预学与导学

数学 九年级下

我们以教育部颁布的义务教育课程标准所倡导的理念为指导，吸纳萧山区“导学

新范式”课题的最新研究成果，精心编写了这套丛书。本套丛书从学生学习的实际出

发，通过多元化设置的栏目，以导定教，以导定学，突出学习过程中的“预学与导学”；通

过创新性内容的设定，有效地指导学生自主学习，发掘学生的学习潜能。同时，丛书注

重基础知识和基本技能的落实、探究能力和科学素养的培养，以及情感、态度与价值观

的渗透等，切实做到“轻负高效”。本套丛书与教科书同步，按课时编写，既方便教师在课堂上“教”，也方便学生在课

内外“学”与“练”。为了帮助学生更好地进行课前预习、课堂练习、课后复习，在编写过

程中，我们设置了多元化的栏目。本套丛书的栏目设置如下：“我预学”，通过设置一些

简单的问题和习题，让学生重温与本节课相关的已有知识，同时让学生通过独立探索，与新知识建立起实质性的联系；“我达标”，再现本节课的核心知识与方法，巩固与落实

基础知识、基本技能、基本数学思想和基本活动经验；“我挑战”，运用本节课所学的知

识，解决各类数学问题和现实生活问题。其中，“我达标”为必做题，“我挑战”为选做

题，供学有余力的学生选择使用。我们在编写过程中力求做到：选题典型化，突出针对性；形式多样化，追求过程性；

内容弹性化，体现差异性。我们希望本套丛书能真正成为学生学习的帮手、教师授课

的助手。

由于编写时间仓促，书中难免有疏漏之处，恳请广大师生在使用过程中提出宝贵

的意见，以利于我们今后修订，使之臻于完美。

编者

１

九年级下

第 １ 章 解直角三角形

１．１ 锐角三角函数（１）………………………………………………………………… １

１．１ 锐角三角函数（２）………………………………………………………………… ４

１．２ 锐角三角函数的计算（１）………………………………………………………… ７

１．２ 锐角三角函数的计算（２）………………………………………………………… ９

１．３ 解直角三角形（１）………………………………………………………………… １１

１．３ 解直角三角形（２）………………………………………………………………… １４

１．３ 解直角三角形（３）………………………………………………………………… １７

第 ２ 章 直线与圆的位置关系

２．１ 直线与圆的位置关系（１）………………………………………………………… ２０

２．１ 直线与圆的位置关系（２）………………………………………………………… ２３

２．１ 直线与圆的位置关系（３）………………………………………………………… ２６

２．２ 切线长定理 ……………………………………………………………………… ２９

２．３ 三角形的内切圆 ………………………………………………………………… ３２

第 ３ 章 三视图与表面展开图

３．１ 投影（１）…………………………………………………………………………… ３５

３．１ 投影（２）…………………………………………………………………………… ３８

３．２ 简单几何体的三视图（１）………………………………………………………… ４１

３．２ 简单几何体的三视图（２）………………………………………………………… ４４

３．２ 简单几何体的三视图（３）………………………………………………………… ４７

３．３ 由三视图描述几何体 …………………………………………………………… ５０

２

３．４ 简单几何体的表面展开图（１）…………………………………………………… ５３

３．４ 简单几何体的表面展开图（２）…………………………………………………… ５６

３．４ 简单几何体的表面展开图（３）…………………………………………………… ５９

总复习

第 １ 讲 数与式

１．１ 有理数 …………………………………………………………………………… ６２

１．２ 实数与二次根式 ………………………………………………………………… ６５

１．３ 整式与因式分解 ………………………………………………………………… ６８

１．４ 分式 ……………………………………………………………………………… ７１

第 ２ 讲 方程（组）与不等式（组）

２．１ 一次方程（组）、分式方程………………………………………………………… ７４

２．２ 一元二次方程 …………………………………………………………………… ７７

２．３ 不等式（组）……………………………………………………………………… ８０

第 ３ 讲 变量与函数

３．１ 变量与坐标 ……………………………………………………………………… ８３

３．２ 一次函数 ………………………………………………………………………… ８６

３．３ 一次函数的应用 ………………………………………………………………… ８９

３．４ 反比例函数 ……………………………………………………………………… ９２

３．５ 二次函数的图象与性质 ………………………………………………………… ９５

３．６ 二次函数的应用 ………………………………………………………………… ９８

第 ４ 讲 图形的认识

４．１ 角、相交线、平行线和平移变化………………………………………………… １０１

４．２ 三角形与全等三角形…………………………………………………………… １０４

４．３ 特殊三角形和轴对称变化……………………………………………………… １０７

４．４ 相似三角形及其性质…………………………………………………………… １１０

４．５ 相似三角形的应用……………………………………………………………… １１３

３

４．６ 解直角三角形…………………………………………………………………… １１６

第 ５ 讲 四边形及尺规作图

５．１ 多边形、平行四边形与中心对称 ……………………………………………… １１９

５．２ 特殊平行四边形………………………………………………………………… １２２

５．３ 尺规作图………………………………………………………………………… １２５

第 ６ 讲 圆与展开图

６．１ 圆的基本性质与旋转变化……………………………………………………… １２８

６．２ 直线与圆的位置关系…………………………………………………………… １３１

６．３ 与圆有关的计算………………………………………………………………… １３４

６．４ 三视图与直棱柱展开图………………………………………………………… １３７

第 ７ 讲 统计与概率

７．１ 统计……………………………………………………………………………… １４０

７．２ 概率……………………………………………………………………………… １４３

第 ８ 讲 专题突破

８．１ 数学思想方法…………………………………………………………………… １４６

８．２ 数学活动经验…………………………………………………………………… １４９

８．３ 动态图形问题…………………………………………………………………… １５２

书

第１章 解直角三角形

１

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１．１ 锐角三角函数（１）

１．请你回忆一下，我们学过哪些类型的

函数？函数是如何定义的？

２．阅读教科书的本节内容后回答：在 正 弦 “ｓｉｎ犃”中， 是

的函数；在余弦“ｃｏｓ犃”中，是 的函数；在正切 “ｔａｎ犃”中， 是 的

函数． ３．【知识点】在 Ｒｔ△犃犅犆 中，如果锐角

犃 确定，那么∠犃 的对边与斜边的

比、邻边与斜边的比也随之确定．

第３题

ｓｉｎ犃＝ ；

ｃｏｓ犃＝ ；

ｔａｎ犃＝ ；

锐角 犃 的正弦、余弦和正切统称为

∠犃 的 ． （１）在 △犃犅犆 中，∠犆 ＝９０°，∠犃，

∠犅，∠犆 的对边分别是犪，犫，犮．下列各项中，正确的是（ ）． Ａ．犪＝犮·ｓｉｎ犅

Ｂ．犪＝犮·ｃｏｓ犅

Ｃ．犪＝犮·ｔａｎ犅

Ｄ．以上均不正确

（２）已知α是直角三角形中的一个锐

角，给出下列关于ｔａｎα 的说法：

①表示ｔａｎ与锐角α的乘积，②表

示锐角α 的对边与邻边的比值，

③表示锐角α的正切函数．其中

正确的是 ．（填序号）

（３）在Ｒｔ△犃犅犆 中，∠犆＝９０°． ①犃犆＝６，犅犆 ＝８，则 ｓｉｎ犃 ＝ ，ｃｏｓ犃 ＝ ，

ｔａｎ犅＝ ． ②ｓｉｎ犃 ＝ 犅，ｃｏｓ犃 ＝犅，ｔａｎ犃 ·ｔａｎ犅 ＝ ．

数学 九年级下

２

１．如图，在△犃犅犆 中，若犃犅＝５，犅犆＝ ３，则下列结论正确的是（ ）．

第１题

Ａ．ｓｉｎ犃＝３

５

Ｂ．ｓｉｎ犃＝４

５

Ｃ．ｓｉｎ犃＝３

４

Ｄ．以上结论都不正确

２．在Ｒｔ△犃犅犆 中，∠犆＝９０°．若该三角

形各边的长度都扩大到原来的３倍，则∠犃 的三角函数值（ ）． Ａ．扩大到原来的３倍 Ｂ．不变

Ｃ．缩小为原来的１

３ Ｄ．不能确定

３．已知 ∠犃 是锐角，且 ｓｉｎ犃 ＝２

３，则

ｃｏｓ犃＝ ，ｔａｎ犃＝ ． ４．如图，已知犃犅 是⊙犗 的直径，点犆，

犇 在⊙犗 上，且 犃犅＝５，犅犆＝３，则

ｓｉｎ∠犅犃犆＝ ，ｓｉｎ∠犃犇犆＝ ．

第４题 第５题

５．如 图，在 △犃犅犆 中，∠犃犅犆 ＝９０°，

犅犇⊥犃犆 于点 犇，∠犆犅犇＝α，犃犅＝ ３，犅犆＝４，则 ｓｉｎα＝ ，ｃｏｓα＝ ，ｔａｎα＝ ．

６．如图，在△犃犅犆 中，犃犇 是边犅犆 上的

高，犃犅＝１５，犅犆＝１４，犃犇 ＝１２，求

∠犅 的余弦值和∠犆 的正弦值．

第６题

１．如图，两根竹竿犃犅，犃犇 斜靠在墙犆犈

上，测得∠犃犅犆＝α，∠犃犇犆＝β，则竹

竿犃犅，犃犇 的长度之比为（ ）．

Ａ．

ｔａｎα

ｔａｎβ Ｂ．

ｓｉｎβ

ｓｉｎα

Ｃ．

ｓｉｎα

ｓｉｎβ Ｄ．

ｃｏｓβ

ｃｏｓα

第１题 第３题

２．在 Ｒｔ△犃犅犆 中，已 知 ∠犆 ＝９０°，

∠犅＝５８°，犅犆＝５８，则 犃犅 的长为 ．（用三角函数值表示）

３．如图，两条宽度为１的纸带相交成

∠α，则重叠部分（阴影部分）的面积是 ．（用含α的三角函数值表示）

第１章 解直角三角形

３

４．在 Ｒｔ△犃犅犆 中，∠犆 ＝９０°，∠犃，

∠犅，∠犆 的对边分别为犪，犫，犮，则

犪２＋犫２＝犮２，ｓｉｎ犃＝犪

犮，ｃｏｓ犃＝犫

犮．所

以 ｓｉｎ２

犃 ＋ ｃｏｓ２

犃 ＝犪２

犮２ ＋ 犫２

犮２ ＝

犪２＋犫２

犮２ ＝１，ｓｉｎ犃

ｃｏｓ犃＝犪

犮

÷

犫

犮 ＝犪

犫 ＝

ｔａｎ犃．例 在△犃犅犆 中，∠犆＝９０°，ｓｉｎ犃＝ ４

５，求ｃｏｓ犃，ｔａｎ犃 的值．

解法１：∵ｓｉｎ２

犃＋ｃｏｓ２

犃＝１，

∴ｃｏｓ２

犃＝１－ｓｉｎ２

犃

＝１－ ４

（５）

２

＝９

２５．

∴ｃｏｓ犃＝３

５，

∴ｔａｎ犃 ＝ｓｉｎ犃

ｃｏｓ犃＝４

５÷

３

５

＝４

３．

解法２：∵∠犆＝９０°，ｓｉｎ犃＝４

５，

∴可设犅犆＝４犽，犃犅＝５犽．由勾股定理得犃犆＝３犽．由三角函数的概念得ｃｏｓ犃＝ ３

５，ｔａｎ犃＝４

３．

运用上述方法，解答下列问题： （１） 在 Ｒｔ△犃犅犆 中，∠犆 ＝９０°，

ｃｏｓ犃 ＝ ２槡５

５ ，求 ｓｉｎ犃，ｔａｎ犃

的值．

（２）在 Ｒｔ△犃犅犆 中，∠犆 ＝ ９０°，

ｔａｎ犃＝１

２，求ｓｉｎ犃，ｃｏｓ犃 的值．

（３）已知∠犃 是锐角，ｃｏｓ犃＝１５

１７，求

ｓｉｎ（９０°－犃）的值．

数学 九年级下

４

１．１ 锐角三角函数（２）

１．在 Ｒｔ△犃犅犆 中，∠犆＝９０°，犃犅＝犮，

犅犆＝犪，犃犆＝犫，则ｓｉｎ犃＝ ，

ｃｏｓ犃＝ ，ｔａｎ犃 ＝ ．它们统称为∠犃 的三角函数．当∠犃

为锐角时，∠犃 的正弦、余弦函数取值

均在 ～ 之间． ２．阅读教科书的本节内容后回答：如图甲，在 Ｒｔ△犃犅犆 中，∠犆＝９０°，

∠犃＝３０°，则∠犃 的三角函数值分别

是多少？若将∠犃 放入不同的三角形

（如图乙、丙）中，则∠犃 的三角函数值

发生变化了吗？为什么？

第２题

３．【知识点１】在 Ｒｔ△犃犅犆 中，若∠犆＝ ９０°，∠犃＝３０°，那么ｓｉｎ犃＝ ，

ｃｏｓ犃 ＝ ，ｔａｎ犃 ＝ ；

ｓｉｎ犅 ＝ ，ｃｏｓ犅 ＝ ，

ｔａｎ犅＝ ． （１）在△犃犅犆 中，已知∠犃∶∠犅∶ ∠犆＝１∶２∶３，那 么 ｓｉｎ犃 ＝ ． （２）在６０°角的三角函数中，值为有理

数的三角函数是 ． （３）点犃（ｃｏｓ６０°，－ｔａｎ３０°）关于原点对

称的点犅 的坐标是 ． 【知识点２】在 Ｒｔ△犃犅犆 中，若∠犆＝ ９０°，∠犃＝４５°，则ｓｉｎ犃＝ ，

ｃｏｓ犃＝ ，ｔａｎ犃＝ ． （４）设 犪 ＝ｓｉｎ６０°，犫＝ｃｏｓ４５°，犮＝ ｔａｎ３０°，则犪，犫，犮之间的大小关系

是（ ）． Ａ．犮＜犫＜犪 Ｂ．犫＜犪＜犮

Ｃ．犪＜犮＜犫 Ｄ．犫＜犮＜犪

（５）求下列各式的值：

①２ｓｉｎ３０°－槡２ｃｏｓ４５°．

②ｔａｎ３０°－ｓｉｎ６０°·ｓｉｎ３０°．

第１章 解直角三角形

５

１．在△犃犅犆 中，若ｔａｎ犃＝ｔａｎ犅＝１，则

这个三角形是（ ）． Ａ．有一个角为３０°的等腰三角形

Ｂ．有一个角为６０°的等腰三角形

Ｃ．有一个角为９０°的等腰三角形

Ｄ．有一个角为１２０°的等腰三角形

２．若∠犃 为锐角，ｃｏｓ犃＜槡３

２，则∠犃 的

取值范围是（ ）． Ａ．３０°＜∠犃＜９０° Ｂ．０°＜∠犃＜３０° Ｃ．０°＜∠犃＜６０° Ｄ．６０°＜∠犃＜９０° ３．ｓｉｎ７０°，ｃｏｓ７０°，ｔａｎ７０°的大小关系是

（ ）． Ａ．ｔａｎ７０°＜ｃｏｓ７０°＜ｓｉｎ７０° Ｂ．ｃｏｓ７０°＜ｔａｎ７０°＜ｓｉｎ７０° Ｃ．ｓｉｎ７０°＜ｃｏｓ７０°＜ｔａｎ７０° Ｄ．ｃｏｓ７０°＜ｓｉｎ７０°＜ｔａｎ７０° ４．在△犃犅犆 中，已知∠犃，∠犅 都是锐

角，且 ｓｉｎ犃 ＝ １

２，ｃｏｓ犅 ＝槡３

２，则

△犃犅犆 的形状是 ．（按

边分类）

５．已知等腰三角形犃犅犆 的腰长为４槡３，底 角 为 ３０°，则 底 边 上 的 高 为 ，周长为 ． ６．如图，已知∠犃犗犅＝３０°，犆 是边犗犅

上一点，过点犆 作犗犅 的垂线，分别交

∠犃犗犅 的平分线、边犗犃 于点犘，犙，

若犘犙＝２，则犘犆 的长是 ．

第６题

７．已知关于狓 的方程狓２－（２ｃｏｓα）狓＋

１

４＝０有两个相等的实数根，则锐角α

的度数为 ．

８．已知ｔａｎ２

α－（１＋槡３）ｔａｎα＋槡３＝０，则

锐角α的度数为 ． ９．根据下列条件，求锐角α的度数．

（１）ｔａｎα＝槡３

３．

（２）ｓｉｎ２α＝槡２

２．

（３）６ｃｏｓ（α－１６°）＝３槡３．

１０．△犃犅犆 的两个内角∠犃，∠犅 满足

（槡３ｔａｎ犃－３）２＋│２ｃｏｓ犅－槡３│＝０． （１）试判断△犃犅犆 的形状． （２）当△犃犅犆 的最短边长为２时，求△犃犅犆 的面积．

数学 九年级下

６

１．当锐角α＝ 时，抛物线狔＝狓２－狓＋ｃｏｓ２

α 的图象与坐标轴有两

个交点． ２．已知∠犃，∠犅 是△犃犅犆 的两个锐

角，且ｃｏｓ犃，ｔａｎ犅（ｃｏｓ犃＜ｔａｎ犅）是一元二次方程２狓２－３狓＋１＝０的两根，则∠犆＝ 度．

第３题

３．如 图，在 △犃犅犆

中，∠犅犃犆＝１２０°，

犃犅＝１０，犃犆＝５．则 ｔａｎ∠犃犅犆 ＝ ，ｓｉｎ∠犃犆犅＝ ． ４．如 图，在 Ｒｔ△犃犅犆 中，∠犆 ＝９０°，

∠犅犃犆＝３０°，延长 犆犃 至点 犇，使

犃犇＝犃犅． （１）利用此图形，求ｔａｎ１５°的值． （２）请直接写出ｔａｎ２２．５°的值．

小贴士：∠犇 与∠犅犃犆 存在怎样的

数量关系？若∠犇＝２２．５°，则∠犅犃犆

等于多少度？图中各条线段之间的

数量关系是怎样的？

第４题

５．如图，在△犃犅犆 中，∠犃，∠犅，∠犆 的

对边分别是犪，犫，犮． （１）若犪＝３０，犫＝３６，∠犆＝３０°，求

△犃犅犆 的面积．

（２）试证明犛△犃犅犆＝１

２犪犫ｓｉｎ犆．

（３）请利用第（２）题中的结论，解答下

面的问题：若菱形的周长为１２，面

积为６，求这个菱形中锐角的正

弦值．

小贴士：△犃犅犆 中边犃犆 上的高和

∠犆 的正弦值有何关系？

第５题

第１章 解直角三角形

７

１．２ 锐角三角函数的计算（１）

１．阅读教科书的本节内容后回答： （１）利用计算器求出下列正弦值，并

用“＜”把它们按从小到大的顺序

连接起来． ｓｉｎ２７°１２′，ｓｉｎ８５°，ｓｉｎ６３°３６′１５″，

ｓｉｎ５４°２３′，ｓｉｎ３８°３９′５２″．

（２）对比第（１）题及教科书第１２页“课内练习”的结果，你认为随着

锐角度数的增大，正弦值（或余弦

值）的大小有什么变化规律？

（３）已知０°＜α＜β＜９０°，利用第（２）

题中的规律思考：

①比较ｓｉｎα与ｓｉｎβ以及ｃｏｓα与

ｃｏｓβ的大小．

②进一步用计算器探究：随着锐

角度数的增大，正切值的大小

有什么变化规律？比较ｔａｎα

与ｔａｎβ的大小．

２．【知识点１】利用计算器求一个角的三

角函数值． （１）ｓｉｎ３６°的值为（ ）． Ａ．０．１２８８ Ｂ．０．５

Ｃ．０．５８７８ Ｄ．０．８１８２

（２）ｓｉｎ１５°＝ｃｏｓ ≈

；（结果精确到０．０００１）

ｃｏｓ６３°＝ｓｉｎ ≈ ． （结果精确到０．０００１）

【知识点２】锐角三角函数的增减性：锐角 函数的值都随着角度的

增大而增大， 函数的值随着

角度的增大而减小．（填序号）

①正弦，②余弦，③正切． （３）已知α 是锐角，给出下列说法：

①ｓｉｎα随着α的增大而增大；

②ｃｏｓα随着α的增大而增大；

③ｔａｎα随着α的增大而增大；

④ｃｏｓα＜１，ｓｉｎα＜１，ｔａｎα＜１．其中正确的是 ．（填序号）

数学 九年级下

８

１．求下 列 三 角 函 数 值 （结 果 精 确 到

０．０００１），并把它们用“＜”连接： （１）因为 ｓｉｎ３６°＝ ，ｓｉｎ６０°＝ ，所以 ＜ ． （２）因为ｃｏｓ４５°＝ ，ｃｏｓ２４°１２′１６″＝ ，所以 ＜ ． （３）因为ｔａｎ５４°＝ ，ｔａｎ６０°２４′＝ ，所以 ＜ ．

２．若锐角α满足ｃｏｓα＜槡２

２且ｔａｎα＜槡３，

则α的取值范围是 ．

第３题

３．如图，梯子（长度不变）与

地面所成的锐角为α．关

于α 的三角函数值与梯

子的倾斜程度，下列叙述

正确的是（ ）． Ａ．ｓｉｎα的值越大，梯子越陡

Ｂ．ｃｏｓα的值越大，梯子越陡

Ｃ．ｔａｎα的值越小，梯子越陡

Ｄ．倾斜程度与α的三角函数值无关

４．计算：

（１）槡（ｔａｎ３０°－ｔａｎ５０°）２ ＋｜ｔａｎ５０°－ ｔａｎ６０°｜．

（２）ｓｉｎ４８°２５′＋ｃｏｓ２３°２７′－ｔａｎ４８°·

ｔａｎ８１°５２′．

５．如图，已知游艇的航速为３４ｋｍ／ｈ，它

从灯塔犛的正南方向犃 处向正东方向

航行到犅 处需１．５ｈ，且在犅 处测得灯

塔犛在北偏西６５°方向，求犅 处到灯塔

犛的距离．（结果精确到０．１ｍ）

第５题

第１题

１．如图，在小正方形边长

都为１的正方形网格

中，点 犃，犅，犆，犇 都

在小正方形的顶点上，

犃犅，犆犇 相交于点犗，则ｔａｎ∠犃犗犇

的值为 ． ２．如图，锐角三角形犃犅犆 内接于⊙犗，点犇 与点犆 在 犃犅 的同侧，∠犃犇犅

为锐角，且ｔａｎ∠犆＞ｔａｎ∠犃犇犅．试

探究点 犇 与⊙犗 的位置关系，并进一 步 比 较 ｓｉｎ∠犆 与ｓｉｎ∠犃犇犅，

ｃｏｓ∠犆 与ｃｏｓ∠犃犇犅 这两组三角函

数值的大小．

第２题

第１章 解直角三角形

９

１．２ 锐角三角函数的计算（２）

１．阅读教科书的本节内容后回答： （１）若将教科书第１１页的引例改成 “如果木桩向上运动了１ｃｍ，楔子

沿水平方向前进了５ｃｍ，那么楔

子的倾斜角为多少度”，则其实质

是已知什么，求什么？

（２）完成例３的解答过程．

２．【知识点】已知一个角的三角函数值，利用计算器求这个角的度数． （１）若∠犃，∠犅 均为锐角，且ｓｉｎ犃＝ １

２，ｃｏｓ犅＝１

２，则∠犃＝ 度，

∠犅＝ 度． （２）若槡３ｔａｎ（α＋１０°）＝１，则锐角α＝度． （３）如图，在Ｒｔ△犃犅犆 中，∠犆＝９０°．

第２题（３）

①若 犃犆＝１２，犅犆＝５，则 犃犅＝ ，ｔａｎ犃 ＝ ，

∠犃≈ （结果精确到

１″，下同）． ②若犃犆＝３，犃犅＝５，则ｓｉｎ犃＝ ，ｔａｎ犅 ＝ ，

∠犃≈ ，∠犅≈ ． （４）已知４５°＜α＜６０°，则ｓｉｎα的取值

范围是 ． （５）已知锐角α 的三角函数值，使用

计算器求锐角α的大小：（结果精

确到１″）

①ｓｉｎα＝０．３４７５，则α＝ ；

②ｃｏｓα＝０．４２７３，则α＝ ；

③ｔａｎα＝１．２１８９，则α＝ ．

数学 九年级下

１０

１．已知α为锐角，且ｃｏｓα＝２

５，则α的取

值范围是（ ）． Ａ．０°＜α＜３０° Ｂ．３０°＜α＜４５° Ｃ．４５°＜α＜６０° Ｄ．６０°＜α＜９０° ２．小聪正在放一只线长为１３２ｍ的风筝，已知风筝距离地面的高度为９８ｍ，则

风 筝 线 与 地 面 所 成 角 的 度 数 约 为 ．（结果精确到０．１°）

３．如图，在△犃犅犆 中，已知∠犃＝９０°，

犅犇＝４，犆犇＝犃犅，ｃｏｓ∠犃犇犆＝３

５，那

么犃犇＝ ，ｓｉｎ犅＝ ．

第３题 第４题

４．某公园滑梯示意图如图所示，滑梯的

高度犃犆＝２ｍ，滑梯的着地点犅 与梯

架之间的距离犅犆＝４ｍ． （１）求滑梯犃犅 的长． （２）现在规定滑梯的倾斜角（∠α）不

能超过４５°．通过计算说明该滑梯

的倾斜角是否符合要求．

１．不用计算器，你能否比较以下锐角α

与β的大小？如果能，说说你的想法．

（１）ｃｏｓα＝３

４，ｔａｎβ＝５

４．

（２）ｓｉｎα＝０．４５６７，ｃｏｓβ＝０．５６７８．

小贴士：你能利用特殊角的三角函数

值与三角函数的增减性来解决这个

问题吗？用计算器来验证你的结果．

２．如图，在⊙犗 中，直径犃犅⊥弦犆犇 于

点犈，若犅犈＝１

４犆犇＝４，求∠犆犗犇 的

度数及扇形犗犆犇 的面积．（角度精确

到１′，面积精确到０．１）

第２题

第１章 解直角三角形

１１

１．３ 解直角三角形（１）

１．阅读教科书的本节内容后回答： （１）在Ｒｔ△犃犅犆 中，∠犆＝９０°，∠犃＝ α，犅犆 ＝犪，则 犃犅 ＝ ，

犃犆＝ ，∠犅＝ ． （２）解直角三角形至少需要

个条件，其中必须有关于

的条件． ２．【知识点】在 Ｒｔ△犃犅犆 中，∠犆＝９０°，

∠犃，∠犅，∠犆 的对边分别是犪，犫，犮．请填写下表：（求其余各边、角）

已知条件 解法

一条边和一个锐角

一条直角边和一个

锐角（犪，∠犃）

斜边和一个锐角

（犮，∠犃）

两条边

两条直角边（犪，犫）

斜边和一条直角边

（犪，犮）

（１）如图所示是一把直角三角尺，其

中 ∠犆 ＝９０°，边 犃犆 ＝３０ｃｍ，

ｔａｎ∠犅犃犆＝槡３

３，则边犅犆 的长为

ｍ． （２）如图，一个钢球沿坡角为３１°的斜

坡向上滚动了５ｍ，此时钢球距

地面的高度是（ ）．

Ａ．５ｃｏｓ３１°ｍ Ｂ．５ｓｉｎ３１°ｍ

Ｃ． ５

ｔａｎ３１°ｍ Ｄ．５ｔａｎ３１°ｍ

第２题（１） 第２题（２）

（３）在Ｒｔ△犃犅犆 中，∠犆＝９０°，犪，犫，

犮分别为∠犃，∠犅，∠犆 所对的

边，则 下 列 关 系 式 中 错 误 的 是

（ ）． Ａ．犫＝犮·ｃｏｓ犅

Ｂ．犫＝犪·ｔａｎ犅

Ｃ．犪＝犮·ｓｉｎ犃

Ｄ．犪＝犫

ｔａｎ犅

（４）在 Ｒｔ△犃犅犆 中，∠犆＝９０°，∠犃，

∠犅，∠犆的对边分别是犪，犫，犮． ①如果犮＝１０，∠犃＝４５°，那么

犪＝ ，犫＝ ，

∠犅＝ ．

②如 果 犪＝槡５，犫＝ 槡１５，那 么

∠犅 ＝ ， ∠犃 ＝ ，犮＝ ．

③如果犮＝槡３，ｓｉｎ犃＝槡６

３，那么

犪＝ ，犫＝ ．

数学 九年级下

１２

１．在 Ｒｔ△犃犅犆 中，∠犆 ＝９０°，∠犃，

∠犅，∠犆 的对边分别为犪，犫，犮，则下

列结论正确的是（ ）． Ａ．犮＝犪ｓｉｎ犃 Ｂ．犮＝犪ｃｏｓ犃

Ｃ．犮＝犪

ｃｏｓ犃 Ｄ．犮＝犪

ｓｉｎ犃

２．菱形犃犅犆犇 的对角线犃犆＝６，犅犇＝ ８，∠犃犅犇＝α，则下列结论正确的是

（ ）．

Ａ．ｓｉｎα＝４

５ Ｂ．ｃｏｓα＝３

５

Ｃ．ｔａｎα＝４

３ Ｄ．ｓｉｎα＝３

５

３．如图，鱼竿犃犆 长６ｍ，露出水面的鱼

线犅犆 长３槡２ ｍ，某垂钓者想看看鱼

钩上的情况，把鱼竿犃犆 转动到犃犆′的位置，此时露出水面的鱼线犅′犆′长３槡３ ｍ，则 鱼 竿 转 动 的 角 度 是

（ ）． Ａ．６０° Ｂ．４５° Ｃ．１５° Ｄ．９０°

第３题 第４题

４．如图，矩形犃犅犆犇 中，已知犇犈⊥犃犆

于点犈，ｃｏｓ∠犃犇犈＝３

５，犃犅＝４，则

犃犇＝ ．

５．在等腰三角形 犃犅犆 中，底边 犅犆＝

２０，ｓｉｎ犆＝３

５，则犃犅＝ ．

６．在Ｒｔ△犃犅犆 中，∠犆＝９０°，∠犃，∠犅，

∠犆的对边分别是犪，犫，犮．请根据下列

条件 解 直 角 三 角 形：（参 考 数 据：

ｓｉｎ３７°≈

３

５）

（１）∠犅＝４５°，犮＝１４．

（２）犪＝２槡６，犫＝６槡２．

（３）ｓｉｎ犅＝４

５，犪＝１２．

７．如图，在△犃犅犆 中，∠犃＝３０°，∠犅＝ ４５°，犅犆＝４，求△犃犅犆 的面积．

第７题

第１章 解直角三角形

１３

１．如图，在 Ｒｔ△犃犅犆 中，∠犅犃犆＝９０°，

犃犇⊥犅犆 于点犇．设∠犃犅犆＝α，则下

列结论错误的是（ ）．

第１题

Ａ．犅犆＝犃犆

ｓｉｎα

Ｂ．犃犆＝犃犇·ｃｏｓα

Ｃ．犆犇·犅犇＝ｔａｎ２

α

Ｄ．犅犇＝犃犅·ｃｏｓα

２．如图，犆，犇 是以犃犅 为直径的半圆上

的两个点（不与点 犃，犅 重合），连结

犇犆，犃犆，犇犅，犃犆 与犅犇 交于点犘．若

∠犃犘犇＝α，则犆犇

犃犅等于（ ）．

第２题

Ａ．ｓｉｎα

Ｂ．ｃｏｓα

Ｃ．ｔａｎα

Ｄ． １

ｔａｎα

３．将一副三角尺按如图所示的方式摆放，

这副三角尺有一边重合，连结犃犇，试

求∠犃犇犅 的正切值．

第３题

４．如图甲所示，将直尺摆放在三角尺

犃犅犆 上，使直尺与三角尺的边分别交

于点犇，犈，犉，犌，已知∠犆犌犇＝４２°．

第４题

（１）求∠犆犈犉 的度数． （２）将直尺向下平移，使直尺的边缘

经过三角尺的顶点犅，交犃犆 于

点犎，如图乙所示，点 犎，犅 在直

尺上的读数分别为４，１３．４，求

犅犆 的长．（结果保留两位小数，参

考数据：ｓｉｎ４２°≈０．６７，ｃｏｓ４２°≈

０．７４，ｔａｎ４２°≈０．９０）

数学 九年级下

１４

１．３ 解直角三角形（２）

１．（１）如图甲，在 Ｒｔ△犃犅犆 中，∠犆＝ ９０°．已 知 ∠犃 和 犮，则 犪 ＝ ，犫 ＝ ；已 知

∠犃 和犪，则犮＝ ，犫＝ ． （２）如图乙，已知∠犆 为任意角，且

犃犆＝犫，犃犅＝犮．试用含∠犃，犫，犮

的代数式表示△犃犅犆 的面积：

．

第１题

２．阅读教科书的本节内容后回答：已知线段犃犅 的长为２６ｍ． （１）如图甲，斜坡犃犅的坡比为１∶２．４．则点 犅 到 点 犃 的 水 平 距 离 为

ｍ．（结果精确到０．１）

第２题

（２）如图乙，犃犅 是等腰三角形犃犅犆

的腰，且∠犃＝７１．０６°，则边 犅犆

的长 为 ｍ．（结 果 精 确 到

０．１，参考数据：ｓｉｎ３５．５３°≈０．５８）

３．【知识点１】坡角为α 的斜坡的坡度

（也叫作坡比）犻＝ ，可用三角函数表示为 ． （１）某人 沿 一 定 坡 度 的 坡 面 前 进

１０ｍ，此时他与水平地面的垂直

距离为２槡５ ｍ，则此坡面的坡比

为 ． 【知识点２】解直角三角形的问题中，作 构造直角三角形是最常用

的添加辅助线的方法． （２）如图，某车间人字形屋架为等腰

三角形，犃犅＝１５ｍ，∠犃＝３０°，则

犃犆＝ ｍ．

第３题（２）

（３）一个零件的轴截面如图，已知倾

斜角为α，零件的大头直径 犇＝ １２ｍｍ，小头直径犱＝８ｍｍ，则

零件 的 长 度犾＝ ｍｍ． （用含α的三角函数表示）

第３题（３）

第１章 解直角三角形

１５

１．如图，斜坡犃犅 与水平面的夹角为α，下列命题中，不正确的是（ ）．

第１题

Ａ．斜坡犃犅的坡角为α

Ｂ．斜 坡 犃犅 的 坡 比

为犅犆

犃犅

Ｃ．斜 坡 犃犅 的 坡 比

为ｔａｎα

Ｄ．斜坡犃犅 的坡比为犅犆

犃犆

２．如果坡角的余弦值为３槡１０

１０ ，那么坡比

为 ． ３．如图，一个物体从坡顶犃 点出发，沿

坡比为１∶５的斜坡直线运动到底端

犅 点，若犃犅＝２６ｍ，则物体高度下降

了 ｍ．

第３题

４．已知犅犇 是菱形犃犅犆犇 的对角线，若

菱形犃犅犆犇 的周长为２０ｃｍ，面积为

２０ｃｍ２，则ｔａｎ∠犃犇犅＝ ． ５．如图，大坝的横截面为梯形犃犅犆犇，迎

水坡 犅犆 的坡角 ∠犅＝３０°，背水坡

犃犇 的坡比为１∶１．２，坝顶宽 犇犆＝ ２．５ｍ，坝高４．５ｍ．

第５题

（１）求迎水坡犅犆 的坡比． （２）求坝底犃犅 的长．

６．如图所示是一个半圆形桥洞的截面示

意图，圆心为犗，直径犃犅 是河底线，弦犆犇 是水位线，犆犇∥犃犅，犆犇＝２４ｍ，

犗犈⊥犆犇 于点犈，ｓｉｎ∠犇犗犈＝１２

１３．

（１）求半径犗犇 的长． （２）若排水时水面以０．５ｍ／ｈ的速度

下降，则要经过多长时间才能将

水排干？

第６题

数学 九年级下

１６

１．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架

梯子斜靠在左侧墙上，与地面成６０°角，梯子顶端距离地面２槡３ｍ．若保持

梯子底端的位置不动，将梯子斜靠在

右端，与地面成３５°角，则小巷的宽度

为 ｍ．（结果精确到０．１，参考

数据：ｓｉｎ３５°≈０．５７，ｃｏｓ３５°≈０．８２，

ｔａｎ３５°≈０．７０）

第１题

第２题

２．小聪有一把含３０°角的直角三角尺，他想只用量角器来

测量三角尺较短直

角边的长度，测量方法如图所示．已知

点犃 处三角尺的读数为１２ｃｍ，点犅

处三角尺的读数为０，点犅 处量角器

的读数为７４°，由此可知，三角尺较短

直角边的长度约为 ｃｍ．（参

考数据：ｓｉｎ３７°≈０．６，ｃｏｓ３７°≈０．８，

ｔａｎ３７°≈０．７５）

３．为丰富学生的业余生活，某校开展风

筝制作比赛．小聪制作的风筝外形是

四边形犃犅犆犇，对角线犃犆，犅犇 交于

点犗，其中犃犅＝犃犇，犅犆＝犆犇． （１）若 ∠犃犇犆＝１２２°，求 ∠犃犅犆 的

度数．

（２）若∠犅犆犇 ＝４２°，∠犅犃犇 ＝７４°，

犃犇＝５０ｃｍ，求犃犆 的长．

（参考数据：ｓｉｎ３７°≈

３

５，ｔａｎ３７°≈

３

４，

ｓｉｎ２１°≈

９

２５，ｔａｎ２１°≈

３

８）

第３题

第１章 解直角三角形

１７

１．３ 解直角三角形（３）

１．阅读教科书的本节内容后回答：类比教科书第２４页例６中构造直角

三角形解决问题的方法，请你再想出一种方法，尝试解决该问题．

２．【知识点１】如图，∠１是 角，

∠２是 角．（填“仰”或“俯”）

第２题（知识点１） 第２题（２）

（１）已知 犃，犅 两点，若点 犃 对点犅

的仰角为α，则点犅 对点犃 的俯

角为 ． （２）如图，某飞机于空中犃 处探测到

地面目标犅，此时，从飞机上看目

标 犅 的俯角α＝３０°，飞机高度

犃犆＝１２００ｍ，则飞机到目标犅

的距离犃犅 为 ｍ．

【知识点２】在解直角三角形的相关问

题时，我们通常会构造以下两种基本

图形来解题．

第２题（知识点２）

（３）如图，从热气球犆 上测得两建筑

物犃，犅 底部的俯角分别为３０°和

６０°．若此时热气球的高度犆犇 为

９０ｍ，且点犃，犇，犅 在同一直线

上，则建筑物 犃，犅 间的距离为 ．

第２题（３） 第２题（４）

（４）如图，小华同学在距离某建筑物

６ｍ 的点 犃 处测得广告牌上点

犅，犆 的仰角分别为５２°和３５°，则

广告牌的长度 犅犆 为 ． （结果精确到０．１ｍ，参考数据：

ｓｉｎ３５°≈０．５７，ｃｏｓ３５°≈０．８２，

ｔａｎ３５°≈０．７０，ｓｉｎ５２°≈０．７９，

ｃｏｓ５２°≈０．６２，ｔａｎ５２°≈１．２８）

数学 九年级下

１８

１．如图，点犘 处有一客轮，测得灯塔犃 位

于客轮犘 的北偏东３０°方向，且相距２０

海里．客轮犘 以６０海里／时的速度沿

北偏西６０°的方向航行４０分钟，到达犅

处，则ｔａｎ∠犃犅犘＝ ．

第１题 第２题

２．如图，旗杆犘犃 的高度与拉绳犘犅 的

长度相等．将犘犅 拉到犘犅′的位置，测

得∠犘犅′犆＝６０°（犅′犆 为水平线），测

角仪犅′犇 的高度为１ｍ，则旗杆犘犃

的高度为 ｍ． ３．如图，在距离铁轨２００ｍ 的犅 处观察 “和谐号”动车，当动车车头在 犃 处

时，恰好位于犅 处的北偏东６０°方向，

１０ｓ后，动车车头到达犆 处，恰好位

于犅 处的西北方向，则这列动车的平

均车速是 ｍ／ｓ．

第３题

４．如图，要测量河中小岛犅 到河边公路犾

的距离，在点犃 处测得∠犅犃犇＝３０°，在点 犆 处 测 得 ∠犅犆犇 ＝６０°，已 知

犃犆＝５０ｍ，则小岛犅 到公路犾的距离

为 ｍ．

第４题 第５题

５．如图，从甲楼底部犃 处测得乙楼顶部

犆 处的仰角是３０°，从甲楼顶部犅 处

测得乙楼底部犇 处的俯角是４５°，已

知甲楼的高犃犅 是１２ｍ，则乙楼的高

犆犇 是 ｍ．（结果保留根号）

６．在某工程施工过程中，要砍掉一棵树

犃犅，在地面上事先划定以点犅 为圆

心、犃犅 长为半径的圆形危险区，现在

某工人站在离点犅３ｍ 远的犇 处，从

点犆 测得树的顶端点犃 的仰角为

６０°，树的底部点犅 的俯角为３０°．距离

点犅 ８ｍ远 的 某 建 筑 是 否 在 危 险

区内？

第６题

第１章 解直角三角形

１９

１．如图，在一条笔直的海岸线犾上有犃，

犅 两个观测站，犃 在犅 的正东方向，

犃犅＝２ｋｍ．有一艘小船在犘 处，从犃

处测得小船在北偏西６０°方向，从犅

处测得小船在北偏东４５°方向． （１）求点犘 到海岸线犾的距离． （２）小船从犘 处沿射线犃犘 航行一段

时间后，到达犆 处，此时，从犅 处

测得小船在北偏西１５°方向．求点

犆 与点犅 之间的距离．

第１题

２．图甲是一个水桶模型示意图，水桶提

手结构（犃—犅—犆—犇—犈—犉，其中

犆—犇 是弧，其余是线段）的平面图是

轴对称图形．当点 犗 到线段犅犆（或

犇犈）的距离大于或等于⊙犗 的半径时

（⊙犗 是桶口所在圆，半径为犗犃），提

手才能从图甲的位置转到图乙的位

置，这样的提手才算合格品．现在用金

属材料做了一个水桶提手，如图丙，

犆—犇 是弧，其余是线段，犗 是犃犉 的

中点，桶口直径 犃犉＝３４ｃｍ，犃犅＝犉犈＝５ｃｍ，∠犃犅犆＝∠犉犈犇＝１４９°．请通过计算判断这个水桶的提手是否

合格．（参 考 数 据：槡３１４ ≈１７．７２，

ｔａｎ７３．６°≈３．４０，ｓｉｎ７５．４°≈０．９７）

第２题