答案速对与试题精析

答案速对/试题精析/规范答题/提升成绩

数学

选择性必修第一册（配北师大版）

答案速对与试题精析

单元重构项目卷（一）

项目一

【活动一】

1.A解析：因为 l _ { 1 } 的斜率为2，又轨道Ⅱ与轨道 { ~ I ~ } 垂直，所以轨道 \mathbb { I } 对应直线斜率为 - / { 1 } { 2 } 2，又过点P(1,-2)，利用点斜式，化简可得轨道 \mathbb { I } 的方程为 x + 2 y + 3 = 0

2 . { / { 1 1 } { sqrt { 5 } } } + 5 解析：圆心 O \ ( \ 3 , { ~ - ~ } 1 ) 到 l _ { 1 } 的距离 d =
/ { 2 x 3 - 1 x ( - 1 ) + 4 } { sqrt { 5 } } { < } = / { 1 1 } { sqrt { 5 } } { < } 5 ，故圆 \boldsymbol { c } 上的点到轨道 I 距
离的最大值为 { / { 1 1 } { sqrt { 5 } } } + 5 （20

3.解：设轨道 \mathbb { I } 方程为 A x + B y + C = 0 ，因为轨道 \mathbb { I } 与圆c 相切，所以/ { | 3 { A - B + C } | } { sqrt { { A } ^ { 2 } + { B } ^ { 2 } } } = 5 又轨道 \mathbb { I } 与 l _ { 1 } （斜率一2）垂直，所以有 - { / { A } { B } } = { / { 1 } { 2 } } ，不妨取 A = 1 , B = 2 =解得 C = 3 或 C = - 1 7 ，故轨道 \mathbb { I } 方程为 x + 2 y + 3 = 0 或 x + 2 y - 1 7 = 0

4.解：设直线斜率为 k ，方程 y = k \left( x - 6 \right) ，由弦长公式可得直线与圆 C 相交形成的弦长为2 \bigg [ sqrt { 2 5 - \bigg ( / { | 1 - 3 k | } { sqrt { 1 + k ^ { 2 } } } \bigg ) ^ { 2 } } \bigg ] ，首先需使根号内为完全平方数，解得 k = / { 1 } { 3 } 时弦长10恰好为直径，存在.

【活动二】

5.AC解析：如图，以 O C , O A 为 x , y 轴建立直角坐标系，则 C ( 1 7 0 , 0 ) , A ( 0 , 6 0 ) ，

依题意，直线 B C 的斜率 k _ { B C } = - / { 4 } { 3 } ，直线BC方程为：y
= - { / { 4 } { 3 } } ( x - 1 7 0 ) ,
直线 A B 的斜率 k _ { A B } = - / { 1 } { k _ { B C } } = / { 3 } { 4 } ，则直线 A B 方程为 _ y （204号
= / { 3 } { 4 } x + 6 0 , 4V 3 -170) =80
由 ，解得 ，即B(80,120)，|3 y=120V 4x+60
B C | = sqrt { ( 8 0 - 1 7 0 ) ^ { 2 } + 1 2 0 ^ { 2 } } = 1 5 0 , { A } 正确；设 O M = t ，即 M ( 0 , t ) ( 0 <=slant t <=slant 6 0 ) ，直线 B C 的一般方程为 4 x + 3 y - 6 8 0 = 0
圆 M 的半径为 r = / { \lvert 3 t - 6 8 0 \rvert } { 5 } ，显然 \left\{ { \begin{array} { l } { r - t >=slant 8 0 , } \\ { \qquad \quad } \\ { r - ( 6 0 - t ) >=slant 8 0 } \end{array} } \right. 由0 <=slant t <=slant 6 0 ，得 r = 1 3 6 - / { 3 } { 5 } t
贝 1 \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle 1 3 6 - / { 3 } { 5 } t - t >=slant 8 0 , } \\ { \qquad \quad } \\ { \displaystyle 1 3 6 - / { 3 } { 5 } t - ( 6 0 - t ) >=slant 8 0 , } \end{array} \right. 解得 1 0 <=slant t <=slant 3 5 ，即 O M 长（204号
的范围是 1 0 <=slant | O M | <=slant 3 5 , { B } 错误，C正确；当 t = 1 0 ，即OM长为 1 0 { m } 时，圆 M 的半径 \boldsymbol { r } 最大，圆形保护区的面积最大，D错误.

6.解：(1)如图，过 o 作 O H \bot l ，垂足为 H # 以 O 为坐标原点，直线 O H 为 _ y 轴，建立平面直角坐 标系.

P _ { D } H C Qo 因为 A B 为圆 o 的直径， A B = 1 0 ，所以圆 o 的方程为 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 2 5 . （因为 A C = 6 , B D = 1 2 ，所以 O H = { / { A C + B D } { 2 } } = 9 ，故直线（204号 \mathbf { \xi } _ { l } 的方程为 y = 9 ，则点 A , B 的纵坐标分别为 { { ~ 3 ~ } } , - { { ~ 3 ~ } } 从而 A \left( 4 , 3 \right) , B \left( - 4 , - 3 \right) ，直线AB的斜率为因为 P B \bot A B ，所以直线 P B 的斜率为 - { / { 4 } { 3 } } 直线 P B 的方程为 y = - { / { 4 } { 3 } } x - { / { 2 5 } { 3 } } 令 x = - 1 3 得 y = 9 ，（204号 P ( - 1 3 , 9 ) , ，所以 P B = { sqrt { ( - 1 3 + 4 ) ^ { 2 } + ( 9 + 3 ) ^ { 2 } } } = 1 5 ：因此道路 P B 的长为15(百米).(2)若点 Q 选在 D 处，连结 A D ，可求出点 D ( - 4 , 9 ) ，又A \left( 4 , 3 \right) ，所以线段 A D y = - / { 3 } { 4 } x + 6 ( - 4 <=slant x <=slant 4 ) x²+y²=25由 解得x=4或x=25，34x+6故不妨取 x = 3 ，得到在线段 A D 上的点 M ( 3 , / { 1 5 } { 4 } ) 因为 O M { = } sqrt { 3 ^ { 2 } + ( / { 1 5 } { 4 } ) ^ { 2 } } { < } sqrt { 3 ^ { 2 } + 4 ^ { 2 } } { = } 5 , （20所以线段 A D 上存在点到点 o 的距离小于圆 o 的半径5.因此点 Q 选在 D 处不满足规划要求.

7.解：(1)过 c 作 C D \bot x 轴，垂足为 D 由 \tan α = - 2 可知，直线 \ O C 的斜率 k = - 2 直线 \ O C 的方程为 2 x + y = 0 因为点 c 到 O A 的距离为20米，设 C ( \boldsymbol { x } _ { c } , \boldsymbol { y } _ { c } ) ，故 { } y _ { C } = 20，可得 x _ { C } = - 1 0 因为 A (10，0)，则 o 为 A D 的中点， O P / / D C 则 | O P | = { / { 1 } { 2 } } | C D | = { / { 1 } { 2 } } y c 2yc，所以P(0,10)，所以点P到OC的距离d=|2×0+10 d = | / { 2 x 0 + 1 0 } { sqrt { 5 } } | = 2 sqrt { 5 }

(2)因为 A \left( 1 0 , 0 \right) , C \left( - 1 0 , 2 0 \right) ，得 A C 所在直线方程为x + y - 1 0 = 0 ,
设 B \left( x , y \right) ，因为点 o 与点 B 关于 A C 对称，故可行 \scriptstyle { / { β } { \hbar - 0 } } = 1
得 x = 1 0 , y = 1 0 ，即 B ( 1 0 , 1 0 ) ，
所以 B C 所在直线方程为 x + 2 y - 3 0 = 0
\begin{array} { l } { { S _ { w a p , w o a b c } = 2 S _ { \triangle ^ { } o a c } = 2 x \left( / { 1 } { 2 } \left| O A \right| * y _ { c } \right) = 2 x } } \\ { { \ } } \\ { { \left( / { 1 } { 2 } x 1 0 x 2 0 \right) = 2 0 0 , } } \end{array} 所以该口袋公园的总面积200平方米.

项目二

【任务一】

1.D 解析：如图所示：

因为 / { m } { n } 的取值范围 \left[ - { sqrt { 3 } } , { / { sqrt { 3 } } { 3 } } \right] ，所以直线 O P 的倾斜角的取值范围是 \left[ 0 , { / { π } { 6 } } \right] \cup \left[ { / { 2 π } { 3 } } , π \right)
由题意可知，直线 y = - { sqrt { 3 } } x , y = { / { sqrt { 3 } } { 3 } } x 3x为圆C的两条切线，即直线 { sqrt { 3 } } x + y = 0 , x - { sqrt { 3 } } y = 0 为圆 c 的两条切线，由图可知，直线 \ O C 的斜率为负数，设圆心 \boldsymbol { C } \left( \boldsymbol { a } , \boldsymbol { b } \right) ，则{ / { \left| { sqrt { 3 } } a + b \right| } { 2 } } = { / { \left| a - { sqrt { 3 } } b \right| } { 2 } } （204号 / { b } { a } < 0 ，整理可得 { ( sqrt { 3 } a + b ) } ^ { 2 } - \left( a - sqrt { 3 } b \right) ^ { 2 } = 0 ，即 a ^ { 2 } + 2 { sqrt { 3 } } a b - b ^ { 2 } = 0
可得 \left( { / { b } { a } } \right) ^ { 2 } - 2 { sqrt { 3 } } \ * { / { b } { a } } - 1 = 0 ，因为 / { b } { a } < 0 ，解得 { / { b } { a } } = { sqrt { 3 } } - 2 ，因此，圆心 \mid C \mid 一定在直线 y = ( sqrt { 3 } - 2 ) x 上，即直线O C 的斜率为 { sqrt { 3 } } - 2

2.-5解析：因为 A ( 2 , 1 ) ，其关于 _ y 轴对称的 B 点坐标为 ( - 2 , 1 ) ，则 _ { 3 } - { m } = { - 2 } , { n } + { 2 } = 1 ，解得 m = 5 n = - 1 ；又点 A 关于原点对称的点 c 坐标为 ( - 2 , - 1 ) ，所{ \nu λ } - x = - 2 , 2 y - 1 = - 1 , 解得 x = 2 , y = 0 ，则 m n + x y = - 5

【任务二】

3.B解析： / { y } { x - 2 } 表示点 P ( x , y ) 与点(2,0)连线的斜率，由
图可知过 ^ { ( 2 , 0 ) } 点且与以 ( 0 , 1 ) 为圆心的半圆相切的一条
切线的斜率最小，设切线方程为 y = k \left( x - 2 \right) ，即 k x - y （204号
- 2 k = 0 { / { \mid 0 - 1 - 2 k \mid } { sqrt { k ^ { 2 } + 1 } } } = 1 ，解得 k = 0 或 k = - / { 4 } { 3 } 所以 / { y } { x - 2 } 的
最小值是 - { / { 4 } { 3 } } 业

4. sqrt { 2 6 } 解析：由题意，设 2 | P A | = | P E | , P ( x , y ) , E ( m n )，所以 4 \big [ ( x - 1 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } \big ] = ( x - m ) ^ { 2 } + ( y - n ) ^ { 2 } x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + { / { 8 + 2 m } { 3 } } x + { / { 2 n } { 3 } } y = { / { m ^ { 2 } + n ^ { 2 } - 4 } { 3 } } m²+n²-4,由于P(x,y）

是圆 C _ { 1 } \scriptstyle : x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 4 上的点，8+2m=0\left\{ { \begin{array} { l } { m = - 4 } \\ { } \\ { n = 0 } \end{array} } \right. #
所以{2n=0 ，解得 ，即 E ( - 4 , 0 ) ，所m²+n²-4=12
v λ ~ 2 | ~ P A ~ | + | ~ P B ~ | = | ~ P E ~ | + | ~ P B ~ | <=slant | ~ B M | = sqrt { 2 6 } ,
如图，

所以 2 \vert P A \vert + \vert P B \vert 的最小值为 sqrt { 2 6 } \mathfrak { s . / { sqrt { 2 } } { 2 } } 解析：设点 D 为 B C 中点，则由点 B 坐标为 ( - 2 =

4)和点 c 坐标为 ( 3 , - 1 ) 得 D \left( { / { 1 } { 2 } } , { / { 3 } { 2 } } \right)
因为 A B = A C ，则 A D 为 \triangle A B C 的边 B C 上的高，也是\triangle A B C 的中线，所以三角形的重心、垂心都在直线 A D ，所以直线 A D 为三角形的"欧拉线”又 k _ { A D } = - / { 1 } { k _ { B C } } = - { / { 1 } { { / { - 1 - 4 } { 3 - ( - 2 ) } } } } { = } - { / { 1 } { - 1 } } { = } 1 ，所以直线 l _ { A D } y - { / { 3 } { 2 } } = x - { / { 1 } { 2 } } 即x - y + 1 = 0 因为“欧拉线”与圆 M （204号 : x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = r ^ { 2 } \left( r > 0 \right) 1相切，所以圆心(0，0)到直线 A D 距离为 { / { 1 } { sqrt { 2 } } } = r ，即 \boldsymbol { r } = { / { sqrt { 2 } } { 2 } } .

单元重构项目卷（二）

项目一

【活动一】

1.A解析：由题意，不妨以椭圆中心为坐标原点，建立如图所示坐标系，

则椭圆方程为 / { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + / { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > b > 0 ) ，则 e = { / { c } { a } } ，且r=a- c - R ，解得 \boldsymbol { a } = / { r + R } { 1 - e } , \boldsymbol { c } = / { ( r + R ) \boldsymbol { e } } { 1 - \boldsymbol { e } } 故该卫星远地点离地面的距离为 a + c - R = / { r + R } { 1 - e } + / { e \left( r + R \right) } { 1 - e } - R = / { 1 + e } { 1 - e } r + / { 2 e } { 1 - e } R 又 e = { / { 1 } { 2 } } 所》 \displaystyle { { : } / { 1 + e } { 1 - e } r + / { 2 e } { 1 - e } R = / { 1 + / { 1 } { 2 } } { 1 - \displaystyle { / { 1 } { 2 } } } r + } / { 2 x / { 1 } { 2 } } { 1 { - } / { 1 } { 2 } } R = 3 r + 2 R . （204号

2.A解析：根据椭圆的定义，设长轴长为 2 a ，焦距为 2 c ，由题可知， 1 . 3 5 + 1 . 3 + 3 . 3 5 = 2 a ，即 a = 3 万千米，因为天平三号A(01)卫星，运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，地球半径为0.65万千米，则 a - c = 1 . 3 5 + 0 6 5 = 2 ，可得 c = 1 万千米，因此 b ^ { 2 } = a ^ { 2 } - c ^ { 2 } = 3 ^ { 2 } - 1 ^ { 2 } = 8 所以椭圆的方程为 / { x ^ { 2 } } { 9 } + / { y ^ { 2 } } { 8 } = 1

3.D 解析：由题意可知椭圆实轴长 2 a = 2 0 0 + 8 ~ 6 0 0 + 2 x 1 7 4 0 = 1 2 \ 2 8 0 ，所以 a = 6 1 4 0 ，焦距 2 c = 2 a - ( 2 0 0 + 1 7 4 0 ) x 2 = 1 2 ~ 2 8 0 - 3 ~ 8 8 0 = 8 ~ 4 0 0 , 所以 c = 4 ~ 2 0 0 ，所以椭圆的离心率 e = / { c } { a } { = } / { 4 \ 2 0 0 } { 6 \ 1 4 0 } { \approx } 0 . 6 8

4.解：(1)设抛物线的方程为 y ^ { 2 } { = } 2 p x ( p { > } 0 ) 因为 \mid A B \mid = 4 sqrt { 3 } , \mid M O \mid = 2 ，所以点 A \left( 2 , 2 { sqrt { 3 } } \right) 在抛物线上，所以 1 2 = 4 p ，故 \scriptstyle { p = 3 } ，所以抛物线的方程为 y ^ { 2 } = 6 x (2)如图，由(1)知 Q \left( - { / { 3 } { 2 } } , 0 \right)

设直线 l : y = k ( x + / { 3 } { 2 } ) , R ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) , S ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) , P ( x ,
（204号 _ y ) ，3k(x2 k ^ { 2 } x ^ { 2 } + ( 3 k ^ { 2 } - 6 ) x + / { 9 } { 4 } k ^ { 2 } = 0 ,
由 可得ly²=6.x，
由 \Delta > 0 ，得 - 1 { < } k < 1 ，且 k \neq 0 , x _ { 1 } + x _ { 2 } = { / { 6 } { k ^ { 2 } } } - 3 , x _ { 1 } x _ { 2 }
\scriptstyle = { / { 9 } { 4 } } .
分别过点 P , S 作 x 轴的垂线与过点 R 的 _ y 轴的垂线交
于点 P _ { 1 } , S _ { 1 } ，显然 P P _ { 1 } / / S S _ { 1 } ，
则有 { / { | R P | } { | P S | } } { = } { / { | R P _ { 1 } | } { | P _ { 1 } S _ { 1 } | } } { = } { / { x - x _ { 1 } } { x _ { 2 } - x } } ，同理有， * / { \left| R Q \right| } { \left| Q S \right| } { = } / { x _ { 1 } + \displaystyle / { 3 } { 2 } } { x _ { 2 } + \displaystyle / { 3 } { 2 } }
紅由 { / { \mid { \boldsymbol { R P } } \mid } { \mid { \boldsymbol { P S } } \mid } } = { / { \mid { \boldsymbol { R Q } } \mid } { \mid Q S \mid } } 得 \scriptstyle { / { x - x _ { 1 } } { x _ { 2 } - x } } = { / { x _ { 1 } + { / { 3 } { 2 } } } { x _ { 2 } + { / { 3 } { 2 } } } } ,
整理得 \scriptstyle x = { / { 2 x _ { 1 } x _ { 2 } + { / { 3 } { 2 } } ( x _ { 1 } + x _ { 2 } ) } { x _ { 1 } + x _ { 2 } + 3 } }
\begin{array} { r l r } { { = / { 2 x / { 9 } { 4 } + / { 3 } { 2 } x ( / { 6 } { k ^ { 2 } } - 3 ) } { / { 6 } { k ^ { 2 } } - 3 + 3 } } } \\ & { } & \\ & { } & { \quad = / { / { 9 } { 2 } + / { 9 } { k ^ { 2 } } - / { 9 } { 2 } } { / { 6 } { k ^ { 2 } } } = / { 3 } { 2 } . } \end{array}
又x \scriptstyle x = { / { 3 } { 2 } } 时， y = k \left( x + { / { 3 } { 2 } } \right) = 3 k ，因 - 1 < k < 1 ，且 k \neq
0，故有 y \in ( - 3 , 0 ) \bigcup ( 0 , 3 )
即点 P 的轨迹方程为 x = / { 3 } { 2 } , y \in ( - 3 , 0 ) \bigcup ( 0 , 3 )

【活动二】

5.C解析：由题意可知： \mid F _ { 1 } F _ { 2 } \mid = 2 c = 6 {cm } , \mid A F _ { 1 } \mid = a - c = 2 \ { {cm } } ，解得 c = 3 \ {cm } , a = 5 \ {cm } 可得 b = { sqrt { a ^ { 2 } - c ^ { 2 } } } = 4 { { ~cm } } ，所以 \mid B C \mid = { / { 2 b ^ { 2 } } { a } } = { / { 3 2 } { 5 } } = 6 （204号 4 ~ { {cm } }

5.B解析：由题意得 , A ( - 4 , 4 ) , B ( - 2 , 1 ) , F ( 0 , 1 ) ，设点D , E 的坐标分别为 ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) , ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) ，直线 A D y = - / { 3 x } { 4 } + 1 ，联立抛物线方程得 x ^ { 2 } + 3 x - 4 = 0 ，得 - 4 x _ { 1 } = - 4，解得 x _ { 1 } = 1 , y _ { 1 } = { / { 1 } { 4 } } ，所以 D ( 1 , / { 1 } { 4 } ) ，同理直线 B D y = 1 ，联立抛物线方程得 x ^ { 2 } = 4 得 - 2 x _ { 2 } = - 4 ，解得 x _ { 2 } = 2 , y _ { 2 } = 1 ，可得 E ( 2 , 1 ) ，所以两条反射光线 l _ { 1 } ^ { \prime } x = 1 , l _ { 2 } ^ { \prime } · x = 2 之间的距离 d = \left| 2 - 1 \right| （204号{ \bf \Pi } = 1 .

\ 7 . 1 + { sqrt { 2 } } 解析：设双曲线的右焦点为 F _ { 2 } ，依题意可得 Q ，P ， F _ { 2 } 三点共线，因为 \angle A F P = 9 0 ^ { \circ } , \angle F P Q = 1 3 5 ^ { \circ } ，所以\angle F P F _ { 2 } = 4 5 ^ { \circ } ，所以 \triangle F P F _ { 2 } 为等腰直角三角形，所以|P F _ { 2 } | = sqrt { 2 } | F F _ { 2 } | = sqrt { 2 } | F P | = 2 sqrt { 2 } c , \Psi | P F _ { 2 } | - | F P | = 2 a ，即 2 { sqrt { 2 } } c - 2 c = 2 a 所以 e = { / { c } { a } } = { / { 1 } { sqrt { 2 } - 1 } } = { sqrt { 2 } } + 1

【活动一】

I.D解析：由题意可知，椭圆 / { x ^ { 2 } } { 7 } + / { y ^ { 2 } } { 2 } = 1 的蒙日圆方程为x ^ { 2 } \ + \ y ^ { 2 } \ = \ 9 ，设点 bf { it { P } } ( \boldsymbol { bf { it { x } } } , \boldsymbol { bf { it { y } } } ) ，则 { / { | P A | } { | P B | } } = / { sqrt { ( x - 3 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } { sqrt { ( x - 4 ) ^ { 2 } + ( y - 1 ) ^ { 2 } } } { = } sqrt { 2 } ，整理可得 ( x - 5 ) ^ { 2 } + ( y - 2 ) ^ { 2 } = 4 ，圆 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 9 的圆心为原点 o ，半径为 r _ { 1 } = 3 ，圆( x - 5 ) ^ { 2 } + ( y - 2 ) ^ { 2 } = 4 的圆心为 \mathbf { { C } } ( 5 , 2 ) ，半径为 r _ { 2 } = 2 两圆圆心距为 | O C | = { sqrt { 5 ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } } } = { sqrt { 2 9 } } ，所以， | O C \mid > r _ { 1 } + r _ { 2 } ，故两圆相交，所以，点 P 的轨迹与椭圆 / { x ^ { 2 } } { 7 } + / { y ^ { 2 } } { 2 } = 1 的蒙日圆无公共点.故选D.

2 . / { 9 } { 2 } a ^ { 2 } 解析：在方程 x ^ { 3 } + y ^ { 3 } - 3 a x y = 0 中，互换 x , y 得x ^ { 3 } + y ^ { 3 } - 3 a x y = 0 ，方程不变，所以笛卡尔叶形线关于直线 y = x 对称，令 \scriptstyle x = y ，得 2 { x } ^ { 3 } - 3 a x ^ { 2 } = 0 ，解得 x = 0 或 { / { 3 } { 2 } } a ，即笛卡尔叶形线与 y = x 在第一象限的交点为 \left( { / { 3 } { 2 } } a , { / { 3 } { 2 } } a \right) ，由图象知，笛卡尔叶形线上第一象限内的点 ( / { 3 } { 2 } a , / { 3 } { 2 } a ) 离原点距离最大，所以 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } 的最大值为 \left( { / { 3 } { 2 } } a \right) ^ { 2 } + \left( { / { 3 } { 2 } } a \right) ^ { 2 } = { / { 9 a ^ { 2 } } { 2 } } .

【活动二】

3.ACD解析：对于A，由 m = 3 时， c 过坐标原点 o ，所以\mid 0 + a \mid * \mid 0 - a \mid = 9 ，所以 \mid a \mid ^ { 2 } = 9 所以 a = 3 ，故A正确；对于B，设 \boldsymbol { Q } ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { y } ) 是曲线 c 上任意一点，则 sqrt { ( x + 3 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } } ： sqrt { ( x - 3 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } } = 9 ，化简得 ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) ^ { 2 } = 1 8 ( x ^ { 2 } - y ^ { 2 } ) ，当 \scriptstyle x = 0 时， y ^ { 4 } = - 1 8 y ^ { 2 } ，只有一解 y = 0 ，所以 B 错误；对于C，由 ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) ^ { 2 } = 1 8 ( x ^ { 2 } - y ^ { 2 } ) >=slant 0 ，所以 \mid x _ { 0 } \mid >=slant \mid y _ { 0 } \mid ，故C正确；对于D，由（204号 ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) ^ { 2 } = 1 8 ( x ^ { 2 } - y ^ { 2 } ) ，得 x ^ { 4 } + ( 2 y ^ { 2 } - 1 8 ) x ^ { 2 } + y ^ { 4 } + 1 8 y ^ { 2 } = 0 ，将其看成是关于 x ^ { 2 } 的方程，则 \Delta = ( 2 y ^ { 2 } - 1 8 ) ^ { 2 }
-4(ya+18y²)=-144y²+18²≥0,故｜yo|≤, ，所以D正确.

4.ABD解析：设动点 P ( x , y ) ，因为 \mid P M \mid * \mid P N \mid = 1 0 所以| sqrt { ( x + 3 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \mid \bullet \mid sqrt { ( x - 3 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \mid = 1 0 , 对于A，令 x = 0 ，则 y = 1 ，或 _ y = - 1 ，所以交点为 { \bf \Xi } ( 0 , 1 ) ( 0 , - 1 ) ；所以A正确；对于B，点 P ( x , y ) 关于 x 轴对称的点 \boldsymbol { Q } ( \boldsymbol { x } , - \boldsymbol { y } ) ，把 Q （204号代入曲线 c 得 sqrt { ( x + 3 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \mid \bullet \mid sqrt { ( x - 3 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \mid = 10,所以B正确；对于C、D，

专 \scriptstyle \int _ { \mid { sqrt { ( x + 3 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } \mid { bf { * } } \mid { sqrt { ( x - 3 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } \mid = 1 0 , } ^ { y }
得 sqrt { ( x + 3 ) ^ { 2 } + 1 } \mid ~ \bullet \mid sqrt { ( x - 3 ) ^ { 2 } + 1 } \mid = 1 0 ，故[ ( x + 3 ) ^ { 2 } + 1 ] \bullet [ ( x - 3 ) ^ { 2 } + 1 ] = 1 0 0 ，所以 ( x ^ { 2 } + 1 0 + 6 x ) * ( x ^ { 2 } + 1 0 - 6 x ) = 1 0 0
x ^ { 4 } - 1 6 x ^ { 2 } = 0 ，所以 x = 0 , x = 4 , x = - 4 ，所以直线 _ y = 1 与曲线 c 有三个公共点，C错误，D正确.

阶段滚动检测卷（一）

答案速对

3 25 12. 4 16 y² x² 3
13. 9 27 y X 3
1 4 . x ^ { 2 } + ( y + 2 ) ^ { 2 } = 4 \quad 2 { sqrt { 1 7 } }

试题精析

1.B解析：直线 _ { y } = 2 \ 0 2 5 的倾斜角为 { 0 } ^ { \circ } ，故选B.

2.B解析：双曲线 { / { x ^ { 2 } } { 3 } } - { / { y ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } } = 1 的焦距为 4 , \dot { \bullet } . 3 + m ^ { 2 } =
2 ^ { 2 } ，解得 m ^ { 2 } = 1 ，∴则该双曲线经过一、三象限的渐近线 { sqrt { / { 1 } { 3 } } } = { / { sqrt { 3 } } { 3 } } （204号
的斜率为 故选B.

3.B解析;由题意可得|AF|=2+ ，解得 { p } = 4 ，则焦 点 F 到坐标原点 O 的距离是2.故选B.

4.B解析：将两个圆的方程化为一般式，分别为 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + 2 x - 3 = 0 和 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 4 y - 5 = 0 作差整理得 x + 2 y + 1 = 0 ，即为所求.故选B.

5.B解析：由渐近线的方程为y=2√2x易得： / { b } { 1 } = 2 sqrt { 2 } 得 b { = } 2 { sqrt { 2 } } , { \dot { \ldots } } c { = } sqrt { 1 ^ { 2 } + ( 2 sqrt { 2 } ) ^ { 2 } } { = } 3 ，从而 2 c = 6 ，故选B.

6.A解析：设 P ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) ，则 Q ( - x _ { 0 } , - y _ { 0 } ) , A ( - a , 0 ) 由题有 k _ { A P } \ \bullet \ k _ { A Q } = / { y _ { 0 } } { x _ { 0 } + a } \ \bullet \ / { - y _ { 0 } } { - x _ { 0 } + a } = - / { 1 } { 4 } 即 / { y _ { 0 } ^ { 2 } } { a ^ { 2 } - x _ { 0 } ^ { 2 } } = / { 1 } { 4 } / { x _ { 0 } ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + / { y _ { 0 } ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ，则 y _ { 0 } ^ { 2 } = b ^ { 2 } \left( 1 - / { x _ { 0 } ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } \right) , \therefore / { / { b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } ( a ^ { 2 } - x _ { 0 } ^ { 2 } ) } { a ^ { 2 } - x _ { 0 } ^ { 2 } } = / { 1 } { 4 } 得到 { / { b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } = { / { 1 } { 4 } } ： c 的离心率为 e = { / { c } { a } } = { sqrt { 1 - { / { b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } } } = { sqrt { 1 - { / { 1 } { 4 } } } } = { / { sqrt { 3 } } { 2 } } 故选A.

7.D解析：如图所示：

k _ { O P } = / { n } { m } ,
/ { m } { n } 的取值范围 \left[ - { sqrt { 3 } } , { / { sqrt { 3 } } { 3 } } \right] 直线 O P 的倾斜角的取值范围是 \left[ 0 , { / { π } { 6 } } \right] \cup \left[ { / { 2 π } { 3 } } , π \right) ，
由题意可知，直线 y = - { sqrt { 3 } } x \ . y = { / { sqrt { 3 } } { 3 } } x 3x为圆C的两条切线，即直线 { sqrt { 3 } } x + y = 0 , x - { sqrt { 3 } } y = 0 为圆 \mid { C } \mid 的两条切线，由图可知，直线 \ O C 的斜率为负数，设圆心 \boldsymbol { C } \left( \boldsymbol { a } , \boldsymbol { b } \right) ，则{ / { \left| { sqrt { 3 } } a + b \right| } { 2 } } = { / { \left| a - { sqrt { 3 } } b \right| } { 2 } } （204号 / { b } { a } < 0 ，整理可得 ( { sqrt { 3 } } a + b ) ^ { 2 } - ( a - sqrt { 3 } b ) ^ { 2 } = 0 ，即 a ^ { 2 } + 2 { sqrt { 3 } } a b - b ^ { 2 } = 0
可得 style \left( { / { b } { a } } \right) ^ { 2 } - 2 { sqrt { 3 } } * { / { b } { a } } - 1 = 0 , *s { / { b } { a } } < 0 ，解得 { / { b } { a } } = { sqrt { 3 } } - 2，因此，圆心 \mid C \mid 一定在直线 y = ( sqrt { 3 } - 2 ) x 上，即直线 \ O C （204号的斜率为 sqrt { 3 } - 2 故选D.
i.C解析：直线 l : sqrt { 3 } x - y - sqrt { 3 } = 0 ，令 y = 0 ，可得 x = 1 即直线 \mathbf { \xi } _ { l } 过点 ( 1 , 0 ) ；抛物线 C : y ^ { 2 } = 2 p { { } } x \left( \phi > 0 \right) 的焦点
F \left( { / { \hbar } { 2 } } , 0 \right) , \therefore { / { \hbar } { 2 } } = 1 ，解得 \scriptstyle p = 2 ，抛物线（ \boldsymbol { \Sigma } : \boldsymbol { y } ^ { 2 } = 4 x .由( { sqrt { 3 } } x - y - { sqrt { 3 } } = 0 （204号，消去 _ y 整理得 3 x ^ { 2 } - 1 0 x + 3 = 0 ，设y²=4x
A ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) , B ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) ，显然 \Delta > 0 ，则 x _ { 1 } + x _ { 2 } = / { 1 0 } { 3 }
A B \mid = x _ { 1 } + x _ { 2 } + p = { / { 1 6 } { 3 } } ，则以线段 _ { A B } 为直径的圆的面积 S = π x { \left( / { 8 } { 3 } \right) } ^ { 2 } = / { 6 4 π } { 9 } （204号 故选C.

9.BD解析：由已知直线 l 与 A B 平行或经过 A B 的中点.当直线 \mathbf { \xi } _ { l } 与 A B 平行时，由 A \left( 2 , 3 \right) , B \left( 4 , - 5 \right) 可得直线 it { l } 的斜率为：k=k AB= k = k _ { A B } = / { 3 + 5 } { 2 - 4 } = - 4 ，由点斜式直线 \mathbf { \xi } _ { l } 的方程为： { } _ { ; y } - 0 = - 4 ( x - 1 ) ，整理得 4 x + y - 4 = 0 ；由 A (2，（204号 { 3 ) , B ( 4 , - 5 ) } 可知其中点坐标为 ( 3 , - 1 ) ，当直线 \mathbf { \xi } _ { l } 经过 A B 的中点和点 P ( 1 , 0 ) 时，由两点式可得直线方程： { / { y - 0 } { - 1 - 0 } } { = } { / { x - 1 } { 3 - 1 } } ，整理得直线l方程为x+2y-1 = 0 故选BD.

10.BD解析：已知椭圆 C / { x ^ { 2 } } { 1 6 } + / { y ^ { 2 } } { 1 2 } = 1 ，则 \mathbf { \Psi } _ { a } = 4 \mathbf { \Psi } , b = 2 sqrt { 3 } \mathbf { \Psi } , c { } = { sqrt { a ^ { 2 } - b ^ { 2 } } } = 2 . （204号 对于A * e = / { c } { a } = / { 1 } { 2 } ，故选项A错误； 对于 { B } , \triangle P F _ { 1 } F _ { 2 } 的周长为 \mid P F _ { 1 } \mid + \mid P F _ { 2 } \mid + \mid F _ { 1 } F _ { 2 } \mid （204号 = 2 a + 2 c = 1 2 ，故选项B正确； 对于 { C } , | P F _ { { ~ l ~ } } | 的最小值为 \ a - c = 4 - 2 = 2 ，故选项C 错误； 对于 { D } , | P F _ { 1 } | \bullet | P F _ { 2 } | <=slant \Big ( / { | P F _ { 1 } | + | P F _ { 2 } | } { 2 } \Big ) ^ { 2 } = \Big ( / { 2 a } { 2 } \Big ) ^ { 2 } = 1 6 ，当且仅当 \mid P F _ { 1 } \mid = \mid P F _ { 2 } \mid = 4 时等号成立，故选项 D正确.故选BD.

11.BCD 解析：如图：

对于A，设圆 I 与 \triangle P F _ { 1 } F _ { 2 } 的三边 { P F } _ { 1 } { P F } _ { 2 } F _ { 1 } F _ { 2 } 的切点为 A , B , C 则
\begin{array} { r l } & { \left| F _ { 1 } C \right| = \left| F _ { 1 } A \right| = \left| P F _ { 1 } \right| - \left| P A \right| = \left| P F _ { 1 } \right| - \left| P B \right| = } \\ & { } \\ & { \left| P F _ { 1 } \right| - ( \left| P F _ { 2 } \right| - \left| B F _ { 2 } \right| ) = \left| P F _ { 1 } \right| - \left| P F _ { 2 } \right| + \left| B F _ { 2 } \right| } \\ & { } \\ & { = 2 a + \left| C F _ { 2 } \right| , } \end{array} 即 \mid F _ { 1 } C \mid - \mid C F _ { 2 } \mid = 2 a ，又 \mid F _ { 1 } C \mid + \mid C F _ { 2 } \mid = 2 c ，： \left| \ F _ { 1 } C \right| = c + a ，： | O C | = a ，即 I 到 _ y 轴的距离为 \scriptstyle a 故选项A错误；
对于B，过 F _ { 2 } 作直线 P I 的垂线，垂足为 D ，延长 F _ { 2 } I （204号交 P F _ { 1 } 于点 E ，由内切圆及垂线性质可知， \triangle P E D \cong \triangle P F _ { 2 } D ，则 D 为 E F _ { 2 } 中点且 \mid P F _ { 2 } \mid = \mid P E \mid ，连接O D ，由中位线定理可知 \left| O D \right| = / { 1 } { 2 } \left| F _ { 1 } E \right| = / { 1 } { 2 } ( \left| P F _ { 1 } \right| （204号- \mid P E \mid ) = / { 1 } { 2 } ( \mid P F _ { 1 } \mid - \mid P F _ { 2 } \mid ) = a ，故点 D 的轨迹在以 o 为圆心，半径 \scriptstyle a 为的圆上，故选项B正确；
对于C，若 S _ { \triangle I P F 1 } - S _ { \triangle I P F 2 } \supset / { 1 } { 3 } S _ { \triangle I F 1 F 2 } ，则等价于 \mid { P F _ { 1 } } \lvert - \rvert P F _ { 2 } \lvert >=slant / { 1 } { 3 } \lvert F _ { 1 } F _ { 2 } \rvert ，即 2 a >=slant / { 2 c } { 3 } \Rightarrow e _ { 1 } <=slant 3 ，又 \boldsymbol { e } _ { 1 } 为双曲线的离心率， e _ { 1 } > 1 ，故 1 { < } e _ { 1 } { <=slant } 3 ，故选项C正确；对于D,若 | O P | = | O F _ { 1 } 1，设椭圆的长半轴长为 \boldsymbol { a } _ { 1 } ，由\vert O P \vert = \vert O F _ { 1 } \vert = \vert O F _ { 2 } \vert 可知： \triangle P F _ { 1 } F _ { 2 } 为直角三角形，

\angle F _ { 1 } P F _ { 2 } = 9 0 ^ { \circ } , \overset { * } { * } \left\{ \begin{array} { l l } { | P F _ { 1 } | - | P F _ { 2 } | = 2 a } \\ { \qquad } \\ { | P F _ { 1 } | + | P F _ { 2 } | = 2 a _ { 1 } } \\ { \qquad } \\ { | P F _ { 1 } | ^ { 2 } + | P F _ { 2 } | ^ { 2 } = 4 c ^ { 2 } } \end{array} \right. \Rightarrow a ^ { 2 } + a _ { 1 } ^ { 2 } = （204号 2 c ^ { 2 } ，即 / { 1 } { e _ { 1 } ^ { 2 } } + / { 1 } { e _ { 2 } ^ { 2 } } = 2 ，故选项D正确.故选BCD.

1 2 . \left( x - { / { 3 } { 4 } } \right) ^ { 2 } + y ^ { 2 } = { / { 2 5 } { 1 6 } } 解析：圆 \boldsymbol { \mathscr { E } } 经过点A(0，1)，B(2，0)，则 k _ { A B } = - / 1 2 ∴圆 \boldsymbol { \mathbf { \mathit { E } } } 的圆心在线段 A B 的垂直平分线 y - { / { 1 } { 2 } } = 2 ( x - 1 ) 上.又圆 \boldsymbol { E } 的圆心在 x 轴的正半轴上，∴圆 E 的圆心坐标为 \left( { / { 3 } { 4 } } , 0 \right) .则圆 E 的半径为| E B | = { sqrt { \left( 2 - { / { 3 } { 4 } } \right) ^ { 2 } + ( 0 - 0 ) ^ { 2 } } } = { / { 5 } { 4 } } ∴圆 it { bf { E } } 的标准方程为 \left( x - { / { 3 } { 4 } } \right) ^ { 2 } + y ^ { 2 } = { / { 2 5 } { 1 6 } }
中
1 3 . { / { y ^ { 2 } } { 9 } } - { / { x ^ { 2 } } { 2 7 } } = 1 \quad y = ± { / { sqrt { 3 } } { 3 } } x 解析：由题意知， m < 0 ，椭
圆的离心率 e _ { 1 } = / { 1 } { 2 }
∴双曲线的离心率 e _ { 2 } = 2 ，即 { / { sqrt { 9 - m } } { 3 } } = 2 ·： m = - 2 7 ，即双曲线的标准方程为 { / { y ^ { 2 } } { 9 } } - { / { x ^ { 2 } } { 2 7 } } = 1 ，双曲
线的渐近线方程为 y = ± / { sqrt { 3 } } { 3 } x

14. x ^ { 2 } + ( y + 2 ) ^ { 2 } = 4 2 sqrt { 1 7 } 解析：设 P ( x , y ) 为所求轨迹上任意一点，： A ( - 1 , - 2 ) , B ( - 4 , - 2 ) ，动点 P 满足 * / { \mid P A \mid } { \mid P B \mid } = / { 1 } { 2 } , \dot { \bf * } \mid P B \mid = 2 \mid P A \mid , \dot { \bf * } \dot { \bf * } 4 \mid P A \mid ^ { 2 } = \mid P B \mid ^ { 2 } , :4 \lbrack ( x + 1 ) ^ { 2 } + ( y + 2 ) ^ { 2 } ] = ( x + 4 ) ^ { 2 } + ( y + 2 ) ^ { 2 } ，化简可得动点 P 的轨迹方程为 x ^ { 2 } + ( y + 2 ) ^ { 2 } = 4 . ：抛物线 c ·x ^ { 2 } = 8 y 的焦点 F 为(0,2)，准线为 y = - 2

·： \mid Q M \mid = \mid Q F \mid , \mid P B \mid + 2 \mid P Q \mid + 2 \mid Q M \mid = 2 \mid P A \mid + 2 \mid P Q \mid + 2 \mid Q M \mid = 2 \mid P A \mid + 2 \mid P Q \mid + 2 \mid Q F \mid = 2 ( \mid P A \mid + | P Q | + | Q F | ) { >=slant } 2 | A F | = 2 { sqrt { 1 7 } } ，当且仅当 A , P Q , F 四点共线时，等号成立 , \therefore | P B | + 2 | P Q | + 2 | Q M |的最小值为2 sqrt { 1 7 } .]

15.解：(1)由直线 \mathbf { \xi } _ { l } 的倾斜角为 { 1 2 0 } ^ { \circ } ，得其斜率 k = \tan { 1 2 0 } ^ { \circ } = - { sqrt { 3 } } , （204号∴直线 \mathbf { \xi } _ { l } 的方程为 y - 1 = - sqrt { 3 } \left( x - 2 \right) ，即 sqrt { 3 } x + y - 1 - 2 { sqrt { 3 } } = 0 .

(2)设与直线 2 x - y + 1 = 0 平行的直线 it { l } 的方程为 2 x - y + m = 0 ( m { \neq } 1 ) ,
而直线 \mathbf { \xi } _ { l } 过点 P ( 1 , 4 ) .
则 2 x 1 - 4 + m = 0 ，解得 m = 2
∴直线 \mathbf { \xi } _ { l } 的方程为 2 x - y + 2 = 0
(3)当直线 \mathbf { \xi } _ { l } 过原点时，直线 \mathbf { \xi } _ { l } 的方程为 y = { / { 1 } { 2 } } x 2x，即x
- 2 y = 0 , （204号
当直线l不过原点时，设直线l的方程为十 ，则
/ { 2 } { a } + / { 1 } { a } = 1 ,
解得 a = 3 ，方程为 x + y = 3
∴直线 \mathbf { \xi } _ { l } 的方程为 x - 2 y = 0 或 x + y - 3 = 0

16.解：(1)如图，

由题可得圆心 C _ { 1 } \left( 0 , - 5 \right) , r = sqrt { 5 }
： 1 ^ { 2 } + ( - 3 + 5 ) ^ { 2 } = 5 ，点 A \left( 1 , - 3 \right) 在圆 C _ { 1 } 上，即点A 为切点.
k _ { A C 1 } = / { - 3 + 5 } { 1 - 0 } = 2 ∴直线 it { l } 的斜率为 - { / { 1 } { 2 } }
故直线 \mathbf { \xi } _ { l } 的直线方程为 y + 3 = - / { 1 } { 2 } ( x - 1 ) ，即 x + 2 y （20+ 5 = 0 . （204
(2)∵圆 C _ { 2 } 与圆 C _ { 1 } 关于直线 \mathbf { \xi } _ { l } 对称，：点 A 恰为C _ { 1 } C _ { 2 } 的中点，
故得 C _ { 2 } ( 2 , - 1 ) ，又圆 C _ { 2 } 的半径为 sqrt { 5 } ，故 C _ { 2 } ( x - 2 ) ^ { 2 } （204号+ ( y + 1 ) ^ { 2 } = 5 .

17.解：(1)由实轴长为2可得 2 a = 2 ，得 a = 1 ·再由离心率 / { c } { a } = sqrt { 2 } ，得 \scriptstyle { c = { sqrt { 2 } } } ，: b ^ { 2 } = c ^ { 2 } - a ^ { 2 } = 1 ，可得双曲线 c 的标准方程为 x ^ { 2 } - y ^ { 2 } = 1 . ，(2)如下图所示，显然直线斜率存在，设直线方程为 y = k x + 1 ，设 A ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) , B ( x _ { 2 } , y _ { 2 } )

\begin{array} { r } { { } _ { I } x ^ { 2 } - y ^ { 2 } = 1 . } \end{array} 联立 整理可得 ( 1 - k ^ { 2 } ) x ^ { 2 } - 2 k x - 2 = 0 \scriptstyle y = k x + 1 显然 1 - k ^ { 2 } \neq 0 ，且 \Delta = ( - 2 k ) ^ { 2 } + 8 ( 1 - k ^ { 2 } ) > 0 ，解得 k ^ { 2 } { < } 2 可得 x _ { 1 } + x _ { 2 } = / { 2 k } { 1 - k ^ { 2 } } , x _ { 1 } x _ { 2 } = - / { 2 } { 1 - k ^ { 2 } } T:OA·OB=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+1)(kx+1)=(k²+1)𝑥1x+k(x1+x)+1= ( k ^ { 2 } + 1 ) \left( - { / { 2 } { 1 - k ^ { 2 } } } \right) + k { / { 2 k } { 1 - k ^ { 2 } } } + 1 = { / { - 2 } { 1 - k ^ { 2 } } } + 1 = 2 1-k²=1,解得k²=3.不满足 k ^ { 2 } < 2 且 k ^ { 2 } \neq 1 ，不合题意；因此不存在 k 满足OA· \stackrel { \triangledown } { \overrightarrow { O B } } = 2 业

3.解：(1)当椭圆焦点在 x 轴上时， e = { / { c } { 1 } } = { / { 1 } { 2 } } 则 c = / { 1 } { 2 } 因此 b { = } sqrt { 1 ^ { 2 } - \Big ( / { 1 } { 2 } \Big ) ^ { 2 } } { = } / { sqrt { 3 } } { 2 }
当椭圆焦点在 _ y 轴上时， \left\{ { { e = } / { c } { b } { = } / { 1 } { 2 } } , \right. \nonumber 解得 b = / { 2 sqrt { 3 } } { 3 } • C\scriptstyle = { / { sqrt { 3 } } { 3 } } .
综上，当椭圆焦点在 \mathbf { \Psi } _ { x } 轴上时， b { = } / { sqrt { 3 } } { 2 } ；椭圆焦点在 _ y 轴上时，6= \scriptstyle \ b = { / { 2 { sqrt { 3 } } } { 3 } }
(2)当 b = 2 时，椭圆 \boldsymbol { \mathscr { E } } \ ; x ^ { 2 } + { / { y ^ { 2 } } { 4 } } = 1 ，其中 M ( - 2 , 0 ) ，
A _ { 1 } ( - 1 , 0 ) , A _ { 2 } ( 1 , 0 )
如下图所示：
设点 P ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) ，且 { \boldsymbol x } _ { 0 } > 0 , { \boldsymbol y } _ { 0 } > 0 ，
： \triangle M A _ { 2 } P 为等腰三角形，且 P 在第一象限，已知
M ( - 2 , 0 ) , A _ { 2 } ( 1 , 0 ) , （204号
由椭圆对称性和点 P 位置可知， \left| { P M } \right| > \left| { P A _ { 2 } } \right| ，
若 \mid M A _ { 2 } \mid = \mid A _ { 2 } P \mid ，则 \mid M A _ { 2 } \mid = 1 - ( - 2 ) = 3
： \left| A _ { 2 } P \right| = 3 ，可得 sqrt { ( x _ { 0 } - 1 ) ^ { 2 } + y _ { 0 } ^ { 2 } } = 3
又 P \left( x _ { 0 } \right) _ { y _ { 0 } } ) 在椭圆 x ^ { 2 } + { / { y ^ { 2 } } { 4 } } = 1 上，： x _ { 0 } ^ { 2 } + / { y _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 } = 1 ，即
（204号 y _ { 0 } ^ { 2 } = 4 - 4 x _ { 0 } ^ { 2 } ,
将 y _ { 0 } ^ { 2 } = 4 - 4 x _ { 0 } ^ { 2 } 代入 sqrt { ( x _ { 0 } - 1 ) ^ { 2 } + y _ { 0 } ^ { 2 } } = 3 中，得到 ( x _ { 0 } （20
- 1 ) ^ { 2 } + 4 - 4 x _ { 0 } ^ { 2 } = 9 ,
展开并化简可得： \scriptstyle : x _ { 0 } ^ { 2 } - 2 x _ { 0 } + 1 + 4 - 4 x _ { 0 } ^ { 2 } = 9
即 - 3 x ^ { 2 } - 2 x _ { 0 } - 4 = 0 ,进一步变形为 3 x _ { 0 } ^ { 2 } + 2 x _ { 0 } + 4 = 0 ，
\Delta { = } 4 - 4 x 3 x 4 < 0 则此方程无实数解；故 \mid M A _ { 2 } \mid \ne
\left| A _ { 2 } P \right| ：
若 \mid M A _ { 2 } \mid = \mid M P \mid , \mid M A _ { 2 } \mid = 3 ，则 sqrt { ( x _ { 0 } + 2 ) ^ { 2 } + y _ { 0 } ^ { 2 } } = 3
将 y _ { 0 } ^ { 2 } = 4 - 4 x _ { 0 } ^ { 2 } 代入可得 ( x _ { 0 } + 2 ) ^ { 2 } + 4 - 4 x _ { 0 } ^ { 2 } = 9 ，展开
并化简：
x _ { 0 } ^ { 2 } + 4 x _ { 0 } + 4 + 4 - 4 x _ { 0 } ^ { 2 } = 9 , \mathtt { E } p - 3 x _ { 0 } ^ { 2 } + 4 x _ { 0 } - 1 = 0 ,
因式分解为 ( 3 x _ { 0 } - 1 ) ( x _ { 0 } - 1 ) = 0 ，解得 x _ { 0 } = / { 1 } { 3 } 或 x _ { 0 } =
1(舍去)，

将 x _ { 0 } = / { 1 } { 3 } 代入椭圆方程可得 y _ { 0 } = / { 4 sqrt { 2 } } { 3 } P \left( { / { 1 } { 3 } } , { / { 4 { sqrt { 2 } } } { 3 } } \right) .

(3)设直线 P Q 的方程为 x = m y - 2 , P \left( x _ { 1 } , y _ { 1 } \right) , Q \left( x _ { 2 } \right.
（2 _ { y _ { 2 } ) } ，
将 \scriptstyle x = m y - 2 代入椭圆方程 x ^ { 2 } + { / { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } = 1 ，得到 ( m y -
2 ) ^ { 2 } + / { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ,
展开并整理可得 ( m ^ { 2 } b ^ { 2 } + 1 ) y ^ { 2 } - 4 m b ^ { 2 } y + 3 b ^ { 2 } = 0 ，
由 \Delta = 4 b ^ { 2 } ( m ^ { 2 } b ^ { 2 } - 3 ) > 0 得 m ^ { 2 } b ^ { 2 } > 3
由韦达定理可得 y _ { 1 } + y _ { 2 } = { / { 4 m b ^ { 2 } } { m ^ { 2 } b ^ { 2 } + 1 } } , y _ { 1 } y _ { 2 } = { / { 3 b ^ { 2 } } { m ^ { 2 } b ^ { 2 } + 1 } } , （2号
： Q 与 R 关于原点对称，∴R ( - _ { \boldsymbol { \mathscr { x } } _ { 2 } } , - _ { \boldsymbol { \mathscr { y } } _ { 2 } } ) ：
又 A _ { 1 } ( - 1 , 0 ) , A _ { 2 } ( 1 , 0 ) ，则 \overrightarrow { A _ { 1 } R } = ( - x _ { 2 } + 1 , - y _ { 2 } ) ，
（204号 \overrightarrow { A _ { 2 } P } = ( x _ { 1 } - 1 , y _ { 1 } ) , （20
根据向量数量积求解：已知 \overrightarrow { A _ { 1 } R } * \overrightarrow { A _ { 2 } P } = - 4 ，则 ( - x _ { 2 } （204号
+ 1 ) ( x _ { 1 } - 1 ) - y _ { 1 } y _ { 2 } = - 4 , （204号
将 x _ { 1 } = m y _ { 1 } - 2 , x _ { 2 } = m y _ { 2 } - 2 代入上式可得：
( - m y _ { 2 } + 3 ) ( m y _ { 1 } - 3 ) - y _ { 1 } y _ { 2 } = - 9 - ( m ^ { 2 } + 1 ) y _ { 1 } y _ { 2 } + （204号
（204号 3 m ( y _ { 2 } + y _ { 1 } ) = - 4 ,
整理得 - ( m ^ { 2 } + 1 ) y _ { 1 } y _ { 2 } + 3 m ( y _ { 1 } + y _ { 2 } ) - 5 = 0 ,
将 y _ { 1 } + y _ { 2 } = { / { 4 m b ^ { 2 } } { m ^ { 2 } b ^ { 2 } + 1 } } , y _ { 1 } y _ { 2 } = { / { 3 b ^ { 2 } } { m ^ { 2 } b ^ { 2 } + 1 } } 代入上式可得：1
- ( m ^ { 2 } + 1 ) / { 3 b ^ { 2 } } { m ^ { 2 } b ^ { 2 } + 1 } + 3 m \ / { 4 m b ^ { 2 } } { m ^ { 2 } b ^ { 2 } + 1 } - 5 = 0 即 4 m ^ { 2 } b ^ { 2 } -
36²-5=0，
∵m²b²>3,∴3b²+5>12，7 √21
∴b²> ，又b>0，∴b>3 3

19.解：(1)根据抛物线标准方程可得：焦点坐标为（1，0），准线方程为 x = - 1

(2)直线 A B 必不垂直于 _ y 轴，设 A B 的方程为 x = m y + 2 , A \left( / { y _ { 1 } ^ { 2 } } { 4 } , y _ { 1 } \right) , B \left( / { y _ { 2 } ^ { 2 } } { 4 } , y _ { 2 } \right) ,
： y _ { 1 } , y _ { 2 } 是方程 y ^ { 2 } = 4 ( m y + 2 ) 的两根，化简得 { \boldsymbol { y } } ^ { 2 } - \begin{array} { l } { { 4 m y - 8 = 0 , } } \\ { { \ldots } } \\ { { \ldots \Delta = 1 6 m ^ { 2 } + 3 2 > 0 , y _ { 1 } + y _ { 2 } = 4 m , y _ { 1 } y _ { 2 } = - 8 ; } } \end{array} （20
则 \begin{array} { r c l c r c l c r c l } { { | } } & { { A B } } & { { | } } & { { = } } & { { sqrt { 1 + m ^ { 2 } } } } & { { | } } & { { y _ { 1 } } } & { { - } } & { { y _ { 2 } } } & { { | } } & { { = } } & { { } } \end{array} sqrt { ( 1 + m ^ { 2 } ) ( 1 6 m ^ { 2 } + 3 2 ) } = 4 \ sqrt { m ^ { 4 } + 3 m ^ { 2 } + 2 } >=slant 4 sqrt { 2 } , 当且仅当 m = 0 时等号成立.：线段 A B 长度的最小值为 4 { sqrt { 2 } } ：
(3)设 D \left( / { y _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 } , y _ { 0 } \right) ，直线 A B 必不垂直于 y 轴，设 A B ：
x = m ( y - b ) + a , A \left( / { y _ { 1 } ^ { 2 } } { 4 } , y _ { 1 } \right) , B \left( / { y _ { 2 } ^ { 2 } } { 4 } , y _ { 2 } \right) ,
y _ { 1 } , y _ { 2 } 是方程 y ^ { 2 } - 4 m y + 4 m b - 4 a = 0 的两根，
： \bullet y _ { 1 } + y _ { 2 } = 4 m , y _ { 1 } y _ { 2 } = 4 m b - 4 a \left( \ast \ \right) ;
由题意 \overrightarrow { D A } \quad * \quad \overrightarrow { D B } \quad = \quad \left( / { y _ { 1 } ^ { 2 } } { 4 } - / { y _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 } , y _ { 1 } - y _ { 0 } \right) \ .
\left( / { y _ { 2 } ^ { 2 } } { 4 } - / { y _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 } , y _ { 2 } - y _ { 0 } \right) = 0 恒成立
\therefore \left( / { y _ { 1 } ^ { 2 } } { 4 } - / { y _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 } \right) \left( / { y _ { 2 } ^ { 2 } } { 4 } - / { y _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 } \right) + ( y _ { 1 } - y _ { 0 } ) ( y _ { 2 } - y _ { 0 } ) = 0 , （204号
化简得 ( y _ { 1 } + y _ { 0 } ) ( y _ { 2 } + y _ { 0 } ) + 1 6 = 0 ，
将 ( ~ * ~ ) 式代入即 y _ { 0 } ^ { 2 } + 4 m y _ { 0 } + 4 m b - 4 a + 1 6 = 0 对于一
切实数 \mathbf { \Psi } _ { m } 恒成立，
\therefore \left\{ \begin{array} { l l } { y _ { 0 } = - b , } \\ { \quad } \\ { y _ { 0 } ^ { 2 } = 4 a - 1 6 , } \end{array} \right. 因此 b ^ { 2 } = 4 a - 1 6

单元重构项目卷（三）

项目一

【活动一】

1.B解析：设 A C 的中点为 D ，连接 B D , P D ，过 P 作 P Q \perp B D ，由正三棱锥的性质可知：PQ」面 A B C

因为 P A = P B = P C = sqrt { 6 } A B = B C = A C = 2 { sqrt { 3 } } ，可判断正三棱锥侧面为等腰直角三角形，
可得： P D = { sqrt { 3 } } B D = 3 ，设圆柱被平面 P B D 所截的截面圆为 O _ { 3 } ，在截面PBD中，连接 P O _ { 3 } 交 B D 于点 \boldsymbol { \mathbf { \mathit { E } } } ，作O _ { 3 } F \bot B D ，垂足为 F ，如图，因为 P B ^ { 2 } + P D ^ { 2 } = B D ^ { 2 } ，所以 \angle B P D = 9 0 ^ { \circ } ，因为圆 O _ { 3 } 与 P B , P D 都相切，所以 P E 是 \angle B P D 的平分线，所以∠BPE=45°，因为O3G=√3-√， ，所以 P G = O _ { 3 } G = sqrt { 3 } - { / { sqrt { 6 } } { 2 } } ,
因为 P A = P B = P C = sqrt { 6 } , A B = 2 sqrt { 3 } , P B ^ { 2 } + P C ^ { 2 } = 1 2 = A B ^ { 2 } ，所以 \triangle P B C 为等腰直角三角形，所以 \angle P B C = 4 5 ^ { \circ } \overrightarrow { P G } * \overrightarrow { B C } = ( sqrt { 3 } - / { sqrt { 6 } } { 2 } ) x 2 sqrt { 3 } x \cos ( 1 8 0 ^ { \circ } - 4 5 ^ { \circ } ) = - 3 { sqrt { 2 } } + 3 .

2.A解析：由题意可知 \overrightarrow { E B } \perp \overrightarrow { E F } , \overrightarrow { F D } \perp \overrightarrow { E F } , \overrightarrow { E B } \perp \overrightarrow { F D } ，所以EB·EF \stackrel { \triangledown } { = } 0 ,FD·EF = 0 \overrightarrow { E B } * \overrightarrow { F D } = 0 ，因为 \stackrel { \longrightarrow } { B D } = \overrightarrow { B E } + \overrightarrow { E F } + \overrightarrow { F D }

所 \imath \overrightarrow { B D } ^ { 2 } = \overrightarrow { B E } ^ { 2 } + \overrightarrow { E F } ^ { 2 } + \overrightarrow { F D } ^ { 2 } + 2 \overrightarrow { B E } * \overrightarrow { E F } + 2 \overrightarrow { E F } * \overrightarrow { F D }
+ 2 \overrightarrow { B E } * \overrightarrow { F D } = 2 5 + 1 0 0 + 2 5 = 1 5 0 ,
所以 | \overrightarrow { B D } | = 5 sqrt { 6 } ，同理可得 \vert \overrightarrow { A D } \vert = 5 sqrt { 6 } , \vert \overrightarrow { A C } \vert = 5 sqrt { 6 } , \vert （20
{ \overrightarrow { B C } } \vert = 5 { sqrt { 6 } } \ .
所以丝线缠一圈的长度为 4 x 5 sqrt { 6 } = 2 0 sqrt { 6 } \ {cm } #

3.解：(1)如图 ^ { 1 , M ^ { \prime } } N ^ { \prime } 分别是点 M ， N 在线段 A C 上的投影，则 M ^ { \prime } 为 A O 的中点，N ^ { \prime } 为 O C 的三等分点，

图1

所以tan∠MAM' \angle M A M ^ { \prime } = / { M M ^ { \prime } } { A M ^ { \prime } } = / { 4 } { 1 } = 4 4,tan ∠NON'=NN'= / { / { 2 } { 3 } O O _ { 1 } } { / { 1 } { 3 } O C } = 4 ,
所以 \angle M A M ^ { \prime } = \angle N O N ^ { \prime } ，所以 A M / / O N
又因为 A M 平面BDN，ON \subset 平面BDN，所以AM//平面BDN.(2）以 o 为原点，分别以OA，OB， \overrightarrow { O O _ { 1 } } 所在方向为 x , y , z 轴的正方向建立空间直角坐标系，
则 O ( 0 , 0 , 0 ) , B ( 0 , 2 , 0 ) , D ( 0 , - 2 , 0 ) , N ( - / { 2 } { 3 } , 0 , / { 8 } { 3 } ) , 设 E ( 2 , 0 , t ) ( 0 <=slant t <=slant 4 ) ，
\overrightarrow { D B } = ( 0 , 4 , 0 ) , \overrightarrow { D N } = ( - / { 2 } { 3 } , 2 , / { 8 } { 3 } ) , \overrightarrow { O E } = ( 2 , 0 , t ) , 若 O E \bot 平面 B D N
贝 \Im \left\{ \begin{array} { l } { { \overrightarrow { O E } * \overrightarrow { D B } = 0 } } \\ { { \qquad \Rightarrow - / { 4 } { 3 } + / { 8 } { 3 } t = 0 \Rightarrow t = / { 1 } { 2 } } } \\ { { \qquad \overrightarrow { O E } * \overrightarrow { D N } = 0 } } \end{array} \right. 即 A E = { / { 1 } { 2 } } 时，OE⊥平面BDN.

(3)设内切圆半径为 \boldsymbol { r } ，由题意可知 \triangle I _ { 1 } O I _ { 4 } 是等腰直角

三角形，
所以 2 r = sqrt { 2 } \left( 2 - r \right) \Rightarrow r = 2 ( sqrt { 2 } - 1 ) 因为 I _ { 1 } ( 2 - r , 0 , 0 ) , I _ { 2 } ( 0 , 2 - r , 0 ) , I _ { 4 } ( 0 , r - 2 , 0 ) , A _ { 1 }
(2，0，4)，
所以 \overrightarrow { I _ { 1 } A _ { 1 } } = ( r , 0 , 4 ) , \overrightarrow { I _ { 1 } I _ { 2 } } = ( r - 2 , 2 - r , 0 ) , \overrightarrow { I _ { 1 } I _ { 4 } } = ( r -
2,r-2,0)
设平面 I _ { 2 } I _ { 1 } A _ { 1 } 的法向量为 bf { \em n } = bf { ( } x , bf { ) } y , bf { ) } z bf { ) } { \mathfrak { M } } { \bigg \{ } _ { ( r - 2 ) , x + ( 2 - r ) , y = 0 } ^ { r x + 4 z = 0 } ,
令 x = 1 ，则 ±b { n } = \left( 1 , 1 , - / { r } { 4 } \right) ，同理可得平面 I _ { 4 } I _ { 1 } A _ { 1 } 的
法向量 m = ( 1 , - 1 , - / { r } { 4 } )
所以cos ⟨ n , m ⟩ = { / { n * m } { | n | \mid m | } } = { / { r ^ { 2 } } { 3 2 + r ^ { 2 } } } = { / { 2 5 - 1 6 { sqrt { 2 } } } { 1 1 3 } } , 由图可知二面角 I _ { 2 } - A _ { 1 } I _ { 1 } - I _ { 4 } 为锐角，则其余弦值
为25-162

图2

【活动二】

4.D解析：易知 \overrightarrow { P D } = \overrightarrow { B Q } = a + c - b ，设 C Q 中点为 E ，则 \overrightarrow { B G } = / { 2 } { 3 } \overrightarrow { B E } = / { 1 } { 3 } ( \overrightarrow { B \dot { Q } } + \overrightarrow { B C } ) = / { 1 } { 3 } ( \overrightarrow { B \dot { Q } } + \overrightarrow { P C } - \overrightarrow { P B } ) = / { 1 } { 3 } （20 ( a - 2 b + 2 c ) ，所以 \overrightarrow { P G } = \overrightarrow { P B } + \overrightarrow { B G } = ± / { 1 } { 3 } ( a - 2 b + 2 c ) （204号 { \bf \omega } = / 1 3 { \bf a } + / 1 3 { \bf b } + / 2 3 { \bf c } \ : ,

5.D解析：由题意得 E 是正四面体 A B C D 外接球的球心.

设点 o 是顶点A在底面的射影，则 ^ A O 是正四面体ABCD 的高，
OB是 \triangle B C D 的外接圆半径，所以 \stackrel { \triangledown } { \vec { B O } } = 2 OG,
对于A，因为 A E 上底面 B C D , C D \subset 底面 B C D ，
所以 A E \bot C D ，所以 { \overrightarrow { A E } } * { \overrightarrow { C D } } = 0 ，故A正确；
取 \boldsymbol C \boldsymbol D 的中点 G , A B 的中点 F ，连接 A G , B G , G F
设 A O \cap F G = E ^ { \prime } ，
電设 \xrightarrow { } { } _ { A E ^ { \prime } = λ } A，则 \overrightarrow { A E ^ { \prime } } = λ ( / { 2 } { 3 } \overrightarrow { A G } + / { 1 } { 3 } \overrightarrow { A B } )
由 F , E ^ { \prime } , G 三点共线得 \overrightarrow { A E ^ { ' } } = \mu \overrightarrow { A G } + ( 1 - \mu ) \overrightarrow { A F } = \mu \overrightarrow { A G } （204号+ / { 1 - \mu } { 2 } \overrightarrow { A B } ,
所以 \left\{ \begin{array} { l } { { \displaystyle { / { 2 } { 3 } } λ = \mu } } \\ { { } } \\ { { \displaystyle { / { 1 } { 3 } } λ = / { 1 - \mu } { 2 } } } \end{array} , \right. \hbar \sharp \vec { \tau } \mathtt { F } \left\{ \begin{array} { l } { { \displaystyle λ = / { 3 } { 4 } } } \\ { { } } \\ { { \displaystyle { / { 1 } { \mu } } = / { 1 } { 2 } } } \end{array} \right. ,
所以AE \overrightarrow { . A E ^ { ' } } = / { 3 } { 4 } \overrightarrow { A O } , \overrightarrow { A E ^ { ' } } = / { 1 } { 2 } \overrightarrow { A G } + / { 1 } { 2 } \overrightarrow { A F } AF，所以E'为FG的中点，
因为 A G = B G = / { sqrt { 3 } } { 2 } x 2 = sqrt { 3 } ，
则 O B = / { 2 } { 3 } B G = / { 2 } { 3 } x / { sqrt { 3 } } { 2 } x 2 = / { 2 sqrt { 3 } } { 3 } , A O = sqrt { A B ^ { 2 } - O B ^ { 2 } } = { / { 2 { sqrt { 6 } } } { 3 } } ,
因为 B E ^ { 2 } = ( A O - A E ) ^ { 2 } + B O ^ { 2 } ，即 A E ^ { 2 } = ( A O - A E ) ^ { 2 } （204号+ O B ^ { 2 } ，
A E ^ { 2 } = \left( { / { 2 { sqrt { 6 } } } { 3 } } - A E \right) ^ { 2 } + \left( { / { 2 { sqrt { 3 } } } { 3 } } \right) ^ { 2 } ，解得AE=V. 故C对于B，由 A O = { / { 2 { sqrt { 6 } } } { 3 } } , A E = { / { sqrt { 6 } } { 2 } } { \dot { \vec { \imath } } } \vec { \mp } \overrightarrow { A E } = { / { 3 } { 4 } } \overrightarrow { A \ O }
所以 \mathbf { \nabla } _ { E } , E ^ { \prime } 重合，所以 \boldsymbol { \mathscr { E } } 为 F G 的中点，即 E F = E G （204号
所以 \stackrel { \longrightarrow } { E A } + \stackrel { \longrightarrow } { E B } = 2 EF,E \dot { * } + \overrightarrow { E D } = 2 EG，则 \overrightarrow { E A } + \overrightarrow { E B } = - ( \overrightarrow { E C } + \overrightarrow { E D } )
所以 \overrightarrow { E A } + \overrightarrow { E B } + \overrightarrow { E C } + \overrightarrow { E D } = { \bf 0 } ,故B正确；
对于D,因为 cos <AC,AE>=cos <AC,AO>=AO-√.所以AC·AE=1ACIIAE1cOs AC,AE>=2X×= 2 ，故D错误.
故选D.
6.ACD解析：对于A，设该正八面体内切球的半径为 \boldsymbol { r } ，由内切球的性质可知正八面体的体积 V = 8 x / { 1 } { 3 } x / { 1 } { 2 } x 2 x 2 x \sin 6 0 ^ { \circ } \bullet r = 2 x { / { 1 } { 3 } } x 2 x 2 x { sqrt { 2 ^ { 2 } - ( { sqrt { 2 } } ) } } ^ { 2 } 解得 \boldsymbol { r } （204号= / { sqrt { 6 } } { 3 } 4 π x ( / { sqrt { 6 } } { 3 } ) ^ { 2 } = / { 8 π } { 3 } （204号故它的内切球表面积为 ，故A正确；对于B，设该正八面体外接球的半径为 R ，由题可知，四边形 A B C D 是正方形 , O A = O B = O C = O D = { / { sqrt { 2 } } { 2 } } x 2 = { sqrt { 2 } } 在 { R t } \triangle E O B 中， O E = sqrt { B E ^ { 2 } - O B ^ { 2 } } = sqrt { 2 } ，利用对称性知O F = sqrt { 2 } ，故点 o 为正八面体外接球的球心，则 R = { sqrt { 2 } } ，所以正八面体外接球的体积为 / { 8 { sqrt { 2 } } π } { 3 } （204号 ，故 B 错误；对于C，如图，因 \triangle A B E 与 \triangle B C E 是边长为2的全等的正三角形，可将 \triangle B C E 翻折到 \triangle B C E ^ { \prime } ，使其与 \triangle A B E （204号共面，从而得到一个菱形 A B C ^ { \prime } E ，连接 A C 与 B E 相交于
点P,此时 AP⊥EB,C'P⊥EB,AP=C'P=√sqrt { 3 } ，则 A P + C P 取得最小值为 2 { sqrt { 3 } } ，故C正确；对于D，由 A 可知正八面体的内切球半径为 r = { / { sqrt { 6 } } { 3 } } ，QM\begin{array} { l } { { * \overrightarrow { Q N } = ( \overrightarrow { O M } - \overrightarrow { O Q } ) * ( \overrightarrow { O N } - \overrightarrow { O Q } ) } } \\ { { \nonumber } } \\ { { = \overrightarrow { O M } * \overrightarrow { O N } - \overrightarrow { O Q } * \overrightarrow { O N } - \overrightarrow { O M } * \overrightarrow { O N } + \overrightarrow { O Q } ^ { * } = \overrightarrow { O Q } ^ { * } - / { 2 } { 3 } , } } \end{array} 由上述可知， \overrightarrow { O Q } ^ { 2 } \in [ 1 , 2 ]
当 Q 为棱 \scriptstyle { E B } 的端点时， \overrightarrow { Q M } * \overrightarrow { Q N } 取得最大值，即 \overrightarrow { Q M } ·\overrightarrow { Q N } = 2 - / { 2 } { 3 } = / { 4 } { 3 } ，当 Q 为棱 \mathbf { \nabla } _ { E B } 的中点时，QM·QN取得最小值，即 * { \overrightarrow { Q M } } * { \overrightarrow { Q N } } = 1 - { / { 2 } { 3 } } = { / { 1 } { 3 } } ，所以QM·QN得取值范围为 { \Bigg [ } { / { 1 } { 3 } } , { / { 4 } { 3 } } { \Bigg ] } .

项目二

【活动一】

1.B解析：由题意，以 A 为坐标原点， A B , A D ，AP所在直线分别为 x , y , z 轴，建系如图，

设 A D = a > 0 ，因为 P A = A B = 2 ，所以 A \left( 0 , 0 , 0 \right) , C \left( 2 \right) \ L _ { a } , \ L _ { 0 } ) , P \ L ( \ L _ { 0 } , \ L _ { 0 } , \ L _ { 2 } ) , D \ L ( \ L _ { 0 } , \ L _ { a } , \ L _ { 0 } ) ,
\stackrel { \triangledown } { \overrightarrow { A C } } = ( 2 , a , 0 ) \overrightarrow { P D } = ( 0 , a , - 2 ) ，设异面直线 P D 与 A C （204号所成角为 θ ，
则cos θ = { / { | { \overrightarrow { A C } } * { \overrightarrow { P D } } | } { | { \overrightarrow { A C } } | | { \overrightarrow { P D } } | } } = { / { a ^ { 2 } } { { sqrt { 4 + a ^ { 2 } } } x { sqrt { a ^ { 2 } + 4 } } } } = { / { 4 } { 5 } } ，解得（204号 a = 4 ，即 A D = 4

2.A 解析：在堑堵 A B C - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } 中， C C _ { 1 } 上平面 A B C \angle A C B = 9 0 ^ { \circ } , A A _ { 1 } = 2 , A C = B C = 1 , （204号以点 C 为原点， C A ， C B ， C C _ { 1 } 所在直线分别为 x , y , z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则 B _ { 1 } \left( 0 , 1 , 2 \right) , C \left( 0 , 0 , 0 \right) , A \left( 1 , 0 , 0 \right) , B \left( 0 , 1 , 0 \right) , \overline { { \overline { { C B _ { 1 } } } } } =
\left( 0 , 1 , 2 \right) , \overline { { { B \hat { A } } } } = \left( 1 , - 1 , 0 \right) , \overline { { { B B } } } _ { 1 } ^ { \ast } = \left( 0 , 0 , 2 \right) , （20
设平面 A B B _ { 1 } A _ { 1 } 的法向量 ±b { n } = ( x , y , z )
（204号 \begin{array} { r } { \mathbb { M } \left\{ \begin{array} { l l } { n * \overrightarrow { B A } = x - y = 0 } \\ { \qquad \quad , \Re x = 1 , \ i \neq n = ( 1 , 1 , 0 ) , } \\ { n * \overrightarrow { B B _ { 1 } } = 2 z = 0 } \end{array} \right. } \end{array}
设直线 \boldsymbol { B } _ { 1 } \boldsymbol { C } 与平面 A B B _ { 1 } A _ { 1 } 所成角为 θ ，则 \sin θ =
{ / { | { \overrightarrow { C B _ { 1 } } } * ±b { n } | } { | { \overrightarrow { C B _ { 1 } } } | * | ±b { n } | } } = { / { 1 } { sqrt { 5 } x { sqrt { 2 } } } } { = } / { 1 } { sqrt { 1 0 } } ,
所以cos θ = { sqrt { 1 - \sin ^ { 2 } θ } } = { sqrt { 1 - { / { 1 } { 1 0 } } } } = { / { 3 { sqrt { 1 0 } } } { 1 0 } } ，因此，直线/ { 3 { sqrt { 1 0 } } } { 1 0 } （204号
\boldsymbol { B } _ { 1 } \boldsymbol { C } 与平面 A B B _ { 1 } A _ { 1 } 所成角的余弦值为
3.A解析：建立如图所示空间直角 \_ O x y z 坐标系，在正四棱台 E F G H - M N P Q 中，点 N 到平面 E F G H 距离为 sqrt { \left( { sqrt { 3 } } \right) ^ { 2 } - \left( 2 { sqrt { 2 } } - { sqrt { 2 } } \right) ^ { 2 } } = 1 则 K \left( 3 , 0 , 0 \right) , F \left( 0 , 0 , 2 \right) , N \left( 1 , 1 , 3 \right) , Z \left( 3 , 2 , 3 \right) , \overline { { { K \dot { Z } } } } = (0，2,3), \overrightarrow { F N } = ( 1 , 1 , 1 ) ，因此cos ⟨ \overrightarrow { K Z } , \overrightarrow { F N } ⟩ = { / { \overrightarrow { K Z } * \overrightarrow { F N } } { \vert \overrightarrow { K Z } \vert \vert \overrightarrow { F N } \vert } } { / { 0 + 2 + 3 } { sqrt { 1 3 } * sqrt { 3 } } } = { / { 5 \ sqrt { 3 9 } } { 3 9 } } 所以异面直线 K Z 与
FN夹角的余弦值为539.

4 / { 7 } { 9 } 解析：设上底面圆心为 \omega ^ { \prime } ，下底面圆心为 o ，连接O O ^ { \prime } , O C , O B ，以 o 为原点，分别以 \scriptscriptstyle { { O } C , O B } O O ^ { \prime } 所在直线为 \mathbf { \Psi } _ { x } 轴， _ y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，

则 A \left( 0 , 2 , 0 \right) , A _ { 1 } \left( 0 , 2 , 2 \right) , C \left( 1 , 0 , 0 \right) , C _ { 1 } \left( 1 , 0 , 2 \right) , B _ { 1 } \left( 0 , 2 , 0 \right) , C _ { 2 } \left( 1 , 2 , 0 \right) 1 , 2 ) , D _ { 1 } ( 2 , 0 , 2 ) ，则 \overrightarrow { A B _ { 1 } } = \left( 0 , - 1 , 2 \right) , \overrightarrow { A C _ { 1 } } = \left( 1 , - 2 \right. 2)， \overrightarrow { C D _ { 1 } } = ( 1 , 0 , 2 ) , \overrightarrow { A _ { 1 } D _ { 1 } } = ( 2 , - 2 , 0 ) ，设 \boldsymbol { m } = ( x , y , z ) （204号为平面 A B _ { 1 } C _ { 1 } 的一个法向量，则 \left\{ { \begin{array} { l } { { - y + 2 z = 0 } } \\ { { } } \\ { { x - 2 y + 2 z = ( } } \end{array} } \right. ，令 _ y （204号）
= 2 可得 x = 2 , z = 1 ，所以 ±b { m } = ( 2 , 2 , 1 ) ，设 ±b { n } = ( a , b , c ) （20为平面 A _ { 1 } C D _ { 1 } 的一个法向量，则 \left\{ { \begin{array} { l } { x + 2 z = 0 } \\ { } \\ { 2 x - 2 y = 0 } \end{array} } \right. ，令 x = 2 （204号（204号
可得 y = 2 z = - 1 ，所以 ±b { n } = ( 2 , 2 , - 1 ) 设平面 A _ { 1 } C D _ { 1 } 与平面 A B _ { 1 } C _ { 1 } 所成角为 θ , θ \in [ 0 , / { π } { 2 } ] ，则cos θ = \mid \cos （204号⟨ m , n ⟩ | = { / { | m * n | } { | m | \ | n | } } { / { | 4 + 4 - 1 | } { 3 x 3 } } = { / { 7 } { 9 } } , 故平面 A B _ { 1 } C _ { 1 } 与平面 A _ { 1 } C D _ { 1 } 所成角的余弦值为 / { 7 } { 9 }

【活动二】

5.B解析：在正四棱台 A B C D - A ^ { \prime } B ^ { \prime } C ^ { \prime } D ^ { \prime } 中， A A ^ { \prime } = 1 A B { = } 2 , \angle B A A ^ { \prime } { = } / { π } { 3 } ，在侧面 A B B ^ { \prime } A ^ { \prime } 中，得 A ^ { ' } B ^ { ' } { = } A B - 2 A A ^ { \prime } { c o s } \ { / { π } { 3 } } { = } 2 { - } 2 { x } 1 { x } { / { 1 } { 2 } } { = } 1 , \updownarrow \mu { / { A ^ { \prime } B ^ { \prime } } { A B } } { = } { / { A ^ { \prime } C ^ { \prime } } { A C } } { = } { / { 1 } { 2 } } , （204号所以 A ^ { \prime } C ^ { \prime } { = } { / { 1 } { 2 } } A C ，设 { \overrightarrow { A B } } = a \overrightarrow { A D } = ±b { b } , \overrightarrow { A A ^ { \prime } } = ±b { c } ，则 | { ±b a } | = 2,|b|=2,lc|=1,所以AC=AA+A℃=AA+1\overrightarrow { A C } = \overrightarrow { A A } ^ { \ast } + / { 1 } { 2 } ( \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { A D } ) = / { 1 } { 2 } { * } { a } + / { 1 } { 2 } { b } + { c } , 则 | \overrightarrow { A C ^ { \prime } } | = sqrt { ( / { 1 } { 2 } { ±b a } + / { 1 } { 2 } { ±b b } + { ±b c } ) ^ { 2 } } { \begin{array} { l } { \displaystyle = { sqrt { / { 1 } { 4 } | a | ^ { 2 } + { / { 1 } { 4 } } | b | ^ { 2 } + | c | ^ { 2 } + a * c + b * c + { / { 1 } { 2 } } a * b } } } \\ { \displaystyle = { sqrt { / { 1 } { 4 } x 4 + { / { 1 } { 4 } } x 4 + 1 + 2 x 1 x { / { 1 } { 2 } } + 2 x 1 x { / { 1 } { 2 } } } } = { sqrt { 5 } } . } \end{array} }

6.D解析：以 o 为原点，以 O B , O C , O D 所在的直线分别为 x , y , z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设 O B = O C = O D = 1 ，可得 B ( 1 , 0 , 0 ) , C ( 0 , 1 , 0 ) , D ( 0 , 0 , 1 ) ，所\nu λ \overrightarrow { O B } = \left( 1 , 0 , 0 \right) , \overrightarrow { O C } = \left( 0 , 1 , 0 \right) , \overrightarrow { O D } = \left( 0 , 0 , 1 \right) ，设点 A （20（20 ( a , b , c ) ，可得 \overrightarrow { O A } = ( a , b , c ) ，则 \mid \overrightarrow { O A } \mid = sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } } =t,由 cos （OA,OB)= ⟨ \overrightarrow { O A } , \overrightarrow { O B } ⟩ = / { \overrightarrow { O A } * \overrightarrow { O B } } { \vert \overrightarrow { O A } \vert \vert \overrightarrow { O B } \vert } = / { a } { t } = - / { 1 } { 3 } 可得 \scriptstyle a （204号= - { / { 1 } { 3 } } t , \cos ⟨ { \overrightarrow { O A } } , { \overrightarrow { O C } } ⟩ = { / { { \overrightarrow { O A } } * { \overrightarrow { O C } } } { | { \overrightarrow { O A } } | | { \overrightarrow { O C } } | } } = { / { b } { t } } = - { / { sqrt { 7 } } { 1 2 } } 12，可得b = - { / { sqrt { 7 } } { 1 2 } } t ，所以 c = - \ { sqrt { t ^ { 2 } - a ^ { 2 } - b ^ { 2 } } } = - { / { 1 1 } { 1 2 } } t 即 \overrightarrow { O A } = ( - / { 1 } { 3 } t , - / { 1 } { 4 } t , - / { 1 1 } { 1 2 } t ) 12𝑡），所以cos （OA,OD>=/ { \overrightarrow { O A } * \overrightarrow { O D } } { \vert \overrightarrow { O A } \vert \vert \overrightarrow { O D } \vert } { = } / { - / { 1 1 } { 1 2 } t } { t } { = } - / { 1 1 } { 1 2 } .

7.A解析：如图，在线段 C D 上取点 H ，N，使得 D H { = } C N = 2 , H N { = } 4 ，在线段 A B 上取点 G , M ，使得 A G = M B = 2 , G M = 4 ，连接 E G , E H , G H , F M , F N , M N ，设 P , Q 分别为 G H , M N 的中点，连接 E P ，FQ，由题意可得， E G = E H = F M = F N = sqrt { 5 } \ , G H = M N = 4 , E P = F Q , E P \perp 平面 A B C D ，则 E P = F Q = 1 ，连接 P Q ，则 P Q / / A B / / D C 以 Q 为原点，以 Q M , Q P , Q F 所在直线为 x , y , z 轴建立空间直角坐标系，则 F \left( 0 , 0 , 1 \right) , A \left( 2 , 6 , 0 \right) , D \left( - 2 , 6 , 0 \right) , E \left( 0 , 4 , 1 \right) ，所以
\overrightarrow { A D } = ( - 4 , 0 , 0 ) , \overrightarrow { A E } = ( - 2 , - 2 , 1 ) , \overrightarrow { E F } = ( 0 , - 4 , 0 ) , （20设平面 A D E 的一个法向量为 ±b { n } = ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { y } , z ) ，则\left\{ { \begin{array} { l } { { \boldsymbol { n } } * { \overrightarrow { A D } } = 0 } \\ { \qquad \left\{ { \begin{array} { l } { { \boldsymbol { n } } * { \overrightarrow { A D } } = 0 } \\ { { \overline { { \boldsymbol { n } } } } * { \overrightarrow { A E } } = 0 } \end{array} } \right. } \end{array} } , { { } } { { } } \ ! { { } } \right. \left. { \begin{array} { l } { - 4 x = 0 } \\ { \qquad \left\{ { \begin{array} { l } { - 4 x = 0 } \\ { - 2 x - 2 y + 1 = 0 } \end{array} } \right. } \end{array} } \right. ，则可取 ±b { n } = ( 0 , / { 1 } { 2 } 1)，则点 F 到平面 A D E 的距离为 h = / { | \overrightarrow { E F } * ±b { n } | } { | ±b { n } | } = / { 2 } { sqrt { / { 5 } { 4 } } } = / { 4 { sqrt { 5 } } } { 5 } （204号 又 S _ { \triangle A D E } = / { 1 } { 2 } x 4 x sqrt { 3 ^ { 2 } - 2 ^ { 2 } } = 2 sqrt { 5 } ，所以三棱锥 F - A D E 的体积为 / { 1 } { 3 } x S _ { \Delta A D E } x h = / { 1 } { 3 } x 2 sqrt { 5 } x / { 4 sqrt { 5 } } { 5 } = { / { 8 } { 3 } } 号

试题精析

1.D 解析：由题意知，直线 \mathbf { \xi } _ { l } 的斜率为1，又经过点(3，1)，故直线 \mathbf { \xi } _ { l } 的方程为 y - 1 = x - 3 ，即 x - y - 2 = 0 故选D.

2.A解析： a + b = \left( - 2 , - 1 , 2 \right) , a - b = \left( 4 , - 3 , - 2 \right) = 则 \mathtt { \Gamma } 2 ±b { a } = \left( 2 , - 4 , 0 \right) , \Dot { ±b { * } } ±b { a } = \left( 1 , - 2 , 0 \right) , ±b { b } = \left( - 3 , 1 , 2 \right) , \Dot { ±b { * } } ±b { a } · ±b { b } = - 3 - 2 + 0 = - 5 ，故选A.

3.D1 解析：设P(x,y），则 { / { y } { x + 2 } } + { / { y } { x - 2 } } = 2 , \therefore x ^ { 2 } - x y = 4 , 又： x \neq ± 2 , \therefore x ^ { 2 } - x y = 4 ( x \neq ± 2 ) .故选D.

4.B解析：由题得 \overrightarrow { B M } = \overrightarrow { A M } - \overrightarrow { A B } = \overrightarrow { A A } + \overrightarrow { A _ { 1 } M } - \overrightarrow { A B } = （204号 \overrightarrow { A A _ { 1 } } + / { 1 } { 2 } \overrightarrow { A _ { 1 } C _ { 1 } } - \overrightarrow { A B } = - \overrightarrow { A B } + / { 1 } { 2 } \overrightarrow { A C } + \overrightarrow { A A _ { 1 } ^ { * } } = - a + / { 1 } { 2 } b （204号+ c

阶段滚动检测卷（二）

答案速对

12.-2 13

13.x-y-2=0

14.抛物线 2 { sqrt { 6 } }

故选B.

5.C解析 \angle B A C = \angle B A D = \angle C A D = / { π } { 3 } ，∵M，N分别为 B C , A D 的中点，

（204号 \therefore \overrightarrow { A M } = / { 1 } { 2 } ( \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { A C } ) , \overrightarrow { C N } = \overrightarrow { A N } - \overrightarrow { A C } = / { 1 } { 2 } \overrightarrow { A D } - \overrightarrow { A C } , （204号且AM=CN=V3.

\begin{array} { r l } & { \overrightarrow { { ~ \sf ~ \sf ~ A M ~ } } * \overrightarrow { C N } = / { 1 } { 2 } ( \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { A C } ) * \left( / { 1 } { 2 } \overrightarrow { A D } - \overrightarrow { A C } \right) = } \\ & { } \\ & { / { 1 } { 2 } \left( / { 1 } { 2 } \overrightarrow { A B } * \overrightarrow { A D } - \overrightarrow { A B } * \overrightarrow { A C } + / { 1 } { 2 } \overrightarrow { A C } * \overrightarrow { A D } - \overrightarrow { A C } ^ { 2 } \right) = } \\ & { } \\ & { / { 1 } { 2 } \left( / { 1 } { 4 } - / { 1 } { 2 } + / { 1 } { 4 } - 1 \right) = - / { 1 } { 2 } , \therefore \mid \cos \mid \overrightarrow { A M } , \overrightarrow { C N } ⟩ \mid = } \\ & { } \end{array} / { | \overrightarrow { A M } * \overrightarrow { C N } | } { | \overrightarrow { A M } | | \overrightarrow { C N } | } { = } / { / { 1 } { 2 } } { / { 3 } { 4 } } { = } / { 2 } { 3 } . 即直线 \ A M 和 C N 夹角的余弦 值为 / { 2 } { 3 } ∴正弦值为 / { sqrt { 5 } } { 3 } （204号 .故选C.

6.B解析：由已知可得 \angle D A B = \angle C B A = 9 0 ^ { \circ } \xrightarrow [ A D ] { } 与BC 的夹角为 1 5 0 ^ { \circ } , \because \overrightarrow { D C } = \overrightarrow { D A } + \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { B C } \therefore \overrightarrow { D C } ^ { 2 } = ( \overrightarrow { D A } + \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { B C } ) ^ { 2 } = \overrightarrow { D A } ^ { 2 } + \overrightarrow { A B } ^ { 2 } + \overrightarrow { B C } ^ { 2 } + 2 \overrightarrow { D A } ·AB+2DA·BC+2AB·BC,因 { \overrightarrow { D A } } * { \overrightarrow { A B } } = 2 0 { sqrt { 3 } } x 2 0 x \cos 9 0 ^ { \circ } = 0 , \overrightarrow { D A } * \overrightarrow { B C } = 2 0 sqrt { 3 } x 4 0 x \cos ( 1 8 0 ^ { \circ } - （204号 1 5 0 ^ { \circ } ) = 1 ~ 2 0 0 , \overrightarrow { A B } ~ * \overrightarrow { B C } = 2 0 x 4 0 x \cos ~ 9 0 ^ { \circ } = 0 ，故 \stackrel { \triangledown } { \vec { D C } ^ { 2 } } = （204号 ( 2 0 sqrt { 3 } ) ^ { 2 } + 2 0 ^ { 2 } + 4 0 ^ { 2 } + 2 x 1 ~ 2 0 0 = 5 ~ 6 0 0 , ± , | \overrightarrow { D C } | = { sqrt { D C ^ { 2 } } } = { sqrt { 5 ~ 6 0 0 } } = 2 0 ~ { sqrt { 1 4 } } .故选B.

7.C解析：圆 C : ( x - 1 ) ^ { 2 } + ( y + 3 ) ^ { 2 } = 2 5 的圆心 C (1， - 3 ) ，半径 r = 5 ，圆心 \boldsymbol { \mathbf { \mathit { C } } } 到直线 it { l } 的距离 d = { / { | 1 - 2 x ( - 3 ) + 3 | } { sqrt { 1 ^ { 2 } + ( - 2 ) ^ { 2 } } } } { = } 2 { sqrt { 5 } } , \therefore | A B | = 2 { sqrt { r ^ { 2 } - d ^ { 2 } } } = 2 { sqrt { 5 } } . （204号 故选C.

8.A 解析： k _ { A B } = / { y _ { 2 } - y _ { 1 } } { x _ { 2 } - x _ { 1 } } = - 1 ，且 y _ { 2 } - y _ { 1 } { = } 2 ( x _ { 2 } ^ { 2 } - x _ { 1 } ^ { 2 } ) x _ { 2 } + x _ { 1 } = - / { 1 } { 2 } 文 \left( { / { x _ { 2 } + x _ { 1 } } { 2 } } , { / { y _ { 2 } + y _ { 1 } } { 2 } } \right) . 在直线 y = x + m \ ± , \therefore { / { y _ { 2 } + y _ { 1 } } { 2 } } = { / { x _ { 2 } + x _ { 1 } } { 2 } } + m , y _ { 2 } + y _ { 1 } = x _ { 2 } + x _ { 1 } + 2 m . 又 y _ { 1 } = 2 x _ { 1 } ^ { 2 } , y _ { 2 } = 2 x _ { 2 } ^ { 2 } , \Dot { * } \colon 2 ( x _ { 2 } ^ { 2 } + x _ { 1 } ^ { 2 } ) = x _ { 2 } + x _ { 1 } + 2 m , 2 \lbrack ( x _ { 2 } + x _ { 1 } ) ^ { 2 } - 2 x _ { 2 } x _ { 1 } ] { = } x _ { 2 } + x _ { 1 } + 2 m , { \dot { * } } : 2 m = 3 , m { = } / { 3 } { 2 } .

9.ACD 解析：对于A，若 ±b { u } _ { 1 } * ±b { u } _ { 2 } = 0 ，则 ±b { u } _ { 1 } \perp ±b { u } _ { 2 } , l _ { 1 } \perp l _ { 2 } 故选项A正确；对于 { B } , { ± } _ { 1 } \perp n _ { 1 } ，则 l _ { 1 } / / α 或 l _ { 1 } \subset α ，故选项B错误；对于C，若 ±b { n } _ { 1 } * ±b { n } _ { 2 } = 0 ，则 ±b { n } _ { 1 } \perp ±b { n } _ { 2 } ±b { , α } \perp β ，故选项C正确；对于D，λ \in \mathbf { R } ，使得 { ±b n } _ { 1 } = λ { ±b n } _ { 2 } ，则 { ±b n } _ { 1 } / / n _ { 2 } ，而平面 α * β 不重合，因此 α / / β ，故选项D正确.故选ACD.

.ABC解析：由题意可得双曲线 c 的焦点在 x 轴上，且
c = 5 . { A } 选项，若离心率为 / { 5 } { 4 } 则 \scriptstyle a = 4 , \therefore b ^ { 2 } = c ^ { 2 } - a ^ { 2 } =
9,此时双曲线的方程为 { / { x ^ { 2 } } { 1 6 } } - { / { y ^ { 2 } } { 9 } } = 1 ，故A正确； { ~ B ~ } 选项，
若双曲线过点 \left( 5 , { / { 9 } { 4 } } \right) 则 \left\{ { \begin{array} { l } { \displaystyle 2 5 - { / { 8 1 } { b ^ { 2 } } } = 1 , } \\ { a ^ { 2 } - b ^ { 2 } = 1 , } \\ { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = c ^ { 2 } = 2 5 , } \end{array} } \right. 解得（204_ { / } a ^ { 2 } = 1 6 此时双曲线的方程为 { / { x ^ { 2 } } { 1 6 } } - { / { y ^ { 2 } } { 9 } } = 1 ，故B正确；C{ \left| { b ^ { 2 } } = 9 \right. } ，
选项，若双曲线的渐近线方程为 3 x ± 4 y = 0 ，可设双曲
线的方程为 { / { x ^ { 2 } } { 1 6 } } - { / { y ^ { 2 } } { 9 } } = m \left( m > 0 \right) , \dot { \left. { \dot { * } } c ^ { 2 } \right.} = 1 6 m + 9 m = 2 5
解得 m = 1 ，∴此时双曲线的方程为 { / { x ^ { 2 } } { 1 6 } } - { / { y ^ { 2 } } { 9 } } = 1 ，故C正确；D选项，若实轴长为4，则 a = 2 , \therefore b ^ { 2 } = c ^ { 2 } - a ^ { 2 } = 2 1 ，此时双曲线的方程为 / { x ^ { 2 } } { 4 } - / { y ^ { 2 } } { 2 1 } = 1 ，故D错误.故选ABC.

11.ACD解析：以 D 为坐标原点， , D A , D C , D D _ { 1 } 所在直线分别为 x , y , z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

不妨设正方体 A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 } 的棱长为2，则 A (2，\left. 0 , 0 \right) , A _ { 1 } \left( 2 , 0 , 2 \right) , B _ { 1 } \left( 2 , 2 , 2 \right) , D _ { 1 } \left( 0 , 0 , 2 \right) ，可设 P ( 2 , 0 ，x ) , 0 { <=slant } x { <=slant } 2 ，则 A P = x , A _ { 1 } P = 2 - x , \overrightarrow { D _ { 1 } B _ { 1 } } = ( 2 , 2 , C { } ) , \overrightarrow { D _ { 1 } A } _ { 1 } ^ { * } = ( 2 , 0 , 0 ) , \overrightarrow { D _ { 1 } \hat { P } } = ( 2 , 0 , x - 2 ) , \overrightarrow { A A } _ { 1 } ^ { * } = ( 0 , 0 , 2).
对于A，设平面 P B _ { 1 } D _ { 1 } 的法向量为 ±b { n } = ( a , b , c ) ，则\left\{ \begin{array} { l l } { { ±b { n } } * { \overrightarrow { D _ { 1 } B _ { 1 } } } { = } 2 a + 2 b { = 0 } , } \\ { { \qquad ±b { \hat { \eta } } } * { \overrightarrow { D _ { 1 } B _ { 1 } } } { = } 2 a + ( x - 2 ) c = 0 , } \end{array} \right. x \displaystyle { \boldsymbol { c } } , { \boldsymbol { c } } = - 2 ，即 ±b { n } = ( x - 2 , 2 - x , - 2 )
设直线 A A _ { 1 } 与平面 P B _ { 1 } D _ { 1 } 所成的角为 θ ，则 \sin θ = 1 cos \overrightarrow { A A _ { 1 } } , n \mid = / { \vert \overrightarrow { A A _ { 1 } } * n \vert } { \vert \overrightarrow { A A _ { 1 } } \vert * \vert n \vert } = / { \vert - 4 \vert } { 2 * sqrt { 2 ( x - 2 ) ^ { 2 } + 4 } } = { / { sqrt { 2 } } { sqrt { ( x - 2 ) ^ { 2 } + 2 } } } , \because \circ <=slant x <=slant 2 , { \dot { \mathfrak { x } } } * { / { sqrt { 3 } } { 3 } } <=slant { / { sqrt { 2 } } { sqrt { ( x - 2 ) ^ { 2 } + 2 } } } <=slant 1 , （204号\scriptstyle \eta \displaystyle / { sqrt { 3 } } { 3 } <=slant \sin θ <=slant 1 , sqrt { \eta } \displaystyle / { sqrt { 3 } } { 3 } < \sin / { π } { 3 } = \displaystyle / { sqrt { 3 } } { 2 } < 1 ，故存在点 P 使得直线 A A _ { 1 } 与平面 P B _ { 1 } D _ { 1 } 所成的角为 / { π } { 3 } ，故选项A正确.
对于B,如上图，取 \boldsymbol { B } _ { 1 } \boldsymbol { D } _ { 1 } 的中点为 o ，连接 A _ { 1 } O , P O ，则 A _ { 1 } O \bot B _ { 1 } D _ { 1 } ，又 P B _ { 1 } = P D _ { 1 } , \therefore P O \bot B _ { 1 } D _ { 1 } ，可知\angle P O A _ { 1 } 即为二面角 P / / B _ { 1 } D _ { 1 } / / A _ { 1 } 的平面角，则tan\angle P O A _ { 1 } = / { A _ { 1 } P } { A _ { 1 } O } （2 ，设直线 P Q 与直线 B _ { 1 } D _ { 1 } 交于点 H ：A A _ { 1 } 上平面 A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 } ,∴∠PHA即为直线 P Q 与平面 A _ { 1 } B _ { 1 } D _ { 1 } 所成的角，则tan \angle P H A _ { 1 } = / { A _ { 1 } P } { A _ { 1 } H } =AH∵AO上 B _ { 1 } D _ { 1 } ，： A _ { 1 } H >=slant A _ { 1 } O ，则tan \angle P O A _ { 1 } >=slant \tan （204号\angle P H A _ { 1 } ，即 \angle P O A _ { 1 } >=slant \angle P H A _ { 1 } ，即直线 P Q 与平面（204号 A _ { 1 } B _ { 1 } D _ { 1 } 所成的角小于等于二面角 P / - B _ { 1 } D _ { 1 } - A _ { 1 } ，故选

项B错误；对于C，D，如图，

点 Q 到直线 A A _ { 1 } 和到平面 A B C D 的距离相等，则点Q 的轨迹即为以 A A _ { 1 } 为轴，A为顶点，与轴夹角为 4 5 ^ { \circ } （204的圆锥面与平面 P B _ { 1 } D _ { 1 } 的交线，当点 P 不与点 A 和点\boldsymbol { A } _ { 1 } 重合时，： A _ { 1 } O \bot B _ { 1 } D _ { 1 } , P O \bot B _ { 1 } D _ { 1 } , A _ { 1 } O \cap P O = O , A , O C 平面 A _ { 1 } O P ，OPC平面 A _ { 1 } O P ，
: B _ { 1 } D _ { 1 } 上平面 A _ { 1 } O P ，又 B _ { 1 } D _ { 1 } \subset 平面 P B _ { 1 } D _ { 1 } ，平面P B _ { 1 } D _ { 1 } 上平面 A _ { 1 } O P ，
则直线 A A _ { 1 } 与平面 P B _ { 1 } D _ { 1 } 所成角为 \angle A _ { 1 } P O ，则tan \angle A _ { 1 } P O { = } / { A _ { 1 } O } { A _ { 1 } P } { = } / { sqrt { 2 } } { A _ { 1 } P } AP,当AP=√2时,tan∠APO= / { sqrt { 2 } } { A _ { 1 } P } = 1 ，此时直线 A A _ { 1 } 与平面 P B _ { 1 } D _ { 1 } 所成角等于4 5 ^ { \circ } ，则点 Q 的轨迹为抛物线；当 sqrt { 2 } < A _ { 1 } P < 2 时，（20 \tan \angle A _ { 1 } P O = / { sqrt { 2 } } { A _ { 1 } P } < 1 = \tan 4 5 ^ { \circ } ，即 \angle A _ { 1 } P O < 4 5 ^ { \circ } ，则点 Q 的轨迹为双曲线，故选项C，D正确.故选ACD.

12.—213解析： a \perp b ，则 bf { \em a } * bf { \em b } = 4 x 1 + 2 m + 0 x 1 2 = 0 解得 m = - 2 . 则 ±b { a } = ( 4 , - 2 , 0 ) a ^ { 2 } = 4 ^ { 2 } + ( - 2 ) ^ { 2 } + 0 ^ { 2 } = 2 0 , b ^ { 2 } = 1 ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } + 1 2 ^ { 2 } = 1 4 9 , | a - b | = { sqrt { | a - b | ^ { 2 } } } = { sqrt { a ^ { 2 } - 2 a * b + b ^ { 2 } } } = { sqrt { 2 0 + 1 4 9 } } = { sqrt { 1 6 9 } } = 1 3 .

1 1 3 . x - y - 2 = 0 解析：直线 \mathbf { \xi } _ { l } 方程变形为 ( 2 x + y - 7 ) m + x + y - 4 = 0 , \# \left\{ { \begin{array} { l } { 2 x + y - 7 = 0 , } \\ { \qquad \# \# \# \left\{ { \begin{array} { l } { x = 3 , } \\ { y = 1 , } \end{array} } \right. } \end{array} } \right. （204号即直线 \lfloor （204号过定点 N ( 3 , 1 ) ，当直线 \mathbf { \xi } _ { l } 与直线 M N 垂直时，点 M 到直线 l 的距离最大，又 M ( 4 , 0 ) ，此时 k _ { M N } = / { 1 - 0 } { 3 - 4 } = - 1 则 k _ { l } = 1 ，则直线 \mathbf { \xi } _ { l } 的方程为 y - 1 = x - 3 ，即 x - y - 2 \begin{array} { r } { { \bf \Pi } = 0 . } \end{array}

14.抛物线 2 sqrt { 6 } 解析：平面 A B C D \bot 平面 A D D _ { 1 } A _ { 1 } ，平面 A B C D \cap 平面 A D D _ { 1 } A _ { 1 } = A D ，而 P \in 平面A B C D ，： P 到直线 A D 的距离就是 P 到平面 A D D _ { 1 } A _ { 1 } 的距离，由 P 到平面 A D D _ { 1 } A _ { 1 } 的距离等于线段 P M 的长度，可知点 P 轨迹是以 M 为焦点， A D 为准线的抛物线，建立如图所示的空间直角坐标系 ( A M 的中点 o 为原点，与正方体的棱平行的直线为坐标轴）， M ( 1 , 0 , 0 ) =A \left( - 1 , 0 , 0 \right) , B _ { 1 } \left( 3 , 0 , 4 \right) ，点 P 的轨迹方程是 y ^ { 2 } = 4 x (0<=slant x <=slant 3 , 0 <=slant y <=slant 2 { sqrt { 3 } } ) , B _ { 1 } P = { sqrt { ( x - 3 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } + 1 6 } } = sqrt { { x } ^ { 2 } - 2 { x } + 2 5 } ，∴ x = 1 时 , B _ { 1 } P _ { { \it m i n } } = 2 sqrt { 6 } ，

15.解：(1)将圆 C : x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + 2 x - 6 y + 6 = 0 化为标准方程为 ( x + 1 ) ^ { 2 } + ( y - 3 ) ^ { 2 } = 4 ∴圆 c 的圆心坐标为 C ( - 1 , 3 ) ，半径为2，∴直线 it { l } 经过点 P ( 1 , 0 ) , C ( - 1 , 3 ) 则直线 \mathbf { \xi } _ { l } 的斜率 k = / { 3 - 0 } { - 1 - 1 } = - / { 3 } { 2 } 整理得直线 \mathbf { \xi } _ { l } 的方程为 y = - / { 3 } { 2 } ( x - 1 ) ，即 3 x + 2 y - 3 （204号\begin{array} { r } { { \bf \Pi } = 0 . } \end{array}

(2)由(1)知，当直线 l 的斜率不存在时，即直线 \mathbf { \xi } _ { l } 的方程为 x = 1 ，此时直线 \mathbf { \xi } _ { l } 满足题意；当直线 \mathbf { \xi } _ { l } 的斜率存在时，设直线 \mathbf { \xi } _ { l } 的方程为 y = k \left( x - \right.

1)，即 k x - y - k = 0 ，
则圆心 c 到直线 \mathbf { \xi } _ { l } 的距离 d = / { \mid - k - 3 - k \mid } { sqrt { k ^ { 2 } + 1 } } = 2 ，解得 k （20
= - { / { 5 } { 1 2 } } ,
故直线 l 的方程为 5 x + 1 2 y - 5 = 0
综上，直线 \mathbf { \xi } _ { l } 的方程为 x = 1 或 5 x + 1 2 y - 5 = 0

16.解：（1)依题意，底面ABCDEF为正六边形，连接对角线且交点记为 \mid O ，如图，

\overrightarrow { A _ { 1 } \dot { C } } = \overrightarrow { A _ { 1 } \dot { A } } + \overrightarrow { A \dot { B } } + \overrightarrow { B \dot { C } } = \overrightarrow { A _ { 1 } \dot { A } } + \overrightarrow { A \dot { B } } + \overrightarrow { A \dot { O } } = - \overrightarrow { A \dot { A _ { 1 } } } + \begin{array} { r l } & { \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { A F } } \\ & { } \\ & { = 2 \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { A F } - \overrightarrow { A A _ { 1 } ^ { * } } = 2 a + b - c , } \\ & { } \\ & { \overrightarrow { A _ { 1 } D } = \overrightarrow { A _ { 1 } C } + \overrightarrow { C D } = \overrightarrow { A _ { 1 } C } + \overrightarrow { A F } = 2 a + b - c + b = 2 a + } \\ & { } \\ & { 2 b - c , } \end{array} 由 A B = 2 , A A _ { 1 } = 5 ，则 | ±b { a } | = | ±b { b } | = 2 , | ±b { c } | = 5
由cos \angle B A A _ { 1 } = \cos \angle F A A _ { 1 } = / { 1 } { 5 } ，则 \mathbf { \psi } _ { a } * \mathbf { \psi } _ { b } = \left| \mathbf { \psi } _ { a } \right| \left| \mathbf { \psi } _ { b } \right| COS / { 2 π } { 3 } = - 2
it { bf { a } } * it { bf { c } } = \left| bf { \em a } \right| \mid ε \mid cos \angle B A A _ { 1 } = 2 , ±b { b } * ±b { c } = | ±b { b } | | ±b { c } | cos \angle F A A _ { 1 } = 2
\begin{array} { r l } & { \overrightarrow { A _ { 1 } } \overrightarrow { C } * \overrightarrow { A _ { 1 } D } = ( 2 a + b - c ) * ( 2 a + 2 b - c ) = 4 \mid a \mid ^ { 2 } + 2 \mid } \\ & { } \\ & { b \mid ^ { 2 } + \mid c \mid ^ { 2 } + 6 a * b - 4 a * c - 3 b * c } \\ & { } \\ & { = 1 6 + 8 + 2 5 - 1 2 - 8 - 6 = 2 3 . } \end{array}

(2)由(1)知 * \overrightarrow { A E _ { 1 } } = \overrightarrow { A F } + \overrightarrow { F E } + \overrightarrow { E E _ { 1 } } = \overrightarrow { A F } + \overrightarrow { A O } + \overrightarrow { E E _ { 1 } } = \overrightarrow { A F } + \overrightarrow { A F } + \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { A A _ { 1 } } = \mathbf { { } } a + 2 b + c , （20

因此 | \overline { { { A E } } } _ { 1 } ^ { \star } | ^ { 2 } = | a + 2 b + c | ^ { 2 } = | a | ^ { 2 } + 4 | b | ^ { 2 } + | c | ^ { 2 } + 4 a { \begin{array} { r l } & { \bullet + 2 a \bullet c + 4 b \bullet c } \\ & { } \\ & { = 4 + 1 6 + 2 5 - 8 + 4 + 8 = 4 9 , } \\ & { } \\ & { \bullet \mid { \overrightarrow { A E _ { 1 } } } \mid = 7 . } \end{array} }

17.解： ( 1 ) (0，2)是椭圆短半轴的一个顶点，则 b = 2 又 \mid F _ { 1 } F _ { 2 } \mid = 4 sqrt { 2 } ，则 c = 2 { sqrt { 2 } } ，由 a ^ { 2 } = b ^ { 2 } + c ^ { 2 } = 1 2 ，则 a = 2 { sqrt { 3 } } ，： c 的方程为 / { x ^ { 2 } } { 1 2 } + / { y ^ { 2 } } { 4 } = 1

(2)如下图所示，

根据椭圆的定义及 \angle F _ { 1 } P F _ { 2 } = 9 0 ^ { \circ } 可得 \mid P F _ { 1 } \mid + \mid P F _ { 2 } \mid \scriptstyle = 4 { sqrt { 3 } } ，①
\vert P F _ { 1 } \vert ^ { 2 } + \vert P F _ { 2 } \vert ^ { 2 } = \vert F _ { 1 } F _ { 2 } \vert ^ { 2 } , { 2 }
联立 ① ② 得 \mid P F _ { 1 } \mid \bullet \mid P F _ { 2 } \mid = 8
则 \triangle P F _ { 1 } F _ { 2 } 的面积为 / { 1 } { 2 } | P F _ { 1 } | * | P F _ { 2 } | = 4 .
： \triangle { O P F _ { 2 } } 的面积是 { P F } _ { 1 } F _ { 2 } 的面积为 / { 1 } { 2 }
： \triangle { O P F _ { 2 } } 的面积为2.

18.解：(1)在四棱锥 P / / B C D 中，取 P D 的中点 Q ，连接AQ,NQ,由 M , N 分别为 A B , P C 的中点，N Q / / C D , N Q { = } / { 1 } { 2 } C D , 又四边形 A B C D 是正方形，则 A M / / C D / / N Q , A M = / { 1 } { 2 } C D = N Q ,

于是四边形AMNQ是平行四边形， . M N / / A Q 而AQC平面 P A D ,MN平面 P A D ，:MN//平面 P A D ：

(2)以 D 为原点，直线DA，DC，DP分别为 x , y , z 轴建
立空间直角坐标系，
则 D ( 0 , 0 , 0 ) , M ( 2 , 1 , 0 ) , N ( 0 , 1 , 1 ) ，平面 P A D 的一个
法向量为 ±b { n } = ( 0 , 1 , 0 ) ，
设平面 M N D 的法向量 ±b { m } = ( x , y , z ) , \overrightarrow { D M } = ( 2 , 1 , 0 )
\overrightarrow { D N } = ( 0 , 1 , 1 ) ，m·DM=2x+y=0,令 x = 1 则 y = - 2 , z = 2 , . ：m·DN=y+z=0,
±b { m } = \left( 1 , - 2 , 2 \right) , （204号
∴平面 P A D 与平面 M N D 夹角的余弦值为|cOs ⟨ m , n ⟩ （20
\mid = { / { \mid m \mid } { \mid m \mid \mid n \mid } } = { / { 2 } { 3 } } .
(3)A(2，0，0)，P(0，0，2)，C(0，2，0)，B(2，2，0)，
假定在棱 P A 上存在一点 E ，满足条件，
\Leftrightarrow \overrightarrow { A E } = λ \overrightarrow { A P } = λ ( - 2 , 0 , 2 ) = ( - 2 λ , 0 , 2 λ ) , 0 { <=slant } λ { <=slant } 1 ,
\begin{array} { r l } & { \overrightarrow { D E } = \overrightarrow { D A } + \overrightarrow { A E } = ( 2 - 2 λ , 0 , 2 λ ) , \overrightarrow { C B } = ( 2 , 0 , 0 ) , \overrightarrow { C P } = } \\ & { \overrightarrow { ( 0 , - 2 , 2 ) } , } \end{array}
设平面PBC的一个法向量 ±b { \mathscr { u } } = ( α , b , c ) ，则u·CB=2a=0,取 b = 1 ，得 ±b { u } = ( 0 , 1 , 1 ) u·CP=-2b+2c=0,
则直线 D E 与平面 P B C 所成角正弦值为 \mid \cos \mid \overrightarrow { D E } , ±b { u } ⟩ \mid

= / { | \overrightarrow { D E } * ±b { u } | } { | \overrightarrow { D E } | \ | ±b { u } | } { = } / { 2 λ } { sqrt { ( 2 - 2 λ ) ^ { 2 } + 4 λ ^ { 2 } } \ \bullet sqrt { 2 } } { = } / { 1 } { 2 } , 解得 λ = / { 1 } { 2 } ，在棱 P A 上存在一点 E ，使得直线 D E 与平面 P B C 所成角为 / { π } { 6 } ，点 \boldsymbol { \mathscr { E } } 为 P A 中点.

9.解：(1)由四边形 A B C D 是直角梯形 , A B = 2 { sqrt { 3 } } B C = 2 A D { = } 4 , A B \bot B C , （204号 可得 D C = 4 \angle B C D = / { π } { 3 } ，从而 \triangle B C D 是等边三角形， { B D } { = } 4 , B D 平分 \angle A D C ： E 为 \boldsymbol { c D } 的中点，∴ D E = A D = 2 , \therefore B D \bot A E . （204号 又： P B \bot A E , P B \cap B D = B ,BDC平面PBD, P B \subset 平 面 P B D ， ∴AE上平面 P B D A E \subset 平面 A B C D ：平面PBD」平面 A B C D

(2)(i)在平面PBD内作 P O \perp B D 于 o ，连接 \ O C ，由

(1)有 A E 上平面 P B D
又： A E \subset 平面 A B C D ，平面PBD」平面 A B C D
：平面PBD∩平面 A B C D = B D , P OC平面 P B D ，
PO上平面 A B C D ，
·： \angle P C O 为 P C 与平面ABCD所成的角，则 \angle P C O
= / { π } { 4 }
∴由题意得 O P = O C = 2 { sqrt { 3 } }
： P B = P D , P O \bot B D , \therefore O 为 B D 的中点，
:OC⊥BD.又 B D = { sqrt { B A ^ { 2 } + A D ^ { 2 } } } = { sqrt { 1 2 + 4 } } = 4 ，
∴三棱锥 P -BDC的体积为 V = { / { 1 } { 3 } } * { / { 1 } { 2 } } B D * O C * P O
= { / { 1 } { 6 } } x 4 x 2 { sqrt { 3 } } x 2 { sqrt { 3 } } = 8 .

（ii)方法一：（向量法）以 O B , O C , O P 所在的直线分别为 x , y , z 轴建立空间直角坐标系，

则 B ( 2 , 0 , 0 ) , C ( 0 , 2 sqrt { 3 } , 0 ) , D ( - 2 , 0 , 0 ) , P ( 0 , 0 , 2 sqrt { 3 } ) , （204号假设在侧面 P C D 内存在点 N ，使得BN \perp 平面 P C D 成立，
（204号 \begin{array} { r } { \tilde { \imath } \overrightarrow { { R } N } = λ \overrightarrow { P D } + \mu \overrightarrow { P C } ( λ , \mu >= 0 , λ + \mu <=slant 1 ) , } \end{array} （204号
由题意得 N ( - 2 λ , 2 sqrt { 3 } \mu , - 2 sqrt { 3 } ( λ + \mu - 1 ) )
\begin{array} { r l } & { \overrightarrow { B N } = ( - 2 λ - 2 , 2 sqrt { 3 } \mu , - 2 sqrt { 3 } ( λ + \mu - 1 ) ) , \overrightarrow { P C } = ( 0 , } \\ & { 2 sqrt { 3 } , - 2 sqrt { 3 } ) , \overrightarrow { P D } = ( - 2 , 0 , - 2 sqrt { 3 } ) , } \\ & { \psi \left\{ \begin{array} { l l } { \overrightarrow { B N } * \overrightarrow { P \tilde { C } } = 0 , } \\ { \vdots } \\ { \overrightarrow { B N } * \overrightarrow { P \tilde { D } } = 0 , } \end{array} \right. , } \end{array} （20解得 λ { = } / { 1 } { 5 } , \mu { = } / { 2 } { 5 } 1
满足题意 , \therefore N \left( - { / { 2 } { 5 } } , { / { 4 { sqrt { 3 } } } { 5 } } , { / { 4 { sqrt { 3 } } } { 5 } } \right) ，点 N 存在.
\begin{array} { r l } & { \overrightarrow { P C } = tt { ( 0 , 2 , sqrt 3 , - 2 , sqrt 3 ) , } P tt { ( 0 , 0 , 2 , sqrt 3 ) , } \overrightarrow { N P } } \\ & { } \\ & { = \left( / { 2 } { 5 } , - / { 4 sqrt 3 } { 5 } , / { 6 sqrt 3 } { 5 } \right) , } \\ & { } \\ & { \therefore \mid \overrightarrow { N P } \mid = / { 4 } { 5 } sqrt { 1 0 } , \mid \overrightarrow { P C } \mid = 2 sqrt { 6 } , \overrightarrow { N P } * \overrightarrow { P C } = 3 x 4 = 1 2 , } \end{array} ∴点 N 到直线 P C 的距离 d = \mid \overrightarrow { N P } \mid * \sin θ = \mid \overrightarrow { N P } \mid ：sqrt { 1 - \left( / { \overrightarrow { N P } * \overrightarrow { P C } } { \vert \overrightarrow { N P } \vert * \vert \overrightarrow { P C } \vert } \right) ^ { 2 } } = / { sqrt { 1 0 } } { 5 } .
方法二：(传统方法)由条件可知， { \cal B P } = { \cal B D } = { \cal B C } = 2 且三角形 P D C 为 P D = D C = 4 , P C = 2 { sqrt { 6 } } 的等腰锐角三角形，点 B 在三角形 P D C 内的射影 N 为等腰锐角三角形PDC的外心，
∴点 N 必在侧面 P C D 的内部.
由(i)知三棱锥 P -BDC的体积为 V = 8 , S _ { \triangle P D C } = / { 1 } { 2 } x 2
{ sqrt { 6 } } x { sqrt { 4 ^ { 2 } - ( { sqrt { 6 } } ) ^ { 2 } } } = 2 { sqrt { 1 5 } } , （204号
由体积转化可得 V _ { P * B D C } = / { 1 } { 3 } x S _ { \triangle P D C } x B N = 8 , \dot { * } A B N
= { / { 4 \ { sqrt { 1 5 } } } { 5 } } ,
在直角 \triangle B P N 中，由勾股定理可得 P N =
sqrt { B P ^ { 2 } - B N ^ { 2 } } = / { 4 \ { sqrt { 1 0 } } } { 5 } ,
E 为 P C 的中点， P E = sqrt { 6 } ，
：点 N （204号 到直线 P C 的距离 \begin{array} { r c l } { d } & { = } & { N E } \end{array} =
{ sqrt { \left( { / { 4 \ { sqrt { 1 0 } } ^ { 2 } } { 5 } } \right) - ( { sqrt { 6 } } ) ^ { 2 } } } = { / { sqrt { 1 0 } } { 5 } } .

单元重构项目卷(四)

项目一

【活动一】

1.C解析：当 2 在两个4的左边时，两个 4 中间必有一个1，另外两个 1 可以插空，共有 C _ { 3 } ^ { 2 } = 3 种；由对称性可得，当 2 在两个4的右边时，共有3种；当 2 在两个4的中间时，形成 4 个空，将3个1插入其中，共有 C _ { 4 } ^ { 3 } = 4 种；综上，共有10种;故选C.

2.B解析：若选的数字只有一个1，此时有两个偶数，则不同的排列方法有 C _ { 2 } ^ { 1 } A _ { 4 } ^ { 4 } = 4 8 种；若选的数字有两个1，则不同的排列方法有 2 x A _ { 4 } ^ { 2 } + 2 x 2 x A _ { 4 } ^ { 2 } = 7 2 种.故共有48+ 7 2 = 1 2 0 种不同的设置方法.故选B.

3.B解析：由题意知可将 ^ { 1 , 4 } 当成一个整体来计算，和0，3总计有 A _ { 3 } ^ { 3 } 种排法，再根据插空法可得总排法有 A _ { 3 } ^ { 3 } ·A _ { 2 } ^ { 2 } \bullet C _ { 4 } ^ { 2 } = 3 x 2 x 2 x 4 x 3 / 2 = 7 2 . 故选：B

4.252，42解析：根据题意，小明用5个“洞”和5个“拐”随意传递密码，总共有 C _ { 1 0 } ^ { 5 } = / { 1 0 x 9 x 8 x 7 x 6 } { 5 x 4 x 3 x 2 x 1 } = 2 5 2 种排列方式.要满足“每个“洞”之前“拐”的个数多于“洞”的个数”，可以画图，从 o 点开始，每出现一个“拐”则上升一节，每出现一个“洞"则下降一节，因为总共有5个“洞”和5个“拐”，所以最终一定会到达 \scriptstyle { E _ { 6 } } 点，在虚线 O E _ { 6 } 上方的方法都是符合题意的.

利用节点法计算， O 点到 A _ { 1 } 点有 1 种方法，所以在 A _ { 1 } 点上方标“1”，到 \boldsymbol { B } _ { 2 } 点有 1 + 1 = 2 种方法，所以在 B _ { 2 } 点上方标“2”，依次标注到 E _ { 6 } 处为 4 2 ，因此符合题意的方法数为42.

【活动二】

5.A解析：先从4个位置中选 1 个，从0到9这10个数字中选一个数字放入，剩下的三个位置再从剩下的9个数字中选一个数字放入（三个位置数字相同），有 C _ { 4 } ^ { 1 } C _ { 1 0 } ^ { 1 } C _ { 9 } ^ { 1 } = 3 6 0 种方法，所以所求概率 P = / { 3 6 0 } { 1 0 ^ { 4 } } = / { 3 6 } { 1 ~ 0 0 0 } = 0 . 0 3 6 故选：A.

6.首先，名文长度为17个字符，需要填入5列的矩阵中。由于每行5列，总行数需满足覆盖所有字符，因此行数应向上取整为 \Big [ / { 1 7 } { 5 } \Big ] = 4 行，总容量为 4 x 5 = 2 0 个位置。明文本身占 ^ { 1 7 } 个字符，因此需要补充 2 0 - 1 7 = 3 个填充字符 x ，使最后一行完整。

接下来，分析秘钥的有效排列数目。根据条件 ③ ，原第5列必须固定在新排列的第5位，因此只需排列前4列（原列 1 至4)。条件 ① 要求原列2和3必须相邻，可将两者规为一一个地”，内部有两种排刻片式（ 2 - 3 或3-21。此时，需排列的元素 P l 括原列1、原列 4 和 2 - 3 块”.共计 3 个元素，其排列方式为3！一6忡.再乘以“决”的内部附列方式 2 种.总大有 6 \ x 2 - \ 1 2 种可能。然而，条件Q 规定原列 1 不出现什新排列的第 1 位，内此需要排除原列 1 什第一位的情况。当原列 ^ { 1 } 什第一一位时，剩朵两个元素（原列 4 初块")的报列方式为 2 ! \ = \ 2 种。再承以妖的内部川列方式2种，得到非法排列数 2 \ x 2 = 4 种。最终合法排外效为总排列数减去非法情况，即 1 2 { ~ - 4 - } 8种有效密甸。最心。计算不同密文的理论最人数是。口于原充字符 2 需补满最后一行，且明文长度为17，最厂一行原有 2 个明文字符和3个 x .侗2的位置可什该行 5 个位置中什 t 3 个，因此填升小式共有自 ) = 1 0 种可能。每种頃充方式对应不同的矩阵结构，再结合8科有效密钥川列，密文的总可能数为填充方式与密排列的求积，即 1 0 \ x 8 \ - \ 8 U 种不同密文。

项目二

【活动一】

1.B解析：按照 A 场地安排人数，可以分以下两类：第一类 , A 场地安排 1 人，共 C _ { 3 } ^ { 1 } C _ { 3 } ^ { 2 } A _ { 2 } ^ { 2 } = 1 8 种安排方法，第二类，A场地安排 2 人，共 C _ { 3 } ^ { 2 } A _ { 2 } ^ { 2 } = 6 种安排方法，由分类加法计数原理得，共有 1 8 + 6 = 2 4 (种)不同安排方法.故选B

【活动二】

2.C解析：马术比赛和跑步比赛不相邻的情况为 : A _ { 2 } ^ { 2 } A _ { 3 } ^ { 2 } = 12种，马术比赛和跑步比赛不相邻且游泳比赛在第一或最后一场的情况为： 2 A _ { 2 } ^ { 2 } = 4 种，故不同的比赛方式共有A _ { 2 } ^ { 2 } A _ { 3 } ^ { 2 } - 2 A _ { 2 } ^ { 2 } = 1 2 - 4 = 8 种.故选C.

【活动三】

3.解：(1)先将4首歌曲捆绑，四首歌曲内部全排列，有 \boldsymbol { A } _ { 4 } ^ { 4 } 种情况，再将捆绑好的4首歌曲看做一个整体与3个舞蹈排序，有 A _ { 4 } ^ { 4 } 种情况，所以有 A _ { 4 } ^ { 4 } * A _ { 4 } ^ { 4 } = 5 76(种)不同的出场顺序.

(2)先将4首歌曲排好，有 A _ { 4 } ^ { 4 } 种情况，再将3个舞蹈排入4首歌曲隔开的5个空中，
有 A _ { 5 } ^ { 3 } 种情况，所以有 A _ { 4 } ^ { 4 } \ * \ A _ { 5 } ^ { 3 } = 1 4 4 0 (种)不同的出场顺序.

项目三

【活动一】

1.1013解析：因为杨辉三角的第 it { n } 行就是 ( a + b ) ^ { n } 的展开式的二项式系数，即 C _ { n } ^ { 0 } , C _ { n } ^ { 1 } , *s , C _ { n } ^ { n } ，当 n 为偶数时中间一项最大，因为 n = 2024，所以 C _ { 2 0 2 4 } ^ { 0 } C _ { 2 0 2 4 } ^ { 1 } ，， C _ { 2 0 2 4 } ^ { 2 0 2 4 } 中间一项最大，且为第1013个数最大，故答案为1013；

2.256解析：杨辉三角中第8行的各数之和为 C _ { 8 } ^ { 0 } + C _ { 8 } ^ { 1 } + （20 *s + C _ { 8 } ^ { 8 } = 2 ^ { 8 } = 2 5 6

【活动二】

3.3" 解析：记第 n 行的第 i 个数为 \boldsymbol { a } _ { i } ，则 a _ { i } = C _ { n } ^ { i - 1 } （20贝 \underset { i = 1 } { \overset { n + 1 } { \sum } } 2 ^ { i - 1 } a _ { i } = \underset { i = 1 } { \overset { n + 1 } { \sum } } 2 ^ { i - 1 } C _ { n } ^ { i - 1 } = C _ { n } ^ { 0 } 2 ^ { 0 } + C _ { n } ^ { 1 } 2 ^ { 1 } + *s + C _ { n } ^ { n } 2 ^ { n } = ( 1 + 2 ) ^ { n } = 3 ^ { n }

4.560 解析：杨辉三角中第2行到第15行各行第3个数之和为：\begin{array} { l } { { C _ { 2 } ^ { 2 } + C _ { 3 } ^ { 2 } + C _ { 4 } ^ { 2 } + C _ { 5 } ^ { 2 } + \dots + C _ { 1 5 } ^ { 2 } = C _ { 3 } ^ { 3 } + C _ { 3 } ^ { 2 } + C _ { 4 } ^ { 2 } + C _ { 5 } ^ { 2 } + \dots + } } \\ { { \ } } \\ { { C _ { 1 5 } ^ { 2 } = C _ { 1 6 } ^ { 3 } } } \\ { { \ } } \\ { { \displaystyle = / { 1 6 x 1 5 x 1 4 } { 3 x 2 x 1 } { = 5 6 0 } . } } \end{array}

5.C解析：由"杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记 \boldsymbol { a } _ { n } 为图中所选数1，1,2，3，6，10，20，，构成的数列 \{ a _ { n } \} 的第 n 项，根据数字的构成规律，可得数列的奇数项为每行数列的 2项，偶数项为每行的第”+1 项，则 a _ { \ 1 2 } 即第11行的第 （204号 { / { 1 1 + 1 } { 2 } } = 6 项，结合二项展开式的二项式系数的性质，可得 a _ { 1 2 } = C _ { 1 1 } ^ { 6 } = 4 6 2 故选C.

【活动三】

6.解：存在，理由如下：设在第 n 行存在连续三项 C _ { n } ^ { k - 1 } \mathbf { \nabla } _ { * } C _ { \ n } ^ { k } C _ { n } ^ { k + 1 } ，其中 n \in N ^ { * } 且 \begin{array} { r } { n >= 2 , k \in N ^ { * } } \end{array} 且 k >=slant 2 ，有 美 / { C _ { n } ^ { k - 1 } } { C _ { n } ^ { 4 } } = / { 3 } { 8 } 且 （204号 { / { C _ { n } ^ { k } } { C _ { n } ^ { k } } } = { / { 8 } { 1 4 } } ，化简得 { / { k } { n - k + 1 } } = { / { 3 } { 8 } } 且 / { k + 1 } { n - k } = / { 8 } { 1 4 } ，\displaystyle { } _ { I } 3 n + 3 = 1 1 k 即 ，解得 k = 3 , n = 1 0 ，22k-8n+14=0所以 C _ { 1 0 } ^ { 2 } = 4 5 , C _ { 1 0 } ^ { 3 } = 1 2 0 , C _ { 1 0 } ^ { 4 } = 2 1 0 故这三个数依次是45，120，210.

阶段滚动检测卷（三）

答案速对

12.5

13.2

14.11 192

试题精析

1.D解析：已知 A 机器中有7个娃娃，那么从 A 机器中抓取 1 个娃娃，就有 ^ 7 种不同的情况，已知 B 机器中有8个娃娃，那么从 B 机器中抓取 1 个娃娃，就有8种不同的情况.根据分步乘法计数原理，得到总的不同情况数为 7 x 8 = 5 6 (种).故选D.

2.C解析：由a \perp b 可得 it { a } * it { b } = 2 x 4 + 3 λ + 2 = 0 ，解得 λ （20 = - { / { 1 0 } { 3 } } （204号 .故选C.

3.B解析：易知 \left( x + { / { 1 } { x } } \right) ^ { 6 } 的展开式的各项系数分别为C _ { 6 } ^ { \circ } , C _ { 6 } ^ { 1 } , C _ { 6 } ^ { 2 } , C _ { 6 } ^ { 3 } , C _ { 6 } ^ { 4 } , C _ { 6 } ^ { 5 } , C _ { 6 } ^ { 6 } ，由二项式系数的对称性可知系数最大的项为第四项 { C _ { 6 } ^ { 3 } } .故选B.

4.B解析：用 0 , 1 , *s , 9 十个数字，先取百位数有9种情况，无重复数字再取十位数有9种情况，最后个位数字有8种情况.：可以组成无重复数字的三位数的个数为 9 x 9 x 8 = 6 4 8 . 故选B.

5.D解析：令 \scriptstyle x = 1 可得 ( 1 + m ) ^ { 6 } = a _ { 0 } + a _ { 1 } + a _ { 2 } + *s + a _ { 6 } （20= 6 4 ，因此可得 1 + m = ± 2 ，解得 m = 1 或 m = - 3 . 故选D.

6.B解析： M 在 P A 上， N 在 B C 上，且 P M = 3 M A ,BN= 2 N C * { \overrightarrow { M N } } = { \overrightarrow { M A } } + { \overrightarrow { A B } } + { \overrightarrow { B N } } = { / { 1 } { 4 } } { \overrightarrow { P A } } + { \overrightarrow { A B } } + { / { 2 } { 3 } } { \overrightarrow { B C } } = / { 1 } { 4 } \overrightarrow { P \tilde { A } } + ( \overrightarrow { P \tilde { B } } - \overrightarrow { P \tilde { A } } ) + / { 2 } { 3 } ( \overrightarrow { P \tilde { C } } - \overrightarrow { P \tilde { B } } ) = - / { 3 } { 4 } \overrightarrow { P \tilde { A } } + / { 1 } { 3 } \overrightarrow { P \tilde { B } } + / { 2 } { 3 } \overrightarrow { P C } .故选B.

7.B解析：先求 ( x ^ { 2 } - y - 1 ) ^ { 6 } 展开式中含 x y ^ { 4 } , x ^ { 2 } y ^ { 2 } （20x ^ { 2 } y ^ { 4 } 的项，易知 ( x ^ { 2 } - y - 1 ) ^ { 6 } = [ x ^ { 2 } + ( - y - 1 ) ] ^ { 6 } ，显然其不含 x y ^ { 4 } ，含 x ^ { 2 } y ^ { 2 } , x ^ { 2 } y ^ { 4 } 的项分别为 { C } _ { 6 } ^ { 5 } ~ ( { x } ^ { 2 } ) { C } _ { 5 } ^ { 3 } ·( - y ) ^ { 2 } ( - 1 ) ^ { 3 } , { C } _ { 6 } ^ { 5 } ( x ^ { 2 } ) { C } _ { 5 } ^ { 1 } ( - y ) ^ { 4 } ( - 1 ) ^ { 1 } , ∴在 ( x + y ^ { 2 } - 1 ) ( x ^ { 2 } - y - 1 ) ^ { 6 } 的展开式中， x ^ { 2 } y ^ { 4 } 的系数为 { C } _ { 6 } ^ { 5 } x { C } _ { 5 } ^ { 3 } ~ ( - 1 ) ^ { 3 } + ( - 1 ) x { C } _ { 6 } ^ { 5 } x { C } _ { 5 } ^ { 1 } ~ ( - 1 ) ^ { 1 } = - 3 0 . 故选B.

A解析：各位数字之和为5的四位数叫“吉祥数”，按首位数字分别计算，
当首位数字为5时，则剩余三位数分别是0，0，0，共有1个“吉祥数”；
当首位数字为4时，则剩余三位数分别是1，0，0，共有3个“吉祥数”；
当首位数字为3时，则剩余三位数分别是1，1，0或2，0，0，共有 3 + 3 = 6 个“吉祥数”；
当首位数字为2时，剩余三位数分别是2，1，0或3，0，0或1,1,1，共有 { A _ { 3 } ^ { 3 } + 3 + 1 } = 1 0 个“吉祥数”；
当首位数字为1时，则剩余三位数分别是3，1，0或4，0，0或1，1，2或2，2，0，共有 { A } _ { 3 } ^ { 3 } + 3 + 3 + 3 = 1 5 个“吉祥数”，则共有 1 + 3 + 6 + 1 0 + 1 5 = 3 5 个“吉祥数”
故选A.

9.BCD解析：第 4 项与第5项的二项式系数相等，： { { C } } _ { n } ^ { 3 } = { C } _ { n } ^ { 4 } ，解得 n = 7 ，故选项A错误；

令 x = 1 ，可得展开式中所有项的系数和为 \left( { / { 2 } { 1 } } - 1 \right) ^ { 7 } = 1，故选项B正确；
在 \left( { / { 2 } { x } } - x \right) ^ { 7 } 中，第 r + 1 项 T _ { r + 1 } = { \bf C } _ { 7 } ^ { r } * 2 ^ { \imath - r } * \left( / { 1 } { x } \right) ^ { \imath - r } ( - x ) ^ { r } = \mathbf { C } _ { 7 } ^ { x } \ \bullet \ 2 ^ { 7 - r } \ \bullet \ ( - 1 ) ^ { r } \ \bullet \ x ^ { 2 r - 7 } ，取 2 r - 7 = 0 ，即 r = / { 7 } { 2 } \not \in { \bf N } ，∴不存在常数项，故选项C正确；
取 2 r - 7 = 5 ，即 r = 6 , \therefore T _ { 7 } = { C } _ { 7 } ^ { 6 } 2 ^ { 1 } \bullet ( - 1 ) ^ { 6 } \bullet x ^ { 5 } = 1 4 x ^ { 5 } ， x ^ { 5 } 的系数为 ^ { 1 4 } ，故选项D正确.故选BCD.
).BCD解析：对于A，圆 o 的圆心为(0，0)，： a x 0 + ( a + 1 ) x 0 + 2 = 2 \neq 0 ，∴不存在 \mathbf { α } _ { a } ，使得直线 l 经过圆心，即不存在实数 \scriptstyle a ，使圆 o 关于直线l对称.故选项A
错误；对于B， 2 a - 2 ( a + 1 ) + 2 = 0 恒成立，：直线 \lfloor 过定点( 2 , - 2 ) ，故选项B正确；对于C， 2 ^ { 2 } + ( - 2 ) ^ { 2 } = 8 < 9 ，∴点 ( 2 , - 2 ) 在圆 O : x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 9 内部，又直线 \mathbf { \xi } _ { l } 过定点 ( 2 , - 2 ) ，直线 \mathbf { \xi } _ { l } 与圆
O 必有两个不同的公共点，故选项C正确；对于D，当 a = - { / { 1 } { 2 } } 时，直线l * - { / { 1 } { 2 } } x + \left( - { / { 1 } { 2 } } + 1 \right) y + 2 = 0 即 x - y - 4 = 0 . 圆心 o 到直线 \mathbf { \xi } _ { l } 的距离为： d = / { 4 } { sqrt { 2 } }
= 2 { sqrt { 2 } } ，弦长为 2 \ { sqrt { R ^ { 2 } - d ^ { 2 } } } = 2 \ { sqrt { 9 - 8 } } = 2 ，故选项D正确.故选 BCD.

11.ABD解析：根据题意可得， , B _ { 1 } \left( 2 , 0 , 4 \right) , C \left( 0 , 4 , 0 \right) ，则 \overrightarrow { B _ { 1 } C } = ( - 2 , 4 , - 4 ) ，故选项A正确； { A } ( 0 , 0 , 0 ) , C \left( 0 , 4 , 0 \right) , C _ { 1 } \left( 0 , 2 , 4 \right) , \overrightarrow { C C } _ { 1 } = \left( 0 , - 2 , 4 \right) , （204号 \overrightarrow { C M } = / { 2 } { 3 } \overrightarrow { C C } _ { 1 } ^ { * } = / { 2 } { 3 } \left( 0 , - 2 , 4 \right) = \left( 0 , - / { 4 } { 3 } , / { 8 } { 3 } \right) , \overrightarrow { A C } = （0，4，0），则 \overrightarrow { A M } = \overrightarrow { A C } + \overrightarrow { C M } = ( 0 , ~ 4 , ~ 0 ~ ) ~ + ~ （20号 \left( 0 , - { / { 4 } { 3 } } , { / { 8 } { 3 } } \right) = \left( 0 , { / { 8 } { 3 } } , { / { 8 } { 3 } } \right) , \because { \overrightarrow { A M } } * { \overrightarrow { B _ { 1 } C } } = { / { 8 } { 3 } } x 4 + / { 8 } { 3 } x ( - 4 ) = \boldsymbol { 0 } , \therefore A M \bot B _ { 1 } C ，故选项B正确； { B } ( 4 , 0 , 0 ) , A _ { 1 } ( 0 , 0 , 4 ) ，则 \overrightarrow { B B _ { 1 } } = ( - 2 , 0 , 4 ) , \overrightarrow { A _ { 1 } C } = ( 0 , 4 , - 4 ) ，设异面直线 B B _ { 1 } 与 A _ { 1 } C 所成的角为 θ ，则 \cos θ （204号 = | \quad \cos \quad ⟨ \ \overrightarrow { B B _ { 1 } ^ { \star } } , \ \overrightarrow { A _ { 1 } C } \ ⟩ \quad | \quad = \ / { | \overrightarrow { B B _ { 1 } ^ { \star } } * \overrightarrow { A _ { 1 } C } | } { | \overrightarrow { B B _ { 1 } ^ { \star } } | | \overrightarrow { A _ { 1 } C } | } = { / { 1 6 } { { sqrt { 4 + 1 6 } } x { sqrt { 1 6 + 1 6 } } } } = { / { sqrt { 1 0 } } { 5 } } ，故选项C错误； \overrightarrow { B C } = ( - 4 , 4 , 0 ) ，则点 B 到直线 A _ { 1 } C 的距离为 d = sqrt { | \overrightarrow { B C } | ^ { 2 } - \left( / { \overrightarrow { B C } * \overrightarrow { A _ { 1 } C } } { \vert \overrightarrow { A _ { 1 } C } \vert } \right) ^ { 2 } } = sqrt { 1 6 + 1 6 - \left( / { 1 6 } { sqrt { 1 6 + 1 6 } } \right) ^ { 2 } } = 2 sqrt { 6 } ，故选项D正确.故选ABD.

12.5解析：设二项展开式中的第 k + 1 ( k \in \mathbf { N } ) 项含有 \mathbf { \Psi } _ { x } ，即 { C } _ { 5 } ^ { k } \boldsymbol { x } ^ { 5 - k } \boldsymbol { 1 } ^ { k } 中含有 x 项，令 5 - k = 1 ，可得 k = 4 ；：含（204号 x 的项为 { { C } } _ { 5 } ^ { 4 } x = 5 x ，可得 \mathbf { \Psi } _ { x } 的系数为5.

3.2解析：抛物线 y ^ { 2 } = 8 x 的焦点为(2，0)，抛物线的准线为 l : x = - 2 ，圆 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 4 x + 3 = 0 变形为 ( x - 2 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1 ，则圆心为抛物线 y ^ { 2 } = 8 x 的焦点 F ，半径为 R = 1.点 M 为抛物线 y ^ { 2 } = 8 x 上任意一点，当三点 M , N , F 共线，取 \mathsf { I } M N \mathsf { I } 最小值，最小值为 | M F | { - } R = | M F | { - } 1 ∴ \lvert M P \rvert + \lvert M N \rvert 取最小值时，即 \lvert M P \rvert + \lvert M F \rvert - 1 取最小值，如图，过点 M 作 M E \bot l 于点 E ，由抛物线定义可知， | M F | = | M E | , \dot { \ast } * | M P | + | M N | >=slant | M P | + | M F | - 1 = | M P | + | M E | - 1 >=slant | P E | - 1 ，当 P , M , E 三点共线，当 | P E | = 3 时，等号成立. \mid M P \mid + \mid M N \mid >=slant 3 - 1 \displaystyle = 2 . 则 \lvert M P \rvert + \lvert M N \rvert 的最小值为2.

14.11192解析：如图所示，灰色代表图书位置，此时有1 1 本图书，接下来说明不可能有 1 2 本图书，考虑数字控制的区域，假设有一种方式可以达到8本图书，首先左上角区域只有 2 本图书(下图左)，在大图中去掉后变成了下图中间的样子，并且图中应有6本图书.类似的，下方数字 2 代表周围单元格中有 2 本图书，再去掉后形如下方右侧图形，此时需要填4本图书，但只剩下三个空方格，矛盾！故最多有 ^ 7 本，结合不受限制的区域，最多能抽中 7 + 4 = 1 1 本书.

接下来求所有可能的方法数.

情形一：

如图所示，？处有图书时，在左上数字2的周围有两种情形，若数字3右侧方格无图书，则4周围的图书排布方式已经固定，此时下方数字2的排布方式也被固定，此时中间数字3周围只有两本图书，矛盾！：中间数字3右侧必有图书.

此时如上右图阴影区域中有且仅有一本图书，故下方数字 2 左侧或右侧有一本图书.若下方数字 2 左侧有一本图书，则右侧没有图书，此时 ^ { 4 } 周围的图书排布已经固定，则此时3周围图书也已经符合题意，只有一种情形.若下方数字 2 右侧有一本图书，此时考虑下方数字 2 周围还应存在的一本图书的位置，若在2右上方，即上左图中☆位置，则满足题意，并且此时3周围也满足题意，4 周围还剩一本图书，共有两种选择，共两种；若不在2右上方，则4周围图书的排布已经符合题意，3周围还应有一本图书，共有两种选择.
综上，在情形一中，根据分类加法和分步乘法计数原理，共有 2 x ( 1 + 2 + 2 ) = 1 0 （种）可能.

情形二：

如图所示，？处无图书时，左上数字2的图书排布被固定，与情形一类似讨论，可知3右侧必有图书，此时根据3周围应还有2本图书得到下方的2左右两侧均无图书（否则下方2周围图书数目大于2），故 4 周围的图书排列方式被固定，：3周围还应有一本图书，共有两种选择.故情形二共有2种可能.：共有 2 ^ { 4 } x ( 2 + 1 0 ) = 192种.

15.解：(1) * \left( x - 2 \right) \left( x + 1 \right) ^ { n } = a _ { 0 } + a _ { 1 } x + a _ { 2 } x ^ { 2 } + *s + an+1xn+1∴令 \scriptstyle x = 1 时 , a _ { 0 } + a _ { 1 } + a _ { 2 } + *s + a _ { n + 1 } = - 3 2 = - 2 ^ { n } ，·： n = 5

(2)由(1)知 ( x - 2 ) ( x + 1 ) ^ { 5 } = ( x - 2 ) \bullet ( \mathbf { C } _ { 5 } ^ { 0 } x ^ { 5 } + \mathbf { C } _ { 5 } ^ { 1 } x ^ { 4 } \begin{array} { l } { + *s + { C } _ { 5 } ^ { 5 } ) } \\ { \qquad \ } \\ { \therefore a _ { 3 } x ^ { 3 } = x * { C } _ { 5 } ^ { 3 } x ^ { 2 } + ( - 2 ) { C } _ { 5 } ^ { 2 } x ^ { 3 } = - 1 0 x ^ { 3 } , \dot { \mathbf { \Omega } } : a _ { 3 } = - 1 0 . } \end{array}

16.解：(1)先从另外3道工序中任选 2 道工序放在最前和最后，有 { A } _ { 3 } ^ { 2 } = 6(种)不同的排法，再将剩余的3道工序全排列，有 { A _ { 3 } ^ { 3 } } = 6 （种）不同的排法，故由分步乘法原理可得，共有 6 x 6 = 3 6 * （种）加工顺序，(2)先排这2道工序，有 { A } _ { 2 } ^ { 2 } = 2(种)不同的排法，再将它们看作一个整体，与剩余的工序全排列，有 { A } _ { 4 } ^ { 4 } = 2 4 (种)不同的排法，故由分步乘法原理可得，共有 2 x 2 4 = 4 18(种)加工顺序.

(3)先排其余的3道工序，有 { A } _ { 3 } ^ { 3 } = 6 (种)不同的排法，出现 4 个空位，再将这2道工序插空，
有 { A } _ { 4 } ^ { 2 } = 1 2 （种)不同的排法，：由分步乘法原理可得，共有 6 x 1 2 = 7 2 (种)加工顺序.

17.解：(1)依题可知 a = 2 当 A C \bot C E 时，由 S _ { \triangle A C E } = / { 1 } { 2 } | A C \mid * \mid C E \mid = { / { 1 } { 2 } } / { 4 } { 3 } * | C E | = / { 8 } { 9 } ，得 | C E | = / { 4 } { 3 } 即点 \left( - { / { 2 } { 3 } } , { / { 4 } { 3 } } \right) 在椭圆 C : / { x ^ { 2 } } { 4 } + / { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 上，代入得/ { \left( - / { 2 } { 3 } \right) ^ { 2 } } { 4 } + / { \left( / { 4 } { 3 } \right) ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ，解得 b = { sqrt { 2 } } ，故椭圆 c 的方程为 / { x ^ { 2 } } { 4 } + / { y ^ { 2 } } { 2 } = 1 业

(2)延长 F D 交椭圆 c 于点 M ，连接 B M
由图形的对称性可知 A E / / B M ，则 \boldsymbol { k } _ { 1 } = \boldsymbol { k } _ { B M } ：
设直线 F D 方程： \mathbf { \Phi } _ { x = t y + / { 2 } { 3 } , F ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) , M ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) } 联立 \left\{ { \begin{array} { l } { \displaystyle x = t y + { / { 2 } { 3 } } , } \\ { \displaystyle } \\ { \displaystyle x ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 } - 4 = 0 , } \end{array} } \right. 消去 x ，整理得 ( t ^ { 2 } + 2 ) { y ^ { 2 } } + / { 4 } { 3 } t y （204号
\begin{array} { l } { \displaystyle - / { 3 2 } { 9 } = 0 , } \\ { \displaystyle } \\ { \displaystyle \therefore y _ { 1 } + y _ { 2 } = - / { 4 t } { 3 ( t ^ { 2 } + 2 ) } , y _ { 1 } \bullet y _ { 2 } = - / { 3 2 } { 9 ( t ^ { 2 } + 2 ) } . } \end{array}
要证 \boldsymbol { k } _ { 1 } \boldsymbol { k } _ { 2 } 为定值，即证 \boldsymbol { k } _ { 2 } * \boldsymbol { k } _ { B M } 为定值，即证 / { y _ { 1 } } { x _ { 1 } - 2 } / { y _ { 2 } } { x _ { 2 } - 2 } { = } / { y _ { 1 } y _ { 2 } } { \left( x _ { 1 } - 2 \right) \left( x _ { 2 } - 2 \right) } 为定值.
\because ( x _ { 1 } - 2 ) ( x _ { 2 } - 2 ) = \left( t y _ { 1 } - { / { 4 } { 3 } } \right) \left( t y _ { 2 } - { / { 4 } { 3 } } \right) = t ^ { 2 } y _ { 1 } y _ { 2 } - / { 4 } { 3 } t ( y _ { 1 } + y _ { 2 } ) + / { 1 6 } { 9 } = - / { 3 2 t ^ { 2 } } { 9 ( t ^ { 2 } + 2 ) } - / { 4 } { 3 } t * / { - 4 t } { 3 ( t ^ { 2 } + 2 ) } + / { 1 6 } { 9 } = / { 3 2 } { 9 ( t ^ { 2 } + 2 ) } / { y _ { 1 } } { x _ { 1 } - 2 } / { y _ { 2 } } { x _ { 2 } - 2 } { = } - 1 为定值，即 \boldsymbol { k } _ { 1 } \boldsymbol { k } _ { 2 } （204号 （204号 （204号 （204号
= - 1 为定值.

18.(1)证明：∵侧面 A C C _ { 1 } A _ { 1 } 与侧面 B C C _ { 1 } B _ { 1 } 均为正方形，\because C C _ { 1 } \bot A C , C C _ { 1 } \bot B C , 又A C \cap B C = C A C B C \subset 平面ABC，∴ C C _ { 1 } \bot 平面 A B C ：

(2)证明：： B B _ { 1 } / / C C _ { 1 } ， B B _ { 1 } 上平面 A B C 由 A C \subset 平面 A B C 得， B B _ { 1 } \bot A C ∵BD⊥AC,AC/AC，∴BD⊥AC， 又 B B _ { 1 } \cap B _ { 1 } D = B _ { 1 } B B _ { 1 } B _ { 1 } D \subset 平面 B B _ { 1 } D :AC⊥平面 B B _ { 1 } D 又BDC平面 B B _ { 1 } D ,∴AC⊥BD.

： C C _ { 1 } 上平面 A B C ，BDC平面 A B C
·： \ C C _ { 1 } \bot B D
： * A C \cap C C _ { 1 } = C , A C , C C _ { 1 } \subseteq 平面 A C C _ { 1 } A _ { 1 } ，∴BD \perp 平
面 A C C _ { 1 } A _ { 1 }
又 B D \subset 平面 B C _ { 1 } D ，故平面 B C _ { 1 } D _ { - } 平面 A C C _ { 1 } A _ { 1 } ：
(3）解：∵ A C \bot B D ，且 D 为 B C 的中点，： A B = B C
：侧面 A C C _ { 1 } A _ { 1 } 与侧面 B C C _ { 1 } B _ { 1 } 均为正方形，： A B =
A C = B C = C C _ { 1 } .
以 D 为原点，以 D A , D B 所在直线分别为 x 轴 \mathbf { \nabla } * \boldsymbol { y } 轴，
以过点 D 且平行于 C C _ { 1 } 的直线为 z 轴，建立如图所示
的空间直角坐标系 D - x y z

设 A B = 2 a ，则 D \left( 0 , 0 , 0 \right) , B \left( 0 , sqrt { 3 } a , 0 \right) , C _ { 1 } \left( - a , 0 \right) \begin{array} { r l } & { 2 a ) , B _ { 1 } \left( 0 , sqrt { 3 } a , 2 a \right) , } \\ & { \overrightarrow { D C _ { 1 } } = \left( - a , 0 , 2 a \right) , \overrightarrow { D B } = \left( 0 , sqrt { 3 } a , 0 \right) , \overrightarrow { D B _ { 1 } } = \left( 0 , sqrt { 3 } a , \right. , } \\ & { \left. 2 a \right) , } \end{array} 设平面 B C _ { 1 } D 的法向量为 ±b { m } = ( \boldsymbol { x } _ { 1 } , \boldsymbol { y } _ { 1 } , \boldsymbol { z } _ { 1 } ) 业 \begin{array} { r } { \mathbb { M } \{ \overset { m } { \underset { \ r { D } \ r { B } } { \ r { D } } } * \overrightarrow { D C _ { 1 } } = 0 , \Rightarrow \} ^ { - a x _ { 1 } + 2 a z _ { 1 } = 0 , } \Rightarrow \{ \begin{array} { r l r } { \hfill } & { \hfill } & { } \\ { \hfill } & { \hfill } & { \hfill } \\ { \hfill } & { \hfill } & { \hfill } \end{array} } \\ { \widehat { D B } * \hfill m = 0 } & { \hfill } \end{array} 取 z _ { 1 } = 1 ，则 m （204号 =(2，0,1). 设平面 B _ { 1 } C _ { 1 } D 的法向量为 ±b { n } = ( x _ { 2 } , y _ { 2 } , z _ { 2 } ) 处 \begin{array} { r } { \mathbb { 1 } \left\{ \begin{array} { l l } { ±b { * } \overrightarrow { D C _ { 1 } } = 0 , } \\ { \qquad \Rightarrow } \end{array} \right. \_ \Rightarrow \left\{ \begin{array} { l l } { - a x _ { 2 } + 2 a z _ { 2 } = 0 , } \\ { \qquad \Rightarrow } \\ { sqrt { 3 } a y _ { 2 } + 2 a z _ { 2 } = 0 , } \end{array} \right. } \end{array} 取 z _ { 2 } = 1 ，则 \scriptstyle n （204号 （20

\mathbf { \tau } = \left( 2 , - / { 2 sqrt { 3 } } { 3 } , 1 \right) ,
于是cos ⟨ m , n ⟩ = / { 5 } { sqrt { 5 } x sqrt { / { 1 9 } { 3 } } } = / { sqrt { 2 8 5 } } { 1 9 } 则 \sin \ ⟨ m \ , n ⟩ = ^ { \underline { { { 2 \ { sqrt { 1 9 } } } } } }
故二面角 B { - } C _ { 1 } D { - } B _ { 1 } 的正弦值为 / { 2 { sqrt { 1 9 } } } { 1 9 }

19.解：(1) ( a _ { 1 } , a _ { 2 } , a _ { 3 } ) 的所有“好排列”为：（1,2,3)，（2，3，1)，(3,1,2).(2)当 n = 2 时， ( a _ { 1 } , a _ { 2 } ) 只有 2 个，不符合要求；当 n = 3 时，由(1)可知， ( a _ { 1 } , a _ { 2 } , a _ { 3 } ) 只有3个“好排列”，不符合要求；当 n = 4 时， ( a _ { 1 } , a _ { 2 } , a _ { 3 } , a _ { 4 } ) 的“好排列"有（1,2,3，4)，(3，1，2，4)，(3，4，2，1)，(4，2，3，1)，至少有4个，符合要求；当 n >=slant 5 时， ( a _ { 1 } , a _ { 2 } , a _ { 3 } , a _ { 4 } , a _ { 5 } , *s , a _ { n } ) 的"好排列”至少有(1,2，3，4,5，…，n)，(3，1,2，4,5，…，n)，(3，4,2，1,5，*s , n ) , ( 4 , 2 , 3 , 1 , 5 , *s , n ) ，至少4个，符合要求；故当 n >=slant 4 时， ( a _ { 1 } , a _ { 2 } , *s , a _ { n } ) 中"好排列”至少有 ^ 4 个.(3)(i)考虑 ( a _ { 1 } , a _ { 2 } , *s , a _ { 3 n + 1 } ) 中“好排列”个数 T _ { 3 n + 1 } ：* _ { a _ { 1 } } , \ldots , *s , a _ { 3 n + 1 } 是 1 , 2 , *s , 3 n + 1 的一个排列，考虑1 , 2 , *s , 3 n + 1 除以3的余数，共有 ( n + 1 ) 个 ^ { 1 , n } 个 ^ { 2 , n } 个0；考虑由余数形成的排列 ( b _ { 1 } , b _ { 2 } , *s , b _ { 3 n + 1 } ) ，其中 b _ { 1 } , b _ { 2 } ，… * b _ { 3 n + 1 } 为 n + 1 个 1 , n 个 2 , n 个0的全排列，为满足“好排列”的条件要求，排列 ( b _ { 1 } , b _ { 2 } , *s , b _ { 3 n + 1 } ) 中每个1的右边必为2，故“好排列"的最后一个数为1，形如 ( b _ { 1 } , b _ { 2 } , *s , b _ { 3 n } , 1 ) .其中 b _ { 1 } \ : , b _ { 2 } \ : , *s , b _ { 3 n } 的排法数即为 n 个0与 \boldsymbol { n } 个 ( 1 , 2 ) 的

排法数，即 / { ( 2 n ) ! } { n ! * n ! } #
故 ( a _ { 1 } , a _ { 2 } , *s , a _ { 3 n + 1 } ) 中“好排列”的个数 T _ { 3 n + 1 } =
/ { ( 2 n ) ! } { n ! { ~ } \bullet n ! } \bullet ( n + 1 ) ! \bullet n ! \bullet n ! = ( 2 n ) ! \bullet ( n + 1 ) ! .

(i)考虑 ( a _ { 1 } , a _ { 2 } , *s , a _ { 3 n + 2 } ) 中"好排列”个数 T _ { 3 n + 2 } ：： a _ { 1 } , a _ { 2 } , *s , a _ { 3 n + 2 } 是 1 , 2 , *s , 3 n + 2 的一个排列，考虑1 , 2 , *s , 3 n + 2 除以3的余数，共有 ( n + 1 ) 个 1 , ( n + 1 ) 个 ^ { 2 , n } 个0；考虑由余数形成的排列 ( b _ { 1 } , b _ { 2 } , *s , b _ { 3 n + 2 } )，其中 b _ { 1 } , b _ { 2 } ，… \boldsymbol { * } \boldsymbol { b } _ { 3 n + 2 } 为 ( n + 1 ) 个 1 , ( n + 1 ) 个 ^ { 2 , n } 个0的全排列；

① 情况1： ( b _ { 1 } , b _ { 2 } , *s , b _ { 3 n + 2 } ) 中， ( n + 1 ) 个 1 与 ( n + 1 ) 个2形成 ( n + 1 ) 个(1，2)，每个 1 的右边均为 2 ·
此时 ( b _ { 1 } , b _ { 2 } , *s , b _ { 3 n + 2 } )为“好排列”的排法数即为 \boldsymbol { n } 个0与 ( n + 1 ) 个(1，2)的排法数，
即 / { \left( 2 n + 1 \right) ! } { n ! * \left( n + 1 \right) ! } .故 ( a _ { 1 } , a _ { 2 } , *s , a _ { 3 n + 2 } ) “好排列”的个数中
\begin{array} { l } { { \begin{array} { l } { \displaystyle \# / { ( 2 n + 1 ) ! } { n ! { \bf ~ \bullet ~ } ( n + 1 ) ! } \bullet { \bf ~ ( } n + 1 ) ! { \bf ~ \bullet ~ } ( n + 1 ) ! { \bf ~ \bullet ~ } n ! = ( 2 n + } } \\ { { } } \\ { { { 1 ) } ! { \bf ~ \bullet ~ } ( n + 1 ) ! ; } } \end{array} } \end{array} ② 情况2： ( b _ { 1 } , b _ { 2 } , *s , b _ { 3 n + 2 } ) 最后位置的数为1，则第一位的数必为2，即排列 ( 2 , b _ { 2 } , *s , b _ { 3 n + 1 } , 1 ) .
其中 b _ { 2 } \ : , b _ { 3 } \ : , *s , b _ { 3 n + 1 } 的排法数即为 n 个 0 与 n 个(1，2)的排法数， \mathbb { E } { \mathbb { P } } / { ( 2 n ) ! } { n ! \quad * n ! }
=
故 ( a _ { 1 } , a _ { 2 } , *s , a _ { 3 n + 2 } )“好排列”的个数有 / { ( 2 n ) ! } { n ! * n ! } ， ( n + （204号
1 ) ! \quad \bullet \ ( n + 1 ) ! \quad \bullet \ n ! \ = ( 2 n ) ! \quad \bullet \ ( n + 1 ) ! \quad \bullet \ ( n + 1 ) . （204号由 ① ② 可得 T _ { 3 n + 2 } = \left( 2 n + 1 \right) ! { ~ } * \left( n + 1 \right) ! { ~ } + \left( 2 n \right) ! ·( n + 1 ) ! ~ * ~ ( n + 1 ) { = } ( 2 n ) ! ~ * ~ ( n + 1 ) ! ~ * ~ ( 3 n + 2 ) . （204号： T _ { 3 n + 2 } = \left( 3 n + 2 \right) \bullet T _ { 3 n + 1 } ：

单元重构项目卷(五)

项目一

【活动一】

1.C解析：记“任选一件产品是合格品”为事件 \boldsymbol { \mathscr { A } } ，则 P （20( A ) = 1 - P ( { \overline { { A } } } ) = 1 - 0 . 0 4 = 0 . 9 6 . 记“任选一件产品是一级品”为事件B.由于一级品必是合格品，故事件 A 包含事件 B ，因此 P ( A B ) = P \left( B \right) .由合格品中 7 5 % 为一级品知 P \left( B \mid A \right) = 0.75.故 P \left( B \right) = P \left( A \right) P \left( B \mid A \right) = 0 . 9 6 x 0 . 7 5 = 0 . 7 2 . （204号

2.0.031解析：设任取一个芯片来自 A 车间为事件 \boldsymbol { A } _ { 1 } 、来自 B 车间为事件 A _ { 2 } 、来自 c 车间为事件 A _ { 3 } ，则彼此互斥，且 A _ { 1 } \bigcup A _ { 2 } \bigcup A _ { 3 } = \Omega , P ( A _ { 1 } ) = / { 3 \ 0 0 0 } { 1 \ 0 0 0 } = 0 . 3 , P ( A _ { 2 } ) = （204号/ { 4 ~ 0 0 0 } { 1 ~ 0 0 0 } { = } 0 . 4 , P ( A _ { 3 } ) { = } / { 3 ~ 0 0 0 } { 1 ~ 0 0 0 } { = } 0 . 3 , （204号设任取一个芯片，取到的是次品为事件 B ，则 P \left( B \right) = P ( A _ { 1 } B ) + P ( A _ { 2 } B ) + P ( A _ { 3 } B ) = 0 . 3 x 0 . 0 2 + 0 . 4 x 0 . 0 4 + 0 . 3 x 0 . 0 3 { = } 0 . 0 3 1 .

【活动二】

3.ABD解析：对于 { A } , B ，由题意知 X 服从二项分布 B \left( 3 \right) 0.2)，则 P ( X = 1 ) = C _ { 3 } ^ { 1 } x 0 . 2 x ( 1 - 0 . 2 ) ^ { 2 } = 0 . 3 8 4 , E ( X ) = 3 x 0 . 2 { = } 0 . 6 ，故 A 、B正确；对于 { C } , D , Y 服从超几何分布，所以 P \left( Y = 1 \right) = / { C _ { 2 } ^ { 1 } C _ { 8 } ^ { 2 } } { C _ { 1 0 } ^ { 3 } } =
15故C错误,根据超几何分布的期望公式,E(Y)=3×0 . 2 { = } 0 . 6 , { D } 正确.

【活动三】

4.ACD解析：对于A，由题意 P \left( B \mid A \right) > P \left( B \right) ，故A正确；对于B，由 P \left( A \right) \bullet P \left( B \mid A \right) > P \left( A \right) \bullet P \left( B \right) ，则 P

( A B ) { > } P ( A ) \bullet P ( B ) ，又 P \left( A B \right) + P \left( \overline { { A B } } \right) = P \left( A \right) ·P \left( B \left| A \right. \right) + P \left( A \right) \bullet P \left( \overline { { B } } \left| A \right. \right) = P \left( A \right) , （204号
于是 P ( A B ) { > } P ( B ) \bullet \left[ P ( A B ) + P ( \overline { { A B } } ) \right] ，即 P ( A B ) （204- P ( A B ) P ( B ) > P ( B ) P ( \overline { { A B } } ) , （20
因此 / { P ( A B ) } { P ( B ) } { > } / { P ( \overline { { A B } } ) } { 1 { - } P ( B ) } 中 / { P ( A B ) } { P ( B ) } { > } / { P ( \overline { { A } } B ) } { P ( \overline { { B } } ) } ，则 P ( A \mid 24号
B ) { > } P ( A | \overline { { B } } ) ，故B错误；
对于 { C } , P ( 5 . 3 5 < \hat { \varsigma } < 5 . 5 5 ) = P ( 5 . 4 0 - 0 . 0 5 < c < 5 . 4 0 + 3 x 0 . 0 5 ) = P ( \mu - \sigma < X < \mu + 3 \sigma ) （20
\begin{array} { r l r } { = } & { { } / { P ( \mu - \sigma < X < \mu + \sigma ) + P ( \mu - 3 \sigma < X < \mu + 3 \sigma ) } { 2 } } & { \approx } \end{array} / { 0 . 6 8 2 6 + 0 . 9 9 7 4 } { 2 } = 0 . 8 4 ，故C正确；
对于 { D } , m ~ B \left( M , 0 . 8 4 \right) , P \left( m = 4 5 \right) = C _ { M } ^ { 4 5 } x 0 . 8 4 ^ { 4 5 } x 0 16M-45,设f(x)=C×0.8450164sf(x+1)/ { C _ { x + 1 } ^ { 4 5 } x 0 . 8 4 ^ { 4 5 } x 0 . 1 6 ^ { x - 4 4 } } { C _ { x } ^ { 4 5 } x 0 . 8 4 ^ { 4 5 } x 0 . 1 6 ^ { x - 4 5 } } = 0 . 1 6 x / { x + 1 } { x - 4 4 } > 1 ，解得 x < / { 1 1 0 4 } { 2 1 } \approx 5 2 . \ 6 , \ f \ ( \ 5 3 \ ) > \ f \ ( \ 5 2 \ ) ，由 { / { f ( x ) } { f ( x - 1 ) } } = / { C _ { x } ^ { 4 5 } x 0 . 8 4 ^ { 4 5 } x 0 . 1 6 ^ { x - 4 5 } } { C _ { x - 1 } ^ { 4 5 } x 0 . 8 4 ^ { 4 5 } x 0 . 1 6 ^ { x - 4 6 } } { = } 0 . 1 6 x / { x } { x - 4 5 } { < } 1 ，解得 x > / { 3 7 5 } { 7 } （204号
= 5 3 + { / { 4 } { 7 } } ,即 f(53)>f(54)，所以 P(m=45)取得最大值时， M 的估计值为53，故D正确.

项目二

【活动一】

1.解析：（1)由题设，路口遇到红灯私家车数量 X ~ B （204号\left( 5 , { / { 2 } { 5 } } \right) , \Re 1 P ( X = 3 ) = C _ { 5 } ^ { 3 } \left( { / { 2 } { 5 } } \right) ^ { 3 } x \left( { / { 3 } { 5 } } \right) ^ { 2 } = { / { 1 4 4 } { 6 2 5 } } . （204号(2)由题设，路口遇到红灯私家车数量 X ~ B ( 5 , x ) =一辆私家车遇到红灯的方差为 5 x \ ( 1 - x \ ) <=slant 5 style \left( { / { x + 1 - x } { 2 } } \right) ^ { 2 } = { / { 5 } { 4 } } ,

当且仅当 x = 1 - x \Rightarrow x = / { 1 } { 2 } 时方差达到最大，此时私家车遇到红灯的概率是 / { 1 } { 2 } 由题可得， X 的可能取值为 X = \boldsymbol { 0 } , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ，则P \left( X = 0 \right) = \left( / { 1 } { 2 } \right) ^ { 5 } = / { 1 } { 3 2 } , P \left( X = 1 \right) = C _ { 5 } ^ { 1 } \left( / { 1 } { 2 } \right) ^ { 5 } = / { 5 } { 3 2 } , P \left( X = 2 \right) = C _ { 5 } ^ { 2 } \left( / { 1 } { 2 } \right) ^ { 5 } = / { 1 0 } { 3 2 } , P \left( X = 3 \right) = C _ { 5 } ^ { 3 } \left( / { 1 } { 2 } \right) ^ { 5 } = / { 1 0 } { 3 2 } , P \left( X = 4 \right) = C _ { 5 } ^ { 4 } \left( / { 1 } { 2 } \right) ^ { 5 } = / { 5 } { 3 2 } , P \left( X = 5 \right) = \left( / { 1 } { 2 } \right) ^ { 5 } = / { 1 } { 3 2 } .

所以其分布列为：

E ( X ) = 0 x / { 1 } { 3 2 } + 1 x / { 5 } { 3 2 } + 2 x / { 5 } { 1 6 } + 3 x / { 5 } { 1 6 } + 4 x / { 5 } { 3 2 } + 5 x { / { 1 } { 3 2 } } = { / { 5 } { 2 } } . （204号

2.解析： ( 1 ) 根据数据可得，20辆微公交的乘车人数为9人的共有 ^ { 1 4 } 辆，所以该站点客流量高峰期微公交乘车人数为 9 人的概率
为4=1(2)根据数据，20辆微公交的乘车人数为7人的共有2辆，8人的共有 4 辆，9人的共有 1 4 辆，
所以乘车人数为7人的概率为 20=10，乘车人数为8人的概率为 { / { 4 } { 2 0 } } = { / { 1 } { 5 } } ，乘车人数为 9 人的概率为 { / { 1 4 } { 2 0 } } { = } { / { 7 } { 1 0 } } =记 X 为未来该站点客流量高峰期两辆微公交乘车人数之和，则 X 可能取值为14，15，16，17，18.
P \left( x = 1 4 \right) = / { 1 } { 1 0 } x / { 1 } { 1 0 } = / { 1 } { 1 0 0 } ,
P \left( x = 1 5 \right) = / { 1 } { 1 0 } x / { 1 } { 5 } + / { 1 } { 5 } x / { 1 } { 1 0 } = / { 1 } { 2 5 } ,
P ( x = 1 6 ) = / { 1 } { 1 0 } x / { 7 } { 1 0 } + / { 7 } { 1 0 } x / { 1 } { 1 0 } + / { 1 } { 5 } x / { 1 } { 5 } = / { 9 } { 5 0 } , （204号
P \left( x = 1 7 \right) = / { 1 } { 5 } x / { 7 } { 1 0 } + / { 7 } { 1 0 } x / { 1 } { 5 } = / { 7 } { 2 5 } ,
P \left( x = 1 8 \right) = / { 7 } { 1 0 } x / { 7 } { 1 0 } = / { 4 9 } { 1 0 0 } , （204号
所以 X 的分布列为：

E ( X ) = 1 4 x { / { 1 } { 1 0 0 } } + 1 5 x { / { 1 } { 2 5 } } + 1 6 x { / { 9 } { 5 0 } } + 1 7 x { / { 7 } { 2 5 } } + 1 8 x / { 4 9 } { 1 0 0 } { = } 1 7 . 2 （204号

(3)公交公司在客流量高峰期需要缩短发车间隔，理由：20辆公交车连续两辆共有19种可能，其中共有10种两辆微公交都满载9人，其连续两辆微公交都满载9人的概率 P = / { 1 0 } { 1 9 } > 5 0 % 所以公交公司在客流量高峰期需要缩短发车间隔.

3.解析：(1)由题意知从2024年元旦及其前后共 7 天中任取2天，有 C _ { 7 } ^ { 2 } = 2 1 种取法，交通高峰期城市道路 T P I 为“拥堵”的天数有3天，选取的这2天中至少有 1 天交通高峰期城市道路TPI为"拥堵”的选法有 C _ { 3 } ^ { 1 } C _ { 4 } ^ { 1 } + C _ { 3 } ^ { 2 } = 1 5 种，故这2天中至少有 1 天交通高峰期城市道路 T P I 为“拥堵”的概率为 （204号 { / { 1 5 } { 2 1 } } = { / { 5 } { 7 } } =7；

(2)由题意知2024年元旦及其前后共 7 天中交通高峰期城市道路 T P I 比2023年同日 T P I 高的天数有3天，故 X 的可能取值为0，1，2，3，则 P \left( X = 0 \right) = / { C _ { 3 } ^ { 0 } C _ { 4 } ^ { 3 } } { C _ { 7 } ^ { 3 } } = / { 4 } { 3 5 } , P \left( X = 1 \right) = / { C _ { 3 } ^ { 1 } C _ { 4 } ^ { 2 } } { C _ { 7 } ^ { 3 } } = / { 1 8 } { 3 5 } , （204号

P \left( X = 2 \right) = / { C _ { 3 } ^ { 2 } C _ { 4 } ^ { 1 } } { C _ { 7 } ^ { 3 } } = / { 1 2 } { 3 5 } , P \left( X = 3 \right) = / { C _ { 3 } ^ { 3 } C _ { 4 } ^ { 0 } } { C _ { 7 } ^ { 3 } } = / { 1 } { 3 5 } , 故 X 的分布列为：

【活动二】

4.B解析：由 Y 服从正态分布 N \left( m s , m \sigma ^ { 2 } \right) ，则 Y 的信噪比为 \left( { / { m s } { sqrt { m } \sigma } } \right) ^ { 2 } = m \left( { / { s } { \sigma } } \right) ^ { 2 } ，又接收一次信号 X _ { 1 } 的信噪比为 \left( { / { s } { \sigma } } \right) ^ { 2 } ，所 λ { / { m \left( { / { s } { \sigma } } \right) ^ { 2 } } { \left( { / { s } { \sigma } } \right) ^ { 2 } } } = m ，所以累积信号 Y 的信噪比是接收一次信号的 \mathbf { \Psi } _ { m } 倍.

.BCD解析：根据题意，设事件 \scriptstyle A _ { 0 } 为“发送信号0”，事件 \boldsymbol { A } _ { 1 } 为“发送信号1”，事件 \boldsymbol { B } _ { 0 } 为"接收信号为0”，事件 \boldsymbol { B } _ { 1 } 为"接收信号为 ^ { 1 } ”，则 P ( B _ { 0 } \mid A _ { 0 } ) = 0 . 8 , P ( B _ { 1 } \mid A _ { 0 } ) = 0 . （204号 2 , P ( B _ { 0 } \mid A _ { 1 } ) = 0 . 1 , P ( B _ { 1 } \mid A _ { 1 } ) = 0 . 9 . 若重复发送信号0 两次，则接收信号均为0的概率为 P = P \left( \boldsymbol { B } _ { 0 } \mid \boldsymbol { A } _ { 0 } \right) x P ( B _ { { ~ 0 ~ } } | A _ { { ~ 0 ~ } } ) = 0 . 6 4 , \Lambda 1错误；若重复发送信号 1 两次，则两次 接收信号不同的概率为 P = C _ { 2 } ^ { 1 } P \left( B _ { 0 } \left| A _ { 1 } \right. \right) x P \left( B _ { 1 } \left| A _ { 1 } \right. \right) \mathbf { \tau } = 2 x 0 . 1 x 0 . 9 = 0 . 1 8 , { B } 正确；若发送信号为 ^ { 1 } 或0的概 率均为0.5，则接收信号为1的概率为 P = P \left( A _ { \circ } \right) P \left( B _ { 1 } \right. A _ { 0 } ) + P ( A _ { 1 } ) P ( B _ { 1 } | A _ { 1 } ) = 0 . 5 x 0 . 2 + 0 . 5 x 0 . 9 = 0 . 5 5 , { C } 正确；接收信号为 1 的概率为 P = P ( A _ { \circ } ) P ( B _ { 1 } | A _ { \circ } ) + P ( A _ { 1 } ) P ( B _ { 1 } | A _ { 1 } ) = ( 1 - x ) x 0 . 2 + x x 0 . 9 = 0 . 7 6 ，解得 _ x = 0 . 8 （204号 即发送信号为1的概率为0.8，D正确..

6.45% / { 1 4 } { 1 5 } 解析：根据全概率公式得装有紧急定位传送器飞机的比例为： 7 0 % x 6 0 % + ( 1 - 7 0 % ) x ( 1 - 9 0 % ) （204号= 4 5 % ；设事件 A _ { 1 } = “失踪的飞机后来被找到”，事件 A _ { 2 } \ c = “失踪的飞机后来未被找到”，事件 B = “安装有紧急定位传送器”，则 P \left( A _ { 1 } \right) = 0 . 7 ，（2号 P \left( A _ { 2 } \right) = 0 . 3 , P \left( B \mid A _ { 1 } \right) = 0 . 6 , P \left( B \mid A _ { 2 } \right) = 1 - 0 . 9 = 0 . 1 ：安装有紧急定位传送器的飞机失踪，它被找到的概率为：\begin{array} { r l } & { P \left( A _ { 1 } \mid B \right) = / { P \left( A _ { 1 } \right) P \left( B \mid A _ { 1 } \right) } { P \left( A _ { 1 } \right) P \left( B \mid A _ { 1 } \right) + P \left( A _ { 2 } \right) P \left( B \mid A _ { 2 } \right) } = } \\ & { } \\ & { / { 0 . 7 x 0 . 6 } { 0 . 7 x 0 . 6 + 0 . 3 x 0 . 1 } = / { 1 4 } { 1 5 } , } \end{array}

阶段滚动检测卷（四）

答案速对

1712.①，- （或②，2）2

14.1.52

试题精析

1.A解析：由题意可知 m + 4 = 9 ，解 m = 5 ，故选A

2.B解析：根据题意可知，若复数 a + b i 表示虚数，则 b \neq 0；第一步，从 \{ - 1 , 1 , 2 \} 中任取一个数作为 b ，共有3种选法；第二步，再从剩余的三个数任取一个作为 \mathbf { α } _ { a } ，共有3中选法，因此共有 3 x 3 = 9 （种）.故选B.

3.A解析：根据 ( 3 - x ) ^ { n } 的二项式系数和为32，结合所有 二项式系数的和满足 { C } _ { n } ^ { { o } } + { C } _ { n } ^ { { l } } + { C } _ { n } ^ { { 2 } } + *s + { C } _ { n } ^ { n } = 2 ^ { n } ，可知 2 ^ { n } = 3 2 { \Rightarrow } n = 5 ，故选A.

4.C解析： X ~ B \left( 3 , 0 . 6 \right) ，故 D ( X ) = 3 x 0 . 6 x ( 1 - 0 . 6 ) （204号 = 0 . 7 2 故选C.

5.D解析：由 P \left( B \right) = 0 . 7 ，可得 P ( \overline { { B } } ) = 1 - 0 . 7 = 0 . 3 , \therefore P ( A ) { } = P ( B ) P ( A | B ) + P ( \overline { { B } } ) P ( A | \overline { { B } } ) = 0 . 7 x 0 . 5 + 0 . 3 x 0 . 4 = 0 . 4 7 故选D.

6.B解析：由题意 / { 1 } { 4 } + / { 1 } { 2 } + a + / { 1 } { 4 } - b = 1 , 0 < / { 1 } { 4 } - b < 1 - { / { 1 } { 2 } } ，得到 b - a = 0 , - / { 1 } { 2 } < b < / { 1 } { 4 }
根据随机变量均值公式，得
E ( X ) = ( - 1 ) x { / { 1 } { 4 } } + a \left( { / { 1 } { 4 } } - b \right) = - b ^ { 2 } + { / { 1 } { 4 } } b - { / { 1 } { 4 } } = - \left( b - { / { 1 } { 8 } } \right) ^ { 2 } - { / { 1 5 } { 6 4 } } 64，当b= （204号 b = / { 1 } { 8 } 时， E ( X ) 取得最大值 - { / { 1 5 } { 6 4 } } ，经检验符合题意.故选B.

7.C解析：设事件 A ：甲射中10环，事件 B ：乙射中10环，事件 c ：10环被射中，则 P \left( A \right) = 0 . 5 , P \left( B \right) = 0 . 4 , \stackrel { * } { * } , P \left( C \right) = 1 - P \left( A \stackrel { \overline { { B } } } { B } \right) = 1 - ( 1 - 0 . 5 ) x ( 1 - 0 . 4 ) = 0 . 7 . \ddot { } \stackrel { } { * } P ( A \stackrel { \_ } { B } C ) = P ( A \stackrel { \_ } { B } ) = 0 . 5 x ( 1 - 0 . 4 ) = 0 . 3 , \dot { *s } P ( A \overline { { B } } C | C ) = / { 0 . 3 } { 0 . 7 } = / { 3 } { 7 } .故选C.业

8.D解析： X ~ B ( 3 , p ) ( 0 < p < 1 ) ，且 4 P \left( X = 3 \right) + P ( X = 2 ) = { / { 7 } { 8 } } , \therefore 4 { C } _ { 3 } ^ { 3 } p ^ { 3 } + { C } _ { 3 } ^ { 2 } p ^ { 2 } ( 1 - p ) = { / { 7 } { 8 } } , 即 p ^ { 3 } + 3 p ^ { 2 } f(p)=p³+3p²在(0,1)上递增，且 f f \left( { / { 1 } { 2 } } \right) = { / { 7 } { 8 } } , *s \not { p } = { / { 1 } { 2 } } 故A正确； E \left( X \right) = n p = / { 3 } { 2 } ，故B正确； D ( X ) = n \rlap { / } { _ { 1 } } ( 1 - \rlap { / } { p } ) = / { 3 } { 4 } ，故C正确； E \left( Y \right) - 1 = 2 E \left( X \right) （20 + 1 - 1 = 3 , D \left( Y \right) = 4 D \left( X \right) = 3 ，故D错误.故选D.

9.ABC解析：对于A，直线的倾斜角为 α ，斜率 k = 1 ，则tan \scriptstyle α = 1 由 α \in ( 0 , π ) 得 α { = } / { π } { 4 } ，故选项A正确；

对于B，令 x = 0 ，则 y = { sqrt { 2 } } ，则 \lfloor 在 _ y 轴上的截距为 sqrt { 2 } ，故选项B正确；
对于C，原点到 \mathbf { \xi } _ { l } 的距离为 d = { / { | { sqrt { 2 } } | } { sqrt { 2 } } } = 1 ，故选项C正确；对于 { D } , l 与坐标轴围成的三角形的面积为 / { 1 } { 2 } x sqrt { 2 } x sqrt { 2 } （204号= 1 ，故选项D错误.故选ABC.1.ACD 解析：对于 { A } , \xi 的可能值： \begin{array} { r } { { ~ 0 , 1 , 2 , 3 , } P \left( \xi = 0 \right) = } \end{array} （204号 / { { C _ { 4 } ^ { 3 } } } { { C _ { 8 } ^ { 3 } } } = / { 1 } { 1 4 } , P \left( \xi = 1 \right) = / { { C _ { 4 } ^ { 1 } C _ { 4 } ^ { 2 } } } { { C _ { 8 } ^ { 3 } } } = / { 3 } { 7 } , （20
P \left( { \xi = 2 } \right) = / { { C _ { 4 } ^ { 2 } C _ { 4 } ^ { 1 } } } { { C _ { 8 } ^ { 3 } } } = / { 3 } { 7 } { , } P \left( { \xi = 3 } \right) = / { { C _ { 4 } ^ { 3 } } } { { C _ { 8 } ^ { 3 } } } = / { 1 } { 1 4 } ，则 E \left( \xi \right) = 0 （204号中
x / { 1 } { 1 4 } + 1 x / { 3 } { 7 } + 2 x / { 3 } { 7 } + 3 x / { 1 } { 1 4 } = / { 3 } { 2 } ，故选项A正确；对于 { B } , \eta 的可能值：0,1,2,3，取球一次取到黑球的概率为 / { 3 } { 8 } ，因取球一次有取到黑球和没取到黑球两个结果，因此， \eta ~ B \left( 3 , / { 3 } { 8 } \right) , E \left( \eta \right) = / { 9 } { 8 } , D \left( \eta \right) = 3 x / { 3 } { 8 } x \left( 1 - / { 3 } { 8 } \right) { = } / { 4 5 } { 6 4 } ，故选项B错误；
对于 \mathbf { \Psi } \subset { X } 的可能值： 1 , 2 , 3 , P \left( X = 1 \right) = / { { C } _ { 4 } ^ { 3 } + { C } _ { 3 } ^ { 3 } } { { C } _ { 8 } ^ { 3 } } = / { 5 } { 5 6 } AP \left( X = 3 \right) = / { { C } _ { 4 } ^ { 1 } \ \bullet \ { C } _ { 3 } ^ { 1 } } { { C } _ { 8 } ^ { 3 } } = / { 3 } { 1 4 } , P \left( X = 2 \right) = 1 - P \left( X = 1 \right) - P \left( X = 3 \right) = / { 3 9 } { 5 6 } ,
则 E ( X ) = 1 x { / { 5 } { 5 6 } } + 2 x { / { 3 9 } { 5 6 } } + 3 x { / { 3 } { 1 4 } } = { / { 1 7 } { 8 } } ，故选项C正确；
对于D,Y的可能值：0，1，2，3，∵ X = 0 对应的事件为红或白红， \mathbf { \partial } : P \left( Y = 0 \right) = / { 4 } { 8 } + / { 1 } { 8 } x / { 4 } { 7 } = / { 4 } { 7 } , *s X = 1 ∵X=1对应的事件为黑红或黑白红或白黑红，：1 { rm { p } } ( Y = 1 ) = { / { 3 } { 8 } } x

/ { 4 } { 7 } + / { 3 } { 8 } x / { 1 } { 7 } x / { 4 } { 6 } + / { 1 } { 8 } x / { 3 } { 7 } x / { 4 } { 6 } = / { 2 } { 7 } , 中 X = 2 对应的事件为：黑黑红或黑黑白红或白黑黑红或黑白黑红，\therefore P ( Y = 2 ) = / { 3 } { 8 } x / { 2 } { 7 } x / { 4 } { 6 } + / { 3 } { 8 } x / { 2 } { 7 } x / { 1 } { 6 } x / { 4 } { 5 } + / { 1 } { 8 } x / { 3 } { 7 } x / { 2 } { 6 } x / { 4 } { 5 } + / { 3 } { 8 } x / { 1 } { 7 } x / { 2 } { 6 } x / { 4 } { 5 } = / { 4 } { 3 5 } , \therefore P \left( Y = 3 \right) = 1 - P \left( Y = 1 \right) - P \left( Y = 2 \right) = 1 - / { 4 } { 7 } - / { 2 } { 7 } - / { 4 } { 3 5 } = / { 1 } { 3 5 } 35，则E ( Y ) = 0 x / { 4 } { 7 } + 1 x / { 2 } { 7 } + 2 x / { 4 } { 3 5 } + 3 x / { 1 } { 3 5 } = / { 3 } { 5 } . 故选项D正确.故选ACD.

11.ACD 解析：如图所示，

对于A，取 \boldsymbol { B } _ { 1 } \boldsymbol { C } _ { 1 } 中点 N ，连接 A _ { 1 } N , G N ，在正方体A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 } 中,AN//AE,NG//EF,AN平面 A E F , A E { \subsetneq } 平面 A E F ， A _ { 1 } N / / 平面 A E F ，同理可证NG//平面 A E F ，又 A _ { 1 } N \bigcap N G = N , A _ { 1 } N , N G \subset （204号平面 A _ { 1 } G N ，平面 A _ { 1 } G N //平面 A E F
{ A } _ { 1 } G \subset 平面 A _ { 1 } G N , \bullet \bullet A _ { 1 } G _ { \mathbf { λ } ^ { \prime } \mathbf { λ } } 平面 A E F ，故选项A正确.
对于D，连接 A D _ { 1 } , D _ { 1 } F ，易知 A D _ { 1 } / / E F ，即四边形A D _ { 1 } F E 为所求截面， A D _ { 1 } = 2 E F = sqrt { 2 } , D _ { 1 } F = A E = / { sqrt { 5 } } { 2 } （204号 A D _ { 1 } ， （204号 E F （20 之 间的距离为 \begin{array} { r l } { d } & { { } = } \end{array} sqrt { A E ^ { 2 } - \left( / { A D _ { 1 } - E F } { 2 } \right) ^ { 2 } } = / { 3 sqrt { 2 } } { 4 } ，截面的面积为 s = { / { 1 } { 2 } } x \left( { / { sqrt { 2 } } { 2 } } + { sqrt { 2 } } \right) x { / { 3 { sqrt { 2 } } } { 4 } } = { / { 9 } { 8 } } ，故选项D正确.

对于B，如图所示，建立空间直角坐标系，

易知 B _ { 1 } ( 1 , 1 , 1 ) , A ( 1 , 0 , 0 ) , C ( 0 , 1 , 0 ) ，则 \stackrel { } { D B _ { 1 } } = ( 1 , 1
1) \overrightarrow { A B _ { 1 } } = ( 0 , 1 , 1 ) \overrightarrow { C B _ { 1 } } = ( 1 , 0 , 1 ) ，设平面 A B _ { 1 } C 的一±b { n } = \left( x , y , z \right) , \therefore \left\{ \begin{array} { l } { { ±b { n } } * \overrightarrow { A B _ { 1 } } = y + z = 0 , } \\ { { ±b { n } } = \left( x , y , z \right) , \therefore \left\{ \begin{array} { l } { { ±b { n } } * \overrightarrow { A B _ { 1 } } = z x + z = 0 , } \\ { { ±b { n } } * \overrightarrow { C B _ { 1 } } = x + z = 0 , } \end{array} \right. } \end{array} \right. （204号
个法向量 取 x = （204号
1，则 y = 1 , z = - 1 ，即 ±b { n } = ( 1 , 1 , - 1 ) ，设直线 B _ { 1 } D 与平
面 A B _ { 1 } C 所成的角为 α ，则 \sin α = | \cos ⟨ n , \overrightarrow { D B _ { 1 } } ⟩ | =
\left| / { ±b { n } * \overrightarrow { D B _ { 1 } } } { | ±b { n } | * | \overrightarrow { D B _ { 1 } } | } \right| = / { 1 } { sqrt { 3 } } { \neq } / { 1 } { 2 } 故选项B错误.
对于C，如图所示，连接 C G , C G \cap E F = K ，延长 F E
B _ { 1 } B 交于 I ，

易知 B I = C F = B G , \triangle C F K \odot \triangle G I E ，则 / { C K } { G K } = / { C F } { K I } = （204号 / { 1 } { 2 } ∴点 c 与点 G 到平面 A E F 的距离之比为 1 : 2 ，故 选项C正确.故选ACD.

1712.①， （或 ② ，2) 解析：若选 ① ：由 α / / β ，得 m / / n ，显2然 a \neq 0 , b \neq 0 ，则 { / { a } { 1 } } = { / { 1 } { - 2 } } = { / { - 2 } { b } } （204号 解得 a = - { / { 1 } { 2 } } , b = 4 ： a - 2 b = - { / { 1 7 } { 2 } } 2;若选②:由a⊥β，得m⊥n,则m·n0，则 a - 2 - 2 b = 0 ，解得 a - 2 b = 2 . ] （204号

13 * \left[ { / { - 4 - { sqrt { 7 } } } { 3 } } , { / { 1 } { 2 } } \right] 解析：记 A ( 2 , - 1 ) ，则 k = / { y + 1 } { x - 2 } 为直

线 A P 的斜率，故当直线 A P 与半圆 x ^ { 2 } + ( y - 1 ) ^ { 2 } = 1 （ x { > } 0 相切时， k 最小，此时设 A P y + 1 = k ( x - 2 ) ，故/ { | 2 k + 2 | } { sqrt { k ^ { 2 } + 1 } } { = 1 } ，解得 k = / { - 4 + sqrt { 7 } } { 3 } （204号 或 k = { / { - 4 - { sqrt { 7 } } } { 3 } } ，由题图可知 k = / { - 4 + sqrt { 7 } } { 3 } 需舍去，故 k _ { { m i n } } = / { - 4 - sqrt { 7 } } { 3 } 当过 ( 0 , - 2）时， k _ { { m a x } } = / { 1 } { 2 }
1

14.1.52解析：由题意， X 的取值分别为1，2，3.P( X = 1 ）= 0 . 6 , P ( X = 2 ) = ( 1 - 0 . 6 ) x 0 . 7 = 0 . 2 8 , P ( X = 3 ) = ( 1 - 0 . 6 ) x ( 1 - 0 . 7 ) = 0 . 1 2 . ：李明参加考试次数 X 的分布列为

： \begin{array} { r } { * E \left( X \right) = 1 x 0 . 6 + 2 x 0 . 2 8 + 3 x 0 . 1 2 = 1 . 5 2 , } \end{array}

15.解：(1)当 n = 6 时， ( 1 + 2 x ) ^ { 6 } = a _ { 0 } + a _ { 1 } x + *s + a _ { 6 } x ^ { 6 } 取 x = 0 ，得 a _ { 0 } = 1 ，取 x = 1 ，得 a _ { 0 } + a _ { 1 } + a _ { 2 } + *s + a _ { 6 } = （204号 3 ^ { 6 } = 7 2 9 ， · * a _ { 1 } + a _ { 2 } + *s + a _ { 6 } = 7 2 8 .

(2)由所有项的二项式系数和等于4096，得 2 ^ { n } = 4 ~ 0 9 6 = 2 ^ { 1 2 } ，解得 n = 1 2
二项式 ( 1 + 2 x ) ^ { 1 2 } 展开式的通项公式 T _ { r + 1 } = { C } _ { 1 2 } ^ { r } ( 2 x ) ^ { r } = 2 ^ { r } { \bf C } _ { 1 2 } ^ { r } x ^ { r } , r \in { \bf N } , r { <=slant } 1 2 , （204号
令展开式中系数最大的项是第 it { r } + 1 项，\begin{array} { r l r } & { } & { \mathbb { M } \left\{ \begin{array} { l l } { 2 ^ { r } \mathbf { C } _ { 1 2 } ^ { r } >=slant 2 ^ { r + 1 } \mathbf { C } _ { 1 2 } ^ { r + 1 } , } \\ { \qquad } \\ { 2 ^ { r } \mathbf { C } _ { 1 2 } ^ { r } >=slant 2 ^ { r - 1 } \mathbf { C } _ { 1 2 } ^ { r - 1 } , } \end{array} \right. } \end{array}
整理得 \left\{ \begin{array} { l } { / { 1 2 ! } { r ! \ ( 1 2 - r ) ! } >=slant 2 * / { 1 2 ! } { ( r + 1 ) ! \ ( 1 1 - r ) ! } , } \\ { 2 * / { 1 2 ! } { r ! \ ( 1 2 - r ) ! } >=slant / { 1 2 ! } { ( r - 1 ) ! \ ( 1 3 - r ) ! } , } \end{array} \right. 解得 / { 2 3 } { 3 }

<=slant r <=slant / { 2 6 } { 3 } ，而r∈N,因此r=8，：展开式中系数最大的项 T _ { 9 } = 2 ^ { 8 } { C } _ { 1 2 } ^ { 8 } x ^ { 8 } = 1 2 6 ~ 7 2 0 x ^ { 8 } 美

16.解：(1)用 A _ { 1 } , A _ { 2 } , A _ { 3 } 分别表示事件取到的这件产品是甲、乙、丙厂生产的，以 B 表示事件取到的产品为次品，则P \left( A _ { 1 } \right) = / { 5 } { 1 0 } , P \left( A _ { 2 } \right) = / { 3 } { 1 0 } , P \left( A _ { 3 } \right) = / { 2 } { 1 0 } , P ( B \mid A _ { 1 } ) = / { 1 } { 1 0 } , P ( B \mid A _ { 2 } ) = / { 1 } { 1 5 } , P ( B \mid A _ { 3 } ) = / { 1 } { 2 0 } . 由全概率公式，得\begin{array} { l } { P ( B ) { = } P ( A _ { 1 } ) P ( B | A _ { 1 } ) { + } P ( A _ { 2 } ) P ( B | A _ { 2 } ) { + } P ( A _ { 3 } ) \ { { . } } } \\ { \displaystyle } \\ { P ( B | A _ { 3 } ) } \\ { \displaystyle } \\ { \displaystyle { = } / { 5 } { 1 0 } { x } / { 1 } { 1 0 } { + } / { 3 } { 1 0 } { x } / { 1 } { 1 5 } { + } / { 2 } { 1 0 } { x } / { 1 } { 2 0 } { = } { _ { 0 . 0 8 } } . } \end{array}

(2)若从这批产品中取出一件产品，发现是次品，
该件产品是甲厂生产的概率为
P ( A _ { 1 } | B ) = { / { P ( A _ { 1 } B ) } { P ( B ) } } = { / { P ( A _ { 1 } ) P ( B | A _ { 1 } ) } { P ( B ) } } = { / { 0 . 5 x 0 . 1 } { 0 . 0 8 } } = 0.625.

17.解：(1)先后抛掷骰子两次，基本事件总数 n = 6 x 6 （204号= 3 6 ，事件 A 包含的基本事件有：(1，3)，(2，2)，(3，1)共3个，：事件 A 的概率为 P \left( A \right) = / { 3 } { 3 6 } = / { 1 } { 1 2 } =

(2)抛掷1次骰子有 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 共6种结果，出现的点数不小于2的情况有2，3，4，5，6共5种，则挑战第一关通过的概率为 P _ { 1 } = / { 5 } { 6 } 6；抛掷骰子两次，基本事件总数 n = 6 x 6 = 3 6 =抛掷2次出现的点数之和不小于7的情况有(1，6)，（2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，

（4，6)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)共21种，
则挑战第2关通过的概率为 P _ { { \ell } ^ { 2 } } = / { 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 } { 6 x 6 } = { / { 7 } { 1 2 } } , （20
则连续挑战2关并过关的概率为 P = P _ { 1 } P _ { 2 } = / { 5 } { 6 } x / { 7 } { 1 2 } = / { 3 5 } { 7 2 } . 中
∴甲获胜的概率为 / { 3 5 } { 7 2 } ，乙获胜的概率为 1 - { / { 3 5 } { 7 2 } } = { / { 3 7 } { 7 2 } } 72'22，∴这种游戏不公平.
解：(1)依题意有 , P \left( a , 0 \right) , Q \left( 0 , b \right) , A \left( - c , / { b ^ { 2 } } { a } \right)
\because k _ { O A } = sqrt { 3 } k _ { P Q } , 6²0
则 { / { a } { - c - 0 } } { = } { sqrt { 3 } } * { / { b - 0 } { 0 - a } } ，解得 b = sqrt { 3 } c ，style \int a + c = 3 ,
故有 \{ b = sqrt { 3 } c ， 解得 a = 2 , b = { sqrt { 3 } } ，b²+c²=a²，
则椭圆方程为 { / { x ^ { 2 } } { 4 } } + { / { y ^ { 2 } } { 3 } } = 1
(2)设 A ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) , B ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) , l 的方程为 \scriptstyle x = m y - 1 ，x² y²4 3
联立 得 ( 3 m ^ { 2 } + 4 ) y ^ { 2 } - 6 m y - 9 = 0 , x=my-1
\Delta = 3 6 m ^ { 2 } + 3 6 ( 3 m ^ { 2 } + 4 ) = 1 4 4 ( m ^ { 2 } + 1 ) > 0 , （204号
由韦达定理有yi+y= y _ { 1 } + y _ { 2 } = / { 6 m } { 3 m ^ { 2 } + 4 } , y _ { 1 } y _ { 2 } = / { - 9 } { 3 m ^ { 2 } + 4 } , 中
则 \begin{array} { r l r l r l } { y _ { 1 } } & { { } - } & { y _ { 2 } } & { { } | } & { { } = { } } & { { } { sqrt { ( y _ { 1 } + y _ { 2 } ) - 4 y _ { 1 } y _ { 2 } } } } \end{array} （1
sqrt { \left( / { 6 m } { 3 m ^ { 2 } + 4 } \right) ^ { 2 } + / { 3 6 } { 3 m ^ { 2 } + 4 } } = / { 1 2 \ sqrt { m ^ { 2 } + 1 } } { 3 m ^ { 2 } + 4 } ,

于是 S _ { \triangle P A B } = / { 1 } { 2 } \mid P F _ { 1 } \mid \mid y _ { 1 } - y _ { 2 } \mid = / { 1 } { 2 } x 3 x / { 1 2 ~ sqrt { m ^ { 2 } + 1 } } { 3 m ^ { 2 } + 4 } { = } / { 1 8 ~ sqrt { m ^ { 2 } + 1 } } { 3 m ^ { 2 } + 4 } { = } / { 1 8 } { 3 ~ sqrt { m ^ { 2 } + 1 } + / { 1 } { sqrt { m ^ { 2 } + 1 } } } . 令 { \Delta } t = sqrt { m ^ { 2 } + 1 } >=slant 1 , y = 3 t + / { 1 } { t } >=slant 4 , t = 1 , m = 0 时取等号，S _ { \triangle P A B } { <=slant } / { 9 } { 2 } ，故 \triangle P A B 面积的最大值为 / { 9 } { 2 }

( 3 ) \triangle M F _ { 1 } F _ { 2 } 的外接圆经过点 N
理由如下：
直线 A P 的方程为 y = { / { y _ { 1 } } { x _ { 1 } - 2 } } ( x - 2 )
令 x = 0 ，则 \scriptstyle y = { / { 2 y _ { 1 } } { 2 - x _ { 1 } } } ，故 M \left( 0 , { / { 2 y _ { 1 } } { 2 - x _ { 1 } } } \right)
同理可得 N \left( 0 , { / { 2 y _ { 2 } } { 2 - x _ { 2 } } } \right)
则 | \overrightarrow { F _ { 1 } M } = \left( 1 , / { 2 y _ { 1 } } { 2 - x _ { 1 } } \right) , \overrightarrow { F _ { 1 } N } = \left( 1 , / { 2 y _ { 2 } } { 2 - x _ { 2 } } \right) , \overrightarrow { F _ { 1 } M } * \overrightarrow { F _ { 1 } N } = 1 + / { 2 y _ { 1 } } { ( 3 - m y _ { 1 } ) } * / { 2 y _ { 2 } } { ( 3 - m y _ { 2 } ) } = 1 4y1y2m²y1y2-3m(y+y2）+9
= 1 + / { \displaystyle { / { - 3 6 } { 3 m ^ { 2 } + 4 } } } { \displaystyle { / { - 9 m ^ { 2 } } { 3 m ^ { 2 } + 4 } } - { / { 1 8 m ^ { 2 } } { 3 m ^ { 2 } + 4 } } + 9 } { = 0 , }
故 F _ { 1 } M \perp F _ { 1 } N ，同理可证 F _ { 2 } M \bot F _ { 2 } N ，
于是 M F _ { 1 } F _ { 2 } 的外接圆经过点 N

19.解： \left( 1 \right) \overline { { x } } = 6 6 x { 0 . 1 + 7 7 x 0 . 2 + 8 0 x 0 . 4 8 + 8 8 x 0 . 1 9 + } 9 6 x 0 . 0 3 = 8 0 ，

= \therefore X ~ N \left( { 8 0 , \sigma ^ { 2 } } \right) , \sigma ^ { 2 } = 3 6 / \sigma = 6 , （204号 则 P \left( 7 4 <=slant X <=slant 9 2 \right) = / { 1 } { 2 } P \left( \mu - 2 \sigma <=slant X <=slant \mu + 2 \sigma \right) + { / { 1 } { 2 } } P \left( \mu - \sigma { <=slant } X { <=slant } \mu + \sigma \right) = { / { 0 . 6 8 3 + 0 . 9 5 4 } { 2 } } = 0 . 8 1 8 ~ 5 .

(2)设"抽取的零件是甲机床生产"记为事件 \boldsymbol { A } _ { 1 } .
“抽取的零件是乙机床生产”记为事件 A _ { 2 } ：
“抽取的零件是次品”记为事件 \boldsymbol { * } ·
则 P ( A _ { 1 } ) = / { 2 } { 3 } , P ( A _ { 2 } ) = / { 1 } { 3 } , P ( B | A _ { 1 } ) = 0 . 0 2 , P ( B | A _ { 2 } ) = 0 . 0 1 { \ : }
则 P \left( B \right) = P \left( A _ { 1 } \right) P \left( B \mid A _ { 1 } \right) + P \left( A _ { 2 } \right) P \left( B \mid A _ { 2 } \right) = / { 2 } { 3 } x （20 0 . 0 2 + / { 1 } { 3 } x 0 . 0 1 = / { 1 } { 6 0 } ,
（204号
P \left( A _ { 1 } \mid B \right) = { / { P \left( A _ { 1 } B \right) } { P \left( B \right) } } = { / { P \left( A _ { 1 } \right) P \left( B \mid A _ { 1 } \right) } { P \left( B \right) } } = { / { { / { 2 } { 3 } } x 0 . 0 2 } { / { 1 } { 6 0 } } } = { / { 4 } { 5 } } .

单元重构项目卷(六)

项目一

【活动一】

1.D解析：由已知， { \overline { { x } } } = { / { 3 . 4 + 4 . 7 + 5 + 5 . 6 + 6 . 3 } { 5 } } = 5 , { \overline { { y } } } = / { 1 5 + 1 6 . 9 + 1 9 . 2 + 1 8 + 2 0 . 9 } { 5 } { = 1 8 } { , } （204
所以 { \hat { a } } = { \overline { { y } } } - { / { 8 9 } { 4 7 } } { \overline { { x } } } = 1 8 - { / { 8 9 } { 4 7 } } x 5 = { / { 4 0 1 } { 4 7 } } 47，于是 { \hat { y } } = { / { 8 9 } { 4 7 } } x + { / { 4 0 1 } { 4 7 } } , { \hat { y } } _ { 3 } = { / { 8 9 } { 4 7 } } x 5 + { / { 4 0 1 } { 4 7 } } = 1 8 , （204号
因此，第三个样本点对应的残差为 \hat { e } _ { 3 } = y _ { 3 } - \hat { y } _ { 3 } = 1 9 . 2 - 1 8 = 1 . 2 .

2.AC 解析：由题意， \overline { { x } } = / { 1 } { 5 } \left( 1 + 4 + 6 + 1 0 + 1 4 \right) = 7 , \overline { { y } } =

/ { 1 } { 5 } ( 6 + 2 0 + 3 6 + 4 0 + 4 8 ) = 3 0 ,
样本中心点为(7，30)，代入 \hat { \boldsymbol { y } } = \hat { b } \boldsymbol { x } + 8 . 3 中，可得 b = 3 . 1 故A正确；由 r = { / { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { 5 } ( x _ { i } - { \overline { { x } } } ) ( y _ { i } - { \overline { { y } } } ) } { \displaystyle sqrt { \sum _ { i = 1 } ^ { 5 } ( x _ { i } - { \overline { { x } } } ) ^ { 2 } } \ * \ sqrt { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { 5 } ( y _ { i } - { \overline { { y } } } ) ^ { 2 } } } } ，得( x _ { i } - { \overline { { x } } } ) ( y _ { i } - { \overline { { y } } } ) = 3 2 4 , { sqrt { \sum _ { i = 1 } ^ { 5 } ( x _ { i } - { \overline { { x } } } ) ^ { 2 } } } = { sqrt { 1 0 4 } } = 2 （20{ sqrt { 2 6 } } , { sqrt { \sum _ { i = 1 } ^ { 5 } ( y _ { i } - { \overline { { y } } } ) ^ { 2 } } } = 4 \ { sqrt { 7 1 } } ，所以 r = { / { 3 2 4 } { 2 { sqrt { 2 6 } } * 4 { sqrt { 7 1 } } } } { \approx } 0 . 9 4 3 ，故B错误；由残差的计算可知，若残差的平方和越小，则模型的拟合效果越好，故C正确；若该地区某超市的广告支出是3万元，则该超市的销售额估计值为 \hat { \boldsymbol { y } } = 3 . 1 x + 8 . 3 = 3 . 1 x 3 + 8 . 3 = 1 7 . 6 ( （万元），但不一定是17.6万元，故D错误.

3.解析：设模型 ① 和 ② 的相关系数分别为 r _ { 1 } , r _ { 2 }

由题意可得 : r _ { 1 } = { / { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { 5 } ( x _ { i } - { \overline { { x } } } ) ( y _ { i } - { \overline { { y } } } ) } { \displaystyle sqrt { \sum _ { i = 1 } ^ { 5 } ( x _ { i } - { \overline { { x } } } ) ^ { 2 } } sqrt { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { 5 } ( y _ { i } - { \overline { { y } } } ) ^ { 2 } } } } = { / { 1 9 . 5 } { sqrt { 4 0 3 } } } = / { 1 9 . 5 } { 2 0 . 1 } { \approx } 0 . 9 7
r _ { 2 } = { / { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { 5 } ( x _ { i } - { \overline { { x } } } ) ( v _ { i } - { \overline { { v } } } ) } { sqrt { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { 5 } ( x _ { i } - { \overline { { x } } } ) ^ { 2 } } sqrt { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { 5 } ( v _ { i } - { \overline { { v } } } ) ^ { 2 } } } } = { / { 8 . 0 6 } { sqrt { 4 0 . 3 x 1 . 6 1 2 } } } = / { 8 . 0 6 } { 8 . 0 6 } = 1 .
所以 \mid r _ { 1 } \mid < \mid r _ { 2 } \mid ，由相关系数的相关性质可得，模型 ② 的拟合程度更好.

【活动二】

4.解析：(1)因为 { \overline { { x } } } = { / { 1 } { 5 } } ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ) = 3 , { \overline { { y } } } = { / { 1 } { 5 } } ( 3 8 0 + 4 6 0 + 5 8 0 + 6 7 0 + 8 6 0 ) = 5 9 0 , （204号\sum _ { i = 1 } ^ { 5 } ( x _ { i } - \overline { { x } } ) ^ { 2 } = ( 1 - 3 ) ^ { 2 } + ( 2 - 3 ) ^ { 2 } + ( 3 - 3 ) ^ { 2 } + ( 4 - 3 ) ^ { 2 } + ( 5 - 3 ) ^ { 2 } = 1 0 , \mathfrak { X } \sum _ { i = 1 } ^ { 5 } ( x _ { i } - \overline { { x } } ) ( y _ { i } - \overline { { y } } ) = 1 1 7 0 , \quad （204号

所以 { \hat { b } } = { / { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { 5 } ( x _ { i } - { \overline { { x } } } ) ( y _ { i } - { \overline { { y } } } ) } { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { 5 } ( x _ { i } - { \overline { { x } } } ) ^ { 2 } } } = { / { 1 1 7 0 } { 1 0 } } = 1 1 7 , { \hat { a } } = { \overline { { y } } } - { \overline { { { \hat { b } } x } } } = 5 9 0 - 1 1 7 x 3 = 2 3 9 . 中
所以经验回归方程为 \hat { y } = 1 1 7 x + 2 3 9 ，当 x = 7 时， \hat { y } = 1 1 7 x 7 + 2 3 9 = 1 0 5 8 （万元），
所以预测2024年7月份该公司销售金额约为1058万元；

(2)补全 2 x 2 列联表如下：

零假设 \boldsymbol { H } _ { 0 } ：购买产品与观看广告无关，
根据以上数据，经计算得到 \chi ^ { 2 } = / { 6 0 x ( 3 0 x 1 0 - 1 5 x 5 ) ^ { 2 } } { 3 5 x 2 5 x 4 5 x 1 5 } = / { 3 6 } { 7 } \approx 5 . 1 4 3 > 3 . 8 4 1 = x _ { 0 . 0 5 } ,
根据小概率值 α = 0 . 0 5 的独立性检验我们推断 H _ { { ~ 0 ~ } } 不成立，
认为购买产品与观看广告有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05.

项目二

【活动一】

1.C解析：对于 { A } , B ，当气候温度高，海水表层温度变高变低不确定，故 A 、B错误.对于 { C D } ，因为相关系数为正，故随着气候温度由低到高时，海水表层温度呈上升趋势，故C正确，D错误.

2.B解析：由已知 { \overline { { x } } } = { / { 2 0 + 2 3 + 2 5 + 2 7 + 3 0 } { 5 } } = 2 5 =25，x= { / { 2 + 2 . 4 + 3 + 3 + 4 . 6 } { 5 } } = 3 ,

所以 3 = 0 . 2 x 2 5 + a a = - 2 ，由 y = c _ { 1 } e ^ { c 2 x } 得 l n y = c _ { 2 } x + l n c _ { 1 } ，所以 l n c _ { 1 } = - 2 , c _ { 1 } = e ^ { - 2 }

【活动二】

3.ACD解析：补充完整列联表如下：

对于A，该市一天中，空气中PM2.5浓度不超过 7 5 \mu { g } / { m ^ { 3 } } ，且 { S O } _ { 2 } 浓度不超过 1 5 0 \mu { g / m ^ { 3 } } 的概率估计值为 / { 6 4 } { 1 0 0 } \qquad = \quad 0 ： 64， 故 A 正确；对于 B，由/ { / { n ( a d - b c ) ^ { 2 } } { ( a + b ) ( c + d ) ( a + c ) ( b + d ) } } { / { 1 0 n x ( 1 0 0 a d - 1 0 0 b c ) ^ { 2 } } { ( 1 0 a + 1 0 b ) ( 1 0 c + 1 0 d ) ( 1 0 a + 1 0 c ) ( 1 0 b + 1 0 d ) } } = / { 1 } { 1 0 } , 显然观测值也扩大十倍，故 B 不正确；因为 7 . 4 8 4 4 > 6 #635，根据临界值表可知，在犯错的概率不超过 1 % 的条件下，
即有超过 9 9 % 的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与 { S O } _ { 2 } 浓度有关，故C、D正确.

4.解析：（1)用频率估计概率，从而得到"该市一天空气中 { P M } _ { 2 . 5 } 浓度不超过75，且 { S O _ { 2 } } 浓度不超过150”的概率为P = { / { 3 2 + 6 + 8 + 1 8 } { 1 0 0 } } = 0 . 6 4 . （20

(2)列联表补充如下：

经计算得： \chi ^ { 2 } = / { 1 0 0 x ( 6 4 x 1 0 - 1 6 x 1 0 ) ^ { 2 } } { 8 0 x 2 0 x 7 4 x 2 6 } \approx 7 . 4 8 4 > 3.841，

故有 9 5 % 的把握认为该市一天空气中 { P M } _ { 2 . 5 } 浓度与 { S O } _ { 2 } 浓度有关.

5.解析：(1)令=bi+a，而i= { \overline { { i } } } = { / { 1 } { 1 0 } } \sum _ { i = 1 } ^ { 1 0 } i = 5 . 5 , { \overline { { z } } } = { / { 1 } { 1 0 } } \sum _ { i = 1 } ^ { 1 0 } z _ { i } = 1.28,
则 \hat { b } = / { \underset { i = 1 } { \overset { 1 0 } { \sum } } i z _ { i } - 1 0 \overline { { i z } } } { \underset { i = 1 } { \overset { 1 0 } { \sum } } i ^ { 2 } - 1 0 \overline { { i } } ^ { 2 } } { = } / { 6 0 - 1 0 x 5 . 5 x 1 . 2 8 } { 3 8 5 - 1 0 x 5 . 5 ^ { 2 } } { \approx } - 0 . 1 3 , \hat { a } = \overline { { z } } - \overline { { { \hat { b } i } } } = 1 . 2 8 + 0 . 1 3 x 5 . 5 \approx 2 . 0 0 ,
因此 \hat { z } = 2 - 0 . 1 3 i ，即 y = e ^ { 2 - 0 . 1 3 i } ，
所以所求回归方程为 y = e ^ { 2 - 0 . 1 3 i }
(2)由(1)知： y = e ^ { 2 - 0 . 1 3 i } < 0 . 0 8 ，即 2 - 0 . 1 3 i < l n 0 . 0 8 \approx - 2.53，解得 i > 3 4 . 8 5 ，
所以 i = 3 5 ，即在新房装修完第35天开始达到此标准.

5.解析：依题意 { \overline { { x } } } = { / { 1 } { 1 0 } } \sum _ { i = 1 } ^ { 1 0 } x _ { i } = 1 . 4 , { \overline { { y } } } = { / { 1 } { 1 0 } } \sum _ { i = 1 } ^ { 1 0 } y _ { i } = 8 7 , 所 \begin{array} { r l r l r l r } { { \large { \uparrow } } \quad } & { { } \displaystyle \boldsymbol { v } _ { i } } & { } & { { } \ r } & { } & { { } = } & { } & { { / { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( \chi _ { i } - \overline { { x } } ) ( y _ { i } - \overline { { y } } ) } { \displaystyle sqrt { \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( \chi _ { i } - \overline { { x } } ) ^ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( y _ { i } - \overline { { y } } ) ^ { 2 } } } } } \end{array} \begin{array} { r l } & { = / { / { n } { 2 } x _ { 1 } y _ { i } - \overline { { n x y } } } { sqrt { ( / { n } { i - 1 } ^ { 2 } x _ { i } ^ { 2 } - \overline { { n x ^ { 2 } } } ) ( / { n } { i - 1 } ^ { 2 } y _ { i } ^ { 2 } - \overline { { n y ^ { 2 } } } ) } } } \\ & { = / { 1 3 1 4 . 5 - 1 0 x 1 . 4 x 8 7 } { sqrt { ( 2 0 . 4 - 1 0 x 1 . 4 ^ { 2 } ) ( 8 8 6 8 0 - 1 0 x 8 7 ^ { 2 } ) } } = / { 9 6 . 5 } { sqrt { 1 0 3 9 2 } } \approx } \\ & { / { 9 6 . 5 } { 1 0 2 } \approx _ { 0 . 9 5 } , } \end{array} 因为 | r | > 0 . 7 5 且接近1，所以 _ y 与 x 线性相关程度很强.

阶段滚动检测卷（五)

答案速对

12.4.346满意度与性别有关联，推断犯错误的概率不大于0.05（或有 9 5 % 的把握认为满意度与性别有关）

13.2

14.2 sqrt { 1 7 } + 2 2号

试题精析

1.A解析：由 \sigma 的意义可知，图象越瘦高，数据越集中，o越小，故有 \sigma _ { 1 } { > } \sigma _ { 2 } { > } \sigma _ { 3 } .故选A.

2.B解析：由于球都相同，盒子不同，每个盒里至多放一个球，：只要选出5个不同的盒子即可.故共有 { C _ { 8 } ^ { 5 } } 种不同的放法，故选B.

3.C解析：直线 x + m y + 2 = 0 与 2 x - 4 y + n = 0 \circled { n }

0)直线平行， { / { 1 } { 2 } } = { / { m } { - 4 } } ，即m= m = - 2 ：直线 x - 2 y + 2 = 0 与直线 2 x - 4 y + n = 0 ( n > 0 ) 的距离为√5 * : / { \left| / { n } { 2 } - 2 \right| } { sqrt { 1 ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } } } { = } sqrt { 5 } ，即 | n - 4 | = 1 0 ，解得 n = 1 4 或n = - 6 < 0 （舍去），故 m + n = - 2 + 1 4 = 1 2 .故选C.

4.B解析： A \left( 0 , - 2 \right) , B \left( 0 , 2 \right) , \Dot { \iota _ { * } } \left| A B \right| = 4 ，则 \left| \mathop { P A } \right| - \mid P B \mid = 2 < \mid A B \mid ，由双曲线的定义可知，点 P 的轨迹为双曲线的一支.故选B.

5.B解析：零假设为 H _ { { ~ 0 ~ } } ：色盲与性别相互独立，即它们之间无关.： \chi ^ { 2 } = / { n ( a d - b c ) ^ { 2 } } { ( a + b ) ( c + d ) ( a + c ) ( b + d ) } (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)\*∴χ² ={ / { 1 \ 0 0 0 ( 4 4 2 x 6 - 5 1 4 x 3 8 ) ^ { 2 } } { 9 5 6 x 4 4 x 4 8 0 x 5 2 0 } } = 2 7 . 1 3 9 > 1 0 . 8 2 8 , （204号：依据小概率值 α = 0 . 0 0 1 的独立性检验，可以推断出H _ { { ~ 0 ~ } } 不成立，即色盲与性别之间不相互独立，有 9 9 . 9 % 的把握认为色盲与性别有关.故选B.

6.B解析：由表可得 { \overline { { x } } } = { / { 1 } { 4 } } \left( 1 + 2 + 3 + 4 \right) = { / { 5 } { 2 } } , { \overline { { y } } } = / { 1 } { 4 } ( 5 . 5 + 4 + 3 . 5 + 3 ) = 4 ，线性回归方程 \hat { y } = b x + 6 过样本中心点 \left( { / { 5 } { 2 } } , 4 \right) ，则 { / { 5 } { 2 } } b + 6 = 4 ，解得 b = - { / { 4 } { 5 } } . 故选B.

7.A解析：由 \hat { y } = 1 . 5 x + 1 和 \stackrel { - } { x } = 2 ，得 \stackrel { - } { y } = 1 . 5 x 2 + 1 = 4 ：去掉数据(2.6，2.8)与（1.4，5.2)后得到的新数据的平

均数 \overline { { x } } ^ { \prime } = 2 , \overline { { y } } ^ { \prime } = 4 ，由题意可设去掉两组数据后的经验回归方程为 \hat { y } = 1 . 4 x + a ，代入 ( 2 , 4 ) ，求得 a = 1 . 2 ，故去掉(2.6，2.8)与(1.4，5.2)这两组数据后求得的经验回归方程为 \hat { y } = 1 . 4 x + 1 . 2 . 将 x = 6 代入经验回归方程，得 \hat { y } = 1 . 4 x 6 + 1 . 2 = 9 . 6 .
故选A.

8.D解析：设男生人数为 6 n \left( n \in \mathbf { N } ^ { * } \right. )，被调查的男、女生人数相同，：女生人数也为 6 n 中 \mathbf { \bar { \Psi } } _ { n } \in \mathbf { N } ^ { * } )，根据题意列出列联表：

\chi ^ { 2 } = / { 1 2 n \left( 5 n * 2 n - n * 4 n \right) ^ { 2 } } { 6 n * 6 n * 9 n * 3 n } = / { 4 3 2 n ^ { 5 } } { 9 7 2 n ^ { 4 } } = / { 4 n } { 9 } , 4，有90%的把握认为是否喜欢冰雪运动与学生性别有关，：X≥2.706，即 / { 4 n } { 9 } >=slant 2 . 7 0 6 ，解得 6 n >=slant 3 6 . 5 3 1 ，又 \mathbf { \Omega } _ { n } \in \mathbf { N } ^ { * } ,A,B，C项正确，D项错误.故选D.

9.AD解析：平面 α 与平面 β 平行，且 ±b { n } = ( 2 , - 4 , 8 ) 是平面 β 的一个法向量，则平面 α 的法向量与 \scriptstyle n 平行，( - 1 , 2 , - 4 ) = - / { 1 } { 2 } { ±b { n } } 2n,(-2,4,-8)=-n,向量(-1,2,4）、 ( 2 , 4 , - 8 ) 与向量 \scriptstyle n 不共线，：AD选项中的向量可以作为平面 α 的法向量.故选 AD.

10.BD 解析：圆 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + 3 x - 2 y - 3 = 0 转化为 \left( x + { / { 3 } { 2 } } \right) ^ { 2 } + ( y - 1 ) ^ { 2 } = \left( { / { 5 } { 2 } } \right) ^ { 2 } 其圆 \therefore 坐标为 \left( - { / { 3 } { 2 } } , 1 \right) ，半径为 故选BD.

11.BCD解析：对于A，由方差的性质可知，若随机变量满足量 \xi , \eta 满足 \eta = 2 \boldsymbol { \mathfrak { E } } + 1 ，则 D \left( \eta \right) = 2 ^ { 2 } D \left( \boldsymbol { \xi } \right) = 4 D \left( \boldsymbol { \xi } \right) ，故选项A错误；对于B，根据正态分布的图象对称性可得 P ( 3 < 5 < 6 ）

= P ( \xi < 6 ) - 0 . 5 = 0 . 3 4 ，故选项B正确；
对于 { ~ \ C ~ } ，由 \chi ^ { 2 } = 4 . 7 1 2 > 3 . 8 4 1 可知判断 X 与 Y 有关且犯错误的概率不超过0.05，故选项C正确；
对于D，根据回归直线过样本中心点可知选项D正确.
故选BCD.

12.4.346满意度与性别有关联，推断犯错误的概率不大于0.05（或有 9 5 % 的把握认为满意度与性别有关)\chi ^ { 2 } = / { 1 ~ 2 0 0 x ( 5 6 0 x 6 0 - 5 4 0 x 4 0 ) ^ { 2 } } { 1 ~ 1 0 0 x 1 0 0 x 6 0 0 x 6 0 0 } \approx 4 . \ 364>3.841，：满意度与性别有关联，推断犯错误的概率不大于0.05（或：有 9 5 % 的把握认为满意度与性别有关）.

13.2解析：根据题意，令 \scriptstyle x = { sqrt { 2 } } ，得 ( 2 - 1 ) ^ { 5 } = a _ { 0 } + sqrt { 2 } a _ { 1 } + 2 a _ { 2 } + 2 sqrt { 2 } a _ { 3 } + 4 a _ { 4 } + 4 sqrt { 2 } a _ { 5 } , （204号 由(1)知， a _ { 0 } = - 1 , \dot { \bullet } sqrt { 2 } a _ { 1 } + 2 a _ { 2 } + 2 sqrt { 2 } a _ { 3 } + 4 a _ { 4 } + 4 sqrt { 2 } （204号 a _ { 5 } = 1 - ( - 1 ) = 2 . （204号

4.2 sqrt { 1 7 } + 2 解析：抛物线 y ^ { 2 } = 4 x 的焦点 F 的坐标为(1，0)，准线方程为 x = - 1 ，： P 为抛物线 y ^ { 2 } = 4 x 上的动点， P 到直线 x = - 1 , x = - 3 的距离分别 d _ { 1 } , d _ { 2 } ，∴d _ { 1 } = \mid P F \mid , d _ { 2 } = \mid P F \mid + 2 , \because A ( \stackrel { } { \partial } A ( 2 , 4 ) 关于 P 的对称点为 B , \dot { \bullet } * | A B | = 2 | P A | = 2 | P B | , \dot { \bullet } * d _ { 1 } + d _ { 2 } + | A B | = 2 （204号it { bf { \xi } } | { P F } | + | { P A } | + 1 ) ，又 \mid P F \mid + \mid P A \mid >=slant \mid F A \mid = sqrt { ( 2 - 1 ) ^ { 2 } + ( 4 - 0 ) ^ { 2 } } = sqrt { 1 7 } ，当且仅当点 P 为线段 A F 与抛物线的交点时等号成立，： d _ { 1 } + d _ { 2 } + \mid A B \mid >= 2 { sqrt { 1 7 } } + 2 ，当且仅当点 P 为线段 A F 与抛物线的交点时等号成立，∴当点 P 为线段 A F 与抛物线的交点时， d _ { 1 } + d _ { 2 } + | A B | 取最小值， d _ { 1 } + d _ { 2 } + \vert A B \vert 的最小值为2{ sqrt { 1 7 } } + 2 , （204号

15.解：(1)由题意可知 { \overline { { x } } } = { / { 8 + 1 0 + 1 2 + 1 4 + 1 6 + 1 8 } { 6 } } = 1 3 \stackrel { - } { y } = / { 6 + 7 + 8 + 9 + 1 1 + 1 3 } { 6 } = 9 , （204号

故 r = { / { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { 6 } ( x _ { i } - { \overline { { x } } } ) ( y _ { i } - { \overline { { y } } } ) } { \displaystyle sqrt { \sum _ { i = 1 } ^ { 6 } ( x _ { i } - { \overline { { x } } } ) ^ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { 6 } ( y _ { i } - { \overline { { y } } } ) ^ { 2 } } } } -5×(-3)+(-3)X(-2)+(-1)X(-1)+1×0+3×2+5×4√(25+9+1+1+9+25)(9+4+1+0+4+16)= / { 2 4 } { sqrt { 5 9 5 } } \approx / { 2 4 } { 2 4 . 4 } { \approx } 0 . 9 8 ，故有较强的线性相关性.

{ \begin{array} { r l } & { ( 2 ) \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { 6 } ( x _ { i } - \overline { { x } } ) ( y _ { i } - \overline { { y } } ) = - 5 x ( - 3 ) + ( - 3 ) x ( - 2 ) } \\ & { } \\ & { + ( - 1 ) x ( - 1 ) + 1 x 0 + 3 x 2 + 5 x 4 = 4 8 , } \\ & { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { 6 } ( x _ { i } - \overline { { x } } ) ^ { 2 } = 2 5 + 9 + 1 + 1 + 9 + 2 5 = 7 0 , } \end{array} }
故 { \hat { b } } = { / { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } - { \overline { { x } } } ) ( y _ { i } - { \overline { { y } } } ) } { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } - { \overline { { x } } } ) ^ { 2 } } } { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } - { \overline { { x } } } ) ^ { 2 } } = { / { 4 8 } { 7 0 } } = { / { 2 4 } { 3 5 } } , （204号
将(13，9)代入可得 \hat { a } = 9 - / { 2 4 } { 3 5 } x 1 3 = / { 3 } { 3 5 } 0
故回归直线方程为 y = / { 2 4 } { 3 5 } x + / { 3 } { 3 5 } 业

16.解：(1)方法一：： P A 上平面 A B C D A B \subset 平面 A B C D :PA⊥AB.= * A B \bot A D , P A \cap A D = A , P A , A C \subset 平面 P A D ，∴AB上平面 P A D ∵PDC平面PAD,:AB⊥PD.： { \cal P } A = A D , M 是 P D 的中点，AM⊥PD.： A B \cap A M = A A B A M \subset 平面ABM,PD⊥平面ABM.方法二：PA上平面 A B C D ，且四边形ABCD为矩形，∴AB, A D ，AP两两垂直，故以A为坐标原点，以AB . A D A P 为 x 轴 \mathbf { \nabla } _ { * } { } y 轴 * ^ { z } 轴建立如图所示的空间直角坐标系，

又 A P = 4 A D = 4 = A B = 2

∴A(0，0,0)，B(2，0,0)，C(2，4，0)，D(0，4，0)，P(0，0，
4)，M(0,2,2)，
设平面 A B M 的法向量为 \boldsymbol { n } = ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { y } , z ) ，且 \stackrel { } { A B } = ( 2 , 0
) ) , \overrightarrow { A M } = ( 0 , 2 , 2 ) , （204号AB·n=0, 2x=0，
则 故 取 _ y = 1 ，则 ±b { n } = ( 0 , 1 AM·n=0, 2y+2z=0，
^ { - 1 ) } ，
（204号 \because \overrightarrow { P D } = ( 0 , 4 , - 4 ) , \therefore \overrightarrow { P D } = 4 n , \therefore \overrightarrow { P D } / / n , \therefore P D \perp . 平
面ABM.(2)以 A 为坐标原点 \overrightarrow { , A B } , \overrightarrow { A D } , \overrightarrow { A P } 的方向分别为 x 轴、_ y 轴 * { z } 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则 B \left( 2 , 0 , 0 \right) , C \left( 2 , 4 , 0 \right) , D \left( 0 , 4 , 0 \right) , P \left( 0 , 0 , 4 \right) , M \left( 0 , 2 , 0 \right) , （204号2).
由(1)知平面 A B M 的一个法向量为 \overrightarrow { P D } = ( 0 , 4 , - 4 ) ：设平面BCM的法向量为 ±b { n } = ( x , y , z ) , \because \overrightarrow { B M } = ( - 2 2,2) \stackrel { \triangledown } { , { B C } } = ( 0 , 4 , 0 )
\therefore { \left\{ \begin{array} { l l } { n * { \overrightarrow { B M } } = - 2 x + 2 y + 2 z = 0 , } \\ { \qquad * } \\ { n * { \overrightarrow { B C } } = 4 y = 0 , } \end{array} \right. } （204号
令 x = 1 ，得 ±b { n } = ( 1 , 0 1).
设平面BCM与平面ABM的夹角为 θ ，则cos θ = | \cos \ ⟨ { \overrightarrow { P D } } , { ±b { n } } ⟩ | = { / { | { \overrightarrow { P D } } * { ±b { n } } | } { | { \overrightarrow { P D } } | \ | { ±b { n } } | } } { = } { / { 1 } { 2 } } ,
：平面BCM与平面 A B M 夹角为 / { π } { 3 }

17.解：(1)列联表如下：

零假设 \boldsymbol { H } _ { { \ell { \ell } } } ：该校高三学生是否有民航招飞意向与学生性别无关联.

\begin{array} { r } \because \ \chi ^ { _ { 2 } } \ = \ / { 1 \ 0 0 0 ( 1 0 0 x 3 0 0 - 1 0 0 x 5 0 0 ) ^ { 2 } } { 2 0 0 x 8 0 0 x 6 0 0 x 4 0 0 } \ \approx \ 1 0 . \ 4 1 7 \ < \ \end{array} 10.828,
∴假设成立，根据 α { = } 0 . 0 0 1 小概率值的独立性检验，认为该校高三学生是否有民航招飞意向与学生性别无关，即没有 9 9 . 9 % 的把握认为该校高三学生有民航招飞意向与学生性别有关.
(2)每名报名学生通过前4项流程的概率依次约为4,1,且能否通过相互独立，
：估计每名报名学生被确认为有效招飞申请的概率 P = / { 3 } { 4 } x / { 2 } { 3 } x / { 1 } { 2 } x 1 = / { 1 } { 4 } .
：该校有200名学生有民航招飞意向，：有效招飞的人数 X { ~ } B \left( 2 0 0 , / { 1 } { 4 } \right) .
∴估计有 2 0 0 x / { 1 } { 4 } = 5 0 人被确认为有效招飞申请.

18.解：(1)设双曲线 c 的焦点坐标为 ( ± c , 0 ) ·∵实轴长是虚轴长的2倍，则 a = 2 b ，又焦点到渐近线 y = ± / { 1 } { 2 } x 的距离为1，则 { / { c } { sqrt { 5 } } } = 1 ，可得 c = { sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } = { sqrt { 5 } } ，解得 \scriptstyle a = 2 , b = 1 ，∴双曲线 c 的标准方程 : / { x ^ { 2 } } { 4 } - y ^ { 2 } = 1

(2)当直线 \mathbf { \xi } _ { l } 的斜率不存在时， P 点为 M N 的中点；当直线 \mathbf { \xi } _ { l } 的斜率存在时，设直线 M N 的方程： y = k x + m \left( m \neq 0 \right) , （20
联立方程 \left\{ \begin{array} { l } { { y = k x + m , } } \\ { { \qquad \vdots \sharp ( 4 k ^ { 2 } - 1 ) x ^ { 2 } + 8 k m x + 4 m ^ { 2 } + 4 } } \\ { { \qquad \vdots \qquad } } \\ { \qquad \end{array} } \right. = 0 ，
：直线 l 分别交双曲线 C 的两条渐近线于 M , N .
其中点 M 在第一象限，点 N 在第四象限，且与双曲线
C 只有一个公共点 P ，\therefore \Delta = 6 4 k ^ { 2 } m ^ { 2 } - 4 ( 4 k ^ { 2 } - 1 ) ( 4 m ^ { 2 } + 4 ) = 0 ，即 4 k ^ { 2 } = m ^ { 2 } （20
+ 1 ，
双曲线两条渐近线方程为 _ { y } = ± / { 1 } { 2 } x 联立方程 \left\{ \begin{array} { l } { { y = - { / { 1 } { 2 } } x , } } \\ { { } } \\ { { y = k x + m , } } \end{array} \right. 解得 N \left( { / { - 2 m } { 2 k + 1 } } , { / { m } { 2 k + 1 } } \right)
（204号
联立方程 \left\{ { \begin{array} { l } { { y = \displaystyle { / { 1 } { 2 } } x , } } \\ { { } } \\ { { y = k x + m , } } \end{array} } \right. 解得 M \left( { / { 2 m } { 1 - 2 k } } , { / { m } { 1 - 2 k } } \right)
（204号
则 MN 的 中 点 坐 标：\begin{array} { l } { { ( / { 1 } { 2 } ( / { 2 m } { 1 - 2 k } + / { - 2 m } { 2 k + 1 } ) , / { 1 } { 2 } ( / { m } { 1 - 2 k } + / { m } { 2 k + 1 } ) ) , } } \\ { { { } } } \\ { { \displaystyle { \mathfrak { L } } [ [ - / { 4 k } { m } , - / { 1 } { m } ) , } } \end{array}
代入 4 k ^ { 2 } = m ^ { 2 } + 1 得樂 \displaystyle { / { 1 } { 4 } } \left( - { / { 4 k } { m } } \right) ^ { 2 } - \left( - { / { 1 } { m } } \right) ^ { 2 } = { / { 4 k ^ { 2 } - 1 } { m ^ { 2 } } } = 1 ，
∴MN的中点坐标满足双曲线方程，即MN的中点在双曲线上，
又直线 \mathbf { \xi } _ { l } 与双曲线 C 只有一个公共点 P ，
可知点 P 为线段 M N 的中点.
综上所述，点 P 为线段MN的中点.

(3)由题意可知 \mathsf { I } M N \mathsf { I } \begin{array} { l } { { = sqrt { \left( \displaystyle / { 2 m } { 1 - 2 k } + / { 2 m } { 1 + 2 k } \right) ^ { 2 } + \left( \displaystyle / { m } { 1 - 2 k } - / { m } { 1 + 2 k } \right) ^ { 2 } } } } \\ { { = sqrt { 1 + k ^ { 2 } } \displaystyle \left. \displaystyle / { 4 m } { 1 - 4 k ^ { 2 } } \right. , } } \end{array} 坐标原点到直线 \mathbf { \xi } _ { l } 的距离： d = / { \mid m \mid } { sqrt { 1 + k ^ { 2 } } } 则 S = { / { 1 } { 2 } } S _ { \triangle M O N } = { / { 1 } { 2 } } x { / { 1 } { 2 } } \mid M N \mid d = { / { 1 } { 4 } } x { sqrt { 1 + k ^ { 2 } } } （204号 \bigg | / { 4 m } { 1 - 4 k ^ { 2 } } \bigg | x / { \vert m \vert } { sqrt { 1 + k ^ { 2 } } } { = } / { m ^ { 2 } } { \vert 1 - 4 k ^ { 2 } \vert } , 代入 4 k ^ { 2 } = m ^ { 2 } + 1 得 S = { / { m ^ { 2 } } { | 1 - ( m ^ { 2 } + 1 ) | } } = 1 ：平行四边形 O E P F 面积为定值1.

故预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩为140.5分.

\begin{array} { l } { ( 3 ) \displaystyle \chi ^ { 2 } = / { n ( a d - b c ) ^ { 2 } } { ( a + b ) ( c + d ) ( a + c ) ( b + d ) } } \\ { = \displaystyle / { 2 2 0 x ( 2 5 x 1 3 0 - 3 5 x 3 0 ) ^ { 2 } } { 1 6 5 x 5 5 x 6 0 x 1 6 0 } = / { 1 1 0 } { 9 } \approx 1 2 . 2 2 , } \end{array} ： 1 2 . 2 2 > 1 0 . 8 2 8 ∴依据 α { = } 0 . 0 0 1 的独立性检验，可以认为“周六在校自主学习与成绩进步”有关.

高考真题体验卷

答案速对

9.解：（1） \overline { { { x } } } ~ = ~ / { 3 0 + 4 0 + 5 0 + 6 0 + 7 0 } { 5 } ~ = ~ 5 0 ：50，y { \begin{array} { l } { - } \\ { y } \end{array} } = \begin{array} { r l } & { / { 8 5 + 7 8 + 8 5 + 9 9 + 1 1 8 8 } { 5 } - 8 7 , } \\ & { \quad - / { / { 5 } { 2 } ( x _ { 1 } - \overline { { x } } ) ( y _ { 1 } - \overline { { y } } ) } { sqrt { / { 5 } { 2 } ( x _ { 1 } - \overline { { x } } ) ^ { 2 } } sqrt { / { 5 } { 2 } ( y _ { 1 } - \overline { { y } } ) ^ { 3 } } } } \\ & { \quad - / { / { 5 } { 2 } ( x _ { 1 } - \overline { { y } } ) } { sqrt { / { 5 } { 2 } ( x _ { 1 } - \overline { { y } } ) ^ { 2 } } sqrt { / { 5 } { 2 } ( y _ { 1 } - \overline { { y } } ) ^ { 3 } } } } \\ & { \quad - / { \overline { { 5 } } x _ { 1 } y _ { 1 } - \overline { { x } } _ { 2 } ^ { 3 } y _ { 2 } - \overline { { y } } / { 5 } { 2 } ( x _ { 1 } + \overline { { x } } _ { 2 } - \overline { { y } } ) } { sqrt { / { 5 } { 2 } ( x _ { 1 } - \overline { { x } } ) ^ { 2 } } sqrt { / { 5 } { 2 } ( y _ { 1 } - \overline { { y } } ) ^ { 2 } } } } \\ & { \quad - / { \overline { { 5 } } x _ { 1 } y _ { 2 } - \overline { { y } } - \overline { { y } } - \overline { { y } } - \overline { { y } } } { sqrt { / { 5 } { 2 } ( x _ { 1 } - \overline { { y } } ) ^ { 2 } } sqrt { / { 5 } { 2 } ( y _ { 1 } - \overline { { y } } ) ^ { 2 } } } , } \end{array} 又閣 \sum _ { i = 1 } ^ { 5 } x _ { i } y _ { i } = 2 2 ~ 8 2 0 , x _ { i } 的方差为 2 0 0 , y _ { i } 的方差为230.8， { sqrt { 1 1 5 4 ~ 0 0 0 } } \approx 1 ~ 0 7 4 { * } 则 r = { / { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { 5 } x _ { i } y _ { i } - { \overline { { x } } } \sum _ { i = 1 } ^ { 5 } y _ { i } - { \overline { { y } } } \sum _ { i = 1 } ^ { 5 } x _ { i } + 5 { \overline { { x } } } * { \overline { { y } } } } { \displaystyle sqrt { \sum _ { i = 1 } ^ { 5 } ( x _ { i } - { \overline { { x } } } ) ^ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { 5 } ( y _ { i } - { \overline { { y } } } ) ^ { 2 } } } } （204号\begin{array} { r l } & { = / { \underset { i = 1 } { \overset { 5 } { \sum } } x _ { i } y _ { i } - 5 \overline { { x } } * \overline { { y } } } { sqrt { \underset { i = 1 } { \overset { 5 } { \sum } } ( x _ { i } - \overline { { x } } ) ^ { 2 } \underset { i = 1 } { \overset { 5 } { \sum } } ( y _ { i } - \overline { { y } } ) ^ { 2 } } } } \\ & { = / { 2 2 \ 8 2 0 - 5 x 5 0 x 8 7 } { sqrt { 5 x 2 0 0 x 5 x 2 3 0 . 8 } } \approx / { 1 \ 0 7 0 } { 1 \ 0 7 4 } \approx 0 . 9 9 6 , } \end{array} \boldsymbol { r } 值非常接近于1，故变量 _ y 与变量 x 之间的关系可以

.（或-) 12.5
3
13.

试题精析

用线性回归模型拟合.

(2)b { \hat { b } } = { / { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { 5 } ( x _ { i } - { \overline { { x } } } ) ( y _ { i } - { \overline { { y } } } ) } { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { 5 } ( x _ { i } - { \overline { { x } } } ) ^ { 2 } } } = { / { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { 5 } x _ { i } y _ { i } - 5 { \overline { { x } } } * { \overline { { y } } } } { 5 x 2 0 0 } } = / { 2 2 ~ 8 2 0 - 5 x 5 0 x 8 7 } { 1 ~ 0 0 0 } { } = 1 . 0 7 , （204号
{ \hat { a } } = { \overline { { y } } } - { \hat { b } } { \overline { { x } } } = 8 7 - 1 . 0 7 x 5 0 = 3 3 . 5 ,
故 \hat { y } = 1 . 0 7 x + 3 3 . 5 ，当 x = 1 0 0 时， \hat { y } = 1 4 0 . 5

1.A 解析：（方法一公式法） ( x - { sqrt { x } } ) ^ { 4 } 的展开式的通项T _ { r + 1 } = { C } _ { 4 } ^ { r } x ^ { 4 - r } ( - sqrt { x } ) ^ { r } = ( - 1 ) ^ { r } { C } _ { 4 } ^ { r } x ^ { 4 - / { r } { 2 } } ( r = 0 , 1 , 2 , 3 , （204号4).由 4 - / { r } { 2 } = 3 ，得 r = 2 , \dot { \bf { z } } . ( x - sqrt { x } ) ^ { 4 } 的展开式中 x ^ { 3 } 的系数为 ( - 1 ) ^ { 2 } { C } _ { 4 } ^ { 2 } = 6 （方法二组合数法） ( x - { sqrt { x } } ) ^ { 4 } 的展开式中含 x ^ { 3 } 的项是由 ( x - { sqrt { x } } ) ( x - { sqrt { x } } ) ( x - { sqrt { x } } ) ( x - { sqrt { x } } ) 中任意取2个括号内的 x 与剩余的2个括号内的 ( - sqrt { x } ) 相乘得到的，: ( \mathbf { \nabla } _ { x } { ~ - ~ } sqrt { x } { ~ } ) ^ { 4 } 的展开式中含 x ^ { 3 } 的项为 { C } _ { 4 } ^ { 2 } x ^ { 2 } 1{ C } _ { 2 } ^ { 2 } ( - sqrt { x } ) ^ { 2 } = 6 x ^ { 3 } , \therefore ( x - sqrt { x } ) ^ { 4 } 的展开式中 x ^ { 3 } 的系数为6.

2.D解析：化圆的方程为标准方程，得 ( x - 1 ) ^ { 2 } + ( y + 3 ) ^ { 2 } （204号 = 1 0 ，该圆的圆心 ( 1 , - 3 ) 到直线 x - y + 2 = 0 的距离 \ngeq / { | 1 - ( - 3 ) + 2 | } { sqrt { 1 ^ { 2 } + ( - 1 ) ^ { 2 } } } { = } / { 6 } { sqrt { 2 } } { = } 3 sqrt { 2 } .

3.B答案：画出树状图如图所示，甲、乙、丙、丁四人排成一列共有 2 4 种排法，其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种，：所求概率为 / { 8 } { 2 4 } = / { 1 } { 3 } .故选B.

4.C解析：设 F _ { { ~ 1 ~ } } ( 0 , - 4 ) , F _ { { ~ 2 ~ } } ( 0 , 4 ) , P ( - 6 , 4 ) 则 \mid F _ { 1 } F _ { 2 } \mid = 2 c = 8 , \mid P F _ { 1 } \mid = sqrt { 6 ^ { 2 } + ( - 4 - 4 ) ^ { 2 } } = 1 0 \mid P F _ { 2 } \mid = sqrt { 6 ^ { 2 } + ( 4 - 4 ) ^ { 2 } } = 6 , 则 2 a = \mid P F _ { 1 } \mid - \mid P F _ { 2 } \mid = 1 0 - 6 = 4 , \therefore e = / { 2 c } { 2 a } = / { 8 } { 4 } = 2 . 故选C.

5.D解析：抛物线 c { \boldsymbol { * } } { \boldsymbol { y } } ^ { 2 } = 8 { \boldsymbol { x } } 的焦点 F ( 2 , 0 ) ，准线方程为 x = - 2 ，点 M 在 C 上， M 到准线 x = - 2 的距离为|M F ，又 M 到直线 x = - 3 的距离为 5 , \dot { \dots } | M F | + 1 = 5 故 | M F | = 4 . 故选D.

6.C解析：相关系数 r = 0 . 8 2 4 \ 5 > 0 . 7 5 ，∴花瓣长度和花萼长度的相关性较强，并且呈正相关，：选项A，B错误，选项C正确；相关系数与样本的数据有关，：当样本发生变化时，相关系数也会发生变化，：选项D错误.故选C.

7.B解析：方法一：∵ \overrightarrow { P F _ { 1 } } * \overrightarrow { P F _ { 2 } } = 0 , \therefore P F _ { 1 } \bot P F _ { 2 } ，则 S _ { \triangle P F _ { 1 } F _ { 2 } } = / { 1 } { 2 } \mid P F _ { 1 } \mid * \mid P F _ { 2 } \mid = b ^ { 2 } \tan { / { \angle F _ { 1 } P F _ { 2 } } { 2 } } （20 得 / { 1 } { 2 } | P F _ { 1 } | \bullet | P F _ { 2 } | = 1 x \tan / { 9 0 ^ { \circ } } { 2 } , \bullet \bullet | P F _ { 1 } | \bullet | P F _ { 2 } | = 2 . 故选B. 方法二： \because \overrightarrow { P F _ { 1 } } * \overrightarrow { P F _ { 2 } } = 0 , \therefore P F _ { 1 } \bot P F _ { 2 } ：： \mid P F _ { 1 } \mid ^ { 2 } + \mid P F _ { 2 } \mid ^ { 2 } = \mid F _ { 1 } F _ { 2 } \mid ^ { 2 } = ( 2 c ) ^ { 2 } = 1 6 . （204号 : | P F _ { \scriptscriptstyle 1 } | + | P F _ { \scriptscriptstyle 2 } | = 2 a = 2 sqrt { 5 } ： ( \mid P F _ { 1 } \mid + \mid P F _ { 2 } \mid ) ^ { 2 } = 2 0 ，即 \mid P F _ { 1 } \mid ^ { 2 } + \mid P F _ { 2 } \mid ^ { 2 } + 2 | P F _ { 1 } | \bullet | P F _ { 2 } | = 2 0 , \bullet \bullet | P F _ { 1 } | \bullet | P F _ { 2 } | = 2 故选B.

.ABD解析：A选项，抛物线 y ^ { 2 } = 4 x 的准线为 x = - 1 \odot A 的圆心 ^ { ( 0 , 4 ) } 到直线 x = - 1 的距离显然是1，等于圆的半径，
故准线 \mathbf { \xi } _ { l } 与 \odot A 相切，A选项正确；
B选项，当 P , A , B 三点共线时，即PA \perp l ，则 P 的纵坐标 { \bf { \Lambda } } _ { { \bf { { y } } } _ { P } } = 4 ，
由 y _ { P } ^ { 2 } = 4 x _ { P } ，得到 x _ { P } = 4 ，故 P ( 4 , 4 ) ，
此时切线长 | P Q | = { sqrt { | P A | ^ { 2 } - r ^ { 2 } } } = { sqrt { 4 ^ { 2 } - 1 ^ { 2 } } } = { sqrt { 1 5 } } ,B选项正确；
C选项，当 \mid P B \mid = 2 时， x _ { P } = 1 ，此时 y _ { P } ^ { 2 } = 4 x _ { P } = 4 ，故P ( 1 , 2 ) 或 P ( 1 , - 2 ) ，
当 P ( 1 , 2 ) 时， B \left( { - 1 , 2 } \right) ，又 A \left( 0 , 4 \right) , k _ { P A } = / { 4 - 2 } { 0 - 1 } = - 2 k _ { A B } = / { 4 - 2 } { 0 - ( - 1 ) } = 2 , （204号
不满足 k _ { P A } k _ { A B } = - 1 .
当 P ( 1 , - 2 ) 时， B \left( - 1 , - 2 \right) , k _ { P A } = / { 4 - \left( - 2 \right) } { 0 - 1 } = - 6 ，又A \left( 0 , 4 \right) , k _ { A B } = / { 4 - \left( - 2 \right) } { 0 - \left( - 1 \right) } = 6 , （204号
不满足 k _ { P A } k _ { A B } = - 1 ：
于是 P A \bot A B 不成立，C选项错误；
D选项，方法一：利用抛物线定义转化根据抛物线的定义， | P B | = | P F |
于是 \mid P A \mid = \mid P B \mid 时， P 点的存在性问题转化成 \mid P A \mid = \mid P F \mid 时 P 点的存在性问题，
： { \bf \nabla } * { \bf A } \left( 0 , 4 \right) , F \left( 1 , 0 \right) , A F 中点为 \left( / { 1 } { 2 } , 2 \right) , A F 中垂线的斜率为 - / { 1 } { k _ { \scriptscriptstyle A F } } = / { 1 } { 4 }
于是 A F 的中垂线方程为 y = / { 2 x + 1 5 } { 8 } ，与抛物线 y ^ { 2 } = 4 x 联立可得 y ^ { 2 } - 1 6 y + 3 0 = 0
\Delta = 1 6 ^ { 2 } - 4 x 3 0 = 1 3 6 > 0 ，即 A F 的中垂线和抛物线有两个交点，
即存在两个点 P ，使得 | P A | P F | ，D选项正确.
方法二：设点直接求解
设 P \left( { / { t ^ { 2 } } { 4 } } , t \right) ，由 P B \perp l 可得 B ( - 1 , t ) ，又 A \left( 0 , 4 \right) , \left| P A \right| （204号\mathbf { \Psi } = | { \cal P B } | ，
根据两点间的距离公式，得 sqrt { / { t ^ { 4 } } { 1 6 } + ( t - 4 ) ^ { 2 } } = / { t ^ { 2 } } { 4 } + 1 ，整理得 t ^ { 2 } - 1 6 t + 3 0 = 0 ，
\Delta = 1 6 ^ { 2 } - 4 x 3 0 = 1 3 6 > 0 ，则关于 \mathbf { \chi } _ { t } 的方程有两个解，即存在两个这样的 P 点，D选项正确.
故选ABD.

9.BC解析：依题可知， \overline { { \boldsymbol { x } } } = 2 . 1 , s ^ { 2 } = 0 . 0 1 ，\therefore Y ~ N ( 2 . 1 , 0 . 1 ^ { 2 } ) 故 P \left( Y > 2 \right) = P \left( Y > 2 . 1 - 0 . 1 \right) = P 心 Y < 2 . 1 + 0 . 1 ) \approx 0 . 841 _ { 3 > 0 . 5 , { C } } 正确，D错误；： X ~ N ( 1 . 8 , 0 . 1 ^ { 2 } )

业 \ : P \left( X > 2 \right) = P \left( X > 1 . 8 + 2 x 0 . 1 \right) ,
= \bullet { \cal P } ( X { < } 1 . 8 + 0 . 1 ) { \approx } 0 . 8 4 1 3 { * }
: P \left( X > 1 . 8 + 0 . 1 \right) \approx 1 - 0 . 8 4 1 3 = 0 . 1 5 8 7 < 0 . 2 , （204号
而 P \left( X > 2 \right) = P \left( X > 1 . 8 + 2 x 0 . 1 \right) < P \left( X > 1 . 8 + 0 . 1 \right) < 0 . 2 , { B } 正确，A错误.故选BC..ABD 解析：对于A，设曲线上的动点 P ( x , y ) ，则 _ x > -2且 \scriptstyle { sqrt { ( x - 2 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } x \left| x - a \right| = 4
·曲线过坐标原点，故 sqrt { ( 0 - 2 ) ^ { 2 } + 0 ^ { 2 } } x | 0 - a | = 4 ，解得 a = - 2 ，故A正确；
对于B,曲线方程为 sqrt { ( x - 2 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } } x | x + 2 | = 4 ，而 _ x （204号>-2,故 \scriptstyle { sqrt { ( x - 2 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } x ( x + 2 ) = 4
当 \scriptstyle x = 2 { sqrt { 2 } } , y = 0 时， sqrt { ( 2 sqrt { 2 } - 2 ) ^ { 2 } } x ( 2 sqrt { 2 } + 2 ) = 8 - 4 （204号= 4 ，
故点 ( 2 sqrt { 2 } , 0 ) 在曲线上，故B正确；
对于 { ~ \ C ~ } ，由曲线的方程可得 y ^ { 2 } = / { 1 6 } { ( x + 2 ) ^ { 2 } } - ( x - 2 ) ^ { 2 } ，取x = { / { 3 } { 2 } } ,
则 { { y } ^ { 2 } } = / { 6 4 } { 4 9 } - / { 1 } { 4 } ，而 / { 6 4 } { 4 9 } - / { 1 } { 4 } - 1 = / { 6 4 } { 4 9 } - / { 5 } { 4 } = / { 2 5 6 - 2 4 5 } { 4 9 x 4 } > 0，故此时 { \boldsymbol y } ^ { 2 } > 1
故 c 在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C错误；
对于D，当点 ( \boldsymbol { x } _ { 0 } , \boldsymbol { y } _ { 0 } ) 在曲线上时，由选项 { c } 的分析可得y _ { 0 } ^ { 2 } { = } / { 1 6 } { ( x _ { 0 } + 2 ) ^ { 2 } } { - } ( x _ { 0 } { - } 2 ) ^ { 2 } { <=slant } / { 1 6 } { ( x _ { 0 } + 2 ) ^ { 2 } } ,
故 - / { 4 } { x _ { 0 } + 2 } { <=slant } y _ { 0 } { <=slant } / { 4 } { x _ { 0 } + 2 } ,故D正确.故选ABD.

二 1 . / { 1 } { 2 } \bigg ( / { \mu } { \chi } - / { 1 } { 2 } \bigg ) 解析：由题意，知该双曲线的渐近线方程为y=士- y = ± / { 1 } { 2 } x ，直线 y = k \left( x - 3 \right) 过定点(3,0).点(3，0)在双曲线内，：要使过该点的直线与双曲线只有一个公共点，则该直线与双曲线的渐近线平行，： k = ± { / { 1 } { 2 } } .

12.5解析：二项式 { \left( / { 1 } { 3 } + x \right) } ^ { 1 } 展开式的通项公式为 T _ { r + 1 } （204号
= { C } _ { 1 0 } ^ { r } \left( / { 1 } { 3 } \right) ^ { 1 0 - r } x ^ { r } , 0 { <=slant } r { <=slant } 1 0 { ~ } \mathbb { A } \ r \in \mathbf { z } , 设展开式中第 { \boldsymbol { r } } _ { } + 1 项系数最大，
\begin{array} { r l } & { \mathbb { M } \Bigg \{ C _ { 1 0 } ^ { r } ( / { 1 } { 3 } ) ^ { 1 0 - r } >=slant C _ { 1 0 } ^ { r + 1 } ( / { 1 } { 3 } ) ^ { θ - r } , } \\ & { \Bigg \{ C _ { 1 0 } ^ { r } ( / { 1 } { 3 } ) ^ { 1 0 - r } >=slant C _ { 1 0 } ^ { r - 1 } ( / { 1 } { 3 } ) ^ { 1 1 - r } , } \\ & { \Rightarrow \Bigg \{ { r \mathord { \stackrel { } { \bigotimes } } / { 2 9 } { 4 } } , } \\ & { \Bigg \} _ { r \in / { 3 3 } { 4 } , } } \end{array} 故 r = 8 ：展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为 { C } _ { 1 0 } ^ { 8 } （204号
\left( { / { 1 } { 3 } } \right) ^ { 2 } = 5 .
* / { 3 } { 5 } / { 1 } { 2 } 解析：方法一：列举法
从五个活动中选三个的情况有：
ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，
BDE, C D E ，共10种情况，
其中甲选到 A 有6种可能情况：ABC，ABD，ABE，
ACD，ACE，ADE,
则甲选到 A 的概率为 { / { 6 } { 1 0 } } = { / { 3 } { 5 } } +
乙选 A 活动有6种可能情况： A B C , A B D , A B E , A C D
ACE,ADE,
其中再选择 B 有3种可能情况： A B C A B D ,ABE,
故乙选了 A 活动，他再选择 B 活动的概率为 { / { 3 } { 6 } } = { / { 1 } { 2 } } =
方法二：
设甲、乙选到 A 为事件 M ，乙选到 B 为事件 N
则甲选到 A 的概率为 P \left( M \right) = / { { C } _ { 4 } ^ { 2 } } { { C } _ { 5 } ^ { 3 } } = / { 3 } { 5 } . （20

乙选了 A 活动，他再选择 B 活动的概率为 P \left( N \mid M \right) = / { P \left( M N \right) } { P \left( M \right) } = / { \overline { { { C } } } _ { 5 } ^ { 1 } } { { C } _ { 4 } ^ { 2 } } = / { 1 } { 2 } .

14.解：(1)填写如下列联表：

则完整的 2 x 2 列联表如下：

K ^ { 2 } = { / { 1 5 0 x ( 2 6 x 3 0 - 7 0 x 2 4 ) ^ { 2 } } { 9 6 x 5 4 x 5 0 x 1 0 0 } } = 4 . 6 8 7 \ 5 .
： K ^ { 2 } = 4 . 6 8 7 5 > 3 . 8 4 1 ，有 9 5 % 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异；
： K ^ { 2 } = 4 . 6 8 7 ~ 5 < 6 . 6 3 5 ，没有 9 9 % 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异.(2)由题意可知 \overline { { β } } = / { 9 6 } { 1 5 0 } = 0 . 6 4
{ \mathfrak { L } } \ { \mathfrak { p } } + 1 . 6 5 { sqrt { / { { \mathfrak { p } } \left( 1 - { \mathfrak { p } } \right) } { n } } } = 0 . 5 + 1 . 6 5 x { sqrt { / { 0 . 5 x ( 1 - 0 . 5 ) } { 1 5 0 } } } \approx 0 . 5 + 1 . 6 5 x / { 0 . 5 } { 1 2 . 2 4 7 } { \approx } 0 . 5 7 ,
： * { \overline { { p } } } { > } p + 1 . 6 5 sqrt { / { \dot { p } ( 1 - \dot { p } ) } { n } } 能认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.

15.解：(1)取 P D 的中点 G ，连接 F G , C G （图略），： F 为 P E 的中点，： * F G = / { 1 } { 2 } D E = 1 , F G / / D E 又 B C = 1 , A D / / B C , \therefore F G = B C , F G / / B C . ∴四边形 F G C B 为平行四边形，:BF//CG，

又BF \nless 平面PCD， C G \subset 平面PCD，BF//平 面PCD.

(2)∵AB⊥平面 P A D ，PEC平面 P A D ,∴AB⊥PE,又 P E \bot A D , A B \cap A D = A , A B , A D \subset 平面 A B C D ∴PE⊥平面ABCD.
连接 E C ，易知四边形ABCE为矩形，故直线 E C , E D =E P 两两垂直，故以 E 为坐标原点， E C , E D ，EP所在直线分别为 x 轴 \mathbf { \nabla } * \boldsymbol { y } 轴、 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则 P \left( 0 , 0 , 2 \right) , C \left( 1 , 0 , 0 \right) , D \left( 0 , 2 , 0 \right) , A \left( 0 , - 1 , 0 \right) , B \left( 1 , 2 , 0 \right) -1，0)，则 \stackrel { } { A B } = ( 1 , 0 , 0 ) ，AP=(0，1，2)， \stackrel { } { P C } = ( 1 , 0 , - 2 \stackrel { \longrightarrow } { , { \cal P } { \cal D } } = ( 0 , 2 , - 2 ) . （204号

设平面PAB的法向量为 ±b { n } _ { 1 } = ( x _ { 1 } , \ y _ { 1 } , \ z _ { 1 } \ ) 贝 \begin{array} { r } { { \mathbb J } \left\{ \stackrel { n _ { 1 } } { * } \overrightarrow { A B } = x _ { 1 } = 0 , \right. } \\ { \left. \downarrow \left\{ \begin{array} { l } { \longrightarrow } \\ { n _ { 1 } * \overrightarrow { A P } = y _ { 1 } + 2 z _ { 1 } = 0 , } \end{array} \right. \right. } \end{array}
可取 ±b { n } _ { 1 } = ( 0 , - 2 , 1 ) ：
设平面PCD的法向量为 ±b { n } _ { 2 } = ( x _ { 2 } , \ x _ { 2 } , \ z _ { 2 } ) ， 贝 \ ! \left\{ \begin{array} { l } { ±b { n } _ { 2 } * \overrightarrow { P C } = x _ { 2 } - 2 z _ { 2 } = 0 , } \\ { \qquad sqrt { / { 2 } { π } } , } \\ { ±b { n } _ { 2 } * \overrightarrow { P D } = 2 y _ { 2 } - 2 z _ { 2 } = 0 , } \end{array} \right.
可取 ±b { n } _ { 2 } = ( 2 , 1 , 1 )
设平面 P A B 与平面 P C D 的夹角为 θ .
则c θ = \lvert \cos ⟨ n _ { 1 } , n _ { 2 } ⟩ \lvert = / { \lvert n _ { 1 } * n _ { 2 } \rvert } { \lvert n _ { 1 } \rvert * \lvert n _ { 2 } \rvert } { = } / { sqrt { 3 0 } } { 3 0 } .
：平面 P A B 与平面 P C D 夹角的余弦值为 / { sqrt { 3 0 } } { 3 0 } （20

16.解：(1)由题意可知 b = { sqrt { 2 } } , c = { sqrt { 2 } } · \therefore a = { sqrt { b ^ { 2 } + c ^ { 2 } } } = 2 , （204号 故椭圆 E 的方程为 / { x ^ { 2 } } { 4 } + / { y ^ { 2 } } { 2 } = 1 ，离心率 e = { / { c } { a } } = { / { sqrt { 2 } } { 2 } } 0

(2)设 A ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) , B ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) ，直线 A B 的方程为 y = k x
+ t \left( k \neq 0 \right) , （204号
联立 \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle / { x ^ { 2 } } { 4 } + / { y ^ { 2 } } { 2 } = 1 } \\ { \qquad } \\ { \displaystyle y = k x + t , } \end{array} \right. 得 ( 1 + 2 k ^ { 2 } ) x ^ { 2 } + 4 k t x + 2 t ^ { 2 } - 4 = 0 . （204号
1 * \Delta = ( 4 k t ) ^ { 2 } - 4 ( 1 + 2 k ^ { 2 } ) ( 2 t ^ { 2 } - 4 ) > 0 ，即 4 k ^ { 2 } - t ^ { 2 } + 2 （204号
{ > } 0 ，
由根与系数的关系得 \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle x _ { 1 } + x _ { 2 } = - / { 4 k t } { 1 + 2 k ^ { 2 } } , } \\ { \displaystyle \qquad \mathbb { O } } \\ { \displaystyle x _ { 1 } x _ { 2 } = / { 2 t ^ { 2 } - 4 } { 1 + 2 k ^ { 2 } } , } \end{array} \right. \qquad \mathbb { O }
由椭圆的对称性可得 D ( - x _ { 2 } , y _ { 2 } ) ，
： A , C , D 三点共线， \bullet _ { \boldsymbol { { k } } _ { A C } } = k _ { C D } ，
· / { y _ { 1 } - 1 } { x _ { 1 } } { = } / { y _ { 2 } - 1 } { - x _ { 2 } } （204号 ，即 x _ { 1 } y _ { 2 } + x _ { 2 } y _ { 1 } - ( x _ { 1 } + x _ { 2 } ) = 0 .
由 y _ { 1 } = k x _ { 1 } + t , y _ { 2 } = k x _ { 2 } + t ，得 x _ { 1 } \left( k x _ { 2 } + t \right) + x _ { 2 } \left( k x _ { 1 } \right. （204号
+ \iota ) - ( x _ { 1 } + x _ { 2 } ) = 0 ,
整理得 2 k x _ { 1 } x _ { 2 } + ( t - 1 ) ( x _ { 1 } + x _ { 2 } ) = 0 ， ②
\therefore 2 k * { / { 2 t ^ { 2 } - 4 } { 1 + 2 k ^ { 2 } } } + ( t - 1 ) * { / { - 4 k t } { 1 + 2 k ^ { 2 } } } = 0 ,
解得 t = 2

17.(1)证明：取 C B _ { 1 } 的中点 P ，连接 N P , M P =由 N 是 \boldsymbol { B } _ { 1 } \boldsymbol { C } _ { 1 } 的中点，故 N P / / C C _ { 1 } ，且 N P { = } / { 1 } { 2 } C C _ { 1 } 由 M 是 D D _ { 1 } 的中点，故 D _ { 1 } M = { / { 1 } { 2 } } D D _ { 1 } = { / { 1 } { 2 } } C C _ { 1 } ，且D _ { 1 } M / / C C _ { 1 } , （204号则有 D _ { 1 } M / / N P , D _ { 1 } M = N P 故四边形 D _ { 1 } M P N 是平行四边形，故 D _ { 1 } N / / M P

又 M P \subset 平面 C B _ { 1 } M , D _ { 1 } N \mathscr 平面 C B _ { 1 } M 故 D _ { 1 } N / / 平面 C B _ { 1 } M

(2)解：由题意知 , A A _ { 1 } , A B , A D 两两垂直，以 A 为原点建立如图所示空间直角坐标系，

则 A \left( 0 , 0 , 0 \right) , B \left( 2 , 0 , 0 \right) , B _ { 1 } \left( 2 , 0 , 2 \right) , M \left( 0 , 1 , 1 \right) , C \left( 1 , 2 , 0 , 0 \right) . 1 , 0 ) , C _ { 1 } ( 1 , 1 , 2 ) ，
则有 \overrightarrow { C B } _ { 1 } ^ { * } = ( 1 , - 1 , 2 ) , \overrightarrow { C M } = ( - 1 , 0 , 1 ) , \overrightarrow { B B } _ { 1 } ^ { * } = ( 0 , 0 , （20 2).
设平面 C B _ { 1 } M 与平面 B B _ { 1 } C _ { 1 } C 的法向量分别为 m = \left( x _ { 1 } , y _ { 1 } , z _ { 1 } \right) , _ { n } = \left( x _ { 2 } , y _ { 2 } , z _ { 2 } \right) , （204号
则有
\begin{array}{c} \begin{array} { r l } & { \left\{ \begin{array} { l } { \overbrace { C B _ { 1 } } ^ { \overrightarrow { C B _ { 1 } } = x _ { 1 } - y _ { 1 } + 2 z _ { 1 } = 0 , } } \\ { \Bigg \{ _ { m } * \overrightarrow { C M } = - x _ { 1 } + z _ { 1 } = 0 , } \end{array} \right. } \\ & { \left\{ \begin{array} { l } { \hfill } \\ { \hfill } \\ { \left\{ \begin{array} { l } { \hfill } \end{array} \right. * \overrightarrow { C B _ { 1 } } = x _ { 2 } - y _ { 2 } + 2 z _ { 2 } = 0 , } \\ { \hfill } \\ { \left[ \hfill { \vphantom { \Bigg ( } } _ { n } * \overrightarrow { B B _ { 1 } } = 2 z _ { 2 } = 0 , \right]} \end{array} \right.} \end{array} \end{array}
分别取 { \boldsymbol x } _ { 1 } = { \boldsymbol x } _ { 2 } = 1 ，则有 y _ { 1 } = 3 , z _ { 1 } = 1 , y _ { 2 } = 1 , z _ { 2 } = 0 即 ±b { m } = ( 1 , 3 , 1 ) , ±b { n } = ( 1 , 1 , 0 )
设平面 C B _ { 1 } M 与平面 B B _ { 1 } C _ { 1 } C 的夹角为 θ
则cos θ ~ = ~ | ~ \cos ~ ⟨ ~ m ~ , ~ n ~ ⟩ ~ | ~ = ~ / { | m * n | } { | m | * | n | } ~ = { / { \left| 1 + 3 \right| } { { sqrt { 1 + 9 + 1 } } x { sqrt { 1 + 1 } } } } = { / { 2 { sqrt { 2 2 } } } { 1 1 } } ,
/ { 2 { sqrt { 2 2 } } } { 1 1 }

故平面 C B _ { 1 } M 与平面 B B _ { 1 } C _ { 1 } C 夹角的余弦值为

(3)解：由 \overrightarrow { B B _ { 1 } } = ( 0 , 0 , 2 ) ，平面 C B _ { 1 } M 的法向量 m = ( 1
3,1)，
则有 / { | \overrightarrow { B B _ { 1 } } * m | } { | m | } { = } / { 2 } { sqrt { 1 + 9 + 1 } } { = } / { 2 sqrt { 1 1 } } { 1 1 } , （204号 / { 2 { sqrt { 1 1 } } } { 1 1 }
即点 B 到平面 C B _ { 1 } M 的距离为

18.解：(1)(方法一正面计算)记“随机抽取一份保单，索赔 次数不少于2”为事件 A ， 由索赔次数不少于 2 ，知索赔次数为2，3，4， \therefore P \left( A \right) = / { 6 0 + 3 0 + 1 0 } { 1 \ 0 0 0 } = / { 1 0 0 } { 1 \ 0 0 0 } = / { 1 } { 1 0 } . (方法二反面计算)记“随机抽取一份保单，索赔次数不 少于2”为事件 A ， 由索赔次数不少于2，知可利用间接法计算， 则 P \left( A \right) = 1 - / { 8 0 0 + 1 0 0 } { 1 \ 0 0 0 } = / { 1 } { 1 0 } . （20

(2)(i)由题知 X 的所有可能取值为 0 . 4 , - 0 . 4 , - 1 . 2 =
- 2 . 0 , - 2 . 6 , （204号
则 P \left( X = 0 . 4 \right) = / { 8 0 0 } { 1 \ 0 0 0 } = 0 . 8 +
P \left( X = - 0 . 4 \right) = / { 1 0 0 } { 1 \ 0 0 0 } = 0 . 1 ,
P \left( X = - 1 . 2 \right) = / { 6 0 } { 1 ~ 0 0 0 } = 0 . 0 6 , （204号
P \left( X = - 2 . 0 \right) = / { 3 0 } { 1 \ 0 0 0 } = 0 . 0 3 , （204号
P \left( X = - 2 . 6 \right) = / { 1 0 } { 1 \ 0 0 0 } = 0 . 0 1 , （20号
故 E X = 0 . 4 x 0 . 8 - 0 . 4 x 0 . 1 - 1 . 2 x 0 . 0 6 - 2 . 0 x 0 . 0 3 -
2 . 6 x 0 . 0 1 { = } 0 . 1 2 2 . （i）如果无索赔的保单的保费减少 4 % ，有索赔的保单的保费增加 20 % ，这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值比（i）中 E X 估计值大.
证明如下：
设调整保费后一份保单的毛利润(单位：万元）为 Y ，则
对于索赔次数为0的保单 , Y = 0 . 4 x ( 1 - 4 % ) = 0 . 3 8 4
对于索赔次数为1的保单！ , Y = 0 . 4 x ( 1 + 2 0 % ) - 0 . 8 =
-0.32，
对于索赔次数为2的保单 , Y = - 0 . 3 2 - 0 . 8 = - 1 . 1 2 ，
对于索赔次数为3的保单 , Y = - 1 . 1 2 - 0 . 8 = - 1 . 9 2 ，
对于索赔次数为4的保单 , Y = - 1 . 9 2 - 0 . 6 = - 2 . 5 2 =
故 E Y = 0 . 3 8 4 x 0 . 8 - 0 . 3 2 x 0 . 1 - 1 . 1 2 x 0 . 0 6 - 1 . 9 2 x
0 . 0 3 - 2 . 5 2 x 0 . 0 1 = 0 . 1 2 5 \ 2 .
： E X { < } E Y

模块综合达标卷（一）

答案速对

116
12. “3

13.9

14.3(答案不唯一） ±1

试题精析

1.C解析：设 A B 的中点为 M ，则 M ( 1 , 2 ) ，又所求直线的斜率 k = - { sqrt { 3 } } ，直线的方程为 y - 2 = - sqrt { 3 } \left( x - 1 \right) \mathfrak { L } \mathfrak { p } sqrt { 3 } x + { y - 2 } - sqrt { 3 } = 0 .

2.C解析：由题意，不同的取法种数为 4 x 2 = 8 （种).故选C.

3.A解析：由椭圆 { / { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } + { / { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } = 1 ( a > b > 0 ) =1(a>b>0)的离心率e=c = / { sqrt { 5 } } { 3 } ，椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和为12，即 2 a =

12，可得 a = 6 , c = 2 { sqrt { 5 } } ，
·： b = { sqrt { a ^ { 2 } - c ^ { 2 } } } = { sqrt { 3 6 - 2 0 } } = 4 ，则椭圆的短轴长为 2b
= 8

4.B解析：记不发芽的种子数为 \boldsymbol { \mathfrak { E } } ，则 \hat { \varsigma } ~ B \left( 1 \ 0 0 0 , 0 . 1 \right) ： E ±b { \hat { \zeta } } = 1 \ 0 0 0 x 0 . 1 = 1 0 0 . 又 X = 2 \xi ，∴ E X = E \left( 2 \xi \right) = 2 E \xi = 2 0 0 . （204号

;C解析： { \boldsymbol { a } } , { \boldsymbol { b } } , { \boldsymbol { c } } 成等差数列， , \therefore 2 b = a + c , c = 2 b - a ，代入直线方程 a x + b y + c = 0 得a x + b y + 2 b - a = 0 ，即 a \left( x - 1 \right) + b \left( y + 2 \right) = 0 ，令
\left\{ \begin{array} { l } { { x - 1 = 0 , } } \\ { { \qquad \overset { \ i \ i } { \left. \sharp \right. } \left\{ \begin{array} { l l } { { x - 1 = 1 , } } \\ { { } } \\ { { y + 2 = 0 , } } \end{array} \right. } } \end{array} \right. 故直线恒过点 ( 1 , - 2 ) ，设 P ( 1 , - 2 ) 圆化为标准方程得 x ^ { 2 } + ( y + 2 ) ^ { 2 } = 5 设圆心为 c ，画出直线与圆的图形，由图可知，当 P C \bot
_ { A B } 时， \vert A B \vert 最小，\mid P C \mid = 1 , \mid A C \mid = sqrt { 5 } ，此时 \mid A B \mid = 2 \mid A P \mid = 2 { sqrt { A C ^ { 2 } - P C ^ { 2 } } } = 2 { sqrt { 5 - 1 } } = 4 . （204号

故选C.

6.C解析：由x2=40(15×12-5×8)² \chi ^ { 2 } = / { 4 0 ( 1 5 x 1 2 - 5 x 8 ) ^ { 2 } } { 2 0 x 2 0 x 2 3 x 1 7 } \approx 5 . 0 1 3 ，对于A，因\chi ^ { 2 } \approx 5 . 0 1 3 > x _ { 0 . 0 5 } = 3 . 8 4 1 ，故有 9 5 % 以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”，即A错误；对于B，因（204号 \chi ^ { 2 } \approx 5 . 0 1 3 < x _ { 0 . 0 2 5 } = 5 . 0 2 4 ，故没有 9 7 . 5 % 以上的把握认为"是否认可与城市的拥堵情况有关”，即B错误；对于