名校课堂

名校题好：名校真题完全贴合新教材，更经典

紧扣新教材核心考点，采用经典素材、经典设问

教师用书

数学

八年级上BS

教师用书

第一章勾股定理

索引

探索勾股定理 名校经典题索引

第1课时 探索勾股定理··第2课时 勾股定理的验证及简单应用

漫话勾股世界一一教材P6“阅读·思考”变式

2一定是直角三角形吗 5
3 勾股定理的应用 X
小专题1 方程思想在勾股定理中的运用 解题技巧专练10
小专题2 勾股定理在折叠问题中的运用 解题技巧专练 11
☆问题解决策略：反思· 12
回顾与思考（一） 勾股定理 14

考点针对练 \diamondsuit 核心素养提升练

单元测试(一) 勾股定理· 测试卷1

第二章实数

1 认识实数 16
2 平方根与立方根 18
第1课时 算术平方根 18
第2课时 平方根 20
第3课时 立方根 21

无理数的发现一—教材P28“阅读·思考”变式

第4课时估算及用计算器开方 23
周测 (2.1~2.2) ： 测试卷3

3二次根式 24

第1课时 二次根式的乘除运算 24
第2课时 二次根式的化简及加减运算 26
第3课时 二次根式的混合运算 28

小专题3 实数的大小比较 解题技巧专练30

小专题4二次根式的运算及应用 分类强化专练31

本章易错易混专练 33
回顾与思考(二) 实数 34

考点针对练 \diamondsuit 核心素养提升练

单元测试(二) 实数· 测试卷

1.人大附中校本经典题

P3T16 P15T10 P17T15 P23T9 P37T4 P38T9 P51T7 P76T3 P78T2 P112T11等

2.清华附中校本经典题

P7T17 P23T10 P27T11 P71T14等

3.北京四中校本经典题 P9T11 P21T11 P42T11 P83T10等

4.北师大附属实验校本经典题

P17T17 P19T14 P29T10 P69T14 P106T6等

5.华师二附中校本经典题

P2T6 P4T5 P17T14 P35T18等

6.石家庄外国语校本经典题

P4T1 P8T5 P19T15 P19T19 P20T14 P21T7 P23T5 P51T8 P71T15 P110T11等

7.湖南师大附中校本经典题

P19T20 P25T14 P27T16 P38T12 P71T12 P75T11 P80T3等

8.兰生复旦校本经典题

P9T13 P12T5 P30T3 P73T14 P82T4等

9.教材新增习题变式

P15T13 P17T9 P20T5 P41T4 P44T6 P53T13 P53T14 P54T2 P59T15 P82T5 P83T6 P88T8等

微专题索引

P25 微专题1 二次根式非负性的应用
P39 微专题2 象限角平分线上的点的坐标特征
P59 微专题3 一次函数图象的平移规律
P71 微专题4与二元一次方程(组）的解有关的参数问题
P75 微专题5二元一次方程组中运用“整体思想”求代数式的值

1 确定位置 36
2 平面直角坐标系 37
第1课时 平面直角坐标系的有关概念 37
第2课时 平面直角坐标系中点的坐标特征 38

小专题5探索两点间的距离公式 解题技巧专练40

第3课时建立适当的平面直角坐标系描述图形的位置· 41

小专题6平面直角坐标系中计算图形的面积 解题技巧专练43

3轴对称与坐标变化 44

小专题7平面直角坐标系中点的坐标变化规律 解题技巧专练45

回顾与思考(三) 位置与坐标 46

考点针对练 \diamondsuit 核心素养提升练

单元测试(三) 位置与坐标 测试卷7

第四章一次函数

1 函数 48
2认识一次函数 50
第1课时认识生活中“均匀”变化的现象· 50
第2课时 在简单实际问题中认识一次函数与正比例函数 ....52
第3课时在分段计费问题中认识一次函数与正比例函数·………54

漏刻计时一—教材P85“阅读·思考”变式 55

3一次函数的图象· 56
第1课时正比例函数的图象与性质 56
周测 (4,1~4,3 第1课时) 测试卷9
第2课时一次函数的图象与性质 58

小专题8一次函数图象与字母系数的关系 分类强化专练60

小专题9一次函数与图形面积 解题技巧专练61

4一次函数的应用 63

第1课时 借助一次函数表达式解决简单问题 63
第2课时 借助单个一次函数图象解决实际问题 64
第3课时 借助两个一次函数图象解决实际问题 66
周测（4.3第2课时 ~4.4) 测试卷11
回顾与思考（四）一次函数 68

考点针对练 \diamondsuit 核心素养提升练

单元测试(四) 一次函数 测试卷13
期中测试 测试卷15

课标理念题索引

推理能力

P7T17 P27T17 P36T8等

阅读理解

P23T11 P25T16 P29T11 P30T6等

第五章二元一次方程组

1 认识二元一次方程组 70
2 二元一次方程组的解法· 72
第 ^{1} 课时 代入消元法 72
第2课时 加减消元法 74

小专题10 二元一次方程组的解法 分类强化专练76

小专题11求含参数的二元一次方程组中的参数值 解题技巧专练77
周测 (5,1~5,2) 。 测试卷19

3二元一次方程组的应用· 78

第 1 课时 直接梳理等量关系解决实际问题 78
第2课时 利用表格梳理等量关系解决实际问题 80
第3课时 利用线段图梳理等量关系解决实际问题 82

小专题12 二元一次方程组的实际应用 重点强化专练84

4二元一次方程与一次函数， 86
第 1 课时二元一次方程(组)与一次函数 86
周测 (5,3~5,4 第 1 课时) 测试卷21
第2课时用二元一次方程组确定一次函数的表达式 88

小专题13 用二元一次方程组解决与一次函数有关的实际应用 分类强化专练90

^* 5三元一次方程组 92
☆问题解决策略：逐步确定· 93
回顾与思考（五）二元一次方程组 94

考点针对练核心素养提升练

单元测试(五) 二元一次方程组 测试卷23

”第六章数据的分析

1 平均数与方差· 96

第 ^{1} 课时 众数与算术平均数 96
第2课时 加权平均数 97
第3课时 离差平方和、方差与标准差·· 98
第4课时 方差的应用及利用“组内离差平方和达到最小”对数据进行分组 99
2 中位数与箱线图 100
第 1 课时 中位数与百分位数值表· 100
第2课时 箱线图· 101
3哪个团队收益大 102
回顾与思考(六) 数据的分析 104

考点针对练核心素养提升练单元测试（六）数据的分析 测试卷25

第七章命题与证明

1 认识证明 106

第 1 课时 证明的必要性 106
第2课时 定义与命题 107
第3课时 定理与证明· 108

2平行线的证明 109

第 1 课时 平行线的判定· 109
第2课时 平行线的性质· 111

小专题14巧解平行线中的“拐点”问题 解题技巧专练11

回顾与思考(七) 命题与证明· 114

考点针对练核心素养提升练

单元测试(七) 命题与证明 测试卷27

? 期末复习

期末复习(一) 勾股定理· 116
期末复习(二) 实数 119
期末复习(三) 位置与坐标 122
期末复习(四) 一次函数. 125
期末复习(五) 二元一次方程组 128
期末复习(六) 数据的分析· 132
期末复习(七) 命题与证明· 136

期末测试 测试卷29

错题笔记示例

1.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 40° ，则它的底角为6°. 更正： 65° 或 25°

错因：在画图解题过程中容易按照思维定式只考虑到 高在三角形内部的情况从而漏解. 纠正：分高在三角形内部和外部两种情况讨论.

解题思路：(1)当BD在<ABC内部时,如图1;(2)当BD在ABC外部时，如图2.

图1

明确错因，记录错点，再纠正

图2

2.已知 10^{a}=20,100^{b}=50 则 (1)/(2)a+b+(3)/(2) 的值是解题思路： (1) 找到两个已知条件的关联性，可将100变形为10^{2}. 则100可转化为 10^{26}

（2)要求与ab的和相关的式子的值，而ab均在指数位置上，只能将10与 10^{2b} 相乘，得 10^{°}*10^{^{26}}=10^{°}=1000=10^{3}, 再利用整体思想求值.

针对不会做的题，记录关键 解题思路.

3.如图，在平面直角坐标系中,点 ^{A,B} 分别在y轴和x轴上，\angle A B O=60° ,在坐标轴上找一点 P ，使得 \triangle P A B 是等腰三角形，则符合条件的 P 点有（）

A.5个 B.6个 C.7个 D.8个

解题思路：如图所示，分三种情况讨论① 当 A B=A P 时，以，点A为圆 \boldsymbol{*}\boldsymbol{\le} AB长为半径画孤，与x轴有一个交点 P_{1} 与y轴有两个交点 P_{2},P_{3}

② 当 A B=B P 时，以点B为圆心，AB长为半径画孤，与x轴有两个交点 P_{1} P_{4}, 其中 \boldsymbol{{\mathsf{P}}}_{1} 与 ① 中重合，与轴有一个交点 \boldsymbol{{\cal P}}_{s}

③ 当 A P=B P 时，画线段AB的垂直平分线，与 x. 轴有一个交点 P_{1} （与 ① 中重合)与y轴有一个交点 P_{6}

针对不会做的题，记录关键解题思路并画出草图，

第一章 勾股定理

1探索勾股定理

第1课时探索勾股定理

基础题

知识点1认识勾股定理

1.在一个直角三角形中，如果一条直角边长是1，另一条直角边长是2，那么斜边长的平方是（D)

A.2 B.3 C.4 D.5

2.下列说法正确的是 C D

A.若 _{a,b,c} 是 \triangle A B C 的三边长，则 a^{2}+b^{2}=c^{2}
B.若 {\mathbf{\Psi}}_{a,b,c} 是 Rt\triangle A B C 的三边长，则 a^{2}+b^{2}=c^{2}
C.若 a,b,c 是 Rt\triangle A B C 的三边长， \angle A= 90° ，则 a^{2}+b^{2}=c^{2}
D.若 a,b,c 是 Rt\triangle A B C 的三边长， \angle A= 90° ，则 c^{2}+b^{2}=a^{2}

3.如图，在 Rt\triangle A B C 中， \angle C=90° ， (1)若 a=3,b=4 ，则 \begin{array}{r l}{c={}}&{{}5}\end{array} (2)若 a=12,c=20 ，则 b=\underline{{~16}} (3)若 a=7,c=25 ，则 b=24

第3题图

第4题图

4.如图，在 \triangle A B C 中， A B\bot A C,B D 是边 \vert A C\vert 上的中线， A B{=}5\cm,A D{=}6\cm ，则 B C 的长是13\cm

5.如图，在 \triangle A B C 中， A B=A C= 10,B D 是边 A C 上的高， D C=2 ，则 B D=\quad6

6. A华师二附中校本经典题人们习惯上以英寸来计量电视机的大小，通常电视机的大小是以屏幕的对角线长度来衡量的，我们通常说的50英寸、55英寸等指的就是这个指标.已知1英寸 {\approx}2.5 厘米，小明量得家里电视机屏

幕的长约165厘米，宽约88厘米，请计算电视机屏幕的对角线长度，看看该电视机是多大英寸的.（提示： 187^{2}=34969 ,结果保留整数)解 \therefore\therefore88^{2}+165^{2}=34~969,187^{2}=34~969,
屏幕对角线的长为187厘米.
1英寸 {\approx}2.5 厘米，
\therefore187/2.5\approx75 （英寸）.
答：该电视机是75英寸的.

知识点2利用勾股定理求面积

7.如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为 （C)

A.10 B.28 C.100 D.不能确定

第7题图

变式题图

【变式】如图，这是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（A）

A.9 B.12 C.18 D.25

8.直角三角形的斜边为17，其中一条直角边长为8，则这个三角形的面积是60

易错点未分清直角边和斜边，造成漏解

9.【分类讨论思想】若直角三角形的两边长分别为{\mathbf{\psi}}_{a,b} ，且满足 (a-3)^{2}+\vert b-4\vert=0 ，则该直角三角形的第三边长的平方为 (C)

A.25 B.7
C.25或7 D.25或16

中档题

10.在 Rt\triangle A B C 中，斜边 B C=10 ，则 B C^{2}+ A B^{2}+A C^{2}= (C）

A.20 B.100
C.200 D. 144

11.如图,在 Rt\triangle A B C 中，若 \angle C=90° ， A C=3 ，B C=4 ，则点 C 到直线 A B 的距离为（D）

A.3
B.4
C.5
D. 2.4

12.（教材P9习题T6变式）已知等腰三角形的腰长为 5\cm ,底边上的中线长为 4\cm ，则它的面积是 （D）

A. 24~cm^{2} B,20\cm^{2}
C. 15\cm^{2} D.12\cm^{2}

13.如图所示的是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A,B,C,D的面积分别是4，6，2，4，则最大正方形E的面积是(C)

A.12 B.14 C.16 D.18

第13题图

第14题图

14.如图，在边长为1的小正方形网格中， P 为C D 上任意一点，则 P B^{2}-P A^{2} 的值为12

15.如图，在四边形草坪ABCD中， \angle B=\angle D= 90° .若 A B=20~m,B C=15~m,C D=7~m~ 求这块草坪ABCD的面积.

解：连接AC.
在 \mathbf{Rt}\triangle A B C 中，由勾股定理，得 A C^{2}=A B^{2}+B C^{2}=20^{2} +15^{2}=625=25^{2}.
\therefore A C=25~m.
在 \mathbb{R}\mathbb{t}\triangle A D C 中，由勾股定理，得 A D^{2}+C D^{2}=A C^{2}\ ,
\therefore A D^{2}=A C^{2}-C D^{2}=24^{2}.
\therefore A D=24{~m}.
\therefore S_{∞ i tβ A B C D}={(1)/(2)}A B\ *\ B C+{(1)/(2)}A D\ *
C D{=}(1)/(2)x20x15{+}(1)/(2)x24x7{=}234(m^{2}).
这块草坪 A B C D 的面积为 234\ m^{2}

综合题 《

16. A人大附中校本经典题根据勾股定理知识迁移，解答下列问题.(1)如图1,分别以直角三角形的三边为直径向外侧作半圆，求它们的面积 S_{1},S_{2},S_{3} 之间满足的等量关系.(2)应用：如图2，直角三角形的两条直角边长分别为 {\mathbf{\psi}}_{a,b} ，斜边长为 \mid c\mid ，分别以三边为直径作半圆.若 a=3 ， c=5 ，求图中阴影部分的面积.

图1

图2

解:(1)设 S_{1},S_{2},S_{3} 分别对应直径为 a,b,c,
根据勾股定理，得 a^{2}+b^{2}=c^{2}
由图，得 S_{1}=(1)/(2)π((a)/(2))^{2}=(π)/(8)a^{2},
同理可得 ,S_{2}=(π)/(8)b^{2},S_{3}=(π)/(8)c^{2},
\therefore S_{1}+S_{2}={(π)/(8)}a^{2}+{(π)/(8)}b^{2}={(π)/(8)}(a^{2}+b^{2})={(π)/(8)}c^{2}=S_{3}. (2)设以 \boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c} 为直径的三个半圆的面积分别为P,Q,R,\psi a,b 为直角边的直角三角形的面积为S4.
\begin{array}{l}{{\because a=3,c=5,}}\\ {{\ }}\\ {{\therefore b^{2}=c^{2}-a^{2}=5^{2}-3^{2}=16=4^{2},\therefore b=4,}}\\ {{\ }}\\ {{\therefore S_{4}={(1)/(2)}a b={(1)/(2)}x3x4=6.}}\end{array}
\begin{array}{r}{(1)/(α)(1)\ast\circ,P+\varrho=\mathbb{R},}\end{array}
阴影部分的面积为 S=P+Q+S_{4}-R=S_{4}=6

第2课时勾股定理的验证及简单应用

基础题

知识点1验证勾股定理

A石家庄外国语校本经典题 用4个如图1所示的形状、大小完全一样的直角三角形拼一拼、摆一摆，可以摆成如图2所示的正方形，下面我们利用这个图形验证勾股定理，

图1

图2

(1)图2中大正方形的边长为_ \boldsymbol a+\boldsymbol b _，里面小正方形的边长为c

(2)大正方形面积可以表示为 (a+b)^{2} _，也可以表示为 4x(1)/(2)a b+c^{2}

(3)对比这两种表示方法，可得出 (a+b)^{2}= 4x(1)/(2)a b+c^{2} ,整理，得 c^{2}=a^{2}+b^{2}

知识点2勾股定理的简单应用

2.（教材P8习题T3变式）如图，一棵高为 8~m~ 的大树被台风刮断.若树在离地面 3~m~ 的点 C 处折断，则树顶端落在离树底部 （A)

A. 4~m~ 处 B. 5~m~ 处C.6~m~ 处 D. 7~m~ 处

第2题图

第3题图

3.一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位： mm) ”可得出两圆孔中心A， B 之间的距离为100 mm.

4. 新考向真实情境（教材P6随堂练习T1变式)如图， A C\bot B C ，原计划从 A 地经 C 地到 B 地修建一条无隧道高速公路，后因技术攻关，可以打通由 A 地到 B 地的隧道修建高速公路，其中隧道部分总长为 2\ km. ，已知高速公路每千米造价为3000万元，隧道高速公路每千米造价为5000万元， A C=80~{km} ， B C=

60~km ，则改建后可节省的工程费用是多少？

解：在 \mathbf{Rt}\triangle A B C 中 ,A B^{2}= A
B C^{2}+A C^{2}
\therefore A B^{2}=A C^{2}+B C^{2}=80^{2}
+60^{2}=10~000
B C
\therefore A B=100 km.
(80+60)x3~000-(100-2)x3~000-2x5~000= 116000（万元).
答：改建后可节省的工程费用是 116\ 000 万元。

中档题

5. A华师二附中校本经典题如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离 B C 为0.7米，梯子顶端到地面的距离 A C 为2.4米.若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离 A^{\prime}D 为1.5米，则小巷的宽为(C)

A.2.5米 B.2.6米C.2.7米 D.2.8米

第5题图

第6题图

6.（2024·眉山）图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，由四个全等的直角三角形拼成.若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为 （D）

A. 24 B.36 C.40 D. 44

7.（教材P9习题T7变式）如图，某隧道的截面是一个半径为 5.2~m~ 的半圆形，以中间线为界分成两条车道，试问一辆高 4.1~m~ 、宽 3~m~ 的卡车在一条车道内行驶能通过该隧道吗？（中间线宽忽略不计）

解：过圆上一点 A 作地面的
垂线，垂足为B（不与点 ^{o} 重
合).
当 B O=3{~m} 时 ,A B^{2}=A O^{2}- B 0
O B^{2}=5.2^{2}-3^{2}=18.04
4 *1^{2}=16,81<18,04
一辆高 4.1\ m, 宽 3~m~ 的卡车在一条车道内行驶1通过该隧道。

漫话勾股世界 教材P6“阅读·思考”变式

阅读与思考：请阅读下列材料，并完成相应的任务.

勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，大约有五百多种证明方法，下面是我国三国时期的数学家赵爽和意大利著名画家达·芬奇的证明方法.

赵爽利用4个全等的直角三角形拼成如图1所示的“弦图”（史称“赵爽弦图”），其中 {\mathbf{\Omega}}_{a,b} 和 \mid c\mid 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，四边形ABDE和四边形CFGH是正方形.

达·芬奇用如图2所示的方法证明，其中剪开前的空白部分由2个正方形和2个全等的直角三角形组成，面积记为 S_{1} ；剪开翻转后的空白部分由2个全等的直角三角形和1个正方形组成，面积记为 S_{2} ：

图1

图2

任务：

(1)下面是小颖利用赵爽弦图验证勾股定理的过程，请你帮她补充完整。

证明：由图1,知 S_{{\scriptsize1EHHA B D E}}=4S_{\triangle A B C}+S_{{\scriptsize1EHHC F G H}} ,正方形CFGH 的边长为_ a-b \begin{array}{r l}{\because S_{i\mathbb{E}HHA B D E}=c^{2},S_{\triangle A B C}=}&{{}(1)/(2)a b\quad,S_{i\mathbb{E}HHC F G H}=\underbrace{(a-b)^{2}}_{\displaystyle(a-b)^{2}},}\end{array} \therefore c^{2}=4x{(1)/(2)}a b+(a-b)^{2}=2a b+a^{2}-2a b+b^{2} ，即 a^{2}+b^{2}=c^{2}

(2)请你参照小颖的验证过程，利用图2及图中标明的字母写出勾股定理的验证过程。

解：根据题意，得
\begin{array}{l}{{S_{1}=a^{2}+b^{2}+2x/12a b=a^{2}+b^{2}+a b,}}\\ {{\ }}\\ {{S_{2}=c^{2}+2x/12a b=c^{2}+a b,}}\\ {{\ }}\\ {{*S_{1}=S_{2},}}\\ {{\ }}\\ {{\therefore a^{2}+b^{2}+a b=c^{2}+a b,}}\end{array}
即 a^{2}+b^{2}=c^{2}

（3)这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”.实际上，初中数学还有一些代数恒等式(除上述涉及的)也可以借助“无字证明"来直观解释，请你举出一例，画出图形并直接写出所解释的代数恒等式.

解 :(a+b)^{2}=a^{2}+2a b+b^{2} ，图形如图所示.（答案不唯一）

2一定是直角三角形吗

基础题

知识点1 直角三角形的判定

1.下列四组数能作为直角三角形的三边长的是（D ）

A.1,1,2 B.6,7,8
C.5,12,14 D.3,4,5

2.在 \triangle A B C 中， \angle A,\angle B,\angle C 的对边分别为 \scriptstyle a ，^{b,c} ，且 a^{2}-b^{2}=c^{2} ,则下列说法正确的是(C)

A. \angle C 是直角 B. \angle B 是直角C. \angle A 是直角 D. \angle A 是锐角

3.若 \triangle A B C 的三边长 {a\:,b\:,c} 满足 \mid a-7\mid+ |24-b|+(c-25)^{2}=0 ，则 \triangle A B C 是（A)

A.直角三角形 B.等腰三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形

4.放学后，彬彬先去同学晓华家写了一个小时的作业，然后才回到家里.已知学校 A 、晓华家B 、彬彬家 C 的两两之间的距离如图所示，且晓华家 B 在学校 A 的正东方向，则彬彬家 c 在学校 A 的 （D）

A.正南方向 B.正东方向C.正西方向 D.正北方向

第4题图

第5题图

5.如图，三个正方形的面积分别为 S_{1}=3,S_{2}= 2,S_{3}=1 ,则分别以它们的一边为边围成的三角形中， \angle1+\angle2=90°

6.木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为2.4~m~ ，宽为 1.8~m~ ，对角线长为 3~m~ ，则这个桌面合格（填“合格”或“不合格”).

7.若一个三角形的三边长分别为12,16,20，则它的面积为 96

8.在 \triangle A B C 中， \angle A,\angle B,\angle C 的对边分别为 \mathbf{\Psi}_{a} ，^{b,c} ，已知 a=2,b={(5)/(2)},c={(3)/(2)} ,则△ABC 是直

角三角形吗？
小亮的解答如下：
解： \triangle A B C 不是直角三角形.理由如下：
\because a^{2}=4,b^{2}+c^{2}=({(5)/(2)})^{2}+({(3)/(2)})^{2}={(17)/(2)},
： a^{2}\neq b^{2}+c^{2}
： \triangle A B C 不是直角三角形.
请问小亮的解答正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程.
解：小亮的解答不正确.
正确的解答过程如下：
\triangle A B C 是直角三角形.理由如下：
\therefore a^{2}+c^{2}=2^{2}+((3)/(2))^{2}=4+(9)/(4)=(25)/(4),b^{2}=((5)/(2))^{2}=(25)/(4), \therefore a^{2}+c^{2}=b^{2}*\therefore\angle B=90°.
： \triangle A B C 是直角三角形.

9.如图，在 \triangle A B C 中， A D\perp B C ，垂足为 D 如果\scriptstyle A D=6,B D=9,C D=4 ，那么 \angle B A C 是直角吗？为什么？

解： \angle B A C 是直角.
理由如下： \because A D\bot B C
： \angle A D B=\angle A D C=90°.
\therefore A D^{2}+B D^{2}=A B^{2},A D^{2}
+{(7)^{2}}=A C^{2} 业
\because A D{=}6,B D{=}9,C D{=}4,
\therefore A B^{2}=6^{2}+9^{2}=117,A C^{2}=6^{2}+4^{2}=52. B C=B D+C D=13
\therefore B C^{2}=169 费
\therefore A B^{2}+A C^{2}=B C^{2}.
\therefore\angle B A C=90°

知识点2勾股数

10.下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（D

A.1,2,3 B.2,3,4
C.0.3,0.4,0.5 D.6,8,10

11.若8,a,17是一组勾股数,则 \begin{array}{r l}{a=}&{{}15}\end{array}

中档题

12.将直角三角形三条边的长度同时扩大相同的倍数后得到的三角形 (A）

A.仍是直角三角形B.可能是锐角三角形C.可能是钝角三角形D.不可能是直角三角形

13. \triangle A B C 的三边长分别为 {a\:,b\:,c} ，下列条件：\begin{array}{r}{\begin{array}{r c l}{①\angle A=\angle B-\angle C;②\angle A:\angle B:\angle C=}\end{array}}\end{array} 3:4:5;{>}a^{2}=(b+c)(b-c);{<}a:b:c= 5:12:13. .其中能判定 \triangle A B C 是直角三角形的有 (C)

A.1个B.2个 C.3个 D.4个

14. 新考向数学文化勾股定理最早出现在商高的《周算经》：“勾广三，股修四，经隅五”，我国古代把直角三角形的直角边中较小者称为“勾”，另一长直角边称为“股”，把斜边称为“弦”.柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15,17.…..…若此类勾股数的勾为10，则其弦是26·

15.如图，正方形ABCD由9个边长为1的小正方形组成，每个小正方形的顶点都叫格点，连接 A E,A F ，则\angle E A F=45°.

16.图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图.根据安全标准需满足 B C\bot C D ，现测得 \scriptstyle A B=C D=6\ dm,B C=3\ dm,A D=9\ dm, 其中 _{A B} 与 B D 之间由一个固定为 90° 的零件连接（即 \angle A B D=90°, ，通过计算说明该车是否符合安全标准.

图1

图2

泽：在 \mathbb{R}t\triangle A B D 中 ,B D^{2}=A D^{2}-A B^{2}=9^{2}-6^{2}=45.

在 \triangle B C D 中 B C^{2}+C D^{2}=3^{2}+6^{2}=4.5, \therefore B C^{2}+C D^{2}=B D^{2}.
\therefore\angle B C D=90°
..BC⊥CD.
故该车符合安全标准。

综合题

17. 新考向推理能力】A清华附中校本经典题我们在课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”.王老师给出一组数让学生观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41...学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断，于是王老师提出以下问题让学生解决.

(1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11，60 61

(2)若第一个数用字母 a(a 为奇数,且 \scriptstyle a>=slant3 表示，则后两个数用含 \scriptstyle a 的代数式分别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律:4=3²—1,1 4={(3^{2}-1)/(2)},12={(5^{2}-1)/(2)}. 24={(7^{2}-1)/(2)}*s 于是他很快表示出了第二个数为—1. 则用含 a 的代数式表示第三个数为 (a^{2}+1)/(2)

（3)用所学知识说明（2）中用字母 \mathbf{\Delta}_{a} 表示的三个数是勾股数.

解 :\stackrel{\circ\circ}{\circ}a^{2}+((a^{2}-1)/(2))^{2}=(a^{4}+2a^{2}+1)/(4), ((a^{2}+1)/(2))^{2}=(a^{4}+2a^{2}+1)/(4),
\therefore a^{2}+({(a^{2}-1)/(2)})^{2}=({(a^{2}+1)/(2)})^{2}.
又a为奇数，且 \scriptstyle a>=slant3
\therefore a,(a^{2}-1)/(2) (a^{2}+1)/(2) 都是正整数。
\therefore a,(a^{2}-1)/(2),(a^{2}+1)/(2) 是勾股数。

3勾股定理的应用

基础题

知识点勾股定理的应用

1.如图，从电线杆离地面6米处向地面拉一条10米长的钢缆，地面钢缆固定点 A 到电线杆底部 B 的距离 A B 是 (C)

A.6米 B.7米 C.8米 D.9米

第1题图

第2题图

2.如图，长方形阴影部分的面积是 （D ）

A. 16~cm^{2} B .17\cm^{2} C.30\cm^{2} D. 34~cm^{2}

3.若要将一块不能弯曲的正方形（厚度忽略不计)搬进室内，需要通过一扇如图所示的高为2~m~ ，宽为 1~m~ 的门，以下边长的木块中哪块可以通过此门 （C)

A. 2.8~m~ B. 2.5~m~ C,2.2~m~ D.以上答案都不对

第3题图

第5题图

4.（教材P14随堂练习T1变式）有五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是 （C)

5 A石家庄外国语校本经典题 如图，在长方形A B C D 中， A B{=}8,A D{=}10. 将长方形 A B C D 沿直线 A F 折叠，使点 D 落在 B C 上的点 E 处，则 C E 的长为4

6.下图是 5x9 的方格纸，每个小正方形的边长都是 1\cm ，一只蚂蚁沿图中折线 (A{\rightarrow}B{\rightarrow}C{\rightarrow} D 从点 A 爬到点 D ,共爬行了12_cm.

第6题图

第7题图

7.如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子 B C 的长为17米，几分钟后船到达点 D 的位置，此时绳子 C D 的长为10米，则船向岸边移动了9米.

8.（2024·吉林）图1中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图2,其中 A B=A B^{\prime} ， A B\bot B^{\prime}C 于点C,B C{=}0.5 尺， B^{\prime}C=2 尺.设 A C 的长度为 x 尺，可列方程为 x^{2}+2^{2}=(x+0.5)^{2}

图1

图2

9.如图， \angle A O B=90° ” O A=18\ dm,O B=6\ dm. 一机器人在点 B 处看见一个小球从点 A 出发沿着 A O 方向匀速滚向点 O ，机器人立即从点B 出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C 处截住了小球.如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程B C 是多少？

解：小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，\therefore B C=A C.

设 A C=x\ {dm} ，则 O C=(18-x)dm 由勾股定理，得 O B^{2}+O C^{2}=B C^{2} 即 6^{2}+(18-x)^{2}=x^{2}. 解得 x=10 答：机器人行走的路程 B C 是 10~dm

中档题

10. 新考向数学文化《九章算术》中有一道题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？"大致意思：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，那么折断处离地面的高度为4.55尺.（1丈 \O= 10尺)

第10题图

第11题图

11. A北京四中校本经典题 一辆装满货物的卡车，其外形的宽为2.4米，高为3.9米，这辆卡车能（填“能”或“不能”)通过如图所示的隧道.

12. 新考向真实情境图图和涵涵在创意文化市集上买了一个年画风筝，在试飞风筝过程中，他们想利用数学知识测量风筝的垂直高度.以下是他们测量高度的过程（如图）：

① 先测得放飞点与风筝的水平距离 B D 的长为8米；
② 根据手中剩余线的长度计算出风筝线 \vert A C\vert 的长为10米；
③ 牵线放风筝的手离地面的距离 \vert A B 为1.5米.
已知点 A,B,C,D 在同一平面内.

(1)求风筝离地面的垂直高度 \boldsymbol{C D} (2)在测高的过程中涵涵提出了一个新的问题：在手中剩余线仅剩7.5米的情况下，若想要风筝沿射线 D C 方向再上升9米，B D 的长度不变，能否成功呢？请你帮助解决涵涵提出的问题.

解：(1)过点 A 作 A E\bot C D 于点 \mathbb{E} ，
则 A E=B D=8 米 \begin{array}{r}{A B=D E=1.}\end{array} 0
米， \angle A E C=90°
由勾股定理，得
C E^{2}=A C^{2}-A E^{2}=10^{2}-8^{2}=36,
： C E{=}6 米。
\therefore C D=C E+D E=6+1.5=7.5(*)
(2)能成功.理由如下：
延长 D C 至点 F ，使 C l F{=}9 米，连接 A F_{*} ： CF{=}9 米，
\therefore E F=C E+C F=6+9=15( ).由勾股定理，得
A F^{2}=A E^{2}+E F^{2}=8^{2}+15^{2}=289, \mathbf{\bar{\rho}}_{\circ}A E{=}17 米。
： \scriptstyle\mathbf{1}\mathbf{C}=10 米，余线仅剩7.5米，\therefore10+7.5=17.5>17.
风筝能上升 9 米，即能成功。

综合题

13. A兰生复旦校本经典题如图，有一台环卫车沿公路 _{A B} 由点 A 向点 B 行驶，已知点 C 为一所学校，且点 C 与直线 A B 上两点 A,B 的距离分别为 150~m~ 和 200~m~ ，且 A B=250~m~ ，环卫车周围 130~m~ 以内为受噪声影响区域.

(1)学校 C 会受噪声影响吗？为什么？
(2)若环卫车的行驶速度为 50\ m/min ，环卫车的噪声影响该学校持续的时间为多少分钟？解：(1)学校 \mathbb{C} 会受噪声影响。
B理由如下：过点 c 作 C D\perp A B 于
点 D
D\therefore A C=150,B C=200,m,A B=
E250~m~ A
\therefore A C^{2}+B C^{2}=A B^{2}.
\therefore\angle A C B=90°
\therefore S_{\Delta A B C}=(1)/(2)A C* B C=(1)/(2)C D* A B.
\therefore C D={(A C* B C)/(A B)}={(150x200)/(250)}=120({m}).
环卫车周围 130~m~ 以内为受噪声影响区域，学校 \mathbb{C} 会受噪声影响.
(2)如图，当 EC=130~m~,FC=130~m~ 时，正好影响学校 c.
\therefore E D^{2}=E C^{2}-C D^{2}=130^{2}-120^{2}=2\ 500,
\therefore E D=50~m.\therefore E F=100~m.
\dot{\circ},100/50=2(min).
答：环卫车的噪声影响该学校持续的时间为 2\ min.

小专题1方程思想在勾股定理中的运用

类型1单勾股列方程求解

【例1】 如图，在 \triangle A B C 中， \angle C=90° ，A C=10,B C=6,E F 为 _{A B} 的垂直平分线，求A E 的长.

解题思路：连接 B E ，设 A E{=}{x} ，则 B E{=}x ，C E{=}\quad\underline{{\ 10^{-}x}}

根据勾股定理，得 C E^{2}+B C^{2}=B E^{2} ，可列方程为 (10-x)^{2}+6^{2}=x^{2} 解得 x=(34)/(5)

例1题图

第1题图

针对训练

1.（2023·随州）如图，在 Rt\triangle A B C 中， \angle C= 90°,A C=8,B C=6,D 为 A C 上一点.若 B D 是 \angle A B C 的平分线，则 \begin{array}{r l}{A D={bf{5}}}\end{array}

类型2双勾股列方程求解

方法技巧1

作高，利用勾股定理构建方程条件：已知 \triangle A B C 的三边长.

方法：作 A D\bot B C ，垂足为 D 费结论： A D^{2}=A B^{2}-B D^{2}=A C^{2}-C D^{2}.

【例2】 如图，在\triangle A B C 中， A B=15 ， B C= 14 ,A C=13 ， A D\perp B C ，求B D 的长.

解题思路：设 B D=x ，则 {C D=\underline{{14-x}}}

根据勾股定理，得 A D^{2}=A B^{2}-B D^{2}=A C^{2}- C D^{2} ,可列方程为 15^{2}-x^{2}=13^{2}-(14-x)^{2} 解得 x=~9

针对训练

2.如图，在 \triangle A B C 中， B C=4,A C=13,A B= 15，求 \triangle A B C 的面积.

解：过点 A 作 A D\bot B C 于点 D ，
设 C D=x ，则 B D=4+x
\therefore A C^{2}-C D^{2}=A B^{2}-B D^{2},
\therefore13^{2}-x^{2}=15^{2}-(4+x)^{2},
解得 x=5
\therefore A D^{2}=A C^{2}-C D^{2}=13^{2}-5^{2}=144.
\therefore A D=12 票
\therefore S_{\Delta A B C}=(1)/(2)B C* A D=24.

方法技巧2

共边，利用勾股定理构建方程

条件： \angle A C B=90° C D\bot A B 于点 D 结论： (1)A C,B C,A B,A D,D B,C D 中，知二可求四；{\begin{array}{r l}&{{\left\{\begin{array}{l l}{(2)C D^{2}=A C^{2}-A D^{2}=B C^{2}-B D^{2};}\\ {\vdots}\\ {(3)A C^{2}=A B^{2}-B C^{2}=A D^{2}+C D^{2};}\end{array}\right.}}\\ &{{\left\{\begin{array}{l l}{(4)B C^{2}=A B^{2}-A C^{2}=B D^{2}+C D^{2}.}\\ {\ddots+\dots+\dots+\dots+\dots+\dots+\dots+\dots+\dots+\dots+\dots+\dots+\dots+\dots+\dots+\dots+\dots+\dots}\end{array}\right.}.}\end{array}}

3.如图，在 \triangle A B C 中， \angle A C B=90° ， C D\bot A B 于点 D,B D{=}2,C D{=}4 ，求 A D 的长.

解：设 A D=x
在 R t\triangle A C D 中， A C^{2} =A D^{2}+C D^{2}=x^{2}+ 4^{2}
在 R t\triangle B C D 中 B C^{2}=C D^{2}+B D^{2}=4^{2}+2^{2}
在 \mathbf{Rt}\triangle A B C 中 ,A C^{2}+B C^{2}=A B^{2} ，即 x^{2}+4^{2}+4^{2}+2^{2}
=(x+2)^{2}
解得 \scriptstyle x=8
\therefore A D=8

小专题2 勾股定理在折叠问题中的运用

【例】如图，在三角形纸片 A B C 中， A B{=}8 ，B C{=}6,A C{=}10 ,折叠三角形纸片 A B C ，使点 A 与B C 的中点 D 重合，折痕为 M N ,求BN的长.

【思路点拨】由 \triangle A B C 的三边长满足勾股定理可知 \triangle A B C 是直角三角形， \angle B=90° .先求得 B D 的长，由折叠的性质可知 A N=D N ，设B N=x ，则 A N=D N=8-x ，在 \mathbf{Rt}\triangle D B N 中，由勾股定理列出关于 x 的方程求解即可.

解：在 \triangle A B C 中，
A B=8,B C=6,A C=10,
O* O A B^{2}+B C^{2}=A C^{2}.
\angle B=90° 票
： D 为 B C 的中点，
\therefore B D=C D=3.
设 B N=x ，则 A N=D N=8-x.
在 \mathbf{Rt}\triangle B D N 中，由勾股定理，得
(8-x)^{2}=x^{2}+3^{2}, 解得 x{=}(55)/(16).
故 B N 的长为 {(55)/(16)}.

方法指导

解决折叠问题的关键是抓住对称性.勾股定理的数学表达式是一个含有平方关系的等式，求线段的长时，可利用勾股定理直接计算，也可设未知数，由勾股定理列出方程，运用方程思想解决问题.

针对训练

1.如图所示，在长方形纸片ABCD中， A B= 4\cm,B C=8\cm ,现将其沿 E F 对折，使得点C 与点 A 重合，则 A F 的长为 (C)

第1题图

第2题图

2.如图，在三角形纸片ABC中， \angle A C B=90° ，B C=5 A B{=}13 ，在 A C 上取一点 E ，沿 B E 折叠纸片，使 _{A B} 的一部分与 B C 重合，点 A 与B C 延长线上的点 D 重合，则 C E 的长为(10)/(3)

3.如图，在长方形ABCD中， A B=5,B C=13 ，将长方形ABCD沿 B E 折叠，点 A 落在 A^{\prime} 处.若 E A^{'} 的延长线恰好过点 C ，则 A E 的长为_1·

第3题图

第4题图

4.如图，在三角形纸片ABC中， \angle B A C=90° ，A B{=}2,A C{=}3. .沿过点 A 的直线折叠纸片，使点 B 落在边 B C 上的点 D 处；再折叠纸片，使点 C 与点 D 重合，折痕交 A C 于点 \boldsymbol{E} ，则\vert A E\vert 的长是 (13)/(6)

5.如图，在长方形ABCD中， A B=5,B C=6,P 是射线 B C 上一动点， l 为长方形ABCD的一条对称轴，将 \triangle A B P 沿 A P 折叠，当点 B 的对应点 \boldsymbol{B^{\prime}} 落在 \mathbf{\xi}_{l} 上时， B P 的长为 (5)/(3) 或15

☆问题解决策略：反思

基础题 《

1.如图，一只蜗牛从圆柱的点 A 出发，绕圆柱侧面沿最短路线爬行到了BC的中点 E 处.若沿A D 将圆柱侧面剪开并展开，则所得的侧面展开图是 （C）

2. 新考向真实情境9月22日是中国农民丰收节，小彬用3D打印机制作了一个底面周长为 30~cm ，高为 20\cm 的圆柱粮仓模型，如图，B C 是底面直径， A B 是高.现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过 A,C 两点（接头不计)，则装饰带的长度最短为50 cm__·

3.如图，在底面周长约为6米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方（从点 A 到点 C ，经过 A C 的中点 B )，每根石柱刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为_20_米.

4.如图所示，地面上铺了一块长方形地毯A B C D ,因使用时间长而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为 {(8)/(π)}~m. 已知 A E+B F{=}20~m,B C{=}10~m ，一只蚂蚁从点 A 爬到点 C ，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走_26_m的路程.

5 A兰生复旦校本经典题如图，台阶阶梯每一 层高 20~cm ，宽 40~cm ，长 50~cm .一只蚂蚁从 点 A 爬到点 B ,最短路程是_ 130\cm

中档题 K

6.如图，在学校工地的一根空心钢管外表面距离左侧管口 2\cm 的点 M 处有一只小蜘蛛（即A M{=}2\cm )，它要爬行到钢管内表面距离右侧管口 5\cm 的点 N 处觅食（ B N=5~{cm}; .已知钢管横截面的周长为 18~cm ，长为 15\cm ，则小蜘蛛需要爬行的最短距离是（空心钢管壁厚度忽略不计) （D）

A.5 cm B.4 cm C.14 cm D.15 cm

7.两个正数的和是24，求它们积的最大值.你有哪些解决问题的方法？

解：方法一：面积法（借助赵爽弦图).设这两个正数分别为 x,y ，如图，用8个全等的直角边

长分别为 x,y 的直角三角形拼成“弦图”.由图可知 A E{=}D H{=}B F{=}C G{=}x ，
D E{=}A F{=}B G{=}C H{=}y.
由题意，得 x+y=\underline{{24}} 8个直角三角形的面积为 \begin{array}{r l r}{4x y=}&{{}δ_{j k}\dot{γ}_{j k A B C D}}&{-}\end{array} S_{\scriptscriptstyleIEIIβ K L M N}=\underbrace{576}_{~\normalfont~5~7~6~}-S_{\scriptscriptstyleIEIββ K L M N},
\therefore x y=\underbrace{144}_{\normalfont~\leftmoon~}-(1)/(4)S_{zEπHK L M N}.
·求 x y 的最大值,即求 S_{\overline{{1E}HH\it{1}\overline{{2}\it{1}\overline{{1}\overline{{1}\overline{{1}\overline{{1}\overline{{1}\overline{{1}\overline{{1}\overline{{1}\overline{{1}\overline{{1}\overline{{1}\overline{{1}\overline{{1}\overline{{1}\overline{{1}\overline{{1}\overline{{1}\overline{{1}\overline{{1}\overline{{1}\overline{{1}\overline{{1}\overline{{1}\overline{{1}\overline{{1}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} 的最小值.又： S_{\overline{{1}EπH\tilde{L}K L M N}} 最小值为0
·： x y 的最大值为144
方法二：利用平方差公式求解.
设这两个正数分别为 12-n ， 12+n
则它们的乘积为 (12-n) · (12+n)
(144)/(144)-n^{2}
·求它们积的最大值,即求 n^{2} 的最小值.
又： n^{2} 的最小值为0
.它们积的最大值为 144

8.追本溯源：题（1)来自课本中的习题改编，请你完成解答，提炼方法并完成题（2).

(1)如图1，一个长方体盒子，它的长、宽、高分别为 ^{8}\cm,8\cm,12\cm ，一只蚂蚁想从盒底的点 A 沿盒的表面爬到盒顶的点 B ，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？

(2)如图2,长方体的长为 15\cm ，宽为 10\cm ，高为 20~cm ，点 B 在棱 C D 上， C B{=}5\cm ，一只蚂蚁要沿长方体的表面从点 A 爬到点 B ，需要爬行的最短路程是多少？

图1

图2

解：(1)如图3，由勾股定理，得 A B^{2}=12^{2}+(8+8)^{2}= 400.

图3

图4

如图4，由勾股定理，得 A B^{2}=8^{2}+(8+12)^{2}=464 464>400
蚂蚁爬行的最短路线为 A-P-B(P 为 \boldsymbol{c D} 的中点），最短路程是 20~cm
(2)将长方体按下列三种方案展开：
① 如图 s,- 直角边长为 10\cm, ，另外一直角边长为
20+5=25(cm),
根据勾股定理,得 A B^{2}=10^{2}+25^{2}=725
② 如图6，一直角边长为 20\cm, ，另外一直角边长为
10+5=15(cm),
根据勾股定理，得 A B^{2}=20^{2}+15^{2}=625
③ 如图 7,A C=20+10=30\left({cm}\right),B C=5{~cm},
根据勾股定理，得 A B^{2}=30^{2}+5^{2}=925.
\because625<725<925,625=25^{2},
：一只蚂蚁要沿长方体的表面从点 A 爬到点B,需
要爬行的最短路程是 25~cm 费

图5

图6

图7

回顾与思考(一) 勾股定理

考点针对练

考点1勾股定理及其验证

1.小明用火柴棒摆直角三角形，已知他摆两条直角边分别用了6根和8根火柴棒，则他摆完这个直角三角形共用火柴棒 （C)

A.20根 B.14根 C.24根 D.30根

2.（2023·银川期中）如图，在 Rt\triangle A B C 中，\angle A C B=90° ， C D 是高， A C=4~{~cm} ， B C= 3\cm ，则 C D= （B ）

A.5\cm B. (12)/(5) cm C. (5)/(12) cm D. (4)/(3) cm

3.在学习勾股定理时，甲同学用四个相同的直角三角形（直角边长分别为 {\boldsymbol{a}},{\boldsymbol{b}} ，斜边长为 \mathbf{\Psi}_{c} )构成如图所示的正方形；乙同学用边长分别为 {\mathbf{\Omega}}_{a,b} 的两个正方形和长为 b ，宽为 \mathbf{\Delta}_{a} 的两个长方形构成如图所示的正方形.甲、乙两位同学给出的构图方案中，可以证明勾股定理的是 （A）

A.甲 B.乙C.甲、乙都可以 D.甲、乙都不可以

4.如图， \angle O A B=\angle O B C=\angle O C D=90°,A E A B= B C=C D=1,O A=2 ，则 \ O D^{2}={\begin{array}{l}{7}\end{array}}

第4题图

第5题图

5.如图，在 Rt\triangle A B C 中， \angle A C B=90° A B= 4\cm ，以 Rt\triangle A B C 的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形，则图中阴影部分的面积为 \ensuremath{\mathbb{16}}\ensuremath{\cm}^{2}

6.如图，在 \triangle A B C 中， \angle C=90°,M 是 B C 的中点， M D\perp A B 于点 D ，试说明： A D^{2}=A C^{2}+ B D^{2} ：

解：连接 \bar{M A}
M D\bot A B ，
\therefore\angle A D M=\angle B D M=90°.
\therefore A D^{2}=A M^{2}-M D^{2},M D^{2}=
B M^{2}-B D^{2}.
\angle C=90° ，
\therefore A M^{2}=A C^{2}+M C^{2}.
： M 为 B C 的中点，
\therefore B M=M C.
e°A D^{2}=A M^{2}-M D^{2}=A M^{2}-B M^{2}+B D^{2}=A M^{2}-
M C^{2}+B D^{2}=A C^{2}+B D^{2}.

考点2直角三角形的判定

7.如图，正方形网格中是直角三角形的是（B）

A.① B. ② C. ③ D. ①②

第7题图

第9题图

8. 新考向开放性问题将勾股数3，4，5扩大到原来的2倍、3倍、4倍…可以得到勾股数 6,8,10;9,12,15;12,16,20;*s ，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你写出两组不同于以上所给出的基本勾股数：答案不唯一，如：5，12，13；7，24,25

9.如图， \angle B A C=90°,A B=4,A C=4,B D=7. D C=9 ，则 \angle D B A=45°

10. A人大附中校本经典题 如图，在正方形ABCD中， E 是 B C 的中点， F 是 C D 上一点，且 C F{=}{(1)/(4)}C D ,试说明： \angle A E F=90°

解：：四边形ABCD为正方 D 形，
\therefore A B=B C=C D=D A,\angle B
=\angle C=\angle D=90°.
B C 设 A B{=}B C{=}C D{=}D A{=}4a E
\mathbf{\Pi}_{\circ}^{\circ\circ}\mathbb{E} 是 B C 的中点,且 C F{=}{(1)/(4)}C D ，
\therefore B E=E C=2a,C F=a,\therefore D F=4a-a=3a,
在 \mathbb{R}\mathbb{1}\triangle A B E 中，由勾股定理，得
A E^{2}=A B^{2}+B E^{2}=20a^{2}.
同理可得， E F^{2}=E C^{2}+F C^{2}=5a^{2},A F^{2}=A D^{2}+ D F^{2}=25a^{2} 费
. * A E^{2}+B F^{2}=A F^{2},\therefore\Delta A E F 为直角三角形.\angle A E F=90° 。

考点3勾股定理的应用

11.如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地 A B C D ，测得 A B=9\ m,B C=12\ m,C D= 8~m~ ,A D{=}17~m ，且 \angle A B C=90° ,则这块菜地的面积是 （B）

A. 48~m^{2} B. 114~m^{2} C.122\ m^{2} D. 158~m^{2}

第11题图

第12题图

12.对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边 形，现有如图所示的“垂美”四边形 A B C D ， 对角线 A C,B D 交于点 O_{\l} 若 A D{=}2,B C{=} 4，则 A B^{2}+C D^{2}=\quad20

13.（教材P21新增复习题T8变式）《九章算术》卷九“勾股”中记载：“今有池方一丈，生其中央，出水一尺.引霞赴岸，适与岸齐，问水深、长各几何？”大意：如图，水池底面的宽A B=1 丈，芦苇 \ O C 生长在AB的中点 o 处，高出水面的部分 C D=1 尺.将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即 O C=O E ，求水池的深度和芦苇的长度.

(1丈 =10 尺).

(1)求水池的深度 O D （2)我国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法.他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽 A B=2a ，芦苇高出水面的部分 C D=n\left(n{<}a\right) ，则水池的深度OD（ O D=b )可以通过公式 b= (a^{2}-n^{2})/(2n) 中计算得到.请说明刘徽解法的正确性.

解：(1)设芦苇的长为 x 尺，则
O C=O E=x 尺， O D=\left(x-1\right) 尺，
D E=5~R
在 \mathbb{R t}\triangleO D E 中 \angle O D E=90°
由勾股定理，得 DE^{2}+O D^{2}=
O E^{2}*\therefore5^{2}+(x-1)^{2}=x^{2} 解得 _{x=13} \displaystyle{\dot{*}O D=13-1=12({R})}.
答：水池的深度 \boldsymbol{o D} 为12尺.
(2)\because O D=b,C D=n,A B=2a,
\therefore O C=O E=b+n,D B=a.
在 \mathbf{Rt}\triangle\cal{O D E} 中， \angle O D E=90°
由勾股定理，得 D E^{2}+O D^{2}=O E^{2}.
\therefore a^{2}+b^{2}=(b+n)^{2},
解得b=a²-n²

核心素养提升练《

14. 新考向数学文化A石家庄外国语校本经典题《九章算术》是我国古代的数学代表作，书中记载：今有开门去（读kun，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意：如图1、图2（图2为图1的平面示意图），从点 o 处推开双门，双门间隙 C D 的长度为2寸，点C 和点 D 到门槛 A B 的距离都为1尺（1尺 \c= 10寸），则 _{A B} 的长是 （B）

图1

图2

A.104寸B.101寸C.52寸 D.50.5寸

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单元测试(一) 勾股定理

学生用书单独成册

（时间：40分钟满分：100分）

一、选择题（每小题4分，共24分）

1.直角三角形的边长分别为 a,b,c ，且 \angle C= 90° 若 a^{2}=9,b^{2}=16 ，则 c^{2} 的值是 （C)

A.5 B.7 C.25 D. 49

2.下列条件能判定 \triangle A B C 为直角三角形的是（D

A. a=(1)/(3),b=(1)/(4),c=(1)/(5)
B. \angle A:\angle B:\angle C=1:2:4
C. a=3^{2},b=4^{2},c=5^{2}
D. \angle A+\angle B=\angle C

3.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点 A,B 都是格点，则线段 _{A B} 的长度为 （A）

A.5
B.6
C.7
D.9

4.如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A，B，C的面积依次为2，4，3，则正方形D的面积为(C)

A.7 B.8 C.9 D.10

第4题图

第5题图

5.如图所示的是一茅屋的屋顶剖面示意图，它是等腰三角形.如果屋檐 A B=A C=5 米，横梁 B C=8 米，从横梁 B C 上的任意一点 D 支一根木头顶住屋顶 A 处，那么这根木头的长度可能是 (C)

A.2.5米B.6米 C.4米 D.8米

6.如图，正方形ABCD的边长为18，将正方形折叠，使顶点 D 落在边 B C 上的点 E 处，折痕为 G H. 若 B E:E C=2:1 ，则线段 C H 的长是 （B）

A.6 B.8 C.10 D. 12

第6题图

第8题图

二、填空题（每小题5分，共30分）

7.若 _{6,a,8} 是一组勾股数，则 \scriptstyle a 的值为 10

8.图中带阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 36

9.桐桐早晨从家出发去上学，先向正南方向走了 1.5~km ,接着向正东方向走了 2~km 到达学校,桐桐家到学校的距离为_2.5 km

10.如图， Rt\triangle A B C 的周长为 36,\angle C=90° ，且 A B:A C=5:4 ，则 B C 的长为9

第10题图

第11题图

11.如图，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿 C D ，早晨测得它的影长 B D 为4米，中午测得它的影长 A D 为1米，则 A,B,C 三点能构成直角三角形（填“能”或“不能”).

12.如图所示， A B C D 是长方形地面，长 A B= 20~m~ ，宽 A D{=}10~m 、中间竖有一堵砖墙，高M N{=}2~m~ 一只昆虫从点 A 爬到点 C ，它必须翻过中间那堵墙,则它至少要走_26_m的路程.

三、解答题（共46分）

13.（8分)设三角形的三边长分别等于下列各组数，试判断各三角形是不是直角三角形.若是，指出哪一条边所对的角是直角.(1)12,16,20.(2)0.8,1.5,1.7.解 :(1)\ °:12^{2}+16^{2}=20^{2}\ , 三角形是直角三角形,20这条边所对的角是直角。(2)\because0.8^{2}+1.5^{2}=1.7^{2}, 三角形是直角三角形，1.7这条边所对的角是直角.

14.（8分）如图，在 \triangle A B D 中， \angle D=90°,C 是B D 上一点，已知 B C=9,C D=6,A B=17 求 A C 的长.

解： \therefore B C=9,C D=6
\therefore B D=15
在 \mathbf{Rt\triangle}A B D 中， A D^{2}=
A B^{2}-B D^{2}=64
在Rt \triangle A C D 中， A C^{2}=
A D^{2}+C D^{2}=100 ，
\therefore A C=10

15.(8分)如图，方格纸上每个小正方形的面积为1.

(1)在方格纸上，以线段 A B 为边画正方形并计算所画正方形的面积.
(2)你能在图上画出面积依次为5，17的正方形吗？解： {\bf\Pi}(1) 正方形 A B C D 如图所示。
\because A B^{2}=1^{2}+6^{2}=37,
正方形 A B C D 的面积为37.
(2)能.如图所示，正方形 E F G H, 正方形 \mathbb{K}\mathbb{M}N 即为所求。

16.（10分)如图，一只小猫沿着斜靠在墙角的木板 _{A B} 往上爬，木板底端距离墙角 0.7~m~ ，当小猫从木板底部爬到顶端 A 时，木板底端向墙外滑动了 1.~3~m~ ,木板顶端向下滑动了0.9~m~ ：

(1)根据题意，得 \begin{array}{r l}{B C={}}&{{}\ 0.\ 7}\end{array} m, B B_{1}= \underline{{{1.3}}}\quadm,\boldsymbol{A}A_{1}=\quad0.9\quadm.

(2)求 A_{1}C 的长和这块木板的长.

解：设 A_{1}C=xrm{m} A
在 \mathbf{Rt}\triangle A B C 和 \mathbb{R}t\triangle A_{1}B_{1}C A
中，
AB² = AC² + BC², A_{1}B_{1}^{2}= B B C
A_{1}C^{2}+B_{1}C^{2}, ihmm mmm
\because A B{=}A_{1}B_{1}
\therefore(0,9+x)^{2}+0,7^{2}=x^{2}+(1.3+0.7)^{2},
解得 x=1.5
\therefore A B^{2}=B C^{2}+A C^{2}=0,7^{2}+(0,9+1,5)^{2}=6,25
{\bf\Omega}°*\ A B=2.5~m.
答 _{:A_{1}C} 的长是 1.5~m~ ，木板的长是 2.5\ m 量

17.（12分）如图，在 Rt\triangle A B C 中， \angle A C B=90° ，A B{=}5\cm,A C{=}3\cm ，动点 P 从点 B 出发沿射线 B C 以 1~cm/s 的速度移动，设运动的时间为 \mathbf{\Psi}_{t} s.

(1)求边 B C 的长.
(2)当 \triangle A B P 为直角三角形时，求 \mathbf{\Psi}_{t} 的值.解：(1)在 \mathbf{Rt}\triangle A B C 中，由勾股定理，得
B C^{2}=A B^{2}-A C^{2}=5^{2}-3^{2}=16,
B C=4\cm,
(2)由题意，得 B P=t{~cm} ，分两种情况讨论：
① 当 \angle A P B=90° 时，点 p 与点 \mathbb{C} 重合，
\therefore B P=B C=4{~cm.~}\therefore t=4;
② 当 \angle B A P=90° 时，
则 C P=(t{-}4)cm,\angle A C P{=}90°,
在 \mathbf{Rt}\triangle A C P 中，由勾股定理，得 _{A}P^{2}=_{A}C^{2}+C P^{2}, 在 \mathbf{Rt}\triangle A B P 中，由勾股定理，得 A P^{2}=B P^{2}-A B^{2} \therefore A C^{2}+C P^{2}=B P^{2}-A B^{2},
即 3²+(t-4)²=t²-5²,解得 t=25.
综上所述，当 \triangle A B P 为直角三角形时 ,t 的值为 4 或{(25)/(4)}.

备用图

期末复习(一) 勾股定理

知识结构图

重难点突破

重难点1 勾股定理与折叠

【例1】如图，在长方形纸片ABCD中， A B= 12, B C=5 ，点 E 在 _{A B} 上，将 \triangle D A E 沿 D E 折叠，使点 A 落在对角线 B D 上的点 F 处，则 A E 的长为 (10)/(3)

【思路点拨】设 A E=E F=x ，则 B E= _{12-x} ，在 Rt\triangle B E F 中，由勾股定理列方程求解即可.

方法指导

抓住图形的“直观性”和折叠前后的“不变性”是解决折叠问题的关键.利用勾股定理中三边的数量关系列方程是解决此类问题的常用手段.

变式训练

1.如图，在长方形纸片ABCD中， A B=3~{cm} ，A D{=}9~cm ,折叠纸片，使点 D 与点 B 重合，折痕为 E F ，则 \triangle A B E 的面积为 （C)

A. 3~cm^{2} B. 4~{cm^{2}} C.6\cm^{2} D. 12\cm^{2}

重难点2勾股定理的实际应用

【例2】如图，地面上放着一个小凳子，点A 距离墙面 40~cm ,在图1中，一根细长的木杆一端与墙角重合，木杆靠在点 A 处， O A= 50~cm ；在图2中，木杆的一端与点 B 重合，另一端靠在墙上点 C 处.

(1)求小凳子的高度.

(2)若 O C=90~cm ，木杆的长 B C 比 _{A B} 长60~cm ,求木杆的长 B C 和小凳子座板的宽 A B ：

图1

图2

【思路点拨】（1)过点 A 作 A M 垂直于墙面，垂足为 M ,根据勾股定理解答即可；

(2)延长BA交墙面于点 N ，根据勾股定理 解答即可.

【解答】 解：(1)过点 A 作 A M 垂直于墙面,垂足为M.根据题意，得 A M{=}40\cm 在 \mathbb{R t}\triangle A\oslash M 中 ,O M^{2}=A O^{2}-A M^{2}=50^{2}-40^{2}= 900.*\cal{O M}=30~cm. 答：凳子的高度为 30~cm (2)延长 B A 交墙面于点 N ，则 \angle B N C=90° 设 A B=x\ {cm} ，则 B C=(x+60)cm,B N=(x+ 40)cm,C N{=}90{-}30{=}60(cm). 在 \mathbf{Rt}\triangle B C N 中 B N^{2}+C N^{2}=B C^{2}\ , 即 (40+x)^{2}+60^{2}=(x+60)^{2}, 解得 x=40 \begin{array}{r}{* A B=40\cm,B C=100\cm.}\end{array} 木杆的长 B C 为 100~{cm} ，小凳子座板的宽 A B 为40\cm.

方法指导

构造直角三角形，利用直角三角形三边的关系解决生活中的问题是解题的关键.

变式训练

2.在海洋上有一座近似于四边形的岛屿，其平面如图1所示，小明据此构造出该岛屿的一个数学模型（如图2，四边形ABCD）， A C 是四边形岛屿上的一条小溪流，其中 \angle B=90° ，A B{=}B C{=}5\ km,C D{=}√(2)\ km,A D{=}4\ √(3)\ km. (1)求小溪流 A C 的长.(2)求四边形 A B C D 的面积.(结果保留根号)

图1

图2

解：（1)：B=90° A B=B C=5{~km}
\therefore A C^{2}=A B^{2}+B C^{2}=5^{2}+5^{2}=50.
\therefore A C=5{√(2)}k m.
(2)\because C D^{2}+A D^{2}=(√(2))^{2}+(4√(3))^{2}=50=A C^{2},
*\angle D=90°
\therefore S_{∞\#\#\#\#G B C D}=S_{\triangle\#C}+S_{\triangle\#D}=(1)/(2)x5x5+(1)/(2)x√(2)x
4√(3)=((25)/(2)+2√(6)){\bf k m}^{2}.

复习自测

一、选择题（每小题4分，共28分）

1.下列各组数分别为三角形的三边长，其中不能构成直角三角形的一组是 （B）

A.3,4,5 B.4,5,6
C.(3)/(4),(5)/(4),1 D.9,12,15

2.如图，直角三角形中未知边的长 x= （B)

A. √(5) B. √(7) C.5 D.7

第2题图

第4题图

3.如图，以数轴的单位长度为边作一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形的对角线的长为半径画弧，交数轴正半轴于点 A ，则点 A 表示的数是 （B）

A (3)/(2) B.√2 C.√3 D.1. 4

4.如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，准备采用如下方法：先测量门的边 A B 和 B C 的长，再测量点 A 和点 C 间的距离，由此可推断 \angle B 是否为直角，这样做的依据是 （B）

A.勾股定理 B.勾股定理的逆定理 C.三角形内角和定理 D.直角三角形的两锐角互余

5.如图，在 \triangle A B C 中， A B=A C,A B=13,B C=
24，则该三角形的面积为 （A）

A.60 B.30 C.50 D.40

第5题图

第6题图

6.如图，将两个形状、大小完全相同的 \triangle A B C 和\triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime} 拼在一起,其中点 {\boldsymbol{A}}^{\prime} 与点 A 重合，点 C^{'} 落在边 _{A B} 上，连接 B^{\prime}C .若 \angle A C B= \angle A C^{\prime}B^{\prime}=90° ， A C=B C=3 ，则 B^{\prime}C 的长为（A）

A.3 √(3) B.6 C.3 √(2) D. √(21)

7.如图，教室墙面ADEF与地面 A B C D 垂直，点 P 在墙面上,若 P A={√(17)} 米， A B=2 米，点P 到 A F 的距离是4米，一只蚂蚁要从点 P 爬到点 B ,它的最短行程是 （C)

A.3米 B.4米 C.5米 D.6米

第7题图

第10题图

二、填空题（每小题5分，共30分）

8.在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是（0,9），点 B 的坐标是（一12，0），则 A,B 两点间的距离是15·

9.在 \triangle A B C 中，若 A C^{2}+A B^{2}=B C^{2} ，则 \angle B+ \angle C={\bf90}°

10.如图，湖的两岸有 A,C 两点，取一点 B ，使B C\bot A C ，测得 A B=15 米， B C=12 米，则^{A,C} 两点间的距离为9米.

11.如图,在 2x2 的方格中每个小正方形的边长为2，则阴影正方形的边长的整数部分是

第11题图

第12题图

12.在如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为√2，

13.（2024·大庆）如图1，直角三角形的两个锐角分别是 {40}° 和 {50}° ,其三边上分别有一个正方形.执行下面的操作：以两个小正方形的边长为斜边向外分别作锐角为 {40}° 和 {50}° 的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形.图2是1次操作后的图形，图3是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”.若图1中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为48

图1

图2

图3

三、解答题（共42分）

14.（10分）如图，已知某山的高度AC为800米，在山上 A 处与山下 B 处各建一个索道口，且 B C=1~500 米，欢欢从山下索道口坐缆车到山顶.已知缆车每分钟走50米，那么大约多少分钟后，欢欢才能达到山顶？

解：根据题意，得
\angle A C B=90°
在 \mathbf{Rt}\triangle A B C 中，根据
勾股定理，得
A B^{2}=A C^{2}+B C^{2}=C
800^{2}+1~500^{2}=2~890~000,
~\therefore~A B=1~700 米。 1700/50=34(s) 答：大约34分钟后，欢欢才能达到山顶.

15.（10分)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点 A,B,C,D 都在格点上.

(1)线段 A B 的长是√5
(2)在图中画出一条线段 E F ,使EF的长为√(13) .判断 A B,C D,E F 三条线段的长能否成为一个直角三角形的三边长，并说明理由.解：如图所示， E F 即为所求，
A B,C D,E F 三条线段的长能
成为一个直角三角形的三边
长.
理由： A B^{2}=\left({√(5)}\right)^{2}=5.
C D^{2}=8,E F^{2}=13
\therefore A B^{2}+C D^{2}=E F^{2}.
\therefore A B,C D,E F 三条线段的长能成为一个直角三角形的三边长.

16.（10分)如图， \triangle A C B 和 \triangle E C D 都是等腰直角三角形， \angle A C B=\angle E C D=90°,D 为边AB上一点.求证：

(1)\triangle A C E{\cong}\triangle B C D. (2)A D^{2}+D B^{2}=D E^{2}. 证明： (1)\because\angle A C B= \angle E C D=90° /ACD+/BCD= \angle A C D+\angle A C E \therefore\angle B C D=\angle A C E.

： \triangle A C B 和 \triangle E C D 都是等腰直角三角形，\therefore B C=A C,D C=E C.
△ACE△BCD(SAS).
(2) \triangle A C B 是等腰直角三角形，
\therefore\angle B=\angle B A C=45°.
△ACE△BCD,
\therefore\angle C A E=\angle B=45°,A E=D B.
\therefore\angle D A E=\angle C A E+\angle B A C=45°+45°=90°. \therefore A D^{2}+A E^{2}=D E^{2}.
\therefore A D^{2}+D B^{2}=D E^{2}

17.（12分)定义：如图，点 M,N 把线段 A B 分割成 A M,M N,N B ，若以 A M,M N,N B 为边的三角形是一个直角三角形，则称点 M,N 是线段 A B 的勾股分割点.

(1)已知点 M,N 把线段 _{A B} 分割成 \ A M ， M N,N B ，若 A M=2 ， M N=4 ， B N= 2{√(3)} ,则点 M,N 是线段 \vert A B 的勾股分割 点吗？请说明理由.

(2)已知点 M,N 是线段 _{A B} 的勾股分割点， 且 A M 为直角边，若 A B=12,A M=5 ， 则 B N=(12)/(7)\ast(37)/(7)

解：是.理由： A M^{2}+B N^{2}=2^{2}+(2√(3))^{2}=16, M N^{2}=4^{2}=16
\therefore A M^{2}+B N^{2}=M N^{2}.
：以 A\bar{M},\bar{M}\bar{N},\bar{N}\bar{B} 为边的三角形是一个直角三角形.
故点 M,N 是线段 A B 的勾股分割点，