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第十节

一、有界性与最大值最小值定理

二、零点定理与介值定理

*三、一致连续性

闭区间上连续函数的性质

第一章

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最大值和最小值概念：

对于在区间 I 上有定义的函数 f (x) , 如果存在

0

x I  ,

使得对于任一

x I 

都有

0

f x f x ( ) ( )  0

( ( ) ( )) f x f x 

则称

0

f x( )

是函数

f x( )

在区间 I 上的最大(小)值.

例如,

y x = +1 sin , x  [0,2 ], max y = 2, min y = 0. y x = sgn ,

在

( , ) − +

内,

max y =1, min y = −1.

在

(0, ) +

内,

max min y y = =1.

一、有界性与最大值最小值定理

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定理1. 在闭区间上连续的函数

1

 2

且

, [ , ],  1

 2  a b

使

1

( ) min ( )

a x b

f f x m 

 

= =

2

( ) max ( )

a x b

f f x M 

 

= =

能取得它的最大值和最小值.

在该区间上有界且一定

(证明略)

x

y

a b

y = f (x)

O

即: 设

f (x)C[ a, b],

则存在常数 K > 0，使得对于

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例如,

无最大值和最小值

2

2

也无最大值和最小值

又如,

x

y

1

1

O

x

y

O 1

1

注意: 若函数在开区间上连续,

结论不一定成立 .

或在闭区间内有间断

点 ,

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二、零点定理与介值定理

定理2.( 零点定理 )

且 至少有一点

使

 x

y

a

b

y = f (x)

O

定理3. ( 介值定理 ) 设

f (x)C[ a, b],

且

f (a) = A,

f (b) = B, A  B ,

则对 A 与 B 之间的任一数 C ,

一点 使

至少有

如果

0

x

使

0

f x( ) 0, =

则

x0

称为函数

f x( )

的零点.

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定理3. ( 介值定理 ) 设

f (x)C[ a, b],

且

f (a) = A,

f (b) = B, A  B ,

则对 A 与 B 之间的任一数 C ,

一点

证: 作辅助函数

(x) = f (x) −C

则

(x)C[ a, b] ,

且

(a)(b) = (A−C)(B −C)

故由零点定理知, 至少有一点 使

即

推论: 在闭区间上连续的函数

C



使

至少有

必取得介于最小值与

最大值之间的任何值 .

x

A

b

y

a

y = f (x)

B

O 2

 1



上页 下页 返回 结束 O 1 x

例1. 证明方程

一个根 .

证: 显然 又

故据零点定理, 至少存在一点 使 即

说明:

,

2

1

x = ( ) 0,

8

1

2

1

f = 

( ,1)

内必有方程的根 ;

2

1

取 的中点

,

4

3

x = ( ) 0,

4

3

f 

( , ) 内必有方程的根 ;

4

3

2

1  可用此法求近似根.

二分法

+

−

+

−

在区间 内至少有

则

则

4

3

2

1

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例2. 至少有一个不超过 4 的

证：

证明

令

且

根据零点定理 ,

原命题得证 .

在开区间 内至少存在一点

显然

正根 .

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内容小结

1. ( ) f x

在

[ , ] a b

上达到最大值与最小值;

上可取最大与最小值之间的任何值;

4. 当 时, 必存在 使

上有界;

在

在

[ , ] a b [ , ] a b f a f b ( ) ( ) 0 

2. ( ) f x 3. ( ) f x  ( , ), a b f ( ) 0.  =

设

f x C a b ( ) [ , ], 

则

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1. 任给一张面积为 A 的纸片(如图), 证明必可将它

思考与练习

一刀剪为面积相等的两片.

提示: 建立坐标系如图.

O x

y





则面积函数

S( )C[ , ]

因

S() = 0, S() = A

故由介值定理可知:

( , ),  0    .

2

( ) 0

A

使 S  =

S()



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证明至少存在

使

提示: 令

则 易证

2. 设

f x C a ( ) [0,2 ] ,  f f a (0) (2 ) , =

一点

 [0, ], a f f a ( ) ( ).   = + ( ) ( ) ( ) , x f x a f x = + − ( ) [0, ], x C a    (0) ( ) 0 a 

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作 业

习题1-10: 2; 3; 5.

总习题一: 1; 3; 4; 9; 10; 12; 13.