配套新练案

练基础 培能力 提素养

你未来的样子，藏在你现在的努力里

班级：姓名：学号：

第一章 空间向量与立体几何

1.1空间向量及其运算 /123

第1课时 空间向量及其线性运算 /123
第2课时 空间向量的数量积运算 /125

1.2空间向量基本定理 / 127

微专题1基底法求线线角与点点距 /129

1.3空间向量及其运算的坐标表示 / 131

1.4空间向量的应用 /133

第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示 /133
第2课时 空间中直线、平面的平行与垂直 /135
第3课时 用空间向量研究距离问题 / 137
第4课时 用空间向量研究夹角问题(1)——线线角与线面角 /139
第5课时 用空间向量研究夹角问题(2) —两平面的夹角 / 141

章复习能力整合与素养提升 /143

第二章直线和圆的方程

2.1直线的倾斜角与斜率 / 145

第1课时 倾斜角与斜率 / 145
第2课时两条直线平行和垂直的判定 / 147

2.2直线的方程 /149

第1课时 直线的点斜式方程 / 149
第2课时 直线的两点式方程 / 151
第3课时 直线的一般式方程 /153

2.3直线的交点坐标与距离公式 /155

第1课时 两条直线的交点坐标、两点间的距离公式 /155
第2课时 点到直线的距离公式 /157
第3课时 两条平行直线间的距离 /159

微专题2对称问题 / 161

2.4圆的方程

/162

第1课时 圆的标准方程 /162
第2课时 圆的一般方程 /164

2.5直线与圆、圆与圆的位置关系 /166

第1课时直线与圆的位置关系 /166
第2课时 直线与圆的位置关系的应用 / 168
第3课时 圆与圆的位置关系 / 170

微专题3隐圆问题 / 172

章复习 能力整合与素养提升 / 173

第三章圆锥曲线的方程

3.1椭圆 / 175

第1课时椭圆及其标准方程(1) /175
第2课时 椭圆及其标准方程(2) / 177
第3课时 椭圆的简单几何性质(1) / 179
第4课时 椭圆的简单几何性质(2) / 181
第5课时 椭圆的简单几何性质(3) /183

3.2 双曲线 /185

第1课时双曲线及其标准方程 /185

练习1 /185

练习2

/ 187

第2课时 双曲线的简单几何性质(1) / 189
第3课时 双曲线的简单几何性质(2) /191
第4课时 直线与双曲线 /193

微专题4椭圆、双曲线的离心率计算 /195

3.3抛物线 /196

第1课时 抛物线及其标准方程 /196
第2课时 抛物线的简单几何性质(1) /198
第3课时 抛物线的简单几何性质（2) /200

微专题5抛物线弦的问题 /202

微专题6定点、定值、定直线问题 /204

章复习能力整合与素养提升 /206

附：答案与精析3一一配套新练案和活页卷一起装订

第一章 空间向量与立体几何

1.1 空间向量及其运算

第1课时 空间向量及其线性运算

基础打底熟练掌握

一、单项选择题

1.对于空间的任意三个向量 a,b,2a-b ，它们一定是）

A.共面向量
B.共线向量
C.不共面向量
D.既不共线也不共面的向量

2.如图，在正方体 A B C D-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中， \overrightarrow{A B}+ \overrightarrow{B_{1}C_{1}}+\overrightarrow{D D_{1}} 等于 ( ）

A. \overrightarrow{A C} B. \overrightarrow{A C_{1}} C. \overrightarrow{B_{1}D} D. \overrightarrow{B D_{1}}

（第2题）

（第4题）

3．已知非零向量 {bf{\em a}},{bf{\em b}} ,且 \overrightarrow{A B}=±2b,\overrightarrow{B C}=-5a+ 6±b{b},\overrightarrow{C D}=7±b{a}-2±b{b} ,则一定共线的三点是 ( ）

A. A,B,D B.A,B,C C. ^{B,C,D} D.A,C,D

4.如图，在四面体ABCD中， E 是棱 _{A B} 上一点，且AB,F 是棱CD 的中点,则EF=（ ）

A. -(1)/(3)\overrightarrow{A B}-(1)/(2)\overrightarrow{A C}+(1)/(2)\overrightarrow{A D}
B. (1)/(3)\overrightarrow{A B}+(1)/(2)\overrightarrow{A C}-(1)/(2)\overrightarrow{A D}
C. (1)/(3)\overrightarrow{A B}-(1)/(2)\overrightarrow{A C}-(1)/(2)\overrightarrow{A D}
D. -(1)/(3)\overrightarrow{A B}+(1)/(2)\overrightarrow{A C}+(1)/(2)\overrightarrow{A D}

二、多项选择题

5．下列说法中正确的是

A.两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同
B.若非零向量 \xrightarrow[A B]{} 和 \overrightarrow{C D} 是共线向量,则 A,B,C ，
D 四点共线
C.在空间中，任意两个单位向量都相等
D.零向量与任意向量平行

6.在正方体 A B C D-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，下列各式的运算结果为 \overrightarrow{B D_{1}}^{*} 的是 （

A. (\overrightarrow{A_{1}D_{1}}-\overrightarrow{A_{1}A})-\overrightarrow{A B} B. (\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{B B_{1}})-\overrightarrow{D_{1}C_{1}} C.(AD-AB)-DD D. (\overrightarrow{B_{1}D_{1}}-\overrightarrow{A_{1}A})+\overrightarrow{D D_{1}}

7.下列条件中，使点 M 与点 A,B,C 一定共面的是(

A. \overrightarrow{O M}=3\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O C}
B. \overrightarrow{O M}=(1)/(5)\overrightarrow{O A}+(1)/(3)\overrightarrow{O B}+(1)/(2)\overrightarrow{O C}
C. \overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C}={\bf0}
D. \overrightarrow{O M}+\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}={\bf0}

三、填空题

8.设 ^{a,b} 是空间中两个不共线的向量，已知 {\overrightarrow{A B}}={} 9a+m b,\overrightarrow{B C}=-2a-b,\overrightarrow{D C}=a-2b 且 A,B,D 三点共线，则实数 \begin{array}{r l}{m=}&{{}}\end{array}

9.已知 A,B,C,D 四点满足任三点不共线，但四点共面,O是平面ABCD 外任意一点,且 CA=OB-OC+xOD,那么x=

四、解答题

10.如图，在四面体PABC中， M,N 分别为 P A,P B 的中点，试问： \overrightarrow{M N},\overrightarrow{B C},\overrightarrow{A C} 是否共面？

（第10题）

11．如图，在平行六面体ABCD- * A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中， O 为AC的中点.

(1）化简： \overrightarrow{A_{1}O}-(1)/(2)\overrightarrow{A B}-(1)/(2)\overrightarrow{A D} ；

(2）设 E 是棱 D D_{1} 上的点,且 \overrightarrow{D E}=(2)/(3)\overrightarrow{D D_{1}} 若\overrightarrow{E O}=x\overrightarrow{A B}+y\overrightarrow{A D}+z\overrightarrow{A A_{1}} ,试求实数 x\:,\:y\:,\:z 的值.

能力进阶融会贯通

12.已知长方体 A B C D-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中， A B=A D=2 ，AA,=4,M是BB，的中点，点P满足BP=\overrightarrow{λ B C}+\overrightarrow{\mu B B_{1}} ,其中 λ\in[0,1] \mu\in[0,1] 且 M P// 平面 A B_{1}D_{1} ，则动点 P 的轨迹所形成的轨迹长度是 (

（第11题）

A. √(5) B. \phantom{-}4√(2) C. 2{√(2)} D.2

13.（教材P5例1改编）如图，已知 O,A,B,C,D,E ，F,G,H 为空间的9个点，且 {\overrightarrow{O E}}=k{\overrightarrow{O A}} {\overrightarrow{O F}}= k\overrightarrow{O B},\overrightarrow{O H}=k\overrightarrow{O D},\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{A D}+m\overrightarrow{A B},\overrightarrow{E G}=\overrightarrow{E H}+ m\overrightarrow{E F} ,且 k\neq0,m\neq0 求证：

(1) \overrightarrow{A C}//\overrightarrow{E G} (2) {\overrightarrow{O G}}=k{\overrightarrow{O C}} ，

（第13题）

第2课时 空间向量的数量积运算

基础打底熟练掌握

一、单项选择题

1．在四棱锥 P-A B C D 中， P D\perp 底面ABCD，底面ABCD是矩形,则 \overrightarrow{B P} 在 \overrightarrow{A D} 上的投影向量为

A.DA B.BC C. \overrightarrow{B D} D. \overrightarrow{A P}

2．在棱长为 \scriptstyle a 的正方体 A B C D-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，向量\overrightarrow{B A_{1}}^{*} 与向量 \overrightarrow{A C} 的夹角为 (

A.60° B.150° C. 90° D. {120}°

3．已知棱长为1的正方体 A B C D-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 的上底面 A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 的中心为 O_{1} ，则 \overrightarrow{A O_{1}}*\overrightarrow{A C} 的值为( ）

A. -1 B.0 C.1 D.2

4．在平行六面体 A B C D-A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime} 中， A B=4,A D= 3,A A^{\prime}=5,\angle B A D=90°,\angle B A A^{\prime}=\angle D A A^{\prime}= {60}° ，则 A C^{\prime} 的长为 ( ）

A.10 \begin{array}{r l r l r l}{{B}.\ {√(85)}}&{{}}&{\qquadC.\ {√(61)}}&{}&{{}\qquadD.\ {√(70)}}\end{array}

二、多项选择题

5.设 ^{a,b} 为空间中的任意两个非零向量，下列各式正确的有 ( ）

A. ±b{a}^{2}=|±b{a}|^{2}
B. {(a\ *\ b)/(a\ *\ a)}{=}{(b)/(a)}
C. ({±b a}*{±b b})^{2}={±b a}^{2}*{±b b}^{2}
D. ({±b a}-{±b b})^{2}={±b a}^{2}-2{±b a}*{±b b}+{±b b}^{2}

6.在正方体ABCD- \mathbf{\partial}* A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，下列说法正确的是 （ )

A. (\overrightarrow{A_{1}A}+\overrightarrow{A_{1}D_{1}}+\overrightarrow{A_{1}B_{1}})^{2}=3\overrightarrow{A_{1}B_{1}}^{*}
B. \overrightarrow{A_{1}C}*(\overrightarrow{A_{1}B_{1}}-\overrightarrow{A_{1}A})=0
C.向量 \overrightarrow{A D_{1}}^{*} 与向量 \overrightarrow{A_{1}B} 的夹角是 {60}°
D.正方体ABCD- A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 的体积为\vert\overrightarrow{A B}*\overrightarrow{A A_{1}}*\overrightarrow{A D}\vert

7.设正方体 A B C D-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 的棱长为1,体对角线A C_{1} 与 B D_{1} 交于点 o ，则 ( ）

A. \overrightarrow{A B}*\overrightarrow{A_{1}C_{1}}=1 B. \overrightarrow{A B}*\overrightarrow{A C_{1}}=√(2) C. AB·AO=↓ D \scriptstyle\mathbf{\partial},{\overrightarrow{B C}}*{\overrightarrow{D A_{1}}}=1

三、填空题

8.如图，在三棱锥 P-A B C 中， A P,A B,A C 两两垂直， A P=2 ， A B=A C=1,M 为 P C 的中点，则AC·BM=

（第8题）

（第9题）

9.如图，在长方体 A B C D-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，设 A D= A A_{1}=1,A B=2,P 是 \smash{C_{1}D_{1}} 的中点，则 \overrightarrow{B_{1}C} 与\overrightarrow{A_{1}P} 的夹角的大小为 \overrightarrow{B_{1}C}*\overrightarrow{A_{1}P}=

四、解答题

10.如图，已知正四面体OABC的棱长为1.

(1)求 \overrightarrow{O A}*\overrightarrow{O B} (2)求 (\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B})*(\overrightarrow{C A}+\overrightarrow{C B})

（第10题）

11.如图，在三棱锥 P-A B C 中，已知 P A\perp 平面A B C,C B\perp A B,A B=B C=a,P A=b.

（1）确定 \overrightarrow{P C} 在平面 A B C 上的投影向量,并求\overrightarrow{P C}*\overrightarrow{A B}

(2）确定 \overrightarrow{P C} 在 \xrightarrow[A B]{} 上的投影向量.

（第11题）

能力进阶融会贯通

12.如图，在平行四边形ABCD中， A B=2A C=2 ，且\angle A C D=90° ，将它沿对角线 A C 折起，使 _{A B} 与C D 成 {60}° 角，则点 B,D 间的距离为.

（第12题）

13.如图，在四面体OABC中， M,N,P,Q 分别为B C,A C,O A,O B 的中点，若 A B=O C ，求证：P M\bot Q N ：

（第13题）

1.2 空间向量基本定理

基础打底熟练掌握

一、单项选择题

1.已知 \left\{a,b,c\right\} 是空间的一个基底，则可以与向量 p= ±b{a}+±b{b},±b{q}=±b{a}-±b{b} 构成基底的向量是 ( ）

A.a B.b C. ±2b D. \mathbf{\boldsymbol{a}}+2\mathbf{\boldsymbol{c}}

2．在平行六面体 A B C D-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中， A C,B D 相交于 ^{\dag{(),}M} 为 O C_{1} 的中点，设 {\overrightarrow{A B}}=a ， \stackrel{\rightharpoonup}{\boldsymbol A}\stackrel{\rightharpoonup}{\boldsymbol D}=\boldsymbol b ， \stackrel{\rightharpoonup}{\mathbf{A}\r A_{1}}= c，则CM= ( ）

{(1)/(4)}±{(1)/(4)}b-{(1)/(2)}c (1)/(4)±b{a}-(1)/(4)±b{b}+(1)/(2)±b{c} -(1)/(4)a-(1)/(4)b+(1)/(2)c D. -(3)/(4)a+(1)/(4)b-(1)/(2)c

3.已知空间的一个基底 \{a,b,c\},m=a-b+c,n= x{±b{a}}+y{±b{b}}+{±b{c}} ，若 m 与 ±b{n} 共线，则 x+y 等于（ ）

A. -1 B.0 C.1 D.2

4.（2025·郑州期末）在三棱锥 A-B C D 中， E,F 分别是 A D,B C 的中点， M 为线段 E F 上靠近 F 的三等分点，记 \overrightarrow{A B}=±,\overrightarrow{A C}=b,\overrightarrow{A D}=c ，则 {\overrightarrow{A M}}= ）

(1)/(6)±(1)/(6)b+(1)/(6)c (1)/(3)±(1)/(3)b+(1)/(3)c (1)/(3)±b{a}+(1)/(3)±b{b}+(1)/(6)±b{c} (1)/(3)±(1)/(6)b+(1)/(6)c

二、多项选择题

5．下列说法正确的是 （

A.已知空间向量 a,b(a\neq\mathbf{0},b\neq\mathbf{0}) ，若 a\perp b ，则 \mathbf{\nabla}_{a}*\mathbf{\nabla}b=0 B.若对空间中任意一点 \mid O ，有 \overrightarrow{O P}=(1)/(6)\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{} (1)/(3)\overrightarrow{O B}+(1)/(2)\overrightarrow{O C} 则 P,A,B,C 四点共面 C.若 x pm y b+z c=0 ，则 x,y,z 全为零 D.任意向量 ^{a,b,c} 满足 (a\bullet b)\bullet c=a\bullet(b\bullet c)

6.如图,在三棱柱 A B C{=}A_{1}B_{1}C_{1} 中，底面边长和侧棱长都等于1,\angle B A A_{1}=\angle C A A_{1}=60°. 设 \overrightarrow{A A_{1}}={±b a},\overrightarrow{A B}={±b b},\overrightarrow{A C}={±b c}, 则下列结论中正确的是( ）

（第6题）

A. \overrightarrow{B C_{1}}=±b{a}+±b{c}-±b{b}
B. \vert\overrightarrow{B C_{1}}\vert=√(3)
C. \vert\overrightarrow{A B_{1}}\vert=√(3) (√(6))/(6)
D.异面直线 A B_{1} 与 B C_{1} 所成角的余弦值为

三、填空题

7．在平行六面体 A B C D-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中， O 是 A C 与BD的交点.记 {\xrightarrow{}}{\xrightarrow{}}=a ， \overrightarrow{A D}=±b{b},\overrightarrow{A A_{1}}=±b{c} ，则 \overrightarrow{B_{1}O}= .（结果用 ^{a,b,c} 表示）

8.已知四面体OABC的所有棱长都等于 {√(2)},E,F,G 分别为OA，OC,BC的中点，则GE·GF=

9.已知矩形 A B C D,P 为平面 A B C D 外一点，且PA⊥平面 A B C D,M,N 分别是 P C,P D 上的点，且 \xrightarrow{}\overline{{P M}}=2\overline{{M C}} ， \overrightarrow{P N}=\overrightarrow{N D},\overrightarrow{M N}=x\overrightarrow{A B}+y\overrightarrow{A D}+ z{\overrightarrow{A P}} ,则 x+y+z=

四、解答题

10.如图，在平行六面体 A B C D-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中， M,N 分别在面对角线 A C ， A_{1}D 上且 C M=2M A ，A_{1}N=2N D .记向量 \stackrel{style\longrightarrow}{A B}={±b a} ， \stackrel{\rightharpoonup}{\boldsymbol A}\stackrel{\rightharpoonup}{\boldsymbol D}=\boldsymbol b \stackrel{\rightharpoonup}{\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}_{1}}={\boldsymbol{c}} ，用a,b,c表示向量MN.

（第10题）

11.（2025·温州期末）如图，在平行六面体 A B C D- A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中， A B=A D=A A_{1}=1 ， \angle A_{1}A B= \angle A_{1}A D=\angle B A D=60°.

(1)求 A C_{1} 的长；（2）求证：直线 A_{1}C\bot 平面 B D D_{1}B_{1} ，

（第11题）

能力进阶融会贯通

12.如图，在平行六面体 A B C D-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，\angle A_{1}A D=\angle A_{1}A B=\angle B A D=60°,A A_{1}=A B= A D=3,E 为线段 B D_{1} 上靠近点 B 的三等分点，设\overrightarrow{A B}=\mathbf{{a}},\overrightarrow{A D}=\mathbf{{b}},\overrightarrow{A A}_{1}^{*}={c} ，则 {\overrightarrow{A E}}={} （用 bf{\em a} ，^{b,c} 表示)；若 G 为棱 C C_{1} 上的一个动点，则\overrightarrow{E G}*\overrightarrow{D_{1}G} 的最小值为

（第12题）

13.如图，在三棱锥 P-A B C 中，点 G 为 \triangle A B C 的重心，点 M 在 P G 上，且 P M=3M G ，过点 M 任意作一个平面分别交线段 P A,P B,P C 于点 D,E,F ，電若館 \overrightarrow{P D}=_{m}\overrightarrow{P A},\overrightarrow{P E}=_{n}\overrightarrow{P B},\overrightarrow{P F}=_{t}\overrightarrow{P C} ·求证： (1)/(m)+ 一十一为定值,并求出该定值。

（第13题）

微专题1 基底法求线线角与点点距

一、单项选择题

1．在四面体OABC中，已知 O A=O B=O C ，\angle A O B=\angle A O C=60°,\angle B O C=90° ，则异面直线O B 与 A C 所成角的大小为 ( ）

A. {30}° B. {60}° C. {120}° D.150°

2.如图，在四面体ABCD中，已知 M,N 分别为 A B ，C D 的中点， A D=2,B C=4 ，且 \overrightarrow{A D} 与 \overrightarrow{B C} 的夹角为 {120}° ,则线段MN的长为 ( ）

A. √(3)
B. √(7)
C. √(3) 或√7 D.3或 3{√(3)}

（第2题）

3.在长方体 A B C D .A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，若 A B=B C=1 ，A A_{1}=√(3) ，则异面直线 A D_{1} 与 D B_{1} 所成角的余弦值为 ( ）

A. (1)/(5) B. (√(5))/(6) C. (√(5))/(5) D. (√(2))/(2)

二、多项选择题

4.在斜三棱柱 A B C-A_{1}B_{1}C_{1} 中，已知底面 A B C 是直角三角形，且 A B\perp A C,A B=3,A C=4,A A_{1}=2, \angle A_{1}A B=\angle A_{1}A C=60° ，则 ( ）

A. |\overrightarrow{A C_{1}}|=√(7)
B. |\overrightarrow{B_{1}C}|=3√(3)
C. \overrightarrow{A C_{1}}*\overrightarrow{B_{1}C}=-9
D.异面直线 A C_{1} 与 B_{1}C 所成角的余弦值为 (√(21))/(14)

5.如图，在四棱柱 A B C D-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，已知底面ABCD是边长为1的正方形， A A_{1}=2 ， \angle A_{1}A B= \angle A_{1}A D=60° ,则下列选项正确的是 ( ）

（第5题）

A. \overrightarrow{A C_{1}}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{A A_{1}}
B. \overrightarrow{A_{1}C}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}-\overrightarrow{A A_{1}}
C.若 A,M=2MC,则 AM= \overrightarrow{A M}=(1)/(3)\overrightarrow{A A_{1}}+(2)/(3)\overrightarrow{A B}+ (1)/(3)\overrightarrow{A D}
D.若 A C 与 B D 交于点 O ，则 |\overrightarrow{O C_{1}}|=(√(34))/(2)

三、填空题

6.如图，已知二面角 \scriptstyleα-l-β 的大小为 135°,A,B 是棱 l 上的两点， A C,B D 分别在半平面 α*β 内， A C\bot l ，BD⊥L, A B=A C=1 ， B D={√(2)} ，则 C D 的长为

（第6题）

7.在三棱柱 A B C-A_{1}B_{1}C_{1} 中，已知 M,N 分别是A_{1}B,B_{1}C_{1} 上的点，且 B M{=}2A_{1}M,C_{1}N{=}2B_{1}N 若 \angle B A C=90° ， \angle B A A_{1}=\angle C A A_{1}=60°,A B= A C=A A_{1}=1 ，则 M N=.

四、解答题

8.（教材P36例7)如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形)ABCD中， M,N 分别为 B C,A D 的中点，求直线 \mathbf{\nabla}A M 和CN夹角的余弦值.

（第8题）

9.如图，在平行六面体 A B C D-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，已知A B=4,A D=3,A A_{1}=5,\angle B A D=90°,\angle B A A_{1}= \angle D A A_{1}=60°. ：

(1)求 \overrightarrow{A A_{1}}*\overrightarrow{A B} （2）求 A B_{1} 的长； （3）求 B D_{1} 的长.

（第9题）

1.3 空间向量及其运算的坐标表示

基础打底熟练掌握

一、单项选择题

1．已知 ±b{a}=(1,-2,-1),±b{b}=(3,m,-1) ,若 a\perp b ，则 \mathbf{\Psi}_{m} 等于 ( ）

A. 1 B.2 C. √(3) D.3

2.若 it{A}(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n) ，C(m+3,n-3,9) 三点共线，则 m+n 等于（ ）

A.0 B.1 C.2 D.3

3.在空间直角坐标系 O x y z 中，若 P\left(2,0,-4\right) ，Q(-1,2,1),M 是 O P 的中点，则 Q M 等于（ ）

4.若向量 ±b{a}=(1,2,-2),±b{b}=(-2,-4,4) ,则向量 bf{\em a} 与 bf{it{b}} 的夹角为 ( ）

A.0 B.π C. (2π)/(3) D.π

二、多项选择题

5.（2025·杭州期末）在空间直角坐标系中，已知 A(1 ，1,0),B\left(1,0,2\right),C\left(2,-1,5\right),D\left(1,-2,4\right) ，则下列结论正确的是 ( ）

A. \overrightarrow{A B}=(0,-1,2)
B. A,B,C 三点共线
C. A D\perp B C
D. \xrightarrow[A C]{} 在 \overrightarrow{B D} 上的投影向量为 \left(0,-{(7)/(2)},{(7)/(2)}\right)

6.已知向量 ±b{a}=\left(1,2,3\right),±b{b}=\left(3,0,-1\right),±b{c}=\left(-1\right. 5,-3) ，那么下列等式正确的是 ( ）

A. ({±b a}*{±b b})*{±b c}={±b b}*{±b c}
B. (a+b)* c=a*(b+c)
C. (a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}
D. |a+b+c|=|a-b-c|

三、填空题

7.若向量 ±b{a}=\left(1,1,x\right),±b{b}=\left(1,2,1\right),±b{c}=\left(1,1,1\right) ，且 (c-a)\bullet2b=-2 ，则 x=

8.点 P(-3,2,-1) 关于平面 x O z 对称的点是 关于 z 轴对称的点是 ，关于点 M(1,2,1) 对称的点是

9.如图，在正方体 A B C D-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，若 E,F 分别为 A_{1}D_{1} ， B B_{1} 的中点，则co \scriptscriptstyle{1s\angle E A F}= E F=\qquad.

（第9题）

四、解答题

10.已知 ±b{a}=(λ+1,1,2λ),±b{b}=(6,2m-1,2) （1）若 ±b{a}//±b{b} ，求 λ 与 m 的值；

(2)若 |±b{a}|=√(5),±b{c}=(2,-2λ,-λ) ,且 bf{\em a} 与 \boldsymbol{\mathbf{\mathit{c}}} 垂直，求 bf{\em a} ，

11．如图，在平行六面体 A B C D-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，底面ABCD是矩形， \ A B=4,A D=2 ，平行六面体的高为 2{√(3)} ，顶点 D 在底面 A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 的射影 o 是\boldsymbol{C}_{1}\boldsymbol{D}_{1} 的中点，设 \triangle A B_{1}D_{1} 的重心 G ，建立适当空间直角坐标系并写出下列点的坐标.

(1) A_{1},B_{1},A,D_{1} #
(2) G
(3) B ：

（第11题）

能力进阶融会贯通

12.（2024·上海卷）定义一个集合 \Omega ，集合中的元素是空间内的点集，任取 P_{~l~},P_{~2~},P_{~3~}\in\Omega ,存在不全为0的实数 λ_{1},λ_{2},λ_{3} ，使得 λ_{1}\overrightarrow{O P_{1}}+λ_{2}\overrightarrow{O P_{2}}+ λ_{3}\overrightarrow{O P_{3}}={\bf0}. 已知 (1,0,0)\in\Omega ，则 (0,0,1)\not\in\Omega 的充分条件是 （）

A. (0,0,0)\in\Omega
B. (-1,0,0)\in\Omega
C. (0,1,0)\in\Omega
D. (0,0,-1)\in\Omega

13.如图，在直三棱柱 A B C-A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime} 中， A B=B C= B B^{\prime}{=}2,A B\perp B C,D 为 _{A B} 的中点，点 E 在线段C^{\prime}D 上，点 F 在线段 B B^{\prime} 上，则线段 E F 长的最小值为

（第13题）

1.4 空间向量的应用

第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示

基础打底熟练掌握

一、单项选择题

1.若点 A(-1,0,1),B(1,4,7) 在直线上，则直线的一个方向向量为 ( )

A.(1,2,3) B.(1,3,2) C.(2,1,3) D.(3,2,1)

2.已知直线 \mathbf{\xi}_{l} 的一个方向向量 ±b{m}=(2,-1,3) ，且直线it{l} 过 A\left(0,y,3\right) 和 B(-1,2,z) 两点，则 y-z 等于(

A.0 B.1 C. (3)/(2) D.3

3.在空间直角坐标系内，平面 α 经过三点 A(1,0,2) B(0,1,0),C(-2,1,1) ，若向量 ±b{n}=(1,λ,\mu) 是平面 α 的法向量，则 λ^{-}\mu 等于 ( ）

A.3 B.-5 C.5 D. -3

4.若两个向量 \overrightarrow{A B}=(1,2,3) ， \overrightarrow{A C}=(3,2,1) ,则平面ABC的一个法向量为 ( ）

A. (-1,2,-1) B.(1,2,1) C.(1,2,-1) D.(-1,2,1)

二、多项选择题

5.若点 M(1,0,-1),N(2,1,2) 在直线上，则直线 \mathbf{\xi}_{l} 的一个方向向量是 ( ）

A.(2,2,6) B.(1,1,3) C.(3,1,1) D.(-3,0,1)

6.已知 A\left(0,2,3\right),B\left(-2,1,6\right),C\left(1,-1,5\right) ，那么下列说法正确的是 ( ）

A.向量 ±b{a}=(1,1,1) 是平面 A B C 的一个法向量B.向量 ±b{b=(4,2,-6)} 是向量 \xrightarrow[A B]{} 的一个方向向量

C.向量 ±b{d}=(2,1,-3) 平行于平面ABC的法向量D.向量 ±b{c}=(3,-4,1) 垂直于平面ABC的法向量

7.已知直线 \mathbf{\xi}_{l} 过点 P(1,0,-1) ，且与向量 ±b{a}=(2,1 ，1)平行，平面 α 过直线 \mathbf{\xi}_{l} 与点 M(1,2,3) ,那么平面α 的法向量可能是 （ ）

A.(1,-4,2) B. \left({(1)/(4)},-1,{(1)/(2)}\right) C \left(-(1)/(4),1,-(1)/(2)\right) D.(0,-1,1)

三、填空题

8．在如图所示的空间直角坐标系中， A B C D-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 是棱长为1的正方体，则直线 D D_{1} 的一个方向向量为 ，直线 B C_{1} 的一个方向向量为

（第8题）

（第9题）

9.在长方体ABCD- A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中， A B=4 ， B C=2 ，C C_{1}=3,E,F 分别是 B C,C D 的中点.如图，以 D 为原点， D A,D C,D D_{1} 所在的直线分别为 x 轴、 _y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，则点 \boldsymbol{B}_{1} 的坐标是，平面 D_{1}E F 的一个法向量是

四、解答题

10.在长方体 A B C D-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，建立如图所示的空间直角坐标系，已知 A B=3,B C=4,A A_{1}=2. ，

（1）求平面 B_{1}C D_{1} 的一个法向量；
（2）设 M(x,y,z) 是平面 B_{1}C D_{1} 内的任意一点，求 \scriptstyle{x,y,z} 满足的关系式.

（第10题）

能力进阶融会贯通

12.如图，在正三棱柱 A B C-A_{1}B_{1}C_{1} 中， \ A A_{1}= 2A B=4,E 是 B B_{1} 的中点， F 是 A_{1}C_{1} 的中点，若过 A,E,F 三点的平面与 \boldsymbol{B}_{1}\boldsymbol{C}_{1} 交于点 G ，则|A_{1}G|= （）

11．如图，在三棱柱 A B C-A_{1}B_{1}C_{1} 中，侧棱垂直于底面， \angle B A C=90° ， A B=1,A C=2,A A_{1}=3 ，点 \boldsymbol{\mathbf{\mathit{E}}} 在侧棱 B B_{1} 上，且 B B_{1}=9B E .建立适当的空间直角坐标系，解答以下问题.

（第12题）

（1）求直线 A E 的一个方向向量 a
（2）设 D 是 B_{1}C_{1} 的中点，求平面 A E D 的一个法向量.

A. (√(7))/(3) B. (2{√(7)})/(9) C. (2{√(7)})/(3) D. √7

13.在空间直角坐标系中，已知向量 ±b{u}=(a,b,c)(a b c\neq 0)，点 P_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}) ，点 P(x,y,z) 若直线 \mathbf{\xi}_{l} 经过点P_{~o~} ，且以 ±b{u} 为方向方量， P 是直线 \mathbf{\xi}_{l} 上的任意一点，O 为坐标原点.

（1）求证： {(x-x_{0})/(a)}={(y-y_{0})/(b)}={(z-z_{0})/(c)}
(2）当 \scriptstyle a=b=2c=1,4x_{\scriptscriptstyle0}=2y_{\scriptscriptstyle0}=z_{\scriptscriptstyle0}=4 ,且 \overrightarrow{O P} ·±b{u}=-1 时，求点 P 的坐标.

（第11题）

第2课时 空间中直线、平面的平行与垂直

基础打底熟练掌握

一、单项选择题

1．若直线 l_{1} 和 l_{2} 的方向向量分别是 ±b{a}=(1,-1,2) ，±b{b=(-2,2,-4)} ，则 ）

A. l_{1}//l_{2} B. l_{1} 与 l_{2} 相交 C. l_{1} 与 l_{2} 重合 D. l_{1} 与 l_{2} 平行或重合

2．已知平面 α 的法向量为 (1,-2,λ) ，平面 β 的法向量为 (2,\mu,4) ，若 α//β ，则 λ^{+}\mu 等于 ( ）

A.2 B.4 C.-2 D.-4

3.若平面 α*β 的法向量分别为 ±b{a}=(-1,2,4),±b{b}= (x,-1,-2) ，且 α\perpβ ，则 x 的值为 ( ）

A.10 ~{~B.~~}-10\qquad~{~C.~~}(1)/(2)\qquad~{~D.~~}-(1)/(2)

4.已知平面 α 内有一点 A(2,-1,2) ，平面 α 的一个法向量为 ±b{n}=\Big((1)/(2),(1)/(6),(1)/(3)\Big) 则下列四个点中在平面 α 内的是 (

A. P_{~i~}(1,-1,1) B. P_{3}\left(1,3,{(3)/(2)}\right) D.F (-1,3，- 3 2

二、多项选择题

5.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论正确的是 ( ）

A.若两条不同的直线 l_{1},l_{2} 的方向向量分别是 a= (2,3,-1),\boldsymbol{b}=(-2,-3,1) ，则 l_{1}//l_{2}
B.若直线 \mathbf{\xi}_{l} 的方向向量是 ±b{a}=(1,-1,2) ，平面 α 的法向量是 ±b{u}=(6,4,-1) ，则 l\perpα C.若两个不重合的平面 α*β 的法向量分别是 ±b{u}= \left(2,2,-1\right),\thinspace\nu=\left(-3,4,2\right) ，则 α\perpβ
D.若直线 \lfloor 的方向向量是 ±b{a}=(0,3,0) ，平面 α 的法向量是 ±b{u}=(0,-5,0) ，则 l//α

6.如图，在正方体 A B C D-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中， G 为正方形A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 的中心， E,F 分别为 A B,B B_{1} 的中点，下列结论正确的是 ( >

A. C_{1}D//V 平面EFG B. \overrightarrow{G F}=\overrightarrow{D_{1}B_{1}}+\overrightarrow{A_{1}A} C. \overrightarrow{G F}*\overrightarrow{F E}=0 D. A_{1}C ⊥平面EFG

（第6题）

三、填空题

7.已知直线 \boldsymbol{l}_{1} 的方向向量为 ±b{\nu}_{1}=(1,2,3) ，直线 l_{2} 的方向向量为 ±b{\nu}_{2}=(λ,4,6) ，若 l_{1}//l_{2} ，则 λ=

8.已知 \overrightarrow{A B}=(2,n,-2) ，平面 α 的法向量为 n= (1,-2,2m) ，若 A B\botα ，则 m+n=

9.如图，在正方体 A B C D-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中， E 是棱 D D_{1} 的三等分点（靠近点 D_{1} )，点 F 在棱 \smash{C_{1}D_{1}} 上，且\overrightarrow{D_{1}F}=λ\overrightarrow{D_{1}C_{1}} ，若 B_{1}F //平面 A_{1}B E ，则 λ=

（第9题）

四、解答题

10.如图，在长方体 A B C D-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中， A B=1 A A_{1}=A D=2,E 为 A B 的中点.

（1）求证： A_{1}D ⊥平面 A B C_{1}D_{1} （2）求证： B D_{1} /平面 A_{~l~}D E ：

（第10题）

11．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形， D E\bot 平面ABCD, A F//D E ， \angle B A D=60° ，D E=D C=2A F

（1）求证： A C\bot 平面 B D E （2）求证： A C //平面BEF.

能力进阶融会贯通

12．如图，底面为正方形的四棱锥 P -ABCD 中， P A\perp 平面 A B C D,E 为棱 P C 上一动点， P A=A C ，

（1）当 E 为 P C 的中点时，求证： P A /平面 B D E

(2）当 \scriptstyle A E ⊥平面 P B D 时，求 CE的值.

（第12题）

（第11题）

第3 课时 用空间向量研究距离问题

基础打底熟练掌握

一、单项选择题

1.已知 \triangle A B C 的顶点为 A\left(1,-1,2\right),B\left(5,-6,2\right) ，C(1,3,-1) ，则 A C 边上的高 B D 的长等于（ ）

A.3 B.4 C.5 D.6

2.已知平面 α 的一个法向量为 ±b{n}=(-2,-2,1) ，点A(-1,3,0) 在平面 α 内，若点 P(-2,1,z) 到 α 的距离为 (10)/(3) 则 z 等于 ( )

A.-16 B. -4 或16
C.4或-16 D.16

3.如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} ，若 A B=1,B C=2,A A_{1}=3 ，则点 B 到直线 A_{1}C 的距离为 ( ）

A. (2)/(7) B.\ {(2{√(35)})/(7)} (√(35))/(7) C. D. 1

（第3题）

（第4题）

4.如图，在长方体 A B C D-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中， A D= D D_{1}=1,A B=√(3),E,F,G 分别是棱 A B,B C,C C_{1} 的中点， P 是底面 A B C D 内一个动点，若直线 D_{1}P//% 平面 E F G ，则线段 B P 长度的最小值为 （）

A (√(3))/(4) B.1 C. (√(3))/(2) D. (1)/(2)

二、多项选择题

5.如图，在长方体 A B C D-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中， A D= A A_{1}=1,A B=2 ，若 \boldsymbol{\mathscr{E}} 为 A B 的中点，则以下说法正确的是 ( ）

A.线段 E D_{1} 的长度为3B. ±b{m=}(2,2,4) 是平面 \phantom{}_{D_{1}E C} 的一个法向量C.点 B 到平面 D_{1}E C 的距离为 (√(6))/(6) D.三棱锥 B-D,EC 的体积为

（第5题）

（第6题）

6.如图，在四棱锥 P -ABCD中，底面ABCD为菱形，PA \perp 平面 A B C D ，若 E 为 P D 的中点，且 P A= A B=1,P C=√(3) ,则下列说法正确的是 ( ）

A.PB//平面 A E C B. V_{_{E-P A C}}=V_{_{D-P A C}}=V_{_{P-A C D}} C.点 D 到平面 P A C 的距离为 (√(2))/(8) D.点 E 到平面 P A C 的距离为 (√(2))/(4)

三、填空题

7.在棱长为1的正方体 A B C D-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中， O 为平面 A_{1}A B B_{1} 的中心， E 为 B C 的中点，则点 o 到直线 A_{1}E 的距离为

8.在三棱柱 A B C-A_{1}B_{1}C_{1} 中，若 \overrightarrow{A A_{1}}=(-6,2 ，-8),\overrightarrow{B C}=(4,-2,3),\overrightarrow{A_{1}B_{1}}=(-4,1,0) ，则该三棱柱的高为

9.在长方体 A B C D-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，已知 A A_{1}=9 ，B C=6{√(3)},N 为 B C 的中点，那么直线 \smash{|D_{1}C_{1}} 与平面 A_{1}B_{1}N 的距离是

四、解答题

10.如图，在三棱柱 A B C-A_{1}B_{1}C 中， C C_{1}\bot 平面A B C,A C\bot B C,B C=A C=C C_{1}=4,D 为 A B_{1} 的中点， C B_{1} 与 B C_{1} 交于点 E ，

（1）证明： C B_{1}\bot C_{1}D （2）求点 E 到平面 B_{1}C_{1}D 的距离.

（第10题）

（2）求平面 A_{1}B D 与平面 B_{1}C D_{1} 之间的距离.

（第11题）

11.如图，已知正方体 A B C D-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 的棱长为2，F,G 分别是 A B,C C_{1} 的中点.（1）求点 D_{1} 到直线 G F 的距离；

能力进阶融会贯通

12.（2025·石家庄期末）在棱长为1的正方体ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，以 D 为坐标原点， D A,D C,D D_{1} 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，若直线 A C 上的点 P 到直线 B C_{1} 的距离最短，则点 P 的坐标为 （）

A \left((1)/(2),(1)/(2),0\right) B. \left((2)/(3),(1)/(3),0\right) \left({(1)/(3)},{(2)/(3)},0\right) D.(0,1,0)

13.（2025·无锡期末）在空间直角坐标系中， u\left(x-\right. x_{\scriptscriptstyle0})+v(y-y_{\scriptscriptstyle0})+w(z-z_{\scriptscriptstyle0})=0 表示经过点 (x_{0} ，y_{0},z_{0}) ，且法向量为 {(u,v,w)} 的平面的方程.已知平面 α 的方程为 x+2y+2z-3=0 ，过点 P\left(2,1\right. ，3)作直线 l\perpα ，点 M(a,b,c) 为直线 \mathbf{\xi}_{l} 上任意一点，则 {\boldsymbol{a}}_{\mathbf{λ}},{\boldsymbol{b}} 满足的关系式为 ；点 P 到平面α 的距离为

第4课时 用空间向量研究夹角问题（1) 线线角与线面角

基础打底熟练掌握

一、单项选择题

1．若异面直线 l_{1},l_{2} 的方向向量分别是 ±b{a}=(0,-2 ，-1),±b{b}=(2,0,4) ，则异面直线 \boldsymbol{l}_{1} 与 \boldsymbol{l}_{2} 的夹角的余弦值等于 ）

2.如图，在正四棱柱 A B C D-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中， A A_{1}= 2A B ,则异面直线 A_{1}B 与 A D_{1} 所成角的余弦值为 ( ）

A. (1)/(5) B. (2)/(5)
C. (3)/(5) D. (4)/(5)

（第2题）

3.如图，在长方体 A B C D-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，若 A B= B C=2,A A_{1}=1 ，则 B C_{1} 与平面 B B_{1}D_{1}D 所成角的正弦值为 ( ）

(√(6))/(3) 2√5 (√(15))/(5) (√(10))/(5) A. B. C. D. 5

二、多项选择题

5.已知点 P 是平行四边形 A B C D 所在平面外的一点，若 \overrightarrow{A B}=(2,-1,-4) \overrightarrow{A D}=(4,2,0) \overrightarrow{A P}=(-1 ，2,-1) ，则 （）

A. A P\bot B C
B. \overrightarrow{A P} 是平面 P B C 的一个法向量
C. \overrightarrow{A P}//\overrightarrow{B D}
D.直线 B P 与平面 A B C D 所成角的余弦值为 (√(7))/(3)

6．在正三棱柱 A B C{=}A_{1}B_{1}C_{1} 中，若 A A_{1}=√(3)A B ，则 (

A. A C_{1} 与底面 A B C 所成角的正弦值为 (1)/(2) B. A C_{1} 与底面 A B C 所成角的正弦值为 (√(3))/(2) C. A C_{1} 与侧面 A A_{1}B_{1}B 所成角的正弦值为 (√(3))/(4) D. A C_{1} 与侧面 A A_{1}B_{1}B 所成角的正弦值为 (√(13))/(4)

（第3题）

（第4题）

4.如图，在正三棱柱 A B C-A_{1}B_{1}C_{1} 中， A B=1 A A_{1}=2 ，若 D 为棱 B B_{1} 的中点，则 A D 与平面A C C_{1}A_{1} 所成角的正弦值为 ( ）

(√(3))/(4) (√(6))/(4) (√(3))/(2) (√(6))/(3) A. B. C. D.

三、填空题

7.如图，在三棱柱ABC- A_{1}B_{1}C_{1} 中， A A_{1}\bot 底面 A B C,A B= B C=A A_{1},\angle A B C=90°,E,F 分别是棱 A B,B B_{1} 的中点，则直线 E F 和 B C_{1} 所成角的大小是

（第7题）

8．（2025·菏泽期末)在三棱锥 P-A B C 中， {\overrightarrow{A B}}=\left(0\right. (1)/(2),-1\bigg),\overrightarrow{A C}=(-1,1,-1),\overrightarrow{A P}=\bigg(0,(1)/(2),0\bigg) 则直线 A P 与平面 A B C 所成角的余弦值为

四、解答题

9.如图，在三棱锥 V -ABC中，顶点 C 在空间直角坐标系的原点处，顶点 A,B,V 分别在 x 轴、 _y 轴、 z 轴上， D 是线段 _{A B} 的中点，且 A C=B C=2 ，\angle V D C=(π)/(3) A C \mathbf{\nabla}V D_{\mathbf{\Omega}} 弦值.

（第9题）

10.（2025·江门期末）如图，在直三棱柱ABC-A_{1}B_{1}C_{1} 中， \angle B A C=90°,A B=A C=2,A A_{1}= 2√(2) ， N 是 \boldsymbol{B}_{1}\boldsymbol{C}_{1} 的中点， F 是 B B_{1} 的中点.

（1）证明： C_{1}F ⊥平面 A_{1}C N （2）求直线 B C 与平面 A_{1}B_{1}C 所成角的余弦值.

（第10题）

能力进阶融会贯通

11.（2022·全国甲卷）如图，在四棱锥 P-A B C D 中，P D\perp 底面ABCD,CD//AB， A D=D C=C B=1 ，A B{=}2,D P{=}{√(3)}.

（1）求证： B D\perp P A （2）求 P D 与平面 P A B 所成角的正弦值.

（第11题）

第5课时 用空间向量研究夹角问题（2）一 两平面的夹角

基础打底熟练掌握

一、单项选择题

1.已知 ±b{\imath}=\left(-2,2,5\right),±b{\imath}=\left(6,-4,4\right),±b{\imath},±b{\imath}, 分别是平面 α*β 的法向量，那么平面 α*β 的位置关系是( ）

A.平行 B.垂直 C.重合 D.相交不垂直

2.已知两平面的法向量分别为 ±b{m}=(0,1,1),±b{n}=(1,1,1) 则两平面的夹角的正弦值为 ( ）

(√(6))/(3) (√(3))/(3) (1)/(3) (2{√(2)})/(3) A. B. C. D.

3.已知平面 α 过点 A\left(3,0,0\right) 和 B(0,4,0) 及 z 轴上一点 P\left(0,0,a\right)\left(a>0\right) ,若平面 α 与平面 O x y 的夹角为 45° ，则 \scriptstyle a 等于 ）

A. (2)/(3) B. 5 (7)/(5) C. 3 (5)/(3) D. (12)/(5)

4.如图，在四棱锥 P-A B C D 中，PB⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形， A D//B C ， A B\perp B C,A B=A D=P B=3 ，点 E 在棱 P A 上，若 P E=2E A ，则平面A B E 与平面 B E D 夹角的余弦值

（第4题）

A. (√(6))/(6) B. (√(2))/(3) C. (√(3))/(3) D. (√(6))/(3)

二、多项选择题

5.如图，在正方体 A B C D-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，若 E 为线段A_{1}A 上的一个动点， F 为线段 B_{1}C_{1} 上的一个动点，则平面 EFB 与底面 A B C D 的夹角可以是（）

A. (π)/(4) B. (π)/(6)
C. (π)/(3) D. (π)/(2)

（第5题）

6.如图，已知正方体 A B C D-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 的棱长为2，\boldsymbol{E},\boldsymbol{F},\boldsymbol{G} 分别为 A D,A B,B_{1}C_{1} 的中点，以下说法正确的是 ( ）

A.三棱锥 \ C-E F G 的体积 为1 B. A_{1}C\bot 平面EFG C. A_{1}D_{1} //平面EFG D.平面EGF与平面 A B C D 夹角的余弦值为 (√(3))/(6)

（第6题）

三、填空题

7.如图，点 \mathbf{δ}_{A,B,C} 分别在空间直角坐标系 O x y z 的三条坐标轴上， \overrightarrow{O C}=(0,0,2) ,平面 ABC 的一个法向量为 ±b{n}=(2,1,2) ，设平面 A B C 与平面ABO的夹角为 θ ,则cos θ=

（第7题）

（第8题）

（第9题）

8.如图，在直三棱柱 A B C-A_{1}B_{1}C_{1} 中， \angle A C B=90° ，A C=A A_{1}=2B C=2,D 为棱 A A_{1} 上一点.若平面B_{1}D C 和平面 D C C_{1} 的夹角为 {30}° ，则 A D 的长为

9.如图，在四棱锥S-ABCD中,底面四边形ABCD是正方形,SD⊥平面 A B C D .已知 S D=√(2)A B=2,E 是棱 _{S D} 上的点，若平面 A C E 与平面 A D E 夹角的余弦值为 ，则点E 的坐标为

四、解答题

10.如图，四棱柱 A B C D-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 的所有棱长都相等， .A C\cap B D=O,A_{1}C_{1}\cap B_{1}D_{1}=O_{1} ，四边形A C C_{1}A_{1} 和四边形 B D D_{1}B_{1} 均为矩形.

（1）求证： O_{1}O\bot 底面 A B C D
（2）若 \angle C B A=60° ，求平面 O C_{1}B_{1} 与平面B D D_{1}B_{1} 夹角的余弦值.

（第10题）

能力进阶融会贯通

12.（2025·南昌期末）如图，在三棱锥 P-A B C 中，\triangle A B C 是边长为2的正三角形， P A ⊥平面 A B C ，P C={√(5)},E 为 P C 上的动点.

（1）求三棱锥 P-A B C 的体积；
（2）当 B E 最小时，求平面 A B E 与平面ABC所成角的余弦值.

（第12题）

11．（2025·徐州期末)如图，三棱柱 A B C-A_{1}B_{1}C_{1} 的 棱长均为 4,D,E,F 分别是棱 A C,C C_{1},B_{1}C_{1} 的 中点， C_{1}D ⊥平面 A B C ，

（1）求证： A_{1}C\bot B E （2）求二面角 A-B D-F 的余弦值.

（第11题）

章复习 能力整合与素养提升

基础过关熟能生巧

一、单项选择题

1.若 \left\{a,b,c\right\} 构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是 ( ）

A. 2b+c,b,b-c B. a,a+b,2a-b
C. ±b{a}+±b{b},±b{a}-±b{b},±b{c} D. ±b{a}+±b{b},±b{a}+±b{b}+±b{c},±b{c}

2.（2025·益阳期末）在四面体 _{O-A B C} 中， M,N 分别是棱 O A,B C 的中点， P 是 M N 的中点，设 {\overrightarrow{O A}}={} a {\overrightarrow{O B}}=\mathbf{\boldsymbol{b}} \scriptstyle{\overrightarrow{O C}}=c ，则 {\overrightarrow{O P}}= ( ）

(1)/(2)±b{a}+(1)/(2)±b{b}+(1)/(2)±b{c} (1)/(2)±b{a}+(1)/(4)±b{b}+(1)/(4)±b{c} (1)/(4)±b{a}+(1)/(4)±b{b}+(1)/(4)±b{c} (1)/(4)±b{a}+(1)/(2)±b{b}+(1)/(2)±b{c}

3.在正方体 A B C D-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中， E,F 分别为 C D 和 A_{1}B_{1} 的中点，则异面直线 A F 与 D_{1}E 所成角的余弦值是 ( ）

A.0 ~B.~(3)/(5)\qquad~C.~(4)/(5)\qquad~D.~(2√(5))/(5)

4.（2025·临沂期末）已知空间直角坐标系中， A\left(3,0\right) \left0\right),B\left(0,2,0\right),C\left(\left.0,0,(3)/(2)\right),M\left(x,y,z\right) 是空间中任意一点，若 A,B,C,M 四点共面，则 ( ）

A. 2x+3y+4z=6
B. 4x+2y+3z=6
C. 3x+y+2z=3
D. 2x+2y+z=3

二、多项选择题

；.（2025·厦门期末）如图，棱长为2的正方体 A B C D- A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中， E,F 分别为 B D,C C_{1} 的中点，若点G 满足 \overrightarrow{D G}=λ\overrightarrow{D A}+\mu\overrightarrow{D D}_{1}^{*}(0<=slantλ<=slant1,0<=slant\mu<=slant1) ，则( ）

（第5题）

A. G\in 平面 A D D_{1}A_{1}
B.当 \scriptstyleλ=\mu=1 时， A G //平面BDF
C.当 \scriptstyleλ=\mu=1 时， E G\perp 平面BDF
D.当 λ=\mu=(1)/(2) 时，点 G 到平面 BDF 的距离为/2

6.在正四棱锥 P-A B C D 中， P A=2{√(5)} ， A B=2{√(2)} ，\overrightarrow{P E}=(1)/(2)\overrightarrow{P B},\overrightarrow{P F}=(1)/(3)\overrightarrow{P D} 则 (

|\overrightarrow{E F}|=(√(29))/(3) B.异面直线 A E,C F 所成角的余弦值为 (√(26))/(78) C.向量 \overrightarrow{A E} 在向量 \overrightarrow{C F} 上的投影向量为 (5)/(52)\overrightarrow{C F} D.直线 A E 与平面 P C D 所成角的正弦值为 (4)/(9)

三、填空题

7.（2025·佛山期末）在空间直角坐标系Oxyz中，平面α 的法向量 ±b{n=}(1,2,2) ，点 P(3,4,5) 在 α 内，则原点O 到 α 的距离为

8.（2025·厦门期末）在平行六面体ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中， A B=A D=A A_{1}=1 ， \angle A_{1}A B= \angle A_{1}A D=\angle B A D=(π)/(3) ,则点 B 到直线AC 的距离为

四、解答题

9.（2024·天津卷）如图，已知四棱柱ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，底面 A B C D 为梯形， A B//C D ，A_{1}A ⊥平面 A B C D,A D\perp A B ,其中 A B=A A_{1}=2 ，A D=D C=1.\ N 是 \displaystyle B_{1}C_{1} 的中点， M 是 D D_{1} 的中点.

（1）求证： D_{1}N// 平面 C B_{1}M （2）求平面 C B_{1}M 与平面 B B_{1}C_{1}C 的夹角的余弦值；

（3）求点 B 到平面 C B_{1}M 的距离.

（第9题）

10．（2025·无锡期末）如图，在四棱锥 P-A B C D 中，底面 A B C D 是正方形，侧棱 P D\perp 底面 A B C D ，P D=D C,E 是 P C 的中点，作 E F\bot P B 交 P B 于点 F ：

（1）求证： P B\bot D E #（2）求直线 P A 与平面 P B C 所成角的大小；（3）求平面 P A C 与平面 P B C 夹角的余弦值.

（第10题）

思维拓展举一返三

11．（2024·新高考 \mathbb{I} 卷)如图，平面四边形ABCD中，A B=8,C D=3,A D=5√(3),\angle A D C=90°, \angle B A D=30° ，点 E,F 满足 \overrightarrow{A E}=(2)/(5)\overrightarrow{A D},\overrightarrow{A F}= AB,将 △AEF 沿 EF 对折至△PEF,使得P C=4{√(3)}.

（1）证明： E F\perp P D \*

（2）求平面 P C D 与平面 P B F 所成的二面角的正弦值.

（第11题）

第二章 直线和圆的方程

2.1 直线的倾斜角与斜率

第1课时 倾斜角与斜率

基础打底熟练掌握

一、单项选择题

1．下列说法正确的是

A.一条直线和 x 轴的正方向所成的角，叫做这条
直线的倾斜角
B.直线的倾斜角是锐角或钝角
C.与 x 轴平行的直线的倾斜角为 {180}°
D.每一条直线都存在倾斜角，但不一定存在斜率

2.经过 A\left(-1,3\right),B\left(1,9\right) 两点的直线的一个方向向量为(1,k),则 k= ( ）

A. -{(1)/(3)} B. (1)/(3) C.-3 D.3

3.若图中的直线 l_{1},l_{2},l_{3} 的斜率分别为 k_{1},k_{2},k_{3} ，则(）

A. k_{1}{<}k_{2}{<}k_{3}
B. k_{rm{2}}{<}k_{rm{3}}{<}k_{rm{1}}
C. k_{1}{<}k_{3}{<}k_{2}
D. k_{rm{2}}{<}k_{rm{1}}{<}k_{rm{3}}

（第3题）

4.若过点 A\left(2,1\right),B\left(m,3\right) 的直线的倾斜角 α 的范围是\left({(π)/(4)},{(3π)/(4)}\right) ,则实数 \mathbf{\nabla}_{m} 的取值范围是 ( ）

A.(0,2] B.(0,4) C. [2,4) D.(0,2)U(2,4)

二、多项选择题

5．下列说法正确的是

A．直线的倾斜角是第一或第二象限角
B．一条直线的倾斜角为一 {30}°
C.若直线的倾斜角为 α ，则 \sinα{>=slant}0
D.任意直线都有倾斜角 α ,且 α\neq90° 时，斜率为tan α

6.若直线 \mathbf{\xi}_{l} 过点 P(1,0) ，且与以 A\left(2,1\right),B\left(0,√(3)\right) 为端点的线段有公共点，则直线 \lfloor 的斜率可能是( ）

A.-2 B (1)/(2) C.1 D. √(3)

三、填空题

7.已知点 A(1,0),B(2,√(3)),C(m,2m) ，若直线 A C 的倾斜角是直线 A B 的倾斜角的2倍，则实数 m 的值为，直线 A C 的一个方向向量为

8.已知 θ\in\left(0,(π)/(2)\right) ，试用含 θ 的式子表示经过 P (0，
0), Q (sin θ ，cos θ )两点的直线 \mathbf{\xi}_{l} 的倾斜角为

四、解答题

9.（1）已知直线 \mathbf{\xi}_{l} 过 A\left(-a,8\right),B\left(2,2a\right) 两点，且 k_{A B}=12 ，求实数 a 的值. （2）已知过点 A\left(5,m\right),B\left(m,8\right) 的直线的斜率大于 1,求实数 \mathbf{\Psi}_{m} 的取值范围.

10.已知两点 A\left(-1,2\right),B\left(m,3\right) ：

（1）求直线 _{A B} 的斜率；

（2）若实数 m\in\left[-(√(3))/(3)-1,√(3)-1\right] ，求直线 A B 的倾斜角 α 的取值范围.

能力进阶融会贯通

11.（多选）已知 \triangle A B C 为等边三角形，直线AB，AC的斜率分别为 \mathbf{\varepsilon}_{0,√(3)} ，则 ( ）

A.直线BC的斜率为一√3B.BC边上的高所在直线的斜率为 (√(3))/(3) C. A B 边上的高所在直线的倾斜角为 (π)/(2) D. A C 边上的高所在直线的倾斜角为 (π)/(6)

12.1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点.如图，以大五角星的中心点为原点建立直角坐标系， O O_{1} ，O O_{2},O O_{3},O O_{4} 分别是大五角星中心点与四颗小五角星中心点的连线， α\approx16° ，则第三颗小五角星的一条边 A B 所在直线的倾斜角约为 （）

（第12题）

A. {0}° B. 1° C. 2° D.3°

13.已知坐标平面内三点 A(-2,-4),B(2,0) ，C(-1,1) ：

（1）求直线 _{A B} 的斜率和倾斜角；
（2）若 A,B,C,D 可以构成平行四边形，且点 D 在第一象限，求点 D 的坐标；

（3）若 E(\boldsymbol{m},\boldsymbol{n}) 是线段 A C 上一动点，求 (n)/(m-2) 的取值范围.

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