46 4.3 倍长中线法 几何辅助线 4.3 倍长中线法 一、本节概述 当条件中给定三角形一边中线时，可以通过延长中线到一倍长的位置作辅助线． 具体方法如图：若 AP 是△ABC 的一条中线，可延长 AP 至点 K，使 PK＝AP，连接 BK，则根据 SAS 定理， △BPK≌△CPA．也可以连接 KC，得到△CPK≌△BPA． 倍长中线法作辅助线的本质是借助线段中点构造全等三角形．可简记为：三角形中有中线，延长中线等 中线． A 二、典例精析 BP C K A 知识点 1：倍长中线法 能力目标： 1.了解倍长中线模型； 2.能用倍长中线模型解决问题． 【例 1】如图 4.3-1，在△ABC 中，AD 为 BC 边中线，AB＝5，AC＝3，求 AD 的取值范围． BDC 图 4.3-1 题意理解(扫描二维码进行动态探究) 拖动点 B，C，理解题意，寻找思路． 思路分析 求线段的取值范围，通常要将它转化到两边已知的三角形中，题目中 AD 不在这样的三角形中，所 以需要借助辅助线．作辅助线的目的是将已知边长的 AB，AC 边和要确定范围的边凑到可以建立关系的 同一个三角形中． 思维探究 A B DC 解：延长 AD 至点 E，使 DE＝AD，连接 BE． ∵ BD＝CD，∠ADC＝∠EDB，DE＝AD， ∴ △ADC≌△%//EDB//%， ∴ BE＝AC＝3． 在△ABE 中有： AE＜%//AB＋BE//%＝5＋3＝8，(三角形两边之和大于第三边) AE＞%//AB－BE//%＝5－3＝2，(三角形两边之差小于第三边) ∴ 2＜AE＜8． 而 AD＝DE＝12AE． ∴ %//1//%＜AD＜%//4//%．

动态数学 第四章 全等三角形 47 方法总结 本题目是典型的倍长中线法作辅助线的应用．另外，当需要建立边的不等关系时，经常可以将相关的边 “迁移”到同一个三角形中，然后利用三角形两边之和、差与第三边的不等关系来推导． 【例 2】如图 4.3-2，AB＝AE，AC＝AF，BD＝CD，∠BAE＋∠CAF＝180°，求证：EF＝2AD． E F A B DC 题意理解(扫描二维码进行动态探究) 图 4.3-2 标记条件，分别拖动 B，E，F 点，观察目标线段 AD 和 EF 的变化，探究理解题意，寻找思路． 思路分析 求证 EF＝2AD，可以用倍长中线法作辅助线，构造 2 倍 AD 长的线段 AG，转化为证明 EF＝AG． 思维探究 证明：延长 AD 至点 G，使 DG＝AD，连接 BG． ∵ ∠ADC＝∠GDB，DC＝DB，DG＝DA， ∴ △ADC≌△GDB， ∴ BG＝CA，∠ACD＝∠GBD， ∴ AC//BG． 由此我们得到 BG＝CA 和 BG//AC 两个对后面的证明非常重要的结论．(这个结论，最好牢记) 上面的结论，导致我们可以集中考查△ABG 和△EAF，它们已经有两边相等，而第三边正是我们要证明 相等的目标． 所以可以将目标转化为证明△ABG 和△EAF 全等，而要再证明这点我们只需要证明∠ABG 和∠EAF 相 等即可(SAS)． ∵ ∠BAE＋∠CAF＝180°， E ∴ ∠EAF＋∠%//BAC//%＝180°． F ∵ BG//AC， ∴ ∠BAC＋∠%//GBA//%＝180°， A ∴ ∠EAF＝∠%//GBA//%． ∵ BG＝AC，AC＝AF， B DC ∴ BG＝%//AF//%． 在△ABG≌△EAF 中 AB＝EA，∠EAF＝∠ABG，BG＝AF， ∴ △ABG≌△EAF ∴ EF＝%//AG//%． 又∵ AG＝2AD， ∴ EF＝2AD．

48 4.3 倍长中线法 几何辅助线 方法总结 当题目中出现中线时，可尝试倍长中线法构造全等三角形，使问题得到转化．倍长中线法不仅仅可以得 到全等三角形，且有对边平行的特点．这点可以作为一个附加性质在以后使用． 思维拓展 同学们可尝试拖动图中各点，体验结论和推导过程在不同情况下的有效性． 知识点 2：倍长中线法——类中线 能力目标: 1.熟练掌握倍长中线——类中线模型； 2.掌握倍长中线——的应用． 【例 3】如图 4.3-3，BD＝CD，ED⊥DF，求证：BE＋CF＞EF． A EF BD C 思路分析 图 4.3-3 题目求证三条线段的不等关系，优先考虑将这三条线段放到同一个三角形中去．题中有线段中点， 无中线，但倍长中线法仍然可用． 思维探究(扫描二维码进行动态探究) 证明：延长 ED 至点 G，使 DG＝DE，连接 CG， ∵ BD＝CD，∠BDE＝∠CDG，DG＝DE， ∴ △BDE≌△%//CDG//%， ∴ BE＝%//CG//%， 由于 BE＝CG，这样将 BE＋CF 可转化成 CG＋CF．而 CG 和 FC 已经相连，只要连接 FG 就出现三角形， 且有 CF＋CG＞FG，提示我们要证明 EF＝FG． A 连接 FG， 在△EDF 和△GDF 中， E F BD C ∵ DE＝DG，∠EDF＝∠GDF＝90°，DF＝DF， ∴ △EDF≌△%//GDF//% ， ∴ EF＝%//GF//% ， ∵ CG＋CF＞GF， ∴ BE＋CF＞EF． 方法总结 这种方法有人叫它“类中线”，其实它和“倍长中线”法一样，是有线段中点时常用的一种作辅助线的 方法，到后面我们会学到它的本质：线段是中心对称图形，有线段中点就够了，我们借助它构造全等三角形， 与中线无关．

动态数学 第四章 全等三角形 49 三、成果检测 1. 操作：如图 4.3-4①，点 O 为线段 MN 的中点，直线 PQ 与 MN 相交于点 O，请利用图①画出一对以点 O 为对称中心的全等三角形． 根据上述操作得到的经验完成下列探究活动： 探究：如图 4.3-4②，在四边形 ABCD 中，AB∥DC，E 为 BC 边的中点，∠BAE＝∠EAF，AF 与 DC 的 延长线相交于点 F．试探究线段 AB 与 AF，CF 之间的等量关系，并证明你的结论． PA N D MO C BE Q F ① ② 图 4.3-4 %//解：(1)如图①所示：(2)结论：AB＝AF＋CF． 证明：分别延长 AE、DF 交于点 M，∵ E 为 BC 的中点，∴ BE＝CE， ∵ AB∥CD，∴ ∠BAE＝∠M． 在△ABE 与△MCE 中， ∠BAE＝∠M， ∠AEB＝∠MEC， BE＝CE， ∴ △ABE≌△MCE． ∴ AB＝MC． 又∵ ∠BAE＝∠EAF， ∴ ∠M＝∠EAF． ∴ MF＝AF． 又∵ MC＝MF＋CF， ∴ AB＝AF＋CF．//%

50 4.3 倍长中线法 几何辅助线 2. 在△ABC 中，AD 是△ABC 的角平分线． (1)如图 4.3-5①，过 C 作 CE∥AD 交 BA 的延长线于点 E，若 F 为 CE 的中点，连接 AF，求证：AF⊥AD； (2)如图 4.3-5②，M 为 BC 的中点，过 M 作 MN∥AD 交 AC 于点 N，若 AB＝4，AC＝7，求 NC 的长． E F A A N BD C B DM C 图 4.3-5 ② 图 4.3-5 ① %//(1)证明：∵ AD 为△ABC 的角平分线，∴ ∠1＝∠2． ∵ CE∥AD， ∴ ∠1＝∠E，∠2＝∠3． ∴ ∠E＝∠3． ∴ AC＝AE． 又∵ F 为 EC 的中点， ∴ AF⊥EC． ∴ ∠AFE＝∠FAD＝90°． ∴ AF⊥AD． (2)延长 BA 与 MN 的延长线交于点 E，过 B 作 BF∥AC 交 NM 延长线于点 F．∴ ∠3＝∠C，∠F＝∠4． ∵ M 为 BC 的中点， ∴ BM＝CM． 在△BFM 和△CNM 中， ∠F＝∠4， ∠3＝∠C， BM＝CM， ∴ △BFM≌△CNM(AAS)． ∴ BF＝CN． ∵ MN∥AD， ∴ ∠1＝∠E，∠2＝∠4＝∠5． ∴ ∠E＝∠5＝∠F． ∴ AE＝AN，BE＝BF． 设 CN＝x，则 BF＝x，AE＝AN＝AC－CN＝7－x，BE＝AB＋AE＝4＋7－x． ∴ 4＋7－x＝x．解得 x＝5.5． ∴ CN＝5.5．//%

动态数学 第五章 轴对称 51 第五章 轴对称 一、本章概述 轴对称是近年中考的重难点，可以与函数结合，亦可出现在几何证明题中，但无论哪类题目，皆可作为 中考压轴题出现．本章重点讲解轴对称与最短路径的几个模型，这些模型往往会出现在压轴题中，在解答相 关的轴对称题目时，套用模型即可．本章第二部分重点讲解轴对称与几何证明． 二、知识回顾 1.轴对称 (1)轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴 对称图形．这条直线是它的对称轴． (2)轴对称：把一个平面图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形 关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴． (3)轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． (4)线段的垂直平分线的性质和判定： 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 判定：与一条线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． (5)关于 x 轴，y 轴对称的点的坐标的特点：点(x，y)关于 x 轴对称的点的坐标为(x，－y)；点(x，y)关于 y 轴对称的点的坐标为(－x，y)． 2.等腰三角形 (6)等腰三角形的性质： 性质 1：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)； 性质 2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”)． (7)等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等 角对等边”)． (8)等边三角形的性质和判定方法： 性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 60°． 判定方法 1：三个角都相等的三角形是等边三角形． 判定方法 2：有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形． (9)直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

52 5.1 轴对称求最短路径 几何辅助线 5.1 轴对称求最短路径 一、本节概述 本节通过重点讲解单动点、双动点和动线三种类型的轴对称的试题，探究解答最短路径问题的方法． 二、典例精析 知识点 1：单动点模型(一)——两定点同侧(“将军饮马”模型) 能力目标： 1.理解证明“将军饮马”模型； 2.能利用“将军饮马”模型解决问题． 【例 1】如图 5.1-1，点 P 是直线 MN 上的一个动点，点 A，B 在直线 MN 同侧，探究：当 AP＋BP 最小时， P 点的位置在哪里？ B A M PN 图 5.1-1 题意理解 A，B 在直线 MN 的同侧，直线上只有一个动点 P，求两条线段和的最小值． 思维探究(扫描二维码进行动态探究) 作定点关于动点所在直线的对称点即可，以 A 点为例． 作点 A 关于 MN 的对称点 A′，连接 A′B 交 MN 于点 P′，P′点即为所求． 证明：连接 AP′，A′P，则 AP′＝A′P′，AP＝A′P， 在△A′PB 中，A′P＋BP＞A′B， ∴ AP＋BP＞AP′＋BP′，证毕．(答题时，不必证明，直接应用即可) 当点 P 与点 P′重合时， B AP＋BP＝A′B， A 综上所述，AP＋BP 最短为 A′B， 此时点 P′的位置就是 AP＋BP 最小时点 P 的位置． 方法总结 M PN 此问题是著名的“将军饮马”问题，是轴对称求最短路径中最简单的问题，只要作定点关于动点所在直 线的对称点即可，此题也可作点 B 关于 MN 的对称点．解题时不必证明，直接画出最短路径即可．

动态数学 第五章 轴对称 53 知识点 2：单动点模型(二)——两定点异侧 能力目标： 1.理解证明单动点模型(二)——两动点异侧； 2.能利用该模型解决问题． 【例 2】如图 5.1-2，A，B 在直线 MN 的异侧，P 是直线 MN 上一动点，探究：|AP－BP|取最大值时，P 点 的位置在哪里？ A M PN B 图 5.1-2 题意理解(扫描二维码进行动态探究) 拖动点 P，观察左侧数值，当|AP－BP|最大时，停止拖动，观察图形，你发现了什么规律？ 规律是∠APN＝∠BPN，那这个 P 点如何确定呢？借助∠APN＝∠BPN，可将 B 点关于 MN 对称得到点 B′，这样就可确定 P 点位置． 思维探究 作点 B 关于 MN 的对称点 B′，连接 AB′，并延长交 MN 于点 P′，P′即为所求． 证明：连接 B′P， 在△AB′P 中， 由三角形两边之差小于第三边得：|AP－B′P|＜AB′， 当 P 点落在边 AB′两侧的延长线上时，不存在三角形， 这时|AP－B′P|＝AB′， 即取得最大值 AB′．(答题时，不必证明，直接应用即可) A M PN B 方法总结 本题为单动点的另一种类型题，方法仍然是：作定点关于动点所在直线的对称点，解题时不必证明．

54 5.1 轴对称求最短路径 几何辅助线 知识点 3：双动点模型 能力目标： 1.理解证明双动点模型； 2.能利用双动点模型解决问题． 【例 3】如图 5.1-3，点 P 是∠AOB 内一点，点 M，N 是边 OA，OB 上的动点，探究：当 M，N 在什么位置 时，△PMN 周长最小． A M P ON B 图 5.1-3 思路分析 本题一个定点，两个动点，方法仍然可以采用作定点关于动点所在直线的对称点解决，只是要作两 个对称点． 思维探究(扫描二维码进行动态探究) 作 P 关于 OA 的对称点 P′，作 P 关于 OB 的对称点 P″， 连接 P′P″交 OA，OB 于点 M′，N′，则 M′，N′即为所求． 证明：连接相关线段，则有 PM＝P′M，PN＝P″N，PM′＝P′M′，PN′＝P″N′． 由两点之间线段最短可得：P′P″＜P′M＋MN＋NP″， 因为 P′P″＝P′M′＋M′N′＋P″N′＝PM′＋M′N′＋PN′， 即：PM′＋M′N′＋PN′＜PM＋MN＋NP．(答题时，不必证明，直接应用即可) 方法总结 本题也是轴对称的另一重要模型，方法仍然是：作定点关于动点所在直线的对称点． 【举一反三】如图 5.1-4，P，K 是∠AOB 内两点，探究：画出四边形 PKNM 周长最小时，M，N 的位置． %//解：作点 P 关于 OA 的对称点 P′， A 点 K 关于 OB 的对称点 K′，连接 P′K′交 OA、OB 于点 M′、N′， 则 M′、N′即为所求．//% P MK B ON 图 5.1-4

动态数学 第五章 轴对称 55 知识点 4：动线模型 能力目标： 1.理解证明动线模型； 2.能利用动线模型解决问题． 【例 4】如图 5.1-5，A，B 在直线 MN 的同侧，CD 是一定长线段，且可在直线 MN 上移动，探究：BC＋ CD＋AD 取最小值时，D 点的位置在哪里？ A B M CD N 图 5.1-5 思路分析 由于 CD 是定值，故所求转化为两条线段和的最小值，联想到将军饮马问题，但它们的位置不符合 要求．通过平移改变线段的位置即可，将线段 BC 沿着 CD 平移得到线段 B′D，此时问题转化为求 B′ D＋AD 的最小值． 思维探究(扫描二维码进行动态探究) 将线段 BC 沿着 CD 向右平移 CD 长的距离得到线段 B′D，作 B′关于 MN 的对称点 B″， 连接 AB″交 MN 于点 D′，则 D′即为所求 D 点的位置． A B M CD N 方法总结： 本题也是轴对称的另一重要模型——动线模型，方法是通过平移转化为单动点问题(即“将军饮马”问题)．

56 5.1 轴对称求最短路径 几何辅助线 三、成果检测 1. 已知：如图 5.1-6，在∠POQ 内部有两点 M，N，∠MOP＝∠NOQ． (1)画图并简要说明画法：在射线 OP 上取一点 A，使点 A 到点 M 和点 N 的距离和最小；在射线 OQ 上取 一点 B，使点 B 到点 M 和点 N 的距离和最小； (2)比较大小关系：AM＋AN%//＝//%BM＋BN．(填“＞”“＝”或“＜”) Q N O M P 图 5.1-6 %//解：(1)答案图如图 3 所示．画法： 1．作点 M 关于射线 OP 的对称点 M′，连结 M′N 交 OP 于点 A． 2．作点 N 关于射线 OQ 的对称点 N′，连结 N′M 交 OQ 于点 B．//% 2. 如图 5.1-7，四边形 ABCD 中，AD＝2，∠A＝∠D＝90°，∠B＝60°，BC＝2CD． D C (1)在 AD 上找到点 P，使 PB＋PC 的值最小．保留作图痕迹，不写证明； (2)求出 PB＋PC 的最小值． %//解：(1)如图，延长 CD 到点 E 使 DE＝CD， 连接 BE 交 AD 于点 P．PB＋PC 的最小值即为 BE 的长． (2)过点 E 作 EH⊥AB，交 BA 的延长线于点 H． AB ∵ ∠A＝∠ADC＝90°，∴ CD∥AB． 图 5.1-7 ∵ AD＝2，∴ EH＝AD＝2． ∵ CD∥AB，∴ ∠1＝∠3． ∵ BC＝2CD，CE＝2CD， ∴ BC＝CE．∴ ∠1＝∠2． ∴ ∠3＝∠2． ∵ ∠ABC＝60°，∴ ∠3＝30°． 在 Rt△EHB 中，∠H＝90°， ∴ BE＝2HE＝4． 即 PB＋PC 的最小值为 4．//%

动态数学 第五章 轴对称 57 5.2 轴对称与几何证明 一、本节概述 轴对称变换是初中学的四种图形变换(平移、旋转、相似为另外三种)中最重要的一种，从图形变换的角 度解几何题是一种非常好的方法，因为它更加直观，本节主要从轴对称的角度阐述几何辅助线的基本构造． 二、典例精析 知识点 1：轴对称与几何证明(一)——与 180°角有关的轴对称构造 能力目标： 理解并掌握与 180°角有关的轴对称构造的常用辅助线方法． 【例 1】如图 5.2-1，∠C＝∠D，2∠ABD＋∠DBC＝180°，求证：AC＝AD． D C AB 图 5.2-1 思路分析 思路(一)：可利用 2∠ABD＋∠DBC＝180°构造平角，然而这样还不够，需构造全等三角形才可以． 思路(二)：用 2∠ABD＋∠DBC＝180°构造平行线，当然只有平行是不够的，我们需要全等三角形．

58 5.2 轴对称与几何证明 几何辅助线 思维探究(扫描二维码进行动态探究) D C 方法一：利用平角构造辅助线 证明：延长 CB 至 D′，使 BD′＝BD，连接 AD′，构造出全等三角形． AB ∵ 2∠ABD＋∠DBC＝180°，∠ABD′＋∠ABD＋∠%//DBC//%＝180°， ∴ ∠ABD＝∠%//ABD′//%． 又∵ AB＝AB，BD＝BD′， ∴ △ABD≌△ABD′， 根据全等三角形的性质得到等腰三角形，进一步代换证明题目． ∴ ∠D＝∠%//D′//%，AD＝%//AD′//%． ∵ ∠D＝∠C， ∴ ∠D′＝∠%//C//%， ∴ AC＝%//AD′//%， ∴ AC＝AD． 此题也可以延长 DB 构造平角及与△ABC 全等的三角形． 方法二：通过 180°构造平行线及全等三角形 证明：作 AC′//BD，并截取 AC′＝BC，连接 BC′，交 AD 于点 T，构造出全等三角形． ∵ AC′//BD， ∴ ∠ABD＋∠%//C′AB//%＝180°， ∵ 2∠ABD＋∠DBC＝180°， ∴ ∠C′AB＋∠ABD＝2∠ABD＋∠DBC， D ∴ ∠C′AB＝∠%//ABD//%＋∠DBC＝∠%//ABC//%． C B 在△ABC≌△BAC′中有： %//AC′＝BC//%____， A %//AB＝BA//%_____， %//∠C′AB＝ABC//%， ∴ △ABC≌△BAC′， ∴ ∠C′＝∠C＝∠D． ∵ AC′//BD， ∴ ∠C′AT＝∠%//D//%， ∴ ∠C′＝∠C′AT， ∴ AT＝%//C′T//%． 同理：TD＝%//TB//%， ∴ AD＝C′B＝AC． 方法总结 本题采用构造法，方法一从图形变换的角度，可以理解为将△ABD 或△ABC 沿 AB 翻折，即作了△ABD 或△ABC 的关于 AB 的轴对称图形． 方法二从图形变换的角度，可以理解为作△ABC 关于 AB 的垂直平分线的对称图形．

动态数学 第五章 轴对称 59 【例 2】如图 5.2-2，∠B＝∠D，∠ACB＋∠CAD＝180°，求证：AB＝CD． D C A B 图 5.2-2 思路分析 由∠ACB＋∠CAD＝180°，可以考虑改变角的位置，利用平角为 180°的条件，我们可以仿照例题 1 构造平角． 思维探究(扫描二维码进行动态探究) D C A B 证明：延长 DA 至点 B′，使 AB′＝CB，连接 CB′， ∵ ∠ACB＋∠CAD＝180°， 且∠B′AC＋∠%//CAD//%＝180°， ∴ ∠B′AC＝∠%//ACB//%． ∵ AB′＝CB，AC＝CA， ∴ △ABC≌△%//B′CA//%， ∴ AB＝%//B′C//%，∠B′＝∠B＝∠D， ∴ CD＝%//CB′//%， ∴ AB＝CD． 方法总结 此方法仍然可以通过轴对称变换得到，作△ABC 关于 AC 垂直平分线的对称图形即可． 也可使用其他方法： 1.延长 BC 构造与△ACD 全等的三角形也可以，当然也是轴对称变换； 2.作△ABC 关于 AC 的轴对称图形； 3.作△ADC 关于 AC 的轴对称图形． DD D CC C AA A BB B

60 5.2 轴对称与几何证明 几何辅助线 知识点 2：轴对称与几何证明(二)——三角形格点问题 能力目标： 理解掌握三角形格点问题的常用辅助线方法 【例 3】如图 5.2-3，在 Rt△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠BAD＝∠ABD＝15°，求∠ACD 的度数． A D C B 图 5.2-3 思路分析 A 此题为三角形格点问题，故可尝试作等边三角形构造轴对称的全等三角形． 思维探究(扫描二维码进行动态探究) 方法一：通过构造等边三角形，构造轴对称的全等三角形． 解：以 AD 为一边作等边△ADP，连接 CP．构造成轴对称的全等三角形． ∵ ∠PAC＝90°－∠BAD－∠DAP＝15°＝∠BAD，AD＝AP，AB＝AC， ∴ △BAD≌△CAP， ∴ ∠ACP＝∠ABD＝15°． 利用全等三角形性质得出相关条件． ∴ ∠APC＝∠ADB＝180°－2∠BAD＝150°， D C ∴ ∠DPC＝360°－∠APC－∠APD＝150°， B ∴ ∠APC＝∠DPC． 证明出另一对轴对称的全等三角形． 又∵ AP＝DP，PC＝PC， ∴ △APC≌△DPC， ∴ ∠DCP＝∠ACP＝15°， ∴ ∠ACD＝30°．

动态数学 第五章 轴对称 61 方法二：通过构造等边三角形，构造轴对称的全等三角形． A 解：以 BD 为一边作等边△BDK，连接 AK，CK． ∵ ∠ADK＝360°－∠ADB－∠%//BDK//%＝%//150//%°， D C ∴ ∠ADK＝∠ADB＝150°． B 在△ABD≌△AKD 中， %//BD＝KD//%______， %//∠ADK＝∠ADB//%， %//AD＝AD//%_______， ∴ △ABD≌△AKD， 利用全等三角形的性质，结合题中条件，进一步推出其他条件． ∴ ∠DAK＝∠DAB＝15°， ∴ ∠CAK＝∠BAC－∠DAK－∠DAB＝%//60°//%． ∵ AK＝AB＝AC， ∴ △ACK 是等边三角形． ∴ AC＝CK． 根据条件构造成另一对轴对称的全等三角形． 在△ACD 和△KCD 中， %//AC＝CK//%， %//AD＝KD//%， %//CD＝CD//%， ∴ △ACD≌△KCD， ∴ ∠ACD＝∠%//KCD//%． ∵ ∠ACK＝60°， ∴ ∠ACD＝30°． 方法总结 1.此类问题出现在初中，我们只能构造全等三角形解决，通常是用等边三角形构造轴对称的全等三角形． 2.此类题目的特征：三角形形状固定(各内角度数已知)，三角形内部一点位置确定，如点 D，它与各边 夹角固定．如满足上述条件，又没有其他办法做出来，可尝试上述方法，找到一条线段向其一侧作等边三角 形，然后连线，如发现轴对称的全等三角形并和已知结合紧密，可继续尝试． 3.此题按照上述方法，理论上可以作出 12 个等边三角形，其中有部分方法成立，可以尝试证明．

62 5.2 轴对称与几何证明 几何辅助线 【例 4】如图 5.2-4，∠BAC＝∠BCA＝44°，∠MCA＝30°，∠MAC＝16°，求∠BMC． B M A C 图 5.2-4 思维探究(扫描二维码进行动态探究) 方法一：△ABC 形状固定，点 M 位置固定，故可尝试作等边三角形构造轴对称的全等三角形． 解：以 AB 为一边作等边△ABE，连接 AE，CE， ∵ AB＝BC，AB＝BE， ∴ BE＝BC． ∵ ∠BAC＝∠BCA＝44°， ∴ ∠ABC＝%//92//%°， ∴ ∠CBE＝∠ABC－∠%//ABE//%＝%//32//%°， 结合等腰三角形的性质，计算出相关角的数量关系． B ∴ ∠BCE＝∠BEC＝12(180°－∠CBE)＝%//74//%°， M ∴ ∠ACE＝∠BCE－∠BCA＝74°－44°＝30°＝∠ACM． AC ∵ ∠CAE＝60°－∠BAC＝16°＝∠CAM， ∴ △ACM≌△ACE， E ∴ AM＝AE＝AB， 利用全等三角形的性质，结合条件求出∠BMC 的度数． ∴ ∠AMB＝90°－12∠BAM＝76°，∠AMC＝134°， ∴ ∠BMC＝360°－∠AMB－∠AMC＝150°． 方法二：构造轴对称的全等三角形． 解：作∠ABC 的平分线交 CM 的延长线于点 N，连接 AN，则△ABN≌△CBN． ∴ ∠BAN＝∠BCN＝14°， ∵ ∠NAC＝∠BAC－∠BAN＝30°， B M ∴ ∠NAM＝30°－∠MAC＝14°， ∴ ∠BAN＝∠MAN＝14°． ∵ ∠NMA＝∠MCA＋∠MAC＝46°＝∠NBA，AN＝AN， ∴ △NBA≌△NMA， ∴ AB＝AM． A C 同方法一可求出∠BMC＝150°． 方法总结 这类较难题目，通常是构造轴对称全等三角形，可通过构造等边三角形或借助等腰三角形的轴对称性， 构造全等三角形．

动态数学 第五章 轴对称 63 三、成果检测 1. 在四边形 ABDE 中，C 是 BD 边的中点． (1)如图 5.2-5①，若 AC 平分∠BAE，∠ACE＝90°，则线段 AE，AB，DE 的长度满足的数量关系为% //AE＝AB＋DE//%；(直接写出答案) (2)如图 5.2-5②，AC 平分∠BAE，EC 平分∠AED，若∠ACE＝120°，则线段 AB，BD，DE，AE 的长度 满足怎样的数量关系？写出结论并证明； (3)如图 5.2-5③，BD＝8，AB＝2，DE＝8，∠ACE＝135°，则线段 AE 长度的最大值是%//10＋4√2//%(直 接写出答案)． E E E A A A C D B ③ B CD B CD ① ② 图 5.2-5 %//解：(1)AE＝AB＋DE； (2)解：猜想：AE＝AB＋DE＋ 1 BD． 2 证明：在 AE 上取点 F，使 AF＝AB，连结 CF，在 AE 上取点 G，使 EG＝ED，连结 CG． ∵ C 是 BD 边的中点，∴ CB＝CD＝ 1 BD． 2 ∵ AC 平分∠BAE，∴ ∠BAC＝∠FAC． ∵ AF＝AB，AC＝AC，∴ △ABC≌△AFC． ∴ CF＝CB，∴ ∠BCA＝∠FCA． 同理可证：CD＝CG，∴ ∠DCE＝∠GCE． ∵ CB＝CD，∴ CG＝CF． ∵ ∠ACE＝120°，∴ ∠BCA＋∠DCE＝180°－120°＝60°． ∴ ∠FCA＋∠GCE＝60°，∴ ∠FCG＝60°． ∴ △FGC 是等边三角形，∴ FG＝FC＝ 1 BD． 2 ∵ AE＝AF＋EG＋FG，∴ AE＝AB＋DE＋ 1 BD． 2 (3)10＋4 2 ．//%

64 5.2 轴对称与几何证明 几何辅助线 2. 如图 5.2-6，在△ABC 中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D 为△ABC 内一点，∠BAD＝15°，AD＝AC，CE⊥AD 于点 E，且 CE＝5． A (1)求 BC 的长； (2)求证：BD＝CD． %//解：(1)在△ABC 中， ∵ AC＝BC，∠ACB＝90°，∴ ∠BAC＝45°． E ∵ ∠BAD＝15°，∴ ∠CAD＝30°． D ∵ CE⊥AD，CE＝5，∴ AC＝10．∴ BC＝10． B C (2)证明：过 D 作 DF⊥BC 于 F．在△ADC 中，∠CAD＝30°，AD＝AC，∴ ∠ACD＝75°图．5.2-6 ∵ ∠ACB＝90°，∴ ∠FCD＝15°． 在△ACE 中，∠CAE＝30°，CE⊥AD，∴ ∠ACE＝60°． ∴ ∠ECD＝∠ACD－∠ACE＝15°．∴ ∠ECD＝∠FCD．∴ DF＝DE． 在 Rt△DCE 与 Rt△DCF 中， DC＝DC， DE＝DF， ∴ Rt△DCE≌Rt△DCF．∴ CF＝CE＝5． ∵ BC＝10，∴ BF＝FC．∵ DF⊥BC，∴ BD＝CD．//%

动态数学 第五章 轴对称 65 3. 如图 5.2-7，在△ABC 中，已知 D 为直线 BC 上一点，若∠ABC＝x°，∠BAD＝y°． (1)当 D 为边 BC 上一点，并且 CD＝CA，x＝40，y＝30 时，则 AB%//＝//%AC(填“＝”或“≠”)； (2)如果把(1)中的条件“CD＝CA”变为“CD＝AB”，且 x，y 的取值不变，那么(1)中的结论是否仍成立？ 若成立请写出证明过程，若不成立请说明理由； (3)若 CD＝CA＝AB，请写出 y 与 x 的关系式及 x 的取值范围．(不写解答过程，直接写出结果) %//解：(1)＝． AA (2)成立． 证明：在 BC 上截取 BE＝BA，连结 AE．∵ CD＝AB，∴ BE＝CD． ∴ BE－DE＝CD－DE．即：BD＝CE． B D CB D C ∵ ∠B＝40°，∴ ∠BAE＝∠BEA＝70°． ① 图 5.2-7 ② 在△ABD 中，∠B＝40°，∠BAD＝30°． ∴ ∠BDA＝110°，∠ADE＝70°．∴ ∠ADE＝∠BEA，∠AEC＝110°．∴ AD＝AE． AD＝AE， 在△ABD 和△ACE 中， ∠BDA＝∠CEA， BD＝CE． ∴ △ABD≌△ACE．∴ AB＝AC． (3)解：①当 D 在线段 BC 上时， y＝90－ 3 x，(0＜x≤60)(取等号时 B、D 重合)． 2 ②当 D 在 CB 的延长线上时， y＝ 3 x－90，(60＜x＜90)(取等号时 B、D 重合)． 2 ③当 D 在 BC 的延长线上时， y＝180－ 3 x，(0＜x＜90)． //% 2 4. 已知：如图 5.2-8，在△ABC 中，如果∠A 是锐角，点 D，E 分别在 AB，AC 上，且∠DCB＝∠EBC＝12∠A．求 证：BD＝CE． A %//证法一：如图 1，作 CG⊥BE 于 G 点，作 BF⊥CD 交 CD 延长线于 F 点．∵ ∠DCB＝∠EBC＝ 1 ∠ 2 A，BC 为公共边， E ∴ △BCF≌△CBG，∴ BF＝CG， D ∵ ∠BDF＝∠ABE＋∠EBC＋∠DCB，∴ ∠BEC＝∠ABE＋∠A， O 图 5.2-8 ∴ ∠BDF＝∠BEC，∴ △BDF≌△CEG，∴ BD＝CE． B C 证法二：如图 2，以 C 为顶点作∠FCB＝∠DBC，CF 交 BE 于 F 点．∵ ∠DCB＝∠EBC＝ 1 ∠A， 2 BC 为公共边， ∴ △BDC≌△CFB， ∴ BD＝CF，∠BDC＝∠CFB， ∴ ∠ADC＝∠CFE， ∵ ∠ADC＝∠DCB＋∠EBC＋∠ABE， 又∵ ∠FEC＝∠A＋∠ABE， ∴ ∠ADC＝∠FEC，∴ ∠FEC＝∠CFE， ∴ CF＝CE，∴ BD＝CE．//%

66 5.2 轴对称与几何证明 几何辅助线 5. 如图 5.2-9，在△ABC 中，AB＝AC，P 为△ABC 内一点，且∠BAP＝70°，∠ABP＝40°， (1)求证：△ABP 是等腰三角形； A (2)连接 PC，当∠PCB＝30°时，求∠PBC 的度数． %//证明：(1)在△PAB 中， P ∵ ∠BAP＝70°，∠ABP＝40°， ∴ ∠APB＝180°－∠BAP－∠ABP＝70°． BC ∴ ∠APB＝∠BAP＝70°． 图 5.2-9 ∴ AB＝BP，即△ABP 是等腰三角形． (2)以 BC 为边作等边△BCE，连接 EA 并延长交 BC 于点 M，则 EB＝EC＝BC，∠BEC＝∠EBC＝∠BCE ＝60°． ∵ EB＝EC，∴ 点 E 在 BC 的中垂线上． 同理点 A 也在 BC 的中垂线上． ∴ EM⊥BC 且 BM＝ 1 BC． 2 延长 CP 交 BE 于点 N． ∵ ∠BCE＝60°，∠PCB＝30°，∴ ∠PCE＝30°． ∴ ∠PCB＝∠PCE． 又∵ 等边△BCE，∴ CN⊥BE 且 BN＝ 1 BE． 2 ∴ BM＝BN． 在 Rt△AMB 和 Rt△PNB 中， BM＝BN， AB＝BP， ∴ Rt△AMB≌Rt△PNB(HL)． ∴ AM＝PN． ∵ EM＝CN， ∴ EM－AM＝CN－PN．即 EA＝CP． 在△ABE 和△PBC 中， AB＝BP， BE＝BC， EA＝CP， ∴ △ABE≌△PBC(SSS)． ∴ ∠ABE＝∠PBC． ∵ ∠ABP＝40°， ∴ ∠PBC＝ 1 (∠EBC－∠ABP)＝10°．//% 2

动态数学 第五章 轴对称 67 6. 已知：如图 5.2-10，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝α，且 60°＜α＜120°．P 为△ABC 内部一点，且 PC＝AC， ∠PCA＝120°－α． A (1)用含 α 的代数式表示∠APC，得∠APC＝%//30°＋ 2 //%； (2)求证：∠BAP＝∠PCB； (3)求∠PBC 的度数． P %//(1)解：∠APC＝30°＋α2． BC (2)证明：如图 1．∵ CA＝CP，∴ ∠1＝∠2＝30°＋α2．∴ ∠3＝∠BAC－∠1＝α－图(350.2°-＋10α2)＝α2－30°． ∵ AB＝AC，∴ ∠ABC＝∠ACB＝1802°－α＝90°－α2． ∴ ∠4＝∠ACB－∠5＝(90°－α2)－(120°－α)＝α2－30°． ∴ ∠3＝∠4．即∠BAP＝∠PCB． (3)解法一：在 CB 上截取 CM 使 CM＝AP，连接 PM(如图 2)．∵ PC＝AC，AB＝AC，∴ PC＝AB． AB＝CP， 在△ABP 和△CPM 中， ∠3＝∠4， AP＝CM， ∴ △ABP≌△CPM．∴ ∠6＝∠7， BP＝PM．∴ ∠8＝∠9． ∵ ∠6＝∠ABC－∠8，∠7＝∠9－∠4， ∴ ∠ABC－∠8＝∠9－∠4．即(90°－α2)－∠8＝∠9－(α2－30°)． ∴ ∠8＋∠9＝60°．∴ 2∠8＝60°．∴ ∠8＝30°．即∠PBC＝30°． 解法二：作点 P 关于 BC 的对称点 N，连接 PN、AN、BN 和 CN(如图 3)．则△PBC 和△NBC 关于 BC 所 在直线对称． ∴ △PBC≌△NBC．∴ BP＝BN，CP＝CN，∠4＝∠6＝α2－30°，∠7＝∠8． ∴ ∠ACN＝∠5＋∠4＋∠6＝(120°－α)＋2×(α2－30°)＝60°． ∵ PC＝AC，∴ AC＝NC．∴ △CAN 为等边三角形．∴ AN＝AC，∠NAC＝60°． ∵ AB＝AC，∴ AN＝AB． ∵ ∠PAN＝∠PAC－∠NAC＝(30°＋α2)－60°＝α2－30°， ∴ ∠PAN＝∠3． AB＝AN， 在△ABP 和△ANP 中， ∠3＝∠PAN， AP＝AP， ∴ △ABP≌△ANP．∴ PB＝PN． ∴ △PBN 为等边三角形．∴ ∠PBN＝60°． ∴ ∠7＝ 1 ∠PBN ＝ 1 ×60°＝30°．即∠PBC＝30°．//% 2 2

68 5.2 轴对称与几何证明 几何辅助线 7. 如图 5.2-11，等腰直角三角形 ABC 中，∠BAC＝90°，D，E 分别为 AB，AC 边上的点，AD＝AE，AF⊥BE 交 BC 于点 F，过点 F 作 FG⊥CD 交 BE 的延长线于点 G，交 AC 于点 M． (1)求证：△EGM 为等腰三角形； A (2)判断线段 BG，AF 与 FG 的数量关系并证明你的结论． G ED %//解：(1)∵ 等腰直角三角形 ABC 中，∠BAC＝90°，(见图 6) M ∴ AC＝AB，∠ACB＝∠ABC＝45°． 又∵ AD＝AE，∠CAD＝∠BAE． CF B ∴ △ACD≌△ABE．(SAS) 图 5.2-11 ∴ ∠1＝∠2 ． ∵ ∠BAC＝90°，∴ ∠3＋∠2＝90°． ∵ FG⊥CD，∴ ∠1＋∠4＝90°． ∴ ∠3＝∠4． ∴ ∠GEM＝∠GME， ∴ EG＝MG，∴ △EGM 为等腰三角形． (2)答：线段 BG、AF 与 FG 的数量关系为 BG＝AF＋FG ． 证法一：过点 B 作 AB 的垂线，交 GF 的延长线于点 N(见图 1)．∵ BN⊥AB，∠ABC＝45°． ∴ ∠FBN＝45°＝∠FBA． ∵ FG⊥CD， ∴ ∠BFN＝∠CFM＝90°－∠DCB． ∵ AF⊥BE， ∴ ∠BFA＝90°－∠EBC，∠5＋∠2＝90°． 由(1)可得∠DCB＝∠EBC， ∴ ∠BFN＝∠BFA． 又∵ BF＝BF． ∴ △BFN≌△BFA．(ASA) ∴ NF＝AF，∠N＝∠5． 又∵ ∠GBN＋∠2＝90°， ∴ ∠GBN＝∠5＝∠N， ∴ BG＝NG． 又∵ NG＝NF＋FG， ∴ BG＝AF＋FG． 证法二：设 CD、BE 的交点为 N，连结 AN(见图 2)，先证 AF＝BN，再证 FG＝NG． 证法三：过点 C 作 AC 的垂线，交 AF 的延长线于点 H(见图 3)．先证 AH＝BE，再证 FM＝FH．//%

动态数学 第五章 轴对称 69 5.3 角平分线构造等腰三角形模型 一、本节概述 角平分线在几何题中主要有两个用处，一个是代数的计算，另一个是几何构型，而几何构型又分为两类， 一个是构造轴对称的全等三角形，另一个是构造等腰三角形，本节主要讲构造等腰三角形的情况． 二、典例精析 知识点 1：与角平分线相关的辅助线 【例 1】如图 5.3-1，∠1＝∠2，PK∥ON，求证：PK＝OK． M K A P 21 O N 图 5.3-1 备注 如果过角平分线上一点作一边的平行线，则出现等腰三角形． 思维探究(扫描二维码进行动态探究) 利用平行线的性质、等腰三角形的判定即可． ∵ PK//ON，∴ ∠1＝∠KPO． ∵ ∠1＝∠2，∴ ∠2＝∠KPO， ∴ PK＝OK． 方法总结 这个结论要求大家记住，以后会经常用到，特别是学圆的时候．其实如果把角平分线、平行线、等腰三 角形看做三个条件，它们是知二推一的． 【举一反三 1】如 图 5.3-2， ∠ 1＝ ∠ 2， PQ//AO． 求 证 ： PO＝ QO． %//解 答 方 法 同 例 一 ． //% M A Q 2 N 1 PO 图 5.3-2

70 5.3 角平分线构造等腰三角形模型 几何辅助线 【例 2】如图 5.3-3，△ABC 的三条角平分线交于点 P，求证：AB＋AC＞2AP． A P BC 图 5.3-3 思路分析 题中有角平分线，可尝试作全等三角形或平行线改变线段的位置． 思维探究(扫描二维码进行动态探究) 通过角平分线构造等腰三角形，进行问题转化． 证明：过点 P 作 BC 的平行线，交 AB，AC 于点 E，F， ∵ EP//BC， ∴ ∠CBP＝∠%//EPB//%， 又∵ ∠ABP＝∠CBP， ∴ ∠ABP＝∠%//EPB//%， ∴ BE＝%//PE//%， 同理：FC＝%//FP//%． 在△AEP 和△AFP 中，用三角形两边之和大于第三边列不等式． ∵ AE＋PE＞AP，AF＋PF＞AP， ∴ AE＋PE＋AF＋PF＞2AP， ∴ AB＋AC＞2AP． 方法总结 遇到角平分线的题目，首先考虑的是角的数量计算，再次是构造轴对称的全等三角形，最后考虑作平行 线，构造等腰三角形．

动态数学 第五章 轴对称 71 三、成果检测 1. 如图 5.3-4，在△ABC 中，AD 平分∠CAB 交 BC 于点 D，DE∥BA 交 AC 于点 E，EF 平分∠CED 交 BC 于 点 F，FG∥BA 交 AG 于点 G，依照这样的规律做下去形成图①中的四条实线．图②至图④是将图①利用 对称的方法得到的，其中 BH＋AK＝21，且 BH－AK＝3，则图④中实线的长度和为%//108//%． C C JH C K JH K K C I I I GF G G H K JH ED E FD F I E GF D ED A A A ① B B B A ④ ② ③ B 图 5.3-4 2. 如图 5.3-5 所示，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若 PC＝4，求 PD 的长． B %//解：作 PK⊥OB，则 PK＝PD， 易知∠PCK＝30°， CP 则 PK＝ 1 PC＝2， O DA 2 图 5.3-5 故 PD＝2．//%

72 5.4 本章复习 几何辅助线 5.4 本章复习 一、本节概述 轴对称变换是初中学的四种图形变换(平移、旋转、相似为另外三种)中最重要的一种，从图形变换的角 度解几何题是一种非常好的方法，因为它更加直观，本节主要从轴对称的角度阐述几何辅助线的基本构造． 角平分线常见辅助线模型： 1.构造轴对称的全等三角形 2.构造等腰三角形 中点常见辅助线模型： 1.中心对称的全等三角形 2.三线合一与垂直平分线

动态数学 第五章 轴对称 73 二、典例精析 【例 1】如图 5.4-1，△ABC 的边 BC 的垂直平分线 DF 交△BAC 的外角平分线 AD 于点 D，点 F 为垂足， DE⊥AB 于点 E，且 AB＞AC，求证：BE－AC＝AE． D A E B FC 图 5.4-1 思路分析 题目的关键点有垂直平分线和角平分线，都是构造辅助线经常用到的，且所证明的结果是三条线段 和、差的关系，符合“截长补短”的形式． 思维探究(扫描二维码进行动态探究) D A 证明：连接 BD，CD． ∵ DF 垂直平分 BC， E ∴ BD＝%//CD//%． 作 DK⊥AC 交 AC 于点 K． B FC ∵ AD 平分∠BAK，DE⊥AB， ∴ DK＝%//DE//%． ∵ AD＝AD， ∴ Rt△ADE≌Rt△%//ADK//%， ∴ AE＝%//AK//%． 求证 BE－AC＝AE，可变形为 BE＝AC＋AE＝AC＋AK＝CK，故只要证明 BE，CK 所在三角形全等即可． ∵ BD＝CD，DE＝DK， ∴ Rt△BED≌Rt△%//CKD//%， ∴ BE＝%//CK//%． ∵ CK＝AK＋AC＝AE＋AC， ∴ BE＝AE＋AC， ∴ BE－AC＝AE． 方法总结 本题是中点与角平分线常见的辅助线相结合的一道题目，通过利用模型不难解决． 【例 2】如图 5.4-2，在△ABC 中，∠A＝90°，AB＝AC，BD 平分∠ABC，过点 C 作 BD 的垂线交 BD 的延长 线于点 E，求证：BD＝2CE． A DE BC 图 5.4-2

74 5.4 本章复习 几何辅助线 思路分析 题目中的角平分线是构造辅助线的关键，但要结合所求构造，一种是构造 2CE，另一种是构造 BD ． 2 思维探究(扫描二维码进行动态探究) 方法一：构造 2CE 借助角平分线可构造 2CE，延长 CE，BA 相交即可． 证明：延长 BA，CE 交于点 F， A ∵ ∠ABD＝∠CBD，BE＝BE，∠BEC＝∠BEF＝90°， DE ∴ △BEC≌△BEF，∴ EC＝EF，∴ CF＝2CE， 构造出 CF＝2CE 后，只要证明 CF，BD 所在三角形全等即可． ∵ ∠ADB＝∠CDE，∴ ∠ABD＝∠DCE， BC 又∵ AB＝AC，∠BAC＝∠CAF＝90°， ∴ △FAC≌△DAB，∴ BD＝CF， ∴ BD＝2CE． 方法二：构造B2D A 证明：取 BD 中点 M，作 BD 的垂直平分线交 AB 于点 N，交 BD 于点 M，连接 ND， ∵ MN 垂直平分 BD， ∴ BN＝%//ND//%，∴ ∠NBD＝∠%//NDB//%， 又∵ ∠NBD＝∠CBD，∴ ∠NDB＝∠CBD， ∴ ND//BC， 只要证明 Rt△BMN≌Rt△CED 即可，去寻找全等条件，推导出相等线段． DE ∴ ∠AND＝∠ABC＝%//45//%°＝∠ADN， B C ∴ AN＝%//AD//%， 又∵ AB＝AC，∴ BN＝%//CD//%． ∵ ∠ADB＝∠CDE，∴ ∠ABD＝∠%//DCE//%． 又∵ BN＝CD，∠BMN＝∠CED＝90°， ∴ Rt△BMN≌Rt△%//CED//%，∴ BM＝%//CE//%． ∵ BM＝B2D，∴ BD＝2BM，∴ BD＝2CE． 方法总结 本题从辅助线构造轴对称的角度给出了两种方法，当然也可以从其他辅助线模型入手．

动态数学 第五章 轴对称 75 【例 3】如图 5.4-3，射线 AD 是△ABC 外角平分线，P 是 AD 上的动点(不与 A 重合)， 求证：BP＋CP＞AB＋AC． AP D BC 图 5.4-3 思路分析 借助题目中的角平分线构造成轴对称的全等三角形，改变线段的位置． 思维探究(扫描二维码进行动态探究) 证明：在 BA 的延长线截取 AK＝AC，连接 PK， 在△APK≌△APC 中， %//AK＝AC//%， %//∠CAP＝∠KAP//%， %// AP＝AP//%， ∴ △APK≌△APC， ∴ PK＝PC． 在△BPK 中利用三角形两边之和大于第三边并进行等量代换得到结论． AP D ∵ BP＋PK＞BK，BK＝AB＋AK， C ∴ BP＋PK＞AB＋AK． 又∵ AK＝AC，PK＝PC， B ∴ BP＋PC＞AB＋AC． 规律探究 本题是关于角平分线常见的辅助线模型题目，思路很简单．

76 5.4 本章复习 几何辅助线 【例 4】如图 5.4-4，在△ABC 中，AB＜AC，AD 平分∠BAC，E 为 BC 中点，过点 E 作 EF∥AD 交 AC 于点 G， 交 BA 延长线于点 F，求证：2CG＝AB＋AC． F A G B DE C 图 5.4-4 思维探究(扫描二维码进行动态探究) 证明：∵ EF//AD， ∴ ∠BAD＝∠%//BFE//%，∠DAC＝∠%//AGF//%， ∵ AD 平分∠BAC， ∴ ∠BAD＝∠DAC ∴ ∠BFE＝∠AGF， ∴ AF＝%//AG//%． 由于 E 是 BC 中点，故可构造全等三角形，并利用结论推导出相等的线段． 延长 GE 至点 P，使 EP＝EG，连接 BP， F C ∵ BE＝CE，∠BEP＝∠CEG， A ∴ △BPE≌△%//CGE//%， ∴ BP＝%//CG//%，∠P＝∠%//EGC//%． G ∵ ∠EGC＝∠AGF＝∠AFG， ∴ ∠P＝∠AFG， B DE ∴ BF＝%//BP//%， ∴ BF＝CG． ∴ AB＋AF＝CG， ∵ AF＝AG， ∴ AB＋AG＝CG． ∵ AG＝AC－CG， ∴ AB＋AC－CG＝CG， ∴ 2CG＝AB＋AC． 方法总结 本题是采用辅助线模型的方法正向推出结论，当然也可以从结论分析入手，推出辅助线．

动态数学 第五章 轴对称 77 三、成果检测 1. 已知：如图 5.4-5，△ABC，射线 AM 平分∠BAC． (1)尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)作 BC 的中垂线，与 AM 相交于点 G，连接 BG，CG； (2)在(1)的条件下，∠BAC 和∠BGC 的数量关系为%//∠BAC＋∠BGC＝180°//%，证明你的结论． A %//解：(1)如图①：(2)∠BAC＋∠BGC＝180°． 证明：过点 G 作 GE⊥AB 于点 E，GF⊥AC 交 AC 的延长线于点 F．∵ 点 G 在∠BAC 平分线上， C B ∴ GE＝GF． ∵ 点 G 在 BC 的中垂线上， ∴ GB＝GC． M 在 Rt△GBE 和 Rt△GCF 中， 图 5.4-5 GE＝GF， GB＝GC， ∴ △GBE≌△GCF． ∴ ∠1＝∠2． ∴ ∠BGC＝∠EGF． ∵ ∠AEG＋∠AFG＋∠BAC＋∠EGF＝360°，∠AEG＝∠AFG＝90°， ∴ ∠BAC＋∠EGF＝180°． ∴ ∠BAC＋∠BGC＝180°．//%

78 5.4 本章复习 几何辅助线 2. 已知，在△ABC 中，∠ACB＝2∠B，如图 5.4-6①，当∠C＝90°，AD 为∠BAC 的角平分线时，在 AB 上截 取 AE＝AC，连接 DE，易证 AB＝AC＋CD． (1)如图 5.4-6②，当∠C≠90°，AD 为∠BAC 的角平分线时，线段 AB，AC，CD 又有怎样的数量关系？不 需要证明，请直接写出你的猜想：%//AB＝AC＋CD//%； (2)如图 5.4-6③，当 AD 为△ABC 的外角平分线时，线段 AB，AC，CD 又有怎样的数量关系？请写出你 的猜想，并对你的猜想给予证明． AA F E B DC A D ② B DC BC ① 图 5.4-6 ③ %//解：(1)猜想：AB＝AC＋CD． (2)猜想：AB＋AC＝CD． 证明：在 BA 的延长线上截取 AE＝AC，连接 ED． ∵ AD 平分∠FAC，∴ ∠EAD＝∠CAD． AE＝AC， 在△EAD 与△CAD 中， ∠EAD＝∠CAD， AD＝AD， ∴ △EAD≌△CAD． ED＝CD，∠AED＝∠ACD． ∠FED＝∠ACB． 又∠ACB＝2∠B，∠FED＝∠B＋∠EDB，∠EDB＝∠B． EB＝ED． EA＋AB＝EB＝ED＝CD． ∴ AC＋AB＝CD．//%

动态数学 第五章 轴对称 79 3. 如图 5.4-7，AD 是△ABC 的角平分线，点 H，G 分别在 AC，AB 上，且 HD＝BD． (1)求证：∠B 与∠AHD 互补； (2)若∠B＋2∠DGA＝180°，请探究线段 AG 与线段 AH，HD 之间满足的等量关系，并加以证明． C %//解：(1)证明：在 AB 上取一点 M，使得 AM＝AH，连接 DM．∵ ∠CAD＝∠BAD，AD＝AD， ∴ △AHD≌△AMD． H D GB ∴ HD＝MD，∠AHD＝∠AMD． A ∵ HD＝DB， 图 5.4-7 ∴ DB＝MD． ∴ ∠DMB＝∠B． ∵ ∠AMD＋∠DMB＝180°， ∴ ∠AHD＋∠B＝180°， 即∠B 与∠AHD 互补． (2)由(1)∠AHD＝∠AMD，HD＝MD，∠AHD＋∠B＝180°． ∵ ∠B＋2∠DGA＝180°， ∴ ∠AHD＝2∠DGA． ∴ ∠AMD＝2∠DGM． ∵ ∠AMD＝∠DGM＋∠GDM． ∴ 2∠DGM＝∠DGM＋∠GDM． ∴ ∠DGM＝∠GDM． ∴ MD＝MG． ∴ HD＝MG． ∵ AG＝AM＋MG， ∴ AG＝AH＋HD．//%

80 5.4 本章复习 几何辅助线 4. 如图 5.4-8①，在△ABC 中，∠ACB＝2∠B，∠BAC 的平分线 AO 交 BC 于点 D，点 H 为 AO 上一动点， 过点 H 作直线 l⊥AO 于 H，分别交直线 AB，AC，BC 于点 N，E，M． (1)当直线 l 经过点 C 时(如图 5.4-8②)，证明：BN＝CD； (2)当 M 是 BC 中点时，写出 CE 和 CD 之间的数量关系，并加以证明； (3)请直接写出 BN，CE，CD 之间的数量关系． A A A %//解：(1)证明：连接 ND．∵ AO 平分l ∠BNACH， E l DC ∴ ∠1＝∠2． N O H （备用图） ∵ 直线 l⊥AO 于 H， B D CM C B O B D (M)(E) ∴ ∠4＝∠5＝90°． ① O ② 图 5.4-8 ∴ ∠6＝∠7． ∴ AN＝AC．∴ NH＝CH． ∴ AH 是线段 NC 的中垂线． ∴ DN＝DC．∴ ∠8＝∠9． ∴ ∠AND＝∠ACB． ∵ ∠AND＝∠B＋∠3，∠ACB＝2∠B， ∴ ∠B＝∠3．∴ BN＝DN． ∴ BN＝DC． (2)如图，当 M 是 BC 中点时，CE 和 CD 之间的等量关系为 CD＝2CE．证明：过点 C 作 CN′⊥AO 交 AB 于 N′． 由(1)可得 BN′＝CD，AN′＝AC，AN＝AE． ∴ ∠4＝∠3，NN′＝CE． 过点 C 作 CG∥AB 交直线 l 于 G． ∴ ∠4＝∠2，∠B＝∠1． ∴ ∠2＝∠3．∴ CG＝CE． ∵ M 是 BC 中点，∴ BM＝CM． ∠B＝∠1， 在△BNM 和△CGM 中， BM＝CM， ∠NMB＝∠GMC， ∴ △BNM≌△CGM．∴ BN＝CG．∴ BN＝CE．∴ CD＝BN′＝NN′＋BN＝2CE． (3)BN、CE、CD 之间的等量关系： 当点 M 在线段 BC 上时，CD＝BN＋CE； 当点 M 在 BC 的延长线上时，CD＝BN－CE； 当点 M 在 CB 的延长线上时，CD＝CE－BN．//%

动态数学 第五章 轴对称 81 5. 问题：如图 5.4-9，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝100°，BD 为∠ABC 的平分线，探究 AD，BD，BC 之间 的数量关系． 请你完成下列探究过程： (1)观察图形，猜想 AD，BD，BC 之间的数量关系为%//AD＋BD＝BC//%； (2)在对(1)中的猜想进行证明时，当推出∠ABC＝∠C＝40°后，可进一步推出∠ABD＝∠DBC＝%//20//%°； (3)为了使同学们顺利地解答本题(1)中的猜想，小强同学提供了一种探究的思路：在 BC 上截取 BE＝BD， 连接 DE，在此基础上继续推理可使问题得到解决．你可以参考小强的思路，画出图形，在此基础上对(1) 中的猜想加以证明．也可以选用其他的方法证明你的猜想． %//解：(1)AD＋BD＝BC． A (2)20． D (3)画出图形． 证明：在 BC 上截取 BF＝BA，连接 DF， ∵ ∠ABD＝∠DBC，BBD＝BD，∴ △ABD≌△FBD，C 图 5.4-9 ∴ AD＝DF，① ∵ ∠A＝100°，∴ ∠DFB＝∠A＝100°，∴ ∠DFC＝80°， ∵ BE＝BD，∠DBC＝20°， ∴ ∠BED＝∠BDE＝80°，∠DFE＝∠FED， ∴ DF＝DE，② ∵ ∠FED＝80°，∠C＝40°，∴ ∠EDC＝40°， ∴ ∠EDC＝∠C，∴ DE＝EC，③ ∴ AD＝EC，∴ AD＋BD＝BC．//%

82 5.4 本章复习 几何辅助线 6. (1)如图 5.4-10①，BP 为△ABC 的角平分线，PM⊥AB 于点 M，PN⊥BC 于点 N，AB＝30，BC＝23，请补 全图形，并求△ABP 与△BPC 的面积的比值； (2)如图 5.4-10②，分别以△ABC 的边 AB，AC 为边向外作等边△ABD 和等边△ACE，CD 与 BE 相交于点 O，判断∠AOD 与∠AOE 的数量关系，并证明； (3)在四边形 ABCD 中，已知 BC＝DC，且 AB≠AD，对角线 AC 平分∠BAD，请直接写出∠B 和∠D 的数 量关系． E AA P D O M BC BC 图 5.4-10② 图 5.4-10 ① %//(1)解：如图①所示．∵ BP 为△ABC 的角平分线，PM⊥AB 于 M，PN⊥BC 于 N， ∴ PM＝PN． ∵ S△ABP＝ 1 AB PM ，S△BPC＝ 1 BC PN，AB＝30，BC＝23， 2 2 ∴ SS△△BAPBCP＝BACB＝2330． (2)答：∠AOD 与∠AOE 的数量关系为相等． 证明：如图②，过点 A 作 AM⊥DC 于 M，AN⊥BE 于 N，∵ △ABD 和△ACE 都是等边三角形， ∴ AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝60°． ∵ ∠BAC＝∠CAB，∴ ∠DAC＝∠BAE．∴ △DAC≌△BAE． ∴ DC＝BE，S△DAC＝S△BAE． ∵ S△DAC＝ 1 DC AM，S△BAE＝ 1 BE AN，∴ AM＝AN． 2 2 ∴ 点 A 在∠DOE 的角平分线上．∴ ∠AOD＝∠AOE． (3)答：∠B＋∠D＝180°．//%

动态数学 第五章 轴对称 83 7. (1)已知：如图 5.4-11①，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，CD 平分∠ACB，点 E 为 AB 中点，PE⊥AB 交 CD 的延长线于点 P，猜想：∠PAC＋∠PBC＝%//180//%°(直接写出结论，不需证明)； (2)已知：如图 5.4-11②，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠BAC≠45°，CD 平分∠ACB，点 E 为 AB 中点， PE⊥AB 交 CD 的延长线于点 P，(1)中结论是否成立，若成立，请证明；若不成立请说明理由． %//解：(1)猜想：∠PAC＋∠PBC＝180°． P P (2)结论：依然成立． A A 证明：连结 CE．∵ E 为 AB 中点， ∴ AE＝EB＝EC ， D D ∴ ∠EAC＝∠ECA， E E ∠DCE＝∠ECA－∠DCA＝∠EAC－45°． 又∠DAC＝180°－∠ADC－45°＝135°－∠PDE ， C BC B ①② 图 5.4-11 ∴ ∠DCE＝135°－∠PDE －45°＝90°－∠PDE＝∠DPE， ∴ PE＝EC＝AE ， ∴ △PAE 与△PBE 为等腰直角三角形，∠APB＝90° ， ∠PAC＋∠PBC＝360°－∠APB－∠ACB＝360°－90°－90°＝180°．//% 8. 在等腰直角三角形 ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线 MN 过点 A 且 MN∥BC．以点 B 为一锐角顶点作 Rt△BDE，∠BDE＝90°，且点 D 在直线 MN 上(不与点 A 重合)．如图 5.4-12①，DE 与 AC 交于点 P，易 证：BD＝DP．(无需写证明过程) (1)在图 5.4-12②中，DE 与 CA 延长线交于点 P，BD＝DP 是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成 立，请说明理由； (2)在图 5.4-12③中，DE 与 AC 的延长线交于点 P，BD 与 DP 是否相等？请直接写出你的结论，无需证明． MD AN PE N MA DN B P MD A C E B CP B ③ E C ② ① 图 5.4-12 %//解：(1)在图②中 BD＝DP 成立． 证明：过点 D 作 DF⊥AD 交 AB 延长线于点 F．∵ AD∥BC，∠ABC＝45°， ∴ ∠BAD＝∠PAD＝45°， ∴ △ADF 是等腰直角三角形， ∴ AD＝DF，∠F＝45°． ∵ ∠BDP＝∠ADF＝90°， ∴ ∠ADP＝∠FDB， ∴ △ADP≌△FDB， ∴ DP＝BD． (2)图③中 BD＝DP．//%

84 第六章 勾股定理 几何辅助线 第六章 勾股定理 一、本章概述 本章共分为勾股定理与几何计算、勾股定理与几何证明和勾股弦图三部分，都是勾股定理的重难点内容． 二、知识回顾 1.勾股定理 (1)直角三角形两直角边 a，b 的平方和等于斜边 c 的平方．(即：a2＋b2＝c2) 2.勾股定理的逆定理 (2)如果三角形的三边长：a，b，c，满足关系 a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形． 3.勾股定理的证明 (3)勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法．用拼图的方法验证勾股定理的思路是： ①图形进行割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变； ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理． (4)常见方法如下： 方法一：4S△＋S 正方形 EFGH＝S 正方形 ABCD，4×12ab＋(b−a)2＝c2，化简可证． DC H EG F ba A cB 方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 S＝4×21ab＋c2＝2ab＋c2． 大正方形面积为 S＝(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，所以 a2＋b2＝c2． ba a c cb b cc a ab 方法三：S 梯形＝21(a＋b)(a＋b)，S 梯形＝2S△ADE＋S△ABE＝2×21ab＋12c2，化简得证． Aa D cb cE a B bC

动态数学 6.1 勾股定理与几何计算 85 6.1 勾股定理与几何计算 一、本节概述 本节主要讲解勾股定理常见的三种辅助线模型，怎样将斜三角形问题转化为直角三角形问题． 当遇到三角形内的几何计算，特别是长度计算时，可以考虑用勾股定理解决．在没有直角三角形时，我 们就构造直角三角形，方法就是作高．要尽量作与题中条件有关系的高，比如特殊角所对的高． 二、典例精析 知识点：勾股定理与几何计算 C 【例 1】如图 6.1-1，已知 AC＝2，∠A＝30°，∠B＝45°，则 BC2＝%//2//%． B A 图 6.1-1 思路分析 标记条件，题目中给出三角形的两个角和一条边，符合“AAS”，故三角形形状固定，可通过作高 转化为勾股定理解决，作高的时候，要充分利用特殊角． 思维探究(扫描二维码进行动态探究) 作 AB 边的垂线，将△ABC 分为两个直角三角形，将问题转化为直角三角形的问题． 解：作 CD⊥AB 于点 D． 先从右边的已知一边和一角的直角三角形入手，这是包含 30°，60°，90°的特殊直角三角形． 在 Rt△ADC 中， C B ∵ ∠A＝30°，∴ CD＝ (%//1//%) AC． (%//2//%) ∵ AC＝2，∴ CD＝%//1//%， A 得到 CD 后，再看左边的已知一边和一角的直角三角形，这是包含 45°，45°，90°的特殊直角三角形． 在 Rt△BDC 中， ∵ ∠B＝45°， ∴ ∠BCD＝%//90°－45°＝45//%°， ∴ △BDC 是等腰直角三角形， ∴ BD＝DC＝1． 根据勾股定理有 BC2＝%//＝BD2＋DC2＝12＋12＝2//%， 故答案为%//2//%． 方法总结 这是利用勾股定理时常见的辅助线作法之一：三角形给出的条件满足“AAS”，作高的时候要充分利用 特殊角，使分割后得到的直角三角形能求解即可． 此例题是垂线在三角形内，并获得特殊直角三角形的例子．

86 第六章 勾股定理 几何辅助线 【例 2】如图 6.1-2，在△ABC 中，∠A＝120°，AB＝1，AC＝2，则 BC2＝%//7//%． C AB 图 6.1-2 思路分析 标记条件，给出的三角形符合“SAS”，故形状固定，可通过作高解决，作高时要充分利用特殊角， 因为给出的特殊角是钝角，故可利用它的补角． 思维探究(扫描二维码进行动态探究) 作 AB 边的垂线，将△ABC 扩展为直角三角形，将问题转化为直角三角形的问题． 解：作 CD⊥AB，交 BA 延长线于点 D， ∵ ∠CAB＋∠CAD＝%//180//% °， ∴ ∠CAD＝%//180°－∠CAB＝60//% °． C AB 在 Rt△ADC 中， ∠ACD＝%//90°－∠CAD＝30//% °， ∴ AD＝%// 21AC＝21×2＝1//% ． 由勾股定理得： CD2＝AC2－%//AD//%2＝%//22−12＝3//% ． 再看含有目标线段 CB 的直角三角形△CDB． 在 Rt△CDB 中， 根据勾股定理，BC2＝CD2＋%//DB//%2＝%//3＋(1＋1)2//%， ∴ BC2＝%//7//%． 方法总结 这是利用勾股定理时常见的辅助线作法之一：通过钝角三角形的一个锐角的顶点作对边的垂线，这时垂 线落在三角形之外，原来的三角形是两个直角三角形的“差”． 此例题是垂线在三角形外，并获得特殊直角三角形的例子．

动态数学 6.1 勾股定理与几何计算 87 【例 3】如图 6.1-3，在△ABC 中，AB＝13，BC＝14，AC＝15，则△ABC 的面积 S 是%//84//%． A B C 图 6.1-3 思路分析 标记条件，给出的三角形符合“SSS”，故形状固定，可通过作高解决，过任意顶点作高均可，但 计算难度有一定差异． 求三角形面积，我们可以作一边的垂线．问题转化为求这个“高”．通过三边长度和垂线得到的两 个直角三角形，利用勾股定理来列式求解． 思维探究(扫描二维码进行动态探究) 作垂线分三角形成两个直角三角形，利用它们的公共垂线(高线)为一边，列式求解垂线交点的位置． 解：作 AD⊥BC 于点 D，设 BD＝x，则 DC＝14－x． 在 Rt△ADB 中，根据勾股定理： ．(1) AD2＝%//132−x2//% 在 Rt△ADC 中，根据勾股定理： ．(2) AD2＝%//152−(14−x)2＝152−142＋28x−x2//% 式(1)和式(2)两边相减，得到方程： ， A %//0＝152−142−132＋28x//% BC 解方程得：x＝%//5//%． 得到 x 后，代入公式(1)，有 AD2＝%//132−x2＝132−52＝144//%， ∴ AD＝%//12//%． 现在有了 BC 及其对应的高 AD 的长度，可计算△ABC 的面积， S△ABC＝21BC·%//AD//%＝12×%//14//%×%//12//%＝%//84//%， 故答案是%//84//%． 方法总结 这是利用勾股定理时常见的辅助线作法之一：通过锐角三角形的一个顶点作对边的垂线，这时垂线落在 三角形之内，原来的三角形被拆分成两个直角三角形． 和例 1 相比，两个例题中的辅助线的作法都是通过作垂线将三角形一分为二，但它们的推导过程不同．究 其原因，例 1 是从已知条件 AAS 出发进行几何推理，而本例则是从已知条件 SSS 出发进行代数推导． 此例题是垂线在三角形内，但没有形成特殊直角三角形时，如何利用两个一般直角三角形的通用例子．

88 第六章 勾股定理 几何辅助线 三、成果检测 1. 如图 6.1-4，要测量 B 点到河岸 AD 的距离，在 A 点测得∠BAD＝30°，在 C 点测得∠BCD＝60°，又测 得 AC＝100 米，则 B 点到河岸 AD 的距离为........................................................................................................(%//B//%) A．100 米 B．50 3米 C．2003 3米 D．50 米 A B CP MD A CD A NB O MN B 图 6.1-4 图 6.1-5 图 6.1-6 2. 如图 6.1-5，Rt△ABC 中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC 折叠，使 A 点与 BC 的中点 D 重合，折 痕为 MN，则线段 BN 的长为...................................................................................................................................... (%//C//%) A．53 B．25 C．4 D．5 3. 如图 6.1-6，已知∠AOB＝60°，点 P 在边 OA 上，OP＝12，点 M，N 在边 OB 上，PM＝PN，若 MN＝2， 则 OM＝.............................................................................................................................................................................. (%//C//%) A．3 B．4 C．5 D．6 4. 如图 6.1-7，在△ABC 中，∠ACB＝90°，D 是 BC 的中点，DE⊥BC，CE∥AD．若 AC＝2，CE＝4，求 四边形 ACEB 的周长． A %//解：∵ ∠ACB＝90°，DE⊥BC， ∴ AC∥DE． C DB 又∵ CE∥AD， E ∴ 四边形 ACED 的是平行四边形． 图 6.1-7 ∴ DE＝AC＝2． 在 Rt△CDE 中， 由勾股定理得 CD＝ CE2－DE2＝2 3 ． ∵ D 是 BC 的中点， ∴ BC＝2CD＝4 3 ． 在 Rt△ABC 中， 由勾股定理得 AB＝ AC2＋BC2＝2 13． ∵ D 是 BC 的中点，DE⊥BC， ∴ EB＝EC＝4． ∴ 四边形 ACEB 的周长＝AC＋CE＋EB＋BA＝10＋2 13．//%

动态数学 6.1 勾股定理与几何计算 89 5. 已知：如图 6.1-8，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，CD⊥AD 于点 D，∠DCB＝∠B，若 AC＝10，AB＝26， 求 AD 的长． A %//解：如图，延长 CD 交 AB 于点 E．∵ AD 平分∠BAC，CD⊥AD 于点 D， ∴ ∠EAD＝∠CAD，∠ADE＝∠ADC＝90°． D ∴ ∠AED＝∠ACD． BC 图 6.1-8 ∴ AE＝AC． ∵ AC＝10，AB＝26， ∴ AE＝10，BE＝16． ∵ ∠DCB＝∠B， ∴ EB＝EC＝16． ∵ AE＝AC，CD⊥AD， ∴ ED＝CD＝8． 在 Rt△ADC 中，∠ADC＝90°， ∴ AD＝ AC2－CD2＝ 102－82＝6．//% 6. 小明听说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下问题：如图 6.1-9，以往从黄石 A 坐客车到武昌客运 站 B，现在可以在 A 坐城际列车到武汉青山站 C，再从青山站 C 坐市内公共汽车到武昌客运站 B．设 AB＝ 80 km，BC＝20 km，∠ABC＝120°．请你帮助小明解决以下问题： (1)求 A，C 之间的距离；(参考数据 21≈4.6) (2)若客车的平均速度是 60 km/h，市内的公共汽车的平均速度为 40 km/h，城际列车的平均速度为 180 km/h， 为了最短时间到达武昌客运站，小明应该选择哪种乘车方案？请说明理由．(不计候车时间) %//解：(1)过点 C 作 AB 的垂线，交 AB 的延长线于 E 点，∵ ∠ABC＝120°，BC＝20， C ∴ BE＝10，CE＝10 3 ， 在△ACE 中， 120° ∵ AC2＝8100＋300， AB ∴ AC＝20 21≈20×4.6＝92 km， 图 6.1-9 (2)乘客车需时间 t1＝8600＝1 1 (小时)； 3 乘列车需时间 t2＝19820＋4200＝1910(小时)； ∴ 选择城际列车．//%

90 第六章 勾股定理 几何辅助线 6.2 勾股定理与几何证明 一、本节概述 本节主要讲解勾股定理及其逆定理在几何证明中的应用，出现线段平方时，可以考虑利用勾股定理．用 勾股定理的逆定理证明直角也是一种常见的应用方法． 二、典例精析 知识点：勾股定理与几何证明 【例 1】如图 6.2-1 所示，在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，AD 为 BC 边中线，DE⊥AC 于点 E，求证：AB2＋ EC2＝AE2． A E C D B 图 6.2-1 题意理解 标记已知条件，将目标线段标上彩色．拖动 C，B 和 A 点，探究题意和思路． 思路分析 因为出现线段的平方和直角，考虑用勾股定理． 线段中点可以用于几何构型，也可以用于数量的计算，经过尝试发现，本题要用它做数量计算． 思维探究(扫描二维码进行动态探究) 图中有三个直角三角形，而目标线段分别是这三个直角三角形的一条边．我们用勾股定理为每个直角三 角形列式，然后联合推导． 证明：以目标中的 AB，EC，AE 为对象，列勾股定理公式： E A 在 Rt△ABD 中，AB2＝AD2−%//BD//%2．(1) CD B 在 Rt△CED 中，EC2＝CD2−%//DE//%2．(2) 在 Rt△AED 中，AE2＝AD2−%//DE//%2．(3) (1)＋(2)得： AB2＋EC2＝AD2−%//BD//%2＋CD2−%//DE//%2． ∵ BD＝CD， ∴ AB2＋EC2＝%//AD2−DE2//%```````````．(4) 联合考虑公式(3)和(4)， 我们得到：AB2＋EC2＝AE2． 方法总结 因为出现线段的平方和直角，考虑用勾股定理． 注意两点：(1)本图有三个直角三角形，全部用到了，发现并利用图中的所有直角三角形，是本题的解题 关键． (2)分散的边通过勾股定理转化，集中，然后建立关系．

动态数学 6.2 勾股定理与几何证明 91 【例 2】如图 6.2-2，在△ABC 中，AB＝AC，P 是 BC 边上一动点，连接 AP，求证：BP•CP＝AB2－AP2． A BP C 图 6.2-2 题意理解(扫描二维码进行动态探究) 标记条件，拖动动点，探究题意和思路． 思路分析 当点 P 与点 B，C 重合时，结论显然成立，当 P 点在 BC 中点时，结论也成立，因此可以考虑借助 特殊情况，解决一般情况． 思维探究 证明：取 BC 中点 D，连接 AD， A ∵ AB＝AC， ∴ AD⊥BC， 在 Rt△ADP 中，由勾股定理得： ．(1) AP2＝%//AD2＋DP2//% 在 Rt△ADB 中，由勾股定理得： BP C AB2＝%//AD2＋BD2//% ．(2) ∴ AB2−AP2＝%//AD2＋BD2−AD2−DP2//% ＝%//BD2−DP2//% ＝(BD＋DP) ·(%//BD−DP//% ) ＝(DC＋DP)·%//BP//% ＝%//CP//%·BP． ∴ BP•CP＝AB2－AP2． 方法总结 题目中有平方关系，可以考虑构造直角三角形，应用勾股定理．

92 第六章 勾股定理 几何辅助线 三、成果检测 1. 如图 6.2-3①，在△ABC 中，3∠A＋∠B＝180°，BC＝4，AC＝5，求 AB 的长． 小明的思路：如图 6.2-3②，作 BE⊥AC 交 AC 于点 E，在 AC 的延长线上取点 D，使得 DE＝AE，连接 BD， 易得∠A＝∠D，△ABD 为等腰三角形．由 3∠A＋∠ABC＝180°和∠A＋∠ABC＋∠BCA＝180°，容易得到 ∠BCA＝2∠A，△BCD 为等腰三角形．依据已知条件可得 AE 和 AB 的长． 解决下列问题： (1)图 6.2-3②中，AE＝%// 29//%，AB＝%//6//%； (2)在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边分别为 a，b，c． ①如图 6.2-3③，当 3∠A＋2∠B＝180°时，用含 a，c 的式子表示 b；(要求写解答过程) ②当 3∠A＋4∠B＝180°，b＝2，c＝3 时，可得 a＝%// √15//%． 3 B BB C AD CE AC A ① ② ③ 图 6.2-3 %//解：(1)AE＝ 9 ，AB＝6； 2 (2)①作 BE⊥AC 交 AC 延长线于点 E，在 AE 延长线上取点 D，使得 DE＝AE，连接 BD．∴ BE 为 AD 的 中垂线． ∴ AB＝BD＝c． ∴ ∠A＝∠D． ∵ ∠A＋∠D＋∠ABD＝180°， ∴ ∠DBC＋2∠A＋∠1＝180°． ∵ 3∠A＋2∠1＝180°， ∴ ∠DBC＝∠A＋∠1． ∵ ∠3＝∠A＋∠1，∴ ∠3＝∠DBC．∴ CD＝BD＝c． b＋c c－b ∴ AE＝ 2 ，CE＝ 2 ． 在△BEC 中，∠BEC＝90°，BE2＝BC2－CE2． 在△BEA 中，∠BEA＝90°，BE2＝AB2－AE2． ∴ AB2－AE2＝BC2－CE2． ∴ c2－(b＋2 c)2＝a2－(c－2 b)2． c2－a2 ∴ b＝ c ． ②a＝ 315．//%

动态数学 6.2 勾股定理与几何证明 93 2. 如图 6.2-4，正方形 ABCD 的边长为 6，点 E 为 BC 的中点，点 F 在 AB 边上，BF＝2AF．画出∠EDF，猜 想∠EDF 的度数并写出计算过程． AB %//解：所画∠EDF 如图①所示．∠EDF 的度数为 45°． 解法一(代数法)：如图 4，连接 EF，作 FG⊥DE 于点 G．∵ 正方形 ABCD 的边长为 6， ∴ AB＝BC＝CD＝AD＝6，∠A＝∠B＝∠C＝90°． D C 图 6.2-4 ∵ 点 E 为 BC 的中点，∴ BE＝EC＝3． ∵ 点 F 在 AB 边上，BF＝2AF，∴ AF＝2，BF＝4． 在 Rt△ADF 中，∠A＝90°，∴ DF2＝AD2＋AF2＝62＋22＝40． 在 Rt△BEF，Rt△CDE 中，同理有 EF2＝BE2＋BF2＝32＋42＝25， DE2＝CD2＋CE2＝62＋32＝45． 在 Rt△DFG 和 Rt△EFG 中，有 FG2＝DF2－DG2＝EF2－EG2． 设 DG＝x，则 40－x2＝25－(3 5 －x)2． 整理，得 6 5 x＝60． 解得 x＝2 5 ，即 DG＝2 5 ． ∴ FG＝ DF2－DG2＝ 40－(2 5 )2＝ 20＝2 5 ．∴ DG＝FG． 180°－∠DGF ∵ ∠DGF＝90°，∴ ∠EDF＝ 2 ＝45°． 解法二(几何法)：如图 5，延长 BC 到点 H，使 CH＝AF，连接 DH，EF．∵ 正方形 ABCD 的边长为 6， ∴ AB＝BC＝CD＝AD＝6，∠A＝∠B＝∠ADC＝∠DCE＝90°． ∴ ∠DCH＝180°－∠DCE＝90°，∠A＝∠DCH． AD＝CD， 在△ADF 和△CDH 中， ∠A＝∠DCH， AF＝CH， ∴ △ADF≌△CDH．(SAS) ∴ DF＝DH，① ∴ ∠1＝∠2．∴ ∠FDH＝∠FDC＋∠2＝∠FDC＋∠1＝∠ADC＝90°． ∵ 点 E 为 BC 的中点，∴ BE＝EC＝3． ∵ 点 F 在 AB 边上，BF＝2AF，∴ CH＝AF＝2，BF＝4．∴ EH＝CE＋CH＝5． 在 Rt△BEF 中，∠B＝90°，EF＝ BE2＋BF2＝ 32＋42＝5．∴ EF＝EH．② 又∵ DE＝DE，③ 由①②③得△DEF≌△DEH．(SSS) ∠FDH ∴ ∠EDF＝∠EDH＝ 2 ＝45°．//%

94 第六章 勾股定理 几何辅助线 6.3 勾股弦图 一、本节概述 勾股弦图实际上是在证明勾股定理的时候产生的一个模型，它是证明三角形全等的一个重要模型，同时 也可以用来构造 45°角．勾股弦图有下面两种情况： 内弦图 “勾三股四弦五”，较短的直角边叫勾，较长的直角边叫股，斜边叫弦，由于这个图形的两条弦边在图 形内部，故这个模型可以叫做“内弦图”．经常用到下面两个结论： (1)若△ABC 是等腰直角三角形，则 Rt△ABD≌Rt△CAE； (2)若 Rt△ABD≌Rt△CAE，则△ABC 是等腰直角三角形． C B 弦 股 弦 勾 D 股 A勾E 外弦图 由于这个图形的两条弦边在图形外面，故这个模型可以叫做“外弦图”．经常用到下面两个结论： (1)若△ABC 是等腰直角三角形，则 Rt△ABD≌Rt△CAE； (2)若 Rt△ABD≌Rt△CAE，则△ABC 是等腰直角三角形． E勾 C 股 弦 股D 二、典例精析 B 勾 知识点：勾股弦图 弦 A 能力目标： 1.熟练掌握勾股弦图模型； 2.能构造勾股弦图解决问题． 【例 1】如图 6.3-1，△ABC 中，∠BAC＝45°，AB＝ 2，AC＝4，△BCD 是等腰直角三角形，∠CBD＝90°， 则 AD2＝%//20//%． D B C A 图 6.3-1 题意理解(扫描二维码进行动态探究) 标记条件，拖动动点，探究题意和思路．

动态数学 6.3 勾股弦图 95 思路分析 本题已经知道 SAS，所以△ABC 是确定的三角形； 而以 BC 为腰的等腰三角形，也是确定的三角形． 利用这两个图形，我们可以计算 AD 的平方．思路是把直角三角形切分，利用勾股定理，结合计算 进行求解． 思维探究 D 方法一：内弦图法 在△ABC 中知道三个条件，欲求出其他量，作高即可． 解：作 BE⊥AC 于点 E， B C 在 Rt△ABE 中，∠BAC＝45°，AB＝ 2， A 由勾股定理得：AE＝BE＝%//1//%， ∴ CE＝AC－AE＝%//3//%． 题目中出现了等腰 Rt△BCD 和一直角三角形，故可考虑构造勾股弦图． 作 DF⊥BE，交 EB 延长线于点 F， ∵ ∠DBF＋∠CBE＝90°，∠BCE＋∠CBE＝90°， ∴ ∠DBF＝∠%//BCE//%， 又∵ ∠DFB＝∠%//BEC//%＝90°，BD＝%//CB//%， ∴ △DFB≌△%//BEC//%， ∴ DF＝BE＝%//1//%，BF＝CE＝%//3//%． 构造直角三角形，通过勾股定理求出 AD2． 作 DG⊥AC 于点 G，易知四边形 FDGE 是矩形， ∴ DG＝FE＝FB＋BE＝%//3＋1＝4//%，EG＝FD＝%//1//%， ∴ AG＝AE＋EG＝%//2//%， 在 Rt△AGD 中，用勾股定理计算 AD：AD2＝AG2＋DG2＝%//22＋42＝20//%． 方法总结 此方法是通过构造“内弦图”转化线段的位置，以便利用勾股定理求解，当看到等腰直角三角形和直角 三角形时，可考虑补全成完整的勾股弦图． D 方法二：外弦图法 N 作辅助线如图，下面是简单推导： M 解：Rt△AMC 是(45°，45°，90°)特殊直角三角形． B C MC＝MA＝AC× 22＝2 2，MB＝AM−AB＝2 2 − 2＝ 2， A Rt△BMC 和 Rt△BND 是勾股弦图模型，在勾股相等的情况下，彼此全等． 所以有 DN＝BM＝ 2，BN＝CM＝2 2． 在 Rt△AND 中，计算 AD：AD2＝AN2＋DN2＝(3 2)2＋( 2)2＝20．