周练卷 章测卷 阶段卷 大单元 期末卷

学练考分层滚动强化大单元核心素养提升

数学 九年级上册 RJ

前言

当下，我国义务教育新政策不断出台，课程标准更新、教材修订、考试改革、“双减模式”无不影响着课堂教学。《阳光夺冠》丛书依据上述新变化做了新设计、新调整，并依据“艾宾浩斯遗忘规律”进行了模块化设计，周练卷、章测卷、阶段卷、大单元、期末卷一脉相承、滚动衔接，使记忆高效化、学习递进化、复习网格化、备考系统化，最后达到升学无忧化。

丛书特聘请教育一线老师编写，选题来源广泛，接地气；试题囊括各类当地考试真题，超权威；答案解析画龙点晴，重规范。经过多年来与课堂教学的“碰撞”与实践，丛书已经成为教师和学生课上课下学习与测评的首选图书。

为方便同学们更好地使用本丛书，下面就图书的主要模块和功能做出简要介绍：

\spadesuit 全书知识预览表

丛书在正文开始之前，设计了本学期重点知识的预览表，知识线索明确，知识模块完整，知识要点突出，高频考点到位。可使学生初步了解本学期知识的大致轮廓。

\spadesuit 衔接课时的“周练卷”

通常，学生在一周时间里可能学了 5~6 个课时，一周的时间说短不短，足以让部分同学产生“学了后面，忘了前面”的感觉。本书采用“周练卷”的形式将 1~2 个课时设计成一套周练卷，巧妙解决了同学们学习过程中遗忘的问题。

\spadesuit 每章一清的“章测卷”

一章的知识相对完整，学习结束，应该做到“一章一清”，做到“知识人库”。章测卷涵盖了整章所涉及的所有重点内容，并从课外汲取相应知识的考法，为学生的知识强化和知识调用提供了保证。\spadesuit 滚动性复习的“阶段卷”

每一个辛苦学习的同学,都想知道自己在一段时间里所取得的收获，也想知道自己存在哪些不足。阶段卷全面依据所学内容，有效运用滚动复习策略，进一步发挥了“抗遗忘"的功能。

知识相对完整，知识类型一致，知识学法相近，知识视角相仿，这是“大单元”的重要特征。丛书设计的大单元前后兼顾，一脉相承，重点归一，难点突破，帮学生一类一类地解决学习过程中存在的知识散碎的问题。

\spadesuit 升华全学期的“期末卷”

一个学期即将结束，该学的已完，该练的尚多。丛书安排的期末卷意在帮助学生自检一个学期以来的必考知识，全息式复习本学期知识,帮助学生把握常考必考内容，协助学生拓宽课外视野，预测命题老师会考哪些内容。

\spadesuit 履行新国标，落实“双减”

丛书根据2022年3月1日起实施的《儿童青少年学习用品近视防控卫生要求》进行了大字号、宽行距的标准化设计。选题方面所选题目个个瞄准考点，让学生不做“无用功”，将“双减"政策落到实处。\spadesuit 贯穿“艾宾浩斯记忆规律”

丛书贯穿“艾宾浩斯记忆规律”，有效避免了学生“忘了再学，学了再忘”的尴尬局面。依据多频次复习、连贯复习、滚动复习的策略，将“遗忘"降到最低，使学生的学习真正迈入优化学习与高效学习新轨道。最后，拥有《阳光夺冠》，科科成绩一流。祝同学们学业有成，顺利考入理想学府。

图书在版编目(CIP)数据

第二十一章一元二次方程
周练卷—一元二次方程解一元二次方程·
周练卷二实际问题与一元二次方程
章测卷—一元二次方程 5第二十二章二次函数
周练卷三二次函数的图象与性质
周练卷四二次函数与一元二次方程 9周练卷五 实际问题与二次函数 11章测卷二 二次函数··· 13阶段卷 一元二次方程二次函数· 15第二十三章旋转
周练卷六图形的旋转中心对称课题学习 17章测卷三旋转 19阶段卷二一元二次方程二次函数旋转 21第二十四章圆
周练卷七圆的有关性质 23周练卷八点和圆、直线和圆的位置关系 25周练卷九　正多边形和圆　弧长和扇形面积 27章测卷四圆 29阶段卷三 旋转圆 31第二十五章概率初步
周练卷十随机事件与概率 33周练卷十—用列举法求概率用频率估计概率 35章测卷五概率初步…·· 37大单元整合卷一 一元二次方程的解法 39大单元整合卷二 根的判别式与一元二次方程的应用 41大单元整合卷三 二次函数 43大单元整合卷四 图形的变换···· 45大单元整合卷五 圆 47大单元整合卷六 概率 49期末卷—第二十一章～第二十五章· 51期末卷二第二十一章～第二十五章· 53参考答案与解析 55

阳光夺冠.数学九年级．上册：RJ/陈纪兰主编．-海口：海南出版社，2021.4(2025.4重印).ISBN978-7-5443-9885-5

I. ① 阳…Ⅱ. ① 陈·….ⅢI. ① 中学数学课一初中－习 题集IV. ① G634

中国版本图书馆CIP数据核字(2021)第062890号

阳光夺冠数学九年级上册RJYANGGUANGDUOGUAN SHUXUE JIUNIANJI SHANGCE RJ

主 编 陈纪兰
责任编辑 张家顺
封面设计 于杰
出版发行 海南出版社
地 址 海口市金盘开发区建设三横路2号
邮 编 570216
网 址 http://www.hncbs. cn
电 话 010-84254239（北京） 0898—66830929(海口)
开 本 880~{mmx1~230~mm} 1/8
印 张 9
字 数 450千字
版 次 2021年4月第1版
印 次 2025年4月第5次印刷
印 刷 三河市祥宏印务有限公司
经 销 全国各地新华书店
书 号 ISBN 978-7-5443-9885-5
定 价|49.80元

九(上)数学知识梳理预览表

8.(2023·北京中考)若关于 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的一元二次方程 x^{2}-3x+m=0 有两个相等的实数根，则实数 _m 的值为

A.-9 B. 94 D. 9

一、选择题(每小题3分，共30分)

1.下列方程中，是一元二次方程的是

A. x^{2}+2x-3=0 B.~2x^{2}y^{-1}{=}0 C, x^{2}-(x+7)x=0\qquad\qquadD, a x^{2}+b x+c=0

总分：120分 时间：120分钟

2.一元二次方程 4x^{2}-1=5x 的二次项系数、一次项系数和常数项分别是

A.4,-1,5 B, 4,-5,-1
C.4,5,-1 D,4,-1,-5

3.已知 \scriptstyle x=2 是方程 x^{2}-3x+a=0 的一个解，则 _a=

A.2 B,-2
C.-10 D. 4

4.（2023·赤峰中考）用配方法解方程 x^{2}-4x-1=0 时，配方后正确的是

A. (x+2)^{2}=3 \begin{array}{r}{B. (x{+}2)^{2}{=}17}\\ {D. (x{-}2)^{2}{=}17}\end{array}
C. (x-2)^{2}=5

5.(2023·天津中考)若 x_{1},x_{2} 是方程 x^{2}-6x-7=0 的两个根,则

A. x_{1}+x_{2}=6 B.\ x_{1}+x_{2}=-6 C.\ x_{1}* x_{2}=(7)/(6) \operatorname{D}. x_{1}* x_{2}=7

6.(2023·河南中考)关于 \boldsymbol{x} 的一元二次方程 x^{2}+m x-8=0 的根的情况是

A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根 D.没有实数根

7.(2024·济南中考)若关于 \boldsymbol{x} 的方程 x^{2}-x-m=0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是

\operatorname{A.}{m}{<}-{(1)/(4)} B. m{>}-(1)/(4) C. m{<}{-}4 D.m>-4

9.已知 x_{1},x_{2} 是一元二次方程 3(x-1)^{2}=15 的两个解,且 x_{1}< x_{2} 下列说法正确的是

A. x_{1} 小于 -1,x_{2} 大于3 B. x_{1} 小于 -2,x_{2} 大于3
C. x_{1},x_{2} 在 -1 和3之间 D. x_{1},x_{2} 都小于3

10.(2023 ·缘阳中考)若x=3是关于x的一元二次方程²一 3ax-a^{2}=0(a>0) 的一个根，下面对 a 的值估计正确的是（

A. (1)/(2){<}a{<}1 B. 1{<}a{<}(3)/(2) C. (3)/(2){<}a{<}2 D.~2{<}a{<}(5)/(2)

二、填空题（每小题3分，共15分）

11.方程 {x}^{2}={x} 的解是

12.用公式法解关于x的一元二次方程，得x=二9±√-4×3×1则该一元二次方程是

15.已知 x_{1},x_{2} 是关于 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的一元二次方程 x^{2}+2x+k-1=0 的两个实数根，且 x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}=13 ，则 k 的值为

13.(2024·南充中考)已知 m 是方程 x^{2}+4x-1=0 的一个根，则(m{+}5)(m{-}1) 的值为

14.已知等腰三角形的一腰长为 \boldsymbol{\mathscr{x}} ，周长为20，则关于 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的方程x^{2}-12x+31=0 的根为

三、解答题(共75分)

l6.(16分)用指定的方法解下列方程：

(1) (x+2)^{2} {=} 9 (直接开平方法)；

3)(x{+}2)^{2}{-}10(x{+}2){+}25{=}0 （因式分解法）；

(4)2x^{2}-7x+3=0 (公式法).

17.（10分）(2023·荆州中考)已知关于 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的一元二次方程 k x^{2}- (2k+4)x+k-6=0 有两个不相等的实数根.

(1)求 k 的取值范围；
(2)当 k=1 时，用配方法解方程.

19.（12分） (2024*15):2\neq(2)/(5) 已知关于 _x 的一元二次方程 x^{2}- \scriptstyle\ p x+1=0(\ p 为常数)有两个不相等的实数根 x_{1} 和 x_{2} (1)填空： x_{1}+x_{2}= x_{1}x_{2}=

（2）求 :(1)/(x_{1)}+(1)/(x_{2)},x_{1}+(1)/(x_{1)}\qquad (3)已知 x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=2p+1 ，求 \boldsymbol{\phi} 的值.

:1.（14分)（核 \rightsquigarrow 素养·运算能 \hat{\boldsymbol{\mathscr{D}}} )小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程 x(x+4)=6 解：原方程可变形,得[ (x+2)-2 (x{+}2){+}2]{=}6 (x+2)^{2}-2^{2}=6 ,(x+2)^{2}=6+2^{2} ,(x+2)^{2}=10. 直接开平方并整理，得 x_{1}=-2+√(10) ， x_{2}=-2-√(10) 我们称小明的这种解法为“平均数法”（1)下面是小明用“平均数法”解方程 (x+3)(x+7)=5 时的解题过程.解：原方程可变形，得 [(x+a)-b][(x+a)+b]=5 (x+a)^{2}-b^{2}=5,(x+a)^{2}=5+b^{2}. 直接开平方并整理，得 x_{1}=c,x_{2}=d 上述过程中的 a,b,c,d 表示的数分别为；(2)请用“平均数法"解方程 (x{-}5)(x{+}3){=}6

18.(11分)( [2024\* 遂宁中考)已知关于 x 的一元二次方程 x^{2}-(m+ 2)x^{+}m^{--}1{=}0. (1)求证：无论 m 取何值，方程都有两个不相等的实数根；(2)若方程的两个实数根分别为 x_{1},x_{2} ,且 x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}=9 ，求 m 的值.

20.（12分）已知 x_{1},x_{2} 是关于 \boldsymbol{x} 的一元二次方程 x^{2}-2(m+1)x+ m^{2}+5=0 的两个实数根.(1)若 (x_{1}-1)(x_{2}-1)=28 . 求 _m 的值；(2)已知等腰 \triangle A B C 的一边长为7，若 x_{1},x_{2} 恰好是 \triangle A B C 另外两边的边长，求这个三角形的周长.

总分：120分 时间:120分钟一、选择题（每小题3分，共30分）

1.(2024·河北中考)淇淇在计算正数 \boldsymbol{a} 的平方时，误算成 \boldsymbol{a} 与2的积，求得的答案比正确答案小1，则 a=

A.1 B.2-1 C. √(2)+1 D.1或 √(2)+1

2.(2023·阜新中考)近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动.某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元.设该款汽车这两月售价的月均下降率是 \boldsymbol{\mathscr{x}} ，则所列方程正确的是 (

A.~16(1+x)^{2=23~}\qquad\qquadB.~23(1-x)^{2}=16 {C},23-23(1-x)^{2}=16{~\ensuremath~{~\c~\unboldmath~~}}{D},23(1-2x)=16

3.在某班初三学生毕业20年的联谊会上，每两名学生握手一次，统计共握手630次.若设参加此会的学生为 \boldsymbol{\mathscr{x}} 名，根据题意可列方程为 (

A. x(x{+}1){=}630 B,x(x{-}1){=}630 \therefore2x(x{-}1){=}630 D. x(x{-}1){=}630x2

4.某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元.若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元.要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植 \boldsymbol{\mathscr{x}} 株，则可列方程为 (

A ~\ensuremath~{~α~~}_{~(3+\ensuremath{\boldsymbol~{\boldsymbol~}{\ensuremath~{\boldsymbol~}{\boldsymbol~}})(4-0.5x)}=15}\qquad~\ensuremath~{~{B~}}_{~(x+3)}(4+0.5x){=}15 C \therefore(x{+}4)(3{-}0.\;5x){=}15\qquad\quadD.\;(x{+}1)(4{-}0.\;5x){=}15

5. (2024*15)/4\neq(2)/(5) 某市2021年底森林覆盖率为 64% ，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山"的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到 69% .如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为 \boldsymbol{x} ，则符合题意的方程为 （）

A \dots0. 64(1+x)=0. 69 B.\ 0.\ 64(1+x)^{2}=0.\ 69 C.\;0.\;64(1+2x)=0.\;69 D.\ 0.\ 64(1+2x)^{2}=0.\ 69

6.(2025·云南模拟)有一台电脑感染了某种病毒，经过两轮感染后，共有81台电脑感染了该病毒.设每轮感染中，平均一台电脑可以感染 \boldsymbol{x} 台电脑，则可列方程为 (

A. x^{2}=81 一 3.\ x^{2}+x+1{=}81 C,x^{2}+1=81 一 ).\ (x{+}1)^{2}{=}81

7.（2023·哈尔滨中考)为了改善居民生活环境，云宁小区对一块矩形空地进行绿化，这块空地的长比宽多6米，面积为720平方米.设矩形空地的长为 \boldsymbol{x} 米，根据题意，所列方程正确的是(

8.某种品牌手机经过两次降价，每部售价由2000元降到1620元，则平均每次降价的百分率为

A. 10% B.11% ~C.~20 % D. 19 %

9.从一块正方形的木板上锯掉 2~m 宽的长方形木条，剩下的面积

是 48~m^{2} ,则原来这块木板的面积是

10.某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了21条航线，则这个航空公司共有飞机场

二、填空题（每小题3分，共15分）

11.(2023·重庆中考)某新建工业园区今年六月份提供就业岗位1501个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位1815个.设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为 \boldsymbol{\mathscr{x}} ，根据题意，可列方程为
12.(2024·重庆中考)随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增.该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元.该公司这两年缴税的年平均增长率是
13.自从“双减”政策实施以来，各中小学开展了丰富多彩的活动.某校拟举办一次书法作品展览，要在每张长和宽分别为 80~cm 和 50~cm 的矩形相片周围镶上一圈等宽的彩纸.根据美学观点，彩纸面积为相片面积的 /13 时较美观.若所镶彩纸的宽为x\cm ，根据题意，列方程为

14.在一次商品交易会上，参加交易会的每两家公司之间都要签订一份合同，会议结束后统计共签订了78份合同，有 家公司出席了这次交易会.

15.由于新能源汽车越来越多，为了解决充电难的问题，现对一面积为 12~000~m^{2} 的矩形停车场进行改造，将该矩形停车场的长减少20~m ，减少的这部分区域用于修建电动汽车充电桩，原停车场的剩余部分就变成了正方形，则原停车场的长是 m

三、解答题(共75分）

16.（10分)一个微信群里共有 \boldsymbol{x} 个好友，每个好友都分别给其他好友发了一条消息，这样一共产生756条消息，(1)列出关于 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的方程；(2)将方程化为 a x^{2}+b x+c=0 的形式，并指出 a,b,c 的值

17.（10分)如图，有一张矩形纸片，长 10~cm ，宽 6~{cm} ，在它的四个角各剪去一个同样的小正方形，然后将四周突出部分折起，就能制成一个无盖的方盒.若方盒的底面积(图中阴影部分)是32~cm^{2} ，求剪去的小正方形的边长.

18.（10分)某宾馆有50个房间供游客居住，物价部门要求该类宾馆每个房间每天定价不能超过200元.当每个房间每天的定价为120元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会多2个空闲房间.如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支付20元的费用补助，那么每个房间价格定为每天多少时，宾馆每天利润为5520元？

19.（10分)某商店准备进一批季节性小家电，单价40元.经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量就减少10个；定价每减少1元，销售量就增加10个.因受库存的影响，每批次进货数量不得超过180个.商店若准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？

20.（10分）（2023·东营中考）如图，老李想用长为 70 rm{m} 的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个 2~m 宽的门（建在 E F 处，另用其他材料）.(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640\ m^{2} 的羊圈？

(2)羊圈的面积能达到 650 m^{2} 吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由.

21.（12分)(核心素养·应用意识)为了丰富大课间活动，某学校抽出部分资金购买了若干副羽毛球拍.已知2023年该校用于购买羽毛球拍的费用为2000元，计划在2025年用于购买羽毛球拍的费用是2880元.(1)求2023一2025年购买羽毛球拍费用的年平均增长率；(2)如果按照这样的速度，逐年增加投入，预计2026年需要抽出多少资金用于购买羽毛球拍？

22.（13分)某公司的高科技医疗设备在A省热销.公司规定：如果购买这种设备的数量不超过60台，每台售价为120万元；如果购买数量超过60台，每增加1台，所购买的这批设备每台均降价0.5万元.

(1)若A省购买这种医疗设备的数量为 x(x{>}60) 台，请用含\mathscr{x} 的代数式表示优惠后的每台设备的价格；

(2)该省购买这种设备的费用为8800万元，求该省购买了这种设备多少台.（公司规定每台售价的最大优惠率不得超过 20%

总分：120分 时间:120分钟

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.下列方程中，属于一元二次方程的是\operatorname{A.}x^{2}+{(1)/(x^{2)}}=1 B. a x^{2}+b x+c=0(a,b,c 为常数)C. (2x{-}1)(3x{+}2){=}5 D. (2x{+}1)^{2}=4x^{2}-3

2.方程 2{x}^{2}-3{x}{=}1 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是

A.2,-3,1 B.2,3,-1
C.2,3,1 D.2,-3,—1

3.（2023·吉林中考）一元二次方程 x^{2}-5x+2 {=} 0 根的判别式的 值是

A.33 B. 23 C.17 D. √(17)

4.若关于 _x 的一元二次方程 (k-1)x^{2}+2x-2=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是

A.k> B. k>=(1)/(2) C. k>(1)/(2) 且 \scriptstyle h\neq1 D.k> k>=(1)/(2) 且k≠1

5.(2024·北京中考)若关于 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的一元二次方程 x^{2}-4x+c=0 有两个相等的实数根，则实数 c 的值为

A.-16 B.-4
C.4 D.16

6.用换元法解方程 x(x{+}1)(x^{2}{+}x{-}1){=}6 ,若设 x^{2}+x {=} y ，则原方程可变形为

A. y^{2}+y-6=0 B. y^{2} {+} y^{+}6 {=} 0 \therefore y^{2}-y+6=0 D.~y^{2} {-} y {-} 6 {=} 0

7.(2024·德州中考)把多项式 x^{2}-3x+4 进行配方，结果为

8.设 x_{1},x_{2} 是方程 x^{2}+3x-3 {=} 0 的两个实数根,则 {(x_{2})/(x_{1)}}+{(x_{1})/(x_{2)}} 的值为

A.5 B.-5 C.1 D. -1

9.某商品的售价为100元，连续两次降价 x% 后，售价降低了 36元，则 _x 为 (

A.8 B.20 C.36 D. 18

10.（2025·永州模拟)某市2022年人均可支收入为2.7万元，2024年达到2.74万元，若2022年至2024年间每年人均可支配收人的增长率都为 \boldsymbol{\mathscr{x}} ,则下面所列方程正确的是（）

A. 2. 74(1+x)^{2}=2. 7 B.\;2.\;7(1+x)^{2}=2.\;74 C \therefore2. 74(1-x)^{2}=2. 7 D.\;2.\;7(1-x)^{2}=2.\;74

二、填空题（每小题3分，共15分）

11.已知 (m-1)x^{|m|+1}-2x+1=0 是关于 \boldsymbol{x} 的一元二次方程,则m=

12.已知关于 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的方程 2x^{2}-m x-6=0 的一个根是2,则m= ，另一个根为

13.一元二次方程 x^{2}-6x+a=0 ,配方后为 (x-3)^{2}=1 ，则 {a=}

14.一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小3，如果把这个数的个位数字与十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小27，则原来的两位数是

15.若方程 x^{2}-2x-4=0 的两个实数根为 α*β; 则 α^{3}+8β+1 的值为

三、解答题(共75分)

16.(12分)用指定的方法解下列方程：

(1)x(x{+}8){=}16 （配方法)；

(2)2x^{2}+7x-4=0 （公式法）；

(3)2(x{-}3){=}3x(x{-}3) (因式分解法).

17.(8分)若实数 \boldsymbol{\mathscr{x}} 满足 (x^{2}+4x-5)^{2}+\mid x^{2}-x-30\mid=0 ，求 √((x{+)2)^{2}}-√((x{-)1)^{2}} 的值.

18.(8分)(1)已知一元二次方程 x^{2}+3x-1=0 的两根为 x_{1}\setminus x_{2} ，求代数式 一十一的值； 的值；(2)已知关于 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的一元二次方程 x^{2}+m x-2=0 的一个根为-1 ，求 m 的值及方程的另一个根.

19.（9分)已知关于 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的一元二次方程 x^{2}+(m+3)x+m+1=0. (1)求证：无论 m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；(2)若 x_{1},x_{2} 是原方程的两根,且 |x_{1}-x_{2}|=2√(2) ，求 m 的值.

21.(10分)如图1，将一张长 20\cm ，宽 10~{cm} 的长方形硬纸片裁剪掉图中阴影部分之后，恰好折成如图2的有盖纸盒，纸盒底面积为 48~cm^{2} ，求该有盖纸盒的高.（单位： cm

(2)若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方式，将该商品库存的20件全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于200元，则第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价？

20.（8分)（核心素养 * 运算能 \nDash )阅读下面的材料，解决问题：解方程 x^{4}-5x^{2}+4=0 ,这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常如下：设 x^{2}=y ,那么 x^{4}=y^{2} ,于是原方程可变为 y^{2}-5y+4=0 ，解得 y_{1}=1,y_{2}=4 当 {y_{1}}=1 时， x^{2}=1,\therefore x=±1 当 {y_{2}}=4 时， x^{2}=4,\dot{*}.x=±2 原方程有四个根： x_{1}=1,x_{2}=-1,x_{3}=2,x_{4}=-2 请参照例题，解方程 (x^{2}+x)^{2}-4(x^{2}+x)-12=0

22.（10分)某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同.(1)求该商品每次降价的百分率；

23.（10分）（大单元)如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形， a,b,c 是 Rt\triangle A B C 和 Rt\triangle B E D 的边长，易知A{\cal E}{=}√(2) c ,这时我们把关于 x 的形如 \scriptstyle a x^{2}+{√(2)} c x+b=0 的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”

(1)写出一个“勾系一元二次方程”；

(2)求证：关于 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的“勾系一元二次方程” \scriptstyle{a x^{2}+{√(2)} c x+b=0} 必有实数根；

(3)若 x=-1 是“勾系一元二次方程” \scriptstyle a x^{2}+{√(2)} c x+b=0 的一个根,且四边形ACDE的周长是 6√(2) ，求 \triangle A B C 的面积.

总分：120分 时间：120分钟

一、选择题(每小题3分，共30分)

1.下列是二次函数的是

A. y=x^{2}+2 B. _{y=2x+1} {C}. y{=}{-}(1)/(x){+}1 D. a.x^{2}-2=0(a\neq0)

2.抛物线 _{y=3x^{2}} ， \scriptstyle{y=-3x^{2}} _{y=13x^{2}} 共有的性质是

A.开口都向下 B.对称轴都是 _y 轴C.都有最高点 D. y 都随 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的增大而增

3.(2023·贵州中考)已知二次函数 y=a x^{2}+b x+c 的图象如图所示，则点 P(a,b) 所在的象限是 (A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

第3题图

第6题图

4. 2023\ * 安徽中考)下列函数中， _y 的值随 \boldsymbol{x} 值的增大而减小的是(

A. _{y=x^{2}+1} B.\ y=-x^{2}+1 C. _{y=2x+1} 1 0.y=-2x+1

5.抛物线 y=-(x-1)^{2}+2 的顶点坐标是 A. (1,2) B. (-1,2)\qquadC. (1,-2)\qquadD. (-1,-2)

6.已知二次函数 y=a x^{2}+b x+c(a\neq0) 的大致图象如图,关于该二次函数，下列说法错误的是 (A.函数有最小值

B.对称轴是直线 x=(1)/(2)

C.当 x{<}(1)/(2) _y 随 \boldsymbol{x} 的增大而减小D.当 -1{<}x{<}2 时， y{>}0

7.抛物线y= y{=}{(1)/(2)}x^{2} 向左平移1个单位,向下平移1个单位后的抛物线解析式为

8.已知二次函数 y{=}a x^{2}{+}b x{+}c 的 x ,\boldsymbol{y} 的部分对应值如下表

则该二次函数图象的对称轴为

A. _y 轴 B.直线 x=(5)/(2) C.直线 \scriptstyle x=2 D.直线x=

9.(2024·眉山中考)定义运算： a\otimesb=(a+2b)(a-b) ，例如 4{x}3= (4+2x3)(4-3) ，则函数 y=(x+1)\otimes2 的最小值为（)

A. -21 \begin{array}{c}{{B.-9}}\\ {{D.-5}}\end{array} C.-7

10.下列二次函数中,图象以直线 x=2 为对称轴，且当 x{<}0 时，y{>}5 的是

二、填空题（每小题3分，共15分）

11.若 y{=}(m{-}1)x^{|m|+1}{+}2x{-}3 是二次函数,则 m{=} 12.( 2024\ * 牡丹江中考)将抛物线 y=a x^{2}+b x+3 向下平移5个单位长度后，经过点 (-2,4) ，则 6a-3b-7=_{.}

13.（2023·泰安中考）二次函数 y=- x^{2}-3x+4 的最大值是

14.已知 A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}) 在二次函数 y=x^{2}-6x+4 的图象 上,若 x_{1}{<}x_{2}{<}3 ，则 y_{1}\longrightarrow\underline{{y_{2}}} .（填“>" \vDash ”或“ <\"

15.如图是二次函数 y=a x^{2}+b x+c 图象的一部分，图象过点 A(3,0) ，二次函数图象的对称轴为直线 x=1 ，给出下列四个结论：

其中正确的是 (填序号).

三、解答题(共75分)

.(9分)已知二次函数 y=-x^{2}+2x+3 (1)求抛物线的对称轴及顶点坐标；(2)画出函数图象；(3)根据图象，回答下列问题：① 写出函数值 y 为正数时，自变量 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的取值范围：⊚ 写出当一 *2{<}x{<}2 时，函数值 _y 的取值范围.

17.(9分)已知抛物线 y=-2x^{2}+8x-6

(1)用配方法求顶点坐标及对称轴；
(2)当 \boldsymbol{x} 取何值时， y 随 \boldsymbol{x} 的增大而减小?
(3)当 \boldsymbol{x} 取何值时， {\mathfrak{y}}=0? 当 \boldsymbol{\mathscr{x}} 取何值时， y{\ge}0? 当 \boldsymbol{\mathscr{x}} 取何值时， y{<}0?

18.（8分)二次函数 y=a x^{2}+b x+c(a\neq0) 的图象上部分点的横坐标 \boldsymbol{\mathscr{x}} 、纵坐标 _y 的对应值如下表：

(1)由表格信息，求出该二次函数的解析式，写出该二次函数图象的顶点 D 的坐标；
(2)如果该二次函数图象与 y 轴交于点A,点 P(5,t) 是图象上一点，求 \triangle P A D 的面积.

20.（10分）（数学思想 * 数形结合思想)如图，抛物线 y=a x^{2}+2x+c 经过点 A\left(0,3\right),B(-1,0) .请解答下列问题：

(2)已知抛物线的顶点为点 D ，对称轴与 x 轴交于点 E ，连接 BD,求BD的长.

19.（8分)已知二次函数 y=a x^{2}+b x+c 的图象经过点（0，3），顶点在直线 {y=-x+1} 上,且在第四象限，顶点与原点的距离为 √(5)

22.(10分)已知 y_{1}{=}a(x{-}h)^{2} 与 y_{2}=k x+b 交于点 A ,B 其中点 A(0,-1),B(1,0)

(1)求此二次函数与直线的解析式；
(2)当 y_{1}<y_{2} ,y_{1}=y_{2} ,y_{1}>y_{2} 时,分别确定自变量 x 的取值 范围.

(1)求二次函数的解析式；(2)设该二次函数的图象与 \boldsymbol{\mathscr{x}} 轴分别交于 A ,B 两点（点 A 在点 B 左侧)，顶点为 C ，求点 A,B,C 的坐标

21.（10分)如图，已知抛物线 y=-x^{2}+b x+c 过点 C\left(3,8\right) ，与\boldsymbol{\mathscr{x}} 轴分别交于 A ,B 两点，与 _y 轴交于点 D(0,5)

(1)求该抛物线的解析式；

(2)求该抛物线的顶点 M 的坐标，并求四边形ABMD的面积.

23.(11分)若直线 y=2x-15 与抛物线 _{y=a x^{2}} 交于 A,B 两点，且点 A 的横坐标为3.(1)求抛物线 _{y=a x^{2}} 的函数解析式；(2)请在同一平面直角坐标系内画出这两个函数的图象；(3)在(2)中，若连接 O A,O B ，试求 \triangle A O B 的面积.

参考答案与解析

周练卷一

一答案速查
1.A 2.B 3.A 4.C 5.A 6.A 7.B 8.C 9.A 10.B
11. x_{1}=0,x_{2}=1 12. 3x^{2}+9x+1{=}0 13.—414. 6+{√(5)} 15.-2
16. (1)x=1,x2=-5;(2)x=-1,x=3;(3)x=x=3;(4)x=3,2=
17.解：(1)关于 _{x} 的一元二次方程 k x^{2}-(2k+4)x+k-6=0 有两个不相等的实数根，\therefore\Delta{=}(2k{+}4)^{2}-4k(k-6)>0,\forall,k\neq ，解得 k>-(2)/(5) ，且k≠0;(2)当 \displaystyle k=1 时，原方程为 x^{2}-(2x1+4)x+1-6=0 即 x^{2}-6x-5{=}0 ，移项，得 x^{2}-6x=5 ，配方，得 x^{2}-6x+9=5+9 ，即 (x{-}3)^{2}=14 ，两边开方，得 x{-3}{=}±{√(14)} ,解得 x_{1}=3+√(14) ,x_{2}=3-√(14)
18.(1)提示：证明 \Delta{=}b^{2} {-} 4a c{>}0 ;(2)m{=} {-} 2 1 或1.
19.(1)p 1 (2)+↓ (2)(1)/(x_{1)}+(1)/(x_{2)}=p,x_{1}+(1)/(x_{1)}=p;(3) p=3.
20.解：(1) x_{1},x_{2} 是关于 _{x} 的一元二次方程 x^{2}-2(m+1)x+m^{2}+5=0 的两个实数根，.x_{1}+x_{2}=2(m+1),x_{1}.x_{2}=m^{2}+5 ： ,(x_{1}-1)(x_{2}-1)=x_{1}x_{2}-(x_{1}+x_{2})+1=m^{2}+5-2(m+1)+1=28, 解得 {m=-4} 或 m=6 当 {m}=-4 时，原方程无解，·. m=6 (2)① 当7为底边长时，此时方程 x^{2}-2(m{+}1)x{+}m^{2}+5=0 有两个相等的实数根，\Delta=4(m+1)^{2}-4(m^{2}+5)=0 ，解得 m=2 ，.方程变为 x^{2}-6x+9=0 ,解得 x_{1}=x_{2}=3 ： 3+3<7 ,..不能构成三角形.⊚ 当7为腰长时，设 .x_{1}=7 ，代人方程，得 49-14(m+1)+m^{2}+5=0 ，解得 m_{1}=10 ,m_{2}=4 当 m=10 时，方程变为 x^{2}-22x+105=0 ，解得 x_{1}=7,x_{2}=15 7+7<15 ,..不能组成三角形；当 {m}{=}4 时，方程变为 x^{2}-10x+21=0 解得 _{x_{1}}=3,x_{2}=7 ，此时三角形的周长为 7+7+3=17 ，
21.解：(1)原方程可变形，得[ (x+5)-! 2 (x+5)+2]{=}5 ，(x{+}5)^{2}{-}2^{2}{=}5,(x{+}5)^{2}{=}5{+}2^{2}. 直接开平方并整理，得 x_{1}=-2,x_{2}=-8 上述过程中的 a,b,c,d 表示的数分别为 5,2,-2,-8 (2)原方程可变形，得[（x一1)一4][ [x{-}1){+}4]{=}6 ，(x{-}1)^{2}{-}4^{2}{=}6,(x{-}1)^{2}{=}6{+}4^{2} 直接开平方并整理，得 x_{1}=1+√(22) x_{2}=1-√(22)

(x-1)^{2}=5,\dot{\bf\Big<}*x-1=±√(5),\dot{\bf\Big<}*x_{1}=1-√(5)<-1,x_{2}=1+√(5)>3. 故选A.

10.将x=3代人方程,得 9-5a-α²=0,解得α==5±√T. \ X::a>0,\therefore a=(-5+√(61))/(2). \mathbb{X}::7<√(61)<8 ,::2<√(61)-5<3 ,: 1<(√(61)-5)/(2)<(3)/(2) ,即1<a< .故选B
15.根据题意，得 x_{1}+x_{2}=-2,x_{1},x_{2}=k-1 ， .x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-3x_{1}x_{2}=4-3(k-1)=13, 解得 k=-2

周练卷二

1.C2.B3.D4.A5.B6.D7.A8.A9.B10.D

11.1 501(1+x)²=1 815 12. 10%
13. (50+2x)(80+2x)-50x80=(1)/(3)x50x80 14.13 15.120
16.解：(1)由题意，得 x(x{-}1){=}756 (2).x(x{-}1){=}756 ,整理，得 x^{2}-x-756=0 ，则 a=1,b=-1,c=-756.
17.解：设剪去的小正方形的边长为 x \operatorname{cm}. 根据题意，得 (10-2x) 6{-}2x){=}32 整理，得 x^{2}-8x+7=0 ,解得 x_{1}=7,x_{2}=1 7{>}6 ,{\therefore}{x_{1}}{=}7 舍去.答：剪去的小正方形的边长为 1~cm
18.解：设每个房间每天的定价增加 10x 元时，宾馆每天利润为5520元.根据题意，得 (120\substack{+10x-20}) (50-2x)=5~520 整理，得 x^{2}-15x+26=0 ，解得 _{x_{1}=13,x_{2}=2} 当 _{x=13} 时 ,120+10.x=250>200 ，故舍去，·. x=2 ，则 120+10.x=140(\overrightarrow{x}) 答：每个房间价格定为每天140元时，宾馆每天利润为5520元.
19.解：设每个商品的定价是 _{x} 元.由题意，行 \scriptstyle{\vec{\mathtt{j}}}(x-40)[180-10(x-52)]=2\ 000 整理，得 x^{2}-110x+3\ 000=0 ,解得 x_{1}=50 _{x_{2}}=60 当 _{x=50} 时，进货 180-10x(50-52)=200(° 个 )> 180(个)，不符合题意，舍去；当 _{x=60} 时，进货 180-10x(60-52)=100( 个 \mathord{\left.\kern-\nulldelimiterspace}80\right( 个)，符合题意.答：商店若准备获利2000元，应进货100个，定价为每个60元.
20.解：(1)设矩形ABCD的边 A B=x\;m ，则边 B C{=}70{-}2x{+}2{=}(72{-}2x)m. 根据题意，得 x(72-2x)=640 化简，得 x^{2}-36x+320=0. 解得 x_{1}=16,x_{2}=20. 当 _{x=16} 时 .72-2x=72-32=40 当 _{x=20} 时， 72-2x{=}72{-}40{=}32 答：当羊圈的长为 40rm{m} ，宽为 16~m~ 或长为 32rm{m} ，宽为 20rm{m} 时，能围成一个面积为 640\ m^{2} 的羊圈；(2)不能.理由如下：由题意，得 x(72-2x)=650 化简，得 x^{2}-36x+325=0. ^{\bullet}\Delta=(-36)^{2}-4x325=-4<0 ..一元二次方程没有实数根，.羊圈的面积不能达到 650~m^{2}
21.解：(1)设2023年到2025年该校购买羽毛球拍费用的年平均增长率为 x. 根据题意，得 2\ 000(1{+}x)^{2}{=}2 880,解得 x=0,2 ，或 .x=-2, 2(舍去).答：2023年到2025年该校购买羽毛球拍费用的年平均增长率为 20% 2)2\ 880x(1+20%)=3 456(元).答：2026年需要抽出3456元资金用于购买羽毛球拍.
22.解：（1)：购买数量超过60台，每增加1台，所购买的这批设备每台均降价0.5万元，.优惠后的每台设备的价格为120一( ),5(x-60)=-0, 5x+150 （万元）；(2)设该省购买了这种设备 y 台.： 120x60=7 200(万元)，7200<8800， y>60 依题意，得 y(-0.5y{+}150){=}8\;8 300，整理，得 y^{2}-300y+17\ 600=0 ，解得 y_{1}=80 ,y_{2}=220, 公司规定每台售价的最大优惠率不得超过 20% ，\bullet,-0. 5y+150{>=slant}120x(1-20%),\bullet\bullets{<=slant}108,\therefore y{=}80 答：该省购买了这种设备80台.

详解详析

由题意，得 x(x-2)=48 ，解得 x_{1}=8,x_{2}=-6( 不合题意，舍去)，则原来这块木板的面积为 8x8=64(m^{2}) .故选 \operatorname{B}_{*}
10.设这个航空公司共有飞机场 _{X} 个.依题意，得 /12x(x{-}1){=}21 解得 x_{1}=7 或 x_{2}=-6( 舍去)，则这个航空公司共有飞机场7个.故选D.
15.设原矩形停车场的长是 x{bf{m}} ，则宽是 (x-20)m. 根据题意，得 x(x-20)=12 000，解得 x=120 或 _{x=-100} （舍去），即原停车场的长是 120\ m.

答案速查1.C2.D3.C 4.C 5.C6.D7.B8.B9.B10.F11.112.1 -{(3)/(2)} 13.8 14.63 15.25

1 *\left.(1)_{x_{1}}=4√(2)-4,x_{2}=-4√(2)-4;(2)_{x_{1}}=(1)/(2),x_{2}=-4;(3)_{x_{1}}=3,x_{2}=(2)/(3).
17.解：根据题意， [4]①x^{2}+4x-5=0,②x^{2}-x-30=0 解 ① ，得 x=-5 或 x=1 解 ⊚ ，得 x=-5 或 _{x=6} ：： *_{x} 同时满足 ① 和 ⊚ x=-5 当 x=-5 时，原式 ={√((-5{+)2)^{2}}}-{√((-5{-)1)^{2}}}{=}3{-}6{=}{-}3.
18.解：(1)根据根与系数的关系，得 x_{1}+x_{2}=-3,x_{1},x_{2}=-1 ，所以 (1)/(x_{1)}+(1)/(x_{2)}=(x_{1}+x_{2})/(x_{1)x_{2}}=3 , (2)设方程的另一个根为t.根据根与系数的关系，得 -1{+}t{=}{-}m,{-}1{x}t{=}{-}2 解得 \scriptstyle{t=2,m=-1} 所以 m 的值为一1,方程的另一个根为2.
19.(1)证明： *s\Delta=(m+3)^{2}-4(m+1)=(m+1)^{2}+4-*s 无论 m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；(2）解： x_{1},x_{2} 是原方程的两根 ,\therefore x_{1}+x_{2} {=} {-}(m{+}3),x_{1},x_{2} {=} m{+}1. ： *\mid x_{1}-x_{2}\mid=2{√(2)} , \dot{\bullet},(x_{1}-x_{2})^{2}=(2{√(2)} )^{2} , \dot{\bullet},(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}=8, ： [-(m{+}3)]^{2}-4(m{+}1)=8,\dot{*},m^{2}+2m-3=0 ，解得 m_{1}=-3,m_{2}=1
20.解：设 x^{2}+x=y ，原方程可变为 y^{2}-4y-12=0 ，解得 y_{1} {=} 6 ,y_{2} {=} -2 当 y_{1}=6 时， x^{2}+x=6 解得 x_{1}=-3,x_{2}=2 当 y_{2}=-2 时， x^{2}+x=-2 ，得方程 x^{2}+x+2=0 \mathbf{\nabla}^{\prime}\Delta=b^{2}-4a c=1^{2}-4x2=-7<0, ..方程无实数根；原方程有两个根： _{X_{1}}=-3,x_{2}=2
21.解:设纸盒的高为 x cm.依题意，得- 得20-2(10-2x)=48,化简，得 x^{2}-15x+26=0 ，解得 _{x_{1}=2,x_{2}=13} 当 x=2 时 ,10-2x=6>0 . 符合题意；当 _{x=13} 时 ,10-2x=-16<0 ,不符合题意，舍去.答：纸盒的高为2cm.
22.解：(1)设该商品每次降价的百分率为 x. 依题意，得 60(1-x)^{2}=48.6 ，解得 x_{1}=0,1,x_{2}=1. 9(舍去).答：该商品每次降价的百分率为 10% (2)设第一次降价售出 a 件，则第二次降价售出 (20-a) 件.依题意，得[ 60(1-10%)-40\big]a+(48.6-40)(20-a)>=slant200, 解得 a>=slant5 {(5)/(27)} ： *_{a} 为整数，..α的最小值是6.答：第一次降价至少售出6件后，方可进行第二次降价.
23.(1)解：当 a=3,b=4,c=5 时，“勾系一元二次方程”为 3x^{2}+5√(2)x+4=0 (2)证明：根据题意，得 \Delta=(√(2) c)^{2}-4a b=2c^{2}-4a b. \Delta{>=slant}0 ，“勾系一元二次方程” \scriptstyle a x^{2}+{√(2)}c x+b=0 必有实数根；(3)解：当 x!=-1 时，有 a-√(2) c+b=0 ，即 \scriptstyle a+b={√(2)}c 2a+2b+√(2)c=6√(2) ,即 2(a+b)+√(2)c=6√(2) ，\therefore3{√(2)} c=6{√(2)} ,\dot{\ldots}c=2,\dot{\ldots}a^{2}+b^{2}=c^{2}=4,a+b=2{√(2)}. ::(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2a b,\dot{\bullet}*a b=2,\dot{\bullet}*S_{\triangle A B C}=(1)/(2)a b=1.

详解详析

14.设这个数的个位数字是 _{x} ，则十位数字是 (x^{2}-3) ，则这个两位数是 10(x^{2}-3)+x 交换位置后的数是 (10.x{+}x^{2}{-}3) 由题意，得 10(x^{2}-3)+x-(10x+x^{2}-3)=27. 整理，得 x^{2}-x-6=0 ，即 (x{+}2)(x{-}3){=}0 ，解得 x_{1}=-2( 舍去)， {x_{2}}=3 则这个两位数是 10(x^{2}-3)+x{=}63
15.根据题意，得α十β=2 *α^{2} {=} 2α {+}4 α²+8β+1= \scriptstyle{^{*}α}x{\dot{α^{2}}}+8β+1={α}(2α+4)+8β+1=2α^{2}+4α+8β+1=4α+8+4α+8β+1 1{=}8α{+}8β{+}9{=}8(α{+}β){+}9{=}16{+}9{=}25.

周练卷三

答速二
1.A2.B 3.D4.D5.A 6.D 7.B 8.D 9.B 10.B
11. -1 12.2 13. (25)/(4) 14. > 15. ①③
16.(1)对称轴为直线 x=1 顶点坐标为(1，4)；(2)略： (3)①-1<x<3;②-5<y<=4