第一章空间向量与立体几何

1.1空间向量及其运算1.1.1空间向量及其线性运算第1课时空间向量及其线性运算/1第 2课时共线向量与共面向量/31.1.2空间向量的数量积运算
1.2 空间向量基本定理
1.3 空间向量及其运算的坐标表示1.3.1空间直角坐标系1.3.2空间向量运算的坐标表示 8
1.4空间向量的应用1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系第1课时空间中点、直线和平面的向量表示/9第2课时空间中直线、平面的平行/10第3课时空间中直线、平面的垂直/101.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 ·.....11第1课时用空间向量研究距离问题/11第 2课时用空间向量研究夹角问题/12

第二章直线和圆的方程

2.1直线的倾斜角与斜率 13
2.1.1倾斜角与斜率 13
2.1.2两条直线平行和垂直的判定 14
2.2直线的方程 15
2.2.1 直线的点斜式方程 15
2.2.2 直线的两点式方程 16
2.2.3 直线的一般式方程 17
2.3直线的交点坐标与距离公式 18
2, 3. 1~2, 3, 2 两条直线的交点坐标两点间的
距离公式 18
2, 3. 3~2. 3. 4 点到直线的距离公式两条平行
直线间的距离 18
2.4圆的方程 19
2.4.1圆的标准方程 19
2.4.2圆的一般方程 20
2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 21
2.5.1直线与圆的位置关系 21
第1课时直线与圆的位置关系/21
第2课时直线与圆的方程的实际应用/22
2.5.2 圆与圆的位置关系·…· 22
习题课与圆有关的最值问题 24

第三章圆锥曲线的方程

3.1 椭圆 25
3.1.1 椭圆及其标准方程 25
3.1.2 椭圆的简单几何性质 .26
第1课时椭圆的简单几何性质/26
第2课时椭圆的标准方程及性质的应用/27
3.2双曲线·…·. 28
3.2.1 双曲线及其标准方程 28
3.2.2 双曲线的简单几何性质 29
第1课时双曲线的简单几何性质/29
第2课时 双曲线的标准方程及性质的应用/30
3.3抛物线 30
3.3.1 抛物线及其标准方程 30
3.3.2 抛物线的简单几何性质 31
第1课时抛物线的简单几何性质/31
第2课时抛物线的标准方程及性质的应用/32

第一章 空间向量与立体几何

1.1 空间向量及其运算

1.1. 1 空间向量及其线性运算

第1课时 空间向量及其线性运算

预学案01

一、空间向量的概念

【学习札记】

1.空间向量的概念与表示

(1)空间向量的定义：在空间，我们把具有 和 的量叫做空间向量. 向量的两个要素<

(2)空间向量的长度：空间向量的大小叫做空间向量的 或

(3)表示法

① 字母表示法：用字母 a ,b ,c ,*s 表示；

⊚ 几何表示法：空间向量用 表示.若向量 ±b{a} 的起点是 A ,终点是 B 则向量 ±b{a} 也可以记作AB,其模记为 或

----注意书写顺序，起点在前，终点在后

2.几类特殊的空间向量

【微点拨】

(1)单位向量、零向量都只规定了向量的大小而没有规定方向，单位向量有无数多个，它们的方向并不一定相同，故不一定相等，而零向量的方向是任意的，且所有的零向量相等.

(2)两个空间向量相等，则它们的方向相同，模相等，但起点和终点未必相同.

【即时练习1】下列关于空间向量的说法正确的是

A.单位向量都相等
B.若 |±b{a}|=|±b{b}| ，则 ^{a,b} 的长度相等而方向相同或相反
C.若向量 \overrightarrow{A B},\overrightarrow{C D} 满足 |{\overrightarrow{A B}}|>|{\overrightarrow{C D}}| ，则 \overrightarrow{A B}>\overrightarrow{C D}
D.相等向量其方向必相同

二、空间向量的加减运算

【微点拨】

(1)求向量的和时，可以首尾相接（三角形法则），也可以共起点（平行四边形法则)；求向量的差时，必须共起点(三角形法则：共起点，指被减).(2)空间向量加减运算的运算法则，所满足的运算律与平面向量完全相同.

【即时练习2】在平行六面体 A B C D{-}A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中， (\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{B B_{1}})-\overrightarrow{D_{1}C_{1}} 运算的结果为 (

A. \overrightarrow{A C_{1}} \begin{array}{l}{B.\;\overrightarrow{B D}}\\ {D.\;\overrightarrow{D_{1}B}}\end{array}
C. \overrightarrow{B D_{1}}

三、空间向量的数乘运算

【微点拨】

(1)λ 的正负影响着向量 λ a 的方向，入的绝对值的大小影响着 λ a 的长度.
(2)向量 λ a 与向量 ±b{a} 一定是共线向量.

【即时练习3】下列各式计算正确的是

A a+b-(a+b)=2a B. 2(±b{a}+±b{b})+±b{c}=2±b{a}+±b{b}+±b{c} .3(a-b)+3(a+b)=0 D. a+b-(b-3c)=a+3c

第 2 课时 共线向量与共面向量

一、共线向量

【学习札记】

1.空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量 a ,b (b\neq0) a / b 的充要条件是存在实数 λ ，使

2.直线的方向向量

如图， \boldsymbol{O} 是直线 l 上一点，在直线 l 上取非零向量 ±b{a} ,则对于直线 l 上任意一点P ，可知 \overrightarrow{O P}=λ a ,把与向量 ±b{a} 平行的非零向量称为直线 l 的

直线的向量表示

直线可以由其上一点和它的方向向量确定.

即直线 O P 上动点 P 的集合表示为 \{P|O P|=λα\}

【微点拨】

(1)向量 ^{a,b} 共线时，表示向量 ^{a,b} 的有向线段不一定在同一条直线上.(2)因为零向量 \ 0=0* a ,所以零向量和空间任一向量 ±b{a} 是共线(平行)向量，这一性质使共线向量不具有传递性，即若 \scriptstyle a/ b ,b//c ，则 a/c 不一定成立.因为当 \scriptstyle b = 0 时， a/\mathbf{0} ,\mathbf{0} //c ，但 ±b{a} 与 c 不一定共线.

【即时练习1】（多选)下列说法错误的是

A.在平面内共线的向量在空间不一定共线 B.在空间共线的向量在平面内不一定共线 C.在平面内共线的向量在空间一定不共线 D.在空间共线的向量在平面内一定共线

二、共面向量

1.向量与平面平行：如果表示向量 ±b{a} 的有向线段 \overrightarrow{O A} 所在的直线 O A 或 ,那么称向量 ±b{a} 平行于平面 α

2.共面向量

【即时练习2】（多选)若向量 a,b,c 为空间三个不共面的向量,则下列向量共面的是 (

A. \scriptstyle b\to c,b,b\to c B,a+b,a,a-b
C. *\mathbf{δ}_{a}+b ,a-2b ,c D,a+b,a+b+c,c

【微点拨】

向量 \boldsymbol{p} 与 ^{a ,b} 共面的充要条件是在向量 ±b{a} 与 \boldsymbol{b} 不共线的前提下才成立的，若±b{a} 与 ±b{b} 共线，则不成立.

1.1.2空间向量的数量积运算

预学案03

一、空间向量的夹角

1.定义

如图,已知两个非零向量 a , b ,在空间任取一点 O ，作 \overrightarrow{O A}=±b{a} ， \overrightarrow{O B}=±b{b} ，则 \angle A O B 叫做向量 ^{a,b} 的夹角，记作

--→表示两向量的有向线段共起点时形成的角

2.范围

空间任意两个向量的夹角 θ 的取值范围是 [0,π] .特别地，当 θ=0 时，两向量同向共线;当 θ= 时，两向量反向共线，所以若 a / b ，则 ⟨±b{a} ,±b{b}⟩=0 或π ；当 ⟨±b{a},±b{b}⟩=(π)/(2) 时,两向量 ，记作

【微点拨】

两个非零向量才有夹角，当两个非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为π 故 ⟨±b{a} ,±b{b}⟩=0 或 \scriptstyle{π\leftrightarrow a}/{b(a,b)} 为非零向量).

1】在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为 45° 的

A.AB与 \overrightarrow{A^{\prime}C^{\prime}} B. \overrightarrow{A B} 与 \overrightarrow{C^{\prime}A^{\prime}} C. \overrightarrow{A B} 与 \overrightarrow{A^{\prime}D^{\prime}} D. \overrightarrow{A B} 与 \overrightarrow{B^{\prime}A^{\prime}}

二、空间向量的数量积及其性质

1.定义：已知两个非零向量 ^{a,b,} 则 叫做 ^{a,b} 的数量积，记作 a* b ,即 a* b{=} | {bf{\em}}| b | \cos⟨ {±b a} ,{±b b} ⟩.

2.性质

a\bot b\longmapsto\qquad\qquad,|a|^{2}=, ， |a|= ,\cos⟨ a,b⟩=

3.运算律λ(a* b){=} .a* b= (交换律).a*(b+c)= (分配律).

【微点拨】

(1)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，其符号由夹角 θ 的余弦值的符号决定： θ 为锐角时， a* b>0 ，但 a* b>0 时， θ 可能为 0 {\mathfrak{:}} θ 为钝角时， a* b< 0，但 a* b{<}0 时， θ 可能为 π

(2)向量数量积的运算不满足消去律和乘法的结合律，即a·b=a·c≠b= c,(a* b)* c{\neq}a*(b* c)

【即时练习2】对任意的空间向量 ^{a,b,c} ,下列说法正确的是

A.若 a\perp b ,b\perp c ，则 a/c B. (±b{a}*±b{b})±b{c}=±b{a}(±b{b}*±b{c}) C,a*(b+c)=a* b+a* c D.若 |±b{a}\rvert=|±b{b}| ，则 \scriptstyle a = b

三、向量的投影

1.在空间，向量 ±b{a} 向向量 ±b{b} 投影：如图(1),先将它们平移到同一平面 α 内，利用平面上向量的投影，得到与向量 ±b{b} 共线的向量 c,c= ,向量 \boldsymbol{c} 称为向量 ±b{a} 在向量 it{bf{b}} 上的投影向量.

2.向量 ±b{a} 向直线 l 投影如图(2).

3.向量 ±b{a} 向平面 β 投影：如图(3),分别由向量 ±b{a} 的起点A和终点B作平面 β 的垂线，垂足分别为 A^{\prime},B^{\prime} ，得到向量 \overrightarrow{A^{\prime}B^{\prime}} ,向量 称为向量 ±b{a} 在平面β上的投影向量.

习3】（多选)已知几何体 A B C D{-}A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 为长方体

A. \overrightarrow{A_{1}C} 在 \overrightarrow{A_{1}B} 方向上的投影向量为 \overrightarrow{A_{1}B} B. \overrightarrow{A_{1}B} 在 \overrightarrow{A_{1}C} 方向上的投影向量为A \vec{\mathbf{\nabla}}_{1}\vec{C} C. \overrightarrow{B_{1}D_{1}} 在 \overrightarrow{B C} 方向上的投影向量为BCD. \overrightarrow{B C} 在 :\overrightarrow{B_{1}D_{1}} 方向上的投影向量为 \overrightarrow{B_{1}D_{1}}

1.2 空间向量基本定理

预学案04

一、空间向量基本定理

【学习札记】

1.空间向量基本定理：如果三个向量 a,b,c ,那么对任意一个空间向量 ±b{p} ,存在唯一的有序实数组 (x ,y ,z) ，使得 \scriptstyle{p=x a+y b+z c}

2.基底：如果三个向量 a,b,c 不共面，那么所有空间向量组成的集合就是\left\{p | p{=}x\mathbf{}a+y±b{b}+z\mathbf{c} ,x ,y ,z\in\mathbf{R}\right\}. .这个集合可看作由向量 a ,b ,c 生成的，我们把 \scriptstyle⟨ a,b,c⟩ 叫做空间的一个 \mathbf{\nabla}_{a},b,c 都叫做基向量.

基底是一个向量组

【微点拨】

任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底；任意一个空间的基底都可以生成空间的所有向量；同一个向量在同一个基底下的分解式是唯一的。

【即时练习1】判断（正确的画“ \surd ”，错误的画“ x^{\bullet})

(1)空间向量的基底是唯一的.

(2)若 a ,b ,c 是空间向量的一个基底，则 a ,b ,c 均为非零向量.

(3）已知 A,B,M,N 是空间四点,若BA,BM,BN不能构成空间的一个基底，则 A,B,M,N 共面. (

(4)若 \scriptstyle⟨ a,b,c⟩ 是空间的一个基底,且存在实数 x ,y ,z 使得 x±b{a}+y±b{b}+z±b{c}=0 ，则有 x=y=z=0 (

二、空间向量的正交分解

1.单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量 ，且长度都为 ,那么这个基底叫做单位正交基底，常用 ⟨ i,j,k⟩ 表示.

2.正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量 ±b{a} ，均可以分解为三个向量xi，yj，k，使 .像这样，把一个空间向量分解为三个 的向量，叫做把空间向量正交分解.

【微点拨】

(1)一般选择有公共端点的三条长度和夹角均已知的棱为基底；(2)有了单位正交基底，我们就可以建立空间直角坐标系，进而确定空间向量的直角坐标了.

【即时练习2】在长方体ABCD- A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中,可以作为空间向量一个基底的是 (

A.AB,AC,AD B. AB,AA,AB C. \overrightarrow{D_{1}A_{1}}^{\star} \overrightarrow{D_{1}C_{1}}^{\star} \overrightarrow{D_{1}D} D. AC,A,C,CC

1.3 空间向量及其运算的坐标表示

1.3.1 空间直角坐标系

预学案05

一、空间直角坐标系

【学习札记】

【微点拨】

(1)基向量： |i|=|j |=|k |=1,i* j {=}i* k {=}j* k {=} 0,

(2)画空间直角坐标系 O x y z 时，一般使 \angle x O y=135° （或 45° \angle y O z=90°

【即时练习1】若 ±b{a}=3i+2j-k ,且 ⟨ i,j,k⟩ 为空间的一个单位正交基底，则 ±b{a} 的坐标为

二、空间坐标系中的坐标

1.点的坐标：在空间直角坐标系 O x y z 中， ^{ i,j,k} 为坐标向量，对空间任意一点A ,对应一个向量 \overrightarrow{O A} ,在单位正交基底 ⟨ i,j,k⟩ 下与向量 \overrightarrow{O A} 对应的有序实数组 (\v{r},\v{y},\v{z}) ，叫做点 A 在空间直角坐标系中的坐标，记作 ，其中\boldsymbol{\mathscr{x}} 叫做点 A 的 y 叫做点 A 的 z 叫做点 A 的

2.向量的坐标：在空间直角坐标系 O x y z 中,给定向量 ±b{a} ，作 \stackrel{\longrightarrow}{O A}=±b{a} .由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组 (x ,y ,z ) ，使 {\bf{a}}= ，有序实数组(x,y,z) 叫做 ±b{a} 在空间直角坐标系 O x y z 中的坐标，上式可简记作 \mathbf{\boldsymbol{a}}=(x,y,z)

向量与坐标间用“=”连接，而点与坐标间不用←--

【微点拨】

(1)坐标轴上的点的特征： _{x} 轴上的点纵坐标和竖坐标都为 0 {\mathfrak{s y}} 轴上的点横坐标和竖坐标都为 0 {\mathfrak{z}} \mathfrak{z} 轴上的点横坐标和纵坐标都为0.(2)坐标平面上的点的特征： x O y 平面上的点竖坐标为 0:y Oz 平面上的点横坐标为 0:x Oz 平面上的点纵坐标为0.

【即时练习2】（1)判断（正确的画“ \surd ”，错误的画“ x ”)

① 空间直角坐标系中,在 x 轴上的点的坐标一定是 ( 0 ,b ,c ) 的形式．（)⊚ 空间直角坐标系中,在坐标平面 O z x 内的点的坐标一定是 (a,0,0) 的形式. ( ）

③ 关于坐标平面 O y z 对称的点其横坐标、纵坐标保持不变，竖坐标相反.

\circled{4} 若点 A 的坐标为 (x,y,z) ，则 \stackrel{\triangledown}{O A}=(x ,y ,z)

(2)已知棱长为1的正方体 A B C D/\;/\;B_{1}B_{1}C_{1}D_{1} ,建立如图所示的空间直角坐 标系，试求出正方体各个顶点的坐标.

1.3.2空间向量运算的坐标表示

一、空间向量运算的坐标表示

【学习札记】

1.设向量 \mathbf{α}=(a_{1} ,a_{2} ,a_{3} ) ,b=(b_{1} ,b_{2} ,b_{3} ) ,λ\in\mathbf{R} ,那么

2.设 A(x_{1},y_{1},z_{1}) ,B(x_{2},y_{2},z_{2}) ，则 \stackrel{\longrightarrow}{A B}=

有向线段的终点坐标减去起点坐标—--

【微点拨】

(1)空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示完全一致.

(2)向量线性运算的结果仍是向量，用坐标表示；数量积的结果为数量.

【即时练习1】（1)已知向量 \mathbf{\widehat{\mu}}_{a}=( 1 ,2 ,3 ) ±b{b}=(-1,0,1) ，则 \mathbf{0}+2\mathbf{b}=

A.(-1,2,5) B. (-1,4,5) C.(1,2,5) D. (1,4,5)

(2)已知向量 \stackrel{\longrightarrow}{O A}=(1,0,1) \stackrel{\triangledown}{O B}=(2,1,-1) ,那么向量 \stackrel{\longrightarrow}{A B}=

A. (3,1,0) B. (-1,-1,2) C.(1,1,-2) D.\left((3)/(2),(1)/(2),0\right)

二、空间向量的平行、垂直及模、夹角

设 a=\left(a_{1} ,a_{2} ,a_{3} \right),b=\left(b_{1} ,b_{2} ,b_{3} \right) ，则

【微点拨】

(1)要证明 a\perp b ,就是证明 a* b=0 ;要证明 \boldsymbol{a}/b ,就是证明 \mathbf{\nabla}a=λ±b{b}(\mathbf{\nabla}b\neq\mathbf{0}) \left(2\right)±b{a}=\left(x_{1},y_{1},z_{1}\right),±b{b}=\left(x_{2} ,y_{2} ,z_{2}\right) ，若 a / b ，则 {(x_{1})/(x_{2)}}={(y_{1})/(y_{2)}}={(z_{1})/(z_{2)}} 成立的条件是x_{2}y_{2}z_{2}\not=0.

【即时练习2】（1)已知空间向量 \begin{array}{r}{±b{a}=(3,-3,2) ,b=(2,0,-3) ,c=(-6,6,-4) ,}\end{array} 则下列结论正确的是

* {±b a} \lrcorner {±b b} ,{±b a} //c \begin{array}{l l}{B. a\perpb,a\perpc}\\ {D. a\left/b,a\perpc\right.}\end{array} * a/b,a//c

(2)已知空间向量 ±b{a}=\left(1,1,0\right),±b{b}=\left(0,-1,4\right) ，则 |a+b|=

三、空间两点间的距离公式

设 P_{1}(x_{1},y_{1},z_{1}) ,P_{2} (x_{2} ,y_{2} ,z_{2}) 是空间中任意两点,则 P_{1}P_{2}=|\overrightarrow{P_{1}P_{2}}|=\left\{\begin{array}{l l}{\qquad}&{}\end{array}\right.

【微点拨】

(1)空间两点间的距离公式类似于平面中的两点之间的距离公式，可以类比记忆。

(2)若 O(0,0,0) ,P(x ,y ,z) ，则 |\overrightarrow{O P} |=\scriptstyle√(x^{2)+y^{2}+z^{2}}

【即时练习3】在空间直角坐标系中,已知两点 A\left(0,1,2\right),B\left(1,2,3\right) ,则|AB=

1.4空间向量的应用

1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系

第1 课时 空间中点、直线和平面的向量表示

预学案07

一、空间中点、直线和平面的向量表示

【学习札记】

【微点拨】

(1)空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.
(2)空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.

【即时练习1】若 A(-1,0,1) ,B(1,4,7) 在直线 l 上，则直线 l 的一个方向向量为 (

A.(1,2,3) B.(1,3,2) C.(2,1,3) D.(3,2,1)

二、平面的法向量

平面的法向量的定义：直线 l\botα ，取直线 l 的 ,则向量 ±b{a} 叫做平面 α 的法向量.给定一个点 A 和一个向量 ±b{a} ,那么过点 A ,且以向量 ±b{a} 为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 \{P|a*\overrightarrow{A P}{=}0\} ·--→平面的一个向量表示式

【微点拨】

一个平面的法向量不是唯一的，一个平面的所有法向量共线，

【即时练习2】已知点 A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1) ,则平面ABC 的法向量可以是 (

A. (1,1,1) B.\ensuremath{\left(-1,(1{2},1\right)}\;\;\;\;\;\;C.\left(0,/{1)/(2),0\right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;D.\ensuremath{\left(-1,0,1\right)}}

第 2课时 空间中直线、平面的平行

预学案08

空间中平行关系的向量表示

【学习札记】

【微点拨】

(1))利用向量证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可.
(2)证明线面平行的关键看直线的方向向量与平面的法向量垂直.
(3)证明面面平行时，必须说明两个平面不重合.

【即时练习】（1)若直线 l_{1} ,l_{2} 的方向向量分别为 ±b{\nu}_{1}=( 1 ,2 ,3 ) ±b{{\nu}}_{2}=\left( -(1)/(2) .\right. -1,-(3)/(2)) ,则 l_{1},l_{2} 的位置关系是

A.垂直 B.重合 C.平行 D.平行或重合

(2)已知直线 l 的方向向量 ±b{a}=(-1,2,1) ,平面 α 的法向量b=（－2，－2，2)，则直线 l 与平面 α 的位置关系是 ( ）

A. l/α B. 1 1α C. l{\subset}α D.以上选项都不对

(3)已知两个不同的平面 α {*} β 的法向量分别是 ±b{n}_{1}=(1,2,2) 和 ±b{n}_{2}=( 3 ,6 ,6 ) 则平面 α {*} β 的位置关系是

第3课时 空间中直线,平面的垂直

预学案09

空间中垂直关系的向量表示

【微点拨】

(1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方向向量相互垂直。

(2)证明线面垂直，就是证明直线的方向向量与平面的法向量平行.(3)利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直.

【即时练习】（1)若直线 l_{1},l_{2} 的方向向量分别为 m=( 2 ,- 1 ,- ) 1)， n=(1,1) ，1),则这两条直线 (

A.平行 B.垂直 C.异面垂直 D.垂直相交(2)已知直线 l 的方向向量为 ±b{a}=(1,1,2) ，平面 α 的法向量为 ±b{n}=( 2,2 ,4 ) 则 l 与 α 的关系是 (

B. l/α C. l 与 α 相交 D.

(3)已知平面 α {*}β 的法向量分别为 ±b{a}=( 1 ,-1 ,2 ) ±b{n}=( 5 ,-1 ,-3 ) ,则这两个平面的位置关系为 (

A.平行 B.相交但不垂直C.相交垂直 D.不能确定

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题

第1课时 用空间向量研究距离问题

预学案10

一、点到直线的距离,----→点到直线的垂线段的长度

如图，已知直线 l 的单位方向向量为 u ,A 是直线 l 上的定点， P 是直线 l 外一点，设向量 \stackrel{\longrightarrow}{A P}=±b{a} ,则向量 \overrightarrow{A P} 在直线 l 上的投影向量 \overrightarrow{A Q}=(a* u)u ,则点----→辅助向量P 到直线 l 的距离 P Q=

辅助向量的模与投影向量的模的平方差的算术平方根.

【微点拨】

由于直线与直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离问题.

【即时练习1】直线 l 的方向向量为 m=(1,0,-1) ，且 l 过点 A (1,1,1),则点P( -1,2 ,1 ) 到 l 的距离为 (

A. √(2) B. √(3) C. √(6) D. 22

二、点到平面的距离

如图，已知平面 α 的法向量为 _{n,A} 是平面 α 内的定点， P 是平面 α 外一点.过点 P 作平面 α 的垂线 l ,交平面 α 于点 Q 则 ±b{n} 是直线 l 的方向向量，且点 P 到平面 α 的距离就是 \overrightarrow{A P} 在直线 l 上的投影向量 \overrightarrow{Q P} 的长度.因此 P Q=

此公式也能求线面距、面面距

【微点拨】

【即时练习2】已知平面 α 的一个法向量 ±b{n}=(-2,-2,1) ,点A(-1,3,0)在平面 α 内，则点 P( -2,1,4) 到 α 的距离为 ( ）

A.10 B.3 (8)/(3) D. (10)/(3)

第三章 圆锥曲线的方程

3.1 椭圆

3.1.1 椭圆及其标准方程

预学案25

一、椭圆的定义

【学习札记】

这个条件缺一不可.

把平面内与两个定点 F_{1} ,F_{2} 的 等于常数（大于 \mid F_{1}F_{2}\mid )的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点 F_{1} ,F_{2} 叫做椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫做椭圆的焦距. \vert*s-*s-β\vert F_{1}F_{2}\vert

用集合语言描述椭圆的定义： P=\{M|\mid MF_{1}\mid+|MF_{2}\mid=2a ,2a>\midF_{1}F_{2}\mid\}.

【微点拨】

(1)当距离之和等于 |F_{1}F_{2}| 时,动点的轨迹是线段 F_{1}F_{2} (2)当距离之和小于 |F_{1}F_{2}| 时，动点的轨迹不存在.

【即时练习1】（1)已知点 A(-1,0),B(1,0) ，动点 P(x,y) 满足 \mid P A\mid+\mid P B\mid =4 ，则动点 P 的轨迹是 (

A.椭圆 B.直线 C.线段 D.圆

（2)已知椭圆 (x^{2})/(16){+}(y^{2})/(4){=}1 上一点 P 到其一个焦点的距离为3,则点 P 到另一个焦点的距离为

二、椭圆的标准方程

【微点拨】

椭圆的焦点在 \boldsymbol{\mathscr{x}} 轴上 \Leftrightarrow 标准方程中含 x^{2} 项的分母较大；椭圆的焦点在 y 轴上 \Leftrightarrow 标准方程中含 y^{2} 项的分母较大.因此由椭圆的标准方程判断椭圆的焦点位置时，要根据方程中分母的大小来判断，简记为“焦点位置看大小，焦点随着大的跑”

【即时练习2】（1)焦点在 x 轴上，且 a^{2}=13 ,b^{2}=1 的椭圆的标准方程为(*{(x^{2})/(13)}{+}{(y^{2})/(12)}{=}1 (x^{2})/(13)+(y^{2})/(25)=1 *{(x^{2})/(25)}+{(y^{2})/(13)}=1 {(x^{2})/(13)}+y^{2}=1 1或x²+ x^{2}+(y^{2})/(13)=1 ).{(x^{2})/(13)}+y^{2}=1

(2)请写出一个焦点在 _y 轴上， c=1 的椭圆的标准方程：

3.1.2 椭圆的简单几何性质

第1课时 椭圆的简单几何性质

预学案26

椭圆的简单几何性质

【学习札记】

【微点拨】

(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上.
(2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点.
(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a+c ，最小值为 a-c

(4)离心率表示椭圆的扁平程度.当 e 越接近于1时， c 越接近于 a ，从而 b {=} √(a^{2)-c^{2}} 越小，因此椭圆越扁；当 e 越接近于0时， \boldsymbol{C} 越接近于0,从而 b= √(a^{2)-c^{2}} 越大,因此椭圆越接近圆；当 e=0 时， c=0 ,a=b ,两焦点重合，图形就是圆，但不能认为圆是特殊的椭圆.

【即时练习】（1)已知椭圆C： :(x^{2})/(4)+(y^{2})/(3)=1 的左、右焦点分别为 F_{1} ,F_{2} ，则椭圆的焦距 \left|\boldsymbol{F}_{1}\boldsymbol{F}_{2}\right| 的长为

A.1 B.2 C.4 D. √(3) (2）椭圆 (x^{2})/(4)+(y^{2})/(9)=1 的长轴长为

第 2 课时 椭圆的标准方程及性质的应用

预学案27

一、点与椭圆的位置关系

点 P(x_{0} ,y_{0}) 与椭圆 (x^{2})/(a^{2)}+(y^{2})/(b^{2)}=1(a>b>0) 的位置关系：

(1)点 P 在椭圆上 \Leftrightarrow (2)点 P 在椭圆内部 \Leftrightarrow (3)点 P 在椭圆外部 \Leftrightarrow

【即时练习1】已知椭圆 C :(x^{2})/(4)+(y^{2})/(3)=1 ,则下列各点不在椭圆内部的是（

A. (1,1) B. ({√(2)},-1)
C. ({√(2)},{√(2)}) D.\left({(1)/(2)},1\right)

二、直线与椭圆的位置关系

椭圆与直线的位置关系有

设直线 l_{:}A_{x}+B_{y}+C=0(A^{2}+B^{2}\ne0) ，椭圆方程为 (x^{2})/(a^{2)}+(y^{2})/(b^{2)}=1(a>b>0) 联立方程组 \left\{{(x^{2})/(a^{2)}}+{(y^{2})/(b^{2)}}=1,\right.

联立消去 y 得到关于 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的一元二次方程 m x^{2}+n x+q=0(m\neq0)

(1)\Delta\supset0\leftrightarrow1 \Leftrightarrow (2)\Delta=0\leftrightarrow\partial ；(3)\Delta{<}0{\leftrightarrow}

【微点拨】

(1)对已知过定点 P(x_{0} ,y_{0}) 的直线,写直线方程时要注意斜率是否存在.若斜率不存在,方程为 x=x_{0} ;斜率存在,方程设为 y-y_{0}=k(x-x_{0}) (2)若斜率为 k ,方程设为 y=k x+b

【即时练习2】直线y=x+1与椭圆x²+ x^{2}+(y^{2})/(2)=1 的位置关系是(

A.相离 B.相切C.相交 D.无法确定

3.2 双曲线

3.2.1 双曲线及其标准方程

一、双曲线的定义

必须加“绝对值”，否则只表示双曲线的一支轨迹

1.定义:平面内与 两个定点 F_{1} ,F_{2} 的距离的 等于非零常数(小于 |F_{1}F_{2} 的点的轨迹.

2.定义的集合表示：

3.焦点：两个

4.焦距： 的距离，,表示为 | F_{1}F_{2} |

【微点拨】

(1)常数要小于两个定点的距离.
(2)当 2a=|\boldsymbol{F}_{1}\boldsymbol{F}_{2}| 时，动点的轨迹是以 F_{1} ,F_{2} 为端点的两条方向相反的射线(包括端点).
(3)当 2a>|F_{1}F_{2}| 时，动点的轨迹不存在.
(4)当 2a=0 时，动点轨迹为线段 F_{1}F_{2} 的垂直平分线.

【即时练习1】平面内到两定点 A(-6,0),B(0,8) 的距离之差等于10的点的轨迹为 (

A.椭圆 B.双曲线C.双曲线的一支 D.以上选项都不对

二、双曲线的标准方程

【微点拨】

(1)若 x^{2} 项的系数为正,则焦点在 \boldsymbol{\mathscr{x}} 轴上;若 y^{2} 项的系数为正,则焦点在 y 轴上.
( 2 )a 与 b 没有大小关系.

【即时练习2】（1)焦点在 _{x} 轴上,且 _{a=6,b=8} 的双曲线的标准方程是（

(y^{2})/(36)-(x^{2})/(64)=1 B.(x^{2})/(64){-}(y^{2})/(36){=}1 (x^{2})/(36)-(y^{2})/(64)=1 (x^{2})/(36){-}(y^{2})/(64){=}1 (y^{2})/(36){-}(x^{2})/(64){=}1

(2)已知双曲线 C:(x^{2})/(2)-(y^{2})/(2)=1 ,则双曲线 C 的焦距为

3.2.2双曲线的简单几何性质

第1课时 双曲线的简单几何性质

预学案29

一、双曲线的几何性质

【微点拨】

(1)B_{1}\left(0,-b\right),B_{2}\left(0,b\right) 不是双曲线上的点，不能称为顶点.(2)双曲线的渐近线决定了双曲线的形状.由双曲线的对称性可知，当双曲线的两支向外无限延伸时，双曲线与两条渐近线无限接近，但永远不会相交.(3)双曲线的渐近线方程要注意焦点所在轴的位置.

【即时练习1】 】(1)(多选)已知双曲线C:- C{:}(y^{2})/(9){-}(x^{2})/(7){=}1 ,则下列选项中正确的是（

A. C 的焦点坐标为 (±4,0) B. C 的顶点坐标为 (0,±,3) C 的离心本为 (4)/(3) D. C 的虚轴长为2√7

二、等轴双曲线

实轴和虚轴 的双曲线叫做等轴双曲线.

【即时练习2】过点（2,1)的等轴双曲线的标准方程为

(x^{2})/(3)-(y^{2})/(3)=1 (x^{2})/(5)-(y^{2})/(5)=1 *{(y^{2})/(3)}-{(x^{2})/(3)}=1 h 5

第 2 课时 双曲线的标准方程及性质的应用

预学案30

一、直线与双曲线的位置关系

设直线 l:y=k x+m(m\ne0) ,{\mathbb{D}} 双曲线 C :(x^{2})/(a^{2)}-(y^{2})/(b^{2)}=1(a>0 ,b>0) ,② 将 ① 代人 ⊚ ，得 A x^{2}+B x+C=0

(1)当 A=0 时，直线 l 与双曲线的 平行，直线与双曲线 C 相交于一点 (2)当 A\neq0 时， ①\Delta>0\Rightarrow 直线与双曲线有 公共点，此时直线与双曲线相交； O\Delta=0\Rightarrow 直线与双曲线有 公共点，此时直线与双曲线相切； ③\Delta{<}0\Rightarrow 直线与双曲线 公共点，此时直线与双曲线相离.

【微点拨】

(1)相交时可能有一个或两个公共点；有一个公共点时，直线与双曲线可能相切或相交。
(2)消元后注意二次项的系数，二次项系数可能为0，此时，直线与双曲线的渐近线平行.

【即时练习1】（1)若一直线【平行于双曲线的一条渐近线，则 l 与双曲线的公共点个数为

A.0或1 B.1 C.0或2 D.1或2 (2)直线 _y=x+1 与双曲线 x^{2}-y^{2}=1 的交点个数为

二、双曲线的弦长及中点弦问题

1.弦长公式:若斜率为 k (k\neq0 )的直线与双曲线相交于 A\left(x_{1},y_{1}\right),B(x_{2} ，y_{2} )，则 |A B|=

2.已知弦 A B 的中点为 P(x_{0},y_{0}) ,若双曲线方程为 {(x^{2})/(a^{2)}}-{(y^{2})/(b^{2)}}=1 ,则直线 A B 的斜 率为 k=(b^{2})/(a^{2)}*(x_{0})/(y_{0)} .；若双曲线方程为 (y^{2})/(a^{2)}-(x^{2})/(b^{2)}=1 ,则直线 A B 的斜率为 k=(a^{2})/(b^{2)}*(x_{0})/(y_{0)}

【微点拨】

(1)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2

(2)过双曲线焦点 F_{1} 的弦 A B 与双曲线交在同支上，则 A B 与另一个焦点F_{2} 构成的 \triangle A B F_{2} 的周长为 4a+2\left|A B\right|

(π)/(4) :(x^{2})/(3)-y^{2}=1 C 交于 A ,B 两点，则 |A B|=

3.3 抛物线

3.3.1 抛物线及其标准方程

预学案31

一、抛物线的定义

【学习札记】

定点F不在直线1 上

平面内与一个定点 F 和一条定直线（L不经过点 F )的 的点的轨迹叫做抛物线.点 F 叫做抛物线的 ,直线叫做抛物线的

【微点拨】

（1)“一动三定”：一动点 M ；一定点F(即焦点)；一定直线L(即准线)；一定值

1(即动点 M 到定点 F 的距离与到定直线L的距离之比为1).

(2)当直线 l 经过点 F 时，点的轨迹是过定点 F 且垂直于定直线 l 的一条直线.

【即时练习1】若动点 P 到点(3,0)的距离和它到直线 _x=-3 的距离相等，则动点 P 的轨迹是 ( ）

A.椭圆 B.抛物线 C.直线 D.双曲线

二、抛物线的标准方程

【微点拨】

(1)标准方程的结构特征：顶点在坐标原点、焦点在坐标轴上.(2)抛物线的开口方向：抛物线的开口方向取决于一次项变量( \boldsymbol{\mathscr{x}} 或 y )的取值范围.

【即时练习2】下列关于抛物线 C:x^{2} = -(1)/(2)y 的说法正确的是

A.开口向下，准线方程为 y=/18 B.开口向左,准线方程为 x=(1)/(8) C.开口向下，准线方程为 y=-(1)/(8) D.开口向左，准线方程为 x=-(1)/(8)

3.3.2 抛物线的简单几何性质

第1课时 抛物线的简单几何性质

预学案32

抛物线的简单几何性质

【学习札记】

【微点拨】

(1)抛物线没有渐近线，在画图时不要把抛物线画成双曲线一支的形状，因为双曲线的开口越来越开阔，而抛物线的开口越来越扁平.(2)抛物线的顶点只有一个，抛物线的焦点总在对称轴上，抛物线的准线始终与对称轴垂直.

【即时练习】（1)对抛物线 y=(1)/(8)x^{2} ,下列描述正确的是

A.开口向上，焦点为(0,2) B.开口向上,焦点为 \left(0 ,(1)/(32)\right) C.开口向右，焦点为(2,0) D.开口向右，焦点为 {\bigl(}{(1)/(32)},0{\bigr)} (2)已知抛物线 C 的顶点在原点，焦点在 \boldsymbol{\mathscr{x}} 轴上,且抛物线上有一点 P(4,m) 到焦点的距离为6.则抛物线 C 的方程为

第 2课时 抛物线的标准方程及性质的应用

预学案33

直线与抛物线的位置关系

【学习札记】

设直线 l:y=k x+m ，抛物线： y^{2}=2\rho x(\rho>0) ,将直线方程与抛物线方程联立整理成关于 x 的方程 k^{2}x^{2}+2(k m-p)x+m^{2}=0

(1)若 \scriptstyle k\neq0 ，当 时，直线与抛物线相交，有两个 当 时,直线与抛物线相切,有一个交点； 当 时，直线与抛物线相离，没有公共点.

(2）若 k=0 ，直线与抛物线有 交点，此时直线平行于抛物线的对称 轴或与对称轴重合.

【微点拨】

(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.(2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况，

【即时练习】（1)直线 y=k(x-1)+2 与抛物线 x^{2}=4y 的位置关系为（

A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定

(2)过点(0,1)与抛物线 y^{2}=2\rho x(\rho>0) 只有一个公共点的直线的条数是（

A.0 B.1 C.2 D.3

课前预学案

点拨思路+传授技法+规范解答

高分的取得必须达到一定的训练量，从而实现量变到质变。训练是一门很有讲究的学问：练有章法，不狂不热;练有尺度，不轻不重：科学选题，有序训练，方为上上策！

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