前 言

为了贯彻国务院«关于加快发展现代职业教育的决定»«国家职业教育改革实施方案»的

精神,落实“中等职业学校课程标准(２０２０年版)”对各学科课程教学目标及教学内容的规

定,根据社会经济发展对人才培养的需求,我们编写了本系列丛书,旨在培养德智体美劳全

面发展的高素质劳动者和技术技能人才.

本丛书具有以下三个方面的特点.

１．深入贯彻课标理念,全面提高学生素质

(１)本丛书以新课标理念为指导,注重情境创设与问题引入;强调知识积累与技能应用;

优化思维品质与语言表达水平;引导学生积极交流与反思,不断提高学生的科学素养、文化

素养、应用能力和审美水平.

(２)本丛书习题的编选,严格按照新课标的要求,注重基础知识和基本方法,在知识传授

与培养学生学科能力的过程中,实现价值观的引导.

２．科学设计框架体系,精准符合学生需求

(１)本丛书坚持“从生活中来,到生活中去”的教学理念,基于中职学生的实际学习水平

构建完整的教学和学习框架,使学生带着兴趣学习.

(２)本丛书的讲解部分,紧扣教材、课标要求,从多方面对每个单元知识进行讲解,并配

有相应练习,旨在提升学生的知识水平和文化素养.

(３)本丛书提倡“因材施教、因势利导”,在编写过程中,认真分析了中职学生的学习需求

和学习能力,例题配有详细的讲解和分析,试题紧扣所学知识点,由浅入深,由易到难,可以

帮助学生学习时快速吃透知识点,复习时有效巩固知识点,更好地掌握所学知识.

３．精心创编新题,创新学习情景

基于中职课程教学的特点和教材的内容,结合考情,我们选取了大量适合中职学生的试

题.此外,通过联系学生生活情境,创编了许多新题,丰富了试题种类.这让学生能充分沉

浸在学习氛围中,能够理解书本知识,运用书本知识.

尽管我们在编写的过程中付出了很多努力,每位作者都多易其稿,但由于时间紧迫,疏

漏和不当之处在所难免,敬请广大师生批评指正,以便在再版过程中修改完善.

中职导学案编写组

第一部分 导 学

第５章 指数函数与对数函数 ????????????? １

５．１ 实数指数幂 ?????????????????? １

５．１．１ 有理数指数幂 ??????????????? １

５．１．２ 实数指数幂 ???????????????? ５

５．２ 指数函数 ??????????????????? ７

５．３ 对 数 ???????????????????? １０

５．３．１ 对数的概念 ???????????????? １０

５．３．２ 积、商、幂的对数 ?????????????? １３

５．４ 对数函数 ??????????????????? １５

５．５ 指数函数与对数函数的应用 ??????????? １８

本章小结 ????????????????????? ２１

第６章 直线与圆的方程 ?????????????? ２５

６．１ 两点间距离公式和线段的中点坐标公式 ?????? ２５

６．２ 直线的方程 ?????????????????? ２８

６．２．１ 直线的倾斜角与斜率 ???????????? ２８

６．２．２ 直线的点斜式方程与斜截式方程 ??????? ３１

６．２．３ 直线的一般式方程 ????????????? ３４

６．３ 两条直线的位置关系 ?????????????? ３６

６．３．１ 两条直线平行 ??????????????? ３６

６．３．２ 两条直线相交 ??????????????? ３８

６．３．３ 点到直线的距离 ?????????????? ４０

６．４ 圆 ?????????????????????? ４２

６．４．１ 圆的标准方程 ??????????????? ４２

６．４．２ 圆的一般方程 ??????????????? ４５

６．５ 直线与圆的位置关系 ?????????????? ４８

６．６ 直线与圆的方程应用举例 ???????????? ５１

本章小结 ????????????????????? ５４

?１?

第７章 简单几何体 ???????????????? ５８

７．１ 多面体 ???????????????????? ５８

７．１．１ 棱 柱 ?????????????????? ５８

７．１．２ 直观图的画法 ??????????????? ６１

７．１．３ 棱 锥 ?????????????????? ６５

７．２ 旋转体 ???????????????????? ６８

７．２．１ 圆 柱 ?????????????????? ６８

７．２．２ 圆 锥 ?????????????????? ７１

７．２．３ 球 ???????????????????? ７４

７．３ 简单几何体的三视图 ?????????????? ７７

本章小结 ????????????????????? ８１

第８章 概率与统计初步 ?????????????? ８５

８．１ 随机事件 ??????????????????? ８５

８．１．１ 随机事件的概念 ?????????????? ８５

８．１．２ 频率与概率 ???????????????? ８８

８．２ 古典概型 ??????????????????? ９１

８．３ 概率的简单性质 ???????????????? ９３

８．４ 抽样方法 ??????????????????? ９５

８．４．１ 简单随机抽样 ??????????????? ９５

８．４．２ 系统抽样 ????????????????? ９８

８．４．３ 分层抽样 ???????????????? １００

８．５ 统计图表 ?????????????????? １０２

８．６ 样本的均值和标准差 ????????????? １０５

本章小结 ????????????????????? １０７

?２?

第二部分 同步训练

第５章 指数函数与对数函数 ???????????? １１１

５．１ 实数指数幂 ????????????????? １１１

５．１．１ 有理数指数幂 ?????????????? １１１

５．１．２ 实数指数幂 ??????????????? １１４

５．２ 指数函数 ?????????????????? １１６

５．３ 对 数 ??????????????????? １１８

５．３．１ 对数的概念 ??????????????? １１８

５．３．２ 积、商、幂的对数 ????????????? １２０

５．４ 对数函数 ?????????????????? １２２

５．５ 指数函数与对数函数的应用 ?????????? １２４

指数函数与对数函数综合训练 ???????????? １２７

第６章 直线与圆的方程 ?????????????? １３０

６．１ 两点间距离公式和线段的中点坐标公式 ????? １３０

６．２ 直线的方程 ????????????????? １３２

６．２．１ 直线的倾斜角与斜率 ??????????? １３２

６．２．２ 直线的点斜式方程与斜截式方程 ?????? １３４

６．２．３ 直线的一般式方程 ???????????? １３６

６．３ 两条直线的位置关系 ????????????? １３８

６．３．１ 两条直线平行 ?????????????? １３８

６．３．２ 两条直线相交 ?????????????? １４０

６．３．３ 点到直线的距离 ????????????? １４２

６．４ 圆 ????????????????????? １４４

６．４．１ 圆的标准方程 ?????????????? １４４

６．４．２ 圆的一般方程 ?????????????? １４６

６．５ 直线与圆的位置关系 ????????????? １４８

６．６ 直线与圆的方程应用举例 ??????????? １５０

直线与圆的方程综合训练 ?????????????? １５３

?３?

第７章 简单几何体 ???????????????? １５６

７．１ 多面体 ??????????????????? １５６

７．１．１ 棱 柱 ????????????????? １５６

７．１．２ 直观图的画法 ?????????????? １５９

７．１．３ 棱 锥 ????????????????? １６２

７．２ 旋转体 ??????????????????? １６５

７．２．１ 圆 柱 ????????????????? １６５

７．２．２ 圆 锥 ????????????????? １６７

７．２．３ 球 ??????????????????? １６９

７．３ 简单几何体的三视图 ????????????? １７１

简单几何体综合训练 ???????????????? １７５

第８章 概率与统计初步 ?????????????? １７９

８．１ 随机事件 ?????????????????? １７９

８．１．１ 随机事件的概念 ????????????? １７９

８．１．２ 频率与概率 ??????????????? １８１

８．２ 古典概型 ?????????????????? １８４

８．３ 概率的简单性质 ??????????????? １８６

８．４ 抽样方法 ?????????????????? １８８

８．４．１ 简单随机抽样 ?????????????? １８８

８．４．２ 系统抽样 ???????????????? １９１

８．４．３ 分层抽样 ???????????????? １９３

８．５ 统计图表 ?????????????????? １９６

８．６ 样本的均值和标准差 ????????????? ２００

概率与统计初步综合训练 ?????????????? ２０３

参考答案 ????????????????????? ２０７

?４?

第一部分

导 学

第５章 指数函数与对数函数

５．１实数指数幂:了解有理指数幂的意义,将幂的概念及运算推广到实数指数幂．

５．２指数函数:了解指数函数的定义,理解指数函数的图像和性质．

５．３对数:了解对数的概念及性质,能正确识记对数的运算性质,并用性质进行对数

运算．

５．４对数函数:了解对数函数的概念、图像和性质．

５．５指数函数与对数函数的应用:初步掌握从实际情况中抽象出指数函数、对数函数模

型解决简单实际问题的方法．

５．１ 实数指数幂

５．１．１ 有理数指数幂

了解n 次根式、分数指数幂、有理数指数幂及实数指数幂的概念．

１．n 次根式

(１)n 个相同因子a 的连乘积记作an ,称为a 的 ．其中,a 称为幂的 ,

简称底,n 称为幂的 ．即

an ＝a?a?a???a???????????

n个

(n∈N∗ )．

规定当a≠０时,a０＝ ,a－n ＝ ．

(２)一般地,如果b的n次方等于a,即bn ＝a(n∈N∗ ,n＞１),那么称数b为a的 ．

①当n 为偶数时,正实数a 的n 次方根有 个,分别用－

na和

na表示,其中

na

?１?

称为a 的 ,负实数a 的n 次方根没有意义;

②当n 为奇数时,实数a 的n 次方根只有 个,用

na表示．

③０的n 次方根为０．

(３)形如

na(n∈N∗ ,n＞１)的式子称为a 的n 次 ,其中n 称为 ,a

称为 ．

２．有理数指数幂

如果指数是最简分数,我们规定:

(１)当指数为正分数

m

n

(m,n∈N∗ ,n＞１)时,a

m

n ＝ ．

(２)当指数为负分数－

m

n

(m,n∈N∗ ,n＞１)且a≠０时,a－

m

n ＝

１

a

m

n

＝ ．

当n 为偶数时,a 的取值应使

nam 或

１

nam

有意义．

(３)当a＞０,b＞０且p,q∈Q时,有理数指数幂有以下运算法则:

①ap ?aq ＝ ;

②(ap )q ＝ ;

③(ab)p ＝ ;

④

ap

aq ＝ ．

注:０的正分数指数幂等于０,０的负分数指数幂没有意义．

知识点１ 根式的性质

【例１】 求值:(１)

３ (－４)３ ;(２)

４ (－４)４ ;(３)

３ (a－２)３ ;(４) (a－b)２ (a＞b)．

【解】 (１)

３ (－４)３ ＝－４;

(２)

４ (－４)４ ＝|－４|＝４;

(３)

３ (a－２)３ ＝a－２;

(４) (a－b)２ ＝|a－b|＝a－b．

【思路点拨】 进行

nan 的运算时,重点判断n 是奇数还是偶数．

【变式训练１】 求值:(１)

３ (２－π)３ ; (２)

４ (２－π)４ ;

(３)９a２－６a＋１a≤

１

３

æ

è

ç

ö

ø

÷; (４) (２－a)２ ．

?２?

知识点２ 分数指数幂与根式的互化

【例２】 将下列有理指数幂写成根式的形式:

(１)a

２

５ ＝ ;(２)３－

１

２ ＝ ;

(３)

１

２

æ

è

ç

ö

ø

÷

－

１

４

＝ ;(４)a－

３

２ ＝ (a＞０)．

【解析】 (１)由a

m

n ＝

nam 可知n＝５,m＝２,所以a

２

５ ＝

５a２ ．

(２)由a－

m

n ＝

１

a

m

n

＝

１

nam

可知n＝２,m＝１,所以３－

１

２ ＝

１

３

＝

３

３

．

(３)由a－

m

n ＝

１

a

m

n

＝

１

nam

可知n＝４,m＝１,所以

１

２

æ

è

ç

ö

ø

÷

－

１

４

＝

４２．

(４)由a－

m

n ＝

１

a

m

n

＝

１

nam

可知n＝２,m＝３,所以a－

３

２ ＝

１

a３ ．

【思路点拨】 将有理指数幂化为根式时,分母是根指数、分子是幂指数;负指数幂化根

式时,底为原来底的倒数．

【例３】 将下列各根式写成分数指数幂的形式:

(１)

４２３ ＝ ;(２)５＝ ;

(３)

３a２ ＝ ;(４)

１

a

＝ ．

【解析】 (１)由a

m

n ＝

nam 可知,

４２３ ＝２

３

４ ;

(２)由a

m

n ＝

nam 可知,５＝５

１

２ ;

(３)由a

m

n ＝

nam 可知,

３a２ ＝a

２

３ ;

(４)由a－

m

n ＝

１

a

m

n

＝

１

nam

,

１

a

＝a－

１

２ ．

【思路点拨】 将根式写成分数指数幂时,根指数是指数的分母、幂指数是分子．

【变式训练２】 互化下列根式与分数指数幂:

(１)

６３２＝ ;(２)

３x９ ＝ ;

(３)３３ ＝ ;(４)

１

３xy

＝ (x,y≠０)．

知识点３ 有理数指数幂的运算法则

【例４】 计算:

(１)x３x２; (２)

２８

２５; (３)(－３x２)３; (４)－

１

２

x３

æ

è

ç

ö

ø

÷

２

．

【解】 (１)x３x２＝x３＋２＝x５;

?３?

(２)

２８

２５＝２８－５＝２３＝８;

(３)(－３x２)３＝(－３)３ (x２)３＝－２７x６;

(４)－

１

２

x３

æ

è

ç

ö

ø

÷

２

＝ －

１

２

æ

è

ç

ö

ø

÷

２

(x３)２＝

１

４

x６．

【思路点拨】 了解有理数指数幂运算法则即可求解．

【变式训练３】 计算:

(１)６

１

２ ×６

１

４ ×６

１

８ ; (２)(３５×２１０)

３

５ ．

１．将(－８)－

２

５ 化为分数指数幂为 ( )

A．－

１

５６４

B．

１

５６４

C．

５６４ D．

１

８５

２．已知(m－n)－

３

４ 有意义,则 m,n 之间的关系应满足 ( )

A．m≤n B．m＜n C．m≥n D．m＞n

３．(１)计算:－６＋３×

４

１５

æ

è

ç

ö

ø

÷

０ é

ë

ê

ê

ù

û

ú

ú

２

＝ ;

(２)计算:(－５)０＋２－２－(

３ －７)

３×(π－０)０＝ ．

４．互化下列根式与分数指数幂,并化简:

(１)

１

５(－８)２ ＝ ;(２)

y

x

æ

è

ç

ö

ø

÷

－

４

３

＝ (xy＞０);

(３)

４

１６

８１a４

æ

è

ç

ö

ø

÷

３

＝ ;(４)

３６

４９a４b３

æ

è

ç

ö

ø

÷

－

１

２

＝ (a＞０,b＞０)．

５．用计算器计算下列各式(精确到０．００１)．

(１)３

１

４ ;(２)

３５４ ;(３)

１

２

æ

è

ç

ö

ø

÷

－１．５

;(４)８０．４８．

?４?

５．１．２ 实数指数幂

了解实数指数幂的概念;了解实数指数幂的运算法则．

当a＞０,b＞０且α,β∈R时,实数指数幂有以下运算法则:

(１)同底数的幂相乘:aα ?aβ ＝ ;

(２)同底数的幂相除:aα ÷aβ ＝ ;

(３)幂的乘方:(aα )β ＝ ;

(４)积的乘方:(ab)α ＝ ．

知识点 实数指数幂的运算法则

【例１】 化简下列各式:

(１)２a２b３×３a３b; (２)２× ２×

３２×

６２; (３)

３

a a (a＞０)．

【解】 (１)２a２b３×３a３b＝２×３×a２＋３?b３＋１＝６a５b４;

(２)２× ２×

３２×

６２＝２×２

１

２ ×２

１

３ ×２

１

６ ＝２１＋

１

２＋

１

３＋

１

６ ＝２２＝４;

(３)

３

a a ＝(a a)

１

３ ＝(a?a

１

２ )

１

３ ＝a

３

２×

１

３ ＝a

１

２ ．

【思路点拨】 根式与指数混合运算时统一将根式化为指数式．

【变式训练１】 化简下列各式:

(１)(

３４×

４４×

６４)

２; (２)m?

３m ．

【例２】 计算:

(１)０．１２５１０×８１１; (２)１２５

１

３ ＋

１

２

æ

è

ç

ö

ø

÷

－２

＋３４３

１

３ －

１

２７

æ

è

ç

ö

ø

÷

－

１

３

．

【解】 (１)０．１２５１０×８１１＝(０．１２５×８)１０×８＝８;

(２)１２５

１

３ ＋

１

２

æ

è

ç

ö

ø

÷

－２

＋３４３

１

３ －

１

２７

æ

è

ç

ö

ø

÷

－

１

３

＝(５３)

１

３ ＋２２＋(７３)

１

３ －(３３)

１

３ ＝５＋４＋７－３＝１３．

?５?

【思路点拨】 积的乘方(ab)α ＝aα ?bα ,反过来也成立．

【变式训练２】 计算:

(１)(９a４)

１

２ ; (２)２５６

３

４ ×

１

４

æ

è

ç

ö

ø

÷

２

＋(２＋ ３)

０＋０．０１－

１

２ ．

【例３】 若７x ＝４,７y ＝２,则７２x－３y ＝ ．

【解析】 ７２x－３y ＝

７２x

７３y ＝

４２

２３＝

１６

８

＝２．

【思路点拨】 掌握实数指数幂的运算即可求解．

【变式训练３】 若５x ＝９,５y ＝３,则５２x－y ＝ ．

１．a

２

３ ?a

３

４ ÷a

５

６ 的值为 ( )

A．a

１

６ B．a

７

１２ C．a

２

７ D．a

３

５

２．化简[

３ (－５)２ ]

３

４ 的结果为 ( )

A．５ B．５ C．－ ５ D．－５

３．计算:４a

２

３b－

１

３ × －

２

３

a

１

３b

１

３

æ

è

ç

ö

ø

÷＝ ．

４．计算:０．０２７

１

３ ＋(π－ ２)

０－ ２－

１

２ ( )

３×２

１

２ [ ]

２．

５．用分数指数幂表示下列各式(a≥０)．

(１)a２? a; (２)a a ．

?６?

５．２ 指数函数

了解指数函数的定义,理解指数函数的图像和性质．

１．指数函数的定义

一般地,形如 的函数称为指数函数,其中常数a 称为指数函数的底数,指数

x 为自变量,x∈R．

２．指数函数的图像和性质

特点

图像

性质

定义域: ;值域:

图像过定点

在(－∞,＋∞)上是 函数 在(－∞,＋∞)上是 函数

当 时,０＜y＜１;

当 时,y＞１

当x＜０时, ;

当x＞０时,

知识点１ 指数函数的概念

【例１】 下列函数中是指数函数的是 ( )

A．y＝３×４x B．y＝πx C．y＝x６ D．y＝(－３)x

【解析】 A 选项,y＝３×４x 的系数不是１,不是指数函数;C选项,y＝x６不是指数函数;

D选项,y＝(－３)x 的底数为负数,不是指数函数;B选项,y＝πx 符合指数函数的概念,是指

数函数．故选 B．

【思路点拨】 明确指数函数概念中底数a 及系数需要满足的条件即可求解．

?７?

【变式训练１】 已知函数y＝(m２－２m－７)?(m＋１)x 是指数函数,求实数 m 的值．

知识点２ 指数函数的图像和性质

【例２】 在直角坐标系中,若０＜a＜１,则函数y＝

１

a

æ

è

ç

ö

ø

÷

x

的图像可能是 ( )

A B C D

【解析】 若０＜a＜１,则

１

a

＞１,所以函数y＝

１

a

æ

è

ç

ö

ø

÷

x

在 R 上是增函数,且过点(０,１)．故

选 C．

【思路点拨】 指数函数过定点(０,１),且单调性与其底数的大小有关．

【变式训练２】 指数函数y＝ax 经过点(２,１６),则其在 R上是 ( )

A．减函数 B．增函数 C．先增后减 D．先减后增

【例３】 比较下列各组数的大小:

(１)１．６０．１和１．６０．２; (２)０．７－０．１和０．７－０．２．

【解】 (１)考查指数函数y＝１．６x ．∵１．６＞１,∴y＝１．６x 是增函数,又０．１＜０．２,∴１．６０．１＜１．６０．２．

(２)考查 指 数 函 数 y＝０．７x ．∵０＜０．７＜１,∴y＝０．７x 是 减 函 数,又 －０．１＞ －０．２,

∴０．７－０．１＜０．７－０．２．

【思路点拨】 利用指数函数的单调性判断幂的大小,前提是两个幂的底数相同,而指数

不同．

【变式训练３】 比较下列各组数的大小:

(１)

３

４

æ

è

ç

ö

ø

÷

１

６

和

３

４

æ

è

ç

ö

ø

÷

１

５

;(２)a

１

３ 和a

１

２ (a＞０,a≠１)．

?８?

【例４】 解方程:５２x －３×５x －１０＝０．

【解】 令５x ＝t,则t２－３t－１０＝０,解得t＝－２或５,即５x ＝－２(舍去)或５x ＝５,所以

x＝１．

【思路点拨】 利用换元法将原方程变为一元二次方程,注意最后还要还原．

【变式训练４】 解方程:３２x＋１－２５×３x －１８＝０．

１．函数y＝ax－１＋２(a＞０且a≠１)的图像恒过定点 ( )

A．(１,０) B．(０,１) C．(１,２) D．(１,３)

２．函数y＝ １－３x 的定义域为 ( )

A．(－∞,０] B．(－∞,１) C．(－∞,１] D．(－∞,０)

３．函数y＝

１

３

æ

è

ç

ö

ø

÷

x

在 [－１,０] 上的最大值与最小值之差为 ( )

A．－３ B．３ C．２ D．－２

４．函数f(x)＝－２?４x ＋３的值域为 ．

５．已知y＝(m２－５m＋７)?(m－１)x 为指数函数,则 m 的值为 ．

６．解下列方程:

(１)２x２ ＝２２x－１; (２)

１

２

æ

è

ç

ö

ø

÷

x－１

＝２; (３)

４

３

æ

è

ç

ö

ø

÷

x

＝

３

４

æ

è

ç

ö

ø

÷

x２＋x－３

．

７．已知函数f(x)＝ax －２(a＞０且a≠１)的图像经过点 ２,

１

４

æ

è

ç

ö

ø

÷,求f(－１),f(０)和

f(３)的值．

?９?

５．３ 对 数

５．３．１ 对数的概念

了解对数的概念及性质;了解常用对数与自然对数的表示方法;了解指数与对数的

关系．

１．对数的概念

一般地,若ab ＝N(a＞０且a≠１),则称b 为以a 为底N 的对数,记作b＝logaN,其中

a 称为对数的 ,N 称为 ．

根据对数的定义,对数具有如下性质:

(１)loga１＝０;(２)logaa＝１．

２．指对互换

当a＞０且a≠１,N＞０时,指数式ab ＝N 与对数式logaN＝b 有如下关系:

ab ＝N⇔logaN＝b．

３．常用对数与自然对数

(１)通常把log１０N 称为 ,简记为 ．如log１０２简记为 ．

(２)以无理数e(e＝２．７１８２８?)为底的对数logeN 为 ,简记为 ．如

loge５简记为 ．

４．对数恒等式

当a＞０且a≠１,N＞０时,alogaN ＝N．如５log５２＝ ．

知识点１ 指数式与对数式的关系

【例１】 将下列的指数式写成对数式,对数式写成指数式．

(１)(０．０２７)

１

３ ＝０．３;(２)３－３＝

１

２７

;(３)log５２５＝２;(４)log４

１

６４

＝－３．

【解】 (１)(０．０２７)

１

３ ＝０．３可写成log０．０２７０．３＝

１

３

．

(２)３－３＝

１

２７

可写成log３

１

２７

＝－３．

?１０?

(３)log５２５＝２可写成５２＝２５．

(４)log４

１

６４

＝－３可写成４－３＝

１

６４

．

【思路点拨】 指数式和对数式进行互化时,要分清底数．

【变式训练１】 求下列各式中x 的值．

(１)log３２７＝x;(２)log５

１

２５

＝x．

知识点２ 对数的性质

【例２】 若log３(a－１)＝１,则a＝ ;若log３(b２－１)＝０,则b＝ ．

【解析】 由对数的性质可知a－１＝３,即a＝４．因为１的对数等于０,所以b２－１＝１,即

b＝± ２．

【思路点拨】 掌握对数的性质:logaa＝１,即底数的对数等于１;loga１＝０,即１的对数

等于０．

【变式训练２】 已知log３

４ (２x－１)＝０,则x＝ ．

知识点３ 对数的恒等式

【例３】 计算:２log２３×３log３２．

【解】 由对数的恒等式得２log２３×３log３２＝３×２＝６．

【思路点拨】 在a＞０且a≠１,N＞０的情况下alogaN ＝N．

【变式训练３】 计算:２２＋log２５＝ ．

知识点４ 常用对数和自然对数

【例４】 计算:lg１０＝ ;lg１００００＝ ;eln２＝ ;

elne＝ ．

【解析】 因为lg１０ 的 底 数 是 １０,所 以 底 数 的 对 数 等 于 １;因 为 １００００＝１０４,所 以

lg１００００＝４;因为ln２和lne的底数均是e,由对数恒等式可知eln２＝２,elne＝e．

【思路点拨】 了解常用对数和自然对数即可求解．

【变式训练４】 lg１００－lne

１

２ ＝ ．

?１１?

１．若log６x＝－２,则x＝ ( )

A．３６ B．－

１

３

C．

１

３６

D．－３

２．４－２＝

１

１６

写成对数式,正确的是 ( )

A．log４２＝

１

１６

B．log２４＝

１

１６

C．log１

１６４＝－２ D．log４

１

１６

＝－２

３．已知loga２＝m,loga５＝n,则am ?a２n 等于 ( )

A．１ B．２０ C．５０ D．５

４．计算: (３－π)２ ＋lne＝ ．

５．已知log２a＝３,则a２＝ ．

６．已知log２(x２－３x＋４)＝１,求x 的值．

?１２?

５．３．２ 积、商、幂的对数

了解积、商、幂的对数及运算法则．

对数的运算法则:

loga(MN)＝ ;loga

M

N

＝ ;logaMn ＝ ．

其中 M ＞０,N＞０,a＞０且a≠１,n 为任意实数．

知识点１ 积、商、幂的对数

【例１】 用lgx,lgy,lgz 表示下列各式(x,y,z 均为正数):

(１)lg(xyz); (２)lg

xy

z２ ; (３)lg

yz－２

x３ ．

【解】 (１)lg(xyz)＝lgx＋lgy＋lgz．

(２)lg

xy

z２ ＝lg(xy)－lgz２＝lgx＋lgy－２lgz．

(３)lg

yz－２

x３ ＝lg(yz－２)－lgx３＝lg y＋lgz－２－３lgx＝

１

２

lgy－２lgz－３lgx．

【思路点拨】 对数运算法则可以从右向左使用,要求是对数必须同底．这样,同底对数

的和等于底数相同的积的对数;同底对数的差等于底数相同的商的对数．

【变式训练１】 已知lg２＝a,lg３＝b,则lg１２０＝ ( )

A．１＋a＋b B．１＋a＋２b C．１＋２a＋b D．２＋２a＋b

【例２】 ２lg ５－lg４－

１

２ ＝ ．

【解析】 ２lg ５－lg４－

１

２ ＝lg(５)２＋lg ４＝lg５＋lg２＝lg１０＝１．

【思路点拨】 先化成同底,再利用对数的四则运算求解即可．

【变式训练２】 log３２７＋lg２５＋lg４＋log４２＝ ．

知识点２ 换底公式

【例３】 计算:lg

１

１００

－lne＋２log２３－log４２７?log９８＝ ．

?１３?

【解析】 原式＝lg１０－２－lne

１

２ ＋３－

lg３３

lg２２?

lg２３

lg３２＝－２－

１

２

＋３－

３

２

×

３

２

＝

１

２

－

９

４

＝－

７

４

．

【思路点拨】 根据对数的运算法则和换底公式即可化简求解．

【变式训练３】 计算:

(１)２lg４＋lg

５

８

＋log２５?log５４;

(２)lg

２５＋lg２×lg５００－

１

２

lg

１

２５

－log２９×log３２．

１．log３５１－log３１７＝ ( )

A．１ B．２ C．３ D．４

２．log３

９

１００

＋２log３１０＝ ( )

A．１ B．２ C．３ D．４

３．已知lg２＝n,lg３＝m,则lg

２

３

＝ ．

４．计算:log２ ２

５

３ ×２

４

６ ( ) ＝ ．

５．计算:

(１)１０lg３＋lg

３

５

＋

１

２

lg

５

３

;

(２)log２

１

２５

×log３

１

８

×log５

１

９

．

?１４?

５．４ 对数函数

了解对数函数的定义、图像和性质．

１．对数函数的定义

一般地,形如 的函数叫做对数函数．其中a 为常数．

２．对数函数的图像和性质

特点 a＞１ ０＜a＜１

图像

性质

定义域: ;值域:

图像过点

在(０,＋∞)上是 在(０,＋∞)上是

当０＜x＜１时, ;

当x＞１时,

当０＜x＜１时, ;

当x＞１时,

知识点１ 对数函数的图像

【例１】 已知函数f(x)＝loga(x－b)(a＞０且a≠１,a,b 为常数)的图像如图,则下列

结论正确的是 ( )

A．a＞０,b＜－１

B．a＞０,－１＜b＜０

C．０＜a＜１,b＜－１

D．０＜a＜１,－１＜b＜０

【解析】 因为函数f(x)＝loga(x－b)为减函数,所以０＜a＜１,又因为函数图像与x

?１５?

轴的交点在正半轴,所以x＝１＋b＞０,即b＞－１．又因为函数图像与y 轴有交点,所以b＜

０,所以－１＜b＜０．故选 D．

【思路点拨】 根据底数a 对对数型函数单调性的影响及图像的平移,即可求解．

【变式训练１】 在同一直角坐标系中,y＝３－x 与y＝log３x 的图像大致是 ( )

A B C D

知识点２ 对数函数的定义和性质

【例２】 求函数y＝ lg(２＋x)的定义域．

【解】 要使该函数有意义,必须满足

２＋x＞０,

{lg(２＋x)≥０,

即

x＞－２,

{lg(２＋x)≥lg１,

又因为y＝lgx

在定义域(０,＋∞)上是增函数,所以２＋x≥１,解得x≥－１,即函数的定义域为[－１,＋∞)．

【思路点拨】 求对数函数的定义域时,要考虑对数的底数与真数,底数要求大于０且不

等于１,真数要求大于０,这样函数式才有意义．

【变式训练２】 求函数y＝

lg(２－x)

x－１

的定义域．

【例３】 利用对数函数的性质,比较下列各组中两个数值的大小:

(１)log５３．４,log５３．８;(２)log３５,log６４．

【解】 (１)对数函数y＝log５x 在(０,＋∞)上是增函数,且３．４＜３．８,所以log５３．４＜

log５３．８．

(２)对数函数y＝log３x 与y＝log６x 在(０,＋∞)上都是增函数,所以log３５＞log３３＝１,

log６４＜log６６＝１,所以log３５＞log６４．

【思路点拨】 两个对数值比较大小,先看底数是否相同,若相同,根据函数的增减性比

较大小;若不同,则与０或１比较,分为大于０和小于０或大于１和小于１．

【变式训练３】 函数y＝loga－１x 在区间(０,＋∞)上是减函数,则实数a 的取值范围是

．

?１６?

１．已知log２x＞０,那么x 的取值范围是 ( )

A．(０,＋∞) B．(１,＋∞) C．(０,１) D．(－∞,１)

第２题图

２．设a,b 均是大于０且不等于１的常数,对数函数f(x)＝logax 与

g(x)＝logbx 在同一直角坐标系中的大致图像如图所示,则下列结论正

确的是 ( )

A．０＜b＜１＜a B．０＜a＜１＜b

C．０＜b＜a＜１ D．１＜b＜a

３．已知函数f(x)＝

１

１－x

的定义域为 M,g(x)＝ln(１＋x)的定义域为 N,则 M ∩N ＝

．

４．比较下列各组中两个数值的大小:

(１)log１

４

１

３

log１

４

３

２

;(２)ln３ ln５．

５．函数y＝log３(x２－x)的单调递增区间为 ．

６．已知对数函数y＝logax(a＞０,a≠１)的图像过点(４９,２)．

(１)求函数的解析式和函数的值域;

(２)求当x＝

１

７

,３４３,

１

４９

时的函数值．

?１７?

５．５ 指数函数与对数函数的应用

初步掌握从实际情境中抽象出指数函数、对数函数模型解决简单实际问题的方法．

１．指数模型

函数解析式可以写成y＝cax 的形式,其中c＞０为常数,底数a＞０且a≠１．函数模型y＝

cax 叫做指数模型．当a＞１时,叫做 模型;当０＜a＜１时,叫做 模型．

２．对数模型

函数解析式可以写成y＝mlogax 的形式,其中 m,a 为常数,m≠０,a＞０且a≠１．函数

模型y＝mlogax 叫做 模型．

知识点１ 指数函数模型

【例１】 某企业原来每月消耗某种试剂１０００kg,现进行技术革新,陆续使用价格较低

的另一种材料替代该试剂,使得该试剂的消耗量以平均每月１０％的速度减少,试建立试剂

消耗量y 与所经过的月份数x 之间的函数关系,并求出４个月后,该种试剂的月消耗量(精

确到０．１kg)．

【解】 设经过x 月试剂消耗量为y．

第１个月,y＝１０００×(１－１０％)＝１０００×０．９,

第２个月,y＝１０００×０．９×(１－１０％)＝１０００×０．９２,

第３个月,y＝１０００×０．９２×(１－１０％)＝１０００×０．９３,

??

则经过x 月试剂消耗量为y＝１０００×０．９x ．

当x＝４时,y＝１０００×０．９４＝６５６．１kg．

答:４个月后,该种试剂的月消耗量为６５６．１kg．

【思路点拨】 理解题意,建立目标函数,按要求解决数学问题即可．

?１８?

【变式训练１】 某机器设备原价值为５０万元,每年的折旧率为５％,问:经过多少年,这

个设备的价值不足４０万元(结果精确到整数)?

知识点２ 对数函数模型

【例２】 每年３月３日是国际爱耳日,２０２２年的主题是“关爱听力健康,聆听精彩未

来”．声强级Li是表示声强度相对大小的物理量,其值为y(单位:dB),定义Li＝１０lg

I

I０

,其

中I 为声场中某点的声强度,其单位为 W/m２(瓦/平方米),I０ 为基准值．如果飞机起飞时的

声音是１２０dB,两人轻声交谈I０＝１０－１２的声音是４０dB,那么前者的声强度是后者的声强

度的 倍． ( )

A．１０７ B．１０８ C．１０９ D．１０１０

【解析】 设声音是１２０dB 的声强度为I１,则１２０＝１０lg

I１

I０

,即I１＝I０?１０１２,声音是

４０dB的声强度为I２,则４０＝１０lg

I２

I０

,即I２＝I０?１０４,∴

I１

I２

＝

１０１２

１０４ ＝１０８,∴前者的声强度是

后者的声强度的１０８ 倍．故选 B．

【思路点拨】 利用代入法,结合指数式与对数式的互化公式进行求解即可．

【变式训练２】 声强级Li(单位:dB)与声强I(单位:W/m２)之间的关系是:Li＝１０lg

I

I０

,其

中I０ 指的是人能听到的最低声强,对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为１ W/m２,

对应的声强级为１２０dB,称为痛阈．某歌唱家唱歌时,声强级范围为[７０,８０](单位:dB),下列

选项中错误的是 ( )

A．闻阈的声强级为０dB

B．此歌唱家唱歌时的声强范围[１０－５,１０－４](单位:W/m２)

C．如果声强变为原来的２倍,对应声强级也变为原来的２倍

D．声强级增加１０dB,则声强变为原来的１０倍

１．某人２０１６年１月１日到银行存入一年期存款a 元,若年利率为x,并按复利计算,到

２０２３年１月１日可取款(不计利息税) ( )

A．a(１＋x)６元 B．a(１＋x)７元 C．a(１＋x)８元 D．a(１＋x７)元

?１９?

２．一种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩余物质为原来的

４

５

,要使剩余物

质是原来的

６４

１２５

,则需经过的年数为 ( )

A．２ B．３ C．４ D．５

３．中国的５G技术领先世界,５G技术的数学原理之一便是著名的香农公式C＝Wlog２ １＋

S

N

æ

è

ç

ö

ø

÷,

它表示在受噪声干扰的信道中,最大信息传递速率C 取决于信通带宽 W、信道内信号的平

均功率S、信道内部的高斯噪声功率 N 的大小,其中

S

N

叫做信噪比．当信噪比比较大时,公式

中真数中的１可以忽略不计,按照香农公式,由于技术提升,带宽 W 在原来的基础上增加

２０％,信噪比

S

N

从１０００提升至５０００,则C 大约增加了 ( )(附:lg２≈０．３０１０)

A．２３％ B．３７％ C．４８％ D．５５％

４．某城市现有人口总数为１００万人,如果年自然增长率为１．２％,则该城市人口总数y

(万人)与经过年数x(年)的函数关系式为 ．

５．里氏震级 M 的计算公式为:M ＝lgA－lgA０,其中 A 是测振仪记录的地震曲线的最

大振幅,A０是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中,测震仪测得A＝１００,A０＝０．０１,则

这次地震的震级为 级．

６．某种动物的数量y(单位:只)与时间x(单位:年)的函数关系式为y＝alog２(x＋１),

若这种动物第１年有１００只,求第７年它们的数量．

?２０?

本章小结

【难点１】 计算:(１)－

６

７

æ

è

ç

ö

ø

÷

０

－８０．２５×

４２＋２７

２

３ －

１

２

æ

è

ç

ö

ø

÷

－２

;

(２)(lg２)２＋lg５×lg２０＋lg０．１．

【解】 (１)原式＝１－２

３

４ ×２

１

４ ＋(３３)

２

３ －２２＝１－２＋９－４＝４．

(２)(lg２)２＋lg５×lg２０＋lg０．１＝(lg２)２＋lg５×lg(１０×２)＋lg１０－１＝(lg２)２＋lg５＋

lg５lg２－１＝(lg２＋lg５)lg２＋lg５－１＝lg２＋lg５－１＝１－１＝０．

【思路点拨】 依据对数、实数指数幂的运算法则即可求解．

【变式训练１】 计算:(１)

１

２

æ

è

ç

ö

ø

÷

log２５

＋log３９－０．０２７－

１

３ ;

(２)已知a

１

２ ＋a－

１

２ ＝３,求

a＋a－１＋２

a２＋a－２－２

．

?２１?

【难点２】 求函数y＝

１

２

æ

è

ç

ö

ø

÷

x

－１＋lg(x＋３)的定义域．

【解】 由题意得

１

２

æ

è

ç

ö

ø

÷

x

－１≥０,

x＋３＞０

ì

î

í

ï

ï

ï

ï

⇒

１

２

æ

è

ç

ö

ø

÷

x

≥１＝

１

２

æ

è

ç

ö

ø

÷

０

,

x＞－３

ì

î

í

ï

ï

ï

ï

⇒

x≤０,

{x＞－３

⇒－３＜x≤０．∴函数的

定义域为(－３,０]．

【思路点拨】 求复合函数的定义域,要注意观察分母、偶次根式,对数的底数、真数等方

面,再结合指数函数和对数函数的单调性求解．

【变式训练２】 求下列函数的定义域:

(１)y＝ log４(３x－１)＋

１

５－３x

;

(２)y＝log１

３ (２x２－９x－５)＋ １６－２x．

【难点３】 已知函数f(x)＝

ax －１

ax ＋１

(a＞０,且a≠１)．

(１)若f(２)＝

３

５

,求f(x)解析式;

(２)讨论f(x)奇偶性．

【解】 (１)∵f(x)＝

ax －１

ax ＋１

,f(２)＝

３

５

,∴

a２－１

a２＋１

＝

３

５

,又a＞０,∴a＝２,即f(x)＝

２x －１

２x ＋１

．

(２)因为f(x)的定义域为R,且f(－x)＝

a－x －１

a－x ＋１

＝

１－ax

１＋ax＝－f(x),所以f(x)是奇函数．

【思路点拨】 (１)根据f(２)＝

３

５

,代入求参数,确定函数的解析式;(２)依据f(x)与

f(－x)之间的关系,判断其奇偶性．

【变式训练３】 已知函数f(x)＝

１

３x ＋１

－

１

２

．

(１)判断f(x)的奇偶性;

(２)用定义法证明f(x)是定义域内的减函数．

?２２?

【难点４】 已知函数f(x)＝ln

x－１

x＋１

．

(１)判断函数f(x)的奇偶性;

(２)判断函数f(x)的单调性;

(３)若f(m２＋２)＞f(２m２),求实数 m 的取值范围．

【解】 (１)由

x－１

x＋１

＞０得,x＜－１或x＞１,又f(－x)＝ln

－x－１

－x＋１

＝ln

x＋１

x－１

＝－ln

x－１

x＋１

＝

－f(x),所以函数f(x)是奇函数．

(２)由(１)知,函数f(x)的定义域为(－∞,－１)∪(１,＋∞),令t＝

x－１

x＋１

＝１－

２

x＋１

,其

在(１,＋∞)上单调递增,又y＝lnt 在(０,＋∞)上单调递增,根据复合函数的单调性可知

f(x)在(１,＋∞)上单调递增．又根据(１)可得f(x)是奇函数,所以其在(－∞,－１)上单调

递增．综上,函数f(x)分别在(－∞,－１)和(１,＋∞)上单调递增．

(３)易知m２≥２,２m２≥０．∵f(m２＋２)＞f(２m２),且函数f(x)在(１,＋∞)上单调递增,∴m２＋

２＞２m２＞１,解得－ ２＜m＜－

２

２

或

２

２

＜m＜ ２,即m 的取值范围是 － ２,－

２

２

æ

è

çç

ö

ø

÷÷∪

２

２

,２

æ

è

çç

ö

ø

÷÷．

【思路点拨】 (１)依据f(x)与f(－x)之间的关系,判断其奇偶性;(２)令t＝

x－１

x＋１

,则

y＝lnt,利用复合函数的单调性判断;(３)利用函数单调性解不等式即可．

【变式训练４】 已知函数f(x)＝log２ ax２＋(a－２)x＋

１

４

é

ë

ê

ê

ù

û

ú

ú．

(１)若定义域为 R,求实数a 的取值范围;

(２)若值域为 R,求实数a 的取值范围．

１．把根式a a化成分数指数幂是 ( )

A．(－a)

３

２ B．－(－a)

３

２ C．－a

３

２ D．a

３

２

２．下列函数在其定义域上单调递减的是 ( )

A．y＝(１－x)２ B．y＝

１

x

C．y＝２－x D．y＝lnx

３．y＝loga(３－x)＋loga(３＋x)的定义域为 ．

?２３?

４．四人赛跑,假设四人跑过的路程与时间的函数关系分别是:①f１(x)＝x２;②f２(x)＝４x;

③f３(x)＝log２x;④f４(x)＝２x ．如果他们一直跑下去,最终跑在最前面的人具有的函数关

系是 (只要填序号)．

５．求下列各式的值:

(１)log２ log２１６－log２

５

８

＋log２１０

æ

è

ç

ö

ø

÷;

(２)(８)

－

２

３ ×(

９１０４ )

９

２ ÷ ５０．

６．已知指数函数y＝ax (a＞０且a≠１)的图像过点 １,

１

２

æ

è

ç

ö

ø

÷．

(１)求函数y＝f(x)的解析式;

(２)若不等式满足f(２x＋１)＞１,求x 的取值范围．

７．按复利计算利息的一种储蓄,本金为a 元,每期利率为r．

(１)设本利和为y,存期为x,写出本利和y 随存期x 变化的函数解析式;

(２)如果存入本金１０００元,每期利率为２．２５％,试计算５期后的本利和是多少(精确

到１元)?

?２４?

第６章 直线与圆的方程

６．１两点间距离公式和线段中点坐标公式:掌握两点间距离公式与线段的中点坐标公式．

６．２直线方程:理解直线的倾斜角与斜率的概念;掌握直线斜率的计算方法;掌握直线的

点斜式和斜截式方程;了解直线的一般形式;掌握直线的点斜式方程化为一般式方程的方

法,掌握直线的斜截式方程与一般式方程之间的转化．

６．３两条直线的位置关系:掌握求两条相交直线交点坐标的方法;理解两条直线平行的

条件;掌握两条直线平行的判定方法;理解两条直线垂直的条件;掌握两条直线垂直的判定

方法;了解点到直线的距离公式．

６．４圆:掌握圆的标准方程;了解二元二次方程表示圆的条件和圆的一般方程．

６．５直线与圆的位置关系:理解直线与圆的位置关系及判定方法;初步掌握直线与圆相

交时弦长的求法及圆切线方程的求法．

６．６直线与圆的方程应用举例:初步掌握用直线与圆的方程解决实际问题的方法．

６．１ 两点间距离公式和线段的中点坐标公式

掌握两点间距离公式与线段的中点坐标公式．

１．两点间距离公式

已知平面内任意两点A(x１,y１),B(x２,y２),则平面内两点间的距离公式为 ．

２．中点坐标公式

已知点A(x１,y１)和B(x２,y２)且线段AB 的中点为 M(x０,y０),则有x０＝ ,

y０＝ ．

知识点１ 两点间距离公式

【例１】 求A(－３,１),B(２,－５)两点间的距离．

【解】 A,B 两点间的距离为 AB ＝ (x１－x２)２＋(y１－y２)２ ＝ (－３－２)２＋[１－(－５)]２ ＝

６１．

?２５?

【思路点拨】 使用两点间距离公式即可求解．

【变式训练１】 在平面直角坐标系中,已知P(－３,－４),Q(２,１),求|PQ|．

【例２】 在平面直角坐标系中,已知点P(－１,－１),Q(b,５),且|PQ|＝１０,求b 的值．

【解】 |PQ|＝ (x１－x２)２＋(y１－y２)２ ＝ (－１－b)２＋(－１－５)２ ＝１０,解得b＝７或

b＝－９．

【思路点拨】 使用两点间距离公式,然后求出b 的值．

【变式训练２】 已知点A(２,１),B(５,y),且|AB|＝５,求y 的值．

知识点２ 线段的中点坐标公式

【例３】 已知点A(１,－２),点B(３,５),求线段AB 的中点Q 的坐标．

【解】 根据线段的中点坐标公式可得,x０＝

x１＋x２

２

＝

１＋３

２

＝２,y０＝

y１＋y２

２

＝

－２＋５

２

＝

３

２

,故Q 的坐标为 ２,

３

２

æ

è

ç

ö

ø

÷．

【思路点拨】 应用线段中点坐标公式即可．

【变式训练３】 已知C(－５,－１０),D(－９,２)为坐标平面上的两点,求线段CD 的中点

坐标．

【例４】 若△ABC 的顶点坐标A(１,４),B(－２,－１),C(４,７),求 BC 边上的中线AD

的长．

【解】 设BC 边上的中点D 的坐标为(x,y),则x＝

x１＋x２

２

＝

－２＋４

２

＝１,y＝

y１＋y２

２

＝

－１＋７

２

＝３,即D 点的坐标为(１,３),由两点间的距离公式得 AD ＝ (１－１)２＋(４－３)２ ＝１．

?２６?

【思路点拨】 利用线段的中点坐标公式先求出点 D 坐标,然后利用两点间的距离公式

求出AD 的长．

【变式训练４】 求下列两点之间的距离,以及以两点为端点的线段的中点坐标．

(１)A(５,４)和B(－２,０);

(２)C(２,－５)和 D(２,３);

(３)E(－３,－１)和F(５,７)．

１．点(a,b)到(０,b)的距离是 ( )

A．a B．|a| C．b D．|b|

２．已知点P(３,４)与Q 关于M(１,－２)对称,则点Q 的坐标是 ．

３．已知点Q(４,n)是点P(m,２)和点R(３,８)连线的中点,则 m＋n＝ ．

４．已知△ABC 的顶点A(２,３),B(－１,０),C(２,０),求△ABC 的周长．

５．若△ABC 的顶点坐标A(２,１),B(－２,３),C(０,－１),求此三角形三条中线的长度．

?２７?

６．２ 直线的方程

６．２．１ 直线的倾斜角与斜率

理解直线的倾斜角与斜率的概念;掌握直线斜率的计算方法．

１．直线的倾斜角

当直线l与x 轴相交时,直线l向上的方向与x 轴正方向所成的最小正角α,称为直线l

的倾斜角．当直线l与x 轴平行或重合时,规定倾斜角α＝ ．

直线l的倾斜角α 的取值范围是 ．

２．直线的斜率

在平面直角坐标系中,若直线l的倾斜角为α,称倾斜角αα≠

π

２

æ

è

ç

ö

ø

÷ 的 为直线

l的斜率,用小写字母k 表示,即k＝ α≠

π

２

æ

è

ç

ö

ø

÷．当α＝

π

２

时,直线l与x 轴垂直,此

时直线的斜率不存在．

３．直线的斜率公式

设点 P１(x１,y１)和 P２(x２,y２)为直线上任意两点,且x１≠x２,则直线的斜率为k＝

．

知识点 直线的倾斜角与斜率

【例１】 根据直线的斜率求倾斜角,或根据倾斜角求直线的斜率．

(１)直线的倾斜角为

π

６

;

(２)直线的斜率为－１;

(３)直线的倾斜角为

π

２

．

【解】 (１)直线的斜率为k＝tan

π

６

＝

３

３

．

(２)由题意可知tanα＝－１,且０≤α＜π,因此α＝

３π

４

．

?２８?

(３)斜率不存在．

【思路点拨】 通过倾斜角与斜率的定义计算求解．

【变式训练１】 根据直线的斜率求倾斜角,或根据倾斜角求直线的斜率．

(１)直线的斜率为０;

(２)直线的倾斜角为

２π

３

．

【例２】 已知点A(３,２),B(１,４),求直线AB 的斜率和倾斜角．

【解】 设直线AB 的斜率为k,倾斜角为α,则k＝

y２－y１

x２－x１

＝

４－２

１－３

＝－１,所以tanα＝－１,

又因为０≤α＜π,所以α＝

３π

４

,所以该直线的斜率为－１,倾斜角为

３π

４

．

【思路点拨】 先通过斜率公式求斜率,然后再由斜率求出直线的倾斜角．

【变式训练２】 求过下列两点的直线的斜率k 及倾斜角α．

(１)P１(２,３),P２(２,８);

(２)P１(１０,－４),P２(－４,－４);

(３)P１(－３,－２),P２(３,４)．

【例３】 若三点A(２,２),B(a,７),C(－２,－６a)在同一条直线上,求a 的值．

【解】 由三点共线可知kAB＝kAC＝kBC,即

７－２

a－２

＝

－６a－２

－２－２

＝

－６a－７

－２－a

,解得a＝３或a＝－

４

３

．

【思路点拨】 由三点共线可知任意两点对应的直线的斜率都相等．

【变式训练３】 已知A(１,５),B(０,a),C(２,３a＋２)三点共线,求a 的值．

?２９?

１．若直线l经过第二、四象限,则直线l的倾斜角范围是 ( )

A．０≤α＜

π

２

B．

π

２

≤α＜π C．

π

２

＜α＜π D．０＜α＜π

２．已知点A(３,５),B(－１,－３),则直线AB 的斜率k＝ ( )

A．２ B．１ C．

１

２

D．不存在

３．已知直线l的倾斜角为１２０°,则直线l的斜率为 ( )

A．３ B．

３

３

C．－

３

３

D．－ ３

４．过点P(－２,m),Q(m,４)的直线的斜率为１,那么 m 的值为 ．

５．已知三点A(１,１),B(－１,－５),C(－a＋１,２a)共线,求a 的值．

６．经过点A(１－t,１＋t)和点B(３,２t)的直线的倾斜角为α．求如下条件下实数t的取

值范围．

(１)α 为锐角;(２)α 为直角;(３)α 为钝角．

?３０?

６．２．２ 直线的点斜式方程与斜截式方程

掌握直线的点斜式和斜截式方程．

１．已知直线过点P(x０,y０),且斜率为k,则直线的点斜式方程为 ．

２．已知直线过点P(x０,y０),且斜率不存在,则直线的方程为 ．

３．把直线l 与y 轴交点(０,b)的纵坐标b 称为直线l 在y 轴上的截距,与x 轴交点

(a,０)的横坐标a 称为直线l在x 轴上的截距．

４．已知直线的斜率为k,在y 轴上的截距为b,则直线的斜截式方程为 ．

知识点１ 直线的点斜式方程

【例１】 一条直线经过点P(３,４),倾斜角α＝４５°,求这条直线的方程．

【解】 斜率k＝tan４５°＝１,代入点斜式方程,得y－４＝x－３,即y＝x＋１．

【思路点拨】 已知直线上一点和直线的斜率或倾斜角,利用点斜式方程求出直线方程．

【变式训练１】 求满足下列条件的直线方程．

(１)过点A(２,－１),倾斜角是６０°;

(２)过点A(２,－１),倾斜角是９０°．

【例２】 已知直线l经过两点A(２,３),B(－１,６),求直线l的方程．

【解】 直线方程的斜率kAB ＝

y２－y１

x２－x１

＝

６－３

－１－２

＝－１,代入点斜式方程得y－３＝－(x－２),

即y＝－x＋５．

【思路点拨】 先通过两点坐标求出直线斜率,然后再代入点斜式方程求解即可．

?３１?

【变式训练２】 求经过下列两点的直线方程．

(１)A１(２,１),B１(２,－３);

(２)A２(０,５),B２(５,５);

(３)A３(－４,－５),B３(０,３)．

知识点２ 直线的斜截式方程

【例３】 求经过点(８,－６)且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程．

【解】 设直线在x 轴与y 轴上的截距分别为a,b,当a≠０,b≠０时,设y＝kx＋b,则满

足

０＝ak＋b,

－６＝８k＋b,

|a|＝|b|,

ì

î

í

ï

ï

ï

ï

解得

a＝２,

{b＝２

或

a＝１４,

{b＝－１４,

所以直线方程为y＝－x＋２或y＝x－１４;当a＝

b＝０时,k＝

－６－０

８－０

＝－

３

４

,所以直线方程为y＝－

３

４

x．综上所述,所求直线方程为y＝－x＋

２,y＝x－１４或y＝－

３

４

x．

【思路点拨】 本题需要考虑截距为零与截距不为零两种情况,然后通过斜截式方程列

出方程组求解即可．

【变式训练３】 求过点P(１,－１),在x 轴和y 轴上的截距分别为a,b,且满足a＝－２b

的直线方程．

１．方程y＝k(x－３)表示 ( )

A．通过点(－３,０)的所有直线 B．通过点(３,０)的所有直线

C．通过点(３,０)且不垂直于x 轴的直线 D．通过点(３,０)且不平行于x 轴的直线

?３２?

２．下列方程中,直线斜率为５,截距为２的方程是 ( )

A．３x＋５y＝０ B．y＝５x＋２ C．２y＝x＋５ D．y＝２x＋５

３．经过点(２,１)且垂直于y 轴的直线l的方程为 ( )

A．x＝２ B．y＝１ C．x＝１ D．y＝２

４．已知点A(－４,０),B(２,８),C(６,０),求△ABC 的BC 边上中线所在的直线方程．

５．分别求满足下列各条件的直线方程．

(１)经过点(２,４),斜率为３;

(２)经过点(－１,３)与点(２,０);

(３)倾斜角为

π

６

,在y 轴上的截距为１．

?３３?

６．２．３ 直线的一般式方程

了解直线方程的一般式;掌握直线的点斜式方程、斜截式方程化为一般式方程的方法．

直线的一般式方程:

形如 (A,B 不同时为０)的二元一次方程叫作直线的一般式方程．

知识点 直线的一般式方程

【例１】 将方程y－５＝２(x－２)化为直线的一般式方程,并分别求出该直线在x 轴与y

轴上的截距．

【解】 由y－５＝２(x－２)得２x－y＋１＝０．这就是直线的一般式方程．在方程中令y＝

０,则x＝－

１

２

,故直线在x 轴上的截距为－

１

２

;令x＝０,则y＝１,故直线在y 轴上的截距

为１．

【思路点拨】 直线的一般式方程与点斜式方程的转化

【变式训练１】 将方程y＝－

１

３

x＋

５

６

化为直线的一般式方程,并求出该直线在y 轴上

的截距．

【例２】 设直线l的方程为(m２－２m－３)x＋(２m２＋m－１)y－２m＋６＝０,(m≠－１),

根据下列条件分别确定 m 的值．

(１)在x 轴上的截距是－３;

(２)斜率是１．

【解】 (１)令y＝０,x＝

２

m＋１

,所以

２

m＋１

＝－３,解得 m＝－

５

３

．

(２)因为直线的斜率为k＝－

A

B

＝－

m２－２m－３

２m２＋m－１

＝１,解得 m＝

４

３

或 m＝－１(舍去)．

?３４?

【思路点拨】 题中涉及求直线截距,应注意截距是否能为零,这是求截距类问题最容易

出现疏漏的点．

【变式训练２】 设直线l的方程为(m２－２m－３)x＋(２m２＋m－１)y－２m＋６＝０．

(１)当直线l经过定点P(１,０)时,求 m 的值;

(２)倾斜角为直角,求 m 的值．

１．将方程y＋１＝－

４

３

(x－２)化成一般式方程是 ( )

A．３x＋４y－５＝０ B．３x＋４y＋５＝０ C．４x＋３y－５＝０ D．４x＋３y＋５＝０

２．倾斜角为

３π

４

,且纵截距为５的直线的一般式方程为 ( )

A．x＋y＋５＝０ B．x－y－５＝０ C．x＋y－５＝０ D．x－y＋５＝０

３．直线l的方程为x－y＋６＝０,那么直线l的斜率是 ,倾斜角是 ,

在y 轴上的截距是 ,在x 轴上的截距是 ．

４．直线(２a２－５a＋２)x－(a２－４)y＋５a＝０的倾斜角为１３５°,则a 的值为 ．

５．求斜率是－

１

２

,经过点(２,０)直线方程,并化为一般式．

６．求满足下列条件的直线的一般式方程:

(１)斜率为４,在y 轴上的截距为－２;

(２)斜率为 ３,且经过点A(５,３)．

?３５?

６．３ 两条直线的位置关系

６．３．１ 两条直线平行

理解两条直线平行的条件;掌握两条直线平行的判定方法．

１．直线l１:y＝k１x＋b１ 与直线l２:y＝k２x＋b２,

(１)当k１ k２,且b１ b２时,两条直线平行;

(２)当k１ k２,且b１ b２时,两条直线重合;

２．当两条直线的斜率都 时,两条直线也平行．

知识点１ 直线平行的条件

【例１】 求过点(１,－４),且与直线２x＋３y＋５＝０平行的直线方程．

【解】 直线２x＋３y＋５＝０化为斜截式方程为y＝－

２

３

x－

５

３

．设所求直线方程为y＝

－

２

３

x＋b,由于所求直线过点(１,－４),由此可解得b＝－

１０

３

,故所求直线方程为y＝－

２

３

x－

１０

３

,即２x＋３y＋１０＝０．

【思路点拨】 由已知直线可求得斜率,结合已知点用点斜式即可写出所求直线的方程．

【变式训练１】 过点(－３,４),且与直线２x－y＝１平行的直线方程是 ．

知识点２ 直线平行的判定

【例２】 已知直线l１:２x－４y＋７＝０,l２:x－２y＋５＝０．求证:l１∥l２．

【证明】 直线l１ 的方程化为斜截式方程为y＝

１

２

x＋

７

４

,直线l２ 的方程化为斜截式方

程为y＝

１

２

x＋

５

２

．因此直线l１ 的斜率k１＝

１

２

,截距b１＝

７

４

,直线l２ 的斜率k２＝

１

２

,截距b２＝

５

２

,因为k１＝k２ 且b１≠b２,所以l１∥l２．

?３６?

【思路点拨】 两条直线平行的判定．

【变式训练２】 根据以下条件,判断直线l１ 与直线l２ 是否平行:

(１)直线l１ 的方程为y＝２x＋３,直线l２ 经过点A(１,２),B(４,８);

(２)直线l１ 的斜率为

１

２

,直线l２ 在x 轴、y 轴的截距分别是２和４．

１．直线２x＋４y＋１＝０与直线x＋２y＋３＝０的位置关系是 ( )

A．垂直 B．平行 C．相交 D．以上都不正确

２．经过直线２x－y－５＝０与３x＋４y－２＝０的交点,且与直线４x－y＋３＝０平行的直

线方程是 ( )

A．４x－y－７＝０ B．４x－y－９＝０ C．x＋４y－２＝０ D．x＋４y＋２＝０

３．已知l１:x＋k＋２y＋３＝０,l２:(k－２)x＋４y＋６＝０,若l１∥l２,则k＝ ( )

A．２ B．－２ C．±２ ２ D．± ２

４．已知直线l１ 经过点(１,－１)和(－１,２),且与直线l２:(m－１)x＋(３m＋４)y－５＝０

平行,则 m 的值为 ．

５．求经过点A(３,２),且与直线y＝３x＋１０平行的直线方程．

?３７?

６．３．２ 两条直线相交

掌握求两条相交直线的交点坐标的方法;理解两条直线垂直的条件,掌握两条直线垂直

的判定方法．

１．若两条直线l１和l２相交,且斜率k１与k２都存在,则k１ k２;

２．若直线l１的斜率存在,而直线l２的斜率不存在,则直线l１与直线l２ ;

３．直线l１与l２ ,交点P０的坐标(x０,y０)同时满足两条直线的方程．因此,两

条直线的交点的坐标就是两条直线的方程组成的方程组的 ;

４．若两条直线l１ 与l２ 垂直且斜率k１ 和k２ 都存在,则k１k２＝ ．反之,若两条

直线l１ 与l２ 的斜率k１ 和k２ 都存在且k１k２＝ ,则直线l１ 与l２ 垂直;

５．斜率为 的直线与斜率不存在的直线垂直．

知识点１ 两条直线相交

【例１】 直线２x－y＝７与直线３x＋２y－７＝０的交点坐标为 ．

【解析】 解方程组

２x－y＝７,

{３x＋２y－７＝０,

得

x＝３,

{y＝－１,

所以两直线的交点坐标为(３,－１)．

【思路点拨】 求两条直线的交点,联立方程组求解即可．

【变式训练１】 分别判断下列直线是否相交,若相交,求出它们的交点．

(１)l１:２x－６y＋４＝０和l２:４x－１２y＋８＝０;

(２)l１:４x＋２y＋４＝０和l２:y＝－２x＋３．

?３８?

知识点２ 两条直线垂直

【例２】 过点(１,３)与３x＋y＝１垂直的直线方程为 ．

【解析】 直线３x＋y＝１的斜率k１＝－３,所求直线与３x＋y＝１垂直,则斜率为

１

３

,又

直线过点(１,３),所以直线方程为y－３＝

１

３

(x－１),即x－３y＋８＝０．

【思路点拨】 已知两直线垂直,利用斜率乘积为－１求出斜率,再结合点斜式方程即可

解决问题．

【变式训练２】 过点(－１,２)与x－２y＋１＝０垂直的直线方程为 ．

１．直线３x＋y－４＝０与直线x－３y＋４＝０的位置关系为 ( )

A．垂直 B．相交但不垂直

C．平行 D．重合

２．过点(－１,３)且垂直x＋２y＋

１

２

＝０的直线方程为 ( )

A．２x－y＋５＝０ B．２x－y－５＝０

C．x－２y－５＝０ D．－２x－y－５＝０

３．与直线x－３y＋２＝０垂直,且在x 轴上截距为２的直线l的方程是 ．

４．直线－３x＋y－６＝０与直线x－my＋２＝０垂直,则 m＝ ．

５．已知直线l１:x＋２y＋３＝０与直线l２:３x＋(a－１)y＝－７＋a,求使得l１⊥l２ 的a

的值．

?３９?

６．３．３ 点到直线的距离

了解点到直线的距离公式．

１．点到直线的距离公式

(１)点P(x０,y０)到直线l:Ax＋By＋C＝０的距离d＝ ;

注意:(１)公式中的直线方程必须化为 ．

(２)分子带绝对值,分母是根式 A２＋B２ ;

(３)当A＝０或B＝０时公式成立(A,B 不全为０)．

２．两条平行直线间的距离

先在其中一条直线上取一个数值比较简单的坐标,然后利用点到直线的距离公式,求出

这个点到另一条直线的距离即可．

注意:当直线l１:Ax＋By＋C１＝０,l２:Ax＋By＋C２＝０,且C１≠C２时,两平行直线的

距离公式d＝ ．

知识点１ 点到直线的距离公式

【例１】 点P(２,２)到直线l１:３x＋４y－４＝０的距离为 ．

【解析】 由点到直线的距离公式可得点P(２,２)到直线l１:３x＋４y－４＝０的距离d＝

|２×３＋２×４－４|

３２＋４２ ＝２．

【思路点拨】 直接利用点到直线距离公式即可得到相应的距离．

【变式训练１】 已知点A(１,０),直线l:x－y＋１＝０,则点A 到直线l的距离为( )

A．１ B．２ C．２ D．２ ２

知识点２ 两条平行线间的距离

【例２】 若直线l１与l２:３x－４y－２＝０平行且距离为２,求直线l１的方程．

【解】 设所求直线为３x－４y＋m ＝０,由题意可得d＝

－２－m

３２＋４２ ＝２,解得 m ＝８或

m＝－１２,所以所求的直线方程为３x－４y＋８＝０或３x－４y－１２＝０．

?４０?

【思路点拨】 根据平行设立直线,利用两平行直线间距离公式构造方程,进而得到所求

直线．

【变式训练２】 两条平行直线３x＋４y－１２＝０与ax＋８y＋１１＝０之间的距离为 ( )

A．

２３

５

B．

２３

１０

C．７ D．

７

２

１．点(１,－１)到直线y＝１的距离是 ( )

A．２ B．

２

２

C．３ D．２

２．点P(２,m)到直线l:３x－４y＋６＝０的距离为０,则 m＝ ( )

A．０ B．－３ C．３ D．

１

２

３．已知直线x－２y＋１＝０与直线２x－my－２m＝０平行,则它们之间的距离为 ( )

A．５ B．

３ ５

５

C．

９ ５

５

D．４

４．原点到直线x＋２y－５＝０的距离为 ．

５．动点P 在直线x＋y－４＝０上,O 为原点,则|OP|的最小值为 ．

６．求经过直线５x＋５y－２４＝０和x－y＝０的交点,且与原点距离为

１２

５

的直线方程．

?４１?

６．４ 圆

６．４．１ 圆的标准方程

１．了解圆的定义．

２．掌握圆的标准方程．

１．圆的标准方程为 ,其中圆心坐标为 ,半径为 ．

２．点与圆的位置关系

(１)点到圆心的距离 半径,点在圆内;

(２)点到圆心的距离 半径,点在圆上,即点的坐标满足圆的方程;

(３)点到圆心的距离 半径,点在圆外．

知识点 圆的标准方程

【例１】 试求以A(０,４)为圆心,半径为６的圆的方程,并判断点P(３,６)与所求圆的位

置关系．

【解】 因为圆心为 A(０,４),半径为６,所以圆的标准方程为x２ ＋(y－４)２ ＝３６．因为

|AP|＝ (３－０)２＋(６－４)２ ＝ １３＜６,所以点在圆内．

【思路点拨】 通过圆心和半径求出圆的标准方程,并判断点与圆的位置关系．

【变式训练１】 点P(１,３)与圆x２＋y

２＝２４的位置关系是 ( )

A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定

【例２】 (１)写出圆心为A(２,３),半径为４的圆的方程,并判断点 M(５,５),N(６,３)是

否在这个圆上;

(２)求圆心是C(２,－３),且经过原点的圆的方程．

【解】 (１)∵圆心为 A(２,３),半径为４,∴该圆的标准方程为(x－２)２＋(y－３)２＝１６．

把点 M(５,５)代入方程的左边,(５－２)２＋(５－３)２＝３２＋２２＝１３＜１６,即点 M(５,５)的坐标不

适合方程,∴点 M 不是这个圆上的点,把点 N (６,３)的坐标代入方程的左边,(６－２)２ ＋

(３－３)２＝１６,即点 N(６,３)的坐标适合圆的方程,∴点 N 在这个圆上．

?４２?