一元二次方程

一、教学目标

(一)知识与技能：1.理解一元二次方程概念是以未知数的个数和次数为标准的；2.掌握一元

二次方程的一般形式以及三种特殊形式，能将一个一元二次方程化为一般形式；3.理解二次

根式的根的概念，会判断一个数是否是一个一元二次方程的根.

(二)过程与方法：1.通过根据实际问题列方程，向学生渗透知识来源于生活；2.通过观察、

思考、交流，获得一元二次方程的概念及其一般形式.

(三)情感态度与价值观：用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情.

二、教学重点、难点

重点：一元二次方程的概念，一般形式和一元二次方程的根的概念.

难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元

二次方程的概念.

三、教学过程

引言 在设计人体雕像时，使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比，等于下部与全

部(全身)的高度比，可以增加视觉美感.按此比例，如果雕像的高为 2m，那么它的下部应设

计为多高？

如图，雕像的上部高度 AC 与下部高度 BC 应有如下关系：

AC:BC=BC:2，即 BC2=2AC.

设雕像下部高 xm，可得方程 x

2=2(2-x)

整理得 x

2+2x-4=0 ①

问题 1 如图，有一块矩形铁皮，长 100cm，宽 50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，

然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为

3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？

设切去的正方形的边长为 xcm，则盒底的长为(100-2x)cm，宽为

(50-2x)cm. 根据方盒底面积为 3600cm2，得

(100-2x)(50-2x)=3600

整理，得 4x

2-300x+1400=0

化简，得 x

2-75x+350=0 ②

由方程②可以得出所切正方形的具体尺寸.

方程②中未知数的个数和最高次数各是多少？

问题 2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条

件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，比赛组织者应邀请多少队参赛？

全部比赛的场数为 4×7=28.

设应邀请 x 个队参赛，每个队要与其它(x-1)个队各赛 1 场，由于甲队对乙队的比赛和乙队

对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共

2

1

x(x-1)场.

列方程

2

1

x(x-1)=28，整理，得

28

2

1

2

1 2

x − x = ，化简，得 x

2-x=56 ③

由方程③可以得出参赛队数.

方程③中未知数的个数和最高次数各是多少？

x

2+2x-4=0 ① x

2-75x+350=0 ② x

2-x=56 ③

思考 方程①②③有什么共同点？

特点：(1) 都是整式方程；(2) 只含有一个未知数；(3) 未知数的最高次数是 2.

4x

2=9，x

2+3x=0，3y

2-5y=7-y 等也是这样的方程.

像这样，等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是 2(二

次)的方程，叫做一元二次方程.

一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，都能化为 ax2＋bx＋c＝0 的形式，我们把 ax2

＋bx＋c＝0(a，b，c 为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式.其中 ax2 是二次项，a 是

二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项.

为什么规定 a≠0？b，c 可以为零吗？

使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫

做一元二次方程的根. 例如，x=8 是 x

2-x=56 的解.

例 将方程 3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次

项系数和常数项.

解：去括号，得 3x

2-3x=5x+10

移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x

2-8x-10=0

其中二次项系数为 3，一次项系数为-8，常数项为-10.

练习

1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数

项：

2.根据下列问题，列出关于 x 的方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：

(1)4 个完全相同的正方形的面积之和是 25，求正方形的边长 x；

解：4x

2=25，化成一般形式为 4x

2-25=0.

(2)一个矩形的长比宽多 2，面积是 100，求矩形的长 x；

解：x(x-2)=100，化成一般形式为 x

2-2x-100=0.

(3)把长为 1 的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求

较短一段的长 x.

解：x=(1-x)

2，化成一般形式为 x

2-3x+1=0.

课堂小结

1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？

四、教学反思

教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为数学问题，体会数

学建模的思想方法.

用直接开平方法解一元二次方程

一、教学目标

(一)知识与技能：认识形如 x

2＝p(p≥0)或(mx+n)

2＝p(m≠0，p≥0，m，n， p 为常数)类

型的方程，并会用直接开平方法解.

(二)过程与方法：培养学生准确而简洁的计算能力及抽象概括能力.

(三)情感态度与价值观：通过两边同时开平方，将 2 次方程转化为一次方程，向学生渗透数

学新知识的学习往往由未知(新知识)向己知(旧知识)转化，这是研究数学问题常用的方法，

化未知为已知.

二、教学重点、难点

重点：运用开平方法解形如(mx+n)

2＝p(m≠0，p≥0，m，n， p 为常数)的方程，领会降次

一转化的数学思想.

难点：通过根据平方根的意义解形如 x

2＝p 的方程，知识迁移到根据平方根的意义解形如

(mx+n)

2＝p (m≠0，p≥0，m，n， p 为常数)的方程.

三、教学过程

知识预备

1.什么是平方根？一个数的平方根怎样表示？

一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根. a(a≥0)的平方根记作：

±

a . x

2＝a(a≥0)，则根据平方根的定义知， x＝±

a .

2.完全平方式：a

2＋2ab＋b

2＝(_____)2，a

2_________＝(a－b)

2

3.练一练：若 x

2＝16，则 x＝____；x

2－6x＋9＝_______.

问题 1 一桶油漆可刷的面积为 1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完 10 个同样的正方体形状

的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？

解：设其中一个盒子的棱长为 x dm，则这个盒子的表面积为 6x

2 dm 2.

根据一桶油漆可刷的面积，列出方程

10×6x

2＝1500 ①

整理，得 x

2＝25

根据平方根的意义，得 x＝±5

即 x1＝5，x2＝-5

可以验证，5 和-5 是方程①的两个根，因为棱长不能是负值，所以盒子的棱长为 5dm.

一般地，对于方程 x

2＝p， (Ⅰ)

(1) 当 p＞0 时，根据平方根的意义，方程(Ⅰ)有两个不等的实数根 x1＝ p ，x2＝- p

；

(2) 当 p＝0 时，方程(Ⅰ)有两个相等的实数根 x1＝x2＝0；

(3) 当 p＜0 时，因为对任意实数 x，都有 x

2≥0，所以方程(Ⅰ)无实数根.

探究

对照前面解方程 10×6x

2=1500 ①的过程，你认为应怎样解方程(x+3)

2=5 及 9x

2-12x+4=3？

在解方程①时，由方程 x

2=25 得 x=±5. 由此想到：

由方程 (x+3)

2=5， ②

得 x+3=±

5

即 x+3= 5

，或 x+3=- 5 . ③

于是，方程(x+3)

2=5 的两个根为 x1=-3+

5 ，x2=-3- 5 .

上面的解法中，由方程②得到③，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元

一次方程.

由方程 9x

2-12x+4=3

化成 (3x-2)

2=3

得 3x-2=±

3

即 3x-2= 3

，或 3x-2=- 3 .

于是，方程 9x

2-12x+4=3 的两个根为

3

2 3

1

+

x = ，

3

2 3

2

−

x =

知识梳理

●知识点一 直接开平方法

方程 x

2=p(p≥0)的解为 x1= p ，x2=- p .

由方程(mx+n)

2=p(p≥0)，可得 mx+n= p

或 mx+n=- p .

●知识点二 降次思想

一元二次方程一般通过降次转化成两个一元一次方程来解.直接开平方法是降次的一种

方法.

练习

解下列方程：

(1) 2x

2-8=0 (2) 9x

2-5=3 (3) (x+6)

2-9=0

(4) 3(x-1)

2-6=0 (5) x

2-4x+4=5 (6) 9x

2+5=1

课堂小结

1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？

四、教学反思

解：(1)2x

2=8

x

2=4

x =±2

∴ x1=2，x2=-2

解：(2)9x

2=8

x

2=

9

8

x =±

9

8

∴ x1=

3

2 2 ，x2=-

3

2 2

解：(3)( x+6)

2=9

x+6=±3

即 x+6=3，或 x+6=-3

∴ x1=-3，x2=-9

解：(4) 3( x-1)

2=6

( x-1)

2=2

x-1=±

2

即 x-1= 2

，或 x-1=- 2

∴ x1= 2

+1，x2=- 2

+1

解：(5) ( x-2)

2=5

x-2=±

5

即 x-2= 5

，或 x-2=- 5

∴ x1=2+

5 ，x2=2- 5

解：(6) 9x

2=-4

x

2=-

9

4

∵

0

9

4

− 

∴ 方程无实数根.

教学过程中，强调利用开平方法解一元二次方程的本质是求一个数的平方根的过程，同

时体会到解一元二次方程过程就是一个“降次”的过程.

用配方法解一元二次方程

一、教学目标

(一)知识与技能：1.进一步理解配方法和配方的目的；2.掌握运用配方法解一元二次方程的

步骤；3.会利用配方法熟练灵活地解二次项系数不是 1 的一元二次方程.

(二)过程与方法：通过对比用配方法解二次项系数是 1 的一元二次方程，解二次项系数不是

1 的一元二次方程，经历从简单到复杂的过程，对配方法全面认识.

(三)情感态度与价值观：通过对配方法的探究活动，培养学生勇于探索的学习精神，感受数

学的严谨性和数学结论的确定性.

二、教学重点、难点

重点：利用配方法解一元二次方程.

难点：用配方法解二次项系数不是 1 的一元二次方程，首先方程两边都除以二次项系数，将

方程化为二次项系数是 1 的类型.

三、教学过程

知识预备

1.在代数式 x

2-2x 中，一次项系数为____.

2.若 a=b，则 a+5=b+___.

3.应用完全平方公式填空： (1) x

2+6x+___=(x+3)

2 (2) x

2-12x+___=(x-___)2

探究

怎样解方程 x

2+6x+4=0？

x

2+6x+9=5 (x+3)

2=5 完全平方形式(x+3)

2，5 非负数

直接开平方法(降次)解方程

x+3=±

5 → x+3= 5

，或 x+3=- 5 → ∴ x1= 5 -3，x2=- 5 -3

能否将方程 x

2+6x+4=0 转化为可以用直接开平方法(降次)的形式再求解呢？

x

2+6x+4=0(移项)→x

2+6x=-4(两边加 9(即

2

2

6













)使左边配成 x

2+2bx+b

2的形式)→

x

2+6x+9=-4+9(左边写成完全平方形式)→(x+3)

2=5(直接开平方(降次))→x+3=±

5 →

x+3= 5

，或 x+3=- 5

(解一次方程)→x1= 5 -3，x2=- 5 -3

为什么在方程 x

2+6x=-4 的两边加 9？加其他数行吗？

像这样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法. 可以看出，配

方是为了降次，把一个一元二次方程转化成两一个一元一次方程来解.

例 1 解下列方程：

(1) x

2-8x+1=0 (2) 2x

2+1=3x (3) 3x

2-6x+4=0

解：(1)移项，得 x

2-8x=-1

配方，得 x

2-8x+4

2=-1+4

2

(x-4)

2=15

由此可得 x-4=±

15

∴ x1=4+

15 ，x2=4- 15

解：(2)移项，得 2x

2-3x=-1

二次项系数化为 1，得 x

2-

2

3

x=-

2

1

配方，得 x

2-

2

3

x+(

4

3

)

2=-

2

1

+(

4

3

)

2

16

1

4

3

2

 =











x −

由此可得 x4

3

=±

4

1

∴ x1=1，x2=

2

1

解：(3)移项，得 3x

2-6x=-4

二次项系数化为 1，得 x

2-2x=-

3

4

配方，得 x

2-2x+1

2=-

3

4

+1

2

(x-1)

2=-

3

1

因为实数的平方不会是负数，所以 x 取任何实数时，(x-1)

2都是非负数，上式都不成立，

即原方程无实数根.

归纳总结

配方法解一元二次方程的一般步骤：

(1)将一元二次方程化为一般形式；

(2)把常数项移到方程的右边；

(3)在方程两边同除以二次项系数，将二次项系数化为 1；

(4)在方程两边都加上一次项系数一半的平方，然后将方程左边化为一个完全平方式，右边

为一个常数；

(5)当方程右边为一个非负数时，用直接开平方法解这个一元二次方程；当方程右边是负数

时，原方程无实数根.

一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x＋n)

2＝p (Ⅱ)

(1) 当 p＞0 时，方程(Ⅱ)有两个不等的实数根 x1＝－n－ p ，x2＝－n＋

p

；

(2) 当 p＝0 时，方程(Ⅱ)有两个相等的实数根 x1＝x2＝－n；

(3) 当 p＜0 时，因为对任意实数 x，都有(x＋n)

2≥0，所以方程(Ⅱ)无实数根.

练习

1.填空：

(1) x

2+10x+___=(x+__)2 (2) x

2-12x+___=(x-__)2

(3) x

2+5x+___=(x+__)2 (4) x

2-

3

2

x+___=(x-__)2

2.解下列方程：

(1) x

2+10x+9=0 (2) x

2-x4

7

=0 (3) 3x

2+6x-4=0

解：(1)移项，得 x

2+10x=-9

配方，得 x

2+10x+5

2=-9+5

2

(x+5)

2=16

由此可得 x+5=±4

∴ x1=-1，x2=-9

解：(2)移项，得 x

2-x=

4

7

配方，得 x

2-x+(

2

1

)

2=

4

7

+(

2

1

)

2

(x2

1

)

2=2

由此可得 x2

1

=±

2

∴ x1=

2

1

+

2 ，x2=

2

1

- 2

解：(3)移项，得 3x

2+6x=4

二次项系数化为 1，得 x

2+2x=

3

4

配方，得 x

2+2x+1

2=

3

4

+1

2

(x+1)

2=

3

7

由此可得 x+1=±

3

7

(4) 4x

2-6x-3=0 (5) x

2+4x-9=2x-11 (6) x(x+4)=8x+12

解：(4)移项，得 4x

2-6x=3

二次项系数化为 1，得 x

2-

2

3

x=

4

3

配方，得

2 2

2

4

3

4

3

4

3

2

3













 = +











x − x +

16

21

4

3

2

 =











x −

由此可得

4

21

4

3

x − = 

∴

4

21

4

3

x1

= + ，

4

21

4

3

x2

= −

解：(5)移项，合并得 x

2+2x=-2

配方，得 x

2+2x+1

2=-2+1

2

(x+1)

2=-1

∵ -1＜0

∴ 原方程无实数根

解：(6)去括号，得 x

2+4x=8x+12

移项，合并得 x

2-4x=12

配方，得 x

2-4x+2

2=12+2

2

(x-2)

2=16

由此可得 x-2=±4

∴ x1=6，x2=-2

课堂小结

1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？

四、教学反思

教学过程中，强调配方法解方程就是将方程左边配成完全平方式的过程，因此需熟练掌

握完全平方式的形式.

公式法

一、教学目标

(一)知识与技能：1.理解一元二次方程求根公式的推导过程；2.掌握公式结构，知道使用公

式前先将方程化为一般形式，通过判别式判断根的情况；3.会利用求根公式解简单数字系数

的一元二次方程.

(二)过程与方法：经历从用配方法解数字系数的一元二次方程到解字母系数的一元二次方程

探索求根公式，发展学生合情合理的推理能力，并认识到配方法是理解公式的基础.

(三)情感态度与价值观：感受数学的严谨性和数学结论的确定性，提高学生运算能力，使学

生获得成功体验，建立学习信心.

二、教学重点、难点

重点：求根公式的推导和公式法的应用.

难点：一元二次方程求根公式法的推导.

三、教学过程

用配方法解方程：2x

2-7x+3=0

解：移项，得 2x

2-7x=-3

二次项系数化为 1，得

2

3

2

2 7

x − x = −

配方，得

2 2

2

4

7

2

3

4

7

2

7













 = − +











x − x +

16

25

4

7

2

 =











x − ，

4

5

4

7

x − =  ，∴ x1=3，x2=

2

1

利用配方法解一元二次方程的一般步骤是相同的.

配方法解一元二次方程的一般步骤：

(1)将一元二次方程化为一般形式；

(2)把常数项移到方程的右边；

(3)在方程两边同除以二次项系数，将二次项系数化为 1；

(4)在方程两边都加上一次项系数一半的平方，然后将方程左边化为一个完全平方式，右边

为一个常数；

(5)当方程右边为一个非负数时，用直接开平方法解这个一元二次方程；当方程右边是负数

时，原方程无实数根.

探究

任何一个一元二次方程都可以写成一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0)，能否也用配方法得出

ax2+bx+c=0(a≠0)的解呢？

ax2+bx+c=0(a≠0)

移项，得 ax2+bx=-c

二次项系数化为 1，得

a

c

x

a

b

x + = −

2

配方，得

2 2

2

2 2













 = − +











+ +

a

b

a

c

a

b

x

a

b

x

即

2

2

2

4

4

2 a

b ac

a

b

x

−

 =











+ ①

∵ a≠0，∴ 4a

2＞0.式子 b

2-4ac 的值有以下三种情况：

(1) b

2-4ac＞0

这时

2

2

4

4

a

b − ac

＞0，由①得

a

b ac

a

b

x

2

4

2

2

−

+ = 

方程有两个不等的实数根

a

b b ac

x

2

4

2

1

− + −

= ，

a

b b ac

x

2

4

2

2

− − −

=

(2) b

2-4ac=0

这时

2

2

4

4

a

b − ac

=0，由①可知，方程有两个相等的实数根

a

b

x x

2

1

=

2

= −

(3) b

2-4ac＜0

这时

2

2

4

4

a

b − ac

＜0，由①可知

2

2













+

a

b

x

＜0，而 x 取任何实数都不能使

2

2













+

a

b

x

＜0，因此

方程无实数根.

一般地，式子 b

2-4ac 叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0 根的判别式，通常用希腊字母“Δ”

表示它，即Δ=b

2-4ac.

归纳

当Δ＞0 时，方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根；

当Δ＝0 时，方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根；

当Δ＜0 时，方程 ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根.

Δ＞0 方程有两个不等的实数根；

Δ＝0 方程有两个相等的实数根；

Δ＜0 方程无实数根.

当Δ≥0 时，方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根可写为

a

b b ac

x

2

4

2

−  −

=

的形式，这个

式子叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0 的求根公式.求根公式表达了用配方法解一般的一元二次

方程 ax2+bx+c=0 的结果.解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以

避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.

例 2 用公式法解下列方程：

(1) x

2-4x-7=0 (2) 2x

2-2

2

x+1=0 (3) 5x

2-3x=x+1 (4) x

2+17=8x

解：(1) a=1，b=-4，c=-7.

Δ=b

2-4ac=(-4)

2-4×1×(-7)=44＞0

方程有两个不等的实数根

2 11

2 1

( 4) 44

2

4

2

= 



− − 

=

−  −

=

a

b b ac

x

即

x1

= 2 + 11， x2

= 2 − 11

解：(2) a=2，b=-2 ，c=1.

Δ=b

2-4ac=(-2

2

)

2-4×2×1=0

方程有两个相等的实数根

2

2

2 2

2 2

2

1 2

=



−

= = − = −

a

b

x x

解：(3) 方程化为 5x

2-4x-1=0

注意：用公式法解一元二次方程时，首先要将方程转化为一般形式，再确定 a，b，c 的值.

a=5，b=-4，c=-1.

Δ=b

2-4ac=(-4)

2-4×5×(-1)=36＞0

方程有两个不等的实数根

10

4 6

2 5

( 4) 36

2

4

2



=



− − 

=

−  −

=

a

b b ac

x

即 x1=1，x2=

5

1

− .

解：(4) 方程化为 x

2-8x+17=0

a=1，b=-8，c=17.

Δ=b

2-4ac=(-8)

2-4×1×17=-4＜0

方程无实数根.

本章引言中的问题，雕像下部的高度 x(单位：m)满足方程

x

2+2x-4=0

用公式法解这个方程，得

1 5

2

2 20

2 1

2 2 4 1 ( 4)

2

= − 

− 

=



−  −   −

x =

即 x1=-1+

5 ，x2=-1- 5 .

结果保留小数点后两位，那么 x1≈1.24，x2≈-3.24.

这两个根中，只有 x1≈1.24 符合问题的实际意义，因此雕像下部高度应设计为约 1.24m.

练习

1.解下列方程：

(1) x

2+x-6=0 (2) x

2- 3

x4

1

=0 (3) 3x

2-6x-2=0

解：(1) a=1，b=1，c=-6.

Δ=b

2-4ac=1

2-4×1×(-6)=25＞0

方程有两个不等的实数根

2

1 5

2 1

1 25

2

4

2

− 

=



− 

=

−  −

=

a

b b ac

x

即 x1=2，x2=-3.

解：(2) a=1，b=- 3 ，c=-

4

1

.

Δ=b

2-4ac=(- 3

)

2-4×1×(-

4

1

)=4＞0

方程有两个不等的实数根

2

3 2

2 1

( 3) 4

2

4

2



=



− − 

=

−  −

=

a

b b ac

x

即

2

3 2

1

+

x = ，

2

3 2

2

−

x = .

解：(3) a=3，b=-6，c=-2.

Δ=b

2-4ac=(-6)

2-4×3×(-2)=60＞0

方程有两个不等的实数根

6

6 2 15

2 3

( 6) 60

2

4

2



=



− − 

=

−  −

=

a

b b ac

x

即

3

3 15

1

+

x = ，

3

3 15

2

−

x = .

(4) 4x

2-6x=0 (5) x

2+4x+8=4x+11 (6) x(2x-4)=5-8x

解：(4) a=4，b=-6，c=0.

Δ=b

2-4ac=(-6)

2-4×4×0=36＞0

方程有两个不等的实数根

8

6 6

2 4

( 6) 36

2

4

2



=



− − 

=

−  −

=

a

b b ac

x

即

x1

= 0 ，

2

3

x2

= .

解：(5) 移项，合并得 x

2=3

直接开平方，得 x=  3

即

x1

= 3 ， x2

= − 3 .

解：(6)方程化为 2x

2+4x-5=0

a=2，b=4，c=-5.

Δ=b

2-4ac=4

2-4×2×(-5)=56＞0

方程有两个不等的实数根

4

4 2 14

2 2

4 56

2

4

2

− 

=



− 

=

−  −

=

a

b b ac

x

即

2

2 14

1

− +

x = ， 2

2 14

2

− −

x = .

2.求第 21.1 节中问题 1 的答案.

x

2-75x+350=0

解：a=1，b=-75，c=350.

Δ=b

2-4ac=(-75)

2-4×1×350=4225＞0

方程有两个不等的实数根

2

75 65

2 1

( 75) 4225

2

4

2



=



− − 

=

−  −

=

a

b b ac

x

即 x1=5，x2=70(不合题意，要舍去).

因此，切去的正方形的边长为 5cm.

课堂小结

1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？

四、教学反思

教学过程中，强调用判别式去判断方程根的情况，首先需把方程化为一般形式. 同时公

式法的得出是通过配方法来的，用公式法解方程的前提是Δ≥0.

因式分解法

一、教学目标

(一)知识与技能：1.会用因式分解法(提公因式法、运用公式)解一元二次方程；2.能根据方

程的具体特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性.

(二)过程与方法：在经历探索用因式分解法解一元二次方程及依据方程特征选择恰当方法解

一元二次方程的过程中，进一步锻炼学生的观察能力，分析能力和解决问题能力.

(三)情感态度与价值观：通过因式分解法解一元二次方程的探究活动，培养学生勇于探索的

良好习惯，感受数学的严谨性及教学方法的多样性.

二、教学重点、难点

重点：用因式分解法解一元二次方程.

难点：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便.

三、教学过程

知识预备

1.把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做把这个多项式__________.

2.因式分解常用的方法有_________________________.

3.将下列各式分解因式：

(1) 7x

2-21x (2) 2(a-3)

2-a+3 (3) (y+3)

2-(2y-3)

2

解：(1)原式=7x(x-3)

(2)原式=2(a-3)

2-(a-3)=(a-3)[2(a-3)-1]=(a-3)(2a-7)

(3)原式=[(y+3)+(2y-3)][(y+3)-(2y-3)]=(y+3+2y-3)(y+3-2y+3)=3y(6-y)

一个数的平方与这个数的 3 倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来

的？小颖、小亮、小明都设这个数为 x，根据题意，可得方程 x

2=3x. 但他们的解法各不相

同. 他们做得对吗？

小颖：由方程 x

2=3x，得 x

2-3x=0，因此

2

3  9

x = →x1=0，x2=3，所以这个数是 0 或 3.

小亮：将方程 x

2=3x 两边同时约去 x，得 x=3，所以这个数是 3.

(方程两边约去 x 时，必须确保 x≠0，但这里 x 恰恰能够等于 0，所以这种变形是错误的.

结果会丢掉一个根.)

小明：由方程 x

2=3x，得 x

2-3x=0 即 x(x-3)=0 于是 x=0，或 x-3=0 因此 x1=0，x2=3 所以这

个数是 0 或 3.

如果 a·b=0，那么 a=0，或 b=0.

x

2-3x=0 ①

即 x(x-3)=0

于是 x=0，或 x-3=0 ②

因此 x1=0，x2=3

上述解法中，由①到②的过程，不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个

一次的乘积等于 0 的形式，再使这两个一次式分别等于 0，从而实现降次.这种解一元二次

方程的方法叫做因式分解法.

练一练

用因式分解法解下列方程：

(1) 4x=5x

2 (2) 3x(x+3)-2(x+3)=0

解：(1)移项，得 4x-5x

2=0

因式分解，得 x(4-5x)=0

于是得 x=0，或 4-5x=0

x1=0，x2=

5

4

解：(2)因式分解，得 (x+3)(3x-2)=0

于是得 x+3=0，或 3x-2=0

x1=-3，x2=

3

2

例 3 解下列方程：

(1) x(x-2)+x-2=0 (2) 5x

2-2x4

1

=x

2-2x+

4

3

解：(1)因式分解，得 (x-2)(x+1)=0

于是得 x-2=0，或 x+1=0

x1=

2

1

− ，x2=

2

1

解：(2)移项、合并同类项，得 4x

2-1=0

因式分解，得 (2x+1)(2x-1)=0

于是得 2x+1=0，或 2x-1=0

x1=2，x2=-1

可以试用多种方法解本例中的两个方程.

解：(1)方程化为 x

2-x-2=0

a=1，b=-1，c=-2.

Δ=b

2-4ac=(-1)

2-4×1×(-2)=9＞0

2

1 3

2 1

( 1) 9 

=



− − 

x =

即 x1=2，x2=-1

解：(2)移项、合并同类项，得 4x

2=1

二次项系数化为 1，得

4

2 1

x =

直接开平方，得

2

1

x = 

即 x1=

2

1

− ，x2=

2

1

归纳

配方法要先配方，再降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式解

方程；因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为 0，再分别使各一次因式

等于 0. 配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法在解某些一元二次方程时比

较简便. 总之，解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次.

练习

1.解下列方程：

(1) x

2+x=0 (2) x

2- 2 3

x=0 (3) 3x

2-6x=-3

解：x(x+1)=0

x=0，或 x+1=0

x1=0， x2=-1

解：x(x- 2 3

)=0

x=0，或 x- 2 3 =0

x1=0， x2= 2 3

解：3x

2-6x+3=0

x

2-2x+1=0

(x-1)

2=0

x1=x2=1

解：x(x+1)=0

x=0，或 x+1=0

x1=0， x2=-1

(4) 4x

2-121=0 (5) 3x(2x+1)=4x+2 (6) (x-4)

2=(5-2x)

2

2.如图，把小圆形场地的半径增加 5m 得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍.求小圆形场

地的半径.

解：设小圆形场地的半径为 r m.依题意，得

π(r+5)

2=2πr

2

r

2-10r-25=0

Δ=(-10)

2-4×1×(-25)=200＞0

2

10 10 2

2 1

( 10) 200 

=



− − 

r =

r1=5+5

2 ， r2=5-5

2

(不合题意，舍去)

答：小圆形场地的半径为(5+5

2

)m.

课堂小结

1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？

四、教学反思

利用因式分解法解一元二次方程，能否分解是关键，因此，要熟练掌握因式分解的知识，

提高用分解因式法解方程的能力. 在使用因式分解法时，先考虑有无公因式，如果没有再考

虑公式法.

解：(2x+11)(2x-11)=0

2x+11=0，或 2x-11=0

x1=

2

11

− ，x2=

2

11

解：3x(2x+1)-2(2x+1)=0

(2x+1)(3x-2)=0

2x+1=0，或 3x-2=0

x1=

2

1

− ， x2=

3

2

解：(x-4)

2-(5-2x)

2=0

(x-4+5-2x)(x-4-5+2x)=0

(1-x)(3x-9)=0

1-x=0，或 3x-9=0

x1=1， x2=3

一元二次方程的根与系数的关系

一、教学目标

(一)知识与技能：要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根

与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一 元二次方程两

个根的倒数和与平方和，两根之差.

(二)过程与方法：通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活

动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识

和创新精神.

(三)情感态度与价值观：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学

的态度，体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心.

二、教学重点、难点

重点：一元二次方程根与系数的关系.

难点：让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述.

三、教学过程

忆一忆

1.一元二次方程的一般形式是什么？ax2+bx+c=0(a≠0)

2.一元二次方程的求根公式是什么？

a

b b ac

x

2

4

2

−  −

=

(b

2-4ac≥0)

3.一元二次方程的根的情况怎样确定？











 

= 

 

= −

Δ 0 .

Δ 0

Δ 0

Δ 4

2

方程无实数根

方程有两个相等的实数根；

方程有两个不等的实数根；

b ac

解下列方程并完成填空：

(1) x

2-5x+6=0 (2) x

2+3x-4=0 (3) x

2+6x+8=0

以上方程有什么共同特点，你从中发现了什么？

三个方程的二次项系数都是 1，它们的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等

于常数项.

思考

从因式分解法可知，方程(x-x1)(x-x2)=0(x1，x2为已知数)的两根为 x1 和 x2，将方程化

为 x

2+px+q=0 的形式，你能看出 x1，x2与 p，q 之间的关系吗？

把方程(x-x1)(x-x2)=0 的左边展开，化成一般形式，得方程 x

2-(x1+x2)x+x1x2=0

这个方程的二次项系数为 1，一次项系数 p=-(x1+x2)，常数项 q=x1x2.

于是，上述方程两个根的和、积与系数分别有如下关系：(x1+x2)=-p，x1x2=q

思考

一般的一元二次方程 ax2+bx+c=0 中，二次项系数 a 未必是 1，它的两个根的和、积与系

数又有怎样的关系呢？

根据求根公式可知，

a

b b ac

x

2

4

2

1

− + −

= ，

a

b b ac

x

2

4

2

2

− − −

=

由此可得

a

b

a

b

a

b b ac

a

b b ac

x x = −

−

=

− − −

+

− + −

+ =

2

2

2

4

2

4

2 2

1 2

a

c

a

b b ac

a

b b ac

a

b b ac

x x =

− − −

=

− − −

•

− + −

=

2

2 2 2 2

1 2

4

( ) ( 4 )

2

4

2

4

因此，方程的两个根 x1，x2 和系数 a，b，c 有如下关系：

a

b

x1 + x2

= − ，

a

c

x1

x2

= .

这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项

系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.

注意：(1)不是一般式的，要化成一般式；(2)在方程有实数根的条件下应用，即 b

2-4ac≥0；

(3)在使用

a

b

x1 + x2

= − 时，注意“-”不要漏写.

把方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两边同除以 a，能否得出该结论？

0

2

+ + =

a

c

x

a

b

x

x

2+px+q=0→(x1+x2)=-p，x1x2=q

解方程 2x

2-3x+1=0，验证上述关系？

解：a=2，b=-3，c=1.

Δ=b

2-4ac=(-3)

2-4×2×1=1＞0

方程有两个不等的实数根

4

3 1

2

4

2



=

−  −

=

a

b b ac

x

即 x1=1，x2=

2

1

2

3

2

1

x1 + x2

=1+ = ，

2

1

2

1

x1

x2

=1 = .

例 4 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根 x1，x2的和与积：

(1) x

2-6x-15=0 (2) 3x

2+7x-9=0 (3) 5x-1=4x

2

解：(1) x1+x2=-(-6)=6，x1x2=-15.

(2) x1+x2=

3

7

− ，x1x2=

3

−9

=-3.

(3) 方程化为 4x

2-5x+1=0. x1+x2=

4

−5

− =

4

5 ，x1x2=

4

1

.

练习

不解方程，求下列方程两根的和与积：

(1) x

2-3x=15 (2) 3x

2+2=1-4x (3) 5x

2-1=4x

2+x (4) 2x

2-x+2=3x+1

解：(1)方程化为 x

2-3x-15=0. x1+x2=-(-3)=3，x1x2=-15.

(2) 方程化为 3x

2+4x+1=0. x1+x2=

3

4

− ，x1x2=

3

1

.

(3) 方程化为 x

2-x-1=0. x1+x2=-(-1)=1，x1x2=-1.

(4) 方程化为 2x

2-4x+1=0. x1+x2=

2

−4

− =2，x1x2=

2

1

.

课堂小结

1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？

四、教学反思

教学过程中，强调一元二次方程的根与系数的关系是通过求根公式得到的，在利用此关

系确定字母的取值时，一定要记住Δ≥0 这个前提条件.

实际问题与一元二次方程(1)

一、教学目标

(一)知识与技能：1.会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，能根据问题中

的实际意义，检验所得的结果是否合理；2.联系实际，让学生进一步经历“问题情境—建立

模型—求解—解释与应用”的过程，获得更多运用数学知识分析、解决实际问题的方法和经

验，进一步掌握解应用题的步骤和关键.

(二)过程与方法：通过自主探究，独立思考与合作交流，使学生弄清实际问题的背景，挖掘

隐藏的数量关系，把有关数量关系分析透彻，找出可以作为列方程依据的主要相等关系，正

确的建立一元二次方程.

(三)情感态度与价值观：在分析解决问题的过程中深入地体会一元二次方程的应用价值.

二、教学重点、难点

重点：建立数学模型，找等量关系，列方程.

难点：找等量关系，列方程.

三、教学过程

知识回顾

一、列方程解应用题的一般步骤是：

1.审：读懂题意，弄清题目中哪些是已知量，哪些是未知量，

以及它们之间的等量关系；

2.设：设未知数，语句要完整，有单位的要注明单位；

3.列：根据等量关系列出方程(组)；

4.解：解所列方程(组)；

5.验：检验所求方程(组)的解是否正确，是否符合题意；

6.答：答案也必需是完整的语句，注明单位.

二、列方程解应用题的关键是：找等量关系

探究 1

有一个人患了流感，经过两轮传染后共有 121 个人患了流感，每轮传染中平均一个人传

染了几个人？

分析：设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人.

开始有一个人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了 x 个人，用代数式表示，

第一轮后共有__________人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了 x 个人，

用代数式表示，第二轮后共有______________人患了流感.

列方程 1+x+x(1+x)=121

解：设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人.根据题意，列出方程

1+x+x(1+x)=121

(1+x)

2=121

解方程，得 x1=10，x2=-12(不合题意，舍去)

答：每轮传染中平均一个人传染了 10 个人.

思考

如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患流感？n 轮呢？

三轮传染后：121+10×121=(10+1)

3=113=1331(人)

n 轮传染后：11n(人)

探究 2

两年前生产 1t 甲种药品的成本是 5000 元，生产 1t 乙种药品的成本是 6000 元，随着生

产技术的进步，现在生产 1t 甲种药品的成本是 3000 元，生产 1t 乙种药品的成本是 3600 元，

哪种药品成本的年平均下降率较大？

分析：

甲种药品成本的年平均下降额为：(5000-3000)÷2=1000(元)

乙种药品成本的年平均下降额为：(6000-3600)÷2=1200(元)

显然，乙种药品成本的年平均下降额较大.但是，年平均下降额(元)不等同于年平均下降率

(百分数).

解：设甲种药品成本的年平均下降率为 x，则一年后甲种药品成本为___________元，两年

后甲种药品成本为___________元，根据题意，列出方程

5000(1-x)

2=3000

解得 x1≈0.225，x2≈1.775(不合题意，舍去)

答：根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为 22.5%.

算一算：乙种药品成本的年平均下降率是多少？

类似于甲种药品成本年平均下降率的计算，根据题意，列出方程 6000(1-y)

2=3600

解得乙种药品成本年平均下降率约为 22.5%.

比较：两种药品成本的年平均下降率.(相同)

思考

经过计算，你能得出什么结论？成本下降额大的药品，它的成本下降率一定也大吗？应

怎样全面地比较几个对象的变化状况？

成本下降额大的产品，其成本下降率不一定大. 成本下降额表示绝对变化量，成本下降

率表示相对变化量，两者兼顾才能全面比较对象的变化状况.

方法总结

类似地，这种增长率的问题在实际生活中普遍存在.它有一定的模式：若平均增长(或降

低)百分率为 x，增长(或降低)前的量是 a，增长(或降低)n 次后的量是 b，则它们的数量关

系可表示为：a(1±x)

n

=b (其中增长取+，降低取-)

练习

1.在古代有一部落，15 位族人外出狩猎回来，其中有 5 个人染上了瘟疫，经过两轮传染后

部落里共有 125 个人染上了瘟疫，每轮传染中平均一个人传染了几个人？

解：设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人.根据题意，列出方程

5+5x+x(5+5x)=125，整理得 5(1+x)

2=125

解方程，得 x1=4，x2=-6(不合题意，舍去)

答：每轮传染中平均一个人传染了 4 个人.

2.某商店 6 月份的利润是 2.5 万元，要使 8 月份的利润达到 3.6 万元，这两个月的月平均增

长率是多少？

解：设这两个月的月平均增长率是 x.根据题意，列出方程

2.5(1+x)

2=3.6

解方程，得 x1=0.2，x2=-2.2(不合题意，舍去)

答：这两个月的月平均增长率为 20%.

课堂小结

1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？

四、教学反思

教学过程中，强调利用一元二次方程解应用题的步骤和关键，特别是解有关的传播问题

时，一定要明确每一轮传染源的基数，强调解决有关增长率及利润问题时，应考虑实际，对

方程的根进行取舍.

实际问题与一元二次方程(2)

一、教学目标

(一)知识与技能：能正确利用一元二次方程的相关知识解决几何图形的面积问题.

(二)过程与方法：经历将实际问题转化为数学问题的过程，进-步深入体会一元二次方程在

实际生活中的应用，提高数学应用意识.

(三)情感态度与价值观：体验数学在现实生活中的作用，体验学习数学的快乐.

二、教学重点、难点

重点：根据面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题.

难点：根据面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型.

三、教学过程

知识预备

1.矩形的长和宽分别为 a m 和 b m，则其面积为____m2，周长为_______m.

2.梯形的上、下底分别为 a cm 和 b cm，高为 h cm，则其面积为__________cm2.

3.圆的半径为 r cm，则其面积为____cm2，周长为____cm.

4.长方体的长、宽、高分别是 a cm，b cm 和 c cm，则其体积为_____cm3.

5.直角三角形的两直角边长分别为 a cm 和 b cm，斜边长为 c cm，则 a，b，c 之间的数量关

系为_________.

练一练

现有长 19cm，宽 15cm 的矩形硬纸片，将它的四角各剪去一个同样大小的正方形后，再折

成一个无盖的纸盒，要使纸盒的底面积为 117cm2，问剪去的小正方形的边长应是多少？

解：设剪去的小正方形的边长为 xcm，则盒底的长为(19-2x)cm，宽为(15-2x)cm，依题意

得

(19-2x)(15-2x)=117

整理得 x

2-17x+42=0

解得 x1=3，x2=14(不合题意，舍去)

答：剪去的小正方形的边长应为 3cm.

探究 3

如图，要设计一本书的封面，封面长 27cm，宽 21cm，正中央是一个与整个封面长宽比

例相同的矩形.如果要使四周彩色的边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，

左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(结果保留小数点后一位)？

分析：封面的长宽之比是 27:21=9:7，中央的矩形的长宽之比也应是 9:7.

设中央矩形的长和宽分别是 9a cm 和 7a cm，由此得上、下边衬与左、右边

衬的宽度之比是

2

1

(27-9a):

2

1

(21-7a)=9(3-a):7(3-a)=9:7

解：设上、下边衬的宽均为 9x cm，左、右边衬的宽均为 7x cm，则中央的矩形的长为

(27-18x)cm，宽为(21-14x)cm，根据题意，列出方程

(27-18x)(21-14x)=

4

3

×27×21

整理，得 16x

2-48x+9=0

解得 x1=

4

6 − 3 3 ，x2=

4

6 + 3 3

(不合题意，舍去)

则：9x≈1.8，7x≈1.4.

答：上、下边衬的宽约为 1.8cm，左、右边衬的宽约为 1.4cm.

思考

如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？请你试一试.

解：设中央的矩形的长、宽分别为 9y cm、7y cm，根据题意，列出方程

9y·7y=

4

3

×27×21

整理，得 y

2=

4

27

解得 y1=

2

3 3 ，y2=

2

− 3 3

(不合题意，舍去)

则：

2

1

(27-9y)≈1.8，

2

1

(21-7y)≈1.4.

答：上、下边衬的宽约为 1.8cm，左、右边衬的宽约为 1.4cm.

练习

用 22cm 长的铁丝，折成一个面积是 30cm2的矩形，求这个矩形的长和宽.又问：能否折成

面积是 32cm 2 的矩形呢？为什么？

解：设矩形的一边长为 x cm，则另一边长为(11-x)㎝，依题意得

x(11-x)=30，解得 x1=6，x2=5

因此，这个矩形的长和宽分别为 6cm、5cm.

不能折成面积是 32cm2的矩形，理由如下：

x(11-x)=32，整理得 x

2-11x+32=0

∵ b

2-4ac=(-11)

2-4×1×32=-7＜0

∴ 方程无实数根

∴ 不能折成面积是 32cm2的矩形

课堂小结

1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？

四、教学反思

与图形有关的问题是一元二次方程应用的常见题型，解决这类问题的关键是将不规则图

形分割或补全成规则图形，找出各部分面积之间的关系，运用面积等计算公式列出方程，对

图形进行分割或补全的原则，转化成为规则图形时越简单越直观越好.

第 21 章一元二次方程小结与复习

一、教学目标

(一)知识与技能：1.灵活运用开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元-二次方程；

2.运用一元二次方程解决简单的实际问题.

(二)过程与方法：1.经历运用知识，技能解决问题的过程，发展学生的独立思考能力和创新

精神；2.了解数学解题中的方程思想、转化思想、分类讨论思想和整体思想.

(三)情感态度与价值观：培养学生对数学的求知欲，养成质疑和独立思考的学习习惯.

二、教学重点、难点

重点：根据一元二次方程的特征，灵活选用解法，以及应用一元二次方程知识解决实际问题.

难点：灵活选用恰当方法解一元二次方程以及列方程.

三、教学过程

知识梳理

一、一元二次方程的基本概念

1.定义：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为 ax2＋bx＋c＝0(a，b，c 为常数，

a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程.

2.一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a，b，c 为常数，a≠0)

3.项数和系数：二次项：ax2 二次项系数：a 一次项：bx 一次项系数：b 常数项：c

4.注意事项：(1)含有一个未知数；(2)未知数的最高次数为 2；(3)二次项系数不为 0；(4)

整式方程.

二、一元二次方程的根与系数的关系

已知 x1，x2 是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a，b，c 为常数，a≠0)的两根. 则有：

a

b

x1 + x2

= − ，

a

c

x1

x2

= .注意：(1)不是一般式的，要化成一般式；(2)在方程有实数根的条件下应用，即

b

2-4ac≥0；(3)在使用

a

b

x1 + x2

= − 时，注意“-”不要漏写.

三、解一元二次方程的方法

各种一元二次方程的解法及使用类型

四、一元二次方程的应用

列方程解应用题的一般步骤：

审：审清题意，分清题中的已知量、未知量.

设：设未知数，设其中某个未知量为 x.

列：根据题意寻找等量关系列方程.

解：解方程.

验：检验方程的解是否符合题意.

答：写出答案(包括单位).

考点讲练

考点一 一元二次方程的定义

例 1 若关于 x 的方程(m－1)x

2＋mx－1＝0 是一元二次方程，则 m 的取值范围是( )

A.m≠1 B.m＝1 C.m≥1 D.m≠0

针对训练

1.方程 5x

2－x－3＝x

2－3＋x 的二次项系数是_____，一次项系数是_____，常数项是_____.

2.当 k_____时，关于 x 的方程

( 3) 2 4 0

| | 1

− + + =

−

k x x

k

是一元二次方程.

考点二 一元二次方程的根的应用

例 2 若关于 x 的一元二次方程(m－1)x

2＋x＋m2－1＝0 有一个根为 0，则 m＝____.

针对训练

3.一元二次方程 x

2＋px－3＝0 的一个根为 3，则 p 的值为_____.

考点三 一元二次方程的解法

例 3 (1)用配方法解方程 x

2－2x－5＝0 时，应变为( )

A.(x－1)

2＝6 B.(x＋2)

2＝9 C.(x＋1)

2＝6 D.(x－2)

2＝9

(2)某三角形两边长分别为 3 和 6，它第三边的长是方程 x

2－13x＋36＝0 的根，则该三角形

的周长为( )

A.13 B.15 C.18 D.13 或 18

针对训练

4.菱形 ABCD 的一条对角线长为 6，边 AB 的长是一元二次方程 x

2－7x＋12＝0 的一个根，则

菱形 ABCD 的周长为( )

A.12 B.16 C.16 或 12 D.24

5.用公式法和配方法分别解方程：x

2－4x－1＝0

解：公式法：a=1，b=-4，c=-1.

Δ=b

2-4ac=(-4)

2-4×1×(-1)=20＞0

方程有两个不等的实数根

2 5

2 1

( 4) 20

2

4

2

= 



− − 

=

−  −

=

a

b b ac

x

即 x1=2+

5 ，x2=2- 5 .

解：配方法：移项，得 x

2-4x=1

配方，得 x

2-4x+2

2=1+2

2

(x-2)

2=5

由此可得 x-2=  5

∴ x1=2+

5 ，x2=2- 5 .

考点四 一元二次方程的根的判别式的应用

例 4 已知关于 x 的一元二次方程 x

2－3m＝4x 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是

( )

A.m＜0 B.m＜2 C.m≥0 D.

3

4

m  −

针对训练

6.下列所给方程中，没有实数根的是( )

A.x

2＋x＝0 B.5x

2－4x－1＝0 C.3x

2－4x＋1＝0 D.4x

2－5x＋2＝0

7.若关于 x 的一元二次方程(k＋1)x

2－6x＋3＝0 有实数根，则 k 的取值范围是__________.

考点五 一元二次方程的根与系数的关系

例 5 已知一元二次方程 x

2－4x－3＝0 的两根为 m、n，不解方程求 m2－mn＋n

2的值.

解：∵ m、n 是方程 x

2-4x-3=0 的两根

∴ m+n=4，mn=-3

∴ m2-mn+n

2=m2+2mn+n

2-3mn=(m+n)

2-3mn=4

2-3×(-3)=25

针对训练

8.已知方程 2x

2＋4x－3＝0 的两根分别为 x1 和 x2,则

2

2

2

1

x + x

的值等于( )

A. 7 B.－2 C.

2

3

D.

2

3

−

重要变形

1 2

2

1 2

2

2

2

x1 + x = (x + x ) − 2x x ， 1 2

2

1 2

2

(x1 − x2

) = (x + x ) − 4x x ，

1 2

1 2

1 2

1

x x

x x

x x

+

=

+

考点六 一元二次方程的应用

例 6 某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件 20 元，调查发现当销售价为 24

元，平均每天能售出 32 件，而当销售价每上涨 2 元，平均每天就少售出 4 件.(1)若公司每

天的销售价为 x 元，则每天的销售量为多少？(2)如果物价部门规定这种零件的销售价不得

高于每件 28 元，该公司想要每天获得 150 元的销售利润，销售价应当为多少元？

解：(1)每天的销售量为：32-2(x-24)=(80-2x)件；

(2)由题意可得(x-20)(80-2x)=150

解得 x1=25，x2=35

由题意 x≤28，∴ x=25，即销售价应当为 25 元.

针对训练

9.菜农小王种植的某种蔬菜，计划以每千克 5 元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩

大种植，造成该种蔬菜滞销.小王为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每

千克 3.2 元的价格对外批发销售.求平均每次下调的百分率是多少？

解：设平均每次下调的百分率是 x，根据题意得

5(1-x)

2=3.2

解得 x1=1.8(舍去)，x2=0.2=20%

答：平均每次下调的百分率是 20%.

10.为了响应市委市政府提出的建设绿色家园的号召，我市某单位准备将院内一个长为 30m，

宽为 20m 的长方形空地，建成一个矩形的花园，要求在花园中修两条纵向平行和三条横向

平行的宽度相同的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要是种植花草的面积为 532m2，

那么小道的宽度应为多少米？

解：设小道的宽度应为 x 米.根据题意得

(30-2x)(20-x)=532

整理得 x

2-35x+34=0

解得 x1=1，x2=34(舍去)

答：小道的宽度应为 1 米.

二次函数

一、教学目标

(一)知识与技能：能够表示简单变量间的二次函数关系，理解二次函数的意义与特征，提高

学生的分析和概括的能力.

(二)过程与方法：逐个探求不同实例中两个变量之间的关系，后总结、概括，得出二次函数

的定义，获得用二次函数来表示变量之间的体验.

(三)情感态度与价值观：进一步增强用数学方法解决实际问题的能力，体会二次函数在广泛

应用中的作用.

二、教学重点、难点

重点：二次函数实例分析、二次函数定义的理解.

难点：从实例中抽象出二次函数的定义，会分析实例中的二次函数关系.

三、教学过程

图片引入 函数是描述现实世界中变化规律的数学模型

温故知新

1.什么是函数？我们学过哪些函数？

一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，

y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数.

一般地，形如 y=kx+b(k，b 是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数.其中，当 b=0 时，y=kx

为正比例函数.

特别注意：k≠0，自变量 x 的指数是 1.

2.若函数 y=(m-1)x+4-m 是关于 x 的一次函数，则 m____；若函数是关于 x 的正比例函数，

则 m 的值是____，此时函数解析式为_________.

某果园有 100 棵橙子树，每一棵树平均结 600 个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产

量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，

每多种一棵树，平均每棵树就会少结 5 个橙子.

(1)问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？

(2)假设果园增种 x 棵橙子树，那么果园共有_______棵橙子树；

这时平均每棵树结_________个橙子.

(3)如果果园橙子的总产量为 y 个，那么请你写出 y 与 x 之间的关系式

________________________________________________________________.

y=(100+x)(600-5x) 即 y=-5x

2+100x+60000

思考

在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？

y 是 x 的函数吗？显然对于 x 的每一个值，y 都有一个对应值，即 y 是 x 的函数.

引言 正方体的六个面是全等的正方形(如下图)，设正方

体的棱长为 x，表面积为 y，则它们的具体关系可以表示

为________.

y 是 x 的函数吗？

问题 1 n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么

关系式？

解：每个队要与其他(n-1)个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同

一场比赛，所以比赛的场次数 m=

2

1

n(n-1)，即

m n n

2

1

2

1 2

= − .

m 是 n 的函数吗？

问题 2 某种产品现在的年产量是 20t，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量

增加 x 倍，那么两年后这种产品的产量 y 将随计划所定的 x 的值而确定，y 与 x 之间的关系

应怎样表示？

解：这种产品一年后的产量为________t，再经过一年后的产量为_____________t，即两年

后的产量 y=20(1+x)

2，即 y=20x

2+40x+20

y 是 x 的函数吗？

思考

函数 y=-5x

2+100x+60000，y=6x

2，m n n

2

1

2

1 2

= − ，y=20x

2+40x+20 有什共同特点？

一般地，形如 y=ax2+bx+c(a，b，c 是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.其中，x 是自

变量，a，b，c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.

提示:

(1)关于 x 的代数式一定是整式，a，b，c 为常数，且 a≠0；

(2)等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项；

(3)一般情况下，自变量 x 的取值范围是任意实数.

练习

1.一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系.

解：S=2·πr

2+2πr·r

整理得，S=4πr

2

2.如图，矩形绿地的长、宽各增加 x m，写出扩充后的绿地的面积 y 与 x 的关系式.

解：y=(30+x)(20+x)

整理得，y=x

2+50x+600

课堂小结

1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？

四、教学反思

教学过程中，强调判断一个函数为二次函数的三个条件，可对比已学过的一次函数，进

一步巩固函数的有关知识.

二次函数 y=ax2的图象和性质

一、教学目标

(一)知识与技能：会利用描点法作出二次函数 y=x

2 的图象，并能根据图象认识和理解二次

函数 y=x

2 的性质.

(二)过程与方法：经历画二次函数 y=x

2 的图象和探索性质的过程，获得利用图象研究函数

性质的经验.

(三)情感态度与价值观：培养学生利用数形结合的思想研究二次函数 y=ax2的图象、性质，

提高学生观察、分析、比较、概括等能力.

二、教学重点、难点

重点：二次函数 y=ax2 的图象的作法和性质.

难点：根据图象认识和理解二次函数表达式与图象之间的联系.

三、教学过程

认真观察，请描述投掷篮球入篮框的过程，运行路线是什么？

复习启新

1.一次函数的图象是_________.

2.通常怎样画一个函数的图象：_________________.

3.二次函数的图象是什么形状呢？它又有哪些性质呢？

结合图象讨论性质是数形结合地研究函数的重要方法. 我们将从最简单的二次函数 y=x

2 开

始，逐步深入地讨论一般二次函数的图象和性质.

作二次函数 y=x

2的图象.(列表、描点、连线)

在坐标平面中描点，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到函数

y=x

2 的图象.

从图象可以看出，二次函数 y=x

2的图象是一条曲线，它的

形状类似于投篮时或掷铅球时球在空中所经过的路线，只是这

条曲线开口向上.这条曲线叫做抛物线 y=x

2.

实际上，二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者向上或者向下.一般地，二次函

数 y=ax2+bx+c 的图象叫做抛物线 y=ax2+bx+c.

1.抛物线 y=x

2 是轴对称图形吗？___，如果是，它的对称轴是_____.

2.抛物线 y=x

2 与对称轴的交点______叫做物线 y=x

2的______，它是抛物线 y=x

2 的最___点.

实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点.顶点是抛

物线的最低点或最高点.

3.从二次函数 y=x

2 的图象可以看出：在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的

右侧，抛物线从左到右上升.也就是说，当 x＜0 时，y 随 x 的增大而_____；当 x＞0 时，y

随 x 的增大而_____；

例 1 在同一直角坐标系中，画出函数 y=

2

1

x

2，y=2x

2 的图象.

解：分别列表，再画出它们的图象.

思考

观察三个函数的图象，它们之间有什么共同点和不同点？

一般地，当 a＞0 时，抛物线 y=ax2 的开口向上，对称轴是 y 轴，顶点是原点，顶点是

抛物线的最低点，a 越大，抛物线的开口越小.

探究

在同一直角坐标系中，画出函数 y=-x

2，y=-

2

1

x

2，y=-2x

2的图象，并考虑这些抛物线有

什么共同点和不同点.

一般地，当 a＜0 时，抛物线 y=ax2 的开口向下，对称轴是

y 轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a 越小，抛物线

的开口越小.

对比抛物线 y=x

2和 y=-x

2，它们

关于 x 轴对称吗？一般地，抛物线

y=ax2和 y=-ax2 呢？

归纳 二次函数 y=ax2 的图象和性质

练习

说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：

课堂小结

1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？

四、教学反思

教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数 y＝ax2 的图象与

性质，体会数学建模的数形结合的思想方法.

二次函数 y=ax2+k 与 y=a(x-h)

2

一、教学目标

(一)知识与技能：1.会画函数 y=ax2+k、y=a(x-h)

2的图象，能正确说出它们的图象的开口方

向、对称轴和顶点坐标；2.掌握抛物线 y=ax2+k、y=a(x-h)

2的平移规律.

(二)过程与方法：经历探索二次函数 y=ax2+k、y=a(x-h)

2的图象的画法和性质的过程，提高

作图能力，学会观察比较、体验数形结合的数学思想与方法.

(三)情感态度与价值观：培养积极参与的态度、乐于探索、增强数形结合的思想意识.

二、教学重点、难点

重点：作出二次函数 y=ax2+k、y=a(x-h)

2 的图象，探索其性质.

难点：抛物线的平移规律的理解以及 a、k、h 的作用的理解.

三、教学过程

知识回顾 二次函数 y=ax2的图象和性质

例 2 在同一直角坐标系中，画出二次函数 y=2x

2+1，y=2x

2-1 的图象.

解：先列表：

思考

(1)抛物线 y=2x

2+1，y=2x

2-1 的开口方向、对称轴、顶点

各是什么？

(2)抛物线 y=2x

2+1，y=2x

2-1 与抛物线 y=2x

2 有什么关系？

1.抛物线 y=2x

2+1 的开口____、对称轴____、顶点是_______.

2.抛物线 y=2x

2-1 的开口____、对称轴____、顶点是_______.

Ⅰ.把抛物线 y=2x

2 向上平移 1 个单位，就得到抛物线 y=2x

2+1；

Ⅱ.把抛物线 y=2x

2 向下平移 1 个单位，就得到抛物线 y=2x

2-1.

思考

抛物线 y=ax2+k 与抛物线 y=ax2 有什么关系？

( 0)

2 2

= → y = ax + k k 

k

y ax 个单位

向上平移 ， ( 0)

2 2

= → y = ax − k k 

k

y ax 个单位

向下平移

口决：上加下减

练习

在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：

2

2

1

y = x ， 2

2

1 2

y = x + ， 2

2

1 2

y = x − .

观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点. 你能说出抛物线

y = x + k

2

2

1

的开口方向、对称轴和顶点吗？它与抛物线

2

2

1

y = x

有什么关系？

探究

在同一直角坐标系中，画出二次函数 y=-

2

1

(x+1)

2，y=-

2

1

(x-1)

2 的图像，并考虑它们的开口

方向、对称轴和顶点.

解：先列表：

抛物线 y=-

2

1

(x+1)

2 的开口向下，对称轴是经过点(-1，0)且

与 x 轴垂直的直线，记作直线 x=-1，顶点是(-1，0)；

抛物线 y=-

2

1

(x-1)

2 的开口____，对称轴____________，顶点

是________.

思考

抛物线 y=-

2

1

(x+1)

2，y=-

2

1

(x-1)

2 与抛物线 y=-

2

1

x

2 有什么关系？

1.把抛物线 y=-

2

1

x

2 向左平移 1 个单位，就得到抛物线 y=-

2

1

(x+1)

2，

2.把抛物线 y=-

2

1

x

2 向右平移 1 个单位，就得到抛物线 y=-

2

1

(x-1)

2.

思考

抛物线 y=a(x-h)

2 与抛物线 y=ax2 有什么关系？

( ) ( 0)

2 2

= → y = a x + h h 

h

y ax 个单位

向左平移 ，

( ) ( 0)

2 2

= → y = a x − h h 

h

y ax 个单位

向右平移 .

口决：左加右减

练习

在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：

2

2

1

y = x ， ( )

2

2

2

1

y = x + ， ( )

2

2

2

1

y = x − .观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开

口方向、对称轴和顶点.

归纳

二次函数 y=ax2+k 的性质

二次函数 y=a(x-h)

2的性质

课堂小结

1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？

四、教学反思

教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数 y＝ax2＋k 的图象

与性质和二次函数 y＝a(x－h)

2的图象与性质，体会它们与 y＝ax2 与之间联系与区别. 体会

数学建模的数形结合思想方法.

二次函数 y=a(x-h)

2+k 的图象和性质

一、教学目标

(一)知识与技能：1.会画函数 y=a(x-h)

2+k 的图象；2.能正确说出 y=a(x-h)

2+k 的开口方向、

对称轴和顶点坐标；3.掌握抛物线 y=a(x-h)

2+k 的平移规律.

(二)过程与方法：经历探索二次函数 y=a(x-h)

2+k 的图象的画法和性质的过程，提高作图能

力，学会观察比较、体验数形结合的数学思想与方法.

(三)情感态度与价值观：培养学生参与的态度、乐于探索、增强数形结合的思想意识.

二、教学重点、难点

重点：作出二次函数 y=a(x-h)

2+k 的图象，探索其性质.

难点：抛物线的平移规律的理解以及 a、h、k 的作用的理解.

三、教学过程

复习启新

1.抛物线 y=ax2+k 怎样由抛物线 y=ax2平移得到？

2.抛物线 y=a(x-h)

2怎样由抛物线 y=ax2 平移得到？

( 0)

2 2

= → y = ax + k k 

k

y ax 个单位

向上平移 ， ( 0)

2 2

= → y = ax − k k 

k

y ax 个单位

向下平移

口决：上加下减

( ) ( 0)

2 2

= → y = a x + h h 

h

y ax 个单位

向左平移 ， ( ) ( 0)

2 2

= → y = a x − h h 

h

y ax 个单位

向右平移 .

口决：左加右减

猜想：抛物线 y=a(x-h)

2+k 怎样由抛物线 y=ax2平移得到？

例 3 画出函数 y=-

2

1

(x+1)

2-1 的图像，指出它的开口方向、对称轴和顶点.

解：先列表：

抛物线 y=-

2

1

(x+1)

2-1 的开口______、对称轴是_________、

顶点是_________.

怎样移动抛物线 y=-

2

1

x

2 就可以得到抛物线 y=-

2

1

(x+1)

2-1？

平移方法 1：

( 1) 1

2

1

1

1

2

1

2 1

1 2 2 2

y = − x → y = − x − → y = − x + −

个单位

向左平移

个单位

向下平移

平移方法 2：

( ) ( 1) 1

2

1

1

1

2

1

2 1

1 2 2 2

y = − x → y = − x + → y = − x + −

个单位

向下平移

个单位

向左平移

归纳

一般地，抛物线 y=a(x-h)

2+k 与 y=ax2 形状相同，位置不同.把抛物线 y=ax2向上(下)向

左(右)平移，可以得到抛物线 y=a(x-h)

2+k.平移的方向、距离要根据 h、k 的值来决定.

二次函数 y=a(x-h)

2+k 的性质

例 4 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头，

使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 1m 处达到最高，高度为 3m，水柱落地处

离池中心 3m，水管应多长？

解：如图，以水管与地面交点为原

点，原点与水柱落地处所在直线为

x 轴，水管所在直线为 y 轴，建立直

角坐标系.

点(1，3)是图中这段抛物线的顶点.

因此可设这段抛物线对应的函数解

析式是 y=a(x-1)

2+3 (0≤x≤3)

∵ 这段抛物线经过点(3，0)

∴ 0=a(3-1)

2+3，解得：

4

3

a = −

∴ y=-

4

3

(x-1)

2+3 (0≤x≤3)

当 x=0 时，y=2.25

答：水管长应为 2.25m.

练习

写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：

课堂小结

1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？

四、教学反思

教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数 y＝a(x－h)

2＋k

的图象与性质，体会数学建模的数形结合思想方法.

二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质

一、教学目标

(一)知识与技能：1.能通过配方把二次函数 y=ax2+bx+c 化成 y=a(x-h)

2+k 的形式，从而确定

开口方向、对称轴和顶点坐标；2.会利用对称性画出二次函数的图象.

(二)过程与方法：经历求二次函数 y=ax2+bx+c 的对称轴和顶点坐标的探究过程，渗透配方

法和数形结合的思想方法.

(三)情感态度与价值观：让学生亲自体会到学习数学的价值，从而提高学生学习数学的兴趣，

并获得成功感.

二、教学重点、难点

重点：用配方法确定抛物线的顶点坐标和对称轴.

难点：二次函数 y=ax2+bx+c 的图像及性质.

三、教学过程

知识回顾

1.一般地，抛物线 y=a(x-h)

2+k 与 y=ax2的______相同，_____不同.

y = ax → y = a(x − h) + k

2 2

左加右减

上加下减

2.抛物线 y=a(x-h)

2+k 有如下特点：

(1)当 a＞0 时, 开口____，当 a＜0 时，开口____；(2)对称轴是_______；(3)顶点是_______.

3.抛物线 y=-4(x+2)

2-5 的开口______，对称轴是直线_______，顶点坐标为_________；它

可由抛物线 y=-4x

2 向____(填“左”或“右”)平移____个单位，再向___(填“上”或“下”)

平移____个单位得到；当 x=___时，y 有最___值，其值为___；当______时，y 随着 x 的增大

而增大，当______时，y 随着 x 的增大而减小.

二次函数

6 21

2

1 2

y = x − x +

的图象是有什么特点？它与我们已经作过的二次函数的图

象有什么关系？

我们知道，像

y = a(x − h) + k

2

这样的函数，容易确定相应抛物线的顶点为(h，k)，二次

函数

6 21

2

1 2

y = x − x +

也能化成这样的形式吗？

探究新知

1.配方法：怎样把

6 21

2

1 2

y = x − x +

转化成

y = a(x − h) + k

2

的形式？

解：

( ) ( ) ( )  ( 6) 3

2

1

6 6

2

1

12 36 36 42

2

1

12 42

2

1

6 21

2

1 2 2 2 2 2

y = x − x + = x − x + = x − x + − + = x − + = x − +

(1)“提”：提出二次项系数；

(2)“配”：括号内配成完全平方式；

(3)“化”：化成顶点式.

( 6) 3

2

1

6 21

2

1 2 2

y = x − x +  x − +

2.直接画二次函数

6 21

2

1 2

y = x − x +

的图象.

抛物线

6 21

2

1 2

y = x − x +

的顶点是(6，3)，

对称轴是直线 x=6.

解：利用图象的对称性列表：

描点画图，得到

6 21

2

1 2

y = x − x +

的图象.

在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升. 也就

是说，当 x＜6 时，y 随 x 的增大而减小；当 x＞6 时，y 随 x 的增大而增大.

探究

你能用前面的方法讨论二次函数

2 4 1

2

y = − x − x +

的图象和性质吗？

2 4 1 2( 1) 3

2 2

y = − x − x + → y = − x + +

配方

开口向下

顶点是(-1，3)

对称轴是直线 x=-1

当 x＜-1 时，y 随 x 的增大而增大；

当 x＞-1 时，y 随 x 的增大而减小.

一般地，二次函数

y = ax + bx + c

2

可以通过配方化成 y=a(x-h)

2+k 的形式(顶点式).

a

ac b

a

b

a x

a

ac b

a

b

a x

a

c

a

b

a

b

x

a

b

a x

a

c

x

a

b

y ax bx c a x

4

4

4 2

4

2

2 2

2

2

2

2

2

2 2

2 2 2

−

 +











= +















 −

 +











= +

















 +











 −











 = + +











= + + = + +

a

ac b

a

b

y ax bx c y a x

4

4

2

2

2

2 −

 +











= + + → = +

配方

对称轴是直线 x=-

a

b

2

顶点是(-

a

b

2

，

a

ac b

4

4

2

−

)

如果 a＞0 时，那么当 x=-

a

b

2

时，y 最小值=

a

ac b

4

4

2

−

如果 a＜0 时，那么当 x=-

a

b

2

时，y 最大值=

a

ac b

4

4

2

−

如果 a＞0，当 x＜-

a

b

2

时，y 随 x 的增大而减小，当 x＞-

a

b

2

时，y 随 x 的增大而增大；

如果 a＜0，当 x＜-

a

b

2

时，y 随 x 的增大而增大，当 x＞-

a

b

2

时，y 随 x 的增大而减小.

练习

写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：

课堂小结

1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？

四、教学反思

教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的

图象与性质，体会数学建模的数形结合思想方法.

用待定系数法求二次函数的解析式

一、教学目标

(一)知识与技能：会用待定系数法求二次函数的解析式，根据条件恰当设二次函数解析式形

式，体会二次函数解析式之间的转换.

(二)过程与方法：使学生进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系，发展概

括及分析问题、解决问题的能力.

(三)情感态度与价值观：让学生在学习过程中体会学习数学知识的价值，从而提高学习数学

知识的兴趣.

二、教学重点、难点

重点：运用待定系数法求二次函数解析式.

难点：根据条件恰当设二次函数解析式形式.

三、教学过程

知识预备

1.已知一次函数经过点(1，3)和(-2，-12)，求这个一次函数的解析式.

解：设这个一次函数的解析式为 y=kx+b.

∵ 一次函数经过点(1，3)和(-2，-12)

∴ 得关于 k，b 的二元一次方程组：







− + = −

+ =

2 12

3

k b

k b

，解得







= −

=

2

5

b

k

∴ 这个一次函数的解析式为 y=5x-2.

2.解三元一次方程组：











+ + =

+ + =

− + =

③

②

①

6

2 3 14

3 4

a b c

a b c

a b c

解：由①-③与②-③得二元一次方程组







+ =

− = −

⑤

④

2 8

2 2 2

a b

a b

解这个方程组，得







=

=

3

2

b

a

把 a=2，b=3 代入③得 c=1

因此，三元一次方程组的解为











=

=

=

1

3

2

c

b

a

探究

我们知道，由两点(两点的连线不与坐标轴平行)的坐标可以确定一次函数，即可以求出

这个一次函数的解析式.对于二次函数，探究下面的问题：

(1)由几个点的坐标可以确定二次函数？这几个点应满足什么条件？

(2)如果一个二次函数的图象经过(-1，10)，(1，4)，(2，7)三点，能求出这个二次函

数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式.

分析：确定一次函数，即写出这个一次函数的解析式 y=kx+b，需求出 k，b 的值.用待定

系数法，由两点(两点的连线不与坐标轴平行)的坐标，列出关于 k，b 的二元一次方程组就

可以求出 k，b 的值.类似地，确定二次函数，即写出这个二次函数的解析式 y=ax2+bx+c，需

求出 a，b，c 的值.由不共线三点(三点不在同一直线上)的坐标，列出关于 a，b，c 的三元

一次方程组就可以求出 a，b，c 的值.

解：(2)设所求二次函数为 y=ax2+bx+c.

由已知，函数图象经过(-1，10)，(1，4)，(2，7)三点，得关于 a，b，c 的三元一次方

程组











+ + =

+ + =

− + =

4 2 7

4

10

a b c

a b c

a b c

解这个方程组，得











=

= −

=

5

3

2

c

b

a

因此，所求二次函数的解析式为 y=2x

2-3x+5.

知识梳理

知识点 用待定系数法求二次函数的解析式

求二次函数 y=ax2+bx+c 的解析式，关键是求出待定系数 a，b，c 的值.由已知条件(如

二次函数图象上三个点的坐标)列出关于 a，b，c 的方程组，求出 a，b，c 的值，就可以写

出二次函数的解析式.

例 已知抛物线的顶点是(1，-3)，且经过点 M(2，0)，求抛物线的解析式.

解：由抛物线的顶点是(1，-3)，可设抛物线的解析式为：y=a(x-1)

2-3

∵ 抛物线经过点 M(2，0)

∴ 0=a×(2-1)

2-3，解得 a=3

∴ 抛物线的解析式为：y=3(x-1)

2-3，即 y=3x

2-6x

归纳总结

二次函数解析式的类型及适用情况

练习

1.一个二次函数，当自变量 x=0 时，函数值 y=-1，当 x=-2 与

2

1

时，y=0.求这个二次函数的

解析式.

解：设这个二次函数的解析式为 y=ax2+bx+c，依题意得















+ + =

− + =

= −

0

2

1

4

1

4 2 0

1

a b c

a b c

c

解这个方程组，得















= −

=

=

1

2

3

1

c

b

a

因此，所求二次函数的解析式为 y=x

2+

2

3

x-1.

2. 一个二次函数的图象经过(0，0)，(-1，-1)，(1，9) 三点.求这个二次函数的解析式.

解：设这个二次函数的解析式为 y=ax2+bx+c，依题意得











+ + =

− + = −

=

9

1

0

a b c

a b c

c

解这个方程组，得











=

=

=

0

5

4

c

b

a

因此，所求二次函数的解析式为 y=4x

2+5x.

课堂小结

1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？

四、教学反思

教学过程中，强调用待定系数法求二次函数解析式时，要根据题目所给条件，合理设出

其形式，然后求解，这样可以简化计算.

二次函数与一元二次方程

一、教学目标

(一)知识与技能：1.总结出二次函数与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关

系，表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根；2.会利用二次函数的图

象求一元二次方程的近似解.

(二)过程与方法：经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的

联系.

(三)情感态度与价值观：通过观察二次函数图象与 x 轴的交点个数，讨论一元二次方程根的

情况，进一步体会数形结合思想.

二、教学重点、难点

重点：方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.

难点：二次函数与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.

三、教学过程

复习引入

1.二次函数的一般式：____________________，____是自变量，____是____的函数.

二次函数与一元二次方程有什么联系？当 y=0 时，ax2+bx+c=0.

2.一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的情况可由什么确定？

b

2-4ac>0 方程有两个不等的实数根；

b

2-4ac=0 方程有两个相等的实数根；

b

2-4ac<0 方程无实数根.

问题 如图，以 40m/s 的速度将小球沿与地面成 30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是

一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度 h(单位：m)与飞行时间 t(单位：s)之间

具有函数关系：h=20t-5t

2.

考虑以下问题：

(1)小球的飞行高度能否达到 15m？如果能，需要多少飞行时间？

(2)小球的飞行高度能否达到 20m？如果能，需要多少飞行时间？

(3)小球的飞行高度能否达到 20.5m？为什么？

(4)小球从飞出到落地要用多少时间？

分析：由于小球的飞行高度 h 与飞行时间 t 有函数关系 h=20t-5t

2，所以可以将问题中 h 的值

代入函数解析式，得到关于 t 的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明小球的飞

行高度可以达到问题中 h 的值；否则，说明小球的飞行高度不能达到问题中 h 的值.

解：(1)当 h=15 时，20t-5t

2=15

整理得，t

2-4t+3=0

解得，t1=1，t2=3

因此，当小球飞行 1s 和 3s 时，它的飞行高度为 15m.

(2)当 h=20 时，20t-5t

2=20

整理得，t

2-4t+4=0

解得，t1=t2=2

因此，当小球飞行 2s 时，它的飞行高度为 20m.

(3)当 h=20.5 时，20t-5t

2=20.5

整理得，t

2-4t+4.1=0

因为(-4)

2-4×4.1=-0.4＜0，所以方程无实数根.这就是说，小球的飞行高度达不到 20.5m.

(4)小球飞出时和落地时的高度 h 都为 0m，因此有 20t-5t

2=0

整理得，t

2-4t=0

解得，t1=0，t2=4

因此，当小球飞行 0s 和 4s 时，它的高度为 0m.这表明小球从飞出到落地要用 4s.

h=20t-5t

2→20t-5t

2=15，20t-5t

2=20，20t-5t

2=20.5，20t-5t

2=0.

从上面可以看出，二次函数与一元二次方程联系密切.例如，已知二次函数 y=-x

2+4x 的

值为 3，求自变量 x 的值，可以看作解一元二次方程-x

2+4x=3(即 x

2-4x+3=0).反过来，解方

程 x

2-4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y=x

2-4x+3 的值为 0，求自变量 x 的值.

已知二次函数的值，求自变量 x 的值. 解一元二次方程

思考

下列二次函数的图象与 x 轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当 x 取公共点的

横坐标时，函数值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？

(1) y=x

2+x-2；(2) y=x

2-6x+9；(3) y=x

2-x+1

(1)抛物线 y=x

2+x-2 与 x 轴有两个公共点，它们的横坐标

是-2，1.当 x 取公共点的横坐标时，函数值是 0.由此得

出方程 x

2+x-2=0 的根是-2，1.

(2)抛物线 y=x

2-6x+9 与 x 轴有一个公共点，这点的横坐

标是 3.当 x=3 时，函数值是 0.由此得出方程 x

2-6x+9=0

有两个相等的实数根 3.

(3)抛物线 y=x

2-x+1 与 x 轴没有公共点.由此可知，方程

x

2-x+1=0 没有实数根.

反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应的二次函数图象与 x 轴的位置关系.

归纳

一般地，从二次函数 y=ax2+bx+c 的图象可得如下结论.

(1)如果抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有公共点，公共点的横坐标是 x0，那么当 x=x0 时，函数的

值是 0，因此 x=x0 就是方程 ax2+bx+c=0 的一个根.

(2)二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有

两个公共点.这对应着一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的三种情况：没有实数根，有两个相等

的实数根，有两个不等的实数根.

例 1 利用函数图象求方程 x

2-2x-2=0 的实数根(结果保留小数点后一位).

解：画出函数 y=x

2-2x-2 的图象，它与 x 轴的公共点的横坐标大

约是-0.7，2.7.

所以方程 x

2-2x-2=0 的实数根为 x1≈-0.7，x2≈2.7

我们还可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根.

课堂小结

1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？

四、教学反思

教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，通过观察二次函数与 x 轴的交点个数，讨

论一元二次方程的根的情况，体会知识间的相互转化和相互联系.

二次函数与图形面积问题

一、教学目标

(一)知识与技能：1.通过探究实际问题与二次函数关系，让学生掌握利用顶点坐标解决最大

值(或最小值)问题的方法；2.通过学习和探究“矩形面积”问题，渗透转化的数学思想方法.

(二)过程与方法：通过研究生活中实际问题，体会数学知识的现实意义，体会建立数学建模

的思想，进一步认识如何利用二次函数的有关知识解决实际问题.

(三)情感态度与价值观：通过将“二次函数的最大值”的知识灵活用于实际，让学生亲自体

会到学习数学的价值，从而提高学生学习数学的兴趣，并获得成功感.

二、教学重点、难点

重点：探究利用二次函数的最值(或增减性)解决实际问题的方法.

难点：如何将实际问题转化为二次函数的问题.

三、教学过程

知识预备

1.二次函数 y=a(x-h)

2+k 的图象是一条______，它的对称轴是_______，顶点坐标是_______.

2.二次函数 y=ax2+bx+c 的图象是一条_______，它的对称轴是_____________，顶点坐标是

________________.当 a＞0 时，抛物线开口向___，有最___点，即当 x=____时，y 最小值=______；

当 a＜0 时，抛物线开口向___，有最___点，即当 x=____时，y 最大值=_______.

问题 从地面坚直向上抛出一小球，小球的高度 h(单位：m)与小球的运动时间 t(单位：s)

之间的关系式是 h=30t-5t

2(0≤t≤6).小球运动的时间是多少，小球最高？小球运动中的最大

高度是多少？

分析：可以借助函数图象解决这个问题，画出函数

h=30t-5t

2(0≤t≤6).

可以看出，这个函数图象是一条抛物线的一部分.

这条抛物线的顶点是这个函数的图像的最高点，也就是

说，当 t 取顶点的横坐标时，这个函数有最大值.

解：由函数 h=30t-5t

2(0≤t≤6)的图象性质可知.

当 t=

a

b

2

− =

2 ( 5)

30

 −

− =3 时，h 有最大值

a

ac b

4

4

2

−

=

4 ( 5)

302

 −

−

=45.也就是说，小球运动时间是 3s 时，小球最高.小球运中的最大高度是 45m.

探究 1

用总长为 60m 的篱笆墙围成矩形场地，矩形面积 S 随矩形一边长 l 的变化而变化，当 l 是多

少米时，场地的面积 S 最大？

解：矩形场地的周长是 60m，一边长为 l m，所以另一边长为(

2

60

-l)m.场地的面积

S=l(30-l) (0＜l＜30)即 S=-l

2+30l (0＜l＜30)

因为，a=-1＜0，所以，当 l=

a

b

2

− =

2 ( 1)

30

 −

− =15 时，S 有最大值

a

ac b

4

4

2

−

=

4 ( 1)

302

 −

−

=225.

也就是说，当 l 是 15m 时，场地的面积 S 最大.

练习

已知直角三角形两条直角边的和等于 8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最

大，最大值是多少？

解：设直角三角形的一边为 x，则另一边为(8-x)，面积为 y.则 y 与 x 的函数关系式为

y=

2

1

x(8-x) (0＜x＜8) 即 y=-

2

1

x

2+4x (0＜x＜8)

∵ a=-

2

1

＜0，∴ 当 x=

a

b

2

− =4 时，y 最大=8.

答：当两条直角边都为 4 时，这个直角三角形的面积最大，最大值为 8.

课堂小结

1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？

四、教学反思

教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，引导学生设计有助于学生设计表格，经历

计算、观察、分析、比较的过程，直观地看出变化情况.

二次函数与最大利润问题

一、教学目标

(一)知识与技能：1.会列出实际问题中变量之间的二次函数关系，并感受数学的应用价值；

2.运用配方法或公式法求出实际问题的最大值、最小值，发展解决问题的能力.

(二)过程与方法：经历销售中最大利润问题的探究过程，让学生认识数学与人类生活的密切

联系及对人类历史发展的作用，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力.

(三)情感态度与价值观：1.体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学

的理解和学好数学的信心；2.认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，了解数学

对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.

二、教学重点、难点

重点：探素销售中最大利润问题，从数学角度理解“何时获得最大利润”的意义.

难点：从实际问题中抽象出二次函数建立函数模型，以利用二次函相关知识解决实际生活中

的最大(小)值问题.

三、教学过程

教材导学

1.二次函数 y=2x

2-8x+1 图象的顶点坐标是________，当 x=____时，y 的最小值为____.

2.某旅行社要接团去外地旅游，经计算所获利润 y(元)与旅行团人数 x(人)满足关系式

y=-x

2+100x.

(1)二次函数 y=-x

2+100x 的图象开口向___，有最___值，为_____；

(2)要使旅行团所获利润最大，则此时旅行团应有___人.

利润问题

一.几个量之间的关系.

1.总价、单价、数量的关系：总价＝单价×数量

2.利润、售价、进价的关系：利润＝售价－进价

3.总利润、单件利润、数量的关系：总利润＝单件利润×数量

二.在商品销售中，通常采用哪些方法增加利润？

探究 2

某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件.市场调查反映：如调整价格，每

涨价 1 元，每星期要少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件.已知商品的进价为

每件 40 元，如何定价才能使利润最大？

没调整价格之前的利润是_____元.

解：(1)设每件商品涨价 x 元，每星期售出的利润为 y 元.则每星期少卖_____件，实际卖出

_________件，销售额为_______________元，买进商品需付___________元.因此，所得利润

y=___________________________，即 y=_______________，其中，0≤x≤30.

方法 2：设每件商品涨价 x 元，每星期售出的利润为 y 元.则每件利润是___________元，每

星期少卖____件，实际卖出________件，因此，所得利润 y=_____________即 y=___________，

其中，0≤x≤30.

解：(1)设每件商品涨价 x 元，每星期售出的利润为 y 元.

y=-10x

2+100x+6000，其中，0≤x≤30.

根据上面的函数，填空：

当 x=____时，y 最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价____元，即定价_____元时，利润

最大，最大利润是______元.

解：(2)设每件商品降价 x 元，每星期售出的利润为 y 元.则每件利润是___________元，每

星期多卖_____件，实际卖出_________件，因此，所得利润 y=_____________________，即

y=_______________，其中，_________.

解：(2)设每件商品降价 x 元，每星期售出的利润为 y 元.

y=-20x

2+100x+6000，其中，0≤x≤20.

根据上面的函数，填空：

当 x=____时，y 最大，也就是说，在降价的情况下，降价____元，即定价_____元时，利润

最大，最大利润是______元.

(1)涨价 5 元，即定价 65 元时，利润最大，最大利润是 6250 元；

(2)降价 2.5 元，即定价 57.5 元时，利润最大，最大利润是 6125 元.

由(1)(2)的讨论及现在的销售情况，你知道应如何定价能使利润最大了吗？

当定价为 65 元时，能使利润最大，最大利润是 6250 元.

某果园有 100 棵橙子树，每一棵树平均结 600 个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产

量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，

每多种一棵树，平均每棵树就会少结 5 个橙子.

在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？

解：设果园增种 x 棵橙子树，总产量为 y 个.则果园共有_______棵橙子树，这时平均每棵树

结_________个橙子.

y=(100+x)(600-5x) 即 y=-5x

2+100x+60000 (0≤x≤120)

∵ a=-5＜0

∴ 当 x=

2 ( 5)

100

 −

− =10，y 最大=60500

即果园增种 10 棵橙子树，总数为 110 棵时，可以使果园橙子的总产量最多，最多为 60500

个.

归纳总结

此类问题一般是先利用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=每件商品的利润×销售

数量”建立利润与价格之间的函数关系式(一般是二次函数)，求出这个函数关系式的顶点坐

标，从而可得最大利润.同时还要注意实际问题中自变量的取值范围.

练习

某商店经营某种商品，已知成批购进时单价是 2.5 元.根据市场调查，销售量与单价满足如

下关系：在一段时间内，单价是 13.5 元时，销售量是 500 件，而单价每降低 1 元，就可以

多售出 200 件.请你帮助分析，销售单价是多少时，可以获利最多？

解：设每件商品降价 x 元，总获利为 y 元.依题意得

y=(13.5-2.5-x)(500+200x) 即 y=-200x

2+1700x+5500 (0≤x≤11)

∵ a=-200＜0，∴ 当 x=4.25，y 最大=9112.5

即每件商品降价 4.25 元，销售单价是 9.25 元时，可以获得最大利润，最大利润是 9112.5

元.

课堂小结

1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？

四、教学反思

教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，并利用

函数的性质进行决策.

建立适当的坐标系解决实际问题

一、教学目标

(一)知识与技能：通过对抛物线型拱桥的探究，掌握如何建立适当的直角坐标系，待定系法

求二次函数解析式，解决实际问题.

(二)过程与方法：体会数学知识在生活实际的广泛应用性，进一步认识如何利用二次函数的

有关知识解决实际问题.

(三)情感态度与价值观：通过二次函数的有关知识灵活用于实际，体会到学习数学知识的价

值，从而提高学生学习数学的兴趣.

二、教学重点、难点

重点：通过对实际问题的分析，使学生理解二次函数是在实际生活中解决问题的一种重要模

型.

难点：利用二次函数解决实际问题时应如何建立合适的坐标系从而使解题简便.

三、教学过程

知识预备

1. 函数 y=ax2(a≠0)的图象是一条_______，它的顶点坐标是_______，对称轴是_____，当

a____时，开口向上，当 a____时，开口向下.

2.二次函数解析式的形式有：①一般式：____________，②顶点式：_____________，③交

点式：________________.

(1)如图所示的抛物线，可以根据顶点所在的位置设为

_________，也可以根据抛物线与 x 轴的交点坐标设为

______________.

(2)由 A，B 两点的横坐标，可以求得线段 AB 的长为___.

探究 3

如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2m 时，水面宽 4m.水面下降 1m，水面宽度增加多少？

分析：我们知道，二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐

标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数.为解题简便，

以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为 y 轴建立直角

坐标系.

解：以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为 y 轴建立

直角坐标系.设这条抛物线表示的二次函数为y=ax2.由抛物线

经过点(2，-2)，可得

-2=a×2

2，解得，a=

2

1

−

∴ 这条抛物线表示的二次函数为：y=

2

1

− x

2

当水面下降 1m 时，水面的纵坐标为-3.

当 y=-3 时，x=  6 .

∴ 当水面下降 1m 时，水面的宽度为 2

6

m.

∴ 水面的宽度增加了(2

6 -4)m.

你有其它解法吗？