0 } \end{array} \right. 鮮得 \scriptstyle 1 <=slant x <=slant 3 .
2谷 \scriptstyle x = 2 2 f ( 2 ) + f { \biggl ( } { / { 1 } { 2 } } { \biggr ) } = 5 , ①
や \scriptstyle x = { / { 1 } { 2 } } 2 f \left( { / { 1 } { 2 } } \right) + f ( 2 ) = 2 , ②
鴟立のの得 2ーチ
(3)若 a <=slant 0 肌 f ( a ) = a ^ { 2 } + 1 = 1 0 所以 \scriptstyle a ^ { 2 } = 9
a = 3 或 a = - 3 店
ヌ a <=slant 0 所以 \scriptstyle a = - 3
若 a { > } 0 則 f ( a ) = 2 a = 1 0 所以 a = 5
赤上 , a 的値5或一3

川禁1 TDB (2BL1)由 - 2 { <=slant } - x { <=slant } 4 得 - 4 <=slant x <=slant 2 . -g ( x ) { = } f ( - x ) スイート* f ( x ) = \left\{ { \begin{array} { l } { 2 x , x > 0 , } \\ { f ( x + 1 ) , x <=slant 0 , } \end{array} } \right. - \therefore f ( { / { 4 } { 3 } } ) = 2 x { / { 4 } { 3 } } = { / { 8 } { 3 } } . f \left( - { / { 4 } { 3 } } \right) = f \left( - { / { 4 } { 3 } } + 1 \right) = f \left( - { / { 1 } { 3 } } \right) = f \Bigl ( - / { 1 } { 3 } + 1 \Bigr ) = f \Bigl ( / { 2 } { 3 } \Bigr ) = / { 2 } { 3 } x 2 = / { 4 } { 3 } , -\therefore f \left( - { / { 4 } { 3 } } \right) + f \left( { / { 4 } { 3 } } \right) = { / { 4 } { 3 } } + { / { 8 } { 3 } } = 4 . 7

例？ 解 (1)番数 f ( x ) 是奇番教 証明図数 f ( x ) 的定メ域カ(一0,0U(0,十0) 因 \forall x \in ( - ∞ , 0 ) ü ( 0 , + ∞ ) 中 都有 - { \boldsymbol { x } } \in ( - ∞ , 0 ü ( 0 , + ∞ ) f ( - x ) = { / { ( - x ) ^ { 2 } + 1 } { - x } } = - { / { x ^ { 2 } + 1 } { x } } = - f ( x ) , 所以番教 f ( x ) 是奇番数 2番数 f ( x ) 在 ( - ∞ , - 1 ) 上単週端増 証明: \forall x _ { 1 } , x _ { 2 } \in ( - ∞ , - 1 ) 耳 \mathbf { \Psi } _ { x _ { 1 } < x _ { 2 } } 刃
まリーデエノー十1_+ル 正1 正! エiエ2十エ2ーエ1tラーエ1 エ1エ? エit2(t] 一エ2パー（エ1ーエ?) エ1r? (エ1ーエ2エ1エ2) エ1T? 因丸 - 1 { > } x _ { 2 } > x _ { 1 } 所以 { \boldsymbol { x } } _ { 1 } - { \boldsymbol { x } } _ { 2 } < 0 , { \boldsymbol { x } } _ { 1 } { \boldsymbol { x } } _ { 2 } - 1

> 0 , x _ { 1 } x _ { 2 } > 0 所以 f ( x _ { 1 } ) { - } f ( x _ { 2 } ) { < } 0 中即 f ( x _ { 1 } ) { < } f ( x _ { 2 } ) 中所以番教 f ( x ) 在(一,一1上単週叢増.3四カ f ( x ) 在 ( - ∞ , - 1 ) 上単潤珪増目f ( x ) 是寄歯教・所以髷教 f ( x ) 在 ( 1 , + ∞ ) 上単週琵増・所以 3 m { > } 5 { - } 2 m { > } 1 は解得 1 { < } m { < } 2 中所以 \mathbf { \Sigma } _ { m } 前取値苑園(1,2)刑捺？（1)証明困丸番数 f ( x ) = x ^ { 4 } + m x ^ { 2 } 的図象竪廿点 A ( - 2 , 1 6 ) 所以 ( - 2 ) ^ { 4 } + m x ( - 2 ) ^ { 2 } = 1 6 は解得 m = 0 中所以 f ( x ) = x ^ { 4 } , g ( x ) = x ^ { 2 } ホ所以 f ( x ) , g ( x ) 均丸邪留教2解 - h \left( x \right) = sqrt { x ^ { 2 } - 4 } 的定メ城丸 ( - ∞ 中-2jUL2. + ∞ ) 定文域美千原点対称因丸 h \ ( - x ) = { sqrt { ( - x ) ^ { 2 } - 4 } } = { sqrt { x ^ { 2 } - 4 } } = h \left( x \right) 所以 h ( x ) 信番教(3)解 国カ（ー)+ (元)ーF(2)所 / { 1 } { a } + / { 4 } { b } = 1 6 田 a > 0 , b > 0 き/ { 1 } { b } + / { 4 } { b } = 1 6 >= 2 sqrt { / { 4 } { a b } } = / { 4 } { sqrt { a b } } , -写 a b >=slant / { 1 } { 1 6 } 当旦当 / { 1 } { a } = / { 4 } { b } = 8 a = / { 1 } { 8 } , b = / { 1 } { 2 } サ等号虚立,改的最小カ

例：解(I当 - x ^ { 2 } + 2 x + 3 >= 0 即 - 1 { <=slant } x { <=slant } 3 町図数 f ( x ) = - x ^ { 2 } + 2 x + 3 = - ( x - 1 ) ^ { 2 } + ,当 - x ^ { 2 } + 2 x + 3 < 0 即 \scriptstyle x < - 1 或 \vert x > 3 肘,図数 f ( x ) = x ^ { 2 } - 2 x - 3 = ( x - 1 ) ^ { 2 } - 4 \nonumber まf \left( x \right) = \left\{ \begin{array} { l l } { - ( x - 1 ) ^ { 2 } + 4 , - 1 { <=slant x } { <=slant 3 } } \\ { ( x - 1 ) ^ { 2 } - 4 , x { < } - 1 \ { \sharp } { <=slant x } \ } \end{array} \right. 中努 x { > } 3 留国象却図

根揖番教象特征・却教 \scriptstyle y = f ( x ) 的単週遠増区同カL一111和L3十C単週端療区同(-e.-1利13.2)由図象可知当 0 { < } m { < } 4 肘岡数 \scriptstyle y = f ( x ) 与 y = m 由図象有四不不同的交点散集合 M = \{ m | 0 < m < 4 \} 川捺3解 ( 1 ) ： f ( x ) 中 bf { R } 上是脊番教・旦 f ( x ) { = } { - } x ^ { 2 } { + } 2 x { + } 2 ( x { > } 0 ) 円:： \scriptstyle * f ( - 1 ) = - f ( 1 ) = - ( - 1 + 2 + 2 ) = - 3 . -2没 \forall x < 0 則 - \boldsymbol { x } > 0 是 f \left( - x \right) = - ( - x ) ^ { 2 } - 2 x + 2 = - x ^ { 2 } - 2 x + 2 . 因丸 f ( x ) 奇番数所以 f ( - x ) { = } { - } f ( x ) 中因此 f ( x ) = x ^ { 2 } + 2 x - 2 出又 f ( 0 ) { = } 0 所以 f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { { x ^ { 2 } + 2 x - 2 , x < 0 , } } \\ { { 0 , x = 0 , } } \\ { { - x ^ { 2 } + 2 x + 2 , x > 0 } } \end{array} \right. -3先番出 \scriptstyle y = f ( \boldsymbol { x } ) ( \boldsymbol { x } > 0 ) 的図象利用奇図数的図象栄千原点成中心対秩図形可得相度一(È(エくO)的図泉・共図象如図所示

由図象可知図数 f ( x ) 前単週増区同 ( - 1 中0和(0,1単週減区同カ(一8,一11和1 + ∞ ) ：

例解 (1当 \phantom { - } 0 { < } x { < } 4 0 肘 , L ( x ) = 5 x 1 0 0 x - 1 0 x ^ { 2 } - 1 0 0 x - 2 \ 5 0 0 = - 1 0 x ^ { 2 } + 4 0 0 x - 2 \ 5 0 0 当 x { >=slant } 4 0 財 L ( x ) = 5 x 1 0 0 x - 5 0 1 x - { / { 1 0 ~ 0 0 0 } { x } } + 4 ~ 5 0 0 { - } 2 ~ 5 0 0 { = } 2 ~ 0 0 0 { - } \left( x { + } / { 1 0 ~ 0 0 0 } { x } \right) , 所以 L ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { - 1 0 x ^ { 2 } + 4 0 0 x - 2 ~ 5 0 0 , 0 < x < } \\ { 2 ~ 0 0 0 - \left( x + \displaystyle { / { 1 0 ~ 0 0 0 } { x } } \right) , x >= 4 0 . } \end{array} \right. 2当 0 { < x < } 4 0 肘; L \left( x \right) = - 1 0 \left( x - 2 0 \right) ^ { 2 } + 1 500,故当 \scriptstyle x = 2 0 \left. L ( x ) _ { { m a x } } = L ( 2 0 ) = 1 \right. 500:郡 x { >=slant } 4 0 財 , L ( x ) = 2 ~ 0 0 0 - \left( x + { / { 1 0 ~ 0 0 0 } { x } } \right) <=slant 2 \ 0 0 0 - 2 { sqrt { x * { / { 1 0 \ 0 0 0 } { x } } } } = 2 \ 0 0 0 { - 2 0 0 { = } 1 \ 8 0 0 } . 当旦仮当 \scriptstyle x = { / { 1 0 \ 0 0 0 } { x } } 印 \scriptstyle x = 1 0 0 町.上式取等号所以 L ( x ) _ { { m a x } } { = } L ( 1 0 0 ) { = } 1 ~ 8 0 0 { > } 1 ~ 5 0 0 所以当 x = 1 0 0 即2025年生声100百鞠産財夜企耶茨得利洞最大・最大利洞 800 万元.

川芽4解（1当 0 { < } x { <=slant } 5 肘 f ( x ) { = } 1 0 x 中当 5 { < x <=slant } 1 0 肘f ( x ) = 1 0 x 5 + 9 ( x - 5 ) = 9 x + 5 2ま当 _ { x > 1 0 } 肘 f ( x ) = 1 0 x 5 + 9 x 5 + 8 ( x - 1 0 ) = 8 x + 1 5 , 語 f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 0 x , 0 < x <=slant 5 , } \\ { 9 x + 5 , 5 < x <=slant 1 0 , } \\ { 8 x + 1 5 , x > 1 0 . } \end{array} \right. (2当甲乙西人分千駒財消息額力 f ( 4 ) + f ( 8 ) = 1 0 x 4 + 9 x 8 + 5 = 1 1 7 ( 元.当甲乙一起卿乗財消暮皇額方 f ( 1 2 ) = 8 x 1 2 + 1 5 = Ill元.国カ111一117,所以甲,乙一起廂 1 2 ~ {kg } 的滴琵皇額最少此町的消意額ヵ111元

第四章 指数団数与対数数

41指数

4,1,1 n 次方根与分数指数幕

新知 * 孤任芻単

,1. n 方根 \scriptstyle x = { sqrt [ n ] { a } } \quad x = ± { sqrt [ n ] { a } }
2 . ( 1 ) sqrt [ n ] { a } 根指数 ( 2 ) { { 1 } } a ョョ { 2 } | \boldsymbol { a } |
:. sqrt [ n ] { a ^ { \prime \prime } } / { 1 } { sqrt [ n ] { a ^ { m } } } 没有
4 . ~ ( 1 ) a ^ { r + s } ~ ( 2 ) a ^ { r s }
二1 2「
3 . x - 提示 n 丸奇教財( sqrt [ n ] { - 4 } ) ^ { n } = - 4 , n 偶教町( sqrt [ n ] { - 4 } ) ^ { n } 毛意メ
4 5 \surd

題型 研活劫単

例1 (1一1 F. * < 0 中:： { sqrt { x ^ { 2 } } } = \vert x \vert = - x 中\therefore x + | x | + { / { sqrt { x ^ { 2 } } } { x } } = x - x + { / { - x } { x } } = - 1 . 7 2解原式 = { sqrt { ( x - 1 ) ^ { 2 } } } - { sqrt { ( x + 3 ) ^ { 2 } } } = | x - 1 | - | x + 3 | 当 - 3 { < } x { < } 1 肘,原式 = - ( x - 1 ) - ( x + 3 ) = - 2 x - 2 中当 1 { <=slant } x { < } 3 財,原式 = x - 1 - ( x + 3 ) = - 4 所以原式ー(仁タイく。 \underline { { \underline { { \mathbf { \Pi } } } } } ( - 2 x - 2 , - 3 < x < 1 中

川芽1 (1Å ( 2 ) a - 1 L1)由 2 { < } a { < } 3 知 2 - - a { < } 0 , 3 { - } a { > } 0 中所以 sqrt { ( 2 - a ) ^ { 2 } } + sqrt [ 4 ] { ( 3 - a ) ^ { 4 } } = | 2 - a | + | 3 - a | = a - 2 + 3 - a = 1 .