单元测试(二) 二次函数

（满分150分，考试时间120分钟）

一、选择题（每小题3分，共36分.每小题均有A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项正确）

1.下列函数解析式中，一定为二次函数的是

A. y=3x-1 B y=a.x^{2}+b x+c \operatorname{C}_{ \operatorname{D}. y=x^{2}+{(1)/(x)}

2.下列关于二次函数 y=-(1)/(2)x^{2} α²图象的说法：①图象是一条抛物线； ⊚ 开口向下； ③ 对称轴是 _y 轴； \circled{4} 顶点 ( 0 ,0 ) .其中正确的有 （D

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

3.在下列二次函数中，其图象的对称轴为直线 x=-2 的是

A. y=(x+2)^{2} B.\ y=2x^{2}-2
C. y=-2x^{2}-2 D.\ y=2(x-2)^{2}

4.将抛物线 \scriptstyle{y=2x^{2}} 先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线是 (D)

A. y=2(x+1)^{2}+2 B.\ y=2(x-1)^{2}+2 C * y=2(x-1)^{2}-2 D. y=2(x+1)^{2}-2

5.若二次函数 y=x^{2}+b x+5 配方后为 y=(x-2)^{2}+k ，则 b,k 的值分别为 （A）

A.-4,1 B.~1 ,-4
C.4,1 D.1,4
6.若抛物线 y=a.x^{2}+b x+c 的顶点是 A ( 2 ,1 ) ，且经过点 B ( 1
0)，则抛物线的函数关系式为 （B）

A. y=x^{2}+4x-3 B.\ y=-x^{2}+4x-3 C .y=-x^{2}-4x-3 D, y=-x^{2}+4x+3

7.若二次函数 y=a x^{2}+b x-1(a\neq0) 的图象经过点（1,1），则代数式 1-a-b 的值为 （B）

A.-3 B.-1 C.2 D.5

8.若二次函数 y=x^{2}+b x 的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于 y 轴的直线，则关于 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的方程 x^{2}+b x=5 的解为（D）

A. x_{1}=0 ,x_{2}=4 B.\;x_{1}=0 ,x_{2}=5
C. x_{1}=1 ,x_{2}=-5 D, x_{1}=-1,x_{2} {=} 5

9.生物学研究表明：在一定的温度范围内，酶的活性会随温度的升高逐渐增强，在最适宜温度时，酶的活性最强，超过一定温度范围时，酶的活性又随温度的升高逐渐减弱，甚至会失去活性.现已知某种酶的活性值 y(\operatorname{IU}) 与温度 t( °C ) 的关系可以近似用二次函数 y=-(1)/(2)t^{2}+14t+142 t²+14t+142 来表示.则当温度为最适宜时,该种酶的活性值为 （C）

第9题图

第10题图

10.二次函数 y=a.x^{2}+b x+c 的图象如图所示，则一次函数 y= b x+a 的图象不经过 （D）

A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

11.当 -2{<=slant}x{<=slant}1 时，二次函数 y=- (x-m)^{2}+m^{2}+1 有最大值4,则实数 m 的值为 (C)

A.一7 B.√3或-√3 C.2或-√3 D.2或-√3或- (7)/(4)

12.如图，若二次函数 y=a x^{2}+b x+c(a\neq0) 图象的对称轴为直线 x=1 ，与 y 轴交于点 C ，与 \boldsymbol{\mathscr{x}} 轴交于点 A ，点 B(-1,0) ，则： ① 二次函数的最大值为 a+b+c ;(\?)a-b+c<0 ;\emptyset b^{2}- 4a c{<}0 \circled{4} 当 y>0 时， -1{<}x{<}3. 其中正确的个数是（B）

A.1
B. 2
C.3
D. 4

二、填空题（每小题4分，共16分）

13.在平面直角坐标系中,抛物线 y=x^{2}-1 与 y 轴的交点坐标是_ ( 0 ,-1)
14.抛物线 y=-x^{2}+m x+2 与 x 轴的一个交点为(2,0),则另一个交点坐标为 (-1,0)
15.已知二次函数 y=3 ( x-1 )^{ 2}+k 的图象上有 A ( {√(2 )} ,y_{1} ) ，B( 2 ,y_{2} ) ， C(-√(5) ,y_{3} ) 三个点，则 y_{1} ,y_{2} ,y_{3} 的大小关系是y_{3}>y_{2}>y_{1}

16.已知二次函数 y=x^{2}+b x+c 的图象与 \boldsymbol{\mathscr{x}} 轴交于 A ( -1 ,0 ) 与B(5,0) 两点，与 _y 轴交于点 C .若点 P 在该抛物线的对称轴上，则 P A+P C 的最小值为 5 √(2)

三、解答题（本大题共9题，共98分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本题满分10分)已知二次函数 y=x^{2}-4x+3 ，用配方法求其图象的顶点 C 的坐标，并求出图象与 _{\mathscr{x}} 轴的交点坐标.

其图象的顶点 C 的坐标为 (2,-1) 令 y=x^{2}-4x+3=0 ，解得 x_{1} {=} 1 ,x_{2} {=} 3 图象与 x 轴的交点坐标为 ( 1 ,0 ) 和 ( 3 ,0 )

18.（本题满分10分)已知函数 y=(m+2)x^{m^{2}+m-4} 是关于 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的二次函数.

(2)当 m 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，并求当 \boldsymbol{\mathscr{x}} 为何值时， y 随 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的增大而增大？

(2)当 m=2 时，抛物线有最低点，为 ( 0 ,0 ) ；当 x>0 时， \mathbf{\nabla},\mathbf{y} 随 x 的增大而增大。

19.（本题满分10分）已知某二次函数的图象如图所示，求这个二次函数的解析式.

解：设所求的二次函数的解析式是 y=a x^{2} +b x+c(a\neq0).
由图可得，图象过点 \left( 2 ,0 \right),\left( -1 ,0 \right),\left( 0 2)，把各点代入，得

20.（本题满分10分)已知二次函数 y=x^{2}+m x+m-2. 求证：无论 m 取何实数，抛物线总与 _{x} 轴有两个交点.

证明： \ A=m^{2}-4(m-2)=(m-2)^{2}+4, :(m-2)^{2}\ge0 , \dot{*} (m-2)^{2}+4>0 , \l^{\mu}\ \Delta>0. ：无论 _m 取何实数，抛物线总与 x 轴有两个交点

21.（本题满分12分)已知二次函数 y=x^{2}-4x+3 (1)在平面直角坐标系 x O y 中画出该函数的图象；(2)若二次函数的图象与 \boldsymbol{\mathscr{x}} 轴交于点 A ,B（点 A 在点 B 左边)，与 y 轴交于点 C ，则 \triangle A B C 的面积为3(3)当 \scriptstyle0<=slant x<=slant3 时， y 的取值范围是 -1{<=slant}y{<=slant}3

解： \because y=x^{2}-4x+3=(x-2)^{2}-1 ,
抛物线的顶点坐标为 (2,-1)
当 {y=0} 时， x^{2}-4x+3=0 ，解得 x_{1}=1 ，_{x_{2}}=3
抛物线与 x 轴的交点坐标为 ( 1, 0 ) ，(3,0).
当 x=0 时， y=x^{2}-4x+3=3 ，则抛物线与 {\bf{y}} 轴的交点坐标为 {\bf(0,3)}
如图所示。

22.（本题满分10分)为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款成本为40元的可控温杯，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量 _y （件）与销售单价 _{x} （元)满足一次函数关系： y= -10x+1\ 200 (1)求出利润S(元)与销售单价 \boldsymbol{\mathscr{x}} （元)之间的关系式；（利润 = 销售额一成本)(2)当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最大?最大利润是多少元？解： (1)S=(x-40 ) y=( x-40 )( - 10 x+1 200 )=- 10 x^{2}+1 600 x-30 48~000(~x>40) (2)\because a=-10<0 ：当 x=-{(b)/(2a)}=-{(1\ 600)/(2x(-10))}=80 时 s 有最大值,且 S_{\ast\star\ast}=-10x 80^{2}+1~600x80-48~000=16~000. 答：当销售单价定为 \mathbf{80} 元时，该公司每天获取的利润最大，最大利润为 16~000 \bar{π}_{\perp}

23.（本题满分12分）已知二次函数 y=x^{2}+b x+c 的图象与 y 轴交于点 C(0,-6) ，与 x 轴的一个交点坐标是 A ( - 2 ,0 ) (1)求二次函数的解析式，并写出顶点 D 的坐标；(2)将二次函数的图象沿 x 轴向左平移 (5)/(2) 个单位长度,当 y< 0时，求 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的取值范围.解：(1)把 C(0,-6) 代入抛物线的解析式,得 \scriptstyle c=-6 ，把 A(-2,0) 代 ~ y=x^{2}+b x-6 ，得 b=-1 ：抛物线的解析式为 y=x^{2}-x-6
4 贵RI九全·测试卷
\because y=x^{2}-x-6=(x-(1)/(2))^{2}-(25)/(4),
·抛物线的顶点 \boldsymbol{D} 的坐标为 ((1)/(2),-(25)/(4))
(2)二次函数的因象沿 x 轴向左平移 (5)/(2) 个单
位长度后,抛物线的解析式为 y=( x+2 )^{2}
-{(25)/(4)}.
令 y=0 则， (x+2)^{2}-(25)/(4){=}0 ,解得 x_{1}=(1)/(2) ,x_{2}=-(9)/(2)
由图象可得，当 y<0 时 ,x 的取值范围是 -{(9)/(2)}<x<{(1)/(2)}.

24.（本题满分12分）若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”.（1)请写出两个为“同簇二次函数"的函数；(2)已知关于 x 的二次函数 y_{1}=2x^{2}-4m x+2m^{2}+1 和 y_{2}= a x^{2}+b x+5 ,其中 y_{1} 的图象经过点 A(1,1) ,若 y_{1}+y_{2} 与y_{1} 为“同簇二次函数”，求函数 y_{2} 的解析式，并求出当 \r_{0<=slant} x{<=slant}3 时， y_{2} 的最大值.解：(1)答案不唯一， ^{4\sigma}:y=2( x-3 )^{2}+4 与 y=3( x-3)^{2}+4 (2)\because y_{1} 的图象经过点 A(1,1) , \dot{*},2x1^{2}-4xmx1+2m^{2}+1=1 整理，得 m^{2}-2m+1=0 解得 m_{1}=m_{2}=1 \therefore y_{1}=2x^{2}-4x+3=2(x-1)^{2}+1. \therefore y_{1}+y_{2}=2x^{2}-4x+3+a x^{2}+b x+5=(a+2)x^{2}+(b-4)x+8. ： {y}_{1}+{y}_{2} 与 {\boldsymbol{y}}_{1} 为“同簇二次函数”，{}\therefore y_{1}+y_{2}=(a+2)(x-1)^{2}+1=(a+2)x^{2}-2(a+2)x+(a+2)+1, 其中 a+2>0 ，即 a>-2 \therefore\left\{b-4=-2(a+2}\\ {8=(a+2)+1,}\end{array}\right. ， '解得{a=5， \begin{array}{l}{{\left|a=5 ,\right.}}\\ {{\left.b=-10.\right.}}\end{array} ：函数 y_{2} 的解析式为 y_{2}=5x^{2}-10x+5 * y_{2}=5x^{2}-10x+5=5(x-1)^{2}. 函数 {\boldsymbol{y}}_{2} 的图象的对称轴为直线 \scriptstyle x=1, ： 5{>}0 ，函数 y_{2} 的图象开 \mathbf{\sigma}° 向上.① 当 0\lex\le1 时，函数 y_{2} 的图象开口向上， \therefore y_{2} 随 x 的增大而减小。·当 x=0 时， y_{2} 取最大值,最大值为 5x(\mathbf{0}-\mathbf{1})^{2}=5 \circled{2} 当 1<x<=3 时，函数 y_{2} 的图象开 \mathbf{\sigma} 向上 \therefore y_{2} 随 x 的增大而增大。·当 x=3 时， \nabla_{2} 取最大值,最大值为 5x(3-1)^{2}=20 综上所述，当 0{<=slant}x{<=slant}3 时 ,y_{2} 的最大值为20.

25.（本题满分12分)抛物线 y=a x^{2}+b x-4(a\neq0) 与 \boldsymbol{\mathscr{x}} 轴交于点 A ( -2 ,0 ) 和 B( 4 ,0 ) ，与 y 轴交于点 C ，连接 B C, P 是线段B C 下方抛物线上的一个动点（不与点 B,C 重合），过点 P 作_y 轴的平行线交 B C 于点 M ，交 \mathscr{x} 轴于点 N (1)求该抛物线的解析式；(2)过点 C 作 C H\bot P N 于点 H ,B N=3C H \circledmathrm{1} 求点 P 的坐标；⊚ 连接 C P ，在 _y 轴上是否存在点 Q ，使得 \triangle C P Q 为直角三角形？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由.

解： \mathbf{\Psi}^{(1)} 把 A ( - 2 ,0 ) 和 B\left(4,0\right) 代入 y=a.x^{2}+b x- 4,得\begin{array}{l}{{\displaystyle\left\{{4a-2b-4=0 ,\atop{\scriptstyle\left.\right.\kern-\nulldelimiterspace}4a-2b-4=0 ,\atop{\scriptstyle\left.\right.\kern-\nulldelimiterspace}5=-4 ,}^{∞ \varepsilon\quadg}\left\{{a=(1)/(2)} ,\atop{\scriptstyle\left.\right.\kern-\nulldelimiterspace}4=-1 .}^{}\right.}}}\\ {{\displaystyle\left.\therefore{y=(1)/(2)}x^{2}-x{-4}\right.\hfill}}\end{array} (2)① 在 y=(1)/(2)x^{2}-x-4 中，令 \scriptstyle x = 0 ,得 y=-4,\therefore C(0,-4) P(m,(1)/(2)m^{2}-m-4) ，则 H(m,-4),N(m,0). \because B(4,0) ,\therefore B N{=}4{-}m ,C H{=}m. ： \bf{\nabla}B N{=}3C H \therefore4-m=3m ,解得 m=1 \therefore P(1,-(9)/(2)). ⊚ 设 Q(\mathbf{θ},t) \therefore C P^{2}=(5)/(4),C Q^{2}=\left(t+4\right)^{2},P Q^{2}=1+(t+(9)/(2))^{2}. 当 C P 为斜边时， .C Q^{2}+P Q^{2}=C P^{2} ，\therefore(t{+}4)^{2}{+}1{+}(t{+}(9)/(2))^{2}{=}(5)/(4), 化简得 2t^{2}+17t+36{=}0 解得 t_{1}=-4( 舍去)或 t_{2}=-(9)/(2), \therefore******(9)/(2)) 当 c\boldsymbol{Q} 为斜边时 .C Q^{2}=P Q^{2}+C P^{2} \therefore(t{+}4)^{2}{=}1{+}(t{+}(9)/(2))^{2}{+}(5)/(4). 解得 \begin{array}{r}{t_{3}=-(13)/(2),\therefore Q(\mathbf{0},-(13)/(2))}\end{array} 当 P Q 为斜边时， ,P Q^{2}=C Q^{2}+C P^{2} ，\therefore1+(t+(9)/(2))^{2}=(t+4)^{2}+(5)/(4) 解得 t_{4}=-4((4)/(5)±(1)/(2)) 综上所述，点 Q 的坐标为 (\mathbf{0},-(9)/(2))\Dot{\mathfrak{X}}(\mathbf{0},-(13)/(2))