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2024春《本土攻略 初中同步》数学七下RJ 正文（电子样书）

发布时间：2024-1-08 | 杂志分类：其他
2024春《本土攻略 初中同步》数学七下RJ 正文（电子样书）
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2024春《本土攻略 初中同步》数学七下RJ 正文（电子样书）

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!\"#$%&$'! \" !\"#$#%&'()*第五章 相交线与平行线 !\"#５．１ 相交线 !!!!!!!!!!!!!! １ １５．１．１ 相交线 !!!!!!!!!!!! １ １５．１．２ 垂线 !!!!!!!!!!!!! ３ ３５．１．３ 同位角、内错角、同旁内角 !!!! ５ ６５．２ 平行线及其判定 !!!!!!!!!! ７ ８５．２．１ 平行线 !!!!!!!!!!!! ７ ８５．２．２ 平行线的判定 !!!!!!!!! ９ １０５．３ 平行线的性质 !!!!!!!!!!! １１ １３５．３．１ 平行线的性质 !!!!!!!!! １１ １３５．３．２ 命题、定理、证明 !!!!!!!! １３ １５５．４ 平移 !!!!!!!!!!!!!!! １５ １７章末复习 !!!!!!!!!!!!!!! １７第六章 实数６．１ 平方根 !!!!!!!!!!!!!! ２０ １９第 １课时 算术平方根 !!!!!!!! ２０ １９第 ２课时 平方根 !!!!!!!!!! ２２ ２１... [收起]
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2024春《本土攻略 初中同步》数学七下RJ 正文（电子样书）
本土攻略
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第2页

!\"#$%&$'

! \" !\"#$#

%&'()*

第五章 相交线与平行线 !\"#

５．１ 相交线 !!!!!!!!!!!!!! １ １

５．１．１ 相交线 !!!!!!!!!!!! １ １

５．１．２ 垂线 !!!!!!!!!!!!! ３ ３

５．１．３ 同位角、内错角、同旁内角 !!!! ５ ６

５．２ 平行线及其判定 !!!!!!!!!! ７ ８

５．２．１ 平行线 !!!!!!!!!!!! ７ ８

５．２．２ 平行线的判定 !!!!!!!!! ９ １０

５．３ 平行线的性质 !!!!!!!!!!! １１ １３

５．３．１ 平行线的性质 !!!!!!!!! １１ １３

５．３．２ 命题、定理、证明 !!!!!!!! １３ １５

５．４ 平移 !!!!!!!!!!!!!!! １５ １７

章末复习 !!!!!!!!!!!!!!! １７

第六章 实数

６．１ 平方根 !!!!!!!!!!!!!! ２０ １９

第 １课时 算术平方根 !!!!!!!! ２０ １９

第 ２课时 平方根 !!!!!!!!!! ２２ ２１

６．２ 立方根 !!!!!!!!!!!!!! ２４ ２３

６．３ 实数 !!!!!!!!!!!!!!! ２６ ２５

第 １课时 实数的概念及其分类 !!!! ２６ ２５

第 ２课时 实数的运算 !!!!!!!! ２８ ２７

章末复习 !!!!!!!!!!!!!!! ３０

第七章 平面直角坐标系

７．１ 平面直角坐标系 !!!!!!!!!! ３２ ２９

７．１．１ 有序数对 !!!!!!!!!!! ３２ ２９

７．１．２ 平面直角坐标系 !!!!!!!! ３４ ３１

７．２ 坐标方法的简单应用 !!!!!!!! ３６ ３３

７．２．１ 用坐标表示地理位置 !!!!!! ３６ ３３

７．２．２ 用坐标表示平移 !!!!!!!! ３８ ３６

章末复习 !!!!!!!!!!!!!!! ４０

第八章 二元一次方程组

８．１ 二元一次方程组 !!!!!!!!!! ４３ ３９

８．２ 消元———解二元一次方程组 !!!!! ４５ ４２

第 １课时 用代入法解二元一次方程组 ! ４５ ４２

第 ２课时 用加减法解二元一次方程组 ! ４７ ４４

核心素养索引

１．模型观念 Ｐ２Ｔ３、Ｐ６Ｔ３、Ｐ２４Ｔ６、

Ｐ３５Ｔ１、Ｐ４６Ｔ４、Ｐ４８、Ｐ５０Ｔ１、Ｐ５７

２．应用意识 Ｐ３Ｔ１、Ｐ３３Ｔ２、Ｐ４６Ｔ４、

Ｐ５４Ｔ３、Ｐ５８Ｔ５、Ｐ８５Ｔ２

３．空间观念 Ｐ１０Ｔ１、Ｐ４１Ｔ６

４．推理能力 Ｐ１４、Ｐ２５Ｔ４、Ｐ２７Ｔ２、

Ｔ５０Ｔ３

５．运算能力 Ｐ２８Ｔ５、Ｐ２９Ｔ２、Ｐ４４、

Ｐ６１Ｔ５

６．几何直观 Ｐ３７、Ｐ６７Ｔ１

教材改编题索引

１．对顶角相等的应用 Ｐ１Ｔ５

２．过一点只能作一条垂线 Ｐ３Ｔ２

３．立体空间中的平行与垂直 Ｐ８Ｔ２

４．平行线判定的应用 Ｐ９Ｔ６

５．坐标系表示地理位置 Ｐ３６Ｔ２

特色题索引

１．易错题 Ｐ１８Ｔ８、Ｐ２１Ｔ４、Ｐ２３Ｔ５、

Ｐ２５Ｔ１、Ｐ８４Ｔ１、Ｐ８６Ｔ１２

２．跨学科 Ｐ１０Ｔ３

３．数学思想 Ｐ１７、Ｐ３０、Ｐ４０、Ｐ４７Ｔ３、

Ｐ５０Ｔ２、Ｐ５２Ｔ２、Ｐ５３、Ｐ６９、

Ｐ８０

第3页

!\"#

８．３ 实际问题与二元一次方程组 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ４９ ４６

８．４ 三元一次方程组的解法 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ５１ ４９

章末复习 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ５３

第九章 不等式与不等式组

９．１ 不等式 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ５６ ５１

９．１．１ 不等式及其解集 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ５６ ５１

９．１．２ 不等式的性质 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ５８ ５３

９．２ 一元一次不等式 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ６０ ５５

第 １课时 一元一次不等式的解法 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ６０ ５５

第 ２课时 一元一次不等式的应用 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ６２ ５７

９．３ 一元一次不等式组 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ６５ ５９

第１课时 一元一次不等式组的解法!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ６５

第２课时 一元一次不等式组的应用!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ６７

章末复习 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ６９

第十章 数据的收集、整理与描述

１０．１ 统计调查 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ７２ ６２

第 １课时 全面调查 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ７２ ６２

第 ２课时 抽样调查 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ７４ ６５

１０．２ 直方图 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ７６ ６８

１０．３ 课题学习 从数据谈节水 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ７９ ７１

章末复习 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ８０

培优集训

培优集训 １ 平行线的性质与判定的综合运用 !!!!!!!!!!!!!!!! ８２

培优集训 ２ 实数的相关计算 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ８３

培优集训 ３ 平面直角坐标系 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ８４

培优集训 ４ 二元一次方程组的应用 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ８５

培优集训 ５ 一元一次不等式（组）的应用 !!!!!!!!!!!!!!!!!! ８７

培优集训 ６ 数据的收集与整理 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ８８

七年级下册检测卷（活页试卷）

第五章 相交线与平行线 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 活页 １

第六章 实数 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 活页 ５

第七章 平面直角坐标系 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 活页 ９

七年级下学期数学期中检测卷 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 活页 １３

第八章 二元一次方程组 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 活页 １７

第九章 不等式与不等式组 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 活页 ２１

第十章 数据的收集、整理与描述 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 活页 ２５

七年级下学期数学期末检测卷（一）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 活页 ２９

七年级下学期数学期末检测卷（二）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 活页 ３３

七年级下学期数学期末检测卷（三）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 活页 ３７

第4页

第五章 相交线与平行线

５．１ 相交线

５．１．１ 相交线

１．如图，直线 ＡＢ，ＣＤ相交于点 Ｏ．

（１）∠１与∠２有一条公共边 ＯＣ ，它

们的另一边互为反向延长线，具有这种关

系的两个角，互为 邻补角 ，即∠１＋

∠２＝ １８０° ．

（２）∠１与∠３有一个公共 顶点 Ｏ ，并

且∠１的两边分别是∠３的两边的反向延

长线，具有这种位置关系的两个角，互为

对顶角 ．

２．对顶角的性质：对顶角 相等 ．上图中的对

顶角分别是 ∠１和∠３ ， ∠２和∠４ ．

知识点 １ 邻补角及其性质 

１．下列选项中，∠１与∠２互为邻补角的是

（ Ｄ ）

Ａ Ｂ

Ｃ Ｄ

２．如图，直线 ＡＢ，ＣＤ，ＥＦ相交于点 Ｏ，∠１的

邻补角是 （ Ｂ ）

Ａ．∠ＢＯＣ Ｂ．∠ＢＯＥ和∠ＡＯＦ

Ｃ．∠ＡＯＦ Ｄ．∠ＢＯＣ和∠ＡＯＦ

３．若∠Ａ＝１００°１５′，则∠Ａ的邻补角的度数为

７９°４５′ ．

知识点 ２ 对顶角及其性质 

４．（２０２３昭通市昭阳区月考）下列选项中，∠１

和∠２是对顶角的是 （ Ｄ ）

５．（七下 ＲＪ第 ９页第 ９题改编）如图，利用工

具测量角，则∠１的度数为 （ Ａ ）

Ａ．３０° Ｂ．６０° Ｃ．１２０° Ｄ．１５０

 °

·１·

第5页

６．如 图，直 线 ＡＢ，ＣＤ 相 交 于 点 Ｏ．若

∠ＡＯＣ∶∠ＡＯＤ＝２∶３，则 ∠ＢＯＣ的度数为

（ Ｄ ）

Ａ．５９° Ｂ．６２° Ｃ．７２° Ｄ．１０８°

１．如图，直线 ＡＢ，ＣＤ相交于点 Ｏ，ＯＥ，ＯＦ是过

点 Ｏ的射线，下列选项中，是对顶角的是

（ Ｃ ）

Ａ．∠ＡＯＦ与∠ＤＯＥ Ｂ．∠ＥＯＦ与∠ＢＯＥ

Ｃ．∠ＢＯＣ与∠ＡＯＤ Ｄ．∠ＣＯＦ与∠ＢＯＤ

第 １题图 第 ２题图

２．如图，当∠ＡＯＢ增大 ２５°时，∠ＣＯＤ增大

（ Ｃ ）

Ａ．５０° Ｂ．３０° Ｃ．２５° Ｄ．１５°

３．下列说法正确的是 （ Ｂ ）

Ａ．相等的两个角互为对顶角

Ｂ．不相等的角一定不是对顶角

Ｃ．不是对顶角的角都不相等

Ｄ．有公共顶点且和为 １８０°的两个角互为邻

补角

４．如图，直线 ＡＢ，ＣＤ相交于点 Ｏ，∠ＡＯＣ＝

７５°，∠１＝２５°，则∠２的度数为 （ Ｄ ）

Ａ．２５° Ｂ．３０° Ｃ．４０° Ｄ．５０°

第 ４题图 第 ５题图

５．（２０２２曲靖期末）如图，两条直线 ＡＢ，ＣＤ相

交于点 Ｏ，射线 ＯＭ是∠ＡＯＣ的平分线．若

∠ＢＯＤ＝８２°，则∠ＢＯＭ的度数为 （ Ａ ）

Ａ．１３９° Ｂ．９８° Ｃ．８２° Ｄ．４１°

６．如图，直线 ＡＢ，ＣＤ相交于点 Ｏ，ＯＡ平分

∠ＥＯＣ，∠ＥＯＣ∶∠ＥＯＤ＝４∶５，则∠ＢＯＤ＝

４０° ．

第 ６题图 第 ７题图

７．如图，直线 ａ，ｂ，ｃ两 两 相 交，∠１＝７０°，

∠２＝２∠３，则∠４＝ １４５° ．

１．（２０２３景洪名校期中）在同一平面内，４条

直线相交，则交点的个数最多有 （ Ｄ ）

Ａ．３个 Ｂ．４个

Ｃ．５个 Ｄ．６个

２．如图，直线 ＡＢ，ＣＤ相交于点 Ｏ，作射线 ＯＥ，

则图中的邻补角有 （ Ｂ ）

Ａ．４对 Ｂ．６对

Ｃ．７对 Ｄ．８对

３．【核心素养·模型观念】观察下列各图，寻

找对顶角（不含平角）：

图 １ 图 ２ 图 ３

（１）如图 １所示，两条直线 ＡＢ与 ＣＤ相交于

一点，形成 ２ 对对顶角；

（２）如图 ２所示，三条直线 ＡＢ，ＣＤ与 ＥＦ相

交于一点，形成 ６ 对对顶角；

（３）如图 ３所示，四条直线 ＡＢ，ＣＤ，ＥＦ与

ＧＨ相交于一点，形成 １２ 对对顶角；

（４）探究（１）～（３）各题中直线条数与对顶

角对数之间的关系，若有 ｎ条直线相交于一

点，则可形成 ｎ（ｎ－１） 对对顶角

 ．

·２·

本土攻略·数学 七年级下册（ＲＪ 

）

第6页

５．１．２ 垂线

１．如图１，直线ａ，ｂ相交于点Ｏ，当夹角为 ９０°

时，称 ａ与 ｂ互相垂直，记作 ａ⊥ｂ ．其中

的一条直线叫做另一条直线的 垂线 ，它

们的交点 Ｏ叫做 垂足 ．

图 １ 图 ２

２．垂线的性质

（１）在同一平面内，过一点有且只有 一

条直线与已知直线垂直．

（２）连接直线外一点与直线上各点的所有

线段中，垂线段 最短 ．简单说成： 垂线

段最短 ．

（３）如图 ２，当 ＡＢ⊥ ＣＤ于点 Ｄ时，则有

∠ＣＤＡ＝∠ＣＤＢ＝ ９０ °．

３．直线外一点到这条直线的 垂线段的长度 ，

叫做点到直线的距离．

知识点 １ 垂线的概念及其作法

１．下列图形中，线段 ＰＱ的长表示点 Ｐ到直线

ＭＮ的距离的是 （ Ａ ）

Ａ Ｂ

Ｃ Ｄ

知识点 ２ 垂线的性质及点到直线的距离

２．（２０２３昆明市西山区期末）如图，Ｃ是直线

ＡＢ外一点，Ｍ是线段 ＡＢ的中点，连接 ＣＭ，

过点 Ｃ作 ＣＤ⊥ＡＢ，垂足为 Ｄ，则点 Ｃ到直

线 ＡＢ的距离是 （ Ｃ ）

Ａ．线段 ＣＡ的长度 Ｂ．线段 ＣＭ的长度

Ｃ．线段 ＣＤ的长度 Ｄ．线段 ＣＢ的长度

第 ２题图 第 ３题图

３．（２０２３昆明市五华区期末）如图，ＡＯ⊥ＯＢ

于点 Ｏ．若∠ＢＯＣ＝４０°，则∠ＡＯＣ的度数是

（ Ｃ ）

Ａ．２０° Ｂ．４０° Ｃ．５０° Ｄ．６０°

１．【核心素养·应用意识】如图，在铁路旁有

一李庄 Ｏ，现要建一火车站，为了使李庄人

乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建火

车站，应建在 （ Ａ ）

Ａ．点 Ａ Ｂ．点 Ｂ Ｃ．点 Ｃ Ｄ．点 Ｄ

第 １题图 第 ２题图

２．（七下 ＲＪ第 ９页第 １２题改编）如图，若

ＯＭ⊥ＮＰ，ＯＮ⊥ＮＰ，则直线 ＯＮ与 ＯＭ重合，

其依据是 （ Ｂ ）

Ａ．两点确定一条直线

Ｂ．在同一平面内，过直线外一点有且只有

一条直线垂直于已知直线

Ｃ．过一点只能作一条直线

Ｄ．垂线段最短

３．（２０２２曲靖名校期中）下列四种判定两条直

线垂直的方法中，正确的有 （ Ａ ）

①两条直线相交所成的四个角中，有一个角

是直角，则这两条直线互相垂直；

②两条直线相交，只要有一组邻补角相等，

则这两条直线互相垂直；

③两条直线相交所成的四个角相等，则这两

条直线互相垂直；

④两条直线相交，有一组对顶角互补，则这

两条直线互相垂直．

Ａ．４个 Ｂ．３个 Ｃ．２个 Ｄ．１

 个

·３·

第五章 相交线与平行线

第7页

４．（２０２２大理州阶段监测）如图，直线 ＡＢ，ＣＤ

相交 于 点 Ｏ，ＯＥ⊥ ＡＢ，∠ＣＯＥ＝６８°，则

∠ＢＯＤ的度数为 （ Ａ ）

Ａ．２２° Ｂ．３２° Ｃ．６８° Ｄ．１１２°

第 ４题图 第 ５题图

５．如图，当∠１与∠２满足条件 ∠１＋∠２＝

９０° 时，ＯＡ⊥ＯＢ．

６．（２０２２曲靖期末）如图，ＯＡ⊥ＯＢ，ＯＣ⊥ＯＤ．

若∠ＡＯＣ＝５５°，则∠ＢＯＤ＝ ５５° ．

第 ６题图 第 ７题图

７．（２０２３临沧名校期末联考）如图，ＡＢ⊥ＣＤ于

点 Ｏ，ＥＦ是经过点 Ｏ的一条直线．若∠１＝

５０°，则∠２的度数是 ４０° ．

８．（２０２３曲靖名校期中）如图，直线 ＡＢ，ＣＤ相

交于点 Ｏ，ＯＭ⊥ＡＢ．

（１）若∠１＝∠２，求证：ＯＮ⊥ＣＤ；

（２）若∠１＝１

３∠ＢＯＣ，求∠ＢＯＤ的度数．

（１）证明：因为 ＯＭ⊥ＡＢ，

所以∠ＡＯＭ＝９０°．

所以∠１＋∠ＡＯＣ＝９０°．

因为∠１＝∠２，

所以∠２＋∠ＡＯＣ＝９０°，

即∠ＣＯＮ＝９０°．

所以 ＯＮ⊥ＣＤ．

（２）解：因为∠１＝１

３∠ＢＯＣ，ＯＭ⊥ＡＢ，

所以∠ＢＯＭ＝２∠１＝９０°．

解得∠１＝４５°．

所以 ∠ＢＯＤ ＝∠ＡＯＣ＝９０°－∠１＝

９０°－４５°＝４５°．

１．如 图，直 线 ＡＢ，ＣＤ，ＥＦ相 交 于 点 Ｏ．若

ＡＢ⊥ＣＤ，∠ＡＯＥ∶∠ＡＯＤ＝２∶５，则∠ＤＯＦ＝

５４ °．

２．如图，直线 ＡＢ经过点 Ｏ，ＯＡ平分∠ＣＯＤ，

ＯＢ平分∠ＭＯＮ．若∠ＡＯＮ＝１５０°，∠ＢＯＣ＝

１２０°．

（１）求∠ＣＯＭ的度数；

（２）判断 ＯＤ与 ＯＮ的位置关系，并说明

理由．

解：（１）因为∠ＡＯＮ＝１５０°，

所以∠ＢＯＮ＝３０°．

因为 ＯＢ平分∠ＭＯＮ，

所以∠ＢＯＭ＝∠ＢＯＮ＝３０°．

因为∠ＢＯＣ＝１２０°，

所以∠ＣＯＭ＝∠ＢＯＣ－∠ＢＯＭ＝

１２０°－３０°＝９０°．

（２）ＯＤ⊥ＯＮ．

理由如下：因为∠ＢＯＣ＝１２０°，

所以∠ＡＯＣ＝６０°．

又因为 ＯＡ平分∠ＣＯＤ，

所以∠ＡＯＤ＝∠ＡＯＣ＝６０°．

所以∠ＤＯＮ＝∠ＡＯＮ－∠ＡＯＤ＝

１５０°－６０°＝９０°．

所以 ＯＤ⊥

ＯＮ．

·４·

本土攻略·数学 七年级下册（ＲＪ 

）

第8页

５．１．３ 同位角、内错角、同旁内角

１．如下图，直线 ＡＢ，ＣＤ与 ＥＦ相交，∠１和∠５这

两个角分别在直线 ＡＢ，ＣＤ的同一方向（上

方），并且都在直线 ＥＦ的同侧（右侧），具有这

种位置关系的一对角叫做 同位角 ，像这样

的角还有 ∠２和∠６ ， ∠３和∠７ ，

∠４和∠８ ．

２．如上图，∠３和∠５这两个角都在直线 ＡＢ，

ＣＤ之间，并且分别在直线 ＥＦ两侧，具有这

种位置关系的一对角叫做 内错角 ，像这

样的角还有 ∠４和∠６ ．

３．如上图，∠３和∠６这两个角都在直线 ＡＢ，

ＣＤ之间，但它们在直线 ＥＦ的同侧（左侧），

具有这种位置关系的一对角叫做 同旁

内角 ，像这样的角还有 ∠４和∠５ ．

知识点 认识同位角、内错角、同旁内角

１．如图，直线 ａ，ｂ被直线 ｃ所截，下列各组角

是同旁内角的是 （ Ｂ ）

Ａ．∠１与∠２ Ｂ．∠２与∠４

Ｃ．∠２与∠３ Ｄ．∠３与∠４

第 １题图 第 ２题图

２．如图，下列各组角中，是同位角的一组是

（ Ａ ）

Ａ．∠１和∠２ Ｂ．∠２和∠３

Ｃ．∠２和∠４ Ｄ．∠１和∠５

３．（２０２２昆明期末）如图，直线 ａ，ｂ被直线 ｃ

所截，下列说法不正确的是 （ Ａ ）

Ａ．∠１和∠４是内错角

Ｂ．∠２和∠３是同旁内角

Ｃ．∠１和∠３是同位角

Ｄ．∠３和∠４互为邻补角

４．如图：

（１）∠ＢＡＤ和∠Ｄ是直线 ＡＢ 和 ＣＤ 被直

线 ＡＤ 所截构成的 同旁内 角；

（２）∠１和∠２是直线 ＡＤ 和 ＢＥ 被直

线 ＡＣ 所截构成的 内错 角；

（３）∠３和∠４是直线 ＡＢ 和 ＣＤ 被直

线 ＡＣ 所截构成的 内错 角；

（４）∠ＤＣＥ和∠Ｂ是直线 ＡＢ 和 ＣＤ

被直线 ＢＥ 所截构成的 同位 角．

１．（２０２３昭通市昭阳区月考）如图，直线 ａ，ｂ

被直线 ｃ所截，则下列说法错误的是（ Ｄ ）

Ａ．∠１与∠２是邻补角

Ｂ．∠１与∠３是对顶角

Ｃ．∠２与∠４是同位角

Ｄ．∠３与∠４

 是内错角

·５·

第五章 相交线与平行线

第9页

２．如图，∠１和∠２是直线 和 被

直线 所截构成的 ．横线上依次

所填正确的是 （ Ｂ ）

1

E A

F

B C

2

Ａ．ＡＢ，ＢＣ，ＡＣ，内错角

Ｂ．ＡＢ，ＢＣ，ＡＣ，同旁内角

Ｃ．ＥＦ，ＢＣ，ＡＣ，同旁内角

Ｄ．ＡＢ，ＢＣ，ＡＣ，同位角

３．在我们常见的英文字母中，存在着同位角、

内错角、同旁内角的现象．在下列几个字母

中，不含同旁内角现象的字母是 （ Ｃ ）

４．如图，能与∠α构成同位角的有 （ Ｂ ）

Ａ．４个 Ｂ．３个 Ｃ．２个 Ｄ．１个

５．已知∠１与∠２是同旁内角，若∠１＝６０°，则

∠２的度数为 （ Ｄ ）

Ａ．１２０° Ｂ．６０°

Ｃ．８０° Ｄ．不能确定

６．如图，如果∠１＝４０°，∠２＝１００°，那么∠３的

同位角等于 ８０° ，∠３的内错角等于

８０° ，∠３的同旁内角等于 １００° ．

１．如图，直线 ＡＢ，ＣＤ与直线 ＥＦ，ＧＨ分别相

交，图中的同旁内角共有 （ Ｄ ）

C

H F

D

A B

E G

Ａ．４对 Ｂ．８对

Ｃ．１２对 Ｄ．１６对

２．如图，三角形 ＡＢＣ中共有 ３ 对同旁内

角，四边形 ＡＢＣＤ中共有 ４ 对同旁内角，

五边形 ＡＢＣＤＥ中共有 ５ 对同旁内角，则

ｎ边形中共有 ｎ 对同旁内角．

３．【核心素养·模型观念】探究题：

（１）如图 １，两条水平的直线被一条倾斜

的直线所截，同位角有 ４ 对，内错角有

２ 对，同旁内角有 ２ 对；

图 １ 图 ２

（２）如图 ２，三条水平的直线被一条倾斜的

直线所截，同位角有 １２ 对，内错角有

６ 对，同旁内角有 ６ 对；

（３）根据以上探究的结果，ｎ（ｎ为大于 １的

整数）条水平的直线被一条倾斜的直线所

截，同位角有 ２ｎ（ｎ－１） 对，内错角有

ｎ（ｎ－１） 对，同旁内角有 ｎ（ｎ－１）

对．（用含 ｎ的式子表示

）

·６·

本土攻略·数学 七年级下册（ＲＪ 

）

第10页

５．２ 平行线及其判定

５．２．１ 平行线

１．同一平面内 不相交 的两条直线叫做平行

线．如图，直线 ａ与 ｂ平行，记作 ａ∥ｂ ．

２．在同一平面内，不重合的两条直线只有两种

位置关系： 平行 和 相交

櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅

櫅

櫅

櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅

櫅

殯

殯 殯

殯

．

注意：同一平面内不重合的两条线段或射

线，可能相交，可能平行．

３．平行公理：经过直线外一点， 有且只有

一条直线与这条直线平行

櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅

櫅

櫅

櫅

櫅

櫅

櫅

櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅

櫅

櫅

櫅

櫅

櫅

殯

殯 殯

殯

．

注意：过直线上一点不能作已知直线的平

行线；过直线外一点可以作一条直线与已

知直线平行．若没有说明过哪一点，则可

以作无数条直线与已知直线平行．

４．平行公理的推论：如果两条直线都与第三条

直线平行，那么这两条直线也 互相平行 ，

即 ｂ∥ａ，ｃ∥ａ，那么 ｂ∥ｃ

櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅

櫅

櫅

櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅

櫅

殯

殯 殯

殯

．

注意：平行公理的推论中，三条直线可以

不在同一平面内．

知识点 １ 平行线的概念 

１．下列生活实例中，属于平行线的有 （ Ａ ）

①交通路口的斑马线；②黑板的上下两边；

③百米直跑道的两边．

Ａ．３个 Ｂ．２个 Ｃ．１个 Ｄ．０个

２．下列说法正确的是 （ Ｂ ）

Ａ．同一平面内，没有公共点的两条线段

平行

Ｂ．同一平面内，没有公共点的两条直线平行

Ｃ．同一平面内，没有公共点的两条射线平行

Ｄ．两条不相交的直线叫做平行线

知识点 ２ 平行公理及其推论 

３．如图，过点 Ｃ作线段 ＡＢ的平行线，下列说

法正确的是 （ Ｂ ）

Ａ．不能作 Ｂ．只能作一条

Ｃ．能作两条 Ｄ．能作无数条

４．在同一平面内，直线 ｌ与两条平行线 ａ，ｂ的

位置关系是 （ Ｄ ）

Ａ．ｌ一定与 ａ，ｂ都平行

Ｂ．ｌ可能与 ａ平行，与 ｂ相交

Ｃ．ｌ一定与 ａ，ｂ都相交

Ｄ．ｌ与 ａ，ｂ都平行或都相交

５．（２０２２昆明名校期中）如图，已知三角形

ＡＢＣ，Ｐ是线段 ＢＣ上不与点 Ｂ，Ｃ重合的任

意一点．

（１）过点 Ｐ作 ＡＢ的平行线，交 ＡＣ于点 Ｔ；

（２）过点 Ｃ作 ＭＮ∥ＡＢ；

（３）直线 ＰＴ，ＭＮ是何种位置关系？请说明

理由．

【答案】

解：（１）如图所示，直线 ＰＴ即为所作．

（２）如图所示，直线 ＭＮ即为所作．

（３）ＰＴ∥ＭＮ．

理由如下：因为 ＰＴ∥ＡＢ，ＭＮ∥ＡＢ，

且 ＭＮ与 ＰＴ不重合，

所以 ＰＴ∥

ＭＮ．

·７·

第五章 相交线与平行线

第11页

１．如图，在正方形网格中，点 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ都

在格点上，连接 Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ中任意两点得到的

所有线段中，与线段 ＡＢ平行的是 （ Ｃ ）

Ａ．线段 ＤＣ Ｂ．线段 ＦＣ

Ｃ．线段 ＦＤ Ｄ．线段 ＦＥ

２．（２０２３景洪名校期中）下列命题中，是假命

题的是 （ Ｂ ）

Ａ．ＡＢ∥ＣＤ，ＥＦ∥ＣＤ，则 ＡＢ∥ＥＦ

Ｂ．垂直于同一条直线的两条直线互相平行

Ｃ．过直线外一点有且只有一条直线与已知

直线平行

Ｄ．同一平面内，若一条直线与两平行线中

的一条相交，那么它也和另一条相交

３．如图所示，将一张长方形纸对折三次，则产

生的折痕之间的位置关系是 （ Ｃ ）

Ａ．平行 Ｂ．垂直

Ｃ．平行或垂直 Ｄ．无法确定

４．把一张长方形纸片顺着同一边对折 ｘ次得

到 ｎ条平行的折痕，则对折（ｘ＋１）次得到的

平行折痕的条数为 （ Ｃ ）

Ａ．２ｎ条 Ｂ．（２ｎ－１）条

Ｃ．（２ｎ＋１）条 Ｄ．（ｎ

２－１）条

５．如图，在∠ＡＯＢ内有一点 Ｐ．

（１）过点 Ｐ作 ｌ１∥ＯＡ；

（２）过点 Ｐ作 ｌ２∥ＯＢ；

（３）用量角器量一量 ｌ１与 ｌ２相交的角及∠Ｏ，

判断它们的大小有怎样的关系．

【答案】

解：（１）如图所示，ｌ１即为所作．

（２）如图所示，ｌ２即为所作．

（３）ｌ１与 ｌ２相交的角为∠１和∠２．

经测量可知∠１＝∠Ｏ，∠２＋∠Ｏ＝１８０°，

所以 ｌ１与 ｌ２的夹角与∠Ｏ相等或互补．

１．下列说法中，错误的有 （ Ｂ ）

①若 ａ与 ｃ相交，ｂ与 ｃ相交，则 ａ与 ｂ相

交；②过直线外一点有且只有一条直线与已

知直线平行；③在同一平面内，两条直线的

位置关系有平行、相交、垂直三种．

Ａ．３个 Ｂ．２个

Ｃ．１个 Ｄ．０个

２．（教材 Ｐ１７第１１题改编）如图，在长方体中，

Ｅ，Ｆ分 别 是 线 段 Ａ１Ｂ１，Ｃ１Ｄ１ 上 的 一 点，

ＥＦ∥Ｂ１Ｃ１，观察填空：

（１）用符号表示下列棱之间的位置关系：

Ａ１Ｂ１ ∥ ＡＢ，Ａ１Ａ ⊥ ＡＢ，Ａ１Ｄ１ ⊥

Ｃ１Ｄ１，ＡＤ ∥ ＢＣ，Ａ１Ｄ１ ∥ ＢＣ，

ＡＤ ∥ ＥＦ，ＥＦ ⊥ Ｃ１Ｄ１；

（２）ＡＢ与 Ｂ１Ｃ１所在直线是两条不相交的直

线，它们 不是 （选填“是”或“不是”）平

行线，由此可知，在 同一平面 内，两条不

相交的直线才能叫做平行线；

（３）如图，在四边形 ＡＢＣＤ所在平面内取一点

Ｐ，分别作直线 ＭＰ∥ＡＢ，ＮＰ∥ＡＢ，则点 Ｍ，Ｎ，

Ｐ在同一条直线上，理由是 经过直线外一

点，有且只有一条直线与这条直线平行

 ．

·８·

本土攻略·数学 七年级下册（ＲＪ 

）

第12页

５．２．２ 平行线的判定

平行线的判定

１．定义法：在同一平面内，两条不相交的直线

互相平行．

２．两条直线分别与第三条直线 平行 ，则这

两条直线互相平行．

３．同位角 相等 ，两直线平行．

４．内错角 相等 ，两直线平行．

５．同旁内角 互补 ，两直线平行．

６．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条

直线 互相平行 ．

知识点 １ 同位角相等，两直线平行  １．如图，若∠１＝∠２，则 （ Ｂ ）

Ａ．ａ∥ｂ Ｂ．ｃ∥ｄ

Ｃ．ａ∥ｂ或 ｃ∥ｄ Ｄ．以上三项都不对

第 １题图 第 ２题图

２．如图所示，图形是木匠师傅利用直尺和三角

尺过已知直线 ｌ外一点 Ｐ作直线 ｌ的平行线

的方法，其直接依据是 （ Ａ ）

Ａ．同位角相等，两直线平行

Ｂ．内错角相等，两直线平行

Ｃ．同旁内角互补，两直线平行

Ｄ．平面内垂直于同一条直线的两条直线互

相平行

知识点 ２ 内错角相等，两直线平行  ３．如图，直线 ａ，ｂ被直线 ｃ所截，∠１＝５０°，当

∠２＝ 时，能推出 ａ∥ｂ （ Ｂ ）

Ａ．４５° Ｂ．５０° Ｃ．５５° Ｄ．１２５°

第 ３题图 第 ４题图

４．如图，用两个相同的三角板按照如图所示的

方式作平行线，能解释其中道理的依据是

（ Ｂ ）

Ａ．同位角相等，两直线平行

Ｂ．内错角相等，两直线平行

Ｃ．同旁内角互补，两直线平行

Ｄ．平行于同一条直线的两直线平行

知识点 ３ 同旁内角互补，两直线平行  ５．如图，已知∠１＝７０°，要使 ＡＢ∥ＣＤ，则需具

备的另一个条件是 （ Ｃ ）

Ａ．∠２＝７０° Ｂ．∠２＝１００°

Ｃ．∠２＝１１０° Ｄ．∠３＝１１０°

６．（教材 Ｐ２３第５题改编）如图，要在一条公路

的两侧铺设平行管道，已知一侧铺设的角度

为 １２０°，为使管道对接，另一侧铺设的角度

应为 （ Ｄ ）

Ａ．１２０° Ｂ．１００° Ｃ．８０° Ｄ．６０°

１．下列图形中，由∠１＝∠２，能得到 ＡＢ∥ＣＤ

的是 （ Ｄ ）

２．（２０２３曲靖期末）如图，∠１＝３０°，∠Ｂ＝

６０°，ＡＢ⊥ＡＣ，则下列说法正确的是 （ Ｄ ）

Ａ．ＡＢ∥ＣＤ

Ｂ．ＡＣ⊥ＣＤ

Ｃ．∠Ｄ＝６０°

Ｄ．ＡＤ∥

 ＢＣ

·９·

第五章 相交线与平行线

第13页

３．（跨学科·物理）（２０２３昆明市官渡区期末）

光线在不同介质中的传播速度是不同的，因

此光线从水中射向空气时，要发生折射．由

于折射率相同，所以在水中平行的光线，在

空气中也是平行的．如图，若平行光线由水

中射向空气时所形成的∠１＝５０°，∠２＝

１１３°，则∠３＋∠４等于 （ Ｃ ）

Ａ．９０° Ｂ．１０７° Ｃ．１１７° Ｄ．１６３°

４．如图，点 Ｅ在 ＢＣ的延长线上，下列条件中

能判定 ＣＤ∥ＡＢ的是 （ Ｃ ）

① ∠１＝∠４；② ∠２＝∠３；③ ∠５＝∠Ｂ；

④∠ＤＣＢ＋∠Ｂ＝１８０°．

Ａ．①②③④ Ｂ．①②③

Ｃ．①③④ Ｄ．①②

第 ４题图 第 ５题图

５．如图，Ｅ是 ＡＤ延长线上一点，∠Ｂ＝３０°，

∠Ｃ＝１２０°．如果添加一个条件，使 ＢＣ∥ＡＥ，

则可添加的条件为 ∠１＝３０°（或∠２＝

１２０°） ．（只填一个即可）

６．在同一平面内，若 ａ⊥ｂ，ａ⊥ｃ，则 ｂ ∥ ｃ．

７．如图，已知直线 ＥＦ和 ＡＢ，ＣＤ分别相交于点

Ｋ，Ｈ，且 ＥＧ⊥ＡＢ，∠ＣＨＦ＝６０°，∠Ｅ＝３０°．求

证：ＡＢ∥ＣＤ．

证明：因为 ＥＧ⊥ＡＢ，

∠Ｅ＝３０°，

所以∠ＥＫＧ＝

１８０°－∠ＥＧＫ－

∠Ｅ ＝ １８０° －

９０°－３０°＝６０°．

所以∠ＡＫＨ＝∠ＥＫＧ＝６０°（对 顶 角

相等）．

又因为∠ＣＨＦ＝６０°，

所以∠ＡＫＨ＝∠ＣＨＦ＝６０°．

所以 ＡＢ∥ＣＤ（同位角相等，两直线

平行）．

１．【核心素养·空间观念】在同一平面内，有

８条互不重合的直线 ｌ１，ｌ２，ｌ３，…，ｌ８，若 ｌ１⊥

ｌ２，ｌ２∥ｌ３，ｌ３⊥ｌ４，ｌ４∥ｌ５，…，以此类推，则 ｌ１

和 ｌ８的位置关系是 （ Ａ ）

Ａ．平行 Ｂ．垂直

Ｃ．平行或垂直 Ｄ．无法确定

２．如图，直线 ＡＢ和 ＣＤ与直线 ＭＮ相交．

（１）如图 １，ＥＧ平分∠ＢＥＦ，ＦＨ平分∠ＤＦＥ

（平分的是一对同旁内角），则∠１与∠２满

足 ∠１＋∠２＝９０° 时，ＡＢ∥ＣＤ；

（２）如图 ２，ＥＧ平分∠ＭＥＢ，ＦＨ平分∠ＤＦＥ

（平分的是一对同位角），则∠１与∠２满足

∠１＝∠２ 时，ＡＢ∥ＣＤ；

（３）如图 ３，ＥＧ平分∠ＡＥＦ，ＦＨ平分∠ＤＦＥ

（平分的是一对内错角），则∠１与∠２满足

什么条件时，ＡＢ∥ＣＤ？请说明理由．

图 １ 图 ２

图 ３

解：∠１＝∠２．

理由如下：因为 ＥＧ平分∠ＡＥＦ，ＦＨ平

分∠ＤＦＥ，

所以∠ＡＥＦ＝２∠１，∠ＤＦＥ＝２∠２．

因为∠１＝∠２，

所以∠ＡＥＦ＝∠ＤＦＥ（等量代换）．

所以 ＡＢ∥ ＣＤ（内 错 角 相 等，两 直 线

平行）

．

·１０·

本土攻略·数学 七年级下册（ＲＪ 

）

第14页

５．３ 平行线的性质

５．３．１ 平行线的性质

平行线的性质

性质 １：两直线平行，同位角 相等 ．

性质 ２：两直线平行，内错角 相等 ．

性质 ３：两直线平行，同旁内角 互补 ．

知识点 １ 平行线的性质 

１．如图，Ｅ为 ＢＣ上一点，ＡＢ∥ＤＥ，∠１＝∠２，

则 ＡＥ与 ＤＣ的位置关系是 （ Ｂ ）

Ａ．相交 Ｂ．平行

Ｃ．垂直 Ｄ．不能确定

D

C

B E

A

1

2

第 １题图 第 ２题图

２．（２０２２昆明市西山区期末）如图，∠１＝５８°，

∠２＝５８°，∠３＝１００°，则∠４等于 （ Ｂ ）

Ａ．５８° Ｂ．８０° Ｃ．１００° Ｄ．１２２°

３．如图，ａ∥ｂ，若∠１＝４０°，则∠２＝ ４０ °．

第 ３题图 第 ４题图

４．如图，ＡＢ∥ＥＦ，ＣＤ分别交 ＡＢ，ＥＦ于点 Ｇ，

Ｈ，∠ＣＧＢ＝６０°，则∠ＧＨＥ＝ １２０ °．

知识点 ２ 平行线性质的应用 

５．（２０２３昭通市昭阳区月考）一辆汽车在笔直

的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方

向上平行前进，那么这两次拐弯的角度和方

向可能是 （ Ａ ）

Ａ．第一次向左拐 ４０°，第二次向右拐 ４０°

Ｂ．第一次向右拐 ４０°，第二次向左拐 １４０°

Ｃ．第一次向左拐 ４０°，第二次向左拐 １４０°

Ｄ．第一次向右拐 ４０°，第二次向右拐 ４０°

６．如图所示，图形是路政工程车的工作示意

图，工作篮底部与支撑平台平行．若∠１＝

３０°，∠２＝５０°，则∠３的度数为 （ Ｄ ）

Ａ．１３０° Ｂ．１４０°

Ｃ．１５０° Ｄ．１６０°

第 ６题图 第 ７题图

７．一大门拦杆的平面示意图如图所示，ＢＡ垂

直于地面 ＡＥ于点 Ａ，ＣＤ平行于地面 ＡＥ．若

∠ＢＣＤ＝１４２°，则∠ＡＢＣ＝ １２８° ．

１．（２０２３景洪名校期中）下列图形中，由 ＡＢ∥

ＣＤ，能得到∠１＝∠２的是 （ Ｃ ）

２．（２０２２红河州期末）如图，直线 ａ∥ｂ，直线 ｃ

与直线 ａ，ｂ都相交，∠１＝４０°，∠２＝∠３，则

∠２的度数为 （ Ｄ ）

Ａ．３０° Ｂ．４０°

Ｃ．５０° Ｄ．７０

 °

·１１·

第五章 相交线与平行线

第15页

第 ２题图 第 ３题图

３．（２０２２文山州期末）如图，直线 ｌ∥ｍ，将一

块含有 ４５°角的直角三角板按如图所示放

置．若∠１＝５０°，则∠２的度数为 （ Ａ ）

Ａ．４０° Ｂ．４５° Ｃ．５０° Ｄ．６０°

４．（２０２２昭通市昭阳区月考）如图，ＡＦ∥ＣＤ，

ＣＢ平分∠ＡＣＤ，ＢＤ平分∠ＥＢＦ，且ＢＣ⊥ＢＤ，

则下列结论正确的有 （ Ｃ ）

①ＢＣ平分∠ＡＢＥ；

②ＡＣ∥ＢＥ；

③∠ＢＣＤ＋∠Ｄ＝９０°；

④∠ＤＢＦ＝６０°．

Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个

５．（２０２２曲靖期末）在同一平面内，∠Ａ与∠Ｂ

的一边互相垂直，另一边互相平行，且∠Ａ

比∠Ｂ大 ２２°，则 ∠Ａ的 度 数 为 ５６°或

１４６° ．

６．（２０２２西双版纳州期末）如图，ＡＢ∥ ＣＤ，

∠ＣＥＤ＝９０°，∠ＡＥＣ＝３７°，则∠Ｄ的度数为

５３° ．

７．（２０２３昆明市五华区期末）将下列推理的过

程及依据补充完整．

如图，已知∠１＝∠２，∠３＝４５°，求∠５的

度数．

解：因为∠１＝∠４（ 对顶角相等 ），

∠１＝∠２，

所以∠２＝∠４．

所以 ａ∥ ｂ （ 同位角相等，两直线

平行 ）．

所以∠３＋∠ ５ ＝１８０°（ 两直线平

行，同旁内角互补 ）．

又因为∠３＝４５°，

所以∠５＝ １３５° ．

１．（２０２３曲靖期末）如图，ＡＢ∥ＥＦ，∠ＡＢＤ＝

１

３∠ＡＢＣ，∠ＥＦＤ ＝１

３∠ＥＦＣ．若 ∠ＢＣＦ＝

１２０°，则∠Ｄ的度数为 （ Ｂ ）

Ａ．６０° Ｂ．８０° Ｃ．９０° Ｄ．１００°

第 １题图 第 ２题图

２．如图，ＡＢ∥ＥＦ，∠Ｃ＝９０°，则 α，β，γ的关

系是 （ Ｃ ）

Ａ．β＋γ－α＝９０° Ｂ．α＋β＋γ＝１８０°

Ｃ．α＋β－γ＝９０° Ｄ．β＝α＋γ

３．（２０２３景洪名校期中）如果两个角的两边两

两互相平行，且一个角的 １

２等于另一个角的

１

３，则 这 两 个 角 的 度 数 分 别 是 ７２°和

１０８° ．

【解析】两个角的两边两两互相平行，则这

两个角相等或互为补角．根据题意可知，这

两个角不相等，设其中一个角为 ｘ°，则另一

个角为（１８０－ｘ）°．根据题意，列方程 １

２ｘ＝

１

３（１８０－ｘ），解得 ｘ＝７２°．所以另一个角为

（１８０－７２）°＝１０８°．故答案为 ７２°和 １０８

 °．

·１２·

本土攻略·数学 七年级下册（ＲＪ 

）

第16页

５．３．２ 命题、定理、证明

１．命题

（１）定义： 判断 一件事情的语句，叫做

命题．

（２）命题由 题设 和 结论 两部

分组成． 题设 是已知事项， 结论 是

由已知事项推出的事项．

（３）命题常可以写成“如果……那么……”

的形式，这时“ 如果 ”后接的部分是题

设，“ 那么 ”后接的部分是结论．

２．真命题、假命题和定理

（１）如果题设成立，那么结论一定成立，这

样的命题叫做 真命题 ．

（２）题设成立时，不能保证结论一定成立，

这样的命题叫做 假命题 ．

（３）命题的正确性是经过 推理 证实的，

这样得到的 真命题 叫做定理．定理可以

作为继续推理的依据．

３．证明

在很多情况下，一个命题的正确性需要经过

推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证

明．判断一个命题是假命题，只要 举出一

个例子（反例），它符合命题的题设，但不满

足结论 就可以了．

知识点 １ 命题的定义及其结构 

１．下列语句中，是命题的是 （ Ｄ ）

①出门戴口罩；

②你喜欢数学吗？

③画线段 ＡＢ，取线段 ＡＢ的中点 Ｃ；

④如果 ａ＞ｂ，ｂ＞ｃ，那么 ａ＞ｃ；

⑤邻补角是互补的角．

Ａ．①④⑤ Ｂ．①③④⑤

Ｃ．①②⑤ Ｄ．④⑤

２．（２０２３昭通市昭阳区月考）把命题“两直线

平行，同旁内角互补”改写成“如果……那

么……”的形式为 如果两直线平行，那么

同旁内角互补 ．

知识点 ２ 真、假命题及其证明 

３．（２０２３昆明市官渡区期末）下列命题中，是

真命题的是 （ Ｂ ）

Ａ．相等的两个角是对顶角

Ｂ．过直线外一点有且只有一条直线与已知

直线平行

Ｃ．两条直线被第三条直线所截，同位角相等

Ｄ．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫

做这点到直线的距离

４．（２０２３德宏州期末）下列命题中，是假命题

的是 （ Ａ ）

Ａ．相等的角是对顶角

Ｂ．在同一平面内，过一点有且只有一条直线

与已知直线垂直

Ｃ．在同一平面内，如果一条直线垂直于两条

平行线中的一条，那么它也垂直于另

一条

Ｄ．连接直线外一点与直线上各点的所有线

段中，垂线段最短

１．（２０２２曲靖名校期中）下列语句中，不是命

题的是 （ Ｂ ）

Ａ．对顶角不相等

Ｂ．只要体温大于 ３７．３摄氏度，就患有新冠

肺炎吗

Ｃ．锐角小于它的余角

Ｄ．如果 ａ＋ｂ＝０，那么 ａ，ｂ互为相反数

２．（２０２２昆明市西山区期中）下列命题中，正

确的是 （ Ｃ ）

Ａ．如果 ｘ

２＝ｙ

２

，那么 ｘ＝ｙ

Ｂ．互补的角是邻补角

Ｃ．分数可以化成有限小数和无限循环小数

Ｄ．同一平面内，如果 ｌ１⊥ ｌ２，ｌ２⊥ ｌ３，那么

ｌ１⊥ｌ３

３．（２０２３昆明市盘龙区期末）下列命题：

①相等的角是对顶角；

②邻补角是互补的角；

③两条直线被第三条直线所截，同位角

相等

 ；

·１３·

第五章 相交线与平行线

第17页

④在同一平面内，过一点有且只有一条直线

与已知直线垂直．

其中真命题的个数有 （ Ｃ ）

Ａ．０个 Ｂ．１个 Ｃ．２个 Ｄ．３个

４．“同位角相等”是 假 命题．（选填“真”或

“假”）

５．（２０２３昆明市五华区期末）把命题“同角的

补角相等”改写成“如果……那么……”的

形式： 如果两个角是同一个角的补角，那

么这两个角相等 ．

６．命题：若 ａ＞ｂ，则 ａ ＞ ｂ．请判断这个命

题的真假．若是真命题，请证明，若是假命

题，请举出一个反例，并请你适当修改命题

的条件，使命题成为一个真命题．

解：这个命题是假命题．

反例：当 ａ＝－１，ｂ＝－２时，满足 ａ＞ｂ，

则 ａ ＝１，ｂ ＝２，ａ ＜ ｂ．

修改后的题设为：若 ａ＞ｂ＞０，这时命题

是真命题．

７．如图，现有以下三个论断：①ＡＢ∥ＣＤ；②∠Ｂ＝

∠Ｃ；③∠Ｅ＝∠Ｆ．请以其中两个论断为条件，

另一个论断为结论构造命题．

（１）你构造的是哪几个命题？

（２）你构造的命题是真命题还是假命题？

请选择其中一个真命题加以证明．

D

A B

C

F

解：（１）构造的命题有 E

命题 １：由①②得到

③；命题 ２：由①③

得到②；命题 ３：由

②③得到①．

（２）命题 １、命题 ２、

命题 ３均为真命题．

命题 １证明如下：因为 ＡＢ∥ＣＤ，

所以∠Ｂ＝∠ＣＤＦ（两直线平行，同位角

相等）．

又因为∠Ｂ＝∠Ｃ，

所以∠Ｃ＝∠ＣＤＦ（等量代换）．

所以 ＣＥ∥ ＢＦ（内 错 角 相 等，两 直 线

平行）．

所以∠Ｅ＝∠Ｆ（两直线平行，内错角相

等）．故由①②得到③是真命题．

【核心素养·推理能力】（２０２３保山期末）如

图，已 知 ∠ＢＡＤ ＋∠ＡＤＣ ＝１８０°，ＡＥ 平 分

∠ＢＡＤ，ＣＤ与 ＡＥ相交于点 Ｆ，ＤＧ交 ＢＣ的延

长线于点 Ｇ，∠ＣＦＥ＝∠ＡＥＢ．

（１）若∠Ｂ＝８７°，求∠ＤＣＧ的度数；

（２）判断 ＡＤ与 ＢＣ是什么位置关系？并说明

理由；

（３）若∠ＤＡＢ＝α，∠ＤＧＣ＝β，直接写出 α，β满

足什么数量关系时，ＡＥ∥ＤＧ．

解：（１）因为∠ＢＡＤ＋∠ＡＤＣ＝１８０°，

所以 ＡＢ∥ＣＤ．

所以∠ＤＣＧ＝∠Ｂ＝８７°．

（２）ＡＤ∥ＢＣ．

理由如下：因为 ＡＢ∥ＣＤ，

所以∠ＢＡＦ＝∠ＣＦＥ．

又因为 ＡＥ平分∠ＢＡＤ，

所以∠ＢＡＦ＝∠ＦＡＤ．

所以∠ＤＡＦ＝∠ＣＦＥ．

又因为∠ＣＦＥ＝∠ＡＥＢ，

所以∠ＤＡＦ＝∠ＡＥＢ．

所以 ＡＤ∥ＢＣ．

（３）当 α＝２β时，ＡＥ∥ＤＧ．

【解析】由（２）知∠ＡＥＢ＝∠ＤＡＥ＝１

２∠ＢＡＤ，

当∠ＢＡＤ＝２∠Ｇ（即 α＝２β）时，∠Ｇ＝∠ＡＥＢ．

所以 ＡＥ∥

ＤＧ．

·１４·

本土攻略·数学 七年级下册（ＲＪ 

）

第18页

５．４ 平移

１．把一个图形整体沿某一 直线 方向移动，

会得到一个新的图形，图形的这种移动，

叫做 平移 ．

２．平移的性质

（１）平移得到的新图形与原图形的 形状

和 大小 完全相同；

（２）平移得到的新图形中的每一点，都是由

原图形中的 某一点 移动后得到的，这两

个点是 对应点 ，连接各组对应点的线段

平行（或在同一条直线上） 且 相等 ．

３．图形平移的方向不限于是水平的

櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅

櫅櫅

櫅

櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅

櫅櫅

殯

殯 殯

殯

．

注意：平移后的图形的位置，是由平移的

方向 和 距离 决定的．

４．平移作图的一般步骤

（１）定：确定平移的 方向 和 距离 ；

（２）找：找到构成图形的 关键点 ；

（３）移：过关键点作 平行 且相等的线

段，得到各关键点的 对应点 ；

（４）连：按原图形的顺序连接各关键点的对

应点．

知识点 １ 平移的概念及其性质 

１．在下列生活现象中，不是平移现象的是

（ Ａ ）

Ａ．运动的钟摆

Ｂ．左右推拉的窗户

Ｃ．沿直线行驶的汽车

Ｄ．上下移动的电梯

２．下列说法：

①三角形 ＡＢＣ在平移的过程中，对应线段

一定相等；

②三角形 ＡＢＣ在平移的过程中，对应线段

一定平行；

③三角形 ＡＢＣ在平移的过程中，周长不变；

④三角形 ＡＢＣ在平移的过程中，面积不变．

其中正确的是 （ Ｃ ）

Ａ．①②③ Ｂ．①②④

Ｃ．①③④ Ｄ．①②③④

知识点 ２ 平移作图 

３．在 ５×５的方格纸中，将图 １中的图形 Ｎ平

移后的位置如图 ２所示，那么正确的平移方

法是 （ Ｃ ）

图 １ 图 ２

Ａ．先向下移动 １格，再向左移动 １格

Ｂ．先向下移动 １格，再向左移动 ２格

Ｃ．先向下移动 ２格，再向左移动 １格

Ｄ．先向下移动 ２格，再向左移动 ２格

４．下列四个选项中，能通过如图所示的图案平

移得到的是 （ Ｃ ）

１．下列每组图形中，左边的图形平移后可以得

到右边的图形的是 （ Ｄ ）

·１５·

第五章 相交线与平行线

第19页

２．如图，点 Ｏ是正六边形 ＡＢＣＤＥＦ的中心，相

等的六个小三角形中可由三角形 ＯＢＣ平移

得到的有 （ Ｂ ）

Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个

第 ２题图 第 ３题图

３．如图，三角形 ＡＢＣ沿着 ＢＣ方向平移得到

三角形 Ａ′Ｂ′Ｃ′，Ｐ是直线 ＡＡ′上任意一点．若

三角形 ＡＢＣ，三角形 ＰＢ′Ｃ′的面积分别为

Ｓ１，Ｓ２，则下列关系正确的是 （ Ｃ ）

Ａ．Ｓ１＞Ｓ２ Ｂ．Ｓ１＜Ｓ２

Ｃ．Ｓ１＝Ｓ２ Ｄ．Ｓ１＝２Ｓ２

４．某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如

图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制

作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是

（ Ｄ ）

甲 乙 丙

Ａ．甲种方案所用铁丝最长

Ｂ．乙种方案所用铁丝最长

Ｃ．丙种方案所用铁丝最长

Ｄ．三种方案所用铁丝一样长

５．（２０２２昆明市五华区期末）如图，将三角形

ＡＢＣ向左平移 ３个单位长度，得到三角形

ＤＥＦ．若四边形 ＡＢＦＤ的周长为 ２０个单位

长度，则三角形 ＡＢＣ的周长是 （ Ｂ ）

Ａ．１７个单位长度 Ｂ．１４个单位长度

Ｃ．１１个单位长度 Ｄ．８个单位长度

第 ５题图 第 ６题图

６．如图，长方形空地的长为 １０ｍ，宽为 ８ｍ，沿

平行于长方形边的方向分割出三个形状、大

小完全一样的小长方形花圃（阴影部分），

则其中一个小长方形的周长为 １２ ｍ．

７．如图，把三角形 ＡＢＣ平移到三角形 Ａ′Ｂ′Ｃ′

的位置．

（１）平移的方向是从点 Ａ 到点 Ａ′ 的

方向，距离是线段 ＡＡ′ 的长度；

（２）在图上标出点 Ｄ，Ｅ，Ｆ平移后的对应点．

解：如图所示，点 Ｄ′，Ｅ′，Ｆ′即为点 Ｄ，Ｅ，Ｆ平

移后的对应点．

１．如图，直线 ｍ∥ｎ，点 Ａ在直线 ｍ上，ＢＣ在直

线 ｎ上，构成三角形 ＡＢＣ，把三角形 ＡＢＣ向

右平移 ＢＣ长度的一半得到三角形 Ａ′Ｂ′Ｃ′

（如图 １），再把三角形 Ａ′Ｂ′Ｃ′向右平移 ＢＣ

长度的一半得到三角形 Ａ″ＣＣ″（如图 ２），再

继续上述的平移得到图 ３，……，通过观察

可知图 １中有 ４个三角形，图 ２中有 ８个三

角形，则第 ２０２３个图形中三角形的个数是

（ Ｄ ）

Ａ．４０４６ Ｂ．６０６９

Ｃ．８０８６ Ｄ．８０９２

２．如图，把边长为 ４ｃｍ的正方形 ＡＢＣＤ先向上

平移 ２ｃｍ，再向右平移 １ｃｍ，得到正方形

Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′，此时阴影部分的面积为 ６ｃｍ

２ ．

B C

A D

C′

A′ D′

B′

·１６·

本土攻略·数学 七年级下册（ＲＪ 

）

第20页

章末复习

一、转化思想

１．如图所示，图形是某公园里一处长方形风景

欣赏区 ＡＢＣＤ，长 ＡＢ＝５０米，宽 ＢＣ＝２５米，

为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示

的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为

１米，小明沿着小路的中间，从入口 Ａ到出

口 Ｂ所走的路线（图中虚线）长为 （ Ｃ ）

Ａ．１００米 Ｂ．９９米

Ｃ．９８米 Ｄ．７４米

二、数形结合思想（抽象出平行线模型）

２．如图，∠ＡＯＢ的一边 ＯＡ为平面镜，∠ＡＯＢ＝

３８°，一束光线（与水平线 ＯＢ平行）从点 Ｃ

射入，经平面镜反射后，反射光线在 ＯＢ上

的点 Ｅ处，则∠ＤＥＢ的度数是 ７６ °．

第 ２题图 第 ３题图

３．如图，在长方体中，与线段 ＡＢ平行的线段有

ＣＤ，ＥＦ和 ＨＧ ．

三、分类讨论思想

４．一条公路两次转弯后，和原来的方向平行．

如果第一次的拐角是 ３６°，那么第二次的拐

角为 ３６°或 １４４° ．

四、方程思想

５．如图，直线 ＡＢ，ＣＤ相交于点 Ｏ，ＯＥ平分

∠ＢＯＤ，ＯＦ平分 ∠ＣＯＥ，∠ＡＯＤ∶∠ＢＯＥ＝

７∶１，求∠ＡＯＦ的度数．

解：设 ∠ＡＯＤ ＝７ｘ，则

∠ＢＯＥ＝ｘ．

因 为 ＯＥ 平 分

∠ＢＯＤ，

所以∠ＢＯＤ＝２∠ＢＯＥ＝２ｘ．

因为∠ＡＯＢ＝１８０°，

所以 ７ｘ＋２ｘ＝１８０°．解得 ｘ＝２０°．

所以∠ＤＯＥ＝２０°．

所以∠ＡＯＣ＝∠ＢＯＤ＝４０°，

∠ＣＯＥ＝１６０°．

因为 ＯＦ平分∠ＣＯＥ，

所以∠ＣＯＦ＝１

２∠ＣＯＥ＝８０°．

所以∠ＡＯＦ＝∠ＡＯＣ＋∠ＣＯＦ＝１２０

°．

·１７·

第五章 相交线与平行线

第21页

１．下列选项中，∠１与∠２是同位角的是

（ Ｃ ）

Ａ Ｂ Ｃ Ｄ

２．平移如图所示的图形，能得到下列图形中的

（ Ａ ）

Ａ Ｂ Ｃ Ｄ

３．如图，计划把河水引到水池 Ａ中，先作 ＡＢ⊥ｌ，

垂足为 Ｂ，然后沿 ＡＢ开渠，能使所开的渠道最

短，这样设计的依据是 （ Ｂ ）

Ａ．两点之间线段最短

Ｂ．垂线段最短

Ｃ．过一点只能作一条直线

Ｄ．在同一平面内，过一点有且只有一条直

线与已知直线垂直

第 ３题图 第 ４题图

４．（２０２３昆明市五华区期末）如图，用大头针

把三根平放在桌面上的细直木条分别固定

在 Ｍ，Ｎ处，并使木条可以绕点 Ｍ，Ｎ转动．

若∠１＝７０°，∠２＝５０°，只转动木条 ａ，使其

与 ｂ平行，则木条 ａ旋转的度数至少是

（ Ｂ ）

Ａ．１０° Ｂ．２０°

Ｃ．５０° Ｄ．７０°

５．（２０２３保山期末）如图，点 Ｅ在 ＡＤ的延长

线上，下列条件中能判断 ＢＣ∥ＡＤ的是

（ Ａ ）

Ａ．∠１＝∠２

Ｂ．∠Ａ＝∠５

Ｃ．∠Ａ＋∠ＡＤＣ＝１８０°

Ｄ．∠３＝∠４

第 ５题图 第 ６题图

６．（２０２３昭通市昭阳区月考）如图，点 Ｄ在直

线 ＡＥ上，量得∠ＣＤＥ＝∠Ａ＝∠Ｃ，有以下

三个结论：

①ＡＢ∥ＣＤ；②ＡＤ∥ＢＣ；③∠Ｂ＝∠ＣＤＡ．

则正确的结论是 （ Ａ ）

Ａ．①②③ Ｂ．①②

Ｃ．① Ｄ．②③

７．如图，已知∠１＝∠３，∠２＝∠４，不能判定

ＡＢ∥ＣＤ的条件是 （ Ａ ）

Ａ．∠１＝∠２ Ｂ．∠１＋∠２＝９０°

Ｃ．∠３＋∠４＝９０° Ｄ．∠２＋∠３＝９０°

８．（易错题）下列语句：①不相交的两条直线

是平行线；②在同一平面内，不重合的两条

直线的位置关系有两种，即相交和平行；

③在同一平面内，若两条线段没有交点，则

这条线段互相平行；④若直线 ａ∥ｂ，ｂ∥ｃ，则

ａ∥ｃ．其中正确说法的个数有 （ Ｃ ）

Ａ．４个 Ｂ．３个

Ｃ．２个 Ｄ．１个

９．（２０２３曲靖期末）如图，若 ＡＢ∥ＣＤ，∠１＝

８０°，则∠Ｃ的度数为 １００° ．

第 ９题图 第 １０题图

１０．如图，将一块直角三角板与一张两边平行

的纸条按如图所示的方式放置．下列结论：

①∠１＝∠２；② ∠３＝∠４；③ ∠２＝∠３；

④∠４＋∠５＝１８０°．其中正确的是 ①②④ ．

（选填序号

 ）

·１８·

本土攻略·数学 七年级下册（ＲＪ 

）

第22页

１１．如图，在方格纸中平移三角形 ＡＢＣ，使点 Ａ

移动到点 Ｍ，再将点 Ａ由点 Ｍ移动到点 Ｎ．

分别画出两次平移后的三角形．如果直接

把三角形 ＡＢＣ平移，使点 Ａ移动到点 Ｎ，它

和前面先移动到点 Ｍ后再移动到点 Ｎ的

位置相同吗？

解：如图所示，三角形 ＭＢ′Ｃ′为三角形 ＡＢＣ

第一 次 平 移 后 得 到 的 图 形，三 角 形

ＮＢ″Ｃ″为三角形 ＡＢＣ第二次平移后得

到的图形．

直接把三角形 ＡＢＣ平移，使点 Ａ移到

点 Ｎ，它和前面先移到点 Ｍ后再移到点

Ｎ的位置相同．

１２．（２０２３昆明名校期中）如图，已知 ＡＢ⊥ＢＣ，

若∠１＋∠２＝９０°，且∠２＝∠３，则 ＢＥ与

ＤＦ平行吗？请说明理由．

解：ＢＥ∥ＤＦ．

理由如下：因为 ＡＢ⊥ＢＣ，

所以∠ＡＢＣ＝９０°，即∠３＋∠４＝９０°．

又因为∠１＋∠２＝９０°，且∠２＝∠３，

所以∠１＝∠４（等角的余角相等）．

所以 ＢＥ∥ＤＦ．

１３．（２０２３曲靖期末）如图，ＡＢ，ＣＤ相交于点

Ｏ，ＯＥ平分∠ＡＯＣ．

（１）若∠ＢＯＤ＝７０°，求∠ＡＯＥ的度数；

（２）若∠ＡＯＣ∶∠ＡＯＤ＝４∶５，∠Ａ＝４０°，且

ＡＤ∥ＢＣ．求证：ＯＥ∥ＢＣ．

（１）解：因为∠ＢＯＤ＝７０°，

所以∠ＡＯＣ＝７０°．

因为 ＯＥ平分∠ＡＯＣ，

所以∠ＡＯＥ＝１

２∠ＡＯＣ＝３５°．

（２）证 明：因 为 ∠ＡＯＣ∶∠ＡＯＤ ＝４∶５，

∠ＡＯＣ＋∠ＡＯＤ＝１８０°，

所以∠ＡＯＣ＝８０°，∠ＡＯＤ＝１００°．

因为 ＯＥ平分∠ＡＯＣ，

所以∠１＝１

２∠ＡＯＣ＝４０°．

因为∠Ａ＝４０°，

所以∠１＝∠Ａ．

所以 ＡＤ∥ＯＥ．

因为 ＡＤ∥ＢＣ，

所以 ＯＥ∥ＢＣ．

１．（２０２２云南中考）如图，已知直线 ｃ与直

线 ａ，ｂ都相交．若 ａ∥ｂ，∠１＝８５°，则∠２

等于 （ Ｄ ）

Ａ．１１０° Ｂ．１０５° Ｃ．１００° Ｄ．９５°

第 １题图 第 ２题图

２．（２０２３云南中考）如图，直线 ｃ与直线 ａ，ｂ

都相交．若 ａ∥ｂ，∠１＝３５°，则∠２等于

（ Ｄ ）

Ａ．１４５° Ｂ．６５° Ｃ．５５° Ｄ．３５

°

·１９·

第五章 相交线与平行线

第23页

第六章 实数

６．１ 平方根

第 １课时 算术平方根

１．一般地，如果一个正数 ｘ的平方等于 ａ，即

ｘ

２＝ａ，那么这个正数 ｘ叫做 ａ的 算术平

方根 ．ａ的算术平方根记为 槡ａ ，读作

“ 根号 ａ ”，ａ叫做 被开方数 ．

２．规定：０的算术平方根是 ０

櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅

櫅

櫅

櫅

櫅

櫅

櫅

櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅

櫅

櫅

櫅

櫅

櫅

殯

殯 殯

殯

．

注意：（１）在算术平方根槡ａ中，①被开方数

ａ是非负数，即 ａ ≥ ０，②算术平方根

槡ａ的值 ≥ ０；（２）只有正数和 ０有算术

平方根，负数没有算术平方根．

３．被开方数越大，对应的算术平方根也 越大 ．

４．估算：在确定一个正数的算术平方根时，可

以通过每次增加一位小数计算平方与被开

方数比较大小，如此进行下去，在精确度范

围内逐步确定出正数的算术平方根的取值

范围．这种逐步确定取值范围的方法称为夹

值法．

知识点 １ 算术平方根 

１．１

４的算术平方根为 （ Ｃ ）

Ａ．１

１６ Ｂ．±

１

２ Ｃ．１

２ Ｄ．－１

２

２．８１的算术平方根是 ９ ．

３．计算：槡１６＝ ４ ．

知识点 ２ 估算算术平方根 

４．如图，在数轴上，与表示 槡１４的点最接近的

点是 （ Ｃ ）

Ａ．点 Ｐ Ｂ．点 Ｑ Ｃ．点 Ｍ Ｄ．点 Ｎ

５．（２０２３曲靖期末）实数 槡１０的值在 （ Ａ ）

Ａ．３和 ４之间 Ｂ．５和 ６之间

Ｃ．４和 ５之间 Ｄ．２和 ３之间

６．比较大小：槡６ ＜ ３．（选填“＞”“＜”或

“＝”）

知识点 ３ 用科学计算器求一个正数的算

术平方根 

７．依次按键 ，显示的结果是

（ Ａ ）

Ａ．１５ Ｂ．±１５ Ｃ．－１５ Ｄ．２５

８．用计算器求下列各式的值 （结果精确到

０．０１）：

（１）槡７５；

解：槡７５≈８．６６．

（２）槡２８．８；

解：槡２８．８≈５．３７．

（３）槡８０００．

解：槡８０００≈８９．４４．

１．下列各数中，没有算术平方根的是 （ Ｂ ）

Ａ．２ Ｂ．－４

Ｃ．（－１）２ Ｄ．０．１

２．（２０２２曲靖名校期中）一个正方形的面积是

３０，估计它的边长的大小在 （ Ｄ ）

Ａ．２与 ３之间 Ｂ．３与 ４之间

Ｃ．４与 ５之间 Ｄ．５与 ６

 之间

·２０·

第24页

３．如图，实数槡３－１在数轴上的对应点可能是

（ Ｃ ）

Ａ．Ａ点 Ｂ．Ｂ点 Ｃ．Ｃ点 Ｄ．Ｄ点

４．（易错题）（２０２３保山期末）槡１６的算术平方

根是 （ Ｄ ）

Ａ．±４ Ｂ．±２ Ｃ．－２ Ｄ．２

５．下列说法：①２是 －４的算术平方根；②一个

数的算术平方根一定是正数；③１００的算术

平方根是 １０，记为 ±槡１００＝１０；④（－６）２

的算术平方根是 ６；⑤ａ

２

的算术平方根是 ａ．

其中正确的说法有 （ Ａ ）

Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个

６．已知：槡２３．６≈４．８５８，槡２．３６≈１．５３６，则

槡２３６≈ １５．３６ ．

７．（２０２３昆明名校期中）已知 ａ，ｂ为两个连续

整数，且 ａ＜槡１１＜ｂ，则 ａ＋ｂ＝ ７ ．

８．比较大小：

槡５

５ ＞

２

５．（选填“＞”“＜”或

“＝”）

９．计算下列各式的值：

（１）槡０．００１６；

解：槡０．００１６＝０．０４．

（２） １－３

槡 ４；

解： １－３

槡 ４＝ １

槡４＝１

２．

（３）槡（－４）

２

．

解：槡（－４）２ ＝槡１６＝４．

１０．求下列各数的算术平方根：

（１）４９；

解：因为 ７２＝４９，所以 ４９的算术平方根是

７，即 槡４９＝７．

（２）２７

９．

解：因为 ２７

９＝２５

９＝ ５

( ３)

２

，所以 ２７

９的算术

平方根是５

３，即 ２７

槡９＝５

３．

１１．小刚打算用一块面积为 ４００ｃｍ

２

的正方形

纸板，沿 着 边 的 方 向 剪 出 一 个 面 积 为

３７５ｃｍ

２

的长方形桌面，并且长、宽之比为

５∶３，你认为他能做到吗？如果能，计算出

桌面的长和宽；如果不能，请说明理由．

解：不能．

理由如下：设长方形桌面的长为 ５ｘｃｍ、

宽为 ３ｘｃｍ．根据题意，得

５ｘ·３ｘ＝３７５．

整理，得 １５ｘ

２＝３７５．解得 ｘ＝５．

所以 ５ｘ＝２５（ｃｍ），３ｘ＝１５（ｃｍ）．

因为面积为 ４００ｃｍ

２

的正方形纸板的边

长为２０ｃｍ，２５ｃｍ＞２０ｃｍ，所以不能剪

出一个面积为 ３７５ｃｍ

２

的长方形桌面．

１．（２０２３曲靖名校期中）槡６１的小数部分是

（ Ｃ ）

Ａ．７－槡６１ Ｂ．８－槡６１

Ｃ．槡６１－７ Ｄ．槡６１－８

２．已知实数 ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｍ，若 ａ，ｂ互为相反数，

ｃ，ｄ互为倒数，ｍ的绝对值是 ２，求 ａ＋ｂ

槡ｍ

＋

槡ｍ

２ －ｃｄ的值．

解：因为 ａ，ｂ互为相反数，ｃ，ｄ互为倒数，ｍ

的绝对值是 ２，

所以 ａ＋ｂ＝０，ｃｄ＝１，ｍ

２＝４．

所以 ａ＋ｂ

槡ｍ

＋槡ｍ

２ －ｃｄ

＝０＋槡４－１

＝２－１

＝１

．

·２１·

第六章 实数

第25页

第 ２课时 平方根

１．一般地，如果一个数的平方等于 ａ，那么这个

数叫做 ａ的 平方根 或二次方根．这就是

说，如果 ｘ

２＝ａ，那么 ｘ叫做 ａ的 平方根 ．

ａ的平方根记作 ±槡ａ

櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅

櫅

櫅

櫅

櫅

櫅

櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅

櫅櫅

櫅

櫅

殯

殯 殯

殯

．

注意：±槡ａ，－槡ａ，槡ａ（ａ≥０）分别表示非负

数 ａ的 平方根 ，非负数 ａ的 负的平

方根 ，非负数 ａ的 算术平方根 ．

２．求一个数 ａ的平方根的运算，叫做 开平方 ．

其中 ａ叫做被开方数

櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅

櫅

櫅櫅

櫅

櫅

櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅

櫅

櫅櫅

櫅

殯

殯 殯

殯

．

提示：（１）被开方数 ａ一定是 非负数

（即正数或 ０）；（２）平方与开平方是互逆

运算．

３．正数有 两 个平方根，它们 互为相反数 ；

０的平方根是 ０ ； 负数 没有平方根．

知识点 １ 平方根的定义 

１．下列说法正确的是 （ Ｄ ）

Ａ．任何非负数都有两个平方根

Ｂ．一个正数的平方根仍然是正数

Ｃ．只有正数才有平方根

Ｄ．负数没有平方根

２．若一个数的平方根等于它本身，则这个数是

（ Ａ ）

Ａ．０ Ｂ．１

Ｃ．０或 １ Ｄ．０或 ±１

知识点 ２ 开平方

３．４的平方根是 （ Ｃ ）

Ａ．８ Ｂ．２

Ｃ．±２ Ｄ．±槡２

４．求下列各数的平方根：

（１）１４４；

解：因为（±１２）２＝１４４，

所以 １４４的平方根是 ±１２，即 ±槡１４４＝

±１２．

（２）０．０００１；

解：因为（±０．０１）２＝０．０００１，

所以 ０．０００１的平方根是 ±０．０１，

即 ±槡０．０００１＝±０．０１．

（３）３１

１６

；

解：因为 ３１

１６＝４９

１６

， ±

７ ( ４)

２

＝４９

１６

，

所以 ３１

１６

的平方根是 ±

７

４，即 ± ３１

槡１６＝

±

７

４．

（４） －９ ( １１)

２

．

解：因为 －９ ( １１)

２

＝ ±

９ ( １１)

２

，

所以 －９ ( １１)

２

的平方根是 ±

９

１１

，

即 ± －９

槡( １１)

２

＝±

９

１１

．

知识点 ３ 平方根的性质 

５．下列各数中，没有平方根的是 （ Ｂ ）

Ａ．（－３）２ Ｂ．－ －１

Ｃ．０ Ｄ．槡４

６．若一个数的算术平方根是槡３，则这个数的平

方根是 ±槡３

 ．

·２２·

本土攻略·数学 七年级下册（ＲＪ 

）

第26页

１．（２０２３昭通市昭阳区月考）下列说法不正确

的是 （ Ｂ ）

Ａ．０的平方根是 ０

Ｂ．（－２）２

的平方根是 ２

Ｃ．正数的平方根互为相反数

Ｄ．一个正数的算术平方根一定大于这个数

的相反数

２．下列运算正确的是 （ Ｂ ）

Ａ．槡３２ ＝±３ Ｂ．±槡( －４) ２ ＝±４

Ｃ．－槡( －４) ２ ＝４ Ｄ．槡( －３) ２ ＝－３

３．（２０２３昭通市昭阳区月考）已知一个正数的

两个平方根分别是 ａ＋３和 ２ａ－１５，则这个

正数为 （ Ｄ ）

Ａ．４ Ｂ．±７ Ｃ．－７ Ｄ．４９

４．若 ｘ＋４是 ４的一个平方根，则 ｘ的值为

（ Ｂ ）

Ａ．－２ Ｂ．－２或 －６

Ｃ．－３ Ｄ．±２

５．（易错题）如果槡ａ的平方根是 ±３，则 ａ＝

８１ ．

６．（２０２３昭通市昭阳区月考）槡４的平方根是

±槡２ ．

７．（２０２３曲靖名校期中）若一个正数的两个平

方根分别为 ａ＋３与 ３ａ＋１，则 ａ＝ －１ ．

８．求下列各式的值：

（１）±槡１００００００；

解：因为 １０００２＝１００００００，

所以 ±槡１００００００＝±１０００．

（２）－ １＋

９

槡 １６；

解：因为 １＋

９

１６＝２５

１６＝ ５

( ４)

２

，

所以 － １＋

９

槡 １６＝－５

４．

（３）槡－（－１）２０２３

；

解：因为 －（－１）２０２３＝１＝１２

，

所以槡－（－１）２０２３ ＝１．

（４）± １－２２

槡( ７)

２

．

解：因为 １－２２ ( ７)

２

＝ －１５ ( ７)

２

＝ １５

( ７)

２

，

所以 ± １－２２

槡( ７)

２

＝±

１５

７．

９．求下列各式中 ｘ的值：

（１）（２０２３昭通市昭阳区月考）ｘ

２－２５＝０；

解：移项，得 ｘ

２＝２５．

方程两边开平方，得 ｘ＝±５．

（２）２（ｘ＋５）２－８＝０．

解：移项，系数化为 １，得（ｘ＋５）２＝４．

方程两边开平方，得 ｘ＋５＝±２．

所以 ｘ１＝－７，ｘ２＝－３．

１．下列的表示方法正确的是 （ Ｃ ）

Ａ．４９的平方根是 ±７，可表示为 槡４９＝±７

Ｂ．４９开 方 能 得 到 ４９的 算 术 平 方 根，即

槡４９＝±７

Ｃ．±７是 ４９的平方根，可表示为 ±槡４９＝

±７

Ｄ．－７是 ４９的一个平方根，可表示为 槡４９＝

－７

２．一个自然数的正的平方根为 ｍ，则下一个自

然数的正的平方根为 （ Ｂ ）

Ａ．槡ｍ＋１ Ｂ． ｍ

２

槡 ＋１

Ｃ．ｍ＋１ Ｄ．ｍ

２

 ＋１

·２３·

第六章 实数

第27页

６．２ 立方根

１．一般地，如果一个数的立方等于 ａ，那么这个

数叫做 ａ的 立方根 或三次方根．这就是

说，如果 ｘ

３＝ａ，那么 ｘ叫做 ａ的 立方根 ．

２．求一个数的立方根的运算，叫做 开立方 ．

开立方与立方互为逆运算．

３．正数的立方根是 正数 ，负数的立方根是

负数 ，０的立方根是 ０ ．

４．类似于平方根，一个数 ａ的立方根，用符号

“３

槡ａ”表示，读作“ 三次根号 ａ ”，其中 ａ是

被开方数 ，３是 根指数

櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅

櫅

櫅

櫅

櫅

櫅

櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅

櫅

櫅

櫅櫅

殯

殯 殯

殯

．

注意：ａ的立方根是３

槡ａ，根指数是 ３，３不能

省略；区别于 ａ的算术平方根槡ａ，根指数

是 ２，２省略不写．

５．一般地，３

槡－ａ＝ －３

槡ａ ．

知识点 １ 立方根与开立方

１．若一个数的立方根是 －３，则这个数为 （ Ｄ ）

Ａ．±

３

槡３ Ｂ．－３

槡３

Ｃ．±２７ Ｄ．－２７

２．已知 ３

槡ｘ－１＝ｘ－１，则 ｘ

２＋ｘ的值为 （ Ｄ ）

Ａ．－１或 ０或 １ Ｂ．０或 ２

Ｃ．０或 ６ Ｄ．０或 ２或 ６

３．下列命题：

①只有正数才有立方根，负数没有立方根；

②ａ一定有立方根；

③一个正数或负数的立方根与这个数的符

号一致；

④如果一个数的立方根等于它本身，那么它

一定是 １或 ０；

⑤ ３

槡－ａ＝－３

槡ａ．

其中正确的命题有 （ Ｃ ）

Ａ．１个 Ｂ．２个

Ｃ．３个 Ｄ．４个

４．求下列各数的立方根：

（１）０．００１；

解：

３

槡０．００１＝０．１．

（２）－ １

２１６

；

解：

３

－ １

槡２１６＝－１

６．

（３）８１×９．

解：

３

槡８１×９＝９．

知识点 ２ 立方根的性质 

５．有一个数的平方根、立方根都等于它本身，

则这个数是 （ Ｃ ）

Ａ．－１ Ｂ．１ Ｃ．０ Ｄ．±１

６．【核心素养·模型观念】

（１）填表：

ａ ０．０００００８ ０．００８ ８ ８０００ ８００００００

３

槡ａ ０．０２ ０．２ ２ ２０ ２００

（２）由上表你发现了什么规律？这个规律

描述为： 被开方数扩大（或缩小）１０００

倍，则立方根扩大（或缩小）１０倍 ；

（３）根据你发现的规律填空：

①已知３

槡３≈１４４２，则 ３

槡３０００≈ １４４２ ，

３

槡０．００３≈ ０１４４２ ；

②已知 ３

槡０．０００４５６≈０．０７６９７，

３

槡ｘ≈７．６９７，

则 ｘ＝ ４５６ ．

知识点 ３ 用计算器求立方根与估算 

７．估计 ６８的立方根的大小在 （ Ｃ ）

Ａ．２与 ３之间 Ｂ．３与 ４之间

Ｃ．４与 ５之间 Ｄ．５与 ６之间

８．一个正方体的水晶砖，体积为 ２００ｃｍ

３

，它的

棱长在 （ Ｂ ）

Ａ．４ｃｍ与 ５ｃｍ之间

Ｂ．５ｃｍ与 ６ｃｍ之间

Ｃ．６ｃｍ与 ７ｃｍ之间

Ｄ．７ｃｍ与 ８ｃｍ

 之间

·２４·

本土攻略·数学 七年级下册（ＲＪ 

）

第28页

１．下列说法中，正确的是 （ Ｂ ）

Ａ．一个数的立方根有两个，它们互为相

反数

Ｂ．一个非零数的立方根与这个数同号

Ｃ．如果一个数有立方根，那么它一定有平

方根

Ｄ．一个数的立方根是非负数

２．如图，数轴上的点 Ａ表示的数可能是 （ Ｄ ）

Ａ．－８的立方根 Ｂ．４的立方根

Ｃ．８的算术平方根 Ｄ．８的立方根

３．若３

槡ａ＋

３

槡ｂ＝０，则 ａ与 ｂ的关系是 （ Ｃ ）

Ａ．ａ＝ｂ＝０ Ｂ．ａ＝ｂ

Ｃ．ａ＋ｂ＝０ Ｄ．ａ＝１

ｂ

４．【核心素养·推理能力】已知 ａ的算术平方

根是 １２．３，ｂ的立方根是 －４５．６，ｘ的平方根

是 ±１．２３，ｙ的立方根是 ４５６，则 ｘ和 ｙ分

别是 （ Ｄ ）

Ａ．ｘ＝ ａ

１００

，ｙ＝１０００ｂ

Ｂ．ｘ＝１００ａ，ｙ＝－ ａ

１０００

Ｃ．ｘ＝ ａ

１００

，ｙ＝－ ａ

１０００

Ｄ．ｘ＝ ａ

１００

，ｙ＝－１０００ｂ

５．求下列各式的值：

（１）槡１６－３

槡８＋

１

槡９；

解：原式 ＝４－２＋

１

３＝２１

３．

（２）（２０２２曲靖期末）－１４ ＋槡（－２）２ －

３

槡８ ＋ 槡３－２．

解：原式 ＝－１＋２－２＋２－槡３

＝１－槡３．

６．求下列各式中的 ｘ的值：

（１）（２０２３昆明名校期中）８（ｘ－１）３＝２７；

解：系数化为 １，得（ｘ－１）３＝２７

８．

方程两边开立方，得 ｘ－１＝３

２．

移项、合并同类项，得 ｘ＝５

２．

（２）（２０２２昆明名校期中）２ｘ

３－６＝３

４．

解：移项，得 ２ｘ

３＝６＋

３

４．

合并同类项，得 ２ｘ

３＝２７

４．

系数化为 １，得 ｘ

３＝２７

８．

方程两边开立方，得 ｘ＝３

２．

１．（易错题）３

槡６４的平方根为 （ Ｃ ）

Ａ．±８ Ｂ．±４

Ｃ．±２ Ｄ．４

２．借助计算器可以求得槡１３ ＝１，槡１３＋２３ ＝３，

槡１３＋２３＋３３ ＝６，槡１３＋２３＋３３＋４３ ＝１０，…，

仔细 观 察，猜 想 槡１３＋２３＋３３＋… ＋２５３ 的

值为 （ Ｃ ）

Ａ．３５１ Ｂ．３５０

Ｃ．３２５ Ｄ．３００

３．已知 ｘ的算术平方根是 ８，那么 ｘ的立方根

是 ４

．

·２５·

第六章 实数

第29页

６．３ 实数

第 １课时 实数的概念及其分类

１． 无限不循环 小数叫做无理数，有理数

和 无理数 统称实数．

２．实数的分类

（１）按定义分：

实数

有理数

正有理数

０ } 负有理数

有限小数或无限

{ 循环小数

无理数 正无理数

{负无理数}

 无限不循环小数

（２）按大小分：

实数

正实数

０

负实数 {

３．实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个

实数都可以用数轴上的一个 点 来表示；

反过来，数轴上的每 一 个 点 都 表 示 一 个

实数 ．与规定有理数的大小一样，对于

数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数

总比左边的点表示的实数 大 ．

知识点 １ 无理数 

１．（２０２３昆明市五华区期末）下列实数中，属

于无理数的是 （ Ｄ ）

Ａ．－ １

槡１６ Ｂ．３．１４１５９

Ｃ．

２２

７ Ｄ．

３

槡９

２．（２０２３曲靖期末）在 －２，π

３，３

７，３．１４，槡４，

槡５，０．１０１００１０００１…（每两个 １之间 ０的

个数逐渐增加 １个），这七个数中无理数有

（ Ｃ ）

Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个

知识点 ２ 实数的概念及其分类

３．下列说法中，正确的是 （ Ｄ ）

Ａ．实数包括有理数、无理数和零

Ｂ．有理数就是有限小数和整数

Ｃ．无限不循环小数和无限循环小数都是无

理数

Ｄ．无论是有理数还是无理数都是实数

４．把下列各数填在相应的集合里：

１

３，３．１４，－１．０１００１０００１…，－槡３，－π，

－２４

，槡０，槡（－５）２，

３

槡８．

有理数集合：{ １

３，３．１４，－２４

，槡０，槡（－５）２，

３

槡８ …}；

无理数集合：｛ －１．０１００１０００１…，－槡３，

－π …｝；

正 实 数 集 合：{ １

３，３．１４，槡（－５）２，

３

槡８ …}；

负实数集合：｛ －１．０１００１０００１…，－槡３，

－π，－２４ …｝．

知识点 ３ 实数与数轴的关系 

５．如图，数轴上的点 Ｐ表示下列四个无理数中

的一个，这个无理数是 （ Ｂ ）

Ａ．－槡２ Ｂ．槡２ Ｃ．槡５ Ｄ．π

６．如图，表示实数（１－槡３）的点落在 （ Ｃ ）

Ａ．线段① Ｂ．线段②

Ｃ．线段③ Ｄ．线段

 ④

·２６·

本土攻略·数学 七年级下册（ＲＪ 

）

第30页

１．－槡５

３是 （ Ｄ ）

Ａ．自然数 Ｂ．负分数

Ｃ．负有理数 Ｄ．实数

２．（２０２３昆明名校期中）下列各数：

① ０．０１００１０００１，②π－３．１４，③ ０，④ π

７，

⑤槡３

３，⑥ ３

槡２７，⑦ １６

槡９．

其中无理数有 （ Ｃ ）

Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个

３．（２０２３曲靖名校期中）下列四个实数中，最

小的是 （ Ｃ ）

Ａ．－１ Ｂ．－槡２ Ｃ．－槡３ Ｄ．２

４．在 －（－２）， －３，０，（－２）２

中，正数有

（ Ｃ ）

Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个

５．如图，数轴上点 Ａ，Ｂ表示的数分别为 １，槡２，

ＣＡ＝ＡＢ，则点 Ｃ所表示的数为 （ Ｂ ）

Ａ．１－槡２ Ｂ．２－槡２

Ｃ．－１＋槡２ Ｄ．槡２－２

【解析】由题意可知 ＣＡ＝ＢＡ＝槡２－１．因为

点 Ａ表示的数是 １，所以点 Ｃ表示的数为

１－（槡２－１）＝２－槡２．故选 Ｂ．

６．数轴上点 Ａ表示的数为 －槡５，点 Ｂ表示的

数为槡３，则点 Ａ，Ｂ之间表示整数的点有

（ Ｂ ）

Ａ．３个 Ｂ．４个 Ｃ．５个 Ｄ．６个

７．（２０２２曲靖名校期中）下列说法中，正确的

个数有 （ Ｂ ）

①只有正数才有平方根和立方根；

②带根号的数是无理数；

③数轴上原点两侧的数互为相反数；

④ －槡７是 ７的平方根．

Ａ．０个 Ｂ．１个 Ｃ．２个 Ｄ．３个

８．请写出一个比槡５大且比 １０小的无理数 槡７

（答案不唯一） ．

９．在 －π

２，－ －３，０，

３３

５，－３．１

，槡５，３

槡－３，

１－槡２，３５％中，属于分数的是 ３３

５，－３．１

，

３５％ ，属于无理数的是 －π

２，槡５，３

槡－３，

１－槡２ ，属于负数的是 －π

２，－ －３，

－３．１

，３

槡－３，１－槡２ ．

１０．已知下列一组数：

槡５，－３，０，３．１４１，

１１

７，－１

３，槡１６．

在数轴上标出这组数对应的点的大致位

置，并用“＜”把它们连接起来．

解：这组数在数轴上对应的点的大致位置

如图所示：

用“＜”连接为 －３＜－１

３＜０＜

１１

７ ＜

槡５＜３．１４１＜槡１６．

１．关于３

槡７的下列说法中，错误的是 （ Ｂ ）

Ａ．它是一个无理数

Ｂ．它比 ２大

Ｃ．它可以用数轴上的一个点来表示

Ｄ．它可以表示体积为 ７的正方体的棱长

２．【核心素养·推理能力】我们规定：相等的

实数看作同一个实数．有下列六种说法：

①数轴上有无数多个表示无理数的点；

②带根号的数不一定是无理数；

③每个有理数都可以用数轴上唯一的点来

表示；

④数轴上每一个点都表示唯一一个实数；

⑤没有最大的负实数，但有最小的正实数；

⑥没有最大的正整数，但有最小的正整数．

其中说法错误的是 ⑤ （选填序号）

 ．

·２７·

第六章 实数

第31页

第 ２课时 实数的运算

１．数 ａ的相反数是 －ａ ，这里 ａ表示任意

一个实数．

２．一个正实数的绝对值是它 本身 ；一个负

实数的绝对值是它的 相反数 ；０的绝对

值是 ０ ．即设 ａ表示一个实数，则

ａ ＝

ａ ，当 ａ＞０时；

０ ，当 ａ＝０时；

－ａ ，当 ａ＜０时 { ．

３．实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数

不为 ０）、乘方运算，而且 正数及 ０ 可以

进行开平方运算，任意一个 实数 都可以

进行开立方运算．在进行实数的运算时，有

理数的运算法则及运算性质等同样适用．

知识点 １ 实数的性质 

１．槡２的相反数是 －槡２ ，槡２－２ ＝ ２－槡２ ，

３

槡－８＝ －２ ．

知识点 ２ 实数的运算 

２．（２０２３昆明市五华区期末）下列计算正确

的是 （ Ａ ）

Ａ．３

槡－８＝－２ Ｂ．槡９＝±３

Ｃ．槡（－３）２ ＝－３ Ｄ．（－槡５）２＝－５

３．计算：

（１）（－１）２＋槡４－３

槡８＋ －１；

解：原式 ＝１＋２－２＋１＝２．

（２）（２０２３昆明市盘龙区期末）槡（－２）２ －

３

槡１２５＋ 槡３－２ ＋槡３．

解：原式 ＝２－５＋２－槡３＋槡３＝－１．

４．计算（结果保留小数点后两位）：

（１）槡３＋π－０．５２１；

解：原式≈１．７３２＋３．１４２－０．５２１

≈４．３５．

（２）槡７

３－槡２×槡５．

解：原式≈０．８８２－１．４１４×２．２３６

≈ －２．２８．

１．２０２２的相反数是 （ Ｃ ）

Ａ．２０２２ Ｂ． １

２０２２

Ｃ．－２０２２ Ｄ．－ １

２０２２

２．在实数槡２，槡３，槡４，槡５中，有理数是 （ Ｃ ）

Ａ．槡２ Ｂ．槡３ Ｃ．槡４ Ｄ．槡５

３．（２０２３曲靖名校期中）下列算式正确的是

（ Ｄ ）

Ａ．槡（－２）２ ＝－２ Ｂ．槡４９＝±７

Ｃ．

３

－２７

槡 ８ ＝３

２ Ｄ．３

槡－２７＝－３

槡２７

４．在槡２，－（－２），３

槡－８，－ －槡２ 中，最小的

数是 （ Ｃ ）

Ａ．槡２ Ｂ．－（－２）

Ｃ．３

槡－８ Ｄ．－ －槡２

５．【核心素养·运算能力】若 ２０２２的两个平方

根是 ｍ和 ｎ，则 ｍ＋２ｍｎ＋ｎ的值是 （ Ｃ ）

Ａ．０ Ｂ．２０２２

 Ｃ．－４０４４ Ｄ．４０４４

·２８·

本土攻略·数学 七年级下册（ＲＪ 

）

第32页

６．计算：

（１）２槡２－３槡２＝ －槡２ ；

（２）３．１４－π ＝ π－３．１４ ；

（３）

３

７

槡８－１＝ －１

２ ．

７．用“”表示一种新运算：对于任意正实数

ａ，ｂ，都有 ａｂ＝槡ｂ＋ａ．例如 ４９＝槡９＋

４＝７，那么 ５２２５＝ ２０ ．

８．计算：

（１）（－４）× －３ ( ４) ＋３０÷（－６）；

解：原式 ＝３－５＝－２．

（２）（２０２３德宏州期末）槡１６＋槡３＋

３

槡－８－

槡３（槡３＋１）；

解：原式 ＝４＋槡３－２－３－槡３＝－１．

（３）１－槡３ ·（３槡３－３

槡－８）·２３

．

解：原式 ＝（槡３－１）×（３槡３＋２）×８

＝８×（９＋２槡３－３槡３－２）

＝８×（７－槡３）

＝５６－８槡３．

９．化简：

（１）槡２２ ＝ ２ ，槡（－２）２ ＝ ２ ，

槡０＝ ０ ，槡ａ

２ ＝ ａ ；

（２）３

槡３３ ＝ ３ ，３

槡（－３）３ ＝ －３ ，

３

槡０＝ ０ ，３

槡ａ

３ ＝ ａ ；

（３）根据以上信息，观察 ａ，ｂ所在位置，化

简：槡ｂ２ ＋槡（ｂ－ａ）２ －３

槡（ａ－ｂ）３．

解：由图可得 ａ＜０＜ｂ．

所以 ｂ－ａ＞０．

所以原式 ＝ｂ＋ｂ－ａ－（ａ－ｂ）

＝ｂ＋ｂ－ａ－ａ＋ｂ

＝３ｂ－２ａ．

１０．已知实数 ａ，ｂ互为相反数，ｃ，ｄ互为倒数，ｘ

的绝对值为 ４，ｙ

２＝９，求 ｘ

２＋（ａ＋ｂ）－３

槡ｃｄｙ

的值．

解：根据题意，得 ａ＋ｂ＝０，ｃｄ＝１，ｘ＝±４，

ｙ＝±３．

所以 ｘ

２＋（ａ＋ｂ）－３

槡ｃｄｙ＝１６－ｙ．

①当 ｙ＝－３时，１６－（－３）＝１９；

②当 ｙ＝３时，１６－３＝１３．

１．（２０２３昆明名校期中）若（ｘ－１）２＝（－２）２

，

则 ｘ＝ ３或 －１ ．

２．【核心素养·运算能力】阅读材料：

因为槡４＜槡５＜槡９，即 ２＜槡５＜３，

所以 ０＜槡５－２＜１．

所以槡５的整数部分为 ２，槡５的小数部分为

槡５－２．

解决问题：

（１）填空：槡７的小数部分是 槡７－２ ；

（２）已知 ａ是 槡９０的整数部分，ｂ是槡３的小

数部分，求 ａ＋ｂ－槡３的立方根．

解：因为 ａ是 槡９０的整数部分，所以ａ＝９．

因为 ｂ是槡３的小数部分，所以ｂ＝槡３－１．

所以 ａ＋ｂ－槡３＝８，它的立方根为 ２

．

·２９·

第六章 实数

第33页

章末复习

一、数形结合思想

１．（２０２３昆明名校期中）如图，在数轴上，ＡＢ＝

ＡＣ，Ａ，Ｂ两点对应的实数分别是槡３和 －１，

则点 Ｃ所对应的实数是 （ Ｂ ）

Ａ．１＋槡３ Ｂ．２槡３＋１

Ｃ．２＋槡３ Ｄ．２槡３－１

２．已知实数 ａ，ｂ在数轴上的位置如图所示，化

简：槡（ａ＋１）２ ＋２槡（ｂ－１）２ － ａ－ｂ ＝

２ａ－３ｂ＋３ ．

二、整体思想

３．已知 ３（５ｘ＋１）２－４８＝０，求 ｘ的值．

解：整理方程，得（５ｘ＋１）２＝１６．

等式两边开平方，得 ５ｘ＋１＝±４．

即 ５ｘ＋１＝４或 ５ｘ＋１＝－４．

解得 ｘ＝３

５或 ｘ＝－１．

所以 ｘ的值为３

５或 －１．

三、分类讨论思想

４．已知 ２ａ－１和 ５－ａ是一个正数 ｍ的平方

根，３ａ＋ｂ－１的立方根是 －２．

（１）求这个正数 ｍ的值；

（２）求 ｂ的值．

解：（１）①当 ２ａ－１和 ５－ａ表示正数 ｍ的

同一个平方根时，即 ２ａ－１＝５－ａ．

解得 ａ＝２．

所以这个正数 ｍ为（５－２）２＝９．

②当 ２ａ－１和 ５－ａ表示正数 ｍ不同的

平方根时，即 ２ａ－１＋５－ａ＝０．

解得 ａ＝－４．

所以这个正数 ｍ为（５＋４）２＝８１．

综上所述，这个正数 ｍ是 ９或 ８１．

（２）因为 ３ａ＋ｂ－１的立方根是 －２，

所以 ３ａ＋ｂ－１＝－８．

当 ａ＝２时，解得 ｂ＝－１３；

当 ａ＝－４时，解得 ｂ＝５．

综上所述，ｂ的值为 －１３或 ５．

１．下列实数中，属于正数的是 （ Ａ ）

Ａ．槡２０２３ Ｂ．０

Ｃ．３

槡－１ Ｄ．－２

２．（２０２２大理州期中）下列说法不正确的是

（ Ｃ ）

Ａ．１

２５

的平方根是 ±

１

５

Ｂ．－９是 ８１的一个平方根

Ｃ．０．２的算术平方根是 ０．０４

Ｄ．－２７的立方根是

 －３

·３０·

本土攻略·数学 七年级下册（ＲＪ 

）

第34页

３．（２０２３昭通市昭阳区月考）下列运算正确

的是 （ Ｃ ）

Ａ．槡２５＝±５ Ｂ．槡（－３）２ ＝－３

Ｃ．±槡３６＝±６ Ｄ．槡－１００＝１０

４．若 ａ＝ １

( ２)

２

，ｂ＝（－２）３

，ｃ＝２０２３０

，则 ａ，ｂ，ｃ

的大小关系是 （ Ａ ）

Ａ．ｂ＜ａ＜ｃ Ｂ．ｂ＜ｃ＜ａ

Ｃ．ｃ＜ａ＜ｂ Ｄ．ａ＜ｃ＜ｂ

５．（２０２３昆明名校期中）如图，面积为 ２的正

方形 ＡＢＣＤ的一边与数轴重合，其中正方形

ＡＢＣＤ的一个顶点 Ａ与数轴上表示１的点重

合，则点 Ｄ表示的数是 （ Ｄ ）

Ａ．－０．４ Ｂ．槡２－１

Ｃ．－槡２ Ｄ．１－槡２

６．下列说法：

①２３

９是无理数；

② －２是 ４的平方根；

③ 槡１２在两个连续整数 ａ和 ｂ之间，那么

ａ＋ｂ＝７；

④若正实数 ｍ的平方根是 ３ａ－１和 ３ａ－

１１，则 ｍ＝２５．

其中，正确的说法个数有 （ Ｃ ）

Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个

７．按一定规律排列的单项式：１，槡２，槡３，槡４，

槡５，…，则第 ｎ个单项式是 （ Ａ ）

Ａ．槡ｎ Ｂ．槡ｎ－１

Ｃ．槡ｎ＋１ Ｄ．槡２ｎ

８．－５的相反数是 ５ ．

９．槡１６的平方根是 ±２ ，－２７的立方根是

－３ ．

１０．若 ｘ－３的算术平方根是 ３，则 ｘ＝ １２ ．

１１．（２０２３昆明市西山区期末）计算：

（－１）２０２３－ １－槡３ ＋槡（－３）２ －３

槡－６４－

槡３（槡３－１）．

解：原式 ＝－１＋１－槡３＋３＋４－３＋槡３＝４．

１２．（２０２３昆明名校期中）小强想用一块面积

为 ３６ｃｍ

２

的正方形纸片，沿着边的方向裁

出一块面积为 ２０ｃｍ

２

的长方形纸片，使长

方形纸片的长宽之比为 ２∶１．

（１）请 你 帮 小 强 求 出 长 方 形 纸 片 的 长

与宽；

（２）小强能用这块正方形纸片裁出符合要

求的纸片吗？请说明理由．

解：（１）设长方形纸片的长为 ２ｘｃｍ，宽为

ｘｃｍ．根据题意，得

ｘ·２ｘ＝２０．

解得 ｘ＝槡１０或 ｘ＝－槡１０（不符合题

意，舍去）．

所以 ２ｘ＝２槡１０．

答：长方形纸片的长为 ２槡１０ｃｍ，宽为

槡１０ｃｍ．

（２）小强不能用这块正方形纸片裁出

符合要求的纸片．

理由如下：因为正方形纸片的面积为

３６ｃｍ

２

，

所以正方形纸片的边长为 ６ｃｍ．

因为 ２槡１０ｃｍ＞６ｃｍ，

所以小强不能裁出符合要求的纸片．

１．（２０１６曲靖中考）实数 ａ，ｂ在数轴上对应点的

位置如图所示，则下列结论正确的是 （ Ａ ）

Ａ．ａ ＜ ｂ Ｂ．ａ＞ｂ

Ｃ．ａ＜－ｂ Ｄ．ａ ＞ ｂ

２．（２０１８昆明中考）黄金分割数槡５－１

２ 是一个

很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计

决策等方面，请你估算槡５－１的值 （ Ｂ ）

Ａ．在 １．１和 １．２之间

Ｂ．在 １．２和 １．３之间

Ｃ．在 １．３和 １．４之间

Ｄ．在 １．４和 １．５之间

３．（２０１６曲靖中考）

３

槡８＝ ２

．

·３１·

第六章 实数

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