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（2023 海淀一模）★★★☆

27．如图，正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在 BC，CD 上，BE＝CF，AE，BF 交于点 G．

（1）求∠AGF 的度数；

（2）在线段 AG 上截取 MG＝BG，连接 DM，∠AGF 的角平分线交 DM 于点 N．

①依题意补全图形；

②用等式表示线段 MN 与 ND 的数量关系，并证明．

备用图

G

F

A D

B E C

G

F

A D

B E C

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吴老师图解

（1）

90 .

思路&图解

如图，

1）易证

ABE BCF

（SAS），

2）

 + =  + =  1 3 2 3 90 ，

  =  AGB 90

，即

 =  AGF 90 .

（2）①如图.

补全图形

（2）②

MN ND = .

分析

显然，

MN ND =

，即本题为“中点证明”类问题！

按照常规思路，我们作

DH MG //

交

GN

的延长线于点

H

，希望借助

ABG ADH

得

到

HD BG MG = =

，进而证得

MNG DNH ，

但是，在证明

ABG ADH

时发现缺条件，

回去读题，角平分线可以得到的

 =  1 45

，有什么用？我们是不是可以换一种辅助线的

说明方式，从而将它利用上？

1

2

3

G

F

A D

B E C

N

M

G

F

A D

B E C

H

N

M

G

F

A D

B E C

45°

1

H

N

M

G

F

A D

B E C

3 / 4

思路&图解

法 1：构造“8 字”型全等

如图，作

AH AE

，交

GN

的延长线于点

H

，连接

DH ，

1）由（1）知

 =  1 45

，即

AGH

是等腰直角三角形，

2）易证

ABG ADH

（SAS），

 DH BG MG = = ， =  =  AHD AGB 90 ，

3）

 =  2 45 ，

4）易证

MNG DNH

（AAS），

 MN ND = .

法 2：平行线分线段成比例+手拉手（相似）

如图，延长

AE

至点

H

，使得

GH GM =

，连接

HD ， BD ， BH ，

1）由（1）知

BGH

是等腰直角三角形，

2）易证

ABG DBH

（手拉手模型），

  =  =  DHB AGB 90 ，

3）

 =  =  1 2 45

，则

DH GN //

，且

G

是

MH

的中点，



点

N

是

MD

的中点，即

MN ND = .

备注：或利用

 =  AHB 45

得到

A ， B ， H ，C ， D

共圆（定弦定角），得到

 =  1 45 .

45°

1

H

N

M

G

F

A D

B E C

45° 2

H

N

M

G

F

A D

B E C

H

N

M

G

F

A D

B E C

H

N

M

G

F

A D

B E C

2

1

45°

H

N

M

G

F

A D

B E C

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思路&图解

法 3：平行线分线段成比例

如图，取

GP GB =

，连接

AP ， MP

，其中

MP

与

GN

交于点

Q ，

1）

MGP

是等腰直角三角形，且点

Q

是

MP

的中点，

2）点

B ， P ， D

在

A

上，则

 =  BPD 135 ，

3）

 =  =  1 2 45

，即

GN PD // ，



点

N

是

MD

的中点，即

MN ND = .

法 4：“三垂直模型”

如图，作

DH AE ， MP AE ，GN

的延长线与

DH

交于点

Q ，

1）易证

AGB DHA

（三垂直模型），

2）由题知

GHQ

是等腰直角三角形，

3）易证

QD MP =

（提示：

DH DQ AG AH − = −

，且

AH BG MG MP = = =

），

4）易证

MPN DQN

（AAS 或 ASA），

 MN ND = .

1

2

Q

P

N

M

G

F

D

A

B E C

45°

P

H

Q

N

M

G

F

A D

B E C

P

H

Q

N

M

G

F

A D

B E C