高中同步学案

答案与解析

数学

必修第三册

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正文部分答案与解析

第七章 三角函数

7.1任意角的概念与弧度制

7.1.1角的推广

⊚ 基础落实·必备知识全过关

知识点12.逆时针顺时针3.逆时针顺时针

【过关自诊】

\mathbf{1.\Sigma}(1)x\mathbf{\Sigma}(2)x 2.—480° 3.-25°395°

知识点21.坐标原点正半轴第几象限角

【过关自诊】

1.(1)√ ( 2)x\quad( 3 )x 2.C -525°=195°-2x360°, 所以 \boldsymbol{-525°} 角的终边与 195° 角的终边相同，所以与 -525° 角的终边相同的角可表示为 195°+k*360° _{k}\in\mathbf{Z}) .故选C.

3.三

⊚ 重难探究·能力素养全提升

探究点一角的有关概念

【例1】(1)C（2)B（1)终边相同的角不一定相等，故A错；因为锐角的集合是 \{α\mid0°{<}α{<}90°\} ，而第一象限的角的集合是 \{α | k * 360°{<}α{<}k * 360°{+}90°\} ，故B错；C正确；钝角的集合是 \{α | 90°{<}α{<}180°\} ，当 α>=180° 时，均大于 {90}° ，但角 α 不是钝角，所以大于 {90}° 的角不一定都是钝角，故D错.

(2)_{α} 是第四象限角，逆时针旋转 180° 是第二象限角，故终边所在象限为第二象限.

【变式训练1】（1)三 β 是第四象限角， -β 是第一象限角，所以 180°{-}β 是第三象限角.

(2)解图 ① 中的角是一个正角， α=390° ，图 ⊚ 中的角是一个正角、一个负角， *β=60°,γ=-150°

探究点二终边相同的角的表示及应用

【例2】（1)145°-215°与 - 2 ~015^{\circ~} 角终边相同的角为-2\ 015°+k*360°,k\in{\bf Z}

当 k=6 时，与 -2~015° 角终边相同的最小正角是 145° ，当 k=5 时，与 -2~015° 角终边相同的最大负角是 -215° (2)解 ①α {=} 1~690° {=} 4x360° {+} 250°.

⊚ 由 ① 知 α=4x360°+250°,θ 与 α 的终边相同，设 θ= 360°n+250°, n\in\mathbf{Z} ，则 - 720°<=slant360° n+250°<- 360°, 解得-(97)/(36){<=slant}n{<}-(61)/(36)

： {\boldsymbol{n}}\in\mathbf{Z} ，则 n=-2 ，故 θ=-470° ，

(3)解如图，在平面直角坐标系中画出直线 y=x ，可以发现它与 _{x} 轴的夹角是 45° ，在 0°~360° 范围内，终边在直线 y=x 上的角有两个： 45°,225° .因此，终边在直线 y=x 上的角的集合 S= \{β | β=45°+k * 360° ,k\in{\bf Z}\}\cup\{β | β=

S 中适合不等式 -360°<=slantβ<720° 的元素 β 有 45°-2x 180°=-315°,45°-1x180°=-135°,45°+0x180°=45°,45°. +1x180°{=}225°,45°{+}2x180°{=}405°,45°{+}3x180°{=}585°.

【变式训练2】（1)三因为 α=2~023° {=} 360°x5+223° ，而180°{<}223°{<}270° ，所以 α 的终边在第三象限.

(2)解 S {=} \{β | β{=}60°{+}k * 360°,k\{\in}{\bf Z}\}.

S 中适合 -360°{<=slant}β{<}720° 的元素应满足 -360°{<=slant}60°{+}k 360°{<}720°

k\in\mathbf{Z} ，所以 k=-1,0,1

所求元素分别是 60°+(-1)x360°=-300°,60°+0x 360°=60°,60°+1x360°=420°.

(3)解终边落在 y=√(3) x\;(x>=0) 上的角的集合为 S_{1}=\{α\} α {=} 60°{+}k *360°,k {\in} {\bf Z}\backslash ,终边落在 y=√(3) x ( x<=slant0 ) 上的角的集合为 S_{2}=\{α | α {=} 240°{+}k * 360°,k\in{\bf Z}\}

于是，终边落在直线 y=√(3)\;x 上的角的集合为 S=S_{1}\cup S_{2}=\{α\midα=60°+2k * 180° ,k\in{\bf Z}\}\bigcup \{α\midα=60°+( 2k+1 ) 180°,k\in\mathbf{Z}⟩ .因为 \left\{n\mid n=2k\right. k\in\mathbf{Z}\} U \{ n\mid n=2k+1 ,k\in\mathbf{Z}\}=\mathbf{Z} ，所以 S=S_{1}\cup S_{2}=\{α | α=60°+n * 180° ,n\in{\bf Z}\}

探究点三象限角及其应用

【例3】解（1)由题图1得角 α 的集合为 \{α\mid n * 360°+90°\{<=slant} α{\ll}n*360°{+}120°,n\in{\bf Z}\} 或 \{α\mid360°*\ n+270°\{<=slant}α{<=slant}300°+n 36 {\bf\Phi}^{0}*n\in{\bf Z}\backslash=\{α | k * 180°+90°<=slantα\llk * 180°+120° ,k\in{\bf Z}

(2)由题图2得角 α 的集合为 \{α\;|\;{-\;60}°+k\;*\;360°<=slantα<=slant 60°+k*360°,k\in{\bf Z}⟩.

【变式训练3】解终边落在阴影区域内角的集合为 S=\{α\} k\ \bullet\ 360°+150°<=slantα<=slantk\ \bullet\ 360°+270°,k\in{\bf Z}).

因为 {~2~019^{\circ=219°+5x360°}} ，而 2~019° 与 219° 终边相同，所\Rightarrow2\ 019°\inS

【例4】解（1)因为 α 是第二象限角，

所以 90°+k*360°{<}α{<}180°{+}k*360°,k\in{\bf Z},

所以 180°+2k * 360°<2α<360°+2k * 360°,k\in{\bf Z},

所以 2α 是第三或第四象限角，或是终边落在 y 轴的非正半轴上的角.

(2)(方法一）因为 α 是第二象限角，

所以 45°+k*180°{<}{(α)/(2)}{<}90°{+}k*180°(k\in\mathbf{Z}), 当 k=2n\left(n\in\mathbf{Z}\right) 时 ,45°+n*360°{<}{(α)/(2)}{<}90°{+}n*360°(n\in

故 是第一或第三象限角，

(方法二)如图，先将各象限分成2等份，再从 \mathscr{x} 轴正向的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有二的区域即为 2 (α)/(2) 的终边所在的区域，故 (α)/(2) 为第一或第三象限角.

【变式探究】解因为 α 是第二象限角，所以 90°+k * 360°{<}α{<}180°{+}k * 360°,k\in{\bf Z}, 所以 30°+k*120°<(α)/(3)<60°+k*120°,k\in{\bf Z}. 当k=3n,n∈Z时,30°+n·360°<< 30°+n*360°<(α)/(3)<60°+n*360°,n\in
Z,此时 (α)/(3) 为第一象限角；当 k {=} 3n+1 ,n\in\mathbf{Z} 时， 150°+n * 360°<(α)/(3)<180°+n
360° n\in\mathbf{Z} 此时 (α)/(3) 为第二象限角；当 k=3n+2 ,n\inbf{Z}\mathbb{H} ,270°+n bf{*} 360°<(α)/(3)<300°+n
360° n\in\mathbf{Z} 此时 (α)/(3) 为第四象限角。所以 (α)/(3) 为第一、第二或第四象限角.【变式训练4】解由题知 ,k * 360°+90°<α<k * 360°+180°
(k\in\mathbf{Z}) k * 180°+45°<(α)/(2)<k * 180°+90°(k\in{\bf Z}) , 所以，当 k 为偶数时， (α)/(2) 是第一象限角；当 k 为奇数时。 (α)/(2) 是第三象限角。

⊚ 成果验收·课堂达标检测

1.B {90}° 的角是三角形的内角，它不是第一或第二象限角，故A错； 280° 的角是第四象限角，它是正角，故C错； -100° 角是第三象限角，它比钝角小，故D错，B正确.

2.A 0°{<=slant}α{<}360° ,排除C，D选项，经计算可知选项A 正确.

3 .\left\{α\midα=120°+n*180°,n\in{\bf Z}\right\}\quad-60°,120° 所求角的集合依次为 S_{1}=\{α\midα=120°+k * 360° ,k\in{\bf Z}\}=\{α\midα=120°+ 2k * 180° ,k\in{\bf Z} \backslash ,S_{2}=\{ α | α=300°+k * 360° ,k\in{\bf Z} \}=\{α\midα=1 * 200° .

120°+(2k+1)*180°,k\in{\bf Z}⟩ ，因为 \{ n\mid n=2k ,k\in{\bf Z} \}\cup\{ n\mid n=
2k+1,k\in\mathbf{Z}\}=\mathbf{Z} 所以 S=S_{1}\cup S_{2}=\{α\midα=120°+n * 180°,
n\in\mathbf{Z}) .当 n=-1 或 n=0 时，取得在 [-180°,180°) 内的角为
-60°,120° 4.解(1)与 {80}° 终边相同的角的集合为 S=\{ x\mid x=k ·
360°{+}80°,k{\in}\mathbf{Z}⟩ (2)因为一次函数 y=x 与 y=-x 的图象分别是第一、三
象限和第二、四象限的角平分线，故可取第四象限射线对应的角为 \boldsymbol{-45°} ，第一象限射线对应
的角为 45° ，则所有落在阴影内的角的集合可表示为 \{x\mid k ·
360°-45°<=slantx<=slantk*360°+45°,k\in{\bf Z}⟩.

7.1.2弧度制及其与角度制的换算

⊚ 基础落实·必备知识全过关

知识点11.半径长

【过关自诊】

1.D2.ABC 知识点2 2.0 (π)/(6) (π)/(4) (π)/(3) 5-2 (π)/(2) (2π)/(3) 3一4 (7π)/(6) (3π)/(2) (7π)/(4) 2π

【过关自诊】

1. (1)√ (2){}√({)}

2.解时针转一圈（是 - 360°) 需用 12 ~h~ ,所以经过4h转一 图的 /13 所以时针转过的角度为 -360°x(1)/(3)=-120° =-120°，为一 - {(2π)/(3)} 度；分针1h转一圈，所以 ^{~4~h~} 转四圈，所以分针转的角度为 -360°x4=-1~440° 为 -8π 弧度.

知识点3 {(απ r)/(180)}\quadα r\quad{(απ r^{2})/(360)}\quad{(1)/(2)}l r\quad{(1)/(2)}α r^{2}

【过关自诊】

1.解角度制下 r=1 ~m,n=60° ，弧长 l=(n π r)/(180)=(60xπx1)/(180)= (π)/(3)(m) 弧度制下 r=1 \m ,α=(π)/(3) ，弧长 l=α r=(π)/(3)(rm{m}) 2 (3π)/(2) 依题意，扇形的圆心角为 (π)/(3) 它所对的弦长是 3~cm ，所以扇形的半径为 3~{cm} ,所以扇形的面积为 {(1)/(6)}xπx3^{2}={(3π)/(2)}cm^{2}

⊚ 重难探究·能力素养全提升

探究点一角度制与弧度制的互化

【例1】解 (1)45°=45x{(π)/(180)}{~rad}={(π)/(4)} rad.(2)-600°=- 600x(π)/(180){~rad}=-(10π)/(3){~rad}. (3)(3π)/(5)~rad=(3π)/(5)x(180)/(π)=108°. 4)-{\cfrac{9π}{4}}~{rad}=-{\cfrac{9π}{4}}x{\cfrac{180°}{π}}=-405°.

【变式训练1】C因为 1°{=}(π)/(180) 从而可得 320°{=}320x(π)/(180){=}(16π)/(9) 所以 320用弧度制表示为。 为16故选 C。探究点二用弧度制表示角【例2】解 1)2=+2π,它他是第四象限角。(2)-1~680°=120°-1~800°=(2π)/(3)-10π 它是第二泉服角。(3） 18x10-4π,它是第三象限角。(4)755°=35°+720°={(7π)/(36)}+4π +4π,它是第一象限角。【变式训练2】A对于A,终边在 y 轴上的角的集合为\begin{array}{l}{\left\{α\left|α=2k π+(π)/(2),k\in{\bf Z}\right\}\cup\left\{α\left| α=2k π+(3π)/(2),k\in{\bf Z}\right\} , \Re p\left\{α\left| α=(p)/(2),k\in{\bf Z}\right\} , \Re p\left\{α\left| α=(p)/(2),k\in{\bf Z}\right\} , p\right\}\right.}\\ {\left.2k π+(π)/(2),k\in{\bf Z}\right\}\cup\left\{α\left| α=(2k+1) π+(π)/(2) ,k\in{\bf Z}\right\} , \Re p\left\{α\left| α=(p)/(2),k\in{\bf Z}\right\} .}\end{array} k π+(π)/(2) ,k\in{\bf Z}⟩ ,故A正确；对于 B,第三象限角的集合为 \left\{ α \left| π+2k π<α<(3π)/(2)+2k π k\in\mathbf{Z}\big⟩ ,故B错误；对于C，终边在 \mathscr{x} 轴上的角的集合为 \{α\midα=k π,k\in\mathbf{Z}\} ,故C错误；对于 D,与 150° 终边相同的角的集合为 \left\{\left.α\ \right|α=2k π+{(5π)/(6)} k\in\mathbf{Z}\big⟩ ,故D错误.故选 A.探究点三扇形面积公式、弧长公式的应用【例3】解设扇形的半径为 r ~cm ,则弧长为 (10-2r)cm ，由题意得 S=(1)/(2)(10-2r)* r=- r^{2}+5r=-\left(r-(5)/(2)\right)^{2}+ (25)/(4) 所以当 r=(5)/(2) 2 cm时，Smx= .S_{max}={(25)/(4)}{~cm}^{2} 此时 l=10-2r=5~cm 则 α=(l)/(r)=(5)/(/{5){2}}=2 rad.综上所述，当扇形的半径为 {(5)/(2)}\cm ，且圆心角为 2\;{rad} 时，扇形的面积最大.【变式探究】解设扇形的弧长为 \iota ，周长为 y ，由题意知， S= (1)/(2)l r=10 ，则 l r=20 ，周长 y=l+2r=2\Bigl(r+(10)/(r)\Bigr)>=slant2x 2 {√(r^{ * ){(10)/(r)}}}=4{√(10)} , 当且仅当 r=√(10) 时等号成立。即当 r=√(10) 时，扇形的周长最短.【变式训练3】25 设扇形弧长为l，半径为 r ，\big<(l)/(r)=2 解得 \binom{l=5}{r=2.5} 则扇形的面积 S=lr= S=(1)/(2)l r=(25)/(4)(cm^{2}) \lvert\l_{l+2r=10}

⊚ 成果验收·课堂达标检测

1~920°=1~920x(π)/(180)=(32π)/(3).

1.D2.C角的表示必须保持度量单位一致，即角度制与弧度制
不能混用,排除 A;而 180°角与π角对应，于是1°角与0 角对
应，故选C.3, 2\cm\quad4\cm^{2} 由 α=(l)/(r) 得 (4)/(r)=2 ,解得 r=2~cm ，所以 S={(1)/(2)}l r=4~{cm}^{2} 4.解设扇形的半径为 R ，弧长为 l ，则 2R+l=4 ：根据扇形面积公式 S=(1)/(2)\iota R ，得 (1)/(2)l R=1 联立 \begin{array}{l}{\displaystyle{\left\{\begin{array}{l}{\displaystyle2R+l=4}\\ {\displaystyle(1)/(2)l R=1,}\end{array}\right.}}\end{array} 解得 R=1,l=2 所以圆心角 α=(l)/(R)=(2)/(1)=2 .即圆心角的弧度数是2.

7.2任意角的三角函数

7.2.1三角函数的定义

⊚ 基础落实·必备知识全过关

知识点1 √(x^{2)+y^{2}}\quad(y)/(r)\quad(x)/(r)\quad(y)/(x)\quad k π+(π)/(2)(k\in{\bf Z}) 三角函数

【过关自诊】

1. B2.C由题意知 P(1,-{√(3)} ) 所以 x=1 ,y=-√(3) ,r r=2 ，即sin α {=} -(√(3))/(2) {\begin{array}{l l}{3.-{(√(10))/(10)}}&{-{(3 {√(10)})/(10)}}\end{array}} 知识点2 正 三、四负一、四正二、三二 、三 二、四

【过关自诊】

1.B α 为第四象限角，依据三角函数定义，则有cos α>0 sin α<0, 故选B.2.(1)三(2)二或四3.解(1)因为 188° 是第三象限角，所以 \sin 188°{<}0 (2)因为一 (π)/(5) 是第四象限角,所以 \cos\left(-{(π)/(5)}\right)>0 (3)因为 160° 是第二象限角，所以 \tan160°{<}0

⊚ 重难探究·能力素养全提升

探究点一三角函数的定义 【例1】解 (1)r={√((-4a)^{2)+(3a)^{2}}}=5 {\bigl|} a {\bigr|} . 若 a>0 ，则 r=5a ，角 α 在第二象限，则 sin α=(y)/(r)=(3a)/(5a)= {(3)/(5)} , cOS α=(x)/(r)=(-4a)/(5a)=-(4)/(5),\tanα=(y)/(x)=(3a)/(-4a)=-(3)/(4),

若 a<0 ，则 r=-5a ，角 α 在第四象限，则sir sl{bf{\em}}α=-(3)/(5) cOS α=(4)/(5) ,tan α=-(3)/(4)

(2)① 如图，以原点为角的顶点，以 x 轴的非负半轴为始边，顺时针旋转 (π)/(4) 与圆交于点 P ，过点 P 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 M .于是 α= \angle M O P=-(π)/(4) 即为所作的角。

⊚ 设点 it{P}(it{u},it{v}) ，则 u={(√(2))/(2)} \ v=-\ {(√(2))/(2)} \sin\left( - {(π)/(4)} \right)= \begin{array}{l}{\displaystyle{v=-(√(2))/(2),\cos\Bigl(-(π)/(4)\Bigr)=u=(√(2))/(2).}}\end{array}

【变式探究】解（方法一)在角 α 的终边上求一点 P\left(-4a\right) 3a) a\neq0) ，以下和例1(1)解法相同从略.(方法二)当角的终边落在第二象限时，求得点 P ( -4 ,3 ) 则 r=|O P|={√((-4)^{2)+3^{2}}}=5 , 所以sinα= α=(3)/(5) α=-(4)/(5) tan α=-(3)/(4) 当角的终边落在第四象限时，求得点 P\left(4,-3\right) ，则 r= |O P|={√((-3)^{2)+4^{2}}}=5 ，所以 sin α=-(3)/(5) 5,cos α= α=(4)/(5) tan α=-(3)/(4).

【变式训练 \mathbf{11} 解(1)由题意知 r=O P=√(x^{2)+9} 由三角函数定义得cOs θ=(x)/(r)=(x)/(√(x^{2)+9)} 又cos θ=(√(10))/(10)x x，所以 \quad\:(x)/(√(x^{2)+9)}=(√(10))/(10)x. 因为 x\neq0 ，所以 x=±1 当 x=1 时， P\left(1,3\right) 此时sin θ=(3)/(√(1^{2)+3^{2)}}=(3~√(10))/(10) ,tanθ= θ=(3)/(1)=3 当 x=-1 时， P\ (~-~1,3~)~ ，此时sin θ={(3)/(√((-1)^{2)+3^{2)}}}= {(3 {√(10)})/(10)},\tanθ={(3)/(-1)}=-3. (2)当圆心在原点，点 P 的起始位置在 \mathscr{x} 轴正半轴上时，设点 P 坐标为 (x ,_{y}) ,r {=} 2 根据题意，因为 sin(一2)= ，所以 y=2\sin(-2) 因为 \cos(-2)=(x)/(2) ，所以 x=2\cos(-2) ，所以点 P 的坐标为 (2\cos(-2),2\sin(-2)).

探究点二判断三角函数值的符号

【例2】解（1)因为 250° 是第三象限角，所以cos 250°{<}0 (2)因为一 是第四象限角,所以 \sin\Big(-(π)/(4)\Big)<0 (3)因为 -672° 是第一象限角，所以 \tan(-672°){>}0

(4)因为 3π 的终边在 \mathscr{x} 轴上，所以tan 3π=0

【变式训练2】（1)A（2)C (3)> (1)因为 α 是第一象限
的角，所以 2k π{<}α{<}(π)/(2){+}2k π,k {\in} {\bf Z}, 所以 k π<(α)/(2)<(π)/(4)+k π,k\in{\bf Z} 即 (α)/(2) 为第一或第三象限角.又因为 \left|\cos{(α)/(2)}\right|=\cos{(α)/(2)} ,即cos (α)/(2){>=slant}0 所以 (α)/(2) 所在的象限是第一象限,故选 A.(2)因为 \sinα<0 ，所以 α 在第三象限或第四象限，或 α 终边
为 y 轴非正半轴.因为coS α<0 ，所以 α 在第二象限或第三象
限，或 α 终边为 \mathscr{x} 轴非正半轴.所以 α 是第三象限角.(3)因为 (π)/(2){<}3{<}π,π{<}4{<}(3π)/(2),(3π)/(2){<}5{<}2π, 所以 \sin 3{>}0 ,\cos 4{<}0 ,\tan 5{<}0 所以 \sin{3}*\cos{4}*\tan{5}{>}0.

⊚ 成果验收·课堂达标检测

1.D设角 α 终边所在圆的半径为 r ，由题意得， r=
√(9+16)=5 ,所以sin α=(y)/(r)=- (4)/(5) α=(x)/(r)=(3)/(5) 5'tan α=
{(y)/(x)}=-{(4)/(3)} 故选D.2.D 因为 \cosα>0,\sinα<0 ，所以 α 是第四象限角.故选D.3.D 由三角函数的定义可得sin θ=(-3)/(√(x^{2)+9)}=-(3)/(5) 解得 x=±4 ,因此 tan θ=±(3)/(4). 故选D.4.C因为 (π)/(2){<}3{<}π 所以 -1{<}\cos3{<}0 ,故A错误；因为 (3π)/(2){<}(5π)/(3){<}2π,{-}(π)/(2){<}{-}(π)/(6){<}0 , 所以 sin \sin{(5π)/(3)}{<}0 ,\cos\Big(-{(π)/(6)}\Big)>0 所以 sincos( \sin{(5π)/(3)}cos\Big(-(π)/(6)\Big)<0 ,故B错误；因为 (π)/(2){<}2{<}π ，所以 \sin 2{>}0 ,\cos 2{<}0 ，所以 \sin 2-\cos 2>0 ,故C正确；因为 (π)/(2){<}(7π)/(8){<}π ,所以 tan 7<0,故 D错误,故选 C.\begin{array}{r l r}{{\mathfrak{s}}.\left(1\right){<}}&{{}(2){<}}&{\left(3\right){<}}\end{array} (1)因为 270°{<}328°{<}360° ，所以
328° 是第四象限角，所以 \sin328°{<}0 (2)因为π<< ，所以 (5π)/(4) 是第三象限角,所以 cos 0.(3)因为 (π)/(2){<}(6π)/(7){<}π 所以 (6π)/(7) 是第二象限角,所以 tan (6π)/(7){<}0 6. - {(2)/(3)} 角 α 的终边经过点 P ( - x ,- 6 ) ,且cos α=
-{(5)/(13)},\therefore\cosα {=}{(-x)/(√(x^{2)+36)}}{=}-{(5)/(13)} 解得α= x=(5)/(2) \therefore P\left(-(5)/(2),-6\right),\therefore\sinα=-(12)/(13),\therefore\tanα {=} (12)/(5),

则 {(1)/(\sin α)}+{(1)/(\tan α)}=-{(13)/(12)}+{(5)/(12)}=-{(2)/(3)}. 7.解当角 α 的终边在第一象限时，在角 α 的终边上取点P\left(1,2\right) 设点 P 到原点 O 的距离为 r ，则 r=\mid O P\mid={√(1^{2)+2^{2}}}= ,得s in\ α=(2)/(√(5))=(2√(5))/(5) cos α=(1)/(√(5))=(√(5))/(5) 2√5，得sinα= √55,cosα= √5tanα= 1 =2.当角 α 的终边在第三象限时，在角 α 的终边上取点Q(-1,-2) ，则 r=O Q={√((-1)^{2)+(-2)^{2} }}={√(5 )} ，得 \sinα= {(-2)/(√(5))}=-{(2{√(5)})/(5)},\cosα={(-1)/(√(5))}=-{(√(5))/(5)},\tanα={(-2)/(-1)}=2.

7.2.2单位圆与三角函数线

⊚ 基础落实·必备知识全过关

知识点11.单位圆2.（cos α\bullet\sinα

【过关自诊】

1.解由题知si ~n~α=(4)/(5) ,\cos α=-(3)/(5) 所以tana α=(/{4)/(5)}{-(3)/(5)}=-(4)/(3). 2.解设 (5π)/(4) 的终边交以原点为圆
心的单位圆于点 P ，过点 P 作 \mathscr{x} 轴的 5M 4
垂线，其垂足为点 M ，如图所示.在直
角三角形OMP中， \angle M O P={(π)/(4)} ，由
此可得 \left|\cal O M\right|=(√(2))/(2),\left|\cal MP\right|=(√(2))/(2), 所以点 P 的坐标为 \left(-{(√(2))/(2)},-{(√(2))/(2)}\right) 于是， \sin{(5π)/(4)}=-{(√(2))/(2)} {s (5π)/(4){=-(√(2))/(2)}} 而 tan (5π)/(4)=1 知识点2|OM| -\left|\overrightarrow{O M}\right| 余弦线正弦线正切线

【过关自诊】

C由三角函数线的定义知C正确.

⊚ 重难探究·能力素养全提升

探究点一三角函数线的作法及应用

【例1】解（1)如图1，设角 (π)/(3) 的终边与单位圆相交于点 P 过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为点 M ，过点 A\left(1,0\right) 作圆的切线交O P 的延长线于点 T ，则角 (π)/(3) 的正弦线为 \overrightarrow{M P} ，余弦线为 \overrightarrow{O M} ，正切线为 \overrightarrow{A T}

图1

图2

如图2,设角 -(5π)/(6) 的终边与单位圆相交于点 P ，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为点 M ，过点 A\left(1,0\right) 作圆的切线交 O P 的反向延长线于点T，则角一 5的正弦线为 MP,余弦线为 OM,正切线为AT.(2)如图所示,在 _{x} 轴上取点 \left(-{(3)/(5)},0\right) ，过该点作 x 轴的垂线交单位圆于点 P_{~1~},P_{~2~} ，则射线 O P_{1} ,O P_{2} 即为角 α 的终边，

【变式训练1】（1)B（2)D（1)根据正弦线的定义知，|\sinα|=1 ,所以sin α {=} ±1 ，所以角 α 的终边在 y 轴上。

(3)解已知角 α 的正弦值为 (1)/(2) 所以在 _y 轴上取点 \left( 0 ,{(1)/(2)} \right) ,过该点作 _{x} 轴的平行线，交单位圆于 P_{~1~},P_{~2~} 两点，则 O P_{1} ,O P_{2} 是角 α 的终边，因而角 α 的取值集合为 \left\{\left.α\ \right|α=\left.\right. 2kπ+(π)/(6)\ddot{\I R}\stackrel{\biggr.}{α}=2kπ+(5π)/(6),k\in{\bf Z}\biggr\}.

探究点二利用三角函数线比较大小

【例2】解（1)如图，在单位圆中
作出角 (4π)/(7) 和角 的余弦线 \overrightarrow{O M_{2}}^{\star} 和
\overrightarrow{O M_{1}} 因为 OM 1>1OM 1 ,且角 和
角 (5π)/(7) 的余弦均为负数，所以cos \cos{(4π)/(7)}{>}\cos{(5π)/(7)} (2)如图，分别作出角 (π)/(7) 的正弦线和
正切线.由图知，角 (π)/(7) 的正弦线和正切线分
别为 \overrightarrow{M P},\overrightarrow{A T} ，因为 |\overrightarrow{M P}|<|\overrightarrow{A T}| ，且 (π)/(7) 的正弦和

【变式探究】 b<a<c 由 与的终边关于 y 轴对称，如图的三角函数线知，|M,P,|1=1MP1<1AT1,因为答>,所以[MP|>IOMI,所以 cos < \cos{(2π)/(7)}{<}\sin{(5π)/(7)}{<}\tan{(2π)/(7)} , 所以 b<a<c

探究点三利用三角函数线解不等式

【例3]解(1)作直线 y=(√(3))/(2) ，交单位圆于 A ,B 两点，连接O A* O B ，则 O A 与 O B 围成的区域(图1中阴影部分)即为角 α 的终边的范围.故满足条件的角 α 的集合为 \left\{α\ \middle|\ 2k π+{(π)/(3)}\S\llα<=slant2k π+{(2π)/(3)}\right. k\in{\bf Z}\right\}.

图1

图2

(2)作直线 x=- {(1)/(2)} ,交单位圆于 C* D 两点，连接 O C 与O D ，则 O C 与 O D 围成的区域（图2中的阴影部分)即为角 α 的终边的范围.故满足条件的角 α 的集合为 \left\{α\;\middle|\;2k π+{(2π)/(3)}\llα<=slant 2k π+(4π)/(3),k\in{\bf Z}\Bigl\vert .

【变式训练2】解如图所示，因为1-√(2) cos x>0 ,所以cos x<(√(2))/(2) 所以 2k π+(π)/(4)<x<2k π+(7π)/(4)(k\in{\bf Z}) 所以函数的定义域为 ( 2k π+{(π)/(4)} 2k π+(7π)/(4)\biggr) (k\in{\bf Z}).

⊚ 成果验收·课堂达标检测

1.AD对于A，单位圆中，当 α 一定时，单位圆中的正弦线一定，所以A正确；

对于 C,α 和 α+π 的余弦线相反，所以C错误；

对于D，第一、三象限角的正切线相同，第二、四象限角的正切线相同，即具有相同正切线的两个角终边一定在同一条直线上，所以D正确.故选AD.

2.A由题意可知coS α=±1 ，因此，角 α 的终边在 \mathscr{x} 轴上，故选A.

3.D

4. si rm{n}α<α<\tanα 如图所示，在单位圆中 α {=} \angle A O B ,A D \bot x 轴， C B\bot \boldsymbol{\mathscr{x}} 轴，且 O A {=} O B {=} 1 ，所以 α 为 \widehat{A B} 的长度，sin α=A D ,tan α=C B ， \triangle A O B 的面积SAOB S_{\triangle A O B}=(1)/(2) * A D * O B=(1)/(2)\sin α sinα,扇形 AOB的面积S_{\vec{\jmath}\vec{u} \vec{\imath}δ\cal A O B}=(1)/(2)α \triangle C O B 的面积 S_{\triangle c o B}=(1)/(2)* C B* O B=(1)/(2)\tan α , 由图知， S_{\triangle A O B}<S_{\ A\uparrow\ast\ A O B}<S_{\triangle c o B} ，故s \mid n\ α<α<\tanα

5.解作角一 的终边与单位圆的交点 P ，过点 P 作 \boldsymbol{\mathscr{x}} 轴的垂线，垂足为M ;延长线段 P O ,交直线 x=1 于点 T 则 - {(2)/(3)} π 的正弦线为 \overrightarrow{M P} ，余弦线为\overrightarrow{O M} ，正切线为 \vec{A} \stackrel{\star}{T}

7.2.3同角三角函数的基本关系式

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知识点

【过关自诊】

1.B由平方关系知 \sin^{2}2~023°{\rightarrow}\cos^{2}2~023°{=}1. 2.-1由 \sin θ+\cos θ=0 得 \sinθ=-\cosθ ,所以tan θ= (\sinθ)/(\cosθ)=(-\cosθ)/(\cosθ)=-1.

⊚ 重难探究·能力素养全提升

探究点一利用同角三角函数基本关系式求值

【例1】解（1)因为 α 为第一象限角，所以cos α{>=}0 ，又sin α=(√(3))/(2) ,所以 cos α=√(1-\sin^{2)α}=(1)/(2) 故tan α=(\sinα)/(\cosα)=√(3) .故co s\ α=(1)/(2) ,tan\ α=√(3) . (2)因为 α 为第三象限角，所以si ~n~α=-\ √(1-\cos^{2)α}= -{√(1-\left(-{(4)/(5))\right)^{2}}}=-{(3)/(5)}. 故tanα α=(\sinα)/(\cosα)=(3)/(4) 故s \sinα=-(3)/(5) ,tan α=(3)/(4) (3） \binom{\sin^{2}α+\cos^{2}α=1,\mathbb{O}}{\tanα=(\sinα)/(\cosα),\mathbb{O}} 由②得cosα= α=-(12)/(5)\sinα ,\ B 将 ③ 代入 ① 整理，得 \sin^{2}α=(25)/(169) 又 α 为第二象限角，所以sin α=(5)/(13) 将sinα= α=(5)/(13) 代入 ③ ,得cos α {=} -(12)/(13) 故sinα α=(5)/(13) ,COS α {=} -(12)/(13) 【变式训练1】解“tar ~\boldmath~λ~_{α}=(12)/(5)>0 α 为第一或第三象限的角.

当 α 是第一象限角时 {\Biggl.}{\left\{\begin{array}{l l}{{\tanα\displaystyle=}{(\sinα)/(\cosα)}{\displaystyle=}{(12)/(5)},}\\ {{\sin^{2}α+\cos^{2}α\displaystyle=}1,}\end{array}\right.}