名校课堂

名校题好：名校真题完全贴合新教材，更经典

紧扣新教材核心考点，采用经典素材、经典设问

-河南 RJ数学 2

八年级上

开明出版社

目录

错题笔记示例

? 第十三章 三角形

13.1 三角形的概念 2
13.2 与三角形有关的线段 4
13.2.1 三角形的边 4
13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 6

小专题1 三角形的中线、高线的运用 解题技巧专练8

13.3 三角形的内角与外角

13.3.1 三角形的内角

第1课时 三角形的内角和， 9
第2课时直角三角形的两个锐角互余 11
周测 ( 1 3 . 1 { ~ } 1 3 . 3 . 1 ) 1 周测小卷1
13.3.2三角形的外角· 12
小专题2三角形的角平分线、高线的夹角模型多维变式专练14
小专题3 利用数学思想方法求角度 解题技巧专练15
小专题4 三角形中内、外角平分线的常见模型 模型构建专练16
章末复习（一） 三角形… 18

河南考点针对练 \diamondsuit 核心素养提升练

新教材新趋势

数学活动1 搭等边三角形/P20
数学活动2 多边形的三角剖分/P20
综合与实践 确定匀质薄板的重心位置/P21

周测(第十三章) 周测小卷3

【第十四章全等三角形

14.1 全等三角形及其性质 22
14.2 三角形全等的判定… 24
第1课时 用“SAS"判定三角形全等 24
第2课时 用“ASA"或“AAS"判定三角形全等 26
第3课时 用“SSS"判定三角形全等 28
第4课时 三角形全等的判定与尺规作图 30
第5课时 用“HL”判定直角三角形全等 32

索引

名校经典题索引

2.清华附中校本经典题

P5T14 P14母题 P15T1 P17T4
P26T4 P53T16 P64T7 P83T13
P115T17

3.北京四中校本经典题

P4T8 P23T15 P69T11 P73T7
P76T17 P82T16 P100T10 P116T8

4.北京五中校本经典题

P10T14 P32T4 P50T8 P57T11

5.北师大附属实验校本经典题

P7T11 P7T16 P10T11 P11T4
P12T11 P31T11(2)P47T13 P47T14
P74T8 P85T17 P89T15 P98T12
P106T16 P117T9 P120T7 P132T6

6.华师二附中校本经典题

P3T13 P5T15 P10T8 P33T12 P48T6 P78T6 P81T16 P85T15(2) P85T16 P132T5

7.石家庄外国语校本经典题

P3T16 P7T17 P10T15 P13T14
P15T2 P15T6 P23T14 P24T3
P37T5 P65T10 P74T12 P76T20
P87T13 P95T18 P98T11 P115T11

8.湖南师大附中校本经典题

P22T9 P28T8 P29T13 P39T12P49T14 P77T6 P81T17 P86T1P89T16 P94T12 P101T7 P106T15P119T15P125T11 P139【例1】

小专题5判定三角形全等的基本思路… 解题技巧专练34

小专题6 全等三角形的基本模型 模型构建专练36

周测 ( 1 4 . 1 { ~ } 1 4 . 2 ) 周测小卷5

14.3角的平分线 38

第1课时 角的平分线的性质 38
第2课时 角的平分线的判定· 40

小专题7构造全等三角形的常用辅助线… 解题技巧专练42

章末复习（二) 全等三角形 44

河南考点针对练 \diamondsuit 核心素养提升练

周测(第十四章) 周测小卷7

"第十五章轴对称

15.1 图形的轴对称 46

15.1. 1 轴对称及其性质 46
15.1.2 线段的垂直平分线 48
第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定· 48
第2课时 作轴对称图形的对称轴 50

15.2 画轴对称的图形 51

第1课时 画轴对称的图形· 51
第2课时 用坐标表示轴对称 = 52

周测 ( 1 5 . 1 ~ 1 5 . 2 ) （204号 周测小卷9

15.3 等腰三角形 54

15.3.1 等腰三角形 54
第1课时 等腰三角形的性质 54
第2课时 等腰三角形的判定 56

小专题8角平分线十平行线→等腰三角形一教材P81练习

T2变式 模型构建专练58

小专题9分类讨论思想在等腰三角形中的应用

解题技巧专练59

小专题10 构造等腰三角形的常用方法 模型构建专练60

15.3.2 等边三角形 62
第1课时 等边三角形的性质与判定 62
第2课时 含 { 3 0 } ^ { \circ } 角的直角三角形的性质 64

小专题11等腰三角形中常见的手拉手模型多维变式专练66

周测(15.3) 周测小卷11
章末复习(三) 轴对称 68

河南考点针对练 \diamondsuit 核心素养提升练

新教材新趋势

综合与实践 最短路径问题/P70

期中复习专题 与三角形有关的证明 72

第十六章整式的乘法

16.1幂的运算 74
16.1. 1 同底数幂的乘法 74
16.1.2 幂的乘方与积的乘方 75

小专题12 幂的运算法则的应用 分类强化专练77

16.2整式的乘法 78
第1课时单项式与单项式相乘 78

索引

微专题索引

P13 微专题1 运用“飞镖形"“8字形"求角度
P65 微专题2 构造含 { 3 0 } ^ { \circ } 角的直角三角形的常见辅助线作法
P76 微专题3 利用幂的乘方法则比较大小
P103微专题4 利用“十字相乘法”分解因式
P113微专题5 分式约分求值的几种常用方法
P113微专题6 教你解决 \scriptstyle { / { 1 } { * } } ± { / { 1 } { * } } 型问题

P121微专题7利用整体思想求值

课标理念题索引

5.数学/传统文化

P19T16P24T8 P29T11 P74T11

6.阅读理解

P101T12 P109T17 P112T12 P127T16

7.跨学科

P19T15P53T11 P124T12

第2课时 单项式与多项式相乘… 79
第3课时 多项式与多项式相乘…… 80
第4课时 同底数幂的除法 82
第5课时 单项式除以单项式 83
第6课时 多项式除以单项式 84
周测 ( 1 6 . 1 ~ 1 6 . 2 ) （20 周测小卷13
16.3乘法公式 86
16.3.1 平方差公式… 86
16.3.2 完全平方公式· 88
第1课时 完全平方公式 88
小专题13完全平方公式的变形——教材P118习题T7的变式与应用 多维变式专练90
第2课时 添括号法则 91
小专题14整式的化简与求值 分类强化专练92
周测(16.3) 周测小卷15
章末复习（四) 整式的乘法… 94

河南考点针对练 \diamondsuit 核心素养提升练

新教材新趋势

杨辉三角 教材P118"阅读与思考"变式/P96
数学活动1 月历中的奥秘/P97
数学活动2 和为定值的两数积的规律/P97

\*第十七章 因式分解

17.1用提公因式法分解因式 98
第1课时直接利用提公因式法分解因式（一） 98
第2课时直接利用提公因式法分解因式(二) 99
17.2用公式法分解因式 100
第1课时 运用平方差公式分解因式 100
第2课时 运用完全平方公式分解因式 101
第3课时 综合运用公式法分解因式 102
小专题15 因式分解及其应用 重点强化专练104
章末复习(五) 因式分解 105

河南考点针对练 \diamondsuit 核心素养提升练

新教材新趋势

数学活动1 个位数字是5的两位数的平方规律/P107
数学活动2 利用因式分解生成密码/P107

周测(第十七章) 周测小卷17

二"第十八章分式

18.1分式及其基本性质 108

18.1. 1 从分数到分式 108
18.1.2 分式的基本性质 110
第1课时 分式的基本性质 110
第2课时 分式的约分和通分 111

18.2分式的乘法与除法 114
第1课时分式的乘法与除法… 114
第2课时分式的乘方及乘除混合运算 116
周测 ( 1 8 . 1 ~ 1 8 . 2 ) （20 · 周测小卷19
18.3分式的加法与减法 118
第1课时 分式的加法与减法 118
第2课时 分式的混合运算 120
小专题16分式的化简与求值 分类强化专练122
18.4整数指数幂 124
第1课时 负整数指数幂· 124
第2课时用科学记数法表示绝对值小于1的数 125
周测 ( 1 8 . 3 ~ 1 8 . 4 ) 周测小卷21
18.5分式方程 126
第1课时分式方程及其解法… 126
小专题17由分式方程根的情况确定字母的取值范围 解题技巧专练128
第2课时 分式方程的实际应用 129
小专题18利用分式方程解决其他实际问题 分类强化专练131
章末复习（六）分式 133
河南考点针对练 \diamondsuit 核心素养提升练

?新教材新趋势

数学活动 探究 x ^ { 2 } + { / { 1 } { x ^ { 2 } } } 取值的规律/P135

周测(第十八章) 周测小卷23

三"期末复习

期末复习(一) 三角形 136
期末复习(二) 全等三角形 139
期末复习(三) 轴对称 142
期末复习(四) 整式的乘法 146
期末复习(五) 因式分解 149
期末复习(六) 分式 152

二”附赠河南标准卷

单元测试(一) 三角形 测试卷1
单元测试(二) 全等三角形 测试卷3
单元测试(三) 轴对称 测试卷5
期中测试 测试卷7
单元测试(四) 整式的乘法 测试卷9
单元测试(五) 因式分解 测试卷11
单元测试(六) 分式 测试卷13
期末测试 测试卷15

附赠参考答案

第十三章 三角形

13.1 三角形的概念

基础题

知识点1 三角形及其相关概念

1.下面是小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是 （）

2.(教材P4习题T1变式)如图所示，以 B C 为边的三角形共有 （）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

第2题图

第3题图

3.如图，在 \triangle A B C 中， \angle B 的对边是 ，在\triangle A B D 中， \angle B 的对边是 ，在 \triangle A C D 中，边 A C 的对角是

4.如图所示.

(1)图中共有 个三角 形，它们是

(2）线段AD是 △ \bigtriangleup （204 的边.

(3) \angle B 是 △ ，△ 的角.

知识点2 三角形的分类

5.（教材P3图改编）用 A 表示等边三角形， B 表示等腰三角形， C 表示三边都不相等的三角形，则下列四个分类图中，能正确表示它们之间的关系的是 （）

6.（教材P3例变式)如图，在 \triangle A B C 中， A B = A C , A D { = } C D { = } C B ，则图中等腰三角形共有

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

第6题图

第8题图

7.观察下面的三角形，并把它们的标号填入相应的圈内.

8.(教材P3练习T2变式)如图，在 \triangle A B C 中，\angle B A C 是锐角， A D \perp B C ，垂足为 D ，点 E 在线段 B D 上，则图中的锐角三角形有；直角三角形有；钝角三角形有

9.（教材P3练习T1变式）如图， A B = B C = C A = D A ，且 B D = C D ，找出图中的等腰三角形和等边三角形.

易错点 对三角形的分类不清晰致错

10.下列说法：

① 三角形按边分类可分为三边都不相等的三角形、等腰三角形和等边三角形；② 等边三角形是特殊的等腰三角形；③ 等腰三角形是特殊的等边三角形；④ 有两边相等的三角形一定是等腰三角形.其中正确的个数是 （ ）

A.1 B.2 C.3 D.4

中档题

11.若 \triangle A B C 的三边长是 \scriptstyle a , b , c ，且满足 \left| a - b \right| + | { \boldsymbol { a } } - { \boldsymbol { c } } | = 0 ，则 \triangle A B C 是 （）

A.钝角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形

12.已知有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以 B C 为公共边的“共边三角形"有对.

第12题图

第13题图

(1)写出以点 C 为顶点的三角形.
(2)写出以 _ { A B } 为边的三角形.
(3)找出图中的等腰三角形和等边三角形.

15.(教材P3例变式)如图，在 \triangle A B C 中， A B = \scriptstyle A C , B E = A E = D E = A D = C D . （204号

13. A华师二附中校本经典题 6个点按如图所示的方式放置，相邻两点的距离相等.把这些点作为三角形的顶点，可以画 个等边三角形.

14. A|人大附中校本经典题 如图， A B = O A = O B { = } O C { = } O D { = } C D ，找出图中的等腰三角形和等边三角形.

综合题

16. A|石家庄外国语校本经典题找规律，填空：

(1)请按照下列要求数出三角形的个数.

图1

图2

图3

① 边 B C 上有1个点(图1)，三角形的个数为 ；

② 边 B C 上有2个点(图2)，三角形的个数为 ·
③ 边 B C 上有3个点(图3)，三角形的个数为

(2)当边BC上有 \mathbf { \Psi } _ { m } 个点（不含 B , C 两点）时，图形中三角形的个数为

13.2 与三角形有关的线段

13. 2.1 三角形的边

基础题 《

知识点1 三角形的三边关系

1.（2023·长沙）下列长度的三条线段，能组成三角形的是 （）

A.1,3,4 B.2,2,7
C.4,5,7 D.3,3,6

2.(2024·淮安)用一根小木棒与两根长度分别为 3 \ {cm } , 5 \ {cm } 的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是 （）

A. 9 \ {cm } （204号 B.7 cm { { C } . 2 \cm } （204号 D. 1 \ {cm }

3. 新考向开放性问题如图，人字梯的支架A B , A C 的长度都为2米（连接处的长度忽略不计)，则 ^ { 1 3 , C } 两点之间的距离可以是_米.（只需写出一个满足条件的值即可)

第3题图

第4题图

4.如图，线段 _ { A B } 和线段 A C 是 \triangle A B C 的两条边，点 D 在线段 _ { A B } 上，点 E 在线段 A C 上，将 \triangle A B C 沿 D E 所在直线裁去一个角得到四边形 D B C E ，则四边形DBCE的周长(填"大于""等于"或“小于") \triangle A B C 的周长，理由是

5.已知一个三角形的一边长为 9 \ {cm } ,另一边的长为 3 \ {cm } ，第三边的长为 x cm.

(1)求 x 的取值范围.
(2)当第三边的长为偶数时，求该三角形的周长.
(3)若第三边是最长的边，则 x 的取值范围为

知识点2 三角形的稳定性

6.下列图形具有稳定性的是

7.如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是

易错点 没有验证是否满足三角形的三边关系致错

8. A|北京四中校本经典题用一条长为 2 0 \ {cm } 的细绳围成一个等腰三角形.

(1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长分别是多少？
(2)能围成有一边长为 5 \ {cm } 的等腰三角形吗？如果能，请求出它的另两边的长.

【变式1】已知等腰三角形的一边长为 8 \ {cm } 另一边的长为 9 \ {cm } ，则该等腰三角形的周长为【变式2】已知等腰三角形的一边长为4，另一边的长为8，则该等腰三角形的周长为

中档题

9.(教材P9习题T2变式)在长度分别为 2 \ {cm } { 3 \cm , 4 \cm , 5 \cm } 的线段中任意选择三条，将它们首尾顺次相接，组成的三角形有 （ ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

10.如图，为使由五根木棒组成的架子不变形，至少还要在架子上钉上的木棒根数是（）

A.0 B.1 C.2 D.5

第10题图

第11题图

11. 新考向真实情境为方便劳动技术小组实践教学，需用篱笆围一块三角形空地，现已连接好三段篱笆 A B , B C , C D ，这三段篱笆的长度如图所示，其中篱笆 A B , C D 可分别绕轴BE和 C F 转动.若要围成一个三角形的空地，则在篱笆 _ { A B } 上接上新的篱笆的长度可以为 （）

12.已知 { \mathbf { \boldsymbol { a } } } , { \boldsymbol { b } } , { \boldsymbol { c } } 是一个三角形的三条边长，化简| a + c - b | - | a - b - c | =

13.(1)若等腰三角形的周长为 1 6 ~ {cm } ，则腰长 x 的取值范围为(2)在 \triangle A B C 中，若三条边长均为整数，周长为11，且有一条边长为4，则这个三角形最长边可能取值的最大值是

14. A|清华附中校本经典题数学课本第21页复习题的第3题如下：如图1，填空：由三角形两边的和大于第三边，得 A B + A D > . P D + C D > .将不等式左边、右边分别相加，得 A B + A D + P D + C D > ，即 A B + A C >

(1)补全上面步骤.

(2)如图2，过点 P 作直线交 A B , A C 于点M , N . 仿照图1的方法，求证： A B + A C > P B + P C

图1

图2

综合题

15. A华师二附中校本经典题在平面内，分别用3根、4根、5根、6根火柴首尾顺次相接(不能折断，且需全部用完)，能搭成什么形状的三角形呢？小明通过尝试，发现用3根、5根、6根火柴分别可以搭成一些三角形，如下表所示：

现在请你与小明一起继续尝试，并回答下列问题：

(1)用4根火柴能搭成三角形吗？(2)用8根、12根火柴分别能搭成几种不同形状的三角形？请画出它们的示意图.

13.2.2三角形的中线、角平分线、高

基础题

知识点1 三角形的中线与重心

1.如图， A D 是 \triangle A B C 的中线，则 D 是线段的中点， B D = C D { = } { / { 1 } { 2 } } . { \cal S } _ { \triangle A B D } = B D C= / { 1 } { 2 } .若 S _ { \triangle A B D } = 5 ，则{ } S _ { \triangle A B C } =

2.已知三角形的三条中线交于一点，下列结论：① 这一点在三角形的内部； ② 这一点有可能在三角形的外部； ③ 这一点是三角形的重心.其中正确的是 .(填序号)

3.如图， A D 是 \triangle A B C 的中线， A E 是 \triangle A B D 的中线.若 D E { = } 3 ~ {cm } ，则 E C =

第3题图

第4题图

知识点2 三角形的角平分线

4.如图，在 \triangle A B C 中， A D , C E 是 \triangle A B C 的角平分线， \angle B A C = 6 0 ^ { \circ } \angle A C E = 4 0 ^ { \circ } ，则 \angle D A C = 。 \angle B C E = ^ { \circ } \angle A C B =

5.（教材P10习题T8变式）如图， D 是 \triangle A B C 中边 B C 上的一点， D E / / A C 交 A B 于点 E 若 \angle E D A = \angle E A D ，求证： A D 是 \triangle A B C 的角平分线.

知识点3 三角形的高

6.如图， . A D 是 \triangle A B C 的边 B C 上的高，则 A D 与 B C 的位置关系是 ， \angle A D B = ∠

7.如图，用三角板作 \triangle A B C 的边 _ { A B } 上的高，下列三角板的摆放位置正确的是 （）

8.如图，在 \triangle A B C 中， \angle A C B = 9 0 ^ { \circ }

(1)图中边 B C 上的高为 ，边 A C 上的高为
(2)画出边 A B 上的高 C D
(3)若 B C = 3 , A C = 4 , A B = 5 ，求边 _ { A B } 上的高 C D 的长.

9.如图，已知 \triangle A B C ，试作出 \triangle A B C 的三条高.

思考：

(1)从图中可以看出，钝角三角形有 条高在三角形的外部，条高在三角形的内部.
(2)延长 \triangle A B C 的三条高，发现三条高所在的直线 (填"交"或“不交")于一点.

易错点1对三角形的中线、角平分线、高的概念理解不清

10.下列说法正确的是 .(填序号)

① 三角形的角平分线是射线；
② 三角形的三条角平分线都在三角形的内部，且相交于一点；
③ 三角形的三条高都在三角形的内部；
④ 三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分.

易错点2 无法正确找到对应边的高

11. A|北师大附属实验校本经典题如图，在 \triangle A B C 中，边BC上的高是 ，边 _ { A B } 上的高是；在 \triangle B C E 中，边BE上的高是，边 E C 上的高是 ；在 \triangle A C D 中，边 A C 上的高是 ，边 C D 上的高是

第11题图

第12题图

中档题

12.如图，在 \triangle A B C 中， \angle 1 = \angle 2 , G 为 A D 的中点，连接BG并延长，交 A C 于点 \boldsymbol { \mathbf { \mathit { E } } } ，过点 c 作 C H \bot A D 于点 H ，延长 C H 交 A B 于点F .下列说法错误的是 （）

A. A D 是 \triangle A B C 的角平分线B. C H 是 \triangle A C D 的边 A D 上的高线C. A H 是 \triangle A C F 的角平分线和高线D. B E 是 \triangle A B D 的边 A D 上的中线

13.如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点 A , B , C , D , E , F , G 均在小正方形的顶点上，则 \triangle A B C 的重心是 （）

A.点 G （204号 B.点 D （20
C.点 \boldsymbol { \mathbf { \mathit { E } } } （20 D.点 F （20

第13题图

第14题图

14.(2023·漯河郾城区期中)如图，在 \triangle A B C 中，^ { D , E } 分别是边 ^ { B C , A B } 的中点.若 \triangle A B C 的面积等于8，则 \triangle B D E 的面积等于

15.下图是甲、乙、丙三位同学的折纸示意图（折 叠后点 \boldsymbol { \mathbf { \mathit { C } } } 落到点 C ^ { \prime } 处).

(1)折出的 A D 是边 B C 上的中线的是(2)折出的 A D 是边 B C 上的高的是(3)折出的 A D 是 \angle B A C 的平分线的是

16. A北师大附属实验校本经典题一个缺角的三角形残片如图所示.(1)不恢复这个缺角，你能画出边 _ { A B } 上的高所在的直线吗？你是如何画的？依据是什么？

(2)小明分别画出 \angle A 和 \angle B 的平分线，两线相交于点 D ，又找到边 A B 的中点 E ，作直线 D E ，小明说他画出了第三个角的平分线所在的直线.你认为他说得对吗？为什么？

综合题

17. A|石家庄外国语校本经典题如图，在△ABC中， A B { = } A C , B E 是腰 A C 上的中线.

(1)若 A B { > } B C ，则 \triangle A B E 的周长与 \triangle B E C 的周长之差为
(2)若 \triangle A B E 的周长比 \triangle B C E 的周长多2，且 _ { A B } 与 B C 的和为10，求 A B , B C 的长.
(3)若 \triangle A B C 的周长为 2 0 \ {cm } , B E 将 \triangle A B C 分成周长差为 4 \ {cm } 的两部分，求 \triangle A B C 的边长.

小专题1三角形的中线、高线的运用

类型 ^ { 1 } 利用中线解决面积问题

1.如图， A D 是 \triangle A B C 的中线， E 是 A D 的中点，连接 B E , C E . 若 \triangle A B C 的面积是8,则阴影部分的面积为 （ ）

A.2 B.4 C.6 D.8

第1题图

第2题图

2.如图，在 \triangle A B C 中，已知 D , E , F 分别为 B C .A D , C E 的中点.

(1)若 S _ { \triangle A B C } = 1 ，则 { \cal S } _ { \triangle B E F } = (2)若 S _ { \triangle B F C } = 1 ，则 { \cal S } _ { \triangle A B C } =

3.【转化思想】如图， D , E 分别是 \triangle A B C 的边A B , B C 上的点， A D = 2 B D ， B E = C E ，设\triangle A D F 的面积为 S _ { 1 } \triangle C E F 的面积为 S _ { 2 } .若S _ { \triangle A B C } = 6 ，求 S _ { 1 } { - } S _ { 2 } 的值.

旧纳

在三角形中，若遇到三角形的中线，就能得到两条相等的线段；三角形的任意一条中线能把三角形分成面积相等的两部分.

类型2 三角形高线的应用

题型1等面积法在三角形高线问题中的应用

4.教材母题：(教材P10习题T7)如图，在 \triangle A B C 中，若 \scriptstyle A B = 2 , B C = 4 ，则 \triangle A B C 的高 A D 与 C E 的比是 .(提示：利用三角形的面积公式)

第4题图

变式题图

【变式】如图， A B \bot B D 于点 B , A C \bot C D 于点 C ，且 A C 与 B D 相交于点 E .已知 A E { = } 5 ，D E { = } 2 , C D { = } / { 9 } { 5 } ，则 _ { A B } 的长为

归纳

在三角形的两条边和这两条边上的高这四个量中，已知其中的三个量，可用等面积法求第四个量.

5.如图，在 \triangle A B C 中， A B = A C ， D E \bot A B D F \bot A C , B G \bot A C ，垂足分别为 E , F , G . 求证： D E + D F = B G

归纳

遇到垂线时，先观察垂线在不在某个三角形中，若不在，需要连接辅助线，将垂线放到一个三角形中去，然后利用三角形的面积进行换算.

题型2分类讨论思想在高线问题中的应用

6.已知 A D 是 \triangle A B C 的高， \angle B A D = 6 0 ^ { \circ } \angle C A D = 2 0 ^ { \circ } ，则 \angle B A C =

7.已知 A D , A E 分别是 \triangle A B C 中边 B C 上的高和中线，且 A D = 6 , E D = 3 , C D = 2 ，求 \triangle A B C 的面积.

旧纳

涉及三角形高的问题时，如果题目没有给出图形，一定要画出图形，然后分类讨论.

13.3 三角形的内角与外角

13.3.1 三角形的内角

第1课时三角形的内角和

基础题

知识点1 三角形的内角和定理

1.(教材P16习题T1变式)写出下列图形中 x 的值.

2.在一个三角形中，三个内角之比为 1 : 2 : 6 ，则这个三角形的形状是 （ ）

A.钝角三角形 B.锐角三角形C.直角三角形 D.无法确定

3.(教材P13 练习T2变式)如图，点 \mathbf { \nabla } _ { E } , D _ { \mathbf { \nabla } } 分别在^ { A B , A C } 上，若 \angle B = 3 0 ^ { \circ } \angle C = 5 5 ^ { \circ } ，则 \angle 1 + \angle 2 的度数为 （）

A. 8 5 ^ { \circ } B. { 8 0 } ^ { \circ } （204号 { C } . 7 5 ^ { \circ } D. { 7 0 } ^ { \circ }

4.（教材P16习题T3变式）在 \triangle A B C 中， \angle B 比 \angle A 大 2 0 ^ { \circ } , \angle C 比 \angle B 大 { 2 0 } ^ { \circ } 求 \triangle A B C 的各内角的度数.

5.为了证明“三角形的内角和是 1 8 0 ^ { \circ , \mathfrak { r } } ，林老师给出了如图所示四种作辅助线的方法：

图1

图2

图3

图4

回答下列问题：

(1)图1、图2在证明三角形内角和的过程中应用的数学思想是

A.转化思想 B.整体思想C.方程思想 D.数形结合思想(2)请选用图3或图4证明三角形的内角和是{ 1 8 0 } ^ { \circ } ：

知识点2三角形的内角和定理与三角形的角平分线、平行线的综合

6.(教材P12例1变式)如图，在 \triangle A B C 中， A D 平分 \angle B A C \angle B = 7 0 ^ { \circ } \angle B A D = 3 0 ^ { \circ } ，则 \angle C 的度数为 （）

A. 3 5 ^ { \circ } （204号 B.40° C.45° D. 5 0 ^ { \circ }

第6题图

第7题图

7.(2023·徐州)如图，在 \triangle A B C 中，若 D E / / B C , F G / / A C \angle B D E = 1 2 0 ^ { \circ } \angle D F G = 1 1 5 ^ { \circ } 则 \angle C =

知识点3 三角形的内角和定理的应用

8. A华师二附中校本经典题 如图，这是一个建筑工地的三角形支撑架ABC，它的上部\angle A C B 被一个长方形钢架遮挡，测量得\angle A = 6 0 ^ { \circ } \angle B = 8 0 ^ { \circ } ，则被遮挡的 \angle A C B 的度数为 （ ）

A. { 3 0 } ^ { \circ } （204号 B.40° C.50° D. { 6 0 } ^ { \circ }

第8题图

第9题图

9.(教材P12例2变式)如图， B 岛在 A 岛的南偏西 5 5 ^ { \circ } 方向， B 岛在 C 岛的北偏西 { 6 0 } ^ { \circ } 方向，C 岛在 A 岛的南偏东 { 3 0 } ^ { \circ } 方向，则从 B 岛看 ^ { A , C } 两岛的视角 \angle A B C 的度数为

中档题

10.如图，在 \triangle A B C 中， P 是 \triangle A B C 三条角平分线的交点，则 \angle P B C + \angle P C A + \angle P A B = ( ）

A. 4 5 ^ { \circ } （204号 B. { 1 2 0 } ^ { \circ } （204 C. { 1 8 0 } ^ { \circ } （204号 D. 9 0 ^ { \circ }

第10题图

第11题图

11. A北师大附属实验校本经典题如图，在 \triangle A B C 中， \angle A = 7 0 ^ { \circ } \angle C = 3 0 ^ { \circ } B D 平分 \angle A B C 交A C 于点 D , D E / / A B ，交 B C 于点 \boldsymbol { E } ，则\angle B D E 的度数是 （ ）

A. { 3 0 } ^ { \circ } （204号 { { B } } , { 4 0 } ^ { \circ } （204号 （204号 { C } . 5 0 ^ { \circ } （204号 D. { 6 0 } ^ { \circ }

12. 新考向真实情境(本课时T8变式)如图，直线 { \mathbf { α } } _ { a , b } 相交所成的角跑到画板外面了，某同学发现只要量出画板的边 \mathbf { \xi } _ { l } 分别与直线{ a , b } 相交所形成的角的度数就可求得该角.已知 \angle 1 = 7 1 ^ { \circ } \angle 2 = 7 8 ^ { \circ } ，则直线 { a , b } 相交所形成的锐角的度数为

第12题图

第13题图

13.(2023·十堰)将一副三角板按如图所示的方式放置（ \angle C = 3 0 ^ { \circ } \angle D = 4 5 ^ { \circ } ，点 A 在 D E 上，点 F 在 B C 上.若 \angle E A B = 3 5 ^ { \circ } ，则\angle D F C =

14. A北京五中校本经典题如图，在 \triangle A B C 中，O 是 \triangle A B C 角平分线的交点.已知 \angle A B C = { 6 0 } ^ { \circ } \angle A C B = 8 0 ^ { \circ } ，求 \angle B O C 的度数.

【拓展变式1】如图，在\triangle A B C 中， B E , C D 为角平分线，且交点为 O . 若\angle B O C = 1 2 0 ^ { \circ } ，则 \angle A 的度数为

【拓展变式2】试猜想上题中 \angle A 与 \angle B O C 的数量关系：若 \angle A = α ，则 \angle B O C 的度数为

综合题

15. A石家庄外国语校本经典题如图， \triangle A B C 是一张纸片，把 \angle C 沿 D E 折叠，使点 C 落在点C ^ { ' } 的位置.

(1)当 \angle C = 4 5 ^ { \circ } 时，求 \angle 1 + \angle 2 的度数.(2)若 \angle C = α ，请直接写出 \angle 1 + \angle 2 的度数.（用含 α 的代数式表示）

第2课时直角三角形的两个锐角互余

基础题

知识点1 直角三角形的两个锐角互余

1.如图，在 { R t } \triangle A B C 中， \angle C = 9 0 ^ { \circ } \angle B = 5 6 ^ { \circ } 则 \angle A 的度数为 （ ）

A. 3 4 ^ { \circ } （204号 B. { 4 4 } ^ { \circ } （204号 C.124° D. 1 3 4 ^ { \circ }

第1题图

第2题图

2.如图，某同学将一块三角板叠放在直尺上，则\angle 1 + \angle 2 = （）

A. { 6 0 } ^ { \circ } （204号 B. 7 5 ^ { \circ } （204号 （204号 { C } . 9 0 ^ { \circ } （204号 D. 1 0 5 ^ { \circ }

3.(1)一个直角三角形的两个锐角相等，则这两个相等的锐角的度数为(2)在 \triangle A B C 中，已知 \angle A = 9 0 ^ { \circ } ，且 \angle B - \angle C = 2 0 ^ { \circ } ，则 \angle C 的度数为

A北师大附属实验校本经典题已知：如图，在{ R t } \triangle A B C 中， \angle A C B = 9 0 ^ { \circ } C D \bot A B ，垂足为D 求证： \angle A = \angle D C B

知识点2有两个角互余的三角形是直角三角形

5.已知 \angle A = 3 7 ^ { \circ } \angle B = 5 3 ^ { \circ } ，则 \triangle A B C 为 一

A.锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形 D.以上都不对

6.（教材P14练习T2变式）如图， E 是 \triangle A B C 的边 A C 上的一点，过点 E 作 E D \perp A B ，垂足为 D .若 \angle 1 = \angle 2 ，则 \triangle A B C 是直角三角形吗？为什么？

易错点 直角三角形中的直角顶点不确定导致漏解

7.如图，已知 \angle A O D = 3 0 ^ { \circ } , C 是射线 O D 上的一个动点.在点 C 运动的过程中，当 \triangle A O C 恰好是直角三角形时， \angle A 的度数为

第7题图

第9题图

中档题

8.（教材P21复习题T1变式)下列条件： { 1 } \angle A + \angle B = \angle C ; { 2 } \angle A : \angle B : \angle C = 5 : 3 : 2 ; ③ \angle A = 9 0 ^ { \circ } - \angle B ; \mathbb { \oplus } \angle A = 2 \angle B = 3 \angle C ; ⑤ \angle A = { / { 1 } { 2 } } \angle B = { / { 1 } { 3 } } \angle C . ∠C.其中能确定△ABC是直角三角形的有 （ ）

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

9.如图，在 \triangle A B C 中， \angle A C B = 9 0 ^ { \circ } ，将 \triangle A B C 沿 C D 折叠，使点 B 恰好落在边 A C 上的点 E 处.若 \angle A = 2 4 ^ { \circ } ，则 \angle E D C =

综合题

10. A|人大附中校本经典题如图1，在 \triangle A B C 中，A D \bot B C 于点 D , C E \bot A B 于点 E .

(1)猜测 \angle 1 与 \angle 2 的大小关系，并说明理由.
(2)如图2，如果 \angle A B C 是钝角，其余条件不变，(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由.

图1

图2

13.3.2 三角形的外角

基础题

知识点1 三角形的外角

1.图中， \angle 1 是 \triangle A B C 的外角的是

知识点2 三角形的外角的性质

2.如图， B , C , D 三点在同一条直线上， \angle B = 5 6 ^ { \circ } \angle A C D = 1 2 0 ^ { \circ } ，则 \angle A 的度数为（）

A. 5 6 ^ { \circ } （204号 （20 { B } , 6 4 ^ { \circ } （204号 { C } . 6 0 ^ { \circ } （204号 D. 7 6 ^ { \circ }

第2题图

第3题图

3.（2024·洛阳洛龙区期中）一副三角板拼成如图所示的图形，则 \angle D A C 的度数为 （）

A. { 6 0 } ^ { \circ } （204号 { B } , 7 5 ^ { \circ } （204号 { C } . 9 0 ^ { \circ } （204号 D. 1 0 5 ^ { \circ }

4.(2024·郑州期末)如图，在 \triangle A B C 中， C E 是外角 \angle A C D 的平分线，且 \angle B = 2 8 ^ { \circ } ，\angle A C E = 6 2 ^ { \circ } ，则 \angle B A C 的度数为 （ ）

A. 9 0 ^ { \circ } （204号 B.96° C.106° D. 1 2 4 ^ { \circ }

第4题图

第5题图

5.如图，已知直线 l _ { 1 } , l _ { 2 } , l _ { 3 } 两两相交，且 l _ { 1 } \perp l _ { 3 } 若 \angle α = 5 0 ^ { \circ } ，则 \angle β 的度数为

6.(教材P16习题T1变式)在如图所示的三角形中， x 的值是

第6题图

第7题图

7. 新考向 真实情境如图，这是一台放置在水平桌面上的电脑显示屏，将其侧面抽象成平面几何图形，测得 \angle A C D = 1 2 0 ^ { \circ } \angle A B C = 2 \angle B A C ，则 \angle A B C = 。

8.(2023·郑州中原区期末)如图，在 \triangle A B C 中，\angle B = \angle C , A D 平分 \triangle A B C 的外角 \angle E A C 求证： A D / / B C

知识点3 三角形的外角和

归纳：三角形的外角和等于

9.(教材P15例4变式)如图， \angle B A E , \angle C B F , \angle A C D 是 \triangle A B C 的三个外角.若 \angle A C D = 1 2 5 ^ { \circ } ，则 \angle B A E + ∠CBF=

易错点 对三角形的外角的性质理解不清致错

10.下列说法错误的是

A.一个三角形中至少有两个锐角B.一个三角形中，一个外角大于任意一个内角C.直角三角形的外角不可能是锐角D.若三角形有一个外角为锐角，则这个三角形一定是钝角三角形

中档题

11 A北师大附属实验校本经典题如图，在△ABC中，点 D 在边 A C 上(不与端点重合),连接BD.则 \angle 1 , \angle 2 , \angle 3 的大小关系是 （ ）

A. \angle 1 < \angle 2 < \angle 3
B. \angle 1 < \angle 3 < \angle 2
C. \angle 3 < \angle 2 < \angle 1
D. \angle 2 < \angle 1 < \angle 3

12. 新考向真实情境如图，这是一台起重机的工作简图，前后两次吊杆位置 O P _ { 1 } , O P _ { 2 } 与吊绳的夹角分别是 { 3 0 } ^ { \circ } 和 { 7 0 } ^ { \circ } ，则吊杆前后两次的夹角 \angle P _ { 1 } O P _ { 2 } = （）

A. { 6 0 } ^ { \circ } （204号 （204号 { B } . 5 0 ^ { \circ } （204号 （204号 { C } . 4 0 ^ { \circ } （204号 D. { 3 0 } ^ { \circ }

第12题图

第13题图

13.如图，在 \triangle A B C 中， \angle A B C = 4 0 ^ { \circ } \angle A C D = 7 6 ^ { \circ } B E 平分 \angle A B C , C E 平分 \triangle A B C 的外角\angle A C D ，则 \angle E = \_

14. A石家庄外国语校本经典题如图，在 \triangle A B C 中， D 为 A C 延长线上一点， E 为边 A B 上一点，连接 D E 交 B C 于点 F .已知 \angle B C D = 9 2 ^ { \circ } \angle A = 2 7 ^ { \circ } \angle B E D = 4 4 ^ { \circ } ，求 \angle B F D 的度数.

综合题

15.如图，在 \triangle A B C 中， \angle A C B > \angle B , A D 平分\angle B A C , P 为线段 A D 上的任意一点， E P \perp A D 交直线 B C 于点 E ：

(1)若 \angle B = 3 6 ^ { \circ } . \angle A C B = 7 8 ^ { \circ } ，则 \angle E =

(2）当点 P 在线段 A D 上运动时，求证：\angle E = / { 1 } { 2 } ( \angle A C B - \angle B ) .

微专题1 运用“飞镖形""8字形"求角度

以题明法

常用的两个基本图形公式：

飞镖形结论：如图1， \angle B O C = \angle B A C + \angle B + \angle C . （204号

推理过程：如图1，连接 ^ { A O } 并延长至点 D _ { \bullet } （2 ： \angle B O D = \angle B + \angle C O D = \angle C + :∠BOC=∠BOD+∠COD= 还可以延长 B O 交 A C 于点 E 得出此结论，试 试看吧！

图1

图2

8字形结论：如图2， \angle A + \angle B = \angle C + \angle D 推理过程：如图2， \angle A O C = \angle A + \angle A O C = \angle C + :∠A+ ∠C+

还可以根据 \angle A + \angle B + \angle A O B = \angle C + \angle D = \angle \angle C O D 得出此结论，试试看吧！

针对训练

1.如图， A B , C D 相交于点 O ，连接 A D , B C . 若 \angle A = 4 3 ^ { \circ } \angle D = 5 7 ^ { \circ } \angle C = 3 7 ^ { \circ } ，则 \angle B 的度 数为

第1题图

第2题图

第3题图

2.如图， C E 平分 \angle A C D ，交 _ { A B } 于点 \phantom { + } E . 若 \angle A = \mathit { \Theta } { 4 0 } ^ { \circ } \angle B = 3 0 ^ { \circ } \angle B D C = 1 1 0 ^ { \circ } ，则 \angle B E C 的度数 为

3. A|人大附中校本经典题如图，∠A十∠B十 \angle C + \angle D + \angle E =

小专题2三角形的角平分线、高线的夹角模型

母题： A清华附中校本经典题 如图，在\triangle A B C 中， A D , A E 分别是 \triangle A B C 的角平分线和高线， \angle A B C = α 0 \angle A C B = β ( α < β )

(1)若 α { = } 3 5 ^ { \circ } β = 5 5 ^ { \circ } ，则 \angle D A E =

(2)小明说：“无需给出 α , β 的具体数值，只需确定 β 与 α 的差值，即可确定 \angle D A E 的度数."请通过计算验证小明的说法是否正确.

变式角度2过角平分线上一点(不含端点)作该角所对边的垂线

变式角度1 高线在三角形外部，与三角形的角平分线经过三角形的同一个顶点

2.如图，在 \triangle A B C 中， \angle B < \angle C A D 平分\angle B A C , E 为 A D （不与点 A , D 重合)上任意一点， E F \bot B C 于点 F . 若 \angle B = 4 6 ^ { \circ } \angle D E F = 1 4 ^ { \circ } 求 \angle C 的度数.

1.如图，在 \triangle A B C 中， \angle B = 2 0 ^ { \circ } \angle A C B = 1 1 0 ^ { \circ } .A E 平分 \angle B A C , A D \perp B D 于点 D ，求 \angle D A E 的度数.

变式角度3过角平分线的延长线(或反向延长 线)上一点作该角所对边的垂线

3.如图，在 \triangle A B C 中，点 D E 在边 B C 上， A D 平分\angle B A C , F 为 D A 延长线上一点， F E \bot B C \angle B = 3 5 ^ { \circ } ， \angle C = 6 5 ^ { \circ } ，则 \angle D F E 的度数为

4.如图，在 \triangle A B C 中， \angle B > \angle C , A E 平分\angle B A C ，在 A E 的延长线上任取一点 M ，过点（204号 M 作 M D \perp B C 于点 D ，则 \angle M = / { 1 } { 2 } \thinspace ( \angle B - \angle C ) 成立吗？试说明理由.

小专题3 利用数学思想方法求角度

类型1 方程思想

方法归纳

当问题中角度关系较为复杂时，可通过设元，寻找已知与未知间的等量关系，构造方程实现未知向已知的转化.

1. A|清华附中校本经典题如图，在 \triangle A B C 中，\angle C = \angle A B C = / { 3 } { 2 } \angle A , B D 是边 A C 上的高.求 \angle D B C 的度数.

【变式】如图，在 \triangle A B C 中，若B D 是 \triangle A B C 的角平分线，且\angle 1 = \angle A \angle 2 = \angle C ，则 \angle A 的度数为

类型2 整体思想

方法归纳

当题目中的条件或结论是以某几个元素的整体呈现时，则可以将其视为一个整体，运用整体思想求值.

2. A石家庄外国语校本经典题 如图， \angle E C A \angle D A C 分别是△ABC的两个外角.

(1)若 \angle B = 5 0 ^ { \circ } ，求 \angle E C A + \angle D A C 的度数. （2）若 \angle B = α ，请用含 α 的代数式表示 \angle E C A + \angle D A C 的度数.(直接写出结果)

3.小明把一副含 { 4 5 ^ { \circ } , 3 0 ^ { \circ } } 的直角三角板按如图所示的方式摆放，其中 \angle C = \angle F = 9 0 ^ { \circ } ， \angle A = 4 5 ^ { \circ } \angle D = 3 0 ^ { \circ } ，则 \angle α + \angle β = 类型3 转化思想

方法旧纳

转化思想是把一个未知(待解决)的问题化为已解决的或易于解决的问题来解决.（常常可以运用“8字形”进行导角）

4.如图， \angle A + \angle B + \angle C + \angle D + \angle E 的度数为

第4题图

第5题图

5.小慧一笔画成了如图所示的图形，若 \angle A = { 6 0 } ^ { \circ } ，则 \angle B + \angle C + \angle D + \angle E = （）

A. { 1 8 0 } ^ { \circ } （204号 B.240° C. 2 7 0 ^ { \circ } （204号 D. 3 0 0 ^ { \circ }

类型4 分类讨论思想

方法归纳

当图形的形状或位置不明确，可能出现不同情况时，则需要根据可能出现的情况分类讨论求解.

A|石家庄外国语校本经典题 | { \triangle A B C } \rvert 的一个内角为 { 4 0 } ^ { \circ } ，且 \angle A = \angle B ，则 \angle C 的外角是

7.(2024·洛阳期末)如图，在\triangle A B C 中， \angle C = 9 0 ^ { \circ } ∠B=3 4 ^ { \circ } ，点 M , N 分别在边 A B ，B C 上，将 \triangle B M N 沿MN折叠，使点 B 落在直线 \vert A C \vert 上的点\boldsymbol { B ^ { \prime } } 处.当 \triangle A B ^ { \prime } M 为直角三角形时，\angle B N M 的度数为

小专题4三角形中内、外角平分线的常见模型

模型旧纳

【模型1】两内角平分线的夹角

【条件】 BP平分 \angle A B C C P 平分 \angle A C B

【结论】 \angle P = 9 0 ^ { \circ } + { / { 1 } { 2 } } \angle A

模型探究

【模型2】一内角平分线与一外角平分线的夹角

【条件】 B P 平分∠ABC,CP平分 \angle A C D

【结论】 \angle P = / { 1 } { 2 } \angle A

【模型3】两外角平分线的夹角

【条件】 B P 平分 \angle D B C , C P 平分 \angle B C E

【结论】 \angle P = 9 0 ^ { \circ } - { / { 1 } { 2 } } \angle A

母题 两内角平分线的夹角

【例】（教材P22复习题T8节选)如图，\triangle A B C 的 \angle A B C 和 \angle A C B 的平分线 B E , C F 相交于点 G .求证： \angle B G C = 9 0 ^ { \circ } + { / { 1 } { 2 } } \angle A

变式角度1一内角平分线与一外角平分线的夹角

【变式1】如图所示， P 是 \triangle A B C 的内角\angle A B C 和外角 \angle A C D 的平分线的交点，试探究\angle P 与 \angle A 之间的数量关系.

变式角度2 两外角平分线的夹角

【变式2】如图所示， P 是 \triangle A B C 的两个外角 \angle E B C 和 \angle F C B 的平分线的交点，试探究\angle P 与 \angle A 之间的数量关系.

变式角度3 三等分线

【变式3】如图，已知 \angle P B C = / { 1 } { 3 } \angle D B C \angle P C B = / { 1 } { 3 } \angle E C B ，试探究 \angle B P C 与 \angle A 之间的数量关系.

模型识别与运用

1.(2024·信阳平桥区期中）如图，在 \triangle A B C 中，B O , C O 分别平分 \angle A B C , \angle A C B , C E 为外角\angle A C D 的平分线，交 B O 的延长线于点 E ，记\angle B A C = \angle 1 \angle B E C = \angle 2 ，则下列结论中错误的是 （）

A. \angle 1 = 2 \angle 2 B. \angle B O C = 3 \angle 2 { C } . \angle B O C = 9 0 ^ { \circ } + { / { 1 } { 2 } } \angle 1 D. \angle B O C = 9 0 ^ { \circ } + \angle 2

2.如图，在 \triangle A B C 中， \angle A B C , \angle A C B 的三等分线分别对应交于点 E , D . 若 \angle E = 9 0 ^ { \circ } ，则\angle B D C 的度数为 ， \angle A 的度数为

第2题图

第3题图

3.如图， \triangle A B C 的两条内角平分线 B O , C O 相 交于点 O ，两条外角平分线 B P , C P 相交于点 P .已知 \angle B O C = 1 2 0 ^ { \circ } ，则 \angle P = \_

4. A清华附中校本经典题 【问题背景 bf { \em { 1 } } 已知\angle M O N { = } 9 0 ^ { \circ } ，点 A , B 分别在 O M , O N 上运动(不与点 o 重合).

【问题思考】

(1)如图1所示， A E , B E 分别是 \angle B A O \angle A B O 的平分线，随着点 A , B 的运动，求 \angle A E B 的度数.

（2)如图2所示， B C 是 \angle A B N 的平分线， B C 的反向延长线与 \angle B A O 的平分线交于点D .如果 \angle M O N = α ，其余条件不变，随着点 A , B 的运动，求 \angle D 的度数.（用含 α 的式子表示)

图1

图2

章末复习（一） 三角形

河南考点针对练 《

考点1 三角形的概念

1.如图，在 \triangle A B C 中， A B = B C = A C , B D \bot A C 垂足为 D ，点 E 在边 B C 的延长线上，且有\begin{array} { r } { C E = C D , D B = D E . } \end{array}

(1)以点 C 为顶点的三角形有；以 \boldsymbol { C D } 为边的三角形有

(2)图中的等腰三角形有；等边三角形有(3)图中的直角三角形有 ；钝角三角形有

考点2 三角形的边

2. 新考向开放性问题（2024·洛阳新安县期末)已知三角形两边的长分别是4和10，写出第三边长的一个整数值：(写一个即可)

3.（2024·洛阳二外月考）从数学角度看下列四幅图片有一个与众不同，该图片是 （

4.(2023·焦作期末)小明想做一个三角形的框架，他有两根长度分别为 4 \ {cm } 和 6 ~ {cm } 的细木条，需要将其中一根木条分为两段.若不考虑损耗和接头部分，则可以分成两段的是 （）

A. 4 ~ { {cm } } 的木条 B. 6 ~ {cm } 的木条C.两根都可以 D.两根都不行

考点3三角形的中线、角平分线、高

5.（2024·洛阳涧西区月考）如图，在 \triangle A B C 中，A D 是高， A E 是角平分线， A F 是中线，则下列说法错误的是 （ ）

A. B { \cal F } { = } C { \cal F }
B. \angle C + \angle C A D = 9 0 ^ { \circ }
C. \angle B A F { = } \angle C A F
D. S _ { \triangle A B C } = 2 S _ { \triangle A B F }

6.(2024·洛阳洛宁县期末)等腰三角形的底边长为 5 \ {cm } ，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为 3 \ {cm } ，则腰长为

考点4三角形的内角与外角

7.(2024·周口扶沟县期末)在下列条件中，能确定 \triangle A B C 是直角三角形的条件是（）

A \angle A + \angle B = 2 \angle C \quad { B } . \angle C = \angle B { C } . \angle A + \angle B = \angle C \quad \quad { D } . \angle A - \angle B = 9 0 ^ { \circ }

8.（2023·聊城)如图，分别过 \triangle A B C 的顶点 A .B 作 A D / / B E . 若 \angle C A D = 2 5 ^ { \circ } \angle E B C = 8 0 ^ { \circ } 则 \angle A C B 的度数为 （ ）

A. 6 5 ^ { \circ } （204号 B. 7 5 ^ { \circ } （204号 C.85° D. 9 5 ^ { \circ }

第8题图

第9题图

9.(2024·洛阳期末)将一副三角板按照如图方式摆放，点 C , B , E 共线， \angle F E B = 6 5 ^ { \circ } ，则\angle E D B 的度数为 （ ）

A. 1 8 ^ { \circ } （204号 B.15° （204号 { C } . 1 2 ^ { \circ } （204号 D. { 1 0 } ^ { \circ }

10.（2024·洛阳洛龙区期中）如图， B D 是\angle A B C 的平分线， A D \perp B D ，垂足为 D .\angle D A C = 2 0 ^ { \circ } \angle C = 3 8 ^ { \circ } ，则 \angle B A D = ( ）

A. 5 0 ^ { \circ } { B } . 5 8 ^ { \circ } { C } . 6 0 ^ { \circ } D. 6 2 ^ { \circ }

11.（2023·濮阳范县期中)如图，这是可调节躺椅的示意图(数据如图)， A E 与 B D 的交点为 C 且 \angle C A B , \angle C B A , \angle E 保持不变.为了舒适，需调整 \angle D 的大小，使 \angle E F D = 1 1 0 ^ { \circ } ，则图中 \angle D 应 (填"增加"或"减少”)

第11题图

第12题图

12.(2024·郑州经开外国语期末)如图，将 \triangle A B C 沿 D E , E F 翻折，顶点 A , B 均落在 点 O 处，且 E A 与 E B 重合于线段 E O ，若 \angle C D O + \angle C F O = 1 0 4 ^ { \circ } ，则 \angle C 的度数为

13.(2024·许昌长葛市期中)定义：在一个三角形中,如果有一个角是另一个角的 / { 1 } { 2 } ，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”.例如：在 \triangle A B C 中，如果\angle A = 8 0 ^ { \circ } = \angle B = 4 0 ^ { \circ } ，那么 \angle A 与 \angle B 互为“友爱角”， \triangle A B C 为“友爱三角形”

(1)如图 1 , \triangle A B C 是“友爱三角形”，且 \angle A 与 \angle B 互为“友爱角”（ \angle A > \angle B ），\angle A C B = 9 0 ^ { \circ }

① 求 \angle A , \angle B 的度数.

② 若 C D 是 \triangle A B C 中边 A B 上的高，则\triangle A C D \triangle B C D 都是“友爱三角形”吗？为什么？

图1

(2）如图2，在 \triangle A B C 中， \angle A C B = 7 0 ^ { \circ } .\angle A = 6 6 ^ { \circ } , D 是边 _ { A B } 上一点（不与点A , B 重合)，连接 C D ，若 \triangle A C D 是“友爱三角形”，直接写出 \angle A C D 的度数.

图2

核心素养提升练《

14.（2023·衢州)如图，这是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角 \angle O 的大小，需将 \angle O 转化为与它相等的角，则图中与 \angle O 相等的角是 （）

A. \angle B E A B.∠DEB C.∠ECA D.∠ADO

第14题图

第15题图

15. 新考向 跨学科实践小组利用激光笔和平面镜演示平行光的反射实验.如图，一组平行光线 { \mathbf { \omega } } _ { a , b , c } 经过平面镜反射后得到一组互相平行的反射光线.若 \angle 1 = \angle 2 = 6 5 ^ { \circ } ，则 \angle 3 的度数为

16. 新考向 数学文化（2023·株洲)《周礼·考工记》中记载：“半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之(zhu)"意思是：“直角的一半的角叫作宣，一宣半的角叫作"

(1宣 = / { 1 } { 2 } 矩，1 = 1 / { 1 } { 2 } 宣，1矩 { \mathit { \Omega } } = 9 0 { \mathit { \Omega } } ^ { \circ } . 0问题：图1为中国古代一种强弩图，图2为这种强弩图的部分组件的示意图.若 \angle A = 1矩， \angle B = 1 ，则 \angle C =

图1

图2

数学活动

数学活动1 搭等边三角形

请根据上述材料，画出相应的示意图，并完成下表，

数学活动2 多边形的三角剖分

已知：把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段(这些线段不在多边形内部相交)划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分.如图所示的是七边形的三角剖分的几种方法，

(1)请画出六边形的一种三角剖分方法，并指出能剖分出多少个三角形.

(2)对于一个 n 边形的一种三角剖分，若这些三角形的内角总和是 { 1 ~ 8 0 0 } ^ { \circ } ，求 n 的值.

(3)一个多边形，往往有多种方法进行三角剖分.记 n 边形三角剖分的方法数为 D _ { n } ，则当n≥3时，Dn / { D _ { n + 1 } } { D _ { n } } = / { 4 n - 6 } { n } 6.已知D3=1,求五边形的三角剖分方法数 D _ { 5 }

综合与实践 确定匀质薄板的重心位置

活动1确定简单平面图形的重心位置

1.对于一个形状规则的匀质长方形薄板，其重心位置在 （）

A.长方形的任意一个顶点处B.长方形两条对角线的交点处C.长方形的一条边上
D.长方形的外部

2.如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点 A , B , C , D , E , F , G 在小正方形的格点上，则 \triangle A B C 的重心是 （）

A.点 D （204号 B.点 E （204号 C.点 F （204号 D.点 G

3.发现与探究：三角形三条中线的交点叫三角形的重心.重心是个物理名词.从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心.如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心 o 处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态.为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案.

如图 2 , A D 是 \triangle A B C 的中线， \triangle A C D 与 \triangle A B D 等底等高，面积相等，记作 S _ { \triangle A C D } { = } S _ { \triangle A B D }

如图3，若 \triangle A B C 的三条中线 A D , B E , C F 相交于点 G ，则 G D 是 \triangle G B C 的中线，利用上述结论可得 S _ { \triangle G C D } = S _ { \triangle G B D } ，同理 S _ { \triangle G B F } = S _ { \triangle G A F } ，S _ { \triangle G A E } = S _ { \triangle G C E }

图1

图2

图3

图4

(1)如图3，设 { \cal S } _ { \triangle G C D } = x , { \cal S } _ { \triangle G B F } = y , { \cal S } _ { \triangle G A E } = z ，猜想 x , y , z 之间的数量关系，并证明你 的猜想.

(2)由(1)可知，被三条中线分成的六个三角形面积 .如果 \triangle A B C 的面积为\mathbf { \Psi } _ { m } ,那么用含有 \mathbf { \Psi } _ { m } 的式子表示 \triangle B G C 的面积为 ? B G : G E { = }

(3)如图 4 , \triangle A B C 的两条中线 B D , C E 相交 于点 G ，点 G 是 \triangle A B C 的重心， B D = 6 C E { = } 9 , B D \bot C E 求四边形 A E G D 的面积.

活动2确定平面组合图形的重心位置

4.物体受重力作用的作用点叫作这个物体的重心.例如：一根均匀的木棒，重心是木棒的中点；一块均匀的三角形木板，重心就是这个三角形木板三条中线的交点等等.

(1)你认为平行四边形的重心位置在哪里？(2)现有如图所示的一块均匀模板，请只用无刻度直尺和铅笔画出它的重心.

期末复习（一） 三角形

知识结构图

三角形的有关概念及分类
三 三角形三边的关系与三角形有关的线段
角 三角形的中线、角平分线、高
形 三角形的内角和三角形的内角与外角三角形的外角

(2)求 A C 的长.

【解答】

重难点突破

重难点1 三角形的有关概念及分类

【例1】如图，过 A , B , C , D , E 五个点中的任意三点画三角形.(1)以AB为边画三角形，能画几个？写出所画的三角形.(2)分别指出(1)中三角形中的等腰三角形和钝角三角形.

【解答】

变式训练

1.如图， A B = A C = B C , B D = D O = O E = E C . （20

(1)图中有 个三角形.
（2）图中的等腰三角形有，等边三角形有

重难点2 三角形的三边关系

【例2】如图，数轴上 A , B 两点到原点的距离是三角形两边的长，则该三角形第三边的长可能是 （）

变式训练

2.若 { \mathbf { α } } _ { a , b } 是等腰三角形 A B C 中两边的长，且满足 \left| a - 3 \right| + ( b - 7 ) ^ { 2 } = 0 ，则此三角形的周长是（）

A.13 B.17 C.13或17D.20

重难点3 与三角形有关的线段

【例3】如图， \triangle A B C 的边 B C 上的高为A F ，中线为 A D ，边 A C 上的高为 B G ，已知 A F = 6 , B D = 1 0 , B G = 5 .

(1)求 \triangle A B C 的面积.

方法指导

三角形的三条重要线段的作用： ① 中线等分边且等分三角形的面积； ② 高垂直于边计算面积； ③ 角平分线平分角求角的度数.

变式训练

3.如图， A D , C E 都是 \triangle A B C 的中线，连接 E D \triangle A B C 的面积是 1 0 \ {cm } ^ { 2 } ，则 \triangle B D E 的面积是（）

A * 1 . 2 5 \ {cm } ^ { 2 } B. { 2 \cm ^ { 2 } } （204号{ C . 2 . 5 ~cm ^ { 2 } } { D } . 5 \ {cm } ^ { 2 } （204号

4.在 \triangle A B C 中， D 是 B C 的中点， \scriptstyle A B = 1 2 , A C = 8.用剪刀从点 D 开始进行裁剪，若沿 D A 剪成两个三角形，则它们周长的差为 ；若点 E 在 A B 上，沿 D E 剪开得到两部分周长差为2，则 A E =

重难点4 与三角形有关的角

【例4】（2024·信阳期中)如图，在 \triangle A B C 中，三个内角的平分线交于点 o ，过点 o 作O D \bot O B ，交边 B C 于点 D * \triangle A B C 的外角平分线BF与 C O 的延长线相交于点 F ：

(1)求证： B F / / O D

【解答】

(2)若 \angle F = 3 5 ^ { \circ } ，求 \angle B A C 的度数.

【解答】

变式训练

5.如图，在 \triangle A B C 中， \angle B = \angle C = 4 5 ^ { \circ } ，点 D 在边 B C 上，点 \boldsymbol { E } 在边 A C 上，且 \angle A D E = \angle A E D ，连接 D E

(1)当 \angle B A D = 6 0 ^ { \circ } 时，求 \angle C D E 的度数.
(2)当点 D 在边 B C （点 ^ { B , C } 除外)上运动时，试写出 \angle B A D 与 \angle C D E 的数量关系，并说明理由.

复习自测《

一、选择题(每小题5分，共30分）

1.下列各组长度的三条线段中，能组成三角形的是 （）

A.3,4,8 B.5,6,11
C.5,6,10 D.5,5,10

2.下图是一个起重机的实物图，在起重架中间增加了很多斜条，它所运用的几何原理是（）

A.三角形两边之和大于第三边B.三角形具有稳定性

C.三角形两边之差小于第三边D.直角三角形的两锐角互余

第2题图

第3题图

3.如图，点 E , D 分别在 A B , A C 上.若 \angle A = 9 5 ^ { \circ } ，则 \angle 1 + \angle 2 + \angle B + \angle C 的度数为（ ）

A. { 1 7 0 } ^ { \circ } B. { 1 8 0 } ^ { \circ } （204号 C. { 1 9 0 } ^ { \circ } （204号 D. 2 { 0 0 } ^ { \circ }

4.如图， \mathbf { \Psi } _ { A , B , C , D , E } 五点都在小正方形网格的格点上，则下列各组点能构成等腰三角形的是 （）

A. A , C , E { B } , B , C , D { C } , A , D , E D . A , B , C

第4题图

第5题图

5.如图，在 \triangle A B C 中， D 是边 B C 上一点， \angle 1 = \angle 2 , \angle 3 = \angle 4 \angle B A C = 8 1 ^ { \circ } ，则 \angle D A C 的度数为 （）

A. { 4 4 } ^ { \circ } （204号 B.46° C. 4 8 ^ { \circ } D. 5 0 ^ { \circ }

6.如图所示，在 \triangle A B C 中，点 D , E , F 分别在三角形的三边上， E 是 A C 的中点， A D , B E , C F 相交于点 G , B D = 2 D C , S _ { \triangle G E C } = 3 , S _ { \triangle G D C } = 4 ，则 \triangle A B C 的面积是 【 ）

A.25
B.30
C.35
D.40

二、填空题(每小题5分，共20分）

7.如图，以 \angle B 为一个内角的三角形有 个.

第7题图

第8题图

8.如图，在 \triangle A B C 中， \angle C = 6 5 ^ { \circ } ，过点 A 作A D \bot B C 于点 D , \angle 1 = \angle 2 ，则 \angle B A C =

9.如图，点 M , N 分别在 O A , O B 上， M C 平分 \angle A M N ，NC平分 \angle B N M . 若 \angle A O B = 6 8 ^ { \circ } 则 \angle M C N 的度数为

10.当三角形中一个内角 α 是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中 α 称为“特征角”.如果一个“特征三角形”的一个内角为 4 2 ^ { \circ } ，那么这个“特征角” α 的度数为

三、解答题（共50分）

11.(10分)如果一个三角形的一边长为 9 \ {cm } ，另一边长为 1 \ {cm }

(1)求这个三角形的第三边的取值范围.

（2)当第三边的长为奇数时，求三角形的周长，

12.(12分)如图，在△ABC中，已知 A D 是角平分线， \angle B = 7 0 ^ { \circ } \angle C = 4 0 ^ { \circ } ：

(1)求 \angle A D B 的度数.

(2)若 D E \bot A C 于点 E ，求 \angle A D E 的度数.

13.（13分)（2023·焦作期末)如图1，线段 A B C D 相交于点 O

(1)求证： \angle A + \angle C = \angle D + \angle B (2）如图2，线段 A B , C D 相交于点 O .\angle A C D 和 \angle D B A 的平分线相交于点 E .B E , C D 相交于点 M , A B , C E 相交于点N .若 \angle A = 5 0 ^ { \circ } \angle D = 3 0 ^ { \circ } ，请结合(1)中的结论，求 \angle E 的度数.

图1

图2

14.(15分)在平面直角坐标系中，将等腰直角三角板 O A B ( \angle O A B { = } \angle O B A { = } 4 5 ^ { \circ } ) 的直角顶点放在原点处，直角边 O B , O A 分别在 x 轴、y 轴上，点 A 的坐标为(0，4).

(1)如图 1 , D 为 _ { A B } 上一点，且 { \cal S } _ { \triangle A O D } = S _ { \triangle B O D } ，求点 D 的坐标.

(2)若将另一直角三角板OEF（ \angle O F E = { 3 0 } ^ { \circ } )的直角顶点放在原点处（如图2)，直角边 _ { O F , O E } 分别在 x 轴、 y 轴上， E F 交A B 于点 G , \angle A O B 的平分线与 \angle A G F 的平分线相交于点 P ，求 \angle P 的度数.

图1

图2