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（2023 昌平二模——双垂点）★★★★☆
28．在平面直角坐标系 xOy 中，对于点 P，点 Q 和直线 l，点 P 关于 l 的对称点 P'，点 Q
是直线 l 上一点，将线段 P'Q 绕点 P'逆时针旋转 90
得到 P'K，如果线段 P'K 与直线 l 有交点，
称点 K 是点 P 关于直线 l 和点 Q 的“双垂点”．
（1）若 P（2，1），点 K1（1，1），K2（1，0），K3（1，－2）中是点 P 关于 x 轴和点 Q 的
“双垂点”的是________；
（2）若点 Q（0，5），点 P，K 是直线 y＝x＋3 上的点，点 K 是点 P 关于 y 轴和点 Q 的
“双垂点”，求 P 点的坐标；
（3）点 P 在以（0，t）为圆心，1 为半径的圆 M 上，直线 l：y＝x＋2，若圆 M 上存在点
K 是点 P 关于直线 l 和点 Q 的“双垂点”，直接写出 t 的取值范围．
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吴老师图解
（1）
K1 ， K2
.
规律总结
如左图，点
Q
在
x
轴上，
1）点
P(2,1)
关于
x
轴的对称点为
P'(2, 1) − ，
2）将点
Q
绕点
P'
逆时针旋转
90
，则点
Q'
的轨迹为直线
l x: 1=
（瓜豆原理），
3）当点
Q'
在
x
轴下方时，
PQ' '
与
x
轴无交点，
所以，点“双垂点”
K
在：射线
l
上（右图）.
思路&图解
如图，
由【规律总结】知，点
K1 ， K2
是点 P
关于 x 轴和点 Q 的“双垂点”.
（2）
( 1,2) − .
分析
既然“双垂点”
K
在直线
y x = + 3
上，那就直接用“逆向思维”倒推吧…
如图：
1）在直线
y x = + 3
上找点
K ，
2）作出对应的点
P'
（提示：等腰直角三角形的顶点，要注意旋转方向哦），
3）根据“瓜豆原理”，点
P'
的轨迹是直线
x =1，
4）将直线
x =1
关于
y
轴对称，得到直线
x =−1，
所以，直线
y x = + 3
与
x =−1
的交点即为点
P .
x
y
l
Q'
P'
P
O
Q
x
y
l
K
P'
P
O
Q
x
y
l
K3
K2
K1
O
x
y
y = x + 3
P'
Q
O
K
x
y
y = x + 3
P
Q
O
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思路&图解
根据【分析】，将
x =−1
代入
y x = + 3
，得点
P
的坐标为
( 1,2) − .
补充：正向思考
分析
思路 1：
先找一点
P
，对称得到点
P'
，旋转得点
K
，让
P'
动，根据“瓜豆原理”找到点
K
的轨
迹，确定点
K
后，利用线段
QK
的垂直平分线求得点
P'
的坐标，最后可得点
P
的坐标，
思路 2：
在直线
y x = + 3、 y x = − + 3
上分别找点
K
和
P'
，直接假定一个等腰
Rt ' QKP
（注意旋
转方向哦），设点
P
的坐标为
( , 3) a a +
，利用“三垂直模型”全等得到点
K
的坐标（用
a
表
示），代入直线解析式后求得
a
，即可知点
P
坐标.
（3）
− + 2 4 2 t .
思路一：正向思考
规律总结
先给出结论：
如图，点 P 关于直线 l 和点 Q 的“双垂点”
K
在：图示绿色阴影部分的内部或边界上，
其中，阴影部分指的是直线
y x =−
与
y x = − + 4
之间的区域，边界指的就是这 2 条直线.
下面给出分析过程：
x
y
y = x + 3
y = x + 3
K
P'
Q
O
P
x
y
y = x
y = x + 4
y = 2
y = x + 2
K
P'
M'
O
M
P
Q
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规律总结
如图，
1）将
M
和点
P
关于直线
y x = + 2
对称，则
M '
在直线
y = 2
上，
2）在直线
y x = + 2
上取点
Q
，按题意作出点
K ，
3）点
P'
不动，当点
Q
在直线
y x = + 2
上移动时，点
K
的轨迹是一条垂直于
y x = + 2
（
k =−1
）的直线（瓜豆原理），也就是说，对于某个位置的点
P'
，点
Q
的运动负责让点
K
“搞出”一条
k =−1
的直线！
4）点
Q
不动，当点
P'
在
M '
上运动时，点
K
的轨迹是一个半径为
2
的圆（瓜豆原
理），那么，当点
Q
和
P'
同时运动时，点
K
所在的区域就相当于是→过半径为
2
的圆上的
每一个点作
k =−1
的直线形成的区域（或可以理解为半径为
2
的圆上的点沿着
k =−1
的直线
运动）…
5）当
M '
的圆心
M '
在直线
y = 2
上运动时，不论点
Q
在何位置，半径为
2
的圆的圆
心都恰好在直线
y x = − + 2
上（瓜豆原理），
所以，点
K
在直线
y x =−
与
y x = − + 4
所夹的区域内或在这 2 条直线上！
x
y
y = 2
y = x + 2
K
P'
M'
O
M
P
Q
x
y
y = 2
y = x + 2
K
P'
M'
O
M
P
Q
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思路&图解
如图，
1）
M1
与直线
y x =−
相切于点
G
，易求得
1 OM = 2
，即
t =− 2 ，
2）
M2
与直线
y x = − + 4
相切于点
H
，同理，易求得
t = +4 2 .
综上所述：
− + 2 4 2 t .
补充：
分析
如图，
考场上，如果同学们能确定此题跟点
Q
的位置无关，可以直接令点
Q
为一个特殊点（比
如直线
y x = + 2
与
x
轴或
y
轴的交点），最后只考虑点
P'
和点
M '
的运动就可以了…
思路二：逆向思考
分析
既然明确说明点
K
在
M
上，那我们就可以用“逆向思维”来解决此题…
x
y
y = x
y = x + 4
H
G
O
M1
M2
x
y
y = 2
y = x + 2
K
P'
M'
O
M
P
Q
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分析
如图，
1）将
M
关于直线
y x = + 2
对称得到
M '
，在
M '
上取点
P'，
2）将
M
绕点
P'
顺时针旋转
90
得到
T ，
3）当点
P'
运动时，点
T
在半径为
2
的
R
上运动（瓜豆原理），故
T
扫过的区域是
半径为
2 1+
和
2 1−的圆形成的圆环，
要想满足题意，只需要让圆环（的大圆）与直线
y x = + 2
有公共点（点
Q
）即可！
如图，易知
RM y
轴，且
RM MM MG = = 2 ' 2
，故点
R
在直线
1
2
2
y x = +
上！
思路&图解
临界状态 1：
如图，令
OM x = ，由【分析】知
RH = + 2 1， RM GM = 2 ，则有
(2 2) (2 ) + + + = x
2(2 ) + x ，解得
x = 2
，即
t =− 2 .
x
y
y = 2
y = x + 2
R
T
P'
M'
O
M
x
y
y=
1
2
x+2
G
R
M'
O
M
x
y
2+x
y=
1
2
x+2
x
2
S
H
G
R
O
M
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思路&图解
临界状态 2：
如图，令
MG x = ，同理，易求得
x = +2 2
，即
t x = + = + 2 4 2 .
综上所述：
− + 2 4 2 t .
x
y
x
x
2
S
G
H
R
O
M
