期末测试

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分)

每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的.

1.抛物线 y=(x-1)^{2}+2 的顶点坐标是

A. (-1,2) B.(-1，-2) C.(1，-2) D. (1,2)

2.已知线段α,b,c 满足， ,其中 \boldsymbol{a}=4~cm ， b=12~cm ,则 c 的长度为

A.9 cm B.\18~cm\qquad\qquadC.\24~cm\qquad\qquadD.\36~cm

3.已知反比例函数的表达式为 y{=}(-6)/(x) ,则它的图象经过点

A. (1,3) B.(1,-3) C.(-1,3) D.(-2,3)

4.在 \triangle A B C 中， \angle C{=90°} B C{=}8 ,A B{=}17 ，则 cosA= A. (15{17}} B. /{8)/(17) C. (8)/(15) D. 15

5.将函数 y=2x^{2}+4x+1 的图象向下平移2个单位长度，以下结论正确的是 (C）

A.开口方向改变 B.对称轴位置改变C, y 随 x 的变化情况不变 D.与 _y 轴的交点不变

6.如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点 A,B,C 都在横线上.若线段 A B=3 ，则线段BC的长是（C）

A. (2)/(3) B.1

第6题图

第7题图

7.如图，在离铁塔 B C 底部30米的 D 处，用测角仪从点 A 处测得塔顶 B 的仰角为 α {=} 30° ，测角仪高 A D 为1.5米，则铁塔的高 B C 为（B)

A.16.5米 B. (10√(3)+1. 5) 米 C.(15 5 √(3)+1.5) 米 D. ( 15 √(2) +1. 5 ) 米

8.如图， ,D,E 分别是 \triangle A B C 的边 A B ,B C 上的点，且 D E//A C,A E,C D 相交于点 O. 若 S_{\triangle D O E} S_{\triangle C O A}=1:\;9 ，则 S_{\triangle B D E} 与 S_{\triangle C D E} 的比是（B）

~A,~1~\colon3 B.1:2\qquad\qquadC.1:4\qquad\qquadD.1:9

9.将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形 A B C D ，连接 A C ，则\scriptstyle{\tan\angle C A B=} (A）

(1)/(2) B. (√(2))/(2) (√(3))/(3) D. (2)/(3)

10.如图，正方形 A B C D 的边长为 3~{cm} ，动点 P 从点 B 出发，以 3~cm/s 的速度沿着边 B C-C D-D A 运动，到达点 A 停止运动；另一动点Q同时从点 B 出发，以 1~{cm/s} 的速度沿着边 B A 向点 A 运动，到达点 A 停止运动.设点 P 运动时间为 x\left(s\right) \triangle B P Q 的面积为 _{y}(cm^{2} ) ，则 y 关于X 的函数图象是 （D）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11.已知 α 是锐角，若 \sinα=\cos15° ，则 α=75°
12.如图， C 是靠近点B的黄金分割点.若 A B=10~cm ，则 \begin{array}{r l}{A C{=}}&{{}(5√(5)-}\end{array} 5） cm.（结果保留根号）

第13题图

13.如图，点 A 是 y=(k)/(x)(x>0) 图象上的一点，点 B 是 \boldsymbol{\mathscr{x}} 轴负半轴上一点，

连接 A B ,交 _y 轴于点 C. 若 A C=B C,S_{\triangle B O C}=1 ，则 k 的值是_414.图1是一种手机托架，使用该手机托架示意图如图3所示，底部放置手机处宽 A B=1, 2 厘米，托架斜面长 B D=6 厘米，它有 C 到 F 共4个档位调节角度，相邻两个档位间的距离为0.8厘米，档位 C 到 B 的距离为2.4厘米.将某型号手机置于托架上（图2)，手机屏幕长 _{A G} 是15厘米 ,O 是支点，且 [O B{=}O E{=}2. 5 厘米(支架的厚度忽略不计).

(1)当支架调到 E 档时，点 G 离水平面的距离 G H 为 (45\ {√(34)})/(34) 厘米；(2)当支架从 E 档调到 F 档时，点 D 离水平面的距离下降了 (48)/(25) 厘米.三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15.计算： \sin45°\bullet\cos45°-\tan60°/\cos30°

16.如图，在 \triangle A B C 中， \angle A B C=45°,A D 是 B C 边上的中线，过点 D 作D E\bot A B 于点 E ,D B=3 √(2)

(1)求 B E 的长；
(2)若 sin<DAB=, ，求AD 的长.

四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17.如图，一次函数 y_{1}=k x+b 与反比例函数 y_{2}=(6)/(x) 的图象交于点 A (3，m） ,B(n,-3) (1)求一次函数的表达式；(2)在图中画出一次函数的图象，并根据图象直接写出 y_{1}>y_{2} 的自变解：(1)把A(3,m),B(n,-3)代入y=，得 m=

18.如图，图中的小方格是边长为1的正方形， \triangle A B C 与 \triangle A_{1}B_{1}C_{1} 是以点 O 为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上.

(1)画出位似中心 O
(2)求出 \triangle A B C 与 \triangle A_{1}B_{1}C_{1} 的相似比；
(3)以点 O 为位似中心，在图中画一个 \triangle A_{2}B_{2}C_{2} ，使它与 \triangle A B C 的相

似比等于 3:2 解：(1)如图所示。 (2)相似比为 1:2, (3)如图所示.

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19.已知：如图，△ABD△ACE.求证：

(1)\angle D A E{=}\angle B A C;
(2)△DAE△BAC.
证明：(1)△ABD△ACE,
\backslash\angle D A B=\angle E A C
DAB+BAE=EAC+BAE, 即 \angle D A E{=}\angle B A C

(2):△ABD△ACE,=A=A DAE=BAC,△DAE△BAC.

20.二次函数 y=a.x^{2}+b x+4 的部分对应值如表所示：

(1)求二次函数的表达式，并求其图象的对称轴；

(2）点 (m,y_{1}) ,(2-m,y_{2}) 是其图象上的两点.若 m>(3)/(2) 则 y_{1}\_>\_y_{2} （填“ > < ”或“ \r=\r^{\bullet})

六、(本题满分12分）

21.某兴趣小组借助无人机航拍校园，如图，无人机从 A 处水平飞行至 B 处需 8 ~s~ ，在地面 C 处同一方向上分别测得 A 处的仰角为 75°,B 处的仰角为 30° .已知无人机的飞行速度为 4 rm{m}/rm{s} ，求这架无人机的飞行高度.（结果保留根号）

解：过点 A 作 A D\perp C B , 垂足为 D 过点 B 向水
平线作垂线 B H ，垂足为 H
由题意，得 \angle A C H=75° \angle B C H=30° ，AB//
CH,
\ddots\angle A B C{=}\angle B C H{=}30°,\angle A C B{=}45°.
又A \scriptstyle1B=4x8=32,A D\perp B C

七、（本题满分12分）

22.某公司销售一种商品，进价为20元/件，经过市场调查发现，该商品的日销售量 y\prime （件）与当天的销售单价 x （元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：

(1)求 _y 与 x 的关系式；
(2）求该商品每天获得的利润 \boldsymbol{\varpi} （元）的最大值；
(3)若因批发商调整进货价格，该商品的进价变为 m 元，该公司每天的销量与当天的销售单价的关系不变，该公司为了不亏本，至少需按30元/件销售，而物价部门规定，销售单价不超过52元，在实际销售过程中，发现该商品每天获得的利润随 _{x} 的增大而增大，则 m 的最小值为_24·

解：(1)设每天的销量y(件)与当天的销售单价 x(π) 满足的一次函数关系式为 \mathbf{y}=k x+b

当 x=30 时， y=500 ；当 x=35 时， y=450 ，代入，得

答：该商品每天获得的最大利润为 9~000~\bar{π} 八、（本题满分14分）

23.如图，在 \triangle A B C 中， \angle C{=}90°{,}A C{=}B C{,}D 为边 B C 上一动点(不与 B ，C 重合）， B D 和 A D 的垂直平分线交于点 E ，连接 A D,A E,D E 和 B E E D 与 A B 相交于点 F ，设 \angle B A E{=}α (1)请用含 α 的代数式表示 \angle B E D 的度数；(2)求证： \triangle A C B\triangle A E D

(3)若α=30°，求 的值.

.E A=E B=E D \therefore\angle E A B=\angle E B A ,\angle E D B=\angle E B D. \ ',\angle E B A=\angle E A B=α ，贝 \because\angle E D B=\angle E B D=45°+α. \therefore\angle B E D=180°-(\angle E D B+\angle E B D)=90°-2α. (2)证明：由( 1) k\circ:\angle B E D=90°-2α :\angle A E D=180°-\angle B E D-\angle E A B-\angle E B A=180°-(90°-2α)-2α=90° °*\angle E A D=\angle E D A=45° \prime\angle A C B=\angle A E D=90°,\angle C A B=\angle E A D=45°, △ACBS△AED.(3)由(2)知：EAD=CAB=45°，\because\angle E A F+\angle D A F{=}45°,\angle C A D{+}\angle D A F{=}45°. .\angle C A D=\angle E A F \angle C A D=\angle E A F=α=30°,\angle A C D=90° ：在 Rt{\triangle}A C D {\phi}\ {,}(A C)/(A D){=} cos30°{=}(√(3))/(2). \ensuremath{°}\angle C A D=\angle E A F,\angle A E F=\angle A C D=90° △AEF△ACD.

2024一2025学年安徽省合肥市蜀山区九年级（上）期末数学试卷

（时间：120分钟满分：150分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分)每小题都给出A，B,C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的.

1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是

2.在 \triangle A B C 中 \angle C{=}90°,\sin A{=}{(3)/(5)} ,则 cosA 的值是

(4)/(5) 3 (3)/(4) B. D. 5 3

3.点 P(1,-4) 在反比例函数 (k≠0)的图象上,则该函数图象一定经过点

A.(2,2) B. (4,1) C.(-1,-4) D.(-2,2)

4.将一副三角板按如图所示的方式叠放，则 \triangle A O D 与 \triangle B O C 的面积之比为 （B）

A.1:√3 B.1:3 C.1:√2 D.1:2

5.某小型水库拦水坝的横断面如图所示，背水坡 A B 的坡度 i=2:1 ，测得坝高 B C=6 ~m~ ,则坡面 A B 的长度为 (C)

A, 3 ~m~ B.3√3 m C,3 √(5)~m~ D (3)/(2)√(5)~m~

6.如图， D 是 \triangle A B C 边 A B 上一点，且 A C^{2}=A D* A B ，若 \angle A=60° \angle B C D=40° ，则 \angle B 的度数为 （A）

A, 40° B.45° C, 50° D.55°

7.函数 y_{1}=a x^{2}+b x+c(a\neq0) 与 (k≠0)的图象如图所示,若y,y2均随着 x 的增大而增大,则 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的取值范围可以是 AA. x<-3 B,-3{<}x{<}{-}1\quad~C,0{<}x{<}1\quad\qquadD,x{>}1

8.如图，在 \triangle A B C 中， \angle A B C 的平分线为 B D ,D E//A B 交 B C 于点 E ，若A B=6 ,E C=1 ，则 A D:D C 的值是 （B）

~A,~2:~3~ B,2:1\qquad\qquadC,1:2\qquad\qquadD,3:2

第7题图

9.已知抛物线 y!=-x^{2}+2a x+a(a\neq0) 经过 A(a ,y_{1} ) ， B( 3a ,y_{2} ) 两点，则下列判断正确的是 (C)

A.可以找到一个实数 a ，使得 y_{1}<a B.无论实数 a 取什么值,都有 y_{1}<a C.可以找到一个实数 a ，使得 y_{2}<0 D.无论实数 a 取什么值，都有 y_{2}<0

10.如图，在 Rt\triangle A B C 中 *\angle A B C{=90°,}A B{=}B C{=}6{,}D 是平面上一动点，连接 A D,D C,E 是 D C 的中点，连接 B E ，当 A D{=}2,B E 的最大值为（D)

A.5 {B.~√(13)}\qquad\qquad{C.~3 √(2)}-1\qquad\qquad{D.~3} √(2)+1 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

11.已知 5x-4y=0(x y\neq0) (x)/(y) 的值是 (4)/(5)

12.如图， P 是 \odot O 外一点， P A 是 \odot O 的切线， A 为切点， P O 交 \odot O 于点 B C 是优弧 A C B 上一点，若 P A{=}√(3) P O=2 ，则 \angle B C A 的度数为30°

第12题图

第13题图

第14题图

13.如图，反比例函数 (k≠0)在第一象限内的图象经过平行四边形A B C O 的顶点 A ,O C 在 \mathscr{x} 轴上，若点 B,C 的坐标分别为 B\:( 1,2 ) ，C(-2,0) ，则实数 k 的值为_ \underline{{bf{it{6}}}}
14.如图，已知四个点 A(0,1) ,B(2,1) ,C(4,1) ,D(3 ,0) ，数学活动课中同学们分别画出了经过这四个点中三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式 y=a x^{2}+b x+c(a\neq0) (1)对应的函数表达式有_3_个；(2)所有函数表达式中 a+b+c 的最大值是_

16.已知 (a)/(2)=(b)/(3)=(c)/(4)\neq0 ,a-b+2c=7 求 3a-2b+c 的值。

M\ast/\dagger\&(a)/(2)=(b)/(3)=(c)/(4)=k ,
则 a=2k ,b=3k ,c=4k
由 a-b+2c=7 ，得 2k-3k+8k=7
解得 k=1,
则 \scriptstyle a = 2 , b = 3 ,c = 4.
当 a=2,b=3,c=4 时， ,3a-2b+c=3x2-2x3+4=4.

四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17.如图，在平面直角坐标系 x O y 中， \triangle A B C 的顶点坐标分别为 A\:(-3 ，-2) ,B(-1,-1) ,C(0,-3). (1)以点 B 为位似中心，在点 B 的上方画出 \triangle A_{1} B C_{1} ，使 \triangle A_{1} B C_{1} 与\triangle A B C 位似，且相似比为 2:1(A,C 的对应点分别是 A_{1},C_{1} ) (2)以点 O 为旋转中心，将 \triangle A B C 绕点 O 逆时针旋转 {90}° 得 \triangle A_{2}B_{2}C_{2} ，画出 \triangle A_{2}B_{2}C_{2}\left(A,B,C\right. 的对应点分别是 A_{2} ,B_{2} ,C_{2} )

解： (1)\triangle A,B C_{1} 如图所示(2)\triangle A_{2}B_{2}C_{2}, 如图所示。

18.如图1，筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写到“破浪于川湄”“翰流于波面”“多寄临川之郡”，描述了筒车的工作原理和应用场景.如图2，筒车盛水桶的运动轨迹是以轴心 O 为圆心的圆.已知圆心在水面上方，若 \odot O 被水面截得的弦AB长为5米， \odot O 的直径为13米， C 是运动轨道的最低点（劣弧AB的中点），求点 C 到水面的距离.

解：连接 o c 交 A B 于点 \boldsymbol{D} ，连接OA.'o c 是0的半径 ,C 是弧 A B 的中点，
\therefore O C\bot A B,A D=(1)/(2)A B=2.5~\# .\angle O D A=90°
在 Rt\triangle\nabla o D A 中,由勾股定理,得 O D=√(((13)/(2))^{2)-2.5^{2}}=6(\ast)
\therefore C D=O C-O D=(13)/(2)-6=0.5(\ast).

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19.随着新能源汽车技术的革新，消费者对新能源汽车的需求日益增长，为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，充电站的平面示意图是矩形PQMN.如图，矩形 A B C D 是其中一个停车位.经测量，\angle Q A B=37°,A B=5.5 rm{m},B C=2.4 rm{m},G H\perp D E,G H 是另一个车位的宽，所有车位均相同，按图示并列划定.该充电站有20个停车位，求QM的长.（参考数据： {\sin37°\approx0.\;6 ,\cos37°\approx0.\;8 ,\tan37°\approx0.\;75)}

解：在矩形PQMN，ABCD中 \angle Q=\angle A B C=\angle B C D=90° ,
\because\angle A B C+\angle C B E=\angle Q+\angle Q A B,\angle Q A B=37°,\therefore\angle C B E=37°.
在 Rt\~AQB 中,sin37°=QB, ,\sin37°{=}(Q B)/(A B),A B{=}5.5~m,
\therefore Q B=A B*\sin37°\approx5,5x0,6=3,3(m).
在 Rt△CBE 中,cos37℃°=BC
\therefore B E{=}(B C)/(\cos37^{\circ)}{\approx}(2.4)/({\bf0.8)}{=}3({\bf\ m}).
由题意，得 Q M{=}Q B{+}20B E{=}3.3{+}20{x}3{=}63.3(~m). 63.3~m~

20.某公司生产一种产品，生产费用 y （万元)由制造费用、材料费用和人工费用三部分组成，已知该公司每年生产该产品 \mathscr{x} （件），制造费用 y_{1} （万元)，材料费用 y_{2} （万元），人工费用为固定费用1000万元，其中 y_{1}= a x^{2} y_{2}=b x ,生产中得到了表中的数据.

(2)公司每年生产的该产品均全部售出，经市场调查，产品的销售单价\boldsymbol{P} (万元/件)与生产件数 X (件)满足一次函数关系 \rho=45-(1)/(30)x 30.设该产品每年的利润为 \eqcirc 万元(利润 = 销售收人一生产费用)，求 \eqcirc 的最大值.

解：(1)由题意,得 y=y_{1}+y_{2}+1~000=a x^{2}+b x+1~000
将 \scriptstyle x=10 , y=1\ 060 ; x=50 , y=1 ; 500代入，得
\begin{array}{c}{{\int}^{100a+10b+1000=1\ 060 ,}}\\ {{2\ 500a+50b+1\ 000=1\ 500}}\end{array} (a=0.1,
解得\scriptstyle b = 5 (2)由题意，得 w=p x-y=(45-(1)/(30)x)x-(0. 1x^{2}+5x+1 000) , 郎 \mathbf{\nabla}\nu=-(2)/(15)x^{2}+40x-1~000=-(2)/(15)(x-150)^{2}+2~000.
-(2)/(15){<}0 ,w的函数图象开 \scriptstyle\mathbf{\omega}\mathbf{\omega}(\omega)\mathbf{\omega}\mp\mathbf{γ}
·当 \scriptstyle x=150 时 ,w 有最大值，最大值为2000.

六、(本大题满分12分)

21.如图，在 \triangle A B C 中， A B=A C,D,E 分别是边 B C ,A C 上的两点， A F //B C 交 D E 的延长线于点 F ，连接 A D,A D=F D (1)求证： :\triangle A B D\triangle E C D (2)当 D E:E F=1: 2 时 \ i{\bf\tilde{k}}(B D)/(D C) 的值。解： (1)\because A B{=}A C,A D{=}F D , \therefore\angle B=\angle A C B,\angle D A F{=}\angle D F A. \because{\cal A F}//{\cal B C},\therefore\angle D A F{=}\angle A D B,\angle D F A{=}\angle F D C. ： \angle A D B=\angle F D C ，即 \angle A D B=\angle E D C 又： \angle B=\angle A C B ，即 \prime\angle A B D=\angle E C D ，B D△ABD△ECD.2)\because{(D E)/(E F)}{=}{(1)/(2)},\therefore{(D E)/(D F)}{=}{(1)/(3)}. \mathring{A}\ddot{\because}A D=D F,\dot{*}\ddot{*}(D E)/(D A)=(1)/(3),(D A)/(D E)=3. ~\o~{\Dot{\varepsilon(1)}~},i\Dot{\mathbf{\Psi}}\triangle A B D\ O\triangle E C D.\ \therefore(B D)/(D C){=}(D A)/(D E){=}3.

七、（本大题满分12分）

22.如图， \odot O 的直径 A B 与弦 C D 相交于点 P ,E 是弦 A D 的中点， C E\bot A B,F 为垂足.(1)当 F 是 O A 的中点时，求 \angle A P C 的度数；(2)求证： A C{=}√(2)A E

解:(1)连接 O C,O D F 是 oA 的中点， E 是弦AD的中点，EF//OD.\because C E\bot A B,\therefore\angle E F O{=90°},\therefore\angle B O D{=90°}.
\therefore\angle B C D=(1)/(2)\angle B O D=45°.
： C E\perp A B ,F 是OA的中点， \therefore A C{=}O C
又A o{=}o c ，AOC是等边三角形.
\therefore\angle A O C=60°.\therefore\angle B=(1)/(2)\angle A O C=30°.
*\angle A P C{=}\angle B{+}\angle D C B{=}45°{+}30°{=}75°.
(2)证明： \because A B 是0的直径， .\angle A C B=90°.\therefore\angle C A F+\angle B{=90°},
： C E\bot A B ,\dot{*s}\angle C F A=90°, \dot{*s}\angle C A F+\angle A C F=90°,
\therefore\angle B=\angle A C F B= ADC,/ACF := ADC，即 \angle A C E=\angle A D C
：CAE = DAC,△ACE△ADC.
..AC=AE βp AC² =AE · AD.

八、（本大题满分14分）

23.已知抛物线 y=x^{2}-2b x+c (1)若点 ( 2 ,c ) 在抛物线上.① 求抛物线的对称轴；② 当 \scriptstyle0<=slant x<=slant3 时， y 的最大值为4,求抛物线的表达式；(2)当 \scriptstyle0<=slant x<=slant1 时， y=x^{2}-2b x+c (0<b<1) 的最大值与最小值的差

解： (1)① ：点 ^{(2,c)} 在抛物线上，* c=4-4b+c b=1
抛物线的表达式为 y=x^{2}-2x+c ，即 y=(x-1)^{2}+c-1
.抛物线的对称轴为直线 x=1
⊚ 当 \scriptstyle x = 0 时 \mathbf{\nabla},\mathbf{y} 的值为c;
当 x=3 时 ,y 的值为 9-6+c=3+c
由题意，得 _{3+c=4} ，
解得 \mathit{c}=1
抛物线的表达式为 y=x^{2}-2x+1
(2)y=x^{2}-2b x+c=(x-b)^{2}-b^{2}+c. 1>0 ,抛物线开 ^\circ 向上.\mathbf{\nabla}0<b<1,\therefore b 在 0\lex\le1 范围内，
： \scriptstyle x=b 时， y=x^{2}-2b x+c 取得最小值，为 -b^{2}+c
当 \scriptstyle x = 0 时， {\mathfrak{y}}=c ；当 x=1 时 ,y=1-2b+c
\Hat{>=}(1)/(2)\{<= b{<}1\} 时,函数最大值为c,由题意，得 c-(-b^{2}+c)=(3)/(4)
解得 b_{1}=(√(3))/(2) ,b_{2}=-(√(3))/(2)( F 符合题意，舍去)。 \therefore b{=}(√(3))/(2).
当 \scriptstyle0<b<{(1)/(2)}\# ，函数最大值为 1-2b+c ，由题意，得 1-2b+c-(-b^{\prime}+c)=(3)/(4) , b_{1}=1-(√(3))/(2) ,b_{2}=1+(√(3))/(2)( 不符合题意，含去).· b=1-(√(3))/(2).
综上所述,b= b=(√(3))/(2)\ddot{\mathfrak{X}}, b=1-(√(3))/(2).