单元测试(一) 三角形

（满分：150分考试时间：120分钟）

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.

1.下列各组数可能是一个三角形的三边长的是 C

A.1,2,4 B.4,5,9 C.4,6,8 D.5,5,11

2.如图， \angle 1 的度数为 【 D

A.40° B.50° C.60° D. { 7 0 } ^ { \circ } （20

第2题图

第3题图

3.如图， \triangle A B C 中边BC上的高是

A.AE B.BD C.BE D.CF

4.如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的 (D)

A.三边高的交点
B.三条角平分线的交点
C.最长边的中点
D.三边中线的交点

5.满足下列条件的 \triangle A B C 中，不是直角三角形的是 (D)

A. \angle A + \angle B = \angle C B \angle A - \angle B = \angle C C * \angle A : \angle B : \angle C = 1 : 2 : 3 \quad { D } . \angle A = \angle B = 3 \angle C

6.“三角形的内角和为 { 1 8 0 } ^ { \circ , \bullet } 是《几何原本》中的第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和为 { 1 8 0 } ^ { \circ , \prime } 的是 （B）

7.如图，在 5 x 4 的方格纸中，每个小正方形的边长为1，点 ^ { ( O , A } .B 在方格纸的交点(格点)上.建立如图所示的平面直角坐标系，在第四象限内的格点中找点 C ，使△ABC的面积为3，则这样的点 C 共有 (B）

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

第7题图

第8题图

8.如图， O 是 \triangle A B C 内一点， \angle A = 8 0 ^ { \circ } \angle 1 = 1 5 ^ { \circ } ， \angle 2 = 4 0 ^ { \circ } ，则\angle B O C = (C

A. 9 5 ^ { \circ } （20 B. { 1 2 0 } ^ { \circ } { C } . 1 3 5 ^ { \circ } （204号 D.无法确定

9.如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂 _ { A B } 与操作台 B C 的夹角 \angle A B C = 1 2 0 ^ { \circ } ，支撑臂 B D 为 \angle A B C 的平分线.物体被吊起后，机械臂AB的位置不变，支撑臂绕点 B 旋转一定的角度并缩短，此时 \angle C B D = 2 \angle A B D . \angle B D C 增大了 { 1 0 } ^ { \circ } ，则\angle D C B 的变化情况为 (D

A.增大 { 1 0 } ^ { \circ } B.减小 { 1 0 } ^ { \circ } C.增大 { 3 0 } ^ { \circ } D.减小 { 3 0 } ^ { \circ }

第9题图

第10题图

10.如图，在 \triangle A B C 中， B D 平分 \angle A B C ，交 A C 于点 D , C F 平分\angle A C E ，交BA的延长线于点 F ，交 B D 的延长线于点 M ，下列结论： { 1 } \angle B M C = \angle M B C + \angle F ; { 2 } \angle A B D + \angle B A D = \angle D C M + \angle D M C ; { 3 } 2 \angle B M C = \angle B A C ; { 4 } 3 ( \angle B D C + \angle F ) = 4 { \\overset { } { \angle } } B A C . 其中正确的个数为 (C）

A.1 B.2 C.3 D.4

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.

11.如图所示，在发射运载火箭时，运载火箭的发射架被焊接成了许多三角形，这样做的原因是三角形具有稳定性

第11题图

第14题图

12.已知三角形两边的长分别是4和10，写出第三边长的一个整数值：7(或8或9或10或11或12或13）（只写一个即可)

13.已知等腰三角形的一边长为 6 ~ {cm } ，另一边长为 7 \ {cm } ，则它的周长为 1 9 \ {cm } 或 2 0 ~ {cm }

14.如图，这是叠放在一起的两张长方形卡片，图中有 \angle 1 A \angle 2 中\angle 3 ，则其中一定相等的是 ∠2与/3

15.如图，在 \triangle A B C 中，已知 D , E , F 分别是 B C , A D , B E 的中点，且 \triangle A B C 的面积为 8 ~ {cm ^ { 2 } } ,则△BCF的面积为 2 {cm } ^ { 2 } ：

第15题图

第16题图

16.如图，将三角形纸片 A B C 沿 D E 折叠，使点 A 落在点 \boldsymbol { A ^ { \prime } } 处，连接 B A ^ { \prime } , C A ^ { \prime } , B A ^ { \prime } 平分 \angle A B C , C A ^ { \prime } 平分 \angle A C B 若 \angle B A ^ { \prime } C 的度数为 α , \angle 1 + \angle 2 的度数为 β ，则 α 与 β 的数量关系是4 0 0 - β = 3 6 0 ^ { \circ }

三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（8分）如图，在 \triangle A B C 中， D , E 为边 B C 上两点，且满足A B = B E , A C = C D ，连接 A D , A E

(1)写出以 A C 为边的三角形.

(2)找出图中的等腰三角形.

解：（1)以AC为边的三角形有 \triangle A C E \triangle A C D , \triangle A C B ,

(2)图中的等腰三角形有ABE， \triangle A C D

18.（8分）如图，在△ABC中， A D , A E 分别是边 B C 上的中线和高， A E { = } 3 \ {cm } , S _ { \triangle A B C } { = } 1 2 \ {cm } ^ { 2 } ，求 B C 和 D C 的长.

解：由题意，得 S _ { \Delta A B C } = / { 1 } { 2 } \ : B C * \Delta E = 1 2 ~ {cm } ^ { 2 }
{ \bar { \boldsymbol { { \ R P } } } } { / { 1 } { 2 } } { \boldsymbol { { B } } } { \boldsymbol { C } } x 3 = 1 2 .∴BC=8 cm.
： * _ { A D } 是边BC上的中线，
（20号 \therefore D C = / { 1 } { 2 } B C = 4cm . （20

19.（8分）如图所示，在 \triangle A B C 中， \angle A = 6 2 ^ { \circ } \angle B = 7 4 ^ { \circ } , C D 是\angle A C B 的平分线，点 E 在 A C 上，且 D E / / B C ，求 \angle C D E 的度数.

解 \therefore \angle A = 6 2 ^ { \circ } , \angle B = 7 4 ^ { \circ }
！ . \angle A C B = 1 8 0 ^ { \circ } - 6 2 ^ { \circ } - 7 4 ^ { \circ } = 4 4 ^ { \circ }
： C D 平分 \angle A C B
： \angle A C D = \angle D C B = 2 2 ^ { \circ }
DE//BC,
* \angle C D E = \angle D C B = 2 2 ^ { \circ }

20.（8分）如图， B 处在 A 处的南偏西 4 2 ^ { \circ } 方向， C 处在 A 处的南偏东 1 6 ^ { \circ } 方向， C 处在 B 处的北偏东 7 2 ^ { \circ } 方向，求从 c 处观测A , B 两处的视角 \angle C 的度数.

解：根据题意可知， \angle B A D = 4 2 ^ { \circ } \angle D A C = 1 6 ^ { \circ }
\angle E B C = 7 2 ^ { \circ }
\therefore \angle B A C = \angle B A D + \angle D A C = 5 8 ^ { \circ } （20号
∵:AD//BE,
* \angle E B A = \angle B A D = 4 2 ^ { \circ } \angle A B C = \angle E B C - \angle E B A = 3 0 ^ { \circ } . （2
\therefore \angle C = 1 8 0 ^ { \circ } - \angle A B C - \angle B A C = 9 2 ^ { \circ }

21.(8分)如图， \angle A = 4 5 ^ { \circ } , \angle B = 5 5 ^ { \circ } , \angle D = 2 0 ^ { \circ } ，求 \angle B C D 的度数.下面是学习小组的同学们交流时得到的解决问题的三种方法：

方法一：作射线 \vert A C \vert
方法二：延长 B C 交 A D 于点 E
方法三：连接 B D
请选择上述一种方法，求 \angle B C D 的度数.
解：答案不唯一，以方法二为例：
延长 B C 交 A D 于点 E
\dot { } * \angle C E D = \angle A + \angle B , \angle B C D = \angle C E D + \angle D . （2
\begin{array} { c } { { \therefore \angle B C D = \angle A + \angle B + \angle D } } \\ { { = 4 5 ^ { \circ } + 5 5 ^ { \circ } + 2 0 ^ { \circ } } } \\ { { = 1 2 0 ^ { \circ } . } } \end{array}

22.（10分）已知 a , b , c 是 \triangle A B C 的三边长， a = 4 , b = 6 ，若\triangle A B C 的周长是小于18的偶数.

(1)求 it { c } 的值；
(2)判断 \triangle A B C 的形状.
解： ( 1 ) ^ { \circ , \circ } , a , b , c 是 \triangle A B C 的三边长， \scriptstyle a = 4 , b = 6 \therefore 6 - 4 < c < 6 + 4 ，即 2 { < } c { < } 1 0
： \triangle A B C 的周长是小于18的偶数，
\therefore 4 + 6 + c < 1 8
： c < 8
（20号 \therefore 2 < c < 8
∴ c { = } 4 或 c = 6
(2)当 c { = } 4 或 c = 6 时， \triangle A B C 是等腰三角形.

23.(10分)如图，在 \triangle A B C 中， A E 是角平分线， A D 是高， \angle C = 4 0 ^ { \circ } , \angle B = 7 0 ^ { \circ } , D F \bot A E ，垂足为 F

(1)求 \angle C A E 的度数；
(2)求 \angle A D F 的度数.
解： ( 1 ) \because \angle C = 4 0 ^ { \circ } , \angle B = 7 0 ^ { \circ }
\therefore \angle B A C = 1 8 0 ^ { \circ } - ( \angle C + \angle B ) = 7 0 ^ { \circ } .
AE是 \angle B A C 的平分线，
（24 \therefore \angle C A E = / { 1 } { 2 } \angle B A C = 3 5 ^ { \circ } .
(2)∵AD是△ABC的高，
\therefore \angle C A D = 9 0 ^ { \circ } - \angle C = 5 0 ^ { \circ } . （2号
（20号 \therefore \angle D A E = \angle C A D - \angle C A E = 1 5 ^ { \circ } .
： * D E \bot A E
\angle A D F = 9 0 ^ { \circ } - \angle D A E = 7 5 ^ { \circ } （20

24.(12分)新定义：如果一个三角形存在两个内角之差是第三个内角的两倍，那么称这个三角形为关于第三个内角的“差倍角三角形”.例如：在 \triangle A B C 中， \angle A = 1 0 0 ^ { \circ } , \angle B = 6 0 ^ { \circ } , \angle C = 2 0 ^ { \circ } ，满足 \angle A - \angle B = 2 \angle C ，所以 \triangle A B C 是关于 \angle C 的"差倍角三角形”

(1)若在 \triangle D E F 中， \angle D = 1 1 0 ^ { \circ } = \angle E = 4 0 ^ { \circ } . \angle F = 3 0 ^ { \circ } ，则\triangle D E F 是关于 \angle E 的“差倍角三角形”；

(2)如图，在 \triangle A B C 中， \angle C = 3 0 ^ { \circ } \angle B A C 和 \angle A B C 的角平分线相交于点 D ，若 \triangle A B D 是关于 \angle A B D 的“差倍角三角形”，求 \angle B A C 的度数.

解：： \angle B A C 和 \angle A B C 的平分线相交于点 D
（2 \therefore \angle B A D = / { 1 } { 2 } \angle B A C , \angle A B D = / { 1 } { 2 } \angle A B C ,
： \angle C = 3 0 ^ { \circ } B
（20 \therefore \angle B A D + \angle A B D = / { 1 } { 2 } ( \angle A B C + \angle B A C ) = / { 1 } { 2 } x ( 1 8 0 ^ { \circ } - 3 0 ^ { \circ } ) = 7 5 ^ { \circ } ： * \angle D + \angle B A D + \angle A B D = 1 8 0 ^ { \circ } , \therefore \angle D = 1 8 0 ^ { \circ } - 7 5 ^ { \circ } = 1 0 5 ^ { \circ } . （204
： \triangle A B D 是关于 \angle A B D 的“差倍角三角形”
\therefore \angle D - \angle B A D = 2 \angle A B D \therefore \angle D = 2 \angle A B D + \angle B A D .
（2 \therefore 1 0 5 ^ { \circ } = \angle A B D + 7 5 ^ { \circ } . \therefore \angle A B D = 1 0 5 ^ { \circ } - 7 5 ^ { \circ } = 3 0 ^ { \circ } . （2
： \scriptstyle * \angle B A D = 1 8 0 ^ { \circ } - \angle A B D - \angle D = 4 5 ^ { \circ } \therefore B A C = 2 \angle B A D = 2 x 4 5 ^ { \circ } = 9 0 ^ { \circ } 。

25.(14分）已知 \angle M O N = 4 0 ^ { \circ } , OE平分 \angle M O N , A , B , C 分别是射线 O M , O E , O N 上的动点（点 A , B , C 不与点 O 重合)，连接 A C 交射线 O E 于点 D .设 \angle O A C = x ^ { \circ }

(1)如图1，若 A B / / O N ，则：① \angle A B O 的度数是 2 0 ^ { \circ } ② 当 \angle B A D = \angle A B D 时， x = \underline { { 1 2 0 } } ；当 \angle B A D = \angle B D A 时， \scriptstyle x = 6 0

(2)如图2，若 B A \perp O M ，则是否存在 x 的值，使得 \triangle A D B 中有两个相等的角？若存在，求出 \mathbf { \Psi } _ { x } 的值；若不存在，请说明理由.

图1

图2

解：存在.

① 当点 D 在线段 O B 上时，
若 \angle B A D = \angle A B D ，则 \scriptstyle x = 2 0
若 \angle B A D = \angle B D A ，则 \scriptstyle x = 3 5 ·
若 \angle A D B = \angle A B D ，则 \scriptstyle x = 5 0
② 当点 \boldsymbol { D } 在射线BE上时，
： \angle A B E = 1 1 0 ^ { \circ } ，且三角形的内角和为 { 1 8 0 } ^ { \circ }
∴只有当 \angle B A D = \angle B D A = 3 5 ^ { \circ } { \mathfrak { g } } . { \mathfrak { g } } ，满足 \triangle A D B 中有两个相等的角，： \begin{array} { r } { . { } x = 9 0 + 3 5 = 1 2 . 5 . } \end{array}
综上所述，当 x 的值为 2 0 或35或50或125时， \triangle A D B 中有两个相等的角.