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参考答案及解析

专项一简单计算题

1.解：原式 =2-1+2x{(1)/(2)} \begin{array}{l}{{=2-1+1}}\\ {{\ }}\\ {{=2.}}\end{array}
2.解：原式 =3-1+2=4
3.解：原式 =8x{(1)/(4)}-2x{(1)/(2)} \begin{array}{l}{{=2-1}}\\ {{\ }}\\ {{=1.}}\end{array}
4.解：原式 =2√(3) +1 - √(3) -3 - √(3) = - 2
5.解：原式 =x^{2}+2x+x^{2}+2x+1-4x=2x^{2}+1.
6.解：原式 =x^{2} -4x+4 +x^{2} +3x -x -3 =2x^{2} - 2x+1 \therefore x^{2}-x-4=0 ,/ x^{2}-x=4. 当 x^{2}-x=4 时,原式 =2\left( x^{2}rm{--}x \right) +1=2x4\ + 1=8+1=9.
7.解:(1)一 (2)原式 ={(a-b)/(a)}/({(a^{2})/(a)}-{(2a b-b^{2})/(a)}) {\begin{array}{r l}&{={\displaystyle{(a-b)/(a)}}/{(a^{2}-2a b+b^{2})/(a)}={(a-b)/(a)}/{(\left(a-b\right)^{2})/(a)}}\\ &{={\displaystyle{(a-b)/(a)}}*{(a)/(\left(a-b\right)^{2)}}={(1)/(a-b)}.}\end{array}}
8.解：由 ① 得 x<=slant2 由 ⊚ 得 2x+6>x+4 ， \therefore x>-2. .该不等式组的解集为 -2<x<=2 在数轴上表示其解集如图.

9.解:(1)一 (2)去分母，得 2\left(2x+1\right)~-~\left(5x-1\right)=6 去括号，得 4x+2-5x+1=6 移项，得 4x-5x=6-2-1 合并同类项，得 -x=3 系数化为1,得 x=-3

10.解： (1)① ⊚ (2)选择甲同学的方法.把方程 2x-y=1 变形为 γ=2x-1 将 γ=2x-1 代人方程 ① ，得 x+3(2x-1)=4 解得 x=1 把 x=1 代人 γ=2x-1 ,得 y=2x1-1=1 \displaystyle{\begin{array}{l}{x=1}\\ {y=1.}\end{array}} ，..该方程组的解为选择乙同学的方法.将方程 2x-y=1 的两边同乘3,得 6x-3y=3③ ，\underline{{\widehat{\mathbf{\Pi}}}}{\mathbf{\Pi}}+\boldsymbol{\Phi} ,得到 \left( x+3y \right) + \left( 6x-3y \right) =4+3 ，解得 x=1 把 x=1 代人 2x-y=1 ,得 2-y=1 ，解得 γ=1 ..该方程组的解为 \begin{array}{r}{\left\{{x=1\atop y=1.}\right.}\end{array}

专项二 概率统计题

典例剖析

例1解:(1)46

(2)108°
(3)九年级的学生对春节习俗更了解.
理由：八年级学生的优秀率是2 :(2+4)/(20)x100%\;=\; 30% 30%<50% ，
..九年级的学生对春节习俗更了解.
(3)600x30%+600x45%=450 (人).
答：估计八、九年级学生中对春节习俗的了解达到优秀的共有450人.
例2解：(1)不可能
(2)画树状图如下：

一共有12种等可能的结果，其中被选到的2位老师是一男一女的结果有6种，被选到的2位老师是一男一女的概率为 {(6)/(12)}={(1)/(2)}

针对训练

1.解：(1)补全的条形统计图如图.

第1小组得分条形统计图

(2） 360°x10%=36°.
(3)第1小组得分出现次数最多的是10分，共出现了8次，因此众数 a=10
第2小组得分的平均数 b = 1 x40% + 3 x 30%+5x15%+8x10%+10x5%=3.35 第3小组得分的中位数 c={(5+5)/(2)}=5
(4 )600x(8+20x5%+2)/(20+20+20)=110(rm{backslash}).
答：估计该校九年级学生在测试中小作文得分为10分的人数为110.

2.解:(1)87.5 80% (2)七年级学生成绩的平均数 m=5x20%\ + 6x10%+7x10%+8x30%+9x15%+10 x15%=7.55 （分).(3)七年级的学生对航空航天知识掌握得更好.理由：因为两个年级的平均数相同，但七年级的中位数和众数均高于八年级,所以七年级的学生对航空航天知识掌握得更好.

3.解：(1)：甲、乙两位男生和丙、丁两位女生参加小记者竞选，..从这四位竞选者中随机选出一位小记者，选到男生的概率是=故答案为·

(2)画树状图如下：

由图可知，共有12种等可能的结果，其中两位女生同时当选的结果有2种，两位女生同时当选的概率是=

4.解：（1)：甲袋的4个小球中只有一个白色球，．“从甲袋中摸出的一个球是白色球”是随机事件.故答案为：随机.(2)可画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中摸到的两个球都是红色球的结果有3种，P(两个球都是红色球）==

5.解：(1)随机 (1)/(2) (2)画树状图如下：

第一个小孩第二个小孩

共有4种等可能的结果,其中一男一女的结果有2种，P（两个小孩是“一男一女”）==

6.解：（1)：酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色，..小周将酚酞溶液随机滴人其中一瓶溶液里,盐酸和硝酸钾溶液不变色,氢氧化钠溶液和氢氧化钾溶液变红色，.结果变红色的概率为 {(2)/(4)}={(1)/(2)}.

(2)列表如下：

由表知,共有12种等可能出现的结果,其中两瓶溶液恰好都变红色的结果共2种,即（D,

C),(C,D),.两瓶溶液恰好都变红色的概率 ={(2)/(12)}={(1)/(6)}.

专项三 实物情景题

典例剖析

例1解：(1)由题意得： A C\bot B C ，
\therefore A C=A B*\sin37°\approx8.~5x0.~6
=5.\;1(rm{m})
.斜坡的高度 A C 约为 5, 1 ~m~
(2)过点 A 作 A F\bot D E ,垂足为 F
由题意得： A C=E F\approx5.\ 1\ m,A F
=C E
在 Rt\triangle A C B 中 .A B=8.\;5~m,\angle A B C=37° ，
\therefore B C=A B*\cos37°\approx8. 5x0. 8=6. 8 ~m
设 B E=x ~m~ ，
\mathbf{\dot{\mu}}*\mathbf{\nabla}A F=C E=B C+B E\approx\left(\mathbf{\mu}x+6.8\right)\mathbf{m}.
在 Rt\triangle B E D 中， \angle D B E=51. 5° ，
\therefore D E=B E*\tan51. 5°\approx1. 26x({~m~}) .
在 Rt\triangle A D F 中， \angle D A F=45° ，
\therefore D F=A F\approx\left(()/()x+6.\ 8\right){m.}
\because D F+E F=D E ，
\therefore x+6.8+5.1\approx1.26x ,解得 x\approx45,77
\therefore D E{\approx}1. 26x{\approx}57. 7 (~m~)
.滕王阁的高度 D E 约为 57. 7 ~m~
例2(1)证明： *\;A B//C D,M C//B E ，
四边形BMCN是平行四边形.
： M 是 A B 的中点 {},A B=44{~cm} ，
\therefore A M=B M={(1)/(2)}A B=22\left({\cm}\right).
\because\ C M=22\cm ,\therefore\ B M=C M.
.四边形 MBNC 为菱形.
(2)解:如图,过点 作 A T\perp
A
HI 交 H G 于点 S_{*}
\because\mathit{O} 是 H G 的中点，
\therefore H Q=(1)/(2)H G=22\big(cm\big).
由题意得： A T\perp H T ，
A S=C M+N E+P G=66\left(\cm\right)
H S=H Q+E F+A B=22+44+44=110(\cm) 在 Rt\triangle H S T 中， \angle G H I=48° ，
\therefore S T=H S*\sin48°{\approx}110x0.74=81.4(cm).

\therefore A T=A S+S T\approx66+81. 4=147. 4{\big(}{~cm}{\big)}. .折叠资料架的高约为 147.4~{cm} 例3解：(1)如图,过点 E 作 E F\bot A D ，垂足为 F

AC =40,BAC=65°，..AB= AC 40 95(cm).cos 65°0.42DE=190,ADE=30°，EF： 1 -DE=190x 1 95(cm).2 2.支架 A B 的长约为 95 \cm ，点 E 到地面的距离为 95\cm. (2)设 O E=O B=2x ，\therefore\angle A D E=30°,\therefore\angle C=190+2x.\angle E=60°5°-x. 在Rt△ACB中， \angle A C B=90° ，BC..tanBACAC'\therefore 2. 14\approx(95-x)/(40) 解得 x\approx9,4 \therefore\;O B=2x\approx2x9.4\approx19{\big(}{~cm}{\big)}.

针对训练

1.解：(1)在 Rt\triangle A B C 中，A C=3 ~m ,\angle C A B=60° , \therefore\angle A B C=30° \therefore A B=2A C=6\ {m}. (2)在 Rt\triangle A B C 中， A B=6 rm{m},A C=3 rm{m} 根据勾股定理得：B C=√(A B^{2)-A C^{2}}=√(6^{2)-3^{2}}=3√(3) ({~m~}). 在 Rt\triangle B C D 中， \angle C D B=37° ，\therefore\sin\angle C D B=(B C)/(B D),\mathbb{A}\mathbb{I}(3x1. 73)/(B D){\approx}0. 60 , \therefore B D{\approx}8. 65 (~m~) \because B C+A B=B E+B D, \therefore C E=B C-B E=B D-A B\approx2.\ 7{~(~m~)}. 故物体上升的高度 C E 约为 2.7 rm{m}

2.解：(1)120

(2)如图,分别过点 B,D 作 B M\bot A E 于点 M ，D N\bot A E 于点 N_{\ast}

\therefore\ A B=B C=C D=D E ,\angle A B C=\angle C D E , \triangle A B C\triangle\triangle C D E.\therefore A C=C E. \therefore A M=M C=C N=N E={(1)/(4)}A E=45{~}{cm}. \therefore\sin\angle A B M={(A M)/(A B)}={(45)/(60)}=0.75. * \angle A B M{\approx}49°. \therefore α=2\angle A B M{\approx}98°. .应该将 α 的值调整为 98^{ \circ}

3.解：(1)1.2(2)过点 B 作 B F\bot A C 于点 F ，B M\bot l 于点 M 则 B F=D M=1, 2 ，\therefore C F=√(B C^{2)-B F^{2}} DEM={√(1. 5^{2)-1. 2^{2}}}=0. 9. \therefore B M=D F=C D-C F=1.\;5-0.\;9=0.\;6. 由表格可知,在12一14时，角 α 的正切值逐渐减小,即 \angle B E M 逐渐减小，.当14时，点 E 最靠近墙壁,此时 D E 的长度就是绿萝摆放位置与墙壁的最远距离.在 Rt\triangle B E M 中， \tan\angle B E M={(B M)/(E M)} 即 1.\;25=(0.\;6)/(E M),\therefore\;E M=0.\;48. \therefore D E=D M-E M=1.2-0.48=0.\;72. 答：绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是 0.72rm{m}

4.解： (1)60° (2)过点 P 作 P F\perp Q M 于点 F ，过点 C 作 \mathit{C G}\perp BQM于点 G ,交 P N 于点K ,过点 D 作 D L\perp P N 于 E:KF G点 L ，作 D H\bot C G 于点 H ，则 P F//C G 易知四边形PFGK和四边形DHKL是矩形，\therefore D L=K H,D H//E L. 在 Rt\ \triangle P Q F 中,PF=PQ· sin Q = 120\;x

\sin70°{\approx}120x0. 94=112.8(\cm)
\therefore K G\approx112.8~cm
在 Rt \triangle D E L 中， D L=D E*\sin\angle D E L=360x \sin 60°=360x{(√(3))/(2)}=180{√(3)} {\big(} {cm} {\big)}.
:.HK=180√3 cm.
\because D H//E L,\therefore\angle H D E=\angle D E L=60°.
\therefore\angle C D H=20°.\therefore\angle D C H=70°.
在 Rt\triangle D C H 中， C H=C D*\cos\angle D C H=160x cOS 70°{\approx}160x0.\;34=54.\;4(~cm)
\therefore C G=C H+K H+K G\approx54. 4+180{√(3)}+112.8 {\approx}54. 4+180x1. 73+112.8=478. 6\big(\;cm\big). 故点 C 到地面QM的距离约为 478. 6\cm

5.解：(1)47(2)当无人机模型中的菱形被调整为正方形时,如图，过点 G 作 G N\perp A M. 由题意可知\triangle A G N 为等腰直角三角形，\therefore A N=G N.

\therefore\ A G=30\cm ,\therefore\ N G=15{√(2)}\cm.
连接 G P 由题意可知 P G/A M ，
\begin{array}{l}{G H=P H=10\cm ,}\\ {\therefore\ G P=10√(2)\cm.}\end{array}
过点 H 作 H L\bot G P 于点 L ，易得 H L=5√(2) cm..无人机模型的宽度 =( 15 √(2) +5 √(2) ) x2 = 40{√(2)}\left(cm \right).
.相比(1),无人机模型的宽度增加了 40 √(2) -47\approx56.\;56-47=9.\;56\approx9.6(\cm)

6.解：（1）四边形BEHC是平行四边形.证明：四边形FECG是矩形，\therefore\angle F=90°,C G=E F,F G//E C. \therefore \angle C E D=\angle E H F. 四边形 A B C D 是矩形，\therefore\angle E D C=90°=\angle F. 结合旋转易得 C G=C D=E F ，\therefore\ \triangle E D C\rightleftharpoons\triangleleft HF E({\AAS}).\therefore E H=E C. 由旋转得 E C=B C ,\therefore E H=B C.

又 E H//B C,\therefore 四边形BEHC为平行四边形.

(2)如图,延长 A H 交水平地
面于点 M ，连接GM.
~\dot{~{~}}\angle B C E=48°,B C=C E
.~~\angle E B C=66°
\therefore\angle A B E=90°-\angle E B C=24°. HM
G
\mathbf{\dot{α}}*{\mathbf{\nabla}}A E=A B\mathbf{α}*\tan\angle A B E\approx3\mathbf{\nabla}x
0.\:45=1.\:35
由(1)易知 F H=E D ,E H=B C=4.
又 F G=A D\ldots G H=A E\approx1.\;35.
由平行线的性质易知 \angle G H M\;=\;\angle C E D\;= \angle B C E=48° ，
\therefore H M=G H*\cos\angle G H M{\approx}1. 35x0. 67\approx0. 90 \therefore A M=A E+E H+H M\{=1. 35+4+0. 90\approx6. 3 , 即点 A 到水平地面的距离约为 6,3 ~m~

7.解：(1)如图,连接 A C,B D ,相交于点 o,o 为矩形 A B C D 的中心.四边形 A B C D 为矩形，\angle B A D=90° 在 Rt\triangle A B D 中，B D={√(A B^{2)+A D^{2}}}={√(256+144)}=20. _{\odot O} 的半径长 O D={(1)/(2)}B D={(1)/(2)}x20=10({~cm}) * \tan\angle A D B={(A B)/(A D)}={(16)/(12)}\approx1. 33 , ： .\angle A D B\approx53. 13°. \therefore\angle D O C=2\angle A D B\approx2x53. 13°\approx106.3

\therefore C B=O A=160-(153)/(2)=83.\ 5\big(~m\big).
又： \angle P O Q=120° ， \angle A O C=90°
\therefore\angle Q O C=30°
\therefore Q C=(1)/(2)O Q=(1)/(2)x(153)/(2)=38. 25 (~m~).
\therefore Q B=Q C+C B=38.\ 25+83.\ 5\approx121.\ 8\left({~m}\right).
答：点 Q 距离地面约 121.8 ~m~
(3)：摩天轮一共有60个座舱且旋转一周为
360° ，
..每两个座舱相隔 360°/60=6°
设甲乘坐的座舱为点 E ,乙乘坐的座舱为点 F ，
..由题意得甲、乙两人的座舱形成的夹角
\angle E O F=8x6°=48°.
甲、乙两人座舱到地面的距离相等，
\therefore\angle E O P=\angle F O P.
延长 P O 交 _{\odot O} 于点 D ，
则 \angle E O D=\angle F O D=(1)/(2)\angle E O F=24°.
如答图2，过点 F 作 F M\bot l ，垂足为 M ,过点 o
作 O N\bot F M 于点 N ，
易知四边形OAMN为矩形
\therefore N M=O A=83.\ 5 ({\bf\ m}) .
\therefore O D//F M,\therefore\angle O F N=\angle F O D=24°.
\therefore F N=O F*\cos24°{\approx}{(153)/(2)}x0.91=69.615({~m}).
\therefore F M=F N+N M\approx69. 615+83. 5\approx153. 1 (\m).
答：甲、乙乘坐的座舱距离地面的高度约为
153.1 ~m.
(2)如图,， S_{\scriptscriptstyle\overrightarrow{S}j%D m C}=S_{\scriptscriptstyle\overrightarrow{E}j%D n C^{\prime}} ，
. DC扫过的面积S=S扇形cDc' S = S_{jijf\zeta C D C^{\prime}} =(90πx16^{2})/(360)\approx
201. 0(cm^{2} )

答图1

答图2

8.解:(1)12 (2)如答图1,过点 Q 作 Q B\bot l 于点 B ,过点 o 作 O C\bot Q B 于点 C \because O A\perp l,Q B\perp l,O C\perp Q B, .\angle O A B=\angle A B C=\angle O C B=90°. .四边形 O A B C 为矩形.

专项四 圆的切线的判定与相关计算

典例剖析

例1(1)证明：如图,连接 O C ，

\begin{array}{r l}&{\colon O B=O C.}\\ &{\colon**\angle O B C=\angle O C B.}\\ &{\colon** B C//O P,}\\ &{}\end{array}