答案速对与试题精析

答案速对/试题精析/规范答题/提升成绩

数学

必修第一册（配北师大版）

答案速对与试题精析

单元重构项目卷(一)

项目一

活动一

都没有参加的为： 100-(63-20+20+45-20) =12 人.

2.解： (1)A\cap B 表示同时参加数学竞赛和物理竞赛的同学；A\cup B 表示参加数学竞赛或物理竞赛的同学；\complement_{U}(A\cup B) 表示不参加数学竞赛和物理竞赛的同学.(2)设两项竞赛都参加的同学有 x 人，则（15一x)+x+(21-x)=30, 解得 x=6 ，故参加两项竞赛的同学共6人.

活动二

3.C解析：由“甲预测说：我不会获奖，丙获奖”，而“丙预测说：甲的猜测是对的”.所以甲和丙的说法要么同时与结果相符，要么同时与结果不符.若甲和丙的说法同时与结果相符，则丁的说法也对，这与“四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符”相矛盾，故错误；若甲和丙的说法与结果不符，则乙、丁的预测成立，所以甲获奖，丁不获奖；丙获奖、乙不获奖或者乙获奖、丙不获奖.即获奖的两人为甲和丙，或者甲和乙.

项目二

活动一

1.D解析：根据已知条件，设分科后选报物理方向的女生数为 y_{1} ，男生数为 x_{1} ，选报历史方向的女生数为 y_{2} ，男生数为 x_{2} ，根据题意可得\left\{\begin{array}{l l}{x_{1}+x_{2}>y_{1}+y_{2},}\\ {\qquad\vdots\hat{p}\hat{\jmath}_{\uparrow}\chi\chi_{\downarrow}(x_{1}+x_{2})-(x_{2}+y_{2})}\\ {x_{1}+y_{1}>x_{2}+y_{2},}\end{array}\right. {>}(y_{1}+y_{2})-(x_{1}+y_{1}) ，即 x_{1}>y_{2} ,故物理方向的男生多于历史方向的女生.

2.B解析：设天平左臂长为 \mid m ，右臂长为 n,m,n {>}0 且 m\neq n ，左盘放的药品为 x_{1} 克，右盘放的 药品为 x_{2} 克，则 \left\{\begin{array}{l l}{{100m=n x_{2},}}\\ {{}}\\ {{m x_{1}=100n,}}\end{array}\right. 解得 x_{1}=(100n)/(m) x_{2}={(100m)/(n)},x=x_{1}+x_{2}={(100n)/(m)}+{(100m)/(n)}>=slant 2√((100n)/(m)*(100m)/(n))=200 ，当且仅当 m=n 时，取 到等号，而 m\neq n ，所以 \rvert_{x}>200

活动二

3.C解析：设池底的长为 \mathbf{\Psi}_{x} ，宽为 _y ，则 3x y= y={(1600)/(x)} 4800，即 ，因水池无盖，则建造池体需要建造池壁有4个面，池底一个面，建造这个水池的总造价是 100x y+2(x+y)x3x80= \begin{array}{l}{{160~000+480\left(x+\displaystyle(1~600)/(x)\right)>=slant160~000+480x}}\\ {{2√(x*\displaystyle(1~600)/(x))=198~400,}}\end{array} 当且仅当 \scriptstyle x={(1600)/(x)} 即 x=40 时，等号成立.

.B解析：由题意可得
\left\{\begin{array}{l}{{x\left[50-2(x-15)\right]>=slant15x50,}}\\ {{}}\\ {{x>15,}}\end{array}\right. \begin{array}{r l r}&{}&{*\left\{{x}^{2}-40x+375<=slant0,\right.}\\ &{}&{\left.\left\{{x}>15,\right.}\end{array} 整理得 \mathbb{E}mathbb{p}\left\{{\begin{array}{l}{(x-15)(x-25)<=slant0,}\\ {x>15,}\end{array}}\right. 解得 15{<}x{<=slant}25 ，则 x 的最大值是25.

5.10解析：设订单总价为 M ，若 \scriptstyle0<M<80 ，没有 优惠，符合题意；若 M>=slant80 ，则 0.8\left(M-x\right)>=slant 0.7M,x{<=slant}(M)/(8) (M)/(8)>=slant(80)/(8)=10 8，而 ，所以 {\Omega}_{x}<=slant10,x 的 最大值为10.

项目三

活动一

1.D解析：“孤立元”为1的集合为 \{1\} ， \left\{1,3,4\right\} ，\{1,4,5\},\{1,3,4,5\} ，“孤立元”为2的集合为2 \},\{2,4,5\} ，“孤立元”为3的集合为 \{3\} ，“孤立元”为4的集合为 \{4\},\{1,2,4\} ，“孤立元”为5的集合为 \left\{5\right\},\left\{1,2,5\right\},\left\{2,3,5\right\},\left\{1,2,3,5\right\} ，综上：满足题意的集合有13个.

2.D解析：由 0<\left|{\begin{array}{l l}{1}&{x}\\ {}&{}\\ {x}&{3}\end{array}}\right|<2 ,结合题意可得 0< 3-x^{2}<2 ，所以 1<x^{2}<3 ，所以 -√(3)<x<-1 或 1{<}x{<}{√(3)} ，所以不等式的解集为 \{x\mid-{√(3)}<

x{<}-1 或 1{<}x{<}{√(3)}\} ：

3.AC解析：由题意可得 {(x-1)/(a+1)}{\bigotimes}{(a-2)/(x)}{=}x(x-1)
-(a+1)(a-2)>=1 ，所以 x\left(x-1\right)-\left(a+1\right)\left(a\right.
-2)>=slant1 对任意实数 x 恒成立，即 x^{2}-x-1>=slant
\left(a+1\right)\left(a-2\right) 对任意实数 \mathbf{\Psi}_{x} 恒成立，因为 x^{2}-
x-1=\left(x-{(1)/(2)}\right)^{2}-{(5)/(4)}>=-{(5)/(4)} ，所以 -(5)/(4)>=slant(a+
1)(a-2) 对任意实数 \mathbf{\Psi}_{x} 恒成立，所以 a^{2}-a-
(3)/(4){<=slant}0 ，解得 -(1)/(2)<=slant a<=slant(3)/(2) ，所以实数 \mathbf{α}_{a} 的最大值为 (3)/(2) ，最小值为 -{(1)/(2)}

4.BCD解析：对于A，因为 M\cup N=\{x\in Q\mid x\neq 1\}{\neq}\mathbf{Q} ，故A错误；对于 B,M\cup N{=}Q,M\cap N{=} \mathbf{α}_{O,M} 中的每一个元素都小于 N 中的每一个元素,故B正确；对于C,设 M=\{x\mid x<=slant1,x\in\mathbf{Q}\} ，N=\{x\mid x>1 ， x\in\mathbf{Q}\} ，此时 M 有最大元素1，N 没有最小元素，满足 (M,N) 是一个戴德金分割，故 ~C~ 正确；对于D,如 ~B~ 选项，此时 M 没有最大元素， N 没有最小元素，满足 (M,N) ）是一个戴德金分割，故D正确.

5.(1)解：由于 A+A=\left\{2,4,6\right\},A=\left\{1,3\right\} ，二者交集为空，故 A 是“好集”(2)证明：显然此时 A+A\subseteq B+B ， A\subseteq B ，而（ B +B)\cap B=O ，故 \left(A+A\right)\cap A=\varnothing ，所以 A 是
“好集”(3)解：由于 \left\{1,2\right\},\left\{2,4\right\},\left\{1,3,4\right\},\left\{1,4,5\right\},\left\{2\right. 办3，5都不是“好集”，所以“好集”不能包含这些集合中的任何一个.那么，包含于 \{1,2,3,4,5\} 的“好集”就只可能是空集，单元素集，除 \left\{1,2\right\} 和 \{2,4\} 以外的双元素集，以及{1，3，5}，{3，4，5}，经过验证，这些集合都是“好集”.
再加上 A 不能被更大的“好集”包含的要求，满足条件的 A 就只能是 \left\{1,4\right\},\left\{2,3\right\},\left\{2,5\right\},\left\{1,\left\{2,3\right\}\right\}, 3,5},{3,4,5}.

活动二

i.ACD解析：根据题意可知， A\cap B\cap C 代表的是除以3余数为2，除以5余数为3，除以7余数为2的整数；对于A，可知 23/3=7*s2,23/ 5=4*s3,23/7=3*s2 ,即A正确；对于B，可得 68/3=22*s*s2,68/5=13*s*s3,68/7 =9*s5 ，不合题意，即B错误；对于C，可得128/3=42*s2,128/5=25*s*s3,128/7= 18*s2 ，即C正确；对于D，易知 233/3= 77*s*s2,233/5=46*s*s3,233/7=33*s*s2. 可知D正确.

7.D解析：“对任意正整数 n{>}2 ，关于 x,y,z 的方程 x^{n}+y^{n}=z^{n} 没有正整数解”的否定为：存在正整数 n{>}2 ，关于 x,y,z 的方程 x^{n}+y^{n}=z^{n} 至少存在一组正整数解.

3.ABD 解析;对于 A,a>b>0,则 (a)/(a b)>(b)/(a b) 即 (1)/(a) 1 <(1)/(b) ，故A正确；对于 8,a>0,b>0,{(1)/(a)}+{(4)/(b)}= 4，则 a+b={(1)/(4)}\left({(1)/(a)}+{(4)/(b)}\right)(a+b)={(1)/(4)}x \left(5+{(b)/(a)}+{(4a)/(b)}\right)>=slant{(1)/(4)}\left(5+2{√({(b)/(a))*{(4a)/(b)}}}\right)={(9)/(4)} 当且 仅当 {(b)/(a)}={(4a)/(b)} 即 b=2a=(3)/(2) 时取等号，故B正确； 对于 C,a>0,b>0 ，由 a b+b^{2}=2 ，取 a=1,b= 1，满足条件，则 a+b=2<4 ，故C不正确；对于

D,a>0,b>0,a+b=2 ，则 a b<=slant\left({(a+b)/(2)}\right)^{2}=1 ，当且仅当 a=b=1 时取等号，故D正确.

9.解：（1）根据题意，可列方程组为\left\{\begin{array}{l l}{4n+m=5m+n,}\\ {5n+6m=1,}\\ {0}\end{array}\right.\quad\quad\quad\stackrel{\scriptsize~\hat{4~}\nearrow}{\hat{\displaystyle\hat{\eta}}}\left\{\begin{array}{l l}{m=(3)/(38),}\\ {5\bar{n}+6\bar{m}=1,}\\ {n=(2)/(19),}\end{array}\right. 所以每只燕重 (3)/(38) 斤，每只雀重 (2)/(19) 斤(2)由(1)可得集合 A=\{x\mid-3{<=slant}x{<=slant}4\} ，因为 B\subsetneq A ，① 当 B=O 时， p+1{<}2p-1 ，解得 _{p>2} \left\{{\begin{array}{l}{{2\rlap/p-1>=-3,}}\\ {{}}\\ {{\rlap/p+1<=slant4,}}\end{array}}\right. ② 当 B\neqO 时，即 \scriptstyle p<=slant2 且 且等号不同时成立，\left\{{\begin{array}{l}{{\boldsymbol{\rho}}>=slant-{~}}\\ {{~}}\\ {{\boldsymbol{\rho}}<=slant3,}\end{array}}\right. 1解得 所以 -1{<=slant}p{<=slant}2 ，综上， \boldsymbol{\mathscr{p}} 的取值范围是 [-1,+∞) ，

单元重构项目卷(二）

项目一

活动一

1.D解析：令 60=-10t+100 ，解得 t=4 ；令 (120)/(t)
=60 ，解得 t=2 ，不符合题意，
所以需要等待的时间为 4\ min

2.BCD解析：由已知得，甲在公园休息的时间是10\ min ，所以甲同学从家出发到乙同学家走了50\ min ,A错；由图像知，甲从家到公园的时间是30~min ，B正确；甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用时间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，D正确；当 0<=slant x<=slant30 时，设 y=k x C k\neq 0)，则 2=30k ，解得 k=(1)/(15) 15,C正确.

i.（4,28）解析：当 x\in[0,12] 时，设 f_{~l~}(\boldsymbol{x})=
a(x-10)^{2}+80 ，将（12，78）代入得， 78=
a(12-10)^{2}+80 ，解得 a=-{(1)/(2)} ，则 f_{~l~}(\boldsymbol{x})=
-(1)/(2)(x-10)^{2}+80,\Psi\ f_{1}\left(x\right)=-(1)/(2)(x-10)^{2}
+80>62 ，解得 4{<}x{<}16 ，即 4{<}x{<=slant}12 ；当 x\in
（12，40]时，设 f_{2}\left(x\right)=k x+b ，将（12，78），（40，\left\{{{k=-1\atop b=90}}\right.\nonumber 办
50)代入得 则 f_{2}\left(x\right)=-x+90 ，由
f_{2}\left(x\right)=-x+90>62 ,解得 x<28 ，即 12<x<
28.综上所述，教师在（4，28）时间段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳.

活动二

4.解：(1)将 x=5 ， f\left(x\right)=75 代入 f\left(x\right)=a x^{2} +10x ，得 25a+50=75 ，解得 a=1 ，(2)由题意得 ,W(x)=70x-200-f(x),x>=slant0. 当 0{<=slant}x{<=slant}15 时，由(1)知， f(x)=x^{2}+10x ，则 W(x)=70x-x^{2}-10x-200=-x^{2}+60x -200 当 _{x>15} 时， f(x)=71x+{(900)/(x+8)}-752 则 W(x)=70x-71x-{(900)/(x+8)}+752-200=-x -{(900)/(x+8)}+552 所以年利润 W(x) （万元）关于年产量 x （台）的函数关系式为：

(3)由(2)得当 0<=slant x<=slant15 时，
W(x)=-x^{2}+60x-200=-(x-30)^{2}+700, 所以当 x=15 时， W(x)_{max}{=}475
当 x>15 时， it{W}(x)=-x-(900)/(x+8)+552= \begin{array}{l l}{\displaystyle-\bigg(x+8+(900)/(x+8)\bigg)+560<=slant-2√((x+8)\bigg((900)/(x+8)\bigg))}\\ {\displaystyle+560=500,}\end{array} 当且仅当 x+8=(900)/(x+8) 即 x=22 时等号成立，所以当 x=22 时 .W(x)_{max}=500 ：
又 500>475 ，故 x=22 时，利润最大，最大利润是500万元.
综上所述，年产量为22台时，该企业所获利润最大，最大利润是500万元.
5.解：(1)由已知得，当 m=0 时， x=2 ，则 2=4 一k ，得 k=2 ，故 x=4-(2)/(m+1) ·故每件产品的销售价格为 1.5x(8+4x)/(x) 故利润 y=1.5x{(8+4x)/(x)}x x-(8+4x)-m= 4+2x-m=12-(4)/(m+1)-m\left(m>=slant0\right). (2)因为当 m>=slant0 时， m+1{>}0 ，所以 y~=~13~-~\left({(4)/(m+1)}+m+1\right)<=slant~13~-~ 2√((4)/(m+1)*{\left(m+1\right))}=9, 当且仅当 m+1=m+1,即m=1时等号成立。即促销投入费用为 1 万元时，店家获得最大利润
9万元.

项目二

活动一

1.D解析：先将函数 y=f(x) 的图象关于原点对称，可得出函数 y=-f(-x) 的图象，如下图所示：再把所得函数图象向左平移1个单位长度，即可得出图 ② 所示图象，故图 ② 所示图象对应的函数为 y=-f(-(x+1))=-f(-x-1) ，

2.C 解析：因为 f （x）\left\{\begin{array}{l l}{3-x^{2},x\in[-1,1],}\\ {\qquad\quad}\\ {x^{2}+1,x\in(-∞,-1)\bigcup\left(1,+∞\right),}\end{array}\right. 可得函数的大致图象如图所示，

将其向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所 得函数图象为C中的图象.

3.B解析：若函数 f\left(x\right)=x^{3}+3x^{2} 图象的对称中心为 (m,n) ，则 y=f(x+m)-n 为奇函数，即 y=(x+m)^{3}+3(x+m)^{2}-n=x^{3}+(3m+ 3)x^{2}+(3m^{2}+6m)x+m^{3}+3m^{2}-n 为奇函数，必有 3m+3=0 且 m^{3}+3m^{2}-n=0 ，解得 m= -1 ， n=2 ，所以 f\left(x\right) 的图象的对称中心为(-1,2) ，即有 f\left(-2+x\right)+f\left(-x\right)=4 ，f(2~020)+f(-2~022~)=4,~f~(~2~018~)~+~ f(-2\ 020){=}4,*s,f\left(0\right){+}f\left(-2\right){=}4 ，所以

活动二

4.AD解析：函数的定义域为 \{x\mid x\neq-c\} ，由图可知一 c<0 ，所以 c>0 ,D正确；由图可知 f (0)>0,所以 b>0,C 错误;由 f(x)=0,即 ax+b=0 ，解得 x=-{(b)/(a)} ，由图可知 -(b)/(a)>0 ，所以(b)/(a)<0 ，所以 a<0 ,A正确，B错误.

5.A解析：因为 y=f\left(x\right)g\left(x\right) 的定义域是函数y=f(x) 与 _{y}=_{g}(\boldsymbol{x}) 定义域的交集 (-∞,0)\cup (0,+∞) ，故排除BC；由图可知函数 y=f\left(x\right) 与 x 轴有两个交点，设右侧交点为 (b,0) ，则 \mathbf{\Psi}_{x} \in(0,b) 时， f(x){>}0 且 g\left(x\right)<0 ,所以 f(x) ·g\left(x\right)<0 ,排除D.

项目三

活动一

1.D解析：因为 2{<}e{<}3 ，由题意可得 G\left(\boldsymbol{e}\right)=\left[\boldsymbol{e}\right] =2,sgn(e)=1 ，故 sgn\big[G\left(e\right)\big]+G\left[sgn\left(e\right)\right]= \operatorname{sgn}(2)+G(1)=1+[1]=2.

2.2 解析：因为 √(2)\in\ \ell_{~\tiny~R}\mathbf{Q} ，所以 D\left(D\left({√(2)}\right)\right)= D\left(0\right)=1 因为 (1)/(2)\in{\bf Q} 所以 D\left(D\left({(1)/(2)}\right)\right)=D\left({(\mathbf{\sigma})/(2)}\right) ）=1 故 D(D({√(2)}))+D\left(D\left({(1)/(2)}\right)\right)=2.

活动二

.B解析：对（1）： f\left(x\right)=(3+x)/(4-x)=(x-4+7)/(4-x)= (7)/(4-x)-1\in(-∞,-1)\bigcup(-1,+∞) ，故 f(x) 3不是“有界函数”；对（2）：f（z）=√(4-x^{2)}\in[0,2] ，故对任意 x\in[-2,2] ，都有\mid f(x)\mid<=slant2 成立，故函数 f\left(x\right) 是定义域为[-2,2] 上的“有界函数”；对(3)令 y=2x^{2}-4x +3(y\neq0) ，当 \boldsymbol{x}=-(-4)/(2x2)=1 时，函数 y=2x^{2} -4x+3 有最小值 2x1^{2}-4x1+3=1 ，即 2x^{2} -4x+3>=slant1 ，所以 0<(5)/(2x^{2)-4x+3}{<=slant}(5)/(1)=5 ，所以 \vert f(x)\vert<=slant5 ,故函数 f(x)={(5)/(2x^{2)-4x+3}} 为有大界函数；(4)令 t=√(4-x)>=slant0 ，则 x=4-t^{2} ，即f(x)=-t^{2}+t+4,t>=slant0 ，当 t=(1)/(2) 时，f(x)mx=-\left({(1)/(2)}\right)^{2}+{(1)/(2)}+4={(17)/(4)}. ,无最小值,即f(z)<,此时不存在正数 M,都有|F(x）|≤M 成立，故该函数不是有界函数.

活动三

4.LOVE解析：因为 Y=25,B=2,I=9,R=18 ，所以当 f\left(x\right)=25 时，得 x+13=25\Rightarrow x=12\Rightarrow 12=L ，当 f(x)=2 时，得 x-13=2\Rightarrow x=15\Rightarrow 15{=}O ，当 f(x)=9 时，得 x-13=9\Rightarrow x=22\Rightarrow22=V ，当 f\left(x\right)=18 时，得 x+13=18\Rightarrow x=5\Rightarrow5=E ，所以YBIR加密前的形式为LOVE.

阶段滚动检测卷（一）

答案速对

12.\{x\mid x>1\} 13.2 14.7 \left(-∞,(13)/(2)\right]

试题精析

1.D解析：因为 3-1=2>{√(3)} ，所以3A.又一3-1{=}-4{<}√(3) ，所以一 3\in A .故选D.

2.A解析：因为 x^{2}-x-12>0 ，即 \left({{x-4}}\right)\left({{x+3}}\right) {>}0 ，所以 x>4 或 x<-3 ，所以 N=\{x\mid x>4 或 \scriptstyle x<-3\} .由图可得 M\cap N=\{x\mid-4<=slant x< 一3或 4{<}x{<=slant}7{\} .故选A.

3.A解析：由 |{\boldsymbol{x}}|>2 得 \mathbf{\sigma}_{x}{>}2 或 x<-2 ，即“ _x> 2”是“ |{\boldsymbol{x}}|>2 ”的充分不必要条件.故选A.

4.B 解析：依题意可得 f(x) 在 bf{R} 上单调递增，[2a-1>0,所以 \left\{{(a)/(2)}<=slant1\right\} ， 解得 (1)/(2){<a<=slant}2 ((2a-1)+4a≤1-a+19，故选B.

5.C 解析：因为 m{>}1 ，所以 P=m+(4)/(m-1)=m- 1+{(4)/(m-1)}+1>=slant2√((m-1)*{(4)/(m-1))}+1=5=Q.

当且仅当 m-1=(4)/(m-1) m-1,即m=3时等号成立。
故选C.6.D解析： f\left(x+1\right)-2=(1)/(x) 不在 (0,+∞) 上单调递增，故选项A错误；
f(1-x)+2{=}4-(1)/(x)\oint x f(x+1)+2{=}4+(1)/(x)(\d{})/(\d{)x} 是奇函数，故选项B,C错误；
而 f(1-x)-2=-(1)/(x) 满足条件，故选项D正确.故选D.7.C解析：因为 a+b=2 ，所以 {(a+b)/(2)}=1 ，
所以 {(1)/(a)}+{(4)/(b)}=\Big({(1)/(a)}+{(4)/(b)}\Big) (a+b)/(2)=(5)/(2)+ \left({(2a)/(b)}+{(b)/(2a)}\right)>=slant{(5)/(2)}+2{√((2a)/(b))}\bullet{(b)/(2a)}={(9)/(2)}\left( 当且仅当 (2a)/(b) ={(b)/(2a)} 即 b=2a=(4)/(3) 时，等号成立
故 (1)/(a)+(4)/(b) 的最小值为 故选 C.
:.D解析：因为函数 f(x) 是 bf{R} 上的奇函数,所以
f(0)=0. 又对任意 {\boldsymbol{x}}\in\mathbf{R} ，都有 f(2-x)=f(x)+f(2)
成立，令 x=2 ，得 f(0)=f(2)+f(2) ，即 f(2)=0 ，所以 f(2-x)=f(x)=-f(-x) ，则 f(x+2)
=-f(x) ，所以 f(x+4)=f(x) ，则 T=4 ，故 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=f(1)+f(2)-
f(1)-f(2)=0. 所以 f(1)+f(2)+f(3)+*s+f(2\ 024)=506
x\big[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)\big]{=}0.
故选D.

9.ACD解析：对于A，因为 a={√(2)}+{√(3)}<{√(4)}+{√(4)} =4{<}5 ，所以 a\in M ,故选项A正确；对于B，因为 \scriptstyle a+1={√(2)}+{√(3)}+1<{√(4)}+{√(4)}+1= 4+1=5 ，所以 a+1\in M ,故选项B错误；对于C，因为 a={√(2)}+{√(3)} ，所以 (1)/(a)=(1)/(√(2)+sqrt{3)}= (√(3)-√(2))/((√(3)+sqrt{2))(√(3)-√(2))}=√(3)-√(2)<5 ，所以 {(1)/(a)}\in M ，故选项C正确；对于D，因为 a={√(2)}+{√(3)} ，所以 a^{2}=({√(2)}+{√(3)})^{2} =5+2{√(6)}>5 ，所以 a^{2}\not\in M ,故选项D正确.故选ACD.

.ACD解析：对于A，由 a b>0 ，即 {\boldsymbol{a}}_{\mathbf{λ}},{\boldsymbol{b}} 同号，故>0;由>0,即α,6b 同号,故ab>0,
所以 a b>0 是 (a)/(b)>0 的充要条件，故选项 A正确；
对于B，因为 5x>y>0 ，所以 (5x)/(y)-1>0 -1>0,即>(1)/(5),
所以 \displaystyle{(y)/(5x-y)}+\displaystyle{(x)/(y)}=\displaystyle{(1)/(\displaystyle{/{5x){y}}-1}}+\displaystyle{(x)/(y)}=\displaystyle{(1)/(5\left(\displaystyle{/{x){y}}-\displaystyle{(1)/(5)}\right)}}+ (x)/(y)-(1)/(5)+(1)/(5)>=slant2√((1)/(5\left(/{x){y)-(1)/(5)\right)}x\left((x)/(y)-(1)/(5)\right)}+(1)/(5) ={(2{√(5)}+1)/(5)},
当且仅当 {(1)/(5{\Bigg(){(x)/(y)}-{(1)/(5)}{\Bigg)}}}{=}{(x)/(y)}-{(1)/(5)} 即 {(x)/(y)}={(1+{√(5)})/(5)} 雞时等号成立，所以 {(y)/(5x-y)}+{(x)/(y)} 十的最小值为 (2{√(5)}+1)/(5) ，故选项B错误；
对于C，由存在量词命题的否定为全称量词命题知，命题“3 x>1,x^{2}-x<=slant0 ”的否定是“V x >1,x^{2}-x>0 ”，故选项C正确；
对于D,由题设 \Delta=a^{2}-4>0 ，解得 \ a<-2 或a>2 ，故选项D正确.故选ACD..ABD解析：对 \forall x,y\in\mathbf{R} ,都有 f\left(x+y\right)= f(x)+f(y)-1.
对于A,取 x=y=0 ，得 f\left(0\right)=2f\left(0\right)-1 ，解得 f(0){=}1 ，取 x=1,y=-1 ，得 f\left(0\right)=f\left(1\right) +f(-1)-1 ，而 f(1)=4 ,解得 f(-1)=-2 ，故选项 A正确；
对于B， {\boldsymbol{x}}\in\mathbf{R} ，取 y=-x ，则 f\left(0\right)=f\left(x\right)+ f(-x)-1 ，即 f\left(x\right)-1=-f\left(-x\right)+1= -[f(-x)-1] ，因此 f\left(x\right)-1 为奇函数，故选项B正确；
对于 C,f(1)+1=5 ，而 f(-1)+1=-1 ，即f(-1)+1{\neq}-\left[f(1)+1\right],f(x)+1 不是奇函数,故选项C错误；
对于D,任取 x_{1},x_{2}\in\mathbf{R},x_{1}{<}x_{2} ，则 x_{2}-x_{1}> 0，由当 x{>}0 时， f(x){>}1 ，得 f(x_{2}-x_{1}){>}1 ，f(x_{2})=f\bigl[x_{1}+(x_{2}-x_{1})\bigr]=f(x_{1})+f(x_{2}-x_{1}), _{x_{1}})-1{>}f(x_{1}) ，则 f(x) 在 bf{R} 上单调递增，\begin{array}{l}{f(2x-1)+6=f(2x-1)+f(1)+f(1)-1}\\ {-1=f(2x-1)+f(2)-1=f(2x+1),}\end{array} 故当 x{>}-1 时， 2x+1=x+(x+1)>x ，
于是 f(2x-1)+6=f(2x+1)>f(x) ，故选项D正确.

故选ABD.

12. \{x\mid x>1\} 解析：因为 \complement_{\mathbf{x}}A=\{x\mid1{<x<=slant3}\},B =\{x\mid x>2\} ，所以 \left(\complement_{\mathbf{k}}A\right)\cup B=\{x\mid x>1\}

13.2解析：因为 x_{1},x_{2} 是关于 x 的方程 x^{2}-m x +m^{2}-6=0 的两个实根，贝 \begin{array}{r l}&{\mathbb{I}\left\{x_{1}+x_{2}=m,\right.}\\ &{\mathbb{I}\left\{x_{1}x_{2}=m^{2}-6,\right.\qquad\quad\displaystyle\mathfrak{X}(1)/(x_{1)}+(1)/(x_{2)}=-1,\right.}\\ &{\left.\qquad\quad\Delta=m^{2}-4(m^{2}-6)>=slant0,}\end{array} 所以 *(1)/(x_{1)}+(1)/(x_{2)}=(x_{1}+x_{2})/(x_{1)x_{2}}=(m)/(m^{2)-6}=-1, 解得 m=-3 或 m=2 ，经判别式检验知 m=2

.7 \Big(-∞,(13)/(2)\Big] 解析： f\left(x\right)=x^{0.5}+x^{-0.5} f(a)={√(a)}+{(1)/(√(a))}=3 ，故 \ a+{(1)/(a)}=7 ,所以 f(a^{2}) =a+{(1)/(a)}=7.m f\left(x^{2}\right)-f\left(x^{4}\right)-11<=slant0 ，即m\left(x+(1)/(x)\right)-\left(x^{2}+(1)/(x^{2)}\right)-11<=slant0.
设 x+{(1)/(x)}=t,x\in\left[{(1)/(2)},3\right],y=x+{(1)/(x)} 在\left[{(1)/(2)},1\right] 上单调递减,在(1,3]上单调递增，
故 t\in{\bigg[}2,{(10)/(3)}{\bigg]},x^{2}+{(1)/(x^{2)}}={\bigg(}x+{(1)/(x)}{\bigg)}^{2}-2=t^{2}- 2，故 m t-t^{2}-9{<=slant}0 ，故 m<=slant t+(9)/(t)
不等式 m f\left(x^{2}\right)-f\left(x^{4}\right)-11<=slant0 在区间\left[{(1)/(2)},3\right] 上有解，即 m<=slant t+{(9)/(t)} 在区间 \left[{(1)/(2)},3\right] 有解，
函数 y=g\left(t\right)=t+(9)/(t) 在[2,3)上单调递减，在

\left[3,{(10)/(3)}\right] 上单调递增， g\ \left(t\right)_{max}=\operatorname*{max}\left\{g\left(2\right),\right. g\left({(10)/(3)}\right)\right\}=\operatorname*{max}\left\{{(13)/(2)},{(181)/(30)}\right\}={(13)/(2)} 故 m{<=slant}(13)/(2)

15.解：(1)因为 {\mathfrak{g}}\in(A\cap B) ，所以 {\mathfrak{g}}\in B 且 {\mathfrak{g}}\in A ，所以 2a-1=9 或 \scriptstyle a^{2}=9 ，所以 a=5 或 a=±3 检验知 a=5 或 a=-3 ，

(2)因为 \left\{9\right\}{=}A\cap B ，所以 {\mathfrak{g}}\in(A\cap B) ，所以 \scriptstyle a =5 或 a=-3
当 a=5 时， A=\left\{-4,9,25\right\},B=\left\{0,-4,9\right\}, 此时 A\cap B=\{-4,9\} ，与 A\cap B=\{9\} 矛盾，故舍去；
当 a=-3 时， A=\{-4,-7,9\},B=\{-8,4 9\},A\cap B=\{9\} ，满足题意.
综上可知 a=-3 ：
16.解：（1)由题意，知 m=x^{2}-x={\Big(}x-{(1)/(2)}{\Big)}^{2}-{(1)/(4)}. 由 -1{<x<}1 ，得 -(1)/(4){<=slant}m{<}2 故 M=\left\{m\bigg|-(1)/(4)<=slant m<2\right\} (2)由 {\boldsymbol{x}}\in\mathbf{N} 是 _{x}\in M 的必要条件，知 M{\subseteq}N ，① 当 \b{a}>2-\b{a} ，即 a{>}1 时， N=\{x\mid2-a<x<
\left|a\right⟩ ，12? 4则 解得 a>(9)/(4) a≥2， 4[a>1,② 当 \b{a}<2-\b{a} ，即 a<1 时， N=\{x\mid a<x<2-

\left|a\right⟩ ，

style{\left(a<1\right.} ，则 \Bigg\{a<-(1)/(4) ，解得 a<-{(1)/(4)} ，[2-a≥2,③ 当 a=2-a ，即 a=1 时， N=\varnothing ，不满足 M \subseteq N 综上可得，实数 a 的取值范围为 \left\{a\bigg|a<-(1)/(4)\Re a>(9)/(4)\right\}.

17.解：(1)当 \scriptstyle a=1 时， f(x)=x^{2}-\mid x\mid+1 ，易知f(x) 为 bf{R} 上的偶函数，当 _{x>0} 时， f\left(x\right)=x^{2}-x+1=\left(x-(1)/(2)\right)^{2}+ ,结合偶函数对称性，f(x) 的单调增区间为 \left(-(1)/(2),0\right),\left((1)/(2),+∞\right) 单调减区间为 \left(-∞,-(1)/(2)\right),\left(0,(1)/(2)\right) (2)_{X}\in[1,3] 时， \scriptstyle* f(x)=a x^{2}-x+2a-1(a> 0),其对称轴为 x=(1)/(2a)>0 ① 当 0{<}(1)/(2a){<=slant}1 ≤1，即a> a>=slant{(1)/(2)} 时， f(x) 的最小值为g\left(a\right)=f\left(1\right)=3a-2, ② 当 1<(1)/(2a)<3 ，即 (1)/(6)<a<(1)/(2) 时， f(x) 的最小值为 g\left(a\right)=f{\left((1)/(2a)\right)}=2a-(1)/(4a)-1, ③ 当 {(1)/(2a)}>=3 ，即 0{<}a{<=slant}(1)/(6) 时， f(x) 的最小值为g\left(a\right)=f\left(3\right)=11a-4, 综上， g\left(a\right)=\left\{\begin{array}{l l}{\displaystyle11a-4,0<a<=slant(1)/(6),}\\ {\displaystyle-1-1,(1)/(6)<a<(1)/(2),}\\ {\displaystyle3a-2,a>=slant(1)/(2).}\end{array}\right.

18.(1)解： g\left(x\right)=f(x)-1=x+(a)/(x) ,为奇函数。证明如下： g\left(x\right)=x+(a)/(x) 的定义域为（一∞,0)\bigcup\left(0,+∞\right) ，关于原点对称，g\left(-x\right)=-x-(a)/(x)=-\left(x+(a)/(x)\right)=-g\left(x\right) 故g\left(x\right) 为奇函数.

(2) ① 证明：当 a=(1)/(2) 时， f(x)=x+(1)/(2x)+1 任取 x_{1},x_{2}\in[1,+∞) ，且 x_{1}<x_{2}
则 it{f}(x_{1})-f(x_{2})=x_{1}+(1)/(2x_{1)}+1- \begin{array}{c}{\displaystyle{α}x_{1}}\\ {\displaystyle{\bigg(x_{2}+(1)/(2x_{2)}+1\bigg)=(x_{1}-x_{2})+(1)/(2)\left((1)/(x_{1)}-(1)/(x_{2)}\right)=}}\\ {\displaystyle{(x_{1}-x_{2})+(x_{2}-x_{1})/(2x_{1)x_{2}}=(x_{1}-x_{2})\bigg(1-(1)/(2x_{1)x_{2}}\bigg),}}\end{array} 因为 x_{1},x_{2}\in[1,+∞) ，且 \mathbf{\boldsymbol{x}}_{1}<_{X_{2}} ，所以 x_{1} x_{2}{<}0\ ,1{-}(1)/(2\ x_{1)x_{2}}{>}0 ，所以 f(x_{1}){-}f(x_{2}){<} 0，即 f(x_{1}){<}f(x_{2}) ，
故函数 f(x) 在 [1,+∞; 上单调递增，
所以函数 f(x) 在 [1,+∞; 上的最小值为 f (1)=1+{(1)/(2)}+1={(5)/(2)}. ② 解：因为对任意的 x_{1}\in[1,2] ，总存在 x_{2}\in [0,1],使得 f\left(x_{1}\right)<=slant h\left(x_{2}\right) ，所以 f(x) 在[1，2]上的最大值小于或等于 h\left(x\right) 在[0,1]上的最大值.
由 ① 知当 x\in[1,2] 时， f(x)\in\left[{(5)/(2)},{(13)/(4)}\right]
当 k=0 时， h\left(x\right)=5 ，符合题意.
当 k{>}0 时， h\left(x\right)=k x+5-2k 在[0,1]上单调递增： ,h\left(x\right)\in\left[5-2k,5-k\right] ，
所以 {(13)/(4)}<=slant5-k ，所以 0<k<=slant(7)/(4)
当 k{<}0 时， h\left(x\right)=k x+5-2k 在[0,1]上单调
递减， h\left(x\right)\in\left[5-k,5-2k\right] ，
所以 (13)/(4){<=slant}5-2k ，所以 k{<}0
综上可得， k 的取值范围为 \left(-∞,{(7)/(4)}\right]

19.解：(1)由题意得 y=0.2x+(80)/(x+5)(x>0) 要满足题意，则 y{<=slant}7.2 ，即 0.2x+(80)/(x+5){<=slant}7.2 ，解得 11{<=slant}x{<=slant}20 即设备占地面积 x 的取值范围为[11,20].(2)_{y}=0.2x+(80)/(x+5)=(x+5)/(5)+(80)/(x+5)-1>=slant 2√((x+5)/(5)x(80)/(x+5))-1=2√(16)-1=7, 当且仅当2+5 (x+5)/(5)=(80)/(x+5)\Rightarrow x=15 时等号成立.所以设备占地面积为 15\ m^{2} 时， y 的值最小.

单元重构项目卷(三)

项目一

活动一

1.D 解析：依题意， \left\{{\begin{array}{l}{f(1)=ke^{-b^{-1}},}\\ {{\overline{{{√(\eta)}}}}f(2)=}\\ {f(2)=ke^{-b^{-2}},}\end{array}}\right. (1)/(e)f(1) (1)，则e-6-2+-6-1 e^{-b^{-2}+-b^{-1}}=(1)/(e) 即 b^{-2}-b^{-1}-1=0 ，又b>0,解得6-1 b^{-1}={({√(5)}+1)/(2)} 所以 b={(√(5)-1)/(2)}

2.C解析： T=e^{k t+b} ，当 t=0 时， T=e^{b}=1\ 080 ，当 t=10 时， 120=e^{10k}\ \bullet\ e^{b}=e^{10k}x1\ 080 ,解得e^{5k}=(1)/(3) ，当 t=15 时， T=e^{15k} · e^{b}=(e^{5k})^{3}*e^{b} ={(1)/(27)}x1\ 080{=}40. 故选C.

3.解：（1)依题意，当 0<=slant t<=slant0.5 时，可设 y=k t ，且 1=0.5k ，解得 k=2 ，又由 1={\bigg(}{(1)/(16)}{\bigg)}^{0.5-a} ，解得 it{a}=0.\ 5 ，所以 y =\left\{\begin{array}{l l}{\displaystyle2t,0<=slant t<=slant0.5,}\\ {\displaystyle\left((1)/(16)\right)^{t-0.5},t>0.5.}\end{array}\right.

（2）令 \Big((1)/(16)\Big)^{\iota-0.5}=\Big((1)/(4)\Big)^{2\iota-1}<=slant(1)/(4) 即 2t-1>=slant1 解得 t{>=slant}1 ,即至少需要经过 ^~1~h~ 后，学生才能回到教室.

活动二

4.C解析：由题知 θ_{\scriptscriptstyle0}=20,θ_{1}=80,θ=50 ，所以50=20+(8020)e-18k,可得e-18k= e^{-18k}=(1)/(2) ，再经过36分钟后，该物体的温度为 θ{=}20+(80{-}20)e^{-54k} =20+(80-20)(e^{-18k})^{3}=27.5 ，即该物体的温度为 27.5~°C .故选C.

5.B解析：由题意可得： 13=e^{20a}+b,85=e^{40a}+ b ,两式相减可得： e^{40a}-e^{20a}-72=0 ,所以 \left(e^{20a}-\right. 9) (e^{20a}+8)=0 ，所以 e^{20a}=9 或 e^{20a}=-8 （舍去)，即 e^{10a}=3 ，所以 b=4 ，所以该催化剂在50~{^\circC} 的活性指标为 e^{50a}+4=3^{5}+4=247 .

6.D 解析：由题意： C_{1}=20^{p_{1}}x20=30^{p_{1}}x10 ，所\nuλ\Big((2)/(3)\Big)^{\nu_{1}}=(1)/(2);C_{2}=20^{\nu_{2}}x20=30^{\nu_{2}}x(20)/(3) ，所以\left({(2)/(3)}\right)^{{\boldsymbol{\rho}}_{2}}={(1)/(3)} .因为指数函数 y=\Big((2)/(3)\Big)^{*} 在 (-∞ ，+∞) 上单调递减，且 (1)/(2){>}(1)/(3) ，所以 \smash{p_{1}<p_{2}} .又指数函数 y=20^{x} 在 (-∞,+∞) 上单调递增,且 \smash{\boldsymbol{p}}_{1} <_{{\boldsymbol{p}}_{2}} ，所以 20^{p1}<20^{p2} ，所以 20^{p1}x20<20^{p2}x 20，即 C_{1}{<}C_{2} .故选D.

项目二

活动一

1.B解析：设经过 \mathbf{\Psi}_{x} 年，该地区的农民人均年收入为 _y 元，根据题意可得 y=7~000x1.06^{x} ，从2024年年底到2031年年底共经过了7年，所以2031年年底该地区的农民人均年收入为 7000 x1.06^{7} 元.

2.C 解析：由题可得 \left\{\begin{array}{l}{{\displaystyle(1)/(2)=k\bullet a^{2022-2021},}}\\ {{}}\\ {{1=k\bullet a^{2023-2021},}}\end{array}\right. 解得 a= 2,k=(1)/(4) 所以 y=(1)/(4)*2^{x-2021} ，当 x=2\ 024 时，y={(1)/(4)}*2^{2024-2021}=2.

3.解：（1)若选择模型 y=k a^{x}(k>0,a>1) ，将（2，\left\{{\begin{array}{l}{k\ a^{2}=36,}\\ {}\\ {k\ a^{3}=48,}\end{array}}\right. 36），（3，48）分别代入得： 解得 a= {(4)/(3)},k={(81)/(4)} ，故函数模型为 y={(81)/(4)}{\bigg(}{(4)/(3)}{\bigg)}^{x} 若选择模型 y=m x^{2}+n\left(m>0\right) ，将（2，36)，（3，48）分\left\{\begin{array}{l l}{{4m+n=36,}}\\ {{}}\\ {{9m+n=48,}}\end{array}\right. m={(12)/(5)},n={(132)/(5)} 别代入得： 解得y=(12)/(5)x^{2}+(132)/(5) 故函数模型为

(2)把 x=0 代入 y={(81)/(4)}\left({(4)/(3)}\right)^{x} 可得， y={(81)/(4)}= 20.25，把 x=0 代入 y=(12)/(5)x^{2}+(132)/(5) 可得， y= (132)/(5)=26.4 ，因为 20.25-20<26.4-20 ，所以选择函数模型 y=(81)/(4)\bigg((4)/(3)\bigg)^{3} 更合适.

活动二

4.ACD解析：设 x 小时后，血液中的酒精含量为y\ mg/mL ，则 y=(1-30%)^{x} ， x>=slant0 ,D选项正确；当 _{y}=0.49 时，由 0.49=(1-30%)^{x} ，解得 x {\bf\Lambda}=2,A 选项正确；当 x=4 时 y=0.7^{4}=0.240\ 1 {\>}0.2 ，当 x=5 时 y=0.7^{5}=0.168\ 07{<}0.2 ，所以5小时后，血液中的酒精含量可以降低到0.2~mg/mL 以下，B选项错误C选项正确.故选ACD.

5.C解析：由已知可得 T_{a}=24,T_{\circ}=88,T=40 ，则 40-24=(88-24)x\left((1)/(2)\right)^{(20)/(h)} ，解得 h=10 ，此杯咖啡从 40°C 降温到 32°C ，可得： 32-24=(40 -24)\left((1)/(2)\right)^{(t)/(10)} ，解得 t=10 ，所以还需要10分钟.故选C.

6.B解析：由题意得，前3个小时消除了 20% 的 污染物，则 0.8\ N_{0}=N_{~o~}e^{-3k} ，则 e^{-k}=0.8^{(1)/(3)} ，则由 0.64 N_{0}{=}N_{0}e^{-k t} ，可得 0.64=0.8^{(t)/(3)} ，解之得 t=6 ， 则污染物消除至最初的 64% 还要 6-3=3 （时）.

阶段滚动检测卷（二）

答案速对

12.252 2

13.{(-5,6),(-4,6),(-3,6)}

\mathbf{14.3\AA^{|x|}} (答案不唯一）

试题精析

.C解析：因为 M=\{-2024,-11,-4,5,14 ，2025\} ，
且 -2024+(-11)+(-4)+5+14+2025=5 ，即 S(M_{1})/ S(M_{2})=5 ，
令 S(M_{\mathfrak{l}})=a ，则 S(M_{2}){=}5{-}a ，
所以 \left|S(M_{1})\right|-\left|S(M_{2})\right|=\left|a\right|-\left|5-a\right| ，
当 \scriptstyle a>=slant5 时， \left|S(M_{1})\right|-\left|S(M_{2})\right|=a-(a-5) =5 \*
当 0{<=slant}a{<}5 时， \left|S(M_{1})\right|-\left|S(M_{2})\right|=a-(5- _a)=2a-5<5
当 a<0 时， \left|S(M_{1})\right|-\left|S(M_{2})\right|=-a-(5- ~~_{a})=-5
为了使 >=slant5 ，需将正数尽可能地分配给 M_{1} ，负数分配给 M_{2} ，
如M={5，14,2025}， M_{2}=\{-2024,-11{.} -4\u\u\} ，
此时 S\left(M_{1}\right)=2044,S\left(M_{2}\right)=-2039 ，此时|S(M_{1})|-|S(M_{2})|=5,
所以 \left|S(M_{1})\right|-\left|S(M_{2})\right| 的最大值为5.
故选C.

2.A解析：由 (m-n)^{2}=16~(m n)^{3} ，得 (m+n)^{2}= 16~(m n)^{3}+4m n 由 (1)/(m)+(1)/(n)<=slant4 ≤4,且m,n为正实数，所以m十n{<=slant}4m n ，于是 16~(m n)^{3}+4m n{<=slant}16~(m n)^{2} ，故 (2m n-1)^{2} <=slant0 ，所以 m n=(1)/(2) ，所以 (m+n)^{2}=16x\left({(1)/(2)}\right)^{3}+4x (1)/(2){=}4, 解得 m+n=2 ，故选A.

3.C解析： a=\left({(49)/(36)}\right)^{(3)/(2)}=\left({(7)/(6)}\right)^{3}<(1.5)^{3}={(27)/(8)},b= \begin{array}{l}{{2√(3)x3√((3)/(2))=2^{1-(1)/(2)}x3^{(1)/(2)+(1)/(2)+1}=2^{(1)/(2)}x3^{2}=9√(2),}}\\ {{}}\\ {{c=sqrt[4]{(3+π)^{4}}=3+π,}}\end{array} 根据实数的大小关系可得 9{√(2)}>3+π>{(27)/(8)} ，即 b {>}c{>}a ：
故选C..C解析：设幂函数 f\left(x\right)=x^{α} ，因为其图象过点\left({(1)/(2)},4\right) 所以 f{\bigg(}{(1)/(2)}{\bigg)}={\bigg(}{(1)/(2)}{\bigg)}^{α}=4 ，解得 α=-2 ，所以 f(x)={(1)/(x^{2)}} ，所以g(z)= g\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l l}{a\bullet3^{x}+5,x<2,}\\ {\qquad}\\ {\qquad\quad}\\ {\qquad\quad}\\ {\qquad\quad}\\ {\qquad\quad}\end{array}\right. 又 g\left(x\right) 满足 *_{x_{1}\neq x_{2}} (g\left(x_{1}\right)-g\left(x_{2}\right))/(x_{1)-x_{2}}<0 ，所以 g\left(x\right) 在 bf{R} 上单调递减，
所以 \stackrel{\{a<0,}}{*}\left\{\begin{array}{l}{{\_{a}<0,}}\\ {{}}\\ {{{}_{a}\bullet\ 3^{2}+5>=slant(1)/(2^{2)}}}\end{array}\right.\Rightarrow-(19)/(36)<=slant a<0,
所以 \mathbf{\Delta}_{a} 的取值范围是 \left[-(19)/(36),0\right]
因为 \left(-(1)/(2),0\right) \left[-(19)/(36),0\right] 的真子集，故 a\in \left(-(1)/(2),0\right) 为一个充分不必要条件，
其他选项不合要求.
故选C.

5.C解析： f\left(x\right) 的定义域为（一∞,0）U（0，+∞ )，关于原点对称，因为 f\ (-\ x\ )={(|x^{2}-1|)/(-x)}=-\ {(|x^{2}-1|)/(x)}= -f(x) ，

所以 f(x) 为奇函数，故排除A；
因为 f\left(2\right)=(3)/(2)>0 ,故排除D；
当 _{x>1} 时， \scriptstyle* f(x)={(x^{2}-1)/(x)}=x-{(1)/(x)},f(x) 在（1，+∞ )上单调递增，故排除B.
故选C.

6.D解析：任取 1{<}x_{1}{<}x_{2} ，则 f(x_{1})-f(x_{2})= x_{1}-x_{2}+(1)/(x_{1)}-(1)/(x_{2)}{=}(x_{1}-x_{2})/(x_{1)x_{2}}(x_{1}x_{2}-1), 因为 x_{1}-x_{2}<0,x_{1}x_{2}>1 ，所以 f(x_{1}){-}f(x_{2}) {<}0 ，则 f(x) 在 (1,+∞ )上单调递增. 又 k^{2}+2k+4=(k+1)^{2}+3>=3>2 ，所以 f (2) <f(k^{2}+2k+4). 故选D.

7.D解析：因为二次函数 y=a x^{2}+(b-1)x+c 是偶函数，所以 -(b-1)/(2a){=}0{\Rightarrow}b=1 又一次函数 y=k x+(m-3) 是奇函数，所以 \mathbf{\Psi}_{m} -3{\stackrel{}{=}}0{\Rightarrow}m=3 所以 f(x)=b* x^{m}=x^{3} ，定义域，值域都为 bf{R} ，f(-x)=-x^{3}=-f(x) ，为奇函数.故选D.

8.D解析： f^{\left(1\right)}\left(2\ 025\right)=f\left(2\ 025\right),2\ 025^{2}+1= 4100626，各位数字之和为19， f^{\left(2\right)}\left(2\ 025\right)=f\left(19\right),19^{2}+1=362 ，各位数字之 和为11, f^{\left(3\right)}\left(2\ 025\right)=f\left(11\right),11^{2}+1=122 ，各位数字之 和为5， f^{\left(4\right)}\left(2\ 025\right)=f\left(5\right),5^{2}+1=26 ，各位数字之和 为8， f^{\scriptscriptstyle(5)}\left(2\ 025\right)=f\left(8\right),8^{\scriptscriptstyle2}+1=65 ,各位数字之和

为11，
...
从 n=2 开始，结果依次为： 11{\rightarrow}5{\rightarrow}8{\rightarrow}11{*s} ，第150次选代，从 n=2 开始，操作148次，148/3=49 余1，所以对应第二个值5，
所以 f^{\scriptscriptstyle{(150)}}(2025)=5,
故选D..BCD解析：对于A，由题意得 \Delta=(3a+3)^{2}- 4(2a^{2}+3a)=(a+3)^{2}>=slant0,
则 A 不可能为空集，故选项A错误；
对于B，由 x^{2}-(3a+3)x+2a^{2}+3a<=slant0 ，得 (x -a)(x-2a-3)<=slant0 ，当 a=2a+3 ，即 a=-3 时 ,x^{2}+6x+9<=slant0 ，得 x=-3 ，则 A=\{-3\} ，故选项B正确；
对于C，当 a>2a+3 ，即 \vert a<-3 时， {\bf\nabla}*{\bf A}=[2a+ ^{3,a]} ,故选项C正确；
对于D，当 \scriptstyle a<2a+3 ，即 \vert a>-3 时， A=[a,2a +3] ，因为 4\in A ,所以 a<=slant4<=slant2a+3 ，得 (1)/(2)<=slant a {<=slant}4 ,故选项D正确.
故选BCD.

10.CD解析;对于A,因为f（z）=－, ，xE(-∞,0)\cup(0,+∞), )，由反比例函数的性质可知，函数 f\left(x\right) 在 (-∞,0) 和 (0,+∞ )上单调递增，但函数在其定义域内不是增函数，故选项A错误；对于B,函数 f(x){=}x+c 在 (-∞,+∞) 上为单调递增函数，故选项B错误；对于C，因为 f\left(x\right)=x^{2}-2b x 为偶函数，所以f(-x)=f(x),

所以 (-x)^{2}-2b(-x)=x^{2}-2b x 对 {\boldsymbol{x}}\in\mathbf{R} 恒成立，
所以 4b x=0 ，所以 b=0 ，所以 f\left(x\right)=x^{2} ，所以f(b)=f(0)=0^{2}=0 ,故选项C正确；
对于D,函数的定义域为 (-∞,0)\cup(0,+∞) 关于原点对称，
当 x>0 时，则一 x<0 ，所以 f\left(-x\right)= -(-x)^{3}+(-x)^{2}-1=x^{3}+x^{2}-1=-f(x), 当 x<0 时，则一 x>0 ，所以 f\left(-x\right)= -(-x)^{3}-(-x)^{2}+1=x^{3}-x^{2}+1=-f(x), 综上， f(-x)=-f(x) ，所以函数 f(x) 为奇函数，故选项D正确.
故选CD.

1.AD解析：对于 A,2a^{2}-3a+2=1 且 \operatorname{\Pi}_{a>0,a} \neq1 ， a=(1)/(2) ,故选项A正确；对于B,不论 style0<a<1 ，还是 a>1 ,值域都为（0，+∞ ),故选项B错误；对于 C,f\left(x\right)=a^{x} 向左平移一个单位得到f(x)=a^{x+1} ,故选项C错误：对于D，令 2x+3=0 ，则 x=-{(3)/(2)},y=0 2'y=0,所以函数 y=a^{2x+3}-1 恒过定点 \left(-(3)/(2),0\right) ，故选项D正确.故选AD.

12.2^{52}-2 解析：因为集合 A 中有52个元素，所以集合 A 的非空真子集的个数为 2^{52}-2 ：

13.{（-5,6)，（-4,6)，（-3,6)} 解析：由 (5)/(x+3) ≥1，可得 (x-2)/(x+3)\ <=slant\ 0 ，等价于

\left\{\begin{array}{l l}{(x-2)(x+3)<=slant0,}\\ {\qquad\vdots\#\varkappa\breve{\mathfrak{x}}-3<x<=slant2,}\\ {x+3\neq0,}\end{array}\right.
由 x^{2}-2x-3<=slant0 ,解得一 1{<=slant}x{<=slant}3 ，
可知不等式组x+3 \left\{{\begin{array}{l}{{(5)/(x+3)}>=slant1,}\\ {{}}\\ {{\overline{{x}}}^{2}-2x-3<=slant0}\end{array}}\right. 的解集为 \{x\mid-1
<=slant x<=slant2\} ,整数解为一1,0,1,2，\left\{\begin{array}{l l}{\displaystyle3x-a>=slant0,}\\ {\displaystyle}\\ {\displaystyle|x|<(b)/(2),}\end{array}\right.
对于不等式组 且 a\in{\mathbf{R}},b>5 ，解
得 \scriptstyle\left\{\begin{array}{l}{{x>=slant(a)/(3),}}\\ {{}}\\ {{-(b)/(2)<x<(b)/(2),}}\end{array}\right. a3
可知。 的整数解为一1,0,1,2，则b b2 2
2< -a ≤-1,3 -6<a≤-3，解得
b [5<b≤6,
≤3，
[2
且 a ， b\in\mathbf{Z} ，则 \iota=-5,-4,-3,b=6 ，
所以整数对 (a,b) 的集合为 \{(-5,6),(-4 ，
6),(-3,6)\} ：

\mathbf{14.3\AA^{|x|}} （答案不唯一）解析：设 f\left(x\right)=3^{\left|x\right|} ，因为 f(x+y)=3^{\left|x+y\right|}=3^{\left|x\right|}x3^{\left|y\right|}=f(x) .f(y) ，故满足 ① 图象为：

故满足 ②

设 a>b>0 ，则 a-b>0 ，由指数函数的性质可知 f(a)-f(b)>0 ，故 \left[f(a)-f(b)\right](a-b) {>}0 ,所以满足 ③ ；当 0{<}a{<}b ，则 a-b<0 ，由指数函数的性质可知 f\left(a\right)-f\left(b\right)<0 ，故\left[f(a)-f(b)\right](a-b)>0 ，也满足 ③ ：故答案为 3^{\left|x\right|} (答案不唯一).

15.解：（1)由题意得 U{=}\{0,1,2,3\},A{=}\{1,3\} ，所以 A\cup B=\{1,2,3\} ，(2)由 A\cup B\cup C=U ，又 A\cup B=\{1,2,3\} ，得0\in{\cal C} ，由 (A\cup B)\cap C=\{1\} ，得 1\in C,2\notin C,3\notin C ，所以 C=\{0,1\} ：

16.解：（1）因为 f\left(x\right)=2x^{2}-m x+n ，不等式f\left(x\right){<=slant}0 的解集[0,5]，所以0，5为 f(x)=0 的两个根，所以 \stackrel{\left\{0+5=(m)/(2),\right.}}{\left.\begin{array}{l}{{0x5=(n)/(2)}}\end{array}\right.}\nonumber\ \stackrel{\left.\{m=10,\right.}}{\left.\begin{array}{l}{{0x10=1}}\end{array}\right.} 所以 f(x)=2x^{2}-10x ：

(2)由(1)知， f\left(x\right)=2x^{2}-10x ,其对称轴是 \mathbf{\Psi}_{x} ={(5)/(2)},

(i)当 t>=(5)/(2) 时，易知 f(x) 在 [t,t+1] 递增，故 f\left(x\right)_{min}=f\left(t\right)=2t^{2}-10t ，

(ii)当 t<(5)/(2)<\tau+1 即 t\in\Big((3)/(2),(5)/(2)\Big) 时， it{f}\left(x\right)_{min} =f\Big((5)/(2)\Big)=-(25)/(2),

(iii)当 t+1<=slant(5)/(2) 即 t<=slant(3)/(2) 时，函数 f(x) 在 [t ，t+1] 上单调递减， f\ (x)_{min}=f(t+1)=2t^{2}- 6t-8 ，

综上， *\:g\left(t\right)=\left\{\begin{array}{c}{2t^{2}-6t-8,t<=slant(3)/(2),}\\ {(3)/(4),}\\ {(2)/(5),(3)/(2)<t<(5)/(2),}\\ {(6)/(6),}\\ {2t^{2}-10t,t>=slant(5)/(2),}\end{array}\right. 所以，函数 g\left(t\right)=2t^{2}-6t-8 在 \left(-∞,(3)/(2)\right]± 单调递减， g\left(t\right)=2t^{2}-10t 在 \left[{(5)/(2)},+∞\right) 上单调递增，且 g\left({(3)/(2)}\right)=g\left({(5)/(2)}\right)=-{(25)/(2)} 则 g\ (t)_{min}=-(25)/(2)

17.解：（1)因为 f(x) 是指数函数，所以 3a^{2}-10a+4=1 ，解得 a=3 或 a=(1)/(3) ，又因为 f(x) 在其定义域内单调递增，所以 \scriptstyle a =3 ，所以 f\left(x\right)=3^{x} ：\left(2\right)g\left(x\right)=3^{2x}-4\bullet3^{x}-3=(3^{x})^{2}-4(3^{x})-3, 因为 x\in[0,2] ，所以 3^{x}\in[1,9] ，令 t=3^{x} ， t\in[1,9] ，所以 g\left(t\right)=t^{2}-4t-3,t\in\left[1,9\right] ，所以 g\ (t)_{min}=g\left(2\right)=-7 ，g\ \left(t\right)_{max}=g\left(9\right)=9^{2}-4x9-3=42, 所以 g\left(x\right) 的值域为 [-7,42] ，

18.解：（1)因为函数 f(x)={(4^{x}+b)/(2^{x)}} 的定义域为 bf{R} ，且为奇函数，所以 f(0)=1+b=0 ，解得 b=-1 ，此时 f\left(-x\right)=(4^{-x}-1)/(2^{-x)}=(1-4^{x})/(2^{x)}=-f\left(x\right), f(x) 为奇函数，所以 b=-1 ，

f(x) 是 bf{R} 上是单调递增函数.
证明：由题知 f(x)={(4^{x}+b)/(2^{x)}}={(4^{x}-1)/(2^{x)}}=2^{x}-{(1)/(2^{x)}}, 设x1<x2，
则 f^{~sf~{~(~}x_{1}~sf~{~)~~-~}~sf~{~f~~(~}x_{2}~sf~{~)~~=~}\left(2^{x_{1}}-{(1)/(2^{x_{1)}}}\right)-~sf~{~~~} {\begin{array}{r l l l l}{\displaystyle\left(2^{x_{2}}-{(1)/(2^{x_{2)}}}\right)=}&{2^{x_{1}}}&{-}&{2^{x_{2}}}&{+}&{{(2^{x_{1}}-2^{x_{2}})/(2^{x_{1)+x_{2}}}}}\\ &&{}&\\ {\displaystyle={((2^{x_{1}}-2^{x_{2}})(2^{x_{1}+x_{2}}+1))/(2^{x_{1)+x_{2}}}}}\end{array}} 因为 x_{1}<x_{2} 所以 2^{x_{1}}<2^{x_{2}} ， 2^{x_{1}+x_{2}}>0 ，
所以 f(x_{1}){-}f(x_{2}){<}0 ，即 f(x_{1}){<}f(x_{2}) ，所以 f(x) 在 bf{R} 上是单调递增函数.
(2)因为 y=f(x) 是 bf{R} 上的奇函数且为严格增
函数，
所以由 f(2m^{2}+m-1)+f(2m-1)<=slant0.
可得 f\left(2m^{2}+m-1\right)<=slant-\ f\left(2m-1\right)=
f(-2m+1).
所以 2m^{2}+m-1{<=slant}-2m+1 恒成立，
解得一 2<=slant m<=slant{(1)/(2)} ，即实数 \mathbf{\Psi}_{m} 的取值范围{\Big[}{\Big-}2,{(1)/(2)}{\Big]}.

19.解：(1)当 m=1 时 ,f(x)=9^{x}-3^{x}-1 ，令 t=3^{x} ，因为 x\in[-2,1] ，所以 t=3^{x}\in \left[{(1)/(9)},3\right],\mathtt{A}h\left(t\right)=t^{2}-t-1=\left(t-{(1)/(2)}\right)^{2}-{(5)/(4)}, 故当 t=(1)/(2) 时， it{h}({\boldsymbol{\mathbf{\mathit{\varepsilon}}}}_{t}) 取最小值 -{(5)/(4)} ，所以 f\left(x\right) 在区间[一2，1]上的最小值为 -{(5)/(4)} .(2)若对任意的 x_{1}\in[-2,1] ，总存在 x_{2}\in\mathbf{R} ，使得 f(x_{1}){>=slant}g(x_{2}) ，

可得 f\left(x_{1}\right)_{min}{>=slant}g\left(x_{2}\right)_{min}
因 g\left(x\right)=2^{\left|x\right|+1} 为偶函数,且在[0, +∞ )上为
增函数，故在 (-∞,0] 上为减函数，
因为 x_{\mathit{~2~}}{\in}\mathbf{R} ，则 g\ (x_{2})_{min}=g\left(0\right)=2 ，于是对任
意的 x_{1}\in[-2,1],f(x_{1})>=slant2
则 9^{x}-m*3^{x}-1{>=slant}2 对任意的 x\in[-2,1] 恒
成立，
从而， m{<=slant}3^{x}-{(3)/(3^{x)}} ，设t=3”,则t∈ t\in\left[{(1)/(9)},3\right] ，且
m<=slant t-{(3)/(t)},
令 \varphi\left(t\right)=t-(3)/(t),t\in\bigg[(1)/(9),3\bigg].
因为 \varphi\left(t\right) 在区间 \left[{(1)/(9)},3\right] 上为增函数，所以
\varphi\left(t\right)_{min}=\varphi\left((1)/(9)\right)=(1)/(9)-27=-(242)/(9),
所以实数 \mathbf{\Psi}_{m} 的取值范围是 \left(-∞,-{(242)/(9)}\right]

单元重构项目卷(四)

项目一

活动一

1.B解析：由于 \lg E=4.8+1.5M ,所以lg E_{1}= 4.8+1.5x8=16.8,lg\ E_{2}=4.8+1.5x7.5= 16.05，所以 E_{~l~}=~10^{16.8} ， E_{~2~}=~10^{16.05} ，即 (E_{1})/(E_{2)} =100.7510^{\circ,75}>9^{\circ,75}=3^{1.5}=3^{1}x3^{\circ,5}=3x{√(3)}>5 ，所以 (E_{1})/(E_{2)} 的值所在区间为（5，6).

2.A解析：设太阳的星等为 m_{1}=-26.7 ，天狼星 的星等为 m_{2}=-1.45 ，太阳的亮度为 E_{1} ，天狼 星的亮度为 E_{2} .由题意可得： m_{\:2}-m_{1}=(5)/(2) \lg{(E_{1})/(E_{2)}},\lg-1.45-(-26.7)={(5)/(2)}\lg{(E_{1})/(E_{2)}},\lg{(E_{1})/(E_{2)}}= (50.5)/(5){=}10.1 ，解得 (E_{1})/(E_{2)}{=}10^{10.1}

3.26.56 13 解析：根据条件可得：a=100，ar°+24=124，解得 所以 \begin{array}{r}{M\left({\mathbf{\Omega}}_{t}\right)=}\end{array} 2ar+24=64，5100\left((2)/(5)\right)^{\prime}+24{,} 所以 M(4)=100x\left({(2)/(5)}\right)^{4}+24=26.56. 由 100\left((2)/(5)\right)^{t}+24<24.001 ，得 {\left({(2)/(5)}\right)}^{t}<(0.1)^{5} ，所以 1g\left((2)/(5)\right)^{t}<lg\left(0.1\right)^{5} ，即 t\big[lg~2-(1-lg~2)\big] <一5，解得 _{t>12.5} ，即 \mathbf{\chi}_{t} 的最小整数为13.

活动二

4.D 解析：由题意可知 I_{\Delta_{a}}-I_{\Delta_{b}}=2 ，即 \lg\left({(D)/(D_{a)}}\right)- lg\left({(D)/(D_{b)}}\right)=2 ,所以 lg~\left((D_{b})/(D_{a)}\right)=2 ，所 {\therefore(D_{b})/(D_{a)}}=10^{2}= 100,即 D_{b}=100D_{a} ：

5.B 解析：由题 L_{0}=0.5,G_{0}=18 ，所以 L= 0.5D^{(G)/(18)} ，又由题当 G=18 时， L=0.4 ，即 0.4= 0.5D^{(18)/(18)}\Rightarrow D=0.8 ，所以 L=0.5x0.8^{(G)/(18)} ，令 L< 0.2,即 0.5x0.8^{(G)/(18)}<0.2 ，即 0.8^{(G)/(18)}<0.4 ,解得 (G)/(18)> (\log{\ 0.4})/(\log{\ 0.8)}=(\log{\ 4}-1)/(\log{\ 8)-1}=(2\log{\ 2}-1)/(3\log{\ 2)-1}\approx(2x0.3-1)/(3x0.3-1)=4 ，故G>4x18=72 ，所以学习率衰减到0.2以下（不含0.2)所需的训练选代轮数至少为73.

活动三

.B解析：依题经过 x 年后， A 产品的年产量为10\left(1+{(1)/(2)}\right)^{x}=10\left({(3)/(2)}\right)^{x},B 产品的年产量为40{\bigg(}1+{(1)/(5)}{\bigg)}^{x}=40\left({(6)/(5)}\right)^{x} ，依题意若 A 产品的年产量会超过 B 产品的年产量，则1 .0\left({(3)/(2)}\right)^{x}> 40\left((6)/(5)\right)^{.} 化简得 5^{x}>4^{x+1} ，即 x\lg5{\supset}(x+1)\lg4 ，所以 x{>}(2{lg~2})/(1{-){3}{{lg~2}}} 1-3lg 2,又lg 2=0.301 0,则 (2lg~2)/(1-3lg~2)\approx 6.2062，所以至少经过7年 A 产品的年产量会超过 B 产品的年产量.

7 ①③ 解析：由题图可知前3年的总产量增长速度越来越快；而图象在区间（3，8）上平行于 \mathbf{\Psi}_{x} 轴，说明总产量没有变化，所以第3年后该产品停止生产；因此只有 ①③ 正确.

8.9 解析：根据题意可得 2={(1)/(2)}\log_{3}{(U)/(100)} 3 3=
(1)/(2)log_{3}(W)/(100) ,两式相减得 1={(1)/(2)}\log_{3}{(W)/(100)}-
(1)/(2)log_{3}(U)/(100) ，所以 2=\log_{3}{(W)/(100)}-\log_{3}{(U)/(100)} 所以
2=\log_{3}{(W)/(U)} (W)/(U){=}3^{2}{=}9 ，所以 ：

9.解：(1)当 t=0 时， P=P_{~\scriptsize~0~}*~e~^{-\boldsymbol{k}*\boldsymbol{o}}=P_{~\scriptsize~0~} ，当 t=5 时， (P_{\circ}*e^{-5k})/(P_{\circ)}{=}90% ，即 e^{-5k}=0.9 所以 k=-(1)/(5)ln\ 0.9 .

(2）当 t=15 时， {(P_{\circ}\ \bullet\ e^{-15k})/(P_{\circ)}}=e^{-15k}=(e^{-5k})^{3}= 0.9^{3}=0.729 ，即 ^{15~h~} 后，还剩 72.9% 的污染物.

(3)设污染物减少 40% 需要花 it{t}~h~ ，则有 e^{-k t}=

0.6，两边取以e为底的对数，得 -k t=\ln\ 0.6. 所以 t=-{(\ln{0.6})/(k)}=-{(\ln{0.6})/(-{/{1){5}}\ln{0.9}}}=5\ \bullet\ \ln{0.6}= 5\log_{0.9}0.6 ，即污染物减少 40% 大约需要花5\log_{0.9}0.6~h.

项目二

活动一

1.C解析：光在1阿秒内走的距离为 3x10^{8}x 10^{-18}=3x10^{-10} ，设需要截 \boldsymbol{\mathscr{x}} 次，则 \left({(1)/(2)}\right)^{x}<3x 10^{-10} ,两边取以10为底的对数得： lg~\left((1)/(2)\right)^{x}< lg~(3x10^{-10),-}xlg~2<lg~3-10 ，所以 _x> (10-\lg\ 3)/(\lg\ 2)\approx(10-0.48)/(0.3)\approx31.\ 73 ，所以至少要截32次.

2.C解析： rm{g}(3^{361})/(10\ 000^{52)}=\lg\ 3^{361}-\lg\ 10\ 000^{52}= 361x18~3-52x4=361x0.477-52x4= -35.803，
所以 100010-8分析选项知C中10-6与其最接近.3.BC解析：令 n=6 ，由题意可得 (2)/(3)\log_{2}(\omega)/(x)>=6 ，即\log_{2}{(\omega)/(x)}>=slant9 ，解得 (\omega)/(x)\Rrightarrow2° ，所以当对折6次时， (\omega)/(x) 的最小值为 2^{9} ,故B正确，A错误；当 \omega{=}20\cm,x =0.05\cm 时，
n{<=slant}(2)/(3)\log_{2}(20)/(0.05){=}(2)/(3)\log_{2}400{=}(2)/(3)x(\log400)/(\log2){=}(2)/(3)x (2lg~2+2)/(~lg~2)\approx(2)/(3)x(0.6+2)/(0.3)\approx5.8 ,所以该矩形纸最多能对折5次，故C正确，D错误.

4.4解析：设这次“打水漂”石片的弹跳次数为 \mathbf{\Psi}_{x} ，由题意得 5x0.75^{x}<2 ，即 0.75^{x}<0.4 ，得 _x> \log_{0.75}0.4 因为 \log_{0.75}{0}.4={(\ln{0.4})/(\ln{0.75)}}={(\ln{/{2)/(5)}}{\ln{(3)/(4)}}}= (\ln{2}-\ln{5})/(\ln{3)-2\ln{2}}\approx(23)/(7) x{>}(23)/(7) 所以 故 x=4

活动二

5.B 解析：由题意得 C B=y=a-C A=\left({(1)/(2)}\right)^{t}= \left({(1)/(2)}\right)^{(x)/(3)} ，所以当 y=(1)/(64) 时 {(x)/(3)}=\log{(1)/(2)}{(1)/(64)}=6 ，解得x=18

6.ACD解析：对于A，函数 y=\lne^{x} 定义域为 bf{R} ，y=e^{\ln x} 定义域为 (0,+∞ )，A不是；对于B，函数 y=x^{2} 与 y=\left|\boldsymbol{\mathbf{\rho}}_{x}\right| |²的定义域均为R，且\mid x\mid^{2}=x^{2},y=x^{2} 与 y=\vert x\vert^{2} 是相同函数,B是；对于C,函数 y=x^{0} 的定义域为 \{x\in\mathbf{R}|x\neq0\} ，y=1 的定义域为 \mathbf{R},C 不是；对于D，函数_y=x+1 的定义域为R， y=(x^{2}-1)/(x-1) 的定义域为\{x\in\mathbf{R}|x\neq1\} ,D不是.

7.1 解析： \lg{(4{√(2)})/(7)}-\lg8{^{(2)/(3)}}+\lg7{√(5)}+{(1)/(\lg_{25)10}}= \log\ \left({(4{√(2)})/(7x4)}x7{√(5)}\right)+\lg\ 25={(1)/(2)}+2\lg\ 5, 因为 _{y}=\lg x\left(x>0\right) 为增函数,所以 0=\lg\ 1< \log5{<}\log10{=}1,1{<}(1)/(2){+}2\lg5{<}2, {\mathfrak{X}}{\bigg[}\lg{(4{√(2)})/(7)}{-}\lg8^{(2)/(3)}+\lg7{√(5)}+{(1)/(\log_{25)10}}{\bigg]}{=}1.

阶段滚动检测卷（三）

答案速对

\mathbf{12.}{\left[(3)/(4),2\right]} 13.2+π14.-2

试题精析

1.B解析：由题意得， N=\{x\mid-1<x+1<2,x \in\mathbf{Z}\ \backslash=\{x\mid-2{<x<1,x\in\mathbf{Z}\}}=\{-1,0\} ，所以M\cap N=\{-1\}. 故选B.

2.C解析：因为 I\left(t\right)=(K)/(1+e^{-0.23\left(t-53\right))} 1+e-0.2(t-53），所以 I(t\*）={(K)/(1+e^{-0.23(t^{*)-53)}}}=0.95K ，则 e^{0.23(t^{*}-53)}=19 ，所以 0.23\left(t^{*}-53\right)=\ln19\approx3 ，解得 \begin{array}{r}{t^{*}\approx66.}\end{array} 故选C.

3.C解析：因为定义域是 D 的两个函数 f(x) ，g\left(x\right) ，其值域依次是[a，b]和 [c,d] ，所以 \scriptstyle a 为 f(x) 的最小值， d 为 g\left(x\right) 的最大值，所以当 \vert a>d 时，对任意 x_{1} ,x_{2}\in D 都有 f(x_{1}) >g\left(x_{2}\right), 反之当 f(x_{1}){>}g\left(x_{2}\right) 对任意 x_{1},x_{2}\in D 恒成立时，也可以得到 a{>}d ，故“ \therefore\neg\neg\neg ”为“ f\left(x_{1}\right){\>}g\left(x_{2}\right) 对任意 x_{1} ， \boldsymbol{x}_{2}\in D 恒成立”的充要条件，所以 ① 对， ② 错；

因为定义域是 D 的两个函数 f\left(x\right),g\left(x\right) ，其值域依次是[a，b]和 [c,d] ，
所以 \scriptstyle a 为 f(x) 的最小值， d 为 g\left(x\right) 的最大值，所以当 a{>}d 时，可得“ f\left(x\right){\>}g\left(x\right) 对任意 x\in D 恒成立”
但是当“ f\left(x\right){\>}g\left(x\right) 对任意 x\in D 恒成立”时，得不到 a{>}d ，
如反例 f\left(x\right)=2x,g\left(x\right)=x,x\in\left[1,3\right] ，则f(x)\in[2,6],g\left(x\right)=x\in[1,3],
任意 x\in[1,3],f(x)-g\left(x\right)=x>0 ，即 f(x) {>}_{g}({\boldsymbol{\mathbf{\mathit{x}}}}) 恒成立，
但是 a=2<d=3 ，
所以“ \vert a>d ”是“ f\left(x\right){\>}g\left(x\right) 对任意 \mathbf{\Psi}_{x}\in D 恒成立”的充分不必要条件，
所以 ④ 对， ③ 错.
故选C.

4.B解析：根据题意，函数 f\left(x\right)=\mid x-m\mid 与函数 g\left(x\right) 的图象关于 _y 轴对称.若 g\left(x\right) 在区间(-2,-1) 内单调递减，则 f(x) 在区间(1,2)上递增，而 f(x)=\mid x-m\mid=\left\{{\begin{array}{l}{x-m,x>= m,}\\ {}\\ {-x+m,x<m,}\end{array}}\right. 在区间[m,+∞] ）上为增函数，则有 style m<=slant1 ，即 \mathbf{\Psi}_{m} 的取值范围为 (-∞,1] ，故选B.

5.C解析：当 x\in(3,5) 时， 2^{x}+1\in(9,33) ，故9<2x+1<33 ，解得 4{<}x{<}16. 故选C.

6.B解析：由函数 y=a^{it{x}-1}+1(a>0,a\neq1) 的图象恒过定点(1,2)，再由点(1,2)在直线 y=m x+n\left(m,n>0\right) 上，则\begin{array}{r l}&{m+n=2,}\\ &{\overline{{\varphi_{m}}}(1)/(m)+(1)/(n+1)-(1)/(3)*\left((1)/(m)+(1)/(n+1)\right)*\left(m+n+1\right)}\\ &{=(1)/(3)*\left(1+1+(n+1)/(m)+(m)/(n+1)\right)}\\ &{>=slant(1)/(3)*\left(2+2√((n+1)/(m))*(m)/(n+1)\right)}\\ &{=(4)/(3),}\end{array} 取等号条件是 {(n+1)/(m)}{=}{(m)/(n+1)} 此时 m=(3)/(2),n=(1)/(2) 故选B.

7.C解析：由 2+\log_{2}a=3+\log_{3}b=\log_{6}{(a+b)} ， 得 \log_{2}{(4a\ )}=\log_{3}{(27b\ )}=\log_{6}{(a+b\ )} 设 \log_{2}{(4a)}=\log_{3}{(27b)}=\log_{6}{(a+b)}=k ，则有 4a=2^{k},27b=3^{k},a+b=6^{k} ，所以 108a b=2^{k}x 3^{k}=6^{k}=a+b ，所以 {(1)/(a)}+{(1)/(b)}=108. 故选C.

.C解析：由彐 x_{1}\in[0,1] ， \forall x_{2}\in[0,4] ，都有g\left(x_{1}\right){<}f\left(x_{2}\right) ，可得 g\left(x\right)_{min}{<}f\left(x\right)_{min} ：
易知 g\left(x\right)=\ln(2+x)/(2-x)=\ln\left(-1-(4)/(x-2)\right) 在[0,1]上单调递增,所以 g\left(x\right)_{min}=g\left(0\right)=0
当 m=0 时 ,f(x)=2{>}0 恒成立；
当 m>0 时， f\left(x\right) 在 [0,4] 上单调递增，所以f(x)_{min}=f(0)=-2m+2 ，由 -2m+2>0 ，解得 m{<}1 ,所以 0{<}m{<}1
当 m<0 时， f\left(x\right) 在 [0,4] 上单调递减，所以f(x)_{min}=f(4)=4m+2 ，由 4m+2>0 ，解得m{>}-(1)/(2) ，所以 -(1)/(2)<m<0 ，
综上，实数 \mathbf{\Psi}_{m} 的取值范围是 \left(-{(1)/(2)},1\right) .故选C.

9.AD解析：由 \vert x-1\vert>0 ，得 \scriptstyle x\neq1 ，即函数 f(x)

=\log_{a}\mid x-1\mid 的定义域为 \{x\mid x\neq1\} ，
设 g\left(x\right)=\left|x-1\right|=\left\{\begin{array}{l l}{x-1,x>1,}\\ {\qquad\quad}\\ {-x+1,x<1,}\end{array}\right.
则 g\left(x\right) 在区间 (-∞,1) 上为减函数，在区间(1,+∞ )上为增函数，且 g\left(x\right) 的图象关于直线x=1 对称，所以 f(x) 的图象关于直线 x=1 对称，故D正确；
由上可知 f(x)=\log_{a}\mid x-1\mid 在区间 (1,+∞) 上单调递增且无最大值,故A正确，B错误；
定义域不关于原点对称，奇偶性前提不存在，故C错误.故选AD.
).CD解析：对于A，多个单调区间不能用并集符号连接，用“，”或“和”连接，故选项A错误；对于B，令 \scriptstyle t={√(x)}+1,t>=1 ，则 √(x)=t-1 ，所以
f(t)=(t-1)^{2}+2(t-1)=t^{2}-1,t>=slant1 ，即f(x)=x^{2}-1,x>=1 ,故选项B错误；对于 {C},A=B=\{0,1,2\} ，满足 f\left(0\right)=1 ，则集合 A 中剩2个元素，但集合 B 中仍有3个元素，集合 A 中每一个元素在集合 B 中都有3个相对应，即 3x3=9 个，故选项C正确；对于1 ),f(x+y)=f(x)f(y) ，令 y=1 ，则f(x+1)=f(x)f(1),
则f(x+1) {(f(x+1))/(f(x))}{=}f(1)=2 ，所以 {(f(2))/(f(1))}+{(f(4))/(f(3))}+*s +(f(2\ 024))/(f(2\ 023))=2x1\ 012=2\ 024 ，故选项D正确.故选CD.

11.AD解析：对于A，当 0{<}a{<}1,b{>}0 时，有0<a^{b}<1 ，从而 \ln^{+}{(a^{b})}=0,b\ln^{+}{a}=bx0=0 ，所以 \ln^{+}(a^{b})=b\ln^{+}a ；当 a>=slant1,b>0 时，有a^{\upsilon}>=slant1 ，从而 \ln^{+}(a^{b})=\ln a^{b}=b\ln a,b\ln^{+}a={}\quad

{>}0 时， \ln{\bf\Pi}^{+}(a^{b})=b\ln{\bf\Pi}^{+}a ,故选项A正确；对于 ~B~ ，当 \displaystyle a=(1)/(4),b=2 时满足 a>0,b>0 ，而\ln+(a b)=\ln+{(1)/(2)}=0,\ln+a+\ln+b=\ln+ {(1)/(4)}+\ln{}\mathbf{α}^{+}2=\ln{}~2 ，所以 \ln{\bf\Pi}^{+}(a b{\bf\Pi})\neq\ln{\bf\Pi}^{+}a{\bf\Pi}^{+} \ln^{+}b ,故选项B错误；
对于C,令 a=2,b=4 ，则 \ln{\bf\Pi}^{+}(2+4)=\ln{\bf\Pi}6 ，\ln{}^{+}2+\ln{}^{+}4=\ln{}~2+\ln{}~4=\ln{}~8 ，显然 ~l~n~6< \ln8 ,故选项C错误；
对于D,由“正对数”的定义知，当 0<x_{1}<=slant x_{2} 时，有 \ln{\bf\Pi}^{+}x_{1}{<=slant}\ln{\bf\Pi}^{+}x_{2} ：
当 \scriptstyle0<a<1,0<b<1 时，有 0{<}a+b{<}2 ，
从而 \ln^{+}(a+b){<}\ln^{+}2{=}\ln2,\ln^{+}a+\ln^{+}b +\ln2=0+0+\ln2=\ln2,
所以 \ln{^+}(a+b){<}\ln{^+}a+\ln{^+}b+\ln{2}
当 a>=1,0<b<1 时，有 a+b>1 ，
\begin{array}{l}{{\qquadλ\wedge\bar{\eta}\ln^{+}(a+b)=\ln(a+b)<\ln(a+a)=}}\\ {{{mu}}}\\ {{\ln(2a),\ln^{+}a+\ln^{+}b+\ln2=\ln a+0+\ln2=}}\end{array} ~l~n~(2a) ，所以 \ln{^+}(a+b){<}\ln{^+}a+\ln{^+}b+\ln{2} ；当 0<a<1,b>=slant1 时，有 a+b>1 ，
从而 \ln{}^{+}(a+b)=\ln(a+b)<\ln(b+b)= ln (2b),ln +a+ln +b+ln 2=0+ln b+ln 2=ln(2b),所以 \ln{^+}(a+b){<}\ln{^+}a+\ln{^+}b+\ln{2} 当 a>=slant1,b>=slant1 时， \ln{\mathit{\Omega}}^{+}(a+b)=\ln{\mathit{\Omega}}(a+b) ，\ln{^+a}+\ln{^+b}+\ln{2}=\ln{a}+\ln{b}+\ln{2}= ln~(2a b) ，
因为 2a b-(a+b)=a b-a+a b-b=a(b-1) +b(a-1)>=0 ，所以 2a b>=slant a+b ,所以 ln\Omega^{+}\left(a +b){<=slant}\ln{}^{+}a+\ln{}^{+}b+\ln{}^{2}.
综上所述，当 a>0,b>0 时， \ln{\bf\Pi}^{+}(a+b)<=slant \ln{^+a}+\ln{^+b}+\ln{2} ,故选项D正确.
故选AD.

\mathbf{12.}{\left[(3)/(4),2\right]} 解析：画出函数 f\left(x\right) 的图象，如图所示，

若 f(a)=f\left(b\right),a>b>=slant0 ，则 (1)/(2)<=slant b<1 ，所以 b\ \bullet\ f(a)=b\ \bullet\ f(b)=b\ (b+1)=b^{2}+b= \left(b+{(1)/(2)}\right)^{2}-{(1)/(4)} ，所以 (3)/(4){<=slant}b* f(a){<}2.

\begin{array}{r}{\mathbf{1}3.2+\boldsymbol{π}}\end{array} 解析： \begin{array}{r}{\log\ 5\ \bullet\ \log√(10)\ 20+(\log\ 2^{√(2)})^{2}+}\end{array} eln π=\lg~5*{(\lg~20)/(\lg~{√(10))}}+2(\lg~2)^{2}+π \begin{array}{r l}&{=2lg~5*(1+lg~2)+2(lg~2)^{2}+π}\\ &{=2lg~5+2lg~5*\lg~2+2({lg~2)^{2}+π}}\\ &{=2lg~5+2lg~2*\left(lg~5+lg~2\right)+π}\\ &{=2lg~5+2lg~2+π=2+π.}\end{array}

14.一2解析：易知 f(x) 的定义域为（一1,0）U(0,+∞), 因为 f(x) 的值域为 (0,+∞) ，所以 f\left(x\right)>0 在 (-1,0)\cup(0,+∞) 上恒成立，当 -1{<x<}0 时， 0<x+1<1 ,则ln (x+1) {<}0 ，此时必有 x+(2+k)/(x)+2+k<0 ，变形可得 k+2 >-{(x^{2})/(x+1)},

当 _{x>0} 时， x+1{>}1 ，则ln \left(x+1\right)>0 ，
此时必有 x+(2+k)/(x)+2+k>0 ,变形可得 k+2 >-{(x^{2})/(x+1)},
综上可得 k+2>-{(x^{2})/(x+1)} x+1在(-1,0)U(0，+∞ )上恒成立，
设 g\left(x\right)=(x^{2})/(x+1),x\in\left(-1,0\right)\bigcup\left(0,+∞\right),
则 g\left(x\right)=(x^{2})/(x+1)=(x^{2}-1+1)/(x+1)=x-1+(1)/(x+1)= (x+1)+(1)/(x+1)-2,
因为 x\in(-1,0)\cup(0,+∞) ，所以 x+1>0 ，且 x+1\neq1 ，
故 g\ bf{(}x\ )\ =\ x\ +\ 1\ +\ (1)/(x+1)\ -\ 2\ > 2√((x+1)*(1)/(x+1))-2=0,
所以 -{(x^{2})/(x+1)}{=}-g\left(x\right){<}0
因为 k+2>-{(x^{2})/(x+1)} 在 (-1,0)\cup(0,+∞) 上恒成立，
所以 k+2>=slant0 ，解得 k>=slant-2 ，故实数 k 的最小值为一2.

15.解：(1)由 x^{2}-4x-12{<=slant}0 ，得 -2{<=slant}x{<=slant}6 ，所以集合 A=\{x\mid-2{<=slant}x{<=slant}6\} 由 x^{2}-4x-m^{2}+4=0 ，得 x_{1}=2+m,x_{2}=2 -{m} ，当 m{>}0 时， *2-m<2+m ，则由 x^{2}-4x-m^{2}+4<=slant0 解得 2-m<=slant x<=slant2 +m，

所以集合 B=\{x\mid2{-}m{<=slant}x{<=slant}2{+}m\} ，
(2)因为 x\in A 是 x\in B 成立的充分不必要
条件，
所以 [-2,6] 是 \bar{\lfloor{2}-m,2+m_{-}^{-}} 的真子集，
则有 \left\{\begin{array}{l}{{2-m<2+m,}}\\ {{}}\\ {{2-m<=slant2,\qquad\widehat{\ast}\notin\ s i<=slant m>=slant}}\\ {{}}\\ {{2+m>=slant6,}}\end{array}\right. ，
又当 m=4 时， [2-m,2+m]=[-2,6] ，不合
题意，
所以实数 \mathbf{\Psi}_{m} 的取值范围为 (4,+∞) ：
.解：(1)选 ① ：设 f(x)=a x^{2}+b x+c(a\neq0) ，
则 f(x+1)=a(x+1)^{2}+b(x+1)+c=a x^{2}
+(2a+b)x+(a+b+c),
由 f(x+1)=f(x)+2x-1=a x^{2}+(b+2)x
+c-1 ，可得 *\left\{\begin{array}{l}{{2a+b=b+2,}}\\ {{}}\\ {{a+b+c=c-1,}}\end{array}\right.
解得 \left\{{\begin{array}{l}{a=1,}\\ {b=-2,}\end{array}}\right.
则 f(x)=x^{2}-2x+c ，由 f(1)=c-1=2 可得
c=3 ，
所以 f(x)=x^{2}-2x+3 ：
选 ② ：因为 f(x+1)=f(1-x) ，所以 f(x) 的
图象关于直线 \scriptstyle x=1 对称，
因为 f(1)=2 ,所以可设 f(x)=a(x-1)^{2}+2
(a\ne0) ，
则 f(0)=a+2=3 ,解得 a=1 ，
所以 f(x)=(x-1)^{2}+2=x^{2}-2x+3. ：
选 ③ ：因为 f(x){>=slant}2 恒成立且 f(1)=2 ，
所以可设 f(x)=a(x-1)^{2}+2\nonumber ,其中 a>0 ，
则 f(0)=a+2=3 ，解得 a=1 ，
所以 f(x)=(x-1)^{2}+2=x^{2}-2x+3 ，
(2)当 x\in[0,2] 时， f(x)=(x-1)^{2}+2\in[2 ，
3]，
令 u=f(x) ，则 u\in[2,3] ，
g\left(x\right)=\log_{2}\left(6-x\right)+\log_{2}\left(6+x\right)=\log_{2}\left(36-x\right)
x^{2}) ，
g\left(f(x)\right)=g\left(u\right)=\log_{2}{\left(36-u^{2}\right)}.
令 t=36-u^{2},u\in[2,3] ，则 t\in[27,32]
又函数 \mathbf{\boldsymbol{y}}=\log_{2}\mathbf{\boldsymbol{t}} 在 t\in[27,32] 上单调递增，
因此函数 \mathbf{\boldsymbol{y}}=\log_{2}\mathbf{\boldsymbol{t}} Q t\in[27,32] ）的值域为
[3\log_{2}3,5].
所以 g\ (\ f\ (\chi\ )) 在 x\in[0,2] 上的值域为
[3\log_{2}3,5].

17.解：(1)因为函数 f(x) 为奇函数，所以 f(x)+ f(-x)=0, \begin{array}{r c l}{tt{tt{g}}}&{tt{\ln}}&{(k x-1)/(x+1)+tt{\ln}(-k x-1)/(-x+1)=}\\ &{tt{\ln}}&{((k x-1)(-k x-1))/((x+1)(-x+1)){=}\ln(1-k^{2}x^{2})/(1-x^{2)}{=}0,}\end{array} 所以 k^{2}=1 ，即 \begin{array}{r}{k=±1}\end{array} ，显然 k\neq-1 ，又当 k=1 时， f(x)=\ln{(x-1)/(x+1)} 满足题意，所以 k=1 ，

(2）由(1)知 f(x）=In=1 x+1′其定义域为\left(-∞,-1\right)\cup\left(1,+∞\right),
f(x)=\ln{(x-1)/(x+1)}=\ln\left(1-{(2)/(x+1)}\right) 则 f\left(x\right) 在(1,+∞) 上单调递增，
所以 f(x) 在(3，5)上单调递增，
因为对任意 x\in[3,5] 都有 f(x){>}t-3 成立，所以 f\left(x\right)_{min}{>}t{-}3 ，即 f(3)=\ln(3-1)/(3+1)>t-3 ，

解得 \scriptstyle t<3-\ln2 ，故 \mathbf{\chi}_{t} 的取值范围为 (-∞,3-\ln{2}) ：

(3)由(2)知 f(x) 在 (1,+∞) 上单调递增，
因为函数 f(x) 在［ α ， β ］上的值域\Im\left[\ln\left(mα-(m)/(2)\right),\ln\left(mβ-(m)/(2)\right)\right],
所以 m>0 ，且 \left\{\begin{array}{l}{{\ln{(α-1)/(α+1)}=\ln\left(mα-{(m)/(2)}\right),}}\\ {{}}\\ {{\ln{(β-1)/(β+1)}=\ln\left(mβ-{(m)/(2)}\right),}}\end{array}\right.
所以 \left\{\begin{array}{l}{{(α-1)/(α+1)}{=}mα-{(m)/(2)},}\\ {{}}\\ {{(β-1)/(β+1)}{=}mβ{-}{(m)/(2)},}\end{array}\right.
即α，β是方程 {(x-1)/(x+1)}{=}m x-{(m)/(2)} 的两个实根,问
题等价于方程 m x^{2}-\left(1-{(m)/(2)}\right)x+1-{(m)/(2)}=0 在
(1,+∞ )上有两个不等实根，
令 h\left(x\right)=m x^{2}-\biggl(1-(m)/(2)\biggr)x+1-(m)/(2) 其图象的
对称轴方程为 \ x=(1)/(2m)-(1)/(4) 1\begin{array}{l}{{\left\{^{m>0,}\right.}}\\ {{\left.\begin{array}{l l}{{\begin{array}{r l r}{\displaystyle}}&{{}}&{}\\ {{\displaystyle}}&{{}}\end{array}}\\ {{\left.\begin{array}{l l}{{\begin{array}{r l r}{\displaystyle}}&{{}}&{}\\ {{\displaystyle}}&{{}}\\ {{\displaystyle}}&{{}}\end{array}\right|^{2}-4m\left(1-(m)/(2)\right){\array}}}\\ {{\left.\begin{array}{r l r}{\displaystyle}&{{}}&{}\\ {{\displaystyle}}&{{}}\\ {{\displaystyle}}&{{}}\end{array}\right.}}\end{array}
贝 解得0
<m<(2)/(9),
故实数 \mathbf{\Psi}_{m} 的取值范围为 \left(0,{(2)/(9)}\right)

18.解：(1)由 g\left(x\right)+h\left(x\right)=3^{x} ，得 g\left(-x\right)+h\left(-x\right)=3^{-x} ，因为 _y=g\left(_{x}\right) 为偶函数， y=h\left(x\right) 为奇函数，

则 g\left(x\right)-h\left(x\right)=3^{-x}
民 \begin{array}{r}{\mathbb{p}\left\{{\begin{array}{l}{g\left(x\right)+h\left(x\right)=3^{x}}\\ {}\\ {g\left(x\right)-h\left(x\right)=3^{-x}}\end{array}}\right.}\end{array} ，解得 g\left(x\right)=(3^{x}+3^{-x})/(2)
h\left(x\right)=(3^{x}-3^{-x})/(2),
所以 g\left(\log_{3}2\right)={(3^{\log32}+3^{-\log32})/(2)}={(2+{/{1)/(2)}}{2}}={(5)/(4)},
h\left({(\ln3)/(\ln9)}\right)=h\left({(1)/(2)}\right)={(3^{/{1)/(2)}-3^{-{(1)/(2)}}}{2}}={(√(3))/(3)}.
（2）由（1）可知： g (\ x\ )={(3^{x}+3^{-x})/(2)} it{h}\left(\boldsymbol{x}\right)
={(3^{x}-3^{-x})/(2)},
探究结果： g\left(2x\right)=2h^{2}\left(x\right)+1 ：
证明如下：g(2x）= g\left(2x\right)=(3^{2x}+3^{-2x})/(2)
h^{2}\left(x\right)=\left((3^{x}-3^{-x})/(2)\right)^{2}=(3^{2x}+3^{-2x}-2)/(4),
所以 g\left(2x\right)=2h^{2}\left(x\right)+1 ，

19.解：(1)当 a=1 时， f\left(x\right)=\log_{2}\left(x+1\right) ，所以f(x-1)=\log_{2}x, 所以 f(x)+f(x-1)=\log_{2}{(x+1)}+\log_{2}{x}= \log_{2}\left[x\left(x+1\right)\right], 因为 f\ (\ x\ )\ +\ f\ (\ x\ -\ 1\ )\ >\ 0 ，所以\lceil x>0 ，\{x+1>0 ， 解得 x>{({√(5)}-1)/(2)} [x(x+1)>1,即 \mathbf{\Psi}_{x} 的取值范围为 \left({({√(5)}-1)/(2)},+∞\right)

(2)因为函数 g\left(x\right) 是定义在 bf{R} 上的奇函数，所以 g\left(0\right)=0 ，
又因为当 0<=slant x<=slant1 时， g\left(x\right)=f\left(x\right)=\log_{2}\left(x\right) +α) ，所以 a=1 ，所以 g\left(x\right)=\log_{2}\left(x+1\right)
当 x\in[-2,-1] 时， \boldsymbol{\mathscr{x}}+2\in[0,1] ,所以 g\left(x\right) =-g(x+2)=-\log_{2}{(x+3)}.
当 x\in[-3,-2) 时， x+2\in[-1,0) ，即一（x+2)\in(0,1]
所以 g\left(x\right)=-g\left(x+2\right)=g\left[-\left(x+2\right)\right]= \log_{2}[-(x+2)+1]{=}\log_{2}(-x-1).
故 g\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}{\log_{2}\left(-x-1\right),x\in\left[-3,-2\right),}\\ {}\\ {-\log_{2}\left(x+3\right),x\in\left[-2,-1\right].}\end{array}\right. g\left(x\right) 在 [-3,-1] 和[1,3]上单调递减，在[-1,1] 上单调递增.3 \begin{array}{l}{{~)~g\left(-/12\right)=-g\left(/12\right)=-f\left(/12\right)=}}\\ {{~}}\\ {{~og_{2}/32,}}\end{array} -\log_{2}(3)/(2)
由(2)知,若g(x)=-log2 g\left(x\right)=-\log_{2}/32 ，则x x=-{(1)/(2)} 或 x =-{(3)/(2)} 或 x=(5)/(2)

记 u=(t-2^{x})/(8+2^{x+3)}=-(1)/(8)+(t+1)/(8+2^{x+3)}.
当 t+1=0 ，即 t=-1 时， u=-{(1)/(8)} 符合题意.
当 t~+~1>~0 ，即 \mathit{\Pi}_{t}~>~-~1 时， it{u}\in \scriptstyle\left(-{(1)/(8)},-{(1)/(8)}+{(t+1)/(8)}\right)=\left(-{(1)/(8)},{(t)/(8)}\right),
由 g\left((t-2^{x})/(8+2^{x+3)}\right)>=slant g\left(-(1)/(2)\right) 在 bf{R} 上恒成立可得\scriptstyle\left(-{(1)/(8)},{(t)/(8)}\right)\subseteq\left[-{(1)/(2)},{(5)/(2)}\right],
所以 -1{<}t{<=slant}20 ：
当 \ t\ +\ 1\ <\ 0 ，即 \mathit{\Pi}_{t}~<~-~1 时， it{u}\in \scriptstyle\left(-{(1)/(8)}+{(t+1)/(8)},-{(1)/(8)}\right)=\left({(t)/(8)},-{(1)/(8)}\right),
由g g\left((t-2^{x})/(8+2^{x+3)}\right)>=slant g\left(-(1)/(2)\right) 在 bf{R} 上恒成立可得
\left({(t)/(8)},-{(1)/(8)}\right)\subseteq\left[-{(1)/(2)},{(5)/(2)}\right],
所以 -4{<=slant}t{<}-1
综上，实数 \mathbf{\Psi}_{t} 的取值范围为 [-4,20]

单元重构项目卷(五)

项目一

活动一

1.C 解析：设 (m)/(m_{\ell)}=a_{\ell}^{\prime} ， a>0 且 style{a\neq1} ，由图可知\left\{\begin{array}{l}{{\displaystyle a^{67.3}=(2)/(3),}}\\ {{}}\\ {{\displaystyle a^{182.4}=(1)/(3),}}\end{array}\right. 所以 {(a^{182.4})/(a^{67.3)}}=a^{115.1}={(1)/(2)} 所以半衰期为 115.1 d.

2.B 解析：由题意可知， \left\{\begin{array}{l l}{\displaystyle f(0)=(5)/(1+2b)=1,}\\ {\displaystyle\qquad\Rightarrow}\\ {\displaystyle f(1)=(5)/(1+2^{k+b)}=2.5}\end{array}\right. \left\{{\begin{array}{l}{k=-2}\\ {b=2,}\end{array}}\right. ， 故 f\left(x\right)=(5)/(1+2^{-2x+2)} 1+2-2x+2，由f（x）=1+2-2x+2>4.8,解得x> x>(5)/(2)+(1)/(2)\log_{2}3\approx3.3 ，故该果树的高度超过 4.8~m~ ，至少需要4年.

3.解：（1）由题意得 \ln\ t=\ln\ t_{0}+{(N)/(N_{0)}}-1 ，故\left\{\begin{array}{l}{{\ln{4e^{2}}=\ln{t_{0}}+{\displaystyle(300)/(N_{0)}}-1,}}\\ {{}}\\ {{\ln{4e^{3}}=\ln{t_{0}}+{\displaystyle(400)/(N_{0)}}-1,}}\end{array}\right. 两式相减可得 \ln{(4e^{2})/(4e^{3)}}= (300-400)/(N_{\ell_{0)}} ，故 N_{\circ}=(-100)/(-ln~e)=100 ，故 t_{0}={(4e^{2})/(e^{/{300){100}-1}}}= {(4e^{2})/(e^{2)}}=4.

(2）由（1)可知 t=4e^{(N)/(100)-1} ，当 N=600 时， \mathbf{\Psi}_{t} =4e^{5} ，
故所需的处理时间为 4e^{5} 秒.
\begin{array}{r l}&{\left(3\right)t=4e^{(N_{1})/(100)-1}+4e^{(N_{2})/(100)-1}>=slant8√(e^{(N_{1))/(100)-1}xe^{(N_{2})/(100)-1}}=}\\ &{}\\ &{8√(e^{(N_{1)+N_{2})/(100)-2}}=8√(e^{4)}=8e^{2},}\end{array} 当且仅当 N_{1}{=}N_{2}{=}300 时取等号，
故所需的总处理时间的最小值为 8e^{2} 秒。

活动二

.D解析：由 f\left(x+2a\right)=√(\left|x+2a-2a\right|)+ √(|x+2a|)=√(|-x-2a|)+√(|-x|)= f(-x) ，得函数 f(x) 的图象关于直线 \b{x}=\b{a} 对称，则 f(x)=b 在直线 x=a 两侧的根成对出现，而方程 f\left(x\right)=b 恰有三个不同的实数根x_{1},x_{2},x_{3} 且 \scriptstyle x_{1}<x_{2}<x_{3}=b ，因此该方程的一个根是 \mathbf{α}_{a} ，得 x_{1}=2a-b,x_{2}=a,x_{3}=b \left\{\begin{array}{l l}{f(a)=√(a)+√(a)=2√(a)=b,}\\ {\qquad\oplus\ f(a)=2√(a)=}\\ {f(b)=√(\left|b-2a\right|)+√(b)=b,}\end{array}\right. b ，得 b^{2}=4a ，当 b-2a>=slant0 ，即 0<b<=slant2 时， f(b) ={√(b-2a)}+{√(b)}=b ，而 {√(b-2a)}-{√(b)}= {(-2a)/(√(b-2a)+sqrt{b)}}={(-2a)/(b)}=-{(b)/(2)} ，联立解得6= b=(16)/(9) g'a ;当b-2a<0,即 b>2 时,f(b)=√2a-b+{√(b)}=b ，而 {√(2a-b)}-{√(b)}={(2a-2b)/({√(2a-b))+{√(b)}}}= {(2a-2b)/(b)}={(b)/(2)}-2 ，无解，所以 a=(64)/(81),b=(16)/(9),a+b ={(64)/(81)}+{(16)/(9)}={(208)/(81)}.

5.A解析：函数 20x²+6.x 的对称轴为x=-{(6)/(2x\left(-{/{1){20}}\right)}}=60 ，所以 y_{{max}}=-{(1)/(20)}x60^{2}+6x 60=180 ,超出了范围，不符合题意； y={(1)/(2)}x+ \left.50,x\in\lbrack0,100]\right. 时， y\in\left[50,100\right] ，且 {}y={(1)/(2)}x+ 50 在[0,100]上单调递增， {}_{y}-{}_{x}=-{(1)/(2)}x+50\in [0,50]，即 y>=slant x ，符合题意；函数 y=\left|{x-1}\right| 在[0,1]上单调递减，在[1,100]上单调递增，故不符合题意；函数 y=10~√(x) 为增函数，且 x\in[0 ，100]时， y\in[50,100] ， 0<=slant{√(x)}<=slant 10，则 x<=slant 10 √(x) ，即 y>=slant x ，符合题意.故满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是 ②④ ，

活动三

6.解：（1)根据题意，当 T_{\circ}=90,T_{e}=20,t=10 ，T(t)=55 ，代入函数模型，整理得 55=(90-20) ·e^{-10k}={(1)/(2)},k={(\ln2)/(10)}. e^{-10k}+20 ,解得

(2)假设自然冷却大约 t\ \operatorname*{min} 能达到最佳饮用口感，则有： 65=(85-25)e^{-\ensuremath{k}t}+25 ，代入 k=(\ln{2})/(10) 得 t~=~{(10x\ln{/{3)/(2)}}{\ln{2}}}~=~{(10x(\ln{3}-\ln{2}))/(\ln{2)}}~= (10x\left(1.1-0.7\right))/(0.7){=}(40)/(7)\approx5.7, 所以刚泡好的茶水在室温为 25\ ^\circC 时自然冷却大约需要放置 5.7\ min 后才能达到最佳饮用口感，

7.解：(1)从表中数据可知，所选函数必须满足两个条件：增函数，增长速度越来越快.因为模型 ① 为减函数，模型 ② 增长速度越来越慢，所以不能选择模型 ① 和 ② ，模型 ③ 符合两个条件，所以选择模型 ③ ：

将数据代入 y=k a^{x}+m C k>0 ， a>1 ）可得\left\{\begin{array}{l l}{\displaystyle{14=k a+m},\qquad\quad}\\ {\displaystyle{20=k a^{2}+m,\hbar^{\sharp}\widehat{H}\widehat{H}}\left\{m=2,\right.}}\\ {\displaystyle{29=k a^{3}+m,\qquad}\quad}\end{array}\right.
所以，函数为 y=8\left({(3)/(2)}\right)^{x}+2,x\in\mathbf{N}^{*}
(2)由(1)知 f(x)=8\left({(3)/(2)}\right)^{x}+2,x\in\mathbf{N}^{*} ，
则 8{\left((3)/(2)\right)}^{t}+2{>}2002 得 {\left((3)/(2)\right)}^{t}>250 ，
t>\log{(3)/(2)}250={(\ln250)/(\ln{/{3){2}}}}={(3\ln5+\ln2)/(\ln3-\ln2)}\approx (3x1.609+0.693)/(1.099-0.693){\approx}13.60,
故 \mathbf{\Psi}_{t} 的最小值为14.

项目二

活动一

1.A 解析：由题设知 f(x)=(2x-1)\bigotimes(x-1) =\left\{\begin{array}{l l}{(2x-1)^{2}-(2x-1)(x-1),2x-1<=slant x-1,}\\ {\qquad}\\ {(x-1)^{2}-(2x-1)(x-1),2x-1>x-1,}\end{array}\right. 化简整理得： f(x)=\left\{{\begin{array}{l}{2x^{2}-x,x{<=slant}0,}\\ {}\\ {-x^{2}+x,x{>=slant}0,}\end{array}}\right. 画出函数的图象，如下图，

是 \scriptstyle t\in\left(0,{(1)/(4)}\right) ，设 \scriptstyle x_{1}<0<x_{2}<x_{3} ，则 x_{2}~,~x_{3} 是-x^{2}+x=t 的两个根，关于 x={(1)/(2)} 对称，故 x_{2} +x_{3}=1 ，下面求 x_{1} 的范围： \left\{\begin{array}{l l}{{2x_{1}^{2}-x_{1}=t,}}\\ {{}}\\ {{x_{1}<0,}}\end{array}\right. 解得\scriptstyle x_{1}={(1-{√(1+8t)})/(4)} ，因为 \iota\in\left(0,(1)/(4)\right) 所以 1+8t\in (1,3),所以 1-√(1+8t)\in(1-√(3),0) ，故 x_{1}\in \left((1-√(3))/(4),0\right) ，所以 x_{1}+x_{2}+x_{3}\in\left((5-√(3))/(4),1\right).

.C解析：由隐对称点的定义可知函数 f(x) 的图象上存在关于原点对称的点，设 g\left(x\right) 的图象与函数 f(x)=x^{2}+4x\left(x>0\right) 的图象关于原点对称，令 x{<}0 ，则 -{\boldsymbol{x}}>0 ，所以 f\left(-x\right)=x^{2}- 4x ，所以 g\left(x\right)=-f\left(-x\right)=-x^{2}+4x\left(x< f(x)=\left\{\begin{array}{l l}{{x^{2}+4x\:,x>0}}\\ {{}}\\ {{m x+2\:,x<=slant0\:,}}\end{array}\right.
0)，因为 又 f\left(0\right)=2\neq
f(x)=\left\{\begin{array}{l l}{x^{2}+4x,x>0}\\ {\qquad}\\ {m x+2,x<=slant0}\end{array}\right. ，
-f(0) ，所以函数 的图象存在“隐对称点”等价于 g\left(x\right) 与 f\left(x\right) 在(-∞,0) 上有交点，即方程 m x+2=-x^{2}+ 4x\left(x<0\right) 有零点，则 m=-x-{(2)/(x)}+4 ，又 \_x- (2)/(x){+}4{>=}2√(-xx\left(-(2)/(x)\right))+4{=}2√(2)+4 ，当且仅当 -{_{x}}=-{(2)/(x)} ,即x=一√等号成立,所以m≥2{√(2)}+4.

由 f{\Bigg(}{(1)/(2)}{\Bigg)}={(1)/(4)} ，当关于 x 的方程 f\left(x\right)=t C t\in {\bf R}) 恰有三个互不相等的实数根时， \mathbf{\Psi}_{t}\mathbf{\Psi}_{t} 的取值范围

3.0 解析： f(x)={(2)/(1+e^{-2x)}}-1={(2e^{2x})/(e^{2x)(1+e^{-2x})}}-1 =(2e^{2x})/(1+e^{2x)}-1=(e^{2x}-1)/(e^{2x)+1} 由 y={(e^{2x}-1)/(e^{2x)+1}} 可得 ye^{2x}+ y=1-e^{2x} ，可得 e^{2x}=(1-y)/(1+y) ，由 e^{2x}=(1-y)/(1+y)>0 可得1 (y-1)/(y+1)<0 ，解得 -1{<}y{<}1 ，故tanh函数的值域为 (-1,1) 即 -1{<f\left(x\right)<}1 ，则 \mid f(x)\mid< 1,y=\vert f(x)\vert-1<0 ，此时，函数 y=\vert f(x)\vert- 1没有零点，函数 y=\vert f(x)\vert-1 的零点有0个.

活动二

.ABC解析：对于A，当 {\mathit{x}}<=slant1 时， 2x^{2}=x\Rightarrow x= 2x=0,显然本选项函数是“不动点”函数;对于 B,f(x)=e^{x}+2(x-1)=x{\Rightarrow}e^{x}+x-2=0. 设 g\left(x\right)=e^{x}+x-2 ,显然该函数是实数集上的增函数，因为 g\left(0\right)g\left(1\right)=\left(-1\right)x\left(e{-1}\right)<0 ，所以该函数在(0,1)内有唯一零点，即方程 e^{x}+x -2=0 有唯一实数解，因此本选项函数是“不动点”函数；对于C,令 f(x)=a x-\ln x-a=x{\Rightarrow} (a-1)_{X}-\ln x-a=0 ，设函数 h\left(x\right)=\left(a-1\right)x -\ln x-a ，因为 0{<}a{<}1 ，所以该函数是减函数，又因为 h\left(1\right)h\left((1)/(e)\right)=-\left[\left(a-1\right)(1)/(e)+1-a\right] =-(a-1)\left({(1)/(e)}-1\right)<0 ,所以该函数在(0,1)内有唯一零点，即 (a-1){x}-\ln{x}-a=0 有唯一实数解，因此本选项函数是“不动点”函数；对于D，令 f(x)=x+(2)/(x)=x\Rightarrow x\in\emptyset 所以本选项函数不是“不动点”函数.

5.解：(1)函数 f\left(x\right)=2^{x} 是倒函数，理由如下：因为函数 f(x) 的定义域为 bf{R} ，因为对任意的 x\in\mathbf{R},f(x)* f(-x)=2^{x}*2^{-x} =1 ，所以函数 f\left(x\right)=2^{x} 是倒函数.

(2)当 _{x>0} 时， -\boldsymbol{x}<0 ，
因为当 x{<=slant}0 时， * f(x)={(1)/(3^{-x)+x^{4}}} x,所以f(一x)
={(1)/(3^{-(-x))+(-x)^{4}}}{=}{(1)/(3^{x)+x^{4}}},
由倒函数的定义 f(x)\bullet f(-x){\bmod{1}} ，可得 f(x)
={(1)/(f(-x))}{=}3x+x^{4},
综上，函数 f ( x ）的解析式为 f ( x ）
={\left\{\begin{array}{l l}{\displaystyle{(1)/(3^{-x)+x^{4}}},x<=slant0,}\\ {\quad}\\ {\displaystyle{3x+x^{4}},x>0.}\end{array}\right.} (3)方程 f\left(x\right){=}2~025 有正整数解，理由如下：当 x{>}0 时 ,f(x)=3^{x}+x^{4} ，因为函数 y=3^{x} ， y \scriptstyle=_{X}{}^{4} 在 (0,+∞ )上均单调递增，所以函数 f(x) =3^{x}+x^{4} 在 (0,+∞ )上单调递增，
又因为 f\left(5\right)=3^{5}+5^{4}=868<2~025,f\left(6\right)=3^{6} +6^{4}=2\ 025,f(7)=3^{7}+7^{4}=4\ 588>2\ 025, 所以 x=6 是方程 f\left(x\right)=2\ 025 的一个正整数解，
由函数单调性的一一对应关系可知， x=6 是方程 f\left(x\right)=2~025 的唯一正整数解.

阶段滚动检测卷（四）

答案速对

12.4
13.-2
14.[8√2,12)

试题精析

1.C解析：由题意得， P=\left\{0,1,2,3,4\right\},Q=\left\{x\mid\right. -3{<=slant}x{<=slant}2\} ，所以 P\cap Q=\{0,1,2\} .故选C.

.C解析：对于A，因为幂函数 y=x^{a} 在（0，+∞) ）上是严格增函数，所以 \vert a>0 ，故选项A错误；
对于B,若 a=3 ，则 y=x^{3} ，当 x=-1 时， y= (-1)^{3}=-1,y=x^{3} 不经过 (-1,1) ，故选项B错误；
对于C，若 a=(2)/(3) ，则 y=x^{(2)/(3)} ，当 x=-1 时， y= (-1)^{(2)/(3)}=sqrt[3]{(-1)^{2}}=1,y=x^{(2)/(3)} 经过(一1,1),故选项C正确；
对于D，若 a={(3)/(2)} ，则 y=x^{(3)/(2)} ，定义域为（0，+∞ ），不符合题意，故选项D错误.
故选C.
3.D解析：令 f(x)=\log_{(1)/(2)}{(\mid x\mid-1)} ，由 \lvert\boldsymbol{x}\rvert-1
>0\Rightarrow|\boldsymbol{x}|>1\Rightarrow x>1 或 x{<}{-}1 ，所以 f(x) 的定义域为 (-∞,-1)\cup(1,+∞) ，故可以排除AB选项，令 x=4 有 f(4)=\log_{2}^{1}{\left(\left|4\right|-1\right)}=\log_{2}^{1}{3}<0 ，故C错误,D正确.故选D.

4.A解析：若 \log_{2}a>\log_{2}b ，可得 a>b>0 ，则有a^{2}>b^{2} 成立；反之若取 a=-2,b=1 ，显然满足 a^{2}>b^{2} ，但\log_{2}a 没有意义.故 \log_{2}a>\log_{2}b 是 a^{2}>b^{2} 的充分不必要条件.故选A.

5.D 解析： f(x)={(|x^{2}-1|)/(x-1)} =\left\{\begin{array}{l l}{x+1,x\in\left(-∞,-1\right]\cup\left(1,+∞\right),}\\ {\qquad\quad}\\ {-x-1,x\in\left(-1,1\right),}\end{array}\right. 分别画出函数 f\left(x\right),g\left(x\right) 的图象如图所示，

由图象可以看出， g\left(x\right)=k x-2 的图象恒过A\left(0,-2\right) ，设 B(1,2) ，则直线 _{A B} 的斜率为4，① 当 0{<}k{<}1 时，函数 f\left(x\right),g\left(x\right) 的图象有两个交点，
即方程 f\left(x\right){=}g\left(x\right) 有两个不同的实数根；② 当 k=1 时，函数 f\left(x\right),g\left(x\right) 的图象有一个交点，
即方程 f\left(x\right){=}g\left(x\right) 有一个实数根；
③ 当 1{<}k{<}4 时，函数 f\left(x\right),g\left(x\right) 的图象有两个交点，
即方程 f\left(x\right)=g\left(x\right) 有两个不同的实数根；
④ 当 k{<=slant}0 时，函数 f\left(x\right),g\left(x\right) 的图象有一个交点，即方程 f\left(x\right){=}g\left(x\right) 有一个实数根.
综上，实数 k 的取值范围是 0{<}k{<}1 或 1{<}k{<}4 ，故选D.

6.A 解析：因为 f \begin{array}{r l}{bf{(it{x})}}&{{}=}\end{array} {\left\{\begin{array}{l l}{\displaystyle|x+1|-1,x\in\left(-∞,0\right),}\\ {\displaystyle\ln\left(x+1\right),x\in\left[0,+∞\right),}\end{array}\right.} 作出函数的图象，如图所示，

所以当 x\in(-∞,0) 时， f\left(x\right)>=slant f\left(-1\right)= -1 ；当 x\in[0,+∞) 时 ,f(x)>=slant f(0)=0 ，故函数 f(x) 的值域为 [-1,+∞) ，
设 \boldsymbol{b}\in\mathbf{R} ，若存在 {\boldsymbol{a}}\in\mathbf{R} ，使得 f\left(a\right)+g\left(b\right)=0 成立，即 f(a)=-g(b) ，只需 -g(b)>=slant-1 ，即对于 b\in\mathbf{R} ，满足 -g\left(b\right)=-b^{2}+4b+4>=slant -1 成立，
即 b^{2}-4b-5=(b-5)(b+1)<=slant0 ，解得 -1<=slant b{<=slant}5 ，
所以实数 b 的取值范围为 [-1,5] ，
故选A.

7.C解析：设 t=f(x) ，作出函数 t=f\left(x\right) 的图象如下图所示：

由于关于 x 的方程 [f(x)]^{2}+a\ \bullet\ f(x)+b=0
(a,b\in\mathbf{R}) ，有且只有7个不同实数根，
则关于 \mathbf{\chi}_{t}^{} 的二次方程 t^{2}+a t+b=0 必有两根，其
中 t_{1}=1 ，且 t_{1}+t_{2}=-a\Rightarrow t_{2}=-a-1\in\Big((1)/(4), (1)/(4)<-a-1<1 ,解得 -2<a<-(5)/(4) ，
因此，实数 \mathbf{\Delta}_{a} 的取值范围是 \left(-2,-{(5)/(4)}\right)
故选C.

8.B解析：函数 f(x) 的定义域为 (1,+∞) ，任取 x_{1} _1,x_{2}\in(1,+∞) ，且 x_{1}<x_{2} ，则 f(x_{1})- \begin{array}{l}{{f(x_{2})=ln\ \left(x_{1}-1\right)+x_{1}-2-\left[ln\ \left(x_{2}-1\right)+x_{2}\right.}}\\ {{\left.~-2\right]=ln\ \left(x_{1}-1\right)-ln\ \left(x_{2}-1\right)+\left(x_{1}-x_{2}\right),}}\end{array} 因为 1{<x_{1}<x_{2}} ,所以 \scriptstyle0<x_{1}-1<x_{2}-1,x_{1}- x_{2}<0 ,所以1 \mathfrak{n}\ (x_{1}-1)-\ln\ (x_{2}-1)<0 ，所以

f(x_{1})-f(x_{2}){<}0,
即 f(x_{1}){<}f(x_{2}) ，所以 f(x) 在 (1,+∞ )上单调递增，
由 f(2)=0 ，知 f(x) 只有一个零点2，
因为函数 f(x) 与 g\left(x\right) 互为“零点相邻函数”，所以 g\left(x\right)=x^{2}-a x+4 在[1,3]上存在零点，则 \Delta=a^{2}-16>=0 ,解得 \scriptstyle a>=slant4 或 a<=slant-4 ，
当 \varDelta=0 ，即 a=±4 时， g\left(x\right) 存在唯一零点，当a=4 时，零点为 2\in[1,3] ,符合题意；当 a=-4 时，零点为 -2\notin[1,3] ,不符合题意；
当 \Delta>0 ，即 a>4 或 \ensuremath{\boldsymbol{a}}<-4 时，令 g\left(1\right)=0 ，则a={(13)/(3)}
a=5 ，令 g\left(3\right)=0 ，则
3’
若 g\left(x\right) 在 (1,3)上只有 1 个零点，则 g\left(1\right)g\left(3\right) {<}0 ，即 (5-a)(13-3a)<0 ，解得 (13)/(3)<a<5 ，若 g ( x ）在（1，3）上有2个零点，则[g(1)=5-a>0,
1 <3, 解得 2{<}a{<}(13)/(3) ，所以 4{<}a 2
[g(3)=13-3a>0,
<{(13)/(3)}.

综上，实数 \scriptstyle a 的取值范围是[4,5].故选B.

9.AC解析：由 \log_{(1)/(2)}^{1}(a-1)>\log_{(1)/(2)}^{1}(b-1) ，得 0< a-1<b-1 ，则 1{<a<}b ，对于 A,3^{a}<3^{b} ，故选项A正确；对于B，令 \scriptstyle a=2,b=3 ，则 \left(a-b\right)\left(a+b-2\right)<0 ，故选项B错误；对于 c,2b-1>2a-1>1 ，则 (1)/(2a-1)>(1)/(2b-1) 26-1，故选项C正确；

对于D，若 a=1.5,b=2 ，则 sqrt[3]{(a-2)^{2}}>0= sqrt[3]{(b-2)^{2}} ,故选项D 错误.
故选AC.

10.BC解析：函数 f(x)=\mid\log_{2}{(x-1)}\mid 与 y=m 在同一坐标系中图象如图，可得 1<x_{1}<2,x_{2}>2,\mid\log_{2}{(x_{1}-1)}\mid= \mid\log_{2}{(x_{2}-1)}\mid=m,

从而 -\log_{2}{(x_{1}-1)}=\log_{2}{(x_{2}-1)} ，
所以 \left(x_{1}-1\right)\left(x_{2}-1\right)=1 ，得 x_{1}+x_{2}=x_{1}x_{2} ，故选项A错误，B正确；
由 x_{1}+x_{2}=x_{1}x_{2} 可得 x_{2}={(x_{1})/(x_{1)-1}}=1 \begin{array}{l}{+\displaystyle(1)/(x_{1)-1},}\\ {\displaystyle}\\ {2x_{1}+x_{2}=2x_{1}+1+\displaystyle(1)/(x_{1)-1}=2\left(x_{1}-1\right)+}\\ {\displaystyle}\\ {\displaystyle(1)/(x_{1)-1}+3,}\end{array} 设 x_{1}-1=t ，则 \scriptstyle0<t<1 ，
g\left(t\right)=2t+(1)/(t)+3 ，由对勾函数单调性可知g(t)在 \left(0,{(√(2))/(2)}\right) 递减，在 \left({(√(2))/(2)},1\right) 递增，
所以 g\left(t\right) 在 t={(√(2))/(2)} 处取最小值，最小值为 ^{3+} 2 √(2) ,故选项C正确；
由 {}x_{1}+x_{2}=x_{1}x_{2} 可得 {(1)/(x_{1)}}{=}(x_{2}-1)/(x_{2)}{=}1{-}(1)/(x_{2)} x_{2}-{(2)/(x_{1)}}=x_{2}+{(2)/(x_{2)}}-2\left(x_{2}{>}2\right),{√(\mathscr{n)}}\ x_{2}+{(2)/(x_{2)}}-2 在 (2,+∞ )上递增，所以无最小值，故选项D错误.
故选BC.

11.ACD解析：令 \scriptstyle y=f(x)-k=0 ，则 f(x)=k ，函数 y=f(x)-k 的零点即为 y=f(x) 与 y= k 图象交点的横坐标，作出函数 y=f\left(x\right) 的图象，如图所示，

则 \scriptstyle x_{1}<0<x_{2}<=slant1<x_{3}<2<x_{4} ,且 0<k<=slant(1)/(2) 对于A，因为 f~bf{(}x_{1}bf{)}=bf{}f~bf{(}x_{2}bf{)} ，即\left|\left({(1)/(2)}\right)^{x_{1}}-1\right|=\left|\left({(1)/(2)}\right)^{x_{2}}-1\right| ，且 x_{1}<0<x_{2} <=slant1 ，
所 \nuλ\left((1)/(2)\right)^{x_{1}}-1>0,\left((1)/(2)\right)^{x_{2}}-1<0 可得 \left({(1)/(2)}\right)^{x_{1}} -1+\left((1)/(2)\right)^{x_{2}}-1=0,
整理得 2=\left((1)/(2)\right)^{x_{1}}+\left((1)/(2)\right)^{x_{2}}> 2{√(\left({(1)/(2))\right)^{x_{1}}*\left({(1)/(2)}\right)^{x_{2}}}}\quad=\quad2\quad{√(\left({(1)/(2))\right)^{x_{1}+x_{2}}}} ，即\left({(1)/(2)}\right)^{x_{1}+x_{2}}<1 ，所以 x_{1}+x_{2}>0 ,故选项A正确。
对于B，因为 f(x_{3}){}=f(x_{4}) ，即 \vert\log_{4}\left(x_{3}-1\right)\vert =|\log_{4}{(x_{4}-1)}| ，且 1{<}x_{3}{<}2{<}x_{4} ，则 0{<}x_{3} -1{<}1{<}x_{4}-1
所以 \log_{4}{(x_{3}-1)}+\log_{4}{(x_{4}-1)}=\log_{4}{\stackrel{.}{\left[\left(x_{3}-1\right)\right.}} 1)(x_{4}-1)]=0 ，即 \displaystyle(x_{3}-1)(x_{4}-1)=1 ，
可得 x_{3}+x_{4}=x_{3}x_{4}<((x_{3}+x_{4})^{2})/(4) ，解得 x_{3}+ _{x_{4}>4} ,故选项B错误.
对于C，因为 f\ (x_{2}\ )=f\ (\ x_{4}\ )=k ，所以-{\biggl(}{(1)/(2)}{\biggr)}^{x_{2}}+1=\log_{4}\left(x_{4}-1\right)=k ，解得 x_{2}= -\log_{2}{(1-k)},x4=4k+1 ，则 x_{2}+x_{4}=4k+1 -\log_{2}\left(1-k\right),0<k<=slant(1)/(2),
设 h\left(k\right)=4^{k}+1-\log_{2}\left(1-k\right),0<k<=slant(1)/(2),
因为 y=4^{k}+1,y=-\log{~_{2}}(1-k) 在 \left(0,{(1)/(2)}\right]\operatorname{\mathbb{E}} 单调递增，
所以 h\left(k\right)=4^{k}+1-\log_{\mathit{\Omega}^{2}}(1-k) 在 \left(0,{(1)/(2)}\right] 上单调递增,且 h\left(0\right)=2,h\left((1)/(2)\right)=4,
所以 2{\<}h\left(k\right){<=slant}4 ，即 2<x\sb{2}+x\sb{4}<=slant4 ,故选项C正确.
对于D,方程 f(f(x))-t=0 ，即 f(f(x))= t ，令 m=f(x) ，则 f(m)=t ,注意到 f{\Bigg(}{(1)/(2)}{\Bigg)}=1 \begin{array}{c}{\displaystyle{-(√(2))/(2),}}\end{array}
若 t{<}0 ，则方程 f(m)=t 无实根，即方程 m= f\left(x\right) )无实根，故方程 f(f(x)){-}t{=}0 无实根；若 t=0 ,则方程 f(m)=t 有2个不相等的实根0,2,且 f\left(x\right)=0 有2个不相等的实根， f(x) =2 有3个不相等的实根，故方程 f(f(x))-t =0 有5个不相等的实根；
\scriptstyle0<t<=slant1-{(√(2))/(2)}
若 ，则方程 f(m)=t 有4个不相等的实根,从小到大依次记为 m_{1},m_{2},m_{3},m_{4} ，则 m_{1}<0<m_{2}<(1)/(2)<1<m_{3}<2<m_{4} ，且 f(x) \mathbf{λ}=m_{~1~} 无实根， f(x)=m_{2} 有4个不相等的实根，f(x){=}m_{3} 和 f\left(x\right)=m_{4} 均有3个不相等的实根，故方程 f(f(x))-t=0 有10个不相等的实根；
1-(√(2))/(2)<t<=slant(1)/(2) ，则方程f(m）=1 有 4 个不相等的实根,从小到大依次为 m_{1},m_{2},m_{3},m_{4} ，则 m_{1}<0<(1)/(2)<m_{2}<=slant1<m_{3}<2<m_{4} 且 f(x) \mathbf{λ}=_{m_{1}} 无实根， f\left(x\right)=m_{^2},f\left(x\right)=m_{^3} 和 f(x) \d s=m_{~4~} 均有3个不相等的实根，故方程 f(f(x)) -\boldsymbol{t}=0 有9个不相等的实根；
若 t>(1)/(2) ,则方程 f(m)=1 有 3 个不相等的实根，从小到大依次记为 m_{1},m_{2},m_{3} ，则 m_{1}<0< 1{<}m_{2}{<}2{<}m_{3}
且 f\left(x\right)=m_{1} 无实根， f(x)=m_{2} 和 f\left(x\right)=m; 3均有3个不相等的实根，故方程 f(f(x))-t =0 有6个不相等的实根.
综上所述，方程 f(f(x))-t=0 最多有10个不相等的实根，故选项D正确.
故选ACD.

12.4解析：设对区间[2，3]二等分 n 次，初始区间长度为1，第 1 次计算后区间长度为 (1)/(2) 第 2 次计算后区间长度为 (1)/(2^{2)}=0.25 ；第3次计算后区间长度为 (1)/(2^{3)}=0.125 第4次计算后区间长度为 (1)/(2^{4)}=0.062\ 5<0.1 ，故至少计算4次.

13.—2解析：由 f(x+1)=f(1-x) 及 f(-x) =-f(x) ，得 f(-x)=f(2+x)=-f(x) ， 则 f(x+4)=-f(x+2)=f(x) ， 又 \log_{2}2^{4}<\log_{2}20<\log_{2}2^{5} ，即 4{<}\log_{2}20{<}5 ， 则 4-\log_{2}20\in(-1,0) ，所以 f\left(\log_{2}20\right)= {\begin{array}{r l}&{f(\log_{2}20-4)=-f(4-\log_{2}20)=-\left(2^{4-\log_{2}20}\right.}\\ &{\left.+{(6)/(5)}\right)=-\left(2^{\log_{2}{(4)/(5)}}+{(6)/(5)}\right)=-2.}\end{array}}

14.[8 √(2) ,12）解析：作函数 f(x) 的图象如下图所示：

由图象可知，方程 f\left(x\right)=a 有四个不同的解
x_{1},x_{2},x_{3},x_{4} ，且 \scriptstyle x_{1}<x_{2}<x_{3}<x_{4} ，
需满足 1{<}a{<}2 ，
则由二次函数的对称性可知， ,x_{1}+x_{2}=-2 ，
由对数函数的图象及性质可知， (1)/(4)<x_{3}<(1)/(2),
<x_{4}<4,\mid\log_{2}x_{3}\mid=\mid\log_{2}x_{4}\mid,
则 -\log_{2}{x_{3}}=\log_{2}{x_{4}},x_{3}x_{4}=1 ，
所以 x_{4}\mid x_{1}+x_{2}\mid+(16)/(x_{3)x_{4}^{2}}=2x_{4}+(16)/(x_{4)}(2<x_{4}<
4)，
而函数 y=2x+(16)/(x)=2\biggl(x+(8)/(x)\biggr) 在 (2,2{√(2)} 上
递减， [2√(2) ,4)上递增，
当 x=2{√(2)} 时， y_{min}=8√(2) ，当 \scriptstyle x=2 或4时， y=
12,故其取值范围为 [8√(2),12) ：

15.解：(1)因为 f(1)=1 ，

所以 \log_{4}{(a+5)}=1 ，所以 a+5=4,a=-1 所以 f(x){=}\log_{4}{(-x^{2}+2x+3)} ，
由一 x^{2}+2x+3>0 ，得 -1{<}x{<}3 ，故函数的定义域为 (-1,3) ：
设函数 u=-x^{2}+2x+3 ,则其在区间（一1,1]上单调递增，在区间[1,3)上单调递减.
又函数 _{y}=\log_{4}u\left(u>0\right) 为增函数，
所以 f(x) 的单调递增区间是（一1,1]，单调递减区间是[1,3).

(2)假设存在实数 \mathbf{α}_{a} ，使 f(x) 的最小值为0，则函数 h\left(x\right)=a x^{2}+2x+3 应有最小值1，因此应有 \left\{\begin{array}{l l}{{a>0,}}\\ {{\ }}\\ {{(12a-4)/(4a)=1,}}\end{array}\right. a=(1)/(2) ，故存在实数 a={(1)/(2)} ，使 f(x) 的最小值为0.

16.解：(1)因为函数 f\left(x\right)=2^{x} 为“保1值函数”，所以存在 x_{0} ，使得 f(x_{0}+1)=f(x_{0})+f(1) 即 2^{x_{0}+1}=2^{x_{0}}+2 ，故 2^{x_{0}}=2 ，解得 {\boldsymbol x}_{0}=1 ：

(2） ① 函数 f\left(x\right)=x+{(1)/(x)} 不是“保 k 值函数”理由如下：若函数 f(x)=x+{(1)/(x)} 是“保 k 值函数”，则存在实数 {\boldsymbol x}_{0}\neq0 ，使得 f(x_{0}+k)=f(x_{0})+f(k) ，即 x_{0}+k+(1)/(x_{0)+k}=x_{0}+(1)/(x_{0)}+k+(1)/(k) ，化简得x_{0}^{2}+k x_{0}+k^{2}=0 当 k\neq0 时， \Delta=-3k^{2}<0 ，方程无解；当 k=0 时， {\boldsymbol{x}}_{0}=0,f({\boldsymbol{x}}_{0}) 无意义.综上，函数 f(x)=x+{(1)/(x)} 不是“保 k 值函数”② 函数 f(x)=\ln{(a)/(e^{x)+1}} 是“保2值函数”.

若函数 f\left(x\right)=\ln{(a)/(e^{x)+1}} 是“保2值函数”，则
f(x) )在其定义域内存在实数 x_{0} ，使得 f(x_{0}+
2)=f(x_{0})+f(2) ，即 \ln{(a)/(e^{x_{0)+2}+1}}=\ln{(a)/(e^{x_{0)}+1}}
+\ln{(a)/(e^{2)+1}}
民 {\mathfrak{p}}{(a)/(e^{x_{0)+2}+1}}{=}{(a)/(e^{x_{0)}+1}}*{(a)/(e^{2)+1}},
整理可得 e^{x_{0}}={(e^{2}-a+1)/((a-1)e^{2)-1}}
由 e^{x_{0}}>0 ，解得 (e^{2}+1)/(e^{2)}{<}a<e^{2}+1
故当 (e^{2}+1)/(e^{2)}<a<e^{2}+1 时，函数 f\left(x\right)=
In (a)/(e^{x)+1} 是“保2值函数”

17.解：(1)函数 _{y}=3-x 是减函数，当 x{<}0 时， y {>}3 ；函数 _{y}=\ln{x} 是增函数，当 0{<}x{<}e 时， _{y<1} ，所以 M=(-∞,1)\cup(3,+∞) ：(2)设 t=2^{x} ，则 y=t^{2}-2t=(t-1)^{2}-1 ：因为 _{x}\in M ，所以 _{x<1} 或 _{x>3} ，所以 t\in(0,2) \cup(8,+∞) ：当 \iota\in(0,2) 时， _{y}\in[-1,0) ；当 t\in(8,+∞) 时， y\in(48,+∞) ：故函数 y=t^{2}-2t 的值域为[一1,0）U（48，+∞) ：故函数 g\left(x\right) 的值域为 [-1,0)\cup(48,+∞). (3)函数 h\left(x\right)=4^{x}-2^{x+1}-b 有零点等价于方程 4^{x}-2^{x+1}-b=0 有实数根，即方程 4^{x}-2^{x+1}=b 有实数根，等价于直线 y=b 与函数 y=g\left(x\right)\left(x\in M\right) 的图象有交点.

由(2)知 \begin{array}{r}{g\left(x\right)\in\left[-1,0\right)\bigcup\left(48,+∞\right)}\end{array} ，所以当且仅当 b\in[-1,0)\cup(48,+∞) 时，函数 h\left(x\right) =4^{x}-2^{x+1}-b 有零点.
结合一元二次函数的图象与性质及(2)可得，当 t\in(0,1] 时，函数 y=t^{2}-2t 单调递减，当 \mathbf{\Psi}_{t} \in[1,2) 时，函数 y=t^{2}-2t 单调递增，当 t\in (8， +∞) 时，函数 y=t^{2}-2t 单调递增.
所以当 b=-1 或 b\in(48,+∞) 时，函数只有一个零点；
当 b\in(-1,0) 时，函数有两个零点.

18.(1)解：因为 f\left(x\right) 为偶函数，所以 f\left(x\right)= f(-x) ，即 3^{x}+a*3^{-x}=3^{-x}+a*3^{x} 恒成立，所以 a=1. 经检验， a=1 符合题意.

(2)解：由(1)可得 f(x)=3^{x}+3^{-x}
设 3^{-x}+3^{x}=t ，则 t\in[2,+∞)
不等式 f\left(2x\right)-m f\left(x\right)>=slant0 恒成立，等价于t^{2}-m t-2>=0 ，即 m<=slant t-{(2)/(t)} 在 t\in[2,+∞) 上恒成立.
因为 y=t-{(2)/(t)} 在 [2,+∞] )上单调递增，所以\left(t-(2)/(t)\right)_{\operatorname*{min}}=2-(2)/(2)=1,
故 m{<=slant}1 ，即实数 \mathbf{\Psi}_{m} 的取值范围为 (-∞,1] (3)证明：易得 g\left(x\right)=3^{x}+x-3 ，易知 g\left(x\right) 在R上单调递增，
因为 g\left(\log_{3}2\right)=2+\log_{3}2-3<0,g\left(\log_{3}2.5\right) =2.5+\log_{3}2.5-3>\log_{3}√(3)-0.5=0,g\left(x\right) 的图象连续不断，
所以由函数零点存在定理可得 x_{0}\in(\log_{3}2 ，log_{3}2.5) ，

令 u=3^{x} ， \log_{3}2{<x<}\log_{3}2.5 ，则 2{<}u{<}2.5 ， 易知 _{y=u+(1)/(u)} 在(2,2.5)上单调递增，则 f(x) 在 (\log_{3}2,\log_{3}2.5) 上单调递增， 所以 f(\log_{3}2){<}f(x_{0}){<}f(\log_{3}2.5) ，即 (5)/(2)< f(x_{0}){<}(29)/(10).

解：(1)由题图可知，该函数的增长速度较慢，对于模型 (~I~),y=k x+b(k>0) ，为线性增长，不合题意；
对于模型 (~II~)_{\it y}=k~\bullet~2^{x}+b(k>0) ，是指数型的函数，其增长是先慢后爆炸型增长，不合适；对于模型 (\mathbb{I})_{y}=_{k}\bullet\log_{2}\left((x)/(10)+2\right)+_{n}(_{k}>0), 对数型的函数增长速度较慢，符合题意，故选模型（Ⅲ)，
此时，所求函数过点 (0,0),(20,2) ，
则 \left\{\begin{array}{l}{{k\log_{2}2+n=0,}}\\ {{{}}}\\ {{k\log_{2}\left(\displaystyle(20)/(10)+2\right)+n=2,}}\end{array}\right. 解得 k=2,n=-2 ，
故所求函数为 y=2\log_{2}({(x)/(10)}+2\O\Big)-2
经检验，当 x=60 时， y=2\ \log_{2}\left({(60)/(10)}+2\right)-2= 4，符合题意.
综上所述，函数的解析式为 y=2~\log_{2}{\left((x)/(10)+\right.} ^2)-2 ，(2)由(1)得 y=2\log_{2}\left({(x)/(10)}+2\right)-2 ，因为每天得分不少于3分，
所以 2\ \log_{2}\left({(x)/(10)}+2\right)-2>=slant3 ，即 \log_{2}{\left((x)/(10)+\right.} 2\neq(5)/(2) 所以 {(x)/(10)}+2>=2^{(5)/(2)}=4{√(2)} ,即 x>=slant40{√(2)}-20\approx40 x1.414-20=36.56,
所以每天得分不少于3分，至少需要锻炼37分钟.

单元重构项目卷(六)

项目一

活动一

1.B解析：由两类生产线的产量比例采用分层抽样方法随机抽取一个容量为80的样本进行质量检测，其中高能量密度锂电池有35支，则低能量密度锂电池为45支，又由两条线的日总产量为400支锂电池，所以低能量密度锂电池的日产量为 400x{(45)/(80)}=225( （支）

2.C解析：对于A，从 2017-2023 年中国新能源汽车市场规模数据看新能源汽车市场规模逐年增长，A正确；对于B，数据从小到大排列为1.6，2.8，3.0，3.4，6.0，9.9，11.5，共7个数据，其中位数为第4个数据3.4，B正确；对于C,2021年增长是为 9.9-6.0=3.9,2022 年增长1.6,2023年增长6.9，2024年增长4.7，从增长量上看并不是逐年增加，无法预计2025年的增长量最大，C错误；对于D，从数据上看，市场规模前期增长缓慢，后期增长较快，为指数函数型增长，D正确.

活动二

3.A解析：由题意： {\overline{{x}}}={(1)/(8)}\sum_{i=1}^{8}x_{i}=4,s_{x}^{2}={(1)/(8)} \sum_{i=1}^{8}(x_{i}-4)^{2}=4 ，则 \sum_{i=1}^{8}(x_{i}-4)^{2}=\sum_{i=1}^{8}(x_{i}^{2}-8x_{i}+ 16)=32 即 \sum_{i=1}^{8}x_{i}^{2}-\sum_{i=1}^{8}(8x_{i})+8x16=32 ，所以\sum_{i=1}^{8}x_{i}^{2}=32+8x32-8x16=160. 所以 {\overline{{y}}}={(1)/(8)} \begin{array}{l}{{\displaystyle\sum_{i=1}^{8}(-2x_{i}^{2}+12x_{i})=(1)/(8)(-2\sum_{i=1}^{8}x_{i}^{2}+12\sum_{i=1}^{8}x_{i})=}}\\ {{\displaystyle\qquad}}\\ {{\displaystyle(1)/(8)(-2x160+12x32)=8.}}\end{array}

.解： (1){\overline{{x}}}=
9.7+10+9.7+9.6+9.7+9.9+10.2+10.1+10+10.1 10
=9.9 ， s^{2}={(1)/(10)}\left[(9.7-9.9)^{2}\right.+(10-9.9)^{2}\left.\right.+\quad (9.7-9.9)² + (9.6-9.9)² + (9.7-9.9)²+(9.9-9.9)^{2}\:+\:(10.2-9.9)^{2}\:+\:(10.1-9.9)^{2}\:+ (10-9.9)^{2}+(10.1-9.9)^{2}]=0.04.
(2)因为 |{\overline{{x}}}-10|^{2}=0.1^{2}=0.01,\left(3.25{√((s^{2))/(10)}}\right)^{2}= (3.25)^{2}x(0.04)/(10){=}0.042\ 25 ，所以 |\overline{{x}}-10|<3.25 ·√ 故采用新工艺生产的药品的有效成分达标.

项目二

活动一

.A解析：由题意可得该校高一年级的学生人数为 6~000x30%=1~8 00，肥胖人数为 1~800x 14%=252 ；高二年级的学生人数为 6~000x(1- 30%-40%)=1\ 800 ，肥胖人数为 1\ 800x12% =216 ；高三年级的学生人数为 6~000x40%= 2400，肥胖人数为 2\ 400x10%=240 ，则A正确，B，C错误；该校所有高中学生的肥胖率是14%x30%+12%x30%+10%x40%= 11.8% ,则D错误.

2.21.615.5解析：根据题意，样本中，有90名男员工、50名女员工，该公司全体人员的BMI值的平均值 x={(90x22.1+50x20.7)/(140)}=21.6 ；方差 S^{2}=(90)/(140)[14.3+(22.1-21.6)^{2}]+(50)/(140)[16.4 +(20.7-21.6)^{2}]{\approx}15.5.

活动二

3.C解析：对于A，由图可得中国有机燕麦消费者中女性与男性占比分别为 69.2%,30.8% ，而30.8%x2=61.6%<69.2% ,故A错误；对于B，中国有机燕麦消费者月收入不高于15000元的占比为 1-4%-11.1%=84.9%<85% ,故B错误；对于C，中国有机燕麦消费者中年龄在 31~ 40岁的占比为 57.7% ，故C正确；对于D，中国有机燕麦消费者收入构成占比中的5个百分数的中位数是 11.5% ,故D错误.

.C解析：对于A，由题可知，2024年10月份食品烟酒类价格同比涨幅为 2% ，所以2024年10月份食品烟酒类价格高于2023年10月份食品烟酒类价格，故A错误；对于B，由图可知，2024年10月份教育文化娱乐类价格环比涨幅为0.2% ，所以2024年10月份教育文化娱乐类价格高于2024年9月份教育文化娱乐类价格，故B错误；对于C，2024年10月份医疗保健类价格环比涨幅为 0.0% ，即2024年10月份医疗保健类价格等于2024年9月份医疗保健类价格，又2024年10月份医疗保健类价格同比涨幅为1.1% ，所以2024年10月份医疗保健类价格高于2023年10月份医疗保健类价格，故C正确；对于D，2024年10月份居住类价格环比涨幅为0.0% ，即2024年10月份居住类价格等于2024年9月份居住类价格，又2024年10月份居住类价格同比涨幅为 -0.1% ，所以2024年10月份居住类价格低于2023年10月份居住类价格，故D错误.

.A解析：甲、乙的得分从小到大排列如下：甲：7.0,8.3,8.9,8.9,9.2,9.3,乙:8.1,8.5,8.6,8.6,8.7，9.1，甲得分的中位数为8.9，乙得分的中位数为8.6，甲得分的中位数大于乙得分的中位数，故 ~C~ 正确；甲得分的众数为8.9，乙得分的众数为8.6，甲得分的众数大于乙得分的众数，故B正确；甲得分的平均数为 (7+8.3+8.9+8.9+9.2+9.3)/(6) \quad8\quad ：6，乙得分的平均数为(8.1+8.5+8.6+8.6+8.7+9.1)/(6)=8.6 ，所以甲得分的平均数等于乙得分的平均数，故A错误；由图可以看出甲得分的波动比乙大，故甲得分的方差大于乙得分的方差，故D正确.

6.解:(1)学生总数是:0.04 (2)/(0.04){=}50 （人）， a=50x0.08 =4 （人）， b=(8)/(50)=0.16 ；所以本次抽样调查的样本容量为50，成绩的中位数落在 69.5~79.5 范围内， a=4 （人）， b=0.16 ，

(2)根据(1)得出的 \mathbf{α}_{a} 的值，补图如下：

(3)3~000x(0.32+0.16)=1~440(\nearrow). 故该校汉字听写能力为优秀的约有1440人.

阶段滚动检测卷(五）

答案速对

1.37
12.3
13.(1,-2)
14.(-∞0,0)U(1,+∞)

试题精析

1.B 解析： {√(4a^{2)-4a+1}}\ =\ {sqrt[3]{(1{-}2a)^{3}}} 即{√((2a-1)^{2)}}=sqrt[3]{(1-2a)^{3}} ，可得 \mid2a-1\mid=1- 2a ，所以 1-2a>=slant0 ，即 a<=slant(1)/(2) .故实数 \scriptstyle a 的取值范围为 \left(-∞,{(1)/(2)}\right] 故选B.

2.A解析：对于A，假设 x,y 都不大于1,即 x{<=slant}1 且 y{<=slant}1 ，由不等式的性质可得 x+y{<=slant}2 ，与题设矛盾，假设不成立，故原命题为真命题；对于B，当 x=1 时， \scriptstyle x=x^{2} ,故原命题是假命题；对于C,若 a=b=0 ，则 (a)/(b) 无意义，即 a+b=0\neq =-1,故原命题是假命题；对于D，V {\boldsymbol{x}}\in\mathbf{R} ， x^{2}+2>0 ,故原命题是假命题.故选A.

3.D解析：由 x\in[-1,1] ，得 3^{x}\in\left[{(1)/(3)},3\right] 所\log_{3}x\in\left[{(1)/(3)},3\right] 所以 x\in[sqrt[3]{3} ,27].故选 D.

4.C解析：当 f(x) 在实数集上仅有一个零点， \varDelta

=4a^{2}-20=0(a>0) ，所以 a={√(5)} ，
此时零点 \boldsymbol{x}=√(5)\in[1,3] ,所以 a={√(5)} 满足；当 f(x) 在实数集上有两个零点，有一个零点在[1,3]上时， f(1)f(3){<=slant}0 ，
所以 (7)/(3){<=slant}a{<=slant}3 ，所以 a\in\left[{(7)/(3)},3\right]
当 f(x) 在[1，3]上有两个零点时，对称轴为 x =a，
\begin{array}{r l}&{\left[1<a<3,\right.}\\ &{\left.\begin{array}{l}{0}\\ {-4a^{2}-20>0,}\end{array}\right]\sinθ\sinθ\sinθ\sinθ\sinθ\sinθ\sinθ\sinθ\sinθ\sinθ\sinθ\sinθ\sinθ\sinθ\sinθθ\sinθ\sinθθ\sinθθ\sinθθ\sinθθ\sinθθ\sinθθ\sinθθ\sinθθ\sinθθ\cosθ\sinθθ\sinθθ\sinθθ\sinθθ\cosθ\sinθθ\sinθθ\sinθθ\sinθθ\sinθθ\sinθθ\sinθθ\sinθθ\sinθθ\sinθθ\sinθθ\sinθθ\sinθθ\sinθθ\sinθθ\sinθθ\sinθθ\sinθθ\sinθθ\sinθθ\sinθθ\sinθθ\sinθθ\sinθθ\sinθθ\sinθθ\sinθθ\sinθθ\sinθθ\sinθθ\sinθθ\sinθθ\sinθθ\sinθθθ\sinθθ\sinθθ\sinθθ\sinθθθ\sinθθ\sinθθ\sinθθθ\sinθθ\sinθθθ\sinθθ\sinθθθ\sinθθ\sinθθθ\sinθθ\sinθθθ\sinθθθ\sinθθ\sinθθθ\sinθθθ\sinθθθ\sinθθθθ\sinθθθ\sinθθθθθ\sinθθθθθ\sinθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ\ t o\ t o\ t o\ t o\ t o\ t o\ t o\ t o\ t o\ t o\ t o\ t o\ t o\ t o\ t o\ t o\ t o\ t o\ t o\ t o\ t o\ t o\ t o\ t o\ t o\ t o\ t o\ t o\ t o\ t o\ t o\ t o\ t o\ t o\ t o p\ t o\ t o p\ t o p\ t o p o p o p o p o p o r\ t o p l o r\ t o p l o r\ t o r\ t o r\ t o r\ t o r\ t o r\ t o r\ t o r\ t o p o r\ t o r\ t o r\ t o r\ t o r\ t o p o r\ t o r\ t o r\ t o r\ t o r\ t o r\ t o p o r\ t
所以 解得 {√(5)}<a<=slant{(7)/(3)} ，所以a\in{\left({√(5)},{(7)/(3)}\right]}.
综上所述，正数 \scriptstyle a 的所有取值的集合为 [√(5),3] 故选C.

5.A解析：因为 x_{0} 是 y=f\left(x\right)-e^{x} 的一个零点，所以 f(x_{0})-e^{x_{0}}=0 ，又因为 f\left(x\right) 为奇函数，所以 f~(~-~x_{~0~})= -f(x_{0}) ，所以 -f(-x_{0})-e^{x_{0}}=0 ，即 f(-x_{0}) +e^{x_{0}}=0 ,所以 f(-x_{0})e^{-x_{0}}+1=0 ，所以一 x_{0} 一定是 y=f\left(x\right)e^{x}+1 的零点.故选A.

6.B解析：设样本的容量为 \mathbf{\Omega}_{n} ，依题意得 {(120)/(n)}=
2+3十4,解得 n=540,所以这个样本的容量为
540.故选B.

7.D解析：对于A，由题中条形图知甲班 D 等级的人数最多，故选项A正确；对于B，由题中扇形图知乙班 A 等级的人数最

少，故选项B正确；
对于C，由题中扇形图知乙班 B 等级与 C 等级的人数相同，故选项C正确；
对于D，甲班 c 等级的有13人，乙班 \mid C\mid 等级的有 40x35%=14 （人），故选项D错误.
故选D.

8.B解析：由题图知，A组的6个数分别为2.5，10，5，7.5，2.5，10；B组的6个数分别为15，10，12.5,10,12.5,10.所以 \overline{{{x}}}_{A}=(2.5+10+5+7.5+2.5+10)/(6)=(25)/(4), 4'CB={(15+10+12.5+10+12.5+10)/(6)}={(35)/(3)} g，显然A <_{x_{B}}^{-} 由题图可知， B 组数据的分布比 A 组的集中，故B组数据比较稳定，方差较小，从而标准差较小，所以 s_{A}>s_{B} .故选B.

.ABC解析：由题意可知甲地5个数据中的3个数据，即22，22，24，设甲地的其他2个数据分别为 e,f ,且24<e<f,e, f\in\mathbf{N}_{+} ，将甲地的5个数据按从小到大的顺序排列得22,22,24，e， f ，满足进入夏季的标志.由题意可知乙地5个数据中的1个数据，即27，
设乙地的其他4个数据分别为 \boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c},d ，且 \mathbf{α}_{a} ，
b,c,d\in\mathbf{N}_{+} ， a<=slant b<=slant27<=slant c<=slant d ，将乙地的5个数据按从小到大的顺序排列得 a,b,27,c,d ，则27
+c+d>=slant1 ，又乙地5个数据的平均数是24，所以 a+b+27+c+d=120 ，故 a+b<=slant39 ，又 a<=slant
b ，所以 {\bf\Phi}_{a\:,b} 中必有一个小于22，故乙地不一定满足进入夏季的标志.

由题意可知丙地5个数据中的1个数据，即32，设丙地的其他4个数据分别为 \phi,q,r,s ，且 \boldsymbol{\mathbf{\mathit{\Pi}}}_{P} ，q,r,s\in\mathbf{N}_{+} ，则 (\Hat{p}-26)^{2}+(q-26)^{2}+(r-26)^{2} +(s-26)^{2}+(32-26)^{2}=10.2x5 ,所以 (\boldsymbol{p}- 26)^{2}+(q-26)^{2}+(r-26)^{2}+(s-26)^{2}=15 ，而当且仅当四个非负整数为1，1,2，3时，它们的平方和才为15，不妨设 \mid\boldsymbol{\mathscr{p}}-26\mid=3,\mid q-26\mid=2 ：\left|{r-26}\right|=\left|{s-26}\right|=1 ，则 \phi,q,r,s 均大于22，故丙地满足进入夏季的标志.综上，A，B，C正确，D错误，故选ABC.

0.AC解析：对于A,极差为 3.65-3.61=0.04 (cm），故选项A正确；对于B，3.62出现了3次，出现次数最多，故众数为 3.62~cm ，故选项B错误；对于C，将数据从小到大排列为3.61，3.62，3.62，3.62，3.63，3.63，3.64，3.65，则第4个和第
5 个数的平均数为中位数，即3.62+3.633.625(cm) ,故选项C正确；对于 D,8x80%=6.4 ，故 80% 分位数为3.64cm，故选项D错误.故选AC.

11.ACD解析：对于A，令 g\left(x\right)=f\left(x+1\right) ，则g\left(x\right) 是偶函数，即 g\left(-x\right)=g\left(x\right) ，即 f\left(1-\right. x)=f(1+x), 所以 f(x) 关于 \scriptstyle x=1 对称,故选项A正确；对于C,因为 f(x) 是定义在 bf{R} 上的奇函数，则f(-x)=-f(x), 因为 f(1-x)=f(1+x) ，所以 f\left(2+x\right)= f\left[1-(1+x)\right]=f(-x)=-f(x), 即 f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]= f(x) ，所以 f(x) 的周期 T=4 ，显然 f(8+x)=f(4+x)=f(x) ,则8也是函

数 f(x) 的周期，故选项C正确；
对于B,因为 x\in[0,1],f(x)=x^{2}+x ，
所以 f(2\ 023)=f(3)=f(-1)=-f(1)= -2,f(2\ 024)=f(0)=0,
所以 f(2~023)+f(2~024)=-2\neq0 ,故选项B错误；
对于D,因为 x\in[0,1],f\left(x\right)=x^{2}+x ，且f(x) 关于直线 \scriptstyle x=1 对称，
根据对称性可以作出 x\in[1,2] 上的图象，
又 f(x+4)=f(x)=-f(-x) ，可知 f(x) 关于点(2,0)对称，又可作出 x\in[2,4] 上的图象，又 f(x) 的周期 T=4 ，作出 y=f(x),x\in[0 ，+∞ )的图象与 y=\vert\ln x\vert 的图象，
又 f(9)=f(1)=2,9>e^{2} ，所以 ~l~n~9{\>}\ln~e^{2}= 2，即 f(9){<}\vert\ln9\vert ，
如图所示：所以 f\left(x\right) 与 y=\vert~ln~x\vert 有4个交点，故选项D正确.

12.{(37)/(3)} 解析：设这6个数分别为 a\left.,3\left.,3\left.,5\left.,b\right.,c\left(a\right. ，b,c\in\mathbf{N}_{+},a<=slant3,c>b>=slant5). 因为平均数为5，所以 (a+3+3+5+b+c)x {(1)/(6)}=5, 故 a+b+c=19 ，

要使这6个数的方差最大，则应使 \scriptstyle a 尽可能小，c 尽可能大，则令 \displaystyle a=1,b=6,c=12 ，此时方差为 (1)/(6)[(1-5)^{2}+(3-5)^{2}+(5-5)^{2}+ (6-5)^{2}+(12-5)^{2}]=(37)/(3).

^{13.(1,-2)} 解析：因为函数 y=f\left(x\right) 的图象和函数 y=\log_{a}x C a>0 ，且 style{a\neq1} )的图象关于直线 y=x 对称，所以 f(x)=a^{x} ，故函数 g\left(x\right)= f(x-1)-3=a^{x-1}-3 ，则函数 _y=g\left(\boldsymbol{\mathbf{\rho}}_{x}\right) 的图象必过定点 (1,-2) ：

\mathbf{14.}(-∞,0)\cup(1,+∞) 解析：因为函数 f(x) 是定义在 bf{R} 上的单调函数,则存在唯一实数 \mathbf{\chi}_{t} ，使得 f(t)=4 ，又因为 f[f(x)-3^{x}]=4 ，则 f(x)-3^{x}=t ，则f(x){}=3^{x}+t ，所以， f(t)=3^{t}+t=4 ，因为函数 y=3^{\iota},y=\iota 均为在 bf{R} 上的增函数，所以，函数 g\left(t\right)=3^{t}+t 在 bf{R} 上为增函数，且 g\left(1\right)=3+1=4 ，故 t=1 ，所以， f\left(x\right)=3^{x} +1 ，因为函数 y=-{(4)/(x)} 在 (0,+∞) 上为增函数，设 h\left(x\right)=f(x)-(4)/(x) 其中 x\neq0 ,则函数 h\left(x\right) 在 (0,+∞ )上为增函数，且 h\left(1\right)=f\left(1\right)-4 =0 ，当 x{>}0 时，由 f\left(x\right)-(4)/(x)>0 可得 h\left(x\right)> h\left(1\right) ，则 _{x>1} ，当 x{<}0 时， \displaystyle{\Omega}\ f(x)=3^{x}+1>0,{(4)/(x)}<0 ，则 h\left(x\right) =f(x)-(4)/(x){>}0 恒成立，

所以，不等式 f(x)-{(4)/(x)}{>}0 >0的解集为（一∞,0)\mathsf{U}(1,+∞).

15.解：（1)由题得 x^{2}+a x+b=x 有两个相等的实根 a ，所以 x^{2}+(a-1)x+b=0 有两个相等的实根 a ，所以 \Delta=(a-1)^{2}-4b=0 且 a^{2}+(a-1)a+b =0 ，解得 \mathbf{\omega}_{a}=(1)/(3),b=(1)/(9)

(2)当 b=0 时， style,f(x)=x^{2}+a x ，
关于 A 的方程 f(x)=x 可以化为 x\left[x-(1- a)]=0(1)
关于 B 的方程 f\left(f\left(x\right)\right)=x 可以化为 x^{4}+ 2a x^{3}+(a^{2}+a)x^{2}+(a^{2}-1)x=0,
因式分解为 x\left[x-(1-a)\right]\left[x^{2}+(a+1)x+\right. \left(a+1\right)]=0\left(2\right),
由条件 A=B 可知,方程(1)和(2)同解，
① 当 a=0 时，两方程为 x\left(x-1\right)=0 和 x\left(x-\right. 1 )(x^{2}+x+1)=0 ,所以 \scriptstyle x=0,x=1 ，
所以 A=\{0,1\}
② 当 a=1 时，两方程为 x^{2}=0 和 x^{2}\left({{x}^{2}}+2x\right. +2)=0 ,所以 x=0 ,所以 A=\{0\}
③ 当 \scriptstyle a=2 时，两方程为 x\left(x+1\right)=0 和 x(x+ 1)(x^{2}+3x+3)=0 ，所以 x=0,x=-1 ，所以A=\{0,-1\} ；
④ 当 a=3 时，两方程为 x\left(x+2\right)=0 和 \boldsymbol{\mathscr{x}} (x+2)^{3}=0 ，所以 x=0 ， x=-2 ，所以 A=\{0 ，^{-2\dag} ；

⑤ 当 \ensuremath{\boldsymbol{a}}>=slant4 时，方程(2)中 x^{2}+(a+1)x+a+1 =0,\Delta=(a+1)(a-3)>0 ，有两个不同的解，此时方程(1)和(2)不同解，所以舍去.所以 a=0,A=\left\{0,1\right\},a=1,A=\left\{0\right\},a=2,A =\{0,-1\};a=3,A=\{0,-2\}.

16.解：(1)该市 1\ 000 名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图如下：

（2）由频率分布表得[10，20）的频率为(100+120)/(1000){=}0.22,
[20,25)的频率为 (130)/(1000)=0.13,0.13+0.22> 0.25，
因此，样本的下四分位数位于[20,25)内，
20+5x{(0.25-0.22)/(0.13)}\approx21.2 ,所以样本的下四分位数约为21.2，
由频率分布直方图得样本的众数为 {(30+35)/(2)}= 32.5，
由频率分布表得样本的平均数估计为
12.5x0.1+17.5x0.12+22.5x0.13+27.5x \begin{array}{r l}&{17.5x0.1+17.5x0.12+72.5x0.13+77.5x}\\ &{6}\\ &{0.18+32.5x0.22+37.5x0.15+42.5x0.6+}\\ &{47.5x0.03+52.5x0.01=28.5,}\end{array} 所以样本的下四分位数约为21.2，众数为32.5，平均数为28.5.
17.解：（1)由试卷2的难度系数得 0.64=1-{(Y)/(150)} ，解得 Y=54 ，所以根据试卷2的难度系数估计这480名学生第2套试卷的平均分为 150-54=96 （分）.
\begin{array}{r l}&{(2)L_{α}^{\prime}=1-(150-102)/(150)=0}\\ &{L_{α}^{\prime}=1-(150-99)/(150)-0.68,}\\ &{L_{α}^{\prime}=1-(150-93)/(150)-0.62,}\\ &{L_{α}^{\prime}=1-(150-93)/(150)=0.62,}\\ &{L_{α}^{\prime}=1-(150-93)/(150)=0.62,}\\ &{L_{α}^{\prime}=1-(150-87)/(150)=0.58,}\end{array} 则 S=(1)/(5)x\left[(0.68-0.7)^{2}+(0.66-0.64)^{2}+\right. (0.62-0.6)^{2}+(0.62-0.6)^{2}+(0.58-0.55)^{2}{\Big]} =0.000\ 5{<}0.001 ，所以这5套试卷难度系数的预估合理.

18.解：（1）由题图可知 10x(x+0.015+0.020+ 0.030\dot{+}0.025)=1, 所以 _{x}=0.010 ：样本的中位数为 80+(0.5-(0.1+0.15+0.2){0.3}x} 10\approx81.67 （分）.(2)低于80分的三组学生的人数之比为0.1：0.15:0.2 ，即 ~2~:~3~:~4~ ，则应选取评分在[60，70)内的学生人数为 30x {/{3)/(2+3+4)}{=}10.

(3）由题图可知，认可程度平均分为 55x0.1+ 65x0.15+75x0.2+85x0.3+95x0.25= 79.5(分），

则认可系数为 (79.5)/(100)=0.795<0.85 ，所以“美食”工作需要进一步整改.

9.解：(1)由题中频率分布直方图知，学生成绩在[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90，100］内的频率分别为0.06，0.12，0.4，0.26，0.1,0.06，显然学生成绩在[60,70）内的频率最大，所以估计该校全体学生成绩的众数为65分.平均数 \overline{{x}}=0.06x45+0.12x55+0.4x65+ 0.26x75+0.1x85+0.06x95=696 （分）设 71% 分位数为 \mathbf{\Psi}_{m} 分，显然 m\in(70,80) ，由 0.06+0.12+0.4+(m-70)x0.026=0.71 ，解得 m=75 ，所以 71% 分位数为75分.

(2)记高一、高二、高三年级学生成绩(单位：分)的平均数分别为 \overline{{x}}_{1},\overline{{x}}_{2},\overline{{x}}_{3} ，方差分别为 s_{1}^{2} ，s_{2}^{2},s_{3}^{2} ，
显然样本中高一、高二、高三年级分别抽取了80人，100人，120人，
{\overline{{x}}}={(80)/(300)}{\overline{{x}}}_{1}+{(100)/(300)}{\overline{{x}}}_{2}+{(120)/(300)}{\overline{{x}}}_{3}={(80)/(300)}x60+{(100)/(300)}x 3003=69,解得x=80，
\begin{array}{r l}&{g^{-2}=(80)/(300)[(\overline{{c_{1}}}-\overline{{c}})^{2}+s_{1}^{2}]+(100)/(300)[(\overline{{c_{1}}}-\overline{{c}})^{2}+}\\ &{}\\ &{s_{\perp}^{2}]+(120)/(300)[(\overline{{c_{1}}}-\overline{{c}})^{2}+s_{1}^{2}]}\\ &{=(80)/(300)[c(60-89)^{4}+75]+(100)/(300)[(69-69)^{2}+s_{1}^{2}]}\\ &{+(120)/(300)[c(80-69)^{1}+55]}\\ &{=(2008)/(5)+12+(1)/(3)s_{2}^{2}+(352)/(5)=124+(1)/(3)s_{2}^{2}=140,}\end{array} 解得 s_{2}^{2}=48 ，
所以高三年级学生成绩的平均数为80，高二年级学生成绩的方差为48.

单元重构项目卷(七)

项目一

活动一

1.C解析：从装有编号0，1,2,3四个小球的抽奖箱中，每次取出后放回，连续取2次的基本事件共有16种，取出的2个小球号码之和等于5的基本事件有：（2，3)，（3，2)，共2种，取出的2个小球号码之和等于4的基本事件有：（1,3），（2，2)，(3，1)，共3种，取出的2个小球号码之和等于3的基本事件有： \left(0,3\right),\left(1,2\right),\left(2,1\right),\left(3,0\right) 共4 种,所以中奖的概率是2+3+4

2.A解析：由题意可得，因为每次抽取相对独立，所以前两次抽中金色卡的概率是 1-(1-0.02) x\left(1-0.02\right)=0.039\ 6.

活动二

5.B解析：由于甲、乙都非常聪明，他们获胜的关键是要看裁判擦去哪个数，注意 2,3,4,*s,2\ 024 中有 1\ 011 个奇数，1012个偶数.（1)若裁判擦去的是奇数，则乙一定获胜.理由如下：乙不管甲擦去什么数，只要还有奇数，就擦去奇数，这样最后剩下两个数一定都是偶数，从而所剩两数不互质，故乙胜.（2)若裁判擦去的是偶数，则甲一定获胜.理由如下：设裁判擦去的是 2m ，则将余下的数配成1011对，每对数由一奇一偶的相邻两数组成： \left(2,3\right),\left(4,5\right),*s,\left(2m-2,2m-1\right) (2m+1,2m+2),*s,(2~023,2~024) .这样，不管乙擦去什么数，甲只要擦去所配对中的另一个数，最后剩下两个相邻的整数，它们互质，故甲必获胜.甲获胜的概率为 (1\ 012)/(2\ 023) 故选B.

4.解：(1)甲随机涂黑一个，在 3x3 方格的四个角和中心处，显然乙可以不重复地一次性经过所有白色方格，只有当甲涂黑 (1,2),(2,1),(2,3) ，(3，2)时，乙无法不重复地一次性经过所有白色方格,故甲获胜的概率为。

(2)我们为格子标号：

乙不妨从1出发，则乙的路线必定是 1{\rightarrow}2{\rightarrow}1{\rightarrow} 2"，若乙要获胜，则标号为1的格子数与标号为2的格子数之差的绝对值不大于1，若最后是2，则说明1的数量和2的数量相同，若最后是1，则说明比2多一个，由于m为奇数，则第3，5，7.…列，1的数量比2的数量多1个，这样的列数一共有十1个 个，也就是1比 2的数量多m十1，同理，第 2,4,6,*s,2 的数量比1的数量多一个(不考虑黑格),这样的列一共有” 列，因此1的数量比 2 的数量多m+1 {(m+1)/(2)}-{(m-1)/(2)}=1 个，但实际情况是第二列中 1 的数量和2的数量一样多，因此 1 的数量比2的数量多两个，这说明乙无法不重复地一次性经过所有白色方格，因此当m为奇数时，甲一定获胜.

(3)受到(2)的启发，我们仍然为格子标号：

乙的路线仍然是 1{\rightarrow}2{\rightarrow}1{\rightarrow}2{\rightarrow}*s, 乙获胜只需要使1和2一样多，或1比2多一个，我们考虑1
比2多两个的情况：若不考虑涂黑的格子，由(2)可知：1比2的数量多1个当且仅当涂黑2时，1
比2的数量多两个，此时甲一定获胜，第1，3，
5,*s,m 列共有 (m-1)/(2) 个2，第 2,4,6,*s,m-1 列
共有+1 4 (m^{2}-1)/(2) 个2，因此一共有 个2，又因为甲可以涂黑除了(1，1)共 m^{2}-1 个方格，因此甲
获胜的概率 P={(m^{2}-1)/(2(m^{2)-1)}}={(1)/(2)}.

活动三

5.C 解析：甲获胜包含两种情况： ① 甲连胜2局，概率为 {(3)/(5)}x{(3)/(5)}={(9)/(25)} ② 前两局甲一胜一负，第三局甲胜，概率为 (3)/(5)x(2)/(5)x(3)/(5)+(2)/(5)x(3)/(5)x(3)/(5)= 125 ,则甲战胜乙的概率为 P P={(9)/(25)}+{(36)/(125)}={(81)/(125)}

6.ABD解析：设事件A：甲投篮一次，命中；事件B:乙投篮一次，命中.则事件 A,B 独立.对于A，由 P C A B{\bfα}){\bfα}={\bfα} P\left(A\right)P\left(B\right)=0.7x0.8=0.56 ，故A正确；对于B,由 P({\overline{{A}}}B)+P(A{\overline{{B}}})=P({\overline{{A}}})P(B)+P(A) .

style P({\overline{{B}}})=0.3x0.8+0.7x0.2=0.38 ,故B正确； 对于C，由 P({\overline{{A}}}{\overline{{B}}})=P({\overline{{A}}})P({\overline{{B}}})=0.3x0.2= 0.06，故C错误；对于D，由 1-P({\overline{{A}}}{\overline{{B}}})=1- 0.06=0.94 ,故D正确.

项目二

活动一

1.B解析：由题意可知，20组随机数中代表该树苗种植3棵恰好3棵都成活的数据有：321，142，234，243，422，134，144，332，212，共9组，所以，该树苗种植3棵恰好3棵都成活的概率为 P= (9)/(20){=}0.45.

2.D解析：设甲存活为事件 A ，乙存活为事件 B ，则 P\left(A\right)=0.6,P\left(B\right)=0.5 ，则甲乙至少有一种存活的概率为 P\left(A\bigcup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)- P\left(A\cap B\right)=1 ，则所以甲、乙都存活的概率为P(A B){=}P(A){+}P(B){-}1{=}0.5{+}0.6{-}1{=}0.1.

活动二

3.BC解析：若父亲的血型为AB型，即基因类型为ab,

则母亲的可以是:ii,ai,aa,bi,bb,ab，
则孩子的血型的基因类型为ai，aa，bi,bb，ab，没有ii,即孩子的血型不可能为O型，故A错误；若父母的血型不相同，
当父亲血型的基因类型为i时，母亲的可以是：ai,aa，bi,bb,ab共5种；
当父亲血型的基因类型为ai时，母亲的可以是：ii,bi,bb,ab共4种；
当父亲血型的基因类型为aa时，母亲的可以是：i,bi,bb,ab共4种；
当父亲血型的基因类型为bi时，母亲的可以是：

当父亲血型的基因类型为bb时，母亲的可以是:ii,ai,aa,ab共4种；当父亲血型的基因类型为ab时，母亲的可以是：ii,ai,aa,bi,bb共5种，所以父母血型的基因类型组合有 5+4+4+4+ 4+5=26 种，故B正确；若孩子的爷爷、奶奶、母亲的血型均为 A B 型，即基因类型为 a b ，则父亲血型的基因类型可能是aa,ab,bb,其对应的概率分别为，当父亲血型的基因类型是aa,母亲的为 ab ，则孩子的可能 a:ab对应的概率分别为 (1)/(2),(1)/(2) 放此时孩子与父亲血型相同的概率为×=；当父亲血型的基因类型是ab,母亲的为 ab ，则孩子的可能是aag ab,bb,对应的概率分别为，(1)/(2),(1)/(4) ,故此时孩子与父亲血型相同的概率为 (1)/(2) x(1)/(2){=}(1)/(4); 当父亲血型的基因类型是 \bb ，母亲的为 ab ，则孩子的可能是b,ab,对应的概率分别为2” ，故此时孩子与父亲血型相同的概率为× (1)/(4)x(1)/(2)=(1)/(8) -g; 综上，若孩子的爷爷、奶奶、母亲的血型均为AB型，孩子与父亲血型相同的概率为 (1)/(8)+(1)/(4)+(1)/(8)= (1)/(2) 正确 ,故C正确，D错误.故选BC.

4.(1)/(9) 解析：小鼠逃生路线有以下六种情况：
\begin{array}{r l}&{1\rightarrow2\rightarrow3\rightarrow6\rightarrow9;}\\ &{1\rightarrow2\rightarrow5\rightarrow6\rightarrow9;}\\ &{1\rightarrow2\rightarrow5\rightarrow8\rightarrow9;}\\ &{1\rightarrow2\rightarrow5\rightarrow8\rightarrow9;}\\ &{1\rightarrow4\rightarrow5\rightarrow6\rightarrow9;}\\ &{1\rightarrow4\rightarrow5\rightarrow8\rightarrow9;}\\ &{1\rightarrow4\rightarrow7\rightarrow8\rightarrow9.}\end{array}
概率分别为 P_{1}=(1)/(2)x(1)/(3)x(1)/(2)x(1)/(3)=(1)/(36)
\begin{array}{r l}&{P_{z}=\cfrac{1}{2}x(1)/(3)x(1)/(4)x(1)/(3)-(1)/(72)x}\\ &{P_{s}=\cfrac{1}{2}x(1)/(3)x(1)/(4)x(1)/(3)=(1)/(72),}\\ &{P_{4}=\cfrac{1}{2}x(1)/(3)x(1)/(4)x(1)/(3)=(1)/(72),}\\ &{P_{z}=\cfrac{1}{2}x(1)/(3)x(1)/(4)x(1)/(3)=(1)/(72),}\\ &{P_{\ast}=\cfrac{1}{2}x(1)/(3)x(1)/(2)x(1)/(3)=(1)/(36),}\\ &{P_{\ast}=\cfrac{1}{2}x(1)/(3)x(1)/(2)x(1)/(3)=(1)/(36).}\end{array}
所以小老鼠逃生概率为 P=P_{1}+P_{2}+P_{3}+P_{4}
+P_{5}+P_{6}=(1)/(36)+(1)/(72)+(1)/(72)+(1)/(72)+(1)/(72)+(1)/(36)=(1)/(9).
故答案为 (1)/(9)

5.解：（1)因为[25，30]的频率为0.15，且[20，25）的频率为0.25，所以 \mathbf{\Psi}_{m} 在[20，25）内，所以 (25-m)x0.05+ 0.15{=}0.2 ，所以 m=24

(2)对照组较轻的概率为0.15，中等的概率为 0.35，较重的概率为0.5；
实验组较轻的概率为0.2，中等的概率为0.4，较 重的概率为0.4；
设抓取的实验组小鼠体重增加量的等级高于对

照组小鼠体重增加量的等级为事件 A ，则 P\left(A\right)=0.4x\left(0.35+0.15\right)+0.4x0.15= 0.26.所以抓取的实验组小鼠体重增加量的等级高于对照组小鼠体重增加量的等级的概率为0.26.

活动三

6.B解析：由题可知，元件 ^{13,C,D} 均不正常工作的概率为 \left(1-{(1)/(3)}\right)^{3}={(8)/(27)} 则元件 ^{~~}B,C,D 中至少有一个正常工作的概率为 1-{(8)/(27)}={(19)/(27)} 27，从而该系 {(1)/(2)}x{(19)/(27)}={(19)/(54)} 统正常工作的概率为 ：

7.解：(1)设 A,B,C 分别表示甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件，那么\left\{{\begin{array}{l}{P(A\overline{{B}})={(1)/(4)},}\\ {P(A C)={(1)/(12)},\Re\Re}\\ {P(B\overline{{C}})={(1)/(12)},\Re\Re}\\ {P(A C)={(2)/(9)},}\end{array}}\right.\left[{P(A)(1-P(B))={(1)/(4)}},\right. 解得 P\left(A\right)=(1)/(3),P\left(B\right)=(1)/(4),P\left(C\right)=(2)/(3), 即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别为 (1)/(3),(1)/(4),(2)/(3)

(2)设事件 D= “从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品”，则\begin{array}{l}{{P\left(D\right)=1-P\left(\overline{{{D}}}\right)=1-\left(1-P\left(A\right)\right)\left(1-}}\\ {{}}\\ {{P\left(B\right)\right)\bullet\left(1-P\left(C\right)\right)=1-\displaystyle(2)/(3)x(3)/(4)x(1)/(3)=(5)/(6),}}\end{array} 即从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率是 (5)/(6)

阶段滚动检测卷（六）

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1
12.10 17 9
13. 60 20
\mathbf{14.}{\bigg(}2,{(18)/(7)}{\bigg)}

试题精析

L.D解析：因为关于 \mathbf{\Psi}_{x} 的不等式 a x-b>0 的解集为 \{x\mid x<1\} ，所以关于 x 的方程 a x-b=0 的根为 x=1 ，且 a<0 ，所以 a-b=0 ，即 b=a
故不等式ax+b (a x+b)/(x-2)>0 即 (a x+a)/(x-2)>0 ，等价于 (x+1)/(x-2) {<}0 ,解得 -1{<}x{<}2
因此，不等式ax+> (a x+b)/(x-2)>0 的解集为 \{x\mid-1<x< 2}.故选D.

2.D解析：易知函数 f\left(x\right)=-x^{2}+2a x 的图象开口向下，对称轴为直线 \scriptstyle{x=a} ，因为 f(x) 在区间[1,2]上单调递减，所以 a<=slant1 又函数 g\left(x\right)= (a)/(x+1) 在区间[1，2]上单调递减，所以 a>0. 综上，0{<}α{<=slant}1. 故选D.

3.B解析：由 f\left(1\right)=a^{2}=(1)/(9) a={(1)/(3)}( 负值舍去)，因此 f(x)=\left({(1)/(3)}\right)^{|2x-4|}

令 u=\left|2x-4\right| ，则 y=\left({(1)/(3)}\right)^{*} .因为 y=\left({(1)/(3)}\right)^{\prime} 在R上单调递减， u=\left|2x-4\right| 的单调递增区间是[2,+∞) ，所以 f(x) 的单调递减区间是 [2,+ ∞ ).故选B.

4.C解析：因为 1<\log_{√(2)}√(3)<\log_{√(2)}2=2,0< \scriptstyle\log_{√(3)}√(2)<\log_{√(3)}√(3)=1 ，所以 0{<}\log_{3}√(2){<}\log_{√(2)}√(3) {<}2 因为函数 f(x) 在区间 [0,+∞] )上单调递增，所一 \begin{array}{r}{λ f(\log_{√(3)}√(2)){<}f(\log_{√(2)}√(3)){<}f(2).}\end{array} 因为 f\left(x\right) 是偶函数，所以 a=f\left(\log{(1)/(√(2))}\right)=
\begin{array}{l}{{f(-\logsqrt2sqrt)=f(\logsqrt3),}}\\ {{\nonumber}}\\ {{b=f\biggl(\logsqrt/1{sqrt2}\biggr)=f(-\logsqrt2sqrt)=f(\logsqrt2),c}}\end{array} =f(-2)=f(2) ，所以 b{<}a{<}c .故选C.

5.B 解析：由 \lg\ {(1+2^{x}+(1-a)3^{x})/(3)}>=slant\lg\ 3^{x-1} ，得(1+2^{x}+(1-a)3^{x})/(3)>=slant3^{x-1},1+2^{x}+(1-a)3^{x}>=slant 3^{x},1+2^{x}>=slant a\ *\ 3^{x} ， \mathfrak{L}\mathfrak{p}\left((1)/(3)\right)^{x}+\left((2)/(3)\right)^{x}>=slant a 对任意的 x\in(-∞,1] 恒成立.设 f\left(x\right)={\bigg(}{(1)/(3)}{\bigg)}^{x}+ \left({(2)/(3)}\right)^{x},x\in(-∞,1] ，则 f\left(x\right)_{min}=f\left(1\right)=(1)/(3)+ (2)/(3){=}1 ，所以 a<=slant1. 故选B.

6.D解析：分层抽样是按比例抽样，可得 81x (1200)/(1\ 000+1\ 200+n){=}30 ，可得 n{=}1\ 040 故选 D.

7.B解析：从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中任取三个数，有0奇3偶，1奇2偶，2奇1偶，3奇0偶，四种情况.对于A，恰有一个是奇数和有两个是偶数是同一

个事件，故选项A不符合题意；
对于B，至少有两个是偶数包括0奇3偶，1奇2偶两种，至少有两个是奇数包括2奇 1 偶，3奇0偶两种，所以至少有两个是偶数和至少有两个是奇数是对立事件，故选项B符合题意；
对于C，至多有一个是奇数包括0奇3偶，1奇2偶两种，恰有一个是偶数为2奇 1 偶，所以至多有一个是奇数和恰有一个是偶数互斥，但不对立，故选项C不符合题意；
对于D，至少有一个是奇数包括 1 奇2偶，2奇 1 偶，3奇0偶三种，至少有一个是偶数包括0奇3偶，1奇2偶，2奇1偶三种，所以至少有一个是奇数和至少有一个是偶数不是对立事件，故选项D不符合题意.
故选B..B解析：由题图知：[0,5)，[5,10),[10,15），[15，20)，[20，25），[25，30）的频率分别为0.1，0.2,0.235,0.3,0.065,0.1，
对于A，[20，25）内的天数最少，故选项A错误；对于B,估计锻炼天数超过15天的概率为 0.3+ 0.065+0.1=0.465 ,故选项B正确；
对于C,由[0,5)，[5,10)，[10,15)频率和为0.1+0.2+0.235=0.535>0.5 ,设中位数为 \mathbf{\Psi}_{x} ，
则 0.3+0.047x(x-10)=0.5 ，可得 x=10+ 4≠16,故选项C错误;
对于D，平均天数为 0.1x2.5+0.2x7.5+0.235 x12.5+0.3x17.5+0.065x22.5+0.1x27.5= 14.15天，故选项D错误.
故选B.

9.BD解析：对于A，由题知，不放回地抽取2个

1 个日球，共3种情况，
所以“取出2个红球”和“取出2个白球”是互斥事件，但不是对立事件，故选项A错误；
对于B,记2个红球分别为 \mathbf{\boldsymbol{a}}_{\mathbf{λ}},\boldsymbol{b}_{\mathbf{λ}},3 个白球分别为1,2,3,
不放回地从中取2个球的样本空间
\begin{array}{r}{\Omega_{1}=\{a b,a1,a2,a3,b a,b1,b2,b3,1a,1b,12,}\end{array} 13,2a，2b,21,23，3a，3b，31,32}共20种，
记事件 A 为“第1次取到红球”，事件 \boldsymbol{*} 为“第2次取到红球”，
则 A=\left\{a b,a1,a2,a3,b a,b1,b2,b3\right\},B=\left\{a b,\right. b a,1a,1b,2a,2b,3a,3b\},
所以 P\left(A\right)=P\left(B\right) ,故选项B正确；
对于C,有放回地从中取2个球的样本空间 \varOmega_{2} =\{a a,a b,a1,a2,a3,b b,b a,b1,b2,b3,1a,1b, 11,12,13,2a,2b,21,22,23,3a,3b,31,32,33},共25种；
记事件 C 为“取出1个红球和 1 个白球”，则 C= \{a1,a2,a3,b1,b2,b3,1a,1b,2a,2b,3a,3b\}, 共12种，所以 P\left(C\right)=(12)/(25) 故C错误；
对于D,记事件 D 为“取出2个白球”,则 D= {11,12,13,21,22,23,31,32,33}，共9种；
所以 P\left(D\right)=(9)/(25) ,所以至少取出1 个红球的概率为1- 1-{(9)/(25)}={(16)/(25)} 故选项 D 正确.
故选BD.

10.ABD解析：对于A，如果 B\subseteq A ，那么 P (A UB)=P\left(A\right)=0.6,P\left(A B\right)=P\left(B\right)=0.3\ , 故选

项A正确；
对于B，如果 A 与 B 互斥，那么 P\left(A\cup B\right)= P\left(A\right)+P\left(B\right)=0.9,P\left(A B\right)=0 ，故选项B正确；
对于C，如果 A 与 B 相互独立，那么 P(A B)= P\left(A\right)P\left(B\right)=0.18 ，故选项C错误；
对于D,如果 A 与 B 相互独立，那么 {\cal{P}}(\overline{{A B}})= P({\overline{{A}}})P({\overline{{B}}})=0.4x0.7=0.28,P({\overline{{A}}}B)= P(\overline{{A}})P(B)=0.4x0.3=0.12 ，故选项D正确.故选ABD.

11.ABC 解析：对于A,3个队都回答正确的概率P_{1}=(2)/(5)x(3)/(4)x(1)/(3)=(1)/(10) 0,故选项 A正确；对于B,3个队都回答错误的概率 P_{2}= \left(1-{(2)/(5)}\right)x\left(1-{(3)/(4)}\right)x\left(1-{(1)/(3)}\right)={(3)/(5)}x{(1)/(4)}x{(2)/(3)}= 10,故选项B正确;对于C,D， P （恰有1个队回答正确） =(2)/(5)x {\begin{array}{l}{\left(1{-}{(3)/(4)}\right)x\ \left(1{-}{(1)/(3)}\right)+\ \left(1{-}{(2)/(5)}\right)x\ {(3)/(4)}xx}\\ {\left(1{-}{(1)/(3)}\right){+}\left(1{-}{(2)/(5)}\right)x\left(1{-}{(3)/(4)}\right)x{(1)/(3)}{=}{(5)/(12)},}\end{array}} P （恰有2个队回答正确） =(2)/(5)x(3)/(4)x \left(1-(1)/(3)\right)+(2)/(5)x\left(1-(3)/(4)\right)x(1)/(3)+\left(1-(2)/(5)\right)x(3)/(4)x (1)/(3)=(23)/(60) (5)/(12)>(23)/(60) 因为 所以恰有1个队回答正，确的概率比恰有2个队回答正确的概率大，故选项C正确,D错误.故选ABC.

2 (1)/(10) 解析：由0，1，2，3，4这5个数字组成三位

数，百位不能为零，则有4种情况，十位与个位
各自有5种情况，则所组成的所有三位数个数
为 4x5x5=100 ，
其中“V”型三位数的有101,202，212，303，313，
323，404,414,424，434，共10个，
则概率为 {(10)/(100)}{=}{(1)/(10)} ，

13.{(17)/(60)}\quad{(9)/(20)} 解析：设甲击中红、黄、蓝区域分别为事件 A_{1},A_{2},A_{3} ,乙击中红、黄、蓝区域分别为事件 B_{1},B_{2},B_{3} ，则 P\left(A_{:}\right)=(1)/(5),P\left(A_{:}\right)=(2)/(5), \begin{array}{l}{{{\displaystyle P\left(A_{3}\right)=(1)/(5),P\left(B_{1}\right)=(1)/(6),P\left(B_{2}\right)=(1)/(2),P\left(B_{3}\right)}}}\\ {{{}}}\\ {{{\displaystyle=(1)/(4).}}}\end{array} 因为二人射击情况互不影响，所以二人击中同色区域的概率为 P\left(A_{1}B_{1}+\right. \begin{array}{l}{{\displaystyle{\cal A}_{2}{\cal B}_{2}+{\cal A}_{3}{\cal B}_{3})=P\left({\cal A}_{1}\right)P\left({\cal B}_{1}\right)+P\left({\cal A}_{2}\right)~^{~}}}\\ {{\displaystyle{\cal P}\left({\cal B}_{2}\right)+P\left({\cal A}_{3}\right)P\left({\cal B}_{3}\right)=(1)/(5)x(1)/(6)+(2)/(5)x(1)/(2)+}}\end{array} {(1)/(5)}x{(1)/(4)}={(17)/(60)} ;二人击中不同色区域的概率为\begin{array}{r l}&{P(A_{1}B_{2}+A_{1}B_{3}+A_{2}B_{1}+A_{2}B_{3}+A_{3}B_{1}+}\\ &{A_{3}B_{2})=P\left(A_{1}\right)P\left(B_{2}\right)+P\left(A_{1}\right)P\left(B_{3}\right)+}\\ &{P(A_{2})P(B_{1})+P\left(A_{2}\right)P\left(B_{3}\right)+P\left(A_{3}\right)\ .}\\ &{P(B_{1})+P(A_{3})* P\left(B_{2}\right)=\displaystyle(1)/(5)x\displaystyle(1)/(2)+\displaystyle(1)/(5)x\displaystyle(1)/(4)}\\ &{+\displaystyle(2)/(5)x\displaystyle(1)/(6)+(2)/(5)x\displaystyle(1)/(4)+(1)/(5)x\displaystyle(1)/(6)+(1)/(5)x\displaystyle(1)/(2)=(9)/(20).}\end{array} \mathbf{14.}{\bigg(}2,{(18)/(7)}{\bigg)} 解析：当 _x>0 时， f\left(x\right)=4^{\left|x-1\right|} 的图象是 y=4^{|x|} 图象右移 1 个单位并去掉 y 轴及左侧的部分，当 x{>}0 时， f(x) 的图象是抛物线 y=-x^{2}-

4x+1 去掉 _y 轴右侧的部分，如图，

令 f(x)=t ，原方程化为 t^{2}-2a t+a+2=0 ，
令 g\left(t\right)=t^{2}-2a t+a+2 ，
观察图象知，直线 y=t 与 y=f(x) 的图象最
多有4个公共点，即关于 x 的方程 f(x)=t 最
多4个根，
而关于 x 的方程 f^{2}\left(x\right)-2a f\left(x\right)+a+2=0
有8个不相等的实数根，
则关于 x 的方程 f\left(x\right)=t 有4个根， t\in\left(1\right. ，
4)，
并且关于 \mathbf{\chi}_{t}^{} 的方程 g\left(t\right)=0 在(1,4)上有两个
不等实根，\left\{\begin{array}{l}{\Delta=4a^{2}-4(a+2)>0,}\\ {\qquad}\\ {1<a<4,}\\ {\qquad}\\ {g^{(1)=-a+3>0,}}\\ {\qquad}\\ {g^{(4)=18-7a>0,}}\end{array}\right.
于是得 解得 2<a
<(18)/(7)
所以实数 \scriptstyle a 的取值范围是 \left(2,{(18)/(7)}\right)

15.解：（1)从1，2，3，4，5中任取2个数字，组成没有重复数字的两位数，则此试验的样本空间为12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41，42,43,45,51,52,53,54}.(2)该试验共有20种情况，其中组成的两位数是偶数共有8种情况，则组成的两位数是偶数的概率为 {(8)/(20)}={(2)/(5)} ：

(3)组成的两位数是3的倍数共有8种情况， 则组成的两位数是3的倍数的概率为 {(8)/(20)}={(2)/(5)} ： 组成的两位数是偶数且为3的倍数共有4种 情况，
则组成的两位数是偶数且为3的倍数的概率为 {(4)/(20)}{=}{(1)/(5)}.
记“组成的两位数是偶数”为事件 A ，“组成的 两位数是3的倍数”为事件 \boldsymbol{*} ，则“组成的两位 数是偶数且为3的倍数”为事件 _{A B} ，
则 P\left(A\right)=(2)/(5),P\left(B\right)=(2)/(5),P\left(A B\right)=(1)/(5),
由 {(2)/(5)}x{(2)/(5)}={(4)/(25)}\neq{(1)/(5)} ,可得 P(A)P(B)≠ P(A B),
则事件“组成的两位数是偶数”与事件“组成的 两位数是3的倍数”不相互独立.

6.解：（1)从2月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.(2)设 A_{i} 表示事件“此人于2月 i 日到达该市”(i=1,2,*s,13). 由题意可知， P\left(A_{i}\right)=(1)/(13) 1且A;∩A;=(i≠j,j=1,2,*s,13). 设 B 表示事件“此人到达当日空气质量优良”，则 B=A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup A_{7}\cup A_{12}\cup A_{13} ，所以\begin{array}{r l}&{P\left(B\right){=}P\left(A_{1}\bigcup A_{2}\bigcup A_{3}\bigcup A_{7}\bigcup A_{12}\bigcup A_{13}\right){=}}\\ &{}\\ &{P\left(A_{1}\right){+}P\left(A_{2}\right){+}P\left(A_{3}\right){+}P\left(A_{7}\right){+}P\left(A_{12}\right)}\\ &{}\\ &{{+}P\left(A_{13}\right){=}\displaystyle(6)/(13).}\end{array} (3)设“此人出差期间空气质量至少有一天为中度或重度污染”为事件 \mid C\mid ，即“此人出差期间至少有一天的空气质量指数大于150且小于或等于 300^{\prime\prime} ，由题意可知 P\left(C\right)=P\left(A_{4}\cup A_{5}\cup A_{6}\cup A_{7}\cup\right. 一\begin{array}{r l}&{A_{8}\bigcup A_{9}\bigcup A_{10}\bigcup A_{11})=P\left(A_{4}\right)+P\left(A_{5}\right)+}\\ &{P(A_{6})+P(A_{7})+P\left(A_{8}\right)+P\left(A_{9}\right)+P\left(A_{10}\right)}\\ &{+P(A_{11})=\displaystyle(8)/(13).}\end{array}