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同步训练

数学

选择性必修 第一册

河北人民出版社组织编写

A版

河北人民出版社

目 录

第一章 空间向量与立体几何

1.1 空间向量及其运算

1. 1. 1 空间向量及其线性运算
1. 1. 2 空间向量的数量积运算 6

1.2空间向量基本定理

1.3空间向量及其运算的坐标表示·· 14

1.3.1 空间直角坐标系 14
1.3.2 空间向量运算的坐标表示· 18

1.4空间向量的应用· 21

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 21

第1课时用空间向量研究直线、平面的平行关系·…· 21
第2课时 用空间向量研究直线、平面的垂直关系·…·· 25
1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 29
第1课时用空间向量研究距离问题 29
第2课时用空间向量研究夹角问题 33

章末核心素养整合 38

第二章 直线和圆的方程

2.1直线的倾斜角与斜率· 44
2.1.1 倾斜角与斜率· 44
2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 47
2.2 直线的方程·· 51
2.2.1 直线的点斜式方程， 51
2.2.2 直线的两点式方程··· 54
2.2.3 直线的一般式方程· 58

2.3 直线的交点坐标与距离公式· 62

2.3.1 两条直线的交点坐标·…· 62
2.3.2 两点间的距离公式·· 62
2.3.3 点到直线的距离公式· 65
2.3.4 两条平行直线间的距离··· 65

习题课一直线中的对称问题 69

2.4 圆的方程 70
2. 4.1 圆的标准方程·· 70
2.4.2 圆的一般方程· 74

2.5直线与圆、圆与圆的位置关系 /

2.5.1直线与圆的位置关系·

第1课时 直线与圆的位置关系 77
第2课时 直线与圆的方程的应用 81

2.5.2圆与圆的位置关系 84

章末核心素养整合 88

第三章 圆锥曲线的方程

3.1 椭圆· 92

3.1.1 椭圆及其标准方程·· 92
3.1.2 椭圆的简单几何性质··· 95
第1课时 椭圆的简单几何性质 95
第2课时 直线与椭圆的位置关系 99

3.2 双曲线 103

3.2.1 双曲线及其标准方程 103
3.2.2 双曲线的简单几何性质 106

3.3抛物线 111

3.3.1 抛物线及其标准方程 111
3.3.2 抛物线的简单几何性质 114

习题课二 直线与圆锥曲线的综合问题 117

章末核心素养整合· 121

课时训练(单独成册) 125
章末检测卷(单独成册) 189
答案与解析(单独成册) 253

第一章 空间向量与立体几何

1.1 空间向量及其运算

1.1.1 空间向量及其线性运算

素养·目标定位

课前 基础认知

1.空间向量的有关概念

(1)定义:在空间，我们把具有 和的量叫做空间向量.

(2)长度或模：空间向量的 叫做 空间向量的长度或模.

① 字母表示法：空间向量用字母表示.② 几何表示法：空间向量用表表示， 的长度表示空间(3)示法 向量的模.若向量 bf{\em a} 的起点是 A ，终点是 B ,则向量 bf{\em a} 也可以记作,其模记为 或(4)几类特殊的空间向量微训练 下列说法正确的是(

A.所有的单位向量都相等B.零向量没有方向C.方向相反的两个向量是相反向量D.方向相同、模相等的两个向量是相等向量

2.空间向量的线性运算

(1)空间向量的加法、减法以及数乘运算由图 ② 知当 λ>0 时， λ{±b a}=λ\overrightarrow{O A}= \*当 λ{<}0 时， λ{±b a}=λ\overrightarrow{O A}=\underline{{\ }}~\_~ ；当 λ{=}0 时， λ a=\_

(2)空间向量的线性运算满足以下运算律(其中 λ,\mu\in\mathbf{R}) 交换律： \mathbf{\nabla}_{:a+b=}\qquad\mathbf{\nabla}_{-} ；结合律： ({±b a}+{±b b})+{±b c}={±b a}+({±b b}+{±b c}),λ({±b\mu}{±b a})= 分配律： (λ+\mu)±b{a}=λ±b{a}+\mu±b{a},λ(±b{a}+±b{b})=

(3)对于三个不共面的向量 ^{a,b,c} ，以任意点 O 为起点， ^{a,b,c} 为邻边作平行六面体，则 ^{a,b,c} 的和等于以 为起点的平行六面体 所表示的向量.

3.共线向量与共面向量

(1)有关概念

(2)向量共线与共面的充要条件

① 共线：对任意两个空间向量 a,b\left(b\neq 0)， \mathbf{{}}a//b 的充要条件是存在实数 λ ，使

由图 ① 知 a+b=OA+AB = \begin{array}{r}{a-b=}{}\end{array} OA-OC=

② 共面：如果两个向量 ^{a,b} 不共线，那么向量 ±b{p} 与向量 ^{a,b} 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对 (\boldsymbol{\mathbf{\mathit{x}}},\boldsymbol{\mathbf{\mathit{y}}}) ，使

·微判断判断.（正确的打“√”,错误的 打“ x\prime\prime o

(1)在平面内共线的两个向量在空间中不一定共线. ）(2)在空间中共线的两个向量在平面内一定共线. （ ）

(3)若两个空间向量所在的直线是异面直
线，则这两个向量不是共面向量. ）(4)若三个向量 ^{a,b,c} 两两共面，则 ^{a,b} ”
\boldsymbol{\mathbf{\mathit{c}}} 三个向量一定也共面. ( ）

课堂 重难突破

空间向量的有关概念

典例剖析

1.(1)下列说法正确的是( ）

A.若 \left|\boldsymbol{a}\right|=\left|\boldsymbol{b}\right| ，则 ^{a,b} 的模相等，方向相同或相反B.若向量 bf{\em a} 是向量 bf{it{b}} 的相反向量，则|{±b a}|=|{±b b}| C.不相等的两个空间向量，它们的模必不相等D.在四边形ABCD中，一定有 \overrightarrow{A B}+ \stackrel{\longrightarrow}{A D}=\stackrel{\longrightarrow}{A C}

（2）如图所示，在长方体ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中， * A B{=}4,A D{=}2,A A_{1}{=}1 ，以该长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中,单位向量共有 个，模为 *√(5) 的所有向量为

学以致用

A. \overrightarrow{A C_{1}} 与 \overrightarrow{A_{1}C} B. \overrightarrow{A D_{1}} 与 \overrightarrow{B_{1}D} C.AC 与 \overrightarrow{C_{1}A_{1}}^{*} D. \overrightarrow{C C_{1}} 与 \overrightarrow{A_{1}A}

1.（多选题）如图所示，在平行六面体ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，给出下列四对向量，其中是相反向量的有（ ）

空间向量的线性运算的应用

典例剖析

2.如图，在平行六面体A B C D-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，设\overrightarrow{A A_{1}}={±b a},\overrightarrow{A B}={±b b},\overrightarrow{A D}={±b c}, M,N,P 分别是 \mathbf{A}A_{1} ， B C ，\boldsymbol{C}_{1}\boldsymbol{D}_{1} 的中点，试用 a,b,c 表示以下各向量：

数学 ·第一章 空间向量与立体几何

互动探究

1.(变条件)若把本例中“ P 是 C_{1}D_{1} 的中点"改为“点 P 在线段 C_{1}D_{1} 上,且 (C_{1}P)/(P D_{1)}{=}(1)/(2), 其他条件不变，如何表示 \overrightarrow{A P} ？

2.（变问法）本例其他条件不变，若 O 是B_{1}D_{1} 的中点，试用 ^{a,b,c} 表示向量 \overrightarrow{A O} 电

规律总结 用已知向量表示未知向量时要注意两个方面：

(1)熟练掌握空间向量的线性运算及运 算律； (2)数形结合思想的运用. I

学以致用

2.如图，在平行六面体 A B C D-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中 \boldsymbol{*}\boldsymbol{O} 为 A C 的中点.

(1)化简： \overrightarrow{A_{1}O}-(1)/(2)\overrightarrow{A B}-(1)/(2)\overrightarrow{A D}

(2)设 E 是棱 D D_{1} 上的点，且 {\overrightarrow{D E}}= (2)/(3)\overrightarrow{D D_{1}} 试用 \overrightarrow{A B},\overrightarrow{A D},\overrightarrow{A A_{1}} 表示 \overrightarrow{E O} ，

空间向量共线问题

典例剖析

3.如图，已知四边形ABCD是空间四边形， E,H 分别是 A B,A D 的中点， F ，G 分别是 C B,C D 上的点，且 \overrightarrow{C F}=(2)/(3)\overrightarrow{C B},\overrightarrow{C G}=(2)/(3)\overrightarrow{C D}. 求证：四边形 EFGH是梯形.

院伊心知

1.利用空间向量共线证明线线平行时，应注意两个向量共线与两条直线平行的区别.

2.判断或证明两个空间向量 a,b(b\neq 0)共线，就是寻找实数 λ ，使 \scriptstyle{±b{a}}=λ{±b{b}} 成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表示 ^{a,b} ， n

(1)OM+OB=3OP-OA ;
(2)OP =4OA -OB -OM.

学以致用

3.如图，在正方体 A B C D-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，E 在 A_{1}D_{1} 上,且 \overrightarrow{A_{1}E}=2\overrightarrow{E D_{1}} ” F 在 A_{1}C 上，且 \overrightarrow{A_{1}F}=(2)/(3)\overrightarrow{F C} 求证： \boldsymbol{E},\boldsymbol{F},\boldsymbol{B} 三点共线。

5.已知 A,B,C 三点不共线， O 为空间内 任意一点，点 M 满足 \overrightarrow{O M}=(1)/(3)\overrightarrow{O A}+(1)/(3)\overrightarrow{O B}+ (1)/(3)\overrightarrow{O C}

(1)\overrightarrow{M A},\overrightarrow{M B},\overrightarrow{M C} 是否共面?(2)点 M 是否在平面 A B C 内？

四 空间向量共面问题

典例剖析

4.已知 A,B,M 三点不共线， O 为平面ABM外任意一点，判断在下列条件下， P,A ，^{B,M} 四点是否共面.

规律总结 利用向量证明空间一点 P 与不共线的三点 A,B,M 共面的常用方法（其中 x,y,z\in\mathbf{R})

(1)证明 \overrightarrow{M P}=x\overrightarrow{M A}+y\overrightarrow{M B}

(2)对于空间任意一点 O ，证明 \overrightarrow{O P}=\vert \overrightarrow{O M}+x\overrightarrow{M A}+y\overrightarrow{M B}.

(3)对于空间任意一点 o ，证明 \begin{array}{r}{\overrightarrow{O P}=}\end{array} \mid\neg\overrightarrow{O A}+\neg\overrightarrow{O B}+z\overrightarrow{O M},x+y+z=1. n

数学 ·第一章 空间向量与立体几何

学以致用

4.如图，若 P 为平行四
边形ABCD所在平面外一
点,H为 PC 上的点,且 (P H)/(H C)=(β^{2}-β^{2})/(C)
(1)/(2) ，点 G 在 A H 上， (A G)/(A H){=}m ，若 G,B,P,D

四点共面,求 \mathbf{\Omega}_{m} 的值.

随堂训练

1.（多选题）已知向量 a,b 互为相反向量，|b|=3 ，则下列结论错误的是（ ）

A. \scriptstyle{±b{a}}={±b{b}} B.{±b{a}}+{±b{b}}=0
C. bf{\em a} 与 bf{it{b}} 方向相同 D. |{±b a}|=3

2.在平行六面体 A B C D-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，向量\overrightarrow{D_{1}A},\overrightarrow{D_{1}C},\overrightarrow{A_{1}C_{1}} 是( ）

A.有相同起点的向量
B.模相等的向量
C.共面向量
D.不共面向量

3.在空间四边形ABCD中，已知 G 为 C D 的中点，则 {\overrightarrow{A B}}+{(1)/(2)}({\overrightarrow{B D}}+{\overrightarrow{B C}}) 等于( ）

4.已知点 A,B,C 不共线，对空间任意一点 O 若 \overrightarrow{O P}=(3)/(4)\overrightarrow{O A}+(1)/(8)\overrightarrow{O B}+(1)/(8)\overrightarrow{O C} 则 P ，\scriptstyle A,B,C 四点( ）

A.不共面
B.共面
C.不一定共面
D.无法判断是否共面

5.设 ^{a,b} 是空间中两个不共线的向量，已知 {\overrightarrow{A B}}={} 9a+m b,\overrightarrow{B C}=-2a-b,\overrightarrow{D C}=a-2b 且 A ，B,D 三点共线，则实数 m=.

1.1.2 空间向量的数量积运算

素养·目标定位

课前 基础认知

1.空间向量的夹角

(1)定义:如图,已知两个非零向量 ^{a,b} ，在空间任取一点 O ，作 {\overrightarrow{O A}}=\mathbf{{}}a ， {\overrightarrow{O B}}=±b{b} ，则叫做向量 ^{a,b} 的夹角，记作 ⟨ a,b⟩ ：

(2)通常规定， 0{<=slant}⟨ a,b⟩{<=slant}π. 这样，两个向量的夹角是唯一确定的，且 ⟨±b{a},±b{b}⟩=⟨±b{b},±b{a}⟩ .如果 ⟨ a,b⟩= ，那么向量 ^{a,b} 互相垂直，记作 a\perp b ：

·微拓展1.当 ⟨ a,b⟩=0 时， bf{\em a} 与 bf{it{b}} 同向； 当 ⟨ a,b⟩{=}π 时， bf{\em a} 与 bf{it{b}} 反向；反之,若 ±b{a}//±b{b} ，则 ⟨ a,b⟩=0 或 π ，

{\mathfrak{z}}.⟨ a,-b⟩=⟨-a,b⟩={π}-⟨ a,b⟩,⟨-a, -±b{b}⟩=⟨±b{a},±b{b}⟩

2.空间向量的数量积

(1)定义：已知两个非零向量 ^{a,b} ，则 叫做 ^{a,b} 的数量积,记作 bf{\em a} · bf{it{b}} .即 {\mathbf{}}a*{\mathbf{}}b={()/()} .特别地,零 向量与任意向量的数量积为

(2)性质：
当 \scriptstyle a\neq0,b\neq0 时，有
\begin{array}{r l}&{\mathbb{O}±b{a}\bot\boldsymbol{b}\leftrightarrow\varprojlim;}\\ &{\mathbb{O}±b{a}*\boldsymbol{a}=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{a}|\cos⟨\boldsymbol{a}*\boldsymbol{a}⟩=\varprojlim.}\end{array} (3)运算律：
\begin{array}{r}{①(λ±b{a})\bullet b=λ(±b{a}*±b{b}),λ\in\mathbf{R};}\end{array}
②\mathbf{{\boldsymbol{a}}}*\mathbf{{\boldsymbol{b}}}{=}\mathbf{{\boldsymbol{b}}}*\mathbf{{\boldsymbol{a}}} (交换律);
③({±b a}+{±b b})*{±b c}={±b a}*{±b c}+{±b b}*{±b c} (分配律).

·微训练1 已知正四面体OABC的棱长为1,则 \overrightarrow{O A}*\overrightarrow{B C} 的值为( ）

A.0 B.1 (1)/(2) D. 2

3.空间向量的投影

(1)向量在向量上的投影向量

如图 ① ,在空间,向量 bf{\em a} 向向量 bf{it{b}} 投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面 α 内，进而利用平面上向量的投影,得到与向量 bf{it{b}} 共线的向量 \mathbf{\nabla}c\mathbf{\nabla},c=\mathbf{\nabla}. ,向量 \boldsymbol{\mathbf{\mathit{c}}} 称为向量 bf{\em a} 在向量 bf{it{b}} 上的投影向量.

(2)向量在直线上的投影向量

如图 ② ，类似于向量 bf{\em a} 向向量 bf{it{b}} 投影，可以将向量 bf{\em a} 向直线 l 投影.

(3)向量在平面上的投影向量

如图 ③ ，向量 bf{\em a} 向平面 β 投影，就是分别由向量 bf{\em a} 的起点 A 和终点 B 作平面 β 的垂线，垂足分别为 \boldsymbol{A}^{\prime},\boldsymbol{B}^{\prime} ,得到向量 \overrightarrow{A^{\prime}B^{\prime}} ，向量称为向量 bf{\em a} 在平面 β 上的投影向量.

这时,向量 bf{\em a} ， \overrightarrow{A^{\prime}B^{\prime}} 的夹角就是向量 bf{\em a} 所在直线与平面 β 所成的角.

图 ①

图 ②

图 ③

·微训练2 已知 \displaystyle e_{1},e_{2} 是夹角为 {60}° 的两个单位向量,则向量 \scriptstyle e_{1} 在向量 \scriptstyle e_{2} 上的投影向量为

课堂 重难突破

空间向量的数量积运算

典例剖析

1.如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都为 1,E,F 分别为 A B ， A D 的中点，计算：

(1)EF · BA;(2)EF · BD; (3)EF ·DC; (4)BF ·CE.

学以致用

求空间向量数量积的方法

规律总结

(1)定义法：若向量的模和夹角已知或可求，可直接套用定义求解.

1.已知正方体 A B C D-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 的棱长为 \scriptstyle a ,计算：

利用数量积证明空间中的垂直关系

典例剖析

2.如图，在正方体 A B C D-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，E,F 分别是 B B_{1} ， D_{1}B_{1} 的中点，求证： E F\bot

平面 B_{1}A C (2)分解法：

① 将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；

② 利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积；

③ 根据数量积的定义求解.

规律总结 利用向量证明线线垂直，先将 线线垂直转化为向量垂直，进而转化为向量 的数量积为0，再根据已知条件，通过向量 的线性运算及数量积运算，得到所求向量的 数量积为0即可. I

学以致用

2.正四面体OABC的棱长为2，点 G 是\triangle{O B C} 的重心， M 是线段 A G 的中点.

(1)用 \overrightarrow{O A},\overrightarrow{O B},\overrightarrow{O C} 表示 \overrightarrow{O M} (2)求证： O M\bot B C

互动探究

1.(变问法)本例其他条件不变，若 N 为\mathbf{AA}_{1} 的中点，试求BN在 \overrightarrow{C B_{1}} 上的投影向量.

2.(变问法)若本例条件不变，求向量 \overrightarrow{C A_{1}} 与 \overrightarrow{A B} 夹角的余弦值.

利用数量积求向量的夹角与投影向量

典例剖析

3.如图，在直三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1} 中， \angle B C A=90° ,CA=C B{=}1,A A_{1}{=}2. 求 \overrightarrow{cos⟨\overrightarrow{B A_{1}},\overrightarrow{C B_{1}}⟩} 的值.

规律总结

求两个非零向量夹角的两种途径

(1)转化求角：把空间向量夹角转化为平面几何中的对应角，利用解三角形的知识求解.(2)利用向量的数量积求夹角的余弦值,方法步骤如下：

数学 ·第一章 空间向量与立体几何

学以致用

3.如图，在四面体 \ O A B C 中，O A=8,A B=6,A C=4,B C=5, \angle O A C=45° \angle O A B=60° ，求：

(1)向量 \overrightarrow{O A} 与 \overrightarrow{B C} 夹角的余弦值；(2)向量 \overrightarrow{O A} 在 \overrightarrow{A B} 上的投影向量.

规律总结

用向量求线段长度的方法

(1)将要求的线段长度转化为某一向量
的模.(2)用其他已知夹角和模的向量表示该
向量.(3)利用 |a|={√(a^{2)}} ,通过计算求出向量
的模，进而得到所要求的线段长度. n.

四 利用数量积求线段的长度

典例剖析

4.已知正四面体ABCD的棱长为 {\mathbf{\Omega}}_{a},M ，N 分别是棱 A B,C D 上的点，且 \mid\overrightarrow{M B}\mid= 2|\overrightarrow{A M}|,|\overrightarrow{C N}|=(1)/(2)|\overrightarrow{N D}| ，求 M N 的长.

学以致用

4.如图，已知一个{60}° 的二面角的棱上有两点 A,B,A C,B D 分别是在这两个面内且垂直于 \mathbf{\nabla}A B 的线段.

A B{=}4,A C{=}6,B D{=}8 求 C D 的长.

随堂训练

1.（多选题)对于向量 ^{a,b,c} 和实数 λ ，下列说法错误的是( ）

A.若 \mathbf{\nabla}a*\mathbf{\nabla}b{=}0 ，则 \scriptstyle{±b{a}}={±b{0}} 或 ±b{b}=\mathbf{0}

B.若 λ\mathbf{{\boldsymbol{a}}=0} ，则 λ=0 或 \scriptstyle{±b{a}}={±b{0}} C.若 ±b{a}^{2}=±b{b}^{2} ，则 \scriptstyle{±b{a}}={±b{b}} 或 \scriptstyle a=-b D.若 a* b{=}a* c ，则 \scriptstyle b=c

2.在三棱锥 P//B C 中,PB=PC=1, \angle A P B= \angle A P C=90° \angle B P C=60° ，则 {\overrightarrow{A B}}*{\overrightarrow{P C}}= ( ）

A. (1)/(2) B. (√(3))/(2) C.1 D. √(2)

3.在平行六面体 A B C D-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，以顶点 A 为端点的三条棱的棱长都等于1，且彼此的夹角都是 {60}° ，则此平行六面体的对角线 A C_{1} 的长为( ）

A. √(3) B. 2
C. √(5) D. √6

4.已知 ^{a,b} 为两个非零空间向量，若 |{±b a}|= 2{√(2)},|±b{b}|={(√(2))/(2)},±b{a}*±b{b}=-{√(2)} a·b=-√2,则<a,b>=

5.已知向量 ^{a,b} 满足 |{±b a}|=1,|{±b b}|=2 ，且 (a+ ±b{b})*±b{a}=0 ，则向量 bf{it{b}} 在 bf{\em a} 上的投影向量为

1.2 空间向量基本定理

素养·目标定位

课前 基础认知

1.空间向量基本定理

(1)定理：如果三个向量 ^{a,b,c} 那么对任意一个空间向量 ±b{p} ,存在唯一的有序实数组 (\boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}) ,使得 ±b{p}=_{X}±b{a}+_{Y}±b{b}+_{Z}±b{c}

(2)基底：如果三个向量 ^{a,b,c} 不共面，那么所有空间向量组成的集合就是.这个集合可看作由向量 ^{a,b,c} 生成的，我们把 叫做空间的一个基底， ^{a,b,c} 都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.

·微判断判断.（正确的打“ \surd ”,错误的 打“ x^{\prime\prime})

(1)空间的基底是唯一的.

(2)若 _{a,b,c} 能构成空间的一个基底，则^{a,b,c} 均为非零向量. ( ）

(3）已知 A,B,M,N 是空间四点，若\overrightarrow{B A},\overrightarrow{B M},\overrightarrow{B N} 不能构成空间的一个基底,则A,B,M,N 四点共面. ( ）

(4)若 \left\{a,b,c\right\} 是空间的一个基底，且存在实数 x,y,z 使得 x± y± z=0 ，则有 x= y=z=0, ( ）

数学 ·第一章 空间向量与立体几何

2.空间向量的正交分解

(1)单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为，那么这个基底叫做单位正交基底，常

课堂 重难突破

(2)正交分解：把一个空间向量分解为三个 的向量，叫做把空间向量进行正交分解.

用 \{i,j,k\} 表示.

空间基底的判断

典例剖析

1.已知 \{e_{1},e_{2},e_{3}\} 是空间的一个基底，且\overrightarrow{O A}=e_{1}+2e_{2}-e_{3},\overrightarrow{O B}=-3e_{1}+e_{2}+2e_{3}, \overrightarrow{O C}=±b{e}_{1}+±b{e}_{2}-±b{e}_{3} ,试判断 \overrightarrow{O A},\overrightarrow{O B},\overrightarrow{O C} 能否构成空间的一个基底？

规律总结

判断三个向量能否构成空间的一个基底的关键是判断这三个向量是否共面，若共面，则不能构成空间的一个基底；若不共面，则能构成空间的一个基底.判断三个向量是否共面，往往先假设共面，再利用向量共面的充要条件及已知条件进行判断. I

学以致用

1.(多选题)设 \scriptstyle x=a+b,y=b+c,z=c+ bf{\em a} ，且 \left⟨ a,b,c\right⟩ 是空间的一个基底.给出下列向量组，其中可以构成空间的一个基底的向量组

为( ）

用基底表示空间向量

典例剖析

2.在四面体OABC中， G,H 分别为\triangle A B C,\triangle O B C 的重心， D 为 B C 的中点，设{\overrightarrow{O A}}=\mathbf{{a}} ， {\overrightarrow{O B}}=b \scriptstyle{\overrightarrow{O C}}=c ，

(1)试用向量 ^{a,b,c} 表示向量 \overrightarrow{α} 和 \overrightarrow{G H}

(2)若 E 为 O A 的中点，试用 _{a,b,c} 表示\overrightarrow{D E} 和 \overrightarrow{E G}

规律总结

用基底表示向量时的注意事项

(1)若基底确定，则要充分利用向量的三角形法则或平行四边形法则，以及向量的线性运算进行变形、化简，求出结果.

(2)若没给定基底，则要先选择基底，再 用基底表示向量. n

学以致用

2.如图，在平行六面体A B C D-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中， E ，F 分别在棱 B B_{1} 和 D D_{1} 上，且 D F=(1)/(2)D D_{1} DD,记EF=x\overrightarrow{A B}+y\overrightarrow{A D}+z\overrightarrow{A A_{1}} 若

x+y+z=(1)/(4) 山 |(B E)/(B B_{1)}= ( 0

空间向量基本定理的应用

典例剖析

3.如图，在四面体OABC中 \angle A O B=\angle B O C=\angle A O C= {60}° ，且 O A=O B=O C=1 ，M,N 分别是 O A,B C 的中点.求：

(1)MN 的长；
(2)O N 与 C M 所成角的余弦值.

规律总结

用向量法求异面直线所成角的步骤：

学以致用

3.已知平行六面体ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 的底面是边长为1 的菱形,且 \angle C_{1}C B=\angle C_{1}C D= \angle B C D{=}(π)/(3),D D_{1}{=}2.

(1)证明： D D_{1}\bot B D ；
(2)求 C A_{1} 与 A B 所成角的余弦值.

互动探究

（变问法）本例其他条件不变，若 G 是 M N 的中点，求证： O G\bot B C

随堂训练

1.已知 ^{a,b,c} 是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ）

A \backslash.~3a~,a-b~,a+2b~\tiny~normal~{~B~~}2b~,b-2a~,b+2a C.\left.a,2b,b-c\right.\qquadD.\left.c,a+c,a-c\right.

2.在平行六面体 O A B C-O^{\prime}A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime} 中，已知\overrightarrow{O A}=±b{a},\overrightarrow{O C}=±b{c},\overrightarrow{O O^{'}}=±b{b},D 是四边形OABC的对角线的交点，则（ ）

A. \overrightarrow{O^{\prime}D}=-{±b a}+{±b b}+{±b c} B.{\overrightarrow{O^{\prime}D}}=-b-{(1)/(2)}a-{(1)/(2)}c c.{\overrightarrow{O^{\prime}D}}{=}{(1)/(2)}a{-}b{-}{(1)/(2)}c D.{\overrightarrow{O^{\prime}D}}{=}{(1)/(2)}{±b{a}}-{±b{b}}+{(1)/(2)}{±b{c}}

3.设 A,B,C,D 是空间不共面的四点，且满足\overrightarrow{A B}*\overrightarrow{A C}=0,\overrightarrow{A C}*\overrightarrow{A D}=0,\overrightarrow{A B}*\overrightarrow{A D}=0, 则 \triangle B C D 是( ）

A.钝角三角形 B.锐角三角形C.直角三角形 D.不确定

4.如图，在正方体O A B C\bar{-}O_{1}A_{1}B_{1}C_{1} 中，点 G 为 \triangle A C O_{1} 的重心,若 {\overrightarrow{O A}}{=}{±},{\overrightarrow{O C}}{=} {\overrightarrow{b,O O_{1}}}={\overrightarrow{\mathbf{c}}} ,且 \stackrel{\longrightarrow}{O G}= \boldsymbol{x}±\boldsymbol{y}+\boldsymbol{z}\mathbf{c} ，则 x+y+z=

5.如图，在三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1} 中， D 是棱 B_{1}C_{1} 的中点， \overrightarrow{A E}=2\overrightarrow{E D} ，设\overrightarrow{A B}=a,\overrightarrow{A C}=b,\overrightarrow{A A_{1}}=c. (1)试用向量 ^{a,b,c} 表示向量 \overrightarrow{B E}

(2）若 A B=A C=A A_{1}=3 ， \angle B A C= \angle A_{1}A B=\angle A_{1}A C=60° 求 |\overrightarrow{B E}| 。

1.3 空间向量及其运算的坐标表示

1.3.1 空间直角坐标系

素养·目标定位

课前 基础认知

1.空间直角坐标系

(1)定义：在空间选定一点 o 和一个单位正交基底 \{i,j,k\} .以点 O 为原点，分别以 i ，{j,k} 的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴： ”它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系 O x y z,O 叫做原点， i,j,k 都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为 平面， 平面， 平面，它们把空间分成八个部分.

(2)画法：画空间直角坐标系 \ O x y z 时，一般使 \angle x O y= （或 ）， \angle y O z=

(3)右手直角坐标系：在空间直角坐标系中,让右手拇指指向 的正方向，食指指向 的正方向,如果中指指向 的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.

2.空间点的坐标表示

在空间直角坐标系 \ O x y z 中， i,j,k 为坐标向量，对空间任意一点 A ，对应一个向量

\overrightarrow{O A} ，且点 A 的位置由向量 \overrightarrow{O A} 唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组 (x ，,）,使OA= .在单位正交基底 \{i,j,k\} 下与向量 \overrightarrow{O A} 对应的
，叫做点 A 在空间直角坐标系中的坐标，记作 ,其中 叫做点 A 的横坐标， 叫做点 A 的纵坐标，
叫做点 A 的竖坐标.

·微思考 在空间直角坐标系中，坐标轴上的点的坐标有何特征？坐标平面内的点的坐标有何特征？

3.空间向量的坐标表示

在空间直角坐标系 \ O x y z 中,给定向量 bf{\em a} ，作 {\overrightarrow{O A}}=\mathbf{{a}} .由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组 (\boldsymbol{x},\boldsymbol{y},z) ，使 \begin{array}{r}{{\bf{\nabla}}a=}\end{array} .有序实数组 (\boldsymbol{x},\boldsymbol{y},z) 叫做 bf{\em a} 在空间直角坐标系 \ O x y z 中的坐标，上式可简记作a=

课堂 重难突破

空间点、向量的坐标表示

典例剖析

1.如图,在直三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1} 中， C A\ =\ C B=\ 1 ?\angle B C A=90° ，棱 A A_{1}{=}2,M,N 分别为 A_{1}B_{1},A_{1}A 的中点，试建立适当的坐标系，求：

(1)点 B,C_{1},B_{1},M,N 的坐标；

(2)向量 \overrightarrow{B N},\overrightarrow{B A_{1}},\overrightarrow{A_{1}B} 的坐标.

数学 ·第一章 空间向量与立体几何

规律总结 求空间点、向量的坐标的一般步骤

(1)建系：根据图形特征建立空间直角
坐标系；(2)运算：找出点在 x 轴、 y 轴、 z 轴上
的射影的坐标；综合利用向量的加法、减法
及数乘运算表示向量；(3)定结果：根据射影坐标写出点的坐
标；将所求向量用已知的基向量表示出来确
定坐标. I

学以致用

1.已知正方体ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 的棱长为 2,E ，F 分别为棱 B B_{1} ,DC的中点，建立空间直角坐标系，如图所示.

(1)写出各顶点的坐标；
(2)写出向量 \overrightarrow{E F} \overrightarrow{* F},\overrightarrow{B_{1}F},\overrightarrow{A_{1}E} 的坐标.

空间中点的对称问题

典例剖析

2.已知点 A(-3,1,-4) ，分别写出点 A 关于原点、 x 轴、 y 轴、 O z x 平面的对称点的坐标.

互动探究

1.（变问法)若本例条件不变，求点 A 关于点 M(1,2,3) 的对称点的坐标，

2.（变问法)若本例条件不变，求点 A 到O x y 平面的距离.

规律总结 1.空间中点 P\left(x,y,z\right) 的对 称点的坐标规律

学以致用

2.在空间直角坐标系 O x y z 中，点 P 的坐标为(-2,1,4).求：

2.空间中的中点坐标公式仍然成立，即若已知空间中点 A\left(x_{1},y_{1},z_{1}\right),B\left(x_{2},y_{2},y_{3}\right) 2),则线段AB的中点坐标为(十2，(y_{1}+y_{2})/(2),(z_{1}+z_{2})/(2)). I

(1)点 P 关于 x 轴的对称点的坐标；(2)点 P 关于 O x y 平面的对称点的坐标；(3)点 P 关于点 M(2,-1,-4) 的对称点的坐标.

随堂训练

1.在空间直角坐标系 \ O x y z 中，点(2,0,3)在( ）

A. y 轴上 B. O x y 平面内 C. O z x 平面内 D. O y z 平面内

2.在长方体 A B C D-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，若 {\overrightarrow{A B}}={} \stackrel{}{\mathop{3i}}\overrightarrow{A D}=2j ， \overrightarrow{A A_{1}}=5k ,则向量 \overrightarrow{A C_{1}} 在基底\{i,j,k\} 下的坐标是（ ）

A. (1,1,1) B 3.\left({(1)/(3)},{(1)/(2)},{(1)/(5)}\right) C.(3,2,5) D.(3,2,—5)

3.以棱长为1的正方体 A B C D-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 的棱 A B,A D,A A_{1} 所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则正方形A A_{1}B_{1}B 的对角线的交点坐标为（ ）

A.\left(0,{(1)/(2)},{(1)/(2)}\right)\qquadB.\left({(1)/(2)},0,{(1)/(2)}\right) c.\left((1)/(2),(1)/(2),0\right) D.\left((1)/(2),(1)/(2),(1)/(2)\right)

4.已知点 P(1,2,-1) 在 O z x 平面内的射影 为 B\left(x,y,z\right) ，则 x+y+z=

5.点 P(1,1,1) 关于 O x y 平面的对称点 \boldsymbol{P}_{1} 的坐标为 ，关于 z 轴的对称点 P_{~2~} 的坐标为

1.3.2 空间向量运算的坐标表示

素养·目标定位

目标素养

1.掌握空间向量的线性运算及数量积的坐标表示.

2.借助空间向量运算的坐标表示，探索并得出空间两点间的距离公式.

3.会根据向量的坐标判断两个向量的共线或垂直.

4.通过本节课学习，提升数学运算、逻辑推理的核心 素养.

课前 基础认知

1.空间向量运算的坐标表示

设 \begin{array}{r}{±b{a}=(a_{1},a_{2},a_{3}),±b{b}=(b_{1},b_{2},b_{3})}\end{array} ，则(1)\mathbf{{a}}+\mathbf{{b}}=\mathbf{{}} ；(2){±b a}-{±b b}=\qquad ；(3)λ±b{a}=\qquad {\boldsymbol{λ}}\in\mathbf{R} ；(4)a* b=

·微训练1 已知 ±b{a}=(2,-3,1),±b{b}=(2 0,3), ±b{c}=~(~0~,~0~,~2~)~ ，则 2a+b-c=

·微思考 已知 ±b{a}=(a_{1},a_{2},a_{3}),±b{b}=(b_{1} ，B_{2},\boldsymbol{b}_{3}) ，能否说 ±b{a}//b\{\overset{a_{1}}{\Rightarrow}_{b_{1}}^{a_{1}}=}(a_{2})/(b_{2)}{=}(a_{3})/(b_{3)}. 为什么？

2.空间向量共线、垂直、模、夹角的坐标表示设 \begin{array}{r}{±b{a}=(a_{1},a_{2},a_{3}),±b{b}=(b_{1},b_{2},b_{3})}\end{array} ，则

(1)当 ±\mathbf{0} 时， ±b{a}//b\Longleftrightarrow±b{a}=λ±b{b}\Longleftrightarrow. (λ\in\mathbf{R}) ；
(2)当 \mathbf{δ}_{\mathbf{{\mathfrak{a}}}}\neq\mathbf{0},\mathbf{δ}_{\mathbf{{\mathfrak{b}}}}\neq\mathbf{0} 时， a\perp b\ominus a* b=0\ominus \*
(3) |a|={√(a* a)}= ；
(4)当 \stackrel{}{±}\mathbf{0},b{\mp}\mathbf{0} 时， \cos⟨{a},{b}⟩{=}{(a* b)/(|a||b|)}{=}

·微训练2 已知 ±b{a}=\left(2,3,1\right),±b{b}=\left(-4\right. ， ^{2,x)} ，且 bf{\em a}\perpbf{\em b} ，则 |b|=

3.空间两点间的距离公式

设 P_{1}(x_{1},y_{1},z_{1}),P_{2}(x_{2},y_{2},z_{2}) 是空间 中任意两点，则

(1)\overrightarrow{P_{1}P_{2}}= (2)P_{1}P_{2}=|\overrightarrow{P_{1}P_{2}}|=. .这就是空间两点间的距离公式.

课堂 重难突破

空间向量的坐标运算

空间向量的平行与垂直

典例剖析

1.已知 O 为原点， \mathbf{\Omega},A,B,C,D 四点的坐标分别为 A(2,-4,1),B(3,2,0),C(-2,1,4), D(6,3,2) ：

(1)求 \overrightarrow{A D}+2\overrightarrow{B C}

(2)求点 A 到 C D 的中点 M 的距离；
(3)求 \overrightarrow{A C}*\overrightarrow{B D} ；
(4)若 {\overrightarrow{A P}}{=}3{\overrightarrow{P D}} ,求点 P 的坐标.

典例剖析

规律总结

空间向量坐标运算的两类问题

(1)直接计算问题：首先将空间向量用坐
标表示出来，然后套用坐标运算公式计算.(2)由条件求向量或点的坐标：可先设
出点或向量的坐标，再根据条件建立方程
(组)，解方程(组)即得所求. I

学以致用

1.已知 ±b{a}=\left(2,-1,-2\right),±b{b}=\left(0,-1,4\right) ’求： \mathbf{\sigma}_{:a}+b,a-b,a\ \bullet\ b,(2a)\ \bullet\ (-b) ， (a+ \mathbf{δ}_{b})*(a-b) ：

2.如图所示，正方体A B C D-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 的棱长为 1,E 是棱 D_{1}D 的中点， P,Q 分别为线段B_{1}D_{1} ， B D 上的点，且\overrightarrow{3B_{1}P}=\overrightarrow{P D_{1}} ，以 D 为坐标原点，直线DA，D C,D D_{1} 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系.若 P Q\bot A E ，求点 Q 的坐标.

互动探究

(变问法)本例中其他条件不变，连接 A_{1}D B D_{1} ,若 G 是线段 A_{1}D 的中点，点 H 在平面D x y 内，且 G H//B D_{1} ,试判断点 H 的位置.

规律总结 已知向量平行或垂直，求参数的值时，先利用向量坐标满足的条件得到关于参数的方程(组)，再解方程(组)求出参数的值. n

数学 ·第一章 空间向量与立体几何

学以致用

2.(1)已知 ±b{a}=(λ+1,1,2),±b{b}=(6,4\mu- 1,2入),若 ±b{a}//±b{b} ，则 λ 与 \mu 的值分别是 (2)若 ±b{m}=(2,-1,1) ， ±b{n}=(λ,5,1) ，且 ±(\d)/(\d t)(m-n) ，则 λ=_{-}

利用空间向量的坐标运算解决夹角、距离问题

典例剖析

3.在棱长为1的正方体 A B C D-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中 \mathbf{\Omega}_{* E,F,G} 分别是 D D_{1} .B D,B B_{1} 的中点.

(1)求证： E F\bot C F ；
(2)求 E F 与 C G 所成角的余弦值；
(3)求 C E 的长.

规律总结

运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤：

(1)建系：根据题目中的几何图形建立
适当的空间直角坐标系；(2)求坐标： ① 求出相关点的坐标； ② 写
出向量的坐标；(3)论证、计算：结合公式进行论证、
计算；(4)转化：转化为几何结论. 1

学以致用

3.已知空间三点， A\left(0,2,3\right),B\left(-2,1\right. ?6） ,C(1,-1,5) ，试求以 A B,A C 为边的平行四边形的面积.

随堂训练

1.已知点 M(5,-1,2),A(4,2,-1),O 为原点，若 {\overrightarrow{O M}}{=}{\overrightarrow{A B}} ,则点 B 的坐标为( ）

A. (-1,3,-3) B.(9,1,1) C.(1,-3,3) D. (-9,-1,-1)

2.已知向量 ±b{a}=(-1,2,1),±b{b}=(3,x,y) ，且\mathbf{{}}a//b ，则 |b|=( ）

A. 3√(6) B.6 C.9 D.18

3.若 \triangle A B C 的三个顶点的坐标分别为 A (1，

-2,1),B(4,2,3),C(6,-1,4) ，则△ABC是( ）

A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等边三角形

4.已知向量 ±b{a}=(-1,0,1) ±b{b=}(1,2,3) ，若 k a-b 与 bf{it{b}} 垂直，则实数 k 的值为

5.已知点 A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1) 则 \xrightarrow[A B]{} 与 \overrightarrow{A C} 的夹角的余弦值为

1.4 空间向量的应用

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系

第1课时 用空间向量研究直线、平面的平行关系

素养·目标定位

课前 基础认知

1.空间中点、直线和平面的向量表示

续表

续表

微训练1 (1)若点 A\left({-1,0,1}\right),B\left({1,-1}\right) 4,7)在直线上,则直线的一个方向向量为( )

A.(1,2,3) B.(1,3,2) C.(2,1,3) D.(3,2,1)

(2)若 ±b{n}=(2,-3,1) 是平面 α 的一个法向量,则下列向量中能作为平面 α 的法向量的是（）

A.(0,-3,1) B.(2,0,1) C. (-2,-3,1) D.(—2,3,—1)

2.空间中直线、平面的平行

·微训练2 设平面 α 的法向量为（1,2， ^{-2)} ,平面 β 的法向量为 (-2,-4,k) ,若 α// β ，则实数 k 的值为( >

A.2 B.-4 C.4 D.-2

课堂 重难突破

求平面的法向量

典例剖析

1.如图，四边形ABCD为正方形， Q A\perp 平面A B C D,P D//Q A,Q A= A B{=}{(1)/(2)}P D.

(1)求平面 A D P Q 的法向量；

(2)求平面PQC 的法向量.

规律总结

求平面法向量的方法

(1)直接法：直接发现、找到或证明平面的一条垂线，则这条垂线的一个方向向量即为平面的一个法向量.

(2)待定系数法：

学以致用

1.已知平面 α 经过三点 A\left(1,2,3\right),B\left(2\right) \left(0,-1\right),C\left(3,-2,0\right) ，求平面 α 的一个法向量.

证明线线平行

典例剖析

2.如图，在正方体 A B C D-A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime} 中 M,N 分别为 A^{\prime}B,A^{\prime}C^{\prime} 的中点.求证： {.M N}//{A D^{\prime}}

规律总结 若两条直线的方向向量共线，则这两条直线平行或重合.因此，利用直线的方向向量证明两条直线平行时，必须指出两条直线不重合. n

学以致用

2.在长方体 A B C D-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中， A B= \scriptstyle3,A D=4,A A_{1}=2. 点 M 在 B{B}_{1} 上，且 B M= 2M B_{1} ，点 s 在 D D_{1} 上，且 S D_{1}=2S D,N,R 分别为 A_{1}D_{1} ， B C 的中点，求证： M N//R S

数学 ·第一章 空间向量与立体几何

证明线面、面面平行

典例剖析

3.已知正方体 A B C D-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 的棱长为 2,E,F 分别为 B B_{1},D D_{1} 的中点.求证：F C_{1} /平面 A D E

互动探究

（变问法）若本例条件不变，证明平面ADE/平面 B_{1}C_{1}F

规律总结

1.利用空间向量证明线面平行

方法一：证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面.

方法二：证明直线的方向向量与平面内某一条直线的方向向量共线，转化为线线平行，利用线面平行的判定定理得证.

方法三：先求直线的方向向量，平面的法向量，再证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.

2.利用空间向量证明面面平行方法一：证明两个平面的法向量共线.

方法二：转化为线面平行，证明一个平面内两条相交直线的方向向量均与另一个平面的法向量垂直，利用面面平行的判定定理得证.

方法三：转化为线线平行，证明一个平面内两条相交直线的方向向量分别与另一个平面内两条相交直线的方向向量共线，利用线面平行与面面平行的判定定理得证．《

学以致用

3.如图，在正方体A B C D-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中 M,N ，E,F 分别为 A_{1}B_{1},A_{1}D_{1} ，B_{1}C_{1},C_{1}D_{1} 的中点.

求证：（1）BD//平面 AMN ;

(2)平面AMN/平面EFDB.

随堂训练

1.已知两条不重合的直线 l_{1},l_{2} 的一个方向向量分别为 ±b{\nu}_{1}=(1,0,-1) ， ±b{\nu}_{2}=(-2,0,2) ，则 l_{1} 与 l_{2} 的位置关系是（ ）

A.平行 B.相交C.垂直 D.不确定

2.已知直线 \mathbf{\xi}_{l} 的一个方向向量为 s=(-1,1 ，1),平面 α 的一个法向量为 ±b{n}=(2,x^{2}+x ，-\boldsymbol{x}) ，若直线L/平面 α ，则 x 的值为( ）

A.-2 B,-{√(2)} C. √(2) D.±{√(2)}

3.设直线 \mathbf{\xi}_{l} 的方向向量为 bf{\em a} ，平面 α 的法向量为 bf{it{b}} ，若 \mathbf{\nabla}_{a}*\mathbf{\nabla}b=0 ，则（ ）

A. l//α B. l\subsetα C.l\perpα D. l\subsetα 或 l//α

4.已知平面 α 内的三点 A\left(0,0,1\right),B\left(0,1,0\right) ，C\left(1,0,0\right) ，平面 β 的一个法向量为 n= (-1,-1,-1) ，且 β 与 α 不重合，则（ ）

A.α /β
B.α\perpβ
\operatorname{C}_{*}α 与 β 相交但不垂直
D.以上都不对

5.已知平面 α 的法向量 ±b{u}=(\boldsymbol{\chi},1,-2) ,平面 β 的法向量 ±b{\nu}=(-1,y,2),α\slash/β ，则 x+y=

第 2课时 用空间向量研究直线、平面的垂直关系

素养·目标定位

课前 基础认知

空间中直线、平面的垂直

续表

数学 ·第一章 空间向量与立体几何

·微训练 若平面 α ⊥平面 β ,平面 α 的一个法向量为 ±b{n}=\left(-2,1,(1)/(2)\right) ,则平面 β 的法向量 m 可以为( ）

课堂 重难突破

证明线线垂直

典例剖析

1.已知正三棱柱 A B C{-}A_{1}B_{1}C_{1} 的各棱长都为 ^{1,M} 是 B C 的中点， N 是 C C_{1} 上的点，且C N{=}(1)/(4)C C_{1} .求证： A B_{1}\bot M N.

规律总结

利用空间向量证明两条直线垂直的常用方法及步骤：

(1)基向量法

① 选取三个不共面的已知向量（通常是它们的模及其两两夹角为已知）为空间的一个基底；

② 把两条直线的方向向量用基底表示；

③ 利用向量的数量积运算，计算出两条直线的方向向量的数量积为0，得到方向向量垂直；

④ 由方向向量垂直得到两条直线垂直.

(2)坐标法

① 根据已知条件和图形特征，建立适当的空间直角坐标系，正确地写出各点的坐标；

② 根据所求出的点的坐标求出两条直线的方向向量的坐标；

③ 计算出两条直线的方向向量的数量积为0，得到方向向量垂直；

④ 由方向向量垂直得到两条直线垂直.

学以致用

1.如图，在直三棱柱 A B C{-}A_{1}B_{1}C_{1} 中，A C=3 ， B C=4 ， A B=5 ， A A_{1}=4 ，求证：

A C\bot B C_{1} ：

互动探究

（变问法）本例条件不变，试问：在线段A_{1}B_{1} 上，是否存在点 P ，使得 A P\perp 平面A_{1}B_{1}D? 若存在，说明点 P 的位置；若不存在,说明理由.

证明线面垂直

典例剖析

2.如图，正三棱柱A B C{-}A_{1}B_{1}C_{1} 的所有棱长都为 2,D 为 C C_{1} 的中点.求证： A B_{1} 」平面A_{1}B D ：

规律总结

用坐标法证明线面垂直的方法及步骤

方法一：(1)建立空间直角坐标系.

(2)将直线的方向向量用坐标表示.

(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量.

(4)分别计算两组向量的数量积，由数量积为0，得到线线垂直.

(5)利用线面垂直的判定定理，得到线面垂直.

方法二：(1)建立空间直角坐标系.

(2)将直线的方向向量用坐标表示.

(3)求出平面的法向量.

(4)根据直线的方向向量与平面的法向量共线，得到线面垂直.

数学 ·第一章 空间向量与立体几何

学以致用

2.如图，在长方体ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中， A B=A D=1 ，A A_{1}=2,P 为 D D_{1} 的中点.求证： P B_{1} 工平面 P A C

规律总结 向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度. I

学以致用

3.在正方体 A B C D-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中， E,F 分别为 B{B}_{1} ， C D 的中点.

(1)求证:平面 AED⊥平面 \ A_{1}F D_{1}

(2)在线段 A E 上求一点 M ，使得 A_{1}M\perp 平面 A E D

证明面面垂直

典例剖析

3.三棱锥被平行于底面A B C 的平面所截得的几何体如图所示,截面为 A_{1}B_{1}C_{1} ，\angle B A C=90° ， A_{1}A\perp 平面

A B C,A_{1}A=√(3),A B=A C=2A_{1}C_{1}=2,D 为 B C 的中点.求证：平面 A_{1}A D ⊥平面 B C C_{1}B_{1} ，

课时训练

数学

选择性必修第一册A版

第一章 空间向量与立体几何

1.1 空间向量及其运算

1.1.1 空间向量及其线性运算

基础 ·巩固

1.（多选题）下列说法不正确的是（

A.空间中的任意两个向量共面
B.向量 ^{a,b,c} 共面即它们所在的直线在同一个平面内
C.直线的方向向量是唯一确定的
D.若 bf{\em a}//β ,则存在唯一的实数 λ ，使\scriptstyle{±b{a}}=λ{±b{b}}

2.在正方体 A B C D-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，下列各式的运算结果不为向量 \overrightarrow{A C_{1}} 的是( ）

A. (\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C})+\overrightarrow{C C_{1}}
B. (\overrightarrow{A A_{1}}+\overrightarrow{A_{1}D_{1}})+\overrightarrow{D_{1}C_{1}}
C. (\overrightarrow{B A}-\overrightarrow{B C})-\overrightarrow{C C_{1}}
D. (\overrightarrow{A A_{1}}+\overrightarrow{A_{1}B_{1}})+\overrightarrow{B_{1}C_{1}}

3.设空间四点 O,A,B,P 满足 {\overrightarrow{O P}}{=}m{\overrightarrow{O A}}+ \stackrel{\longrightarrow}{n{\cal O}B}(m,n\in{\bf R}) ,其中 \scriptstyle m+n=1 ,则( ）

A.点 P 一定在直线 A B 上
B.点 P 一定不在直线 A B 上
C.点 P 可能在直线 A B 上，也可能不在直线 _{A B} 上
D. \overrightarrow{A B} 与 \overrightarrow{A P} 的方向一定相同

4.已知点 M 在平面 A B C 内，点 O 在平面ABC外,若 \overrightarrow{O M}=x\overrightarrow{O A}+(1)/(3)\overrightarrow{O B}+(1)/(3)\overrightarrow{O C}, 则 x 的值为( ）

A. 1 B. 0 C.3 D. /13

5.在长方体 A B C D-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中， \boldsymbol{E} 是A_{1}C_{1} 的中点， F 是 A E 的三等分点，且A F{=}(1)/(2)E F EF,则AF=( \stackrel{\longrightarrow}{A F}=(\qquad)

6.如图,已知四面体 A B C D,E,F,G 分别为 B C,C D,D B 的中点，则 {\overrightarrow{A B}}+{\overrightarrow{G D}}+ \stackrel{\longrightarrow}{\cal E C}=.

7.已知 A,B,C 三点不在同一条直线上， 点 P 与点 \scriptstyle A,B,C 共面,对于空间任意一 点 O ,若点 P 满足 \overrightarrow{O P}=(1)/(5)\overrightarrow{O A}+(2)/(3)\overrightarrow{O B}+ \overrightarrow{λα}(λ\in\mathbf{R}) ，则 λ=\_ ;若点 P 满足 \overrightarrow{O P}=\overrightarrow{A B}+t\overrightarrow{O C}\left(t\in\mathbf{R}\right) ，则 t=

8.已知四边形 A B C D 为正方形， P 是四边形ABCD所在平面外一点， P 在平面A B C D 上的射影恰好是正方形ABCD的中心 ^{\d}O,Q 是 C D 的中点.求下列各式中_{x,y} 的值.

(1)\overrightarrow{O Q}=\overrightarrow{P Q}+x\overrightarrow{P C}+y\overrightarrow{P A} (2） \overrightarrow{P A}=x\overrightarrow{P O}+y\overrightarrow{P Q}+\overrightarrow{P D}

9.如图，在长方体 A B C D-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，点E,F 分别在棱 D D_{1},B B_{1} 上，且 2D E= E D_{1},B F=2F B_{1} 求证：点 C_{1} 在平面AEF 内.

能力·提升

1.（多选题)空间四边形ABCD中，若 \boldsymbol{E} ，F,G,H 分别为 A B,B C,C D,D A 边的中点，则下列各式中成立的是（ ）

A. \overrightarrow{E B}+\overrightarrow{B F}+\overrightarrow{E H}+\overrightarrow{G H}=\mathbf{0} B. \overrightarrow{E B}+\overrightarrow{F C}+\overrightarrow{E H}+\overrightarrow{G E}=0 C \overrightarrow{E F}+\overrightarrow{F G}+\overrightarrow{E H}+\overrightarrow{G H}=2\overrightarrow{E H} D. \overrightarrow{E F}-\overrightarrow{F B}+\overrightarrow{C G}+\overrightarrow{G H}=\overrightarrow{E H}

2.（多选题)给出下列说法，其中正确的是

A.若 A,B,C,D 是空间任意四点，则有\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{D A}=\mathbf{0}
B.若向量 ^{a,b} 所在直线是异面直线，则^{a,b} 不共面
C.若 A,B,C,D 四点不共面，则向量\overrightarrow{A B},\overrightarrow{A C},\overrightarrow{A D} 不共面
D.对空间任意一点 O 与不共线的三点A,B,C ，若 \overrightarrow{O P}=x\overrightarrow{O A}+y\overrightarrow{O B}+z\overrightarrow{O C} (其中 x,y,z\in\mathbf{R}) ，则 P,A,B,C 四点共面

3.在正六棱柱 A B C D E F{-}A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1} 中,设 \overrightarrow{A B}=\mathbf{{a}},\overrightarrow{B C}=±b{b},\overrightarrow{B B_{1}}=±b{c} ,那么\overrightarrow{A E_{1}} 等于( ）

4.已知在正方体 A B C D-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，P,M 为空间任意两点，如果有 {\overrightarrow{P M}}= \overrightarrow{P B_{1}}+7\overrightarrow{B A}+6\overrightarrow{A A_{1}}-4\overrightarrow{A_{1}D_{1}} ,那么点 M 必( ）

A.在平面 B A D_{1} 内 B.在平面 B A_{1}D 内 C.在平面 B A_{1}D_{1} 内 D.在平面 A B_{1}C_{1} 内

5.在平行六面体 A B C D-A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime} 中,若 \overrightarrow{A C}^{\prime}=x\overrightarrow{A B}+(y)/(2)\overrightarrow{B C}+(z)/(3)\overrightarrow{C C}^{\prime}\left(x,y,z\right) \mathbf{R}) ，则 x+y+z=

6.设 e_{1},e_{2} 是空间中不共线的向量，已知 \overrightarrow{A B}=2e_{1}+b e_{2}(k\in{\bf R}),\overrightarrow{C B}=e_{1}+3e_{2}, \stackrel{\triangledown}{\overrightarrow{C D}}=2e_{1}-e_{2} ,若 A,B,D 三点共线，则 k 为

7.如图，在长方体 A B C D-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，M 为 D D_{1} 的中点， N 在 A C 上，且 A N ：N C=2:1,E 为BM的中点.求证： A_{1} ，\mathbf{\Psi}_{E},\mathbf{\Psi}_{N} 三点共线.

8.对于空间某一点 O ，空间四个点 A,B ，\boldsymbol{C},\boldsymbol{D} (无三点共线)分别对应着向量 a= {\overrightarrow{O A}},b={\overrightarrow{O B}} ， \scriptstyle{c={\overrightarrow{O C}}} ， \scriptstyle{±b{d}}={\overrightarrow{O D}} .求证： A ，^{B,C,D} 四点共面的充要条件是存在四个不全为零的实数 α,β,γ,δ ，使 α± β±γ c+δ d=0 ,且 α+β+γ+δ=0 .

\mathbf{1.1.2} 空间向量的数量积运算

基础 ·巩固

1.若 ^{a,b} 均为非零向量,则 \mathbf{\psi}_{a}*\mathbf{\psi}_{b}=\left|\mathbf{\psi}_{a}\right|\left|\mathbf{\psi}_{b}\right| 是 bf{\em a} 与 bf{it{b}} 共线的( ）

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件

2.已知向量 ^{a,b} 满足条件： |{±b a}|=2,|{±b b}|= √(2) ，且 bf{\em a} 与 _{2b-a} 互相垂直,则 ⟨ a,b⟩ 等于（）

A. {30}° B.45°
C. {60}° {D}.{\mathfrak{g}}{\boldsymbol{0}}°

3.已知四面体ABCD的所有棱长都等于^{2,E} 是棱 A B 的中点， F 是棱 C D 靠近 C 的四等分点,则 \overrightarrow{E F}*\overrightarrow{A C} 等于( ）

A. -{(1)/(2)} B.{(1)/(2)} C *-(5)/(2) D.{(5)/(2)}

4.已知 A,B,C,D 是空间中不共面的四点，若(\overrightarrow{D B}+\overrightarrow{D C}-2\overrightarrow{D A} · ({\overrightarrow{A B}}-{\overrightarrow{A C}})=0 则\triangle A B C 一定是( ）

A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形

5.（多选题）在正方体 A B C D-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，关于下列四个结论，正确的是（ ）

A. (\overrightarrow{A A_{1}}+\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{A B})^{2}=3\overrightarrow{A B}^{2} 3.{\overrightarrow{A_{1}C}}*({\overrightarrow{A_{1}B_{1}}}-{\overrightarrow{A_{1}A}})=0 C. \overrightarrow{A D_{1}} 与 \overrightarrow{A_{1}B} 的夹角为 {60}° D.正方体的体积为 |\overrightarrow{A B}*\overrightarrow{A A_{1}}*\overrightarrow{A D}|

6.已知空间向量 a,b,|±b{a}|=3√(2),|±b{b}|=5 m=a+b,n=a+λ b\left(λ\in\mathbf{R}\right),\left⟨ a,b\right⟩= 135° ,若 m\perp n ，则 λ 的值为

7.如图,四面体 A B C D 的每条棱长都等于2，点 \scriptstyle{E,F} 分别为棱 A B,A D 的中点，则|\overrightarrow{B C}-\overrightarrow{E F}|=. \overrightarrow{E F} 与 \overrightarrow{A C} 所成的角为

8.已知空间向量 ^{a,b} 满足 \vert a\vert=3,\vert b\vert=2 ，且 ({±b a}-2{±b b})*({±b a}+{±b b})=5 ，则 \mathbf a+b 在 bf{\em a} 上的投影向量为

9.在长方体 A B C D-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中， A B= A A_{1}=2,A D=4,E 为侧面 A B B_{1}A_{1} 的中心， F 为 A_{1}D_{1} 的中点.试计算：

10.如图，在四面体OACB中， O B=O C ， A B= A C ，求证： {\it O A}\bot{\it B C} ：

能力·提升

1.已知两条异面直线的方向向量分别为 bf{\em a} ，bf{it{b}} ，且 |±b{a}|=|±b{b}|=1,±b{a}*±b{b}=-(1)/(2) ，则这两条异面直线所成的角为（ ）

A. {30}° B.60° C.120° D. {150}°

2.如图,在平行六面体 A B C D-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，底面是边长为1的正方形，若

\angle A_{1}A B=\angle A_{1}A D=60° ，且 A_{1}A=3 ，则 A_{1}C 的长为( ）

3.如图,在直三棱柱 A B C{=}A_{1}B_{1}C_{1} 中，\angle A B C=90°,A B=B C=1,A A_{1}=√(2), 则 \overrightarrow{B A_{1}} 在 \overrightarrow{A C} 上的投影向量为( ）

-{(√(2))/(2)} √2- A. B.- AC 2 c.-(1)/(2) D.-(1)/(2)\overrightarrow{A C}

4.如图，两条异面直线 {\boldsymbol{a}},{\boldsymbol{b}} 所成的角为 {60}° ，在直线{\boldsymbol{a}},{\boldsymbol{b}} 上分别取点 A^{\prime},E 和点 A,F ，使 A A^{\prime}\bot a 且

A A^{\prime}\bot b. 若 A^{\prime}E{=}2,A F{=}3,E F{=}√(23) ， 则线段 A A^{\prime} 的长为

5.已知正三棱柱 A B C–D E F 的侧棱长为2,底面边长为 1,M 是 B C 的中点，若 C F 上有一点 N ，使 M N\perp A E ，则 (C N)/(C F)=

6.在四面体OABC中，棱 O A,O B,O C 两两垂直,且 O A=1,O B=2,O C=3,G 为\triangle A B C 的重心，则 \overrightarrow{O G}*(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+ \overrightarrow{O C})=.

7.如图，在四面体ABCD中， A B=C D ， A C= B D,E,F 分别是 A D ，B C 的中点，求证： E F\bot A D ，且 E F\bot B C

8.如图,在平行六面体 A B C D-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中,底面ABCD是边长为1的正方形， \angle B A A_{1}=\angle D A A_{1}=(π)/(3),A C_{1}=√(26).

(1)求侧棱 \mathbf{A}A_{1} 的长；
(2)若 M,N 分别为 D_{1}C_{1},C_{1}B_{1} 的中 点，求 \overrightarrow{A C_{1}}*\overrightarrow{M N} 及异面直线 A C_{1} 和 M N 的夹角.

1.2 空间向量基本定理

基础 ·巩固

1.（多选题）下列关于空间基底的说法，正确的是( ）

A.若三个非零向量 ^{a,b,c} 不能构成空间的一个基底，则 ^{a,b,c} 共面
B.若三个向量 \scriptstyle a,b,c 不共面，则 \scriptstyle a,b,c 可以构成空间的一个基底
C.若 ^{a,b} 是两个不共线的向量，且 c= λ±b{a}+\mu±b{b}\left(λ,\mu\in\mathbb{R},λ\mu\neq0\right) ，则 \boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c} 可以构成空间的一个基底
D.若向量 _{a,b,c} 构成空间的一个基底，则向量 a,2b,a-b 也能构成空间的一个基底

2.已知点 O,A,B,C 为空间不共面的四点，且向量 \scriptstyle{±b{a}}=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C} ,向量 b= \overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O C} ,则与 ^{a,b} 不能构成空间的一个基底的向量是（ ）

A. \overrightarrow{O A} B.{\overrightarrow{O B}} C. \overrightarrow{O C} D. \overrightarrow{O A} 或 \overrightarrow{O B}

3.在空间四边形OABC中， {\overrightarrow{O A}}=\mathbf{{a}} ， {\overrightarrow{O B}}= b,{\overrightarrow{O C}}=c ，点 M 在 O A 上，且 {\overrightarrow{O M}}={} \overrightarrow{2M A},N 为 B C 的中点，以 \left\{a,b,c\right\} 为空间的一个基底，则 \overrightarrow{M N} 为( ）

(1)/(2)±b{a}-(2)/(3)±b{b}+(1)/(2)±b{c}\quad~B.~-(2)/(3)±b{a}+(1)/(2)±b{b}+(1)/(2)±b{c} ~C.~(1)/(2)±b{a}+(1)/(2)±b{b}-(2)/(3)±b{c}\qquad~D.~(2)/(3)±b{a}+(2)/(3)±b{b}-(1)/(2)±b{c}

4.已知正三棱柱 A B C{-}A_{1}B_{1}C_{1} 的各棱长都为 2,E,F 分别为 A B,A_{1}C_{1} 的中点，则 E F 的长为( ）

A.2 \begin{array}{r l r l r l}{{3}}&{{}}&{C.√(5)}&{}&{{}}&{D.√(7)}\end{array}

5.在三棱柱 A B C{=}A_{1}B_{1}C_{1} 中，底面边长和侧棱长都相等， \angle B A A_{1}=\angle C A A_{1}={~\small~\leftmoon~} {60}° ，则 A B_{1} 与 B C_{1} 所成角的余弦值为?

6.如图,在正四棱锥 P -ABCD中， P A=A B ，M 为 P A 的中点 {\overrightarrow{B D}}{=}λ{\overrightarrow{B N}}. 若 M N\bot A D ,则实数 λ 为(

A.2 B.3 C.4 D. 5

7.已知空间的一个基底 \left\{a,b,c\right\},m=a- ±b{b}+±b{c},±b{n}=\b{x}±b{a}+\b{y}±b{b}+2±b{c} ，若 m 与 \scriptstyle n 共线，则 x=. ” y=

8.已知 {\bf\Pi}_{a},b_{\mathbf{\Pi}} 是异面直线， A,B\in{\mathfrak{a}},C,D\in b,A C\bot b,B D\bot b ，且 A B=2,C D=1 ，则 {\boldsymbol{a}},{\boldsymbol{b}} 所成的角是

9.如图，在正方体ABCD-A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime} 中， E 是上底面A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime} 的中心,求下列各式中 x,y,z 的值.

(1)\overrightarrow{B D^{'}}=x\overrightarrow{A D}+y\overrightarrow{A B}+z\overrightarrow{A A^{'}} (2)\overrightarrow{A E}=x\overrightarrow{A D}+y\overrightarrow{A B}+z\overrightarrow{A A^{\prime}} ，

10.如图，在三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1} 中， M,N 分别是 A_{1}B,B_{1}C_{1} 上的点，且 B M=2A_{1}M ，\begin{array}{r}{C_{1}N{=}2B_{1}N.}\end{array} 设 \overrightarrow{A B}=\mathbf{{a}},\overrightarrow{A C}=\mathbf{{b}},\overrightarrow{A A_{1}}=\mathbf{{c}}.

(1)试用 ^{a,b,c} 表示向量 \overrightarrow{M N} (2)若 \angle B A C=90° ” \angle B A A_{1}=\angle C A A_{1}= 60°,A B{=}A C{=}A A_{1}{=}1 ，求 M N 的长.

2.在四面体OABC中， G_{1} 是 \triangle A B C 的重心， G 是 O G_{1} 上的一点，且 O G=3G G_{1} ，若 \overrightarrow{O G}=x\overrightarrow{O A}+y\overrightarrow{O B}+z\overrightarrow{O C} ,则 (\boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}) 为( ）

3.（多选题）下列说法中，正确的是（ ）

A.若 \scriptstyle\left\{a,b,c\right\} 可以作为空间的一个基底，bf{\em d} 与 \boldsymbol{\mathbf{\mathit{c}}} 共线， ±b{d}\neq\mathbf{0} ，则 \left⟨ a,b,d\right⟩ 也可作为空间的基底
B.已知向量 bf{\em a}//β ，则 ^{a,b} 与任何向量都不能构成空间的一个基底
C \mathbf{\nabla}_{*}A,B,M,N 是空间四点，若 \overrightarrow{B A},\overrightarrow{B M} ，\overrightarrow{B N} 不能构成空间的一个基底,那么A,B,M,N 四点共面
D.已知 \left⟨ a,b,c\right⟩ 是空间的一个基底，若±b{m}=±b{a}+±b{c} ，则 \left⟨ a,b,m\right⟩ 也是空间的一个基底

4.从空间一点 P 引出三条射线 P A,P B ，P C(P A,P B,P C 不在同一平面内)，在P A,P B,P C 上分别取 \overrightarrow{P Q}=±b{a},\overrightarrow{P R}=±b{b} ，{\overrightarrow{P S}}=c ，点 G 在 P Q 上,且 P G=2G Q,H 为 R S 的中点，以 \left\{a,b,c\right\} 为空间的一个基底,则GH=

能力·提升

1.已知 M,A,B,C 四点互不重合且任意三点不共线， O 为空间中任意一点，则能使向量 {\overrightarrow{M A}},{\overrightarrow{M B}},{\overrightarrow{M C}} 构成空间的一个基底的关系是( ）

5.如图，在正方体 A B C D-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，用 \overrightarrow{A C},\overrightarrow{A B_{1}},\overrightarrow{A D_{1}} 作为基向量，则\stackrel{\longrightarrow}{A C_{1}}=.

A \overrightarrow{O M}=(1)/(3)\overrightarrow{O A}+(1)/(3)\overrightarrow{O B}+(1)/(3)\overrightarrow{O C} B \scriptstyle.{\overrightarrow{M A}}={\overrightarrow{M B}}+{\overrightarrow{M C}} C. \overrightarrow{O M}=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C} D. \overrightarrow{M A}=2\overrightarrow{M B}-\overrightarrow{M C}

6.如图，已知正三棱柱A B C{=}A_{1}B_{1}C_{1} 的各条棱长度相等， M 是侧棱C C_{1} 的中点,则异面直线 A B_{1} 和BM所成角的大小是

7.如图，在直三棱柱ABC-A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime} 中,AC=BC=A A^{\prime} ” \angle A C B=90°,D,E 分别为 A B,B B^{\prime} 的中点.

(1)求证： C E\bot A^{\prime}D (2)求 C E 与 A C^{\prime} 所成角的余弦值.

8.如图，正四面体V-ABC的高 \boldsymbol{V D} 的中点为 O ，VC 的中点为 M ，

（1）求证：AO，BO， \boldsymbol{C O} 两两垂直；

(2)求异面直线 D M 和 A O 所成角的大小.

1.3 空间向量及其运算的坐标表示

1.3.1 空间直角坐标系

1.若空间一点 M(a+1,a^{2}-1,a+3) 在 z 轴上,则 a=(\quad)

A.1 B. 0 C. ±1 D.-1

2.在空间直角坐标系 \ O x y z 中，过点 P\left(1\right. ，{√(2)},{√(3)}) 作 O x y 平面的垂线，垂足为 Q ，则点 Q 的坐标为（ ）

A. \left(0,0,{√(3)}\right. > B *(0,{√(2)},{√(3)}) C. (1,0,{√(3)}) o D,(1,√(2),0)

3.若点 P\left(-4,-2,3\right) 关于 O x y 平面及y 轴的对称点的坐标分别为 (a,b,c),(e, f,d) ，则 \mathbf{\Psi}_{c} 与 e 的和为( ）

A.7 B.-7\qquadC.-1\qquadD.1

4.如图，在空间直角坐标系中，正方体A B C D-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 的棱长为1，点 E 在棱 A_{1}B_{1} 上,且 B_{1}E{=}(1)/(4)A_{1}B_{1} 则 \overrightarrow{B E} 等于(）

5.(多选题)如图,在长方体 A B C D-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中， A B=5 ， A D=4 ，A A_{1}=3 ，以直线 D A ，{D C},{D D}_{1} 分别为 x 轴 \mathbf{\nabla}*\boldsymbol{y} 轴、 _{**}z 轴，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ）

A.点 B_{1} 的坐标为（4，5，3)
B.点 C_{1} 关于点 B 的对称点为(5,8，一3)
C.点 A 关于直线 B D_{1} 的对称点为(0,5,3)
D.点 C 关于平面 A B B_{1}A_{1} 的对称点为(8,5,0)

6.点 M(-1,-2,3) 关于 x 轴的对称点的坐标是

7.已知向量 ±b{p} 用基底 \scriptstyle\{a,b,c\} 可表示为 8a+ 6{±}4c ,其中 \scriptstyle a=i+j,b=j+k,c=k+i 则向量 ±b{p} 在空间的一个单位正交基底 \{i,j ，\left|k\right> 下的坐标为

8.如图所示,在正方体A B C D-A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime} 中，棱长为1,点 P 在 B D^{\prime} 上，且 B P{=}(1)/(3)B D^{\prime} ，则点 P 的坐标为

9.在直三棱柱 A B O-A_{1}B_{1}O_{1} 中， \angle A O B= (π)/(2),A O{=}4,B O{=}2,A A_{1}{=}4,D A_{1}B_{1} 中点，建立适当的空间直角坐标系，求 \overrightarrow{D O} ，\overrightarrow{A_{1}B} 的坐标.

第一章过关检测（A卷）

（时间：120分钟满分：150分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知直线 \iota 在平面 α 外，若直线 \mathbf{\xi}_{l} 的方向向量为 bf{\em a} ，平面 α 的法向量为 \scriptstyle n ，则下列选项能使 l//α 的是( ）

A *\b{a}=\left(1,0,1\right),\b{n}=\left(-2,0,0\right)\qquadB,\b{a}=\left(1,3,5\right),\b{n}=\left(1,0,1\right) C.a=(0,2,1),n=(-1,0，-1) D,±b{a}=\left(1,-1,3\right),±b{n}=\left(0,3,1\right)

2.在三棱锥 A -BCD中，若 \triangle B C D 为正三角形，且 E 为其中心，则 \overrightarrow{A B}+(1)/(2)\overrightarrow{B C}- DE-AD 等于( ）

A.AB B.2BD C.0 D.2DE

3.已知向量 ±b{a}=\left(1,1,0\right),±b{b}=\left(-1,0,-2\right) ，且 k± b 与 2a-b 互相垂直，则 k 的值是( ）

(1)/(5) 3 7 A. 1 B言 C. 5 D.

4.已知空间中三点 A\left(0,1,0\right),B\left(1,2,0\right),C\left(-1,3,1\right) ，则下列结论正确的是（

A. \overrightarrow{A B} 与 \overrightarrow{A C} 是共线向量 B.与 \overrightarrow{A B} 方向相同的单位向量是(1,1,0)c \overrightarrow{A B} 与 \overrightarrow{B C} 夹角的余弦值是 \vdots{(√(3))/(6)} D.平面 A B C 的一个法向量是(1，—1,3)

5.如图，在三棱锥 A/B C D 中， A B=A C=A D=2 \angle B A D=90° ，\angle B A C=60° ，则 \overrightarrow{A B}*\overrightarrow{C D} 等于( ）

A.-2 B.2 C. -2{√(3)} D.2{√(3)}

6.已知两个平行平面 \scriptstyle{α,β} 分别经过原点 O 和点 A(2,1,1) ，且平面 α 的一个法向量为±b{n}=(-1,0,1) ,则这两个平行平面之间的距离为（ )

A. (3)/(2) B.{(√(2))/(2)}
C. √(3) D.3{√(2)}

7.在矩形 A B C D 中， A B=1,B C={√(2)} ， P A ⊥平面 A B C D ， P A=1 ，则 P C 与平面ABCD所成的角为（ ）

A. {30}° B. 45° C. {60}° D.120°

8.在长方体 A B C D-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中， E 是 B B_{1} 的中点， \overrightarrow{B_{1}F}=λ\overrightarrow{B_{1}D_{1}} ，且 E F //平面A C D_{1} ，则实数 λ 的值为（ ）

选择题 答题栏

？ (1)/(5) B.~(1)/(4)\qquadC.~(1)/(3)\qquadD.~(1)/(2)

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，

9.在棱长为1的正方体 A B C D-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中,下列结论正确的是（

A \backslash.\overrightarrow{A B}=-\overrightarrow{C_{1}D_{1}} B.AB \overrightarrow{B_{1}C_{1}} \overrightarrow{A_{1}C_{1}} 是共面向量\overrightarrow{C_{\bullet}\overrightarrow{A A_{1}}}*\overrightarrow{B_{1}D_{1}}=0 D.\overrightarrow{A C_{1}}*\overrightarrow{A D}=2

10.将正方形 A B C D 沿对角线 B D 折成直二面角 A -BD -C ,如下四个结论正确的是（ ）

A. A C\bot B D
B. \triangle A C D 为等边三角形
C. A B 与平面 B C D 所成的角为 {60}° D. A B 与 C D 所成的角为 {60}°

11.正方体 A B C D-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 的棱长为 2,E,F,G 分别为BC，C C_{1} ， B{B}_{1} 的中点，则( ）

A.直线 D_{1}D 与直线 A F 垂直
B.直线 A_{1}G 与平面 A E F 平行
C.平面 A E F 与平面 A B C D 的夹角的余弦值为 (2)/(3)
D.点 C 与点 G 到平面 A E F 的距离相等

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，

12.如图,在四面体 O A B C 中 \overrightarrow{O A}=\mathbf{±}a,\overrightarrow{O B}=b,\overrightarrow{O C}=c,D 为 B C 的中点， E 为 A D 的中点，用 ^{a,b,c} 表示 \overrightarrow{O E} ，则OE \c=

13.如图，在正方体 A B C D-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中， M,N 分别为 C D,C C_{1} 的中点，则异面直线 A_{1}M 与 D N 所成的角的大小为

（第12题图）

（第13题图）

（第14题图）

14.如图，在正三棱柱 A B C–A_{1}B_{1}C_{1} 中，若 B B_{1}=√(2)A B=2√(2) ，则点 c 到直线 A B_{1} 的距离为

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分)已知边长为4的正三角形 A B C 中， E,F 分别为BC和A C 的中点， P A=2 且 P A ⊥平面 A B C ，设 Q 是 C E 的中点.(1)求证： A E /平面 P F Q

16.（15分）（2024·全国新高考卷 ~I~ ,17)如图，四棱锥 P///B C D 中，PA⊥底面 A B C D,P A=A C=2,B C=1,A B=√(3). ，(1)若 A D\perp P B ，证明： A D /平面 P B C #

(2)求 A E 到平面PFQ的距离.

(2)若 A D\bot D C ，且二面角 A -CP-D的正弦值为 (√(42))/(7) ，求 A D ：

17.（15分）如图，已知四棱锥 P -ABCD的底面为直角梯形，A B//D C,\angle D A B=90°,P A. 工底面 A B C D ，且 {\cal P}A=A D= D C=1,A B=2,M 是 P B 的中点.

(1)求证：平面PAD⊥平面 P C D (2)求 A C 与 P B 的夹角的余弦值；

(3)求平面 A M C 与平面BMC的夹角的余弦值.

18.(17分)如图，在四棱锥 P//B C D 中 A D//B C,A B\bot A D,A B\bot P A,B C=2A B{=}2A D{=}4B E 平面 P A B ⊥平面ABCD.(1)求证：平面 P E D ⊥平面 P A C #

(2)若直线 P E 与平面 P A C 所成角的正弦值为 号,求平面 PAC 与平面 PCD 的夹角的余弦值.

19.（17分）如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的√2倍， P 为侧棱 S D 上的点.(1)求证：AC⊥SD.

(3)在(2)的条件下，侧棱 S C 上是否存在一点 E ，使得BE/平面PAC？若存在，*{(S E)/(E C)} 求 的值；若不存在，试说明理由.

(2)若SD⊥平面 P A C ，求平面 P A C 与平面 D A C 的夹角的大小

答案与解析

数学

选择性必修第一册A版

正文答案与解析

第一章 空间向量与立体几何

1.1 空间向量及其运算

1.1.1 空间向量及其线性运算

【课前·基础认知】

1. (1)大小方向(2)大小 (3){1}\mathbf{a},b,c,*s ② 有向线段有向线段AB丨a」 \big|\overrightarrow{A B}\big| (4)01 相等相反 平行或重合 相同相等

[微训练]

D

2.(1)OB CA PQ MN0 (2){±b a} (λ\mu)±b{a} λ\boldsymbol{a}+λ\boldsymbol{b} (3)0 对角线

3.(1)平行平行或重合平行在平面 α 内 平行于同一个平面 (2)①\mathbf{{\ita}}=λ\mathbf{{\itb}}\quad②\mathbf{{\itp}}=x\mathbf{{\ita}}+y\mathbf{{\itb}} [微判断]

【课堂·重难突破】

一、空间向量的有关概念

【典例剖析】

1.(1)B(2)8 \overrightarrow{A D_{1}},\overrightarrow{D_{1}A},\overrightarrow{A_{1}D},\overrightarrow{D A_{1}},\overrightarrow{C_{1}B},\overrightarrow{B C_{1}}, \overrightarrow{B_{1}C},\overrightarrow{C B_{1}} (1)对于A，由 \left|bf{\em a}\right|=\left|bf{\em b}\right| ，可知 ^{a,b} 的模相等，但方向不确定，故A中说法错误；对于B，因为 a= -b ，所以 |±b{a}|=|±b{b}| ,故B中说法正确；C显然错误；对于D,只有当四边形 A B C D 为平行四边形时，才有 \stackrel{\triangledown}{\vec{A}\vec{B}}+ AD=AC，故D中说法错误.故选B.

(2)因为长方体中 \ A A_{1}=1 ，所以向量 \overrightarrow{A A_{1}},\overrightarrow{A_{1}A} \overrightarrow{B B_{1}},\overrightarrow{B_{1}B},\overrightarrow{C C_{1}},\overrightarrow{C_{1}C},\overrightarrow{D D_{1}},\overrightarrow{D_{1}D} 的模均为1,又其余向量的模均不为1，故共有8个单位向量.在长方体中，四边形 A D D_{1}A_{1} 和四边形 B C C_{1}B_{1} 的对角线的长均为√(5) ，故模为 √(5) 的向量有 \overrightarrow{A D_{1}},\overrightarrow{D_{1}A},\overrightarrow{A_{1}D},\overrightarrow{D A_{1}},\overrightarrow{C_{1}B} \overrightarrow{B C_{1}},\overrightarrow{B_{1}C},\overrightarrow{C B_{1}} ，

【学以致用】

1. CD

二、空间向量的线性运算的应用

【典例剖析】

2.解 (1)\overrightarrow{A P}=\overrightarrow{A D_{1}}+\overrightarrow{D_{1}P}=(\overrightarrow{A A_{1}}+\overrightarrow{A D})+(1)/(2)\overrightarrow{A B}=

[互动探究]

1.解因为 P 在线段 C_{1}D_{1} 上，且 {*}(C_{1}P)/(P D_{1)}{=}(1)/(2) +所以 \overrightarrow{A P}=\overrightarrow{A A_{1}}+\overrightarrow{A_{1}D_{1}}+\overrightarrow{D_{1}P}=\mathbf{{a}}+\overrightarrow{A D}+(2)/(3)\overrightarrow{D_{1}C_{1}}= ±b{a}+±b{c}+(2)/(3)\overrightarrow{A B}=±b{a}+±b{c}+(2)/(3)±b{b}.

2.解如图，因为四边形A A_{1}B_{1}B 是平行四边形，所以 \overrightarrow{A B_{1}}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A A_{1}}=±b{b}+±b{a}. 因为四边形 A A_{1}D_{1}D 是平行四边形，所以 \overrightarrow{A D_{1}}=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{A A_{1}}= ±b{c}+±b{a} ：

因为 o 是 B_{1}D_{1} 的中点，所以 \overrightarrow{A O}=(1)/(2)\left(\overrightarrow{A B_{1}}+\right. \overrightarrow{A D_{1}}\Big)=(1)/(2)(b+a+c+a)=a+(1)/(2)b+(1)/(2)c.

【学以致用】

2.解 (1)\overrightarrow{A_{1}O}-(1)/(2)\overrightarrow{A B}-(1)/(2)\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{A_{1}O}-(1)/(2)(\overrightarrow{A B}+ \overrightarrow{A D})=\overrightarrow{A_{1}O}-\overrightarrow{A O}=\overrightarrow{A_{1}A}. (2)\overrightarrow{E O}=\overrightarrow{A O}-\overrightarrow{A E}=(1)/(2)(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D})-\overrightarrow{A D}-(2)/(3)\overrightarrow{A A}= (1)/(2)\overrightarrow{A B}-(1)/(2)\overrightarrow{A D}-(2)/(3)\overrightarrow{A A}_{1}^{*}.

三、空间向量共线问题

【典例剖析】

3.证明 {\bf\Delta}^{\prime}E,H 分别是 A B,A D 的中点，\therefore{\overrightarrow{A E}}={(1)/(2)}{\overrightarrow{A B}},{\overrightarrow{A H}}={(1)/(2)}{\overrightarrow{A D}},\therefore{\overrightarrow{E H}}={\overrightarrow{A H}}-{\overrightarrow{A E}}= (1)/(2)\overrightarrow{A D}-(1)/(2)\overrightarrow{A B}=(1)/(2)\overrightarrow{B D}=(1)/(2)(\overrightarrow{C D}-\overrightarrow{C B})=(1)/(2)\left((3)/(2)\overrightarrow{C G}-(1)/(2)\overrightarrow{A B}\right). )=(CG-C)=F.

:.EH//FG,且 |\overrightarrow{E H}|=(3)/(4)|\overrightarrow{F G}|\neq|\overrightarrow{F G}|. . .E H//F G ,且 E H{\neq}F G ,四边形 E F G H 是梯形.

【学以致用】

3.证明设 \overrightarrow{A B}=\mathbf{{a}},\overrightarrow{A D}=\mathbf{{b}},\overrightarrow{A A_{1}}=\mathbf{{c}}. 因为 \overrightarrow{A_{1}E}=2\overrightarrow{E D_{1}},\overrightarrow{A_{1}F}=(2)/(3)\overrightarrow{F C} 所以 \overrightarrow{A_{1}E}=(2)/(3)\overrightarrow{A_{1}D_{1}}=(2)/(3)\overrightarrow{A D}=(2)/(3)b \overrightarrow{A_{1}F}=(2)/(5)\overrightarrow{A_{1}C}=(2)/(5)(\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A A_{1}})=(2)/(5)(\overrightarrow{A B}+
\overrightarrow{A D}-\overrightarrow{A A_{1}})=(2)/(5){±b{a}}+(2)/(5){±b{b}}-(2)/(5){±b{c}}, 所以 \overrightarrow{E F}=\overrightarrow{A_{1}F}-\overrightarrow{A_{1}E}=(2)/(5)±b{a}-(4)/(15)±b{b}-(2)/(5)±b{c}=
{(2)/(5)}{\Big(}a-{(2)/(3)}b-c{\Big)}. \stackrel{\triangledown}{\boldsymbol{\gtrsim}}\overrightarrow{E B}=\overrightarrow{E A_{1}}+\overrightarrow{A_{1}A}+\overrightarrow{A B}=±-(2)/(3)\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}, 所以 \scriptstyle{{\overrightarrow{E F}}={(2)/(5)}{\overrightarrow{E B}}} ,所以 \overrightarrow{E F}//\overrightarrow{E B} ，又 \xrightarrow[E F]{} 与 \overrightarrow{E B} 有公共点 E ，所以 \boldsymbol{E},\boldsymbol{F},\boldsymbol{B} 三点共线.

四、空间向量共面问题

【典例剖析】

4.解(1)因为 \overrightarrow{O M}+\overrightarrow{O B}=3\overrightarrow{O P}-\overrightarrow{O A} ，所以 {\overrightarrow{O P}}=
(1)/(3)\overrightarrow{O A}+(1)/(3)\overrightarrow{O B}+(1)/(3)\overrightarrow{O M} 汉 (1)/(3)+(1)/(3)+(1)/(3)=1 所以 P,A ，
^{B,M} 四点共面.(2)因为 \overrightarrow{O P}=4\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O M} ，而 4+(-1)+
(-1){=}2{\neq}1 ，所以 P,A,B,M 四点不共面.5.解(1)由已知得 {\overrightarrow{O A}}+{\overrightarrow{O B}}+{\overrightarrow{O C}}=3{\overrightarrow{O M}} ，则 \overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O M}=(\overrightarrow{O M}-\overrightarrow{O B})+(\overrightarrow{O M}-\overrightarrow{O C}) ，即 \overrightarrow{M A}=\overrightarrow{B M}+\overrightarrow{C M}=-\overrightarrow{M B}-\overrightarrow{M C} 故 \overrightarrow{M A},\overrightarrow{M B},\overrightarrow{M C} 共面.(2)由(1)知,向量 \overrightarrow{M A},\overrightarrow{M B},\overrightarrow{M C} 共面，\Re\overrightarrow{M A},\overrightarrow{M B},\overrightarrow{M C} 有公共点 M ，故 M,A,B,C 四点共面，即点 M 在平面 A B C 内.

【学以致用】

4.解因为 \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{P B}-\overrightarrow{P A},\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{D C} ，
所以 {\overrightarrow{D C}}{=}\overrightarrow{P B}{-}\overrightarrow{P A}
又 \scriptstyle{\overrightarrow{P C}}={\overrightarrow{P D}}+{\overrightarrow{D C}} ，
所以 \overrightarrow{P C}=\overrightarrow{P D}+\overrightarrow{P B}-\overrightarrow{P A}=-\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P D}
因为能=’
所以 \overrightarrow{P\dot{H}}=(1)/(3)\overrightarrow{P\dot{C}}=-(1)/(3)\overrightarrow{P\dot{A}}+(1)/(3)\overrightarrow{P\dot{B}}+(1)/(3)\overrightarrow{P\dot{D}} ，

所以 \overrightarrow{A\dot{H}}=\overrightarrow{P\dot{H}}-\overrightarrow{P\dot{A}}=-(4)/(3)\overrightarrow{P\dot{A}}+(1)/(3)\overrightarrow{P\dot{B}}+(1)/(3)\overrightarrow{P\dot{D}}. 因为 (A G)/(A H){=}m 所以 \overrightarrow{A G}=m\overrightarrow{A H}=-(4m)/(3)\overrightarrow{P\tilde{A}}+(m)/(3)\overrightarrow{P\tilde{B}}+(m)/(3)\overrightarrow{P\tilde{D}}, 所以 \overrightarrow{P G}=\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{A G}=\left(1-(4m)/(3)\right)\overrightarrow{P A}+(m)/(3)\overrightarrow{P B}+ (m)/(3)\overrightarrow{P D} 又 G,B,P,D 四点共面，所以 1-{(4m)/(3)}=0 ，即 m{=}(3)/(4) ·故 m 的值为 (3)/(4) 重

【随堂训练】

1.ABC因为向量 ^{a,b} 互为相反向量，所以 ±b{a}= -b,±b{b}+±b{b}=±b{0},±b{a} 与 bf{it{b}} 方向相反， |a|=3. 故选ABC.2.C因为 {\overrightarrow{D_{1}C}}-{\overrightarrow{D_{1}A}}={\overrightarrow{A C}} ,且 {\overrightarrow{A C}}{=}\overrightarrow{A_{1}C_{1}} ，所以 \overrightarrow{D_{1}C}-\overrightarrow{D_{1}A}=\overrightarrow{A_{1}C_{1}}, 又 \overrightarrow{D_{1}A} 与 \overrightarrow{D_{1}C} 不共线，所以 \overrightarrow{)_{1}A},\overrightarrow{D_{1}C},\overrightarrow{A_{1}C_{1}} 是共面向量.3.A G 为 C D 的中点，\therefore\overrightarrow{A B}+(1)/(2)(\overrightarrow{B D}+\overrightarrow{B C})=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B G}=\overrightarrow{A G}. 4.B· *{\overrightarrow{O P}}={(3)/(4)}{\overrightarrow{O A}}+{(1)/(8)}{\overrightarrow{O B}}+{(1)/(8)}{\overrightarrow{O C}} ，且 (3)/(4)+(1)/(8)+ (1)/(8)=1,\dot{{\bfα}}.P,A,B,C 四点共面.5.—3 \because\overrightarrow{B C}=-2{±b{a}}-{±b{b}},\overrightarrow{D C}={±b{a}}-2{±b{b}},{/},\overrightarrow{B D}= \overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C D}=\overrightarrow{B C}-\overrightarrow{D C}=(-2a-b)-(a-2b)=-3a+ b,\because A,B,D 三点共线，·.存在实数 λ ，使得 \stackrel{\rightharpoonup}{A B}=λ\stackrel{\rightharpoonup}{B D} 9pmm± n=λ(-3a+b),λ\colon\left\{\begin{array}{l}{{9=-3λ,}}\\ {{m=λ,}}\end{array}\right. ：即 解得 m= λ{=}{-}3.

1.1.2 空间向量的数量积运算

【课前·基础认知】

1.(1)/AOB (2) 2 2.(1)|a||b|cos<a,b>|a||b|cos<a,b> 0 (2)\mathbb{O}a* b=0\quad\mathbb{O}|a|^{2} [微训练1] A OA·BC=OA·(OC-OB)=OA·DC-OA· OB=1X1Xcos 60°-1X1×cos 60°=0. 3.(1)|a|cos<a,b) b (3)A'B [b

[微训练2]

e e在e上的投影向量为le lcos<e,e2>·±b{e}_{2}{=}(1)/(2)±b{e}_{2}.

【课堂·重难突破】

一、空间向量的数量积运算

【典例剖析】

1.解 (1)\overrightarrow{E F}*\overrightarrow{B A}=(1)/(2)\overrightarrow{B D}*\overrightarrow{B A}=(1)/(2)\mid\overrightarrow{B D}\mid\mid\overrightarrow{B A}\mid\ .
\cos⟨\overrightarrow{B D},\overrightarrow{B A}⟩=(1)/(2){x}1{x}1{x}\cos{\ }60°{=}(1)/(4), 故E萨·BA=1. · (2)\overrightarrow{E F}*\overrightarrow{B D}=(1)/(2)\overrightarrow{B D}*\overrightarrow{B D}=(1)/(2)|\overrightarrow{B D}|^{2}=(1)/(2), 故 \overrightarrow{E F}*\overrightarrow{B D}=(1)/(2) ， (3)EF ·DC=BD·DC=IBD|IDC|cos<BD,
DC>= ×1×1×cos 120° 1 2 4 故 {\overrightarrow{E F}}*{\overrightarrow{D C}}=-{(1)/(4)}.
\begin{array}{c}{{(4)\overrightarrow{B F}*\overrightarrow{C E}=/12(\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{B D})*\left(/12\overrightarrow{B A}-\overrightarrow{B\hat{C}}\right)=}}\\ {{{}}}\\ {{/14|\overrightarrow{B A}|^{2}-/12\overrightarrow{B A}*\overrightarrow{B C}+/14\overrightarrow{B D}*\overrightarrow{B A}-/12\overrightarrow{B D}*\overrightarrow{B\hat{C}}=}}\\ {{{}}}\\ {{/14-/14+/18-/14=-/18,}}\\ {{{}}}\\ {{(*2)/(\r{k)}\overrightarrow{B F}*\overrightarrow{C E}=-/18.}}\end{array}

【学以致用】

1.解 \left(1\right)\overrightarrow{A B}*\overrightarrow{C_{1}A_{1}}=\overrightarrow{A B}*\overrightarrow{C A}=\overrightarrow{A B}*(\overrightarrow{C B}+ \scriptstyle{\overrightarrow{C D}})=-a^{2} ，(2) \overrightarrow{3C}*\overrightarrow{A_{1}D}=\overrightarrow{A D}*(\overrightarrow{A_{1}A}+\overrightarrow{A_{1}D_{1}})=\overrightarrow{A D} ：\stackrel{\rightharpoonup}{A_{1}D_{1}}=a^{2} ，(3)\overrightarrow{A\tilde{B}}*\overrightarrow{C_{1}\tilde{A}}=\overrightarrow{A\tilde{B}}*(\overrightarrow{C_{1}\tilde{C}}+\overrightarrow{C\tilde{B}}+\overrightarrow{B\tilde{A}})=\overrightarrow{A\tilde{B}}* {\overrightarrow{B A}}=-a^{2}

二、利用数量积证明空间中的垂直关系

【典例剖析】

2.证明由题意可知， \overrightarrow{E F}=\overrightarrow{B_{1}F}-\overrightarrow{B_{1}E}=(1)/(2)(\overrightarrow{B A}+
BC +\overrightarrow{B B_{1}} ),AC=BC-BA, BA·BC =0 BA· \stackrel{\triangledown}{\overrightarrow{B B_{1}}}=0 ,BC· \stackrel{\triangledown}{\overrightarrow{B B_{1}}}=0 ,|BA|=
|\overrightarrow{B C}|=|\overrightarrow{B B_{1}}| ， 则 \overrightarrow{E F}*\overrightarrow{A C}=(1)/(2)(\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{B B_{1}})*(\overrightarrow{B C}-

\overrightarrow{B A})=(1)/(2)(\mid\overrightarrow{B C}\mid^{2}-\mid\overrightarrow{B A}\mid^{2})=0, 故 \overrightarrow{E F\bot\overrightarrow{A C}} ，即 E F\bot A C .同理 E F\bot A B_{1} ：因为 A C\cap A B_{1}{=}A ，所以 E F ⊥平面 B_{1}A C ，

【学以致用】

2.(1)解因为 G 是 \triangle{O B C} 的重心，所以 \overrightarrow{O G}= (B+DC)=OB+OC,因为M是线段A G 的中点，所以 \overrightarrow{O M}=(1)/(2)\overrightarrow{O A}+(1)/(2)\overrightarrow{O G}=(1)/(2)\overrightarrow{O A}+ (1)/(2)\Big((1)/(3)\overrightarrow{O B}+(1)/(3)\overrightarrow{O C}\Big)=(1)/(2)\overrightarrow{O A}+(1)/(6)\overrightarrow{O B}+(1)/(6)\overrightarrow{O C}. (2)证明 \overrightarrow{O M}*\overrightarrow{B C}=\Big((1)/(2)\overrightarrow{O A}+(1)/(6)\overrightarrow{O B}+(1)/(6)\overrightarrow{O C}\Big) ：(\overrightarrow{O C}-\overrightarrow{O B})=(1)/(2)\overrightarrow{O A}*\overrightarrow{O C}-(1)/(2)\overrightarrow{O A}*\overrightarrow{O B}-(1)/(6)\overrightarrow{O B}^{2}+ (1)/(6)\overrightarrow{O C}^{2}=(1)/(2)x2-(1)/(2)x2-(1)/(6)x4+(1)/(6)x4=0 ，所以OM ⊥BC.

三、利用数量积求向量的夹角与投影向量

【典例剖析】

3.解因为 \overrightarrow{B A_{1}}=\overrightarrow{C A_{1}}-\overrightarrow{C B}=\overrightarrow{C A}+\overrightarrow{C C_{1}}-\overrightarrow{C B},\overrightarrow{C B_{1}}= {\overrightarrow{C B}}+{\overrightarrow{C C_{1}}} 所以 |\overrightarrow{B A_{1}}|^{2}=(\overrightarrow{C A}+\overrightarrow{C C_{1}}-\overrightarrow{C B})^{2}=|\overrightarrow{C A}|^{2}+|\overrightarrow{C C_{1}}|^{2}+ \begin{array}{l}{{|\overrightarrow{C B}|^{2}=1^{2}+2^{2}+1^{2}=6,|\overrightarrow{B A_{1}}|=√(6),|\overrightarrow{C B_{1}}|^{2}=(\overrightarrow{C B}+}}\\ {{\overrightarrow{C C_{1}})^{2}=|\overrightarrow{C B}|^{2}+|\overrightarrow{C C_{1}}|^{2}=1^{2}+2^{2}=5,|\overrightarrow{C B_{1}}|=√(5),\overrightarrow{B A_{1}}*}}\\ {{\overrightarrow{C B_{1}}=(\overrightarrow{C A}+\overrightarrow{C C_{1}}-\overrightarrow{C B})*(\overrightarrow{C B}+\overrightarrow{C C_{1}})=|\overrightarrow{C C_{1}}|^{2}-|\overrightarrow{C B}|^{2}=}}\\ {{2^{2}-1^{2}=3,\overrightarrow{β\uparrow}γ\chi\chi\cos{⟨\overrightarrow{B A_{1}},\overrightarrow{C B_{1}}⟩}=(\overrightarrow{B A_{1}}*\overrightarrow{C B_{1}})/(|\overrightarrow{B A_{1)}||\overrightarrow{C B_{1}}|}=}}\end{array} {(3)/({√(6))x{√(5)}}}{=}{(√(30))/(10)}.

[互动探究]

1.解由题意知, |\overrightarrow{B N}|=√(3),|\overrightarrow{C B_{1}}|=√(5) ，\overrightarrow{B N}*\overrightarrow{C B_{1}}=\left(\overrightarrow{C A}+(1)/(2)\overrightarrow{C C_{1}}-\overrightarrow{C B}\right)*(\overrightarrow{C B}+\overrightarrow{C C_{1}})= (1)/(2)|\overrightarrow{C C_{1}}|^{2}-|\overrightarrow{C B}|^{2}=(1)/(2){x}2^{2}-1^{2}=1, 故 :\cos⟨\overrightarrow{B N},\overrightarrow{C B_{1}}⟩=(\overrightarrow{B N}*\overrightarrow{C B_{1}})/(\vert\overrightarrow{B N)\vert\vert\overrightarrow{C B_{1}}\vert}=(1)/(√(3)xsqrt{5)}=(√(15))/(15). 所以 \xrightarrow[{B N}]{} 在 \overrightarrow{C B_{1}} 上的投影向量为 \mid\overrightarrow{B N}\mid\cos⟨\overrightarrow{B N} \overrightarrow{C B_{1}}⟩(\overrightarrow{C B_{1}})/(\vert\overrightarrow{C B_{1)}\vert}=√(3)x(√(15))/(15)x(1)/(√(5))\overrightarrow{C B_{1}}=(1)/(5)\overrightarrow{C B_{1}}. 2.解由已知得 |\overrightarrow{C A}|=|\overrightarrow{C B}|=1,|\overrightarrow{C C_{1}}|=2,\overrightarrow{C A} .\overrightarrow{C C_{1}}=\overrightarrow{C B}*\overrightarrow{C C_{1}}=\overrightarrow{C A}*\overrightarrow{C B}=0.