目录 高效作业（1)/

高效作业 1° 第1讲实数及其运算 2
高效作业3第3讲 因式分解
高效作业5? 第5讲 一次方程(组)及其应用 6
高效作业7 第7讲 分式方程及其应用 8
高效作业9第9讲 平面直角坐标系与函数 10
高效作业 11° 第11讲 反比例函数 13
高效作业13〉第13讲 二次函数的图象与性质(二) 16
高效作业15? 第15讲 线段、角、相交线与平行线 19
高效作业17? 第17讲 等腰三角形与等边三角形 22
高效作业19? 第19讲 相似三角形(1) 25
高效作业21 第21讲 锐角三角函数 28
高效作业23第23讲 多边形与平行四边形 31
高效作业25 第25讲 菱形 34
高效作业27 第27讲 圆的基本性质 37
高效作业29 第29讲 扇形弧长与面积、圆锥的侧面积与全面积 40
高效作业31 第31讲 投影、视图与展开图 43
高效作业33第33讲 统计及其应用 46
2025浙江中考提优小卷（一） 49
2025浙江中考提优小卷（三） 53
2025浙江中考提优小卷（五) 57
2025浙江中考提优小卷（七) 61

第1讲 实数及其运算

熟知教材与迁移

1.实数 ，－√5,2，－3中,为负整数的是 1

A. -{(1)/(2)} B. -√5 C.2 D.-3

2.如图，数轴上的单位长度为1,有三个点 A,B,C ,若点 A,B 表示的数互为相反数，则图中点 C 对应的数是(

A.3.0x10^{5} B.3.0x10^{6} C,3.0x10^{7} D.\ 0.3x10^{6}

5.下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是 (

A. √(8) 与 √(3) B. √(2) 与 √(12) C. √(5) 与 √(15) D. √(75) 与 √(27)

6.下列根式中，是最简二次根式的是(

A.-2
B.0
C.1
D. 4

3. ⟨⟨x⟩x 省农村生活垃圾分类志愿服务工作方案》明确，到2024年底，全省农村生活垃圾分类注册志愿者人数力争达到30万人，数据300000用科学记数法表示为 （ ）

A.{√(/{1{9)}}} B. √(4)
C. √(a^{2)} D. √(a+b)

7.下列计算中正确的是 Y

A.~(-√(3))^{2}=-3
B. {√(12)}=2{√(3)}
C. {sqrt[3]{-1}}=1
D.\left({√(2)}+1\right)\left({√(2)}-1\right)=3

8.已知某快递公司的收费标准为：寄一件物品不超过5千克，收费13元；超过5千克的部分每千克加收2元.圆圆在该快递公司寄一件8千克的物品,需要付费 X

A.17元 B.19元C.21元 D.23元

9.计算： 2x2^{-1}=

10.若实数 \mathbf{α}_{a} 的立方等于27，则 a=

15.计算：（1） \left|-2\ 021\right|+(-3)°-√(4) ：

[B 掌握通性与通法

11.无理数 a-√(2)\left(a>1\right. 且为正整数)的整数部分是 b ，小数部分是 \mathbf{\Psi}_{c} ，则下列关系式中一定成立的是 (

A. c-b<0 H \ 3.\ a-b>0 C. \scriptstyle a=b+c D. \scriptstyle a-c=2

12.\ 2,5,m 是某三角形三边的长，则√((m-3)^{2)}+√((m-7)^{2)} 等于（ ）

(2) √(9)+2015°+(-2)^{3}+2√(3) \sin{60}° ：

A. 2m-10 B. 10^{\phantom{-}}-2m C.10
D. 4

13.计算 {√(24)}-{√((6)/(5))}x{√(45)} 的结果是

14.若 y=(√(x-4)+√(4-x))/(2)-2 则 (x+ y)^{y}={}_{.}

第3讲 因式分解

熟知教材与迁移

1.若代数式 x^{2}+a x 可以分解因式，则常数 \mathbf{α}_{a} 不可以取 ( >

A.-1 B.0
C.1 D. 2

2.将下列多项式分解因式，结果中不含因式 _{x-1} 的是 ( >

A. x^{2}-1
B. x(x-2)+(2-x)
C. x^{2}-2x+1
D. x^{2}+2x+1

3.下列因式分解中正确的是 C

A. a b+b c+b=b(a+c)
B. a^{2}-9=(a+3)(a-3)
C. (a-1)^{2}+(a-1)=a^{2}-a
D. a(a-1)=a^{2}-a

4.多项式 2x^{3}-4x^{2}+2x 因式分解为

A. 2x(x{-}1)^{2}
B. 2x(x+1)^{2}
C. x(2x{-}1)^{2}
D. x(2x+1)^{2}

5.若 x^{2}-b x-10=(x+5)(x-a) ，则 a^{b} 的值是 ( ）

A.-8 B.8 C.-↓ D.

6.若 a^{2}+(m-3)a+4 能用完全平方公式进行因式分解，则常数 \mid m 的值是( ）

A.1或5 B.1
C.-1 D.7或-1

7.分解因式： y^{2}-9=

8.分解因式： 9x^{2}+6x+1=

9.分解因式： x^{2}\:-\:9\:+\:3x\:(\:x\:-\:3\:)

10.分解因式： (1)x^{3}-x (2)(x-1)(x-3)+1.

[B 掌握通性与通法

11. (-2)^{2021}+(-2)^{2022} 计算后的结果是 ( ）

A. 2^{2{\:}021} B.-2 C. —22 021 D.-1

12.已知 6^{8}-1 能被 30~40 之间的两个整数整除，这两个整数是 ( ）

A.31,33
B.33,35
C.35,37
D.37,39

13.如图，边长为 {\mathbf{α}}_{a},{\mathbf{β}}_{b} 的矩形，它的周长为14,面积为10,则 a^{2}b+a b^{2} 的值为

14.阅读下列材料：分解因式的常用方法有提取公因式法、公式法，但有部分项数多于3的多项式只单纯用上述方法就无法分解，如 x^{2}-2x y+y^{2}- 16，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解.过程如下： x^{2}- 2x y+y^{2}-16=(x-y)^{2}-16=(x- y+4)\left(x-y-4\right) ,这种分解因式的方法叫分组分解法.利用这种分组的思想方法解决问题：

(1)分解因式： \scriptstyle(x^{2}-y^{2}+x z-y z ：(2)已知 {a,b,c} 为△ABC 的三边，且b^{2}+2a b=c^{2}+2a c ,试判断 \triangle A B C 的形状,并说明理由.

： * M P{=}H E{=}1,\angle H E P{=}90°,
·： \angle P E C=30° ：
： \scriptstyle{E C=B C-B E=3} ，
. * C P{=}(1)/(2)E C{=}1.5
· \scriptstyle,C M=M P+C P=1+1.5=2.5 ，即 C G 的最小值为2.5.

触类旁通

1.C解析：连结 O C,O M,C M ,如图.

： M 为 P Q 的中点，
\therefore O M=(1)/(2)P Q,C M=(1)/(2)P Q,
· O M{=}C M
点 M 在 \ O C 的垂直平分线上，
·点 M 的运动轨迹为 \triangle A B C 的中位线，
点 M 所经过的路线长 \underline{{\underline{{\mathbf{\Pi}}}}}={(1)/(2)}A B{=}1 ：

2.B解析：如图，作 P M\bot A D 于 M ，作点 D 关于直线 P M 的对称点 E ，连结 P E,E C. 设 A M=x ：

四边形 A B C D 是矩形，
\therefore A B//C D,A B=C D=4,B C=A D=6. *_{S_{\triangle P A B}}=(1)/(2)S_{\triangle P C D}
\therefore(1)/(2)x4x x=(1)/(2)x(1)/(2)x4x(6-x),
： \scriptstyle x=2 ，
\scriptstyle* A M=2,D M=E M=4,
在 Rt\triangle E C D 中 \scriptstyle,E C={√(C D^{2)+D E^{2}}}=4{√(5)} ，
： P M 垂直平分线段 D E ，
： P D=P E ，
\therefore P C+P D=P C+P E>= E C ，
： * P D+P C>=4{√(5)} ，
： P D+P C 的最小值为 4{√(5)} ：

(2)定线定角类

典例感悟

例A解析：如图，以 _{A B} 为边向右作等边三角形A B F ，作射线 F Q 交 A D 于点 E ，过点 D 作 D H \perp QE于点 H .

四边形 A B C D 是矩形，
· .\angle A B P=\angle B A D=90°.
△ABF， \triangle A P Q 都是等边三角形，
*\angle B A F=\angle P A Q=60°,B A=F A,P A=Q A ，·： \angle B A P=\angle F A Q.
在 .\triangle B A P 和 \triangle F A Q 中，
B A=F A ，
BAP=FAQ,△BAP△FAQ(SAS)，{}^{}P A=Q A ，
·： .\angle A B P=\angle A F Q=90°
： *\angle F A E=90°-60°=30°,
.\angle A E F{=}90°{-}30°{=}60° ：
\because A B=A F=5,A E=A F/\cos30°=(10√(3))/(3),
·点 \boldsymbol{Q} 在射线 F E 上运动.
"AD=BC=5√3,.DE=AD-AE=.\because D H\bot E F,\angle D E H=\angle A E F=60°,
\therefore D H=D E*\sin60°={(5{√(3)})/(3)}x{(√(3))/(2)}={(5)/(2)}.
根据垂线段最短可知，当点 Q 与 H 重合时， D Q 的值最小，最小值为 (5)/(2)

触类旁通

6√(2) 解析：如图，由题意可知点 c 运动的路径为线段 A C^{\prime} ，点 it{bf{E}} 运动的路径为 E E^{\prime} ，由平移的性质可知 A C^{\prime}=E E^{\prime} ，
在 Rt\triangle A B C^{\prime} 中，易知 A B=B C^{\prime}=6 ， \angle A B C^{\prime}=90° ，* E E^{\prime}{=}A C^{\prime}{=}√(6^{2)+6^{2}}=6√(2)*

高效作业部分

高效作业1[第1讲实数及其运算]

1. D 2.C 3.A 4.C 5.D 6.D 7.B 8.B

9.1 10.3 11. B 12.D 13.-√6 14. style{(1)/(4)}

15.(1)2 020 (2)-1 (3)0

高效作业2[第2讲整式及其运算］

1.A 2.D 3.B 4.B 5.am 6.5 7.3a

8.{(10)/(21)} 解析：观察得该组数的排列规律为：分母为分子的2倍加1，分子为正整数，所以第 n 个数为(n)/(2n+1) ,所以第10 个数是 (10)/(2x10+1){=}(10)/(21) ：

9.一正确解答如下：a(1+a)-(a-1)^{2} \begin{array}{l}{=a+a^{2}-(a^{2}-2a+1)}\\ {=a+a^{2}-a^{2}+2a-1}\\ {=3a-1.}\end{array}

10.解： (1)\because5x^{2}-x-1=0,\therefore5x^{2}-x=1. ，(3x+2)(3x-2)+x(x-2)=9x^{2}-4+x^{2}-2x =10x^{2}-2x-4=2(5x^{2}-x)-4=2x1-4= -2 ：(2)\mathrel{\mathop:}x=√(2)+1,\mathrel{\mathop:}x-1=√(2), ： (x-1)^{2}=2 ，即 x^{2}-2x+1=2 ，： \scriptstyle* x^{2}-2x=1,\therefore x^{2}-2x+2=1+2=3.

11. B 12.C13. a^{n}+(-1)^{n+1}\bullet2b^{2n-1}

1 4.(1)a^{2}+b^{2} (2)4

高效作业3[第3讲 因式分解］

1.B 2.D 3.B 4.A 5.D 6.D

7 ,(y+3)(y-3) 8.(3x+1)^{2} 9. \left({{x}-3}\right)\left({4{x}+3}\right)

10.解：(1)原式 =x(x^{2}-1)=x(x+1)(x-1) ：(2)原式 =x^{2}-4x+3+1=x^{2}-4x+4=(x- 2)^{2} ：(3)原式 =2x(x^{2}+2x+1)=2x(x+1)^{2} ：

11.A 12.C 13.70

14.解： (1)x^{2}-y^{2}+x z-y z=(x-y)(x+y)+z(x -y)=(x-y)(x+y+z) ，(2)\triangle A B C 是等腰三角形.理由： * b^{2}+2a b{=}c^{2}+2a c,\therefore b^{2}-c^{2}+2a b{-}2a c =0 ，(b-c)(b+c)+2a(b-c)=0,(2a+b+c)(b-c) =0 ，. *2a+b+c\neq0,/ b-c=0 ，即 b=c,±b{\therefore}\triangle A B C 是等腰三角形.

高效作业4[第4讲分式及其运算］

1. D 2.B 3.A 4.C 5.B 6.C 7.A 8.A
9.3

10.解：（1） style1-{(a)/(a+1)}={(a+1)/(a+1)}-{(a)/(a+1)}={(a+1-a)/(a+1)} \scriptstyle={(1)/(a+1)}, 当a= a=-{(1)/(2)} 时，原式 =(1)/(-/{1){2}+1}=2 。（ 2)(2)/(x^{2)-1}/(1)/(x+1)-(1)/(x-1)=(2)/((x+1)(x-1))*(x-1)* +1)-{(1)/(x-1)}={(2)/(x-1)}-{(1)/(x-1)}={(1)/(x-1)}, \bullet^{\bullet}(x+1)(x-1)\neq0,\bullet\bullet x\neq1,x\neq-1, ·： \scriptstyle x=2 或3.当 \scriptstyle x=2 时，原式 ={(1)/(2-1)}=1 2-1=1;当x=3时，原式 =(1)/(2) ：

11. D

12.D解析： a_{1}=a_{1},a_{2}=1-(1)/(a_{1)},a_{3}=1-(1)/(1-/{1){a_{1}}}=1 -(a_{1})/(a_{1)-1}=(-1)/(a_{1)-1}{=}(1)/(1-a_{1)},a_{4}{=}1-(1{-}a_{1}){=}a_{1}, ： * a_{1},a_{2},*s,a_{n} 以三个数为一组，不断循环，\because2\ 021/3=673*s*s2,\dot{*}* a_{2\ 021}=a_{2}=1-(1)/(a_{1)}=1 -{(1)/(3)}={(2)/(3)} ，故选D.

13.(1)-2 或1(2)7解析：(1)当 \scriptstyle a=b 时， a^{2}+ 2a=a+2 ，a^{2}+a-2=0,\left(a+2\right)\left(a-1\right)=0, 解得 a=-2 或1.(2)方程组 \left\{{\begin{array}{l}{a^{2}+2a=b+2,①}\\ {b^{2}+2b=a+2,②}\end{array}}\right. ①+② 得 a^{2}+b^{2}+2a+2b=b+a+4 ，整理，得 a^{2}+b^{2}+a+b=4,③ ①-② ，得 a^{2}-b^{2}+2a-2b=b-a ，整理，得 a^{2}-b^{2}+3a-3b=0 ”(a+b)(a-b)+3(a-b)=0,(a-b)(a+b+3) =0，又 a\neq b,\therefore a+b+3=0 ，即 a+b=-3,④ 将 ④ 代人 ③ ，得 a^{2}+b^{2}-3=4 ，即 a^{2}+b^{2}=7 ，又 (a+b)^{2}=a^{2}+2a b+b^{2}=9,{\dot{\bullet}}.a b=1 ，\therefore(b)/(a)+(a)/(b)=(b^{2}+a^{2})/(a b)=7.

14.解： \begin{array}{r}{(A)/(x-1)-(B)/(2-x)=(A(x-2)+B(x-1))/((x-1)(x-2))=}\end{array} {((A+B)x-2A-B)/((x-1)(x-2))}{=}{(2x-6)/((x-1)(x-2))}, \stackrel{\left\{A+B=2,\right.}}{\left.-2A-B=-6\right.} 解得 \left\{{\begin{array}{l}{A=4,}\\ {B=-2}\end{array}}\right. ，