中等职业学校公共基础课同步系列

中等职业教育综合素养提升编写组 ① 主编

新出图证（鄂）字10号图书在版编目（CIP）数据随堂练习．数学：基础模块．上册／中等职业教育
综合素养提升编写组编．-－武汉：华中师范大学出版社，
2024. 12. -- ISBN 978-7-5769-0817-6I．G634中国国家版本馆CIP数据核字第202482Z3F3号

随堂练习 数学 基础模块 上册

前言

数学是研究空间形式和数量关系的科学，是科学和技术的基础，是人类文化的重要组成部分．数学课程是中等职业学校学生必修的一门公共基础课．本课程的任务是使学生掌握必要的数学基础知识，具备必需的相关技能与能力，为学生学习专业知识、掌握职业技能、继续学习和终身发展奠定基础，

本课程的教学内容由基础模块、职业模块和拓展模块三部分构成，其中基础模块是各专业学生必修的基础性内容和应达到的基本要求．本书是与中等职业教育课程改革规划新教材《数学（基础模块）》（上册）（修订版）配套使用的学生用书，章节安排与教材同步，紧密贴合教材所学知识点，有助于学生对所学知识进行回顾、总结和提高.

本书以基础知识为根基，结合学生的学习特点安排知识点．每章都设置了知识导航，旨在帮助学生了解本章知识框架．每节内容包括学习目标、知识梳理、典型例题、同步达标、能力提升、拓展应用．其中学习目标和知识梳理可以帮助学生巩固所学的基本概念、基本原理和重要公式；典型例题可以帮助学生了解解题思路和解题方法；同步达标、能力提升、拓展应用设置适合题目，难度逐步加深，用于学生对自己所学知识进行巩固.

本书的编写以教学大纲为基本依据，内容与九年义务教育阶段数学课程的衔接较好，突出职业特色，素材选取贴近学生生活实际，便于学生对数学的认知和理解，有利于学生学习兴趣的提高．本书内容的呈现形式多样化，注重从学生的认知规律出发，内容的表述深入浅出、通俗易懂，满足辅助课程学习的基本需求.

由于编者水平有限，本书难免存在不足之处，我们恳请广大师生对本书给予批评指正，并提出宝贵的意见和建议，以便将来进一步修改，提高质量，更好地适应教学需求和辅助学生学习.

编者2024年7月

第1章集合

1.1 集合及其表示
1.2 集合之间的关系
1.3 集合的运算 5

第 ^2 章不等式 29

2.1 不等式的基本性质 29
2.2 区间 38
2.3 一元二次不等式 43
2.4 含绝对值的不等式 49
2.5不等式应用举例 54

第3章 函数 61

3.1 函数的概念 61
3.2 函数的表示方法 67
3.3 函数的性质 74
3.4 函数的应用 90

第4章 三角函数 97

4.1角的概念的推广 98
4.2弧度制 105
4.3任意角的三角函数 111
4.4同角三角函数的基本关系 120
4.5 诱导公式 126
4.6正弦函数的图像和性质 133
4.7余弦函数的图像和性质 143
已知三角函数值求角 148

参考答案 154

1.1 集合及其表示

1.1.1 集合的概念

学习目标

1．了解集合的概念.
2.理解元素与集合之间的关系，
3．了解空集、有限集和无限集的含义.
4.掌握常用数集的表示符号.

知识梳理

1．集合的概念：将某些确定的对象看成一个整体就构成一个集合，简称集；组成集合的对象叫这个集合的元素.
2．集合与元素的符号：一般用大写英文字母 A ，B，C，·……·表示集合，用小写英文字母 \mathbf{\Delta}_{a} ， b ， \mathbf{\Psi}_{c} ，.··表示集合的元素.
3．集合与元素的关系： \mathbf{\Delta}_{a} 是集合 A 的元素，记作αEA，读作 \mathbf{\Delta}_{a} 属于 A ．α不是集合 A 的元素，记作 a\not\in A ，读作 a 不属于 A ，
4.常见的数集的符号：实数集R、有理数集Q、整数集 bf{z} 、正整数集 \mathbf{N}^{*} 、自然数集 N.
5．含有有限个元素的集合叫作有限集，含有无限个元素的集合叫作无限集.
6．不含任何元素的集合叫作空集，记作 \varnothing ，
7.集合中的元素的属性有确定性、互异性和无序性三种.（1）确定性：组成集合的对象是确定的，即对于任何一个具体的对象，它或者属于这个集合，或者不属于这个集合，二者必居其一.（2）互异性：同一集合中不能出现相同的元素，（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序.

典型例题

例1下列各题中的每组对象能否确定一个集合？若能，则构成的是有限集还是无限集？（1）一切很大的数；（2）方程 \scriptstyle x^{2}=9 的所有解；（3）不等式 x-5>0 的所有解.解（1）由集合的概念知，组成集合的对象必须是确定的，因为很大的数没有具体的标准，“一切很大的数”所指的对象是不确定的，所以不能构成集合.（2）方程 \scriptstyle x^{2}=9 的解为 x=±3 ，是有限的、确定的对象，所以可以构成集合，为有限集.（3）解不等式 x-5>0 可得 x{>}5 ，它们是确定的对象，所以可以构成集合，但元素有无限个，故为无限集.

【点拨】本题主要考查集合、有限集和无限集的概念.

例2用符号“E”或“e”填空.

(1）0 {0};(2）3.14 R;
(3) π Q;(4)0 Q;
（5） a {a,b,c};(6)3 N;
(7) 1 N";(8) 5 R. 3

解（1）∈;（2）∈;（3）;（4）;（5）∈;（6）∈;（7）;（8）∈.

【点拨】本题主要考查集合与元素的关系.

同步达标

一、选择题

1．下列各组对象能形成集合的是（ ).

A．高一年级帅气的学生 B．接近于2的数C．平方等于1的数 D.商场里的漂亮衣服

2．下列说法正确的是（

A．集合 bf{z} 是有限集 B.0是 \varnothing 的元素 C．方程 x^{2}-1=0 的解集是无限集 D. \varnothing 含有0个元素

3．下列方程或不等式的解集中是空集的是（ ）.

A. \{x|x^{2}-1=0\} B. \{x\mid x^{2}<-x\}
C. \{x\mid x^{2}=0\} D. \{x\vert x^{2}+1=0\}

4．已知集合 M 由1，2， x^{2} 组成，则 x 满足（ ）.

A. x\neq1 且 x\neq{√(2)} B. x\neq±1 C. x\neq±√(2) D. x\neq±1 且 x\neq±{√(2)}

5．下列关系中正确的是（ ）.

A.OEN B. \mathbf{-}5\in\mathbf{N}^{*}
C. 3.14Q D. {√(3)}\in\mathbf{Q}

二、填空题

1．用“有限集、无限集、空集”填空.

(1) y 轴上的所有点组成的集合是

(2) x^{2}-x+1=0 的解集是

（3）由大于2小于5的整数组成的集合是

（4）大于-1小于0的实数组成的集合是

（5）由 \mathbf{\Delta}_{a} ， b 组成的集合是

2.用“ *\in ”或“e”填空.

(1)0 Z;(2）0 N;(3)0 Q;(4)↓5 Q, （5） π R.

3．集合由 \mathbf{\Delta}_{a} ， a^{2}-a 两个元素构成，则 \boldsymbol{a} 的取值范围是

4．如果方程 a x^{2}+2x+1=0 的解集中只有一个元素，则 \boldsymbol{a} 的值是

5．由大于0小于1的所有正实数组成的集合是 ．（填“有限集”“无限集”或“空集”）

三、解答题

1．设集合 A 由 x-2 ， 2x^{2}+5x ，12组成，且 -3\in A ，求 x ，

2．假设集合 M=\{a\:|a=x^{2}-y^{2} ， \scriptstyle a\in\mathbf{Z}\} ，

（1）请推断任意奇数与集合 M 的关系.（2）关于集合 M ，你还可以得到一些什么样的结论？

3．若集合 A 由 x-2 ， x^{2} ，5三个元素组成，且0EA，试列出集合 A 中所有元素.

4．如果关于 x 的方程 x^{2}-4x+a=0 的解集中只有一个元素，求 \boldsymbol{a} 的值.

若 A=\{(2,-2),(2,2)\} ，则集合中元素的个数是（

A.1 B.2 C.3 D. 4

拓展应用

已知集合 A 由元素 a-3 ，2a-1, a^{2}-4 组成，且 -3\in{\cal A} ，求实数 \mathbf{\Delta}_{a} 的值

1.1.2 集合的表示方法

学习目标

1.初步掌握列举法和描述法等集合的表示方法.
2.结合列举法体会集合中元素具有的特性：确定性、互异性、无序性

知识梳理

1．列举法：将集合的所有元素一一列举出来，中间用逗号隔开，并用花括号把它们括起来，这种表示集合的方法称为列举法.2．描述法：利用集合所包含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．描述法的一般表示形式为 \{x|p\ (x)\ \} ，其中‘ *_{x} ”是集合中元素的代表形式，‘ \dot{\boldsymbol{p}} C x )”是集合中元素的共同特征，两者之间的“”不可省略.

典型例题

例1用列举法表示下列集合：

（1）小于10的所有自然数组成的集合；
（2）由1\~20内的所有质数组成的集合.

解（1）设小于10的所有自然数组成的集合为 A ，那么 A=\{0 ，1，2，3，4，5，6，7,8, 91.（2）设由1\~20内的所有质数组成的集合为 B ，那么 B=\{2 ，3,5，7,11，13，17，19}.

【点拨】集合中的元素与列举的顺序无关，因此集合 A 可以有不同的列举方法，如A= {9,8,7,6,5,4,3,2,1,0}.

例2判断下列各式表述是否正确.

（1）高中生小明∈高中生；（2）{（1，2）（3，4）（5，6）}包含6个元素；（3）若把九头牛身上所有的毛归纳为一个集合，可用列举法表示该集合，

解（1）不正确，“E”应用在元素与集合之间.
（2）不正确，该集合中包含三个元素.
（3）不正确，该集合无法用列举法表示.

【点拨】集合有两种表示方法，即列举法和描述法，当应用这两种方法时，花括号都是必不可少的，除N， \mathbf{N}^{*}\left(\mathbf{N}_{+}\right) ， bf{Z} ，Q，R外，没有花括号的不表示集合；由数组成的集合称为数集，由点组成的集合称为点集；有些集合只能用列举法或描述法表示，有些集合两种方法都适用，要根据具体问题进行具体分析.

同步达标

一、选择题

1.若 A=\{-1,-2,1,2\} ，则集合 A 的元素个数是（

A.1 B.2 C.3 D. 4．若 A=\{\ (\ -1,-2) ，（1，2）}，则集合 A 的元素个数是（

A.1 B.2 C.3 D.4

3．下列集合用列举法表示的是（ ）.

A．{绝对值小于2的实数} B.{a, b}C. \{x|x<0\} D. \{x{\in}\mathbf{N}|x{<}1\}

4．下列集合是用描述法表示的是（ ）：

A. (0} B.{梯形} C.R D. Q

5．用列举法表示集合 \{x\vert x\ (\ x-2\ ){=}0\} ，正确的是（ ）.

A.0,2 B.2,0 C. {0, 2} D.{(0,2)}

6．与它的相反数相等的数组成的集合是（ ).

A. {0} B. {1} C. \{1,-1\} D. Q

7．下列集合中是空集的是（ ）.

A. \{x|x^{2}-1=0\} B. \{x|x>=slant0\}
C. \{x|x^{2}=0\} D. \{x|x^{2}=-1\}

8．下列四个说法中，正确的是（ S

A．集合{0，1，2，0}是由四个元素组成的B. \{x|x<0\} 可用列举法表示为{0}C.集合 \{x\in\mathbf{N}|x<10\} 由9个元素构成D. \{x|x^{2}=4\}=\{-2 ，2}

二、填空题

1.用 ε 或 \notin 填空.

0 {0, 1} 2 {0, 1} -2 O -1 \{x|x^{2}=1\} 1 \{x|x^{2}=1\}

2.绝对值等于2的实数构成的集合是

3．用列举法表示下列集合：

（1）小于6的自然数的全体 ，（2）方程 x^{2}-4=0 的解集 ；（3）大于-3小于4的整数的全体

三、解答题

1．用列举法表示下列集合.

（1）小于5的自然数构成的集合；
（2）小于100的自然数构成的集合；
（3）奇数集;
（4）方程 2x-1=0 的解集.

2．用描述法表示下列集合.

（1）小于5的实数构成的集合;
（2）偶数集;
(3) x 轴上所有点构成的集合；
（4）第一象限内所有点的集合.

能力提升

1．设集合 A=\left|x\left|x<2{√(2)}\right| ，则下列表述正确的是（ 5

A. 2.9\in A B.πEA C. 3\in{\cal A} D. √(5)\in A

2．设集合 A=\{x\vert x<{√(26)}\} ， a=5 ，则下列表述正确的是（

A.aEA B.aA C. \{a\}\not\in A D. {a}EA

3．设集合 M=\{\mathit{\Phi}({\mathit{\Phi}}x,\ y\ )|x+y{=}1 ， x\in\mathbf{N} ， y\in\mathbf{N}\} ，用列举法表示集合 M 为

4．已知集合 A{=}{\left|x\right|}x{\in}\mathbf{N}^{*} 且 (12)/(4-x)\in\mathbf{N}^{*}\Big\vert 用列举法表示集合 A 为

5．用适当的方法表示下列集合.

（1）构成英语单词mathematics（数学）字母的全体；
（2）方程 x^{2}+5x+6=0 的解集；
（3）10以内的质数；
（4）在自然数集内，小于 1000 的奇数构成的集合；
（5）方程 x^{3}+2x^{2}-3x=0 的解集;
（6）绝对值小于3的整数的全体.

已知集合 A=\{x|a x^{2}-3x+2=0\} ，其中 \mathbf{\Delta}_{a} 为常数.

（1）若 A 为空集，求 a 的取值范围；（2）若 A 中只有一个元素，求 \mathbf{\Delta}_{a} 的值；（3）若 A 中至多有一个元素，求 \mathbf{\Delta}_{a} 的取值范围，

1.2集合之间的关系

学习目标

会利用交、并、补的定义及运算性质进行集合间的运算.

知识梳理

1．子集的定义：一般地，如果集合 B 的元素都是集合 A 的元素，那么集合 B 叫作集合A 的子集.

2.符号：记作 B\subseteq A 或 \scriptstyle A\supseteq B

3.读法：读作 B 包含于 \boldsymbol{A} ，或 A 包含 B

4．用图形表示为：

5．任何一个集合都是它本身的子集，记作 A\subseteq A ，

6．空集是任何集合的子集，记作 \scriptstyle\bigcirc\subseteq{\boldsymbol{A}}

7．一般地，如果集合 A 是集合 B 的子集，并且集合 B 中至少有一个元素不属于集合 A ，则称集合 A 是集合 B 的真子集，记作 A\subseteq B （或 B\exists A ），读作“A真包含于 B ”（或“ B 真包含A"）.

8．符号∈、与、、的区别：E与 \notin 表示的是元素与集合的关系， \subseteq 与、表示的是集合与集合的关系.

典型例题

例1用符号∈、、、或 \c= 填空.\begin{array}{l l}{0}&{\displaystyle(\{0,\}\{0,\},\{0\})/(\{-1,\)}\displaystyle(\{0,\}\{0\}/{\{0,\}\{0,\}\},\ \{0,\ 1\},\ \{0,\ 1\}\displaystyle/{\{0,\ 1\})/(\{1<= x<=3\)}\{α\}\displaystyle(\{0,\ 1\},\ O/{\{\{0,\ 0\}\{0,\ 1\}\})/(\{x\mid0<=slant x<=3\)}\{α\}\displaystyle(\{0,\ 1\})/(\{x\mid0<=slant x<=3\)}}\\ {\{x\mid-1<=slant x<=0\}\displaystyle(\{x\mid x<=2\})/(α\ )\{α\}\displaystyle(\{x\mid x<=2\})/(α\ ).}\\ {\Bigg\Updownarrow\emptyset^{∞}\ \in\ tt{tt{E}}=tt{tt{E}}=tt{tt{E}}\subsetneqtt{tt{E}}}\end{array} 1),4}，

【点拨】研究元素和集合之间的关系，符号在E、之间选取；研究集合与集合之间的关系，符号在、或 \mathbf{\Sigma}=\mathbf{\Sigma} 之间选取.

例2判断下列各组中两个集合之间的关系.

(1) {\cal A}=\{x|x{=}3m,m{\in}{\bf Z}\},B{=}\{x|x{=}6k,k{\in}{\bf Z}\}; (2) M=\{\ -3,\ 3\} ， N=\{x|x^{2}-9=0\} (3) P=\{x|x 是2的倍数}， Q=\{x|x 是4的倍数}.

解（1）因为集合 B 中所有的元素都是集合 A 中的元素，且集合 A 中有不属于集合 B 中的元素，所以 B\subsetneqq ，（2）由 x^{2}-9=0 解得 x_{1}=3 ， x_{2}=-3 ，所以集合 N 用列举法表示为{-3，3}，可以看出这两个集合相等，即 M=N （3）因为集合 \varrho 中所有的元素都是集合 P 中的元素，且集合 P 中有不属于集合 \varrho 中的元素，所以 Q\subsetneqq P ，

【点拨】（2）中要想清楚地判断所给两个集合的关系，需要将集合 N 用列举法表示出来.

例3写出集合 A=\{2,\ 3,\ 5\} 的所有子集和真子集.解集合 A 中共有三个元素，要想一个不漏地写出其所有的子集，可按以下步骤来写：

（1）因为空集是所有集合的子集，所以首先写出 \varnothing （2）写出由一个元素组成的子集，即{2}，{3}，{5};
（3）写出由两个元素组成的子集，即{2，3}，{3，5}，{2，5};
（4）写出由三个元素组成的子集，即{2，3，5}.
集合 A 的所有子集为 \varnothing ，{2], {3},{5},{2, 3},{3, 5},{2, 5},{2, 3, 5}.
在上述子集中，除了集合 A 本身，即{2，3，5}，其余的全为集合 A 的真子集.

【点拨】注意写集合的子集和真子集的时候不要忘记空集.

一、选择题

1．下列说法中，正确的是（ >

A．任何一个集合都至少有两个子集 B. {O}\supseteq\{0\} C．空集没有子集 D.如果 A\subseteq B ， B\subseteq C 则 A\subseteq C

2．下列关系式，正确的是（ ）

A. \{0,\ 1,\ 2\}\in\{2,\ 0,\ 1\} B. {O}\supseteq\{0\} C. 0\not\in{O} D. {1}∈{1, 2}

3．集合{（1，2），（2，3)}，共有（ ）个子集.

A.4 B.3
C.16 D.15

4．下列命题中正确的是（ ）.

A．任何一个集合至少有一个子集 B．任何一个集合至少有一个真子集C.空集是任何集合的真子集 D．空集没有子集

5．下列关系中错误的是（ ）.

A. \{0\}=\varnothing B.{1,3,5}≤R C. 8EQ D. \{a,\ b,\ c\}\supseteq\{c\}

6．下列4个集合中为空集的是（ ）.

A. {0} B. \{x|x>8 ，且 x<5 C. \{x\in\mathbf{N}|x^{2}-1=0\} D. \{x|x>4\}

7．集合{1，2}的子集有（ D

A.4个 B.3个 C.2个 D.1个

8．下列各选项中 P ， \varrho 表示同一个集合的是（ ）.

A. P=\{π\} ， Q=\{3.1416\} B. P=\{0\} ， \scriptstyle Q=\varnothing C. P{=}\{1,~3,~π~\} ， Q=\{\:π\:,\:1,\:3\} D. P=\{(~2,~3~)\} ， \scriptstyle Q=\{(3,\ 2)\}

9.设 m=0.5 ， M=\{x|x<2\} ，那么 m 与 M 之间的关系是（ ）.

A. m\subseteq M B. mEM C. m2M D. mM

10.设 A=\{x\vert2x-3=0\} ， B=\{x|4x^{2}-9=0\} ，那么（ ）

A. A\subseteq B B.AEB C. \scriptstyle A=B D. A\supseteq B

二、填空题

1.用“c”“2”或“ \mathbf{\Sigma}=\mathbf{\Sigma} ”填空.

(1) \{x|x^{2}=36\}_{*} \{x|(x-6)(x+6)=0\};

(2) \{x|x<4\}. \{x|x<1\}

（3）{彩电} {家用电器}；

2．已知集合 M=\{1,\ 2,\ 3,\ 5\} ，则 M 有 个真子集.

3．已知集合 A=\{-1,\ 3,\ m\} ， B=\{3,\ 4\} ，若 B\subseteq A ，则实数 m=

4.集合 A=\{x\mid1<x<6\} ， B=\{x|x<a\} ，若 A\subseteq B ，则 \boldsymbol{a} 的取值范围为

5．已知集合 \scriptstyle A=\{x\mid a x^{2}+2x+a=0 ， a\in\mathbf{R} ，若集合 A 有且仅有两个子集，则 a 的取值构成的集合为

6．已知集合 A=\{x|x<=slant3 ， x{\in}\mathbf{N}\} ，其中 A 的子集有 个，真子集有 个非空真子集有 个.

7．已知集合 A=\{1,a^{2}\} ， a 的范围是

8.若 A=\{2,\ 3,\ 5\} ，aEA且 5-a\in A ，那么 \boldsymbol{a} 的值是

9．已知集合 A=\{x|x<2\} ， B=\{x|x<=slant a\} ，若 A\subseteq B ，则 a 的取值范围为

三、解答题

1．设集合 A=\{0,\ 1\} ，集合 B{=}\{0,\ 3{,}\ a^{2}\} ，且 A\subsetneqq B ，求 \boldsymbol{a} 的值.

2．已知集合 A=\{x\vert2x-10=0\} ，集合 B=\{a^{2},~3\} ，且 A\subseteq B ，求 a 的值，

3．已知集合 A=\{1,\ 2\} ，集合 B=\{x|x^{2}+a x+b=0\} ，且 \scriptstyle A=B ，求 a 和 b 的值.

4．已知集合 A=\{x\vert1<=slant x<=slant3 x\in\mathbf{N} 1

（1）用列举法表示集合 A .（2）写出集合 A 所有的子集；（3）写出集合 A 所有的非空真子集，

5．已知集合 A=\{(\ x,y)\mid x+y=2\} ，集合 B{=}\{(0,2),(1,1)\} ，试判断集合 A 与 B 的关系.

能力提升

1．集合 \{x|x^{2}<0\} 的子集有 个.
2.集合 \{x|x^{2}=9\} 的真子集有 个.
3．设集合 A=\{1,\ 3,\ a\} ， B=\{1 ， style a^{2}-a+1\} ，且 B\subseteq A ，求 \mathbf{\Delta}_{a} 的值.

4．已知集合 A=\{x|x^{2}-3x+2=0\} ， B=\{x|a x-1=0\} ，且 B\subsetneqq ，求 \boldsymbol{a} 的值.

5．已知集合 A=\{x|-2<=slant x<=slant5\},B=\{x|m+1<=slant x<=slant2m-1\} ，若 A\subseteq B ，求实数 m 的 取值范围.