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（2023 通州一模——直角对称点）★★★☆

关键词：轨迹圆（对称得到半径相等）、大眼睛

28．在△ABC 中，∠A＝90

 ，AB＝AC，给出如下定义：作直线 l 分别交 AB，AC 边于点

M，N，点 A 关于直线 l 的对称点为

A'

，则称

A'

为等腰直角△ABC 关于直线 l 的“直角对称

点”．（点 M 可与点 B 重合，点 N 可与点 C 重合）

（1）在平面直角坐标系

xOy

中，点

A(0,2) ， B(2,0)

，直线 l：y＝kx＋1，O'

为等腰直角

AOB

关于直线 l 的“直角对称点”．

①当 k＝ −1

时，写出点

O'

的坐标_________；

②连接

BO'

，求

BO'

长度的取值范围；

（2）⊙O 的半径为 10，点 M 是⊙O 上一点，以点 M 为直角顶点作等腰直角△MPQ，其中

MP＝2，直线 l 与 MP、MQ 分别交于 E、F 两点，同时

M '

为等腰直角△MPQ 关于直

线 l 的“直角对称点”，连接

OM '

．当点 M 在⊙O 上运动时，直接写出

OM '

长度的

最大值与最小值．

l M

N

A

B C

x

y

B

A

O

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吴老师图解

（1）①

(1,1).

规律总结

先给出结论：

如图，等腰直角

ABC

关于直线

l

的“直角对称点”在：图示黄色阴影部分的内部或边

界上（提示：由 2 个弓形形成的区域，其中点

A

与点

R

关于

BC

对称），

下面给出分析过程：

如图，

1）当点

M

与点

B

重合时，点

N

在线段

AC

上运动，

A'

的轨迹是弧

AR ，

2）当点

M

换到另外一个位置，点

N

在线段

AC

上运动， A'

的轨迹是弧

AS ，

难点：

3）其中，点

S

是点

A

关于直线

MC

的对称点，与步骤 1）同理，当点

M

在线段

AB

上运

动时，点

S

的轨迹是弧

AR

（绿色），

得出结论：

也就是说，对于某个位置的点

M

（先不动），当点

N

在线段

AC

上运动时，点

A'

的轨

迹是个弧

AS

；而当点

M

也开始运动，则弧

AS

也开始变化，其中，点

S

的轨迹是图示绿色

的弧

AR ．最终，弧

AS

扫过的区域即为“直角对称点”所在区域！

l

R

A

C

B

M

N

R

A'

A

C

B

M

N

S

R

A'

A

C

B

M

N

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思路&图解

如图，

O'

的坐标为

(1,1).

（1）②

5 1 ' 2 − BO .

思路&图解

如图，

1）直线

y kx = +1

过定点

S(0,1)，

2）由【规律总结】知，点

O'

在：以

S

为圆心，1 为半径的圆弧

OR

上，

3）由对称知

BR BO = = 2，勾股定理可

得

BS = 5

，即

BG = − 5 1，

 5 1 ' 2 − BO .

（2）最大值为

10 2 2 +

，最小值为

10 2 2 − .

分析

如图，在

O

上任取一点

M

，作出等腰直角

MPQ，

1）点

P ，Q

在以

M

为圆心，2 为半径的圆上，且

PM QM ，

2）由【规律总结】知，点

M '

在图示黄色阴影部分的内部或边界上，且

MR = 2 2 ，

发现：

OM '

的长度与点

M

在

O

上的位置无关，而是取决于

OR

的长度.

x

y

y=-x+1

O'

B

A

O

x

y

G

R

S

B

A

O

x

y

R

Q

O

M

P

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思路&图解

如图，

由【分析】知，OM '

的最大值

= = + OS 10 2 2 ，OM '

的最小值

= = − OK 10 2 2 .

x

y

K

S

R

Q

O

M

P