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动态数学 目录 1 目录 第一章 线和角 ...................................................................................................................................... 1 1.1 点、线、面、角的识别和计数.................................................................................................. 2 1.2 线段中点及其和、差计算.......................................................................................................... 8 1.3 角平分线及和、差计算 ........................................................................................................... 13 1.4 两点之间线段最短 ................................................................................................................... 17 第二章 相交线与平行线 .................................................................................................................... 19 2.1 三线八角拓展 ........................................................................................................................... 20 2.2 与平行线相关的辅助线 ........................................................................................................... 22 第三章 三角形 .................................................................................................................................... 26 3.1 三角形的三边关系 ................................................................................................................... 27 3.2 三角形的内角和外角 ............................................................................................................... 31 3.3 三角形面积 ............................................................................................................................... 35 第四章 全等三角形 ............................................................................................................................ 37 4.1 角平分线垂直辅助线模型........................................................................................................ 38 4.2 角平分线全等辅助线模型........................................................................................................ 41 4.3 倍长中线法 ............................................................................................................................... 46 第五章 轴对称 .................................................................................................................................... 51 5.1 轴对称求最短路径 ................................................................................................................... 52 5.2 轴对称与几何证明 ................................................................................................................... 57 5.3 角平分线构造等腰三角形模型................................................................................................ 69 5.4 本章复习 ................................................................................................................................... 72 第六章 勾股定理 ................................................................................................................................ 84 6.1 勾股定理与几何计算 ............................................................................................................... 85 6.2 勾股定理与几何证明 ............................................................................................................... 90 6.3 勾股弦图 ................................................................................................................................... 94 第七章 平行四边形 ............................................................................................................................ 98 7.1 平行四边形相关辅助线 ........................................................................................................... 99 7.2 特殊的平行四边形 ................................................................................................................. 106 7.3 中点相关辅助线 ......................................................................................................................119 第八章 旋转 ...................................................................................................................................... 130 8.1 旋转与几何证明 ..................................................................................................................... 131

2 目录 几何辅助线 第九章 圆 .......................................................................................................................................... 142 9.1 圆的基本性质的应用.................................................................................................................................144 9.2 切线与几何计算 ..................................................................................................................... 154 9.3 不规则图形面积 ..................................................................................................................... 160 第十章 相似 ...................................................................................................................................... 167 10.1 相似基本模型 ....................................................................................................................... 168 10.2 双垂直模型 ........................................................................................................................... 177 10.3 一线三等角 ........................................................................................................................... 180 第十一章 锐角三角函数 .................................................................................................................. 190 11.1 解三角形 ............................................................................................................................... 191 咨询：400-837-9929

动态数学 第一章 线和角 1 第一章 线和角 一、本章概述 本章详细讲解线和角这部分内容，并按例题的模型和方法进行分类，针对每种模型和方法，精心筛选了 例题并提供了详细的互动讲解．力求趣味和效率并重，在短时间内帮助同学们深入理解并可以自由运用这些 模型和方法解决问题． 二、知识回顾 1.多姿多彩的图形 （1）几何图形：从实物中抽象出来的各种图形统称为几何图形． （2）立体图形：各部分不都在同一平面内的几何图形．如长方体，正方体，圆柱，圆锥，球，等等． （3）平面图形：各部分都在同一平面内的几何图形．如线段，角，三角形，长方形，圆，等等． （4）展开图：会画或识别基本几何体的展开图，如正方体，圆柱，长方体，等等． （5）点，线，面，体：几何体也简称体，包围着体的是面．点动成线，线动成面，面动成体．几何图 形都是由点、线、面、体组成的，点是构成图形的基本元素． 2.直线、射线、线段 （6）直线的性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简述为：两点确定一条直线． （7）射线的概念：直线上的一点和它一旁的部分叫做射线，这个点叫做射线的端点． （8）线段的性质：两点的所有连线中，线段最短（两点之间，线段最短）．连接两点间的线段的长度， 叫做这两点的距离． （9）线段的中点及等分点的概念： 如图 1 所示，点 B 把线段 AC 分成两条相等的线段，点 B 叫做线段 AC 的中点，则有 AB＝BC＝12AC． 如图 2 所示，点 B 和点 C 把线段 AD 分成三条相等的线段，点 B、点 C 叫做线段 AD 的三等分点，则有 AB＝BC＝CD＝13AD．类似的还有线段的四等分点、五等分点，等等． AB C A BCD 图1 图2 3.角 （10）角的概念：两条有公共端点的射线所组成的图形叫做角；一条射线绕着端点旋转所形成的图形叫做角． （11）角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线． （12）余角和补角：两个角的和等于 90°，就说这两个角互为余角；两个角的和等于 180°，就说这两个 角互为补角；等角的余角相等，等角的补角相等．

2 1.1 点、线、面、角的识别和计数 几何辅助线 1.1 点、线、面、角的识别和计数 一、本节概述 本节收录了与几何基本元素（点、线、面、角等）相关的几个常见的应用模型和解题方法，并提供了相 关的动态图解，用来帮助同学们更好地体会这些模型和方法在解题过程中如何进行合理、恰当地应用，最终 让同学们把这些模型和方法印到脑海中，达到“能快速构建试题模型和理清解题思路”的目的． 二、典例精析 知识点 1：直线交点个数 能力目标： 1.识别直线交点； 2.在大数情况下如何寻找交点数量的变化规律； 3.利用总结的规律解决实际问题． 【例 1】平面内 9 条直线两两相交，无三线（含三线以上）共点，总共有多少个交点？ （图 1.1-1 中显示了 4 条直线两两相交，无三线及以上共点的情况，供参考．） 图 1.1-1 题意理解 条件理解（一） 如果在添加直线的过程中，有直线和前面的直线平行，那交点数的递增数量就会减少 1 个．极端情况下， 如果所有直线都彼此平行，那就没有交点了．但题目已经限定 9 条直线两两相交这个条件，所以不会有平行 这种情况出现． 条件理解（二） 如果在添加直线的过程中，添加的直线和前面的两条直线的交点重合，那也会使交点个数的递增数量减 少 1 个．极端情况下，如果 9 条直线都相交于一点，那就只有一个交点了．但题目已经限定 9 条直线中任何 三条直线都不会相交于一点，所以也不会有这种情况出现． 思路分析 我们可以从两条直线数起，看有多少个交点，然后逐步增加直线，观察每增加一条直线，会增加多 少个交点，将开始的数目加上每次增加的数目，即可得到总的数目． 思维探究（扫描二维码进行动态探究） 我们从最简单的 2 条直线相交开始：2 条直线相交时，有%//1//%个交点； 在 2 条直线相交的基础上添加 1 条直线，使第三条直线和前 2 条直线两两相交，会多出%//2//%个交点； 在 3 条直线相交的基础上添加 1 条直线，使第四条直线和前 3 条直线两两相交，会多出%//3//%个交点； 在 4 条直线相交的基础上添加 1 条直线，使第五条直线和前 4 条直线两两相交，会多出%//4//%个交点； 如此类推，一直到添加第九条直线．

动态数学 第一章 线和角 3 第六条直线和前 5 条直线两两相交，会多出%//5//%个交点； 第七条直线和前 6 条直线两两相交，会多出%//6//%个交点； 第八条直线和前 7 条直线两两相交，会多出%//7//%个交点； 第九条直线和前 8 条直线两两相交，会多出%//8//%个交点， 所以 9 条直线的交点数总和是上述这些交点数的总和， 所以 9 条直线的交点总数＝%//1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8//%＝%//36//%． 规律探究 第 n 条直线和前面的 n－1 条直线的交点数为%//n－1//%； 所以 n 条直线的交点总数为%//1＋2＋3＋…＋n－1//%； 这恰好符合高斯求和公式的条件：根据高斯求和公式：1＋2＋3＋…＋n－1＝ n(n 1) ； 2 所以 n 条直线两两相交且无三线共点的交点总数为%// ( －1)//%； 2 当 n＝9 时，代入公式， 9 (9 1) ＝9×4＝36．这和我们推理得到的结果是一样的． 2 方法总结 本题是个数目量较大的问题，这时直接穷举是由人力所难及的．而从小的数目开始，逐步叠加，找到规 律，进而来推算大数目时的结论往往可行．而题目中的条件在找 n 到 n＋1 步规律时使用．这个方法又称为 “归纳法”． 知识点 2：数角 能力目标： 1.角的识别； 2.在大数情况下如何寻找角的数量变化规律； 3.利用总结的规律解决实际问题．在规律寻找和计数方法的核心思想上和例 1 类同． 【例 2】图 1.1-2 中有 7 条射线，请数出一共有多少个角． G F E D C B OA 图 1.1-2 题意理解 只要从一个公共点出发的两条射线就能形成一个角．这里要注意的是，因为所有射线共用一个起点，所 以不仅仅彼此相邻的两条射线形成一个角，彼此不相邻的两条射线也形成一个角． 思路分析 可以先数出所有以 OA 为始边的角；然后去掉 OA，再数出所有以 OB 为始边的角；然后去掉 OB， 再数出所有以 OC 为始边的角…

4 1.1 点、线、面、角的识别和计数 几何辅助线 思维探究（扫描二维码进行动态探究） 以 OA 为始边，OB，OC，OD 等为终边的角有%//6//% 个； 以 OB 为始边，OC，OD 等为终边的角有 %//5//% 个； 以 OC 为始边，OD，OE 等为终边的角有 %//4//% 个； 以 OD 为始边，OE，OF 等为终边的角有 %//3//% 个； 以 OE 为始边，OF，OG 为终边的角有 %//2//% 个； 以 OF 为始边，OG 为终边的角有 %//1//% 个， 所以有%//6＋5＋4＋3＋2＋1//% 共%//21//% 个角． 规律总结 我们发现：每次数的角的个数都逐渐减少 1 个，如果是 n 条射线，第一次数出 n－1 个角，然后依次是 n－2， n－3，…，3，2，1．所以 n 条射线角的个数是：(n−1)＋(n−2)＋…＋3＋2＋1＝ n(n 1) ．我们得到了求角的个 2 数的公式，大家是否发现和例 1 求交点个数的方法和结论有点像． 将 n＝7 代入公式得 n(n 1) ＝7 (7 1) ＝21． 2 2 方法总结 这个方法是从大数开始，逐步减少数量，寻找规律．这种方法和“归纳法”的推导方向相反，但两者之 间寻找规律的思想是相同的．这个方法又简称为“退步法”． 知识点 3：数线段 能力目标： 1.线段的识别； 2.在线段数目增加的情况下如何寻找规律； 3.利用总结的规律解决实际问题．在规律寻找和计数方法的核心思想上和例 2 类同． 【例 3】注意观察图 1.1-3，你发现一共有多少条线段？ A BC D E 图 1.1-3 题意理解 注意不仅仅是相邻两点形成线段，而是任意两点间都形成线段． 思路分析 一个大数问题，我们有归纳法和退步法两种方式解决它．无论哪种方法，都需要考虑如何拆分步 骤．需要保证每步不多数、也不少数，而步骤间不能有重合的情况出现．本题就线段的数法，总结了 两种方法：端点法、份数法．在此基础上，我们进一步拓展思路，介绍了转化法，该方法的核心思想 是把复杂问题转化成相对更简洁、更直观的等价问题． 思维探究（扫描二维码进行动态探究） 方法一：端点法 先从一个端点开始，数该点到所有其他的点所成的线段，然后去除这个点，再数下一个点到其余的点所

动态数学 第一章 线和角 5 组成的线段，如此反复计数． 从 A 出发的线段有 AB，%//AC、AD、AE//% ，共%//4//% 条； 从 B 出发的线段有 %//BC、BD、DE//% ，共%//3//% 条； 从 C 出发的线段有 %// CD、DE//% ，共%//2//% 条； 从 D 出发的线段有 %// DE//% ，共%//1//% 条， 所以线段的条数有%//4＋3＋2＋1//% ，共%//10//% 条． 方法二：份数法 先数相邻点所成的线段，再数相隔一个点所成的线段，再数相隔 2 个点所成的线段． 1 份的线段有 AB，%//BC、CD、DE//% ，共%//4//% 条； 2 份的线段有 AC，%//BD、CE//% %%_，共%//3//% 条； 3 份的线段有 AD，%//BE//% ，共%//2//% 条； 4 份的线段有%//AE//% ，共%//1//% 条， 所以线段的条数有%//4＋3＋2＋1//% ，共%//10//% 条． 方法三：转化法 此题可以转换为五点连线问题，如图 1.1-4 所示的五边形，有五个顶点． 这个图也可以理解为握手问题，一共 5 个人，每个人和其他人都握一次手，这些人的总共握手数是多少？ 假如你是 5 个人中的一个，你和其他 4 人握手，需要握%//4//%次．其他的人也一样，都和别人握了%//4//%次， 所以这样握手总数是%//4×5＝20//%次．但考虑到每次握手都在两个握手的人那里 A 分别记一次，即在总和里重复计算了两次，所以握手数还要除以 2，所以握手数 是%//4×5÷2＝10//%次，即答案是%//10//%． BE 规律探究 转化法实际上说明了这类问题在数学上有共性，并可抽象为直接的公式：n 个 人两两握手或 n 个点两两相连，都是有 n(n 1) 组结果，正好是 1＋2＋…＋n－1＝ C D 2 图 1.1-4 n(n 1) ，即高斯求和公式．掌握公式可以直接用，但前提是理解题意，不要盲目套用． 2 所以线段上有 n 个点（含端点）的线段总数是 n(n 1) ，将 n＝5 代入，可得： n(n 1) ＝10． 2 2 知识点 4：直线分平面份数 能力目标： 1.分类讨论的思想； 2.在实际操作过程中发现规律并总结规律； 3.利用总结的规律解决实际问题． 【例 4】平面内 9 条直线最．多．把平面分成多少部分？图 1.1-5 中显示了 4 条直线对平面 的一种分割，供参考． 图 1.1-5

6 1.1 点、线、面、角的识别和计数 几何辅助线 思路分析 可采用归纳法，从 1 条直线开始尝试． 思维探究（扫描二维码进行动态探究） 1 条直线时：1 条直线把平面分成%//2//%部分． 2 条直线时：（可拖动红点移动直线，当直线在不同位置时，记录平面被分的份数） 两条直线平行时，两条直线可以把平面分成%//3//%部分； 两条直线相交时，两条直线可以把平面分成%//4//%部分． 3 条直线时：（可拖动红点移动直线，当直线在不同位置时，记录平面被分的份数） 3 条直线互相平行时，3 条直线可以把平面分成%//4//%部分； 2 条直线平行，与另一条相交时，3 条直线可以把平面分成%//6//%部分； 3 条直线有一个公共交点时，3 条直线可以把平面分成%//6//%部分； 3 条直线两两相交时，3 条直线可以把平面分成%//7//%部分． 通过观察可发现：直线交点个数越多，所分的平面份数也越多，因为 9 条直线两两相交，且无三线共点 时交点个数最多，此时平面被分成的份数也最多． 直线条数 平面数 平面数 将直线条数与所分平面数（最多）列表： 12 2＝1＋1 观察数字并结合图形我们会发现，当直线条数从 1 条增加到 24 4＝1＋1＋2 37 7＝1＋1＋2＋3 2 条时，平面个数新增加了%//2//%个；当直线条数从 2 条增加到 4 11 11＝1＋1＋2＋3＋4 3 条时，平面个数新增加了%//3//%个，因此我们猜测规律为：新 …… 增加的平面数＝此时直线条数． … n 1＋1＋2＋3＋4＋…＋n 猜测 4 条直线时，平面个数新增加 4，即为 7＋4＝11 个， 画出图形，结合图形发现猜测正确． 猜想 9 条直线最多分平面数＝1＋%//1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9//%＝%//46//%． 规律探究 n 条直线最多分平面数为 1＋1＋2＋3＋4＋…＋n＝1＋ n(n 1) ． 2 三、成果检测 1. 如图 1.1-6，在直线 l 上有 A，B，C 三点，则图中线段共有 .................................................................. （%//C//%） A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．4 条 AB C l %//解析：图中线段有 AB、AC、BC 这 3 条，故选 C．//% 图 1.1-6 2. 如图 1.1-7 所示，从 A 地到 C 地，可供选择的方案有三种：走水路、走陆路、走空中．从 A 地到 B 地有 2 条水路、2 条陆路，从 B 地到 C 地有 3 条陆路可供选择，走空中从 A 地不到 B 地而直接到 C 地，则从 A 地到 C 地可供选择的方案有 .................................................................................................................................（%//D//%） A．20 种 B．8 种 C．5 种 D．13 种 A C B 图 1.1-7 %//解析：从 A 地直接到 C 地只有 1 种方案；先从 A 到 B，再到 C 地有 4×3＝12 种方案，所以共有 12 ＋1＝13 种方案可供选择．//%

动态数学 第一章 线和角 7 3. 如图 1.1-8，若∠AOB 内没有射线，则图中一共有%//1//% 个角； 若∠AOB 内有 1 条射线，则图中一共有%//3//% 个角； 若∠AOB 内有 2 条射线，则图中一共有%//6//% 个角； … 若∠AOB 内有 10 条射线，则图中一共有%//66//% 个角． ①② ③ 图 1.1-8

8 1.2 线段中点及其和、差计算 几何辅助线 1.2 线段中点及其和、差计算 一、本节概述 本节收录了关于“线段的和、差、倍、分”的几种常见应用模型和解题思路．着重讲解了“线段中点” 的相关知识，并提供了相关的动态图解，以帮助同学们更好地领悟这些知识，并能熟练掌握和应用． 二、典例精析 知识点 1：线段中点及其计算（1） 能力目标： 1.线段的标记； 2.线段中点在代数计算中的应用； 3.线段长度的代数表示． 【例 1】如图 1.2-1，已知 B，C 是线段 AD 上的两点，M 是 AB 的中点，N 是 CD 的中点，若 MN＝a，BC＝b， 则线段 AD 等于多少？ A M BC N D 图 1.2-1 题意理解（扫描二维码进行动态探究） 标记条件，拖动动点，理解题目条件和目标． 思路分析 求出 AM，ND 的长度之和或 AB，CD 的长度之和即可．而它们和已知的两线段是差和一半的关系．本 题解答以求出 AM＋ND 长度为例． 思维探究 根据中点定义， 因为 M 是 AB 的中点，所以 AM＝%//MB//% ． 因为 N 是 CD 的中点，所以 CN＝%//ND//% ， 所以 AM＋ND＝MB＋CN＝MN－%//BC//%＝%//a－b//%（用含有 a，b 的代数式表示）． 根据线段和： 所以 AD＝AM＋MN＋ND＝(AM＋ND)＋MN＝(a－b)＋a＝2a－b． 方法总结 找线段，作标记，用中点，代数算．

动态数学 第一章 线和角 9 知识点 2：线段中点及其计算（2） 能力目标： 1.线段的标记； 2.线段中点在代数计算中的应用； 3.设未知数的技巧； 4.比较代数式的大小． 【例 2】如图 1.2-2，线段 AB＝2BC，DA＝1.5AB，M 是 AD 的中点，N 是 AC 的中点，试比较 MN 和 AB＋ NB 的大小． D M A NB C 图 1.2-2 题意理解（扫描二维码进行动态探究） 拖动 B，C 点，理解题目条件和目标． 思路分析 解答线段计算类问题，要适当地引入未知数，把几何问题转化成代数问题，尤其要注意利用中点的 定义，以及线段倍、分及和、差的关系建立代数式．我们通常设最小线段的长为 x，然后用它来表示出 其他的量． 思维探究 设 BC＝x，则 AB＝2BC＝%//2x//%，DA＝1.5AB＝%//3x//% ． 根据中点定义： ∵ M 是 AD 中点，∴ DM＝MA＝D2A＝%//1.5x//% ． 根据中点定义： ∵ N 是 AC 中点，∴ AN＝NC＝A2C＝AB＋2 BC＝%//1.5x//% ． 根据线段差：∴ NB＝AB－AN＝%//2x－1.5x＝0.5x//% ， 代数推导：∴ MN＝MA＋AN＝%//1.5x＋1.5x＝3x//% ． ∵ AB＋NB＝%//2x＋0.5x＝2.5x//% ， ∴ MN＞AB＋NB． 方法总结 当题目中有诸多的数量关系时，可设未知数，采用代数式的方法表达出这些数量关系，为此我们通常设 最小的量为 x，然后用它来表示或计算其他的量．

10 1.2 线段中点及其和、差计算 几何辅助线 知识点 3：线段中点及其计算（3） 能力目标： 1.线段的标记； 2.线段中点在代数计算中的应用； 3.设未知数的技巧； 4.数线段条数的方法； 5.一元一次方程的解法． 【例 3】如图 1.2-3，C 是线段 AB 的中点，D 是线段 AC 的中点，已知图中所有线段的长度之和为 13，则线 段 AC 的长度为%//2//%． A DC B 图 1.2-3 题意理解（扫描二维码进行动态探究） 标记已知条件，拖动 A、B 点，理解条件．同时，题目中所说的“所有线段”，不仅仅是相邻两点所形成 的线段 AD，DC 和 CB，还包括不相邻两点所形成的线段 AC，DB 和 AB． 思路分析 最短的线段是 AD，分析上面每条线段和它的关系，然后代数求解． 思维探究 先考虑相邻两点形成的线段， 设 AD＝x，则 DC＝AD＝x， CB＝AC＝%//AD＋DC＝2x//% ． 除了上面三个相邻两点，考虑相隔一点形成的线段 AC，DB， AC＝%//2AD＝2x//% ， DB＝%//DC＋CB＝3x//% ． 再考虑相隔两点形成的线段 AB＝%//AC＋CB＝4x//%． “所有线段的和”包括上面分析所有情况的线段总和： AD＋DC＋CB＋AC＋DB＋AB＝%//x＋x＋2x＋2x＋3x＋4x//%＝%//13x//% ＝13， ∴ x＝%//1//% ， ∴ AC＝2x＝%//2//% ． 方法总结 本题对已知条件中“所有线段”的正确理解是关键，要耐心理解题意再动手．把几何问题转化成代数问 题时，通常设最小量为 x，然后用它表示出其他的量，再根据条件列等式．

动态数学 第一章 线和角 11 三、成果检测 1. 如图 1.2-4，已知，C 点为线段 AB 的中点，D 点为 BC 的中点，AB＝10 cm，求 AD 的长度． %//解：如图， A C DB 图 1.2-4 ∵ C 点为线段 AB 的中点，D 点为 BC 的中点，AB＝10 cm， ∴ AC＝BC＝ 1 AB＝5 cm， 2 ∴ CD＝ 1 BC＝2.5 cm， 2 ∴ AD＝AC＋CD＝5＋2.5＝7.5 cm． 答：AD 的长度为 7.5 cm．//% 2. 如图 1.2-5，已知，线段 AD＝6 cm，线段 AC＝BD＝4 cm，E，F 分别是线段 AB，CD 的中点，求 EF． %//解：如图， A EB C FD ∵ 线段 AD＝6 cm，线段 AC＝BD＝4 cm， 图 1.2-5 ∴ BC＝AC＋BD－AD＝4＋4－6＝2 cm， ∴ AB＋CD＝AD－BC＝6－2＝4 cm． 又∵ E、F 分别是线段 AB、CD 中点， ∴ EN＝ 1 AB，CF＝ 1 CD， 2 2 ∴ EB＋CF＝ 1 AB＋ 1 CD＝ 1 （AB＋CD）＝2 cm， 2 2 2 ∴ EF＝EB＋BC＋CF＝2＋2＝4 cm． 答：线段 EF 的长为 4 cm．//% 3. 观察图 1.2-6①，由点 A 和点 B 可确定%//1//%条直线； 观察图 1.2-6②，由不在同一直线上的三点 A，B 和 C 最多能确定%//3//%条直线； （1）动手画一画图 1.2-6③中经过 A，B，C，D 四点的所有直线，最多共可作%//6//%条直线； （2）在同一平面内，任意三点不在同一直线上的五个点最多能确定%//10//%条直线，任意三点不在同一直 线上的 n 个点（n≥2）最多能确定%// （ −1）//%条直线． 2 AD A AB B BC C ① ②③ 图 1.2-6

12 1.2 线段中点及其和、差计算 几何辅助线 4. 如图 1.2-7，点 C 在线段 AB 上，点 M，N 分别是 AC，BC 的中点． （1）若 AC＝8 cm，CB＝6 cm，求线段 MN 的长； （2）若点 C 为线段 AB 上任意一点，满足 AC＋CB＝a cm，其他条件不变，你能猜想 MN 的长度吗？说 出你的理由． （3）若点 C 在线段 AB 的延长线上，且满足 AC－CB＝b cm，点 M，N 分别为 AC，BC 的中点，你能猜 想 MN 的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由． %//解：（1）∵ AC＝8 cm，CB＝6 cm， AM CN B 图 1.2-7 ∴ AB＝AC＋CB＝8＋6＝14 cm． 又∵ 点 M、N 分别是 AC、BC 的中点， ∴ MC＝ 1 AC，CN＝ 1 BC， 2 2 ∴ MN＝ 1 AC＋ 1 CB＝ 1 （AC＋CB）＝ 1 AB＝7 cm． 2 2 2 2 答：MN 的长为 7 cm． （2）若 C 为线段 AB 上任一点，满足 AC＋CB＝a cm，其它条件不变，则 MN＝ 1 a cm． 2 理由是：∵ 点 M、N 分别是 AC、BC 的中点，∴ MC＝ 1 AC，CN＝ 1 BC， 2 2 ∵ AC＋CB＝a cm， ∴ MN＝ 1 AC＋ 1 CB＝ 1 （AC＋CB）＝ 1 a cm． 2 2 2 2 （3）如图，∵ 点 M、N 分别是 AC、BC 的中点， ∴ MC＝ 1 AC，CN＝ 1 BC， 2 2 ∵ AC－CB＝b cm． MN＝MC－CN＝ 1 AC－ 1 CB＝ 1 （AC－CB）＝ 1 b cm．//% 2 2 2 2

动态数学 第一章 线和角 13 1.3 角平分线及和、差计算 一、本节概述 本节收录了若干“角的和、差、倍、分”的常见的应用模型和解题思路．着重讲解了“角平分线”的相 关知识，并提供了相关的动态图解．以期帮助同学更好地体会这些知识，熟练掌握并应用这些知识． 二、典例精析 知识点 1：角平分线及计算（1） 能力目标： 1.余角、补角定义； 2.角的代数计算； 3.余角的几何构造． 【例 1】如图 1.3-1 所示，点 A，O，B 在一条直线上，∠1 是锐角，则∠1 的余角是 ..................... （%//C//%） A．12∠2－∠1 B．12∠2－ 3 ∠1 C． 12(∠2－∠1) D．32 (∠2＋∠1) 2 C 12 B AO 图 1.3-1 题意理解 拖动点 C，想象∠AOC 的余角的变化及其与∠1 和∠2 的关系． 思维探究（扫描二维码进行动态探究） 方法一：代数法 （利用余角和平角的概念列出关系，然后代数推导．） 根据余角定义得等式（1） ∠1 的余角＝%//90°//% －∠1．（1） （题目是要求寻找∠1 的余角与∠1 及∠2 之间的关系．那如何将上面的 90°替代为∠2 和∠1？） 根据补角性质得等式（2） 因为∠1 和∠2 互为补角， 所以∠1＋∠2＝%//180°//% ．（2） （1）和（2）关联求解， 所以∠1 的余角＝12×180°－∠1＝12 (%//∠1＋∠2//%)－∠1 ＝12∠1＋12∠2－∠1＝21∠2－12∠1＝21 (∠2－∠1)， 故选答案 C．

14 1.3 角平分线及和、差计算 几何辅助线 方法二：几何法 题目求∠1 的余角，我们可以利用余角的定义，在图 1.3-2 中直观地作出∠1 的余角，并标注为∠3； 观察得到的图形容易知道∠1 的余角即∠3 是∠2 的一部分，这样∠3 和∠2 就有了直观的几何关系． 接下来你能通过几何变换，作图把∠1 也作为∠2 的一部分吗？ 观察新的图形，你能直观地得到结论吗？ C 试着写出你的推导过程． 12 B AO 图 1.3-2 如图 1.3-3，过点 O 作垂直于 AB 的垂线 OD，得到∠1 的余角∠COD 并标记为∠3． 以 OD 为对称轴作射线 OC 的对称图形 OC′，可得到∠1 的对称角∠BOC′， 显然∠BOC′＝∠1． CD C′ 因为∠3 是∠1 的余角，∠DOC′是∠BOC′的余角， B 根据等角的余角相等， 所以∠3＝∠DOC′（也可以利用图形的对称直观得出此结论）， 1 32 AO 所以∠COC′＝2∠3＝∠2－∠BOC′＝∠2－∠1． 所以∠3＝12 (∠2－∠1)． 图 1.3-3 方法总结 了解题意，建立关系，确立目标导向．补角和余角的性质虽然简单，但也容易被忽视．通过这道题，希 望同学们了解它们的妙用． 我们看到，同样的几何题，可以以代数为主推导；也可以用几何原理为主演绎其数量关系．因为我们是 在学习几何，后者应该是我们所追求的． 当几何关系太复杂时，代数是我们不可缺少的工具，即使这样，我们最好能根据代数的结果找到几何的 直观理解．

动态数学 第一章 线和角 15 知识点 2：角平分线及计算（2） 能力目标： 1.补角的定义； 2.角平分线的定义； 3.通过方程求角度． 【例 2】如图 1.3-4，已知∠AOB 与∠BOC 互为补角，OD 是∠AOB 的平分线，OE 在∠BOC 内部，∠BOE＝ 12∠EOC． BE （1）求∠DOB 和∠BOE 的数量关系； D （2）如果∠DOE＝72°，求∠EOC 的度数． A OC 图 1.3-4 题意理解（扫描二维码进行动态探究） （1）拖动动点 B，观察图形变化，理解题目的条件和目标． （2）多了∠DOE＝72°这一条件，B 点不再运动，所有的角都有确定的值了． 思路分析 结合第(1)问所得的关系，加上∠DOE＝72°，通过设未知数 x 和 y，列出关于 x 和 y 的方程组求解． 思维探究 （1）设∠DOB 为 x，则∠AOD＝%//x//%，设∠BOE 为 y，则∠EOC＝%//2y//%， 由图可知：∠AOD＋∠DOB＋∠BOE＋∠EOC＝180°， 所以%//x＋x＋y＋2y//%＝180°， 化简得：2x＋3y＝180°， 所以 2∠DOB＋3∠BOE＝180°； （2）因为∠DOE＝72°， 所以%//x＋y//%＝72°，即 x＝%//72－y//%， 代入 2x＋3y＝180°得：2(72°－y)＋3y＝180°， 解得：y＝%//36°//% ， 所以∠EOC＝%//72°//% ． 方法总结 取一个或两个最小的角，通过设未知数，利用角的和、差、倍、分、直角、平角等列出关系式，代数推 导求解．

16 1.3 角平分线及和、差计算 几何辅助线 三、成果检测 1. 如图 1.3-5，OB 是∠AOC 的角平分线，OD 是∠COE 的角平分线．如果∠AOB＝40°，∠COE＝60°，求∠BOD． %//解：∵ OB 是∠AOC 的角平分线，OD 是∠COE 的角平分线， DC E ∠AOB＝40°，∠COE＝60°， B O A ∴ ∠BOC＝∠AOB＝40°，∠COD＝ 1 ∠COE＝ 1 ×60°＝30°， 图 1.3-5 2 2 ∴ ∠BOD＝∠BOC＋∠COD＝40°＋30°＝70°．//% 2. 如图 1.3-6，已知直线 AB 和 CD 相交于点 O，OM 平分∠BOD，ON⊥OM，∠AOC＝50°． （1）写出∠DON 的余角； （2）求∠AON 的度数． N %//解：（1）图中与∠DON 互余的角是∠DOM 和∠MOB； A 50° O D （2）∠AON＝65°．//% M C 图 1.3-6 B

动态数学 第一章 线和角 17 1.4 两点之间线段最短 一、本节概述 “两点之间线段最短”是平面几何的基本定理，对于它的深入理解和熟练应用在平面几何的学习中至为 重要．我们通过下面一个例子加以说明，并提供了相关的动态图解． 二、典例精析 知识点 1：两点之间线段最短 能力目标 1.正方体展开图问题； 2.两点之间线段最短的应用； 3.分类讨论思想． 【例 1】如图 1.4-1，一只蚂蚁要从正方体的顶点 A 爬到顶点 C，探究：蚂蚁怎么爬路程最短． C A 图 1.4-1 思维探究（扫描二维码进行动态探究） 拖动点 M，观察 AM＋MC 的和的变化，当和最小时停止拖动． 将正方体的上底面展开，与前面在同一个平面上，观察 AM、MC′的位置． 通过观察，我们发现当 AM、MC′在同一条直线上时，蚂蚁从顶点 A 到顶点 C 的路程最短，可以反复拖 动点 M 来验证这个结论． 因此，当展开后，问题其实就已经转化为两点之间线段最短的问题． 展开后，连线即可． 将正方体如图展开，连接 AC′，交点 M 即为所求． 方法总结 立体图形中的最短路径问题，可以把立体图形展开，转化为平面图形，用两点之间线段最短解决． 拓展思考 C M 你还能找到其他的最短路径吗？ 一共 6 条最短路径，如图 1.4-2 所示，你答对了吗？ A 图 1.4-2

18 1.4 两点之间线段最短 几何辅助线 三、成果检测 1.如图 1.4-3 所示，一只蚂蚁在 A 处，想从圆柱外表面爬到 C 处，请画出最短路线简图，并说明理由． %//解：如图所示一只蚂蚁在 A 处，想到 C 处的最短路线如图所示，理由是：两点之间，线段最短．（C圆 柱的侧面展开图是长方形，是一个平面）//% A 图 1.4-3 2.如图 1.4-4①、②为同一长方体房间的示意图，蜘蛛在顶点 A′处． （1）苍蝇在顶点 B 处时，试在图①中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近路线； （2）苍蝇在顶点 C 处时，已在图②中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线：通过天花板 ABCD 爬行的最近路 线 A′GC 和通过墙面 BB′C′C 爬行的最近路线 A′HC，试通过计算判断哪条路线更近． D CD C A B A G B 30 30 H C′ 30 D′ C′ D′ 30 B′ %//（1）作图见试题解析； A′ 40 B′ A′ 40 ① ② （2）往天花板 ABCD 爬行的最近路线 A′GC 更近； 图 1.4-4 解：（1）根据“两点之间，线段最短”可知，线段 A′B 为最短路线，如图 1 所示． （2）I．将长方体展开，使得长方形 ABB′A′和长方形 ABCD 在同一平面内，如图 2①，在 Rt△A′B′C 中，∠B′＝90°，A′B′＝40，B′C＝60， ∴ A′C＝ 402＋602＝ 5200＝20 13； Ⅱ．将长方体展开，使得长方形 ABB′A′和长方形 BCC′B′在同一平面内，如图 2②． 在 Rt△A′C′C 中，∠C′＝90°，A′C′＝70，C′C＝30， ∴ A′C＝ 702＋302＝ 5800＝10 58． ∵ 5200＜ 5800， ∴ 往天花板 ABCD 爬行的最近路线 A′GC 更近．//%

动态数学 第二章 相交线与平行线 19 第二章 相交线与平行线 一、本章概述 本章重点讲解与平行线有关的辅助线的作法，由于初学几何，能够应用的几何知识很少，导致解答与平 行线相关的题目的方法相对单一，所以只要掌握了本章讲解的几种辅助线作法，就可以解决绝大多数平行线 的题目． 二、知识回顾 1.相交线 (1)邻补角：有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角互为邻补角，邻补角必须成对出现，相互依存． (2)对顶角：有一个公共顶点，两边互为反向延长线的两个角互为对顶角．对顶角也是成对出现、相互依 存的．对顶角相等． (3)垂线：两条直线互相垂直，其中一条直线就叫做另一条直线的垂线．它们的交点叫做垂足．过一点有 且只有一条直线与已知直线垂直． (4)三线八角：两条直线被第三条直线所截，形成八个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角． 如图 1，直线 l 被直线 a，b 所截． l a ①∠1 与∠5 在截线 l 的同侧，且在被截直线 a，b 的同一方，叫做同位角(位 21 b 置相同)，同样∠2 与∠6，∠3 与∠7，∠4 与∠8 也是同位角． 34 ②∠5 与∠3 在截线 l 的两旁(交错)，在被截直线 a，b 之间(内)，叫做内错 角(位置在内且交错)，同样∠4 与∠6 也是内错角． 65 ③∠5 与∠4 在截线 l 的同侧，在被截直线 a，b 之间(内)，叫做同旁内角， 78 同样∠3 与∠6 也是同旁内角． 图1 2.平行线及其判定与性质 (5)平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． (6)平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． (7)平行线的判定： ①两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．即同位角相等，两直线平行． ②两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．即内错角相等，两直线平行． ③两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．即同旁内角互补，两直线平行． (8)平行线的性质： ①两直线平行，同位角相等． ②两直线平行，内错角相等． ③两直线平行，同旁内角互补．

20 2.1 三线八角拓展 几何辅助线 2.1 三线八角拓展 一、本节概述 本节针对数同位角、内错角和同旁内角的方法进行总结和深入分析，遇到类似问题都可以套用这个方法 解决． 二、典例精析 知识点：三线八角拓展 能力目标： 1.几何计数； 2.规律总结． 【例 1】如图 2.1-1，平行直线 AB，CD 与相交直线 EF，GH 相交，图中的同旁内角共有.................. (%//D//%) A．4 对 B．8 对 C．12 对 D．16 对 G E E A B AB cb D a C F CD H 图 2.1-3 F 图 2.1-1 图 2.1-2 思路分析 根据同旁内角的定义可知，若产生同旁内角，必须是两条直线被第三条直线所截，才能产生，同位 角和内错角也是一样． 原图可被拆成两种基本图形，一种是如图 2.1-2 所示，两条平形线被第三条直线所截，这时同位角 为 4 对，内错角为 2 对，同旁内角为 2 对，只要出现这个图形，就产生相应的角． 第二种图形是如图 2.1-3 所示，a，b，c 三条直线两两相交，请问：图中有同位角、内错角和同旁 内角各多少对？ 当以直线 c 为截线时，产生 4 对同位角，2 对内错角和 2 对同旁内角，(前面结论) 同理：分别以 a，b 为截线时，情况与 c 为截线相同，且它们没有重复． 所以图中：同位角为 4×3＝12 对；内错角为 2×3＝6 对；同旁内角为 2×3＝6 对． 思维探究(扫描二维码进行动态探究) 图中有一组平行线，被截了 2 次，所以产生了%//2×2＝4//%对同旁内角． 图中有 2 个三角形，所以产生了%//6×2＝12//%对同旁内角． 所以同旁内角为%//4＋12＝16//%对． 所以共%//16//%对同旁内角，故答案为%//D//%． 方法总结 当相交线出现三角形时，产生的同位角为 12 对，内错角和同旁内角都为 6 对； 出现平行线被截时，产生的同位角为 4 对，内错角和同旁内角都为 2 对．

动态数学 第二章 相交线与平行线 21 三、成果检测 1. 如图 2.1-4 所示，图中用数字标出的角中，同位角有%//∠3 与∠7、∠4 与∠6、∠2 与∠8//% ； 内错角有%//∠1 与∠4、∠3 与∠5、∠2 与∠6、∠4 与∠8//% ； 同旁内角有%//∠2 与∠4、∠2 与∠5、∠4 与∠5、∠3 与∠6//% ． 13 2 45 6 7 8 2. 如图 2.1-5 所示： 图 2.1-4 (1)∠B 和∠ECD 可看成是直线 AB，CE 被直线%//BD//%所截得的%//同位//%角； (2)∠A 和∠ACE 可看成是直线%//AB//%、%//CE//%被直线%//AC//%所截得的%//内错//%角． A 5 43 E 2 BC D 1 图 2.1-5 图 2.1-7 3. 如图 2.1-6①～④中，∠1 与∠2 是同位角的有 .................................................................................................. (%//C//%) 1 12 1 2 21 2 ①② ③④ 图 2.1-6 A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．① 4. 如图 2.1-7，下列结论正确的是 ................................................................................................................................ (%//D//%) A．∠5 与∠2 是对顶角 B．∠1 与∠3 是同位角 C．∠2 与∠3 是同旁内角 D．∠1 与∠2 是同旁内角 5. 如图 2.1-8，三条直线两两相交，共有几对对顶角？几对邻补角？几对同位角？几对内错角？几对同旁内角？ %//答：6 对对顶角，12 对邻补角，12 对同位角，6 对内错角，6 对同旁内角．//% A BC 图 2.1-8

22 2.2 与平行线相关的辅助线 几何辅助线 2.2 与平行线相关的辅助线 一、本节概述 本节重点讲解与平行线相关的辅助线的作法，它的核心思想就是构造平行线，之后利用平行线的性质或 判定解决问题． 二、典例精析 知识点 1：与平行线相关的辅助线(1) 能力目标： 1.分类讨论思想； 2.熟练掌握平行线相关辅助线模型． 【例 1】如图 2.2-1：AB∥CD． (1)如图①，探究：∠B，∠D 和∠E 的数量关系； (2)如图②，探究：∠E＋∠G 与∠B＋∠F＋∠D 有何关系； (3)如图③，探究：∠E1＋∠E2＋…＋∠En 与∠B＋∠F1＋∠F2＋…＋∠Fn−1＋∠D 的大小关系． A BA BA B E1 F1 E E2 F2 E F Fn-1 CD G D ① C DC En ② ③ 图 2.2-1 思维探究(扫描二维码进行动态探究) (1)拖动点 E，你发现∠B，∠D 和∠E 有何数量关系？ 它们的关系是：%//∠E＝∠B＋∠D//%． 过点 E 作 EP//AB．(常见辅助线是作平行线) ∵ AB//CD，∴ AB//CD// %//EP//%．(平行线的传递性) ∴ ∠B＝∠%//BEP//%，∠D＝∠%//DEP//%．(两直线平行，内错角相等) ∴ ∠B＋∠D＝%//∠BEP＋∠DEP//%＝∠BED， ∴ ∠E＝∠B＋∠D． (2)通过观察，直观感觉图①是图②的一部分，这提示我们可以通过作辅助线将问题转化成与第(1)问有关 的问题．请先独立思考，看如何添加辅助线．

动态数学 第二章 相交线与平行线 23 作 PF//AB．利用第(1)问结论． 则∠E＝%//∠B＋∠EFP//% ．(由前一问结论得) 同理：∠G＝%//∠PFG＋∠D//% ． 利用等式的基本性质，两式相加， ∴ ∠E＋∠G＝∠B＋∠D＋%//∠EFP＋∠PFG//%＝∠B＋∠D＋∠F． (3)结合图形特征及前两问结论猜测：∠E1＋∠E2＋…＋∠En＝%//∠B＋∠ 1＋∠ 2＋…＋∠ －1＋∠D//%． 结合前两问的方法和平行线辅助线规律，作 P1F1//AB，P2F2//AB，…，Pn−1Fn−1//AB， 由平行线的传递性可知：P1F1//P2F2//P3F3…//Pn−1Fn−1//AB． 图中共有%//n//%个(1)中的模型， 则有：∠E1＝∠B＋∠%// 1 1 1//% ， ∠E2＝∠%// 1 1 2//%＋∠%// 2 2 2//%， …， ∠En＝∠Pn−1Fn−1En＋∠%//D//%． 根据等式的基本性质：∠E1＋∠E2＋…＋∠En＝∠B＋∠F1＋∠F2＋…＋∠Fn−1＋∠D． 方法总结 过不在平行线上的点（如点 E）)，作已知平行线的平行线是解题的关键．简而言之，平行线部分的作辅 助线的方法就是作平行线． 知识点 2：平行线相关辅助线(2) 能力目标： 1．分类讨论思想； 2．熟练掌握平行线相关的辅助线模型． 【例 2】已知，如图 2.2-2，AD∥BC，E 是平面内一动点，探究：∠A，∠B，∠E 的数量关系，其中每个角 都大于 0°小于 180°． AD E BC 图 2.2-2

24 2.2 与平行线相关的辅助线 几何辅助线 思路分析(扫描二维码进行动态探究) 拖动点 E 到不同区域，观察∠A，∠B 和∠E 的度数有什么关系． ① A② D 观察发现，点 E 在不同区域时，它们的关系会发生变化． ③ 点 E 在图 2.2-3 中标记的 6 个区域内进行分类讨论． ⑤ E④ 经观察度量值发现，它们的关系是： B⑥ C 在区域①时：∠A＝∠B＋∠E； 图 2.2-3 在区域②时：∠A＝∠B－∠E； 在区域③时：∠A＋∠B＋∠E＝360°； 在区域④时：∠A＝∠E－∠B； 在区域⑤时：∠A＝∠B－∠E； 在区域⑥时：∠A＝∠B＋∠E． 思维探究 E P A D 仅以区域①为例证明． 如图 2.2-4，作 EP//AD，则 EP//BC， ∴ ∠A＋∠%//AEP//%＝180°． 同理：∠B＋∠%//BEP//%＝180°． ∴ ∠A＋∠AEP＝∠B＋∠BEP， ∴ ∠A－∠B＝∠BEP－∠AEP＝∠%//AEB//%， ∴ ∠A＝∠AEB＋∠B． 其他情况仿照此法求解即可． BC 图 2.2-4 方法总结 与平行线有关的作辅助线的方法就是作平行线，然后反复利用平行线的性质和判定进行证明或解答即可．

动态数学 第二章 相交线与平行线 25 三、成果检测 1. 如图 2.2-5，AB∥EF，CD⊥EF 于点 D，若∠ABC＝40°，则∠BCD＝.....................................................(%//B//%) A．140° B．130° C．120° D．110° B 40° %//解析：过点 C 作 GC∥AB， A 由题意可得：AB∥EF∥GC， C 故∠B＝∠BCG，∠GCD＝90°， 则∠BCD＝40°＋90°＝130°．故选 E DF B．//% 图 2.2-5 2. 如图 2.2-6，∠BCD＝90°，AB//DE，则∠α 与∠β 满足...................................................................................(%//B//%) A．∠α＋∠β＝180° B．∠β－∠α＝90° C．∠β＝3∠α D．∠α＋∠β＝90° %//解析：过 C 作 CF∥AB，根据平 AB 行线的性质得到∠1＝∠α，∠2＝1 α 80°－∠β，于是得到∠1＋∠2＝∠ α＋180°－∠β＝90°，即∠β－∠α C β DE 图 2.2-6 ＝90°，故选：B．//% 3. 如图 2.2-7，直线 m∥n，直角三角板 ABC 的顶点 A 在直线 m 上，则∠α 的余角等于 ...................... (%//D//%) A．19° B．38° C．42° D．52° %//解析：过 C 作 CD//m， m A ∵ m//n，∴ CD//m//n， 52° ∴ ∠DCA＝∠FAC＝52°， ∠α＝∠DCB． C ∵ ∠ACB＝90°， ∴ ∠α＝90°－52°＝38°， nα 则∠α 的余角是 52°．故选 D．//% 4. 如图 2.2-8，直线 l1∥l2，∠1＝20°，则∠2＋∠3＝%//200°//%． B 图 2.2-7 %//解析：过∠2 的顶点作 l2 的平 行线 l，则 l∥l1∥l2， l1 1 由平行线的性质得出∠4＝∠1 2 ＝20°，∠BAC＋∠3＝180°，即可 3 得出∠2＋∠3＝200°． l2 故答案为：200°．//% 图 2.2-8

26 第三章 三角形 几何辅助线 第三章 三角形 一、本章概述 三角形是最简单的多边形，是几何学习的基本章节，也是学习全等三角形、相似三角形等知识的基础， 因此本章将重点讲解三角形部分的两个模型，“8 字”和“A 字”，为以后学习几何知识做好准备． 二、知识回顾 1.与三角形有关的线段 (1)三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形． (2)三角形三边关系：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边． 2.与三角形有关的角 (3)三角形内角和定理：三角形的内角和等于 180°． (4)三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角； 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．

动态数学 3.1 三角形的三边关系 27 3.1 三角形的三边关系 一、本节概述 本节利用“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”这个基本原理，讲解几道几何题，其中 利用“8 字”和“A 字”证明线段的不等关系的结论需要记住，方便以后应用． 二、典例精析 C 知识点 1：三角形的三边关系 能力目标： 1.三角形的三边关系； 2.同向不等式相加，不等号方向不变； 3.几何不等式的证明． 【例 1】如图 3.1-1，△ABC 中，D 是 AB 上一点． 探究：(1)AB＋BC＋CA 与 2CD 的大小关系； (2)证明：AB＋2CD＞AC＋BC． AD B 图 3.1-1 题意理解(扫描二维码进行动态探究) 量出线段 AB，BC，CA 和 CD 的长，然后计算比较．会得到结论：AB＋BC＋CA＞2CD，拖动任意一点， 再比较验证结论是否正确． 思路分析 在处理线段的不等关系时，通常要把线段放在同一个三角形中，利用三角形两边之和大于第三边解 决．为此，我们要找到相关的三角形，观察图形知 CD 在△ACD 中，且在△BCD 中． 思维探究 C (1)在△ACD 中利用三角形两边之和大于第三边可知： AC＋%//AD//%＞CD． 同理在△BCD 中有：%//BC＋BD//%＞CD． ∴ AC＋AD＋BC＋BD＞CD＋%//CD//%．(同向不等式相加) 又∵ AD＋BD＝%//AB//%， ∴ AB＋BC＋CA＞2CD．(等量代换) (2)∵ %//AD//%＋CD＞AC，%//BD//%＋CD＞BC， AD B ∴ AD＋CD＋BD＋CD＞AC＋BC． 又∵ %//AD＋BD//%＝AB， ∴ AB＋2CD＞AC＋BC． 方法总结 证明线段的不等关系，可找到其所在的三角形，结合三角形的三边关系列出不等式．

28 3.1 三角形的三边关系 几何辅助线 知识点 2：“8 字”边模型的证明 能力目标： 证明“8 字”边模型中边的关系． 【例 2】已知：如图 3.1-2，线段 AD，BC 交于点 E，连接 AB，CD，求证：AD＋BC＞AB＋CD． B AE D C 图 3.1-2 思路分析 线段 AB 在△ABE 中，线段 CD 在△CDE 中，线段 AD，BC 不在同一个三角形中，但是我们可以发 现，其实△ABE 和△CDE 的另外两条边可以组成 AD，BC． 思维探究(扫描二维码进行动态探究) B 在△ABE 中，%//AE//%＋%//BE//%＞AB． AE D 在△CDE 中，%//CE//%＋%//DE//%＞CD． C ∴ %//AE＋BE＋CE＋DE //%＞AB＋CD． 又∵ %//AE＋DE//%＝AD，%//BE＋CE//%＝BC， ∴ AD＋BC＞AB＋CD． 方法总结 本题是证明线段的不等关系的一个重要模型，通常称之为“8 字”边模型，需要记住，以后会用到． 知识点 3：“A 字”边模型的证明与应用 A 能力目标： 1.证明“A 字”边模型中的边的关系； 2.能掌握并应用“A 字”边模型． 【例 3】已知：如图 3.1-3，P 是△ABC 内一点，探究：AB＋AC 与 PB＋PC 的大小关系． 思路分析(扫描二维码进行动态探究) P 在△ABC 内部，拖动点 P，观察 AB＋AC 与 PB＋PC 的长度． BC 图 3.1-3

动态数学 3.1 三角形的三边关系 29 思维探究 在处理线段的不等关系时，通常要转化为求三角形的三边关系，即把线段放到适合的三角形中． 过点 P 作直线 MN 分别与 AB，AC 交于点 M，N． 在△BMP 中，%//BM＋PM//%＞PB． 同理，在△PCN 中，%//PN＋CN//%＞%//PC//%， 在△AMN 中，%//AM＋AN＞MN//%． 三个同向不等式相加． A ∴ BM＋PM＋PN＋CN＋AM＋AN＞PB＋PC＋MN， P C 整理不等式，重新组合． B ∴ (%//AM＋BM//%)＋(%//AN＋CN//%)＋(%//PM＋PN//%)＞PB＋PC＋MN， AB＋AC＋MN＞PB＋PC＋MN， ∴ AB＋AC＞PB＋PC． 方法总结 本题为证明线段的不等关系的一个重要模型“A 字”边模型，以后也会经常用到． 【例 4】已知：如图 3.1-4，D，E 是△ABC 内两点，求证：AB＋AC＞BD＋DE＋CE． A DE B 图 3.1-4 C 思路分析 经观察发现，此图与“A 字模型”非常接近，是否可以转化为“A 字模型”呢？ 思维探究(扫描二维码进行动态探究) 构造“A 字”模型，延长 BD，CE 交于点 F， 利用“A 字”模型结论有：AB＋AC＞%//BF//%＋%//CF//%． 在△DEF 中，%//DF//%＋%//EF//%＞%//DE//%．(三角形两边之和大于第三边) 结合图形，线段代换． ∴ BF＋CF＝(BD＋DF)＋(CE＋EF)＝(BD＋CE)＋(%//DF＋EF//%)＞BD＋CE＋%//DE//%， ∴ AB＋AC＞BF＋CF＞BD＋CE＋DE．(利用不等式的传递性) 方法总结 “A 字”模型在证明线段的不等关系时，是个非常有用的模型，但用的时候要给以证明，本题省略了证 明过程．

30 3.1 三角形的三边关系 几何辅助线 【例 5】已知，如图 3.1-5，P 是△ABC 内一点，探究：PA＋PB＋PC 与 AB＋BC＋AC 的大小关系． A P BC 图 3.1-5 思路分析(扫描二维码进行动态探究) 拖动点 P，观察左侧数值．观察发现：PA＋PB＋PC＜AB＋BC＋AC． 去掉 AP 后观察图形，恰好是“A 字”模型，提示我们可以将此题转化成“A 字”边模型． 思维探究 去掉 AP，由“A 字”模型得到结论：PB＋PC＜%//AB//%＋%//AC//%． 同理可得：PC＋PA＜%//BC＋AB//%，PA＋PB＜%//AC＋BC//% ， 三个同向不等式相加得． //%， ∴ PB＋PC＋PC＋PA＋PA＋PB＜%//AB＋AC＋BC＋AB＋AC＋BC 化简得到 ∴ PA＋PB＋PC＜AB＋BC＋AC． 方法总结 本题提炼出“A 字”边模型后极大地降低了思考的难度，但“A 字”边模型需要进行证明． 三、成果检测 1. 已知：如图 3.1-6，在△ABC 中，AB＞AC，AM 是 BC 边的中线．求证：AM＞ 1 (AB－AC)． 2 A %//证明：延长 AM 到 D，使 MD＝AM，连接 BD，在△CMA 和△BMD 中， AM＝DM， BM C ∠AMC＝∠DMB， 图 3.1-6 CM＝BM， ∴ △CMA≌△BMD， ∴ BD＝AC．

动态数学 3.2 三角形的内角和外角 31 3.2 三角形的内角和外角 一、本节概述 本节重点讲解三角形的内角和与三角形的外角在几何题中的应用，以及“8 字”角模型和“A 字”角模 型在角度计算中的应用． 二、典例精析 知识点 1：“8 字”角模型中角的关系的证明及应用 能力目标： 1.了解“8 字”角模型； 2.证明“8 字”模型中角的关系； 3.能运用“8 字”模型中角的关系解决问题． 【例 1】已知：如图 3.2-1，AD，BC 交于点 E，连接 AB，CD，求证：∠A＋∠B＝∠C＋∠D． B A E C 图 3.2-1 D 思路分析 求角的关系，可以用三角形的内角和或外角． 思维探究(扫描二维码进行动态探究) 利用三角形内角和定理的推论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 证明：在△ABE 中，∠BED＝∠A＋∠%//B//%． 利用另一个三角形可得到类似的结论． A B 同理：∠BED＝∠C＋∠%//D//%． D 结合两个式子，利用等量代换可得到． E ∴ ∠A＋∠B＝∠C＋∠D． C 方法总结 “8 字”角模型可以用来证明角的数量关系，在使用这个模型时，需要给出证明，这个模型也可用来证 线段的不等关系．

32 3.2 三角形的内角和外角 几何辅助线 【例 2】如图 3.2-2，∠ABC 的角平分线与∠ADC 的角平分线交于点 F，探究：∠A，∠C，∠F 的数量关系． F A B C E D 图 3.2-2 思路分析 求角的数量关系时，只要把它们放到一个或多个等式里，然后用消元法消去无关的量即可．我们能 否借助题中的条件列出等式，进而求出它们的数量关系呢？ 注意观察图形，会发现线段交叉后产生“8 字”角模型，你能看出有几个“8 字”角模型吗？ 思维探究(扫描二维码进行动态探究) 在“8 字”角模型 ABCD 中，由角的关系可以得到， ∠A＋∠ABC＝∠C＋∠%//ADC//% …① 在“8 字”角模型 ABFD 中，结合角平分线定义可得到， F A B ∠A＋12∠ABC＝∠F＋%//12∠ADC//%…② C E D 由等式的基本性质对方程整理后得到， ②×2－①得：∠A＋∠C＝2∠F． 方法总结 巧妙利用“8 字”角模型会起到事半功倍的效果，有兴趣的同学可以思考其他解决方法．

动态数学 3.2 三角形的内角和外角 33 知识点 2：“A 字”角模型中角的关系的证明及应用 能力目标： 证明“A 字”模型中的角的关系． 【例 3】如图 3.2-3，D 是 A，B，C 三点构成的三角形内一点，求证：∠D＝∠A＋∠B＋∠C． A D C B 图 3.2-3 思维探究(扫描二维码进行动态探究) 延长 BD 交 AC 于点 E． 结合三角形内角和定理的推论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 在△ABE 中，∠BEC＝∠A＋∠%//B//%， 同理， 在△CDE 中，∠BDC＝∠%//BEC//%＋∠%//C//%， 等式代换得：∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C． 本题还有其他思路，比如延长 CD、连接 AD 并延长、连接 BC 或直接用四边形内角和等．同学们不妨尝 试不同的证明方法． 方法总结 此题模型就是角度计算的另一个模型：“A 字”模型，请大家记住该模型，方便应用，用前需证明． 【例 4】如图 3.2-4，求证：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°． A BE F C 图 3.2-4 D 思路分析 这个图形其实是个五角星，其中包含五个“A 字模型”，可借助模型构造角的度数关系． 思维探究(扫描二维码进行动态探究) 仅以“A 字”模型 ACFD 为例，利用“A 字”模型与角相关的结论可得： ∠CFD＝∠A＋∠%//C //%＋∠D． 利用对顶角转化到一个三角形中，∠CFD＝∠%//BFE//%． 在△BFE 中，利用三角形内角和定理可得： ∠B＋∠E＋∠BFE＝%//180°//%． 把上面的等式代入，变形可得： ∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°．

34 3.2 三角形的内角和外角 几何辅助线 三、成果检测 1. 如图 3.2-5，已知 AB⊥BD，AC⊥CD，∠A＝40°，则∠D＝%//40°//%． B C E A D 图 3.2-5 2. 如图 3.2-6，O 是△ABC 外一点，OB，OC 分别平分△ABC 的外角∠CBE，∠BCF．若∠A＝n°，试用含 n 的代数式表示∠BOC． A %//答案：90°－ 1 n°．//% B 2 C E F O 图 3.2-6 3. 如图 3.2-7，∠ACE 的平分线 CD 与 BA 的延长线交于点 D．试比较∠BAC 与∠B 的大小关系． %//答：∠BAC＞∠B． D 证明∵ ∠CD 平分∠ACE， ∴ ∠1＝∠2． A E ∵ ∠BAC＞∠1， ∴ ∠BAC＞∠2． 12 ∵ ∠2＞∠B， BC ∴ ∠BAC＞∠B．//% 图 3.2-7

动态数学 3.3 三角形面积 35 3.3 三角形面积 一、本节概述 本节重点讲解了如何利用三角形面积关系求不规则图形的面积，这类题目通常是在竞赛题目或信息题中 出现． 二、典例精析 知识点：三角形面积 能力目标： A 1.证明边比定理(引理为边比定理的证明)； BD E C 2.能利用边比定理求不规则图形的面积． 图 3.3-1 【引理】如图 3.3-1，D 是△ABC 边 BC 上一点，求证：SS△△AACBDD＝CBDD． 证明：作 AE⊥BC 交 BC 于点 E． 则 S△ABD＝12BD·AE，且 S△ACD＝21CD·AE， 两式相除得：SS△△AACBDD＝CBDD． 【例 1】如图 3.3-2，在△ABC 中，AE＝CE，CD＝21BD，S△ABC＝6，求四边形 CDKE 的面积． A E K BD C 图 3.3-2 思路分析 四边形 CDKE 为不规则图形，需转化为规则图形求解，连接 CK，将问题转化为三角形的问题． 思维探究(扫描二维码进行动态探究) 连接 CK． 设 S△CEK＝x，S△CDK＝y．(设出未知数，方便表示相关量) ∵ AE＝CE，CD＝12BD， ∴ S△AEK＝x，S△BDK＝%//2y//%，(结合引理，在图中标记相关量) 则 S△ACD＝x＋x＋y＝31S△ABC＝2． 同理：S△BEC＝x＋y＋2y＝ (%//1//%) S△ABC＝ %//3//%， (%//2//%) 解得：x＝%//0.6//%，y＝%//0.8//%，∴ x＋y＝1.4． ∴ 四边形 CDKE 的面积是 1.4．

36 3.3 三角形面积 几何辅助线 方法总结 这类求不规则图形面积的方法，在竞赛中或重点校附加题中经常出现，处理方法比较固定，就是将多边 形转化为三角形，之后利用引理列方程． 【举一反三】如图 3.3-3，在△ABC 中，AB＝4AD，BE＝CE，AF＝CF，求：S△RST 与 S△ABC 的比值． A D R F T S BE C 图 3.3-3 思路分析 思维探能究否转化成上一个问题？能，分别求出四边形 CESF、ADTF、BDRE 的面积即可． 第一步：删去线段 CD，如图 3.3-4，利用例题思路求出 S 四边形 CESF＝ (%//1//%) S△ABC； (%//3//%) A AA F D D S R TF BE CB E CB C 图 3.3-4 图 3.3-5 图 3.3-6 第二步：删去线段 BF，如图 3.3-5，利用例题思路求出 S 四边形 BDRE＝ (%// 9 //%) S△ABC； (%//20//% ) 第三步：删去线段 AE，如图 3.3-6，利用例题思路求出 S 四边形 ADTF＝ (%// 5 //%) S△ABC； ( %//28//%) 第四步：S△RST＝S△ABC－S 四边形 CESF－S 四边形 BDRE－S ＝四边形 ADTF (%// 4 //%) S△ABC． ( %//105//% ) 三、成果检测 1. 如图 3.3-7，△ABC 三边的中线 AD，BE，CF 的公共点为 G，若 S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是%//4//%． A FG E BD C 图 3.3-7

动态数学 第四章 全等三角形 37 第四章 全等三角形 一、本章概述 从全等三角形开始，同学们将会感觉到几何的丰富多彩．本章从常见的几何辅助线模型入手，重点讲解 与角平分线有关的辅助线和倍长中线法．这样同学们做题时就会有些基本思路，不至于无从下手． 二、知识回顾 1.全等三角形 (1)全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．把两个全等的三角形重合到一起，重合的 顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角． (2)全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 2.三角形全等的判定 (3)三条边对应相等的两个三角形全等．(SSS) (4)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(SAS) (5)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．(ASA) (6)两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．(AAS) (7)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．(HL) 3.角平分线 (8)性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等． (9)判定：角的内部，到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．

38 4.1 角平分线垂直辅助线模型 几何辅助线 4.1 角平分线垂直辅助线模型 一、本节概述 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等． 角平分线的性质定理的逆定理：在角的内部，到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 角平分线垂直辅助线模型：如图所示，已知 OA 是角平分线，当给定条件 PW⊥OM 时，可作 PK⊥ON， 则 PK＝PW(角平分线上的点到角两边的距离相等)．简记为：有角平分线，向两边作垂线． 欲证 OA 是角平分线，可向两边作垂线，只要证明两条垂线段相等即可，简记为：证角平分线，向两边 作垂线． M W A P 二、典例精析 O KN 知识点：角平分线的性质定理及其逆定理 能力目标： 1.了解角平分线辅助线模型； 2.熟练掌握角平分线的性质定理及其逆定理的应用． 【例 1】如图 4.1-1，AD 平分∠BAC，AC＞AB，DC＝DB，求证：∠ABD＋∠ACD＝180°． B D AC 图 4.1-1 题意理解(扫描二维码进行动态探究) 拖动点 D，注意角平分线与线段相等的条件． 思路分析 此题无法直接证明，需要作辅助线，而题中出现了角平分线，可以考虑向角的两边作垂线，然后利 用角平分线的性质定理． 思维探究 B D 作 DE⊥AB 于点 E，作 DF⊥AC 于点 F， ∴ DE＝%//DF//%， AC ∵ BD＝CD， ∴ Rt△DBE≌Rt△%//DCF//%， ∴ ∠DBE＝∠%//DCF//%， ∴ ∠ABD＋∠ACD＝∠ABD＋∠%//DBE//%＝180°．

动态数学 第四章 全等三角形 39 方法总结 题目中出现角平分线的时候，可尝试向角的两边作垂线，看能否解决问题，简记为：角分线，作垂线． 思维拓展 如果题目中没有 AC＞AB 这个条件，那在直线 AB 上有两个点满足和 DC 相等的条件，其中一点是 B，我 们标记另外一点为 B′． 同时在 AC 也另有一点 C′满足和 DC 相等的条件，我们作出这些点，拖动 D 点观察它们的关系． 【例 2】如图 4.1-2，AD，CD 是△ABC 的两条外角平分线，连接 BD，求证：BD 平分∠ABC． AD BC 图 4.1-2 题意理解(扫描二维码进行动态探究) 拖动三角形的顶点，观察两个外角平分线和其交点的变化，理解题意． 思路分析 此题无法直接求解，需要作辅助线，而题中出现了角平分线，可以考虑向角的两边作垂线，然后利 用角平分线的性质定理和判定定理来证明． 思维探究 AD BC 证明：作 DE⊥AB，DF⊥AC，DG⊥BC，垂足分别为点 E，F，G． ∵ AD 平分∠EAF，∴ DE＝%//DF//%． 同理可证 DF＝%//DG//%， ∴ DE＝DF＝DG． ∵ DE＝DG， ∴ BD 平分∠ABC． 方法总结 看到角平分线，作垂线．反过来，要证明角平分线，则找到角平分线上一点，证它到两边的垂线段相等． 思维拓展 三角形的两条外角平分线和一条内角平分线交于一点，这个点到三角形三边的距离相等，这个点叫做三 角形“旁切圆”的圆心，简称三角形的“旁心”，一个三角形一共有 3 个“旁心”．

40 4.1 角平分线垂直辅助线模型 几何辅助线 三、成果检测 1. 如图 4.1-3，Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，P 为 AC 边上一点，PC＝2，∠PBC＝30°．则点 P 到斜 边 AB 的距离等于%//2//%． B CP A 图 4.1-3 2. 已知，如图 4.1-4，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F，求证：DE＝DF． %//证明：连接 AD，在△ACD 和△ABD 中， F AC＝AB， C CD＝BD， D AD＝AD ∴ △ACD≌△ABD(SSS)， EB A ∴ ∠EAD＝∠FAD，即 AD 平分∠EAF， 图 4.1-4 ∵ DE⊥AE，DF⊥AF， ∴ DE＝DF．//% 3. 八(1)班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角(如图 4.1-5)．设计了如下方案： (Ⅰ)∠AOB 是一个任意角，将角尺的直角顶点 P 放于射线 OA，OB 之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度 与 M，N 重合，即 PM＝PN，过角尺顶点 P 的射线 OP 就是∠AOB 的平分线． (Ⅱ)∠AOB 是一个任意角，在边 OA，OB 上分别取 OM＝ON，将角尺的直角顶点 P 放于射线 OA，OB 之间，移 动角尺使角尺两边相同的刻度与 M，N 重合，即 PM＝PN，过角尺顶点 P 的射线 OP 就是∠AOB 的平分线． (1)方案(Ⅰ)、方案(Ⅱ)是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由； (2)在方案(Ⅰ)PM＝PN 的情况下，继续移动角尺，同时使 PM⊥OA，PN⊥OB．此方案是否可行？请说明理由． %//解：(1)方案(Ⅰ)不可行．缺少证明三角形全等的条件，方案(Ⅱ)可行． A 证明：在△OPM 和△OPN 中， M OM＝OP， OP PM＝PN， OP＝OP， N ∴ △OPM≌△OPN，(SSS) B ∴ ∠AOP＝∠BOP．(全等三角形对应角相等) (2)当∠AOB 是直角时，此方案可行． 图 4.1-5 ∵ 四边形内角和为 360°， 又若 PM⊥OA，PN⊥OB，∠OMP＝∠ONP＝90°，∠MPN＝90°，∴ ∠AOB＝90°． ∵ 若 PM⊥OA，PN⊥OB，且 PM＝PN， ∴ OP 为∠AOB 的平分线．(到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上) 当∠AOB 不为直角时，此方案不可行．//%

动态数学 第四章 全等三角形 41 4.2 角平分线全等辅助线模型 一、本节概述 另一种利用角平分线条件的典型方法是借助角平分线构造如图的全等三角形． 具体作法如图：已知 OA 是角平分线，W 在 OM 上，可在 ON 上截取 OK＝OW，连接 PK，则根据 SAS 定理有△POK≌△POW． M 这个方法可以简记为：图中有角平分线，可将图对折看，对称以后关系现． 二、典例精析 WA P 知识点 1：角平分线全等辅助线模型(一) O KN 能力目标： 1.熟练掌握角平分线全等辅助线模型； 2.进一步应用“8 字”边模型解决问题； 3.掌握角平分线辅助线模型应用． 【例 1】如图 4.2-1，在△ABC 中，AB＞AC，P 是角平分线 AD 上异于端点的一动点， 求证：(1)PB－PC＜AB－AC；(2)PB－PC＞BD－CD． A P B DC 图 4.2-1 题意理解(扫描二维码进行动态探究) 在角平分线上拖动 P 点，理解条件和目标． 思路分析 题目是求线段的不等关系，而它们现在的位置无法直接得到答案，需改变它们的空间位置，而题目 条件只有一个，AD 是角平分线，因此可以借助角平分线构造全等三角形，改变这些线段的空间位置． 思维探究 A P (1)证明：在 AB 上取一点 E，使 AE＝AC，连接 EP． B DC ∵ AP＝AP，∠EAP＝∠CAP，AE＝AC， ∴ △APE≌△%//APC//%，∴ PE＝%//PC//%． 在△BPE 中，BP－PE＜%//BE//%＝AB－%//AE//%． ∵ PE＝PC，AE＝AC， ∴ BP－PC＜AB－AC．

42 4.2 角平分线全等辅助线模型 几何辅助线 (2)上图中线段的位置无法证明第(2)问．仍然借助角平分线，取同样的点 E，连接 DE，以便和要证明的 边产生关系．连接 ED，易证△ADE≌△ADC．问题转化为求 PE，PB，DE，BD 的不等关系．这个方法是将 所有分散的目标几何对象等量转移到一个紧凑的结构里，以便推导其间的关系．而这四条线段恰好构成一个 “8 字”边模型．关于“8 字”边模型，参见本书第三章第 1 节． A 证明：连接 ED， 根据“8 字”边模型，有 PB＋%//DE//%＞PE＋%//DB//%． P ∵ △APE≌△APC，∴ PE＝PC． ∵ △ADE≌△ADC，∴ DE＝%//DC//%． ∴ PB＋CD＞PC＋BD(等量替代)， B DC ∴ PB－PC＞BD－CD． 方法总结 本题用了角平分线辅助线模型和“8 字”模型，掌握关键模型，结合逻辑推理，解题效果会事半功倍． 知识点 2：角平分线相关辅助线(二) 能力目标： 1.熟练掌握角平分线辅助线模型； 2.熟练掌握“A 字”模型——角； 3.掌握角平分线辅助线模型应用． 【例 2】如图 4.2-2，在△ABC 中，∠ABC＝60°，AD，CE 分别平分∠BAC，∠ACB，求证：AC＝AE＋CD． B E D O A C 图 4.2-2 题意理解(扫描二维码进行动态探究) 移动点 C，理解条件．根据图中标示，确认求证目标：AC＝AE＋CD． 思路分析 此题要求证明线段和的关系，根据线段和、差的几何理解，如果我们可以将 AC 分成两部分，而如 果这两部分分别等于 AE 和 CD，那就证明了上述结论．

动态数学 第四章 全等三角形 43 思维探究 B 在 AC 上取一点 F，使 AF＝AE，问题就变成如何证明 CF＝CD 了． 证明：在 AC 上截取 AF＝AE，连接 OF． E O D ∵ ∠EAO＝∠FAO，AO＝AO，AF＝AE， A1 F 4 ∴ △AOE≌△%//AOF//%． 3C 类似的，如果我们能证明△COF 和△COD 全等，就可证明 FC＝DC． 我们已经有∠3＝∠4 和 OC 这一公共边，只需再证明∠DOC 和∠FOC 相等． 为此我们要思考如何利用 60°角这个条件来证明三角形全等． ∵ ∠B＝60°，AD，CE 是角平分线， ∴ ∠1＋∠3＝21(∠BAC＋∠BCA)＝180°－2 ∠B＝180°2－60°＝60°． ∴ ∠EOA＝∠1＋∠%//3//%＝%//60//%°， ∴ ∠AOF＝∠EOA＝60°， ∴ ∠COF＝180°－∠AOF－∠EOA＝60°． ∵ ∠COD＝∠AOE＝60°， ∴ ∠COD＝∠COF． 又∵ ∠3＝∠4，OC＝OC， ∴ △COD≌△%//COF//%， ∴ FC＝%//DC//%， ∴ AC＝AF＋FC＝AE＋DC． 方法总结 围绕角的平分线作出两个全等三角形在本题证明中至关重要． 在证明线段和相等时，在较长的线段 AE 上取点，然后把其分割成两条线段的作法，是常见的作辅助线 的方法． 另一种方法是延长一条较短的线段，延长的长度等于要相加的线段的长度．这两种方法合起来简称“截 长补短法”． 思维拓展 拖动 C 点，观察中间角度的不变性．O 点是两条内角平分线的交点，所以它是这个三角形的“内心”．本 题证明过程中得到的∠AOC＝180°－2 ∠B，可以作为三角形内心的拓展性质来记忆和应用．

44 4.2 角平分线全等辅助线模型 几何辅助线 三、成果检测 1. 已知：△ABC 中，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，且∠ADC＝60°． 问题 1：如图 4.2-3①，若∠ACB＝90°，AC＝mAB，BD＝nDC，则 m 的值为%// 21//%，n 的值为%//2//%． 问题 2：如图 4.2-3②，若∠ACB 为钝角，且 AB＞AC，BD＞DC． (1)求证：BD－DC＜AB－AC； (2)若点 E 在 AD 上，且 DE＝DB，延长 CE 交 AB 于点 F，求∠BFC 的度数． %//解：问题 1： 1 ，2； A 2 AF E 问题 2：(1)在 AB 上截取 AG，使 AG＝AC，连接 GD．∵ AD 平分∠BAC，∴ ∠1＝∠2． 在△AGD 和△ACD 中， B DCB DC AG＝AC， ① ② ∠1＝∠2， 图 4.2-3 AD＝AD， ∴ △AGD≌△ACD，∴ DG＝DC． ∵ △BGD 中，BD－DG＜BG，∴ BD－DC＜BG． ∵ BG＝AB－AG＝AB－AC， ∴ BD－DC＜AB－AC． (2)∵ 由(1)知△AGD≌△ACD， ∴ GD＝CD，∠4＝∠3＝60°． ∴ ∠5＝180°－∠3－∠4＝180°－60°－60°＝60°． ∴ ∠5＝∠3． 在△BGD 和△ECD 中， DB＝DE， ∠5＝∠3， DG＝DC， ∴ △BGD≌△ECD．∴ ∠B＝∠6． ∵ △BFC 中，∠BFC＝180°－∠B－∠7＝180°－∠6－∠7＝∠3， ∴ ∠BFC＝60°．//%

动态数学 第四章 全等三角形 45 2. 如图 4.2-4①，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全等三角形．请 你参考这种作全等三角形的方法，解答下列问题： (1)如图 4.2-4②，在△ABC 中，∠ACB 是直角，且∠B＝60°，AD，CE 分别是∠BAC，∠BCA 的平分线， AD，CE 相交于点 F．请你判断并写出 FE 与 FD 之间的数量关系； (2)如图 4.2-4③，在△ABC 中，如果∠ACB 不是直角，而(1)中的其他条件不变，请问，你在(1)中所得结 论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． M BB E OP FD EFD N AC AC ① ② ③ 图 4.2-4 %//解：(1)FE 与 FD 之间的数量关系为 FE＝FD． (2)答：(1)中的结论 FE＝FD 仍然成立． 证法一：如图④，在 AC 上截取 AG＝AE，连结 FG．因为∠1＝∠2，AF 为公共边， 可证△AEF≌△AGF． 所以∠AFE＝∠AFG，FE＝FG． 由∠B＝60°，AD，CE 分别是∠BAC，∠BCA 的平分线， 可得∠2＋∠3＝60°． 所以∠AFE＝∠CFD＝∠AFG＝60°． 所以∠CFG＝60°，所以∠CFG＝∠CFD， 在△CFG、△CFD 中， ∠CFG＝∠CFD，CF＝CF，∠3＝∠4， 所以△CFG≌△CFD，所以 FG＝FD． 所以 FE＝FD． 证法二：如图 5，过点 F 分别作 FG⊥AB 于点 G，FH⊥BC 于点 H． 因为∠B＝60°，且 AD，CE 分别是∠BAC，∠BCA 的平分线， 所以可得∠2＋∠3＝60°，F 是△ABC 的内心． 所以∠GEF＝∠1＋∠EFA＝∠1＋(∠2＋∠3)＝∠1＋60°，FG＝FH． 又因为∠HDF＝∠B＋∠1＝60°＋∠1， 所以∠GEF＝∠HDF． 因此可证△EGF≌△DHF． 所以 FE＝FD．//%