假期好作业

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假期好作业.数学.高二暑假／《假期好作业》编写
组主编，--南京：江苏人民出版社，2023.8(2025.4重印）ISBN 978-7-214-28170-8① 假.…Ⅱ. ① 假...Ⅲ. \mathbb{O} 中学数学课－高中－教
学参考资料IV. ① G634中国国家版本馆CIP数据核字（2023）第102126号
书 名 假期好作业 数学高二暑假
主 编 《假期好作业》编写组
责任编辑 张蕴如
出版发行 江苏人民出版社
地 址 南京市湖南路1号A楼，邮编：210009
印 刷 安徽省天长市千秋印务有限公司
开 本
印 张
字 数
版 次 2023年8月第1版
印 次 2025年4月第3次印刷
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目 录

主题一 基础知识

作业1 集合与常用逻辑用语作业2 不等式

主题二 函数

作业3 函数的概念与性质 8
作业4 幂函数、指数函数与对数函数 … 12
作业5 函数的应用(函数图象、函数与方程) 15
作业6 导数的概念与运算 18
作业7 函数与导数的综合运用 21
作业8 弧度制、任意角的三角函数与诱导公式 …… 24
作业9 三角恒等变换 27
作业10 三角函数的图象与性质 30
作业1 解三角形 34
作业12 等差数列与等比数列 38
作业 数列的通项与求和 41

主题三 几何与代数

作业 平面向量、复数 45
作业 空间中的平行与垂直关系 …… 48
作业16 空间几何体的表面积和体积 … 52
作业17 空间向量与立体几何 56
作业18 直线与方程 60
作业19 圆与方程 63
作业20 椭圆 6
作业21 双曲线 70
作业2 抛物线 74

主题四 概率与统计

作业 排列组合与二项式定理 77
作业24 离散型随机变量的概率分布、期望与方差 80
作业25 概率与统计 84

主题五 综合检测卷

作业26 综合检测 89

主题一 基础知识

作业1 集合与常用逻辑用语

(建议用时: 分钟)

知识梳理

1.元素与集合的关系

(1)集合中元素的特征:(2 )元素与集合的关系有:()集合的常用表示方法:()常用数集的记法

2.集合间的基本关系

3.集合的基本运算

4.用“充分条件”“必要条件”填空

5.全称量词命题 \forall{x}{\in}M,{p}({x}) )”的否定: 存在量词命题“∃ |\boldsymbol{x}\in M,\boldsymbol{\phi}\left(\boldsymbol{x}\right)^{;} ”的否定:

夯基提优

一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分)

1.(2024·江苏南京高二期末)已知集合 A=[0,3),B=(1,4) ,则 A\cap B= (

A.[0,4) B.(1,3) C.[0,3) D.(0,1]

2.(2024·江苏淮安高二期末)集合 A=\{(x,y,z)|x\in\{0,1\},y,z\in\{2,3,4\}\} }中元素的个数为( )

A.18 B.12 C.8 D.5

3.(2024·江苏扬州高二期末)命题 \exists x\in\mathbf{R},-x^{2}+a x-1>0^{,+} 是假命题,则实数 a 的取值范围是 ( )

A. (-∞,2] B.(-2,2) ~C.~\left[-2,2\right]\qquad~D.~\left[2,+∞\right)

4.(2024·江苏常州高二月考)已知集合 M=\{x\mid x^{2}-2x-3<0\} }, N=\{x\mid-2{<=slant}x{<=slant}\ln5\} ,则 M \cap N= ( )

A. [\ln5,3) ) ~\mathsf~{~B_{\star}~}\left(-1,\ln5\right]\qquad~\mathsf~{~C_{\star}~}\left[-2,1\right)\qquad~\mathsf~{~D_{\star}~}\left[-2,3\right)

5.(2024·江苏连云港高二期末)定义:集合 A-B=\{x\mid x\in A 且 {}_{x\notin B}\} }.若 A=\{1,2,3,4,5\} ,B=\{4,5,6,7,8\} },则 A-B= ( )

A. \left\{1,2,3\right\} } ~B.\{4,5\} C. \left\{6,7,8\right\} {,,,,}

6.(2025·江苏如东高二月考)已知直线 l:m x+y+3=0 和直线 n:3m^{2}x+(m-2)y+1=0 ,则*_{m}=-1* ”是 l//n ”的 ( )

A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件 既不充分又不必要条件

7.(2025·江苏盐城高二月考)已知集合 A=\left\{x\in\mathbf{Z}\mid x^{2}+x-2<0\right\},B=\left\{x\in\mathbf{N}\mid0{\ll}\log_{2}\left(x+\right. \phantom{+}1){<}2⟩ },则 A\cup B 的非空真子集的个数为

A.16 B.15 C.14 D.6

8.(2024·江苏南京高二月考)下列命题的否定是假命题的为

A. \exists x_{0}\in\mathbf{R},x_{0}^{2}+1<=slant x_{0} B.所有可以被5整除的整数,个位数字都是0C. \forall x,y\in\mathbf{R} ,且 x y\neq0,(x+y){\Big(}{(1)/(x)}+{(1)/(y)}{\Big)}\neq4 存在一个四边形,它的对角线互相垂直

二、多选题(本题共3小题,每小题6分,共18分)

9.已知全集 U{=}P\cup Q ,集合P={1,3,4}, Q{=}\left\{x\left|{(6)/(x)}\in\mathbf{N},x\in\mathbf{N}\right\} ,则

A. P 的子集有8个 ] 3.\ (1)/(2)\in U

C. \complement_{U}P\neq Q U 中的元素个数为

10.下列说法正确的是 ( )

A.“ \forall x\in\mathbf{N},x^{2}>0^{*} ”是假命题B. *s\forall x\in(0,1),\ln x{\<}\lg x^{\prime} ”是真命题C. 3^{a}>3^{b} 是 a^{2}{>}b^{2} 的充分不必要条件D. a,b\in\mathbf{R},\mid a+b\mid=\mid a\mid+\mid b\mid 的充要条件是 a b>=slant0

1 .设 A=\{x|x^{2}-5x+6=0\},B=\{x|a x-1=0\} },若 A\cap B=B ,则实数 a 的值可以是 ( )

A.0 B.\ (1)/(3) C.~(1)/(2) D.2

三、填空题(本题共 小题,每小题 分,共 分)

12.某班共有40名学生.在某次测试中,语文成绩优秀的学生有35名,数学成绩优秀的学生有30名,则两门成绩都优秀的学生最多有 名,最少有 名.

13.(2024·江苏镇江高二期末)已知命题 \rho:\exists x\in(1,2),a x{>=slant}1 成立,若 \boldsymbol{\mathbf{\mathit{\Sigma}}}_{P} 为真命题,则 a 的取值范围为

14.已知集合 A=\left\{x\left|{(x+1)/(x-3)}<0\right.\right\},B=\{x\mid-1<x<m+2\} },若 x\in A 是 {\boldsymbol{x}}\in B 成立的充分不必要条件,则实数 \mathbf{\Psi}_{m} 的取值范围是

四、解答题(本题共 小题, 15+15+17=47 分)

15.(2024·江苏扬州高二月考)已知全集 U{=}\mathbf{R} ,集合 A=\left\{x\left|{(3x+1)/(x-1)}<2\right.\right\},B=\left\{x\left|2m-1<x<\right. m+3\} }.

()若 A\cap B=B ,求实数 \mathbf{\Psi}_{m} 的取值范围;
()若 \complement_{\mathbf{R}}A)\cup B=\mathbf{R} ,求实数 \mathbf{\Psi}_{m} 的取值范围.

16.已知命题 \boldsymbol{\mathbf{\mathit{\Sigma}}}_{P} :“关于 x,y 的方程 x^{2}-2a x+y^{2}+2a^{2}-5a+4=0\left(a\in\mathbf{R}\right) )表示圆”,命题 q :“ \forall\boldsymbol{x}\in\mathbf{R} ,使得 x^{2}+(a-1)x+1>0(a\in\mathbf{R}) )恒成立”.

()若命题 \boldsymbol{\mathbf{\mathit{\Sigma}}}_{P} 为真命题,求实数 a 的取值范围;
(2)若命题 {\boldsymbol{\phi}},{\boldsymbol{q}} 都为真命题,求实数 a 的取值范围.

17.(2024·江苏常州高二月考)已知集合 A=\{x\mid1{<=slant}x{<=slant}4\} }, B=\{x\mid x^{2}-2m x+m^{2}-1{<=slant}0\}

(1)命题 p:x\in A ,命题 q:x\in B ,且 \boldsymbol{\mathbf{\mathit{\Sigma}}}_{P} 是 q 的必要不充分条件,求实数 \mathbf{\Psi}_{m} 的取值范围;
(2)函数 y=\log_{2}{(a x^{2}-2x+2)} )的定义域为 C ,若 A\cap C\neq\emptyset ,求实数 a 的取值范围.

作业2 不等式

(建议用时: 分钟)

知识梳理

1 .不等式的性质:(1 )若a<b,且ab>0,则1 \displaystyle{(1)/(a)(1)/(-{/{1){b}}}} ,即不等式两边同号时,不等式两 边取倒数,不等号方向要改变.

(2)如果对不等式两边同时乘(或除以)一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定,要注意分类讨论.

2.“三个二次”的关系:

3.基本不等式:(1)内容:两个正数的算术平均数 它们的几何平均数.即若 \mathbf{δ}_{a},b> ,则 {(a+b)/(2)}>={√(a b)} (当且仅当 a=b 时取等号).

()基本变形: ①a+b>= {\Big(}{(a+b)/(2)}{\Big)}^{2}>=slant ② 若 \mathbf{\boldsymbol{a}},\mathbf{\boldsymbol{b}}\in\mathbf{\mathbf{R}} ,则 a^{2}+b^{2}>=2a b , {(a^{2}+b^{2})/(2)}>=slant\left({(a+b)/(2)}\right)^{2}. ()基本应用:求函数最值. (a,b 为正实数)注意: ① 一正二定三相等; ② 积定和最小,和定积最大.当 a b=p (常数),则 ,当且仅当 时,当 a+b=S (常数),则 ,当且仅当 时,

夯基提优

一、单选题(本题共 小题,每小题 分,共 分)

1.( ·江苏南京高二期末)关于 x 的不等式 (1)/(2)x-a>0 的解集为 (1,+∞) ),则实数 a 的值为( )

1 1 A.1 B.-1 C. D.- 2 2

2 .不等式 (1+x)/(1-x){>=slant}0 的解集为

( )

A. \{x\mid x>=slant1 或 \ensuremath{\boldsymbol{{x}}}<=slant-1\ensuremath{\boldsymbol{{\}}} B. \{x\mid-1{<=slant}x{<=slant}1\}
C. \{x\mid x>=slant1 或 x{<}-1\} D. \{x\mid-1{<=slant x}{<}1\}

3.若 a<b<0,c>0 ,则 ( )

A. (c)/(a)<(c)/(b) B.(1)/(a c){<}(1)/(b c) ~it~{~C~~}|a c|{<}|b c|~it~{~D~~}{(a)/(c)}{<}(b)/(c)

4.(2024·江苏南京高二期末)若关于 x 的不等式 x^{2}-2x-m>0 的解集为 \{x\mid x<-2 或 _x> \mid n\mid },则 C_{m}^{n}= ( )

A.70 B.90 C.180 D.495

5.“不等式 x^{2}-x+m>0 在 bf{R} 上恒成立”的充要条件是

6 .若对任意 x{<}0 ,不等式 x+(4)/(x)<=slant m^{2}+5m 恒成立,则实数 \mathbf{\Psi}_{m} 的取值范围是 ( )

A. [-4,-1] \begin{array}{l}{{B.~\left(-∞,1\right]\cup[4,+∞\right)}}\\ {{D.~\left[1,4\right]}}\end{array} C.(-∞,-4]∪[-1,+∞)

7.(2024·江苏常州高二月考)已知 _{x>0,y>0} ,且 2x+y=1 ,则 (x^{2}+2y)/(x y) 的最小值为

(17)/(2) B.22+1 C.4 D.\ 2{√(2)}+4

8.(2025·江苏盐城高二期中)已知直线 n:3x+(2a-1)y-1=0 与直线 m:b x+y+3=0(a, , b>0),且m⊥n,则1+2 的最小值为 (

A.15 B.\ 7{+}2{√(3)} C.12 D.~8{+}4{√(3)}

二、多选题(本题共3小题,每小题6分,共18分)

9.若 a{<}b{<}c{<}0 ,则下列不等式中正确的有

A. \mid a\mid+b>0 B.(c)/(a){>}(c)/(b) ~c~.~(b)/(a){>}(b+c)/(a+c) D. a+(1)/(b)<b+(1)/(a)

10.(2024·江苏扬州高二月考)下列各函数中,最小值为2的是

A. y=x^{2}-6x+10 \begin{array}{l}{~B,\ y=x-2√(x)+3}\\ {~D,\ y=(x^{2}+2)/(√(x^{2)+1)}}\end{array}
C. \scriptstyle{y=x+{(1)/(x)}}

1 .(2024·江苏南京高二期末)若 a>0,b>0 ,且 a+b=2 ,则下列不等式中恒成立的是 ( )

A. \scriptstyle0<b<2 H \ 3.\ a-b<2 C. a b\{<=slant1 D. a^{2}+b^{2}{<=slant}2

三、填空题(本题共 小题,每小题 分,共 分)

12.在R上定义运算 \bigotimes_{:x}\bigotimes y=x(1-y) ,若不等式 (x-a)\bigotimes(x+a){\<}1 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为

13.(2024·江苏苏州高二月考)已知实数 x,y 满足 _{x>3} ,且 x y+2x-3y=12 ,则 x+y 的最小值为

14.(2024·江苏南京高二期末) \forall x\in\mathbf{R},(a^{2}-4)x^{2}+(a+2)x+1>=slant0^{,} ”为真命题,请写出一个满足条件的实数 a 的值

四、解答题(本题共 小题, 15+15+17=47 分)

15.( ·江苏无锡高二月考)已知 f(x)=x^{2}-(a+1)x+a,a\in\mathbf{R}.

(1)解关于 x 的不等式 f(x){>}0 ;

(2)若 \mathbf{\Psi}_{x_{1}},x_{2} 是方程 f(x){=}1{-}x 的两个实数根,且 a{>}0 ,求 (x_{1}^{2}* x_{2}^{2})/(x_{1)+x_{2}} 的最小值.

16.( ·江苏常州月考)已知函数 f(x){=}m x^{2}-(2m{+}1)x{+}2(m\in{\bf{R}}). .

(1)若 m{>}0 ,解关于 x 的不等式 f(x){<}0 ;
()若不等式 f(x){<=slant}x-4 在 x\in(3,+∞) )上有解,求实数 \mathbf{\Psi}_{m} 的取值范围.

17.据了解,某企业研发部原有20 名技术人员,年人均投入 a 万元 (a>0) ,现把原有技术人员分成两部分:技术人员和研发人员,其中技术人员 x 名 (x\in\mathbf{N} 且 90{<=slant}x{<=slant}150) ),调整后研发人员的年人均投入增加 (2x)% ,技术人员的年人均投入调整为 a\left(m-{(x)/(25)}\right) 万元.

()要使这 (200-x) )名研发人员的年总投入不低于调整前 名技术人员的年总投入,调整后的技术人员的人数最多为多少?
(2)为了激励研发人员的热情和保持各技术人员的工作积极性,在资金投入方面需要同时满足以下两个条件: ① 技术人员的年人均投入始终不减少; ② 研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入.是否存在这样的实数 \mathbf{\Sigma}_{m} ,使得技术人员在已知范围内调整后,满足以上两个条件? 若存在,求出 \mathbf{\Omega}_{m} 的取值范围;若不存在,请说明理由.

主题二 函数

作业3 函数的概念与性质

(建议用时: 分钟)

知识梳理

1.函数的概念:(1)函数的三要素: .其中 是由和 确定的.要判断两个函数是否相同,即判断 是否相同.

(2)函数的表示方法:

()函数的解析式的求法: 等.特别注意:要求出函数的

(4 )定义域法则:①g(x): ; \B{②}[f(x)]^{0} : ; ③sqrt[2n]{f(x)} : f(x) ④\log_{f(x)}g\left(_{X}\right) : ; ;⑤tan(\omega x+\varphi); :

(5)函数的最值:已知函数 _{y}=f(\boldsymbol{x}) ,定义域为 A ,如果存在一个 {\bf\Omega}_{x_{0}}\in A ,使得 \forall x\in A 都有f(x){<=slant}f(x_{0}) ,则称 f(x_{0}) )为函数的最 值;如果存在一个 style{x_{0}}\in A ,使得 \forall x\in A 都有f(x){>=slant}f(x_{0}) ,则称 f(x_{0}) )为函数的最 值.求函数的值域与最值,首先应研究函数的

2.函数的性质:

(1)函数的单调性: ① 定义:一般地,如果对于属于定义域 A 内某个区间 I 上的任意两个自变量的值 x_{1},x_{2} ,当 x_{1}{<}x_{2} 时,都有 ,那么就说 f(x) )在这个区间 I 上是 函数;② 证明方法: 、导数法; ③ 定义的变形: \forall x_{1},x_{2}\in D,x_{1}\neq x_{2} , {(f(x_{2})-f(x_{1}))/(x_{2)-x_{1}}}{\stackrel{}{>}}0{\Longleftrightarrow}f(x) 在区间 D 上单调 ; ④ 复合函数的单调性规则: ,且不能遗忘定义域.

()函数的奇偶性:

① 定义:对于函数 f(x) ,如果对于定义域内任意一个 x 都有 f(-x)= ,那么 f(x) )就叫作奇函数;如果对于定义域内任意一个 x 都有 f(-x)= ,那么 f(x) )就叫作偶函数.如果函数 f(x) 是奇函数或偶函数,那么就说函数 f(x) )具有奇偶性.

② 几个重要性质:奇函数与偶函数的定义域关于 对称;奇函数的图象关于对称;偶函数的图象关于 对称;函数 f(x) )为奇函数,且在 x=0 处有定义,则 f(0)= ;如果 f(x) )为偶函数,那么 f\left(x\right)=f\left(\mid x\mid\right) );奇函数在对称的区间内有 单调性,偶函数在对称的区间内有 单调性(填“相同的”或“不同的”).

()函数的周期性与对称性:

① 若 f(x) )满足对定义域内任意实数 x ,都有 f(x+T)=f(x) ,则 f(x) )是周期函数,且周期是 ;

② 若 f(x) 满足对定义域内任意实数 x ,都有 f(x+a)=f(b-x) ,则 f(x) )的图象关于直线

对称;

③ 若 f(x) )满足对定义域内任意实数 x ,都有 f(x+a)+f(b-x)=c ,则 f(x) 的图象关于点 对称.

夯基提优

一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分)

1.若函数 f(2x+1)=x^{2}-2x ,则 f(3) )等于

A.-1 B.0 C.1 D.3

2.若函数 \scriptstyle y={√(x^{2)+2x+a}}+\ln(x+2) )的定义域为 [1,+∞) ),则 a= ?

A.-3 B.3 C.1 D.-1

3.已知 f\left(x\right) )为 bf{R} 上的奇函数,且 f\left(x\right)+f\left(2-x\right)=0 ,当- 1<x<0 时, f\left(x\right)=3^{x} ,则f(\log_{3}12) )的值为 ( )

A. (1)/(12) B.12 C.~(4)/(3) D.\ -(3)/(4)

4 .已知函数 \scriptstyle{y={√(1-2x)}+{√(2x+3)}} 的最大值为 M ,最小值为 \mathbf{\Psi}_{m} ,则 (m)/(M) 的值为

(1)/(4) 1 C.~(√(2))/(2) 3 A. B. D. 2 2

5.(2024·江苏扬州高二期末)函数 f(x){=}(2x+\sin x)/(x^{2)+1} 2x+sinx的大致图象为

6.(2025·江苏南京高二月考)已知 f(x) )是定义在 bf{R} 上的奇函数,对任意 x_{1},x_{2}\in(-∞,0) )且x1≠x2,都有 f(x1)-f(x2)<0,f(-1)=0,则不等式xf(x)<0的解集是 ( )

A. (-∞,-1)\cup(1,+∞) \begin{array}{l}{{B_{*}\left(-∞,-1\right)\bigcup(0,1)}}\\ {{D_{*}\left(-1,1\right)}}\end{array} C.\ (-1,0)\bigcup(1,+∞)

7. 2024*\mathtt{i}\mathtt{I} 苏南通高二期末)已知函数 f\left(x\right)=x^{3}+m x^{2} ,若 \forall x_{1},x_{2}\in\mathbf{R},x_{1}\neq x_{2} ,都有f(x1)-f(x2)>-2,则实数m 的最大值为 ( )

A. √(3) B. √(6) C.23 D.26

8.( ·江苏徐州高二期末)已知函数 f(x)=\left\{\begin{array}{l l}{\displaystyle x+(3a-2)/(x),x>=1,}\\ {\displaystyle(a+2)x-4,x<}\end{array}\right. 在 \mathbf{R} 上单调递增,则实数 \mathbf{\Omega}_{a} 1
的取值范围为

A . \left[{(2)/(3)},1\right] ~B.\left[-(1)/(2),1\right] C.(-2,1] D .\ (-2,-{(1)/(2)}]

二、多选题(本题共3小题,每小题6分,共18分)

9.若函数 y=x^{2}-4x-4 的定义域为 [0,m] ,值域为 [-8,-4] ,则实数 \mathbf{\Psi}_{m} 的值可能为 ( )

A.2 B.3 C.4 D.5

10.设函数 f(x)=m i d\{\left|x-2\right|,x^{2},\left|x+2\right|\} ,其中mid \{x,y,z\} }表示 x,y,z 中的居中者.下列说法正确的有 ( )

A. f(x) )只有一个最小值点 B. f(x) 的值域为 [1,+∞) C. f(x) )为偶函数 D. f(x) )在(0,1)上单调递减

1 .(2024·江苏徐州高二期末)已知函数 f(x){=}{(x)/(|x|-1)} ,则

A . f{\Bigl(}{(3)/(2)}{\Bigr)}=f{\Bigl(}-{(3)/(4)}{\Bigr)}
B. f(x) )为奇函数
C. f(x) )在区间 \bigl(-(1)/(2),(1)/(2)\bigr) 上单调递增
D.集合 \left\{x\left|f(x)={(a)/(x)},a{>}4\right\} 的元素个数为

三、填空题(本题共 小题,每小题 分,共 分)

f(x)={\binom{x^{2}-3x}{g(x),\quad x<0}} ,12.已知函数 是定义在 \mathbf{R} 上的偶函数,则 g(-4) )等于

13.已知函数 f(x)={\binom{x^{2}-5,x>2,}{|x-4|+m,x<=slant2}} 若 f(f({√(7)}))=5 ,则 m=\_ ,

14.(2024·江苏南京高二期末)若函数 y={(a x+1)/(√(a x^{2)-4a x+2)}} 的定义域为 \mathbf{R} ,则实数 a 的取值范围是

四、解答题(本题共 小题, 15+15+17=47 分)

15.已知 _{y}=f(\boldsymbol{x}) )是二次函数,且满足 f(0){=}1,f(x{+}1){=}f(x){+}2x ,求 f(x) )的解析式及其 值域.

16.已知 f(x) )满足 2f(x)+f{\Big(}{(1)/(x)}{\Big)}=3x ,求 f(x) ).

17.已知函数 f(x){\stackrel{}{=}}{(-x^{2}+1)/(x^{2)+b}}(b\in\mathbf{R}) ,且 f{\Big(}{(1)/(2)}{\Big)}={(3)/(5)}

()求 f\left({(1)/(2\thinspace024)}\right)+f\left({(1)/(2\thinspace023)}\right)+*s+f\left({(1)/(2)}\right)+2f\left(1\right)+f\left(0\right)+f\left(2\right)\thinspace+*s+f\left(2\thinspace023\right)+f\left(1\thinspace023\right)+f\left(0\right)+f\left(2\thinspace12\right). f(2024) )的值;

()解不等式 f(4^{x}+2^{x})<-(3)/(5) ·

作业4 幂函数、指数函数与对数函数

(建议用时: 分钟)

知识梳理

1.幂函数:()定义:形如 的函数叫作幂函数.

(2)幂函数 y=x^{α} 在第一象限的性质:恒过点 ,若在 [0,+∞) )上单调递增,则;若在 [0,+∞) )上单调递减,则

(3)幂函数简图的画法步骤: ① 求定义域,并判断奇偶性(幂式化根式); ② 画第一象限的图象; ③ 根据定义域和奇偶性画出其余象限图象.注意:第四象限没有图象.

2.指数函数、对数函数的定义:形如 的函数叫作指数函数,形如 的函数叫作对数函数.

3.指数函数、对数函数的图象和性质

夯基提优

一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分)

1 .函数 f(x)=a^{x+1}+2\ 023(a>0 且 a\neq1) )恒过定点

A.(0,1) B.(0,2023) C.(-1,2024) D.(-1,0)

2 .( ·江苏苏州高二期末)已知幂函数 f(x)=(m^{2}+m-1)x^{-2m+1} 在 (0,+∞) )上单调递减,则实数 \mathbf{\Sigma}_{m} 的值为 ( )

A.-2或1 B.-1或2 C.1 D.-2

3.(2024·江苏徐州高二期末)我们通常用里氏震级来标定地震规模的大小,里氏震级 M 与震源中心释放的能量 E 有关,二者满足关系式 M=(2)/(3)\lg E-3.2 ,则里氏8.0级地震释放的能量是里氏4.7级地震释放的能量的 ( )

A.1.7倍 B.4.95倍 C . 10^{1.7} 倍 D . 10^{4.95} 倍

4.已知函数 f(x){=}\log_{2}\left[x\left(a-x\right)\right] ]在区间(0,1)上单调递增,则 a 的取值范围是

A. (-∞,-2] B.[-2,0) C.(0,2] D. [2,+∞)

5.函数 f(x)=\left\{{e}^{x},x{<=slant}0,\right. 是

A.偶函数,且没有极值点 B.偶函数,且有一个极值点奇函数,且没有极值点 奇函数,且有一个极值点

6.(2024·江苏南通高二月考)若函数 f(x){=}\ln(e^{x}+1){-}a x 为偶函数,则实数 a 的值为(

A. -{(1)/(2)} B.±(1)/(2) C.~(1)/(2) D.2

7.( ·江苏南通高二月考)设函数 f(x){=}\left\{\left({(1)/(2)}\right)^{x},x{<}1,\right. 则 f(\log_{2}5)= ,

A. (1)/(5) B.\ {(2)/(5)} C.\ (5)/(4) D. (4)/(5)

8.(2024·江苏扬州高二期末)已知函数 f(x)={\binom{2^{x},x<=slant0,}{x^{(1)/(2)},x\gg0,}} 则下列说法正确的是 (,

A. f(x) )是 bf{R} 上的增函数
B. f(x) )的值域为 [0,+∞)
C \scriptstyle\left\{x>{(1)/(4)}\right\} ”是 f(x){>}(1)/(2); ”的充要条件
若关于 x 的方程 f(x){=}a 恰有一个实根,则 a{>}1

二、多选题(本题共 小题,每小题 分,共 分)

9.已知 \log_{n}{3}{\-}\{\log_{m}{3} ,则下列结论中可能正确的是 ?

A. 1{>}n{>}m{>}0 B. 1{>}m{>}n{>}0
C. n{\stackrel{style>1>m>0}{\longrightarrow}} D. m{>}n{>}1

10.已知函数 f(x){=}(2^{x}-1)/(2^{x)+1} ,则下列说法正确的是

A. f(x) )为奇函数 B. f(x) 为减函数C. f(x) )有且只有一个零点 D. f(x) )的值域为[-1,1)

\operatorname{sgn}(x)={\left\{\begin{array}{l l}{1,x>0,}\\ {0,x=0,}\\ {-1,x<}\end{array}\right.} , 1 .(2024·江苏常州高二月考)已知符号函数 , 则 <0,

A. \operatorname{sgn}(x) )是周期函数
B.对任意的 x\in\mathbf{R},|x|=-x\operatorname{sgn}(-x)
C.函数 y=2^{x}\operatorname{sgn}(x) )的值域为 (-1,0]\cup[1,+∞)
D.函数 y=x^{2}\operatorname{sgn}(-\ln x) )的值域为 \{y\vert y<-1 或 \scriptstyle0<=slant y<1\} }

三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)

12. (2024*\arctan 苏常州高二月考)已知函数 f\left(x\right)=e^{x+1},g\left(x\right)=x^{3} ,若存在实数 a,b ,使得f(a){=}g\left(b\right) ),请写出 b-a 的一个可能值:

f(x)=\left\{\begin{array}{l l}{2^{x},x<=slant0,}\\ {1}\\ {\overline{{x}},x>0,}\end{array}\right. ,13 .若函数f(x)=􀮡 ,则 f(f(-1))= ,不等式 f(x){>=slant}{(1)/(2)} 的解集为

14.已知函数 f(x)=\log_{a}\left(9-a^{x}\right),g\left(x\right)=\log_{a}\left(x^{2}-a x\right) ),若对任意 x_{1}\in[1,2] ,存在 x_{2}\in[3,4] 使得 f(x_{1}){>=slant}g(x_{2}) )恒成立,则实数 \mathbf{α}_{a} 的取值范围为

四、解答题(本题共 小题, 15+15+17=47 分)

15.计算:() \left(2(7)/(9)\right)^{0.5}+0.1^{-2}+\left(2(10)/(27)\right)^{-(2)/(3)}-3π^{0}+(37)/(48); (2) (\log_{3}2+\log_{9}2)*(\log_{4}3+\log_{8}3).

16 .(2024·江苏常州高二月考)设函数f(x)=-x2+1+ f(x)=(-2^{x}+a)/(2^{x+1)+b}(a>0,b>0). .

(1)若函数 f(x) )是奇函数,求 a 与 b 的值;
(2)在(1)的条件下,判断并证明函数 f(x) )的单调性,并求不等式 f(x){>}{-}{(1)/(6)} 的解集.

17 .已知函数 f(x)=x+{(a)/(x)}+b 是奇函数,且 f(1){=}2 .

(1)求函数 f(x) )的解析式,并判断函数 f(x) )在区间 (0,+∞) )上的单调性(无须证明);

(2 )已知函数 F(x){=}\log_{c}\left[f(x){-}{(9)/(4)}\right](c{>}0 且 \mathbf{\Psi}_{c}\neq\mathbf{1}) ),已知 F(x) 在 x\in[2,4] 的最大值为2,求 \mid c\mid 的值.

作业5 函数的应用(函数图象、函数与方程)

(建议用时: 分钟)

知识梳理

1.函数图象的变换:()平移变换:左加右减.

①y=f(x) 图象上所有点的横坐标不变(2)伸缩变换:纵坐标变为原来的 A 倍{②}{y=}f({x}) 图象上所有点的纵坐标不变横坐标变为原来的 A 倍

①y=f(x) 关于 x 轴对称()对称变换:②y=f(x) 关于 y 轴对称③y=f(x) 关于原点对称

2.函数与方程:

(1)函数的零点:对于函数 {\boldsymbol{y}}={\boldsymbol{f}}({\boldsymbol{x}}),{\boldsymbol{x}}\in D ,我们把满足 的实数 x\left(x\in D\right) )称为函数 y=f\left(x\right) )的零点,实质上函数 y=f\left(x\right) )的零点就是 ,它是 而不是(2)函数 \scriptstyle y=f(\boldsymbol{\mathbf{\ell}}_{\boldsymbol{x}})-g(\boldsymbol{\mathbf{\ell}}_{\boldsymbol{x}}) )的零点可以看成

(3)函数零点存在定理:若函数 y=f(x) )在闭区间 [a,b] 上的图象是连续曲线,并且满足f(a)* f(b){\<}0 ,则在区间 (a,b) )内,函数 y=f(x) 至少有一个零点,即方程 f(x)=0 在区间\left(a,b\right) )内至少有一个实数解.

夯基提优

一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分)

1.函数 f(x){=}\ln x{+}2x{-}6 的零点的个数为

A.0 B.1 C.2 D.3

2 .为了得到 {}y=\log_{4}{(3-x)} )的图象,只需把函数 _{y=(1)/(2)\log_{2}x} 图象上所有的点

关于 y 轴对称,再向左平移 个单位长度B.关于 y 轴对称,再向右平移3个单位长度向左平移 个单位长度,再关于 x 轴对称向右平移 个单位长度,再关于 x 轴对称

3.已知函数 f(x){=}2^{x}{+}2x,g(x){=}{\log_{2}x+2x} , h\left(x\right)=3^{x}+2x 的零点分别为 {\mathbf{\boldsymbol{a}}}_{},{\boldsymbol{b}}_{},{\mathbf{\boldsymbol{c}}} ,则( )

A. b{>}c{>}a B β.\ b>a>c C. c{>}a{>}b D. \partial{\>}b{>}c

4.已知 _{x>0} ,则函数 \scriptstyle3=x-{(9)/(x^{2)}} 的零点所在区间为

A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

5.(2024·江苏南通高二月考)函数 y={(e^{x})/(x)} 的大致图象是

f(x)={\binom{2x^{2}-x,x<=slant0}{x-x^{2},x>0,}} ,6.已知函数 若方程 f(x)=k 恰有3个不同的实数根,则实数 k 的取值范围为 ( )

A . \left(0,{(1)/(4)}\right) B.\left[(1)/(64),(1)/(32)\right] ~it~{~C~~}(1,+∞)~\ensuremath~{~{~D~~}~}\big((1)/(8),(1)/(4)\big)

f(x)=\left\{{(x^{2}+2x,)/(\left[{/{e^{x)}{x}},x>0\right.}}\right. \Bigl(x^{2}+2x,x<=slant0, ,
7.(2024·江苏常州高二月考)函数 若函数 g\left(x\right)=f\left(x\right)-m 有3个零,
点,则 \mathbf{\Psi}_{m} 的取值范围为 ( )

A.(-1,0) ~B_{\bullet~}\left(-1,e\right)\qquad~C_{\bullet~}\left(e,+∞\right) D.(-∞,-1)

8.(2024·江苏南通高二期末)若函数 f(x) )的导数 f^{\prime}(x){=}x{-}\sin x,f(x) 的最小值为-1,则函数 y=f(x)-\cos x 的零点为 ( )

A.0 B.\ ±{√(2)} C.±2 D. 2kπ(k\in\mathbf{Z})

二、多选题(本题共 小题,每小题 分,共 分)

9.已知函数 \scriptstyle y=f(x) )的图象是一条不间断的曲线,它的部分函数值如表,则

A. f(x) )在区间(,)上不一定单调 B. f(x) )在区间(5,6)内可能存在零点C. f(x) )在区间(,)内一定不存在零点 D. f(x) )至少有3个零点

10.已知函数 f(x){=}\log_{2}(x{+}1){+}3x{+}m 的零点在区间(0,1]内,则 \mathbf{\Omega}_{m} 的取值可能为 ( )

A.-4 B.-2 C.0 D.2

1 .对于函数 f(x) )和 g\left(x\right) ,设 α\in\{x\mid f(x)=0\} , β{\in}\left\{x\mid g\left(x\right){=}0\right\} ,若存在 α\:,β ,使得 |{α-β}|<
1,则称 f(x) )与 g\left(x\right) )互为“零点相邻函数”.若函数 f(x)=e^{x-1}+x-2 与 g\left(x\right)=x^{2}-a x+
1互为“零点相邻函数”,则实数 a 的取值可以是 ( )

A.1 B.2 C.3 D.4

三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)

12.已知函数 f(x)=2x-b 的零点为 x_{0} ,且 x_{0}\in(-1,1) ,那么 b 的取值范围是

13.已知 \operatorname{sgn}(x)={\left\{\begin{array}{l l}{1,x>0,}\\ {0,x=0,}\\ {-1,x<}\end{array}\right.} 则方程 x^{2}-x\bullet\operatorname{sgn}(x)-6=0 的根为 0,

14.已知函数 f(x)=\left\{{\begin{array}{l l}{\displaystyle|\ln x|,x>0,}\\ {\displaystyle x^{2}+2x-1,x<=slant0,}\end{array}}\right. 若方程 f(x)=a x-1 有且仅有三个实数解,则实数 \mathbf{\Omega}_{a} ,的取值范围为

四、解答题(本题共 小题, 15+15+17=47 分)

15 .已知 \mathbf{\boldsymbol{a}}\in\mathbf{\mathbf{R}} ,函数 f(x){=}\log_{2}\left({(1)/(x)}{+}a\right)

(1)当 a=5 时,解不等式 f(x){>}0 ;
(2)若函数 g\left(x\right)=f\left(x\right)+2log_{2}x 只有一个零点,求实数 a 的取值范围.

16.(2024·河北唐山高一期末)已知函数 f(x){=}x^{2}-(3a-1)x-a .

(1)若 a=(1)/(2) 1,求不等式f(x)>0的解集;
(2)若函数 f(x) )的图象与 x 轴交于 A\left(\boldsymbol{x}_{1},0\right),B\left(\boldsymbol{x}_{2},0\right) )两点,求 \lvert\boldsymbol{x}_{1}-\boldsymbol{x}_{2}\rvert 的最小值.

17.(2024·江苏苏州高二期末)已知函数 f(x)={(2^{x}-t)/(-2^{x+1)-2}}(t\in\mathbf{R}) 为奇函数.

()设函数 g\left(x\right)=f{\left(x-(1)/(2)\right)}+t ,求 g{\bigl(}{(1)/(2\ 024)}{\bigr)}+g{\bigl(}{(2)/(2\ 024)}{\bigr)}+*s+g{\bigl(}{(2\ 023)/(2\ 024)}{\bigr)} 的值;

(2)若关于 x 的方程 f(4^{x}+3)+f(-a\bullet2^{x}-a)=0 有实数根,求实数 a 的取值范围.

作业6 导数的概念与运算

(建议用时: 分钟)

知识梳理

1.导数的几何意义: f^{\prime}(x_{0}) )表示函数 f(x) )在点 P(x_{0},f(x_{0})) )处的切线斜率.

2.常见导数公式 \begin{array}{r}{\tiny{:}(x^{n})^{\prime}=\tiny{(style{*}(a^{x})^{\prime}=style{/{style{*}(a^{x})^{\prime}=style{/{style{*}(\mathtt{e}^{x})^{\prime}=)/(style{/{style{*)(\mathtt{e}^{x})^{\prime}=}{style{(style{*}(\mathtt{e}^{x})^{\prime}=)/(style{/{style{*)(\mathtt{e}^{x})^{\prime}=}{style{(style{*}(\mathtt{e}^{x})^{\prime}=)/(style{/{style{*)(\mathtt{e}^{x})^{\prime}=}{style{(style{*}(\mathtt{e}^{x})^{\prime}=)/(style{/{style{*)(\mathtt{e}^{x})^{\prime}=}}{style{(style{*}(\mathtt{e}^{x})^{\prime}=})/(style{/{style{*)(\mathtt{e}^{x})^{\prime}=}}{style{(style*)/(style{/){style{*}(\mathtt{e}^{x})^{\prime}=}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}};}}\end{array}
(\ln x)^{\prime}=
\Big((1)/(x)\Big)^{\prime}=\qquad;(√(x))^{\prime}=\qquad.

3.导数运算法则: \left[f(x)+g(x)\right]^{\prime}= ; ;[f(x)-g(x)]^{\prime}= ; \left[f(x)* g(x)\right]^{\prime}= {\bigg[}{(f(x))/(g\left(x\right))}{\bigg]}^{\prime}=.

4.复合函数求导法则:已知函数 \boldsymbol{y}=f\big[\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x})\big] ,令 \scriptstyle u=g(x) ),则 y_{x}^{\prime}=\underline{{\qquad}}

夯基提优

一、单选题(本题共 小题,每小题 分,共 分)

1.(2024·江苏苏州高二期末)函数 f(x)=-x^{2}+1 在[1,1.1]上的平均变化率为 ( )

A.0.21 B.2.1 C.-0.21 D.-2.1

2.(2024·江苏南通高二期末)已知函数 f(x)=x^{2} ,则 \operatorname*{lim}_{\Delta x\to0}{(f(2+\Delta x)-f(2))/(\Delta x)}=

A.1 B.2 C.4 D.6

3 .(2024·江苏常州高二月考)已知曲线 {\boldsymbol{y}}={\boldsymbol{x}}^{2}-{(a)/(x)}({\boldsymbol{a}}\in\mathbf{R}) )在 x=2 处的切线斜率为2,则 a= ( ）

A.-18 B.18 C.-8 D.8

4 .曲线 y={(\sin x)/(\sin x+\cos x)}-{(1)/(2)} 1在点M M\big((π)/(4),0\big) 处的切线斜率为 (

\begin{array}{l}{\displaystyleA.~-(1)/(2)}\\ {\displaystyleC.~-(√(2))/(2)}\end{array} \begin{array}{l}{~B.~\displaystyle(1)/(2)}\\ {~D.~\displaystyle(√(2))/(2)}\end{array}

5.曲线 y={(x^{2})/(2)}-3\ln x 的斜率为-2的切线方程为 ( )

A. 2x+y-5=0 \begin{array}{r}{B.~4x+2y-5=0}\\ {D.~4x+2y+5=0}\end{array}
C. 2x+y+5=0

6.若曲线 \scriptstyle{y=x^{3}} 在点 A 处的切线方程为 12x-y+16=0 ,则点 A 的坐标为

A.(2,8) B.(1,1) C.(-2,-8) D.(2,8)或(-2,-8)

7.点 P 是曲线 _{y}={_{x}}^{2}-\ln x 上任意一点,则点 P 到直线 _{y}=_{x}-2 的最小距离为

A.2 B. √(2) C.4 D.3

8 .(2025·江苏南京高二月考)过点 \big((3)/(2),0\big) 且与曲线 \boldsymbol{y}=\boldsymbol{x}^{2}e^{\boldsymbol{x}} 相切的切线斜率不可能为 (

A.0 B.8e2
c.\-(3{4}e^{-/{3)/(2)}} D.1

二、多选题(本题共3小题,每小题6分,共18分)

列函数求导正确的是

? ( )

已知 f(x){=}x\ln x ,则 f^{\prime}(x){=}1{+}\ln{x} 已知 f(x)=e^{2x} ,则 f^{\prime}(x){=}2x\operatorname{e}^{2x} C .已知 f(x){=}{(1)/(x)} ,则 f^{\prime}(x){=}\ln x 已知 f(x)=x+\sin x ,则 f^{\prime}(x){=}1{+}\cos\ x

10.(2024·江苏无锡高二月考)下列结论正确的是 (

A.函数 y=2x^{2}-1 在 \scriptstyle x=3 处的导数为1
B.一个做直线运动的物体从时间 \mathbf{\Psi}_{t} 到 {\mathbf{\Omega}}_{t}+\Delta{\mathbf{\Omega}}_{t} 的位移为 \Delta s ,那么 \operatorname*{lim}_{\Delta t\to0}{(\Delta s)/(\Delta t)} Δst表示t时刻该物体的瞬时速度
C.物体做直线运动时,它的运动规律可以用函数 {\boldsymbol{v}}={\boldsymbol{v}}\left(t\right) )表示,其中 \boldsymbol{\upsilon} 表示瞬时速度, \mathbf{\Psi}_{t}\mathbf{\Psi}_{\mathbf{\Psi}} 表示时间,则该物体在 \mathbf{\Psi}_{t} 时刻的加速度为 \operatorname*{lim}_{\Delta t\to0}{(v(t+\Delta t)-v(t))/(\Delta t)}
D.函数 f(x) )在 {\boldsymbol x}={\boldsymbol x}_{0} 处的导数 f^{\prime}(x_{0}) )的几何意义是点 (x_{0},f(x_{0})) )与点(0,0)连线的斜率

1 .已知曲线 _{y}=_{x}+\ln x 在点(1,1)处的切线与曲线 y=a x^{2}+(2a+3)x+1 有且仅有一个公共点,则实数 a 的值可以是 ( )

A.1 B.\ (1)/(2)
C.2 D. 0

三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)

12.(2024·江苏溧阳高二期中)若函数 f(x){=}x^{2}-x-a\sin x 的图象在点 (0,f(0)) )处的切线平行于 x 轴,则 a=

13.(2024·江苏南通高二月考)已知函数 f(x){=}\cos{2x} ,则 \operatorname*{lim}_{\Delta x\to0}{(f{\big()/(/{π){6}}+\Delta x{\big)}-f{\big(}{(π)/(6)}{\big)}}{\Delta x}}=}_{-}

14.(2024·江苏淮安高二期末)已知 f(x){=}x\ {\bullet}\ e^{x}+1 ,过点 (2,m) )作 f(x) )的切线,若切线斜率为1,则 m=\_

四、解答题(本题共 小题, 15+15+17=47 分)

15.已知函数 f(x)=x^{3}-4x^{2}+5x-4. .

()求函数 f(x) 的图象在点 (2,f(2)) )处的切线方程;
()求曲线 y=f(x) )过点 (2,-2) )的切线方程.

16.已知函数 f(x){=}x^{3}{+}(1{-}a)x^{2}{-}a(a{+}2)x{+}b(a,b{\in}\mathbf{R}).

()若函数 f(x) 的图象过原点,且在原点处的切线斜率为 ,求 {\boldsymbol{a}},{\boldsymbol{b}} 的值;
(2)若曲线 \scriptstyle y=f(x) )存在两条垂直于 y 轴的切线,求 a 的取值范围.

17.设函数 f(x)=a x+{(1)/(x+b)}(a,b\in\mathbf{Z}) ,曲线 \scriptstyle y=f(x) )在点 \left(2,f(2)\right) )处的切线方程为 y=3 .

()求 f(x) )的解析式;

(2)证明曲线 _{y}=f(\boldsymbol{x}) 上任一点的切线与直线 x=1 和直线 y=x 所围成的三角形的面积为定值,并求出此定值.

作业7 函数与导数的综合运用

(建议用时: 分钟)

知识梳理

1.导数与函数单调性:(1) f^{\prime}(x){\>}0{\Rightarrow} 函数 f(x) )在相应区间上为单调 函数;
f^{\prime}(x){\<}0{\Rightarrow} 函数 f(x) )在相应区间上为单调 函数.(2) f(x) )在 (a,b) )上是增函数 \Rightarrow ;
f(x) )在 (a,b) )上是减函数 \Rightarrow
注意: ① 等号不能少,也不能恒等于0; ② 逆命题不成立; ③ 单调区间不能用“∪”连接.() f(x) )在 \left(a,b\right) )上存在增区间 \Rightarrow ：
f(x) )在 (a,b) )上存在减区间 \Rightarrow

2.导数与函数极值、最值:()函数的极值:设函数 f(x) 在点 x_{0} 附近有定义,且对 x_{0} 附近的所有点都有 f\left(x\right){<}f\left(x_{0}\right) (或 ),则称 f(x_{0}) )为函数 f(x) 的一个极 (或)值.其中 x_{0} 称为 , f(x_{0}) )称为 ,所以极值点是 而不是()函数在闭区间上的最值在极值点处或区间端点处取得.

夯基提优

一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分)

1 .函数f(x)=x+x4- 的单调递减区间是 )

A.(-1,4) B. (0,1) C. (4,+∞) D. (0,4)

2.若函数 _{y}=_{x}+_{a}\ln_{x} 在区间 [1,+∞) )内单调递增,则 a 的取值范围是

A. (-∞,-2) \begin{array}{c}{B.\ \left(-∞,-1\right)}\\ {D.\ \left[-1,+∞\right)}\end{array}
C. [-2,+∞)

3.函数 f(x)=x+2\cos x 在区间 [0,π] 上的最大值为 ?

A.2 B.π-2√(3)+(5π)/(6) D.\ √(3)+(π)/(6)

4.若 x=a 是函数 f(x){=}(x{-}a)^{2}(x{-}1) 的极大值点,则 a 的取值范围是 (

A. a{<}1 ~B.\ a{<=slant}1\qquad~C.\ a{>}1 ~D.\ a>=slant1

5 .(2024·江苏常州高二期中)曲线 f(x){=}{(2)/(x)} 与曲线 g\left(x\right){=}x^{3}{-}a x 在 x=1 处的切线平行,则g(x) )的减区间为 ?

A.(-2,2) ~B.~\left(-(√(15))/(3),(√(15))/(3)\right)\qquad~C.~\left(-√(5),√(5)\right)\qquad~D.~\left(-(√(6))/(3),(√(6))/(3)\right)

6.(2024·江苏南通高二月考)已知函数 f\left(x\right) )的导函数为 f^{\prime}(x) ,且 f\left(1\right)=e ,当 _x>0 时,f^{\prime}(x){<}(1)/(x){+}e^{x} ,则不等式 (f(\boldsymbol{x})-\ln\boldsymbol{x})/(e^{\boldsymbol{x)}}<1 的解集为 (

(,) (, ) B.(0,+∞) C.(0,1) D.(1,+∞)

7.( ·江苏苏州高二期末)设 a=(3)/(4),b=\log_{3}2,c=(1)/(4)+\sin(1)/(4)

8.(2024·江苏南京高二月考)已知函数 y=e^{x}-√(2)a\sin x 在 (0,π) )上有且仅有一个零点,则实数 a 的取值为 ( )

A. -4π B .e6π C .e4π D .e3π

二、多选题(本题共3小题,每小题6分,共18分)

9.( ·江苏宿迁高二期中)已知定义在 \mathbf{R} 上的函数 _{y}=f(\boldsymbol{x}) )的导函数 f^{\prime}(x) )的图象如图所示,下列说法正确的是 ( )

A. \operatorname*{lim}_{\Delta x\to0}{(f(\Delta x-2)-f(-2))/(\Delta x)}<0 B. 函数 f(x) )在(,)上单调递减C. 函数 f(x) )在 x=1 处取得极大值D.函数 f(x) )有最大值

10.(2024·江苏南京高二月考)已知 \mathbf{\Psi}_{c} 为实数,函数 f(x)=x^{3}-3x+c,x\in\mathbf{R}. ,下列说法中正确的是 ( )

A.若 \scriptstyle c=0 ,则函数 f(x) )为奇函数B.函数 f(x) )在 (-∞,-1) )上单调递增C. x=1 是函数 f(x) )的极大值点若函数 f(x) )有 个零点,则 2{<}c{<}2

1 .(2024·江苏无锡高二月考)已知函数 f(x){=}a x^{2}-4a x-\ln x ,则 f(x) )在(1,3)上不单调的一个充分不必要条件是 ( )

A . a\in\big(-∞,(1)/(6)\big) \begin{array}{r}{B.a\in\left[(1)/(2),+∞\right)}\\ {D.a\in\left(-(1)/(2),(1)/(6)\right)}\end{array} \mathbf{\Lambda}_{a}\in\left((1)/(2),+∞\right)

三、填空题(本题共 小题,每小题 分,共 分)

12.函数 f(x)=x^{3}-2x^{2}+x 的极大值为

13.已知函数 f\left(x\right)=-{(1)/(2)}x^{2}-3x+4ln\ x 在 (t,t+1) )上不单调,则实数 \mathbf{\Psi}_{t}\mathbf{\Psi}_{\mathbf{\Psi}} 的取值范围是

14. (2024*\tt i\tt r 苏南通高二月考)不等式 \cos\left(3-x\right)+x^{2}+2x-3<\cos\left(x^{2}+x\right) 的解集为

四、解答题(本题共 小题, 15+15+17=47 分)

15.( ·江苏南通高二月考)已知函数 f(x)=2ln\ x-3x+{(1)/(2)}x^{2}

()求函数 f(x) 的极值;
(2)解不等式: f(x){\>}6\ln2{+}8 .

16.设函数 f(x){=}(1)/(3)x^{3}{-}(a)/(2)x^{2}{+}b x{+}c \scriptstyle y=f(x) \left(0,f(0)\right) y=1

()求 ^{b,c} 的值.

()设函数 g\left(x\right)=f\left(x\right)+2x. .

① 若 g\left(x\right) )在区间(2,3)上单调递增,求实数 \mathbf{α}_{a} 的取值范围;
② 若 g\left(x\right) )在区间 (-2,-1) )内存在单调递减的区间,求实数 a 的取值范围.

17.已知某条高铁线路通车后,发车时间间隔 \mathbf{\Psi}_{t} (单位:分钟)满足 2{<=slant}t{<=slant}20,t\in\mathbf{N}^{*} .经测算,高铁的载客量与发车时间间隔 \mathbf{\Psi}_{t} 相关:当 10{<=slant}t{<=slant}20 时,高铁为满载状态,载客量为120 人;当2{<=slant}t{\<}10 时,载客量会在满载基础上减少,减少的人数与 (10-t)^{2} 成正比,且发车时间间隔为5分钟时的载客量为950人.设发车间隔为 \mathbf{\Psi}_{t} 分钟时,高铁载客量为 P\left(t\right) ).

()求 P(t) )的表达式.

(2)若该线路发车时间间隔为 \mathbf{\Psi}_{t}\mathbf{\Psi}_{\mathbf{\Psi}} 分钟时的净收益 Q\left(t\right)=/ t5P\left(t\right)-40t^{2}+660t-2048( 当发车时间间隔为多少时,单位时间的净收益 (Q(t))/(t) 最大? 最大为多少?

作业8 弧度制、任意角的三角函数与诱导公式

(建议用时: 分钟)

知识梳理

1.终边相同的角的概念:与角 α 终边相同的角(包括 α 在内)的集合为

2.弧度制:(1)弧度制:半径为 r ,弧长为 \mathbf{\xi}_{l} 的弧所对圆心角的绝对值 |{\boldsymbol{α}}|=\mathbf{\Phi}_{-}

()弧度制下的弧长公式为 ;扇形面积公式为

3.任意角的三角函数:(1)定义:sin α= ,cos α= ,tan α=

(2)定义域: \sinα : ,cos α : ,tan α : (3)符号: \sinα : , \cosα : ,tanα:

4.同角三角函数关系(同角公式):平方关系: ,商数关系:

5 .诱导公式: {\mathfrak{k}}\bullet{(π)/(2)}{±}{α}({\mathfrak{k}}\in{\mathbf{Z}}) )与 α 的三角函数值之间的等量关系式,记忆口诀是

夯基提优

一、单选题(本题共 小题,每小题 分,共 分)

1.若 α=-6 ,则角 α 的终边在

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2.已知点 P (tanα,cos α )在第三象限,则角 α 的终边在

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.已知角 α 的终边上有一点 P(1,3) ,则 (\sin(π-α)-\sin\left({/{π)/(2)}+α\right)}{2\cos(α-2π)} 的值为

A.1 B.\ensuremath~-/{4{5}~} C.-1 D.-4

4.(2024·河北承德高一期末)已知角 θ 的终边落在阴影区域内(不含边界),角 α 的终边和 θ 相同,则角 α 的集合为 ( )

A. \left\{α\left|{(π)/(6)}+2kπ{<}α{<}{(π)/(3)}+2kπ,k\in\mathbf{Z}\right\}
B. \left\{α\left|{(π)/(6)}+{(kπ)/(2)}<α{<}{(π)/(3)}+{(kπ)/(2)},k{\in}\mathbf{Z}\right\}
C. \left\{α\left|{(π)/(6)}+kπ{<}α{<}{(π)/(3)}+kπ,k{\in}\mathbf{Z}\right\}
D. \left\{α\left|{(π)/(6)}+{(3kπ)/(2)}{<=slant}α{<=slant}{(π)/(3)}+{(3kπ)/(2)},k\in\mathbf{Z}\right\}

5 .已知 \sin\Bigl({(π)/(2)}{-}θ\Bigr){-}\cos(π{+}θ){=}6\sin(2π{-}θ) ,则 \sinθ\cosθ+\cos^{2}θ 等于

A. (3)/(5) B.\ {(2)/(5)} c.\-(3{5}} D.~-/{2)/(5)

6.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴,一般情况下,折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成.如图,设扇形的面积为 S_{1} ,圆面中剩(√(5)-1)/(2) ，余部分的面积为 S_{2} ,当 S_{1} 与 S_{2} 的比值为 时,扇面看上去形状较为美观,若扇形的半径 R{=}20~cm ,则此时的扇形面积为

A. 200(√(5)+1)π~cm^{2} B.\ 200(√(5)-1)π\cm^{2} C.\ 200(3{-}{√(5)})π\cm^{2} 200(√(5)-2)\uppi\cm^{2}

已知 \sin(x+{(π)/(6)})=(1)/(3) J \sin((5π)/(6)-x)+2\cos^{2}(x-(π)/(3)) 的值是

A. -{(5)/(9)} B.\ (1)/(9) C.~(5)/(9) D. (1+4{√(2)})/(3)

8.已知 α 为锐角,且 \cos(α+{(π)/(6)})=(√(3))/(3) \tan\Bigl((π)/(3)-α\Bigr)=

A. -{(√(2))/(2)} ~B.~-√(2)~C.√(2) D.\ {(√(2))/(2)}

二、多选题(本题共3小题,每小题6分,共18分)

9.已知角 α 的顶点与原点重合,始边与 x 轴非负半轴重合,终边上的一点为 P\left(2m,-m\right)\left(m\neq
0),则下列各式一定为负值的是 ( )

A.sin α cos α B .tan α C.cos α -sinα D .cos 2α

0.下列四个选项中,正确的有 (

A.若角 α 的终边过点 P\left(3,-m\right) )且sin α{=}{-}(2√(13))/(13) ,则 m=2
B .若 α 是第二象限角,则 (α)/(2) 为第二象限或第四象限角
C.若 f(x){=}{\log}_{a}\left(x^{2}{+}2a x{+}2a{-}1\right) )在 (-∞,-2) )单调递减,则 a\in(1,2]
D.设角 α 为锐角(单位为弧度),则 \arcsinα

1 .已知cos =3,α∈ -π,0 ,则下列结论正确的是 ?

A. \sin(π+α)=(4)/(5) \begin{array}{l}{\displaystyleB_{\star}~\cos\Bigl((π)/(2)+α\Bigr)=-(4)/(5)}\\ {\displaystyleD_{\star}~\sin\Bigl((3π)/(2)+α\Bigr)=-(3)/(5)}\end{array} C.\ \tan(π-α){=}(4)/(3)

三、填空题(本题共 小题,每小题 分,共 分)

12.已知 \sinθ+\cosθ=(√(2))/(2) ,则tan θ+{(1)/(\tanθ)}=.

13.若 \cos\Bigl((5π)/(6){-θ}\Bigr)=-(2)/(3),θ\in\Bigl(0,(π)/(2)\Bigr) ,则 \sin(θ+{(π)/(6)}) 的值为

14.如图,正六边形 A B C D E F 的边长为 ,分别以点 A,B 为圆心, A F 长为半径画弧,两弧交于点 G ,则 \widehat{A G},\widehat{B G},A B 围成的阴影部分的面积为

四、解答题(本题共 小题, 15+15+17=47 分)

15.已知tan \scriptstyle{θ=2} .

()若 θ 是第三象限角,求 \sinθ,\cosθ 的值;(2)求值: (\cos(π-θ)+2\cos\left({/{2\ 023π)/(2)}-θ\right)}{\sin(2\ 024π+θ)-\sin\left({(π)/(2)}+θ\right)}.

16.已知扇形AOB 的周长为 .

()若这个扇形的面积为 ,求圆心角的大小;
()求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长 A B .

17 .(1 )已知 2^{\sinα}*2^{\cosα}{=}√(2),α\in(0,π) ,求cos α+\cos\left({(π)/(2)}+α\right) 的值;

(2)若锐角 α 满足 \log_{2}\cosα-\log_{2}\sinα=-1 ,求 \sin^{2}α+\sinα\cosα-\cos^{2}α+{(2)/(\tanα)} 的值.

作业9 三角恒等变换

(建议用时: 分钟)

知识梳理

1.两角和与差的三角函数: \sin(α±β)=. ;cos(α±β)=\tan(α+β)={} ; \tan(α-β)=_{_-}

2.二倍角公式:sin 2α= ; cOs 2α= - tan 2α=

3 .降幂公式: \sin^{2}α= ; \cos^{2}α=

4.辅助角公式: a\sinα+b\cosα=

夯基提优

一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分)

1.已知 \sin(θ-{(π)/(6)})={(1)/(2)} 1,且θ∈0,π ,则cos θ=

A. (1)/(2) B.\ {(√(2))/(2)} C.\ (√(3))/(2) D.1

2.设 a=(√(2))/(2)(\sin17°+\cos17°),b=2\cos^{2}13°-1,c=(√(3))/(2) ,则

A. c{<a<b} B. b{<}_{c}{<}_{a}
C. a{<}b{<}c D. b{<}\omega{<}_{c}

3 .已知 \sin(α-{(π)/(3)})={(2)/(3)} ,则 \cos{\left(2α+{(π)/(3)}\right)}=

A.~-(1{9}~} B.\ /{1)/(9) c.~-(4√(5)/(9)) D. (4{√(5)})/(9)

4.若 α\:,β 都是锐角,且 \sinα{=}(2√(5))/(5),\sin(α-β){=}(√(10))/(10) 则 \sinβ=

A. (7{√(2)})/(10) B.\ {(√(2))/(2)} C.~(1)/(2) D. (1)/(10)

5 .已知 \tan\left(α-β\right)={(1)/(2)} 1,tan β=- β=-(1)/(7) ,且 {α,β}\in\left(\ 0,π\right) ),则 2α-β= ( )

A . (π)/(4) B.\ -(π)/(4) ~c.~-(3π)/(4) D. (π)/(4) 或- (3π)/(4)

6.(2025·江苏南京高二月考)已知 \begin{array}{c c c}{\displaystyle{(\cosα)/(\sin\left(α-/{π){4}\right)}=√(2)}}\\ {\displaystyle{sin\Big(α-(π)/(4)\Big)}}\end{array} ,则 \tan(α+{(π)/(4)})=

A.- 3 B.-3 C. √(3) D.3

7 .(2024·江苏南京高二期末)已知 {√(2)}\sin(θ-{(π)/(4)})=\cosθ ,则tan 2θ=

A. /13 B.23 C.~(2)/(3) D.\ -(4)/(3)

8 .(2024·江苏南京高二期末)已知 \scriptstyle0<α<{(π)/(2)},0<β<{(π)/(2)} ,且 \sin(2α+β)=4\sinβ 时, \tan2α={(4)/(3)} ”则 \tan(α+β) )的值为 ( )

A. (5)/(6) B.\ {(5)/(3)} C.~(2)/(3) {D}.{\begin{array}{l}{1}\\ {3}\end{array}}

二、多选题(本题共3小题,每小题6分,共18分)

9.下列化简正确的是 ( ( )

A. C os~82^{\circ\sin~52°-s i n~82°\cos~52°=-(1)/(2)} 1
B. sin 15°sin 30°sin 75° 8
C . (\tan{48°+}\tan{72°})/(1-\tan{48^{\circ)}\tan{72°}}{=}√(3)
I ).\ \cos^{2}15°-\sin^{2}15°={(√(3))/(2)}

10 .下列选项中,值为 (1)/(4) 的有 (

A. sin 75°sin 15° B. sin 18°\sin{54°} C.~\{(\sin{56°}+\sin{4°})/(\cos{56^{\circ)}+\cos{4°}}} D.\ (/{1)/(2)tan\ 22.\ 5°}{1-tan^{2}22.\ 5°}

1 .已知 α,β,γ\in\left(0,(π)/(2)\right),\sinα+\sinγ=\sinβ,\cosβ+\cosγ=\cosα ,则下列说法正确的是( )

A. \cos(β-α)=(1)/(2) \begin{array}{l}{{~B_{*}\ \cos(β-α){=}-{\displaystyle(1)/(2)}}}\\ {{~D_{*}\ β{-}α{=}-{\displaystyle(π)/(3)}}}\end{array} C β-α=(π)/(3)

三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)

1 (2\cos{10°}-\sin{20°})/(\cos{20^{\circ)}} 12.( ·江苏南京高二期末)计算 的值为

13 .(2025·江苏南京高二期中)已知 \cos{\left(x+{(π)/(4)}\right)}={(3)/(5)},x\in\left(0,{(π)/(2)}\right) ,则sin x=

14.(2025·江苏南京高二月考)已知sin 2α=-(4)/(5) ,则 \scriptstyle\left.{(\tan2α)/(\tan\left(α+{/{π){4}}\right)}}=-\qquad

四、解答题(本题共 小题, 15+15+17=47 分)

15.已知 \tan\Bigl((π)/(4)+α\Bigr)=(1)/(2).

(1)求tan α 的值; ( )求sin 2α- cos2α.

16 .已知函数 f(x){=}{√(2)}\cos\left(x{-}{(π)/(12)}\right),x\in\mathbf{R}.

(1)求 f{\Big(}{-}{(π)/(6)}{\Big)} 的值;

(2)若cos θ=(3)/(5),θ\in\left((3π)/(2),2π\right) ,求 f{\Bigl(}2θ+{(π)/(3)}{\Bigr)} 的值.

17.已知 α\in\left({(π)/(2)},π\right) ,tan α=-2 .

(1 )求 \sin({(π)/(4)}+α) 的值;

(2)求 \cos\Bigl((2π)/(3){-2α}\Bigr) 的值.

作业10 三角函数的图象与性质

(建议用时: 分钟)

知识梳理

1.三角函数的图象与性质

2.三角函数的图象变换:

()平移变换:
① 相位变换(左右平移): y=A\sin(\omega x+\varphi_{1})\to y=A\sin(\omega x+\varphi_{2}) ;② 上下平移变换: y=A\sin(\omega x+\varphi)+k_{1}\to y=A\sin(\omega x+\varphi)+k_{2}. .(2)伸缩变换:
① 振幅变换: y{=}A_{1}{\sin}(\omega x{+}\varphi){\rightarrow}y{=}A_{2}{\sin}(\omega x{+}\varphi); ;
② 周期变换: y=A\sin(\omega_{1}x+\varphi){\rightarrow}y=A\sin(\omega_{2}x+\varphi). .

夯基提优

一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分)

1 .函数 y=3\sin(x+(π)/(6)) 的一个递减区间是 ?

A. \left[0,{(π)/(6)}\right] \begin{array}{l}{{B.}\left[{(π)/(3)},{(4π)/(3)}\right]}\\ {{D.}\left[{(π)/(6)},{(11π)/(6)}\right]}\end{array}
C. \left[{(π)/(6)},{(5π)/(6)}\right]

高一暑假

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高二暑假

语文 数学 英语 物理 化学生物 思想政治 历史 地理