名校课堂

甘肃专版

名校名师打造，更多名校都在用

数学

九年级上RJ

教师用书

目录

第二十一章一元二次方程

21.1 一元二次方程
21.2解一元二次方程21.2.1 配方法第 1 课时直接开平方法第2课时配方法21.2.2公式法第 1 课时一元二次方程的根的判别式第2课时用公式法解一元二次方程
周测(21.1\~21.2.2) 周测小卷121.2.3因式分解法 11

小专题1一元二次方程的解法 分类强化专练 13

21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 15

小专题2一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

分类强化专练 16

21.3实际问题与一元二次方程

第 1 课时传播问题与数字问题·· 77
第2课时平均变化率问题与销售问题 19
第3课时几何图形问题· 21

章末复习（一）一元二次方程

索引

微专题索引

P6微专题1利用配方法判断代数式的正负或求最值
P12微专题2用“十字相乘法"分解因式解一元二次方程
P37微专题3函数值的大小比较
P37微专题4函数图象的判断
P45微专题5抛物线对称性的运用
P45微专题6直线与抛物线的交点问题
P64微专题7确定旋转中心的位置
P70微专题8中点坐标公式的运用
P78微专题9连接半径构造等腰三角形

课标理念题索引

1.开放性问题

P3T8 P110T16

2.推理能力

P30T13P34T16P44T12P102T15

3.真实情境

P17T5 P20T10 P80T15 P83T8
P90T15 P99T8 P102T12 P104T16

4.数学/传统文化

P24T18 P80T12 P94T10 P98T8
P101T8 P121T14

5.阅读理解

P14T6 P16T3

6.跨学科

P101T4P110T12 P114T12 P117T9

索引

22.1二次函数的图象和性质 25
22.1.1二次函数 25
22.1.2 二次函数 _{y=a x^{2}} 的图象和性质. 27
22.1.3 二次函数 y=a(x-h)^{2}+k 的图象和性质 29
第1课时二次函数 y=a.x^{2}+k 的图象和性质 29
第2课时 二次函数 _y{=}a(x{-}h)^{2} 的图象和性质 31
第3课时二次函数 y=a(x-h)^{2}+k 的图象和性质·… 33

周测 ( 22. 1. 1~22. 1. 3 ) 周测小卷5

22.1.4二次函数 y=a.x^{2}+b x+c 的图象和性质 35
第1课时二次函数 y=a.x^{2}+b x+c 的图象和性质 ..35

小专题3二次函数的图象和性质 重点强化专练 38

第2课时用待定系数法求二次函数的解析式 40

专题4求二次函数的解析式 解题技巧专

方法指导索引

P6 利用配方法判断代数式的正负或求最值
P37 函数值的大小比较
P37 函数图象的判断
P42 求二次函数的解析式
P45 抛物线对称性的运用
P45 直线与抛物线的交点问题
P47 二次函数的图象与字母系数之间的关系
P48 二次函数的最值及函数值的范围
P64 确定旋转中心的位置
P78 连接半径构造等腰三角形
P86 与圆的基本性质有关的辅助线作法
P95与切线有关的辅助线作法
P105四种方法求阴影部分的面积

22.2二次函数与一元二次方程

教材变式索引

小专题5 函数图象信息题 分类强化专练 46

小专题6二次函数的图象与字母系数之间的关系

小专题7二次函数的最值及函数值的范围…解题技巧专练 48

22.3实际问题与二次函数 49

第1课时二次函数与图形面积 49
第2课时 二次函数与商品利润 51
第3课时实物抛物线 53

周测 ( 22. 1. 4~22. 3 周测小卷7

P1T5 教材P4习题T1变式 P1T6 教材P4习题T3变式 P2T16 教材P4习题T2变式 P7T5 教材P17习题T4变式 P15T1 教材P17习题T7变式 P17T2 教材P22习题T4变式 P25T5 教材P28问题2变式 P25T7 教材P28问题1变式 P26T13 教材P57复习题T8变式 P29T7 教材P33练习变式 P63T5 教材P62习题T4变式 P67T4 教材P69习题T1变式 P68T6 教材P70习题T8变式 P69T10 教材P70习题T3变式 P70T11 教材P70习题T4变式 P78T14 教材P81练习T3变式 P79T5 教材P83练习T2变式 P93T2 教材P98例1变式 P98T4 教材P100例2变式 P112T14 教材P131例1变式 P115T4教材P138例3变式

章末复习（二）二次函数· 6

甘肃中考考点针对练 \diamondsuit 核心素养提升练

小专题8二次函数与几何图形的小综合 解题技巧专练 58

第二十三章旋转

23.1图形的旋转

第 1 课时旋转的概念及性质.· 61
第2课时旋转作图.…. 63

小专题9旋转性质的综合运用 分类强化专练65

23.2中心对称 67

23.2.1中心对称· 67
23.2.2中心对称图形·. 68
23.2.3关于原点对称的点的坐标· 69

周测 ( 23. 1~23. 2 ) 周测小卷9

23.3课题学习图案设计

小专题10从旋转的角度理解几何模型 模型构建专练72

第二十四章圆

24.1圆的有关性质 77
24.1.1圆... 77
24.1.2垂直于弦的直径.….. 79
24.1.3弧、弦、圆心角.…... 81
24.1.4 圆周角… 83
第 1 课时圆周角定理及其推论·· 83
第2课时圆内接四边形.. 85
小专题11与圆的基本性质有关的辅助线作法 模型构建专练86
小专题12圆与角平分线——教材P87例4的变式与应用 多维变式专练87
小专题13圆与等腰三角形… 多维变式专练88
周测 ( 24. 1 ) ： 周测小卷 it{11}
24.2点和圆、直线和圆的位置关系 89
24.2.1点和圆的位置关系.……. 89
24.2.2直线和圆的位置关系…. 91
第 1 课时直线和圆的位置关系…. 91
第2课时切线的判定和性质 93
小专题14与切线有关的辅助线作法 解题技巧专练95

第4课时三角形的内切圆 98

第 1 课时弧长和扇形面积 101
第2课时圆锥的侧面积和全面积 103

小专题15四种方法求阴影部分的面积 解题技巧专练105

章末复习(四) 圆 107

周测(第二十四章) 周测小卷15

25.1.1随机事件 109
25.1.2概率 111

25.2用列举法求概率， 113

第1课时用列表法求概率 113
第2课时用画树状图法求概率 115

小专题16概率的综合应用 分类强化专练117

25.3用频率估计概率 119

章末复习(五）概率初步 120

附赠甘肃标准卷

单元测试（一）一元二次方程 测试卷1
单元测试（二）二次函数 测试卷3
单元测试(三) 旋转 测试卷5
期中测试 ：测试卷7
单元测试(四) 圆· 测试卷9
单元测试(五) 概率初步 测试卷 it{11}
期末测试(一) 测试卷13
期末测试(二) 测试卷15

第二十二章 二次函数

22.1 二次函数的图象和性质

22.1.1 二次函数

知识提要

一般地,形如 y=a x^{2}+b x+c ( a ,b ,c 是常数，a\nebf{it{0}} 的函数，叫做二次函数.其中， x 是自变量， a,b,c 分别是函数解析式的 二次项系数一次项系数和 常数项

基础题

知识点1 二次函数的定义

1.（2023·武威期中）下列各式中， y 是 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的二次函数的是 (C）

A.~y=3x-1\qquad\qquadB.~y={(1)/(x^{2)}} {C}.\;y=3x^{2}+x-1\qquad{D}.\;y=2x^{3}-1

2.(1)若 y=( m+3 ) x^{2}+4 是关于 _{\mathscr{X}} 的二次函 数，则 m 的取值范围是_ m\neq-3 (2)若 y=x^{a-1}+2x 是关于 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的二次函数,则 a=\underline{{3}}.

3.已知二次函数 y=x^{2}+3x-2 (1)当 x=-1 时， .y=\underline{{-4}} (2)当 {\ y=2} 时， \mathit{x}=\mathit{bf{1}} 或一4

4.判断下列函数是否为二次函数，若是二次函数，分别写出它们的二次项系数、一次项系数和常数项.

知识点2 实际问题中列二次函数关系式

5.（教材P28问题2变式）为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放1000个垃圾桶，计划第三个月投放 _y 个垃圾桶，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为 \boldsymbol{\mathscr{x}} ,那么 _y 与 x 之间的函数关系式是 （B)

A. y=1~000(1-x)^{2}\qquadB.~y=1~000(1+x)^{2}
C. y=(1-x)^{2}+1\ 000\quadD.\ y=x^{2}+1\ 000

6.如图，用 16 ~m~ 长的篱笆围成矩形生物园饲养小兔，设围成的矩形生物园的长为 .\boldsymbol{x}bf{m} ，则围成的矩形生物园的面积 S( m^{2} ) 与 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的函数解析式是 s=-x^{2}+8x _，自变量 \mathscr{x} 的取值范围是 _{0<x<8}

7.（教材P28问题1变式）某校九（1)班共有 \mathscr{x} 名学生，在毕业典礼上每两名同学都握一次手，共握手 _y 次，试写出 y 与 \boldsymbol{\mathscr{x}} 之间的函数关系式，并判断 y 是不是 _{X} 的二次函数.

解 :y={(1)/(2)}x(x-1)={(1)/(2)}x^{2}-{(1)/(2)}x. {\boldsymbol{y}} 是 x 的二次函数。

易错点 忽视二次函数解析式中二次项系数不为0

8.已知 y=(m+2) x^{|m|}+2 是关于 x 的二次函 数，那么 m 的值为2·

9.（本课时T8变式）（2023·武威期中）已知函数 y=(m+2) x^{m^{2}-2}+3x-4 是二次函数，则m 等于 (B）

A. ± 2 B.2 C.-2 D.6

中档题

10.下列函数： \begin{array}{r}{\mathbb{\Phi} y=2{x}-1 ; \mathbb{\varnothing} y=1-√(2) x^{2}}\end{array} ；{③}y=3x^{3} - 2x^{2} ; {④}\ y=9x^{2} - (3x{-}1)^{2} ；{\mathfrak{O}}y=x^{2}+{(1)/(x)}+5 ;{\mathbb{G}}y={(1)/(2)}(x-1)(x+4) 其中二次函数有 （B）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

11.商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件.若每件商品的售价上涨1元，则每星期就会少卖10件.设每件商品的售价上涨 \mathscr{x} 元（ \mathscr{x} 为正整数)，每星期销售的利润为 y 元，则 y 与 \boldsymbol{\mathscr{x}} 之间的函数关系式为 （D)

A. y=10(200-10x)
B. y=200(10+x)
C. y=10(200-10x)^{2}
D. y=(10+x)(200-10x)

12.【易错】已知关于 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的函数 y=( m^{2}-m ) x^{2}+ (m-1)x+m+1. (1)若这个函数是一次函数，则 m=\_{\mathbf{0}} (2)若这个函数是二次函数，则 m 的取值范围是 m\neq0 且 m\neq1

13.（教材P57复习题T8变式）已知矩形的周长为36~m ，矩形绕着它的一条边所在的直线旋转形成一个圆柱，设矩形的另一条边长为 xrm{m} ，圆柱的侧面积为 ~y~m^{2~} ，则 y 与 x 之间的函数关系式为_ y{=}{-}2π x^{2}{+}36π x(0{<}x{<}18)

14.一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个半圆，下部是一个矩形，矩形垂直于地面的一边长为 2, 5 ~m~ (1)求隧道截面的面积 S( m^{2} ) 与上部半圆的半径 r(rm{m}) 之间的函数关系式.(2)当上部半圆的半径为 2 rm{m} 时，截面面积是多少（参考数据： π{\approx}3.14 .结果精确到0, 1 \Omegam^{2} ）？

解： (1)\because 上部半圆的半径为 rbf{m}
“矩形的另一边长为2rbf{m}.

\therefore S=S_{\neq~\exists}+S_{\neq~\vec{0}}=(1)/(2)π r^{2}+2.\;5x2r=(1)/(2)π r^{2}+\;5r. 答 :S 与 r 之间的函数关系式为 {s}=(1)/(2)π r^{2}+5r.

（2）当 r=2 时 \scriptstyle{S={(1)/(2)}πx2^{2}+5x2\approx16.3.} 答：当上部半圆的半径为 2 rm{m} 时，截面面积约是16,3 \m^{2}

综合题

15.如图，在 \triangle A B C 中， \angle B=90° A B=12 \cm ，B C{=} 24~cm ，动点 P 从点 A 开始沿边 A B 向点 B 以 2~cm/s 的速度移动（不与点 B 重合），动点 Q 从点 B 开始沿边 B C 向点 C 以4~{cm} /s的速度移动（不与点 C 重合).如果点P*Q 分别从点 A ,B 同时出发，设运动的时间为 it{x}bf{s} ，四边形 A P Q C 的面积为 ~\boldmath~\y~cm^{2}

(1)求 y 与 \mathscr{x} 之间的函数关系式.
(2)求自变量 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的取值范围.
(3）四边形 A P Q C 的面积能否等于 172~cm^{2*} 若能，求出运动的时间；若不能，请说明理由.解：（1）：运动的时间为
x s,点 P 的速度为 2\cm /s,
点 Q 的速度为 4~cm /s
\therefore P B{=}(12-2x)cm , B \overline{{Q}} C B Q=4x cm.
\therefore y=(1)/(2)x12x24-(1)/(2)x(12-2x)x4x=4x^{2}-24x +144.

\left(2\right)\stackrel{*}{{}^{*}}\stackrel{x}{{}^{*}}\stackrel{}{{}^{}~}0 ,12-2x>0 ,24-4x>0 ,\stackrel{*}{{}^{*}}=0 {}^{<}\stackrel{x}{{}^{*}}=x<6. (3)不能.理由如下：根据题意，得 4x^{2}-24x+144=172. 解得 x_{1}=7 ,x_{2}=-1 (不合题意，舍去).0<x<6 ,\therefore x=7 不在自变量 x 的取值范围内。四边形 A P Q C 的面积不能等于 172~cm^{2}

知识提要

1.二次函数 _{y=a x^{2}} 的图象是抛物线，对称轴是y轴，顶点是原点·当 a>0 时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最 低点；当 a<0 时，抛物线的开口向 下 ，顶点是抛物线的最 高点. |a| 越大，抛物线的开口 越小

2.在二次函数 y=a x^{2}\left(a\neq0\right) 图象中， ① 若 a> 0:当 x{<}0 时， y 随 \mathscr{x} 的增大而 减小，当x{>}0 时， _y 随 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的增大而 增大 ⊚ 若 a< 0:当 x{<}0 时， _y 随 \mathscr{x} 的增大而 增大 _，当x{>}0 时， y 随 x 的增大而 减小

基础题

知识点1二次函数 \scriptstyle{\mathbf{y}}=a x^{2} 的图象

1.二次函数 y=-(1)/(2)x^{2} 的大致图象是 D

2.（2023·庆阳镇原县期中）如果抛物线 y= (m-1)x^{2} 的开口向上，那么 m 的取值范围是（B）

3.若二次函数 _{y=a x^{2}} 的图象经过点 P( -2 ,4 ) 则该图象必经过点 A

A.(2,4) B.(-2,—4) C.(-4,2) D.(4,-2)

4.(1)在如图所示的平面直角坐标系中画出函数
y{=}3x^{2} ,y{=} {-}3x^{2} ,y{=}{(1)/(3)}x^{2} ²和y= y=-(1)/(3)x^{2} 的

图象.

解：如图所示。

(2)观察(1)中所画的图象,填空：① 这四条抛物线中，开口向上的抛物线有y=3x^{2} ,y={(1)/(3)}x^{2} ;开口向下的抛物线有 y=-3x^{2} ,y=-(1)/(3)x^{2}

② 这四条抛物线的对称轴都是 {\boldsymbol{y}} 轴；顶点坐标都是 {\bf\Omega}(0,0)

③ 由图象可知，抛物线 y=3x^{2} 与抛物线y=-3x^{2} 的形状相同，且它们关于x 轴对称,同样,抛物线 y=(1)/(3)x^{2} 与抛物线 y=- {(1)/(3)} x^{2} 的形状相同,也关于x 轴对称；抛物线 _{y}=3x^{2} 的开口比抛物线 y=(1)/(3) x^{2} 的开口 小 （填“大”或“小"),抛物线 y=- 3x^{2} 的开口比抛物线y=-(1)/(3)x^{2} 的开口 小 (填“大"或“小”).

\circledast 抛物线 _{y=a x^{2}} 中，当 \mid a\mid 相同时，抛物线开口大小 相同 \mid a\mid 越大，抛物线开口越小 ； |a| 越小，抛物线开口越大：

知识点2 二次函数 \scriptstyle{\mathbf{y}}=a x^{2} 的性质

5.已知二次函数 y=x^{2} ，当 x{<}0 时， y 随 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的增大而减小(填“增大"或“减小”).

6.（本课时T5变式）已知二次函数 y=( a- 1)x^{2} ，当 x>0 时， _y 随 \mathscr{x} 的增大而增大,则实 数 \boldsymbol{a} 的取值范围是 a{>}1

7.已知抛物线 y=a x^{2} a>0 )过 A ( 2 , y_{1} ) B(-1,y_{2}) 两点，则 y_{1}\_>\_y_{2} （填“ > ”“<” 或“ \r=\" ,

8.(本课时T7变式)在二次函数 y=a.x^{2} (a<0) 对称轴右侧的图象上有 A\left(x_{1} ,y_{1} \right),B(x_{2} ,y_{2} ) 两点，若 y_{1}>y_{2} ，则 x_{1}\ldots<x_{2} （填“ > ”“” 或“ \mathbf{\Phi}=\",

中档题

9.(2023·武威期末)当 a b{>}0 时， _{y=a x^{2}} 与 y= a x+b 的图象大致是 D）

10.如图,正方形OABC的边长为 2 ,O C 与 _y 轴正半轴的夹角为 30° ，点 A 在抛物线 y=a x^{2} \ L{<}0 的图象上，则 \boldsymbol{a} 的值为 (D)A.-3 B.-√3 C.- C.-(√(3)/(3)\quad\Delta D.-(1)/(3))

第10题图

第11题图

11.已知四条抛物线所对应的函数解析式分别为： \begin{array}{r}{\mathbb{⟨ D }y=a x^{2} ;\mathbb{⟨2⟩} y=b x^{2} ;\mathbb{⟨3⟩}=c x^{2} ;\mathbb{⟨\Phi }y=}\end{array} d x^{2} ,其函数图象如图所示.比较 a ,b ,c ,d 的大小： a>b>d>c （用“ > "连接）.

.大丁抛物线 y=-x^{2} ，结出下列说法：① 抛物线开口向下，顶点是原点.⊚ 当 x{>}10 时， y 随 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的增大而减小.③ 当 -1{<}x{<}2 时， -4{<}y{<}-1 \ensuremath{Q} 若 (m,p) ,( n ,p ) 是该抛物线上两个不同的点，则 m+n=0 其中正确的说法有 ①②④ _.(填序号)

13.已知 y=( k+2 )x^{k^{2}+k-4} 是二次函数,且当x{<}0 时， _y 随 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的增大而增大.

(1)求 k 的值.
(2)如果点 P( m,n) 是此二次函数的图象上一点，若 - 2<=slantm<=slant1 ，则 n 的取值范围为-4{<=slant}n{<=slant}0 (直接写出结果).
解：根据题意,得 k+2\ne0 且 k^{2}+k-4=2 ，
解得 k_{1} {=} {-}3 ,k_{2} {=} 2,
：当 x<0 时， {\bfδ y} 随 x 的增大而增大，
二次函数的图象的开 \mathbf{\sigma} 向下，
即 k+2<0 ,解得 k<-2
\therefore k=-3.

综合题

14.如图，在平面直角坐标系中，点 A( 2 ,4 ) 在抛物线 _{y=a x^{2}} 上，过点 A 作 _y 轴的垂线，交抛物线于另一点 B 点 C,D 在线段 A B 上，分别过点 C,D 作 _x 轴的垂线交抛物线于 E ,F 两点.

(1)求抛物线的解析式.
(2)当四边形CDFE为正方形时，求线段 C D 的长。
解：(1)点 A\left(2,4\right) 在抛物线
y=a.x^{2}\ \perp,
： 4=4a ，解得 a=1
抛物线的解析式为 y=x^{2} （2）：四边形CDFE为正方
形，
\therefore C D//E F,C D=E C=E F.
又 \because A B\bot y 轴， \therefore E F\bot y 轴，即 E F//x 轴。设点 E 的横坐标为 m\left(m>0\right)
：点 E 在抛物线上 ,\therefore E(m ,m^{2} ), \therefore E F{=}2m. 又：AB⊥y轴， C E\bot x 轴 ,A(2,4) ，
\therefore C(m ,4), \therefore E C=4-m^{2}.
\because{\mathit{E C}}{=}{\mathit{E F}} ,\therefore{4}{-}m^{2} {=} 2m.
解得 m_{1}=-1-√(5) （舍去） m_{2}=-1+√(5) \therefore C D=2m=-2+2 √(5).

22.1.3二次函数 y=a(x-h)^{2}+k 的图象和性质

第1课时二次函数 y=a.x^{2}+k 的图象和性质

知识提要

1.对于抛物线 y=a.x^{2}+k ,对称轴是_》轴，顶点为 (\mathbf{0} ,k) .若 a>0 ：当 x>0 时， y 随 \mathscr{x} 的增大而 增大；当 x{<}0 时， y 随 _{\mathscr{x}} 的增大而 减小 .若 a<0 ：当 x>0 时， y 随 \boldsymbol{x} 的增大而 减小；当 x<0 时， y 随 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的增大而增大·

2.抛物线 y=a x^{2}+k 与 y=a x^{2} 的形状完全相同_，只是位置不同.二次函数 _{y}=a.x^{2}+ k 的图象可由 y=a x^{2} 的图象上下平移得到（上加下减）,平移的距离为_|k」_个单位长度.

基础题

知识点1二次函数 \scriptstyle{\mathbf{y}}=a x^{2}+k 的图象和性质

1.二次函数 y=x^{2}+1 的图象大致是 （B)

2.已知二次函数 y=3x^{2}-3

(1)函数图象与 y 轴的交点坐标为 (0,-3)
(2)若点 P(m,0) 在函数图象上，则点 P 的坐标为 \mathbf{\Omega}(1,0) 或 ( -1 ,0 )
(3)当 x{>}0 时， y 随 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的增大而 增大_;当x{<}0 时， y 随 _x 的增大而 减小
(4)因为 a>0 ,所以 _y 有最 \lrcorner1* 值，当 x= 0 时， y 取最小值，是 =^{3}

3.已知抛物线 {y={x}^{2}+a-2} 的顶点在 _x 轴的下 方，则 \boldsymbol{a} 的取值范围是 a{<}2

4.（2023·广州）已知点 A\left(x_{1} ,y_{1} \right),B\left(x_{2} ,y_{2} \right) 在抛物线 y=x^{2}-3 上，且 0<x_{1}<x_{2} ，则 y_{1} y_{2} .（填“ < > ”或“ \mathbf{\operatorname{=}}\mathbf{\partial}^{\bullet}

知识点2抛物线 y{=}a x^{2}{+}k 与 _{\mathbf{y}=a x^{2}} 的关系

5.(1)将抛物线 y=x^{2} 向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式是 （A）

A y=x^{2}+3\qquad~B.~y=x^{2}-3 C.\;y=(x+3)^{2}\qquadD.\;y=(x-3)^{2} (2)如果将抛物线 y=-x^{2}+2 向下平移3个单位长度，那么所得新抛物线的解析式是y=-x^{2}-1\quad.

6.若抛物线 y=a.x^{2}+c 与 y=- 3x^{2} 的形状相同,开口方向相反，且其顶点坐标是(0,2)，则该抛物线的函数解析式是 y=3x^{2}+2

7.（教材P33练习变式)在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数 y=- 2x^{2} y=-2x^{2}+ 3的图象.

(1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标.

(2)抛物线 y=-2x^{2}+3 可由抛物线 y=-2x^{2} 向上_平移_3_个单位长度得到.

解：如图所示。
抛物线 y=-2x^{2} 的开 \mathbf{\sigma} 向下,对称轴为 {\boldsymbol{y}} 轴，顶点坐标为 ( 0 ,0 )
抛物线 y=-2x^{2}+3 的开 \mathbf{\sigma} 向下,对称轴为 {\bf{y}} 轴，顶点坐标为 {\left(\begin{array}{l}{0,3}\end{array}\right)}

易错点 求函数值的范围时忽视顶点处的取值

8.对于二次函数 y=- 2x^{2}+4 ，当 - 2<x<=slant1 时， y 的取值范围是 -4<y<=4

中档题

9.关于函数 y=2x^{2}-3 ,y=- {(1)/(2)}x^{2} ²的图象及性质，下列说法不正确的是 ( D

A.它们的对称轴都是 _y 轴
B.对于函数 y=-(1)/(2)x^{2} x>0 y \boldsymbol{\mathscr{x}} 增大而减小
C.抛物线 y=2x^{2}-3 不能由抛物线 y= 一 {(1)/(2)}x^{2} 平移得到
D.抛物线 y=2x^{2}-3 的开口比抛物线 y= -{(1)/(2)}x^{2} 的开口大

10.（2023·定西陇西县月考）在同一平面直角坐标系中，一次函数 y=- k x+1 与二次函数 y=x^{2}+k 的大致图象可以是 （A）

11.【易错】(本课时T4变式)抛物线 y=x^{2}+3 上有两点 A\left(x_{1} ,y_{1} \right),B\left(x_{2} ,y_{2} \right) ，若 y_{1}less y_{2} 则下列结论正确的是 (D）

A. \scriptstyle0<=slant x_{1}<x_{2}
B. x_{2}<x_{1}<=slant0
C. x_{2}<x_{1}<=slant0 或 \scriptstyle0<=slant x_{1}<x_{2} D.以上都不对

12.若抛物线 y=a x^{2}+c 与抛物线 y=- 4.x^{2}+3 关于 _{X} 轴对称,则α=4 c\underline{{-3}}

13. 新考向 推理能力已知二次函数 _{y}{=}a x^{2}+ 3，当 \boldsymbol{x} 分别取 x_{1} ,x_{2} ( x_{1}\neqx_{2} ) 时，函数值相等，则当 x=x_{1}+x_{2} 时，函数值为3

14.【转化思想】已知抛物线 =x²+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点 F(0,2)

的距离与到 x 轴的距离始终相等.如图，点 M 的坐标为 (√(3) ，3) ,P 是抛物线 y={(1)/(4)}x^{2}+1 上一个动点，则\triangle P M F 周长的最小值是5

15.如图，抛物线 y=- x^{2}+4 与 \boldsymbol{\mathscr{x}} 轴交于 A ,B 两点，与 y 轴交于点 C ,四边形ABCD为平 行四边形. (1)直接写出 A,B,C 三点的坐标. (2)若抛物线向上平移后恰好经过点 D ，求 平移后抛物线的解析式.

综合题

16.（2023·庆阳镇原县期中)如图,抛物线 y= a x^{2}-3 和 y=-a x^{2}+3 都经过 \mathscr{x} 轴上的 A ，B 两点，两条抛物线的顶点分别为 C,D. 当四边形ACBD的面积为24时，求 a 的值，

解：抛物线 y=a x^{2}-
3和 y=- a.x^{2}+3 的顶
点分别为 \boldsymbol{C},\boldsymbol{D}
\therefore C(0,-3),D(0,3). .C D=6.
:**_{}********************************************************************
O C{=}(1)/(2)A B* C D{=}24 ,
\therefore A B{=}8, \therefore A({-}4,0).
将 A(-4,0) 代 ~ y=a x^{2}-3 ，得
16a-3=0 ,解得 a=(3)/(16).

知识提要

1.对于抛物线 y=a ( x-h )^{2} ,对称轴为直线_{x=h} ,顶点坐标为 (h,0) ·若 a>0 ：当x{>}h 时， y 随 \mathscr{x} 的增大而 增大_，当 x{<}h 时， _y 随 x 的增大而 减小；若 a{<}0 ：当 x> h 时， y 随 \boldsymbol{x} 的增大而 减小，当 x{<}h 时， _y 随 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的增大而 增大

2.抛物线 _y=a( x-h )^{2} 可以看成由抛物线 y= a x^{2} 沿 x 轴左右平移得到的：当 h>0 时，向右_平移_h_个单位长度；当 h<0 时，向左_平移_ \left|\left.h\right| _个单位长度.

基础题

知识点1 二次函数 {\mathbf y}=a ( x-h )^{2} 的图象和性质

1.(1)在如图所示的平面直角坐标系中画出函数 y=x^{2} , y=( x+2 )^{2} , y=( x-2 )^{2} 的图象。

解：如图所示.

(2)观察(1)中所画的图象，填表：

2.在平面直角坐标系中，二次函数 y=(1)/(2) (x- 2)^{2} 的图象可能是 D

3.对于抛物线 y=- 2 ( x-m )^{ 2} ,下列说法不正确的是 D）

A.开口向下 B.对称轴是直线 x=m C.最大值为0 D.与 _{\mathscr{x}} 轴不相交

4.已知函数 y=-2(x-3)^{2} 的图象上两点 A(a ，y_{1} ) ,B(1,y_{2}) ,其中 a{<}1 ，则 y_{1} 与 y_{2} 的大小关系为_ y_{1}<y_{2}

5.抛物线 y=a ( x+h )^{2} 的对称轴是直线 x= -2 ，且过点 (1,-3)

(1)求抛物线的解析式.
(2)当 x\_>-2 时， y 随 x 的增大而减小;当 x=-2 时，函数取最大值，为\underline{{bf{0}}}.
解：抛物线 y=a(x+h)^{2} 的对称轴是直线 x=-2 ，
\therefore-h=-2 ,解得 h=2
：抛物线的解析式为 y=a(x+2)^{2}
抛物线 y=a(x+2)^{2} 过点 (1,-3) ，
\therefore-3=9a ,解得 a=-(1)/(3)
抛物线的解析式为 y=-(1)/(3)(x+2)^{2}.

知识点2抛物线 _{\mathbf{y}=a(x-h)^{2}} 与 \scriptstyle{\mathbf{y}}=a x^{2} 的关系

6.观察本课时第1题所画图象可知，将抛物线 y= x^{2} 向左平移2个单位长度，得到抛物线 {\mathfrak{y}}= (x+2)^{2} ；将抛物线 y=x^{2} 向右平移个单位长度，得到抛物线 y=(x-2)^{2}

7.【逆向考查】抛物线 y=( x-3 )^{2} 经过平移得到抛物线 _{y}=x^{2} ,平移过程正确的是（A）

A.向左平移3个单位长度B.向右平移3个单位长度C.向上平移3个单位长度D.向下平移3个单位长度

8.顶点为 ( - 5 ,0 ) ，且开口方向、形状与抛物线y=-(1)/(3)x^{2} x²相同的抛物线的解析式是（C）

\therefore y{=}{(1)/(3)}(x{-}5)^{2}\qquad{B.~}y{=}{-}{(1)/(3)}x^{2}{-}5 C.~y=-/{1{3}(x{+}5)^{2}~~~~~}D.~y=/{1{3}(x{+}5)^{2}}

易错点 二次函数增减性相关的易错

9.已知二次函数 y=2(x-h)^{2}

(1)若 x{>}3 时， y 随 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的增大而增大，则 h 的 取值满足_ h{<=slant}3

(2)若 x{<}3 时， _y 随 _{\mathscr{x}} 的增大而减小,则 h 的 取值满足 h{>=}3

中档题

10.若抛物线 y=2(x-m)^{m^{2}-4m-3} 的顶点在 \boldsymbol{\mathscr{x}} 轴 正半轴上,则 m 的值为_5·

11.若抛物线 y=-(1)/(3)(x+2)^{2} 向右平移 m 个单 位长度后经过点 ( 3 ,-3 ) ，则 m=\begin{array}{r l}{2}\end{array} 或8

12.已知二次函数 y=3(x+2)^{2} 的图象上有三点A(1,y_{1}) ,B(2 ,y_{2} ) ,C( - 3 ,y_{3} ) ，则 y_{1} ,y_{2} ,y_{3} 的大小关系为 （B）

A. y_{1}>y_{2}>y_{3} B y_{2}>y_{1}>y_{3} C. y_{3}>y_{1}>y_{2} D.\ y_{3}>y_{2}>y_{1}

13.若抛物线 _y=2(x-1)^{2} 经过 ( m ,n ) 和 (m+3 n ）两点，则 n 的值为 A

A (9)/(2) B.-(9)/(2) C.1 D. -{(1)/(2)}

14.（本课时T13变式)如图，抛物线 y=(x-h)^{2} 与 \boldsymbol{x} 轴只有一个交点 M ，且与平行于 \boldsymbol{\mathscr{x}} 轴的直线 l 交于 A ,B 两点.若 A B=3 ，求点 M 到直线 l 的距离.

解：抛物线 y=(x-h)^{2} 与x 轴 \boldsymbol{\mathscr{s}} 有一个交点 M ，..M为抛物线的顶点.

： {\Delta}A B//x 轴 ,A B=3 ,抛物线的对称轴为直线 x=h ，
：点 B 的横坐标为 h+(3)/(2)
当 x=h+(3)/(2)θ/\;,y=(h+(3)/(2)-h)^{2}=(9)/(4).
：点 B 的纵坐标为 (9)/(4)
：点 M 到直线I的距离为 (9)/(4)

综合题

.5.已知二次函数=( y=(1)/(3)(x-h)^{2} ,当自变量 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的值满足 \scriptstyle3<=slant x<=slant5 时，与其对应的函数值 _y 的最小值为3,求常数 h 的值.解 :\because y=(1)/(3)(x-h)^{2} , 该函数图象开 \mathbf{\sigma}° 向上,对称轴是直线 x=h ，当 x=h 时，该函数取最小值0.当自变量 x 的值满足 3{\le}x{\le}5 时,与其对应的函数值 {\boldsymbol{y}} 的最小值为3，： ① 若 h{<}3 ，则当 _{x=3} 时 ,y 取最小值3,β\p (1)/(3)(3-h)^{2}=3 , 解得 h_{1}=6 . （不合题意，舍去）， h_{2}=0 ⊚ 若 3{\le}h{\le}5 ，则当 x=h 时， {\bfδ y} 取最小值0,与题设矛盾，故该种情况不存在；\circled{3} 若 5{<}h ，则当 x=5 时， {\boldsymbol{y}} 取最小值3，β\pounds (1)/(3)(5-h)^{2}=3 , 解得 h_{3}=2 （不合题意，舍去)， ,h_{+}=8 综上所述 ,h 的值是 \mathbf{0} 或8.

知识提要

1.抛物线 y=a(x-h)^{2}+k 有如下特点：① 当 a{>}0 时,开口向上；当 a{<}0 时，开口向下；⊚ 对称轴是直线 _{x=h} ③ 顶点坐标是 \left(h,k\right)

2.抛物线 y=a ( x-h )^{2}+k 与 y=a x^{2} 形状相同，位置不同.把抛物线 y=a x^{2} 向上(下)和向左(右)平移，可以得到抛物线 y= a(x{-}h)^{2}+k ，平移的方向、距离要根据h ,k 的值来决定.

基础题

知识点1 二次函数 y=a\( x-h)^{2}+k 的图象和性质

1.（教材P37练习变式）填写下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标.

2.已知抛物线 y=(\ x-3)^{2}-1 与 y 轴交于点 C ， 则点 C 的坐标为 (0,8)

3.若点 A(m,y_{1}) ,B(n ,y_{2} ) (m{<}n{<}3) 都在抛物 线 y=- (x-3 )^{2}+2 上，则 y_{1}\underbrace{<\phantom{(1)/(2)}y_{2}} .（填 “>”“<”或“ = ”)

4.二次函数 y=(x+2)^{2}-1 的图象大致为（D）

5.如图所示的是抛物线 y=a ( x+1 )^{2}+2 的一部分，该抛物线在 _y 轴右侧部分与 _x 轴的交点坐标是 （B)

({(1)/(2)},0) B.(1,0) C.(2,0) D. (3,0)

6.（2023·庆阳期末)关于函数 y=-3(x\dot{+}1)^{2}-
2,下列描述错误的是 （D

A.开口向下
B.对称轴是直线 x=-1
C.函数最大值是一2
D.当 x{>}-1 时， _y 随 _{\mathscr{x}} 的增大而增大

知识点2 抛物线 y=a ( x-h )^{ 2}+k 与 y=a x^{2} 的关系

7.（2023·武威凉州区期末）抛物线 y=- 2x^{2} 先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得抛物线是 (B）

A. y=-2(x+1)^{2}+3 B. y=-2(x+1)^{2}-3 C. y=-2(x-1)^{2}-3 D. y=-2(x-1)^{2}+3

8.（2023·定西岷县期中）将二次函数 y= (x-2)^{2}-4 的图象向左平移1个单位长度，向上平移2个单位长度，平移后的二次函数解析式为 y=(x-1)^{2}-2

9.将抛物线 y=a ( x-h )^{2}+k 先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到二次函数 y=-2(x+3)^{2}+1 的图象.

(1)确定 a,h,k 的值.
(2)二次函数 y=a( x-h )^{2}+k 图象的开口向下，对称轴是直线 x=-1 ，顶点坐标为 (-1,-2)

(3)直接说明二次函数 y=a(x-h)^{2}+k 的增减性和最值.

解：(1)由题意，得 \scriptstyle a = -2 , -h + 2 = 3 ,k + 3 = 1. \therefore a=-2 ,h=-1 ,k=-2.
(3)当 x<-1 时， {\boldsymbol y} 随 x 的增大而增大；
当 x>-1 时， {\boldsymbol{y}} 随 x 的增大而减小;
当 x=-1 时 ,y 取最大值一2.

易错点 将图象平移与坐标轴平移混淆

10.抛物线的函数解析式为 y=3(\chi-2)^{2}+1 ，若将 _{x} 轴向上平移2个单位长度，将 _y 轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数解析式为_ y=3 ( x- 5)²-1 .

中档题

11.若二次函数 y=(x+m)^{2}+n 的图象如图所示，则点 ( m ,n ) 在 (C)

A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限

第11题图

第13题图

12.已知二次函数 y=-(x-1)^{2}+2 ，当 t{<}x{<}5 时， y 随 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的增大而减小,则实数 t 的取值范围是 (C)

A. (){<}t{<=slant}1 B. t{>=}1
C. 1{<=slant}t{<}5 D. t{>=}5

13.在体育测试中，九年级的一名男生推铅球，已知铅球经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如图所示，若这个男生的出手处 A 点的坐标是（0,2)，铅球路线的最高处 B 点的坐标是 ( 4 ,(8)/(3) ) ,则这个二次函数的解析式为 y=-(1)/(24)(x-4)^{2}+(8)/(3) ，该男生能把铅球推出去12米.

14.【分类讨论思想】（2023·牡丹江）将抛物线y=(x+3)^{2} 向下平移1个单位长度，再向右平移_2或4_个单位长度后，得到的新抛物线经过原点.

15.（2024·通辽）如图，在平面直角坐标系中，直线 y=-(3)/(2)x+3 α+3与α轴、vy轴分别交于点C ,D ，抛物线 -(x-2)²+k(k为常数)经过点 D 且交 \boldsymbol{\mathscr{x}} 轴于 A ,B 两点.

(1)求抛物线的函数解析式. （2)若 P 为抛物线的顶点，连接 A D,D P C P ，求四边形 A C P D 的面积.

解： {\bf(1)} 在 y=-(3)/(2)x+3 中，令 \scriptstyle x = 0 ,得 y=3 \therefore D(0,3)

：抛物线y
2)^{2}+k 经过点D(0,
3),
\therefore3=-(1)/(4)x(0-2)^{2}+
k ，解得 k=4 抛物线的函数解析式为 y=-(1)/(4)(x-2)^{2}+4.
(2)在 y=-(3)/(2)x+3 x+3中,令 y=0,得x=2.
\therefore C(2 ,0) ,O C{=}2.
由 y=-(1)/(4)(x-2)^{2}+4 可得抛物线顶点 P 的坐标为 (2,4),\therefore P C{=}4 且 P C//y 轴。
在 y=-(1)/(4)(x-2)^{2}+4 中，令 {y}=0 ，得 0 {=} -/14 ( x -2)^{2}+4.
解得 \scriptstyle x = 6 或 x=-2
\therefore A(-2,{\bf0}) ,O A=2.
\therefore S_{\sigma _{M \ast 3 A C P{D}}}=S_{\triangle A C D}+S_{\trianglerc o}={(1)/(2)}x( 2+2 )x3+{(1)/(2)} x4x2=10.

综合题

16. 新考向推理能力已知二次函数 y=( x - 1)^{2}-4 (1)当 -1{<=slant}x{<=slant}4 时，求二次函数的最大值与最小值.(2)若点 M(n-2 ,y_{1} ) ,N( 2n+3 ,y_{2} ) 在该二次函数的图象上，且位于对称轴的两侧.当 y_{1}>y_{2} 时，求 n 的取值范围.

解:(1)当 x=1 时，函数有最小值，为一4；
当 x=4 时，函数有最大值，为 (4-1)^{2}-4=5
当 -1{<=slant}x{<=slant}4 时，二次函数的最大值是5,最小值是一4.
(2)二次函数 y=(x-1)^{2}-4
该二次函数的图象开 \mathbf{\sigma}_{\mathbf{\sigma}} 向上,对称轴是直线 \scriptstyle x=1, ① 若点 M 在对称轴的左侧，点 N 在对称轴的右侧,则_{(n-2<1}
\{2n+3>1 ，
\Bigl|1-(n-2)>2n+3-1,
解得 -1{<}n{<}{(1)/(3)} .
⊚ 若点 N 在对称轴的左侧，点 M 在对称轴的右侧,则\left\{\begin{array}{l}{{n-2\slash,1,}}\\ {{2n+3<1,}}\\ {{1-(2n+3)<n-2-1,}}\end{array}\right.
此不等式组无解.
综上所述 ,n 的取值范围是 -1{<}n{<}{(1)/(3)}

周测 ( 22. 1. 1~22. 1. 3 )

（时间：40分钟满分：100分)

一、选择题(每小题4分，共24分)

1.二次函数 y=2x^{2}-3x+4 的一次项系数是（C

A.2 B.3 C.-3 D. 4

2.已知函数 y=- 5x^{2}+m x(x-2) 是关于 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的 二次函数，则 m 的取值范围是 （D)

3.将抛物线 _{y=2x^{2}} 先向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的新抛物线是(A）

A y=2(x+1)^{2}+3\quad~B.~y=2(x+1)^{2}-3 C .\ y{=}2(x{-}1)^{2}{+}3\quad~D.~y{=}2(x{-}1)^{2}{-}3

4.若抛物线 y=(x+m)^{2}+m-1 的顶点在第二 象限，则 m 的取值范围为 （B)

A. m{>}0 B.\ m>1 C ⟩, 0{<}m{<}1 D. m{<}0 或

5.如图，二次函数 y=a (x+2)^{2}+k 的图象与 \boldsymbol{\mathscr{x}} 轴交于 A\left(-6,0\right),B 两点，下列说法错误的是（C）

A. a{<}0
B.图象的对称轴为直线x=-2
C.当 x<0 时， y 随 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的增大而增大
D.点 B 的坐标为（2，0）

6.小嘉说，将二次函数 y=x^{2} 的图象平移或翻折后经过点(2,0)有4种方法：① 向右平移2个单位长度；⊚ 向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度；③ 向下平移4个单位长度；\circledast 沿 \boldsymbol{\mathscr{x}} 轴翻折，再向上平移4个单位长度.你认为小嘉说的方法中正确的有 （D）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

二、填空题(每小题4分，共28分)

7.在二次函数 y=(x-1)^{2}+5 中，当 x{>}1 时， _y 随 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的增大而增大（填“增大”或“减小”).

8.试写出一个抛物线，它的开口向上，且对称轴是直线 x=1 \scriptstyle{y=(x-1)^{2}} （答案不唯一）

9.若二次函数 y=a(x-1)^{2}+b(a\neq0) 的图象经过点(0,2),则 a+b 的值是2·

10.如图所示，在同一平面直角坐标系中作出①y=- 3x^{2} ;②y=- (1)/(3)x^{2} ;③y=- x^{2} 象，则图象 L_{1} ,L_{2} ,L_{3} 对应的函数解析式依次是 ①③② .（填序号）

第10题图

第11题图

11.“水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理折射出图象.水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的（如图)，水柱的最高点为 P,A B=2\;~m,B P= 9 rm{m} ,水嘴高 A D=5 ~m~ ,则水柱落地点 C 到水嘴所在墙的距离 A C 是_ 5 rm{m}

12.已知点 A(h-1,k_{1}) 和 B(h+2,k_{2}) 都在二次函数 y=-2(x-h)^{2}+3 的图象上，则 k_{1} 和k_{2} 的大小关系是 k_{1}>k_{2}

13.如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，_{1),( 3 , 3 ) ,( 1 , 3 )} .若抛物线 _{y=a x^{2}} 的图象与正方形的边有公共点，则实数\boldsymbol{a} 的取值范围是 (1)/(9){<=slant}a{<=slant}3

三、解答题（共48分)

14.(10分)已知 y=(k-1)x^{k^{2}-k}+1 是关于 \mathscr{x} 的二次函数，且函数图象有最低点.(1)求二次函数的解析式.(2)在如图所示的平面直角坐标系中，画出该二次函数的图象.(3)求函数图象的顶点坐标和对称轴，并说明当 \mathscr{x} 为何值时， _y 随 \mathscr{x} 的增大而减小.

解 :(1)\because y=(k-1) x^{k^{2}-k}+1 是二次函数，且函数图象有最低\stackrel{\xi}{\dots},\stackrel{**}{\dots}\left\{_{k^{2}-k=2 ,}^{k-1>0 ,}\right. 解得 k=2,
：二次函数的解析式为 y{=}x^{2}+1. (2)如图所示.
(3)由 \mathbf{\tau}^{(1)} 知， y=x^{2}+1.
该函数图象的顶点坐标是 ( 0 ,1 ) 且当 x<0 时 ,y 随 x 的增大而减<

15.（12分)已知抛物线 y=a(x+m)^{2} 的顶点坐标为(-1,0),且经过点A(－2，一)(1)求该抛物线对应的函数解析式.(2)该抛物线是否经过点 B(2,-2)\colon 若不经过，怎样沿 \boldsymbol{\mathscr{x}} 轴方向平移该抛物线，才能使它经过点 B ？并写出平移后新抛物线对应的函数解析式.解：(1)二次函数 {y}=a(x+m)^{2} 的顶点坐标为(-1,0) ，： m=1. 二次函数 y=a(x+1)^{2} 把点 A(-2,-(1)/(2)) 代入，得 a=-(1)/(2) 则抛物线的解析式为 y=-(1)/(2)(x+1)^{2}. (2)把 x=2 代入 y=-(1)/(2)(x+1)^{2} 得 y=-(9)/(2)\not=-2 ：点 B(2,-2) 不在这个函数的图象上。根据题意设平移后的解析式为 y=-(1)/(2)(x+1+m)^{2}. 把 B(2,-2) 代入，得 -2=-(1)/(2)(2+1+m)^{2}. 解得 m_{1}=-1,m_{2}=-5 ：当抛物线向右平移1个单位长度或向右平移5个单位长度，即可过点 \boldsymbol{B} ，则平移后新抛物线对应的函数解析式为 y=-(1)/(2)x^{2} 或 y=-(1)/(2)(x-4)^{2}.

16.（12分）为促进米粉经济，某市举办了“中国米粉节”展销会活动.参加这次米粉展销会的每两家公司之间都签订了一份合同，若所有 \boldsymbol{\mathscr{x}} 家公司共签订了 y 份合同.(1)写出 _y 与 \boldsymbol{\mathscr{x}} 之间的关系式.(2)当所有公司共签订了55份合同时，求参加此次展销会的公司的数量.解：(1)每家公司与其他 (x-1) 家公司都签订一份合同，由于甲公司与乙公司签订的合同和乙公司与甲公司签订的合同是同一份合同，所以所有公司共签订了 签订了(x-1) 份合同，:y与 x 之间的关系式为 y=(1)/(2)x(x-1) (2)当 y=55 时,则 {(1)/(2)}x(x-1)=55 , 解得 x_{1}=11 ,x_{2}=-10 ( 舍去）。答：参加此次展销会的公司共有11家。

17.(14分)如图，抛物线 y=- x^{2}+4 交 \boldsymbol{\mathscr{x}} 轴于A ,B 两点，顶点是 C (1)求 \triangle A B C 的面积.(2)若点 P 在抛物线上，且 S_{\triangle P A B} {=} 4 ,求点 P 的坐标.(3)若抛物线上存在点 Q ，使 \angle A Q B{=}90° ，求点 Q 的坐标.

解： :\left(1\right)\because A\left( - 2 , 0 \right), B\left( 2 , 0 \right).
C(\mathbf{0},4) ，
\therefore S_{\triangle A B C} {=} (1)/(2)x4x4 {=}8.
(2)设点 P 的纵坐标为 t, 则 S_{\triangle P A B}=
(1)/(2)x4x| t |=4,\therefore t {=} ±2.
当 t=2 时，由 2 {=} -x^{2}+4 ，得 x=±√(2)
当 t=-2 时，由 -2 {=} -x^{2}+4 ，得 x=±{√(6)}.
：点 P 的坐标为 ({√(2)},2) 或 (-√(2),2) 或 (√(6),-2) 或
(-√(6),-2)
(3)设点 Q 的坐标为 (m,n) ，连接 o Q ，
\because\angle A Q B{=}90°,O A{=}O B,\therefore O Q{=}(1)/(2)A B{=}2.
\therefore\{m^{2}+n^{2}=2^{2} ,①
由 ⊚ ,得 m^{2}=4-n ,③
将 \circled{3} 代入 \Phi 得 4-n+n^{2}=4. 解得 n_{1}=0 （舍去) ,n_{2}=1,
由 1=-m^{2}+4 解得 m=±√(3)
：点 Q 的坐标为 ({√(3)},1) 或 (-√(3),1)

第1课时二次函数 y=a.x^{2}+b x+c 的图象和性质

知识提要

二次函数 y=a x^{2}+b x+c(a\neq0) 通过配方可化为 y{=}a(x{+}(b)/(2a))^{2}{+}(4a c{-}b^{2})/(4a) 的形式,它的对称轴为直线 x=- {(b)/(2a)} ,顶点坐标为 (-{(b)/(2a)}, (4a c-b^{2})/(4a)) .若 a>0 ：当 x{<}{-}(b)/(2a) 时， y 随 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的增大而 减小 ，当 x>-(b)/(2a) 时， y 随 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的增大而增大;若 a{<}0 ：当 x{<}{-}(b)/(2a) 时， _y 随 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的增大而 增大_，当 x>-{(b)/(2a)} 时， y 随 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的增大而减小

基础题

知识点1 y{=}a x^{2}{+}b x{+}c 与 y=a( x-h)^{2}+k 的关系

1.(1)用配方法将二次函数 y=x^{2}-8x-9 化为y=a(x-h)^{2}+k 的形式为_ y=( x-4 )^{2} 一25

(2)把二次函数 y=-(1)/(3)x^{2}-2x 化为 y=a(x- h)^{2}+k 的形式为 y=-(1)/(3)(x+3)^{2}+3

知识点2 二次函数 \mathbf{y}=a x^{2}+b x+c 的顶点坐标公式

2.二次函数 y=-(1)/(2)x^{2}-7x+(15)/(2) 的图象的对称 轴是 直线 x=-7 _，顶点坐标是 (-7, 32)

知识点3 二次函数 y=a x^{2}+b x+c 的图象和性质

3.关于二次函数 y=2x^{2}+4x-1 ,下列说法正确的是 D

A.图象与 y 轴的交点坐标为(0,1)B.图象的对称轴在 _y 轴的右侧C.当 x{<}0 时， _y 随 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的增大而减小D. _y 的最小值为一3

4.若抛物线 y=a x^{2}+b x+c 与 \mathscr{x} 轴的两个交点为(-2,0) ,(4,0) ,则该抛物线的对称轴为（C）

A.直线 x=-3 B.直线 x=3 C.直线 {x=1} D.直线 x=-1

5.【整体思想】（2024·甘南州）若二次函数 y= a{x}^{2}-b{x}-1 的图象经过点（2，1)，则 2\ 024± 2a-b=~\ensuremath~{~2~025~~}

6.已知二次函数 y=-x^{2}+2x+3 (1)求函数图象的顶点坐标，并画出这个函数的图象。

(2) ① 已知函数图象上两点 A\;(\;x_{1} , y_{1}\;) 和B(x_{2},y_{2}) ,若 x_{1}<x_{2}<0 ，则 y_{1} 与 y_{2} 的大小关系为_ y_{1}<y_{2}

⊚ 当 -1{<}x{<}4 时，求 y 的取值范围.

解： ;(1)\because y=-x^{2}+2x+3 =-( x-1 )^{2}+4 , 函数图象的顶点坐标为(1,4).图象如图所示.(2)②当 -1<x<4 时，y的取值范围是 -5<y<=slant4

知识点4二次函数 y{=}a x^{2}{+}b x{+}c 图象的平移

7.（2024·包头）将抛物线 y=x^{2}+2x 向下平移2个单位长度后，所得新抛物线的顶点式为(A）

A λ.\ y=(x+1)^{2}-3\qquadB.\ y=(x+1)^{2}-2 C.~y=(x-1)^{2}-3\qquadD.~y=(x-1)^{2}-2

8.将抛物线 y=x^{2}+3x+1 先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 y=x^{2}+5x+2

中档题

9.二次函数 y=a x^{2}+b x+c(a\neq0) 的图象如图所示，则下列结论中不正确的是 （D）

A. c{>}0
B.图象与 \boldsymbol{\mathscr{x}} 轴的负半轴交于点 (-3,0)
C.函数的最大值为 a 一b+c
D. a b{<}0

10.一次函数 y=a x+b 的图象如图所示，则二次函数 y=a x^{2}+b x 的图象可能是（D）

11.已知二次函数 y=a x^{2}+b x+c(a\neq0) 的自变量 _{X} 与函数值 y 之间满足下表中的数量关系，则：

(1)a-b+c=\begin{array}{c}{{5}}\\ {{}}\end{array}. ( 2 ) 4a-2b+c=\;\;\;12\;\;\;.

12.如图,在平面直角坐标系中，点 A 在抛物线 y= x^{2}-2x+4 上运动.过点A 作 A C\bot x 轴于点 C ，以A C 为对角线作矩形

A B C D ，连接 B D ，则对角线 B D 的最小值为

13.如图，已知二次函数 y=x^{2}+a x+3 的图象经过点 P(-2,3) (1)求 \boldsymbol{a} 的值和图象的顶点坐标.(2)点 Q( m,n) 在该二次函数图象上.① 当 m=2 时，求 n 的值.

⊚ 若点 Q 到 _y 轴的距离小于2，请根据图象直接写出 n 的取值范围

解:(1)把 P(-2,3) 代 ~ y=x^{2} +a x+3 ，得 3=(-2)^{2}-2a+ 3,解得 a=2 \therefore y{=}x^{2}+2x{+}3{=}(x{+}1)^{2}+2. ：顶点坐标为 (-1,2) (2) ① 把 _{x=2} 代入 y=x^{2}+2x+3 ，得 y=11 ，：当 m=2 时， n=11 ②2<= n<=11.

综合题

14.（2023·平凉节选）如图，抛物线 y=- x^{2}+ b x 与 \boldsymbol{\mathscr{x}} 轴交于点 A ，与直线 {y=-x} 交于点B\left(4,-4\right) ·点 C(0,-4) 在 y 轴上，点 P 从点B 出发，沿线段 B O 方向匀速运动，运动到点O 时停止.

(1)求抛物线 y=-x^{2}+b x 的解析式.
(2)当 B P=2 √(2) 时，过点 P 作 P D\bot O A 交抛物线于点 D ，连接 P C,O D ,判断四边形O C P D 的形状，并说明理由.
解：(1)抛物线 y=- x^{2}+b x
过点 B\left(4,-4\right) ，
\therefore-16+4b=-4,\therefore b=3.
·抛物线的解析式为 y=-x^{2}
+3x.
(2)四边形OCPD是平行四边
形.理由如下：作 P D\bot O A 交抛物线于点 D ，交 x 轴于点 H , 连接PC,OD ,BC.
：点 P 在 y=- x\ \pounds\ ,\dot{*}* O H{=}P H ,\angle P O H{=}45°. ： \scriptstyle O C=B C=4 ，
\therefore{\cal O}{\cal B}=4 √(2).
\because B P{=}2 √(2) ,\therefore O P{=}O B{-}B P{=}2 √(2).
\scriptstyle\therefore O H=P H={(√(2))/(2)}O P={(√(2))/(2)}x2{√(2)}=2.
P D\bot O A 交抛物线于点 D ，
：将 _{x=2} 代入 \mathbf{\nabla}*\mathbf{y} {=} -x^{2}+3x , 得 D(2,2)
\therefore D H{=}y_{D} {=} 2.
\therefore P D=D H+P H=2+2=4.
\ '{\partial}C{=}4 ,\therefore P D{=}O C.
： oc\bot x 轴， P D\bot x 轴， \therefore P D//α C.
四边形 O C P D 是平行 \eqcirc 边形.

以题明法

【例】已知 A( - 4 ,y_{1} ) ,B( 1 ,y_{2} ) 两点都在二次函数 y=- 3 (x+1)^{2}+2 的图象上,试比较 y_{1} 与 y_{2} 的大小关系.

解法1：直接代入法：把 A(-4,y_{1}),B(1 y_{2} , 分别代人 y=- 3 (x+1)^{2}+2 中，得 y_{1}= -25 y_{2}=\_{10},*** y_{1}\_<\_y_{2}.

解法2：增减性比较法： y=-3(x+
1)^{2}+2 ,抛物线对称轴为直线 x=-1
·点 A,B 位于对称轴的_异 侧（填“同"或
“异”），利用对称性可知，点 A 关于对称轴的
对称点的坐标为 ( 2 ,y_{1} ) ： a=- 3<0
：当 x{>}-1 时， y 随 \mathscr{x} 的增大而 减小·又\underline{{{2}}}\quad>1 , \dot{*s} y_{1}\quad<\quad y_{2} .

【方法归纳】增减性比较法一般是先定对称轴，再看点的位置，同侧利用增减性直接比较，异侧利用轴对称性，把点关于对称轴对称到同侧再比较.

解法3：距离比较法：

（1）该抛物线开口向下 _,抛物线的对称轴为直线 x=-1

(2)画出抛物线的示意图（标明对称轴位置).(3)将点 A ,B 标在示意图上，点 A 到对称轴的距离比点 B 到对称轴的距离 远（填“近”或“远")，由图象得 y_{1}\_<\_y_{2}

【方法归纳】距离法比较函数值时，一般先定开口方向，再算距离，开口向上，距离对称轴越远值越大；开口向下，距离对称轴越远值越小.

针对训练

1.若点 ( 0 ,y_{1} ) ,( 1 ,y_{2} ) ,( - 2 ,y_{3} ) 都在二次函数 \scriptstyle y = 3x^{2} 的图象上,则 (A)

类型1由已知函数图象判定未知函数的图象

A. y_{3}>y_{2}>y_{1} B. y_{2}>y_{1}>y_{3}
C。 y_{1}>y_{3}>y_{2} D. y_{3}>y_{1}>y_{2}

2.已知抛物线 y=-(x-3)^{2}-n(n 是常数)经过 A(x_{1},y_{1}) ,B(x_{2} ,y_{2} ) ,C(x_{3} ,y_{3} ) 三点，且x_{1}<x_{2}<3 ,x_{3}>3 ,| x_{1}-3 |<| x_{3}-3 | ，则下列关于 y_{1} ,y_{2} ,y_{3} 的大小关系的结论正确的是 (C)

3.已知 a ,b ,c 是实数，点 A(a-1,b) B(a-2 ，^{c)} 在二次函数 y=x^{2}-2a x+1 的图象上,则b ,c 的大小关系是 b 人 c （填“ > ”或“<").

【方法指导】已知函数图象 \rightarrow 得出系数正负\rightarrow 判断未知函数图象

A. y_{1}>y_{3}>y_{2} B. y_{3}>y_{2}>y_{1}
C. y_{2}>y_{1}>y_{3} D. y_{2}>y_{3}>y_{1}

1.（2023·河南）二次函数 y=a x^{2}+b x 的图象如图所示，则一次函数 y=a\ x+b 的图象一定不经过 (C)

微专题4

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

类型2 函数图象共存问题

【方法指导】先假设一个函数图象成立，再根据这个函数图象的位置确定待定系数的取值范围，然后再看求出的待定系数的范围是否满

函数图象的判断

足另一个函数图象.简称：观察函数图象，看其一定其二的方法排除即可.

2.在同一平面直角坐标系中，函数 y=a.x^{2}+k 与 y=k x+a(a\neq0) 的图象可能是（D）

3.一次函数 y=a x+b(a\neq0) 与二次函数 y= a x^{2}+b x+c(a\neq0) 在同一平面直角坐标系中的图象可能是 (C)

小专题3二次函数的图象和性质

1.（2023·武威期中)在抛物线 y=-x^{2}+2x+1 中，若 y 随 \boldsymbol{x} 的增大而增大,则 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的取值范围是 A）

2.（2024·南通）将抛物线 y=x^{2}+2x-1 向右平移3个单位长度后得到新抛物线的顶点坐标为 (D）

A.(—4,—1) B.(—4,2) C.(2,1) D.(2,-2)

3.（2023·定西陇西县月考)顶点为 (-2,-1) 且开口方向、形状与函数 y=- 3x^{2} 的图象相同的抛物线是 (C）

A. y=-3(x-2)^{2}-1
B. y=-3x^{2}-2
C. y=-3(x+2)^{2}-1
D. y=3(x+2)^{2}-1

4.已知二次函数 y=(\ x-2)^{2}-6 ，当 -1{<=slant}x{<=slant}4 时， y 的最小值为 D

A.3 B.~0~\ensuremath~{~α~{~ ~~~C.~-~2~\ensuremath~{~α~{~ ~~~D.~-~6~~}~}}}

5.已知抛物线 y=x^{2}+m x 的对称轴为直线 x=
2，则关于 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的方程 x^{2}+m x=5 的根是（D）
A.0,4 B.1,5
C.1,-5 D.-1,5

6.对于抛物线 y=2 ( x+3 )^{2}+1 ，下列说法错误的是 C

A.开口向上
B.对称轴是直线 x=-3
C.当 x{>}-3 时， _y 随 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的增大而减小D.当 _{x}=-3 时,函数值有最小值是1

7.(2023·武威凉州区月考)二次函数 y{=}a x^{2}{+}b x{+}c 的图象如图所示，则下列结论正确的是（C）

A .. a>0 ,b>0 ,c>0 3. a>0 ,b<0 ,c<0 C \},a{<}0,b{>}0,c{<}0 D. a{<}0 ,b{<}0 ,c{<}0

8.在同一平面直角坐标系中，二次函数 y=a x^{2} 与一次函数 y=b x+c 的图象如图所示，则二次函数 y=a.x^{2}+b x+c 的图象可能是（D）

9.已知二次函数 y=x^{2}-2x-3 的自变量 x_{1} ，x_{2}* x_{3} 对应的函数值分别为 y_{1} , y_{2} , y_{3} .当-1{<}x_{1}{<}0 ,1{<}x_{2}{<}2 ,x_{3}{>}3 时， y_{1} ,y_{2} ,y_{3} 三者之间的大小关系是 (D)

A. y_{1}<y_{2}<y_{3} B. y_{2}<y_{3}<y_{1} C.\ y_{3}<y_{1}<y_{2}\phantom{l}\ \ \qquadD.\ y_{2}<y_{1}<y_{3}

10.已知 y 是 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的二次函数，下表给出了 y 与 \mathscr{x} 的几对对应值：

由此判断,表中 a=\underline{{bf{6}}}

11.（2023·定西陇西县月考）已知二次函数 y= -(x{+}h)^{2} .当 x{<}-3 时， y 随 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的增大而增大；当 x>-3 时， y 随 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的增大而减小，当x=0 时， _y 的值为_-9

12.若点 P( m,n) 在二次函数 y=x^{2}+2x+2 的图象上，且点 P 到 _y 轴的距离小于2，则 n 的取值范围是 1{<=slant}n{<}10

13.设抛物线 y=x^{2}+(a+1) x+a ,其中 a 为实数.

(1)若抛物线经过点 (-1,m) ，则 m=\_0
(2)将抛物线 y=x^{2}+(a+1)x+a 向上平移2个单位长度，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是2：

14.如图，在平面直角坐标系 x O y 中，抛物线E:y=-(x-m)^{2}+2m^{2}\ (m<0) 的顶点 P 在抛物线 F:y=a x^{2} 上，直线 x=t 与抛物线E ,F 分别交于点 A ,B

(1)求 \boldsymbol{a} 的值.
(2)将点 A,B 的纵坐标分别记为 y_{A}* y_{B} ，设s {=} y_{A} {-} y_{B} ,若 s 的最大值为4,则 m 的值是多少？解：(1)由题意可知，抛物线E:y=- (x-m)^{2}+2m^{2} (m <0 )的顶点 P 的坐标为\left(m ,2m^{2} \right),
：点 P 在抛物线 F:y=a x^{2} 上，
\therefore a m^{2}=2m^{2}, \therefore a=2.
(2)：直线 \scriptstyle x = t 与抛物线 E ,F 分别交于点 A~,B ，
\begin{array}{r l}&{\mathrel{\phantom{=}}\ddots y_{A}=- (t-m)^{2}+2m^{2}=- t^{2}+2m t+m^{2} , y_{B}=}\\ &{2t^{2},}\\ &{\mathrel{\phantom{=}}\ddots s=y_{A}-y_{B}=- t^{2}+2m t+m^{2}-2t^{2}=- 3t^{2}+2m t}\\ &{\mathrel{\phantom{=}}+m^{2}=- 3(t-(1)/(3)m)^{2}+(4)/(3)m^{2},}\\ &{\mathrel{\phantom{=}}\ddots-3<0 ,}\end{array}
当 \scriptstyle{t={(1)/(3)}m} 时 ,s 取最大值,为 {(4)/(3)}m^{2}
\because_{s} 的最大值为 4，
\therefore(4)/(3)m^{2}=4 ,解得 m=±√(3)
\because m{<}0 ,\therefore m{=} {-}√(3).

15.【注重学习过程】九年级某班成立了数学学习兴趣小组，该小组对函数 y=\midx^{2}-1\mid 的图象和性质进行探究，过程如下，请你补充完整.

(1) ① 列表：下表是 x {\setminus} y 的几组对应值，其中⊚ 描点：根据表中的数值描点 ( .x ,y ) ，请补充描出点 (-(1)/(2),m) ,((1)/(2),n) ③ 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整，

(2)请观察图象，直接写出当 y 随 x 的增大 而增大时， \boldsymbol{\mathscr{x}} 的取值范围为 -1<x<0 或 x>=1

(3)除了上述增减性，请你再写出两条该函数的图象特征或性质：① 函数图象是轴对称图形② 函数值y都是非负数

(4)点 (m,a) 与 ( n,b) 在函数图象上,且 \mid n\mid< |m|<1 ，则 \boldsymbol{a} 与 b 的大小关系是 a{<}b

解： (1)② 补充描点如图.
③ 补全图象如图.

知识提要

1.已知抛物线上三个点的坐标，可设二次函数的解析式为 y=a x^{2}+b x+c

2.如果已知抛物线的顶点坐标 ( h ,k ) 及抛物线上另一点的坐标，可设二次函数的解析式为y=a(x-h)^{2}+k\quad.

3.已知抛物线与 \boldsymbol{\mathscr{x}} 轴的两个交点坐标 ( x_{1} ,0 ) (x_{2},0) 及抛物线上任意一点的坐标，可设二次函数的解析式为 y=a( x-x_{1} )( x-x_{2} )

基础题

知识点1 已知任意点求二次函数解析式（一般式）

1.已知二次函数 y=a x^{2}+b x+1 ，当 x=1 时，{y=2} ；当 x=2 时， y=-5 ，则该二次函数的解析式为 y=-4x^{2}+5x+1

2.已知二次函数 y=a.x^{2}+b x+c 中 x* y 的部分对应值如下表，则该二次函数的解析式为y=x^{2}-3x+1 ， m 的值为5：

3.已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为 (B）

A. y=x^{2}-2x+3
B. y=x^{2}-2x-3
C. y=x^{2}+2x-3
D. y=x^{2}+2x+3

4.已知抛物线 y=a.x^{2}+b x+1 经过点 ( 1 ,-2 ) ， (-2,13).

(1)求 a ,b 的值.
(2)若 ( 5 ,y_{1} ) ,( m ,y_{2} ) 是抛物线上不同的两点，且 y_{2} {=} 12 {-} y_{1} ，求 m 的值.

解:(1)把 \left(1,-2\right),\left(-2,13\right) 代入 \mathbf{\nabla}*\mathbf{\nabla}y {=} a x^{2}+b x {+} \mathbf{1} , 得\begin{array}{r}{\left\{{-2=a+b+1} ,\right.}\\ {\left.{13=4a-2b+1}\end{array} 解得 \begin{array}{l}{{\left|a=1 ,\right.}}\\ {{\left.\quad\right|b=-4.}}\end{array}

(2)由(1)得，抛物线的解析式为 y=x^{2}-4x+1
把 x=5 代 ~ y=x^{2}-4x+1 , 得 y_{1}=6,
\therefore y_{2} {=} 12 {-} y_{1} {=} 6. {\bf y}_{1}={\bf y}_{2} ,抛物线的对称轴为直线 x=2 ，
\therefore5-2=2-m, \dot{*},m=-1.

知识点2 已知抛物线顶点和图象上另外一点， 求二次函数的解析式(顶点式)

5.若抛物线的顶点坐标是 ( - 2 ,1 ) 且经过点（1， -8) ,则该抛物线的解析式是_ y=-(x+2)^{2} ±1

6.已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为 y=-(1)/(2)(x-2)^{2}+3

7.某二次函数图象的顶点坐标为 ( 4 ,-3 ) ，且它与 \mathscr{x} 轴的一个交点的横坐标为3，求该二次函数的解析式.解：设该二次函数的解析式为 y=a(x-4)^{2}-3 把 ( 3 ,0 ) 代 \leftthreetimes ，得 \scriptstyle0 = a(3-4)^{2}-3 解得 a=3 故该二次函数的解析式为 y=3(x-4)^{2}-3

知识点3 已知抛物线与 x 轴的两交点和另外一点，求二次函数的解析式(交点式)

8.已知抛物线与 \boldsymbol{\mathscr{x}} 轴交于 A\left(-1,0\right),B(5,0) 两点，与 y 轴交于点 C\left(0,5\right) .可设该二次函数的解析式为 y=a\left( x+( 1 )/( 1-) \right)\left( x-( 5 )/( 3-) \right), 将C(0,5) 代人，得方程 - 5a=5 ，解得 a= ,故该二次函数的解析式为 y=-x^{2} ±4x+5

9.（教材P40练习T1变式）经过 A\left( 4, 0 \right) B(-2,0) ,C(0 ,3) 三点的抛物线的解析式是 y=-(3)/(8)x^{2}+(3)/(4)x+3\quad.

中档题

10.一条抛物线的形状、开口方向与 y={(1)/(2)}x^{2}- 4x+3 相同，顶点为 ( - 2 ,1 ) ，则此抛物线的解析式为 ( C）

A.y= y{=}{(1)/(2)}(x{-}2)^{2}{+}1~B.~y{=}{(1)/(2)}(x{+}2)^{2}-1 C.\ y{=}{(1)/(2)}(x{+}2)^{2}{+}1\ D.\ y{=}{(1)/(2)}(x{-}2)^{2}{-}1

11.（本课时T9变式）已知抛物线经过点 A ( 2 ， 0)和 B(-1,0) ，且与 y 轴交于点 C 若 O C= 2，则这条抛物线的解析式是 y=x^{2}-x-2 或 y=-x^{2}+x+2

12.二次函数的图象如图所示，则其解析式为y=-x^{2}+2x+3

第12题图

第14题图

13.已知点 P(-1,5) 在抛物线 y=-x^{2}+b x+c 的对称轴上，且与该抛物线的顶点的距离是 4，则该抛物线的解析式为 y=-x^{2}-2x 或 y=-x^{2}-2x+8

14.如图，抛物线的顶点 M 在 _y 轴上，抛物线与直线 _y=x+1 相交于 A,B 两点，且点 A 在 _{\mathscr{x}} 轴上，点 B 的横坐标为2,那么抛物线的函数关系式为_ \scriptstyle{y=x^{2}-1}

15.（2024·辽宁改编）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=a.x^{2}+b x+3 与 \boldsymbol{x} 轴相交于点A ,B ，点 B 的坐标为(3，0).若点 C( 2 ,3 ) 在抛物线上，求 A B 的长.

解：抛物线 y=a x^{2}+b x+3 过点B(3 ,{\bf0}) ,C(2 ,3) , \therefore\left\{{9a+3b+3=0} ,\right. 解得b=2抛物线的解析式为 y=- x^{2}+

2x+3.
:抛物线的对称轴是直线 x=-(2)/(2x(-1))=1.
抛物线与 x 轴的一交点为 B\left(3,0\right) ，
：另一交点为 A(1-2,0) ，即 A(-1,0)
\therefore A B=3-(-1)=4.

综合题

16.如图，抛物线 y=a x^{2}+b x-5(a\neq0) 经过点A(4,-5) ，与 \boldsymbol{\mathscr{x}} 轴的负半轴交于点 B ，与 _y 轴交于点 C ，且 O C{=}5O B ,抛物线的顶点为 D (1)求该抛物线的解析式.(2)连接 A B,B C,C D,D A ,求四边形ABCD的面积.

解： (1)\because 抛物线 y=a x^{2}+b x-5
与 {\boldsymbol{y}} 轴交于点 C ，
：点 \displaystyle c 的坐标为 (\mathbf{0},-5)
.o c{=}5,
:OC=5OB,..OB=1.
D
又：点 B 在 x 轴的负半轴上,
：点 bf{\emph{B}} 的坐标为 (-1,0)
将点 A\left(4,-5\right),B\left(-1,0\right) 代 ~ y=a x^{2}+b x-5 , 得\left\{\begin{array}{l l}{{16a+4b-5=-5 ,}}\\ {{a-b-5=0 ,}}\end{array}\right. 解得 \left\{\stackrel{a=1}{b=-4.}\right.
“该抛物线的解析式为 y=x^{2}-4x-5
(2)/!= x^{2}-4x-5=(x-2)^{2}-9 ,
顶点 D 的坐标为 ( 2 ,-9 )
连接 AC.
\because{\cal A}(4,-5) ,{\cal C}(0 ,-5) ,
:AC//x轴, A C=4
\therefore S_{\triangle A B C} {=} (1)/(2)x4x5 {=} 10 ,
S_{\triangle A C D} {=} (1)/(2){x}4{x}[-5{-}(-9)] {=}8.
\therefore S_{∞:a:a b c b}=S_{\triangle A B C}+S_{\triangle A C b}=18.

小专题4求二次函数的解析式

类型1 利用待定系数法求二次函数解析式

1.已知二次函数的图象经过点 A\left( 1,- 2 \right) 和B(0,-1) ，且对称轴为直线 x=1 ，求这个二次函数的解析式.解：设这个二次函数的解析式为 y=a x^{2}+b x+c a+b+c=-2,a=1，根据题意，得 c=-1， 解得 b=-2 ，{c}=-1. 2a“二次函数的解析式为 y=x^{2}-2x-1,

2.已知二次函数 y=a.x^{2}-5a x+c 的最小值为-,其图象过点 D(0,4),求这个二次函数的解析式.解：二次函数 y=a.x^{2}-5a x+c 的图象过点 \begin{array}{r}{D\left(0\right),}\end{array} 4),/* c=4. 二次函数 y=a x^{2}-5a x+c 的最小值为一\therefore(4a*4-(-5a)^{2})/(4a){=}-(9)/(4)\Lt\ agreater\ 0. ： a=1, ·这个二次函数的解析式是 y=x^{2}-5x+4.

3.抛物线 y=a.x^{2}+b x+c 与 \boldsymbol{\mathscr{x}} 轴的交点坐标分 别是 \left(-1,0\right),\left(3,0\right)

(1)求这条抛物线的对称轴.
(2)若该抛物线最高点到 \mathscr{x} 轴的距离为4,求该抛物线的解析式.
解：(1)抛物线 y=a x^{2}+b x+c 与 x 轴的交点坐标分别是 \left(-1,0\right),\left(3,0\right) ，
这条抛物线的对称轴为直线 x=(-1+3)/(2)=1.
(2)抛物线 y=a x^{2}+b x+c 与 x 轴的交点坐标分别是 \left(-1,0\right),\left(3,0\right) ，
\therefore y=a(x+1)(x-3)=a x^{2}-2a x-3a=a(x-1)^{2}- 4a.
该抛物线最高点到 x 轴的距离为4,
“最高点的纵坐标为4或一4,且 a{<}0, 当最高点的纵坐标为4时， -4a=4 ，解得 a=-1 当最高点的纵坐标为一4时 ,-4a=-4 , 解得 a=1 (不合题意，舍去).
\therefore y=-x^{2}+2x+3.

类型2 利用平移、对称求二次函数解析式

4.已知抛物线 y=-x^{2}+2x+1.

(1)向右平移3个单位长度，向下平移2个单 位长度所得抛物线的解析式为 y=-( x ) 一4)²（或 y=-x^{2}+8x-16)

(2）沿 \boldsymbol{\mathscr{x}} 轴翻折所得抛物线的解析式为 {\mathfrak{y}}= (x-1)^{2}-2( \ddot{z}\stackrel{}{\chi}_{i}y=x^{2}-2x-1)\ \ \ .

(3）沿 y 轴翻折所得抛物线的解析式为 {\mathfrak{y}}= -(x{+}1)^{2}{+}2(\ a x\ {_{y}}{=}{-}x^{2}{-}2x{+}1)

方法指导

(1)二次函数的平移变化

上加下减常数项，左加右减自变量.

① 抛物线 y=a.x^{2}+b x+c 向左(右)平移 m(m{>}0) 个单位长度，得到抛物线 y=\ddag a(x±m)^{2}+b(x±m)+c ;

⊚ 抛物线 y=a.x^{2}+b x+c 向上（下）平移 n\left( n{>=}0 \right) 个单位长度，得到抛物线 y=\ddag a x^{2}+b x+c± n.

(2)二次函数的对称变化

① 关于 x 轴对称

抛物线 y=a.x^{2}+b x+c 关于 \boldsymbol{\mathscr{x}} 轴对称后,得到抛物线 y=-a x^{2}-b x-c

抛物线 y=a ( x-h )^{2}+k 关于 \boldsymbol{\mathscr{x}} 轴对称后，得到抛物线 y=-a(x-h)^{2}-k

⊚ 关于 {\bf{y}} 轴对称

抛物线 y=a.x^{2}+b x+c 关于 y 轴对称后，得到抛物线 y=a.x^{2}-b x+c

抛物线 y=a ( x-h )^{2}+k 关于 y 轴对称后，得到抛物线 y=a(x+h)^{2}+k.

22.2二次函数与一元二次方程

知识提要

1.如果抛物线 y=a x^{2}+b x+c(a\neq0) 与 _x 轴有公共点，公共点的横坐标是 x_{0} ,那么当 x=x_{0} 时，函数值是0.因此 {\boldsymbol{x}}={\boldsymbol{x}}_{0} 是方程 a{x}^{2}+b{x}^{+} c=0 的一个根.

2.二次函数 y=a.x^{2}+b x+c 的图象与 x 轴的位置关系有三种：有两个公共点，有个公共点，没有公共点.这对应着一元二次方程 a x^{2}+b x+c=0 的根也有三种情况：有 两个不相等 的实数根，有 两个相等的 实数根，没有实数根.

基础题

知识点1抛物线与 x 轴的公共点坐标与对应的一元二次方程的根之间的关系

1.一元二次方程 x^{2}+x-2 {=} 0 的根为 x_{1}=1 , x_{2}=-2 ,故抛物线 y=x^{2}+x-2 与 \boldsymbol{\mathscr{x}} 轴的公共点坐标为 \left(\mathbf{1},\mathbf{0}\right),\left(-2,\mathbf{0}\right)

2.（教材P47习题T1变式）已知二次函数 y= a x^{2}+b x+c 的图象如图所示，利用图象回答：

(1)方程 a x^{2}+b x+c=0 的解是 x_{1}=-1 . x_{2}=3\quad.

(2)方程 a.x^{2}+b x+c=5 的解是 x_{1}=- 2 . x_{2}=4\quad.

(3)方程 a x^{2}+b x+c=-4 的解是 _{x_{1}}=x_{2}=1 (4)方程 a x^{2}+b x+c=-6 的解的情况怎样？ 解：方程 a x^{2}+b x+c=-6 无实数解.

知识点2抛物线与 x 轴的公共点个数与对应的一元二次方程的根的判别式之间的关系

3.抛物线 y=x^{2}-5x+6 与 \boldsymbol{\mathscr{x}} 轴的交点情况是 (A)

A.有两个交点 B.只有一个交点C.没有交点 D.无法判断

4.若抛物线 y=x^{2}+4x+5-m 与 \mathscr{x} 轴有两个不同的公共点，则 m 的取值范围是 （D)

A. m{<}-1 B.\ 0{<}m{<=slant}1
C. m{<}1 D, m>1

5.（本课时T4变式）（2023·郴州)若抛物线 y= x^{2}-6x+c 与 \boldsymbol{\mathscr{x}} 轴只有一个交点，则 c {=} ~\bf~9~

6.（本课时T4变式)（2023·武威凉州区期末改编)抛物线 y=a.x^{2}+4x-1 与 \boldsymbol{\mathscr{x}} 轴有两个不同的交点，则 a 的取值范围是_ a>-4 且a\neq0\quad

知识点3 二次函数与不等式

7.二次函数 y=x^{2}-x-2 的图象如图所示，则当函数值 y<0 时，自变量 \boldsymbol{x} 的取值范围是（C）

A. x{<}-1
B. x{>}2
C.-1{<}x{<}2
D. x{<}-1 或 x{>=}2

【拓展提问】 当函数值 y>=0 时，自变量 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的取值范围是 {\underline{{x}}}<=slant-1 或 .>2

知识点4由二次函数的图象确定代数式的符号

8.如图，小明从二次函数 y= a.x^{2}+b x+c 的图象中得出四条结论： ①agreater0 ②bgreater0 ③c{>}0 ④b^{2}-4a c>0. 其中正确的是 ①②④ _.（填序

9.（2023·庆阳镇原县期中）已知二次函数 y= a x^{2}+b x+c(a\neq0) 中，函数 y 与自变量 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的部分对应值如下表，则方程 a x^{2}+b x+c=0 的一个解 _{\mathscr{x}} 的取值范围是 （B)

A. 1<x<1.1 B.1.1<x<1.2
C.1. 2<x<1,3 D.1.3<c<1. 4

易错点 1 忽视抛物线与 \mathbf{\Deltay} 轴的交点

10.抛物线 y=-x^{2}+6x-4 与坐标轴的公共点 个数为_3

易错点2漏掉函数是一次函数的情况

11.若函数 y=(m-1)x^{2}-6x+(3)/(2)m m的图象与x轴有且只有一个公共点，则 m 的值为（C)

A.-2或3 B.-2或-3
C.1或-2或3 D.1或-2或-3

中档题

12. 新考向 推理能力已知二次函数 _{y}{=}a x^{2}+ b x+c(a\neq0) 的最小值为2，则 B

A. a>0 ,b^{2}-4a c=0 B. a>0 ,b^{2}-4a c<0 C .\ a{<}0 ,b^{2}{-}4a c{=}0\ ~D.~a{<}0 ,b^{2}{-}4a c{>}0

13.二次函数 y=a x^{2}+b x 的图象如图所示，若一元二次方程 a x^{2}+b x+m {=} 0 有实数根，则m 的最大值为 (A）

A.3 B.-3~ ~\quadC.~(3)/(2)~\quad~\quad~D.~-/{3{2}~}

第13题图

第14题图

14.二次函数 y=a.x^{2}+b x+c 的图象如图所示，下列说法错误的是 D

A. a<0 ,b>0 . b^{2}-4a c>0
C.方程 a x^{2}+b x+c=0 的解是 x_{1}=5 ,x_{2}=-1
D.不等式 a x^{2}+b x+c>0 的解集是

15.已知直线 l:y=k x+1 与抛物线 {{y}={{x}^{2}}-4.}x (1)求证：直线 l 与该抛物线总有两个交点.(2)设直线 l 与该抛物线两交点为 A ,B ,O 为原点，当 k=-2 时，求 \triangle{O A B} 的面积.

解： \mathbf{\tau}(1) 证明：令 x^{2}-4x=k x+1 ，则 x^{2}-(4+k)x- {\bf l}={\bf0},
\because{\scriptstyle\Delta}=(4{+}k)^{2}{+}4{>}0 ,
：直线 l 与该抛物线总有两个交点。
(2)设点 A ,B 的坐标分别为 \left( x_{1} ,y_{1} \right),\left( x_{2} ,y_{2} \right), 直线
l 与 y 轴交点为 C(0,1)
\not\in\left(1\right)\not\approx\sigma ,x_{1}+x_{2}=4+k=2 ,x_{1} x_{2}=-1.
\therefore(x_{1}-x_{2})^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1} x_{2}=4+4=8.
\therefore|x_{1}-x_{2}|=2{√(2)}.
又： O C=1
\therefore S_{\triangle a a b} {=} (1)/(2)O C*\mid x_{1} {-} x_{2}\mid {=}(1)/(2)x1x2 √(2) {=}√(2).

综合题

16.（2023·陇南西和县期中）将二次函数 y= -x^{2}+2x+3 的图象在 \mathscr{x} 轴上方的部分沿 x 轴翻折后，所得新函数的图象如图所示.当直线 y=x+b 与新函数的图象恰有3个公共点时， b 的值为 -{(21)/(4)} 或-3.

【方法指导】若抛物线上不重合的两个点的坐标分别为 A(x_{1} ,y_{1} ) ,B(x_{2} ,y_{2} ) ,且 y_{1}=y_{2} ，则 A B两点关于抛物线的对称轴对称,且该抛物线的对称轴为直线x=十.

1.已知抛物线 y=-x^{2}+b x+4 经过 (-3,n) 和 ( 1 ,n ) 两点，则 ^n 的值为

A.-2 B,-1 C.2 D. 1

2.二次函数 y=a.x^{2}+b x+c 的部分对应值如下表：

为对称轴为直线 x=1 ；当 x=2 时,对应的函数值为

3.若点 P_{1}(-1,y_{1}) ,P_{2}(3 ,y_{2} ) ,P_{3}(5 ,y_{3} ) 均在二次函数 y=-x^{2}+2x+c 的图象上,则 y_{1} ,y_{2} ,y_{3} 的大小关系是 y_{1}=y_{2}>y_{3}

4.已知二次函数 y=- x^{2}-2x+m 的部分图象如图所示，则关于 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的一元二次方程一 x^{2}-2x+m=0 的解为 x_{1} {=} {-}3 ,x_{2} {=} 1

【拓展提问】不等式 -x^{2}-2x+m<0 的解集为 x{<}-3 或 x{>}1

微专题6

直线与抛物线的交点问题

【方法指导】（1)若直线 y_{1}=k x+h 与抛物线 y_{2}=a x^{2}+b x+c 没有交点，则方程 a x^{2}+b x+c=k x+h 中 \varDelta<0

(2)若直线 y_{1} {=} k x {+} h 与抛物线 y_{2}=a x^{2}+b x+c 有一个交点，则方程a x^{2}+b x+c=k x+h 中 \Delta\_=0

(3)如图,直线 y_{1}=k x+h 与抛物线 y_{2}=a x^{2}+b x+c 交于点 A\left(m,n\right),B(\pounds,q) ，则方程 a x^{2}+b x+ c=k x+h 的根为 x_{1}=m x_{2}=\phi ，不等式 y_{1}<y_{2} 的解集为 x{<}m 或 x>p ，不等式 y_{1}>y_{2} 的解集为m{<}x{<}p

1.如图,抛物线 y_{1}=ax^{2} 与直线 y_{2}=b x+c 的两个交点坐标分别为 A (m,-(9)/(4)) ,B(1,-1)

( 1 ) m 的值为 -(3)/(2) ，方程 a x^{2}-b x-c {=} 0 的解是 x_{1}=-(3)/(2) ,x_{2}=1 (2)不等式 y_{1}>y_{2} 的解集是 - {(3)/(2)}<x<1 ，不等式 y_{1}<=slant y_{2} 的解集是x\ll-(3)/(2) \ddot{z}\stackrel{.}{\not{x}}\ll1\quad.

\begin{array}{r l}{(1)b=}&{{}-2}\end{array} m\operatorname{=}\quad5

(2）将直线 A C 沿 _y 轴上下平移，当平移后的直线与抛物线只有一个公共点时，求平移后的直线解析式。

解：由 \mathbf{(1)} 知 ,y_{1}=x^{2}-2x-3. 设直线 A C 平移后的解析式为 y=x+k ，
联立 \scriptstyle{\binom{y=x+k}{y=x^{2}-2x-3}} 得 x^{2}-2x-3=x+k. 整理，得 x^{2}-3x-k-3=0.
平移后的直线与抛物线 \scriptstyle(o)/(\ddots) 有一个公共点，\therefore\Delta=(-3)^{2}-4(-k-3)=0 解得 k=-(21)/(4).
六平移后的直线解析式为 y=x-(21)/(4)

小专题5 函数图象信息题

类型1 动点问题中判断函数图象

1.如图，等边三角形 A B C 、等边三角形 D E F 的边长分别为3和2.开始时点 A 与点 D 重合，D E 在 A B 上， D F 在 A C 上， \triangle D E F 沿 A B 向右平移，当点 D 到达点 B 时停止.在此过程中，设 \triangle A B C 与 \triangle D E F 重合部分的面积为y ,\triangle D E F 移动的距离为 \boldsymbol{\mathscr{x}} ，则 y 与 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的函数图象大致为 (C)

2.如图，四边形ABCD是边长为 2\cm 的正方形，点 E ，点 F 分别为边 A D ,C D 中点，点 O 为正方形的中心，连接 O E,O F ，点 P 从点 E 出发沿 E-O-F 运动，同时点 Q 从点 B 出发沿 B C 运动，两点运动速度均为 1~{cm/s} ，当点P 运动到点 F 时，两点同时停止运动，设运动时间为 t\ ~s~ ，连接 B P,P Q,\triangle B P Q 的面积为S~{cm^{2}} ，下列图象能正确反映出 S 与 t 的函数关系的是 （D）

3.（2023·平凉庄浪县一模）如图，正方形A B C D 的边长为 2~{cm} ,动点 P*Q 同时从点 A 出发，在正方形的边上，分别按 A\toD\toC A{\rightarrow}B{\rightarrow}C 的方向，都以 1~cm/s 的速度运动，到达点 C 运动终止，连接 P Q. 设运动时间为\boldsymbol{\mathscr{x}} S， \triangle A P Q 的面积为 ~\boldmath~γ~cm^{2} ，则下列图象中能大致表示 y 与 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的函数关系的是 A

类型2 从函数图象中获取信息

4.（2023·平凉）如图1，正方形ABCD的边长为 4 ,E 为边 C D 的中点.动点 P 从点 A 出发沿 A B{\rightarrow}B C 匀速运动，运动到点 C 时停止.设点 P 的运动路程为 _{\mathscr{x}} ，线段 P E 的长为 y* y 与x 的函数图象如图2所示，则点 M 的坐标为(C)

图1

图2

A. ( 4 ,2 √(3) ) B.(4,4) C. (4,2{√(5)}) D.(4,5)

5.如图1，菱形 A B C D 的对角线 A C 与 B D 相交于点 O ,P ,Q 两点同时从点 O 出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动.点P 的运动路线为 O-A-D-O, 点 Q 的运动路线为 O-C-B-O. 设运动的时间为 \mathscr{x} 秒，P*Q 两点间的距离为 _y 厘米， y 与 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的函数关系的图象大致如图2所示，当点 P 在 A-D 段上运动且 P*Q 两点间的距离最短时， P ,Q 两点的运动路程之和为 \left(2 √(3)+3\right) 厘米.

图1

图2

【例】二次函数 y=a x^{2}+b x+c(a\neq0) 的 图象如图所示，对称轴是直线 x=1 ，根据函数图 象用“>”“<”“≥”“≤”或“ = "填空.

(1）根据函数图象判断 a,b,c 类： ①a 0,6 0， 0； ( 2 ) b^{2}-4a c 类： Qb^{2}-4a c\mathop{\quad\searrow}\quad0 ; (3)-(b)/(2a),2a+b 类： Q3{-}(b)/(2a)\>\;\;0 ;\mathbb{Q}2a{+}b\=\;\;\;0 ; (4)当 x=±1,±2 类： \begin{array}{l}{{\mathfrak{G}a+b+c \displaystyle>= 0 ,a-b+c \displaystyle<= 0 ;}}\\ {{\mathfrak{G}4a+2b+c \displaystyle>= 0 ,4a-2b+c \displaystyle< 0 ;}}\end{array} (5)最值： \circled{γ}a+b+cunderscore>= a m^{2}+b m+c(m 为任意实数).

针对训练

1.（2023·武威月考）如图所示的是二次函数y=a x^{2}+b x+c (a\neq0) 的图象，则下列说法：\Omega a{>}0 ;Q2a{+}b=0 ;\odota{+}b+c{>}0 ;\mathbb{G}\Delta{>}0 ;

{O}4a-2b+c<0. 其中正确的个数为 （D

A.1 B.2 C.3 D.4

第1题图

第2题图

2.（2023·定西期末)如图，抛物线 y=a.x^{2}+b x^{+} c 经过点（-2,0)，（3，0).下列结论： \mathbb{\Omega}_{c}^{{a b}}>0 ；②c=2b ③ 若抛物线上有点 ((5)/(2),y_{1}),(-3 y_{2} ) ,( -(1)/(2),y_{3} ) 则 y_{2}less y_{1}less y_{3} \circledast 耀 c x^{2}+ b x+a=0 的解为 x_{1}=(1)/(2),x_{2}=-(1)/(3)\;. ·其中正确的个数是 （D）

A. 4 B.3 C.2 D.1

3.二次函数 y{=}a x^{2}{+}b x{+}c(a,b,c 是常数， a\neq0 的自变量 x 与函数值 y 的部分对应值如下表：

且当 x=-(1)/(2) 时,与其对应的函数值 y>0 有下列结论： ①a b c{>}0 \circled{2}-2 和3是关于 \mathscr{x} 的方程 a x^{2}+b x+c=t 的两个根； \scriptstyle{\ O}0<m+n< (20)/(3). 其中，储误结论的个数是

A.3 B.2 C.1 D. 0

4.抛物线 y=a x^{2}+b x+c(a,b,c 为常数)的对称轴为直线 x=-2 ，过点 (1,-2) 和点 (x_{0}* y_{0}) ，且 c>0 .有下列结论： ①aless0 ② 对任意实数m 都有 a m^{2}+b m>=4a-2b ③16a+c>4b \circled{4} 若 x_{0}>-4 ，则 y_{0}>c. 其中正确结论的序号是 ①③

小专题7二次函数的最值及函数值的范围

方法指导

对于二次函数 y=a(x-h)^{2}+k 图象上的两点 (x_{1},y_{1}) ,(x_{2} ,y_{2}) ,求函数值的范围（最值)时考虑以下四种情况：

针对训练

类型1由自变量的取值范围求函数值的取值范围

1.已知二次函数 y=-x^{2}+2x+3 ，当 x{>=}2 时， _y 的取值范围是 （B)

A. y{>=}3 B. y{<=slant}3
C. y>3 D. y{<}3

2.已知二次函数 y=x^{2}-4x+2 ，下列关于该函数在 -1{<=slant}x{<=slant}3 的取值范围内的说法正确的是 （D）

A.有最大值一1,有最小值一2
B.有最大值0,有最小值一1
C.有最大值7,有最小值一1
D.有最大值7,有最小值一2

3.已知点 P(x,y) 在二次函数 y=2\(x+1)^{2}-3 的图象上.

(1)当 \rvert<x<1 时， y 的取值范围是 -1<y (2)当 -2{<}x{<}1 时， y 的取值范围是 13≤y<5\AA

(3)当 -4{<=slant}x{<}1 时， y 的取值范围是 -3<=slant y≤15

类型2 由自变量取值范围下函数的最值求待定字母的值

4.若二次函数 y=x^{2}+4x+a 的最小值是2,则a 的值是6·

5.已知关于 x 的二次函数 y=a x^{2}+a^{2} (1)若它的最小值为4,则 a 的值为(2)若它的最大值为4,则 a 的值为

6.已知二次函数 y=-x^{2}-2x+3 ，当 a<=slantx<=slant(1)/(2) 时，函数值 y 的最小值为1，则 a 的值为\underline{{-1-{√(3)}}}

7.当 a{<=slant}x{<=slant}a+1 时，函数 y=x^{2}-2x+1 的最小值为1,则 \boldsymbol{a} 的值为 D)

A. -1 B.2
C.0或2 D. -1 或2

8.（2024·乐山)已知二次函数 y=x^{2}-2x(-1<=slant x{<=slant}t{-}1) ，当 x=-1 时，函数取得最大值；当x=1 时，函数取得最小值，则 t 的取值范围是(C）

A. \scriptstyle0<t<=slant2 B. (){<}t{<=slant}4 C.\;2{<=slant}t{<=slant}4 D.t≥2

9.已知二次函数 y=-(x-h)^{2}+1(h 为常数),当自变量 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的值满足 2{<=slant}x{<=slant}5 时，与其对应的函数值 _y 的最大值为一3,则 h 的值为（C）

A.3或4 B.0或4
C.0或7 D.7或3

22.3 实际问题与二次函数

第1课时二次函数与图形面积

基础题

知识点1求二次函数的最值

1. (1)当 x=-1 _时，二次函数 y=-x^{2}+2x 有最大值,为1

(2)当 x=\ \ {(1)/(2)} 时，二次函数 y=2x^{2}-2x+ 3有最 小 值，为 (5)/(2)

2.已知二次函数 y=2x^{2}-3x+c 的最小值为(23)/(8) 则 c 的值为

3.已知二次函数 y=x^{2}-2x-3 当 \scriptstyle0<=slant x<=slant3 时，y 的最小值为－4，最大值为0

知识点2 利用二次函数解决图形面积问题

4.如图，将一根长 2 rm{m} 的铁丝首尾相接围成矩形，则围成的矩形的面积的最大值是（A）

第4题图

第5题图

5.如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场 A B C D ,其中 \angle C=120° .若新建墙 B C 与C D 总长为 12 rm{m} ,则该梯形储料场ABCD的最大面积是 （C）

6.已知一个直角三角形两直角边的和为 20\ {cm} 则这个直角三角形的最大面积为 \underline{{50\quadcm^{2}}}

7.（2024·泰安改编）如图，小明的父亲想用长为 60 ~m~ 的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园.已知房屋外墙长 40 ~m~ ，当垂直于墙的边长为15 m时，可围成的菜园的面积最大，最大面积是 450\ ~\m^{2~}

第7题图

第8题图

8.如图，在平面直角坐标系中， O A=12\;\;{cm} ，O B{=} 6~{cm} ，点 P 从点 O 开始沿 O A 边向点 A 以 1~cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿B O 边向点 O 以 2~{cm/{s}} 的速度移动，如果 P ，Q 同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动.设运动时间为 t\ ~s~,\triangle P O Q 的面积为 ~\boldmath~\y~~cm^{2} ，当 \triangle P O Q 的面积最大时， t 的值为_1.5

9.某中学为新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体，抽屉底面周长为 180~cm ，高为20\ {cm} .请通过计算说明，当抽屉底面的宽x(cm) 为何值时，抽屉的体积 _{y}(cm^{3} ) 最大?最大为多少？(材质及其厚度等暂忽略不计)解:根据题意,得 y=20x({(180)/(2)}-x)

其中 0{<}x{<}90
\because-20{<}0
·当 x=45 时， {\boldsymbol{y}} 取最大值 ,y_{\ast\ast} {=} 40~500
答：当抽屉底面的宽为 45 \cm 时，抽屉的体积最大，
最大为 40~500~cm^{3}

中档题

10.如图，用一根 60~cm 的铁丝制作一个“日”字形框架 A B C D ，铁丝恰好全部用完.设框架的宽 A B 为 x cm.

(1)框架的长 A D 为 (1)/(2)( 60-3x ) cm（用含 x 的代数式表示).

（2）矩形框架ABCD面积的最大值为150 cm².

第10题图

第11题图

11.如图，要在夹角为 30° 的两条小路 O A 与 O B 形成的角状空地上建一个三角形花坛，分别在边OA和 O B 上取点 P 和点 Q ，并扎起篱爸将花坛保护起来(篱笆的厚度忽略不计).若 O P 和 O Q 两段篱笆的总长为8米，则当O P=\phantom{-(1)/(4)}4 米时，该花坛 P O Q 的面积最大.

12.有一块三角形材料如图所示， \angle A=30° ，\angle C=90° ， A B=8 .用这块材料剪出一个口EFDB，其中，点 D,E,F 分别在 B C ,A B ，A C 上.则剪出的口EFDB的面积的最大值是 4 √(3)

第12题图

第13题图

13.把边长为 44\ {cm} 的正方形硬纸板（如图1)，在四个顶点处分别剪掉一个小正方形，折成一个无盖的长方体盒子（如图2)，折纸厚度忽略不计，则折成的无盖盒子的侧面积（四个侧面的面积之和)最大是 \underline{{968\quadcm^{2}}}

14.（本课时T7变式)两段相互垂直的墙 A B 和A C 的长分别为 12rm{m} 和 3 ~m~ ，用一段长为23 ~m~ 的篱笆围成一个矩形菜园（篱笆全部使用完），如图所示，矩形菜园的一边 A D 由墙AC和一节篱笆CD构成，一边 A F 靠在墙A B 上，一边 E F 上有一个 2 rm{m} 的门.假设篱笆 C D 的长为 xrm{m} ，矩形菜园的面积为 S rm{m}^{2} S{>}0 ），回答下面的问题：

(1) ① 用含 x 的式子表示篱笆 D E 的长为(22-2x) m， \mathscr{x} 的取值范围是\underline{{5}}<=slant x<11\quad ⊚ 菜园的面积能不能等于 90 \Omegam^{2} ？若能，求出此时 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的值；若不能，请说明理由.
(2)求菜园面积的最大值.
解： (1)② 菜园的面积能
等于 90 \Omegam^{2}
根据题意,得
(3+x)(22-2x)=90 ,
整理，得 x^{2}-8x+12=0
解得 x_{1} {=} 2 ,x_{2} {=} 6.
： 5<= x{<}11 ,\therefore x{=}6.
(2)由题意，得 S=(3+x)\left(22-2x\right)=-2x^{2}+16x
+66=-2(x-4)^{2}+98. *-2<0
：当 x{>}4 时， s 随 x 的增大而减小。* 5{\le}x{<}11
：当 x=5 时 ,s 有最大值，最大值为 -2(5-4)^{2}+
98=96
答：菜园面积的最大值为 96 m^{2}

综合题

15.一副三角板（ \triangle A B C 与 \triangle D E F) 如图放置，点 D 在边 A B 上滑动， D E 交 A C 于点 G ,D F 交 B C 于点 H ，且在滑动过程中始终保持\it{D}G=\it{D}H. 若 A C=2 ，则 \triangle B D H 面积的最大值是 (C)

A.3 B.3 √(3) C. (3)/(2) (3\;√(3))/(2)

基础题

知识点1 简单销售问题中的利润问题

1.一款畅销商品的销售单价 m （元）与销售该商品所获得的利润 w （元)之间的函数关系式为w=-15(m-34)^{2}+10\ 140 ，由该关系式可以直接看出销售该商品所获得的最大利润为10140元，此时销售单价为34元.

2.某种商品每件进价为20元，调查表明，在某段时间内若以每件 \boldsymbol{\mathscr{x}} 元（ ，且 \boldsymbol{x} 为整数)出售，可售出 ( 30-x) 件.若要使利润最大，则每件商品的售价应为25元.

3.（2023·定西陇西县期末）中国茶文化是中国传统文化的重要组成部分之一，代表了中国文化的精髓和卓越，具有丰富的文化内涵和深远的历史意义.某茶庄经销一种绿茶，每千克茶的成本为50元，经市场调查发现：在一段时间内，销售量 W （千克）随销售单价x (元/千克)的变化而变化，具体关系式为W=- 2x+240. 设这种绿茶在这段时间内的销售利润为 y （元），解答下列问题：

(1)求 y 与 \boldsymbol{\mathscr{x}} 之间的函数关系式.
(2)当绿茶的销售单价是多少时，该茶庄这种绿茶在这段时间内的销售利润最大？最大利润是多少？解 :(1)y=( x-50 ) * {\cal W}=( x-50 ) (- 2x+240 )= -2x^{2}+340x-12\ 000 ,
\therefore y 与 x 之间的函数关系式为 y=-2x^{2}+340x- 12000.
(2) y=- 2x^{2}+340x-12\;\;000=-2(x{-}85)^{2}+ 2 450,
当 \bf{\Delta x=85} 时， {\boldsymbol{y}} 的值最大，最大为2450元。
答：当绿茶的销售单价是85元/千克时，该茶庄这种绿茶在这段时间内的销售利润最大，最大利润是2450元.

知识点2“每····每……"的销售利润问题

4.将进货价为70元/件的某种商品按零售价100元/件出售时，每天能卖出20件.已知这种商品的零售价在一定范围内每降低1元，其日销售量就增加1件，为了促销，决定对其降价 x 元销售，则每件的利润为 (30-x) 元，每日的销售量为 ( 20 + x ) 件，每日的利润 y=- - x^{2}+10 x+600 ( 0\llx\ll30 , 且 x 为整数） （写出自变量的取值范围），所以当每件降价 5 元时，每日获得的利润最大，为625 元.

5.将进货价格为35元/个的商品按单价40元售出时，能卖出200个,已知该商品单价每上涨2元，其销售量就减少10个.设这种商品的售价为 x 元/个时，获得的利润为 _y 元，则下列关系式正确的是 (A）

A. y=(x-35)(400-5x) B. y=(x-35)\(600-10x) C y=(x+5)(200-5x) D. y=(x+5)(200-10x)

6.某体育用品店购进一批单价为20元的球服，如果按单价40元销售，那么一个月内可售出200套，根据销售经验，提高销售单价会导致销量的减少，即销售单价每提高4元，销售量相应减少20套.设销售单价为 x(x>=40) 元，销售量为 _y 套。(1)求出 _y 与 \mathscr{x} 的函数关系式，并写出自变量取值范围.(2)当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？

:(1)y=200-(x-40)/(4)x20=200-5\left({\it x}-40\right)=400 -5x ，自变量的取值范围是 40\lex\le80 (2)设一个月的利润为 w 元，则 w {=} ( 400-5x ) ( x {-} 20) {=} -5x^{2} {+} 500x {-}8~000 {=} {-}5(x {-} 50)^{2} {+} 4~500 *-5{<}0 ,40{\<}x{\le}80 , ·当 x=50 时， w 有最大值，最大值是 4\ 500 答：当销售单价为50元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是 4~500 元.

中档题

7.某电商平台11月1日起开始销售一款新品牌手机，当月的日销售额 y （万元）和销售时间第\boldsymbol{\mathscr{x}} 天（ 1<=slantx<=slant30 ，且 \boldsymbol{\mathscr{x}} 为整数)之间满足二次函数关系 y=-(x-h)^{2}+k ,根据市场调查可以确定在当月中旬日销售额达到最大值.若第18天的销售额比第19天的销售额多5万元，则第16天的日销售额最大.

8.（2024·滨州）春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量 y （张）与售价\boldsymbol{x} (元/张)之间满足一次函数关系（ 30<=slant x<=slant 80，且 \boldsymbol{\mathscr{x}} 是整数），部分数据如下表所示：

(1)请求出 y 与 \boldsymbol{\mathscr{x}} 之间的函数关系式.
(2)设该影院每天的利润（利润 = 票房收人一运营成本)为 \eqcirc （元），求 \scriptscriptstyleW 与 \boldsymbol{\mathscr{x}} 之间的函数关系式.
(3)该影院将电影票售价 \mathscr{x} 定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？解： {\bf(1)} 设 {\boldsymbol{y}} 与 x 之间的函数关系式是 y=k x+b ，由表格，得
\begin{array}{r}{\int40k+b=164 ,}\\ {\quad50k+b=124 ,}\end{array} 解得 \begin{array}{r}{\left[k=-4,\right.}\\ {\left.\left|b=324.\right.}\end{array}
:y与 x 之间的函数关系式是 y=-4x+324 ( 30 {<=slant} x<=80 ，且 x 是整数).
(2)由题意，得
w=x(-4x+324)-2~000=-4x^{2}+324x-2~000 , 即 w 与 x 之间的函数关系式是 w=- 4{x^{2}}+324x- 2 000( 30\lex\le80 ,且 x 是整数)。
(3)由 \mathbf{\sigma}(\mathbf{\sigma}_{2}) 知， w=- 4x^{2}+324x-2\; 000=- 4 (\it~x~-~ (81)/(2))^{2}+4\ 561 ,
： 30\lex\le80 ,且 x 是整数，
：当 x=40 或41时， w 取得最大值,此时 w=4~560 答：该影院将电影票售价 x 定为40元/张或41元/张时，每天获利最大，最大利润是 4~560 元.

综合题

9.为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程.和谐小区新建一个小型活动广场，计划在 360\ m^{2} 的绿化带上种植甲、乙两种花卉.市场调查发现，甲种花卉种植费用y （元/ \Omega^{2} )与种植面积 x(m^{2} )之间的函数关系如图所示，乙种花卉的种植费用为15元/ \Deltam^{2} (1)当 x{<=slant}100 时，求 y 与 \boldsymbol{\mathscr{x}} 之间的函数关系式，并写出 \mathscr{x} 的取值范围.

(2)当甲种花卉的种植面积不少于 30 \Omegam^{2} ，且 乙种花卉的种植面积不低于甲种花卉种 植面积的3倍时. ① 如何分配甲、乙两种花卉的种植面积才 能使种植的总费用 \boldsymbol{\varpi} (元)最少？最少 是多少元？ ⊚ 受投人资金的限制，种植总费用不超过 6000元，请直接写出甲种花卉种植面 积 \mathscr{x} 的取值范围.

解:(1)当 0<x<=slant40 ↑y/(元·m）
时， y=30
309
当 40{<}x{<=slant}100 时，
设函数关系式为 y= 15
k x+b ,将（40,30)，
40 100 x/m²(100,15)代入,得
\scriptstyle{\binom{40k+b=30}{100k+b=15}} 解得
b=40.
\therefore y=-(1)/(4)x+40.
\therefore y=\left\{{90}(0<x\ll40) ,\right.
(2)甲种花卉的种植面积不少于 30~m^{2},\therefore x>=30. 乙种花卉的种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍 \therefore360-x>=3x , 解得 x{\le}90, \therefore30{\le}{x}{\le}90.
① 当 30\lex\le40 时，由 \mathbf{\tau}^{(1)} 知， _{y=30}
乙种花卉的种植费用为15元 /\mathbf{m}^{2} ，
,w=30x+15(360-x)=15x+5~400.
15/0 ，·当 30{\le}x{\le}40 时， w 随 x 的增大而增大.·当 x=30 时 ,w_{\ast,\ast}=5~850
当 40<x<=slant90 时，由 \mathbf{\tau}(1) 知， y=-(1)/(4)x+40.
\therefore w=x(-(1)/(4)x+40)+15 (360-x)=-(1)/(4)(x-50)^{2} +6~025
： 40<x\le90 ，
·当 \scriptstyle x = 90 时 ,w_{\ast,\ast}=5\ 625
5 i~850>5~625 ，
.种植甲种花卉 90 m^{2} ， z_{\l} 种花卉 270 \m^{2} 时,种植的总费用最少，最少为5625元.
②x 的取值范围为 30\lex\le40 或 60{\le}x{\le}90

基础题

知识点1 利用二次函数解决桥梁(隧道)类问题

1.某涵洞的截面是抛物线形状，在如图所示的平面直角坐标系中，涵洞对应的抛物线的解析式为 y=-(1)/(4)x^{2} α².当涵洞水面宽AB为16 m时，涵洞顶点 O 至水面的距离为 （C）

A. -6 rm{m} B.12 m C.16 m D. 24 m

第1题图

第2题图

2.如图，有一座抛物线型拱桥，当拱顶离水面 2 rm{m} 时，水面宽 4 rm{m} .若水面下降 2 rm{m} ，则水面 宽度增加 (4 √(2)-4) m.

3.一隧道的横截面是由一段抛物线及矩形的三边围成的，隧道宽 B C=10\;~m~ ，矩形部分高A B=3 ~m~ ,抛物线的最高点 E 离地面 O E= 6rm{m} ，如图所示，以直线 B C 为 \mathscr{x} 轴，直线 O E 为 _y 轴建立平面直角坐标系.

(1)求抛物线的解析式.
(2)如果该隧道内设有双车道，现有一辆货运卡车高 4, 5 ~m~ 、宽 3 rm{m} ,那么这辆货运卡车能顺利通过隧道吗？
解：(1)设抛物线的解析式
为 y{=}a x^{2}{+}c , \because 点 E(\mathbf{0},\mathbf{6}) ，
A(-5,3) 在此抛物线上，c=6,25a+c=3,
解得 \left\{\begin{array}{l l}{{a{=}-{(3)/(25)},}}\\ {{\qquad{c=}6.}}\end{array}\right.
此抛物线的解析式为

(2)当 x=±3 时 ,y=-(3)/(25)x9+6=4.92\>4.5. 这辆货运卡车能顺利通过隧道.

知识点2 利用二次函数解决运动类问题

4.从喷水池喷头喷出的水珠在空中形成一条抛物线.如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度 y\left(rm{m}\right) 与它距离喷头的水平距离x(rm{m}) 之间满足函数关系式 y=-2x^{2}+4x+1 ,则喷出水珠的最大高度是 _{3~rm~{~m~~}}

5.（2022·庆阳）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线.若不考虑空气阻力，小球的飞行高度 h(rm{m}) 与飞行时间t(s)之间具有函数关系： h=- 5t^{2}+20t ,则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间 t\operatorname{=}\quad2 s.

6.小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头 P 距地面 0.\;7rm{m} ,水柱在距喷水头 P 水平距离 5~m 处达到最高，最高点距地面 3, 2 ~m~ .建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的解析式为 y=a(x-h)^{2}+k ,其中 x(rm{m}) 是水柱距喷水头的水平距离， {\boldsymbol y}({\mathbf m}) 是水柱距地面的高度.

(1)求抛物线的解析式.
(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头 P 水平距离 ~3~m~ .身高 1, 6 ~m~ 的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离.
解：(1)由题意知，抛物线的顶点坐标为(5,3.2)，
则抛物线的解析式为 y=a( x-5 )^{2}+3, 2 , 将点 P(\mathbf{0}
0.7)代入，得 0. 7=25a+3. 2 , 解得 a=-0,1
\therefore y=-0.1(x{-}5)^{2}+3.2={-}0.1x^{2}{+}x{+}0.7.
(2)当 y=1,6 时 ,-0.1x^{2}+x+0.7=1.6 ，
解得 x=1 或 _{x=9}
她与爸爸的水平距离为 3-1=2(\mathbf{m}) 或 9-3=6(\mathbf{m})
答：当她的头顶恰好接触到水柱时，与爸爸的水平距
离是 _{2~m~} 或 6 rm{m}

中档题

7.如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根长度为 3,\;2\;~m~ 的水管 A B ，在水管的顶端 A 点处安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离 B C=3 ~m~ 处达到最高，水柱落地处离池中心距离 B D=8 ~m~ ，则抛物线形水柱的最高点到地面的距离 E C 是 5~rm{m}

8.某一型号飞机着陆后滑行的距离 y\left(rm{m}\right) 与滑行时间 x\left( {s} \right) 之间的函数关系式是 y=40x- 2{x}^{2} ，则该型号飞机着陆后需滑行 200 m才能停下来.

9.如图所示的是某种音乐喷泉的示意图，其形状如抛物线，喷头 A 到地面 B C 的距离 A O 为5rm{m} ，抛物线AEB与 A F C 关于 A O 对称，点D 在抛物线AFC的最高处，离地面 B C 的距离为 6~m ，到 A O 的距离为 1rm{m} ，已知喷泉的落地点中， B,C 间距离最远.

(1)请建立恰当的平面直角坐标系，求抛物线AEB的解析式.
(2)要使喷出的水落到圆形水池内，建造水池时，水池的直径 d 必须满足什么条件？解： \left(1\right)\astλ\left(\right) 为原点，BC所在
直线为 x 轴， ^{A O} 所在直线为
{\boldsymbol{y}} 轴建立平面直角坐标系，
如图所示。
由题意知 ,A(\mathbf{0} ,5) ,D(\mathbf{1} ,\mathbf{6}) ,
B O Cx抛物线 A E B 与 A F C 关于
AO对称，
抛物线 A E B 的顶点坐标为 (-1,6)
设抛物线 A E B 的解析式为 y=a(x+1)^{2}+6
把 A(\mathbf{0},5) 代入，得 5=a(0+1)^{2}+6
解得 a=-1
抛物线 A E B 的解析式为 y=-(x+1)^{2}+6.
(2)令 {y}=0 ，则 -(x{+}1)^{2}{+}6{=}0
解得 x_{1}=-1+√(6) ( 舍去） ,x_{2}=-1-√(6).
\therefore B(-1-√(6) ,0),\;\therefore O B=1+√(6).
\scriptstyle{* B C=2O B=2+2 √(6)}.
答：要使喷出的水落到圆形水池内，建造水池时，水池的直径 d 必须大于 (2+2 √(6) ) \mathbf{m}.

综合题

10.如图所示的是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为 x 轴，以过跳台终点 A 的水平线的垂线为 y 轴，建立平面直角坐标系,图中的抛物线 C_{1}:y=- {(1)/(12)}x^{2}+ α十1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点 O 正上方4米处的 A 点滑出，滑出后沿一段抛物线 C_{2}:y=-(1)/(8)x^{2}+b x+c 运动.

(1)当运动员运动到离 A 处的水平距离为4米时,离水平线的高度为8米,则抛物线 C_{2} 的函数解析式为 y=-(1)/(8)x^{2}+(3)/(2)x+4 .（不要求写出自变量 _{X} 的取值范围).

(2)在(1)的条件下，当运动员运动的水平距 离为多少米时，运动员与小山坡的竖直 距离为1米?

(3)当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求 b 的取值范围.

解：(2)设运动员运动的水平距离为 m 米时，运动员与小山坡的坚直距离为1米,依题意，得
-{(1)/(8)}m^{2}+{(3)/(2)}m+4-(-{(1)/(12)}m^{2}+{(7)/(6)}m+1)=1 ,
整理，得 (m-12)(m+4)=0
解得 m_{1}=12 ,m_{2}=-4 （舍去）。
当运动员运动的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为 1 米。
(3 \therefore^{*}y=-(1)/(12)x^{2}+(7)/(6)x+1=-(1)/(12)(x-7)^{2}+(61)/(12), ：当 _{x=7} 时，运动员运动到坡顶正上方，且坡顶高度为 米。
抛物线 C_{2} 经过点 A(\mathbf{0},4) ，
： c=4.
依题意，得 -{(1)/(8)}x7^{2}+7b+4-{(61)/(12)}>3 ,
解得 b>(35)/(24).

周测 ( 22. 1. 4~22. 3 )

（时间：40分钟满分：100分)

一、选择题(每小题4分，共24分)

1.若二次函数 y=x^{2}+3x+a-1 的图象经过原点，则 a 的值为 （B)

A.0 B.1
C.-1 D.1或-1

2.已知二次函数 y=a.x^{2}+b x+1 ,若当 x=1 时，{y=0} ；当 x=-1 时， {}y=4 ，则 a ,b 的值分别为（B)

A.1,2 B.1,-2
C.-1,2 D.-1,-2

3.对于二次函数 y=-(1)/(4)x^{2}+{x}-4 ,下列说法正确的是 （B）

A.当 x{>}0 {,} y 随 \boldsymbol{x} 的增大而增大B.当 x=2 时， _y 有最大值一3C.图象的对称轴是直线 x=-2 D.图象与 \boldsymbol{\mathscr{x}} 轴有两个交点

4.把抛物线 y=x^{2}-4x+3 先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线是 (A）

A. y=(x-1)^{2}-3 * y=(x-1)^{2}+3
C. y=(x+1)^{2}-3\qquadD.\;y=(x+1)^{2}+3

5.若一元二次方程 x^{2}+b x=0 的解为 x_{1}=0 ，x_{2}=- 2 ，在抛物线 y=x^{2}+b x 上有两点 A ( 1 ，y_{1} ) ,B( -5 ,y_{2} ) ，则 （C)

A. y_{1}=y_{2} B. y_{1}>y_{2} C. y_{1}<y_{2} D.无法确定

6.若二次函数 y=a.x^{2}+b x+c 的部分图象如图所示，则下列说法错误的是 (D

A.abc >0
B. 2a-b=0
C. a-b+c>=a m^{2}+b m+c D.当 x{<}1 时， y>0

二、填空题（每小题5分，共30分）

7.二次函数 y=2x^{2}-8x+7 的顶点坐标为(2,-1)

8.如图,抛物线 y=a x^{2} 与直线 y=b x+c 的两个交点坐标分别为 A\left(-2,4\right),B(1,1) ，则方程 a x^{2}=b x+c 的解是_ x_{1}=-2 ,x_{2}=1

9.如图，一名男生推铅球，铅球行进高度 y\left(rm{m}\right) 与水平距离 x(rm{m}) 之间的关系是 y=-(1)/(6)x^{2}+ {(3)/(2)}x+{(5)/(3)} ,则他将铅球推出的距离是 10 m.

10.已知抛物线 y=x^{2}-x-1 与 \mathscr{x} 轴的一个交点为 (m,0) ，则代数式 2m^{2}-2m+2\ 024 的值为_2026

11.设二次函数 y=a x^{2}+b x+c (a,b,c 是常数，且 a\neq0 ），下表列出了 \mathscr{x} 与 _y 的部分对应值：

则方程 a x^{2}+b x+c=m 的解是 x_{1}=0 ,x_{2} \underline{{\phantom{10}}}=2

12.若抛物线 y{=}m x^{2} {+}(1{-}2m)x {+}1{-}3m 过定点 P ，则定点 P 的坐标为 (3,4)或 {\bf\nabla}(-1,0)

三、解答题（共46分）

13.（10分)如图，已知抛物线 y=- x^{2}+b x+c 经过 \boldsymbol{A}\left(-1,0\right),\boldsymbol{B}(3,0) 两点.

(1)求抛物线的解析式和顶点坐标. （2）当 1<x<3 时，则 y 的取值范围是 \underline{{\mathbf{0}{<}\mathbf{y}{<}4}}.

解：抛物线 y=-x^{2}+b x+
c 经过 A(-1,0) ,B(3 ,0)
\therefore\left\{{-1-b+c=0} ,\right.
解得 \left|\begin{array}{l}{b=2}\\ {}\\ {c=3.}\end{array}\right|
“抛物线的解析式为 y=-x^{2}+2x+3
抛物线的顶点坐标为 ^{(1,4)}

14.（10分)在平面直角坐标系 x O y 中，已知抛物线 y{=}x^{2} {-} 4x{+} 2m{-} 1 的顶点为 C ，图象与 _{x} 轴交于 A,B 两点（点 A 在点 B 的左侧).( 1 ) m 的取值范围是 m{<}(5)/(2) (2)当 m 取最大整数时，求 \triangle A B C 的面积.解 :\because m<(5)/(2) <，且m取最大整数,m=2.当 m=2 时 y=x^{2}-4x+3=(x-2)^{2}-1. \therefore C(2,-1). 令 y=0 ，则 x^{2}-4x+3=0 ,解得 x_{1}=1 ,x_{2}=3 \therefore A(1,{\bf0}) ,B(3 ,{\bf0}). \therefore S_{\triangle A B C}=(1)/(2)x\mid-1\midx(3-1)=1.

15.(12分)已知抛物线 y=a x^{2}+b x+c ( a>0 ) 与 \boldsymbol{\mathscr{x}} 轴的交点坐标是 \left(-1,0\right),\left(3,0\right)

(1)这条抛物线的对称轴是直线 x=1 (2)已知点 A(m,y_{1}) ,B(m+1,y_{2}) 在抛物线 上,若 y_{1}<y_{2} ，求 m 的取值范围.

解：二次函数 y=a x^{2}+b x
+c(a{\>}0) 的大致图象如图
所示。a{>}0 ,对称轴为直线 \scriptstyle x=1 ，
分三种情况讨论：① 当 m+1<1 ，即 m{<}0 时 ,y_{1}>y_{2} ,不合题意，舍去;
⊚ 当 m{>}1 时 ,y_{1}less y_{2} ；\circled{3} 当 m 与 m+1 在1的两侧,且 m 到 ^{1} 的距离小于m+1 到1的距离时， y_{1}<y_{2} ，
即 1-m<m+1-1 , 解得 m>(1)/(2).
综上所述，当 m>(1)/(2) 时，y<y.

16.（14分)某商店决定对某商品进行降价促销，已知进价为每件6元，平时以单价12元的价格销售，一天可售出80件，单价每降低1元，每天可多售出40件.设商品售价为每件 \boldsymbol{\mathscr{x}} 元（售价不低于进价， \boldsymbol{\mathscr{x}} 为正整数），这批商品的日利润为 _y 元（利润 = 售价一成本），请解答以下问题：

(1)当商品的售价为每件多少元时，销售这批商品的日利润最大,最大日利润为多少？

(2)当日利润达到280元时，求 x 的值.
(3)若商店每售出一件该商品就捐 m 元.m{>}0) 给希望小学，该店发现只有当售价为每件11元时可获得最大日利润，求m 的取值范围.解：(1)根据题意，得 y=( x-6 ) [ 80+40 ( 12-x ) ] =-40x^{2}+800x-3~360=-40(x-10)^{2}+640, \because-40{<}0 ，
：当 x=10 时 ,y 取最大值，最大日利润为640.答：当商品的售价为每件10元时，销售这批商品的日利润最大，最大值为640元。

本章易错题集训

1.若 y=(m-1) x^{m^{2}+}m 是关于 \mathscr{x} 的二次函数,则 m 的值为 A

A.-2 B.－2或1C.1 D.不存在

2.已知二次函数 y=a.x^{2}+4x+a-1 的最小值为2,则 a 的值为 （C）

A.3 B.-1
C.4 D.4或-1

3.已知二次函数 y=- ( x-3 )^{2}+4 ，当 -1<=slant x{<=slant}4 时，该函数 （D）

A.最小值是0，最大值是3B.最大值是4,无最小值C.最小值是一12，最大值是3D.最小值是一12,最大值是4

4.若二次函数 y=x^{2}-2x+c 的图象与坐标轴只有两个公共点，则 c 应满足的条件是（C）

A. c=0 B.\ c {=} 1 C. c=0 或 c=1 D. c=0 或 c=-1

5.已知抛物线 y=x^{2}-4x+3 ，当 0{<=slant}x{<=slant}m 时， _y 的最小值为一1,最大值为3,则 m 的取值范围为

A. m{>=}2 B.~0<=slantm<=slant2 C \therefore2{<=slant}m{<=slant}4 D.m≤4

6.二次函数 y=a.x^{2}+b x+c 的部分图象如图所示，由图象可知，不等式 y<0 的解集是x{>}5 或 x<-1

7.已知抛物线 y=(x-m)^{2}+3 当 x{>}1 时， y 随 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的增大而增大,则 _m 的取值范围是 m{<=}1

8.已知函数 y=( k-1 ) x^{2}-4x+4 的图象与 \mathscr{x} 轴只有一个交点，则 k 的值是2或1

9.经过原点的抛物线与 \boldsymbol{\mathscr{x}} 轴交于另一点，该点到原点的距离为2，且该抛物线经过点（3，3），则该抛物线的解析式为_ y=x^{2}-2x 或 {\mathfrak{y}}= {(1)/(5)}x^{2}+{(2)/(5)}x

10.某宾馆共有80间客房.宾馆负责人根据经验作出预测：今年5月份，每天的房间空闲数 y （间）与定价 _{X} (元/间)之间满足函数关系式 y=(1)/(4)x-42(x>=168) 若宾馆每天的日常运营成本为4000元，有客人人住的房间，宾馆每天每间还需另外支出各种费用共36元.

(1)求人住房间 Z (间)与定价 \boldsymbol{\mathscr{x}} (元/间)之间 的函数关系式.

(2)宾馆想要获得最大利润，同时也想让客人得到实惠，则将房间定价确定为多少元/间时，获得利润最大？求出最大利润.

解:(1)由题意,得 z=80-((1)/(4)x-42)=-(1)/(4)x+122 (x>=168).
(2)设利润为 w 元.由题意，得
\begin{array}{c}{{w=(x-36)(-(1)/(4)x+122)-4~000}}\\ {{{}}}\\ {{=-(1)/(4)x^{2}{+}131x{-}8~392.}}\end{array}
当 x=-(131)/(2x(-/{1){4})}=262 时， w 最大，此时 z=56,5 非整数，不合题意，
\scriptstyle x = 260 或264时, w 最大.
让客人得到实惠 ,\therefore x=260
\therefore w_{\ast\star}=-(1)/(4)x260^{2} {+131}x260 {-8~392}{=8~768}. 将房间定价确定为260元/间时，获得利润最大，最大利润为8768元.

章末复习(二) 二次函数

甘肃中考考点针对练

考点1二次函数的图象和性质

1.下列 y 关于 \boldsymbol{\mathscr{x}} 的函数中，一定是二次函数的是 （A）

y=(1)/(8)x^{2} B.\ y={√(x^{2)-1}} y=(1)/(x^{2)} \operatorname{D}. y=a.x^{2}+b x+c

2.已知二次函数 y=(a+1)x^{2} ，当 x{>}0 时， y 随 \mathscr{x} 的增大而减小，则实数 \boldsymbol{a} 的取值范围是（D）

A. a{>}0 B.\;a>-1 C. a\ne-1 一 ),a{<}-1

A.该抛物线的顶点坐标为（一1,2)B.当 x{>}1 时， _y 随 \mathscr{x} 增大而减小C.当 x=1 时， y 有最大值2D.该抛物线的对称轴为直线 x=1

4.（2023·平凉庄浪县期中）抛物线 y= -2(x-1)^{2} 上有三个点 A(-1,y_{1}) ,B(1,y_{2}) C(2,y_{3}) ,则 y_{1} ,y_{2} ,y_{3} 的大小关系是（D）

A. y_{1}>y_{2}>y_{3} B. y_{2}>y_{1}>y_{3}
C. y_{3}>y_{1}>y_{2} D. y_{2}>y_{3}>y_{1}

5.(2023·武威凉州区月考)把抛物线 y=-2x^{2}+ 4x+1 向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得的新抛物线是 ( C)

A. y=-2(x-1)^{2}+6
B. y=-2(x-1)^{2}-6
C. y=-2(x+1)^{2}+6
D. y=-2(x+1)^{2}-6

6.已知二次函数 y=a.x^{2}+b.x-c ( a\neq0 ) ，其中b>0 ,c>0 ,则该函数的图象可能为（C）

7.(2023·定西岷县期中)二次函数 y=a x^{2}+b x+c 的图象如图所示，有下列结论： ①a b c>0 {②}4a+2b+c<0 ;{③}a+b>=slant x(a x+b) ;{④}3a c>0 .其中正确的结论有 （B）

A.4个 B.3个 C.2个 D.1个

第7题图

第9题图

8.若二次函数 y=x^{2}-2x-3 的图象上有且只有三个点到 \mathscr{x} 轴的距离等于 m ，则 m 的值为4.

9.抛物线 y=a x^{2}+b x+c(a,b,c 为常数)的部分图象如图所示，设 m{=}a{-}b{+}c ，则 m 的取值范围是\underline{{-4<m<0}}

考点2求二次函数的解析式

10.若抛物线 y=a.x^{2}+c 与 y=2x^{2} 的形状相同，但方向相反，且过点 ( 0 ,- 3 ) ，则该抛物线的解析式为 y=-2x^{2}-3

11.已知抛物线 y=a.x^{2}-2a x+m 与 _x 轴交于A\left(-1,0\right),B 两点，与 y 轴正半轴交于点C ( 0 ,2 ) (1)求此抛物线的解析式.(2)过点 O 的直线交 B C 于点 D ，且 O D 刚好平分 \triangle A B C 的面积，求点 D 的纵坐标.

解：(1)抛物线 y=a x^{2}-2a x +m 与 x 轴交于点 A\left(-1,0\right) ，与 {\boldsymbol{y}} 轴正半轴交于点 C(\mathbf{0},2) ，\therefore\Bigl⟨_{m=2 ,}^{a+2a+m=0 ,}
解得 \left\{\begin{array}{l l}{{a=-(2)/(3),}}\\ {{{m=2}.}}\end{array}\right.
抛物线的解析式为
(2)抛物线 y=a x^{2}-2a x+m 与 x 轴交于点
A\left(-1,0\right) ，且对称轴为直线 \scriptstyle x=-{(-2a)/(2a)}=1
\therefore B(3,0),\therefore O B{=}3. \^{*}O A=1,O C=2 ,\therefore A B=4.
\therefore S_{\triangle A B C}=(1)/(2)A B* O C=(1)/(2)x4x2=4.
设点 D 的纵坐标为 n
由题意，得S△BOD {\cal S}_{\triangle B O D}={(1)/(2)}S_{\triangle A B C}
\therefore(1)/(2)x3n=2,\therefore n=(4)/(3).
点 D 的纵坐标为 (4)/(3)

考点3 二次函数与方程、不等式

12.如图，抛物线 _{y=a x^{2}} 与直线 y{=}b x{+}c 的两个 交点坐标分别为 A(-3,27) ,B(1,3) ，则方程 a x^{2}-b x-c=0 的解是 x_{1}=-3 ,x_{2}=1

第12题图

第13题图

13.（2023·定西期中）二次函数 y=a.x^{2}+b x+c 的部分图象如图所示.当 y<0 时， \boldsymbol{\mathscr{x}} 的取值范围为 (C)

A. -1{<}x{<}3 B. x{<}1 或 x{>}3 C. x{<}-1 或 x{>}3 D. x{>}2

14.若二次函数 y=a.x^{2}+b x+5 的最大值为3，则关于 _{x} 的方程 a x^{2}+b x+5=2 的实数根的情况是 (C)

A.有两个相等的实数根B.没有实数根
C.有两个不相等的实数根D.有一个实数根

考点4二次函数的实际应用

15.（2024·甘肃）图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，图2是棚顶的竖直高度 {\boldsymbol y}({\mathbf m}) 与距离停车棚支柱A O 的水平距离 x\left(\mathbf{m}\right) 近似满足函数关系 y= -0.\ 02x^{2}+0.\ 3x+1.\ 6 的图象，点 B(6,2,68) 在图象上.若一辆厢式货车需在停车棚下避雨,货车截面看作长 C D=4~m~ ,高 D E{=}1.~8~m~ 的矩形，则可判定货车能完全停到车棚内（填“能”或“不能”）.

图1

图2

16.（2023·陇南西和县期末）足球训练中球员从球门正前方8米的 A 处射门，球射向球门的路线呈抛物线.当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米.现以O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系.(1)求抛物线的函数解析式.

(2)已知球门高 O B 为2.44米，通过计算判断球能否射进球门(忽略其他因素).

(3)已知 C 为 O B 上一点， O C=2, 25 米.若射门路线的形状、最大高度均保持不变，当时球员带球向正后方移动 n 米再射门，足球恰好经过 O C 区域（含点 O 和C )，求 n 的取值范围.

解 :(1)\because8-6=2
抛物线的顶点坐标为(2,3).
设抛物线的解析式为 y=a( x-2)^{2}+3
把点 {\cal A}({\bf~8_{\Sigma}0}) 代入，得 36a+3=0 ,解得 a=-(1)/(12). 抛物线的函数解析式为 y=-(1)/(12)(x-2)^{2}+3. (2)当 \scriptstyle x = 0 时 ,y=-(1)/(12)x4+3=(8)/(3)>2. 44 ,
·球不能射进球门。
(3)设小明带球向正后方移动 n 米，则移动后的抛物线的解析式为 y=-(1)/(12)(x-2-n)^{2}+3 ,
把点(0,2.25)代入，得 2.\ 25=-(1)/(12) (0-2-n)^{2}+3 , 解得 \scriptstyle n=-5 (舍去)或 \scriptstyle n=1.
把点 {\left(0,0\right)} 代入，得 0=-(1)/(12)(0-2-n)^{2}+3.
解得 n=-8 (舍去)或 n=4
即 1{<=slant}n{<=slant}4.

核心素养提升练

17.（2023·平凉四中月考）我们定义一种新函数：形如 y=\left| a x^{2}+b x+c \right|(a\ne0,b^{2}-4a> 0)的函数叫做“鹊桥”函数.小丽同学画出了“鹊桥”函数 y=\mid x^{2}-2x-3\mid 的图象（如图所示)，并写出下列五个结论：

① 图象与坐标轴的交点为(-1,0) ,(3,0) 和(0,3)；⊚ 图象具有对称性,对称轴是直线 x=1

③ 当 -1<=slantx<=slant1 或 x>=slant3 时，函数值 y 随 x 的增大而增：

\circledast 当 x=-1 或 x=3 时，函数的最小值是0；⑤ 当 x=1 时，函数的最大值是4.其中正确的有 ①②③④ .(填序号)

小专题8二次函数与几何图形的小综合

类型1 线段长、图形面积最值问题

方法指导

(1)求线段(线段的一端点在直线上，另一端点在抛物线上)长最值的常用方法：利用一次函数、二次函数的解析式分别表示出线段两端点的纵坐标，两点纵坐标的差的绝对值为线段的长度，然后求最值.

(2)利用宽、高原理求“两定一动”型三角形面积，示意图如图，在 \triangle A B C 中，三角形的一个顶点在抛物线上（一动点），另两个顶点是定点（两定点)，则可以将 \triangle A B C 的面积转化为 S_{\triangle A P C}+S_{\triangle A P B}={(1)/(2)} A P * ( x_{P}- \dagger x_{C})+(1)/(2)A P\bullet(x_{B}-x_{P})=(1)/(2)A P\bullet(x_{B}-(1)/(2)) x_{C} ).故求 \triangle A B C 面积的最大值就转化为求线段 A P 长度的最大值，实质就是(1)中线段长的最值问题.

1.如图，在平面直角坐标系中,抛物线 y= -x^{2}-4x+c 与 \boldsymbol{\mathscr{x}} 轴交于点 A ,B （点 A 在点B 的左侧),与 y 轴交于点 C ，且点 A 的坐标为 (-5,0) .若点 P 是第二象限内抛物线上一动点，求点 P 到直线 A C 距离的最大值.

解：过点 P 作 P E\perp A C 于点
E\;,P F\bot x 轴于点 F ,P F 交
A C 于点 H
：点 A(-5,0) 在抛物线 y=
-x^{2}-4x+c 的图象上，
\therefore0=-5^{2}-4x(-5)+c , 解
得 \scriptstyle{c=5}
：点 C 的坐标为 {\bf\left(0,5\right)}
\because{\cal A}(-5,0) ,{\cal C}(0 ,5) ,\therefore{\cal O}{\cal A}={\cal O}{\cal C}. ： \triangle A O C 是等腰直角三角形. \therefore\angle C A O=45°
* P F\bot x 轴 \therefore\angle A H F{=}\angle P H E{=}45°.
“△PHE 是等腰直角三角形.:PE=P
：当 P H 最大时， P E 最大.
设直线 A C 的解析式为 \mathbf{y}=k x+5
将 A(-5,0) 代 \leftthreetimes ，得 0=-5k+5 ,解得 k=1,
·直线 A C 的解析式为 y=x+5
设 P(m,-m^{2}-4m+5)(-5<m<0) , 则 H(m,m+ 5).
\therefore P H=(- m^{2}-4m+5 )-( m+5 )=- m^{2}-5m= -(m+(5)/(2))^{2}+(25)/(4).
\because-1{<}0 ,\dot{*} 当 m=-(5)/(2) 时， .P H 最大为 {(25)/(4)}.
：此时 P E 最大为 (25 {√(2)})/(8) ，即点 P 到直线 A C 距离的最大值为 (25 {√(2)})/(8)

2.如图，抛物线 y=- x^{2}-2.x+3 与 x 轴交于A ,B 两点，与 y 轴交于点 C ，在第二象限内的抛物线上确定一点 P ,使四边形PBAC的面积最大，求出点 P 的坐标.

解：连接BC，过点 P 作P K/γ {s} 轴交BC于点 K 在 y=-x^{2}-2x+3 中，令y=0 ，则 -x^{2}-2x+3=0 解得 x=1 或 x=-3 \therefore A(1,0),B(-3,0).

在 y=-x^{2}-2x+3 中，令 x=0 ，则 y=3 ,\therefore C(0 ,3)
设直线BC的解析式为 {\bf y}=k x+n ，将 B\left( - 3 , 0 \right) ，
\mathbf{C}(\mathbf{0},3) 代入，得
\binom{-3k+n=0}{n=3}, 解得 \left\{\stackrel{k=1}{n=3}\right.
·直线 B C 的解析式为 y=x+3
设 P(t,-t^{2}-2t+3)(-3-t<0) ，则 K(t,t+3)
\therefore P K=-t^{2}-2t+3-(t+3)=-t^{2}-3t.
\begin{array}{r l}&{\therefore S_{\triangle P B c}=S_{\triangle P B K}+S_{\triangle P K}=(1)/(2)P K*(t+3)+(1)/(2)P K*(0-9)}\\ &{-\imath)=(3)/(2)P K=(3)/(2)(-t^{2}-3t).}\end{array}

\begin{array}{l}{{\Biggl: S_{\triangle A x c}=(1)/(2)A B* O C=(1)/(2)x4x3=6 ,}}\\ {{\ \ \ * S_{\scriptscriptstyle{∞}\oplus\scriptscriptstyle{\bar{\kappa}}\scriptscriptstyle{\bar{\kappa}}\scriptscriptstyle{B}=\bar{\kappa}}\exp/_{2}*=(1)/(2) (-t^{2}-3t)+6=}}\\ {{\ \ \ * S_{\scriptscriptstyle{∞}\oplus\scriptscriptstyle{\bar{\kappa}}\scriptscriptstyle{B}=\bar{\kappa}}\exp/_{2}*=(1)/(2)*=(1)/(2)*=(1)/(2)*=(1)/(2)*=(1)/(2)*=(1)/(2)*=(1)/(2)*=(1)/(2)*=(1)/(2)*=(1)/(2)*=(1)/(2)*=(1)/(2)*=(1)/(2)*=(1)/(2)*=(1)/(2)*=(1)/(2)*=(1)/(2)*=(1)/(2)*=(1)/(2)*=(1)/(2)*=(1)/(2)*=(1)/(2)*=(1)/(2)*=(1)/(2)*=(1)/(2)*=(1)/(2)*=(1)/(2)**=(1)/(2)*=(1)/(2)*=(1)/(2)*=(1)/(2)*=(1} 大，此时点 P 的坐标为 (-/{3)/(2),(15)/(4))

类型2 线段和、周长最值问题

方法指导

(1)利用“将军饮马模型”求两条线段之和的最小值，示意图如图，两定点 A,C 在抛物线上并且在抛物线对称轴的同侧，动点 P 在抛物线的对称轴上，求“ P A+ PC”的最小值的方法：

先找出其中一个定点 A 关于对称轴的对称点 B ，然后连接这个对称点 B 和另一个定点 C* B C

与对称轴的交点即为点 P ，此时点 P 到两个定点 A ,C 的距离之和最小.

(2)求周长最值问题，常可以转化求两线段之和的最小值，进而再利用（1)中的方法解决.

3.（2023·平凉四中月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=x^{2}-3x-4 的图象交坐标轴于 A,B,C 三点.在抛物线的对称轴上找一点 D ，使 \triangle A D C 的周长最小，并求出点 D 的坐标及 \triangle A D C 的周长最小值.

解：由题意，得抛物线为 y=x^{2}- 3x-4=(x-(3)/(2))^{2}-(25)/(4), 抛物线的对称轴为直线 x= (3)/(2) 点 C 的坐标为 (\mathbf{0},-4)

\because A(-1,0) ,B(4,0) 关于对称轴直线 \scriptstyle x={(3)/(2)} 对称，

连接BC交对称轴于点 D ，连接 A C,A D , 此时\triangle A D C 的周长最小。
：点 B(4,0) ,C(0 ,-4) ,
·直线 B C 的解析式为 y=x-4
：当 x=(3)/(2) 时， y=-(5)/(2).
\therefore D((3)/(2),-(5)/(2)).
\triangle A D C 周长的最小值为 A C+B C=√(1^{2)+4^{2}}+ {√(4^{2)+4^{2}}}={√(17)}+4{√(2)}.

类型3 线段数量关系、面积数量关系问题

4.如图，抛物线 y=- x^{2}+4 x-3 与 \boldsymbol{\mathscr{x}} 轴交于 A ,B 两点，与 _y 轴交于点 C ，点 P 为抛物线上 一点.若 S_{\triangle P B C} {=} (1)/(2)S_{\triangle A B C} ，求点 P 的坐标。

解：过点 P 作 P Q\bot x 轴交BC
于点Q.
在 y=-x^{2}+4x-3 中，令 {\mathfrak{y}}=
0，则 -x^{2}+4x-3 {=} 0. 解得 x
\l=1 或 \scriptstyle x=3.
\therefore A(1,0) ,B(3 ,0 ), \therefore A B{=}2.
在 y=-x^{2}+4x-3 中，令 x=0 ，则 y=-3
\therefore C(0,-3)
\begin{array}{r l}&{\therefore S_{\triangle A B C}=(1)/(2)x2x3=3.}\\ &{\qquad\qquad\ddots S_{\triangle P B C}=(1)/(2)S_{\triangle A B C}\:,\therefore S_{\triangle P B C}=(3)/(2).}\end{array}
易得直线 B C 的解析式为 y=x-3
设 P(t,-t^{2}+4t-3) ，则 Q(t,t-3)
\therefore P Q= |-t^{2}+3t | .
\therefore(3)/(2){=}(1)/(2){x}3{x}1 {-}t^{2}{+}3t | .
解得t=3±√13 t=(3±√(5))/(2).
：点 P 的坐标为 ((3+√(13))/(2),(√(13)-5)/(2))\neq((3-√(13))/(2), (-5-√(13))/(2)) \ddot{\mathfrak{x}}_{\mathfrak{x}}((3+√(5))/(2),(√(5)-1)/(2)) \ddot{\mathfrak{x}}_{\mathfrak{x}}((3-√(5))/(2),(-1-√(5))/(2)).

5.如图所示，抛物线 2²+mc+n与x轴交于 A ,B 两点，与 y 轴交于点 C ,抛物线的对称轴交 x 轴于点 D .已知 \mathbf{\nabla}A(-1,0) ,C(\mathbf{\nabla}0 ,2)

(1)求抛物线的解析式.
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点 P ，使\triangle P C D 是以 C D 为腰的等腰三角形？如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由.
解：(1)把 {\cal A}(-1,0) ,{\cal C}(0 ,2) 代入
y=-(1)/(2)x^{2}+m x+n , 得m+n解得
\lfloor n=2 2
抛物线的解析式为 y=-(1)/(2)x^{2}+(3)/(2)x+2. (2)存在.理由：
由抛物线的解析式知,其对称轴为直线 _{x=3} ，
\therefore D(3,0),
设点 P 的坐标为 ^{(3,t)}
\because C(0,2)\quad ，
\therefore C D^{2}=2^{2}+3^{2}=13.
当 \triangle P C D 是以 \mathit{C D} 为腰的等腰三角形时，可分两种情况讨论：
① 若 P C{=}C D ，则 3^{2}+( t-2 )^{2}=13 , 解得 {t=0} （舍去）或4.
：点 P 的坐标为 ^{(3,4)}
⊚ 若 {P D}={C D} ，则 t^{2} {=} 13 ，解得 t=±√(13)
：点 P 的坐标为 (3 , √(13) ) 或 (3 ,- {√(13)} )
综上所述，点 P 的坐标有三个，分别是 ( 3 ,4 ) 或(3,\scriptstyle{√(13)} 或 (3,-√(13))

类型5 角度数量关系问题

6.如图，抛物线 y=-(1)/(4)x^{2}+(3)/(2)x+4 与 \boldsymbol{x} 轴交于A,B 两点，与 _y 轴交于点 C ，连接 A C,B C. 点P 是抛物线上的一动点，当 \angle P C B=\angle A B C 时，求点 P 的坐标.解：在 y=-(1)/(4)x^{2}+(3)/(2)x+4 中，令 y=0 ，则 -{(1)/(4)}x^{2}+

{(3)/(2)}x+4=0 ，解得 x=- 2
或 {x}=8
\therefore A(-2,0) ,B(8 ,{\bf0}).
在 y=- {(1)/(4)} x^{2}+{(3)/(2)} x+4
中，令 x=0 ，则 y=4 费
\therefore C(0,4).
① 当点 P 在 B C 上方时,如图 1,\because\angle P C B=\angle A B C. \therefore P C//A B. ：点 {\cal C},{\cal P} 的纵坐标相等。
：点 P 的纵坐标为 4.
令 y=4 ，则 -{(1)/(4)}x^{2}+{(3)/(2)}x+4=4 ,
解得 \scriptstyle x = 0 (舍去)或 x=6, \therefore P( 6 ,4)
⊚ 当点 P 在 B C 下方时,如图2,设 P C 交 x 轴于点 H \angle P C B=\angle A B C,\therefore H C{=}H B.
设 \scriptstyle H B=H C=m ，则 O H{=}O B{-}H B{=}8{-}m.
在 Rt\triangle\mathbf{C}O H 中， \because O C^{2}+O H^{2}=C H^{2}\ ,
\therefore4^{2}+(8-m)^{2}=m^{2}\;, 解得 m=5
\therefore O H{=}3, \therefore H(3 ,\mathbf{0}).
设直线 P C 的解析式为 y=k x+n ，则解得 {\underset{n=4.}{\left\{{k=-(4)/(3)},}\right.}}
3k+n=0,
\therefore y=-(4)/(3)x+4.
联立 \begin{array}{r}{\left\{y=-(4)/(3)x+4\right.,\quad\quad\quad\quad\left.y_{1}=0 , \right|x_{2}=(34)/(3) ,\quad}\\ {\left.y_{3}=-(1)/(4)x^{2}+(3)/(2)x+4 ,\quad\quad\quad\quad y_{1}=4 , \right|y_{2}=-(100)/(9).}\end{array}
\therefore P((34)/(3),-(100)/(9)).
综上所述，点 P 的坐标为 {\left(6,4\right)} 或 ((34)/(3),-(100)/(9))

图1

图2