第 \varphi 章测评

（时间：120分钟满分：150分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1.在等差数列 \{a_{n}\} 中，已知 a_{1}<0 ，前 n 项和为 S_{n} ，且 S_{7}{=}S_{17} ，则 S_{n} 最小时 n 的值为（

A. 10 B. 12 C.14 D. 16

2.在正项等比数列 \{a_{n}\} 中 a_{4}a_{8}a_{12}{=}2√(2) ，则 \log_{4}{a_{2}}+(1)/(2)\log_{2}{a_{14}}=(

A. (1)/(2) B.{(1)/(3)} C.(1)/(4) D. (1)/(6)

3.在等比数列 \{a_{n}\} 中， a_{1}=1 ，且 4a_{1},2a_{2},a_{3} 成等差数列，则 a(n∈N\*）的最小值为（

{A}.{(16)/(25)} B.(4)/(9) C.1 D (1)/(2)

4.已知 S_{n} 为数列 \{a_{n}\} 的前 n 项和，若 S_{2}{=}6,a_{n+1}{=}2a_{n} ，则 S_{100}=(\qquad)

A. 2^{52}-4 B.2^{52}-2 C.2^{100}-2 D. 2^{101}-2

.已知数列 \{a_{n}\} 满足 a_{1}+2a_{2}+3a_{3}+*s+n a_{n}=(n-1)\bullet2^{n}+1, 则 \mathbf{\Phi}_{a_{7}}=(

A. 64 B. 128 C. 256 D.512

6.数列 \mid(1)/(2x5),(1)/(5x8),(1)/(8x11),*s,(1)/((3n-1)(3n+2)) (3-1)(3n+2)的前n项和为（ ）

\operatorname{A}.{(n)/(3n+2)} B.{(n)/(6n+4)} C.(3n)/(6n+4) \operatorname{D}.{(n+1)/(n+2)}

7.已知数列 \{a_{n}\} 满足 a_{n}=n ，在 \mathbf{α}_{a_{n}},a_{n+1} 之间插人 n 个1,构成数列 \{b_{n}\}_{:a_{1}},1,a_{2},1,1,a_{3},1,1,1,a_{4},*s, 则数列\{b_{n}\} 的前100项的和为（）

A. 178 B. 191 C. 206 D. 216

8.已知等比数列 \{a_{n}\} 的前 n 项和为 S_{n} ,若 S_{2n}{=}4(a_{1}{+}a_{3}{+}a_{5}{+}{*s}{+}a_{2n-1}),a_{1}a_{2}a_{3}{=}27 ,则数列 \{a_{n}\} 的通项公式是( ）

A.an=3n+1 B.a_{n}=2\bullet3^{n-1}\qquadC.a_{n}=3^{n-1}\qquadD.a_{n}=3^{n}

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.等差数列 \{a_{n}\} 的前 n 项和为 S_{n} ，若 a_{1}>0 ，公差 d\neq0 ，且 S_{5}{=}S_{9} ，则下列说法正确的有（

A. S_{7} 是数列 \{S_{n}\} 中的最大项 B. \boldsymbol{a}_{7} 是数列 \{a_{n}\} 中的最大项C. {\boldsymbol{S}}_{14}=0 D.满足 \phantom{}S_{n}{>}0 的 n 的最大值为13

10.已知数列 \{a_{n}\} 的前 n 项和 S_{n}=n^{2} ，数列 \{b_{n}\} 是首项和公比均为2的等比数列，将数列 \{a_{n}\} 和 \{b_{n}\} 中的项按照从小到大的顺序排列构成新的数列 \left\{c_{n}\right\} ，则下列结论正确的是（）

A. c_{12}=16 B.数列 \left\{c_{n}\right\} 中 b_{n} 与 b_{n+1} 之间共有 2^{n-1} 项 C.b2n =a 2 \d b_{n}=\d c_{2^{n-1}+n-1}

11.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1,3,6,10,，称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1,4，9，16，··称为正方形数，记三角形数构成数列 \{a_{n}\} ，正方形数构成数列 \{b_{n}\} ,则下列说法正确的是（）

A. {a_{6}}=21
B.1225既是三角形数，又是正方形数
C.{(1)/(a_{1)}}+{(1)/(a_{2)}}+{(1)/(a_{3)}}+*s+{(1)/(a_{n)}}={(n)/(n+1)}
D.对任意 m\in\mathbf{N}^{*} ， m>=slant2 ，总存在 {\boldsymbol{p}},{\boldsymbol{q}}\in\mathbf{N}^{*} ，使得 b_{m}=a_{\scriptscriptstylesl{p}}+a_{q} 成立

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知 S_{n} 为单调递减的等差数列 \{a_{n}\} 的前 n 项和，若数列 \left\{{(1)/(a_{n)a_{n+1}}}\right\} 的前 n 项和 T_{n}=(n)/(36-12n) ，则下列结论正 确的有 .(填序号)

①a_{3}=0
②S_{n}=7n-n^{2}
③S_{n}=n\left(a_{n}+n-2\right)
④ 当 n{=}3 或 n{=}4 时， S_{n} 取得最大值

3.若数列 \{a_{n}\} 满足 a_{1}=1,a_{2}=2,a_{n}=a_{n-2}+2^{n-1}(n{>=slant}3,n\in\mathbf{N}^{*}) ，则 a_{8}=.

14.已知公差不为0的等差数列 \{a_{n}\},S_{n} 是其前 n 项和.若 a_{2}+a_{4}+a_{6}+*s+a_{2n}=a_{5}a_{7},a_{1}+a_{3}+a_{5}+*s+ a_{2n-1}=a_{5}a_{6} ，且 S_{2n}=240 ，则公差 d=.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

15.(13分)已知等差数列 \{a_{n}\} 的前 n 项和为 S_{n} ，数列 \{b_{n}\} 是等比数列， a_{1}=3,b_{1}=1,b_{2}+S_{3}=17,a_{4}-2b_{2}=5. (1)求数列 \{a_{n}\} 和 \{b_{n}\} 的通项公式；

(2)若 \scriptstyle c_{n}={\left\{\begin{array}{l l}{\displaystyle{(2)/(S_{n)}},n=2k-1,}\\ {\displaystyle b_{n},n=2k},}\end{array}\right.}_{k\in\mathbf{N}^{*}} ，设数列 \left\{c_{n}\right\} 的前 n 项和为 {\boldsymbol{T}}_{n} ，求 T_{6} ，

16.(15 分)设数列 \{a_{n}\} 满足： \scriptstyle:a_{n+1}={\left\{\begin{array}{l l}{2a_{n},n=2k,}\\ {a_{n}+1,n=2k-1.}\end{array}\right.}(k\in\mathbf{N}^{*}),a_{2} 是 a_{1},a_{3} 的等比中项

(1)求 a_{1} 的值；
(2)求数列 \{a_{n}\} 的前20项的和.

18.(17分)在 ①3S_{n+1}=S_{n}+1,②2S_{n}=1-3a_{n+1} 这两个条件中选择一个，补充在下面问题中，并给出解答.已知数列 \{a_{n}\} 的前 n 项和为 S_{n} ，满足 a_{2}=(1)/(9) ， ；又知正项等差数列 \left\{b_{n}\right\} 满足 b_{1}=2 ，且 b_{1},b_{2}-1 ，b_{3} 成等比数列.

(1)求 \{a_{n}\} 和 \{b_{n}\} 的通项公式；(2)证明 {}_{:a_{b_{1}}}+a_{b_{2}}+*s+a_{b_{n}}<{(3)/(26)}.

17.(15分)观察下面三个等式：

第1个： (1)/(1x3)=(1)/(2x1+1) 第2个： (1)/(1x3)+(1)/(3x5)=(2)/(2x2+1) 第3个 (1)/(1x3)+(1)/(3x5)+(1)/(5x7)=(3)/(2x3+1) ，

(1)按照以上各式的规律，写出第4个等式；
(2)按照以上各式的规律，猜想第 n 个等式（ \mathbf{λ}_{n} 为正整数)；
(3)用数学归纳法证明你的猜想成立.

19.(17分)设数列 \{a_{n}\} 的前 n 项和为 S_{n} ，若对任意 \boldsymbol{n}\in\mathbf{N}^{*} ，总存在 k\in\mathbf{N}^{*} ，使得 S_{n}=a_{k} ，则称 \{a_{n}\} 是“ M 数列”.

(1)判断数列 \{3^{n}\}(n\in\mathbf{N}^{*} )是不是“ *_{M} 数列”，并说明理由；
(2）设 \{b_{n}\} 是等差数列，其首项 b_{1}=1 ，公差 d\in\mathbf{N}^{*} ，且 \{b_{n}\} 是“ M 数列”
① 求 d 的值和数列 \{b_{n}\} 的通项公式：\displaystyle{c_{n}=(4b_{n}^{2}+8b_{n}+29)/(b_{n)+1}}
② 设 ，直接写出数列 \left\{c_{n}\right\} 中最小的项.

第五章测评

（时间：120分钟满分：150分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知函数 f(x){=}2lnx{+}f^{\prime}(2)x^{2}{+}2x{+}3 ，则 f(1)=(

A.-2 B. 2 C.-4 D. 4

2.已知 f(x){=}{-}x^{3}{-}x,a{=}2^{0.3} ? b{=}0.3^{2} ， c=\log_{2}0.3 ，则（ ）

A. f(c){<}f(a){<}f(b) B. f(b){<}f(c){<}f(a) C. f(c)<f(b)<f(a) D. f(a)<f(b)<f(c)

3.如图为函数 f(x) 的导函数 f^{\prime}(x) 的图象，那么函数 f(x) 的图象可能为（ ）

4.曲线 f(x)=\ln x-{(1)/(x)} 在 (1,f(1)) 处的切线方程为（

5.在气象学中，通常把某时段内降雨量的平均变化率称为该时段内的降雨强度.下表为一次降雨过程中记录的降雨量数据.

则下列四个时段降雨强度最小的是( ）

A. 0~min 到 10~min B. 10~min 到 30~min C.30~min 到 50~min D. 50~min 到 60~{min}

5.若函数 y=a x\left(x^{2}-1\right),a\in\mathbf{R} 在区间 \big(-(√(3))/(4),(√(3))/(4)\big) 上单调递减，则 a 的取值范围是(

A. (0,+∞) B. (-1,0) C_{\bullet}\left(1,+∞\right) D.(0,1)

1.已知函数 f(x)=x^{3}+b x^{2}+c x+d(b,c,d 为常数)，当 k\in(-∞,0)\cup(4,+∞) 时， f(x)-k=0 只有一个实数根，当 k\in(0,4) 时， f(x)-k=0 有3个不同的实数根，现给出下列4个结论：

① 函数 f(x) 有2个极值点；
② 函数 f(x) 有3个极值点；
③f(x)=4 和 f^{\prime}(x){=}0 有一个相同的实根；
④f(x)=0 和 f^{\prime}(x){=}0 有一个相同的实根.
其中正确结论的个数是( ）

1 B.2 C.3 D. 4

8.定义在 bf{R} 上的偶函数 f(x) 的导函数为 f^{\prime}(x) ，若对任意的实数 x ,都有 2f(x)+x f^{\prime}(x){<}2 恒成立，则使x^{2}f(x){-}f(1){<}x^{2}-1 成立的实数 x 的取值范围为（）

A. \{x\mid x\neq±1 B. (-∞,-1)\cup(1,+∞)
C. (-1,1) D. (-1,0)\cup(0,1)

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.如图是函数 \scriptstyle y=f(x) 的导函数 _{y}=\boldsymbol{f}^{\prime}(\boldsymbol{x}) 的图象，则以下说法正确的为（

A. -2 是函数 \scriptstyle y=f(x) 的极值点
B.函数 y=f(x) 在 x=1 处取得最小值
C.函数 \scriptstyle y=f(x) 的图象在 \left(0,f(0)\right) 处切线的斜率小于零
D.函数 \scriptstyle y=f(x) 在区间 (-2,2) 上单调递增

10.设函数 f(x)=x^{2}+{(2)/(x)} ,则关于 x 的方程 \mid f(x)\mid-m=0 的实数根的个数可能为(

A.0 B. 2 C.4 D.6

1.已知函数 f(x){=}x^{3}-a x^{2}-2x ,下列结论正确的是( ）

A.若1是函数 f(x) 的极值点，则 a=(1)/(2)
B.若1是函数 f(z)的极值点,则 f(x)在xE[0,2]上的最小值为一
C.若 f(x) 在[1,2]上单调递减,则 a>=(5)/(2)
D.若 x^{2}\ln x{>=slant}f(x) 在 x\in[1,2] 上恒成立，则 a{>=slant}-1

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知0是 f(x)=(x-a)e^{x}+1 的极值点，则 a=

13.已知 f(x) 是定义在 bf{R} 上的函数,且函数 y=f(2x+1) 的图象关于直线 x=1 对称，当 x<(1)/(2) 时， f(x)= \ln(1-2x) ，则 f(6)=\_ ，曲线 \scriptstyle y=f(x) 在 (6,f(6) )处的切线方程是

14.设函数 f(x) 在 bf{R} 上存在导数 f^{\prime}\left(x\right) ， \forall x\in\mathbf{R} ，有 f(-x)+f\left(x\right)=x^{2} ，在 (0,+∞) 上 f^{\prime}\left(x\right)<x ，若f(4-m)-f(m){>=}8-4m ，则实数 \mathbf{\nabla}_{m} 的取值范围是

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)已知曲线 S:y=2x-x^{3}

(1)求曲线 s 在点 A(1,-1) 处的切线方程；
(2)求过点 B(2,0) 并与曲线 s 相切的直线方程.

16.(15 分)设函数 f(x)=x^{3}-6x+5,x\in\mathbf{R}.

(1)求 f(x) 的极值点；
(2)若关于 x 的方程 f(x)=a 有3个不相等的实数根，求实数 \scriptstyle a 的取值范围；
(3)已知当 x\in(1,+∞) 时 \scriptstyle* f(x)>= k(x-1) 恒成立，求实数 k 的取值范围.

18.(17分)某广场一雕塑造型结构如图所示，最上层是呈水平状态的圆环且圆心为 O ，其半径为2rm{m} ,通过金属杆 B C,C A_{1},C A_{2},*s,C A_{n} 支撑在地面 B 处（ B C 垂直于水平面). A_{1},A_{2} ，A_{3},*s,A_{n} 是圆环上的 n 等分点，圆环所在的水平面距地面 10~m~ ，设金属杆 C A_{1},C A_{2},*s,C A_{n} 所在直线与圆环所在水平面所成的角都为 θ (圆环及金属杆均不计粗细）.

(1)当 θ 为 {60}° 且 n{=}3 时，求金属杆 B C,C A_{1},C A_{2}, C A_{3} 的总长；(2)当 θ 变化， n 一定时，为美观与安全起见，要求金属杆 B C,C A_{1},C A_{2},*s,C A_{n} 的总长最短，此时 θ 的正弦值是多少？并由此说明 n 越大， C 点的位置将会上移还是下移.

17.(15分)已知函数 f(x)=xe^{x}-x-1 ，

(1)求函数 f(x) 在区间[0,1]上的最小值；
(2)不等式 a[f(x)+x+1]>\ln x+x-2 对于 x\in(0,+∞) 恒成立，求实数 \scriptstyle a 的取值范围.

19.(17分)已知函数 f(x){=}{(1+\ln x)/(x)} (1)求函数 f(x) 的图象在 \scriptstyle{x}=e\left(e\right. 为自然对数的底数)处的切线方程；

(2)若对任意的 x\in D ,均有 m\left(x\right){<=slant}n\left(x\right) ，则称 m(x) 为 n(x) 在区间 D 上的下界函数， n(x) 为 m(x) 在区间D 上的上界函数.

① 若 g\left(x\right)=(e^{x})/(x+1) 1;求证:g(z)为f(x)在(0,+oo)上的上界函数;

② 若 g\left(x\right)=(k)/(x+1),g\left(x\right) 1'g(z)为 f(x)在[1,+oo)上的下界函数,求实数k 的取值范围。