详解详析

抓分题 高中同步天天练

学习之道，贵在“解析-整合-反思”的思维淬炼，

重在“本质理解”，而非答案正确。

破解难题双策：

一日精研答案一解构步骤逻辑，梳理归纳要点，领悟题目精髓；
二日碰撞交流一分享个人思路，融汇多元见解，达成透彻认知。

附

第一章空间向量与立体几何

课时作业1一空间向量及其线性运算

1.D【解析】因为 E , F 分别是 A B , B C 的中点，所以 { / { 1 } { 2 } } { \overrightarrow { A B } } = A { / { 1 } { 2 } } { \overrightarrow { A C } } = { \overrightarrow { E F } } ，所以 \overrightarrow { D A } + / { 1 } { 2 } \overrightarrow { A B } + / { 1 } { 2 } \overrightarrow { A C } = \overrightarrow { D A } + \overrightarrow { A E } + EF \scriptstyle \mathbf { α = } { \overrightarrow { D F } } ：

2.C【解析】 \overrightarrow { B _ { 1 } M } = \overrightarrow { B M } - \overrightarrow { B B _ { 1 } } = / { 1 } { 2 } ( \overrightarrow { B A } + \overrightarrow { B C } ) - \overrightarrow { A A } _ { 1 } ^ { * } = / { 1 } { 2 } ( - \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { A D } ) - \overrightarrow { A A _ { 1 } } = - / { 1 } { 2 } { \mathbfit { a } } + / { 1 } { 2 } { \mathbfit { b } } - { \mathbfit { c } } .

3.D【解析】D中,由 \overrightarrow { O M } = / { 1 } { 3 } \overrightarrow { O A } + / { 1 } { 3 } \overrightarrow { O B } + / { 1 } { 3 } \overrightarrow { O C } ，得 \ B \overrightarrow { O M } = OA + OB + { \overrightarrow { O C } } ，则 \overrightarrow { O M } - \overrightarrow { O A } + \overrightarrow { O M } - \overrightarrow { O B } + \overrightarrow { O M } - \overrightarrow { O C } = { \bf 0 } , 即\stackrel { \longrightarrow } { A M } = - \stackrel { \longrightarrow } { B M } - \stackrel { \longrightarrow } { C M } ，所以 \xrightarrow [ { A M } ] { } 与 \overrightarrow { B M } , \overrightarrow { C M } 在一个平面上，即点 M 与点 \scriptstyle A , B , C 一定共面.

4.D【解析】在平行六面体 A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 } 中 \stackrel { } { * { \ r { A C } _ { 1 } } } = \stackrel { } { \ r { A B } } + \overrightarrow { B C } + \overrightarrow { C C _ { 1 } } ，由题意可知 x = 1 , 2 y = 1 , 3 z = 1 ，即 x = 1 , y = / { 1 } { 2 } z { = } / { 1 } { 3 } ，所以x+y+z x + y + z = { / { 1 1 } { 6 } } ,

5.BC【解析】根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模相等，而且方向相同，A中向量 bf { \em a } 与 bf { it { b } } 的方向不一定相同，A为假命题；因为 \xrightarrow [ A C ] { } 与 \overrightarrow { A _ { 1 } C _ { 1 } } 的方向相同，模也相等，所以 { \stackrel { \triangledown } { \vec { A } } } { \vec { C } } = \overrightarrow { A _ { 1 } C _ { 1 } } ,B为真命题;向量的相等满足传递性，故C为真命题；平行向量不一定具有传递性，当 ±b { b } = \mathbf { 0 } 时， bf { \em a } 与 \boldsymbol { c } 不一定平行，故D为假命题.

6.AC【解析】由向量的加法运算可得 \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { B C } + \overrightarrow { C D } = \overrightarrow { A C } + （204号 \scriptstyle { \overrightarrow { C D } } = { \overrightarrow { A D } } ，故A正确;由向量的加减法运算可得 { \overrightarrow { A B } } + { \overrightarrow { B C } } - \overrightarrow { C D } = \overrightarrow { A C } - \overrightarrow { C D } = \overrightarrow { D C } + \overrightarrow { A C } = \overrightarrow { D A } ,故 B错误;由向量的加法运 算可得 { \overrightarrow { A B } } + { / { 1 } { 2 } } ( { \overrightarrow { B C } } + { \overrightarrow { B D } } ) = { \overrightarrow { A B } } + { \overrightarrow { B F } } = { \overrightarrow { A F } } ，故C正确；由 向量的加减法运算可得 \overrightarrow { A B } - \overrightarrow { A E } + \overrightarrow { E F } = \overrightarrow { E B } + \overrightarrow { E F } \neq \overrightarrow { F B } ，故 D错误.

7. sqrt { 3 } 【解析】 \vert a + b + c \vert = \vert \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { B C } + \overrightarrow { A A } _ { 1 } ^ { * } \vert = \vert \overrightarrow { A C } + \overrightarrow { A A } _ { 1 } ^ { * } \vert = \vert \overrightarrow { A C _ { 1 } } \vert = sqrt { 3 } .

8.1【解析】因为 \overrightarrow { P Q } = \overrightarrow { P D } + \overrightarrow { D C } + \overrightarrow { C Q } = / { 1 } { 2 } \overrightarrow { A D } + \overrightarrow { A B } + / { 1 } { 3 } \overrightarrow { C C _ { 1 } } = \overrightarrow { A B } + / { 1 } { 2 } \overrightarrow { A D } + / { 1 } { 3 } \overrightarrow { A A _ { 1 } } , \overrightarrow { P M } = \overrightarrow { P D } + \overrightarrow { D D _ { 1 } } + \overrightarrow { D _ { 1 } M } = / { 1 } { 2 } \overrightarrow { A D } + \overrightarrow { A A _ { 1 } } + / { 1 } { 3 } \overrightarrow { D _ { 1 } C _ { 1 } } = / { 1 } { 3 } \overrightarrow { A B } + / { 1 } { 2 } \overrightarrow { A D } + \overrightarrow { A A _ { 1 } } 所以 { \overrightarrow { P Q } } + （204号 \overrightarrow { P M } = / { 4 } { 3 } \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { A D } + / { 4 } { 3 } \overrightarrow { A A _ { 1 } } ，所以 \scriptstyle = { / { 4 } { 3 } } , b = 1 , c = { / { 4 } { 3 } } ，所以a + b - c = / { 4 } { 3 } + 1 - / { 4 } { 3 } = 1 .

9.【解答】方法一：因为 M , N 分别是 A C , B F 的中点，且四边形A B C D 与四边形ABEF都是平行四边形，所以 { \overrightarrow { M N } } = { \overrightarrow { M A } } + \overrightarrow { A F } + \overrightarrow { F N } = / { 1 } { 2 } \overrightarrow { C A } + \overrightarrow { A F } + / { 1 } { 2 } \overrightarrow { F B } , \overrightarrow { M N } = \overrightarrow { M C } + \overrightarrow { C E } + \overrightarrow { E B } + （20 \overrightarrow { B N } = - / { 1 } { 2 } \overrightarrow { C A } + \overrightarrow { C E } - \overrightarrow { A F } - / { 1 } { 2 } \overrightarrow { F B } 以上两式相加得 { \overrightarrow { 2 M N } } = \scriptstyle { \overrightarrow { C E } } ，所以 \overrightarrow { C E } / \overrightarrow { M N } ，即 \scriptstyle { \overrightarrow { C E } } 与 \overrightarrow { M N } 共线.

方法二：连接 A E ，因为四边形 A B E F 为平行四边形，所以（204 A E 必过点 N ，所以 \overrightarrow { C E } = \overrightarrow { A E } - \overrightarrow { A C } = 2 \overrightarrow { A N } - 2 \overrightarrow { A M } = 2 ( { \overrightarrow { A N } } - { \overrightarrow { A M } } ) = 2 { \overrightarrow { M N } } ，所以 \overrightarrow { C E } / / \overrightarrow { M N } ,即 \scriptstyle { \overrightarrow { C E } } 与 \overrightarrow { M N } 共线.

10.【解答】（1）因为 \overrightarrow { A C _ { 1 } } = \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { A D } + \overrightarrow { A A _ { 1 } } = \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { A D } + / { 1 } { 3 } \overrightarrow { A A _ { 1 } } + / { 2 } { 3 } \overrightarrow { A A _ { 1 } } = \overrightarrow { A B } + / { 1 } { 3 } \overrightarrow { A A _ { 1 } } + \overrightarrow { A D } + / { 2 } { 3 } \overrightarrow { A A _ { 1 } } = ( \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { B E } ) + ( \overrightarrow { A D } + \overrightarrow { D F } ) = \overrightarrow { A E } + \overrightarrow { A F } ，所以 A , E , C _ { 1 } , F 四点共面.(2）因为 \overrightarrow { E F } = \overrightarrow { A F } - \overrightarrow { A E } = \overrightarrow { A D } + \overrightarrow { D F } - ( \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { B E } ) = \overrightarrow { A D } + \begin{array} { r } { / { 2 } { 3 } \overrightarrow { D D _ { 1 } } - \overrightarrow { A B } - / { 1 } { 3 } \overrightarrow { B B _ { 1 } } = - \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { A D } + / { 1 } { 3 } \overrightarrow { A A _ { 1 } } } \end{array} 所以 x = （204号- 1 , y = 1 , z = / { 1 } { 3 } 所以 x + y + z = { / { 1 } { 3 } } 业

11.【解答】（1）如图，取 \mathbf { A } A _ { 1 } 的中点 E 在 D _ { 1 } C _ { 1 } 上取一点 F ，使得 D _ { 1 } F = （204号 2 F C _ { 1 } ，连接 E F ，则 { / { 1 } { 2 } } \overrightarrow { A A _ { 1 } } + \overrightarrow { B C } + （204号 / { 2 } { 3 } \overrightarrow { A B } = \overrightarrow { E A _ { 1 } } + \overrightarrow { A _ { 1 } D _ { 1 } } + \overrightarrow { D _ { 1 } F } = \overrightarrow { E F } , （204 \xrightarrow [ E F ] { } 如图所示， E 为 \mathbf { A } A _ { 1 } 中点， F 为 D _ { 1 } C _ { 1 } 上靠近 C _ { 1 } 的三等分点.

(第11题）

(2）因为 \overrightarrow { M \tilde { N } } = \overrightarrow { M \tilde { B } } + \overrightarrow { B \tilde { N } } = / { 1 } { 2 } \overrightarrow { D \tilde { B } } + / { 3 } { 4 } \overrightarrow { B C _ { 1 } } = / { 1 } { 2 } ( \overrightarrow { D \tilde { A } } + \overrightarrow { A \tilde { B } } ) + / { 3 } { 4 } ( \overrightarrow { B C } + \overrightarrow { C C _ { 1 } } ) = - / { 1 } { 2 } \overrightarrow { A D } + / { 1 } { 2 } \overrightarrow { A B } + / { 3 } { 4 } \overrightarrow { A D } + / { 3 } { 4 } \overrightarrow { A A _ { 1 } } = / { 1 } { 2 } \overrightarrow { A B } + / { 1 } { 4 } \overrightarrow { A D } + / { 3 } { 4 } \overrightarrow { A A _ { 1 } } ，所以 \scriptstyle α = { / { 1 } { 2 } } , β = { / { 1 } { 4 } } , γ = { / { 3 } { 4 } } .

课时作业2一空间向量的数量积运算

1.A【解析】因为 \scriptstyle { \overrightarrow { C D } } = { \overrightarrow { A D } } - { \overrightarrow { A C } } ，所以AB·CD=AB·(AD-\overrightarrow { A C } ) = \overrightarrow { A B } * \overrightarrow { A D } - \overrightarrow { A B } * \overrightarrow { A \overrightarrow { C } } = 0 - 2 x 2 x \cos 6 0 ^ { \circ } = - 2 . （20

2.C【解析】如图， \overrightarrow { A E } * \overrightarrow { A F } = / { 1 } { 2 } ( \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { A C } ) * / { 1 } { 2 } \overrightarrow { A D } = / { 1 } { 4 } ( \overrightarrow { A B } * \overrightarrow { A D } + \overrightarrow { A C } * \overrightarrow { A D } ) = / { 1 } { 4 } \Big ( a x a x / { 1 } { 2 } + a x a x / { 1 } { 2 } \Big ) = { / { 1 } { 4 } } a ^ { 2 }

（第2题）

（第4题）

3.C【解析】 \vert \overrightarrow { O A } + \overrightarrow { O B } + \overrightarrow { O C } \vert ^ { 2 } = \overrightarrow { O A } ^ { 2 } + \overrightarrow { O B } ^ { 2 } + \overrightarrow { O C } ^ { 2 } + 2 ( \overrightarrow { O A } （204号 \overrightarrow { O B } + \overrightarrow { O B } * \overrightarrow { O C } + \overrightarrow { O A } * \overrightarrow { O C } ) = 3 + 2 \left( \ 0 + / { 1 } { 2 } + / { 1 } { 2 } \right) = 5 ，故| { \overrightarrow { O A } } + { \overrightarrow { O B } } + { \overrightarrow { O C } } | = { sqrt { 5 } } . （204号

4.C【解析】如图,因为 \overrightarrow { B D _ { 1 } } = \overrightarrow { A D } - \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { A A _ { 1 } } ，所以 | \overrightarrow { B D _ { 1 } } | ^ { 2 } = \begin{array} { c } { { | \overrightarrow { A D } - \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { A A _ { 1 } } | ^ { 2 } = | \overrightarrow { A B } | ^ { 2 } + | \overrightarrow { A D } | ^ { 2 } + | \overrightarrow { A A _ { 1 } } | ^ { 2 } - 2 \overrightarrow { A B } * } } \\ { { \overrightarrow { A D } - 2 \overrightarrow { A B } * \overrightarrow { A A _ { 1 } } + 2 \overrightarrow { A D } * \overrightarrow { A A _ { 1 } } = 1 + 1 + 1 - 2 x 1 x 1 > } } \end{array} √cos 4 5 ^ { \circ } - 2 { x } 1 { x } 1 { x } \cos 6 0 ^ { \circ } + 2 { x } 1 { x } 1 { x } \cos 6 0 ^ { \circ } = 3 - { sqrt { 2 } } ，所以{ | \overrightarrow { B D _ { 1 } } | = } sqrt { 3 { - } { sqrt { 2 } } } . （204

5.ACD【解析】对于A，由 \boldsymbol { \mathbf { \mathit { E } } } 为 C _ { 1 } D _ { 1 } 的中点，得 \overrightarrow { D _ { 1 } E } = / { 1 } { 2 } \overrightarrow { D _ { 1 } C _ { 1 } } ，在直四棱柱 A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 } 中， { \overrightarrow { A E } } = { \overrightarrow { A D } } + \overrightarrow { D D _ { 1 } } + \overrightarrow { D _ { 1 } E } = / { 1 } { 2 } \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { A D } + \overrightarrow { A A _ { 1 } } 故A正确;对于B,由 F 为（204号 A _ { 1 } D _ { 1 } 的中点，得 \overrightarrow { A _ { 1 } F } = / { 1 } { 2 } \overrightarrow { A _ { 1 } D _ { 1 } } ，在直四棱柱 ABCD -A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 } 中，易知 \overrightarrow { A _ { 1 } D _ { 1 } } = \overrightarrow { A D } , \overrightarrow { B F } = \overrightarrow { B A } + \overrightarrow { A A _ { 1 } } + \overrightarrow { A _ { 1 } F } = - \overrightarrow { A B } + / { 1 } { 2 } \overrightarrow { A D } + \overrightarrow { A A _ { 1 } } ,故 B错误;对于C,由题意可得 \xrightarrow [ A B ] { } 与（204号 \xrightarrow [ A D ] { } 的夹角为 / { 2 π } { 3 } 且 \cos { / { 2 π } { 3 } } = - { / { 1 } { 2 } } 则 { \overrightarrow { A B } } * { \overrightarrow { A E } } = { \overrightarrow { A B } } ．\bigg ( / { 1 } { 2 } \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { A D } + \overrightarrow { A A _ { 1 } } \bigg ) = / { 1 } { 2 } \overrightarrow { A B ^ { 2 } } + \overrightarrow { A B } * \overrightarrow { A D } + \overrightarrow { A B } * \overrightarrow { A A _ { 1 } } = { / { 1 } { 2 } } x 2 ^ { 2 } + 2 x 2 x { \bigl ( } - { / { 1 } { 2 } } { \bigr ) } + 0 = 0 ,故C正确;对于D,AB·\overrightarrow { B F } = \overrightarrow { A B } * \left( \overrightarrow { \vphantom { A } } - \overrightarrow { A B } + / { 1 } { 2 } \overrightarrow { A D } + \overrightarrow { A A _ { 1 } } \right) = - \overrightarrow { A B } ^ { 2 } + / { 1 } { 2 } \overrightarrow { A B } * （204号\overrightarrow { A D } + \overrightarrow { A B } * \overrightarrow { A A _ { 1 } } = - 5 ，故D正确.

6.ABD【解析】A中, ( \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { A C } + \overrightarrow { A D } ) ^ { 2 } - ( \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { A C } - \overrightarrow { A D } ) ^ { 2 } = ⟨ \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { A C } ⟩ ^ { 2 } + | \overrightarrow { A D } | ^ { 2 } + 2 ( \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { A C } ) * \overrightarrow { A D } - [ ( \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { A C } ) * \overrightarrow { A C } ] 22 ( \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { A C } ) * \overrightarrow { A D } + \vert \overrightarrow { A D } \vert ^ { 2 } ] = 4 ( \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { A C } ) * \overrightarrow { A D } , 因为\overrightarrow { A B } , \overrightarrow { A C } , \overrightarrow { A D } 两两垂直，所以 ( \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { A C } ) * \overrightarrow { A D } = 0 ,因此可判断A正确. | \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { A C } + \overrightarrow { A D } | ^ { 2 } = | \overrightarrow { A B } | ^ { 2 } + | \overrightarrow { A C } | ^ { 2 } + | \overrightarrow { A D } | ^ { 2 } + 2AB * \overrightarrow { A C } + 2 \overrightarrow { A B } * \overrightarrow { A D } + 2 \overrightarrow { A C } * \overrightarrow { A D } = | \overrightarrow { A B } | ^ { 2 } + | \overrightarrow { A C } | ^ { 2 } + | \overrightarrow { A D } | ^ { 2 } ，所以B正确 \overrightarrow { ( A B } + \overrightarrow { A D } + \overrightarrow { A C } ) * \overrightarrow { B C } = ( \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { A D } + （204号\overrightarrow { A C } ) * ( \overrightarrow { A C } - \overrightarrow { A B } ) = \overrightarrow { A B } * \overrightarrow { A C } - \vert \overrightarrow { A B } \vert ^ { 2 } + \overrightarrow { A C } * \overrightarrow { A D } - \overrightarrow { A D } * （2\overrightarrow { A B } + \vert \overrightarrow { A C } \vert ^ { 2 } - \overrightarrow { A C } * \overrightarrow { A B } = \vert \overrightarrow { A C } \vert ^ { 2 } - \vert \overrightarrow { A B } \vert ^ { 2 } ，当 | { \overrightarrow { A C } } | = | { \overrightarrow { A B } } | 时， | { \overrightarrow { A C } } | ^ { 2 } - | { \overrightarrow { A B } } | ^ { 2 } = 0 ，否则不成立，因此C不正确. \xrightarrow [ A B ] { } ·\overrightarrow { C D } = \overrightarrow { A B } * ( \overrightarrow { A D } - \overrightarrow { A C } ) = \overrightarrow { A B } * \overrightarrow { A D } - \overrightarrow { A B } * \overrightarrow { A C } = 0 ，同理\overrightarrow { A C } * \overrightarrow { B D } = 0 , \overrightarrow { A D } * \overrightarrow { B C } = 0 ,因此D正确.

7. - { / { 3 } { 1 0 } } 【解析】因为 m \perp n ，所以 ( a + b ) * ( a + λ b ) = 0 ，所以±b { a } ^ { 2 } + ( λ + 1 ) ±b { a } * ±b { b } + λ ±b { b } ^ { 2 } = 0 ，即 1 8 + ( λ + 1 ) x 1 5 sqrt { 2 } x \Big ( - / { sqrt { 2 } } { 2 } \Big ) + 2 5 λ = 0 , { \# λ } = - / { 3 } { 1 0 } . （20

8. sqrt { 6 } 【解析】因为 \overrightarrow { A C _ { 1 } } = \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { A D } + \overrightarrow { A A _ { 1 } } ，所以 | \overrightarrow { A C _ { 1 } } | = { sqrt { ( { \overrightarrow { A B } } + { \overrightarrow { A D } } + { \overrightarrow { A A _ { 1 } } } ) ^ { 2 } } } = { sqrt { { \overline { { A { \dot { B } } } } } ^ { 2 } + { \overline { { A { \dot { D } } } } } ^ { 2 } + { \overline { { A { \dot { A } } } } } _ { 1 } ^ { 2 } } } + 2 ( { \overline { { A { \dot { B } } } } } * { \overline { { A { \dot { D } } } } } + { \overline { { A { \dot { D } } } } } * { \overline { { A { \dot { A } _ { 1 } } } } } + { \overline { { A { \dot { B } } } } } * { \overline { { A { \dot { A } _ { 1 } } } } } ) = sqrt { 1 + 1 + 1 + 2 x \left( 1 x 1 x / { 1 } { 2 } x 3 \right) } = sqrt { 6 } . （204号

9.【解答】如图，设 \overrightarrow { A B } = a , \overrightarrow { A D } = b , \overrightarrow { A A _ { 1 } } = c ，则 | ±b { a } | = | ±b { c } | = 2 | b | = 4 , a * b = b * c = c * a = 0 . （20

(1) \begin{array} { r } { \overrightarrow { B C } * \overrightarrow { E D _ { 1 } } = \overrightarrow { A D } * ( \overrightarrow { E A _ { 1 } } + \overrightarrow { A _ { 1 } D _ { 1 } } ) = \overrightarrow { A D } * \left[ / { 1 } { 2 } ( \overrightarrow { A A _ { 1 } } - \overrightarrow { A A _ { 1 } D _ { 1 } } ) * \overrightarrow { A D _ { 1 } } \right] . } \end{array} \overrightarrow { A B } ) + \overrightarrow { A D } ] = \boldsymbol { b } * \left[ / { 1 } { 2 } ( \boldsymbol { c } - \boldsymbol { a } ) + \boldsymbol { b } \right] = | \boldsymbol { b } | ^ { 2 } = 4 ^ { 2 } = 1 6 . （204号\begin{array} { r l r } & { } & { ( 2 ) ~ B \bar { F } * \bar { A } \bar { A } \bar { B } _ { 1 } - ( B \bar { A } _ { 1 } ^ { + } + \bar { A } _ { 1 } \bar { F } ) * ( \bar { A } \bar { B } + B \bar { B } _ { 1 } ^ { - } ) - \bar { A } \bar { A } _ { 1 } ^ { - } - \bar { A } \bar { B } _ { 1 } ^ { + } } \\ & { } & { / { 1 } { 2 } / { 1 } { \Delta ^ { \bar { A } } \bar { B } } \Bigg ⟩ ~ * ⟨ \bar { A } \bar { B } \bar { B } + \bar { A } _ { 1 } ^ { + } ⟩ = ( e - a + / { 1 } { 2 } b ) * ( a + e ) = | e | ^ { 2 } - } \\ & { } & { | a | ^ { 2 } - 2 ^ { / { 1 } { 2 } } - 0 . } \\ & { } & { ( 3 ) ~ \overline { { F \bar { F } } } * \overline { { F \bar { \mathbf { A } } } } = ( \overline { { E \bar { A } _ { 1 } } } + \overline { { A _ { 1 } \bar { F } } } ) * ( \overline { { F \bar { D } _ { 1 } } } + \overline { { D _ { 1 } C _ { 1 } } } ) = [ / { 1 } { 2 } / { 1 } { ( \bar { A } \bar { A } _ { 1 } ) } - } \\ & { } & { \overline { { A \bar { B } } } ) + / { 1 } { 2 } \overline { { A \bar { B } } } ] * ( / { 1 } { 2 } \overline { { A \bar { D } } } + \overline { { A \bar { B } } } ) = [ / { 1 } { 2 } ( e - a ) + / { 1 } { 2 } b ] * } \\ & { } & { ( / { 1 } { 2 } b + a ) - / { 1 } { 2 } ( - a + b + c ) * ( / { 1 } { 2 } b + a ) - / { 1 } { 2 } | a | ^ { 2 } + ] } \\ & { } & { - \ 2 } \end{array}

（第9题）

(第11题）

10.【解答】（1) \overrightarrow { A B } * \overrightarrow { A D } = | \overrightarrow { A B } | | \overrightarrow { A D } | \cos ⟨ \overrightarrow { A B } , \overrightarrow { A D } ⟩ = 5 x 3 x { { o s \ 6 0 ^ { \circ } = } { / { 1 5 } { 2 } } . } (2) \vert \overrightarrow { A C ^ { ' } } \vert ^ { 2 } = ( \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { A D } + \overrightarrow { A A ^ { ' } } ) ^ { 2 } = \overrightarrow { A B } ^ { 2 } + \overrightarrow { A D } ^ { 2 } + \overrightarrow { A A ^ { ' } } ^ { 2 } + 2 \overrightarrow { A B } * \overrightarrow { A D } + 2 \overrightarrow { A B } * \overrightarrow { A A ^ { \prime } } + 2 \overrightarrow { A D } * \overrightarrow { A A ^ { \prime } } = 5 ^ { 2 } + 3 ^ { 2 } + 7 ^ { 2 } + 2 ×( 5 x 3 x \cos 6 0 ^ { \circ } + 5 x 7 x \cos 4 5 ^ { \circ } + 3 x 7 x \cos 4 5 ^ { \circ } ) = 2 5 + 9 + 4 9 + 1 5 + 3 5 { sqrt { 2 } } + 2 1 { sqrt { 2 } } = 9 8 + 5 6 { sqrt { 2 } } ，所以 A C ^ { \prime } { = } sqrt { 9 8 { + } 5 6 { sqrt { 2 } } }

11.[0,1]【解析】如图,依题意，设 \overrightarrow { B P } = λ \overrightarrow { B D _ { 1 } } ,其中 λ \in [ 0 , 1 ] 0 \overrightarrow { D C } * \overrightarrow { A P } = \overrightarrow { A B } * ( \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { B P } ) = \overrightarrow { A B } * ( \overrightarrow { A B } + λ \overrightarrow { B D _ { 1 } } ) = \overrightarrow { A B } ·\lbrack \overrightarrow { A B } + λ ( \overrightarrow { A D } + \overrightarrow { A A _ { 1 } } - \overrightarrow { A B } ) ] = ( 1 - λ ) \vert \overrightarrow { A B } \vert ^ { 2 } = 1 - λ \in [ 0 , 1 ] . 因此 \overrightarrow { D C } * \overrightarrow { A P } 的取值范围是[0,1].

12.D【解析】 \overrightarrow { A B } * \overrightarrow { A P _ { i } } = \overrightarrow { A B } * ( \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { B P _ { i } } ) = \overrightarrow { A B } ^ { 2 } + \overrightarrow { A B } ·\overrightarrow { B P _ { i } } ，因为 A B \bot 平面 B P _ { 2 } P _ { 8 } P _ { 6 } ，所以 \overrightarrow { A B } \perp \overrightarrow { B P _ { i } } ，所以 \xrightarrow [ A B ] { } ·\overrightarrow { B P _ { i } } = 0 ，所以 \overrightarrow { A B } * \overrightarrow { A P _ { i } } = \vert \overrightarrow { A B } \vert ^ { 2 } = 1 则 \overrightarrow { A B } * \overrightarrow { A P _ { i } } ( i = 1 （20 \scriptstyle 2 , *s , 8 ) 的值只有1个.

课时作业3—空间向量基本定理

1.B【解析】设 _ { A B } 的中点为 D ，则 \overrightarrow { C N } = \overrightarrow { C D } + \overrightarrow { D N } = / { 1 } { 2 } ( \overrightarrow { C A } + （204 \overrightarrow { C B } ) + / { 1 } { 2 } \overrightarrow { C C _ { 1 } } = / { 1 } { 2 } ( a + b + c ) . （204号

2.B【解析】当非零向量 ^ { a , b , c } 不共面时， \left. a , b , c \right. 可以当基底，否则不能当基底，当 \left. a , b , c \right. 为基底时， ^ { a , b , c } 为非零向量.因此 p \not = \not \approx q , q \Rightarrow p ，故选B.

3.B【解析】 \overrightarrow { M N } = \overrightarrow { M A } + \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { B N } = / { 1 } { 3 } \overrightarrow { O A } + \overrightarrow { O B } - \overrightarrow { O A } + （204号 / { 1 } { 2 } ( \overrightarrow { O C } - \overrightarrow { O B } ) = - / { 2 } { 3 } \overrightarrow { O A } + / { 1 } { 2 } \overrightarrow { O B } + / { 1 } { 2 } \overrightarrow { O C } = - / { 2 } { 3 } { \bf { a } } + / { 1 } { 2 } { \bf { b } } + / { 1 } { 2 } \overrightarrow { O C } { / { 1 } { 2 } } c （204号

（第4题）

4.B【解析】如图，AC=AB+BC=AB+ （204号 \begin{array} { c } { { \overrightarrow { B B ^ { \prime } } + \overrightarrow { B C } = \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { A A ^ { \prime } } + \overrightarrow { A D } = / { 1 } { 2 } ( \overrightarrow { A B } + } } \\ { { \overrightarrow { A D } ) + / { 1 } { 2 } ( \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { A A ^ { \prime } } ) + / { 1 } { 2 } ( \overrightarrow { A A ^ { \prime } } + \overrightarrow { A D } ) = } } \end{array} / { 1 } { 2 } \overrightarrow { A C } + / { 1 } { 2 } \overrightarrow { A B ^ { ' } } + / { 1 } { 2 } \overrightarrow { A D ^ { ' } } = \overrightarrow { A O _ { 1 } } + \overrightarrow { A O _ { 2 } } + （204号 \xrightarrow [ { A O _ { 3 } } ] { } .由 \overrightarrow { A C ^ { \prime } } = x \overrightarrow { A O _ { 1 } } + y \overrightarrow { A O _ { 2 } } + z \overrightarrow { A O _ { 3 } } ，得

5.ABD【解析】对于A,向量 ^ { 2 b , 3 c } 分别与 ^ { b , c } 共线，所以 bf { \em a } ^ { 2 b , 3 c } 不共面，能构成空间一个基底；对于B，不存在实数 x _ y 满足 \scriptstyle a + b = x ( b + c ) + y ( c + a ) ，因此 ±b { a } + ±b { b } , ±b { b } + ±b { c } , ±b { c } + ±b { a } 不共面，能构成空间一个基底；对于C，由于 3 [ a + 2 b - ( 2 b + 3 c ) ] = 3 a - 9 c ，因此这三个向量是共面的，不能构成空间一个基底；对于D，不存在实数 x , y 满足 ±b { a } + ±b { b } + ±b { c } = ±b { x } ( ±b { b } + ±b { c } ) + （24 y _ { ±b { c } } ，因此 ±b { a } + ±b { b } + ±b { c } , ±b { b } + ±b { c } , ±b { c } 不共面，能构成空间一个基底.

6.BD【解析】对于A，因为 A B = A C = 1 , \angle B A C = 9 0 ^ { \circ } , 所以\angle A B C = 4 5 ^ { \circ } ，所以 \xrightarrow [ A B ] { } 与 \overrightarrow { B C } 的夹角为 1 3 5 ^ { \circ } ，又 { \overrightarrow { B C } } { = } \overrightarrow { B _ { 1 } C _ { 1 } } 所以 \xrightarrow [ A B ] { } 与 \overrightarrow { B _ { 1 } C _ { 1 } } 的夹角为 1 3 5 ^ { \circ } ，故A 错误;对于 B,因为（204号 B M = 2 A _ { 1 } M , C _ { 1 } N = 2 B _ { 1 } N ，所以 \overrightarrow { A _ { 1 } N } = \overrightarrow { A _ { 1 } B _ { 1 } } + \overrightarrow { B _ { 1 } N } = （204号 \overrightarrow { A B } + / { 1 } { 3 } \overrightarrow { B _ { 1 } C _ { 1 } } = \overrightarrow { A B } + / { 1 } { 3 } \overrightarrow { B C } = \overrightarrow { A B } + / { 1 } { 3 } ( \overrightarrow { A C } - \overrightarrow { A B } ) = / { 2 } { 3 } \overrightarrow { A B } + （204号 / { 1 } { 3 } \overrightarrow { A C } , \overrightarrow { A _ { 1 } M } = / { 1 } { 3 } \overrightarrow { A _ { 1 } B } = / { 1 } { 3 } ( \overrightarrow { A B } - \overrightarrow { A A _ { 1 } } ) ，所以 \stackrel { } { M N } = \stackrel { } { A _ { 1 } N } - （20\overrightarrow { A _ { 1 } M } = / { 2 } { 3 } \overrightarrow { A } \overrightarrow { B } + / { 1 } { 3 } \overrightarrow { A } \overrightarrow { C } - / { 1 } { 3 } ( \overrightarrow { A } \overrightarrow { B } - \overrightarrow { A } \overrightarrow { A _ { 1 } } ) = / { 1 } { 3 } \overrightarrow { A } \overrightarrow { B } + / { 1 } { 3 } \overrightarrow { A } \overrightarrow { C } + / { 1 } { 3 } \overrightarrow { A A _ { 1 } } = / { 1 } { 3 } ± / { 1 } { 3 } ± / { 1 } { 3 } c 3c,故B正确;对于C,因为|a|=| ±b { b } | = | ±b { c } | = 1 , \angle B A C = 9 0 ^ { \circ } , \angle B A A _ { 1 } = \angle C A A _ { 1 } = 6 0 ^ { \circ } ，所以a * b { = } 0 , a * c { = } { / { 1 } { 2 } } , b * c { = } { / { 1 } { 2 } } ，所以 | \overrightarrow { M N } | ^ { 2 } = \Big ( / { 1 } { 3 } { ±b { a } } + / { 1 } { 3 } { ±b { b } } + / { 1 } { 3 } { ±b { c } } ) ^ { 2 } = / { 1 } { 9 } { ±b { a } } ^ { 2 } + / { 1 } { 9 } { ±b { b } } ^ { 2 } + / { 1 } { 9 } { ±b { c } } ^ { 2 } + / { 2 } { 9 } { ±b { a } } \bullet { ±b { b } } + / { 2 } { 9 } { ±b { a } } \bullet { ±b { c } } + / { 2 } { 9 } { ±b { c } } \bullet { ±b { b } } = / { 1 } { 9 } + / { 1 } { 9 } + / { 1 } { 9 } + / { 2 } { 9 } x / { 1 } { 2 } + / { 2 } { 9 } x / { 1 } { 2 } = / { 5 } { 9 } ，所以|MN| \vert \overrightarrow { M N } \vert = / { sqrt { 5 } } { 3 } ，故C错误;对于 { D } , \overrightarrow { M N } * \overrightarrow { B C } = \left( / { 1 } { 3 } { ±b { a } } + / { 1 } { 3 } { ±b { b } } + / { 1 } { 3 } { ±b { c } } \right) \bullet ( { ±b { b } } - { ±b { a } } ) = - { / { 1 } { 3 } } { ±b a } ^ { 2 } + { / { 1 } { 3 } } { ±b b } ^ { 2 } + { / { 1 } { 3 } } { ±b b } * { ±b c } - { / { 1 } { 3 } } { ±b a } * { ±b c } = 0 ，所以MN⊥BC，故D正确.

7 { / { 1 } { 2 } } a - { / { 3 } { 2 } } b + { / { 1 } { 2 } } c \qquad [ { \widehat { \mathbb { R } } } { \overline { { \neq } } } { \widehat { \mathbb { f } } } { \overline { { { \mathsf { f } } } } } ] \ { \overline { { B } } } { \overline { { E } } } = { / { 1 } { 2 } } ( { \overrightarrow { B P } } + { \overrightarrow { B D } } ) = - { / { 1 } { 2 } } { \overrightarrow { P B } } + / { 1 } { 2 } ( \overrightarrow { B A } + \overrightarrow { B C } ) = - / { 1 } { 2 } \overrightarrow { P B } + / { 1 } { 2 } \overrightarrow { B A } + / { 1 } { 2 } \overrightarrow { B \dot { C } } = - / { 1 } { 2 } \overrightarrow { P B } + / { 1 } { 2 } ( \overrightarrow { P \tilde { A } } - \overrightarrow { P \tilde { B } } ) + / { 1 } { 2 } ( \overrightarrow { P \tilde { C } } - \overrightarrow { P \tilde { B } } ) = - / { 3 } { 2 } \overrightarrow { P \tilde { B } } + / { 1 } { 2 } \overrightarrow { P \tilde { A } } + / { 1 } { 2 } \overrightarrow { P \tilde { C } } = （204号 / { 1 } { 2 } ±b { a } - / { 3 } { 2 } ±b { b } + / { 1 } { 2 } ±b { c } .

8. - / { 4 } { 3 } 【解析】已知 \scriptstyle \left\{ a , b , c \right\} 是空间的一组基底，其中 { \overrightarrow { A B } } = 2 a - 3 b , \overrightarrow { A C } = a - c , \overrightarrow { A D } = 2 b + λ c . 由 A , B , C , D 四点共面，得 \overrightarrow { A D } = x \overrightarrow { A B } + y \overrightarrow { A C } , x , y \in \mathbf { R } , 则 2 b + λ c = x \left( 2 a - 3 b \right) + （204号y ( a - c ) = ( 2 x + y ) \mathbf { { a } } - 3 x \mathbf { { b } } - y c 又 \boldsymbol { a } , \boldsymbol { b } , \boldsymbol { c } 不共面，因此\left\{ { \begin{array} { l } { 2 x + y = } \\ { - 3 x = 2 } \\ { λ = - y , } \end{array} } \right. ，解得 x = - / { 2 } { 3 } , y = / { 4 } { 3 } , λ = - / { 4 } { 3 } .

(2) \overrightarrow { D _ { 1 } F } = / { 1 } { 2 } ( \overrightarrow { D _ { 1 } D } + \overrightarrow { D _ { 1 } B } ) = / { 1 } { 2 } ( - \overrightarrow { A A _ { 1 } } + \overrightarrow { A B } - \overrightarrow { A D _ { 1 } } ) = / { 1 } { 2 } ( - \overrightarrow { A A _ { 1 } } + \overrightarrow { A B } - \overrightarrow { A D } - \overrightarrow { D D _ { 1 } } ) = / { 1 } { 2 } ( a - c - b - c ) = / { 1 } { 2 } a - / { 1 } { 2 } / { 1 } { 2 } b - c ，所以 x = / { 1 } { 2 } , y = - / { 1 } { 2 } , z = - 1 .

10.【解答】（1）由题意， \overrightarrow { O A } = a , \overrightarrow { O B } = b , \overrightarrow { O C } = c ，且 M 是棱 B C 的中点， N 是线段 O M 的中点，则 \overrightarrow { A N } = \overrightarrow { O N } - \overrightarrow { O A } = / { 1 } { 2 } \overrightarrow { O M } - （204号 \begin{array} { l } { { \overrightarrow { O A } = \displaystyle / { 1 } { 2 } x / { 1 } { 2 } ( \overrightarrow { O B } + \overrightarrow { O C } ) - \overrightarrow { O A } = - \overrightarrow { O A } + / { 1 } { 4 } \overrightarrow { O B } + / { 1 } { 4 } \overrightarrow { O C } = } } \\ { { - a + / { 1 } { 4 } b + / { 1 } { 4 } c . } } \\ - \{ \begin{array} { l l } { { / { 1 } { 2 } } } & { { \Bigg [ - / { 1 } { 4 } } } \\ { { \Bigg \} } & { { \Bigg ] } } \\ { { \Bigg \} } & { { \Bigg [ - \begin{array} { l } { { / { 1 } { 2 } } } \end{array} } } \end{array} } } \end{array}

（2）因为正四面体 O A B C 的棱长为1，则 | a | = | b | = | c | = 1 a * b { = } b * c { = } a * c { = } { / { 1 } { 2 } } 所以 \vert \overrightarrow { A N } \vert = sqrt { \left( - ±b { a } + / { 1 } { 4 } ±b { b } + / { 1 } { 4 } ±b { c } \right) ^ { 2 } } = sqrt { a ^ { 2 } + / { 1 } { 1 6 } b ^ { 2 } + / { 1 } { 1 6 } c ^ { 2 } - / { 1 } { 2 } a * b - / { 1 } { 2 } a * c + / { 1 } { 8 } b * c } = { sqrt { { / { 9 } { 8 } } - { / { 1 } { 2 } } + { / { 1 } { 1 6 } } } } = { / { sqrt { 1 1 } } { 4 } } .

11.【解答】（1） \overrightarrow { A F } = \overrightarrow { A D } + \overrightarrow { D F } = \overrightarrow { A D } + / { 1 } { 2 } \overrightarrow { A A _ { 1 } } C { } = \overrightarrow { C C _ { 1 } } + \overrightarrow { C _ { 1 } E } = \overrightarrow { A A _ { 1 } } + / { 1 } { 2 } \overrightarrow { C D } = \overrightarrow { A A _ { 1 } } - / { 1 } { 2 } \overrightarrow { A B } , 因为 { \overrightarrow { A B } } * { \overrightarrow { A D } } = 0 \overrightarrow { A B } * \overrightarrow { A A _ { 1 } } = 0 , \overrightarrow { A D } * \overrightarrow { A A _ { 1 } } = 0 ，所以 \overrightarrow { C E } * \overrightarrow { A F } = \left( \overrightarrow { A A _ { 1 } } - \right. / { 1 } { 2 } \overrightarrow { A B } * \left( \overrightarrow { A D } + / { 1 } { 2 } \overrightarrow { A A _ { 1 } } \right) = / { 1 } { 2 } . 又 | { \overrightarrow { A F } } | = | { \overrightarrow { C E } } | = { / { sqrt { 5 } } { 2 } } 2，所以\cos ⟨ \overrightarrow { C E } , \overrightarrow { A F } ⟩ = / { 2 } { 5 } . (2) \overrightarrow { B D _ { 1 } } = \overrightarrow { B D } + \overrightarrow { D D _ { 1 } } = \overrightarrow { A D } - \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { A A _ { 1 } } , \overrightarrow { E F } = \overrightarrow { E D _ { 1 } } + \overrightarrow { D _ { 1 } F } = - / { 1 } { 2 } ( \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { A A _ { 1 } } ) ，所以 \overrightarrow { B D _ { 1 } } * \overrightarrow { E F } = ( \overrightarrow { A D } - \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { A A _ { 1 } } ) ·\left[ - / { 1 } { 2 } ( \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { A A _ { 1 } } ) \right] = / { 1 } { 2 } \overrightarrow { A B } ^ { 2 } - / { 1 } { 2 } \overrightarrow { A A _ { 1 } } ^ { 2 } = 0 所以 \overrightarrow { B D _ { 1 } } \perp \overrightarrow { E F } ，

阶段测试1空间向量及其运算、空间向量基本定理

1.C解析 \overrightarrow { A _ { 1 } B } = \overrightarrow { A B } - \overrightarrow { A A _ { 1 } } = ( \overrightarrow { C B } - \overrightarrow { C A } ) - \overrightarrow { A A _ { 1 } } ，因为 \xrightarrow { } { } \stackrel { style } { C C _ { 1 } } = c ，所以 \stackrel { \longrightarrow } { A _ { 1 } B } = b - a - c

2.D【解析】由 { \overrightarrow { A B } } { = } { \overrightarrow { D C } } ，可知上底面 A B C D 是平行四边形，对于 _ { { A } , \overrightarrow { A D } } 与 \overrightarrow { C B } 的方向相反,因而不是相等向量,故 A错误；对于 _ { B } , \overrightarrow { O A } 与 \overrightarrow { α } 的方向相反,因而不是相等向量,故 B错误；对于 { { c } } , { \overrightarrow { A C } } 与 \xrightarrow [ { D B } ] { } 的方向不同，因而不是相等向量,故C错误；对于D, \overrightarrow { D O } 与 \overrightarrow { O B } 的方向相同，大小相等，是相等向量，故D正确.

3.C【解析】对于A，若 \left| bf { \em a } \right| = \left| bf { \em b } \right| ，则 ^ { a , b } 的长度相等，它们的方向不一定相同或相反，故A错误；对于B，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面,故B错误;对于C,若两个非零向量 \xrightarrow [ A B ] { } 与 \overrightarrow { C D } 满足 { \stackrel { } { A B } } + { \stackrel { } { C D } } = \mathbf { 0 } ，则 { \overrightarrow { A B } } = - { \overrightarrow { C D } } ，所以 \overrightarrow { A B } / / \overrightarrow { C D } ，故C正确；对于 { \bf D } , \overrightarrow { A B } 与 \overrightarrow { C D } 不能比较大小,故D错误.

4.C【解析】空间中 M , A , B , C 四点共面，只需满足 { \overrightarrow { O M } } = x \overrightarrow { O A } + y \overrightarrow { O B } + z \overrightarrow { O C } ，且 x + y + z = 1 即可.对于 \mathbf { A } , \overrightarrow { O M } = \mathbf { \Gamma } 2 { \overrightarrow { O A } } - { \overrightarrow { O B } } - { \overrightarrow { O C } } 中， x + y + z = 2 - 1 - 1 = 0 ，此时 M , A , B , C 四点不共面;对于 { B } , \overrightarrow { O M } = / { 1 } { 5 } \overrightarrow { O A } + / { 1 } { 3 } \overrightarrow { O B } + / { 1 } { 2 } \overrightarrow { O C } 中 x + y + z = / { 1 } { 5 } + / { 1 } { 3 } + / { 1 } { 2 } \neq 1 此时 M , A , B , C 四点不共面;对于C,\overrightarrow { M A } + \overrightarrow { M B } + \overrightarrow { M C } = \mathbf { 0 } , \overrightarrow { M O } + \overrightarrow { O A } + \overrightarrow { M O } + \overrightarrow { O B } + \overrightarrow { M O } + \overrightarrow { O C } = \mathbf { 0 } 即\overrightarrow { O M } = / { 1 } { 3 } \overrightarrow { O A } + / { 1 } { 3 } \overrightarrow { O B } + / { 1 } { 3 } \overrightarrow { O C } , x + y + z = / { 1 } { 3 } + / { 1 } { 3 } + / { 1 } { 3 } = 1 此时 M , A , B , C 四点共面；对于I _ { ) , } \overrightarrow { O M } + \overrightarrow { O A } + \overrightarrow { O B } + \overrightarrow { O C } = \mathbf { 0 } ，则OM=-OA-OB-OC, x + y + z = - 1 - 1 - 1 = - 3 , 此时M , A , B , C 四点不共面.

5.B【解析】 2 \overrightarrow { B A } * \overrightarrow { A C } = 2 \vert \overrightarrow { B A } \vert \vert \overrightarrow { A C } \vert \cos 1 2 0 ^ { \circ } = - α ^ { 2 } , 2 \overrightarrow { A D } * BD=2|AD||BD|cOS 6 0 ^ { \circ } = a ^ { 2 } ,2FG·CA=2|FG|·| \overrightarrow { C A } | \cos 1 8 0 ^ { \circ } = 2 x / { a } { 2 } x a x ( - 1 ) = - a ^ { 2 } , 2 \overrightarrow { E F } * \overrightarrow { C B } = \overrightarrow { B D } ·

6.B【解析】设 \overrightarrow { B N } = λ \overrightarrow { B C } , λ \in [ 0 , 1 ] ，则MN=ON-OM=OB+\overrightarrow { B N } - \overrightarrow { O M } = \overrightarrow { O B } + λ \overrightarrow { B C } - / { 1 } { 2 } \overrightarrow { O A } = \overrightarrow { O B } + λ ( \overrightarrow { O C } - \overrightarrow { O B } ) - / { 1 } { 2 } \overrightarrow { O A } = 1OA+(1-）OB+xOC，所以x= x = - { / { 1 } { 2 } } , y = 1 - λ , z = λ , 所以 x + y + z = / { 1 } { 2 } =

7.C【解析】若 \scriptstyle x = s = 0 ，则 \overrightarrow { A P } = y \overrightarrow { A C } , \overrightarrow { A Q } = t \overrightarrow { A C } + u \overrightarrow { A D } ，所以\overrightarrow { A Q } = / { t } { y } \overrightarrow { A P } + u \overrightarrow { A D } ，所以 A , P , D , Q 四点共面.若 x \neq 0 , s \neq 0，则由=得=÷，令= { / { s } { x } } = { / { t } { y } } = m ，则 { \overrightarrow { A Q } } = m { \overrightarrow { A P } } + J\overrightarrow { u A D } ，故 A , P , D , Q 四点共面.又 A Q 与 D P 不平行，所以线段 A Q 与 D P 必相交.

8.D【解析】依题意,记 \overrightarrow { A B } = a , \overrightarrow { A D } = b , \overrightarrow { A A _ { 1 } } = c ，则 | { ±b a } | = | \ b \ | = | \ c \ | = 1 , ⟨ a , b ⟩ = ⟨ b , c ⟩ = ⟨ a , c ⟩ = 6 0 ^ { \circ } ，则 a * b = b · ±b { c } { = } ±b { a } * ±b { c } { = } / { 1 } { 2 } .因为AC=AB+BC+CC=AB+AD+AA= a + b + c , \overrightarrow { B D } _ { 1 } ^ { \ast } = \overrightarrow { B A } + \overrightarrow { A D } + \overrightarrow { D D _ { 1 } } = - \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { A D } + \overrightarrow { A A _ { 1 } } = b + c - bf { \em a } ，所以 \overrightarrow { A C _ { 1 } } * \overrightarrow { B D _ { 1 } } = ( a + b + c ) * ( b + c - a ) = | b | ^ { 2 } + 2 b * c + | bf { } c | ^ { 2 } - | bf { } a | ^ { 2 } = 2 .

9.ABD【解析】在平面 A B C 内选取两个互相垂直的单位向量 i,j，设 \stackrel { style \longrightarrow } { A C } = 2 i + j ，则 \overrightarrow { P C } - \overrightarrow { P A } = 2 i + j , \overrightarrow { P B } - \overrightarrow { P A } = - 3 i + （20 j , \overrightarrow { P C } - \overrightarrow { P B } = 5 i , \vert \vert \vert i = - / { 1 } { 5 } \overrightarrow { P B } + / { 1 } { 5 } \overrightarrow { P C } , j = - \overrightarrow { P A } + / { 2 } { 5 } \overrightarrow { P B } + / { 3 } { 5 } \overrightarrow { P C } , 所以 \overrightarrow { A E } = - 2 i - j = \overrightarrow { P \tilde { A } } - \overrightarrow { P \tilde { C } } , \overrightarrow { C \tilde { D } } = - 2 i + j = - \overrightarrow { P \tilde { A } } + （20 （204 \begin{array} { c } { { / { 4 } { 5 } \overrightarrow { P B } + / { 1 } { 5 } \overrightarrow { P C } , \overrightarrow { P F } = \overrightarrow { P A } + \overrightarrow { A F } = \overrightarrow { P \tilde { A } } + i - j = 2 \overrightarrow { P \tilde { A } } - / { 3 } { 5 } \overrightarrow { P \tilde { B } } - } } \end{array} \scriptstyle { / { 2 } { 5 } } { \overrightarrow { P C } } , { \overrightarrow { P D } } = { \overrightarrow { P A } } + { \overrightarrow { A D } } = { \overrightarrow { P A } } + 2 j = - { \overrightarrow { P A } } + { / { 4 } { 5 } } { \overrightarrow { P B } } + { / { 6 } { 5 } } { \overrightarrow { P C } } . （20

10.BD【解析】由于 d ( ±b { a } , ±b { b } ) = | ±b { a } - ±b { b } | ，对于 \mathbf { \Psi } _ { t } \in \mathbf { R } ，恒有 d ( a , （204 \scriptstyle { t } ( b ) >= d ( a , b ) ，显然有 \mid a - t ±b { b } \mid >=slant \mid a - b \mid ，即 ( { ±b a } - t { ±b b } ) ^ { 2 } >=slant ( { ±b a } - \mathbf { δ } _ { b } ) ^ { 2 } ，则 t ^ { 2 } - 2 t { ±b a } * { ±b b } + ( 2 { ±b a } * { ±b b } - 1 ) >= 0 对于任意的 \mathbf { \Psi } _ { t } \in \mathbf { R } 恒成 立，显然有 \Delta = ( - 2 a * b ) ^ { 2 } - 4 ( 2 a * b - 1 ) { <=slant } 0 , 即 ( a * b - 1 ) ^ { 2 } { <=slant } 0 则 a * b { = } 1 ，故A错误.进而 a * b { = } | a | * | b | \cos θ { = } 1 . （204 因为 | ±b { b } | = 1 ，于是cos ≤1,得la|≥1,故D正确.由 b * ( a - b ) = a * b - b ^ { 2 } = 0 ，得 ±b { b } \bot ( ±b { a } - ±b { b } ) ，故B正确.因为 { ±b a } * ( { ±b a } - { ±b b } ) = { ±b a } ^ { 2 } - 1 ，而 ±b { a } ^ { 2 } - 1 不一定为0，故C错误.

11.AB【解析】由题知 \overrightarrow { A C _ { 1 } } = \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { A D } + \overrightarrow { A A _ { 1 } } ，所以 \overrightarrow { A C } _ { 1 } ^ { 2 } = ( \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { A D } + \overrightarrow { A A _ { 1 } } ) ^ { 2 } = \overrightarrow { A B } ^ { 2 } + \overrightarrow { A D } ^ { 2 } + \overrightarrow { A A _ { 1 } } ^ { 2 } + 2 \overrightarrow { A B } * \overrightarrow { A D } + 2AB * { \overrightarrow { A A _ { 1 } } } + 2 { \overrightarrow { A D } } * { \overrightarrow { A A _ { 1 } } } = 2 + 2 + 1 + 2 | { \overrightarrow { A B } } | * | { \overrightarrow { A D } } | \cos 6 0 ^ { \circ } + 2 | \overrightarrow { A B } | * | \overrightarrow { A A _ { 1 } } | \cos 4 5 ^ { \circ } + 2 | \overrightarrow { A D } | * | \overrightarrow { A A _ { 1 } } | \cos 4 5 ^ { \circ } = 2 + 2 + 1 + （204号 2 { sqrt { 2 } } x { sqrt { 2 } } x { / { 1 } { 2 } } + 2 { sqrt { 2 } } x 1 x { / { sqrt { 2 } } { 2 } } + 2 { sqrt { 2 } } x 1 { x } { / { sqrt { 2 } } { 2 } } = 1 1 所以A C _ { 1 } = sqrt { 1 1 } ,故A正确.因为 \overrightarrow { D B } = \overrightarrow { A B } - \overrightarrow { A D } ，所以 \overrightarrow { A C _ { 1 } } ·\overrightarrow { D B } = ( \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { A D } + \overrightarrow { A A _ { 1 } } ) * ( \overrightarrow { A B } - \overrightarrow { A D } ) = \overrightarrow { A B } ^ { 2 } - \overrightarrow { A D } ^ { 2 } + \overrightarrow { A A _ { 1 } } * （20\overrightarrow { A B } - \overrightarrow { A A } _ { 1 } ^ { * } * \overrightarrow { A D } = 2 - 2 + \vert \overrightarrow { A A } _ { 1 } ^ { * } \vert * \vert \overrightarrow { A B } \vert \cos 4 5 ^ { \circ } - \vert \overrightarrow { A A } _ { 1 } ^ { * } \vert \ . | \overrightarrow { A D } | \cos 4 5 ^ { \circ } = 0 ，所以 A C _ { 1 } \bot D B ,故B正确.如图,连接 A D _ { 1 } B C _ { 1 } ，因为 A B / / C _ { 1 } D _ { 1 } ，且 A B { = } C _ { 1 } D _ { 1 } ，所以四边形 A B C _ { 1 } D _ { 1 } 为平行四边形.又 A \in 平面 A B C _ { 1 } D _ { 1 } ，而 c 平面 A B C _ { 1 } D _ { 1 } ，所以直线 A C 与直线 B D _ { 1 } 是异面直线，故C错误.因为 { \stackrel { \triangledown } { \vec { A C } } } = { \stackrel { \triangledown } { \vec { A B } } } + \overrightarrow { A D } , \overrightarrow { B D _ { 1 } } = \overrightarrow { A D } - \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { A A _ { 1 } } ，所以 \overrightarrow { A C } * \overrightarrow { B D _ { 1 } } = ( \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { A D } ) ·(AD-AB+AA)=AB·AD-AB²+AB·AA+AD²-\overrightarrow { A D } * \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { A D } * \overrightarrow { A A } _ { 1 } ^ { * } = - 2 + \mid \overrightarrow { A B } \mid * \mid \overrightarrow { A A } _ { 1 } ^ { * } \mid \cos 4 5 ^ { \circ } + 2 + | \overrightarrow { A D } | * | \overrightarrow { A A _ { 1 } } | \cos 4 5 ^ { \circ } { = } 1 + 1 { = } 2 . 又 { \overrightarrow { A C } } ^ { 2 } = ( { \overrightarrow { A B } } + { \overrightarrow { A D } } ) ^ { 2 } = \overrightarrow { A B } ^ { 2 } + 2 \overrightarrow { A B } * \overrightarrow { A D } + \overrightarrow { A D } ^ { 2 } = 2 + 2 + 2 | \overrightarrow { A B } | * | \overrightarrow { A D } | \cos 6 0 ^ { \circ } = 6 \overrightarrow { B D _ { 1 } } ^ { 2 } = ( \overrightarrow { A D } - \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { A A _ { 1 } } ) ^ { 2 } = \overrightarrow { A D } ^ { 2 } + \overrightarrow { A B } ^ { 2 } + \overrightarrow { A A _ { 1 } } ^ { 2 } - 2 \overrightarrow { A D } 7 \overrightarrow { 1 B } + 2 \overrightarrow { A D } * \overrightarrow { A A _ { 1 } } - 2 \overrightarrow { A B } * \overrightarrow { A A _ { 1 } } = 2 + 2 + 1 - 2 \vert \overrightarrow { A D } \vert * \vert \overrightarrow { A A } Bcos it { bf { 5 6 0 } ^ { \circ } + 2 } | \overrightarrow { A D } | * | \overrightarrow { A A } _ { 1 } ^ { \circ } | \cos 4 5 ^ { \circ } - 2 | \overrightarrow { A B } | * | \overrightarrow { A A } _ { 1 } ^ { \circ } | \cos 4 5 ^ { \circ } = （204号 5 - 2 = 3 ，故 | { \overrightarrow { A C } } | = { sqrt { 6 } } { | \overrightarrow { B D _ { 1 } } | = } sqrt { 3 } . 设 B D _ { 1 } 与 A C 所成的角θ \cos θ = \vert \cos ⟨ \overrightarrow { A C } , \overrightarrow { B D _ { 1 } } ⟩ \vert = / { \vert \overrightarrow { A C } * \overrightarrow { B D _ { 1 } } \vert } { \vert \overrightarrow { A C } \vert \vert \overrightarrow { B D _ { 1 } } \vert } = / { 2 } { sqrt { 6 } x sqrt { 3 } } = / { sqrt { 2 } } { 3 } 故 B D _ { 1 } 与 A C 所成角的余弦值为 * { / { sqrt { 2 } } { 3 } } ，故D错误.

（第11题）

（第12题）

12.0【解析】如图，取 B C 的中点 F ，连接 { \cal D } { \cal F } , { \cal A } { \cal F } ，则 D F 必经过点 E 则 \overrightarrow { D F } = / { 3 } { 2 } \overrightarrow { D E } ，所以 \overrightarrow { A B } + / { 1 } { 2 } \overrightarrow { B C } - / { 3 } { 2 } \overrightarrow { D E } - \overrightarrow { A D } = \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { B F } - \overrightarrow { D F } + \overrightarrow { D A } = \overrightarrow { A F } + \overrightarrow { F D } + \overrightarrow { D A } = \mathbf { 0 } , （204号

13.9【解析】因为 ±b { a } = \left( 2 , - 1 , 3 \right) , ±b { b } = \left( - 1 , 4 , - 2 \right) , ±b { c } = \left( 7 , 7 \right. λ)，若 ^ { a , b , c } 共面，则存在实数 \mathbf { \Delta } _ { m } , n ，使得 ±b { c } = _ { m } ±b { a } + _ { n } ±b { b } ，所以( 7 , 7 , λ ) = m \ ( 2 , - 1 , 3 ) + n \ ( - 1 , 4 , - 2 ) ，所以\scriptstyle \left| 2 m - n = 7 \right. 1- m + 4 n = 7 ，解得 _ { n = 3 , m = 5 } ，所以 λ { = } 3 { x } 5 { - } 2 { x } 3 { = } 9 #\mid _ { 3 m - 2 n = λ } ，

14. \xrightarrow [ { H A } ] { } 【解析】如图，延长 E A , F B , G C H D 相交于一点 o ，则 { / { F B } { F O } } = { / { 1 } { 1 0 } } \ { / { D C } { H G } } = 中 1，所以H+FB+DC=H+ （204号 / { 1 } { 1 0 } \overrightarrow { F O } + / { 1 } { 1 0 } \overrightarrow { H G } = \overrightarrow { H E } + / { 1 } { 1 0 } \overrightarrow { F O } + / { 1 } { 1 0 } \overrightarrow { E F } = \overrightarrow { H E } + / { 1 } { 1 0 } \overrightarrow { E O } = \overrightarrow { H E } + \overrightarrow { E A } = \overrightarrow { H A } .

15.【解答】设 \overrightarrow { A B } = a , \overrightarrow { A D } = b , \overrightarrow { A A _ { 1 } } = c ，所（第14题）以 \iota \overrightarrow { E B } = \overrightarrow { E A _ { { 1 } } } + \overrightarrow { A _ { { 1 } } A } + \overrightarrow { A B } = / { 2 } { 3 } \overrightarrow { D A } - （204号 \overrightarrow { A A _ { 1 } } + \overrightarrow { A B } = a - c - / { 2 } { 3 } b . 因为 \overrightarrow { A _ { 1 } E } = 2 \overrightarrow { E D _ { 1 } } , \overrightarrow { A _ { 1 } F } = / { 2 } { 3 } \overrightarrow { F C } 所以 \overrightarrow { A _ { 1 } E } = / { 2 } { 3 } \overrightarrow { A _ { 1 } D _ { 1 } } , \overrightarrow { A _ { 1 } F } = / { 2 } { 5 } \overrightarrow { A _ { 1 } C } ，所以 \overrightarrow { A _ { 1 } E } = / { 2 } { 3 } \overrightarrow { A D } = （204号 \begin{array} { c } { { / { 2 } { 3 } b , \overrightarrow { A _ { 1 } \tilde { F } } = / { 2 } { 5 } ( \overrightarrow { A \tilde { C } } - \overrightarrow { A A _ { 1 } ^ { * } } ) = / { 2 } { 5 } ( \overrightarrow { A \tilde { B } } + \overrightarrow { A \tilde { D } } - \overrightarrow { A A _ { 1 } ^ { * } } ) = / { 2 } { 5 } a + } } \\ { { / { 2 } { 5 } b - / { 2 } { 5 } c , \overrightarrow { B \tilde { \jmath } \tilde { \jmath } \tilde { \jmath } \tilde { L } \tilde { \cal L } } \overrightarrow { E \tilde { F } } = \overrightarrow { A _ { 1 } \tilde { F } } - \overrightarrow { A _ { 1 } \tilde { E } } = / { 2 } { 5 } a - / { 4 } { 1 5 } b - / { 2 } { 5 } c = } } \end{array} { / { 2 } { 5 } } { \bigg ( } a - { / { 2 } { 3 } } b - c { \bigg ) } 由 \scriptstyle { \overrightarrow { E B } } = a - { / { 2 } { 3 } } b - c 知， \overrightarrow { E F } = / { 2 } { 5 } \overrightarrow { E B } ，又有公共点 E ，所以 \boldsymbol { E } , \boldsymbol { F } , \boldsymbol { B } 三点共线.

16.【解答】设 \stackrel { style \sum } { A A _ { 1 } } = a { \overrightarrow { A B } } = ±b { b } , { \overrightarrow { A D } } = ±b { c } ，则 \stackrel { style \bigwedge } { A _ { 1 } B } = b - a 因为 M 为 D D _ { 1 } 的中点，所以 \overrightarrow { A _ { 1 } M } = c - / { 1 } { 2 } a 因为 A N : N C = 2 ，所以 \overrightarrow { A N } { = } / { 2 } { 3 } \overrightarrow { A C } { = } / { 2 } { 3 } ( { b } { + } { c } ) ，所以 \overrightarrow { A _ { 1 } N } { = } \overrightarrow { A N } { - } \overrightarrow { A A _ { 1 } } { = } / { 2 } { 3 } ( { b } { + } c ) - a = / { 2 } { 3 } ( b - a ) + / { 2 } { 3 } \left( c - / { 1 } { 2 } a \right) = / { 2 } { 3 } \overrightarrow { A _ { 1 } B } + / { 2 } { 3 } \overrightarrow { A _ { 1 } M } , 所以\overrightarrow { A _ { 1 } N } , \overrightarrow { A _ { 1 } B } , \overrightarrow { A _ { 1 } M } 为共面向量.又三向量有相同的起点 A _ { 1 } 所以 A _ { 1 } , B , N , M 四点共面.

17.【解答】如图，连接OD,DC.DE=OE一 \overrightarrow { O D } = λ \overrightarrow { O C } - / { 1 } { 2 } ( \overrightarrow { O A } + \overrightarrow { O B } ) = λ c - { / { 1 } { 2 } } a - { / { 1 } { 2 } } b 根据题意， D 是棱 A B 的 中点，则IOD|=√ ，且cos∠DOE= ,DE|²=1OE-D|²=OE²-

（第17题）

2 \overrightarrow { O E } * \overrightarrow { O D } + \overrightarrow { O D } ^ { 2 } = ( λ c ) ^ { 2 } - 2 x λ x 1 x / { sqrt { 3 } } { 2 } x \cos \angle D O E + / { 3 } { 4 } = λ ^ { 2 } - λ + / { 3 } { 4 } = \left( λ - / { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } + / { 1 } { 2 } ，则当 λ { = } / { 1 } { 2 } 时，|DE|²取得最小值 / { 1 } { 2 } 则 | \overrightarrow { D E } | 的最小值为 * / { sqrt { 2 } } { 2 } （2

18.【解答】（1）因为 B D 是底面圆的直径，所以 \angle B C D = 9 0 ^ { \circ } ，所以 C D \bot B C ，由圆柱可得母线 A B \bot 底面 B C D , C D \subset 底面B C D ，所以 A B \bot C D . 又 A B \cap B C = B , A B B C \subset 平面 A B C ，所以 C D \perp 平面 A B C . 又BEC平面 A B C ，所以 C D \bot B E ：(2）因为 \overrightarrow { B D } = \overrightarrow { B C } + \overrightarrow { C D } , \overrightarrow { A C } = \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { B C } , 所以 { \overrightarrow { B D } } * { \overrightarrow { A C } } = (BC+CD)· ( \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { B C } ) = \overrightarrow { B C } * \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { B C } ^ { 2 } + \overrightarrow { C D } * \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { C D } * \overrightarrow { B C } 由(1)知母线 * { } 上底面 B C D ，所以 { \overrightarrow { B C } } * { \overrightarrow { A B } } = 0 \overrightarrow { C D } ： \stackrel { style } { A B } = 0 . 又 C D \bot B C ，所以 \stackrel { \triangledown } { \vec { C D } } * \stackrel { \triangledown } { \vec { B C } } = 0 所以 { \overrightarrow { B D } } * { \overrightarrow { A C } } = 4.由题知 A C = { sqrt { A B ^ { 2 } + B C ^ { 2 } } } = 2 { sqrt { 2 } } , B D = { / { B C } { \cos 4 5 ^ { \circ } } } = 2 { sqrt { 2 } } 直线 B D 与 A C 所成的角为 α ，则cos α = \big | \cos ( \overrightarrow { B D } , \overrightarrow { A C } ) \big | = IBDIIACI²2√2×2√2=，而0°≤≤90°，所以 a={ 6 0 } ^ { \circ } ，故直线 B D 与 A C 所成角的大小为 { 6 0 } ^ { \circ }

19.【解答】（1) \overrightarrow { P Q } = \overrightarrow { P \dot { B } } + \overrightarrow { B \dot { C } } + \overrightarrow { C Q } = ( 1 - a ) \overrightarrow { A \dot { B } } + \overrightarrow { A \dot { D } } + a \overrightarrow { C C _ { 1 } } = ( 1 - a ) i + j + a k , \overrightarrow { P R } = \overrightarrow { P A } + \overrightarrow { A A } _ { 1 } + \overrightarrow { A _ { 1 } R } = - a \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { A A _ { 1 } } + (1-a)AD=-ai+k+(1-a)j.(2) \overrightarrow { D G } = \overrightarrow { D C } + \overrightarrow { C Q } + \overrightarrow { Q G } = \overrightarrow { A B } + a \overrightarrow { C C _ { 1 } } + / { 2 } { 3 } \left( \overrightarrow { Q P } + / { 1 } { 2 } \overrightarrow { P R } \right) = i + a k + { / { 2 } { 3 } } \bigg \{ ( a - 1 ) i - j - a k + { / { 1 } { 2 } } [ - a i + k + ( 1 - a ) j ] \bigg \} = { / { 1 } { 3 } } ( a + 1 ) i + { / { 1 } { 3 } } ( a + 1 ) k - { / { 1 } { 3 } } ( a + 1 ) j . （20(3）因为 \overrightarrow { R G } \bot \overrightarrow { D G } ，所以 \begin{array} { r } { \overrightarrow { R G } * \overrightarrow { D G } = 0 . } \end{array} 因为 \scriptstyle { \overrightarrow { R G } } = { \overrightarrow { R D } } + { \overrightarrow { D G } } = \begin{array} { r l r } & { } & { \overline { { R D _ { 1 } } } + \overline { { D _ { 1 } \dot { D } } } + \overline { { D \dot { G } } } = a \overline { { A _ { 1 } D _ { 1 } } } - \overline { { D \dot { D } _ { 1 } } } + \overline { { D \dot { G } } } = a { ~ } j - k + / { 1 } { 3 } ( a + } \\ & { } & { { ~ I ~ } \dot { D } + / { 1 } { 3 } ( a + 1 ) k - / { 1 } { 3 } ( a + 1 ) j = / { 1 } { 3 } ( a + 1 ) i + / { 1 } { 3 } ( a - 2 ) k + } \\ & { } & { / { 1 } { 3 } ( 2 a - 1 ) j , \mathfrak { h } \mathfrak { f } \backslash \overline { { A \dot { G } } } \ * \overline { { D \dot { G } } } = [ / { 1 } { 3 } ( a + 1 ) i + / { 1 } { 3 } ( a - 2 ) k + } \\ & { } & { / { 1 } { 3 } ( 2 a - 1 ) j ] * [ / { 1 } { 3 } ( a + 1 ) i + / { 1 } { 3 } ( a + 1 ) k - / { 1 } { 3 } ( a + 1 ) j ] = } \\ & { } & { - bf { } \mathfrak { h } ( - / { 1 } { 3 } ( a + 1 ) i + / { 1 } { 3 } ( a + 1 ) k - / { 1 } { 3 } ( a + 1 ) j ] = [ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} ] , } \end{array} / { 1 } { 9 } ( a + 1 ) ^ { 2 } + / { 1 } { 9 } ( a - 2 ) \left( a + 1 \right) - / { 1 } { 9 } ( 2 a - 1 ) \left( a + 1 \right) = / { 1 } { 9 } ( a ^ { 2 } + 2 a + 1 + a ^ { 2 } - a - 2 - 2 a ^ { 2 } - a + 1 ) = 0 ，即对任意 0 < （204号 a < 1 ，都有 \overrightarrow { R G } \bot \overrightarrow { D G } ，即 a 的取值范围为(0,1).

课时作业4一空间向量及其运算的坐标表示

1.C【解析】由题图知，点 P 的坐标是 \left( { / { 3 } { 2 } } , 5 , 4 \right)

2.C【解析】 \scriptstyle a - b + 2 c = ( 1 , 0 , 1 ) - ( - 2 , - 1 , 1 ) + ( 6 , 2 , 0 ) = ( 3 , 1 , 0 ) + ( 6 , 2 , 0 ) = ( 9 , 3 , 0 )

3.C【解析】空间中的两个点(1，2，3)和 ( - 1 , 2 , 3 ) , _ { y } , _ { z } 轴上的两个坐标相同， x 轴上的坐标相反，故此两点关于坐标平面O y z 对称.

4.A【解析】因为 M A = M B ，即 \scriptstyle { sqrt { ( x - 3 ) ^ { 2 } + ( y - 4 ) ^ { 2 } + ( z - 5 ) ^ { 2 } } } = sqrt { ( x + 2 ) ^ { 2 } + ( y - 3 ) ^ { 2 } + z ^ { 2 } } , ，化简得 1 0 x + 2 y + 1 0 z - 3 7 = 0

5.BCD

6.BCD【解析】对于A,AB· \stackrel { style } { A P } = 4 ，所以 A B \bot A P 不成立， 故A错误;对于 { { B } } , { \overrightarrow { B C } } { = } { \overrightarrow { A C } } { - } { \overrightarrow { A B } } { = } ( 4 , 2 , 3 ) ，则 \ { \overrightarrow { B C } } * { \overrightarrow { A P } } = 1 2 - 1 2 = 0 ，所以 B C \bot A P ，故B正确；对于C， \mid \overrightarrow { A P } \mid = { sqrt { 9 + 0 + 1 6 } } = 5 ，故C正确;对于D \overrightarrow { B P } = \overrightarrow { A P } - \overrightarrow { A B } = \left( 3 , \right. ^ { - 1 , - 3 ) } ，则 | \overrightarrow { B P } | = sqrt { 9 + 1 + 9 } = sqrt { 1 9 } ,故D正确.

7. \scriptstyle \left( { / { 1 } { 2 } } , { / { 1 } { 2 } } , 0 \right) 【解析】根据题意得 \overrightarrow { A B } = \left( 2 , - 1 , - 1 \right) , \overrightarrow { A C } = (2,2,0)，所以 \mid \overrightarrow { A B } \mid = sqrt { 6 } | { \overrightarrow { A C } } | = 2 { sqrt { 2 } } ，则 \cos ⟨ \overrightarrow { A B } , \overrightarrow { A C } ⟩ = { / { { \overrightarrow { A B } } * { \overrightarrow { A C } } } { | { \overrightarrow { A B } } | \ | { \overrightarrow { A C } } | } } \ = { / { 4 - 2 - 0 } { sqrt { 6 } x 2 { sqrt { 2 } } } } = { / { 2 } { 4 { sqrt { 3 } } } } = { / { sqrt { 3 } } { 6 } } . 所以向量 \xrightarrow [ A B ] { } 在 \overrightarrow { A C } 上的投影向量为 / { | \overrightarrow { A B } | \cos ⟨ \overrightarrow { A B } , \overrightarrow { A C } ⟩ } { | \overrightarrow { A C } | } * \overrightarrow { A C } = / { sqrt { 6 } x / { sqrt { 3 } } { 6 } } { 2 sqrt { 2 } } * \overrightarrow { A C } = \scriptstyle { / { 1 } { 4 } } { \overrightarrow { A C } } ，因此投影向量的坐标为 \scriptstyle { / { 1 } { 4 } } { \overrightarrow { A C } } = \left( { / { 1 } { 2 } } , { / { 1 } { 2 } } , 0 \right)

8.(1,1,1) \left( { / { 3 } { 2 } } , { / { 1 } { 2 } } , - 1 \right) 【解析】由题意知 ±b { p = } 2 ±b { a } + ±b { b } - ±b { c } 则向量 p 在基底 \left. 2 a , b , - c \right. 下的坐标为(1,1,1).设向量 p （204号在基底 \{ a + b , a - b , c \} 下的坐标为 ( \boldsymbol { \mathscr { x } } , \boldsymbol { \mathscr { y } } , \boldsymbol { \mathscr { z } } ) ，则 ±b { p } { = } _ { { X } } ( ±b { a } { + } ±b { b } ) + y ( { ±b a } - { ±b b } ) + z { ±b c } = ( x + y ) { ±b a } + ( x - y ) { ±b b } + z { ±b c } . 因为 ±b { p = } 2 ±b { a } + ±b { b } - \scriptstyle ( x + y = 2 =（204号 c ，所以 ⟨ { \boldsymbol { x } } - { \boldsymbol { y } } = 1 ，解得 \scriptstyle x = { / { 3 } { 2 } } , y = { / { 1 } { 2 } } , z = - 1 ，=-1,所以p在基\vert _ { z = - 1 } +底 \{ a + b , a - b , c \} 下的坐标为 \left( { / { 3 } { 2 } } , { / { 1 } { 2 } } , - 1 \right)

9.【解答】由题意知，点 B 的坐标为(1，1，0).由点 A 与点 B 关于 x 轴对称，得 A ( 1 , - 1 , 0 ) ，由点 c 与点 B 关于 _ y 轴对称，得 C ( - 1 , 1 , 0 ) ，由点 D 与点 c 关于 x 轴对称，得 D ( - 1 ^ { - 1 , 0 ) } .又 P \left( 0 , 0 , 2 \right) , E 为 A P 的中点， F 为 P B 的中点，所以由中点坐标公式可得 E { \Big ( } { / { 1 } { 2 } } , - { / { 1 } { 2 } } , 1 { \Big ) } , F { \Big ( } { / { 1 } { 2 } } , { / { 1 } { 2 } } , 1 { \Big ) }

10.【解答】（1）由 A \left( 0 , 2 , 3 \right) , B \left( 1 , 2 , - 1 \right) , C \left( 5 , 6 , 0 \right) ，得 { \overrightarrow { A B } } = { } (1,0,-4) , \overrightarrow { A C } = ( 5 , 4 , - 3 ) , \overrightarrow { A B } - k \overrightarrow { A C } = ( 1 - 5 k , - 4 ，（204号 - 4 + 3 k ) .因为向量 \overrightarrow { A B } - k \overrightarrow { A C } 与 \xrightarrow [ A B ] { } 相互垂直，所以 ( { \overrightarrow { A B } } - kAC)· \overrightarrow { A B } = 1 - 5 k - 4 ( - 4 + 3 k ) = 0 . 解得 k = 1 (2)因为 \overrightarrow { A B } = ( 1 , 0 , - 4 ) , \overrightarrow { A C } = ( 5 , 4 , - 3 ) ，所以 \cos { ⟨ \overrightarrow { A B } } { \overrightarrow { A C } } ⟩ = { / { { \overrightarrow { A B } } * { \overrightarrow { A C } } } { | { \overrightarrow { A B } } | | { \overrightarrow { A C } } | } } = { / { 5 + 1 2 } { { sqrt { 1 7 } } x { sqrt { 5 0 } } } } = { / { sqrt { 3 4 } } { 1 0 } } ，则 \sin ⟨ \overrightarrow { A B } , \overrightarrow { A C } ⟩ = { sqrt { 1 - \left( { / { sqrt { 3 4 } } { 1 0 } } \right) ^ { 2 } } } = { / { sqrt { 6 6 } } { 1 0 } } 所以 \triangle A B C 的面积为 S = / { 1 } { 2 } x | \overrightarrow { A B } | x | \overrightarrow { A C } | x \sin ( \overrightarrow { A B } , \overrightarrow { A C } ) = / { 1 } { 2 } x sqrt { 1 7 } x sqrt { 5 0 } x / { sqrt { 6 6 } } { 1 0 } = / { sqrt { 5 6 1 } } { 2 } .

11.【解答】因为平面 A B C D \perp 平面ABEF，平面 A B C D \cap 平面 A B E F = A B , B C \bot A B B C \subset 平面 A B C D ，所以 B C 上平面ABEF.以 B 为坐标原点， \overrightarrow { B A } , \overrightarrow { B E } , \overrightarrow { B C } 分别为 x , y , z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则 A \left( 2 , 0 , 0 \right) , C \left( 0 , 0 , 2 \right) , F \left( 2 , 2 , \right) \mathbf { \boldsymbol { 0 } } ) , E ( 0 , 2 , 0 ) .因为 \scriptstyle { C M = B N = a } ，所以 M \Big ( / { sqrt { 2 } } { 2 } a , 0 , 2 { - } / { sqrt { 2 } } { 2 } a \Big ) , N \Big ( / { sqrt { 2 } } { 2 } a , / { sqrt { 2 } } { 2 } a , 0 \Big ) ，所以 \begin{array} { r } { M N = } { } \end{array} sqrt { \left( / { sqrt { 2 } } { 2 } a - / { sqrt { 2 } } { 2 } a \right) ^ { 2 } + \left( - / { sqrt { 2 } } { 2 } a \right) ^ { 2 } + \left( 2 / { sqrt { 2 } } { 2 } a \right) ^ { 2 } } = sqrt { a ^ { 2 } - 2 sqrt { 2 } a + 4 } = sqrt { ( a - sqrt { 2 } ) ^ { 2 } + 2 } ( 0 < a < 2 sqrt { 2 } ) ，故当 a = { sqrt { 2 } } 时， M N 取得最小值 sqrt { 2 } ：

（第11题）

课时作业5一空间中点、直线和平面的向量表示

1.A【解析】因为 \stackrel { \triangledown } { \vec { A B } } = ( 1 , 2 , 3 ) ，所以 \left( / { 1 } { 3 } , / { 2 } { 3 } , 1 \right) = / { 1 } { 3 } ( 1 , 2 （204号（204号 \mathbf { \Sigma } _ { 3 } ) = / { 1 } { 3 } \overrightarrow { A B } ，所以 \scriptstyle \left( { / { 1 } { 3 } } , { / { 2 } { 3 } } , 1 \right) 是直线 \mathbf { \xi } _ { l } 的一个方向向量.

2.D【解析】本题转化为求与 \scriptstyle n 共线的一个向量，易知 ( 2 , - 3 1 ) = - ( - 2 , 3 , - 1 )

3.A【解析】设平面 α 内一点 P ( x , y , z ) ，则 \overrightarrow { M P } = ( x - 1 , y + ^ { 1 , z - 2 ) } .因为 ±b { n } = ( 6 , - 3 , 6 ) 是平面 α 的法向量，所以 ±b { n } \bot \xrightarrow [ M P ] { } ，所以 ±b { n } * \overline { { M ±b { \mathscr { P } } } } = 6 ( x - 1 ) - 3 ( y + 1 ) + 6 ( z - 2 ) = 6 x - 3 y + 6 z - 2 1 = 0 ，即 2 x - y + 2 z = 7 . 把各选项的坐标代入上式可知只有A符合.

4.D【解析】因为 l \perp α ，所以由线面垂直的性质得 { m / / n } ，由向量平行的性质得==2 ，解得 _ { x = 1 , y = 3 } ，所以 x + y = 4.

5．ABD【解析】因为 \overrightarrow { A B } = ( - 2 , - 1 , 3 ) , \overrightarrow { A C } = ( 1 , - 3 , 2 ) ，所以 \scriptstyle { a * { \overrightarrow { A B } } = 0 , a * { \overrightarrow { A C } } = 0 } ，故 bf { \em a } 是平面 A B C 的一个法向量，故A正确.因为 ±b { b } = - 2 \overrightarrow { A B } ，所以B正确.因为 \stackrel { } { d } { * } \stackrel { style \sum } { A B } { \ne } 0 ，所以C错误.因为 \scriptstyle c * a = 3 - 4 + 1 = 0 ，所以D正确.

6.ABC【解析】设 A B = 1 ，则 \overrightarrow { D D _ { 1 } } = \overrightarrow { A A _ { 1 } } \overrightarrow { A A _ { 1 } } = ( 0 , 0 , 1 ) ，故A正确；因为 B C _ { 1 } / / A D _ { 1 } \overrightarrow { A D _ { 1 } } = ( 0 , 1 , 1 ) ,故B正确;因为直线 A D \bot 平面 A B B _ { 1 } A _ { 1 } \stackrel { \triangledown } { \vec { A D } } = ( 0 , 1 , 0 ) ,故C正确;易得点 C _ { 1 } （204号的坐标为(1,1,1)，所以 \overrightarrow { A C _ { 1 } } = ( 1 , 1 , 1 ) ，显然 A C _ { 1 } 与平面B _ { 1 } C D 不垂直，故D错误.

7. - 1 【解析】由题得 \mathbf { { } } a / / b ，所以 \scriptstyle { \binom { 2 x ^ { 2 } = 2 , } { 6 x = - 6 } } 解得 x = - 1

8. \Big ( / { 1 } { 3 } , 0 , - / { 2 } { 3 } \Big ) 【解析】由题知 \overrightarrow { A B } = ( - 1 , - 1 , 1 ) { \overrightarrow { A C } } = (2,0，1), { \overrightarrow { P A } } { = } ( { - } x , 1 , { - } z ) . 又PA⊥AB,PA \perp \overrightarrow { A C } ，所以\scriptstyle { \left\{ { \begin{array} { l } { x - 1 - z = 0 } \\ { - 2 x - z = 0 } \end{array} } \right. } 解得 \left\{ { \begin{array} { l } { x = { / { 1 } { 3 } } , } \\ { z = - { / { 2 } { 3 } } , } \end{array} } \right. 所以点 P 的坐标为 \left( { / { 1 } { 3 } } , 0 , \right. 中

- { / { 2 } { 3 } } { \Big ) }

9.【解答】（1）由题图知 B _ { 1 } ( 3 , 0 , 2 ) , C ( 3 , 4 , 0 ) , D _ { 1 } ( 0 , 4 , 2 ) ，则\overrightarrow { B _ { 1 } C } = ( 0 , 4 , - 2 ) , \overrightarrow { C D _ { 1 } } = ( - 3 , 0 , 2 ) , 设平面 B _ { 1 } C D _ { 1 } 的法向量为 bf { \em a } = ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { y } , \boldsymbol { z } ) ，则 bf { \em a } \perp \overrightarrow { B _ { 1 } C } ， bf { \em a } \perp \overrightarrow { C D _ { 1 } } ，从而\left\{ { \begin{array} { l } { a * { \overrightarrow { B _ { 1 } C } } = 0 , } \\ { a * { \overrightarrow { C D _ { 1 } } } = 0 , } \end{array} } \right. 所以 \left\{ \begin{array} { l } { { 0 + 4 y - 2 z = 0 , } } \\ { { - 3 x + 0 + 2 z = 0 } } \end{array} \right. 解得 y = / { z } { 2 } , x = / { 2 z } { 3 } . 不妨取 z = 6 ，则 y = 3 , x = 4 ，所以平面 B _ { 1 } C D _ { 1 } 的一个法向量是 ±b { a } = ( 4 , 3 , 6 ) (答案不唯一).(2）由题意可得 \overrightarrow { B _ { 1 } M } = ( x - 3 , y , z - 2 ) ，因为 ±b { a } = ( 4 , 3 , 6 ) 是平面 B _ { 1 } C D _ { 1 } 的一个法向量，所以 ±b { a } \bot \overrightarrow { B _ { 1 } M } ，从而 a * { \overrightarrow { B _ { 1 } M } } = 0，即 4 ( x - 3 ) + 3 y + 6 ( z - 2 ) = 0 ，即 4 x + 3 y + 6 z = 2 4 ，所以x , y , z 满足的关系式是 4 x + 3 y + 6 z = 2 4

10.【解答】以 A 为坐标原点， A D , A B AS所在直线分别为 x 轴、 _ y 轴、 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系（204号 A x y z 则 A \left( 0 , 0 , 0 \right) , D \left( / { 1 } { 2 } , 0 , 0 \right) . C(1,1,0),S(0,0,1),所以 DC=（204号 \left( / { 1 } { 2 } , 1 , 0 \right) , \overrightarrow { D S } = \left( - / { 1 } { 2 } , 0 , 1 \right) 因为

（第10题）

AD上平面 S A B ，所以 \overrightarrow { A D } = \Big ( / { 1 } { 2 } , 0 , 0 \Big ) 是平面 SAB 的一个法向量.设 ±b { n } = ( x , y , z ) 为平面 SCD的法向量，则\begin{array}{c} \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle n * \overrightarrow { D C } = / { 1 } { 2 } x + y = 0 , } \\ { \displaystyle n * \overrightarrow { D S } = - / { 1 } { 2 } x + z = 0 , } \end{array} \right. \mathbb { E } \mathbb { H } \left\{ \left. z = - / { 1 } { 2 } x , \right. \end{array} \right. 取 x = 2 ，得 y = - 1 , z = 1 则 ±b { n } = ( 2 , - 1 , 1 ) .故平面 S C D 的一个法向量为(2,-1,1).

11.（2，0，2)(答案不唯一）【解析】根据题意，设平面 α 内异于点 P 的另一个点为 A ，且 A 的坐标为 ( \boldsymbol { \mathscr { x } } , \boldsymbol { \mathscr { y } } , \boldsymbol { \mathscr { z } } ) ，又点 P ( 3 , 2 1)位于平面 α 内，则 \overrightarrow { P A } = ( x - 3 , y - 2 , z - 1 ) . 由 ±b { n } = ( 1 , 0 1)为平面 α 的一个法向量，则 \scriptstyle n * { \overrightarrow { P A } } = x - 3 + 0 + z - 1 = 0 ，所以 x + z = 4 ，当 \scriptstyle x = 2 时， \scriptstyle z = 2 , y 可取任意实数，如 A ( 2 , 0 2)满足要求.

12.0【解析】平面 α 的方程为 x - 2 y + z - 7 = 0 ，可得平面 α 的法向量为 ±b { n } = ( 1 , - 2 , 1 ) ，平面 x - y + 1 = 0 的法向量为 ±b { m } _ { 1 } = ( 1 , - 1 , 0 ) ，平面 y - z + 2 = 0 的法向量为 { ±b m } _ { 2 } = ( 0 , 1 , - 1 ) #设直线 \iota 的方向向量为 bf { it { m } } = bf { it { ( bf { x } } } ， y ， z ~ ) ，则{m·m1=x-y=0°令z=1,则m=(1,1,1).因为m·n=（21 - 2 + 1 = 0 ，所以直线 \mathbf { \xi } _ { l } 与平面 α 所成角的正弦值为0.

课时作业6一空间中直线、平面的平行

1.D

2.B【解析】根据题意可得 m \perp n ，所以 m * n { { = } } - 8 { { - } } 2 { { + } } 2 x = 2 x - 1 0 = 0 ，解得 x = 5

3.A【解析】因为向量 bf { \em a } 是平面 α 的法向量，则 \mathbf { ± } a \perp α . 若 bf { \em a } * bf { \em } \stackrel { \triangledown } { \vec { A } } \vec { B } = 0 ，则 \overrightarrow { A B } \bot a ，则直线 b 平行于平面 α 或在平面 α 内，即充分性不成立.若直线 it { b } //平面 α ，即 \overrightarrow { A B } / / α ，因为向量 bf { \em a } 是平面 α 的法向量，所以 \mathbf { \Delta } a \perp α ，则 bf { \em a } \bot \overrightarrow { A B } ，即 \mathbf { \nabla } _ { a } * \stackrel { style \longrightarrow } { A B } = 0 ，即必要性成立.故 { ±b a } * \overrightarrow { A B } = 0 是直线b//平面 α 的必要不充分条件.

4.A【解析】由题知 \overrightarrow { A B } = ( 0 , 1 , - 1 ) , \overrightarrow { A C } = ( 1 , 0 , - 1 ) ，因为n * \overline { { A \hat { B } } } = ( - 1 , - 1 , - 1 ) * ( 0 , 1 , - 1 ) = - 1 x 0 + ( - 1 ) x 1 + （204号 \scriptstyle ( - 1 ) x ( - 1 ) = 0 , ±b { n } * \overrightarrow { A C } = ( - 1 , - 1 , - 1 ) \bullet ( 1 , 0 , - 1 ) = （204号 - 1 { x } 1 + 0 + ( - 1 ) x ( - 1 ) = 0 , 所以 ±b { n } \perp \overrightarrow { A B } , ±b { n } \perp \overrightarrow { A C } ，所以 _ n 也为平面 α 的一个法向量.又 α 与 β 不重合，因此 α / / β 美

5.ACD【解析】根据题意，直线 \lfloor 过点 P ( 1 , 0 , - 1 ) ，且平行于向量 ±b { a } = ( 2 , 1 , 1 ) ，平面 α 过直线 \mathbf { \xi } _ { l } 与点 M = ( 1 , 2 , 3 ) ，则 \stackrel { style } { P M } = (0,2,4).设平面 α 的法向量为 \boldsymbol { \mathsf { ±b { n } } } = ( \boldsymbol { \mathscr { x } } , \boldsymbol { \mathsf { y } } , z ) ，则有 { \mathbf { \nabla } } _ { n } * { \mathbf { \nabla } } _ { a } = 2 x + y + z = 0 , ± \overrightarrow { P M } = 2 y + 4 z = 0 ，则有 \scriptstyle y = - 2 z , x = { / { z } { 2 } } 即 ±b { n } = \left( / { z } { 2 } , - 2 z , z \right) .对于A，取 z = 2 则 ±b { n } = ( 1 , - 4 , 2 ) ，则( 1 , - 4 , 2 ) 是平面 α 的法向量;对于 { B } , ( 0 , - 1 , 1 ) 与 \scriptstyle n 不共线，不是平面 α 的法向量；对于C，取 z = - { / { 1 } { 2 } } ，则n\left( - / { 1 } { 4 } , 1 , - / { 1 } { 2 } \right) 则 \left( - / { 1 } { 4 } , 1 , - / { 1 } { 2 } \right) 是平面 α 的法向量；对于D，取 z = / { 1 } { 2 } ，则 ±b { n } = \left( / { 1 } { 4 } , - 1 , / { 1 } { 2 } \right) ，则 \scriptstyle \left( { / { 1 } { 4 } } , - 1 , { / { 1 } { 2 } } \right) 是平面 α 的法向量.

．AC【解析】由题得 D ( 0 , 0 , 0 ) , A \left( 1 , 0 , 0 \right) , C \left( 0 , 1 , 0 \right) , B \left( 1 , 0 , 0 \right) （201 , 0 ) , P \left( 0 , 0 , 1 \right) , E \left( / { 1 } { 2 } , / { 1 } { 2 } , / { 1 } { 2 } \right) , F \left( 0 , / { 1 } { 2 } , / { 1 } { 2 } \right) 所以 { \overrightarrow { D A } } = { } (1,0,0), \overrightarrow { D E } = \Big ( / { 1 } { 2 } , / { 1 } { 2 } , / { 1 } { 2 } \Big ) 设平面 A D E 的法向量为 n = { \overrightarrow { D A } } * n = x = 0 . ( x , y , z ) ，则 \left\{ \overrightarrow { D E } * ±b { n } = / { 1 } { 2 } x + / { 1 } { 2 } y + / { 1 } { 2 } z = 0 , \right. 令 z = 1 ，得y = - 1 , x = 0 ，所以 ±b { n } = ( 0 , - 1 , 1 ) ,故A正确.因为 P D \perp A D , A D \bot C D , P D \cap C D = D 又 P D , C D \subset 平面 P C D ，所以AD⊥平面 P C D ，所以平面 P C D 的一个法向量为 { \overrightarrow { D A } } = ( 1 { \overrightarrow { \mathbf { \Gamma } } }
0.0).因为 \overrightarrow { A E } = \left( - / { 1 } { 2 } , / { 1 } { 2 } , / { 1 } { 2 } \right) , \overrightarrow { A E } * \overrightarrow { D A } = - / { 1 } { 2 } \neq 0 所以\xrightarrow [ A E ] { } 与 \overrightarrow { D A } 不垂直，即 A E 与平面 P C D 不平行,故 B错误.易知平面 P A D 的一个法向量为 \overrightarrow { D C } = ( 0 , 1 , 0 ) ，又 \stackrel { } { E F } = \left( - / { 1 } { 2 } , 0 , 0 \right) , \overrightarrow { E F } * \overrightarrow { D C } = 0 所以 E F \bot D C 又 E F 平面P A D ，所以直线 E F //平面 P A D ，故C正确.设平面 P A B 的法向量为 ±b { m } = ( \boldsymbol { x } _ { 1 } , \boldsymbol { y } _ { 1 } , \boldsymbol { z } _ { 1 } ) ，又 \stackrel { \triangledown } { \vec { A } } \vec { B } = ( \boldsymbol { 0 } , \boldsymbol { 1 } , \boldsymbol { 0 } ) \stackrel { } { P A } = ( 1 , 0 ^ { - 1 ) } ，由 \left\{ \begin{array} { l l } { \overrightarrow { P A } * m = x _ { 1 } - z _ { 1 } = 0 , } \\ { \overrightarrow { A B } * m = y _ { 1 } = 0 , } \end{array} \right. 令 x _ { 1 } = 1 ，得 ±b { m } = ( 1 , 0 , 1 ) 又 \overrightarrow { D F } = \left( 0 , / { 1 } { 2 } , / { 1 } { 2 } \right) ，所以 \overrightarrow { D F } * m = / { 1 } { 2 } \neq 0 ，所以直线 D F 与平面 P A B 不平行，故D错误.

7.平行【解析】因为直线 \mathbf { \xi } _ { l } 在平面 α 外，且 ±b { a } = ( - 2 , 2 , 5 ) 是直线 \mathbf { \xi } _ { l } 的方向向量， ±b { b } = ( 6 , - 4 , 4 ) 是平面 α 的法向量，所以 bf { \em a } * \mathbf { \xi } ±b { b } = - 1 2 - 8 + 2 0 = 0 ，所以 a \perp b ，所以 l / / \ l 平面 α #

\scriptstyle { / { 1 } { - 2 } } = { / { 2 } { - 4 } } = { / { - 2 } { k } } （204号8.4【解析】由 α / / β 得m//n，即 ，解得 k = 4

9.【解答】以 D 为原点， \overrightarrow { D A } , \overrightarrow { D C } , \overrightarrow { D P } 的方向分别为 x 轴 . { \boldsymbol { y } } 轴、z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则 D ( 0 , 0 , 0 ) ，B ( 2 , 2 , 0 ) , C ( 0 , 2 , 0 ) , A \left( 2 , 0 , 0 \right) , Q ( 2 , 0 , 1 ) , P ( 0 , 0 , 2 ) ，依题意得 \overrightarrow { A D } = ( - 2 , 0 , 0 ) 是平面 P D C 的一个法向量.又 \stackrel { \triangledown } { \vec { Q } } \vec { B } = (0,2,-1),所以 { \overrightarrow { Q B } } * { \overrightarrow { A D } } = 0 ，所以QB \perp \overrightarrow { A D } 又因为直线QB平面 P D C ，所以QB//平面 P D C

(第9题）

（第10题）

10.【解答】根据题意，设长方体 A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 } 中， A D = \angle a , D C = 2 b , D D _ { 1 } = 2 c ，如图建立空间直角坐标系，则 D ( 0 ^ { ( 0 , 0 ) , A ( 2 a , 0 , 0 ) , C ( 0 , 2 b , 0 ) , B ( 2 a , 2 b , 0 ) , D _ { 1 } ( 0 , 0 , 2 c ) } A _ { 1 } ( 2 a , 0 , 2 c ) , C _ { 1 } ( 0 , 2 b , 2 c ) , B _ { 1 } ( 2 a , 2 b , 2 c ) ，则 M ( 2 a , b , 0 ) ，N ( a , 2 b , 0 ) , E ( 2 a , 0 , c ) , F ( 0 , b , 2 c ) ：(1) \overrightarrow { D _ { 1 } C } = ( 0 , 2 b , - 2 c ) , \overrightarrow { M E } = ( 0 , - b , c ) ，则有 { \overrightarrow { D _ { 1 } C } } = \ - 2 \overrightarrow { M E } ，故 D _ { 1 } C / / M E ，又 D _ { 1 } C 平面EMN, M E \subset 平面EMN，则有 D _ { 1 } C / / 平面EMN.(2) \overrightarrow { E F } = ( - 2 a , b , c ) , \overrightarrow { E M } = ( 0 , b , - c ) , \overrightarrow { E N } = ( - a , 2 b , - c ) , 则有 \overrightarrow { E F } = - 3 \overrightarrow { E M } + 2 \overrightarrow { E N } ，则向量 \overrightarrow { E F } , \overrightarrow { E M } , \overrightarrow { E N } 共面，必有\boldsymbol { E } , \boldsymbol { F } , \boldsymbol { N } , \boldsymbol { M } 四点共面.

11.相交【解析】由于， ，则 m 与 \scriptstyle n 不平行，又由（204号 \scriptstyle { m * n = - 2 + 0 + 6 = 4 \neq 0 } ，因此两向量也不垂直，则直线 a 与平面 α 相交.

12.AC【解析】根据题意，平面 α 的方程为 x + 2 y + 3 z = 6 ，则\displaystyle : \binom { 6 x - 3 y = 2 } { 3 y - 2 z = 1 } ，其法向量为 ±b { \nu } = ( 1 , 2 , 3 ) ，对于 l _ { 1 } （204号 则 6 x - 2 = （204号 3 y = 2 z + 1 ，即 { / { x - { / { 1 } { 3 } } } { / { 1 } { 6 } } } = { / { y } { / { 1 } { 3 } } } = { / { z + { / { 1 } { 2 } } } { / { 1 } { 2 } } } 故 l _ { 1 } 经过点\Big ( / { 1 } { 3 } , 0 , - / { 1 } { 2 } \Big ) ，方向向量为 ±b { u } _ { 1 } = \left( / { 1 } { 6 } , / { 1 } { 3 } , / { 1 } { 2 } \right) ，则 ±b { \nu } = 6 ±b { u } _ { 1 } ，故l⊥a,即A正确,D错误；对于l2:x-3=y=1-z,即-3=故l经过点(3,0,1)，方向向量为u=(1,1,-1)，因为点(3，0，1)满足平面 \scriptstyle { α : x + 2 y + 3 z = 6 } ，即 l _ { 2 } 与 α 有公共点,故B错误;对于 l _ { 3 } x-1=y-3=,可知l经过点(1,3,4)，方向向量为 ±b { u } _ { 3 } = ( 1 , 1 , - 1 ) .因为 \boldsymbol { \nu } * \boldsymbol { u } _ { 3 } = \left( 1 , 2 , 3 \right) ：(1，1, - 1 ) = 1 + 2 - 3 = 0 ，可得 ±b { \nu } \perp \mathbf { u } _ { 3 } ，即 l _ { 3 } { \subset } α 或 l _ { 3 } / / α ，但\scriptstyle \left. x = 1 \right. =_ { y = 3 } ，不满足 x + 2 y + 3 z = 6 ，即点 ( 1 , 3 , 4 ) 不在平面 α 内，x=4则 l _ { 3 } \not \subset α ，故 l _ { 3 } / / α ，故C正确.

课时作业7一空间中直线、平面的垂直

1.C【解析】根据题意，由 ±b { a } = ( 1 , 2 , 4 ) , ±b { n } = ( 2 , 4 , 8 ) ，可得 \scriptstyle n = 2 a ，则有 { ±b n } / / { ±b a } ，故 ±b { a } = ( 1 , 2 , 4 ) 是平面 α 的一个法向量，故直线\mathbf { \xi } _ { l } 与平面 α 垂直.

2.B【解析】对于A，若 a / / b ，则 \mathbf { { } } a / / b ，故A错误;对于B，若b// β ，则 \scriptstyle b * n = 0 ，故B正确；对于C，若 a \perp α ，则 ±b { a } / / m ，故C错 误；对于D，若 α / / β ，则 ±b { m } / / \hbar ，故D错误.

3.C【解析】设 ±b { a } = \left( 1 , 2 , - 2 \right) , ±b { b } = \left( - 2 , 3 , m \right) . 因为 l _ { 1 } \bot l _ { 2 } ，所以 \begin{array} { r } { { ±b { a } } * { ±b { b } } = 0 } \end{array} ，则有 1 x ( - 2 ) + 2 x 3 + ( - 2 ) x m = 0 ，所以2 m = 4 ，即 \scriptstyle m = 2

4.B【解析】设 { ±b m } _ { 1 } = ( - 2 , n , 6 ) { ±b , m } _ { 2 } = ( 1 , 4 , m ) ，由题意可知{ ±b m } _ { 1 } / / m _ { 2 } ，所以 \scriptstyle { / { 1 } { - 2 } } = { / { 4 } { n } } = { / { m } { 6 } } ，可得 \scriptstyle n = - 8 , m = - 3 ，所以 m + n = - 1 1 .

5.AB【解析】对于A，向量 ±b { m } = ( - 1 , - 1 , 1 ) , ±b { n } = ( 1 , 1 , - 1 ) 易得 m = - n ，而 \scriptstyle n 为平面 β 的法向量，故 m \perp β ，故A正确；对于 \operatorname { B } , n * c = 0 ，而 \iota \not \subset β 必有 \iota / / β ，故B正确；对于 _ { rm { C } , m } * \scriptstyle { ±b { c } } = 0 ，则有 l / / α 或 l \subset α ，故C错误;对于D，向量 m = ( - 1 - 1 , 1 ) , ±b { n } = ( 1 , 1 , - 1 ) ，易得 m = - n ，必有 α / / β ，故D错误.

6.AD【解析】对于 { { A } } , \displaystyle { { a } } \bullet { { b } } = 1 x 2 - 1 x 1 + 2 x \left( - { / { 1 } { 2 } } \right) = 0 , 则a \perp b ，所以 l \perp m ，故A是真命题;对于B，由 \scriptstyle a \ * \ n = 0 ，则\mathbf { \Delta } _ { a \perp n } ，所以 l / / α 或 l \subset α ，故B是假命题;对于C,由 \begin{array} { r } { ±b { n } _ { 1 } * ±b { n } _ { 2 } = } \end{array} 6，所以 α \perp β 不成立，故C是假命题;对于D,易得 { \overrightarrow { A B } } = （204号 ( - 1 , 1 , 1 ) \overrightarrow { B C } = ( - 1 , 1 , 0 ) ，因为向量 ±b { n } = ( 1 , u , t ) 是平面 α \scriptstyle { \binom { n } { n } } * { \overrightarrow { A B } } = 0 ， \binom { - 1 + u + t = 0 } { - 1 + u = 0 } , ，的法向量，所以 即 得 u + t = 1 ，故D是真命题.

7. l \perp α 【解析】根据题意，由 ±b { m } = \left( 2 , / { 1 } { 2 } , - 1 \right) , ±b { n } = \left( - 4 , - 1 , \right. 2)，可得 ±b { n } = - 2 m ，即 { m / / n } ，故 ±b { n } = ( - 4 , - 1 , 2 ) 是平面 α 的一个法向量，必有 l \perp α

8.（一 【解析】设 M ( a , b , c ) ，则 \stackrel { \triangledown } { \overrightarrow { A M } } = ( a , b , c - 1) \stackrel { \triangledown } { , { A B } } = ( - 1 , 1 , 0 ) ，因为 M 在直线 A B 上,所以存在,使得\stackrel { } { A M } = λ \stackrel { } { A B } ，所以 \scriptstyle a = - λ , b = λ , c = 1 所以 M ( - λ , λ , 1 ) ，所以 \overrightarrow { C M } = ( - λ - 1 , λ - 2 , 4 ) . 因为 C M \bot A B ，所以 { \overrightarrow { C M } } * { \overrightarrow { A B } } = （204号 λ + 1 + λ - 2 = 0 解得 λ { = } / { 1 } { 2 } ，所以 M \Big ( - / { 1 } { 2 } , / { 1 } { 2 } , 1 \Big ) ：

9.【解答】（1）根据题意 \overrightarrow { . A B } = ±b { a } , \overrightarrow { A D } = ±b { b } , \overrightarrow { A A ^ { \prime } } = ±b { c } , \overrightarrow { B D } = \overrightarrow { A D } - \overrightarrow { A B } = b - a \ , \overrightarrow { A ^ { \prime } D } = \overrightarrow { A D } - \overrightarrow { A A } ^ { \prime } = b - c \ , \overrightarrow { A ^ { \prime } B } = \overrightarrow { A B } - \overrightarrow { A A ^ { \prime } } = a - b c , \overrightarrow { A C ^ { \prime } } = \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { A D } + \overrightarrow { A A ^ { \prime } } = a + b + c (2）设 \scriptstyle \angle B A D = \angle B A A ^ { \prime } = \angle D A A ^ { \prime } = θ , A B = A D = A A ^ { \prime } = t 则有 a * b { { - } } b * c { { - } } a * c { { - } } t ^ { 2 } \cos θ , | a | { { - } } | b | { { - } } | c | { { = } } t ，由(1)的结论 , \overrightarrow { A C } ^ { \prime } = ±b { a } + b + c , \overrightarrow { B D } = b - ±b { a } , \overrightarrow { A ^ { \prime } B } = ±b { a } - c ，则 \overrightarrow { A C ^ { \prime } } ：\overline { { B \hat { D } } } = ( a + b + c ) * ( b - a ) = a * b + b ^ { 2 } + b * c - a ^ { 2 } - a * b - \scriptstyle a * c = 0 ，则有 A C ^ { \prime } \perp B D ，同理， A C ^ { \prime } \bot A ^ { \prime } B ，又 B D \cap A ^ { \prime } B = B ，必有 A C ^ { \prime } \bot 平面 A ^ { \prime } B D

10.【解答】（1）以 D A , D C , D P 所在直线分别为 x 轴 * ^ { y } 轴 . z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A \left( 2 , 0 , 0 \right) , B \left( 2 , 2 , 0 \right) , C \left( 0 , 2 , 0 \right) 设 P ( 0 , 0 , 2 m ) ，则 E ( 1 , 1 , m ) ，所以 \stackrel { \longrightarrow } { A { E } } = ( - 1 , 1 , m ) \overrightarrow { D P } = ( 0 , 0 ，2 m \mathbf { ε } ) ，所以 \cos ⟨ \overrightarrow { D P } , \overrightarrow { A E } ⟩ ~ = ~ , / { 2 m ^ { 2 } } { sqrt { 1 + 1 + m ^ { 2 } } * 2 m } = / { sqrt { 3 } } { 3 } 解得 m = 1，所以点 E 的坐标是(1,1,1).

（第10题）

(2）因为 F \in 平面 P A D ，所以可设 F ( x , 0 , z ) ，则 \stackrel { \triangledown } { \vec { E } } \vec { F } = ( x -

1 , - 1 , z - 1 ) .因为 E F 上平面 P C B ，所以 EFPC，即 \Big \{ / { \overrightarrow { E F } \bot \overrightarrow { C B } } { \overrightarrow { E F } \bot \overrightarrow { P C } } , \left\{ \begin{array} { l l } { ( x - 1 , - 1 , z - 1 ) \bullet ( 2 , 0 , 0 ) = 0 , } \\ { ( x - 1 , - 1 , z - 1 ) \bullet ( 0 , 2 , - 2 ) = 0 } \end{array} \right. 解得 \begin{array} { r } { x = 1 , z = 0 . } \end{array} 所以点 F 的坐标是(1，0，0)，即 F 是 A D 的中点.

11.【解答】以 c 为坐标原点， C B 所在直线为 x 轴， C D 所在直线为 _ y 轴， C P 所在直线为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 C x y z . 因为 P C \bot 平面 A B C D ，所以 \angle P B C 为 P B 与平面A B C D 所成的角，所以 \angle P B C = 3 0 ^ { \circ } 因为 P C = 2 ，所以 B C = 2 { sqrt { 3 } } , P B = 4 ，所以 D \left( 0 , 1 , 0 \right) , B \left( 2 sqrt { 3 } , 0 , 0 \right) , A \left( 2 sqrt { 3 } , 4 , 0 \right) （204号 P ( 0 , 0 , 2 ) , M \Big ( / { sqrt { 3 } } { 2 } , 0 , / { 3 } { 2 } \Big ) ，所以 \overrightarrow { D P } = ( 0 , - 1 , 2 ) DA \mathbf { \Sigma } = \mathbf { \Sigma } （204号 ( 2 sqrt { 3 } , 3 , 0 ) , \overrightarrow { C M } = \Big ( / { sqrt { 3 } } { 2 } , 0 , / { 3 } { 2 } \Big ) . （204号

(1）设平面 P A D 的法向量为 ±b { n } ~ = ~ ( ~ x , ~ y , ~ z ~ ) ，则\begin{array}{c} \left\{ \begin{array} { l l } { \overrightarrow { D P } * \mathbf { \boldsymbol { n } } = 0 , } \\ { \overrightarrow { D A } * \mathbf { \boldsymbol { n } } = 0 , } \end{array} \right. \mathbb { H } \left\{ \begin{array} { l l } { - y + 2 z = 0 , } \\ { 2 sqrt { 3 } x + 3 y = 0 , } \end{array} \right. \mathbb { H } \bar { \mathbb { F } } \mathbb { X } \Bigg \} / { z = - / { 1 } { 2 } y , } { \left. x = - / { sqrt { 3 } } { 2 } y , \right.} \end{array} y = 2 0得 ±b { n } = ( - sqrt { 3 } , 2 , 1 ) .因为 \scriptstyle n \ * { \overrightarrow { C M } } = - { sqrt { 3 } } x { / { sqrt { 3 } } { 2 } } + 2 x 0 + 1 x / { 3 } { 2 } = 0 ，所以 bf { \em n } \perp \overrightarrow { C M } 又 c { u } 平面 P A D ，所以CM//平面 P A D ：

(2)易得 \overrightarrow { B A } = \left( 0 , 4 , 0 \right) , \overrightarrow { P B } = \left( 2 sqrt { 3 } , 0 , - 2 \right) ，设平面PAB 的
法向量为 bf { it { m } } = bf { ( } x _ { 0 } bf { , } y _ { 0 } bf { , } z _ { 0 } bf { ) } ，由 \left\{ { / { \overrightarrow { B A } } { \overrightarrow { P B } } } * m = 0 , \right. 得（20
\left\{ \begin{array} { l } { { 4 y _ { 0 } = 0 , } } \\ { { 2 sqrt { 3 } x _ { 0 } - 2 z _ { 0 } = 0 } } \end{array} \right. 令 { \boldsymbol x } _ { 0 } = 1 ，得 ±b { m } = ( 1 , 0 , sqrt { 3 } ) .由(1)知平面，
P A D 的一个法向量为 ±b { n } = ( - sqrt { 3 } , 2 , 1 ) ，所以 \boldsymbol { m } * \boldsymbol { n } = 1 x
（204号 ( - sqrt { 3 } ) + 0 x 2 + sqrt { 3 } x 1 = 0 ，所以 m \perp n ，所以平面PAB \perp 平
面 P A D ：

(第11题)

阶段测试2空间向量及其运算的坐标表示、用空间向量研究直线、平面的位置关系

1.B【解析】设 B ( x , y , z ) ，则 \overrightarrow { A B } = ( x - 2 , y - 1 , z + 1 ) . 因为\overrightarrow { O M } = \overrightarrow { A B } , \overrightarrow { O M } = ( 1 , 1 , 1 ) ，所以 ( 1 , 1 , 1 ) = ( x - 2 , y - 1 , z + 1)，所以 _ { x = 3 , y = 2 , z = 0 } ，即点 B 的坐标为(3，2，0).

2.D【解析】因为向量 ±b { a } = \left( 1 , 1 , 0 \right) , ±b { b } = \left( - 1 , 0 , 2 \right) ，所以 k ± b=(k，k，0)+(-1，0，2)=(k-1，k，2)，a-b=(1，1，0)-( - 1 , 0 , 2 ) = ( 2 , 1 , - 2 ) . 因为 k ± b 与 \scriptstyle a - b 互相平行，所以\left\{ \begin{array} { l l } { k - 1 = 2 } \\ { k = λ , } \\ { 2 = - 2 λ } \end{array} \right. ，k ±b { a } + ±b { b } { = } λ ( ±b { a } - ±b { b } ) ，即 解得 k = λ = - 1 ，

3.C【解析】 \scriptstyle a + b = ( - 1 , - 2 , - 3 ) = - a ，故 ( a + b ) * c = - a ·\scriptstyle { c = 7 } ，得 it { bf { a } } * it { bf { c } } = - it { 7 } ，而 \mid a \mid = { sqrt { 1 ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } + 3 ^ { 2 } } } = { sqrt { 1 4 } } ，所以\cos ( a , c ) = { / { a * c } { \left| a \right| \left| c \right| } } { = } { - } { / { 1 } { 2 } } ，所以 ⟨ a , c ⟩ = 1 2 0 ^ { \circ } #

4.D【解析】因为直线 \iota 的一个方向向量为 ±b { m } = ( 2 , - 1 , 3 ) ，且直线 \mathbf { \xi } _ { l } 过 A ( 0 , a , 3 ) 和 B ( - 1 , 2 , b ) 两点 \stackrel { \longrightarrow } { , A B } = ( - 1 , 2 - a , b - 3)，所以 { / { - 1 } { 2 } } = { / { 2 - a } { - 1 } } = { / { b - 3 } { 3 } } （204号 解得 a = / { 3 } { 2 } b { = } / { 3 } { 2 } ，所以 a + b = { / { 3 } { 2 } } + { / { 3 } { 2 } } = 3 . （204号

5.D【解析】因为 ±b { n } * \overrightarrow { A B } = ( 2 , - 2 , 4 ) \bullet ( - 3 , 1 , 2 ) = - 6 - 2 + \scriptstyle 8 = 0 ，所以 ±b { n } \bot \overrightarrow { A B } ，而点 A 不在 α 内，故 A B / / α

6.B【解析】因为点 K ( 1 , k , 0 ) 是四次曲面 { \cal { r } } { : \cal { x } } ^ { 4 } + y ^ { 3 } + z ^ { 2 } = 9 上的一点，所以 1 ^ { 4 } + k ^ { 3 } = 9 ，得 k ^ { 3 } = 8 ，解得 k = 2

7.B【解析】由 P ( 4 , 7 , 4 ) , Q ( 7 , 1 1 , 4 ) , R ( 1 1 , 8 , 9 ) ，可得 | { \overrightarrow { P Q } } | = sqrt { ( 4 { - } 7 ) ^ { 2 } + ( 7 { - } 1 1 ) ^ { 2 } + ( 4 { - } 4 ) ^ { 2 } } = 5 , | \overrightarrow { R Q } | = sqrt { ( 1 1 - 7 ) ^ { 2 } + ( 8 - 1 1 ) ^ { 2 } + ( 9 - 4 ) ^ { 2 } } = 5 sqrt { 2 } , （2| \overrightarrow { P R } \mid = sqrt { ( 4 - 1 1 ) ^ { 2 } + ( 7 - 8 ) ^ { 2 } + ( 4 - 9 ) ^ { 2 } } = 5 sqrt { 3 } ，则 \mid \overrightarrow { P Q } \mid | \overrightarrow { R Q } | : | \overrightarrow { P R } | = 1 : sqrt { 2 } : sqrt { 3 } . 由 P , Q , R 为正方体的三个顶点，故 P R 为该正方体的体对角线，则该正方体的外接球球心坐标即为 P R 中点，为 \bigl ( / { 1 5 } { 2 } , / { 1 5 } { 2 } , / { 1 3 } { 2 } \bigr )

8.D【解析】以 D A , D C , D F 为坐标 ：轴建立如图所示的空间直角坐标系，设 \scriptstyle C G = a , P \left( x , 0 , z \right) ，则 { / { x } { 2 } } = （204号 / { z } { a } ，即 z = / { a . x } { 2 } 又 B(2,2,0),G(0,\overrightarrow { B P } = \left( x - 2 , - 2 , / { a x } { 2 } \right) B^ { 2 , a ) } ，所以（第8题）\overrightarrow { G P } = \left( x , - 2 , / { a x } { 2 } - a \right) .由题知 \overrightarrow { B P } * \overrightarrow { G P } = x \left( x - 2 \right) + 4 + / { a x } { 2 } \Big ( / { a x } { 2 } - a \Big ) = 0 ，显然 x \neq 0 且 x \neq 2 ，所以 a ^ { 2 } = { / { 1 6 } { 2 x - x ^ { 2 } } } - 4 因为 x \in ( 0 , 2 ) ，所以 2 x - x ^ { 2 } \in ( 0 , 1 ] ，所以当 2 x - x ^ { 2 } = 1 时，\boldsymbol { a } ^ { 2 } 取得最小值12，所以 \scriptstyle a 的最小值为 2 { sqrt { 3 } }

9.AC【解析】对于A,若 bf { \em a } \perp bf { \em b } ，则 \scriptstyle { a * b = x _ { 1 } x _ { 2 } + y _ { 1 } y _ { 2 } + z _ { 1 } z _ { 2 } = } 0,故A正确;对于B,若 x _ { 2 } = 0 ，且 y _ { 2 } \neq 0 , z _ { 2 } \neq 0 , ± / / b ，分式 * { / { x _ { 1 } } { x _ { 2 } } } 无意义，故B错误;对于C，由空间向量数量积的坐标运算可知\cos ⟨ ±b { a } , ±b { b } ⟩ = / { x _ { 1 } x _ { 2 } + y _ { 1 } y _ { 2 } + z _ { 1 } z _ { 2 } } { sqrt { x _ { 1 } ^ { 2 } + y _ { 1 } ^ { 2 } + z _ { 1 } ^ { 2 } } \ ±b { * } sqrt { x _ { 2 } ^ { 2 } + y _ { 2 } ^ { 2 } + z _ { 2 } ^ { 2 } } } ，故C正确；对于D,若 \scriptstyle x _ { 1 } = y _ { 1 } = z _ { 1 } = 1 ，则 \mid a \mid = sqrt { 1 ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } } = sqrt { 3 } ，此时， bf { \em a } 不是单位向量，故D错误.

10.AC【解析】对于A，两条不重合直线 l _ { 1 } , l _ { 2 } 的方向向量分别是 ±b { a } = \left( 2 , 3 , - 1 \right) , ±b { b } = \left( - 2 , - 3 , 1 \right) ，且 \ b = - a ，所以 l _ { 1 } / / l _ { 2 } 故A正确.对于B，直线 \iota 的方向向量是 ±b { a } = ( 1 , - 1 , 2 ) ，平面α 的法向量是 ±b { u } = ( 6 , 4 , - 1 ) ，且 it { bf { a } } * it { bf { u } } { = } 1 { x } 6 { - } 1 { x } 4 { + } 2 { x } ( - 1 ) = 0 ，所以 l / / α 或 l \subset α ，故B错误.对于C，两个不同的平面 α , β 的法向量分别是 ±b { u } = ( 2 , 2 , - 1 ) ±b { \nu } = ( - 3 , 4 , 2 ) ，且±b { u } * ±b { v } = 2 x ( - 3 ) + 2 x 4 - 1 x 2 = 0 ，所以 α \perp β ，故C正确.对于D，直线 \mathbf { \xi } _ { l } 的方向向量是 ±b { a } = ( 0 , 3 , 0 ) ，平面 α 的法向量是±b { u } = ( 0 , - 5 , 0 ) ，且 \mathbf { δ } _ { \mathbf { ±b { u } } = - / { 5 } { 3 } \mathbf { δ } \mathbf { a } } 3a,所以l⊥α,故D错误.

11.CD【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得B ( 0 , 0 , 2 ) , A ( 4 , 0 , 2 ) , D ( 4 , 3 , 2 ) , C _ { 1 } ( 0 , 3 , 0 ) ，设 P ( x , y , z )

所以 \overrightarrow { A B } = ( - 4 , 0 , 0 ) \overrightarrow { A P } = ( x - 4 , y , z - 2 ) , \overrightarrow { A D } = ( 0 , 3 , （号0 \overrightarrow { , A C _ { 1 } } = ( - 4 , 3 , - 2 ) , \overrightarrow { B _ { 1 } P } = ( x , y , z ) 因为 \vert \overrightarrow { B _ { 1 } P } \vert = 1 所以 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } = 1 , x \in [ - 1 , 1 ] , y \in [ - _ { y } \in [ - 1 , 1 ] z \in [ - 1 , 1 ] ：因为 { } ^ { \prime } I _ { 1 } = \overrightarrow { A B } * \overrightarrow { A P } = - 4 ( x - 4 ) , I _ { 2 } = \overrightarrow { A D } * \overrightarrow { A P } = 3 y , I _ { 3 } = AC·AP=-4(x-4)+3y-2(x-2)，所以I-I=- 4 ( x - 4 ) - 3 y = 1 6 - 4 x - 3 y > 0 恒成立，故C正确，A错误. I _ { 1 } - I _ { 3 } = - 3 y + 2 ( z - 2 ) = - 4 - 3 y + 2 z < 0 恒成立，故B错误 . I _ { 2 } - I _ { 3 } = 4 ( x - 4 ) + 2 ( z - 2 ) = - 2 0 + 4 x + 2 z < 0 恒成立，故D正确.

（第11题）

（第13题）

12.（4,0,1)(答案不唯一）【解析】设所求的向量为 \mathbf { \boldsymbol { c } } = ( \boldsymbol { \boldsymbol { \mathbf { \mathit { x } } } } , \boldsymbol { \mathbf { \boldsymbol { y } } } _ z ) ，因为 \scriptstyle { \mathbf { \Psi } } _ { c } 与向量 ±b { a } = ( 0 , - 1 , 1 ) ±b { b } = ( 4 , 1 , 0 ) 共面，故有 c = （204号 λ a + u b ，即 \left\{ \begin{array} { l l } { { x = 4 u \nonumber } , } \\ { { y = u - λ \nonumber } } \\ { { z = λ \nonumber , } } \end{array} \right. ，取 \scriptstyle u = 1 , λ = 1 ，则所求的向量为（4，0，1).

13.14 sqrt { 1 3 9 } 【解析】如图，过 A 分别作 _ { C D , E F } 的垂线，垂足分别为 _ { N , M . } 由 A N \bot C D ，可得 A N \bot A B 又平面ABCD」平面A B E F , A B / / C D / / E F ，平面ABCD \cap 平面 A B E F = A B ANC平面 A B C D ，所以 A N \perp 平面 A B E F ，所以 A N \bot A B =A N \bot A M . 又 A M \bot A B ，故 _ { A N , A B , A M } 两两垂直.以 A 为坐标原点， \overrightarrow { A B } , \overrightarrow { A M } , \overrightarrow { A N } 的方向分别为 x , y , z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A \left( 0 , 0 , 0 \right) , B \left( 6 , 0 , 0 \right) D ( - 2 , 0 , 3 ) , F ( - 1 , 7 , 0 ) , E ( 7 , 7 , 0 ) ，所以 \overrightarrow { B F } = ( - 7 , 7 , 0 ) ，\overrightarrow { A D } = ( - 2 , 0 , 3 ) , \overrightarrow { D E } = ( 9 , 7 , - 3 ) ，所以 \overrightarrow { A D } * \overrightarrow { B F } = 1 4 ，| { \overrightarrow { D E } } | = { sqrt { 9 ^ { 2 } + 7 ^ { 2 } + ( - 3 ) ^ { 2 } } } = { sqrt { 1 3 9 } } . （20

14. - 4 【解析】如图，以 D 为原点，\overrightarrow { D A } , \overrightarrow { D C } , \overrightarrow { D D _ { 1 } } 的方向分别为 x 轴、_ y 轴、 _ z 轴的正方向，建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1，则A \left( 1 , 0 , 0 \right) , E \left( 0 , 0 , / { 1 } { 2 } \right) , B \left( 1 , 1 , 1 \right) \operatorname { \Lambda } _ { 0 } ) , B _ { 1 } \left( 1 , 1 , 1 \right) , D _ { 1 } \left( 0 , 0 , 1 \right) 设

(第14题）

P ( a , a , 1 ) ，因为 \overrightarrow { 3 B _ { 1 } P } = \overrightarrow { P D _ { 1 } } ，所以 3 ( a - 1 , a - 1 , 0 ) = ( - a , - a , 0 ) ，所以 3 a - 3 = - a ，解得 a = / { 3 } { 4 } ，所以 P \left( { / { 3 } { 4 } } , \right. \scriptstyle { / { 3 } { 4 } } , 1 \neq .设 Q ( b , b , 0 ) ，因为 P Q \bot A E ，所以 { \overrightarrow { P Q } } * { \overrightarrow { A E } } = 0 所\mathbb { L } \Big ( b - / { 3 } { 4 } , b - / { 3 } { 4 } , - 1 \Big ) * \Big ( - 1 , 0 , / { 1 } { 2 } \Big ) = 0 , \mathbb { H } \mathbb { - } \Big ( b - / { 3 } { 4 } \Big ) - \scriptstyle { / { 1 } { 2 } } = 0 ，解得 b { = } / { 1 } { 4 } ，所以 Q { \left( / { 1 } { 4 } , / { 1 } { 4 } , 0 \right) } .因为 \overrightarrow { B D } = λ \overrightarrow { D Q } ，所\Re ( - 1 , - 1 , 0 ) { = } λ \left( { / { 1 } { 4 } } , { / { 1 } { 4 } } , 0 \right) ，所以 \scriptstyle { / { λ } { 4 } } = - 1 故 λ = - 4

15.【解答】（1）如图，以 O 为坐标原点，分别以 \boldsymbol { { O C } } _ { 1 } O D 所在直线为 y , z 轴，以过点 O 作 B _ { 1 } C _ { 1 } 的平行线为 \mathbf { \Psi } _ { x } 轴建立空间直

角坐标系.

（第15题）

① (射影法)设 A _ { 1 } ( x , y , z ) ，则 z = 0 ，由图可知它到 _ y 轴的投影 D _ { 1 } 对应数值为－2，则 y = - 2 ，到 x 轴的投影对应数值为2，则 x = 2 ，即 A _ { 1 } ( 2 , - 2 , 0 ) .同理得 B _ { 1 } \left( 2 , 2 , 0 \right) , A \left( 2 , 0 , \right. 2 sqrt { 3 } ) , D _ { 1 } ( 0 , - 2 , 0 ) .
② (公式法)因为 G 是 \triangle A B _ { 1 } D _ { 1 } 的重心，所以由三角形重心公式得 G = \left( / { 2 + 2 + 0 } { 3 } , / { 2 + 0 - 2 } { 3 } , / { 0 + 2 sqrt { 3 } + 0 } { 3 } \right) = \left( / { 4 } { 3 } , 0 , \right. / { 2 { sqrt { 3 } } } { 3 } )
③ (向量法)设 B \left( x , y , z \right) ，则 \overrightarrow { B _ { 1 } B } = ( x - 2 , y - 2 , z ) ，又（204号 \overrightarrow { D _ { 1 } D } = ( 0 , 2 , 2 sqrt { 3 } ) , \overrightarrow { B _ { 1 } B } = \overrightarrow { D _ { 1 } D } 比较得 x = 2 , y = 4 , z = 2 { sqrt { 3 } } ，所以点 B 的坐标为 ( 2 , 4 , 2 { sqrt { 3 } } )
(2）因为 D _ { 1 } N , D 三点共线，可设 \overrightarrow { D _ { 1 } N } = λ \overrightarrow { D _ { 1 } D } ，即 \stackrel { style \overrightarrow { D _ { 1 } N } = } { style \overrightarrow { D _ { 1 } N } = } （204号 λ ( 0 , 2 , 2 sqrt { 3 } ) = ( 0 , 2 λ , 2 sqrt { 3 } λ ) ，所以 \overrightarrow { O N } = \overrightarrow { O D _ { 1 } } + \overrightarrow { D _ { 1 } N } = ( 0 , 2 λ { - } 2 , 2 { sqrt { 3 } } λ ) ，所以 N ( 0 , 2 λ - 2 , 2 sqrt { 3 } λ ) .因为 O N \bot D D _ { 1 } ，所以 \overrightarrow { O N } * \overrightarrow { D _ { 1 } D } = 0 ，即 0 + 4 ( λ - 1 ) + 1 2 λ = 0 ，解得 λ { = } / { 1 } { 4 } 4，故N { \bigg ( } 0 , - { / { 3 } { 2 } } , { / { sqrt { 3 } } { 2 } } { \bigg ) } .

16.【解答】以 A 为原点 , A D , A B , A S 所在的直线分别为 x 轴 \mathbf { \nabla } * \boldsymbol { y } 轴、 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A \left( 0 , 0 , 0 \right) =B ( 0 , 1 , 0 ) , C ( 1 , 1 , 0 ) , D \left( / { 1 } { 2 } , 0 , 0 \right) , S ( 0 , 0 , 1 ) .

（第16题）

(1）因为 S A \perp 平面 A B C D ，所以 \overrightarrow { A S } = ( 0 , 0 , 1 ) 是平面
A B C D 的一个法向量(答案不唯一).
(2）因为 A D \perp A B , A D \perp S A , A B \cap S A = A , A B , S A \subset 平面
S A B ，所以 | A D \rrangle 上平面 S A B ，所以 \overrightarrow { A D } = \left( / { 1 } { 2 } , 0 , 0 \right) 是平面
SAB 的一个法向量(答案不唯一).
(3）在平面 S C D 中 \scriptstyle \overrightarrow { D C } = \left( { / { 1 } { 2 } } , 1 , 0 \right) 1 \stackrel { \triangledown } { \vec { \operatorname { s c } } } = ( 1 , 1 , - 1 ) . 设平
面 s C D 的法向量是 ±b { n } = ( x , y , z ) ，则 \scriptstyle { \binom { n } { n } } * { \overrightarrow { D C } } = 0 即（2
\left\{ { / { 1 } { 2 } } x + y = 0 , \right. \qquad \quad 令 _ y = - 1 得 \scriptstyle x = 2 , z = 1 所以 ±b { n } = ( 2 , - 1 ，=

1).所以 ±b { n } = ( 2 , - 1 , 1 ) 是平面 S C D 的一个法向量(答案不唯一).

17.【解答】（1）取 B C 的中点 O ，连接 P O ，因为平面 P B C 上底面ABCD， \triangle P B C 为等边三角形，平面 P B C \cap 底面 A B C D = B C , P O C 平面PBC，所以 P O \bot 底面ABCD.以 B C 的中点O 为坐标原点，以 B C 所在直线为 x 轴，过点 O 与 _ { A B } 平行的直线为 _ y 轴， O P 所在直线为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设 C D = 1 ，则 A B = B C = 2 , P O = sqrt { 3 } ，所以 A ( 1 - 2 , 0 ) , B ( 1 , 0 , 0 ) , D ( - 1 , - 1 , 0 ) , P ( 0 , 0 , sqrt { 3 } ) ，所以 { \overrightarrow { B D } } = { } (-2,-1,0)， \overrightarrow { P A } = ( 1 , - 2 , - sqrt { 3 } ) 因为 \overrightarrow { B D } * \overrightarrow { P A } = ( - 2 ) x 1 + ( - 1 ) x ( - 2 ) + 0 x ( - sqrt { 3 } ) = 0 ，所以PA⊥BD，所以 P A \bot B D . (2)如图，取 P A 的中点 M ，连接 D M 则 M \left( { / { 1 } { 2 } } , - 1 , { / { sqrt { 3 } } { 2 } } \right) 因为 \overrightarrow { D M } = \left( / { 3 } { 2 } , 0 , / { sqrt { 3 } } { 2 } \right) , \overrightarrow { P B } = ( 1 , 0 , - sqrt { 3 } ) ，所以 { \overrightarrow { D M } } * { \overrightarrow { P B } } = { / { 3 } { 2 } } x 1 + 0 x 0 + { / { sqrt { 3 } } { 2 } } x ( - sqrt { 3 } ) = 0 ，所以 \overrightarrow { D M } \perp \overrightarrow { P B } ，即 D M \bot PB.因为DM·PA= \overrightarrow { D M } * \overrightarrow { P A } = / { 3 } { 2 } x 1 + 0 x ( - 2 ) + / { sqrt { 3 } } { 2 } x ( - sqrt { 3 } ) = 0 , 所以DM \perp \overrightarrow { P A } ，即 D M \bot P A 又因为 P A \cap P B = P , P A ，P B \subset 平面 P A B ，所以 D M \perp 平面 P A B .因为 D M \subset 平面P A D ，所以平面 P A D \bot 平面 P A B

（第17题）

（第18题）

18.【解答】（1）连接 B D ，设 A C \cap B D = O ，连接SO.由题意知 （204号 S O \bot 平面 A B C D .以 o 为坐标原点， \overrightarrow { O B } , \overrightarrow { O C } , \overrightarrow { O S } 分别为 x 轴 . { \boldsymbol { y } } 轴 * { z } 轴正方向，建立空间直角坐标系 O x y z 设底面边 长为 a ，则高 S O { = } / { sqrt { 6 } } { 2 } a 2a，则S S \left( \phantom { a } _ { 0 , 0 } , / { sqrt { 6 } } { 2 } a \right) , D \left( - / { sqrt { 2 } } { 2 } a , 0 , 0 \right) , C \left( 0 , / { sqrt { 2 } } { 2 } a , 0 \right) ，所以 \overrightarrow { O C } = \left( \phantom { } 0 , / { sqrt { 2 } } { 2 } a , 0 \right) , \overrightarrow { S D } = \left( - / { sqrt { 2 } } { 2 } a , 0 , \right. - { / { sqrt { 6 } } { 2 } } a \Bigr ) ，则 \overrightarrow { O C } * \overrightarrow { S D } = 0 故 α c \bot s D ，从而 A C \bot S D

（2）假设侧棱 s c 上存在一点 E ，使得 B E //平面 P A C . 因为SD⊥平面 P A C ，所以 \overrightarrow { D S } 是平面 P A C 的一个法向量，且\overrightarrow { D S } = \left( / { sqrt { 2 } } { 2 } a , 0 , / { sqrt { 6 } } { 2 } a \right) , \overrightarrow { C S } = \left( \ l _ { 0 } , - / { sqrt { 2 } } { 2 } a , / { sqrt { 6 } } { 2 } a \right) \nonumber aa）.设CE=CS，\overrightarrow { B E } = \overrightarrow { B C } + \overrightarrow { C E } = \overrightarrow { B C } + \iota \overrightarrow { C S } = \Big ( - / { sqrt { 2 } } { 2 } a , / { sqrt { 2 } } { 2 } a ( 1 - t ) , / { sqrt { 6 } } { 2 } a t \Big ) . 由 \overrightarrow { B E } * \overrightarrow { D S } = 0 得 - { / { a ^ { 2 } } { 2 } } + 0 + { / { 3 } { 2 } } a ^ { 2 } t = 0 +a²t=0,则t= t = / { 1 } { 3 } 当 s { _ E } ：，E C = 2 : 1 时， \overrightarrow { B E } \bot \overrightarrow { D S } ，由于BE平面 P A C ，故BE//平面PAC.因此，侧棱 S C 上存在点 E ，使得 B E /平面 P A C ，此时S E : E C = 2 : 1 .

19.【解答】（1）由题意得 ( \overrightarrow { A B } x \overrightarrow { A D } ) * \overrightarrow { A P } = 2 x 2 x 1 + ( - 1 ) x 0 x ( - 1 ) + 4 x 4 x 2 - 2 x 0 x 2 - ( - 1 ) x 4 x 1 - 4 x 2 x ( - 1 ) =

48，所以 \mid ( \overrightarrow { A B } x \overrightarrow { A D } ) * \overrightarrow { A P } \mid = 4 8 . 因为 \overrightarrow { A P } * \overrightarrow { A B } = - 1 x 2 + （20 2 x ( - 1 ) + 1 x 4 = 0 , \overrightarrow { A P } * \overrightarrow { A D } = - 1 x 4 + 2 x 2 + 1 x 0 = 0 , 所以 \overrightarrow { A P } \perp \overrightarrow { A B } , \overrightarrow { A P } \perp \overrightarrow { A D } ，即 A P \bot A B , A P \bot A D . 又 A B ，A D 是平面ABCD内两相交直线，所以 A P 上平面 A B C D

(2）由题意得 | \overrightarrow { A B } | ^ { 2 } = 2 1 , | \overrightarrow { A D } | ^ { 2 } = 2 0 , \overrightarrow { A B } * \overrightarrow { A D } = 2 x 4 + （204号 （204号 ( - 1 ) x 2 + 4 x 0 = 6 , S _ { Z A B C D } = \mid \overrightarrow { A B } \mid \mid \overrightarrow { A D } \mid \sin \angle B A D = sqrt { | \overrightarrow { A B } | ^ { 2 } | \overrightarrow { A D } | ^ { 2 } - ( \overrightarrow { A B } * \overrightarrow { A D } ) ^ { 2 } } = sqrt { 2 1 x 2 0 - 6 ^ { 2 } } = 8 sqrt { 6 } , | \stackrel { \triangledown } { \vec { A P } } | = sqrt { 6 } ，所以 V _ { P - A B C D } = / { 1 } { 3 } S _ { C A B C D } \bullet A P = / { 1 } { 3 } x 8 sqrt { 6 } x （204号 { sqrt { 6 } } = 1 6 ，所以 \vert ( \overrightarrow { A B } x \overrightarrow { A D } ) * \overrightarrow { A P } \vert = 3 V _ { P - A B C D } . 猜想： ( \overrightarrow { A B } x \overrightarrow { A D } ) * \overrightarrow { A P } 的绝对值表示以 A B , A D , A P 为邻 边的平行六面体的体积.

课时作业8—用空间向量研究距离问题

1.A【解析】因为 A \left( 0 , 0 , 2 \right) , B \left( 1 , 0 , 2 \right) , C \left( 0 , 2 , 0 \right) ，则 { \overrightarrow { A B } } = { } (1,0,0) \overrightarrow { B C } = ( - 1 , 2 , - 2 ) ，所以点 A 到直线 B C 的距离为d = { sqrt { | { \overrightarrow { A B } } | ^ { 2 } - { \Big ( } { / { { \overrightarrow { A B } } * { \overrightarrow { B C } } } { | { \overrightarrow { B C } } | } } { \Big ) } ^ { 2 } } } \ = { sqrt { 1 - { \Big ( } { / { - 1 } { 3 } } { \Big ) } ^ { 2 } } } = { / { 2 { sqrt { 2 } } } { 3 } } .

2.C【解析】 \overrightarrow { P A } = ( x + 2 , 2 , - 4 ) ，则点 P 到平面 α 的距离 d { \boldsymbol { = } } { / { | { \overrightarrow { P A } } * { ±b { n } } | } { | { ±b { n } } | } } { \boldsymbol { = } } { / { 1 0 } { 3 } } ，即 / { | - 2 x - 4 - 4 - 4 | } { sqrt { 4 + 4 + 1 } } = / { 1 0 } { 3 } ，解得 x = - 1 （204号 中 或-11.

3.B【解析】因为两平行平面 α , β 分别经过坐标原点 O 和点 A （204号(2,1,1) \overrightarrow { O A } = ( 2 , 1 , 1 ) ，且两平面的一个法向量 ±b { n } = ( - 1 , 0 1)，所以两平面间的距离 d = / { | ±b { n } * \overrightarrow { O A } | } { | ±b { n } | } = / { | - 2 + 0 + 1 | } { sqrt { 2 } } = / { sqrt { 2 } } { 2 } . （20

4.B【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则 A \left( 2 , 0 , 0 \right) D _ { 1 } ( 0 , 0 , 2 ) , C ( 0 , 4 , 0 ) , E ( 2 , 2 , 0 ) ，所以 \overrightarrow { A D _ { 1 } } = ( - 2 , 0 , 2 ) \overrightarrow { C D _ { 1 } } = ( 0 , - 4 , 2 ) , \overrightarrow { E D _ { 1 } } = ( - 2 , - 2 , 2 ) . 设平面 A C D _ { 1 } 的法向量为 ±b { n } = ( \boldsymbol { { x } } , \boldsymbol { y } , z ) ，则 \begin{array} { r } { \left\{ { n * \overrightarrow { A D _ { 1 } } } = 0 \right. } \\ { \left. \overrightarrow { n } * \overrightarrow { C D _ { 1 } } = 0 \right. } \end{array} ， 即 -2x+2x=0，令y=4y+2x=0.1,则 \scriptstyle z = 2 , x = 2 ，所以 ±b { n = } ( 2 , 1 , 2 ) ，所以点 E 到平面 A C D _ { 1 } 的距离 d = / { | \overrightarrow { E D _ { 1 } } * ±b { n } | } { | ±b { n } | } { = } / { 2 } { sqrt { 1 ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } } } { = } / { 2 } { 3 } . （20

（第4题）

5.ABC【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则 A ( 3 , 0 \begin{array} { r } { 0 ) , B ( 3 , 3 , 0 ) , C ( 0 , 3 , 0 ) , D ( 0 , 0 , 0 ) , A _ { 1 } ( 3 , 0 , 3 ) , B _ { 1 } ( 3 , 3 , 0 ) , C ( 0 , 3 , 1 ) , D ( 0 , 2 , 3 ) , D ( 0 , 3 , 4 ) , } \end{array} 3 ) , C _ { 1 } ( 0 , 3 , 3 ) , D _ { 1 } ( 0 , 0 , 3 ) ，所以 \overrightarrow { B D _ { 1 } } = ( - 3 , - 3 , 3 ) 因为 （204号 \overrightarrow { B P } = / { 1 } { 3 } \overrightarrow { B D _ { 1 } } = ( - 1 , - 1 , 1 ) ，所以 \overrightarrow { A P } = \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { B P } = ( - 1 , 2 , _ { 1 ) } （204号 , \overrightarrow { D P } = \overrightarrow { D B } + \overrightarrow { B P } = ( 2 , 2 , 1 ) , \overrightarrow { P D _ { 1 } } = \overrightarrow { D D _ { 1 } } - \overrightarrow { D P } = ( - 2 , （20 ^ { - 2 , 2 ) } ，所以 | \overrightarrow { P A } | = | \overrightarrow { P C } | = | \overrightarrow { P B _ { 1 } } | = sqrt { ( - 1 ) ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } } = { sqrt { 6 } } , | { \overrightarrow { P D } } | = | { \overrightarrow { P A } } _ { 1 } | = | { \overrightarrow { P C } } _ { 1 } | = { sqrt { 2 ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } } } = 3 , | { \overrightarrow { P B } } | = { sqrt { 3 } } , | { \overrightarrow { P D } } _ { 1 } | = { sqrt { ( - 2 ) ^ { 2 } + ( - 2 ) ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } } } = 2 { sqrt { 3 } } . 故点 P 到各顶 点的距离的不同取值有√ ^ { \prime } { \overline { { 6 } } } , 3 { sqrt { 3 } } , 2 { sqrt { 3 } }

（第5题）

（第6题）

6.AC【解析】如图，取 A C 的中点 O ，连接 O B , O D ，建立空间直角坐标系，设 A F { = } m ，则有 F \left( 0 , - a , m \right) , C \left( 0 , a , 0 \right) , D \left( 0 , 0 \right) （204号 \phantom { - } 0 , 3 a ) , B _ { 1 } ( sqrt { 3 } a , 0 , 3 a ) ，所以 \overrightarrow { C F } = \left( 0 , - 2 a , m \right) \stackrel { \triangledown } { \overrightarrow { D F } } = ( 0 - { a } , m - 3 { a } ) , \overrightarrow { B _ { 1 } F } = ( - sqrt { 3 } a , - { a } , m - 3 a ) . 因为 C F 上平面B _ { 1 } D F ，所以 \scriptstyle \left\{ { \overrightarrow { C F } } * { \overrightarrow { D F } } = 0 , \right. ， ，即 \scriptstyle { \binom { 2 a ^ { 2 } + m ^ { 2 } - 3 a m = 0 , } { 2 a ^ { 2 } + m ^ { 2 } - 3 a m = 0 , } } 解得\scriptstyle { m = a } 或 2 a

7 / { sqrt { 3 } } { 3 } 【解析】由题意，以 D 为原点， . D A , D C , D D _ { 1 } 所在直线
分别为 \scriptstyle { x , y , z } 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 A ( 1
\begin{array} { r } \tiny { 0 , 0 ) , C \left( 0 , 1 , 0 \right) , D _ { 1 } \left( 0 , 0 , 1 \right) , B \left( 1 , 1 , 0 \right) , C _ { 1 } \left( 0 , 1 , 1 \right) } \end{array}
F \Big ( / { 1 } { 2 } , 1 , / { 1 } { 2 } \Big ) ，所以 \overrightarrow { D _ { 1 } A } = ( 1 , 0 , - 1 ) \overrightarrow { D _ { 1 } C } = ( 0 , 1 , - 1 ) ，
\overrightarrow { C F } = \Big ( / { 1 } { 2 } , 0 , / { 1 } { 2 } \Big ) .设平面 A C D _ { 1 } 的法向量为 ±b { n } = ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { y } , z ) ，
则 \scriptstyle { \binom { n } { n } } * { \overrightarrow { D _ { 1 } A } } = x - z = 0 令 z = 1 ，解得 x = y = 1 ，即取平面
A C D _ { 1 } 的法向量为 ±b { n } = ( 1 , 1 , 1 ) ，所以点 F 到平面 A C D _ { 1 } 的距d { = } / { | \overrightarrow { C F } * n \mid } { | n | } { = } / { 1 } { { sqrt { 3 } } } { = } / { sqrt { 3 } } { 3 } . （204号
离为（204号

（第7题）

（第8题）

8.3【解析】以 c 为坐标原点， . C A , C B , C P 分别为 x 轴 * ^ { y } 轴、 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 A \left( 4 , 0 , 0 \right) , B \left( 0 , 3 \right. （204号 \mathbf { \Phi } _ { 0 ) , P } \left( \mathbf { \Phi } _ { 0 , 0 } , / { 9 } { 5 } \right) ，所以 \overrightarrow { A B } = ( - 4 , 3 , 0 ) , \overrightarrow { A P } = \Big ( - 4 , 0 , / { 9 } { 5 } \Big ) . （20号 囍取 \begin{array} { c } { \displaystyle { \boldsymbol { a } = \overrightarrow { { A } P } = \left( - 4 , 0 , / { 9 } { 5 } \right) , \boldsymbol { a } = / { \overrightarrow { A } \overrightarrow { B } } { | \overrightarrow { A } \overrightarrow { B } | } = \left( - / { 4 } { 5 } , / { 3 } { 5 } , 0 \right) } } \end{array} ，则点 P 到斜边 A B 的距离 d = { sqrt { ±b { a } ^ { 2 } - ( ±b { a } * ±b { u } ) ^ { 2 } } } = { sqrt { 1 6 + { / { 8 1 } { 2 5 } } - { / { 2 5 6 } { 2 5 } } } } = 3.

9.【解答】（1）由题知 \overrightarrow { A B } = ( 1 , 1 , 0 ) \overrightarrow { A C } = ( - 1 , 0 , 2 ) ，所以{ c o s } \angle B A C = { / { { \overrightarrow { A B } } * { \overrightarrow { A C } } } { | { \overrightarrow { A B } } | \ | { \overrightarrow { A C } } | } } = { / { - 1 + 0 + 0 } { { sqrt { 2 } } x { sqrt { 5 } } } } = - { / { sqrt { 1 0 } } { 1 0 } } . （204号

(2）设 B C 边的中点为 D ，则点 D 的坐标为 \left( - 2 , { / { 1 } { 2 } } , 3 \right) ，又A ( - 2 , 0 , 2 ) ，所以 \overrightarrow { A D } = \left( 0 , / { 1 } { 2 } , 1 \right) ，所以 \mid \overrightarrow { A D } \mid = { sqrt { 0 ^ { 2 } + { \Big ( } { / { 1 } { 2 } } { \Big ) } ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } } } = { / { sqrt { 5 } } { 2 } } ，所以 B C 边的中线长为 * / { sqrt { 5 } } { 2 }

10.【解答】（1) S _ { { \tt d e m b l e } } = π r ^ { 2 } + π r l = π \bullet 2 ^ { 2 } + π \bullet 2 \bullet 4 = 1 2 π . （204号(2）如图，建立空间直角坐标系，则 B \left( 0 , 2 , 0 \right) , C \left( 2 , 0 , 0 \right) D ( 0 , - 1 , sqrt { 3 } ) , P \left( 0 , 0 , 2 sqrt { 3 } \right) , \overrightarrow { B C } = ( 2 , - 2 , 0 ) , \overrightarrow { C D } = ( - 2 , ^ { - 1 , sqrt { 3 } ) } #l { = } / { | \overrightarrow { B C } * \overrightarrow { C D } | } { | \overrightarrow { C D } | } { = } / { sqrt { 2 } } { 2 } （204号方法一：点 B 在 C D 上投影的长度 ，所以点 B 到 \boldsymbol C \boldsymbol D 的距离 d = { sqrt { B C ^ { 2 } - l ^ { 2 } } } = { sqrt { ( 2 { sqrt { 2 } } ) ^ { 2 } - { \Big ( } { / { sqrt { 2 } } { 2 } } { \Big ) } ^ { 2 } } } = / { sqrt { 3 0 } } { 2 } （204号方法二：设直线 C D 上一点 E 满足 B E \bot C D . 令 \stackrel { \triangledown } { \vec { C } } \vec { E } = λ \stackrel { \triangledown } { \vec { C } } \vec { D } 则 E ( 2 - 2 λ , - λ , sqrt { 3 } λ ) ，所以 \overrightarrow { B E } = ( 2 - 2 λ , - λ - 2 , sqrt { 3 } λ ) ，令\overrightarrow { 3 E } * \overrightarrow { C D } = 4 λ - 4 + λ + 2 + 3 λ = 8 λ - 2 = 0 ，可得 λ { = } / { 1 } { 4 } ，所以\overrightarrow { B E } = \left( / { 3 } { 2 } , - / { 9 } { 4 } , / { sqrt { 3 } } { 4 } \right) ，所以 B E { = } sqrt { / { 3 0 } { 4 } } { = } / { sqrt { 3 0 } } { 2 } ，故点 B 到直线 C D 的距离为 / { sqrt { 3 0 } } { 2 }

（第10题）

（第11题）

11.【解答】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则 A \left( 0 , 0 , 0 \right) A _ { 1 } ( 0 , 0 , 2 ) , M ( 2 , 0 , 1 ) , C _ { 1 } ( 0 , 2 , 2 ) ，所以 \overrightarrow { A C _ { 1 } } = ( 0 , 2 , 2 ) ，则直线 A C _ { 1 } 的一个单位方向向量为 \begin{array} { l } { \displaystyle { ±b { s } _ { 0 } = \left( 0 , / { sqrt { 2 } } { 2 } , / { sqrt { 2 } } { 2 } \right) , \overrightarrow { A M } = } } \end{array} (2，0，1)，故点 M 到直线 A C _ { 1 } 的距离 \begin{array} { l } { \displaystyle { d \ = } } \end{array} sqrt { | \overrightarrow { A M } | ^ { 2 } - ( \overrightarrow { A M } * \bullet _ { 0 } ) ^ { 2 } } = sqrt { 5 - / { 1 } { 2 } } = / { 3 sqrt { 2 } } { 2 } .

(2）由(1)知 \overrightarrow { A _ { 1 } C _ { 1 } } = ( 0 , 2 , 0 ) \overrightarrow { A _ { 1 } M } = ( 2 , 0 , - 1 ) . 设平面（204号 M A _ { 1 } C _ { 1 } 的法向量为 ±b { n } = ( x , y , z ) ，则 \left\{ \begin{array} { l l } { n * { \overrightarrow { A _ { 1 } C _ { 1 } } } = 0 } \\ { n * { \overrightarrow { A _ { 1 } M } } = 0 , } \end{array} \right. 即\scriptstyle { \binom { 2 y = 0 , } { 2 x - z = 0 } } 取 x = 1 ，得 z = 2 ，故 ±b { n } = ( 1 , 0 , 2 ) .因为 N ( 1 , 1 , 0)，所以 \overrightarrow { M N } = ( - 1 , 1 , - 1 ) ，故点 N 到平面 M A _ { 1 } C _ { 1 } 的距离d = { / { | { \overrightarrow { M N } } * n | } { | n | } } { = } { / { 3 } { sqrt { 5 } } } { = } { / { 3 { sqrt { 5 } } } { 5 } } .

课时作业9—用空间向量研究夹角问题(1)

1.B【解析】易知 _ y 轴的一个方向向量为 ±b { m } = ( 0 , 1 , 0 ) ，设 _ y 轴与平面 α 所成角为 θ ，则 \sin θ = | \cos ⟨ { ±b n } , { ±b m } ⟩ | = / { | { ±b n } * { ±b m } | } { | { ±b n } | | { ±b m } | } = / { \mid \left( 1 , - 1 , 0 \right) \bullet \left( 0 , 1 , 0 \right) \mid } { sqrt { 2 } x 1 } { = } / { sqrt { 2 } } { 2 } ，所以θ=π1

2.D【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则 A \left( 0 , 0 , 0 \right) F(0,0,1),B(0,1,0),C(1,1,0),所以AC=(1,1,0),BF=（204号 ( 0 , - 1 , 1 ) ，所以 { \overrightarrow { A C } } * { \overrightarrow { B F } } = - 1 . 设异面直线 A C 与 B { \cal F } 所成的角为 θ ，所以cos θ = \vert \cos ⟨ \overrightarrow { A C } , \overrightarrow { B F } ⟩ \vert = / { 1 } { 2 } . 又因为 0 ^ { \circ } < θ <=slant 9 0 ^ { \circ } ，所以 θ { = } 6 0 ^ { \circ }

（第2题）

（第3题）

（第4题）

3.D【解析】如图,建立空间直角坐标系，则 A \left( 1 , 0 , 0 \right) , M { \Big ( } 1 , / { 1 } { 2 } , 1 \Big ) , C ( 0 , 1 , 0 ) , N \Big ( 1 , 1 , / { 1 } { 2 } \Big ) ，所以 \overrightarrow { A M } = \left( \thinspace 0 , / { 1 } { 2 } , 1 \right) , \overrightarrow { C N } = （204号 \left( 1 , 0 , { / { 1 } { 2 } } \right) ，所以 \overrightarrow { A M } * \overrightarrow { C N } = / { 1 } { 2 } | \overrightarrow { A M } | = | \overrightarrow { C N } | = / { sqrt { 5 } } { 2 } 2，所以| \cos ⟨ \overrightarrow { A M } , \overrightarrow { C N } ⟩ | = / { / { 1 } { 2 } } { / { sqrt { 5 } } { 2 } x / { sqrt { 5 } } { 2 } } = / { 2 } { 5 } .

4.D【解析】如图，分别以 A B , A D , A A _ { 1 } 为 x 轴、 _ y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1，则 B ( 1 , 0 , 0 ) , D ( 0 1,0)，易知 B D \bot 平面 A _ { 1 } A C C _ { 1 } ，所以平面 A _ { 1 } A C C _ { 1 } 的一个法向量为 ±b { n } = \overrightarrow { B D } = ( - 1 , 1 , 0 ) .因为 F \Big ( / { 1 } { 2 } , 0 , 0 \Big ) , G \Big ( 1 , 1 , （20号style { / { 1 } { 2 } } { \Big ) } ，所以 \overrightarrow { F G } = \left( / { 1 } { 2 } , 1 , / { 1 } { 2 } \right) .设直线 F G 与平面 A _ { 1 } A C C _ { 1 } 所θ \sin θ = \lvert \cos ⟨ ±b { n } , \overrightarrow { F G } ⟩ \rvert = / { \lvert ±b { n } * \overrightarrow { F G } \rvert } { \lvert ±b { n } \rvert \lvert \overrightarrow { F G } \rvert } = / { / { 1 } { 2 } } { sqrt { 2 } x / { sqrt { 6 } } { 2 } } = { / { sqrt { 3 } } { 6 } } .

5.BC【解析】因为两条异面直线的方向向量分别是 ±b { u } = ( 3 , 1 =- 2 ) , \mathbf { \boldsymbol { \nu } } = ( 3 , 2 , 1 ) ，所以 ±b { u } * ±b { v } = 3 x 3 + 1 x 2 + ( - 2 ) x 1 = 9 | ±b { u } | = sqrt { 3 ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } + ( - 2 ) ^ { 2 } } = sqrt { 1 4 } , | ±b { \nu } | = sqrt { 3 ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } } = sqrt { 1 4 } ，又 θ { \in } \left( 0 , / { π } { 2 } \right] ，所以co { ~ s ~ } θ = \vert \cos ⟨ u , v ⟩ \vert = / { \vert u * v \vert } { \vert u \vert \vert v \vert } = / { 9 } { sqrt { 1 4 } x sqrt { 1 4 } } = / { 9 } { 1 4 } > / { 1 } { 2 } ，故<中

6.ABD【解析】如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为1，则 A \left( 1 , 0 , 0 \right) , C \left( 0 , 1 , 0 \right) , D _ { 1 } \left( 0 , 0 , 1 \right) , A _ { 1 } \left( 1 , 0 , 1 \right) , B _ { 1 } \left( 1 , 1 , 0 \right) { 1 ) , B ( 1 , 1 , 0 ) } .对于A \backslash , \overrightarrow { A B _ { 1 } } = ( 0 , 1 , 1 ) \overrightarrow { C D _ { 1 } } = ( 0 , - 1 , 1 ) ，所以 \overrightarrow { A B _ { 1 } } * \overrightarrow { C D _ { 1 } } = 0 ，即 \overrightarrow { A B _ { 1 } } \perp \overrightarrow { C D _ { 1 } } ，所以直线 A B _ { 1 } 与 C D _ { 1 } 所成的角为 9 0 ^ { \circ } ，故A正确；对于B， \overrightarrow { A D _ { 1 } } = ( - 1 , 0 , 1 ) \overrightarrow { C A _ { 1 } } = ( 1 , - 1 , 1 ) ，所以 \overrightarrow { A D _ { 1 } } * \overrightarrow { C A _ { 1 } } = 0 ，即 \overrightarrow { A D _ { 1 } } \perp \overrightarrow { C A _ { 1 } } ，所以直线A D _ { 1 } 与 C A _ { 1 } 所成的角为 9 0 ^ { \circ } ，故B正确;对于C，因为 { \overrightarrow { D B } } = (1,1,0)， \overrightarrow { D D _ { 1 } } = ( 0 , 0 , 1 ) ，设平面 B B _ { 1 } D _ { 1 } D 的法向量为 \scriptstyle n = （204号 ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { y } , z ) ，则 \scriptstyle { \binom { n } { n } } * { \overrightarrow { D B } } = x + y = 0 可取 ±b { n } = ( 1 , - 1 , 0 ) ，设直线 A D _ { 1 } 与平面 B B _ { 1 } D _ { 1 } D 所成的角为 θ ，则 \sin θ { = } / { \vert \overrightarrow { A D _ { 1 } } * ±b { n } \vert } { \vert \overrightarrow { A D _ { 1 } } \vert \vert ±b { n } \vert } { = } ,又θ∈[0°,90°]，所以θ=30°,即直线AD,与平面

B B _ { 1 } D _ { 1 } D 所成的角为 { 3 0 } ^ { \circ } ，故C错误；对于D， D _ { 1 } D 上平面A B C D ，则直线 A D _ { 1 } 与平面 A B C D 所成的角为 \angle D _ { 1 } A D ，在正方体 A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 } 中， \angle D _ { 1 } A D = 4 5 ^ { \circ } ，则直线 A D _ { 1 } 与平面 A B C D 所成的角为 4 5 ^ { \circ } ，故D正确.

（第6题）

（第7题）

（第8题）

7. / { π } { 3 } 【解析】如图，建立空间直角坐标系，则 B ( 1 , 1 , 0 ) , D ( - 1 , - 1 , 0 ) , E ( 0 , 1 , 0 ) , P ( 0 , 0 , 1 ) ，所以 \overrightarrow { D B } = ( 2 , 2 , 0 ) \stackrel { \triangledown } { \overrightarrow { P E } } = ( 0 1,-1),所以 cos<DB,PE>= \cos ⟨ \overrightarrow { D B } , \overrightarrow { P E } ⟩ = / { \overrightarrow { D B } * \overrightarrow { P E } } { \vert \overrightarrow { D B } \vert \vert \overrightarrow { P E } \vert } = / { 2 } { sqrt { 8 } x sqrt { 2 } } = / { 1 } { 2 } 以 ⟨ \overrightarrow { D B } , \overrightarrow { P E } ⟩ = / { π } { 3 } ,即 P E 与 D B 所成的角为 / { π } { 3 }

8. / { 2 } { 3 } 【解析】如图，以 D 为坐标原点，建立空间直角坐标系.设 A A _ { 1 } = 2 A B = 2 ，则 D \left( 0 , 0 , 0 \right) , C \left( 0 , 1 , 0 \right) , B \left( 1 , 1 , 0 \right) \boldsymbol { C } _ { 1 } ( 0 , 1 , 2 ) ，则 \overrightarrow { D C } = ( 0 , 1 , 0 ) , \overrightarrow { D B } = ( 1 , 1 , 0 ) , \overrightarrow { D C } _ { 1 } = ( 0 , 1 , 2).设平面 B D C _ { 1 } 的法向量为 ±b { n } = ( \boldsymbol { \mathscr { x } } , \boldsymbol { y } , z ) ，则 n \bot DB, \boldsymbol { n } \perp （20号 \overrightarrow { D C _ { 1 } } ，所以 style { \binom { x + y = 0 , } { y + 2 z = 0 } } 令， y = - 2 愛得樂 ±b { n } = ( 2 , - 2 , 1 ) 设直线C D 与平面 B D C _ { 1 } 所成的角为 θ ，则 \sin θ = | \cos ⟨ n , \overrightarrow { D C } ⟩ | = / { | \boldsymbol { n } * \overrightarrow { D C } | } { | \boldsymbol { n } | | \overrightarrow { D C } | } { = } / { 2 } { 3 } . （204号

9.【解答】（1）在正四棱柱 A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 } 中，以 D 为原点，D A , D C , D D _ { 1 } 分别为 x 轴 \mathbf { \nabla } _ { * } { } y 轴 _ { . z } 轴建立如图所示的空间直角坐标系 D x y z . 则 M ( 1 , 2 , 0 ) , A ( 2 , 0 , 0 ) , C _ { 1 } ( 0 , 2 , 4 ) , A _ { 1 } ( 2 , 0 , 4 ) ，所以1 \stackrel { \triangledown } { \vec { { M } } } = ( 1 , 2 , 0 ) \overrightarrow { A C _ { 1 } } = ( - 2 , 2 , 4 ) ，所以 \cos ⟨ \overrightarrow { D M } , \overrightarrow { A C _ { 1 } } ⟩ = / { \overrightarrow { D M } * \overrightarrow { A C _ { 1 } } } { \vert \overrightarrow { D M } \vert \vert \overrightarrow { A C _ { 1 } } \vert } = / { 1 x ( - 2 ) + 2 x 2 + 0 x 4 } { sqrt { 1 ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } + 0 ^ { 2 } } x sqrt { ( - 2 ) ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } + 4 ^ { 2 } } } = / { sqrt { 3 0 } } { 3 0 } , / { sqrt { 3 0 } } { 3 0 } （24所以异面直线 A C _ { 1 } 与 D M 所成角的余弦值为

(2）由(1)知 \overrightarrow { D A _ { 1 } } = ( 2 , 0 , 4 ) ，设平面 A _ { 1 } D M 的法向量为 n = \left\{ { / { \overrightarrow { D A _ { 1 } } * * n = 0 } { \overrightarrow { D M } * n = 0 , } } \right. = style { \binom { 2 x + 4 z = 0 } { x + 2 y = 0 } } , ，
（204号 ( x , y , z ) ，则 得 取 _ y = 1 ，得 x = （204号 （204号
- 2 , z = 1 ，故平面 A _ { 1 } D M 的一个法向量为 ±b { n } = ( - 2 , 1 , 1 ) .则
\cos ⟨ n , \overrightarrow { A C } _ { 1 } ⟩ = / { n * \overrightarrow { A C } _ { 1 } } { | n | | \overrightarrow { A C } _ { 1 } | } = / { ( - 2 ) x ( - 2 ) + 2 x 1 + 4 x 1 } { sqrt { ( - 2 ) ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } + 4 ^ { 2 } } x sqrt { ( - 2 ) ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } } } =
/ { 5 } { 6 } ，所以直线 A C _ { 1 } 与平面 A _ { 1 } D M 所成角的正弦值为 / { 5 } { 6 }

10.【解答】（1）因为 M , N 分别为 P C , P D 的中点，所以MN//\boldsymbol C \boldsymbol D ，因为四边形ABCD为正方形，所以 A B / / C D ，所以MN//AB.因为 A B \subset 平面 P A B ,MNC平面 P A B ，所以MN//平面PAB.

（2）因为四边形 A B C D 为正方形，所以 A B \bot A D ，因为 P A \perp 平面 A B C D , A B , A D C 平面 A B C D ，所以 P A \perp A B , P A \perp A D ，所以 A B , A D , P A 两两垂直，所以以 A 为原点，以 * { A B } （204号所在的直线为 x 轴， A D 所在的直线为 _ y 轴， A P 所在的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系.因为 \scriptstyle P A = A B = 2 ，所以 P ( 0 \begin{array} { r } { \left. \begin{array} { r l } { 0 , 2 ) , B \left( 2 , 0 , 0 \right) , A \left( 0 , 0 , 0 \right) , N \left( 0 , 1 , 1 \right) } \end{array} \right. } \end{array} ，所以 \stackrel { } { P B } = ( 2 , 0 - 2 ) , \overrightarrow { A B } = ( 2 , 0 , 0 ) , \overrightarrow { A N } = ( 0 , 1 , 1 ) .设平面 A B N 的法向量为 ±b { n } = ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { y } , z ) ，则 \scriptstyle { \binom { n } { n } } * { \overrightarrow { A B } } = 0 , 即 \binom { 2 x = 0 , } { y + z = 0 } 令 _ y = 1 ，得，
±b { n = } ( 0 , 1 , - 1 ) .设直线 P B 与平面ABN所成角为 θ ，所以\sin θ = \mid \cos ⟨ \overrightarrow { P B } , ±b { n } ⟩ \mid = / { \mid \overrightarrow { P B } * ±b { n } \mid } { \mid \overrightarrow { P B } \mid \mid ±b { n } \mid } = / { 2 } { 4 } = / { 1 } { 2 } ，因为 θ \in \left[ 0 , { / { π } { 2 } } \right] ，所以 θ { = } / { π } { 6 } ,所以直线 PB 与平面ABN 所成角的大小为

（第10题）

（第11题）

(第9题）

11.【解答】（1）如图，连接 A _ { 1 } E ，因为 A _ { 1 } A = A _ { 1 } C , E 是 A C 的中点，所以 A _ { 1 } E \bot A C . 因为平面 A _ { 1 } A C C _ { 1 } 上平面 A B C , A _ { 1 } E C 平面 A _ { 1 } A C C _ { 1 } ，平面 A _ { 1 } A C C _ { 1 } ∩平面 A B C { = } A C ，所以 A _ { 1 } E \bot 平面ABC.如图，以 E 为原点，射线 E C , E A _ { 1 } 分别为 y , z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 E x y z 不妨设 A C = 4 ，则A _ { 1 } ( 0 , \ 0 2 sqrt { 3 } )，B(√3，1，0)， B _ { 1 } （ sqrt { 3 } ，3， 2 { sqrt { 3 } } ) （20 F \left( { / { sqrt { 3 } } { 2 } } , { / { 3 } { 2 } } , 2 { sqrt { 3 } } \right) , C \left( 0 , 2 , 0 \right) ，因此 \overrightarrow { E F } = \left( / { sqrt { 3 } } { 2 } , / { 3 } { 2 } , 2 sqrt { 3 } \right) ，\overrightarrow { B C } = ( - sqrt { 3 } \ , 1 , 0 ) . 由 \overrightarrow { E F } * \overrightarrow { B C } = 0 ，得 E F \bot B C ：(2)设直线 E F 与平面 A _ { 1 } B C 所成的角为 θ ，由(1)可得 \stackrel { } { B C } = （204号 ( - sqrt { 3 } , 1 , 0 ) \overrightarrow { A _ { 1 } C } = ( 0 , 2 , - 2 sqrt { 3 } ) .设平面 A _ { 1 } B C 的法向量为\scriptstyle ±b { n } = ( _ { { X } } , _ { { Y } } , _ { { Z } } ) ，则 BC·n=0，得{-√x+y=0取x=1,得AC·n=0,2y-2√3x=0,n=(1,3,1),故 sin0=|cos<EF,n>|=↓ \sin θ = | \cos ⟨ { \overrightarrow { E F } } , n ⟩ | = { / { | { \overrightarrow { E F } } * n | } { | { \overrightarrow { E F } } | * | n | } } = { / { 4 } { 5 } } 此直线 E F 与平面 A _ { 1 } B C 所成角的余弦值为 / { 3 } { 5 } 业

课时作业10一用空间向量研究夹角问题(2)

1.C【解析】因为 \cos ⟨ m , n ⟩ { = } / { m * n } { \mid m \mid \mid n \mid } { = } / { - 1 } { sqrt { 2 } x sqrt { 2 } } { = } - / { 1 } { 2 } ，所以⟨ m , n ⟩ = 1 2 0 ^ { \circ } .因为二面角的大小与法向量夹角相等或互补，所以二面角的大小是 { 6 0 } ^ { \circ } 或 1 2 0 ^ { \circ }

2.B【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设 A B = 1 ，则A \left( 0 , 0 , 0 \right) , B \left( 0 , 1 , 0 \right) , P \left( 0 , 0 , 1 \right) , D \left( 1 , 0 , 0 \right) , C \left( 1 , 1 , 0 \right) ，所以

\overrightarrow { P D } = ( 1 , 0 , - 1 ) , \overrightarrow { C D } = ( 0 , - 1 , 0 ) .易知平面 P A B 的一个法向量为 ±b { n } _ { 1 } = ( 1 , 0 , 0 ) .设平面 P C D 的法向量为 ±b { n } _ { 2 } = ( x , y _ z ) ，则 \begin{array} { r } { \left\{ { n _ { 2 } } * \overrightarrow { P D } = 0 \right. } \\ { \left. { n _ { n } } * \overrightarrow { C D } = 0 , \right. } \end{array} 得 \left\{ { \begin{array} { l } { x - z = 0 } \\ { y = 0 . } \end{array} } \right. 0 令 x = 1 ，则 z = 1 ，所以：
（20 { ±b n } _ { 2 } = ( 1 , 0 , 1 ) ，则 \cos ⟨ { ±b n } _ { 1 } , { ±b n } _ { 2 } ⟩ = / { 1 } { sqrt { 2 } } = / { sqrt { 2 } } { 2 } ，所以平面 P A B 与平面 P C D 夹角的大小为 4 5 ^ { \circ }

(第2题）

(第3题）

（第4题）

3.B【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则 A \left( 6 , 0 , 0 \right) A _ { 1 } ( 6 , 0 , 6 ) , D ( 0 , 0 , 0 ) , C _ { 1 } ( 0 , 6 , 6 ) ，由题意知当 A E = B F = 3,即 E ( 6 , 3 , 0 ) , F ( 3 , 6 , 0 ) 时 , A _ { 1 } , E , F , C _ { 1 } 四点共面.设平面 （204号 A _ { 1 } D E 的法向量为 ±b { n } _ { 1 } = ( x _ { 1 } , y _ { 1 } , z _ { 1 } ) \overrightarrow { D A _ { 1 } } = ( 6 , 0 , 6 ) ,DE= \begin{array} { r } { ±b { \jmath } _ { n _ { 1 } } * \overrightarrow { D A _ { 1 } } = 6 x _ { 1 } + 6 z _ { 1 } = 0 } \\ { ±b { \jmath } _ { n _ { 1 } } * \overrightarrow { D E } = 6 x _ { 1 } + 3 y _ { 1 } = 0 , } \end{array} ， (6，3，0)，则 取 x _ { 1 } = 1 ，得 ±b { n } _ { 1 } = ( 1 （20 ^ { - 2 , - 1 ) } .设平面 C _ { 1 } D F 的法向量为 { ±b n } _ { 2 } = ( x _ { 2 } , y _ { 2 } , z _ { 2 } ) \overrightarrow { D C _ { 1 } } = ( 0 , 6 , 6 ) ,DF \dot { \mathbf { \eta } } = ( 3 , 6 , 0 ) ，则 \left\{ \begin{array} { l l } { { n _ { 2 } * \overrightarrow { D C _ { 1 } } = 6 y _ { 2 } + 6 z _ { 2 } = 0 } } \\ { { n _ { 2 } * \overrightarrow { D F } = 3 x _ { 2 } + 6 y _ { 2 } = 0 , } } \end{array} \right. ， 取 （204号 x _ { 2 } = 2 ，得 ±b { n } _ { 2 } = ( 2 , - 1 , 1 ) .设平面 A _ { 1 } D E 与平面 C _ { 1 } D F 的夹 角为 θ ，则 \cos θ = | \cos ⟨ ±b { n } _ { 1 } , ±b { n } _ { 2 } ⟩ | = / { | ±b { n } _ { 1 } * ±b { n } _ { 2 } | } { | ±b { n } _ { 1 } | | ±b { n } _ { 2 } | } = / { 3 } { sqrt { 6 } x sqrt { 6 } } = / { 1 } { 2 } , 所以平面 A _ { 1 } D E 与平面 C _ { 1 } D F 夹角的余弦值为 / { 1 } { 2 }

4.D【解析】设 A C 与 B D 交于点 O ，连接 O F 以 O 为坐标原点 . O B , O C , O F 所在直线分别为 x 轴 \mathbf { \nabla } * \boldsymbol { y } 轴、 _ z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 \ O x y z . 设 P A = A D = A C = 1 ，则 B D = （204号 sqrt { 3 } ，所以 O ( 0 , 0 , 0 ) , B \left( / { sqrt { 3 } } { 2 } , 0 , 0 \right) , F \left( 0 , 0 , / { 1 } { 2 } \right) , C \left( 0 , / { 1 } { 2 } , 0 \right) , （20易知 \scriptstyle { \overrightarrow { O C } } = \left( 0 , { / { 1 } { 2 } } , 0 \right) 为平面 BDF 的一个法向量.由 { \overrightarrow { B C } } = （20 \left( - / { sqrt { 3 } } { 2 } , / { 1 } { 2 } , 0 \right) , \overrightarrow { F B } = \left( / { sqrt { 3 } } { 2 } , 0 , - / { 1 } { 2 } \right) ，可得平面 B C F 的一个法向量为n=(1,3,3），所以cos<n,OC）=√21， ，则 \sin ( n \scriptstyle { { \overrightarrow { O C } } } ⟩ = { / { 2 { sqrt { 7 } } } { 7 } } ，所以tan<n,Oc）=2√3 故平面BCF与平面BDF 夹角的正切值为2√3

5.ACD【解析】如图，由题意可得 A \left( 3 , 0 , 0 \right) , B \left( 3 , 2 , 0 \right) , C \left( 0 , \right. （204\ 2 , 0 ) , D ^ { \prime } ( 0 , 0 , 1 ) , A ^ { \prime } ( 3 , 0 , 1 ) , C ^ { \prime } ( 0 , 2 , 1 ) , B ^ { \prime } ( 3 , 2 , 1 ) ，所以\overrightarrow { B D ^ { \prime } } = ( - 3 , - 2 , 1 ) ,故A正确.因为 \overrightarrow { D A ^ { \prime } } = ( 3 , 0 , 1 ) , \overrightarrow { B D ^ { \prime } } = （20 ( - \ 3 , - 2 , 1 ) ，所以 \cos ⟨ \overrightarrow { D A ^ { \prime } } , \overrightarrow { B D ^ { \prime } } ⟩ = / { \overrightarrow { D A ^ { \prime } } * \overrightarrow { B D ^ { \prime } } } { \vert \overrightarrow { D A ^ { \prime } } \vert \vert \overrightarrow { B D ^ { \prime } } \vert } = { / { - 8 } { { sqrt { 1 0 } } x { sqrt { 1 4 } } } } { = } { - } { / { 4 { sqrt { 3 5 } } } { 3 5 } } （204号 ，所以异面直线 A ^ { \prime } D 与 B D ^ { \prime } 所成角的余弦值为 / { 4 { sqrt { 3 5 } } } { 3 5 } 故B不正确.设平面 A ^ { \prime } C ^ { \prime } D 的法向量为 n = （20 ( x , y , z ) ， \overrightarrow { D C ^ { \prime } } = { ~ ( ~ 0 ~ , ~ 2 ~ , ~ 1 ~ ) ~ } ，得 \left\{ _ { n } ^ { n } * \overrightarrow { D A ^ { ' } } = 0 \right. \nonumber 所以{3x+z=0取z=6,得n=（-2,-3,6),故C正确.易知平面 A ^ { \prime } D D ^ { \prime } 的一个法向量为 ±b { m } = ( 0 , 1 , 0 ) ，则 \cos ⟨ n , m ⟩ = { / { n * m } { | n | | m | } } { = } { - } { / { 3 } { 7 } } ，所以平面 A ^ { \prime } C ^ { \prime } D 与平面 A ^ { \prime } D D ^ { \prime } 夹角的余弦值为 / { 3 } { 7 } ，故D正确.

（第5题）

（第6题）

ACD【解析】取线段 A B 的中点 O , A _ { 1 } B _ { 1 } 的中点 O _ { 1 } ，连接C O , O O _ { 1 } ，在正三棱柱 A B C - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } 中， \boldsymbol { A } \boldsymbol { A } _ { 1 } 上平面 A B C ，因为 \triangle A B C 是边长为1的等边三角形，则 C O \bot A B . 以 o 为坐标原点， \overrightarrow { O B } , \overrightarrow { O C } , \overrightarrow { O O _ { 1 } } 的方向分别为 x , y , z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则 A \Big ( - / { 1 } { 2 } , 0 , 0 \Big ) , B \Big ( / { 1 } { 2 } , 0 , （200 \left) , C \left( 0 , / { sqrt { 3 } } { 2 } , 0 \right) , A _ { 1 } \left( - / { 1 } { 2 } , 0 , 1 \right) , B _ { 1 } \left( / { 1 } { 2 } , 0 , 1 \right) , C _ { 1 } \left( 0 , / { sqrt { 3 } } { 2 } , 0 , 1 \right) , B _ { 2 } \left( 0 , / { sqrt { 3 } } { 2 } , 0 , 1 \right) \right) （204号（204号 1 \Big ) , D \left( \ L _ { 0 } , / { sqrt { 3 } } { 2 } , / { \ L _ { 1 } } { 2 } \right) .对于A， \overrightarrow { A _ { 1 } B } = ( 1 , 0 , - 1 ) , \overrightarrow { A D } = （204号 \scriptstyle \left( { / { 1 } { 2 } } , { / { sqrt { 3 } } { 2 } } , { / { 1 } { 2 } } \right) ，所以 { \overrightarrow { A _ { 1 } B } } * { \overrightarrow { A D } } = { / { 1 } { 2 } } + \ l _ { 0 } - { / { 1 } { 2 } } = \ l _ { 0 } ，则 A _ { 1 } B \bot A D ，故A正确;对于B,设平面 A B _ { 1 } D 的法向量为 \mathbf { \tilde { \eta } } _ { m } = ( \boldsymbol { { x } } _ { 1 } y1，z1）， \overrightarrow { A B _ { 1 } } = ~ ( ~ 1 , ~ 0 , ~ 1 ~ ) ， \overrightarrow { A D } = \left( / { 1 } { 2 } , / { sqrt { 3 } } { 2 } , / { 1 } { 2 } \right) \scriptstyle | m * { \overrightarrow { A B _ { 1 } } } = x _ { 1 } + z _ { 1 } = 0 , \left\{ \vphantom { / { 1 } { 2 } } _ { m } * \overrightarrow { A D } = / { 1 } { 2 } x _ { 1 } + / { sqrt { 3 } } { 2 } y _ { 1 } + / { 1 } { 2 } z _ { 1 } = 0 , \right. 取 x _ { 1 } = 1 ，则 z _ { 1 } = - 1 ，（204号 y _ { 1 } = 0 ，可得 ±b { m } = ( 1 , 0 , - 1 ) ，易知平面 A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } 的一个法向量为 ±b { u } = ( 0 , 0 , 1 ) ，所以 \cos \left( m , u \right) = / { m * u } { \left| m \right| \left| u \right| } = - / { 1 } { sqrt { 2 } x 1 } = - { / { sqrt { 2 } } { 2 } } ，所以平面 A B _ { 1 } D 与平面 A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } 的夹角为 4 5 ^ { \circ } ，故B错误;对于C,设平面 A _ { 1 } B D 的法向量为 ±b { \eta } = ( x _ { 2 } , y _ { 2 } , z _ { 2 } ) \begin{array} { r l } & { \overrightarrow { A _ { 1 } \tilde { B } } = tt { ( 1 , 0 , - 1 ) } , \overrightarrow { A _ { 1 } \tilde { D } } = \left( / { 1 } { 2 } , / { sqrt { 3 } } { 2 } , - / { 1 } { 2 } \right) , } \\ & { \left\{ \begin{array} { l } { \displaystyle { n } * \overrightarrow { A _ { 1 } \tilde { B } } = x _ { 2 } - z _ { 2 } = 0 , } \\ { \displaystyle { n } * \overrightarrow { A _ { 1 } \tilde { D } } = / { 1 } { 2 } x _ { 2 } + / { sqrt { 3 } } { 2 } y _ { 2 } - / { 1 } { 2 } z _ { 2 } = 0 , } \end{array} \right. \Longrightarrow \mathtt { f } \downarrow x _ { { x } _ { 2 } } = 1 , \mathtt { M } \rVert \ z _ { 2 } = } \end{array} （20 y _ { 2 } = 0 ，可得 ±b { n } = ( 1 , 0 , 1 ) ，则 \scriptstyle { m * n = 1 + 0 - 1 = 0 } ，所以 m \perp （204号 \scriptstyle n ，因此平面 A _ { 1 } B D 上平面 A B _ { 1 } D ，故C正确;对于D, { \overrightarrow { A C } } = \scriptstyle \left( { / { 1 } { 2 } } , { / { sqrt { 3 } } { 2 } } , 0 \right) ，则 \cos ⟨ { \overrightarrow { A C } } , m ⟩ = { / { { \overrightarrow { A C } } * m } { | { \overrightarrow { A C } } | * | m | } } { = } { / { / { 1 } { 2 } } { 1 { x } { sqrt { 2 } } } } { = } { / { sqrt { 2 } } { 4 } } 4，所以 （204号A C 与平面 A B _ { 1 } D 所成角的正弦值为 * { / { sqrt { 2 } } { 4 } } ,故D正确.

7. / { 1 2 } { 5 } 【解析】设 A \left( 3 , 0 , 0 \right) , B \left( 0 , 4 , 0 \right) , C \left( 0 , 0 , a \right) ，则 { \overrightarrow { A C } } =

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