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2025年河北省普通高中招生考试
必刷模拟卷
数学
考点精准优化 经典提纲集锦模拟实战体验 轻松应对中考
标准8套卷 ±b{+} 标准8套答题卡 \scriptstyle+ 专项2套题型卷 \mathbf{+} 详解答案
2025河北省普通高中招生考试·中考模拟试卷(一)
数 学
1.本试卷共6页,五个大题,21小题,满分70分,考试时间60分钟。
2.本试卷上不要答题,请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上。答在试卷上的答案无效。
一、选择题(本大题共12个小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1 的绝对值是
A.-2 B.2 C.-(1)/(2) D. /{1{2}}
3.下面是小明解分式方程 {(1)/(x-1)}-2={(3x)/(1-x)} 3x的过程:
2x-3x=-1-2 , ③ x=3 . \circledast 开始出现错误的步骤为
A. ① B. ② C. ③ D. \circledast 4.据晋代张华的《博物志》记载:“削冰令圆,举以向日,以艾承其影,则得火.”如图是冰块制成的凸透镜在太阳光下形成的光路图,与主光轴平行的太阳光经过折射后均交于点 F .若∠ 3=150° , \angle2=160° ,则 \angle3 的度数为 ( )
5.中国人民银行于2024年12月16日起陆续发行2025年贺岁纪念币和纪念钞,其中,金质纪念币面额10元,最大发行量150000枚;银质纪念币面额3元,最大发行量 1\ 500\ 000 枚.金质纪念币和银质纪念币的最大发行总金额用科学记数法表示为 ( )A.1. 5x10^{5} 元 B.1. 65x10^{6} 元 C. 6x10^{6} 元 D.1. 65x10^{7} 元
6.如图, A B ,B C ,C D 是正 n 边形的三条边,在该正 n 边形下方以BC 为一边作正六边形CEFGHB.已知 \angle A B H={\it80}° ,则 _n 的值为 ( )A.16 B.18 C.20 D.22
7.我国古代数学著作《九章算术》中有一道“买田”问题,其大致意思是:用一万钱可买好田和坏田共一百亩(1亩 \approx666 .67平方米),若……问好田、坏田分别买了多少亩? 设买好(x+y=100 ,田 \mathscr{x} 亩,坏田 y 亩,可列出符合题意的方程组 \scriptstyle{\left\{300x+{(500)/(7)}y=10\ 000\right.} 根据已有信息,则题中用“……”表示的缺失的条件应为 ( )A.好田三百亩用一钱,坏田五百亩用七钱B.好田七亩用五百钱,坏田一亩用三百钱C.好田五百亩用七钱,坏田三百亩用一钱D.好田一亩用三百钱,坏田七亩用五百钱
8.规定:对于任意实数 a ,b ,c ,有[a, {.}{.}{]}\bullet{c} {=} a c{+}b ,如[ 1 ,2]\spadesuit3 {=} 1 x3 {+} 2 {=} 5 ,则关于 \mathscr{x} 的方程 \Big[x*-2m^{2}\Big]\bullet(x-6)=0 的根下列说法正确的是 ( )A.有两个相等的实数根 B.两根之积小于0C.没有实数根 D.两根之和大于0
9.根据下列四边形中所标的数据,一定可以判定为正方形的是 (
10.某班学生一周参加体育锻炼的时间统计如下表所示,其中有一个数据被墨汁污染了.若该班学生体育锻炼的时间这组数据的唯一众数和中位数相等,则该班学生人数最少为
| 锻炼时间/时 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | ||
| 人数/人 | 5 | 11 | 12 | 4 D.47 | |||
| B.45 C.46 | |||||||
11.如图,在边长为2的正六边形ABCDEF 中,BG 平分 \angle F B E 交 E F 于点 G ,则FG 的长为
A.\ 4\-2√(3) B.\ 8-4√(3) ~C.~4√(3)-6 D.\ 2/3-2
12.已知抛物线 y=a x^{2}-5a x-1(a>0) )经过点 A(3t,y_{1}) ,B(t,y_{2}) ,若 A ,B 两点均在直线y =-4a-1 的下方,且 y_{1}<y_{2} ,则 t 的取值范围是 ( )
A,1{<}t{<}4 B.style{(5)/(4)}{<}t{<}4\qquad\qquadC. 1{<}t{<}{(5)/(4)}\qquad\qquadD. 0{<}t{<}1
、填空题（本 透六3.将抛物线 y=-x^{2}+1 先向左平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度,得到的新抛物线的解析式是
14已知 x=(√(2)+1)/(2),y=(~2-1)/(2) ,则 x^{2}+y^{2}-x y 的值是
15.如图,在平面直角坐标系中,点 O 为坐标原点, ,A ,B 两点均在反比例函数 y=(k)/(x)(x>0) )的图象上, B C//x 轴与反比例函数 y=/1x(x>0) )的图象交于点C.已知 O,C,A 三点在同一条直线上, (O C)/(A C){=}(1)/(2) ,则 \triangle A B C 的面积为
16.如图,在 Rt\triangle A B C 中, ^{\prime}A C B {=} 90° ,A C{=} 6 ,B C{=} 8 ,C D\perp A B 于点 D ,A E 平分∠BAC,AE 与 C D 交于点 F ,则 D F 的长为
三、解答题(本大题共8个小题,共72分.解题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分7分)老师设计了接力游戏.用合作的方式完成有理数运算,规则是:每人只能看到前一人给的式子,并进行一步计算,再将结果传递给下一人,最后完成化简.过程如图所示:
(1)接力中,计算错误的学生有()请给出正确的计算过程
18.(本小题满分 8 分)有一种整式处理器,能将二次多项式处理成一次多项式,处理方法是:将二次多项式的二次项系数与一次项系数的和(和为非零数)作为一次多项式的一次项系数,将二次多项式的常数项作为一次多项式的常数项。
例 A=x^{2}+2x-3 ,A 经过处理器得到 B=(1+2)x-3=3x-3 。若关于 的二次多项式A 经过处理器得到B根据以上方法解决下列问题(2)若 A=4x^{2}-5(2x-3) ),求关于 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的方程 B=9 的解.
19.(本小题满分8分)某校组织七年级学生分组种植花卉,体验从播种到收获的完整过程.后续种植过程中,张老师将成功发芽的种子数量 \mathscr{x} (单位:粒)分成4个等级 (A. 10{<}x{<=slant} 15;B. 15{<}x{<=slant}20 ;C. 20{<}x{<=slant}25 ;D. 25{<}x{<=slant}30) ),并随机抽取其中 _n 个小组的种子发芽情况进行统计,绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图,如下:
同时还统计出C 组的全部数据,如下请根据以上信息,解决下列问题()求 _n 的值和 \boldsymbol{a} 的度数;
(2)抽取的这 n 个小组成功发芽的种子数量的中位数是 ;
(3)已知参与本次种植活动的小组共有200个,成功发芽的种子数量超过24粒的小组可以获得“种植小能手”徽章,求本次种植活动中获得“种植小能手”徽章的小组大约有多少个.
20.(本小题满分8分)为测量操场上悬挂国旗的旗杆的高度,设计的测量方案如图所示,标杆高度 C D=3 ~m~ ,标杆与旗杆的水平距离 B D=15 ~m~ ,人的眼睛与地面的高度 E F=1, 6 m ,人与标杆 C D 的水平距离 D F=2 \m,E,C,A 三点共设线,求旗杆 A B 的高度.
21.(本小题满分9分)甲、乙两架无人机进行表演训练,甲以 a rm{m}/rm{s} 的速度从地面起飞,同时乙从一栋楼的楼顶匀速起飞,5s时甲、乙到达同一高度,此时,甲停止上升在该高度上进行表演,表演用时is,之后甲按其原速度继续上升;当甲、乙第二次到达同一高度时进行联合表演.已知甲、乙距离地面的高度 y\left(\mathbf{m}\right) )与飞行时间 x\left(\varsigma\right) 之间的函数关系如图所示.请结合图象解答下列问题:
(2)求 a* t 的值及直线 F C 的解析式;
(3)直接写出甲、乙两架无人机表演训练中,距离地面的高度差为 16 rm{m} 时, x 的值.
22.(本小题满分9分)如图1,在四边形ABCD 中, \angle A=90° , A D=6 , A B=8 ,BD 为四边形ABCD 的对角线, \sin\angle B D C {(2)/(5)} .
(2)如图2,点 E 在AD 边上,且 A E=4 .以B 为圆心, B C 长为半径作 \odot B ,点 F 为OB 上一点,连接EF 交AB 于点P,tanC=4.
① 当 E F 与 O B 相切时,求EF 的长;
② 当 E F//A B 时,直接写出 E F 的长.
23(本小题满分 分)已知抛物线 y=x^{2}-2a x +b .
(1)若抛物线的对称轴是直线 x=2 ,且与 \mathscr{x} 轴的一个交点的坐标为(3,0),求抛物线的解析式,并直接写出抛物线与 \mathscr{x} 轴的另一个交点的坐标.
① 求 b 的最小值.
② 在 b 取最小值的情况下,将抛物线向下平移 m(m{\>}0) )个单位长度,平移后的抛物线与 x 轴相交于点 A ,B ( (点A 在点 B 的左侧,点 B 不与点 O 重合).当 A O{>}3B O 时,求 m 的取值范围.
24.(本小题满分12分)如图1和图2,四边形ABCD 中, A B=6 ,B C=8 ,A D=2 17, C D< AB 3,\angle B{\approx}\angle C{=}90° ,点 E 在 A B 边上,且 A E=2 .动点 P 从点 B 出发,沿折线 B C{-} C D -D A 运动,到达点 A 时停止,设动点 P 运动的路径长为 x\left(x>0\right) ).
(2)如图2,当 \scriptstyle0<x<=slant8 时,连接 E P,P D ,当 E P\bot P D 时,求证:△BEP 和△CDP 全等;(3)当 \scriptstyle0<x<=slant12 时,作点 B 关于 E P 的对称点 B^{\prime} ,连接 E B^{\prime} ,设 E B^{\prime} 与AB 所夹的锐角为 α ,直接写出sinα的值(用含 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的式子表示).
2025河北省普通高中招生考试·中考模拟试卷(二)
数 学
1.本试卷共6页,五个大题,21小题,满分70分,考试时间60分钟。
2.本试卷上不要答题,请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上。答在试卷上的答案无效。
一、选择题(本大题共12个小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1下列各数中,是负数的是
2.如图所示,该几何体的左视图是
A. 2a^{2}-a^{2}=2 B. a^{6}/ a^{3}=a^{2} C. 2a^{4} * 3a^{2}=6a^{6} D. (-2a^{2})^{3}=-6a^{6} 4.国家统计局公布的数据显示, 2024 年12月份,规模以上工业原油产量1790万吨,同比增长 1.\ 4 % .1790万吨用科学记数法表示为 ( )1 A.1. 79x10^{9} 千克 B.1. 79x10^{10} 千克 ~C.~0.179x10^{10} 千克 D.0. 179x10^{11} 千克不 5.在△ABC 中, D 是AB 边上一点,按如图所示方式作图,其中 D P=B M,\widehat{P Q}=\widehat{M N} .下列1 说法正确的是 ( )! A. \angle A D E{=}\angle B ,且作图依据是“SAS”1 B.根据“内错角相等,两直线平行”,可知DE∥BC11 C.若 \angle A=40° , \angle B=30° ,则 \angle D E C{=}80° 得 D.若 D E{=}B D ,则点 E 到 A B ,BC 的距离相等
6.如图,淇淇利用刻度尺画了一条数轴后用纸片遮盖一部分.已知 1\cm 刻度线对应的实数是 /- 2 ,2.\;8\cm 刻度线对应的实数为1,则实数2.4对应的刻度是 ( )A.3.62cm B.3.64cm C.3.68cm D.3.72cm7.将一副直角三角板按如图所示的方式放置,连接CE.已知 \angle B A C=\angle A D E=90°,\angle B= 60°,\angle A E D=45° , A E{=}A C ,则 2\angle2-\angle1 的度数为
8.现有甲、乙两个转盘如图所示,甲转盘被等分成4个扇形区域,分别标有数字 1 ,0 ,-1 ,- 2,乙转盘被等分成3个扇形区域,分别标有数字 2 ,1 ,-1 .同时转动转盘甲,乙,转盘停止 时(指针固定,若指针指向两个扇形区域的分界线,则需重新转动转盘),两个指针所指区 域的数字之积为正数的概率是 ( )
B. C. D.2
9.二次函数 y=a x^{2}+b x+e(a\neq0) )的图象如图所示,则一次函数 y=b x+c 的图象经过
A.第一、二、三象限 B.第二、三、四象限C.第一、三、四象限 D.第一、二、四象限10.敏敏同学利用实验室的托盘天平测量 A ,B 两种糖果的质量(同一种糖果的质量都相同),做了以下试验.第一次,左盘放3颗 A 种糖果,右盘放8颗 B 种糖果,结果天平平衡;第二次,左盘放4颗 A 种糖果和1颗 B 种糖果,右盘放1个 20~g 砝码、1个 10~g 砝码和1个 5 rm{g} 砝码,结果天平平衡;第三次,左盘放1颗 A 种糖果,右盘放1颗B 种糖果,结果天平不平衡.下列哪一种方法可使天平再度平衡? ( )A.左盘上加1个 2rm{g} 砝码 B.右盘上加1个 2rm{g} 砝码
C.左盘上加1个5g砝码 D.右盘上加1个5g砝码1.在▱ABCD 中, A B=7 ,对角线 B D=6 .将▱ABCD 折叠,使点 B 与点 D 重合,展开后得到折痕EF,连接 A F 交BD 于点 O ,如图若 E F=8 ,则点 () 到CD 的距离为 ( )A.7 B. (5)/(3) C.2 D. (7)/(3)
2.如图,在平面直角坐标系中, P( 2 ,0 ) ),正六边形ABCDEF 的顶点 A ,D 的坐标分别为(1,0), ( -1 ,0 ) ,点 M 是正六边形ABCDEF 的边上一动点,连接 P M ,在 P M 的右上方作等腰直角 \Xi 角形PMN ,其中 \angle M P N=90°. .点 M 从点 A 出发,按照顺时针的方向(即A{-}B{-}C{-}D{-}E{-}F{-}A{-}{-} 以每秒 (1)/(2) 个单位长度的速度运动,则第2025秒时点N 的坐标为 ( )A.~(2+(√(3))/(2),2)\qquad~\quadB.~(3-(√(3))/(2),2)\qquad~\quadC.~(2+(√(3))/(2),√(3))\;\;\;\;\qquadD.~(3-(√(3))/(2),√(3))\;\;\;\qquad~\quadB.~(3-(√(3))/(2),√(3))\;\;\;\qquad~\quadB.~(3-(√(3))/(2),√(3))
、填空题(本大题共 个小题,每小题 分,共 分)
13.比较大小:2 5 (填“>”“<”或“=”).
15.一个两位数M ,它的个位数字是a,十位数字是a+1,把M 的十位上的数字与个位上的数字交换位置后得到新两位数 N ,若 M+N 的值能被5整除,则 \boldsymbol{a} 的值是16综合实践小组开展了制作无盖纸盒的实践活动
(1)如图1,在边长为 40\cm 的正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形,将剩余部分折成一个底面积为 900\ {cm^{2}} 的无盖的长方体盒子,则被剪掉的小正方形的边长是 cm.
(2)图2是一个高为 4\cm 的无盖的六棱柱盒子(直棱柱),图3是其底面,底面是边长为6\cm 的正六边形,其可按照图4所示的示意图将矩形纸板剪切折叠而成,那么这个矩形纸板较长的边长为 cm.(图4中实线表示剪切线,虚线表示折痕.纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计)
三、解答题(本大题共8个小题,共72分.解题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
7.(本小题满分7分)在如图所示的数轴上,点 A,B,C 分别表示实数 a ,b ,c. .已知 A B=1 ,B C=2 .
(2)若 a+b+c=0 ,则原点 O 一定在点 B (填“左”或“右”)侧,请求出 b 的值A B C
18.(本小题满分8分)已知 A=a^{2}-1,B=(a-1) .
(1)若 a>1 ,试比较 A ,B 的大小;
(2)将 A ,B 表示的代数式代入 (1)/(B)\dag(1)/(A)-1 ,并化简.
19.(本小题满分8分)2025蛇年春晚以“巳巳如意,生生不息”为主题,荟袭歌舞、戏曲、相声、小品、武术、杂技、少儿等多种类型节目,在开心,奋进拼搏的氛围中,陪伴全球华人开开心心过大年为了解学生最喜欢的节目,某校从“歌舞、相声、小品、其他”四种类型的节目对学生进行了一次抽查,每个学生只选择以上四种节目类型中的一种,现将调查的结果绘制成了两幅不完整的统计图,请你根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)请根据统计图将下面的信息补充完整:① 参加问卷调查的学生共有 人;② 小品所占的百分比为 ;③ 相声所对应的圆心角度数为 ;
(2)估计该校3000名学生中,喜欢小品节目类型的人数是多少?
(3)现从喜欢“歌舞、相声、小品、其他”四种类型的节目中任选两种,请用树状图或列表法求“恰好喜欢歌舞和小品”的概率.
20.(本小题满分8分)某科技小组利用无人机测量高速路口一广告牌 A B 的高度,如图,在广告牌AB 的对面楼 C D 的顶点 C 处测得点 A 的俯角为 24° ,无人机从点 C 出发沿水平方向向左移动15米到达点 E ,此时测得点 A 的俯角为 48° (图中的点均在同用平面内).
(1)求广告牌AB 与楼 C D 之间的距离 B D ;(参考数据: \cos48°{\approx}{(2)/(3)})
已知楼 的筒为 石市政规足此处的） 告牌的高度不高10米,请判断该广告牌的高度是否符合要求,并说明理由.(参考数据: {√(5)}\approx2.\ 2) )
21.(本小题满分9分)为使居民有一个整洁舒适的居住环境,某社区对辖区内破损的墙面进行清理和粉刷,并计划春节前完工.现有甲、乙两工程队有意向承包工程.若甲工程队单独施工,恰好可以按时完工;若乙工程队单独施工,则需延期20天完工;若甲、乙两工程队先合作10天,余下的工程由乙工程队单独完成,正好可以按时完工.已知甲工程队每天收费1200元,乙工程队每天收费500元(1)求原计划多少天完工;
(2)与社区内居民沟通后,可以比原计划提前10天开始施工,因此实际施工的天数比原计划的天数能多出10天,请你重新设计一种方案,既能按时完工,又能使费用最少,并求出最少费用.
22.(本小题满分9分)如图,AB 是☉O 的直径, C D 是弦,且 A B\bot C D 于点 E ,P 为 A B 下方\odot O 上一动点,连接 A P 并延长,交 C D 的延长线于点 Q .已知 A B=10 ,C D=6 .(1)AC 的长为
(2)当 \angle Q=50° 时,如图1,求AP的长.()当点 P 恰好为AQ 的中点时,如图,求 A P 的长
23.(本小题满分11分)在直角坐标系中,抛物线 y=a.x^{2}+b x+1(a,b 是常数, a\neq0 ) )与 y 轴相交于 A 点.(1)若抛物线经过点 \left(1,6\right),\left(-2,3\right) ),求 a ,b 的值;(2)已知 3a+b=0 ,若 -1{<=slant}x{<=slant}2 ,y 有最大值9,求 a 的值;
(3)①求 A 点坐标; ② 已知 a<0 ,t\neq0 ,若抛物线经过 ( - 2 ,m ) ,( - 3 ,n ) 和 ( t ,1 ) ,且 1<n<m ,求 t 的取 值范围.
24.(本小题满分12 分)如图1,已知 \triangle A B C 与△BDE 均为等腰直角三角形, \angle A C B= \angle D E B=90° , A B=6 , B E=2. .将 \triangle B D E 绕点 B 旋转,连接AD.(1)当点A,E 之间的距离最小时,AD 的长为 ;
(2)取AD 的中点 O ,连接 O C,O E ,嘉嘉发现: \triangle B D E 绕点 B 旋转的过程中, O C,O E 相垂直且相等.
(3)当点 D 在 A B 上方,且 \angle B A D 最大时,设 A D,B C 交于点 P ,连接 E P ,O E ,请直接写出此时△OPE 的面积.
参考答案
2025年河北省普通高中招生考试中考模拟试卷(一)
1.D 2.A 3.A 4.D 5.D 6.A 7.D
8.D 【解析】根据题意,得 \big[x,-2m^{2}\big]\bullet(x-6)=x^{2}- 6x-2m^{2} , \dot{\bf\Phi}\dot{\bf\Phi}\dot{\bf\Phi}\dot{\bf\Phi}\dot{\bf\Phi}\dot{\bf\Phi}\dot{\bf\Phi}\dot{\bf\Phi}\dot{\bf\Phi}\dot{\bf\Phi}\dot{\bf\Phi}\dot{\bf\Phi}\dot{\bf\Phi}\dot{\bf\Phi}\dot{\bf\Phi}\dot{\bf\Phi}\dot{\bf\Phi}\dot{\bf\Phi}\dot{\bf\Phi}\dot{\bf\Phi}\dot{\bf\Phi}\dot{\bf\Phi}\dot{\bf\Phi}\dot{\bf\Phi}\dot{\bf\Phi}\dot{\bf\Phi}\dot{\bf\Phi}\dot{\bf\Phi}\Phi\dot{\bf\Phi}\Phi x (-2m^{2} ) {=} 36 {+} 8m^{2}{>} 0 ,∴方程有两个不相等的实数根,故A,C错误.设方程的两根分别为 x_{1}* x_{2} ,根据根与系数的关系可得x1·x2= c= -2m22m^{2} ,x_{1}+x_{2}=- (b)/(a) =- (- 6)/(1) =6 > 0 , ∴D 项正确,B项不一定正确.故选D.
9.D 10.B
11.C 【解析】如图,过点 A 作 A P\bot B F 于点 F ,则 B P \mathrel{=}F P .易知 \angle B A F=\angle A F E=120°, \bullet\angle A B F= \angle A F B=30°,\therefore B P=(√(3))/(2)A B=√(3),\angle B F G=90°,\therefore B F{=}~2B P=2{√(3)} ,~\ '{*}~B G 平分 \angle F B E,\therefore\angle F B G= \angle E B G .过点 G 作 G Q\perp B E 于点 Q ,则 G Q=G F ,\angle B F G=\angle B Q G=90° .又 B G=B G, \therefore\triangle B F G \overset{\triangledown}{=} \triangle B Q G(\AAS) , \therefore B Q {=} B F {=} 2√(3) .易得 B E=4 ,∴Q E{=}4-2√(3)*\therefore F G{=}G Q{=}√(3) Q E{=}4√(3)-6. .
12.C 【解析】方法一:由题意知 y_{1} {=} 9a t^{2} {-} 15a t {-} 1 ,y_{2} =a t^{2}-5a t-1 .∵点 A ,B 在直线 y=- 4a-1 的下方, \therefore9a t^{2}-15a t-1{<}-4a-1,a t^{2}-5a t-1{<}-4a -1 ,即 9a t^{2}-15a t+4a{<}0 ,a t^{2}-5a t+4a{<}0. .又∵ \boldsymbol{a} >0 ,\dot{\bullet}*9t^{2}-15t+4<0 ,t^{2}-15t+4<0. .设 z {=} 9t^{2}- 15t+4 ,令 \relax z=0 ,得 t_{1}=(1)/(3) ,t_{2}=(4)/(3) .结合 Z 关于 t 的函数图象,可知当 (1)/(3){<}t{<}(4)/(3) < 4 时,9t2-15t+4<0.同上易得当 1<t<4 时, t^{2}-5t+4<0,\ \",y_{1}<y_{2} , \" 9a t^{2}-15a t-1<a t^{2}-5a t-1 ,即 4t^{2}-5t{<}0 ,同上可得0<t< 5 .综上可知, t 的取值范围是 1<t<(5)/(4) .
方法二:如图,令 a x^{2}-5a x-1=- 4a-1 ,整理,得x^{2}-5x+4 {=} 0 ,解得 x_{1}=1,x_{2}=4 , ,∴抛物线与直线的交点的横坐标分别为1,4.易得抛物线的对称轴为直线 x=(5)/(2) 5 ,且抛物线开口向上.∵A,B 两点均在直线 y=-4a-1 的下方,且 y_{1}<y_{2} ,∴点 A 到直线 x=(5)/(2) 的距离小于点 B 到直线 x={(5)/(2)} 5 的距离,1<t,\therefore3t<(5)/(2)<(5)/(2)-t,\dot{*}1<t<(5)/(4).
15.8 【解析】 \mathbf{\nabla}^{\bullet:}(O C)/(A C)=(1)/(2),\therefore(O C)/(O A)=(1)/(3) .设 C(m ,(1)/(m)) ),则A( 3m ,(3)/(m) ) \dot{\bullet} k=3m. (3)/(m)=9 .∵ :B C//x 轴,∴点 B 的纵坐标为 (1)/(m) 点 B 在反比例函数 y=(9)/(x)(x>0) 的图象上, \therefore B(9m,(1)/(m)) .如图,过 A 作 A D\bot B C 于D ,则 A D=(3)/(m)-(1)/(m)=(2)/(m) 又 B C {=} 9m {-} m {=} 8m ,\therefore S_{\triangle A B C}=(1)/(2)B C* A D=(1)/(2)x8mx(2)/(m)=8.
16. (9)/(5) 【解析】在 Rt\triangle A B C 中, \angle A C B=90° , A C=6 ,B C=8 ,根据勾股定理,得 A B=10 .如图,过点 E 作E G\bot A B 于点 G,\because A E 平分 \angle B A C,\angle A C B{=}\angle A G E =90°,\therefore E C=E G. .设 E C=E G=x ,则 E B=8-x , ,∵(E G)/(A C){=}(B E)/(A B) ,即 {(x)/(6)}={(8-x)/(10)} ,解得 _{x} {=} 3 , \therefore E G {=} 3 ,B E {=}
5 , \dot{\bullet} B G=4 , \dot{\bullet} A G=10-4=6. .易知 D F\/\left/E G, \dot{*}\right. △ADF∽△AGE,∴DF=AD. 易得 A D=A C*\cos \angle C A D=66x(3)/(5)=(18)/(5),\therefore(D F)/(3)=(/{18)/(5)}{6},\therefore D F=(9)/(5).
17.(1)佳佳,昊昊 (2)(-1)^{2 025}-(-3)^{2}+3/((3)/(4)-(1)/(2))=-1-9+3 /(1)/(4) {=} {-}1 {-}9 {+} 12 {=} 2. .
18. (1)\because A=3x^{2}-2x+5 ,∴根据整式处理器可得 B=(3-2)x+5=x+5 。(2)依据题意可知 A=4x^{2}-5 ( 2x - 3 )=4x^{2}-10x +15 ,根据整式处理器可得 B=( 4-10 )x+15=+ 6x+15*\because B=9\ldots-6x+15=9 ,/.* x=1 ,∴方程 B =9 的解为1。
19. (1)n=7/14 %=50. .∵成功发芽的种子数量在B组的小组个数是 50-7 - 9-19=15 ,\thereforeα=(15)/(50)x360°=108°. (2)21.5(3) 200x{(4+9)/(50)}=52* (个).答:本次种植活动中获得“种植小能手”徽章的小组大约有52个.
20.如图,过点 E 作 E H\bot A B 于点 H ,交 C D 于点 G ,\because E F\bot F B,C D\bot F B,A B\bot F B, ,四边形EFDG 和四边形BHGD 是矩形,\therefore C D//A B,E F=G D=H B,E G-F D,E H=F B ,:*\ \triangle C G E\hookrightarrow\triangle A H E,\ \therefore\ (C G)/(A H) = (E G)/(E H) = (E G)/(E H) 即\begin{array}{r l}&{(C D-E F)/(A H){=}(F D)/(F D+B D),}\\ &{\therefore(3-1.6)/(A H){=}(2)/(2+15),{\therefore..}A H{=}11. 9 ,}\end{array} 。答:旗杆 A B 的高度为 13, 5 ~m~ 。
21.(1)设直线 B C 的解析式为 y=k x+b .将 B( 5 ,40 ) ,C( 17 ,88 ) )分别代人 y=k x+b ,得 \scriptstyle{\binom{5k+b=40}{17k+b=88}} 解得 \binom{k=4}{b=20} , ,直线 B C 的解析式为 y=4x+20 ,当 x=0 时, y=20 ,∴楼顶距离地面的高度为 20rm{m} .()由题图知 a=40/5=8 ,t=17-88/8=6 .5+6=11,\therefore F(11,40) .设直线 F C 的解析式为 y=k^{\prime}x+b^{\prime} .将 F(11,40) ,C(17 ,88) )分别代入 y=k^{\prime}x+b^{\prime} ,\displaystyle{\binom{11k^{\prime}+b^{\prime}=40}{17k^{\prime}+b^{\prime}=88}} , \left\{\begin{array}{l l}{{k^{\prime}=8 ,}}\\ {{\displaystyle{b^{\prime}=-48 ,}}}\end{array}\right. 得 解得,直线 F C 的解析式为 y=8x-48 .( 3 )x 的值为 ,或 .
22.(1)过 B 作 B M\bot C D 于点 M ,如图1:· :\angle A=90°,A D=6 ,A B=8 , ,\bullet,B D=√(A B^{2)+A D^{2}}=10 ,在Rt△BDM 中, sin\_B D C=(B M)/(B D)=(2)/(5) \therefore B M{=}B D{x}(2)/(5)=4 , 即点 B 到 D C 的距离为4.
(2) ① 连接 B E ,如图2:
由()知, B M=4 ,
∵ \tan C{=}(4)/(3) ,
∴ * C M{=}3 ,
\therefore B C{=√(C M^{2)+B M^{2}}}=5 ,
\therefore A E{=}4 ,A B{=}8 ,\angle A{=}90°, ,
\mathbf{\dot{\mu}}* B E={√(A E^{2)+A B^{2}}}=4{√(5)} ,E F 是 \odot B 的切线,\therefore B F\bot E F ,
\therefore E F{=√(B E^{2)-B F^{2}}}={√(55)}
②E F{=}5 或11.
【提示:过 F 作 F G\bot A B 于 G ,如图3:
∵ *\angle A {=} 90° ,E F//A B ,
∴四边形AEFG 为矩形,∴ F G{=}A E{=}4 , A G{=}E F ,
在 Rt\triangle B F G 中, B G{=√(B F^{2)-F G^{2}}=} 3 ,
:A G\left( G^{\prime} \right)=A B± B G\left( G^{\prime} \right)=5 或 11, \therefore E F=5
或11.】
23.(1)抛物线 y=x^{2}-2a x+b 的对称轴为直线 x=- {(-2a)/(2)}=a=2. 将(3,0)代入 y=x^{2}-4x+b ,得 9-12+b=0 ,解得b {=} 3 ,∴抛物线的解析式为 y=x^{2}-4x+3 .抛物线与 \boldsymbol{\mathscr{x}} 轴的另一个交点的坐标为(1,0).(2){>}\because y=x^{2}-2a x+b=(x-a)^{2}-a^{2}+b, ,∴抛物线的顶点坐标为 (a ,-a^{2}=+b) ).∵点 (a,-a^{2}+b) )在直线 y=2x+4 上,\therefore-a^{2}+b=2a+4 ,\therefore b=a^{2}+2a+4=(a+1)^{2}+3. .∵ 1>0 ,∴当 a=-1 时, * b 取得最小值,最小值为3.② 当 b=3 时, y=x^{2}+2x+3 ,将此抛物线向下平移m(m{\>}0) )个.单位长度后抛物线的解析式为 y=x^{2} +2x+3-m ,其对称轴为直线 x=-1 .设点 A ,B 到直线 x=-1 的距离均为 n ,易知 n 随m 的增大而增大.当点 B 与点 O 重合时,将 ( 0 ,0 ) )代人 y=x^{2}+2x+3 -m ,解得 m=3 .当点 A,B 都在原点的左侧时,则 A O{=}1{+}n,B O{=}1{-}n. .当AO>3BO 时,1+n>3(1-n),∴n> 1 .若 n=(1)/(2) ,则 B(-(1)/(2),0) 把 (-(1)/(2),0) )代入 y=x^{2}+2x+3-m ,得 (-(1)/(2))^{2}+2x(-(1)/(2))+3-m=0 , ,
解得 m=(9)/(4)
\therefore{(9)/(4)}{<}m{<}3.
当点 A ,B 在原点的异侧时, A O{=}1+n ,B O{=} n-1 .当 A O{>}3B O 时, ,1+n>3( n-1) ),解得 n{<}2 .
若 n=2 ,则 B(1,0) ).
把(1,0)代入 y=x^{2}+2x+3-m ,得 1^{2}+2x1+3- m=0 ,解得 m=6 ,
\therefore3{<}m{<}6 .
综上, m 的取值范围为 (9)/(4){<}m{<}3 或 3<m<6 .
\mathbf{24.\Sigma(1)}①{24} 【提示:如图1,过点 D 作 D M\bot A B 于点 M ,∵ \angle B=\angle C=90° ∴比四边形BMDC 是矩形,∴C D=B M,D M=B C=8 ,\therefore A M={√(A D^{2)-D M^{2}}}={√(68-64)}=2.\ {\dot{*}},C D=B M =A B-A M=4.1 】\odot*:A M=2 ,A E=2 ,. ∴点 M 、点 E 重合,∴ B E= C D=4 ,
如图2,作 E C 的垂直平分线交 B C 于点 P ,交 A D 于点 P^{\prime} ,以点 B 为坐标原点,BC、BA 为坐标轴建立平面直角坐标系, ,E P=C P , E P^{\prime} {=} C P^{\prime} .
当 E P=C P 时,
动点 P 运动的路径长为 x\left(\ldots-0\right), \therefore B P=x,E P =C P=8-x ,
在 Rt\triangle B E P 中, B E^{2}+B P^{2}=P E^{2} , \dot{\bf{\Omega}}\dot{\bf{\Omega}}, \dot{\bf{\Omega}}\dot{\bf{\Omega}}\dot{\bf{\Omega}}\dot{\bf{\Omega}}\dot{\bf{\Omega}}\dot{\bf{\Omega}}\dot{\bf{\Omega}}\dot{\bf{\Omega}}\dot{\bf{\Omega}}\dot{\bf{\Omega}}\dot{\bf{\Omega}}\dot{\bf{\Omega}}\dot{\bf{\Omega}}\dot{\bf{\Omega}}\dot{\bf{\Omega}}\dot{\bf{\Omega}}\dot{\bf{\Omega}}\dot{\bf{\Omega}}\dot{\bf{\Omega}}\dot{\bf{\Omega}}\dot{\bf{\Omega}}\dot{\bf{\Omega}}\dot{\bf{\Omega}}\dot{\bf{\Omega}}\dot{\bf{\Omega}}\dot{\bf{\Omega}}\dot{\bf{\Omega}}\dot{\bf{\Omega}}\dot{\bf{\Omega}}\Omega\Omega\Omega. x)^{2} ,解得 x=3 ;
当 E P^{\prime} {=} C P^{\prime} 时,
:A B=6 ,B C=8 ,B E=C D=4 ,\dot{\bullet}* A(0 ,6) ,D(8 ,4) ,C( 8 ,0 ) ,E( 0 ,4 ) ),
y{=}k x{+}b,\therefore\binom{18k{+}b{=}4}{b{=}6} ,设直线 A D 的解析式为 解得\binom{k=-{(1)/(4)}}{b=6}, 4 ∴直线AD 的解析式为y=- y=-(1)/(4)x+6 设 P^{\prime}(\phi,-(1)/(4)\rho+6) ,\begin{array}{l}{{\therefore E P^{\prime}=C P^{\prime},\therefore\;\displaystyle{β^{\prime}+\;(-(1)/(4)\phi+6-4)^{2}}=(8-p)^{2}+}}\\ {{}}\\ {{(-(1)/(4)\phi+6)^{2} ,\therefore\;\displaystyle{β^{\prime}=(16)/(3).\:/P^{\prime}D=12+(2√(17))/(3)\;,}}}\end{array} 综上,x=3或12+2 17;(2)证明: \because E P\bot P D,\angle B{=}\angle C{=}90° ,\therefore\angle B E P+\angle B P E{=}\angle B P E{+}\angle C P D-{\ 90}°, ,∴∠BEP=∠CPD,∴△EBP∽△PCD.∴CBPE=CBDP,即 (4)/(C P)=(8-C P)/(4) ,解得 C P=4 ,\therefore B P=C P=4 ,∵ \mathbf{\nabla}*\boldsymbol{B}\boldsymbol{E}=C\boldsymbol{D}=4 , \angle B=\angle C=90° ,\therefore\triangle B E P{\overset{\underset{\rightharpoonup}{\otimes}}{=}}\triangle C D P({SAS}) ;(3)sinα的值为168+x264+(12-x)2。 或16(12-x)【提示: ① 当 ①<xless8 时,如答图3,作点 B 关于 E P 的对称点 B^{\prime} ,连接 E B^{\prime},P B^{\prime} ,过点 B 作 B F\bot E B^{\prime} 于点 F ,
\bullet. \triangle E B P \triangle \triangle E B^{\prime} P , B B^{\prime} \bot P E, \angle E B P-\angle E B^{\prime} P
={90}° , \therefore P E{=√(x^{2)+16} ,}S_{\triangle E B P}{=}S_{\triangle E B^{\prime}P} {=} 2x{,}B E{=}B^{\prime}E{=}4, ,
∴ B K=B^{\prime}K=(4x)/(√(16+x^{2))} \mathbf{\dot{*}}* E K=√(B E^{2)-\ B K^{2}}=(16)/(√(16+x^{2))},
\begin{array}{l}{{⟨\;*\;S_{\triangle B^{\prime}E B}\;=\;(1)/(2)\;B B^{\prime}\;*\;E K\;=\;(1)/(2)x\;(8x)/(√(16+x^{2))}\;x}}\\ {{⟨\;(16)/(√(16+x^{2))}=(1)/(2)B^{\prime}E* B F,}}\\ {{⟨\;*\;B F=(32x)/(16+x^{2)},}}\\ {{⟨\;*\sinα=\sin\angle B E=(B F)/(B E)=(8x)/(16+x^{2)};}}\end{array}
② 当 8{<}x{<=slant}12 时,如答图,作点 B 关于 E P 的对称点 B^{\prime} ,连接 E B^{\prime} ,P B^{\prime} ,P B ,
过点 B^{\prime} 作 B^{\prime}Q\bot B A 于点 Q ,过点 P 作 P H\bot B A 于
点 H ,
∴四边形PCBH 是矩形,
\therefore P H=B C=8 ,B H=P C=x-8 , ,
\therefore E H=4-(x-8)=12-x ,
\bullet. P E=√(P H^{2)+E H^{2}}=√((12-x)^{2)+64} , ,
同理得 S_{\triangle P E B^{\prime}} {=} S_{\triangle P E B^{\prime}} {=} (1)/(2)x4x8 {=} 16 ,B B^{\prime}\bot P E,
\therefore B B^{\prime}* P E{=}32 ,/B B^{\prime}{=}(32)/(√((12-x)^{2)+64)},
\therefore S_{\triangle B^{\prime}E B}={(1)/(2)} B B^{\prime} * E K={(1)/(2)}x{(64)/(√((12-x)^{2)+64)}}x
{(4(12-x))/(√((12-x)^{2)+64)}}={(1)/(2)}B E* B^{\prime}Q , ,
. :B^{\prime} Q = {(64(12-x))/((12-x)^{2)+64}} (64(1x2)-2x).∴sinα = sin ∠B'EQ
=(16(12-x))/(64+(12-x)^{2)}. {\bf1}
2025年河北省普通高中招生考试
中考模拟试卷(二)
1.D 2.D 3.C 4.D 5.B 6.C
7 【解析】方法一:如图,延长 C A 至点 F . A E= A C,\therefore\angle2=\angle A C E, \therefore\angle E A F=2\angle2. 又∵ \angle1= \angle3+\angle B=\angle3+60°, \therefore2\angle2-\angle1=\angle E A F-\angle3 - 60°=\angle B A F+\angle4-60°=90°+45°-60°=75°. 方法二:如图,设 \angle E A C{=}α ,则 \angle3=90°-\angle4-α=45° -α,\dot{\bullet}\angle1=\angle3+\angle B=45°-α+60°=105°-α. .∵A E{=}A C,{\star}2\angle2{=}180°-α,2\angle2-\angle1=180°-α- (105°-α)=75° .
8.B 9.D 10.D
11.C 【解析】如图,设 E F,B D 交于点 P .由折叠知 E F 垂直平分 B D,\dot{*}* D P=B P=3 .易证 \triangle D P F{\cong}O B{*} -P E,\dot{\bullet}* P E{=}P F{=}4 ,\dot{\bullet}* D F{=} √((D P^{2)+P F^{2} )}=5. .过点 P 作 P M\bot C D 于点 M ,延长 M P 交 A B 于点 N ,则利用“等面积法”易得NP=MP=DPD·FPFstyle{(12)/(5)},\therefore M N={(24)/(5)},\ \because\ A B\left/\right/C D,\ \therefore\triangle D O F\left/\omega\triangle B O A. ∵ADBF= 5 ,∴点O 到CD,AB 的距离之比为5∶7,∴点 O 到 C D 的距离为 (5)/(12)M N=(5)/(12)x(24)/(5)=2 .
12.A 【解析】易知 A B{=}O A{=}1 ,∴正六边形ABCDEF的周长为6,∴点 M 运动一周用时 6/{(1)/(2)}=12 (秒).\dot{}\dot{}2\dot{}\dot{}\dot{}\dot{}\dot{}\dot{}\dot{} 第2025秒时点 M 的位置与第9秒时点 M 的位置相同,即与 E F 的中点重合,如图所示,此时OM= 3 . 过点N 作NH⊥x轴于点H,易证△NHP≌△POM,∴PH=OM= 3 , NH=O P=2.:* O H{=}2+(√(3))/(2),\therefore N(2+(√(3))/(2),2).
13.< 14.0 15.2或7
16() () (4√(3)+12) )
【解析】(1)易知无盖长方体盒子的底面为正方形,其边长为 √(900) {=} 30 (cm) ),∴被剪掉的小正方形的边长是 5~cm .(2)如图,连接 A B ,由题意,得 \angle A C B=120°,A C= B C,\therefore\angle C A B=\angle C B A=30°,A B{=}{√(3)}A C{=}6{√(3)} .易知 P,A ,B ,Q 四点共线,∴四边形 P Q I H 是矩形,∴ H I=P Q=P A+A B+B Q=8+6√(3) .过点 D 作
P H 的平行线,分别交 P Q,H I 于点 F ,G ,则 D G\bot H I.\ \because\angle F A D=180°-\angle C A B-\angle C A D=60°. .∴F D=(√(3))/(2)A D=2√(3) ,\angle A D F=30°, \dot{\bullet} \angle E D G=60°, \begin{array}{r}{\therefore D G{=}(1)/(2)D E{=}3 ,\therefore F G{=}3 {+} 2√(3) , {\dot{\bullet}} {*} H T{=}6 {+} 2 x}\end{array} (3+2/3 )=4/3+12. \}*3+6/3-(4√(3)+12 )=2/3- 4<0 ,∴这个矩形纸板较长的边长为 ( 4√(3)+12 )cm .
17.(1)若 C 为原点,则 a=-3 ,b=-2 ,\dot{\bf\Delta}*a^{2}b=(-3)^{2}x(-2)=-18. .(2)右∵ * a+b+c=0 ,∴点 O 在 B C 上.设 O B=x ,则 a=-x-1,b=-x,c=2-x ,* a+b+c=-x-1-x+2-x=0 ,解得 x=(1)/(3) \therefore b=-(1)/(3).
18 \ *(1)B-A=(a-1)^{2}-(a^{2}-1)=a^{2}-2a+1-a^{2}+1 =- 2a+2=- 2(a-1) . \because a>1,\dot{\bullet}*a=1>0 ,\dot{\bullet}*-2(a-1)<0 , , \therefore B{-}A{<}0 ,\therefore B{<}A. . (2)(1)/(B)/(1)/(A)-1=(1)/((a-1)^{2)}/(1)/(a^{2)}-1=(a^{2}-1)/((a-1)^{2)}-1= \scriptstyle{((a+1)(a-1))/((a-1)^{2)}}={(a+1)/(a-1)}-1={(a+1-a+1)/(a-1)}={(2)/(a-1)}.
1 \mathbf{9.\Sigma(1)}①100②30%③72 ( :) 3000x40 %=1200 (人)该校 名学生中,喜欢小品节目类型的人数是 人;(3)把歌舞、相声、小品、其他用A、B、C、D 表示,画树状图如下:
共有12种等可能的结果,其中恰好喜欢歌舞和小品的结果有 种,“∴恰好甲和丁同学被选到”的概率为 {(2)/(12)}={(1)/(6)}
20.(1)如图,延长BA 交 C E 于点 G ,
由题意得: B G\bot C G,C G{=}B D , \angle A E G=48° , \angle A C E =24° , C E{=}15 米,
∵ \angle A E G 是 \triangle A E C 的一个外角,∴ \angle E A C= \angle A E G-\angle A C E{=}24° ,
∴ .\angle E A C{=}\angle A C E{=}24°,\therefore E A{=}E C{=}15 米。
在 Rt\triangle A E G 中, {},E G{=}A E*{cos}48°{\approx}15{x}{(2)/(3)}{=}10( (米),∴ \scriptstyle B D=C G=E G+E C=10+15=25 ( (米),
∴广告牌 A B 与楼 C D 之间的距离 B D 约为25米.(2)该广告牌的高度符合要求,
理由:由题意得: G B=C D=26 米,
在 Rt\triangle A E G 中, A E=15 米, E G=10 米,
. :A C={√(A E^{2)-E G^{2}}}={√(15^{2)-10^{2}}}=5{√(5)} (米),∴ .A B=B G-A G=26-5/5\approx15 (米).
市政规定此处的广告牌的高度不高于 米,且不低于 米,该广告牌的高度符合要求
21.(1)设原计划 X 天完工.根据题意,得 {(10)/(x)}+{(x)/(x+20)}=1 ,解得 x=20 .经检验, _{x}=20 是原分式方程的解.答:原计划20天完工.()易知甲工程队单独完成这项工程需要 天,乙工程队单独完成这项工程需要40天.若两工程队合作,且甲工程队施工 m 天,乙工程队施工 n 天,恰好按时完成,费用为 _y 元,则 (m)/(20)+(n)/(40)=1 ,y=1~200m+500n* ,\therefore n=40-2m ,∴ y=1~200m+500(40-2m)=200~m+20~00( 0.由题知 \begin{array}{c}{{m\ll30 ,n\ll30 ,\dot{\bullet}*40-2m\ll30 ,5\llm\ll30.}}\end{array} 对于 y=200~m+20~000 ,y 随 m 的增大而增大,∴当 m=5 时, y 取最小值,最小值为21000,此时 n =30 .
故甲、乙两工程队合作施工5 天,再由乙工程队单独施工25天,工程费用最少,最少为21000元.
{\sf22}.\;(1)3√(10) 解法提示:连接 O C ,则 O C=5 .{\bf\nabla}*{\cal A}{\cal B}\perp{\cal C}{\cal D}*{\cal C}{\cal D}=6 . ,. .C E{=} D E{=} 3 ,\therefore O E{=√(O C^{2)-C E^{2}}}=4 . ,\therefore A E=4+5=9 ,\therefore A C{=√(A E^{2)+C E^{2}}}{=}3{√(10)} .(2)如图1,连接 O P .
\bullet A B\bot C D ,
\therefore\angle Q A E+\angle Q{=}90° ,
\therefore\angle Q A E{=90°}{-}\angle Q{=40°} . ∵ *{\mathit{O P}}={\mathit{O A}} ,
\therefore\angle O P A\mathop{=}\angle P A O=40°, , ,\angle A O P=100° ,
\therefore l_{A P}=(100πx5)/(180)=(25π)/(9).
()如图,连接 P C,P B .
∵ A B 是 \odot O 的直径,
∴ .\angle A P B{=90°} ,
∴ \angle2+\angle Q{=}90° .
又∵ \angle3+\angle B{=}90° , \angle2=\angle3 ,\angle B=\angle Q .又∵ \angle1=\angle B
∴ \angle1=\angle Q .
又∵ \angle C A P=\angle Q A C ,
\therefore\triangle C A P\triangle Q A C ,
\therefore{(A C)/(A Q)}{=}{(A P)/(A C)},** A C^{2} {=}{A Q}* A P. 又 \because P 是 A Q 的中点,
. .A C^{2}=2A P^{2} ,
\therefore A P=(A C)/(√(2))=3√(5) . .
23.(1)抛物线 y=a.x^{2}+b x+1 经过点 \left(1,6\right),\left(-2,3\right) ,\binom{6=a+b+1}{3=4a-26+1} 解得 \underset{b=3,}{a=2 ,}\dot{\dots}_{a,b} 的值分别为2,3.,(2)\stackrel{\bullet \bullet}{\bullet}3a+6=0. \dot{\bullet }b=-3a ,\dot{\bullet }y=a x^{2}-3a x+1 ,\therefore y=a x^{2}-3a x+1=a(x-(3)/(2))^{2}+(4-9a)/(4), ∴抛物线顶点坐标为 ((3)/(2),(4-9a)/(4)) ① 当 a>0 时,抛物线开口向上,\because{(3)/(2)}-(-1)>2-{(3)/(2)}, ,∴ x=-1 时, y=a+3a+1=4a+a 为最大值,即 4a+1 {=} 9 ,解得 a=2 .② 当 a<0 时,抛物线开口向下, x=(3)/(2) 时, y 取最大值,∴ (4-9a)/(4)=9 ,解得 a=-(32)/(9) 综上所述, a=2 或 a=-(32)/(9) ·(3) ① 当 x=0 时, {y=1} ,所以 A 点坐标为(0,1)O^{\bullet}*\left(t,1\right),\left(0,1\right) )均在抛物线上,∴抛物线 y=a.x^{2}+b x+1 的对称轴为直线 x=- {(b)/(2a)}={(t)/(2)}. ∵抛物线经过 ( - 2 ,m) ,( - 3 ,n) ),. * m=4a-2b+1 ,n=9a-3b+1 ,又∵ 1{<}n{<}m ,\therefore1{<}9a{-}3b{+}1{<}4a{-}2b{+}1{,}\dot{\bullet}1{-}3a{<}{-}b{<}{-}5a. ,{\because} a<0 ,\therefore-(3a)/(2a)>-(b)/(2a)>-(5a)/(2a), \therefore-(5)/(2){<}(t)/(2){<}{-}(3)/(2),\dot{*}{-}5{<}t{<}{-}3.
24()解法提示:由题意知,点 E 在以点 B 为圆心,半径为2的圆上运动,
∴当点 E 落在 A B 上时,点 A ,E 之间的距离最小,
如图1.
由题意易得 A E=A B-B E=6-2=4 , D E=B E
=2 ,.A D{=}√(A E^{2)+D E^{2}} {=}sqrt[2]{5} .
(2) ① 证法一:如图2,分别取 A B,B D 的中点 M ,N ,连接 O M,C M,O N,E N. .
ABC 为等腰直角三角形, \angle A C B=90°,M 为
A B 的中点,
\therefore C M=(1)/(2)A B,\angle A M C=90°.
∵ O 为 A D 的中点, M 为 A B 的中点,
∴OM 为 \triangle A B D 的中位线,
\therefore{\cal O}M{=} (1)/(2)B D,{\cal O}M/B D :\angle A M O=\angle A B D,\therefore\angle C M O=90°-\angle A B D. .
同理可得 E N=(1)/(2) B D, O N=(1)/(2) A B, O N / A B,
\angle O N E{=90°}{-}\angle A B D ,\therefore C M{=}O N,O M{=}\cal E N,\angle C M O{=}\angle O N E. ,\colon\triangle O C M\cong\triangle E O N.\:\:\therefore\:\angle O C M=\angle E O A ,OC
=O E .
\because O N//A B,C M\bot A B,\therefore C M\bot O N, ,
\therefore\angle E O N+\angle N O C=\angle O C M+\angle N O C=90°, ,\therefore O C\bot O E .
证法二(倍长类中线法):如图3,延长 E O 到点 F ,使
得 O F{=}O E ,连接 A F,C F,C E .
:O A=O D,\angle A O F=\angle D O E,O F=O E, ,
∴ \triangle A O F{\cong}\triangle D O E ,
∴ \angle O A F{=}\angle O D E,A F{=}D E, ,
\therefore A F//D E .
∵ \' D E=B E,\therefore A F=B E. .
*\angle D E B{=}90°,B E\bot D E, ,
\mathrel{\phantom{+}}* B E\perp A F .
延长 B E 交 A F 的延长线于点 H ,则 \angle A H B{=90°} ,∴ \angle H A B+\angle A B H=90° .
易知 \angle C A B=\angle C B A=45° ,
\therefore\angle2+\angle A B H{=}45°{=}\angle1 +\angle A B H, ,
∴ \angle2=\angle1 .
又∵ 'A C{=}B C,A F{=}B E ,
\therefore\triangle A C F{\cong}\triangle B C E ,
∴ C F{=}C E , \angle A C F=\angle B C E .
又∵ \angle A C E+\angle B C E=\angle A C B=90° ,
∴ ,\angle F C E=\angle A C F+\angle A C E=\angle B C E+\angle A C E =90° ,
∴ \triangle C E F 是等腰直角三角形.
又∵ O E{=}O F ,
∴ .O C\bot O E,O C{=}O E. .
② 设 O C=x ,则 O E=x .
当点 A,D,E 共线时,分两种情况讨论.
a .当点 E 在线段 A D 上时,如图 {~\boldmath~{~π~~}}_{{\scriptsize{~\it{G~}}}}{\scriptsize{~\it{O~}}}={\it{O}}{\scriptsize{~\cal{D=~}}}{\it{O}}{\it{E}} +D E{=}x{+}2 .∵ \bullet\triangle A B C 是等腰直角三角形, A B=6 ,
\mathbf{\partial}*{.}A C{=}{(√(2))/(2)}A B{=}3/2 .
在 Rt\triangle A C O 中, A C^{2} {=} O C^{2} {+} A O^{2} ,
即 (3{√(2)} )^{2}=x^{2}+(x+2)^{2} , \dot{\dots} x=2√(2)-1 (负值已舍去).
b .当点 E 在线段 A D 的延长线上时,如图 5,A O= O D{=}O E{-}D E{=}x{-} 2 .
在 Rt\triangle A C O 中, A C^{2} {=} O C^{2} {+} A O^{2} ,即 (3{√(2)} )^{2}=x^{2}+(x-2)^{2} ,x=2 _x {=} 22 {+} 1 (负值已含去).
综上,当点 A ,D ,E 共线时, O C 的长为 2√(2)-1 或2
√(2)+1 .
(3){(13{√(14)}-36)/(10)}.
解法提示:易得 B D=2√(2) .
由题意知,点 D 在以点 B 为圆心,半径为 2√(2) 的圆
上运动,∴当 A D 与 \odot B 相切时, \angle B A D 最大,如图6,. .\angle A D B=90°=\angle A C B. .
又∵ \angle B P D=\angle A P C ,
\therefore\triangle B P D~\angle A P C ,
\therefore{(D P)/(C P)}{=}{(B D)/(A C)}{=}{(2{√(2)})/(3{√(2))}}{=}{(2)/(3)}.
设 \scriptstyle D P\;=\;2a ,C P\;=\;3a ,则 B P=3√(2)-3a ,
\therefore(2a)^{2}+(2√(2) )^{2}=(3√(2)-3a)^{2} , ,
解得a92-47 (不合题意的值已舍去),
\therefore D P{=}{(18{√(2)}-8{√(7)})/(5)}.
\bullet{\mathit{A D}}={√(A B^{2)-B D^{2}}}=2{√(7)} ,
\therefore O D{=}√(7) ,
{\therefore}O P{=}√(7)-{(18√(2)-8√(7))/(5)}={(13√(7)-18√(2))/(5)}.
过点 E 作 E Q\bot A D 于点 Q .
易知 \angle E D Q=90°-45°=45° ,
\therefore E Q=D E*\sin{45°}=√(2) ,
\begin{array}{r l}&{\therefore S_{\triangle o r c}=(1)/(2) O P* E Q=(1)/(2)x(13√(7)-18√(2))/(5)x√(2)}\\ &{=(13√(14))/(10).}\end{array}
