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竞赛常用知识手册

《中等数学》资料室

数论部分

1 整除

1. 定义

对于整数a、b(b 6= 0), 存在整数q, 满足a = bq就叫做a能被b整除, 记作b|a. 其中a叫做b的倍数, b叫

做a的约数(因数).

若b 6= ±1, 则b叫做a的真约数.

若a不能被b整除, 则记作b - a.

如果a

t

|b, a

t+1 - b, t ∈ N, 记作a

tkb.

2. 关于整除的一些简单性质

(1)b|0, ±1|a, a|a(a 6= 0).

(2)若b|a, a 6= 0, 则1 6 |b| 6 |a|.

(3)若c|b, b|a, 则c|a.

(4)若b|a, c 6= 0, 则bc|ac.

(5)若c|a, c|b, 则c|(ma + nb)(m、n ∈ Z).

(6)若

P

k

i=1

ai = 0, b能整除a1, a2, · · · , ak中的k − 1个, 则b能整除另一个.

2 同余

1. 定义

设m为正整数, 若整数a和b被m除的余数相同, 则称a和b对模m同余, 记作a ≡ b(modm).

2. 基本性质

(1)a ≡ b(modm) ⇔ m|(b − a).

(2)a ≡ b(modm) ⇔ b = km + a(k ∈ Z).

(3)a ≡ a(modm).

(4)若a ≡ b(modm), 则b ≡ a(modm).

(5)若a ≡ b(modm), b ≡ c(modm), 则a ≡ c(modm).

2

(6)若a ≡ b(modm), c ≡ d(modm), 则a ± c ≡ b ± d(modm), ac ≡ bd(modm), a

n ≡ b

n(modm).

(7)若ac ≡ bc(modm), (c, m) = d, 则a ≡ b(mod m

d

). 其中符号(c, m)表示c与m的最大公约数.

特别地, 当(c, m) = 1时, 若ac ≡ bc(modm), 则a ≡ b(modm).

3. 同余类

由关于模m同余的整数组成的集合, 每一个集合叫做关于模m的同余类(或叫做关于模m的剩余类).

由于任何整数被m除的余数只能是0, 1, · · · , m − 1这m种情形, 所以, 整数集可以按对模m同余的关系

分成m个子集: A0, A1, · · · , Am−1.

其中Ai = {qm + i|m为模, q ∈ Z}, i = 0, 1, · · · , m − 1.

所有的Ai(i = 0, 1, · · · , m − 1)满足

mS−1

i=0

Ai = Z,

mT−1

i=0

Ai = ∅.

4. 完全剩余系

从横m的m个同余类A0, A1, · · · , Am−1中, 每一类Ai取一数ai

, 则a0, a1, · · · , am−1叫做模m的一个完

全剩余系(简称模m的完系).

最简单的模m的完全剩余系是0, 1, · · · , m − 1, 也叫做模m的最小非负完系.

显然m个相继整数构成模m的一个完系.

3 质数与合数

1. 一个大于1的整数, 如果只有1和它本身作为它的约数, 这样的正整数叫做质数(也叫素数); 如果除

了1和它本身之外还有其他的正约数, 这样的正整数叫做合数.

1既不是质数也不是合数. 因此, 正整数集Z+ = {1}

S

{质数}

S

{合数}.

2. 大于1的整数的所有真约数中, 最小的正约数一定是质数.

3. 合数a的最小质约数不大于√

a.

4. 质数有无穷多个.

5. 不存在这样的整系数多项式f(n) = Pm

i=0

ain

i

, 使得对任意的自然数n, f(n)都是质数.

6. 威尔逊(Wilson)定理

p为质数的充分必要条件是(p − 1)! ≡ −1(modp).

4 质因数分解

1. 质因数分解定理(整数的唯一分解定理)

每一个大于1的整数都能分解成质因数连乘积的形式, 且如果把这些质因数按照由小到大的顺序排

列(相同因数的乘积写成幂的形式), 这种分解方法是唯一的.

3

2. 整数n(n > 1)的标准分解式为n =

Qm

i=1

p

αi

i

. 其中pi为质数, αi为正整数, i = 1, 2, · · · , m.

3. 约数个数定理

设d(n) = P

d|n

1表示大于1的整数n的所有正约数的个数, n的标准分解式为n =

Qm

i=1

p

αi

i

, 则

d(n) = Ym

i=1

(1 + αi).

4. 约数和定理

设σ(n) = P

d|n

d表示大于1的整数n的所有正约数的和, n的标准分解式为n =

Qm

i=1

p

αi

i

, 则

σ(n) = Ym

i=1

p

αi+1

i − 1

pi − 1

.

5. 在n!的标准分解式中, 质因数p的方幂为P∞

r=1 ·

n

p

r

¸

. 其中记号[x]表示不超过x的最大整数.

5 公约数和公倍数

1. 公约数和最大公约数

(1)若c|a1, c|a2, · · · , c|an, 则c称为a1, a2, · · · , an的公约数.

a1, a2, · · · , an的所有公约数中最大的一个称为a1, a2, · · · , an的最大公约数. 记作(a1, a2, · · · , an).

(2)若a1, a2, · · · , an的标准分解式为a1 =

Qm

i=1

p

αi

i

, a2 =

Qm

i=1

p

βi

i

, · · · , an =

Qm

i=1

p

δi

i

, 其中pi为质数, αi

, βi

,

· · · , δi为非负整数, i = 1, 2, · · · , m, 则(a1, a2, · · · , an) = Qm

i=1

p

ti

i

, 其中ti = min{αi

, βi

, · · · , δi}.

(3)如果a是b的倍数, 那么a和b的公约数的集合与b的约数集合相等.

(4)如果a是b的倍数, 则(a, b) = b.

(5)设a和b是不同时等于1的正整数, 且d = ax0 + by0是形如ax + by(x、y是整数)的整数中的最小正整

数, 则d = (a, b).

(6)正整数a和b的公约数集合与它们的最大公约数的约数集合相等.

(7)设m是任意正整数, 则(am, bm) = (a, b)m.

(8)设n是a和b的一个公约数, 则

µ

a

n

,

b

n

¶

=

(a, b)

n

.

(9)设正整数a和b(a > b)满足等式a = bq + r, 0 6 r < b, q、r ∈ Z. 则(a, b) = (b, r).

由此可得到求a、b最大公约数的辗转相除法.

设a = bq1 + r1, 0 6 r1 < b.

4

若r1 = 0, 则(a, b) = b.

若r1 6= 0, 则又可用r1去除b得b = r1q2 + r2, 0 6 r2 < r1.

若r2 = 0, 则(a, b) = (b, r1) = r1.

若r2 6= 0, 再用r2去除r1得r1 = r2q3 + r3, 0 6 r3 < r2.

如此继续下去, 由于b > r1 > r2 > r3 > · · ·以及ri(i = 1, 2, · · ·)是非负整数, 则一定在进行到某一次

时, 例如第n + 1次得到rn+1 = 0. 但由于rn 6= 0, 则有(a, b) = (b, r1) = (r1, r2) = · · · = (rn−1, rn) = rn.

用此法还可以求(5)中形如ax + by的最小正整数d = ax0 + by0.

2. 公倍数和最小公倍数

(1)若a1|b, a2|b, · · · , an|b, 则b称为a1, a2, · · · , an的公倍数. a1, a2, · · · , an的所有公倍数中最小的一个

称为a1, a2, · · · , an的最小公倍数. 记作[a1, a2, · · · , an].

(2)若a1, a2, · · · , an的标准分解式为a1 =

Qm

i=1

p

αi

i

, a2 =

Qm

i=1

p

βi

i

, · · · , an =

Qm

i=1

p

δi

i

, 其中pi为质数, αi

, βi

,

· · · , δi为非负整数, i = 1, 2, · · · , m, 则[a1, a2, · · · , an] = Qm

i=1

p

ri

i

, 其中ri = max{αi

, βi

, · · · , δi}.

(3)a1, a2, · · · , an的最小公倍数是它们的任一公倍数的约数.

(4)[a, b] = ab

(a, b)

.

6 互质数、费马小定理和孙子定理

1. 互质数

(1)若(a1, a2, · · · , an) = 1, 就叫做a1, a2, · · · , an互质(也叫做互素). 这n个数叫互质数(互素数).

特别地, 1和任何整数互质; 相邻两个整数互质; 相邻两个奇数互质; 对质数p, 若p不能整除a, 则p与a互

质.

(2)若(a, b) = 1, 则(a ± b, a) = 1, (a ± b, ab) = 1.

(3)若(a, b) = 1, a|bc, 则a|c.

(4)若a|c, b|c, (a, b) = 1, 则ab|c.

(5)若(a, b) = 1, 则(b, ac) = (b, c).

(6)若(a, b) = 1, c|a, 则(c, b) = 1.

(7)若(a, b) = 1, 则(a, bk

) = 1.

(8)若a1, a2, · · · , am中的每一个与b1, b2, · · · , bn中的每一个互质, 则(a1a2 · · · am, b1b2 · · · bn) = 1.

2. 欧拉函数

定义: 小于m且与m互质的正整数的个数叫做欧拉(Euler)函数, 记作ϕ(m).

5

若m =

Qn

i=1

p

αi

i

, 则ϕ(m) = m

Qn

i=1 µ

1 −

1

pi

¶

.

其中pi是质数, αi是正整数(i = 1, 2, · · · , n).

当m为质数时, ϕ(m) = m − 1.

性质:

(1)ϕ(m)是积性函数, 即(a, b) = 1, 则ϕ(a)ϕ(b) = ϕ(ab).

(2)若p是质数, 则ϕ(p) = p − 1, ϕ(p

k

) = p

k − p

k−1

.

(3)设m = p

α1

1

p

α2

2

· · · p

αk

k

, 则ϕ(m) = m

µ

1 −

1

p1

¶ µ1 −

1

p2

¶

· · · µ

1 −

1

pk

¶

.

(4)设d1, d2, · · · , dT(m)是m的所有正约数, 则

T

P

(m)

i=1

ϕ(di) = m.

3. 欧拉定理和费马小定理

(1)欧拉定理

设m > 2, 且(a, m) = 1, ϕ(m)为欧拉函数, 则a

ϕ(m) ≡ 1(modm).

(2)费马(Fermat)小定理

设p是质数, 且(a, p) = 1, 则a

p−1 ≡ 1(modp).

注: 费马小定理是欧拉定理当m为质数时的特例.

4. 孙子定理

设m1, m2, · · · , mk是k个两两互质的正整数. 则同余式组

x ≡ b1(modm1),

x ≡ b2(modm2),

· · · · · ·

x ≡ bk(modmk)

有唯一解x ≡ M0

1M1b1 + M0

2M2b2 + · · · + M0

kMkbk(modM).

其中M = m1m2 · · · mk, Mi =

M

mi

, i = 1, 2, · · · , k, M0

iMi ≡ 1(modmi), i = 1, 2, · · · , k.

注: 孙子定理又叫中国剩余定理.

7 奇数和偶数

1. 若一个整数能被2整除, 则这个整数叫偶数; 若一个整数被2除余1, 则这个整数叫奇数.

奇数集合和偶数集合都是以2为模的同余类.

6

2. 奇数个奇数的和(或差)是奇数, 偶数个奇数的和(或差)是偶数.

任意多个偶数的和(或差)为偶数.

一个奇数与一个偶数的和(或差)是奇数.

两个整数的和与差在相同的奇偶性.

3. 任意多个奇数的积是奇数.

若任意多个整数中至少有一个偶数, 则它们的积是偶数.

8 完全平方数

1. 若a是整数, 则a

2叫做a的完全平方数.

2. 完全平方数的个位数只能是0, 1, 4, 5, 6, 9.

3. 奇数的平方的十位数是偶数.

4. 个位数是5的平方数, 其十位数是2, 百位数是偶数.

5. 如果一个完全平方数的个位数是6, 那么它的十位数是奇数.

6. 偶数的平方能被4整除; 奇数的平方被4除余1.

7. 偶数的平方被8余余0或4; 奇数的平方被8除余1.

8. 若一个整数能被3整除, 则这个数的平方能被3整除; 若一个整数不能被3整除, 则这个数的平方被3除

余1.

9. 若一个整数能被5整除, 则这个数的平方能被5整除; 若一个整数不能被5整除, 则这个数的平方被5除

余+1或−1.

10. 把完全平方数的各位数码相加, 如果所得到的和不是一位数, 再把这个和的各位数码相加, 直到

和是一位数为止, 这个一位数只能是0, 1, 4, 7, 9.

11. 两个相邻完全平方数之间不可能有完全平方数.

12. 完全平方数的所有正约数个数为奇数, 并且反过来也成立.

13. 如果质数p是一个完全平方数的约数, 那么p

2也是这个完全平方数的约数.

9 整数的可除性特征

1. 一个整数能被2整除的充分必要条件是这个数的个位数是偶数.

2. 一个整数能被4整除的充分必要条件是这个数的末两位数能被4整除.

3. 一个整数能被5整除的充分必要条件是这个数的个位数是0或5.

4. 一个整数能被3整除的充分必要条件是这个数的各位数字之和能被3整除.

7

5. 一个整数能被9整除的充分必要条件是这个数的各位数字之和能被9整除.

6. 一个整数能被11整除的充分必要条件是这个数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除.

7. 一个整数能被10n − 1(n为正整数)整除的充分必要条件是把这个数的个位数截去之后, 再加上这

个个位数的n倍, 它的和能被10n − 1整除, 即把A写成A = 10x + y, y ∈ {0, 1, · · · , 9}, 则(10n − 1)|A ⇔

(10n − 1)|(x + ny).

由此可判断整数A能否被9, 19, 29, 39, · · ·整除.

8. 一个整数能被10n + 1(n为正整数)整除的充分必要条件是把这个数的个位数截去之后, 再减去这

个个位数的n倍, 它的差能被10n + 1整除. 即把A写成A = 10x + y, y ∈ {0, 1, · · · , 9}, 则(10n + 1)|A ⇔

(10n + 1)|(x − ny).

由此可判断整数A能否被11, 21, 31, 41, · · ·整除.

10 十进制记数法

1. 数A的十进制表示为A =

Pn

i=1

ai10i

, 其中ai ∈ {0, 1, · · · , 9}, i = 0, 1, · · · , n−1, an ∈ {1, 2, · · · , 9}.

2. A的n次幂的个位数等于A的个位数的n次幂的个位数, 即An ≡ a

n

0

(mod10).

3. An的个位数以4为周期循环出现.

4. A与它的各位数字之和S(A) = Pn

i=0

ai关于模9同余, 即A ≡

Pn

i=0

ai(mod9).

5. A的各位数字之和S(A) = Pn

i=0

ai满足S(A + B) 6 S(A) + S(B), S(AB) 6 S(A)S(B).

6. 若a和b为任意非负整数, 则

1

2

a × 5

b的小数展开式是有限的.

7. 若

1

n

具有有限小数展开式, 则n = 2a × 5

b

, 其中a、b为非负整数.

8. 在

1

n

的十进制小数展开式中, 循环节长不大于n − 1.

9. 若(n, 10) = 1, 则

1

n

的循环节长为r, r是满足10r ≡ 1(modn)的最小正整数.

11 k进制记数法

1. 设k > 2为任一整数(称为基), 则任一十进制整数A可唯一地用基k表示, 即可写成如下的形式: A =

d0+d1k+d2k

2+· · ·+dnk

n =

Pn

i=0

dik

i

. 其中di ∈ {0, 1, · · · , k−1}, i = 0, 1, · · · , n−1, dn ∈ {1, 2, · · · , k−1}.

2. A的k进制表示可记为A = (dndn−1 · · · d1d0)k.

3. 设B为正的纯小数, 则B可以唯一地用基k表示, 即可写成如下的形式: B = d−1k

−1 +d−2k

−2 +· · ·+

d−nk

−n + · · ·其中d−i ∈ {0, 1, · · · , k − 1}, i = 1, 2, · · · , n, · · ·

注: 若B为有限小数, 则上式为有限项; 若B为无限小数, 则上式为无限项.

8

12 不定方程

1. 二元一次不定方程ax + by = c

(1)不定方程ax + by = c(a、b、c为整数)有整数解的充分必要条件是(a, b)|c.

(2)若(a, b) = 1, 且(x0, y0)是不定方程ax + by = c的一组整数解, 则x = x0 + bt, y = y0 − at(t是整

数)是方程的全部整数解.

2. 不定方程x

2 + y

2 = z

2的整数解

(1)若x = a, y = b, z = c(a、b、c为正整数)是方程x

2 + y

2 = z

2的一组解, 且(a, b) = 1, 就称这组解为

方程的一组基本解.

(2)若x = a, y = b, z = c为方程x

2 + y

2 = z

2的一组基本解, 则a和b中恰有一个为偶数, c为奇数.

(3)设x = a, y = b, z = c为方程x

2 + y

2 = z

2的一组基本解, 且假定a是偶数, 则存在正整数m和n,

m > n, (m, n) = 1, 且m 6≡ n(mod2), 使得a = 2mn, b = m2 − n

2

, c = m2 + n

2

.

(4)若a = 2mn, b = m2 − n

2

, c = m2 + n

2

, 则a、b、c是x

2 + y

2 = z

2的一组解; 如果还有m > n > 0,

(m, n) = 1和m 6≡ n(mod2), 则a、b、c就是方程的一组基本解.

3. 佩尔(Pell)方程

(1)方程x

2 − dy2 = 1(d为给定的正整数), 叫做佩尔方程.

(2)无论d取什么值, x = ±1, y = 0是佩尔方程的解, 这组解称为佩尔方程的平凡解.

(3)设d > 0是一个非平方数, 则佩尔方程x

2 − dy2 = 1有无穷多个不同的整数解.

(4)设n > 0, (x1, y1)是佩尔方程x

2 − dy2 = 1的一个解, 又设xn与yn由下式定义(x1 −

√

dy1)

n = xn +

√

dyn, 则(xn, yn)是佩尔方程x

2 − dy2 = 1的一个解.

13 整点

在平面直角坐标系中, 横、纵坐标均为整数的点叫做整点, 整点也叫格点. 类似地, 可定义空间直角坐

标系中的整点.

1. 整点多边形的面积公式

顶点都在整点上的简单多边形(即不自交的多边形), 其面积为S, 多边形内的整点数为N, 多边形边上

的整点数为L, 则S = N +

L

2

− 1.

2. 正方形内的整点

(1)各边均平行于坐标轴的正方形, 如果内部不含整点, 它的面积最大是1.

(2)内部不含整点的正方形面积, 最大是2.

(3)内部只含一个整点的最大正方形面积是4.

9

3. 圆内整点问题

设A(r)表示区域x

2 + y

2 6 r

2上的整点数, r是正实数, 则

A(r) = 1 + 4[r] + 4 X

16s6r

[

p

r

2 − s

2]

或A(r) = 1 + 4[r] + 8 P

16s6 √r

2

[

√

r

2 − s

2] − 4

·

r

√

2

¸2

.

其中, [x]表示不超过x的最大整数.

此外, 当r充分大时, 区域x

2 + y

2 6 r

2上的格点数A(r)接近于πr.

4. 不存在整点正三角形.

5. 当n > 5时, 不存在整点正n边形.

14 函数[x]

1. 定义

设x ∈ R, 则[x]表示不超过x的最大整数.

2. 函数[x]的性质

(1)y = [x]的定义域为实数集R, 值域为整数集Z.

(2)x = [x] + r, 0 6 r < 1.

(3)x − 1 < [x] 6 x < [x] + 1.

(4)y = [x]是广义增函数, 即当x1 6 x2时, [x1] 6 [x2]成立.

(5)设n ∈ Z, 则[n + x] = n + [x].

(6)·Pn

i=1

xi

¸

>

Pn

i=1

[xi

].

(7)对正实数x1, x2, · · · , xn有

· Qn

i=1

xi

¸

>

Qn

i=1

[xi

].

特别地, 对正数x及正整数n有[x

n] > [x]

n, [x] > [

√n x]

n.

(8)对正实数x、y有

h

y

x

i

6

[y]

[x]

.

(9)设n为正整数, 则

h

x

n

i

=

·

[x]

n

¸

.

(10)对整数x, 有[−x] = −[x]; 对非整数x, 有[−x] = −[x] − 1.

(11)对正整数m和n, 不大于m的n的倍数共有hm

n

i

个.

(12)函数{x}定义为实数x的正的纯小数部分, 即{x} = x − [x].

10

y = {x}还有如下一些性质:

(i){x} ∈ [0, 1).

(ii){x}是以1为最小正周期的周期函数.

(iii){n + x} = {x}(n为整数).

(13)设p ∈ N, 满足2

λ

|(2p

)!的λ的最大值为M = 2p − 1.

由(11)知M =

·

2

p

2

¸

+

·

2

p

2

2

¸

+

·

2

p

2

3

¸

+ · · · = 2p−1 + 2p−2 + · · · + 2 + 1 = 2p − 1.

15 阶数与原根

1. 阶数定义

当(a, m) = 1, 有最小正整数λ, 使a

λ ≡ 1(modm), 且a

k 6≡ 1(modm), 0 < k < m, 则λ叫做a关于m的

阶数.

由欧拉定理得λ 6 ϕ(m), λ|ϕ(m).

2. 原根定义

如果λ = ϕ(m), 叫做a关于模m的阶数是ϕ(m), 此时, a叫做m的原根.

3. 阶数λ的性质

(1)如果a关于m的阶数是λ, 那么a

0

, a1

, · · · , aλ−1中, 任两数关于模m不同余.

(2)若λ是关于m的阶数, 则满足a

t ≡ 1(modm)的t, 都有λ|t.

几何部分

1 平面几何

1. 1 三角形的性质

设4ABC的三边长分别为a、b、c, 三个内角分别为A、B、C, 内切圆、外接圆和三个旁切圆的半径分

别为r、R、r1、r2、r3, 半周长为p, 三条高线长分别为ha、hb、hc, 三条中线长分别为ma、mb、mc, 三条角

平分线长分别为ta、tb、tc, ∠A的外角平分线长为t

0

a

, 边BC上的斜高为h, 斜高与BC的夹角为α, 面积为S.

内心、外心、重心、垂心分别为I、O、G、H, 三个旁心分别为I1、I2、I3.

1. 1. 1 正弦定理

a

sin A

=

b

sin B

=

c

sin C

= 2R.

1. 1. 2 余弦定理

a

2 = b

2 + c

2 − 2bc cos A, b

2 = c

2 + a

2 − 2ca cos B, c

2 = a

2 + b

2 − 2ab cos C.

11

1. 1. 3 三角形的面积公式

(1)S =

1

2

aha =

1

2

bhb =

1

2

chc;

(2)S =

1

2

ab sin C =

1

2

bc sin A =

1

2

ca sin B =

1

2

ah sin α;

(3)S =

abc

4R

= 2R

2

sin A · sin B · sin C =

R2

2

(sin 2A + sin 2B + sin 2C);

(4)S =

a

2

sin B · sin C

2 sin(B + C)

=

b

2

sin C · sin A

2 sin(C + A)

=

c

2

sin A · sin B

2 sin(A + B)

;

(5)海伦(Heron)公式S =

p

p(p − a)(p − b)(p − c);

(6)S = r

2

µ

cot

A

2

+ cot

B

2

+ cot

C

2

¶

;

(7)S = pr = (p − a)r1 = (p − b)r2 = (p − c)r3.

1. 1. 4 若两个三角形相似, 则面积比等于相似比的平方; 若两个三角形有一条边相等, 则面积比等

于对应边上高的比或斜高的比; 若两个三角形有一条高相等, 则面积比等于高对应的边的比.

1. 1. 5 r = 4R sin

A

2

· sin

B

2

· sin

C

2

;

r1 = 4R sin

A

2

· cos

B

2

· cos

C

2

;

r2 = 4R cos

A

2

· sin

B

2

· cos

C

2

;

r3 = 4R cos

A

2

· cos

B

2

· sin

C

2

;

r1 + r2 + r3 = r + 4R.

1. 1. 6 ∠BIC = 90◦ +

∠A

2

, ∠CIA = 90◦ +

∠B

2

, ∠AIB = 90◦ +

∠C

2

, ∠BI1C = 90◦ −

∠A

2

, ∠CI2A =

90◦ −

∠B

2

, ∠AI3B = 90◦ −

∠C

2

.

1. 1. 7 由顶点A、B、C引出的内切圆的切线长分别为p − a、p − b、p − c; 所对角内的旁切圆的切

线长为p; 点B、C到∠A内的旁切圆的切线长分别为p − c、p − b; 点C、A到∠B内的旁切圆的切线长分别

为p − a、p − c; A、B到∠C内的旁切圆的切线长分别为p − b、p − a.

1. 1. 8 若AI与4ABC的外接圆交于点D, 则DI = DB = DC = DI1, 即I、B、C、I1四点共圆, 圆心

为D; 若在线段AD及其延长线上存在点I

0、I

0

1

, 满足DI0 = DB = DC = DI0

1

, 则I

0、I

0

1分别为4ABC的内

心和∠A内的旁心.

1. 1. 9 ∠BOC = 2∠A, ∠COA = 2∠B, ∠AOB = 2∠C.

1. 1. 10 阿基米德(Archimedes)定理

三角形三条中线交于一点G(重心), 且G到顶点的距离等于这个顶点向对边所作中线长的2

3

.

1. 1. 11 帕普斯(Pappus)定理(中线公式)

12

ma =

1

2

p

2b

2 + 2c

2 − a

2, mb =

1

2

p

2c

2 + 2a

2 − b

2, mc =

1

2

p

2a

2 + 2b

2 − c

2.

1. 1. 12 ta =

2

b + c

p

bcp(p − a), tb =

2

c + a

p

cap(p − b), tc =

2

a + b

p

abp(p − c).

1. 1. 13 t

0

a =

2

|b − c|

p

bc(p − b)(p − c).

1. 1. 14 ∠BHC = 180◦ − ∠A, ∠CHA = 180◦ − ∠B, ∠AHB = 180◦ − ∠C.

1. 1. 15 锐角三角形的垂心是其垂足三角形的内心; 钝角三角形的垂心是其垂足三角形的旁心; 锐

角三角形的三个顶点是其垂足三角形的旁心.

1. 1. 16 4BHC、4CHA、4AHB的外接圆半径都等于R.

1. 1. 17 卡诺(Carnot)定理

4BHC、4CHA、4AHB的垂心分别为A、B、C.

1. 1. 18 设AH交BC于点D, 交4ABC的外接圆于点K, 则HD = DK.

1. 1. 19 设AH、BH、CH分别交BC、CA、AB于D、E、F, 则AH · HD = BH · HE = CH · HF.

1. 1. 20 设边BC的中点为L, 则AH∥OL, 且AH = 2OL = 2R cos A.

1. 2 多边形的性质

1. 2. 1 n边形内角和等于(n − 2)π.

1. 2. 2 四边形面积公式

(1)矩形

S = ab(a、b分别为矩形的邻边的长);

(2)平行四边形

S = ah = ab sin θ(a、b分别为平行四边形的邻边的长, θ是这两条边的夹角, h为底边a上的高);

(3)梯形

S =

1

2

(a + b)h(a、b分别为上、下底的长, h为高);

(4)任意四边形

S =

1

2

mn sin ϕ(m、n分别为两条对角线的长, ϕ为对角线的夹角);

(5)贝利契纳德(Bretschneider)面积公式

S =

1

4

p

4m2n2 − (a

2 − b

2 + c

2 − d

2)

2(m、n分别为两条对角线的长, a、b、c、d为四条边的长);

(6)圆内接四边形

S =

p

(p − a)(p − b)(p − c)(p − d)(p为半周长, a、b、c、d为四条边的长);

13

(7)圆外切四边形

S =

√

abcd sin

A + C

2

(a、b、c、d为四条边的长);

(8)双心四边形(既有内切圆又有外接圆的四边形)

S =

√

abcd(a、b、c、d为四条边的长).

1. 2. 3 贝利契纳德关于四边形的余弦定理

设a、b、c、d为四条边的长, m、n分别为两条对角线的长, 则有m2n

2 = a

2

c

2 +b

2d

2 −2abcd cos(A+C).

1. 2. 4 在周长一定的n边形的集合中, 正n边形的面积最大.

1. 2. 5 在周长一定的简单闭曲线的集合中, 圆的面积最大.

1. 2. 6 在面积一定的n边形的集合中, 正n边形的周长最小.

1. 2. 7 在面积一定的简单闭曲线的集合中, 圆的周长最小.

1. 3 重要定理和极值

(1)梅涅劳斯(Menelaus)定理

一直线与4ABC的三边BC、CA、AB或延长线分别交于点X、Y 、Z. 则

AZ

ZB

·

BX

XC ·

CY

Y A = 1.

(2)梅涅劳苦定理的逆定理

设X、Y 、Z分别是4ABC的三边BC、CA、AB或延长线上的点. 若

AZ

ZB

·

BX

XC ·

CY

Y A = 1, 则X、Y 、Z三

点共线(梅涅劳斯线).

(3)塞瓦(Ceva)定理

设P为4ABC内一点, 直线AP、BP、CP分别与边BC、CA、AB或交于点D、E、F. 则

AF

F B

·

BD

DC ·

CE

EA =

1.

(4)塞瓦定理的逆定理

设D、E、F分别是4ABC的三边BC、CA、AB上的点. 若

AF

F B

·

BD

DC ·

CE

EA = 1, 则AD、BE、CF三线

交于一点(塞瓦点).

(5)托勒密(Ptolemy)定理

若四边形ABCD为圆内接四边形, 则有AB · CD + BC · DA = AC · BD.

(6)托勒密定理的逆定理

若四边形ABCD满足AB · CD + BC · DA = AC · BD, 则四边形ABCD为圆内接四边形.

(7)广义托勒密定理

14

在四边形ABCD中, 有AB · CD + BC · DA > AC · BD, 等号成立的条件当且仅当四边形ABCD为圆

内接四边形.

(8)西姆松(Simson)定理

设4ABC外接圆上任意一点P在三边BC、CA、AB上的投影为D、E、F. 则D、E、F在一条直线(西

姆松线)上.

(9)西姆松定理的逆定理

设4ABC所在平面上一点P在三边BC、CA、AB上的投影为D、E、F. 若D、E、F三点共线, 则P在4ABC的

外接圆上.

(10)费马(Fermat)问题

到4ABC三顶点距离之和最小的点——费马点F. 当4ABC的最大角小于120◦时, 点F关于三边BC、CA、AB的

张角均为120◦

; 当4ABC的最大角大于120◦时, 点F即为最大角的顶点.

(11)到4ABC三顶点距离的平方和最小的点——重心G.

卡诺(Carnot)定理 若G为4ABC的重心, P为4ABC所在平面上任意一点, 则P A2 + P B2 + P C2 =

GA2 + GB2 + GC2 + 3P G2 > GA2 + GB2 + GC2

;

莱布尼兹(Leibnitz)公式 若G为4ABC的重心, P为4ABC所在平面上任意一点, 则P A2 + P B2 +

P C2 = 3P G2 +

1

3

(a

2 + b

2 + c

2

), 其中a、b、c分别为4ABC的三边边长.

(12)4ABC内到三边距离之积最大的点——重心G.

1. 4 几何变换

1. 4. 1 合同变换

在平面到其自身的映射下, 对于任意两点A、B及其像A0、B0

, 总有AB = A0B0

, 这个映射叫做合同变

换.

(1)平移变换: 把图形F上的所有点都按一定方向移动一定距离d, 形成图形F

0

, 则由F到F

0的变换叫做

平移变换, 记为T(v), v表示有向线段, 说明平移的方向和平移的距离.

(2)旋转变换: 将平面图形F绕这平面内的一个定点O旋转一个定角α(逆时针为正)而形成图形F

0

, 把F变

为F

0的这种变换称为旋转变换, 记为R(O, α).

当α = π时为半周旋转, 又叫中心反射或中心对称变换, 即点对称.

(3)对称变换(反射变换): 把平面图形F变到关于直线l成轴对称的图形F

0

, 这样的变换叫做关于直线l的

对称(反射)变换, 记为U(l).

1. 4. 2 相似变换

15

在平面到其自身的映射下, 对于任意两点A、B及其像A0、B0

, 如果总有A0B0 = kAB(k > 0), 这个映

射叫做相似变换.

(1)位似变换: 设O为一个定点, 对于图形F中的任意一点P, 如果它的像P

0在射线OP(或反向延长线)上,

并且总有OP0 = kOP(k 6= 0), 这种映射叫做以O为位似中心、k为位似比的位似变换, 记为H(O, k).

(2)位似旋转变换: 设O为一个定点, k(k > 0)为常数, θ为有向角, 对于图形F中的任意一点P, 射

线OP绕点O旋转角θ, 在射线上存在一点P

0

, 有OP0 = kOP, 把由点P到P

0点的变换叫做以点O为位似

旋转中心、旋转角为θ、位似比为k的位似旋转变换, 记为S(O, θ, k).

1. 4. 3 性质

(1)如果图形F到图形F

0是一个平移变换, 则存在对称变换, 经过连续两次对称变换, 可使F变到F

0

. 其

中两对称轴l1和l2与平移方向垂直, 一轴的位置可以任意选定, 而另一轴与前一轴的距离等于对应点移动

距离的一半.

(2)如果图形F到图形F

0是一个旋转变换, 则存在对称变换, 经过连续两次对称变换, 可使F变到F

0

. 其

中两对称轴l1和l2通过旋转中心, 一轴的位置可以任意选定, 而另一轴与前一轴的夹角等于旋转角的一半.

(3)对于不同的旋转中心, 连续进行两次旋转变换R(O1, θ1)、R(O2, θ2), 如果θ1 +θ2 6= 2π, 则可用一次

旋转变换R(O, θ1 + θ2)来代替, 旋转中心O是分别过O1、O2的直线l、m的交点, 其中O1O2与l的夹角为θ1

2

,

m与O1O2的夹角为θ2

2

.

(4)对于不同的位似中心, 连续进行两次位似变换H(O1, k1)、H(O2, k2), 则可以用一次位似变换

H(O, k1k2)

来代替, 位似中心O是任意一点M与经两次位似变换后的对应点M00的连线和O1O2的交点O.

1. 5 凸图形和覆盖

1. 5. 1 凸多边形: 如果一个多边形内部任意两点的连线也在这个多边形内部, 则称此多边形为凸多

边形.

1. 5. 2 凸图形: 如果图形F内任意两点A、B的连线段上的每一点都在图形F内, 则称图形F为凸图

形.

1. 5. 3 凸包: 包含点集M的最小凸图形称为点集M的凸包. 凸包实际上是一个包含点集M的最小凸

多边形.

定理 有限点的凸包存在且唯一.

1. 5. 4 直径: 点集的直径是满足下面条件的一个正数d:

点集中任意两点的距离都不超过d, 而对于比d小的任何正数d

0

, 点集中至少有两点的距离要超过d

0

.

16

特别地, 对于有限点集和闭区域, 其直径就是任意两点间距离的最大值.

1. 5. 5 覆盖: 如果图形F的任何一点都属于n张纸片G1, G2, · · · , Gn中之一, 则称图形F被G1, G2, · · · ,

Gn覆盖; 如果无论怎样放置G1, G2, · · · , Gn都至少有F中的一个点不能被这n纸片中的任一个所包含, 则

称G1, G2, · · · , Gn盖不住F.

1. 5. 6 性质

(1)F ⊆ F.

(2)若G1 ⊆ G, G2 ⊆ G1, 则G2 ⊆ G.

(3)若G1 ⊇ F, G2 ⊇ F, 则G1 ∩ G2 ⊇ F.

(4)如果纸片G能覆盖区域F, 则S(G) > S(F), 其中S(X)代表区域X的面积, 下同.

1. 5. 7 重叠原理

(1)两个凸n边形相似并且对应顶点依顺时针次序相同, 则其中边长较小的那个凸n边形纸片一定能被

边长较大的那个覆盖;

(2)如果能在平面上找到一点O, 使得点集F中的每一点与O的距离都不超过某个定长r, 则F必可被一

个半径为r的圆纸片覆盖.

(3)A、B为定点, α为定角, 若点集F中的每一点P都在AB同侧, 且与A、B所成视角∠AP B > α, 则点

集F能被以AB为弦、含定角α为弓形角的一个弓形纸片G所覆盖.

(4)如果G与F都是平面区域, 且S(F) > S(G), 则G必不能覆盖F.

(5)一个直径为d的点集F不能被直径小于d的点集G所覆盖.

(6)在长为1的线段上放置某些线段, 这些线段的长度之和大于1, 则这些线段中至少有两条是有公共

点的.

(7)如果在半径为1的圆上放置某些圆弧, 这些圆弧的长度之和大于2π, 则这些圆弧中至少有两段具有

公共点.

(8)假定有n张纸片, 它们的面积分别是S1, S2, · · · , Sn, 把它们嵌入到一个面积为S的平面区域中, 如

果S1 + S2 + · · · + Sn > S, 则至少有两张纸片发生重叠.

(9)设面积为S的图形G中包含有图形G1, G2, · · · , Gn, 它们的面积分别为S1, S2, · · · , Sn. 如果图形G的

每一点都至多被Gi中的k个所覆盖, 则S1 + S2 + · · · + Sn 6 kS; 若S1 + S2 + · · · + Sn > kS, 则G中至少存

在一点被{Gi}中的k + 1个所覆盖.

2 立体几何

2. 1 多面角: 有公共端点并且任意三线不在同一平面内的n条射线, 以及相邻两条射线间的平面部

分所组成的图形, 叫做多面角. 组成多面角的射线叫做多面角的棱, 这些射线的公共端点S叫做多面角的

17

顶点, 相邻两棱间的平面部分叫做多面角的面, 相邻两棱组成的角叫做多面角的面角, 相邻两个面组成的

二面角叫做多面角的二面角. 三面角的两个面角的和大于第三个面角, 多面角各面角的和小于360◦

.

2. 2 欧拉(Euler)定理: 若简单多面体的顶点数为V , 面数为F, 棱数为E, 则有V + F − E = 2.

3 解析几何

3. 1 直线方程

(1)法线式: x cos α + y sin α = p, 其中p为由原点向直线所引的垂线长, α为该垂线与x轴正向所成的

角.

(2)极坐标方程: r(a cos θ + b sin θ) − c = 0, 其中a = cos α, b = sin α, c = p, p为由原点向直线所引的垂

线长, α为该垂线与x轴正向所成的角.

(3)直线束(或直线系)方程: 已知两条直线的方程分别为l1 = 0, l2 = 0, 则过这两条直线的交点或与这

两条直线都平行的所有直线方程为λl1 + µl2 = 0.

3. 2 三角形的面积公式: 设三角形的三个顶点的坐标按逆时针排列的顺序分别为

(x1, y1)、(x2, y2)、(x3, y3),

则该三角形的面积为S =

1

2

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

x1 y1 1

x2 y2 1

x3 y3 1

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

.

3. 3 圆锥曲线的切线和法线

(1)过圆x

2 + y

2 = R2上一点(x0, y0)的切线方程为

x0x + y0y = R

2

;

过圆(x − a)

2 + (y − b)

2 = R2上一点(x0, y0)的切线方程为

(x0 − a)(x − a) + (y0 − b)(y − b) = R

2

.

(2)过抛物线y = ax2 + bx + c上一点(x0, y0)的切线方程、法线方程分别为

y + y0

2

= ax0x +

b(x + x0)

2

+ c; y − y0 = −

1

2ax0 + b

(x − x0).

(3)过椭圆x

2

a

2

+

y

2

b

2

= 1上一点(x0, y0)的切线方程、法线方程分别为

x0x

a

2

+

y0y

b

2

= 1;

a

2x

x0

−

b

2y

y0

= a

2 − b

2

.

18

(4)过双曲线上一点(x0, y0)的切线方程、法线方程分别为

x0x

a

2

−

y0y

b

2

= 1;

a

2x

x0

+

b

2y

y0

= a

2 + b

2

.

3. 4 圆的幂和根轴

(1)以O(a, b)为圆心, 半径为R的圆的方程为(x − a)

2 + (y − b)

2 = R2

, 点P(x1, y1)关于圆O的圆幂

为P O2 − R2 = (x1 − a)

2 + (y1 − b)

2 − R2

.

(2)关于两个圆的等幂的点的轨迹称为这两个圆的根轴(或等幂轴), 根轴是一条垂直于两个圆的连心

线的直线.

若已知两个圆的方程为C1 = 0, C2 = 0, 且二次项的系数为1, 则关于这两个圆的根轴为C1 − C2 = 0.

组合部分

1 排列与组合

1. 1 加法原理与乘法原理

加法原理 做一件事, 完成它可以分成n类方法, 在第一类办法中有m1种不同的方法, 在第二类办法

中有m2种不同的方法, · · · , 在第n类办法中有mn种不同的方法, 则完成这件事共有m1 + m2 + · · · + mn种

不同的方法.

乘法原理 做一件事, 完成它需要分成n个步骤, 做第一步有m1种不同的方法, 做第二步有m2种不同

的方法, · · · , 做第n步有mn种不同的方法, 则完成这件事共有m1 × m2 × · · · × mn种不同的方法.

1. 2 排列与组合

1. 2. 1 排列

(1)无重排列 从n个不同元素中有序且不重复地选取k(1 6 k 6 n)个元素, 称为从n个不同元素中取

出k个元素的一个无重排列, 简称为k-排列. 所有这样的排列个数记作Ak

n

, Ak

n = n(n − 1)· · · · ·(n − k + 1) =

n!

(n − k)!.

当k = n时, 得到n个不同元素的全排列公式Ak

n = n(n − 1) · · · · · 2 · 1 = n!.

(2)重复排列 从n个不同元素中有序且可重复地选取k(k > 1)个元素, 称为从n个不同元素的一个k-可

重排列. 所有这样的排列数为n

k

.

(3)不全相异元素的全排列 设n个元素可分为k个组, 同一组的元素彼此相同, 不同组间的元素不相

同. 设k个组的元素个数依次为n1, n2, · · · , nk(n1 + n2 + · · · + nk = n), 则这n个元素的全排列称为不全相

异元素的全排列, 其排列数为 n!

n1!n2! · · · nk!

.

19

(4)圆周排列 从n个不同元素中(无重复地)取出k(1 6 k 6 n)个元素排在一个圆周上, 称为n个不同

元素的一个k-圆排列. 如果一个k-圆排列旋转可以得到另一个k-圆排列, 则认为这两个圆周排列相同. n个

不同元素的k-圆排列数为

Ak

n

k

=

n!

k · (n − k)!.

特别地, 当k = n时, n个不同元素组成的圆周排列的总数为(n − 1)!.

(5)错位排列 集合{1, 2, · · · , n}的一个排列{a1, a2, · · · , an}中, 如果ai 6= i, i = 1, 2, · · · , n, 则称

这种排列为一个错位排列(也称更列). 错位排列的个数为

Dn = n!

·

1 −

1

1! +

1

2! − · · · + (−1)n

1

n!

¸

.

1. 2. 2 组合

(1)无重组合 从n个不同元素中无序且不重复地选取k(1 6 k 6 n)个元素, 称为n个不同元素中取

出k个元素的一个(无重)组合, 简称为k-组合. 所有这样的组合数记作C

k

n

, 则

C

k

n =

Ak

n

k!

=

n(n − 1)· · ·(n − k + 1)

k!

=

n!

k!(n − k)!.

(2)重复组合 从n个不同元素中无序但可重复地选取k(k > 1)个元素, 称为n个不同元素的一个k-可

重组合. n个不同元素的一个k-可重组合数为C

k

n+k−1

.

(3)不定方程x1 + x2 + · · · + xn = m的正整数解(x1, x2, · · · , xn)的个数为C

n−1

m−1

.

(4)不定方程x1 + x2 + · · · + xn = m的非负整数解(x1, x2, · · · , xn)的个数为C

m

m+n−1

.

1. 3 组合恒等式

(1)C

r

n = C

n−r

n

;

(2)C

r

n + C

r+1

n = C

r+1

n+1;

(3)C

r

n =

n

r

C

r−1

n−1

;

(4)C

r

nC

m

r = C

m

n C

r−m

n−m;

(5)C

0

n + C

1

n + · · · + C

n

n = 2n;

(6)C

0

n − C

1

n + C

2

n − C

3

n + · · · + (−1)nC

n

n = 0;

(7)C

0

n + C

1

n+1 + C

2

n+2 + · · · + C

k

n+k = C

k

n+k+1;

(8)范德蒙恒等式C

0

mC

k

n + C

1

mC

k−1

n + C

2

mC

k−2

n + · · · + C

k

mC

0

n = C

k

m+n

.

2 对应与计数

20

一一对应 设A、B是两个有限集合, f是A到B的一个映射. 如果f既是单射, 又是满射, 那么, 称f为

一一对应(或双射).

如果两个集合A和B之间存在一个一一对应f, 那么, 集合A和B的元素个数相等, 即|A| = |B|.

设A、B是两个有限集合, f是A到B的一个映射. 如果f是单射, 那么, |A| 6 |B|.

设A、B是两个有限集合, f是A到B的一个映射. 如果f是满射, 那么, |A| > |B|.

容斥原理 设S1, S2, · · · , Sn是个集合, 则

|S1

S

S2

S

· · · S

Sn|

=

P

16i6n

|Si

|− P

16i1<i26n

|Si1

T

Si2

|+· · ·+(−1)k−1 P

16i1<···<ik6n

|Si1

T

· · · T

Sik

|+· · ·+(−1)n−1

|S1

T

· · · T

Sn|.

容斥原理的对偶形式: 设S1, S2, · · · , Sn是S的子集, 则

|S1

T

S2

T

· · · T

Sn|

= |S|− P

16i6n

|Si

|+

P

16i1<i26n

|Si1

T

Si2

|−· · ·+(−1)k P

16i1<···<ik6n

|Si1

T

· · · T

Sik

|+· · ·+(−1)n|S1

T

· · · T

Sn|.

夫妇入座问题 n(n > 3)对夫妇围圆桌就坐, 男女交错, 且夫妇不相邻的坐法为

P(−1)r

2n

2n − r

C

r

2n−r

(n − r)! = n! −

2n

2n − 1

C

1

2n−1

(n − 1)! + 2n

2n − 2

C

2

2n−2

(n − 2)! − · · · + 2(−1)n

.

装错信封问题 n(n > 3)封信, 各配一个信封全部装错的个数为

Dn = n!

·

1 −

1

1! +

1

2! − · · · + (−1)n

1

n!

¸

.

卡特兰(Catalan)数之一 一个售货亭前排着2n个人等候购物. 假定他们都购买价值五元的同一货物,

其中n个人持整张的5元钱, n个人持整张的10元钱, 而售货员开始时没有零钱可找. 则有

1

n + 1

C

n

2n

种排队方法, 可使售货员能依次顺利出售货物, 而不出现找找不出钱的尴尬局面.

卡特兰数之二 用在凸n边形内部互不相交的对角线将凸n边形分成n − 2个三角形的剖分种数为

1

n − 1

C

n−2

2n−4

.

卡特兰数之三 2n个点均匀分布在一圆周上, 能用n条互不相交的弦两两配对的方法数为

1

n + 1

C

n

2n

.

21

福比尼(Fubini)原理 设A = {a1, a2, · · · , am}, B = {b1, b2, · · · , bn}, S ⊆ A × B, 记

S(ai

, ·) = {(ai

, b) ∈ S|b ∈ B, S(·, bj ) = {(a, bj ) ∈ S|a ∈ A}.

则

|S| =

X

a∈A

|S(a, ·)| =

X

b∈B

|S(·, b)|.

3 抽屉原理

抽屉原理1 如果把n + 1件东西任意放入n个抽屉, 那么, 必定有一个抽屉里至少有两件东西.

抽屉原理2 如果把m件东西任意放入n个抽屉, 那么, 必定有一个抽屉里至少有k件东西, 这里

k =







m

n

, 当m是n的倍数时;

hm

n

i

+ 1, 当m不是n的倍数时.

其中, [x]表示不超过x的最大整数.

抽屉原理3 如果把无穷多个东西放入n个抽屉, 那么, 至少有一个抽屉里有无穷多个东西.

Erdos-Szekeres ¨ 定理 任意给定由k个互不相等的实数实数a1, a2, · · · , ak所组成的数列, 其中k >

mn(m、n、k均为正整数). 如果其中每一个递减子数列至多含m项, 那么, 一定存在由多于n项所组成的上

升子数列.

4 极端原理

最小数原理1 设M是正整数集合的一个非空子集, 则M中必有最小数.

最小数原理2 设M是实数集的一个有限的非空子集, 则M中必有最小数.

最大数原理 设M是实数集的一个有限的非空子集, 则M中必有最大数.

5 母函数

5. 1 介绍

母函数也叫生成函数, 它的基本思想很巧妙, 即为了获得一个数列{ak}, 就用一个幂级数

g(x) = X

+∞

k=0

akx

k

来整体地、形式地表示这个数列(当然有时是有限项). 而g(x)又是可以通过其他途径求得简单的有限

项的表达式; 或是通过建立若干母函数之间的运算(通常是乘积), 赋予其明显的计数意义, 然后再计算结

果展开求其系数.

22

母函数提供了一种“桥梁作用”, 它把一种困难的计算转化成等价的然而却简单不少的计算.

设a0, a1, a2, · · ·是一个数列, 称级数g(x) =

+

P∞

k=0

akx

k为给定数列的母函数.

5. 2 几个常用的级数展开式

(1) 1

1 − x

=

X

+∞

k=0

x

n

, |x| < 1;

(2) 1

1 + x

=

X

+∞

k=0

(−1)nx

n

, |x| < 1;

(3)(1 + x)

α =

+

P∞

k=0

C

n

αx

n, α ∈ R, 其中C

n

α =

α(α − 1)· · ·(α − n + 1)

n!

, 规定C

0

α = 1.

6 图论

6. 1 图的基本概念

由若干个不同的顶点与连接其中某些顶点的线段(称为边)所组成的图形称为图. 通常用G表示图,

且V 表示所有顶点的集合, E表示所有边的集合, 并且记成G(V, E). 图G中顶点的个数|V |称为图G的阶.

当|V |和|E|都是有限的, 称为有限图.

如无特别说明, 一般的图都是无向的简单图(即不含多重边和点与自身相连的环的有限图). 若一个图

中某两点之间连了一条边, 则称这两点是相邻的, 否则就是不相邻的.

在一个简单图中, 每一点v出发的边的条数k称为该点的度, 记作deg v = k, k分别等于0、1时, 称v为孤

立点、悬挂点(或端点); 度为偶(奇)数的点称为偶(奇)顶点. 如果一个简单图的全部n个点中任何两点间恰

好连有一条边, 那么, 称该图为完全图, 记为Kn, 此处显然有|E| =

1

2

n(n − 1).

如果一图中每一点的度正好都是r, 那么, 称图G是r正则图(一般如无特别说明, 便称G为正则图), 此

时, 可记为deg G = r.

显然, 若G是完全图Kn, 则deg G = n − 1.

欧拉定理 一个图G中各个顶点的度之和是其边数的2倍.

由此可知:

(1)每一个图中奇顶点的个数是偶数.

(2)一定各有一顶点的度>(6)

2倍边数

顶点数 .

在图G中, 一个由不同的边组成的序列: e1, e2, · · · , em, 如果其中边ei = (vi−1, vi)(i = 1, 2, · · · , m), 则

称这个序列是从v0到vm的链. 数m称为这条链的长度, v0与vm称为这条链的端点, 这条链记为v0v1 · · · vm.

图G中任何两个顶点u和v之间的最短长度, 称为它们的距离, 记为d(u, v). 显然, 距离满足非负性、对

称性和三角不等式.

23

一个图中所有的距离中的最大值, 称为此图的直径. 完全图的直径是1.

如果图G中任意两个顶点u和v, 都有一条从u到v的链, 称这个图是连通图. 不连通的图中, 每一个连

通的子图称为一个支.

设v0v1 · · · vm是一条链, 若v0与vm重合, 则称这条链为一个圈, 同样可以定义圈的“长度”.

如果图G中存在一条链, 它经过图上各顶点一次且仅仅一次, 则称这条链为哈密顿链; 如果这种链是

一个圈, 则叫作哈密顿圈.

定理1 若一个图中每一点的度都不小于2, 则该图必定有圈.

定理2 G是一个n(n > 3)阶简单图. 若对每一对不相邻的顶点u、v, 都有d(u) + d(v) > n − 1, 则G有

哈密顿链.

定理3(Ore) G是一个n(n > 3)阶简单图. 若对每一对不相邻的顶点u、v, 都有d(u)+d(v) > n, 则G必

有哈密顿圈.

定理4(Ore) G是一个有n个顶点、m条边的简单图. 若n > 3, m >

1

2

(n

2 − 3n + 6), 则图G必有哈密

顿圈.

定理5(Dirac) G是一个n(n > 3)阶简单图, 若对每一个顶点u, 都有d(u) >

n

2

, 则图G一定存在哈密

顿圈.

定理6(Posa) ´ G是一个n(n > 3)阶简单图. 若对每一个m, 1 6 m <

1

2

(n − 1), 度不超过m的点的个数

少于m, 且若对奇数的n, 度至多等于1

2

(n − 1)的点的数目不超过1

2

(n − 1), 则G有哈密顿圈.

无圈的连通图称为树. 若干棵树组成一森林.

定理7 树的顶点数=边数+1, 且至少有两个悬挂点(度为1的顶点).

树可称为最小的连通图, 因为边数减去1, 图就不连通了; 而边数增加1, 就会有圈出现. 由此可见, 树

是研究图论问题的一个较好的出发点.

定理8 一个图是树, 当且仅当任何两个顶点之间恰好存在一条道路(链).

如果一个图G中可以找到一条链或通道正好通过每条边一次, 则称这个图为欧拉图, 也就是能够一笔

画的图.

欧拉一笔画定理 有限图G可一笔画的充要条件是: G连通, 并且奇顶点的个数为0或2, 当且仅当奇

顶点的个数为0时, G的一笔链是一个圈.

此外, 图的可平面性, 也是一个值得一提的内容.

如果一个图及其一切与之同构的图中, 至少有一个能画在平面上使得它的边仅在端点处相交, 则称

这个图为平面图. 这个平面图的边把图分成若干块不连通的区域.

24

定理9(欧拉定理的平面形式) 如果一个连通平面图G有v个顶点、e条边、f个区域, 则v−e+f = 2(若

整个图外部那个唯一的无界面也算一块区域的话, 否则v − e + f = 1).

定理10 一个连通的平面简单图G有v(v > 3)个顶点、e条边, 则e 6 3v − 6.

两个图G1、G2称为同构的, 如果它们的顶点数相同, 而且存在一个一一映射f : G1 → G2, 使得G1中

的任意两个顶点A、B, 它们相邻或不相邻, 当且仅当f(A)、f(B)相邻或不相邻.

如果两个图共用一些顶点, 而它们的边集合不相交, 两图之并又是一个完全图, 则称这两个图中的每

一个是另一个图的补图. 如果一个图与它的补图同构, 则称其为自补图.

6. 2 拉姆赛(Ramsey)定理

拉姆赛定理最普及的说法是:

世界上任意六个人中, 必有三个人, 两两认识或两两不认识.

用k种颜色c1, c2, · · · , ck去染完全图Kn的边, 每条边只染其中一种颜色, 这样得到的完全图Kn称为k色

完全图Kn.

定理1 2色完全图K6中, 至少有2个同色三角形.

定理2 3色完全图K17中至少有3个同色三角形.

当n充分大时, k色完全图Kn中必然会出现同色三角形, 使得每一个k色完全图Kn都含有同色三角形

的最小n记为rk, 称为拉姆赛数.

定理3 (1)对每个正整数k(k > 2), 拉姆赛数rk存在, 并且rk 6 (rk−1 − 1) + 2;

(2)对一切正整数k, 都有rk 6 1 + 1 + k + (k − 1) + · · · +

k!

2! +

k!

1! + k!.

设完全图Kn的每条边被染为红、蓝两色, 对固定的正整数p、q, 当n充分大时, 2色完全图Kn中就必然

会出现红色Kp, 或者蓝色Kq. 把满足上述性质的最小n记为r(p, q), r(p, q)也称为拉姆赛数.

定理4(Erdos) ¨ 当p > 2, q > 2时, 拉姆赛数满足: r(p, q) 6 r(p − 1, q) + r(p, q − 1).

定理5(Erdos-Szekeres) ¨ 当p > 2, q > 2时, r(p, q) 6 C

p−1

p+q−2

.

许尔(Schur)定理 对任意给定的正整数k, 存在数n0, 使得只要n > n0, 则将{1, 2, · · · , n}任意k染

色后, 必有同色的x、y、z ∈ {1, 2, · · · , n}, 满足x + y = z. 这里x、y不一定不同.

6. 3 极图理论

定理1(Turan) ´ n个点的图中若无三角形, 则其最多含有·

n

2

4

¸

条边.

定理2(Erdos) ¨ 图G有n(n > 5)个顶点, n + 4条边, 则图G中含有两个无公共边的圈.

定理3 当n > 6时, n个顶点, 3n − 5条边的图G中含有两个不相交的圈.

25

定理4 n个点的图中若无长度为n的圈, 则其最多含有1 +

1

2

(n − 1)(n − 2)条边.

定理5(Mantel) 图G有n个顶点, m条边, 则图G中至少有4m

3n

µ

m −

n

2

4

¶

个三角形.

定理6 设图G有n(n > 5)个顶点, 则G中的三角形个数与G的补图中的三角形个数的和不小于 1

24

n(n−

1)(n − 5).

代数部分

1 集合

1. 1 集合、元素、交集、并集、补集、空集、集合相等

1. 2 差集

集合A和B的差集A\\B是集合A的子集, 差集定义为A\\B = {x|x ∈ A且x /∈ B}. A\\B也可记为A − B.

如果B ⊆ A, 则A\\B = {AB.

1. 3 积集(也叫直积)

集合A × B叫做集合A和B的直积(也叫积集).

直积定义为A × B = {(x, y)|x ∈ A, y ∈ B}.

1. 4 对称差集

定义(A − B)

S

(B − A)为A、B的对称差集, 记为A4B, 即A4B = (A − B)

S

(B − A) = {x|x ∈ A或x ∈

B, 但x /∈ A

T

B}.

A4B可用韦恩图表示, 即图1中的阴影部分.

xxxxxxxxx

xxxxxxxxx

xxxxxxxxx

xxxxxxxxx

xxxxxxxxx

xxxxxxxxx

xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx

xxxxxxxxx xxxxxxxxx

A

xxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxx

B

图 1

1. 5 摩尔根法则

设I为全集, A ⊆ I, B ⊆ I. 则{I (A

S

B) = ({IA)

T

({IB), {I (A

T

B) = ({IA)

S

({IB).

1. 6 集合的并、交、差、对称差的运算关系

26

(1)A

S

(B

T

C) = (A

S

B)

T

(A

S

C);

(2)A

T

(B

S

C) = (A

T

B)

S

(A

T

C);

(3)(A − B)

T

C = (A

T

C) − (B

T

C);

(4)(A − B) − C = A − (B

S

C) = (A − B)

T

(A − C);

(5)A − (B

T

C) = (A − B)

S

(A − C);

(6)C

T

(A4B) = (C

T

A)4(C

T

B);

(7)A

S

(A4B) = A

S

B.

1. 7 有限集的子集个数

n元集合有2

n个子集.

1. 8 数集的最小数原理

原理1 设M是自然数集的一个非空子集, 则M中必有最小数.

原理2 设M是实数集的一个有限非空子集, 则M中必有最小数, 也必有最大数.

1. 9 有限集合A的元素的个数叫做该集合的阶, 记为CardA(或|A|, 或n(A)).

1. 10 容斥原理

设集合A = A1

S

A2

S

· · · S

Am. 则有

|A| =

P

16i6m

|Ai

|− P

16i<j6m

|Ai

T

Aj |+

P

16i<j<k6m

|Ai

T

Aj

T

Ak|−· · ·+ (−1)m−1

|A1

T

A2

T

· · · T

Am|.

当A1, A2, · · · , Am两两不相交时, 则是加法公式|A1

S

A2

S

· · · S

Am| = |A1| + |A2| + · · · + |Am|.

1. 11 子集类

1. 11. 1 C类

设Q是一个n阶集合, 记作Q = {a1, a2, · · · , an}.

由Q的所有子集构成的子集类叫做C类, 即C类包括了Q的所有子集: A1, A2, · · · , A2n . 记作A =

{A1, A2, · · · , A2n }.

可以将Q和C类A 中的元素排成一类, 使得每两个相邻者的元素都仅差1个.

1. 11. 2 R类

设Q是一个n阶集合, A = {A1, A2, · · · , Ak}是它的一个子集类. 如果对某个2 6 r 6 k − 1, 有

(1)Ai1

T

Ai2

T

· · · T

Air

6= ∅, 其中1 6 i1 < i2 < · · · < ir 6 k;

(2)Ai1

T

Ai2

T

· · · T

Air

T

Air+1 = ∅, 其中1 6 i1 < i2 < · · · < ir+1 6 k.

27

则称A 是Q的一个指数为r的R类.

R类的每个子集的阶数不小于C

r−1

k−1

.

1. 11. 3 K类

设Q是一个n阶集合, A = {A1, A2, · · · , Ak}是它的一个子集类. 如果A 中的任何两个不同子集Ai、Aj都

有Ai 6⊂ Aj , 且Aj 6⊂ Ai

, 则称A 是一个K类.

n阶集合Q的K类中, 阶数最高者为C

[

n

2 ]

n 阶.

2 函数

2. 1 函数的值域(或最值)的求法

求函数的值域可利用函数的单调性或配方法、判别式法、反求法、换元法、不等式法、图像法、导数

法等.

2. 2 函数的性质

2. 2. 1 有界性

设D为函数f(x)定义域的子集. 若存在常数M, 使对所有的x ∈ D, 有f(x) 6 M(或f(x) > M), 则

称f(x)在D上有上(或下)界, 并称M为其一个上(或下)界.

若f(x)在D上既有上界又有下界, 则称f(x)为D上的有界函数.

对有界函数, 必存在正数M, 使对所有的x ∈ D, 恒有|f(x)| 6 M.

在f(x)的所有上界中, 若存在一个最小的, 则这个最小上界为f(x)在D上的上确界, 记作sup ¡

f(x)

¢

.

在f(x)的所有下界中, 若存在一个最大的, 则这个最大下界为f(x)在D上的下确界, 记作inf ¡

f(x)

¢

.

如函数y = ax2 + bx + c, 当a > 0时, 有下界, 且下确界为4ac − b

2

4a

; 当a < 0时, 有上界, 且上确界

为

4ac − b

2

4a

.

又如y = sin x与y = cos x为有界函数, 其上、下界为±1.

2. 2. 2 单调性

设D为函数f(x)定义域的一个子区间, 对任意x1、x2 ∈ D, 且x1 < x2.

若f(x1) < f(x2), 则称f(x)是D上的(严格)增函数;

若f(x1) > f(x2), 则称f(x)是D上的(严格)减函数.

关于函数的单调性有如下规律:

(1)若函数y = f(x)在区间D上单调递增(减), 且D上的值域为E, 则y = f(x)在D上必有反函数y =

f

−1

(x), 且反函数在E上也单调递增(减).

28

(2)设f(x)、g(x)在集合D上有相同的单调性, 则

(i)f(x) + g(x)是单调函数, 且与f(x)、g(x)的单调性相同;

(ii)若f(x)和g(x)在D上恒为正(或恒为负), 则f(x)g(x)是单调函数, 且与f(x)、g(x)的单调性相同(或相

反).

(3)复合函数的单调性. 若函数u = g(x)在Dg上有定义, 且为单调函数, y = f(u)在Df上有定义且为

单调函数, g(x)的值域为G, 且G

T

Df 6= ∅, 则当u = g(x)与y = f(u)的增减性相同(或相反)时, 复合函

数y = f

¡

g(x)

¢

在定义域上是增(减)函数.

一般地, 若讨论的复合函数是有限层的, 且每层均有意义, 并且是单调的, 则其中减函数的层数为偶

数时, 复合函数是增函数, 减函数的层数为奇数时, 复合函数是减函数.

(4)判断单调性的方法有定义法、图像法, 对可导函数可用求导数法.

(5)在数学竞赛中, 函数的单调性通常用来讨论函数值的大小, 解方程、不等式或极值问题, 也用来解

决参数范围问题.

2. 2. 3 对称性

(1)函数的奇偶性: 设函数f(x)的定义域D是关于原点对称的集合. 若对所有的x ∈ D, 有f(−x) = f(x),

则称f(x)为偶函数; f(−x) = −f(x), 则称f(x)为奇函数.

偶函数的图像关于y轴(x = 0)对称; 奇函数的图像关于原点((0, 0)对称).

(2)广义偶(奇)函数: 对于定义在实数集R上的函数, 若存在常数a, 使得f(a+x) = f(a−x), 则称f(x)为

广义偶函数; f(a + x) = −f(a − x), 则称f(x)为广义奇函数.

广义偶函数的图像关于直线x = a成轴对称; 广义奇函数的图像关于点(a, 0)成中心对称.

(3)关于对称性有下列性质:

(i)任一定义在R上的函数f(x), 总能表示为一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)的和, 即f(x) = g(x) +

h(x), 其中, g(x) = f(x) − f(−x)

2

, h(x) = f(x) + f(−x)

2

.

(ii)f(a + x) = f(a − x)也可表示为f(x) = f(2a − x)或f(−x) = f(2a + x);

f(a + x) = −f(a − x)也可表示为f(x) = −f(2a − x)或f(−x) = −f(2a + x).

(iii)若将函数f(x)(x ∈ R)的图像关于直线x = a对称得到F(x)的图像, 则F(x)的表达式为F(x) =

f(2a − x).

若将函数f(x)(x ∈ R)的图像关于点(a, 0)对称得到F(x)的图像, 则F(x)的表达式为F(x) = −f(2a −

x).

2. 2. 4 周期性

29

设函数f(x)的定义域为D, 若存在非零常数t, 使f(x)满足:

(1)对于所有的x ∈ D, 有x + t ∈ D;

(2)f(x + t) = f(x).

则称f(x)为周期函数, 常数t为它的一个周期.

关于函数周期性有下列性质:

(1)定义域D至少有一端无界.

(2)若t是f(x)的周期, 则nt(n ∈ Z)也是f(x)的周期.

(3)f(x)可以没有正周期, 也可以没有负周期, 有正周期的函数可以没有最小正周期.

(4)设λ 6= 0. 对函数f(x)定义域D中的任一x, 满足下列条件之一:

(i)f(x + λ) = −f(x);

(ii)f(x + λ) = 1

f(x)

;

(iii)f(x + λ) = −

1

f(x)

;

(iv)f(x + λ) = f(x) + 1

f(x) − 1

;

(v)f(x + λ) = 1 − f(x)

1 + f(x)

;

(vi)f(x + λ) = f(x − λ);

(vii)f(x)为奇函数, 且f(λ + x) = −f(λ − x);

(viii)f(x)为偶函数, 且f(λ + x) = f(λ − x).

则f(x)是以2λ为一个周期的周期函数.

(5)设λ 6= 0, 对函数f(x)定义域D中的任一x, 满足下列条件之一:

(i)f(x + λ) = −f(x − λ);

(ii)f(x)为奇函数, 且f(λ + x) = f(λ − x);

(iii)f(x)为偶函数, 且f(λ + x) = −f(λ − x);

(iv)f(x + λ) = 1 + f(x)

1 − f(x)

;

(v)f(x + λ) = f(x) − 1

f(x) + 1.

则f(x)是以4λ为一个周期的周期函数.

2. 2. 5 周期性与对称性的关系

30

f(x)在R上定义.

(1)若f(a + x) = f(a − x)且f(b + x) = f(b − x), 即f(x)有两条对称轴x = a, x = b, 则f(x)为周期函数,

其中一个周期为2|b − a|.

(2)若f(a + x) = −f(a − x)且f(b + x) = −f(b − x), 即f(x)有两个对称中心(a, 0)和(b, 0), 则f(x)为周

期函数, 其中一个周期为2|b − a|.

(3)若f(a + x) = f(a − x)且f(b + x) = −f(b − x), 即f(x)有一条对称轴和一个对称中心, 则f(x)为周

期函数, 其中一个周期为4|b − a|.

2. 2. 6 凹凸性

设函数f(x)的定义域为D.

若对任意的x1、x2 ∈ D, 且α ∈ [0, 1], 有f

¡

αx1 + (1 − α)x2

¢

6 αf(x1) + (1 − α)f(x2), 则称f(x)在D上

是下凸的;

若对任意的x1、x2 ∈ D, 且α ∈ [0, 1], 有f

¡

αx1 + (1 − α)x2

¢

> αf(x1) + (1 − α)f(x2), 则称f(x)在D上

是上凸的.

当α =

1

2

时, 上面的式子可表示为f

µ

x1 + x2

2

¶

6

f(x1) + f(x2)

2

和f

µ

x1 + x2

2

¶

>

f(x1) + f(x2)

2

.

2. 3 函数的迭代和不动点

2. 3. 1 函数的迭代

设f(x)是定义在D上且取值于D上的函数, 记f

(0)(x) = x, f

(1)(x) = f(x), f

(2)(x) = f

¡

f(x)

¢

, · · · ,

f

(n)

(x) = f

¡

f

(n−1)(x)

¢

, 则称f

(n)

(x)为f(x)在D上的n次迭代, n为迭代指数.

若f(x)有反函数f

−1

(x), 则f

(n)

(x)的反函数为f

−1

(x)的n次迭代, 记作f

(−n)

(x).

2. 3. 2 迭代周期

若存在自然数n(n > 2), 使f

(n+1)(x) = f(x), 则称f(x)为迭代周期函数, 其迭代周期为n.

迭代函数的迭代周期的集合是N+的一个无穷子集, 其中, 必有最小正整数n0, 使f

¡

f

(n0)

(x)

¢

= f(x),

则称n0为f(x)的基本迭代周期.

若n0为f(x)的基本迭代周期, 则n是f(x)的迭代周期的充要条件是n0|n.

2. 3. 3 函数迭代的简单举例

(1)f(x) = x + c, 则f

(n)

(x) = x + nc, f

(−n)

(x) = x − nc.

(2)f(x) = ax, 则f

(n)

(x) = a

nx, f

(−n)

(x) = 1

a

n

x.

(3)f(x) = ax2

, 则f

(n)

(x) = a

2

n−1

x

2

n

, f

(−n)

(x) = a

−2

n−1

x

2

−n

.

31

(4)f(x) = ax + b, 则f

(n)

(x) = a

n

µ

x −

b

1 − a

¶

+

b

1 − a

, f

(−n)

(x) = 1

a

n

µ

x −

b

1 − a

¶

+

b

1 − a

.

(5)f(x) = x

3

, 则f

(n)

(x) = x

3

n

, f

(−n)

(x) = x

3

−n

.

2. 3. 4 函数f(x)的不动点

f(x) = x的根称为f(x)的不动点.

(1)若x0是f(x)不动点, 那么, f

(n)

(x0) = x0, 即x0也是f

(n)

(x)的不动点.

(2)若f

(n)

(x0) = x0, 则称x0为f(x)的n-不动点.

若存在最小的n ∈ N+, 使f

(n)

(x0) = x0, 则称x0为f(x)的n-周期点.

(3)若k|n, 且x0是f(x)的k-不动点, 则x0是f(x)的n-不动点.

(4)若x0既是f(x)的k-不动点, 又是f(x)的n-不动点, 则x0是f(x)的(k, n)-不动点, 这里(k, n)是k与n的

最大公约数.

2. 4 函数方程

含有未知函数的等式叫做函数方程. 寻求函数方程的解或证明函数方程无解的过程叫做解函数方程.

解函数方程常用方法有代换法、赋值法、待定系数法、递归法、柯西法和数学归纳法.

3 多项式

3. 1 关于多项式的基本概念

(1)形如f(x) = Pn

i=0

aix

i = anx

n + an−1x

n−1 + · · · + a1x + a0(an 6= 0)的表达式称为关于x的一元n次多

项式. 其中, 非负整数n称为f(x)的次数, 记作deg f.

当系数ai(i = 0, 1, · · · , n)分别取整数、有理数、实数、复数时, 多项式f(x)依次称为整系数、有理系

数、实系数、复系数多项式.

(2)对于两个多项式f(x) = Pn

i=0

aix

i

, h(x) = P

k

i=0

bix

i

, 有deg(f ± h) 6 max{deg f, deg h}, deg(fh) 6

deg f + deg h.

(3)对于n元多项式f(x1, x2, · · · , xn), 如果对于任意的i、j(1 6 i < j 6 n), 都有

f(x1, · · · , xi

, · · · , xj , · · · , xn) = f(x1, · · · , xj , · · · , xi

, · · · , xn),

则称这个多项式为对称多项式.

(4)σ1 =

Pn

j=1

xj , σ2 =

P

16j1<j26n

xj1 xj2

, · · · , σi =

P

16j1<j2<···<ji6n

xj1 xj2

· · · xji

, · · · , σn = x1x2 · · · xn叫

做n元初等对称多项式.

3. 2 关于多项式的常用定理

32

3. 2. 1 多项式恒等定理

定理1 两个多项式f(x) = Pn

k=0

akx

k

, h(x) = Pm

k=0

bkx

k恒等的充要条件是n = m且ak = bk(k = 0, 1, · · · , n).

3. 2. 2 带余除法定理

定理2 对于给定的多项式f(x)、g(x), 其中, g(x) 6= 0, 存在唯一的多项式q(x)及r(x), 使得f(x) =

g(x)q(x) + r(x), 其中, r(x)是零多项式或deg r(x) < deg g(x).

若r(x) = 0, 则称g(x)整除f(x), 记作g(x)|f(x), g(x)叫做f(x)的因式. 否则, 记作g(x) - f(x).

3. 2. 3 余数定理

定理3 多项式f(x)除以x − a的余数为f(a).

3. 2. 4 因式定理

定理4 f(a) = 0的充要条件是x − a是f(x)的因式.

3. 2. 5 有理根定理

定理5 若既约分数q

p

((p, q) = 1, p、q ∈ Z, p 6= 0)是整系数多项式的一个有理根, 则p|an, q|a0.

3. 2. 6 不可约多项式判别法(Eisenstein判别法)

设f(x)是一个整系数多项式, 如果一个质数p满足p - an, P|ak(k = 0, 1, · · · , n − 1), p

2

- a0, 那么,

f(x)在有理数集上不可约.

3. 2. 7 代数基本定理

定理6 任何n(n > 1)次多项式至少有一个复数根.

推论 任何n(n > 1)次多项式有且仅有n个复根(k重根按k个根计算).

3. 2. 8 唯一分解定理

定理7 如果不考虑因式的顺序, 则每一个非常的复系数多项式f(x)可唯一分解为f(x) = A(x−α1)

m1 (x−

α2)

m2

· · ·(x − αt)

mt的形式, 其中, α1, α2, · · · , αt为多项式f(x)的所有不同的复根, m1, m2, · · · , mt是它

们的重数.

3. 2. 9 韦达定理

定理8 设方程a0x

n + a1x

n−1 + · · · + an−1x + an = 0(a0 6= 0)的n个复根为x1, x2, · · · , xn, 则有σj =

(−1)j

aj

a0

(j = 1, 2, · · · , n). 其中, σj为初等对称多项式, 定义见3. 2. 3.

3. 2. 10 牛顿公式

设σj (j = 1, 2, · · · , n)为初等对称多项式, 规定σ0 = 1, 记等幂和Sk =

Pn

i=1

x

k

i

(k = 0, 1, · · ·), 则

33

(1)当k > n时,

Pn

i=0

(−1)iσiSk−i = 0;

(2)当1 6 k 6 n时,

P

k

i=0

(−1)iσiSk−i = 0.

3. 2. 11 拉格朗日插值公式

在复数集上的任何一个次数不超过n的多项式都可唯一的表示为

f(x) = (x − x1)(x − x2)· · ·(x − xn)

(x0 − x1)(x0 − x2)· · ·(x0 − xn)

f(x0) + (x − x0)(x − x2)· · ·(x − xn)

(x1 − x0)(x1 − x2)· · ·(x1 − xn)

f(x1) +

· · · +

(x − x0)(x − x1)· · ·(x − xn−1)

(xn − x0)(xn − x1)· · ·(xn − xn−1)

f(xn), 其中, x1, x2, · · · , xn两两不同.

拉格朗日插值公式可简化为f(x) = Pn

i=0



f(xi) ·

Q

06j6n

j6=i

x − xj

xi − xj



.

数列

4. 1 一般数列

设Sn = a1 + a2 + · · · + an. 则an =







S1, n = 1;

Sn − Sn−1, n > 2.

4. 2 等差数列

设公差为d, 则an = a1 + (n − 1)d, Sn = na1 +

n(n − 1)

2

d或Sn =

(a1 + an)n

2

.

4. 3 高阶等差数列

4. 3. 1 定义

给定一个数列{an}, 将其连续两项的差求出, 得到一个新数列{bn}, 其中, bn = an+1−an(n = 1, 2, · · ·),

这个数列称为原数列{an}的一阶差数列. 再求出{bn}的连续两项的差, 得到新数列{cn}, 其中, cn = bn+1 −

bn(n = 1, 2, · · ·), 这个数列称为原数列{an}的二阶差数列. 依此类推.

如果某一个数列的p阶差数列是一非零常数列, 则称此数列为p阶等差数列.

特别地, 一阶等差数列就是通常定义的等差数列. 又如, 自然数的平方数数列是二阶等差数列.

4. 3. 2 高阶等差数列的性质

性质1 如果数列{an}是p阶等差数列, 则它的一阶差数列是p − 1阶等差数列.

性质2 设S

(k)

n =

Pn

p=1

p

k

(k = 1, 2, · · · , n). 则S

(k)

n 是关于n的k + 1次多项式.

性质3 数列{an}是p阶等差数列的充要条件是: 通项an是关于n的p次多项式.

性质4 数列{an}是p阶等差数列, 则Sn是关于n的p + 1次多项式.

4. 4 等比数列

34

设公比q 6= 0, a1 6= 0, 则an = a1q

n−1

, Sn =







a1(1 − q

n)

1 − q

, q 6= 1;

na1, q = 1.

4. 5 数列求和

(1)裂项求和法

an = a1 + (a2 − a1) + (a3 − a2) + · · · + (an − an−1), 即an = a1 +

nP−1

k=1

(ak+1 − ak)(n > 2).

(2)裂项求积法

an = a1 ·

a2

a1

·

a3

a2

· · · · ·

an

an−1

, 即an = a1

nQ−1

k=1

ak+1

ak

(ak 6= 0, n > 2).

4. 6 递归数列及已知递推关系求通项

4. 6. 1 递归数列

(1)一个数列{an}的第n项an与它的前面k项an−1, an−2, · · · , an−k, (k < n, k、n ∈ N+)的关系

an = f(an−1, an−2, · · · , an−k),

称为k阶递归关系. 这里an是关于an−1, an−2, · · · , an−k的k元函数, 称为递归函数.

(2)由k阶递归关系及给定的前k项a1, a2, · · · , ak的值(称为初始值)所确定的数列称为k阶递归数列.

(3)对于满足an = p1an−1 + p2an−2 + · · · + pkan−k(k < n), 称为k阶常系数齐次线性递归数列.

其对应的一元k次方程x

k = p1x

k−1 + p2x

k−2 + · · · + pk−1x + pk(pk 6= 0), 称为数列{an}的特征方程,

其根称为特征根.

4. 6. 2 递归数列求通项的方法

(1)形如an+1 = an + f(n)的一阶递归式.

an = a1 +

Pn

k=2

(ak − ak−1) = a1 +

Pn

k=2

f(k − 1) = a1 +

nP−1

k=1

f(k).

(2)形如an+1 = pan+q的递归式. 构造辅助数列{an−

q

1 − p

}, 则{an−

q

1 − p

}为以a1−

q

1 − p

为首项、p为

公比的等比数列. an =

q

1 − p

+

µ

a1 −

q

1 − p

¶

p

n−1

.

(3)形如an+1 = qap

n的递归式.

对递归式两边取对数, 有lg an+1 = lg q + p lg an. 记bn = lg an, 则有bn+1 = pbn + lg q, 转化为(2)的情

形.

(4)形如an+1 = pan + qan−1的递归式. 其特征方程为x

2 = px + q. 设其特征根为α、β, 则

(i)当α 6= β时, an = λ1α

n−1 + λ2β

n−1

, 其中, λ1、λ2用待定系数法由初始值a1、a2决定.

35

(ii)当α = β时, an = (λ1n + λ2)α

n−1

, 其中, λ1、λ2用待定系数法由初始值a1、a2决定.

(5)形如an+1 =

ban

can + d

的递归式. 取倒数得 1

an+1

=

can + d

ban

=

d

b

an

+

c

b

. 设tn =

1

an

, 则有tn+1 =

d

b

tn +

c

b

转化为(2)的情形.

(6)其他非线性递归关系求通项可通过韦达定理、换元法、数学归纳法等求得.

4. 7 周期数列

如果数列{an}满足: 存在正整数M和T, 使得对于一切正整数n(n > M), 都有an+T = an成立, 就称数

列{an}为从第M项起的、周期为T的周期数列.

若an+T ≡ an(modm), 则称数列{an}为以m为模的模周期数列.

5 不等式

5. 1 平均不等式

(1)调和平均、几何平均、算术平均和平方平均的关系. 记

Hn =

n

1

a1

+

1

a2

+ · · · +

1

an

, Gn =

√n a1a2 · · · an, An =

a1 + a2 + · · · + an

n

, Qn =

r

a

2

1 + a

2

2 + · · · + a

2

n

n

.

其中ai > 0(i = 1, 2, · · · , n), Hn、Gn、An、Qn依次为a1, a2, · · · , an的调和平均、几何平均、算术

平均、平方平均. 则Hn 6 Gn 6 An 6 Qn, 当且仅当a1 = a2 = · · · = an时, 等号成立.

(2)记Mr =

µ

a

r

1 + a

r

2 + · · · + a

r

n

n

¶1

r

, 其中, ai > 0(i = 1, 2, · · · , n, r 6= 0), 则称Mr为a1, a2, · · · , an的r次

幂平均.

当α > β时, 有Mα > Mβ, 即

µ

a

α

1 + a

α

2 + · · · + a

α

n

n

¶ 1

α

>

Ã

a

β

1 + a

β

2 + · · · + a

β

n

n

! 1

β

, 当且仅当a1 = a2 =

· · · = an时, 等号成立.

5. 2 柯西不等式

设ai、bi ∈ R(i = 1, 2, · · · , n). 则

µPn

i=1

aibi

¶2

6

µPn

i=1

a

2

i

¶ µPn

i=1

b

2

i

¶

, 当且仅当ai、bi不全为0, 且bi =

λai(i = 1, 2, · · · , n)时, 等号成立.

5. 3 排序不等式

设有两组数a1, a2, · · · , an; b1, b2, · · · , bn, 满足a1 6 a2 6 · · · 6 an, b1 6 b2 6 · · · 6 bn.

则有a1bn + a2bn−1 + · · · + anb1 6 a1bj1 + a2bj2 + · · · + anbjn 6 a1b1 + a2b2 · · · + anbn.

简言为“反序和6乱序和6同序和”.

5. 4 琴生(Jensen)不等式

36

设pi ∈ R+(i = 1, 2, · · · , n), f(x)是区间D上的严格下凸函数. 则对于任意的x1, x2, · · · , xn ∈ D, 有

f

µ

p1x1 + p2x2 + · · · + pnxn

p1 + p2 + · · · + pn

¶

6

p1f(x1) + p2f(x2) + · · · + pnf(xn)

p1 + p2 + · · · + pn

. ①

若f(x)是D上严格上凸函数, 则有

f

µ

p1x1 + p2x2 + · · · + pnxn

p1 + p2 + · · · + pn

¶

>

p1f(x1) + p2f(x2) + · · · + pnf(xn)

p1 + p2 + · · · + pn

. ②

特别地, 当pi =

1

n

(i = 1, 2, · · · , n)时, 式①、②化为

f

µ

x1 + x2 + · · · + xn

n

¶

6

f(x1) + f(x2) + · · · + f(xn)

n

或f

µ

x1 + x2 + · · · + xn

n

¶

>

f(x1) + f(x2) + · · · + f(xn)

n

.

6 三角

6. 1 三角函数的定义, 定义域, 值域, 单调性, 奇偶性, 周期性, 凹凸性与对称性（略）.

6. 2 和、差、倍、半角公式, 和差化积, 积化和差公式, 万能置换公式(略).

6. 3 常用的三角形中的恒等式和不等式:

(1)正弦定理、余弦定理(略).

(2)常见的恒等式

(i)tan A + tan B + tan C = tan A · tan B · tan C(非直角三角形).

(ii)sin A + sin B + sin C = 4 cos A

2

· cos

B

2

· cos

C

2

.

(iii)cos A + cos B + cos C = 4 sin A

2

· sin

B

2

· sin

C

2

+ 1.

(iv)sin A

2

+ sin

B

2

+ sin

C

2

= 1 + 4 sin π − A

4

· sin

π − B

4

· sin

π − C

4

µ

或 = 1 + 4 sin B + C

4

· sin

C + A

4

· sin

A + B

4

¶

.

(v)cos A

2

+ cos

B

2

+ cos

C

2

= 4 cos A + B

4

· cos

B + C

4

· cos

C + A

4

.

(vi)sin2 A + sin2 B + sin2 C = 2(1 + cos A · cos B · cos C).

(vii)cos2 A + cos2 B + cos2 C = 1 − 2 cos A · cos B · cos C.

(3)常见的不等式

(i)sin A + sin B + sin C 6

3

√

3

2

.

(ii)sin A · sin B · sin C 6

3

√

3

8

.

(iii)cos 2A + cos 2B + cos 2C > −

3

2

.

37

(iv)cos2 A + cos2 B + cos2 C >

3

4

.

(v)cos A

2

· cos

B

2

· cos

C

2

6

3

√

3

8

.

(vi)cos A · cos B · cos C 6

1

8

.

7 复数

7. 1 复数的三种表示法

(1)代数形式: z = a + bi(a、b ∈ R).

(2)三角形式: z = r(cos θ + i sin θ)(r > 0, θ ∈ R).

(3)指数形式: z = reiθ

(r > 0, θ ∈ R).

其中, a叫做复数z的实部, 记作a = Re(z), b叫做复数z的虚部, 记作b = Im(z), r叫做复数z的模, 记

作r = |z| =

√

a

2 + b

2, θ叫做复数z的辐角, 记作θ = Argz, 当θ ∈ [0, 2π)时, 叫做复数z的辐角的主值, 记

作θ = arg z. 因此, Argz = 2kπ + arg z(k ∈ Z).

7. 2 关于模与共轭复数

z = a − bi叫做z的共轭复数.

(1)z1 ± z2 = z1 ± z2.

(2)z1z2 = z1 · z2.

(3)µ

z1

z2

¶

=

z1

z2

(z2 6= 0).

(4)z = z ⇔ z ∈ R.

(5)Re(z) = 1

2

(z + z), Im(z) = 1

2i

(z − z).

(6)z · z = |z|

2 = |z|

2

.

(7)|z1z2| = |z1| · |z2|.

(8)|z1 + z2|

2 + |z1 − z2|

2 = 2|z1|

2 + 2|z2|

2

.

(9)

¯

¯

|z1| − |z2|

¯

¯ 6 |z1 ± z2| 6 |z1| + |z2|.

(10)|z| > max{Re(z), Im(z)}.

(11)|z| 6 |Re(z)| + |Im(z)| 6

√

2|z|.

7. 3 棣莫弗公式

z

n = [r(cos θ + i sin θ)]n = r

n(cos nθ + i sin nθ)(n ∈ Z).

38

特别地, 当|z| = 1时, cos nθ = Re(z

n) = 1

2

(z

n + z

n

), sin nθ = Im(z

n) = 1

2i

(z

n − z

n

), 1 + z = 2 cos

θ

2

e

i

θ

2 ,

1 − z = −2i sin

θ

2

e

i

θ

2 .

7. 4 单位根

方程x

n − 1 = 0的n个根: 1, ε, ε

2

, · · · , ε

n−1叫做n次单位根. 其中, ε = ei

2π

n 叫做n次单位原根.

关于n次单位根有下列常用结果:

(1)ε

nq+r = ε

r

(n、q、r ∈ Z).

(2)1 + x + x

2 + · · · + x

n−1 = (x − ε)(x − ε

2

)· · ·(x − ε

n−1

).

(3)

nP−1

k=0

ε

km =







n, n|m;

0, n - m.

实系数一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a 6= 0)的两个根满足∆ = b

2 − 4ac > 0, x1, 2 =

−b ±

√

∆

2a

;

∆ = b

2 − 4ac < 0, x1, 2 =

−b ±

√

−∆i

2a

.

7. 5 复数的几何意义

设复数z对应于复平面上的点M及向量OM, 复数z1、z2对应于复平面上的点A、B. 则

(1)|z1 − z2|表示A、B的距离.

(2)|z − z1| = |z − z2|表示点M的轨迹是AB的垂直平分线.

(3)|z − z1| = r表示点M的轨迹是以为A圆心、r为半径的圆.

(4)|z − z1| + |z − z2| = 2a(2a > |z1 − z2|)表示点M的轨迹是以A和B为焦点、2a为长轴长的椭圆.

(5)

¯

¯

|z − z1| − |z − z2|

¯

¯ = 2a(2a < |z1 − z2|)表示点M的轨迹是以A和B为焦点、2a为实轴长的双曲线.

(6)|z1 − z|

|z − z2|

= λ表示点M是AB关于λ的定比分点.

(7)设z1、z2、z3对应于复平面上的点A、B、C. 则z =

z1 + z2 + z3

3

对应4ABC的重心.

(8)夹角∠AMB = arg

z2 − z

z1 − z

.

(9)平行与垂直

设z1、z2、z3、z4对应于复平面上的四点A、B、C、D. 则

z2 − z1

z4 − z3

= k ⇔ AB∥CD,

z2 − z1

z4 − z3

= ki ⇔ AB⊥CD,

z2 − z1

z2 − z3

∈ R ⇔ A、B、C三点共线.