实战演练

提分小卷

数学

巩固基础 方便使用强化专项 助力高考

四江苏凤凰美术出版社

目录

第一部分 基础知识专题

提分小卷1 基本不等式 1
提分小卷2 分段函数 3
提分小卷3 导数的切线与公切线 5
提分小卷4 导数与极值(最值) 7
提分小卷5 三角恒等变换 9
提分小卷6 解三角形 11
提分小卷7 平面向量的数量积 13
提分小卷8 等差数列与等比数列 15
提分小卷9 数列的通项与求和 17
提分小卷10 空间几何体的表面积与体积· 19
提分小卷11 空间几何体中的平行与垂直· 21
提分小卷12 空间角与距离 23
提分小卷13 隐形圆 25
提分小卷14 圆锥曲线的离心率， 27
提分小卷15 排列与组合 29
提分小卷16 二项式定理及其应用 31
提分小卷17 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 33
提分小卷18 超几何分布、二项分布与正态分布 35

第二部分 高考热点专题

提分小卷19 抽象函数性质的应用 37
提分小卷20 导数中的构造问题·· 39
提分小卷21 三角形中 \omega 的范围问题 41
提分小卷22 三角形中的特殊线段 43
提分小卷23 极化恒等式· 45
提分小卷24 数列中的奇偶项问题 47
提分小卷25 球的切接问题 49
提分小卷26 圆锥曲线中的定点与定值问题 51
提分小卷27 数学文化题 53
提分小卷28 新定义题 57

第一部分 基础知识专题

提分小卷1 基本不等式

一、单项选择题

1.已知 \scriptstyle0<x<2 ，则 √(x\left(1-{(x)/(2))\right)} 的最大值为

A. (1)/(2) B.\ {(√(2))/(2)} (1)/(4) D.\ {(√(2))/(4)}

2.（2025·晋中模拟预测)已知 \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\in\mathbf{R},\boldsymbol{b} 为 a 和2的等差中项,则 3^{a}+(1)/(9^{b)} 的最小值为 ( >

A. /13 B.3 (1)/(2) {D}.{(2)/(3)}

3.(2025·菏泽一模)“ x{>}0^{\prime\prime} 是“ 2^{x}+(1)/(2^{x)}{>}2^{\prime} "的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4. (2025 ·日照一模)已知点A(2,1)在直线l;mx十my=1上,且mm>0,则+2白 的最小值为 (

A. 4 B. 6 C. 8 D.10

二、多项选择题

5.（2025·泉州阶段检测）已知正数 {\bf\Phi}_{a\:,b} 满足a +b=2 ，则

A.ab 的最大值为1 B. a^{2}+b^{2} 的最小值为4
、 (1)/(a)+(1)/(b) 的最小值为2 D. a b+{(4)/(a b)} 的最小值为4

6．（2025·江西抚州期末)已知 _{x,y} 是正数,且 2x+y=1 ,下列叙述正确的有 C

A. x y 最大值为 (1)/(8) B. 4x^{2}+y^{2} 的最小值为 (1)/(2) C. {√(2x)}+{√(y)} 最小值为 √(2) D (2)/(x)+(1)/(y) 最小值为9

三、填空题

7.函数 f(x)={(x+3)/(√(x-1))} 的最小值为

8.(原创题)若正数 _{x,y} 满足 x+3y+x y=9 ，则 x+3y 的最小值是

四、解答题

9.（2025·哈尔滨摸底）（1）已知 x>3 ，求 y=2x+(4)/(2x-6) 的最小值；

（2）若 \phantom{+}0{<}x{<}4 ，求 \scriptstyle y=x(8-2x) 的最大值；

（3）已知 x<(5)/(4) ,求函数 y=4x-2+(1)/(4x-5) 的最大值.

10．(原创题)已知 x>0,y>0 ，且 x+3y+x y=9. 求：

(1) x y 的最大值;
(2) x+y 的最小值.

提分小卷2分段函数

一、单项选择题

1.（2025·潍坊三模)已知函数 f(x)=\left\{{\begin{array}{l}{{x^{2}+x,x{<}0,}}\\ {{e^{x}+l n\left(x+1\right),x{>=slant}0}}\end{array}}\right. 则 f(f(-1))= ，

A. 0 B.1 C.2 D.3

2.（2025·辽宁模拟预测）已知函数 f(x)=\left\{\begin{array}{l l}{\displaystyle|2^{x}-1|,x<=slant0,}\\ {\displaystyle\log_{3}\left(x+1\right),x>0}\end{array}\right. 则不等式 f(x){<=slant}1 的解集为 C

A. [0,2] B. [0,1] C.（-∞,2] D.（-∞,1]

3.（2025·北京阶段检测）已知函数 f(x)=\left\{{\begin{array}{l}{a^{x}-1,x<=slant1,}\\ {x^{2}-a x+4a-5,x>1}\end{array}}\right. 在 R 上单调递增，则 a 的取 值范围是 (

A. (1,2] B. [1,2] \big((3)/(2),2\big] D. [,2]

4.（2025·重庆摸底）已知函数 f(x)=\left\{{\begin{array}{l l}{4^{x},x>=slant a,}\\ {-2\log_{2}x,0<x<a}\end{array}}\right. 若 f(x) 在 (0,+∞) )上存在最小值，则实数 \mathbf{\Delta}_{a} 的取值范围是 ( ）

\big[(1)/(2),1\big) ~\boldmath~{~\cal~B.~~}\Big[(1)/(2),+∞\Big)\qquad~\boldmath~{~\cal~C.~~}(0,1]\qquad~\boldmath~{~\cal~D.~~}\Big(0,(1)/(2)\Big]

二、多项选择题

f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l l}{-x^{2}-2x,x{<=slant}0}\\ {\left|\log_{2}x\right|,x{>}0.}\end{array}\right. ，5．（2025·赣州阶段检测）已知函数 若 f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)= f(x_{3}){}=f(x_{4}) ，且 \scriptstyle x_{1}<x_{2}<x_{3}<x_{4} ,则下列结论正确的有 (

A. x_{1}+x_{2}=2 B \backslash\ .\ x_{3}x_{4}=1 C. 0{<}x_{1}{+}x_{2}{+}x_{3}{+}x_{4}{<}(1)/(2) D.\ 0{<}x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}{<}1

6.已知函数f（x)={x²+4x，x≥0， 函数 g\left(x\right)=f(f(x))-m ,则下列结论正确的有C

A.若 x=0 ，则 f(f(x))=0
B.若 f(f(x))=0 ，则 \scriptstyle x=0
C.若 m=4 ,则 g\left(x\right)=0 有3个不相等的实数根
D.若 3{<}m{<}4 ，则 g\left(x\right)=0 有5个不相等的实数根

三、填空题

7.（2025·北京摸底）已知函数 f\left(x\right)=\left\{{{\begin{array}{l}{{\log_{a}x,x>1,}}\\ {{a x-2,x<=slant1,}}\end{array}}}\right. 对任意 x_{1}\neq x_{2} ,都有 (f(x_{1})-f(x_{2}))/(x_{1)-x_{2}}{>}0
成立，则 \scriptstyle a 的取值范围是

8.（2025·上海长宁期末）已知 \operatorname*{min}\{a,b\}=\left\{{a,a{\<b},}\right. 则函数 f(x)=\operatorname*{min}\{x+1,-x^{2}-4x-5\} 的值域为

四、解答题

9.（2025·天津静海阶段检测）已知函数 y=f(x) ,其中 f(x)={\left\{\begin{array}{l l}{k x+2,(x<=slant0),}\\ {\ln x,(x>0)(k\in\mathbf{R})}\end{array}\right.} .若方程\mid f(x)\mid+k=\complement 有三个不同的实数根，则实数 k 的取值范围.

10．（2025·拉萨阶段检测)设函数 f(x)=2\left|x+1\right|-\left|x-a\right|+b(a,b\in\mathbf{R}).

（1）若 f(-3){>}f(1) ，求 \scriptstyle a 的取值范围；
（2）当 a=5 时，函数 f(x) 有两个零点 x_{1},x_{2}(x_{1}{<}x_{2}) ，且满足 x_{1}+x_{2}=-4 ，求 b 的值.

提分小卷3 导数的切线与公切线

一、单项选择题

1.（2025·聊城一模)曲线 y=x\ln x 在 x=1 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(

A. 4 B. 3 C.1 D. (1)/(2)

2.（2025·衡阳阶段检测)已知函数 f(x)=\tan{x} ，曲线 \scriptstyle y=f(x) 在点 \Big((π)/(4),f\Big((π)/(4)\Big)\Big) 处的切线在 x ，y 轴上的截距分别为 {\boldsymbol{a}}_{\mathbf{λ}},{\boldsymbol{b}} ，则 2a+b= (

A. 0 B.1 C.π-3 D.3-π

3.（2025·惠州阶段检测)若直线 \scriptstyle y=k x-1 与曲线 _y=\ln x 相切，则 k=

A. (1)/(~e~) B.1 C. (~e~)/(2) D.e

4.（2025·秦皇岛一模)已知曲线 C:y=e^{x}+x 在点 P(x_{0},y_{0}) 处的切线 \mathbf{\xi}_{l} 与直线 l^{\prime}:y=2x-1 平行，则 \mathbf{\xi}_{l} 与 {\boldsymbol{l}}^{\prime} 之间的距离为 （）

(√(5))/(5) B.\ {(2{√(5)})/(5)} (3{√(5)})/(5) 4√5 A. C. D. 5

二、多项选择题

5.已知函数 f(x)=\vert\log_{2}3x\vert .若曲线 y=f\left(x\right) 存在两条过 (0,a) 点的切线，则实数 \scriptstyle a 的可能取值为 ( J

A. 1 B. (3)/(2) C.2 D. (5)/(2)

6.若两曲线 y=x^{2}-1 与 _{y}=a\ln{x}-1 存在公切线，则正实数 \scriptstyle a 的取值可能是 (

A. 1 B. e C. 2e D. 6

三、填空题

7.（2025·上海阶段检测)已知函数 f(x)=e^{x-1}+a x^{2}+1 的图象在 x=1 处的切线与直线 x+ 3y-1=0 垂直，则实数 \begin{array}{r l}{a=}&{{}}\end{array}

8.已知 A,B 分别为曲线 y=e^{x}+2x+1 和直线 _{y}=3x-1 上的点，则 A B 的最小值为

四、解答题

9.(2025·黑龙江模拟预测)已知曲线 f(x)=x^{3}-3x ：

（1）求曲线 y=f(x) 在点 (1,f(1)) 处的切线方程；

（2）若过点 (2,m) 可作出曲线 _{y}=f(_{x}) 的三条切线，求实数 \mathbf{\Psi}_{m} 的取值范围.

10.(原创题)已知曲线 f(x)=e^{x},g(x)=x^{2}+a,h\left(x\right)=b\ln x+b\left(b\neq0\right).

（1）若直线l： y=x+m 是曲线 y=f(x) 和曲线 {\boldsymbol{y}}=_{g}({\boldsymbol{x}}) 的一条公切线，求实数 \scriptstyle a 的值；
（2）若曲线 _{y}=f(\boldsymbol{x}) 与曲线 _{y}=h\left(x\right) 只有一个公共点，求实数 b 的值.

提分小卷 4 导数与极值(最值)

一、单项选择题

1.（2025·商丘摸底)已知函数 f(x)=3(2-m^{2})x-m x^{3} 在 x=1 处取得极小值，则 f(x) 的极大值为 （）

A. 4 B.2 C.-2 D.-4

f(x)=\left\{{(\ln x)/(x)},x>=2,\right. 2.(2025·宿迁二模)若函数 有最大值,则 k 的最大值为

A. (\ln2)/(4) B.\ {(\ln2)/(2)} C.~(1)/(2e) D. (1)/(e^{2)}

3.（2025·保定摸底）已知 f(x)=x^{2}(x-k) 的一个极值点为2，则实数 k=

A. 2 B.3 C. 4 D.5

4.(2025·黑龙江一模)若函数 f(x)=x(e^{x}-1) 的图象恒在 g\left(x\right)=\ln x+a 图象的上方，则 \scriptstyle a 的最大整数值为 （）

A. -1 B. 0 C.1 D.2

二、多项选择题

5.已知函数 f(x) 是R上的可导函数， f(x) 的导函数 f^{\prime}(x) 的图象如图，则下列结论不正确的有 ）

A. ^{a,c} 分别是极大值点和极小值点B. ^{b,c} 分别是极大值点和极小值点C. f(x) 在区间 (a,c) 上是增函数D. f(x) 在区间 (b,c) 上是减函数

f(x)=\left\{\begin{array}{l l}{\displaystyle1+(1)/(x),x<0,}\\ {\displaystyle(x)/(e^{x-1)},x>=0,}\end{array}\right. +6.(2025·临汾一模)已知函数 则下列说法正确的有

A.函数 f(x) 的单调减区间为 (-∞,0),[1,+∞) B.函数 f(x) 的值域为 R C.若关于 x 的方程 f(x)=a 有三个根，则 α\in(0,1) D.若 f(x){<=slant}m x+{(1)/(2)}m 对于 \forall x>=slant0 恒成立，则 m\in[/12e^{/12},+∞)

三、填空题

7.函数 f(x)=(x^{2}-3)e^{x} 的最小值为

8.已知函数 f(x)=x\ln x+a x^{2} 有两个极值点 x_{1},x_{2}\left(x_{1}<x_{2}\right) ，则实数 \scriptstyle a 的取值范围是

四、解答题

9.（2025·深圳阶段检测)已知函数 f(x)=2x^{2}+a x-\ln x+1,a\in\mathbf{R}

（1）当 a=0 时，求函数 f(x) 的极值；
(2)若 f(x){>=slant}0 恒成立，求 \scriptstyle a 的取值范围.

10.已知函数 f(x)={(\ln{x}+a)/(x)},a\in\mathbf{R}.

（1）求函数 f(x) 在区间[1,2]上的最大值；

（2）当 a=1 时，若 e^{x}>=slant f(x)+m 恒成立，求实数 \mathbf{\Psi}_{m} 的取值范围.

提分小卷5 三角恒等变换

一、单项选择题

1.(2025·黑龙江一模)已知 \sin(α-β)=-(1)/(3) ,且 sin αcos β= ,则 cos(2α+23)=

A. (5)/(9) B.-(1)/(9) C.~(1)/(9) {D}.{~/{4{9}~}}

2.(2025 ** 山东一模)已知tan α=(1)/(3) ,则 sin 2a十cos"α的值为

A. (2)/(3) B.1 C.~(3)/(2) D.2

3.（2025·深圳阶段检测)已知 sin(α+)=-2α∈（π， ,则cos α=

A. -{(17{√(2)})/(50)} B.~-(31√(2))/(50)\qquadC.~(17√(2))/(50) D.\ {(31{√(2)})/(50)}

4. (2025 ·宁波阶段检测)已知 tan α=3tan β,则in(α+B 的最大值为

A. (√(3))/(3) {B}.\ {(2{√(3)})/(3)} C.1 D. (2)/(3)

二、多项选择题

5.（2025·浙江期末）下列各式计算结果为 (√(3))/(2) 的有

A.2sin 30°cos {30}° \begin{array}{l}{{B.~2cos^{230°-1}}}\\ {{D.~{(\tan~20^{\circ+\ t a n~40°)/(2(1-\ t a n~20^{\circ)t a n~40°)}}}}}\end{array} C. sin²75°—cos"75°

6.（2025·张家口摸底）已知函数 f(x)=\sin^{4}x+\cos^{4}x-{(√(3))/(2)}\sin2x(\sin^{2}x-\cos^{2}x) ，则下列说法正确的有 ( ）

A.函数 f(x) 的最小正周期为 π
B.函数 f(x) 電在時 \left[0,{(π)/(4)}\right] 上的值域为 \bigl[(1)/(2),(5)/(4)\bigr]
C.若将函数 f(x) 的图象向左平移 (π)/(12) 个单位长度得到函数 g\left(x\right) 的图象,则函数 g\left(x\right) 的图象关于 _y 轴对称
D.若方程 f(x)+m=0 在 \big[0,(5π)/(24)\big] 上恰好有一个根,则 \mathbf{\Sigma}_{m} 的取值范围是 \big(-1,-(3)/(4)\big]

三、填空题

7.(2025·山西一模)已知 \cos((π)/(4)+θ)=2\cos((π)/(4)-θ) ,则 tan θ=

8．（2025·重庆阶段检测)若 λ\sin{160°}+\tan{20°}-√(3)=0 ,则实数 λ 的值为

四、解答题

9.（2025·宁波阶段检测)已知函数 f(x)=2{√(3)}\sin x\cos x+{(\tan^{2}x-1)/(\tan^{2)x+1}}.

（1）化简 f(x) ,并求 f{\Big(}-{(π)/(12)}{\Big)} 的值；

（2）在锐角三角形 A B C 中，内角 A 满足 f(A)={(2)/(3)} ，求 cos 2A 的值.

10．（2025·六安阶段检测）已知函数 f(x)=\sin^{2}x+2{√(3)} sin x cOS x-\cos^{2}x+m 的最小值为一1.

（1）求 \mathbf{\Psi}_{m} 的值；
（2）求 f(x) 在 [0,π] 上的单调递增区间；
(3）若 f\big((x_{0})/(2)\big)=(11)/(5),x_{0}\in\big[-(π)/(2),(π)/(2)\big] 求 \cos(2x_{0}+(π)/(6)) 的值。

提分小卷6 解三角形

一、单项选择题

1.(2025·重庆阶段检测)记△ABC 的内角A,B，C的对边分别为α,b,c.已知 A=， A=(π)/(3),C=(5π)/(12) b={√(2)} ，则 c= ( ）

({√(6)}+{√(2)})/(2) 3.\ {(√(6)-{√(2)})/(2)} A. I C.√3-1 D.√3+1

2.（2025·北京摸底)在 \bigtriangleup ABC中，若 \bigtriangleup ABC的面积为 6,c=5 ,tan A=(4)/(3) ，则6= (

A. 2 B.3 C. 4 D. 5

3.（2025·江苏阶段检测）记 _{a,b,c} 为 \triangle A B C 的内角 A,B,C 的对边，则“ \triangle A B C 为直角三角形”是“ a sin C-a cOS C=c-b ”的 ）

A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

4.（2025·攀枝花阶段检测）在 \bigtriangleup ABC中，内角 A,B,C 的对边分别为 {a\:,b\:,c} .已知 (1)/(\tan A)+(1)/(\tan B) ={(1)/(\tan C)} tan C则 {(a^{2}+b^{2})/(c^{2)}}= ( ）

A. 4 B. 3 C.2 D. 1

二、多项选择题

5.（2025·菏泽阶段检测）已知 \triangle A B C 的内角 A,B,C 的对边分别为 {a\:,b\:,c} ，且 (2b-c) cOS A= a cos C,b{=}2{√(3)} .若边 B C 的中线 A D=3 ,则下列结论正确的有 （）

A. A=(π)/(3) B.A={(π)/(6)} C. \stackrel{\longrightarrow}{A B}*\stackrel{\longrightarrow}{A C}=6 D. \triangle A B C 的面积为 3{√(3)}

6.（原创题)在△ABC中,角 A,B,C 所对的边分别为 _{a,b,c} .已知 B=60°,b=4 ,则下列判断正 确的有 ( )

A.若 \boldsymbol c=sqrt3 ，则该三角形有两解 B.若 a=(9)/(2) ，则该三角形有两解 C. \triangle A B C 周长有最大值12 D. \triangle A B C 面积有最小值 4{√(3)}

三、填空题

7.(2025·河南二模)已知 \triangle A B C 的内角 A,B,C 的对边分别为 {a~,b~,c.} 若 b=a\cos C+√(3)c ·sin A ，则 A=\_

8.(2025 ** 上海阶段检测)若 \triangle A B C 的内角满足 3\sin\ A+4\sin\ B=5\sin\ C ，则 C 的最大值是

四、解答题

9.（2025·深圳阶段检测）记锐角三角形ABC的内角 A,B,C 的对边分别为 {a\:,b\:,c} ，已知c\sin B={(a\tan C)/(1+\tan C)}.

（1）求 B ；
（2）若 b={√(2)} ，求 \bigtriangleup ABC面积的取值范围.

10．（2025·重庆阶段检测)在 \triangle A B C 中 ,A,B,C 的对边分别为 {\boldsymbol{a}},{\boldsymbol{b}},{\boldsymbol{c}} ，且满足请在 ① (a-b)\sin(A+C)=(a-c)(\sin A+\sin C);D\sin\left({(π)/(6)}-C\right)\cos\left(C+{(π)/(3)}\right)={(1)/(4)} ，这两 这两个中任选一个作为条件，补充在横线上，并解答问题.

（1）求 c 的大小；

（2）若 \bigtriangleup ABC面积为 10{√(3)} ,tan A=(5{√(3)})/(11) ，点 D 在线段 A B 上，且 2B D=A D ，求 C D 的长.