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目 录

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１～１７+,(-./0

[\\]^（#）～[\\]^（A）

１８～２０+,(-./0

[\\]^（#）～[\\]^（A）

２１～２３+,(-./0

[\\]^（#）～[\\]^（A）

123456

１

第一部分 专 项 突 破

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!\"# $%&'(

类型 ! !\"#$% 

１．!\"：槡４－３０＋２ｓｉｎ３０°．

#：$% ＝２－１＋２×

１

２

＝２－１＋１

＝２．

２．!\"： －３ －（槡３－２０２５）０＋（１

２）－１

．

#：$% ＝３－１＋２＝４．

３．!\"： －８ ×（－１

２）２－（－３＋５）×２－１

．

#：$% ＝８×

１

４－２×

１

２

＝２－１

＝１．

４．!\"：槡１２－ １－槡３ －（１

３）－１－ｔａｎ６０°．

#：$% ＝２槡３＋１－槡３－３－槡３＝－２．

类型 ! &'、('#)*+, 

５．!\"：ｘ（ｘ＋２）＋（ｘ＋１）２－４ｘ．

#：$% ＝ｘ２＋２ｘ＋ｘ２＋２ｘ＋１－４ｘ＝２ｘ２＋１．

６．&' ｘ

２－ｘ－４＝０，()*%（ｘ－２）２＋（ｘ

－１）（ｘ＋３）+,．

#：$% ＝ｘ２－４ｘ＋４＋ｘ２ ＋３ｘ－ｘ－３＝２ｘ２ －２ｘ

＋１．

∵ｘ２－ｘ－４＝０，∴ｘ２－ｘ＝４．

- ｘ２－ｘ＝４.，$% ＝２（ｘ２ －ｘ）＋１＝２×４＋１

＝８＋１＝９．

７．/ 0 1 2 3 4 5 6 7 % ａ－ｂ

ａ

÷（ａ－

２ａｂ－ｂ２

ａ

）+879\":;：

#：$% ＝ａ－ｂ

ａ ÷ａ－ａ－ｂ

ａ ÷

２ａｂ－ｂ２

ａ

……<=>

＝ａ－ｂ

ａ · １

ａ－ａ－ｂ

ａ · ａ

２ａｂ－ｂ２ ……<?>

＝ａ－ｂ

ａ２ － ａ－ｂ

２ａｂ－ｂ２ ……<@>

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 ……

２

（１）AB+9\":;C< >D

EFGHI；

（２）JKLFMN+#O:;．

#：（１）=

（２）$% ＝ａ－ｂ

ａ ÷（ａ２

ａ－２ａｂ－ｂ２

ａ ）

＝ａ－ｂ

ａ ÷ａ２－２ａｂ＋ｂ２

ａ ＝ａ－ｂ

ａ ÷（ａ－ｂ）２

ａ

＝ａ－ｂ

ａ · ａ

（ａ－ｂ）２＝ １

ａ－ｂ

．

类型 ! -./（0）、12'（0） 

８．#PQ%R

７ｘ－１４≤０，①

{２( ｘ＋３) ＞ｘ＋４，②STU+

#VW*XAYZF[．

!\" !# !$ % $ & \"

#：\\①] ｘ≤２．

\\②] ２ｘ＋６＞ｘ＋４，

∴ｘ＞－２．

∴^PQ%R+#V_ －２＜ｘ≤２．

W*XAYZ`#Vab．

９．（２０２４·!\"#$）0B1cd34#=

e=fg;+:;，JhijkS#O

lm．

#g;：

２ｘ＋１

３ －５ｘ－１

６ ＝１．

#：n7o，] ２（２ｘ＋１）－（５ｘ－１）＝１．

…<=>

npq，] ４ｘ＋２－５ｘ＋１＝１． …<?>

rs，] ４ｘ－５ｘ＝１－１－２． …<@>

tS3us，] －ｘ＝－２． …<v>

w*5_ １，] ｘ＝２． …<x>

（１）Ay#O:;C< >DEF

GHI；

（２）(F^g;MN+#．

#：（１）=

（２）n7o，] ２（２ｘ＋１）－（５ｘ－１）＝６．

npq，] ４ｘ＋２－５ｘ＋１＝６．

rs，] ４ｘ－５ｘ＝６－２－１．

tS3us，] －ｘ＝３．

w*5_ １，] ｘ＝－３．

１０．#g;R

ｘ＋３ｙ＝４，①

{２ｘ－ｙ＝１．②0B1z{34

+#O:;：

%&'：

(：)*+ ２ｘ－ｙ＝１,-. ｙ＝２ｘ－１．

/ ｙ＝２ｘ－１01*+①，2 ｘ＋３（２ｘ－

１）＝４……

3&'：

(：/*+ ２ｘ－ｙ＝１45678 ３，2

６ｘ－３ｙ＝３③．① ＋③，2（ｘ＋３ｙ）＋（６ｘ

－３ｙ）＝４＋３……

（１）|349}+g~1 ，34

9}+g~1 ．（€‚q）

①)ƒ„e~；②…†„e~．

（２）J‡ˆ=‰#~，LFŠ‹+#O

:;．

#：（１）① ②

（２）‡ˆ|34+g~．

Tg; ２ｘ－ｙ＝１Œ_ ｙ＝２ｘ－１．

Ž ｙ＝２ｘ－１)ƒg;①，] ｘ＋３（２ｘ－１）＝４．

#] ｘ＝１．

T ｘ＝１)ƒ ｙ＝２ｘ－１，] ｙ＝２×１－１＝１．

∴^g;R+#_ ｘ＝１，

{ｙ＝１．

‡ˆ34+g~．

Žg;２ｘ－ｙ＝１+z3３，]６ｘ－３ｙ＝３③，

① ＋③，]‘（ｘ＋３ｙ）＋（６ｘ－３ｙ）＝４＋３，

#] ｘ＝１．

T ｘ＝１)ƒ ２ｘ－ｙ＝１，] ２－ｙ＝１，

#] ｙ＝１．

∴^g;R+#_ ｘ＝１，

{ｙ＝１

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．

专项新评价!数学

３

!\") *+,&(

意 义 诠 释

’!“”•1–—*4+˜™š›œ=，1žŸ —¡+¢£m¤，¥¡u¤¦ ２

‰：①’!bY§¨u；②”•u．

典 例 剖 析

类型 ! 3456789 

【-(./】©Nª’!b+«¬­®

}，¯:°’!bY—+±²§¨³´7

µ、¶·、¸¹、º»、”p，C—¼½#m§

¨­¾¿、g~，ÀÁ³´ÃÄ、ÅÆ、Ç

G­!\"．3.™ÈÉÄ#ʀ*、Ë*、—

{*、gÌQ’!Í+ÉÎ，SÏMN!\"．

0 １ （２０２４!9:$;）_¼½—4

аÑÒÓÔ+Õ#Ö×，2—4CØ、Ù

 Ú4З7ÛÜݺ½Õ ２０Þ4г´

ßà（á7 １００7），S°*â（ãä，å{：

7）³´‹Ä、æy­7µ．87§¨a0：

Ø Ú4Ðãä+’!Y­ç’!

ba0：

,&1

QÚ ãä ｘ／7 è*

Ａ ９０≤ｘ≤１００ ２

Ｂ ８０≤ｘ＜９０ ａ

Ｃ ７０≤ｘ＜８０ ６

Ｄ ６０≤ｘ＜７０ ｂ

Ｅ ６０7/0 ２ !

\" #

$

%

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扇形统计图

Ø Ú4Ð+ãä— ＣQÚ+*â7

Û1：７２，７５，７７，７４，７５，７８．

Ù Ú4Ðãä+ʀ*、—{*、Ë

*、éê•（８０7ë/A_éê）a0：

ʀ* —{* Ë* éê•

８０ ８０ ７７ ５０％

ìâ/A§¨，íO0îlm：

（１）ï：ａ＝ ，ｂ＝ ．

（２）獒!b— ＣQÚð°ñòó

ô+õ*_ ．

（３）ì⧨Ãö，÷ø Ú+4а

ÑÒÓÔùÕ#？J‡ˆ=ø’!Íú©

Ä\\．

（４）^—4Ø、Ù Ú4Ъ¦ ６００

Þ，û!Ø、Ù Ú4З°ÑÒÓÔ+Õ

#ü‘éê+ý¦þÿè．

【23-4】#：（１）４ ６

（２）１０８°

（３）Ù Ú+4аÑÒÓÔùÕ#．

Ä\\：∵Ø Ú4Ð+éê•1２＋４

２０ ×１００％

＝３０％，３０％ ＜５０％，

∴Ù Ú+4аÑÒÓÔùÕ#．

（３）６００×３０％ ＋６００×４５％ ＝４５０（è）．

O：û!Ø、Ù Ú4З°ÑÒÓÔ+Õ#

ü‘éê+ý¦ ４５０è

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第一部分 专项突破

４

类型 ! :;9 

【-(./】–—!\"+”•lm#þ

1Q$ϔ¤，(2%& ＡÇÐ+”•+'

%_ Ｐ（Ａ）＝ｍ

ｎ，()*Fà+—%&ÇÐ

+,f* ｎ­%& ＡFG+f* ｍ1#m

+²-，#m.=./}012b3îY+

g~．

0 ２ （２０２４·<=>?@A$）„4

56³78，„49:;ó<．_=>?@

A#BÐ+CDCEÏF，27RG:HB

ÐDIՄ4JK．_ՎJKLMN>N

O，47?PQRՄ4JKLMgS，S

TDÕ±²UmVW，°ªXYZ¿[­ª

\\{,]^B+_`NÕ©N+™(，3.

Wªab¯cQ²-{dedÕfghi

j，/klm‚no，pqÇÐrsQ9:

%t．^7uoWv Ú+|、、w、x ４

{^B—Ü݇½ ２{®_fghij，`

—|、、w1y^B，x1z^B．

（１）“‡½+ ２{fghij{1z^

B”1 （“P$Ï”“|À”3“Ü

Ý”）%&．

（２）J}012b~3îY~(}‡

‘+ ２{^B1=y=z+”•．

【23-4】#：（１）P$Ï

（２）012ba0：

乙 丙 丁

甲

甲 丙 丁

乙

甲 乙 丁

丙

甲 乙 丙

丁

开始

=ý¦ １２‰Q$Ï+~，`—}‡‘+ ２

{^B1=y=z+~¦ ６‰，∴}‡‘+ ２

{^B1=y=z+”•_ ６

１２＝１

２

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针 对 训 练

类型 ! 3456789 

１．（２０２４·=B$;）2f€ßà—，¦

=cá7_ １０7+€c®m，`‚

7ƒ„_：

Ａ．CDEFG，H. １I；

Ｂ．JKLM，H. ３I；

Ｃ．NOPQRS，H. ５I；

Ｄ．TQUFGRS，H. ８I；

Ｅ．VW、XYUFGZRS，H.[I１０I．

_Õ#Ù Ú4Ѐc®+]7Ö

×，^7°Ù Ú4Ð/ ２０è_=R³

´ÕÜÝ7R，SC—Üݺ½Õ ３øc

R4Ð+O…³´’!7µ，:;a0：

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第 \" 小组得分扇形统计图

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人数

得分+分

第 # 小组得分条形统计图

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人数

得分+分

第 * 小组得分折线统计图

# * ( & #$

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专项新评价!数学

５

【56789】

（１）J†:< １cR]7‡’!b．

（２）W< ２cR]7獒!b—，(“８

7”ˆ=sð°ñ+òóôõ*．

【:;7<&】

ʀ*／7 Ë*／7 —{*／7

< １cR ７．５ ａ ８

< ２cR ｂ １ ３

< ３cR ５．９ ５ ｃ

（３）\\AYï：ａ＝ ，ｂ＝ ，

ｃ＝ ；

（４）‰^7Ù Ú¦ ６００Þ4Ð，JKû

!^7Ù Ú4ÐWŠfßà—c

®]7_ １０7+è*．

#：（１）†:+‡’!bab．

（２）３６０°×１０％ ＝３６°．

（３）< １cR]7FGf*‹þ+1 １０7，ý

FGÕ ８f，()Ë* ａ＝１０．

< ２cR]7+ʀ* ｂ＝１×４０％ ＋３×３０％

＋５×１５％ ＋８×１０％ ＋１０×５％ ＝３．３５．

< ３cR]7+—{* ｃ＝５＋５

２ ＝５．

（４）６００×

８＋２０×５％ ＋２

２０＋２０＋２０ ＝１１０（è）．

O：û!^7Ù Ú4ÐWßà—c®]7

_ １０7+è*_ １１０．

２．（２０２４·\\]$;）４Œ ２４1—Ž

，27DIÕ“‘’“'

”lOwîLM．_Õ#LM•，Cv、

Ø Ú4Ð+'”lOãä—，ªÜݺ

½Õ ２０Þ4Ð+ãä³´’!7µ（６

7ë ６7/A_t–，９7ë ９7/A_

éê），S—Qãa0’!bY：

v Ú Ø Ú

ʀ* ｍ ７．５５

—{* ８ ｂ

Ë* ａ ７

t–• ｃ ８５％

七年级学生成绩统计图 八年级学生成绩统计图

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分$ 分

%$#

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' 分

(\"#

) 分

%\"#

* 分

%\"#

)

$

+

(

!

%

人数

\" $ ) * ' &%\" 成绩,分

ìâAy§¨，#O0îlm：

（１）4Ðãä’!Y—，ａ＝ ，ｂ＝

，ｃ＝ ．

（２）(v Ú4Ðãä+ʀ* ｍ．

（３）ìâ/A*â，Kh_^7v Úؠڗ，÷ø Ú+4аï

'”˜™]ùš？Jú©Ä\\．

#：（１）８ ７．５ ８０％

（２）v Ú4Ðãä+ʀ* ｍ＝５×２０％ ＋６

×１０％ ＋７×１０％ ＋８×３０％ ＋９×１５％ ＋１０×

１５％ ＝７．５５（7）．

（３）v Ú+4аï'”˜™]ùš．

Ä\\：(_zø Ú+ʀ*±3，›v Ú+

—{*­Ë*€œØ Ú，ð/v Ú+4

аï'”˜™]ùš

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第一部分 专项突破

６

类型 ! :;9 

３．<؞Ÿ V ２０２４  ９Œ ２０¡ ２４

Wž9Ž¢VI—ó£¤．ŠžŸ V

/“¥5¦§¦¯·¨I©ªt®”_˜

m．WŸ V£¤œ¢，2Ý«!¬­:

®—c4Я°“Ÿ c;±”．27G

¦|、z{yЭw、xz{zв…

c;±³‡．

（１）‰´Cˆv{³‡±—Ü݇F=

{c ; ±，µ ‡ ‘ y Ð + ” • 1

；

（２）‰Cˆv{³‡±—Ü݇Fz{

c;±，J}îY3012b+g~

(Fz{zÐ3.-‡+”•．

#：（１）∵|、z{yЭw、xz{zв…

c;±³‡，

∴Cˆv{³‡±—Ü݇F={c;±，‡

‘yÐ+”•1 ２

４＝１

２．

tOS_ １

２．

（２）012ba0：

乙 丙 丁

甲

甲 丙 丁

乙

甲 乙 丁

丙

甲 乙 丙

丁

开始

\\b$'，ý¦ １２‰Q$Ï+~，`—z{

zÐ3.-‡+~¦ ２‰，

∴z{zÐ3.-‡+”•1 ２

１２＝１

６．

４．（２０２４·^_A$）W=f¶·à+—，

T¸¦¹ºP3+»ºc·­¼ºc·，

ÜݽW|、zøP¾©+¿ÀÁ，&

'|¿+ ４øc·—¸¦=ø¼º·，

¿+ ３øc·—¸¦=ø»º·．

（１）“C|¿—¶F+=ø·1¼º·”

1 （“ÜÝ”“|À”3“P

$Ï”）%&．

（２）J}îY~3012b~，(F“C

zø¿À—ª¶F=ø·，zø·{

1»º·”+”•．

#：（１）∵|¿+ ４øc·—¸¦=ø¼º·，

∴ “C|¿—¶F+=ø·1¼º·”1ÜÝ

%&．tOS_：ÜÝ．

（２）$012ba0：

红

红!

白! 白\" 红

白

红 白! 白\"

红\"

白! 白\" 红

红#

白! 白\"

甲袋!

乙袋!

ý¦ １２‰Q$Ï+~，`—¶‘+zø·{

1»º·+~¦ ３‰，

∴Ｐ（zø·{1»º·）＝３

１２＝１

４．

配套答案

复习微课

专题精讲

答题技巧

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专项新评价!数学

７

５．èu+ÂÛ1\\=°ÂúH（Ｘ，Ｙ）u

o+，-úH_ ＸＸ.1zÂ，-ú

H_ ＸＹ.1yÂ．0b_=°ÄÅ+Â

úHÆÇbÈ．

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母

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女

男

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男

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“ÜÝ”）%&，“<=É_zÊ”+

”•1 ．

（２）ˆ°ÄÅ!¬ÐzøcÊ，J}îY

3012b+g~(FzøcÊ1

“=y=z”+”•．

#：（１）ÜÝ １

２

（２）012ba0：

男

男 女

女

男 女

开始

第一个小孩

第二个小孩

ý¦ ４‰Q$Ï+~，`—=y=z+~

¦ ２‰，

∴Ｐ（zøcÊ1“=y=z”）＝２

４＝１

２．

６．¯¥Ö×0ËÌÍέ—ÂÏÐPŒ

º，ÍÑÂÏЌ»º．=f54ÒA，4

Ð}ËÌÏÐÓßvԃÕ}ÖÃ×~

7Ø+׺ÏÐ+ÎÑÂ．&'vÔÏÐ

7Û1 Ａ———ÙÎ（ÚÎÂ），Ｂ———ÛÎ

ÜÏÐ（ڗÂ），Ｃ———ÝÞ5ßÏÐ

（ÚÑÂ），Ｄ———ÝÞ5ÜÏÐ （ÚÑ

Â）．

（１）càŽËÌÏÐÜÝáƒ=‰ÏÐ

Á，~Œ»º+”•1þÿ？

（２）càâ‡zÔÏÐ，3.áƒËÌÏ

г´Óß，JK}îY3012b

+g~，(zÔÏÐãš{Œ»º+

”•．

#：（１）∵ËÌÍέ—ÂÏÐPŒº，ÍÑ

ÂÏЌ»º，

∴càŽËÌÏÐÜÝáƒ`—=ÔÏÐÁ，

ÙέÛÎÜÏÐPŒº，ÝÞ5ßÏЭÝ

Þ5ÜÏЌ»º，

∴~Œ»º+”•_ ２

４＝１

２．

（２）îYa0：

Ａ Ｂ Ｃ Ｄ

Ａ － （Ｂ，Ａ） （Ｃ，Ａ） （Ｄ，Ａ）

Ｂ （Ａ，Ｂ） － （Ｃ，Ｂ） （Ｄ，Ｂ）

Ｃ （Ａ，Ｃ） （Ｂ，Ｃ） － （Ｄ，Ｃ）

Ｄ （Ａ，Ｄ） （Ｂ，Ｄ） （Ｃ，Ｄ） －

\\Y'，ý¦ １２‰Q$ÏFG+~，`—z

ÔÏÐãš{Œ»º+~ý ２‰，ä（Ｄ，Ｃ），

（Ｃ，Ｄ），

∴zÔÏÐãš{Œ»º+”• ＝２

１２＝１

６

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第一部分 专项突破

８

!\"= >?@A(

意 义 诠 释

>åÖæuñ}m1ž—¡+çèm¤，é1|¡m¤．)uàm¯¥¡êñ}É

”，™(Ï}*4'”#u>¢lm．ˆuàm¦=øëì+«£，í1mî+ïæ{[ð

ÐL—+2ø>å3Öæ，m¤/#Om_˜，àmÚG%Lñèd，ò¦.)ó¨­

6èô,．^umõtÂö÷，ø—Qùõàm，#u)ulm¯¥ú™«ûüô@ô，

ýLñ}#üô@ôë±²+þÿ'”³´#O．¥¡u¤¦：①@ô!¤；②v!

¤；③ò!¤．

典 例 剖 析

类型 ! <=>?@ 

【-(./】#u)ulm.™Õ#>

åb/ë\\>åbº»F+þÿb，\"*

ôœ<+²w，*‘&'­#'œ<±²

§+üô@ô，()˜™@ô+Â$­

%ô@ô&*+ñ}1#m+²-．-b

—'¦üô@ô.，™¯:®œ3([«

ûüô@ô．

0 １ （２０２４·`abc$）)*+，

,-“ž<=a”，“./0101a、.

23456aS-_“/@#Þa”．a

b，)*+P¦=78 ＡＢ，9_８．５ｍ，œ_

ＡＣ，∠ＡＢＣ＝３７°．_Õ!\")*++œõ，

:}ßô;W78<=+£ Ｂ>ß]?@

£ Ｄ+Aô_ ５１．５°，W78B=+£ Ａ>

ß]?@£ Ｄ+Aô_ ４５°，`—£ Ｃ，Ｂ，Ｅ

W3=ü[A．

（１）(78+œõ ＡＣ；

（２）()*++œõ ＤＥ．

（²¡*â：ｓｉｎ３７°≈０．６，ｃｏｓ３７°≈

０．８，ｓｉｎ５１．５°≈０．７８，ｃｏｓ５１．５°≈０．６２，

ｔａｎ５１．５°≈１．２６．~kC={c*）

!

\"

#

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【23-4】#：（１）\\mÉ]：ＡＣ⊥ＢＣ，

∴ＡＣ＝ＡＢ·ｓｉｎ３７°≈８．５×０．６＝５．１（ｍ）．

∴78+œõ ＡＣD_ ５．１ｍ．

（２）:£ Ａ® ＡＦ⊥ＤＥ，(E_ Ｆ．

\\mÉ]：ＡＣ＝ＥＦ≈５．１ｍ，ＡＦ＝ＣＥ．

W Ｒｔ△ＡＣＢ—，ＡＢ＝８．５ｍ，∠ＡＢＣ＝３７°，

∴ＢＣ＝ＡＢ·ｃｏｓ３７°≈８．５×０．８＝６．８ｍ．

e ＢＥ＝ｘｍ，

∴ＡＦ＝ＣＥ＝ＢＣ＋ＢＥ≈（ｘ＋６．８）ｍ．

W Ｒｔ△ＢＥＤ—，∠ＤＢＥ＝５１．５°，

∴ＤＥ＝ＢＥ·ｔａｎ５１．５°≈１．２６ｘ（ｍ）．

W Ｒｔ△ＡＤＦ—，∠ＤＡＦ＝４５°，

∴ＤＦ＝ＡＦ≈（ｘ＋６．８）ｍ．

∵ＤＦ＋ＥＦ＝ＤＥ，

∴ｘ＋６．８＋５．１≈１．２６ｘ，#] ｘ≈４５．７７．

∴ＤＥ≈１．２６ｘ≈５７．７（ｍ）．

∴)*++œõ ＤＥD_ ５７．７ｍ

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专项新评价!数学

９

类型 ! AB>?@ 

【-(./】#uˆulm#F™G

}*4+HIn¶·>å，Ž>庻ã«

Jv!¤，¯:®KL[，Tv

!¤M5_NOPQ+@ô!¤，:}ü

ô@ôôœ<+²w[#O．()˜™

š«Jv+Â$、#üô@ô+ñ}

1#m+²-．

0 ２ （２０２４·9:$;）b １12R

STUV，b ２_`WBZÉb．&' ＡＢ∥

ＣＤ∥ＥＦ∥ＧＨ，ＭＣ∥ＢＥ∥ＤＧ∥ＦＯ，Ｍ，Ｎ，Ｐ，

Ｑv£7Û1 ＡＢ，ＣＤ，ＥＦ，ＧＨ+—£（Ｎ，Ｐ

z£é7ÛW ＢＥ­ ＤＧA），ＦＯ⊥<X ＨＩ，

(E_ Ｏ，©ßÍ，ＡＢ＝ＣＤ＝ＥＦ＝ＧＨ＝

４４ｃｍ，ＭＣ＝ＮＥ＝ＰＧ＝２２ｃｍ，∠ＧＨＩ＝４８°．

（１）(Y：v ＭＢＮＣ_Z．

（２）(RSTUV+œ（£ Ａ‘<X ＨＩ

+[Z）．

（²¡*â：ｓｉｎ４８°≈０．７４，ｃｏｓ４８°≈

０．６７，ｔａｎ４８°≈１．１１．~kC={c*）

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图 !

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图 \"

0

【23-4】（１）Y©：∵ＡＢ∥ＣＤ，ＭＣ∥ＢＥ，

∴v ＢＭＣＮ1Ê´v．

∵Ｍ1 ＡＢ+—£，ＡＢ＝４４ｃｍ，

∴ＡＭ＝ＢＭ＝１

２ＡＢ＝２２（ｃｍ）．

∵ＣＭ＝２２ｃｍ，

∴ＢＭ＝ＣＭ．

∴v ＭＢＮＣ_Z．

（２）#：ab，:£ Ａ® ＡＴ⊥ＨＩ，\\ ＨＧ£ Ｓ．

∵Ｑ1 ＨＧ+—£，

∴ＨＱ＝１

２ＨＧ＝２２（ｃｍ）．

\\mÉ]：ＡＴ⊥ＨＴ，

ＡＳ＝ＣＭ＋ＮＥ＋ＰＧ＝６６（ｃｍ），

ＨＳ＝ＨＱ＋ＥＦ＋ＡＢ＝２２＋４４＋４４＝１１０（ｃｍ）．

W Ｒｔ△ＨＳＴ—，∠ＧＨＩ＝４８°，

∴ＳＴ＝ＨＳ·ｓｉｎ４８°≈１１０×０．７４＝８１．４（ｃｍ）．

∴ＡＴ＝ＡＳ＋ＳＴ≈６６＋８１．４＝１４７．４（ｃｍ）．

∴RSTUV+œD_ １４７．４ｃｍ．

类型 ! C?@ 

【-(./】°“ò!¤”lm，m—

=.V?]þÿb，#m:;—™W^

°þÿbŠ_+7µ，¯:®KL[，:

}ò+þÿÂ$/ë#üô@ô+'”

(#．

0 ３ 2`a“1Ï¢bc+>åb

­döBZÉbabðZ．&'iïV¢e

ＤＥ“fV ＢＣðWü[±\\£ Ｏ，g ＯＢ

＝ＯＥ，fV ＢＣ“bÊhB ＡＤ(ü．ＡＣ＝

４０ｃｍ，∠ＡＤＥ＝３０°，ＤＥ＝１９０ｃｍ，i=fV

ＡＢ“bÊ[+jô∠ＢＡＤ＝６５°．

（１）(fV ＡＢ+9­£ Ｅ‘hB+[Z；

（２）(¢bc›c+WBò+kl ＯＢ

+9

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第一部分 专项突破

１０

（~mN‘ １ｃｍ．²¡*â：槡３≈

１．７３２，ｓｉｎ６５°≈ ０．９１，ｃｏｓ６５°≈ ０．４２，

ｔａｎ６５°≈２．１４）

!

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【23-4】#：（１）ab，:£ Ｅ® ＥＦ⊥

ＡＤ，(E_ Ｆ．

∵ＡＣ＝４０，∠ＢＡＣ＝６５°，

∴ＡＢ＝ ＡＣ

ｃｏｓ６５°

≈ ４０

０．４２

≈９５（ｃｍ）．

∵ＤＥ＝１９０，∠ＡＤＥ＝３０°，

∴ＥＦ＝１

２ＤＥ＝１９０×

１

２＝９５（ｃｍ）．

∴fV ＡＢ+9D_ ９５ｃｍ，£ Ｅ‘hB+[

Z_ ９５ｃｍ．

（２）e ＯＥ＝ＯＢ＝２ｘ，

∴ＯＤ＝ＤＥ＋ＯＥ＝１９０＋２ｘ．

∵∠ＡＤＥ＝３０°，∴ＯＣ＝１

２ＯＤ＝９５＋ｘ．

∴ＢＣ＝ＯＣ－ＯＢ＝９５＋ｘ－２ｘ＝９５－ｘ．

W Ｒｔ△ＡＣＢ—，∠ＡＣＢ＝９０°，

∴ｔａｎ∠ＢＡＣ＝ＢＣ

ＡＣ．

∴２．１４≈９５－ｘ

４０ ，#] ｘ≈９．４．

∴ＯＢ＝２ｘ≈２×９．４≈１９（ｃｍ）

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针 对 训 练

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１．（２０２４·de）ab １，WbÊhBA，=

nco}=ìp:oqr+sÀŽåH

tü­A?u．uE{dZÉbab ２，

).ß]£ Ａ‘ ＢＣðWü[+[Z ＡＣ

＝３ｍ，∠ＣＡＢ＝６０°；vw{dZÉba

b ３，).ß]∠ＣＤＢ＝３７°（£ Ｃ，Ａ，ＤW

3=ü[A，gü[ ＣＤ“hBÊ´），b

３—ð¦£W3=ÊBš．oqrklx

yP!，9M:;—sÀ,9PŒ．

（１）( ＡＢ+9；

（２）(åHA@+œõ ＣＥ（~mN‘

０．１ｍ）．

（² ¡ * â：ｓｉｎ３７°≈０．６０，ｃｏｓ３７°≈

０．８０，ｔａｎ３７°≈０．７５，槡３≈１．７３）

\" !

#

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图 ! 图 \" 图 #

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#：（１）W Ｒｔ△ＡＢＣ—，

ＡＣ＝３ｍ，∠ＣＡＢ＝６０°，

∴∠ＡＢＣ＝３０°．

∴ＡＢ＝２ＡＣ＝６ｍ．

（２）W Ｒｔ△ＡＢＣ—，ＡＢ＝６ｍ，ＡＣ＝３ｍ，

ìâz{oÄ]：

ＢＣ＝槡ＡＢ２－ＡＣ２ ＝槡６２－３２ ＝３槡３（ｍ）．

W Ｒｔ△ＢＣＤ—，∠ＣＤＢ＝３７°，

∴ｓｉｎ∠ＣＤＢ＝ＢＣ

ＢＤ，ä３×１．７３

ＢＤ ≈０．６０，

∴ＢＤ≈８．６５（ｍ）．

∵ＢＣ＋ＡＢ＝ＢＥ＋ＢＤ，

∴ＣＥ＝ＢＣ－ＢＥ＝ＢＤ－ＡＢ≈２．７（ｍ）．

tåHA@+œõ ＣＥD_ ２．７ｍ

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专项新评价!数学

１１

２．|}，1—ŽÇ’~åš8€}}+=

‰Fò，é1=‰‚å．b １1=øv

ç|}，UσW„š_ÁB…¨+è?

]†€，U+‡ˆbab ２ðZ，`— ＡＢ

＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＥ＝６０ｃｍ，£ Ａ，Ｃ，ＥW3

=‡ü[A，ＡＥ+9_^|}σ†€

+9õ，‰∠Ｂ＝∠ＢＣＤ＝∠Ｄ＝α，α+,

$/ìâ|}P3+‰½g%Š‹Œ．

（１）- α＝６０°.，ＡＥ＝ ｃｍ；

（２）‰ú™ ＡＥ+9õ_ １８０ｃｍ，ñ^Ž

α+ , Œ ‹ _ þ ÿ？（² ¡ * â：

ｓｉｎ４９°≈０．７５，ｃｏｓ４９°≈０．６６，ｔａｎ４９°≈

１．１５）

图 ! 图 \"

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#：（１）１２０

（２）ab，7Û:£ Ｂ，Ｄ® ＢＭ⊥ＡＥ£ Ｍ，

ＤＮ⊥ＡＥ£ Ｎ．

∵ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＥ，∠ＡＢＣ＝∠ＣＤＥ，

∴△ＡＢＣ≌△ＣＤＥ．∴ＡＣ＝ＣＥ．

∴ＡＭ＝ＭＣ＝ＣＮ＝ＮＥ＝１

４ＡＥ＝４５ｃｍ．

∴ｓｉｎ∠ＡＢＭ＝ＡＭ

ＡＢ＝４５

６０＝０．７５．

∴∠ＡＢＭ≈４９°．∴α＝２∠ＡＢＭ≈９８°．

∴ñ^Ž α+,Œ‹_ ９８°．

３．BC7>D

Ž=：b １12†1，b ２、b ３1

U+WBZÉb，£ Ａ，Ｃ_‘’A+“

o£，”• ＣＢp£ Ｃ–M:;—9õk

—PŒ，†1 ＡＢ$C\\˜™，BE

šk—Ê‹，ＣＡ＝ＣＢ＝ＣＤ＝１．５ｍ．

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太阳

光线

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(

Ž?：^h›2P3.œ“1I[“

hB+jô α+M=,a0．

.œ／. １２ １３ １４ １５

ô α+M=, ５ ２．５ １．２５ １

【E(-F】

（１）ab ２，-∠ＡＣＢ＝９０°.，ˆ １２.

W£ Ｅ{d‰½+žŸšP}1

I ¡‘，µž‰½{d“‘’+

[Z ＤＥ_ ｍ；

（２）ab ３，–M”• ＣＢ，¢]£ ＢZ‘

’+[Z_ １．２ｍ，_¢žWˆ

１２—１４.{P}1I ¡‘，µž

‰½{d“‘’+‹£[Z1þÿ？

#：（１）１．２

（２）:£ Ｂ® ＢＦ⊥ＡＣ£ Ｆ，ＢＭ⊥ｌ£ Ｍ，

µ ＢＦ＝ＤＭ＝１．２，

∴ＣＦ＝槡ＢＣ２－ＢＦ２ ＝槡１．５２－１．２２ ＝０．９．

∴ＢＭ＝ＤＦ＝ＣＤ－ＣＦ＝１．５－０．９＝０．６．

\\Y–$'，W １２—１４.，

ô α+M=,‘¤†c，ä∠ＢＥＭ‘¤†c，

∴- １４.，£ Ｅ‹¥¦‘’，

). ＤＥ+9õí1ž‰½{d“‘’+‹

£[Z．

W Ｒｔ△ＢＥＭ—，ｔａｎ∠ＢＥＭ＝ＢＭ

ＥＭ，ä１．２５＝０．６

ＥＭ，

∴ＥＭ＝０．４８．

∴ＤＥ＝ＤＭ－ＥＭ＝１．２－０．４８＝０．７２．

O：ž‰½{d“‘’+‹£[Z1 ０．７２ｍ

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第一部分 专项突破

１２

类型 ! AB>?@ 

４．（２０２４·<=>?@A$）2®™è~=

X»º5§¨，b １1•b，b ２1

§¨MB+#©ZÉb，W<X ＰＱＭＮ

—，ＰＮ∥ＱＭ，ＰＱ＝ＭＮ＝１２０ｃｍ，∠Ｑ＝

∠Ｍ＝７０°，§¨˜H1x ＡＢＣＤＥ，

ＣＤ＝１６０ｃｍ，ＤＥ＝３６０ｃｍ，∠ＰＡＢ＝６５°，

∠Ｂ＝１０５°，∠Ｃ＝１２０°，∠Ｄ＝８０°．

（１）∠ＤＥＮ+õ*_ ．

（２）(£ Ｃ‘hB ＱＭ+[Z．（²¡*

â：ｓｉｎ７０°≈０．９４，ｃｏｓ７０°≈０．３４，

ｔａｎ７０°≈２．７５，槡３≈１．７３）

!

图 !

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#：（１）６０°

（２）:£ Ｐ® ＰＦ⊥ＱＭ£ Ｆ，:£ Ｃ® ＣＧ⊥

ＱＭ£ Ｇ，\\ ＰＮ£ Ｋ，:£ Ｄ® ＤＬ⊥ＰＮ

£ Ｌ，® ＤＨ⊥ＣＧ£ Ｈ，µ ＰＦ∥ＣＧ．

ª'v ＰＦＧＫ­v ＤＨＫＬ1«，

∴ＤＬ＝ＫＨ，ＤＨ∥ＥＬ．

W Ｒｔ△ＰＱＦ—，ＰＦ＝ＰＱ·ｓｉｎＱ＝１２０×ｓｉｎ７０°

≈１２０×０．９４＝１１２．８（ｃｍ）．∴ＫＧ≈１１２．８ｃｍ．

W Ｒｔ△ＤＥＬ—，ＤＬ＝ＤＥ·ｓｉｎ∠ＤＥＬ＝３６０×ｓｉｎ

６０°＝３６０×槡３

２＝１８０槡３（ｃｍ）．∴ＨＫ＝１８０槡３ｃｍ．

∵ＤＨ∥ＥＬ，∴∠ＨＤＥ＝∠ＤＥＬ＝６０°．

∴∠ＣＤＨ＝２０°．∴∠ＤＣＨ＝７０°．

W Ｒｔ△ＤＣＨ—，ＣＨ＝ＣＤ·ｃｏｓ∠ＤＣＨ＝１６０×

ｃｏｓ７０°≈１６０×０．３４＝５４．４（ｃｍ）．

∴ＣＧ＝ＣＨ＋ＫＨ＋ＫＧ≈５４．４＋１８０槡３＋１１２．８≈

５４．４＋１８０×１．７３＋１１２．８＝４７８．６（ｃｍ）．

t£ Ｃ‘hB ＱＭ+[ZD_ ４７８．６ｃｍ．

５．2*4cR}xø:Q+ZW3=Ê

Bš¬ãÕ=øX°-+×èÝ!¤，b

１1×èÝ!¤+ZÉb，`— Ａ，Ｄ，Ｆ，Ｇ

v£W3=‡ü[A，Z +  9 _

１０ｃｍ．

（１）‰ Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅv£W3=‡ü[A，

∠ＣＡＤ＝５３°，µ).×èÝ!¤+­

õ ＫＨ≈ ｃｍ．

（２）ab ２，-×èÝ!¤—+Z}Œ

‹_Mg.，×èÝ!¤+­õ±

®（１）—¯…Õþÿ？

（~mN‘ ０．１ｃｍ，ｓｉｎ３７°≈３

５，ｃｏｓ３７°

≈ ４

５，ｔａｎ３７°≈ ３

４，ｓｉｎ２６．５°≈ ０．４５，

ｃｏｓ２６．５°≈０．９０，ｔａｎ２６．５°≈０．５０，槡２≈

１．４１４）

图 ! 图 \"

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#：（１）４７

（２）-×èÝ!¤—+Z}Œ‹_Mg.，

ab，:£ Ｇ® ＧＮ⊥ＡＭ．\\mÉ$'△ＡＧＮ_

Q°üô@ô，

∴ＡＮ＝ＧＮ．

∵ＡＧ＝３０ｃｍ，∴ＮＧ＝１５槡２ｃｍ．

±² ＧＰ．\\mÉ$' ＰＧ∥ＡＭ，

ＧＨ＝ＰＨ＝１０ｃｍ，

∴ＧＰ＝１０槡２ｃｍ．

:£ Ｈ® ＨＬ⊥ＧＰ£ Ｌ，ª] ＨＬ＝５槡２ｃｍ．

∴×èÝ!¤+­õ ＝（１５槡２＋５槡２）×２＝

４０槡２（ｃｍ）．

∴±®（１），×èÝ!¤+­õ¯…Õ ４０槡２－

４７≈５６．５６－４７＝９．５６≈９．６（ｃｍ）

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专项新评价!数学

１３

６．2曳hAt´µ=øab １ðZ+

§¨，GŽ`—zø¦¶#c±3+«

·Vº»ãab ２ðZ+b，« 

ＦＥＣＧ$\\« ＡＢＣＤp£ Ｃ–M]‘，

£ ＥW ＡＤA，¸9 ＥＤ\\ ＦＧ£ Ｈ．±

² ＢＥ，ＣＨ．

（１）¹öv ＢＥＨＣ+2Sº»Y©；

（２）‰£ ＧWbÊhBA，ＡＢ“bÊh

BÊ´，∠ＢＣＥ＝４８°，ＡＢ＝３ｍ，ＢＣ＝

４ｍ，(£ Ａ‘bÊhB+[Z．（~

mN‘ ０．１ｍ）

（² ¡ * â：ｓｉｎ４８°≈０．７４，ｃｏｓ４８°≈

０６７，ｔａｎ４８°≈ １．１１，ｃｏｓ２４°≈ ０．９１，

ｔａｎ２４°≈０．４５）

!

\" #

$ %

&

'

( )

图 \" 图 !

#：（１）v ＢＥＨＣ1Ê´v．

Y©：∵v ＦＥＣＧ1«，

∴∠Ｆ＝９０°，ＣＧ＝ＥＦ，ＦＧ∥ＥＣ．

∴∠ＣＥＤ＝∠ＥＨＦ．

∵v ＡＢＣＤ1«，∴∠ＥＤＣ＝９０°＝∠Ｆ．

~t–Mª] ＣＧ＝ＣＤ＝ＥＦ，

∴△ＥＤＣ≌△ＨＦＥ（ＡＡＳ）．∴ＥＨ＝ＥＣ．

\\–M] ＥＣ＝ＢＣ，∴ＥＨ＝ＢＣ．

¼∵ＥＨ∥ＢＣ，∴v ＢＥＨＣ_Ê´v．

（２）ab，¸9 ＡＨ\\bÊhB£ Ｍ，±² ＧＭ．

∵∠ＢＣＥ＝４８°，ＢＣ＝ＣＥ，∴∠ＥＢＣ＝６６°．

∴∠ＡＢＥ＝９０°－∠ＥＢＣ＝２４°．

∴ＡＥ＝ＡＢ·ｔａｎ∠ＡＢＥ≈３×０．４５＝１．３５．

\\（１）ª' ＦＨ＝ＥＤ，ＥＨ＝ＢＣ＝４．¼ ＦＧ＝ＡＤ，

∴ＧＨ＝ＡＥ≈１．３５．

\\Ê´[+Â$ª'∠ＧＨＭ＝∠ＣＥＤ＝∠ＢＣＥ

＝４８°，

∴ＨＭ＝ＧＨ·ｃｏｓ∠ＧＨＭ≈１．３５×０．６７≈０．９０．

∴ＡＭ＝ＡＥ＋ＥＨ＋ＨＭ≈１．３５＋４＋０．９０≈６．３，

ä£ Ａ‘bÊhB+[ZD_ ６．３ｍ．

类型 ! C?@ 

７．b １ðZ+1=‰½¾¿，\\¿_­òÀ

ÁRã，¯:òÀÁ+–M[D²½¾

¿．b ２1`WB65ZÉb，&'«

ＡＢＣＤ+9 ＡＢ＝１６ｃｍ，­ ＡＤ＝１２ｃｍ，ò

ÀÁÂWB ) ＤＣðWò+òó Ｏ1«

ＡＢＣＤ+—ó，p£ Ｄ–MD²（ð¦~

kCc*£Á={）．

（１）( ) ＤＣðW+⊙Ｏ+kl9ë ) ＤＣð°

+òóôõ*；

（２）ab ３，ŽòÀÁÂWB ) ＤＣCuE{

d ) ＤＣ′p£ Ｄ–M ９０°，( ) ＤＣWˆø

–M:;—Ã:+BÄ．

（²¡*â：ｔａｎ３６．８７°≈０．７５，ｔａｎ５３．１３°

≈１．３３．π½ ３．１４）

! \"

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图 ! 图 \"

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& $!图 #

'

(

$

)

#：（１）ab，±² ＡＣ，ＢＤ，±\\£ Ｏ，Ｏ_«

 ＡＢＣＤ+—ó．

∵v ＡＢＣＤ_«，

∴∠ＢＡＤ＝９０°．

W Ｒｔ△ＡＢＤ—，

ＢＤ＝槡ＡＢ２＋ＡＤ２ ＝槡２５６＋１４４＝２０．

∴⊙Ｏ+kl9 ＯＤ＝１

２ＢＤ＝１

２×２０＝１０（ｃｍ）．

∵ｔａｎ∠ＡＤＢ＝ＡＢ

ＡＤ＝１６

１２

≈１．３３，

∴∠ＡＤＢ≈５３．１３°．

∴∠ＤＯＣ＝２∠ＡＤＢ≈２×５３．１３°≈１０６．３°．

（２）ab，∵ＳōＤｍＣ ＝ＳōＤｎＣ′，

∴ ) ＤＣà : + B Ä Ｓ＝ＳçＣＤＣ′ ＝９０π×１６２

３６０ ≈

２０１．０（ｃｍ２

）

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第一部分 专项突破

１４

８．“/ƜǔȐr，1Žš‹œ+Ȑ

r，{žÉ/Æ®»Ê˛»ôÌÍ

®Î'8．ÏАÑ/ƜÇȐr$

/Cœ>‡ÒvàÓæ，ÔÕ͝zÖ}

I．â×®èjØÙ，^Ȑr,œõ_

１６０ｍ，MÚül_ １５３ｍ，e¦ ６０øX

Û，ÏдÑü@ÜݑƒÞ（ƒÞW

Ȑr[hB ｌ+‹ß£ Ｐ>）>Qà，

-Xۑü‹ß£ Ｐ>.¦‚³ƒX

Û．（~kCc*£Á={）

!

\"

#

\" $ $

（１）‰ÈrMM=àD ３０ｍｉｎ，µÈ

rá7âM õ．

（２）‰∠ＰＯＱ＝１２０°，µ£ Ｑ[ZhBþ

ÿã？

#：（１）１２

（２）aOb １，:£ Ｑ® ＱＢ⊥ｌ£ Ｂ，:£ Ｏ

® ＯＣ⊥ＱＢ£ Ｃ．

∵ＯＡ⊥ｌ，ＱＢ⊥ｌ，ＯＣ⊥ＱＢ，

∴∠ＯＡＢ＝∠ＡＢＣ＝∠ＯＣＢ＝９０°．

∴v ＯＡＢＣ_«．

∴ＣＢ＝ＯＡ＝１６０－１５３

２ ＝８３．５（ｍ）．

¼∵∠ＰＯＱ＝１２０°，∠ＡＯＣ＝９０°，

∴∠ＱＯＣ＝３０°．

∴ＱＣ＝１

２ＯＱ＝１

２×

１５３

２ ＝３８．２５（ｍ）．

∴ＱＢ＝ＱＣ＋ＣＢ＝３８．２５＋８３．５≈１２１．８（ｍ）．

O：£ Ｑ[ZhBD １２１．８ｍ．

\" ! #

$

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'

答图 !

（３）ÏÐ|C£ Ｐ³ƒXۜÁ，¼¦ ８

øXÛ©:，Ïгƒ< ８øX

Û，-|、Ñ+XۑhB+[

Z±Q.，(äO+XÛ[ZhB+

œõ．

（² ¡ * â：ｓｉｎ２４°≈ ０．４１，ｓｉｎ２７°≈

０４５，ｃｏｓ２４°≈０．９１，ｃｏｓ２７°≈０．８９）

（３）∵Ȑr=ý¦６０øXÛg–M=à_３６０°，

∴ázøXÛ±å ３６０°÷６０＝６°．

e|Ñ+XÛ_£ Ｅ，Ñ+XÛ_£ Ｆ，

∴\\ m É ] |、 z è + X Û  ã + j ô

∠ＥＯＦ＝８×６°＝４８°．

∵|、zèXۑhB+[Z±Q，

∴∠ＥＯＰ＝∠ＦＯＰ．

¸9 ＰＯ\\⊙Ｏ£ Ｄ，

µ∠ＥＯＤ＝∠ＦＯＤ＝１

２∠ＥＯＦ＝２４°．

aOb ２，:£ Ｆ® ＦＭ⊥ｌ，(E_ Ｍ，:£ Ｏ

® ＯＮ⊥ＦＭ£ Ｎ，

!

\" $ #

%

' &

( 甲 乙

答图 !

)

ª'v ＯＡＭＮ_«．

∴ＮＭ＝ＯＡ＝８３．５（ｍ）．

∵ＯＤ∥ＦＭ，∴∠ＯＦＮ＝∠ＦＯＤ＝２４°．

∴ＦＮ＝ＯＦ·ｃｏｓ２４°≈１５３

２ ×０．９１＝６９．６１５（ｍ）．

∴ＦＭ＝ＦＮ＋ＮＭ≈６９．６１５＋８３．５≈１５３．１（ｍ）．

O：|、Ñ+X Û [ Z h B + œ õ D _

１５３１ｍ．

配套答案

复习微课

专题精讲

答题技巧

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专项新评价!数学

１５

!\"G HIJKILM7NO&'

意 义 诠 释

ò+=[+¹o“±²!\"，¯¥/@ô、v“ò_ïæ，/:Q、±¶、%ô@

ô&*_æH，çL±²lm+ed，ÅÆü[“ò+{d²wë±²!\"．W(#:;—

è¾þÿü¶、ÃÄÏF­9\"ÏFQéóê+¡ê．

典 例 剖 析

类型 ! DEF，GHI 

【-(./】-ü[“ò¦'ý£.，

±²'ý£“òó，Y©kl“ü[(ü．

0 １ （２０２４·fg$;）ab，ＡＢ1

⊙Ｏ+ül，ＰＡ1⊙Ｏ+=[，Ａ_=£，

±² ＯＰ，\\⊙Ｏ£ Ｄ，±² ＡＤ，:£ Ｂ®

ＢＣ∥ＯＰ\\⊙Ｏ£ Ｃ，±² ＰＣ­ ＡＣ，ＡＣ

\\ ＯＰ£ Ｅ．

（１）(Y：ＰＣ1⊙Ｏ+=[．

（２）‰ ｓｉｎ∠ＢＡＣ＝１

３，g ＡＤ＝２槡３，(

=[ ＰＡ+9．

! \"

#

% $

& '

【23-4】（１）Y

©：ab，±² ＯＣ，

∴ＯＢ＝ＯＣ．

∴∠ＯＢＣ＝∠ＯＣＢ．

∵ＢＣ∥ＯＰ，

∴∠ＯＢＣ＝∠ＯＣＢ＝∠ＡＯＰ＝∠ＣＯＰ．

∵ＯＡ＝ＯＣ，ＯＰ＝ＯＰ，

∴△ＡＯＰ≌△ＣＯＰ（ＳＡＳ）．

∴∠ＯＣＰ＝∠ＯＡＰ＝９０°．

∴ＯＣ⊥ＰＣ．∴ＰＣ1⊙Ｏ+=[．

（２）#：∵ＡＢ1⊙Ｏ+ül，

∴∠ＡＣＢ＝９０°．

∵ＢＣ∥ＯＰ，

∴∠ＡＥＯ＝∠ＡＣＢ＝９０°．

∵ｓｉｎ∠ＢＡＣ＝ＯＥ

ＯＡ＝１

３，

∴e ＯＥ＝ｘ，µ ＡＯ＝３ｘ，ＡＥ＝槡ＡＯ２－ＯＥ２ ＝

２槡２ｘ．

∴ＤＥ＝ＯＤ－ＯＥ＝２ｘ．

W Ｒｔ△ＡＤＥ—，\\z{oÄ] ＡＥ２ ＋ＤＥ２ ＝

ＡＤ２

，ä（２槡２ｘ）

２

＋（２ｘ）２＝（２槡３）

２

，

#] ｘ＝１3 －１（ën），∴ＡＥ＝２槡２．

∵ＰＡ1⊙Ｏ+=[，∴∠ＯＡＰ＝９０°．

∴∠ＢＡＣ＝９０°－∠ＡＯＥ＝∠ＡＰＥ．

∴ｓｉｎ∠ＢＡＣ＝ｓｉｎ∠ＡＰＥ＝ＡＥ

ＰＡ＝１

３．

∴ＰＡ＝３ＡＥ＝６槡２．

类型 ! JHK，GEF 

【-(./】-ü[“ò+'ý£#º

F.，=.:òó­ü[®([，Y©([

\"+9Qò+kl9．-mî—&'2ü

[1ò+=[.，òó“=£+±[1¥®

+KL[

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第一部分 专项突破

１６

0 ２ ab，WZ ＡＢＣＤ—，Ｏ1°

ô[ ＢＤA=£（ＢＯ＞ＤＯ），ＯＥ⊥ＡＢ，(E

_ Ｅ，/ ＯＥ_kl+⊙Ｏ7Û\\ ＤＣ£ Ｈ，

\\ ＥＯ+¸9[£ Ｆ，ＥＦ“ ＤＣ\\£ Ｇ．

（１）(Y：ＢＣ1⊙Ｏ+=[．

!

\"

$ #

%

& '

(

)

（２）‰ Ｇ1 ＯＦ+

—£，ＯＧ＝２，ＤＧ＝１．

①( ) ＨＥ+9．

②( ＡＤ+9．

【23-4】（１）Y©：ab，:£ Ｏ® ＯＭ

⊥ＢＣ£ Ｍ．

!

\"

$ #

%

& '

(

)

*

∵ＢＤ1Z ＡＢＣＤ+

°ô[，

∴∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＤ．

∵ＯＭ⊥ＢＣ，ＯＥ⊥ＡＢ，

∴ＯＥ＝ＯＭ．

∴ＢＣ1⊙Ｏ+=[．

（２）#：①∵Ｇ1 ＯＦ+—£，ＯＦ＝ＯＨ，

∴ＯＧ＝１

２ＯＨ．

∵ＡＢ∥ＣＤ，ＯＥ⊥ＡＢ，∴ＯＦ⊥ＣＤ．

∴∠ＯＧＨ＝９０°．

∴ｓｉｎ∠ＧＨＯ＝１

２．∴∠ＧＨＯ＝３０°．

∴∠ＧＯＨ＝６０°．∴∠ＨＯＥ＝１２０°．

∵ＯＧ＝２，∴ＯＨ＝４．

\\À9'%] ) ＨＥ+9_１２０π×４

１８０ ＝８

３π．

②ab，:£ Ａ® ＡＮ⊥ＢＤ£ Ｎ．

!

\"

$ #

%

& '

(

)

*

ª'△ＤＯＧ∽△ＢＯＥ，

∴

ＯＤ

ＯＢ＝ＯＧ

ＯＥ．

∵ＤＧ＝１，ＯＧ＝２，ＯＥ

＝ＯＨ＝４，

∴ＯＤ＝槡５．∴ＯＢ＝２槡５．

∴ＢＤ＝ＯＢ＋ＯＤ＝３槡５．

∵ＡＤ＝ＡＢ，ＡＮ⊥ＢＤ，∴ＤＮ＝１

２ＢＤ＝３槡５

２ ．

∵∠ＡＤＢ＝∠ＯＤＨ，∠ＡＮＤ＝∠ＤＧＯ＝９０°，

∴△ＤＯＧ∽△ＤＡＮ．

∴

ＯＤ

ＡＤ＝ＤＧ

ＤＮ．

∴槡５

ＡＤ＝ １

３槡５

２

．∴ＡＤ＝１５

２

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针 对 训 练

类型 ! DEF，GHI 

１．（２０２４·`abA$）ab，ＡＢ_⊙Ｏ+

ül，£ Ｃ1À ＡＤ+—£，:£ Ｃ®¡

[ ＢＤ+([，(E_ Ｅ．

（１）(Y：ＣＥ1⊙Ｏ+=[．

（２）‰ ＢＥ＝３，ＡＢ＝４，( ＢＣ+9．

! \"

#

% $ &

（１）Y©：ab，±² ＯＣ．

∵£ Ｃ1À ＡＤ+—£，∴ ) ＡＣ＝ ) ＤＣ．

∴∠ＡＢＣ＝∠ＥＢＣ．

∵ＯＢ＝ＯＣ，∴∠ＡＢＣ＝∠ＯＣＢ．

∴∠ＥＢＣ＝∠ＯＣＢ．∴ＯＣ∥ＢＥ．

∵ＢＥ⊥ＣＥ，∴kl ＯＣ⊥ＣＥ．

∴ＣＥ1⊙Ｏ+=[．

（２）#：ab，±² ＡＣ．

∵ＡＢ1⊙Ｏ+ül，ＣＥ⊥ＢＥ，

∴∠ＡＣＢ＝∠ＣＥＢ＝９０°．

\\（１）'∠ＡＢＣ＝∠ＥＢＣ，∴△ＡＣＢ∽△ＣＥＢ．

∴

ＡＢ

ＢＣ＝ＢＣ

ＢＥ．∴

４

ＢＣ＝ＢＣ

３．∴ＢＣ＝２槡３

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专项新评价!数学

１７

２．ab １，ＡＣ，ＢＣ1⊙Ｏ+z‡ì，∠Ｃ＝

４５°，:£ Ａ+ü[ ｌ“kl ＯＢÊ´．

图 ! 图 \"

!

\"

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$

% !

\"

#

$

%

&

（１）(Y：ü[ ｌ“⊙Ｏ±=．

（２）&'⊙Ｏ+kl ＯＢ＝４ｃｍ，‰ ＣＡ＝

ＣＢ，ab ２，(b—íî87+BÄ．

（１）Y©：ab １，±² ＯＡ．

∵ ) ＡＢ＝ ) ＡＢ，

∴∠ＡＯＢ＝２∠Ｃ＝２×４５°＝９０°．

∵ＯＢ∥ｌ，∴ＯＡ⊥ｌ．

∴ü[ ｌ“⊙Ｏ±=．

（２）#：ab ２，±² ＯＡ，ＯＣ，:£ Ｃ® ＣＤ⊥ＯＢ，

(E_ Ｄ．

W△ＡＣＯ“△ＢＣＯ—，

ＡＣ＝ＢＣ，

ＯＣ＝ＯＣ，

ＯＡ＝ＯＢ { ，

∴△ＡＣＯ≌△ＢＣＯ（ＳＳＳ）．

∴∠ＡＣＯ＝∠ＢＣＯ＝１

２∠ＡＣＢ＝２２．５°．

∵ＯＣ＝ＯＢ，

∴∠ＯＣＢ＝∠ＯＢＣ＝２２．５°．

∴∠ＢＯＣ＝１３５°．

∴∠ＣＯＤ＝４５°．

W Ｒｔ△ＣＤＯ—，∠Ｄ＝９０°，

∴ＣＤ＝ＣＯ·ｓｉｎ４５°＝２槡２．

∴Ｓíî87 ＝１３５π·４２

３６０ －１

２ ×４×２槡２＝６π－

４槡２（ｃｍ２

）．

类型 ! JHI，GEF 

３．ab，W△ＡＢＣ—，Ｏ_ ＡＣA=£，/£

Ｏ_òó，ＯＣ9_kl®ò，“ ＢＣ±=

£ Ｃ，:£ Ａ® ＡＤ⊥ＢＯ\\ ＢＯ+¸9

[£ Ｄ，g∠ＡＯＤ＝∠ＢＡＤ．

（１）(Y：ＡＢ_⊙Ｏ+=[．

（２）‰ ＢＣ＝６，ｔａｎ∠ＡＢＣ＝４

３，( ＡＤ+9．

! \"

#

% $

（１）Y©：ab，:£ Ｏ® &

ＯＥ⊥ＡＢ£ Ｅ．

∵ＡＤ⊥ＢＯ£ Ｄ，

∴∠Ｄ＝９０°．

∴∠ＢＡＤ＋∠ＡＢＤ＝９０°，

∠ＡＯＤ＋∠ＯＡＤ＝９０°．

∵∠ＡＯＤ＝∠ＢＡＤ，∴∠ＡＢＤ＝∠ＯＡＤ．

¼∵ＢＣ_⊙Ｏ+=[，∴ＡＣ⊥ＢＣ．

∴∠ＢＣＯ＝∠Ｄ＝９０°．

∵∠ＢＯＣ＝∠ＡＯＤ，

∴∠ＯＢＣ＝∠ＯＡＤ＝∠ＡＢＤ．

∴ＯＥ＝ＯＣ．

∵ＯＥ⊥ＡＢ，∴ＡＢ1⊙Ｏ+=[．

（２）#：∵ ∠ＡＢＣ ＋∠ＢＡＣ ＝９０°，∠ＥＯＡ＋

∠ＢＡＣ＝９０°，∴∠ＥＯＡ＝∠ＡＢＣ．

∵ｔａｎ∠ＡＢＣ＝４

３，ＢＣ＝６，

∴ＡＣ＝ＢＣ·ｔａｎ∠ＡＢＣ＝８．∴ＡＢ＝１０．

\\（１）ª' ＢＥ＝ＢＣ＝６，∴ＡＥ＝４．

∵ｔａｎ∠ＥＯＡ＝ｔａｎ∠ＡＢＣ＝４

３，∴

ＡＥ

ＯＥ＝４

３．

∴ＯＥ＝ＯＣ＝３，ＯＢ＝槡ＢＥ２＋ＯＥ２ ＝３槡５．

∵∠ＡＢＤ＝∠ＯＢＣ，∠Ｄ＝∠ＡＣＢ＝９０°，

∴△ＡＢＤ∽△ＯＢＣ．

∴

ＯＣ

ＡＤ＝ＯＢ

ＡＢ，ä ３

ＡＤ＝３槡５

１０．

∴ＡＤ＝２槡５

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第一部分 专项突破

１８

４．ab，ＡＢ1⊙Ｏ+ül，ＡＭ，ＢＮ7Û=

⊙Ｏ£ Ａ，Ｂ，ＣＤ\\ ＡＭ，ＢＮ£ Ｄ，Ｃ，

ＤＯÊ7∠ＡＤＣ．

（１）(Y：ＣＤ1⊙Ｏ+=[．

（２）‰ ＡＤ＝４，ＢＣ＝６，(⊙Ｏ+kl Ｒ．

! \" #

$

% & '

(

)

（１）Y©：ab，:£ Ｏ® ＯＥ⊥ＣＤ£ Ｅ．

∵ＡＭ=⊙Ｏ£ Ａ，∴ＯＡ⊥ＡＤ．

¼∵ＤＯÊ7∠ＡＤＣ，∴ＯＥ＝ＯＡ．

∵ＯＡ_⊙Ｏ+kl，

∴ＯＥ1⊙Ｏ+kl．

¼∵ＯＥ⊥ＤＣ，

∴ＣＤ1⊙Ｏ+=[．

（２）#：ab，:£ Ｄ® ＤＦ⊥ＢＣ£ Ｆ．

∵ＡＭ，ＢＮ7Û=⊙Ｏ£ Ａ，Ｂ，

∴ＡＢ⊥ＡＤ，ＡＢ⊥ＢＣ．∴v ＡＢＦＤ1«．

∴ＡＤ＝ＢＦ，ＡＢ＝ＤＦ．

¼∵ＡＤ＝４，ＢＣ＝６，∴ＦＣ＝６－４＝２．

∵ＡＭ，ＢＮ，ＤＣ7Û=⊙Ｏ£ Ａ，Ｂ，Ｅ，

∴ＤＡ＝ＤＥ，ＣＢ＝ＣＥ．

∴ＤＣ＝ＡＤ＋ＢＣ＝４＋６＝１０．

W Ｒｔ△ＤＦＣ—，ＤＣ２＝ＤＦ２＋ＦＣ２

，

∴ＤＦ＝槡ＤＣ２－ＦＣ２ ＝槡１０２－２２ ＝４槡６．

∴ＡＢ＝４槡６．

∴⊙Ｏ+kl Ｒ1 ２槡６．

５．ab，W△ＡＢＣ—，∠ＡＣＢ＝９０°，Ｄ1 ＡＢ

+—£，£ ＯW ＡＣA，⊙Ｏ©:£ Ｃ

g “ ＡＢ  ± =  £ Ｅ，∠ＦＡＣ ＝

１

２∠ＢＤＣ．

（１）(Y：ＡＦ1⊙Ｏ+=[．

（２）‰ ＢＣ＝６，ｓｉｎＢ＝４

５，(⊙Ｏ+klë

ＯＤ+9．

!

\"

% $ # &

' (

（１）Y ©：a b，®

ＯＨ⊥ＦＡ，(E_ Ｈ，

±² ＯＥ．

∵∠ＡＣＢ＝９０°，£ Ｄ

1 ＡＢ+—£，

∴ＣＤ＝ＡＤ＝１

２ＡＢ．

∴∠ＣＡＤ＝∠ＡＣＤ．

∵∠ＢＤＣ＝∠ＣＡＤ＋∠ＡＣＤ＝２∠ＣＡＤ，

∠ＦＡＣ＝１

２∠ＢＤＣ，∴∠ＦＡＣ＝∠ＣＡＢ，

ä ＡＣ1∠ＦＡＢ+Ê7[．

∵£ ＯW ＡＣA，⊙Ｏ“ ＡＢ±=£ Ｅ，

∴ＯＥ⊥ＡＢ，g ＯＥ1⊙Ｏ+kl．

∴ＯＨ＝ＯＥ，ＯＨ1⊙Ｏ+kl．

∴ＡＦ1⊙Ｏ+=[．

（２）#：W△ＡＢＣ—，∠ＡＣＢ＝９０°，ＢＣ＝６，ｓｉｎＢ＝４

５．

e ＡＣ＝４ｘ，ＡＢ＝５ｘ，

∴（５ｘ）２－（４ｘ）２＝６２

．

∴ｘ＝２，ä ＡＣ＝８，ＡＢ＝１０．

e⊙Ｏ+kl_ ｒ，µ ＯＣ＝ＯＥ＝ｒ．

ª' Ｒｔ△ＡＯＥ∽Ｒｔ△ＡＢＣ，

∴

ＯＥ

ＡＯ＝ＢＣ

ＡＢ，ä ｒ

８－ｒ

＝６

１０

．

∴ｒ＝３，ä⊙Ｏ+kl_ ３．∴ＡＥ＝４．

¼∵ＡＤ＝１

２ＡＢ＝５，∴ＤＥ＝１．

W Ｒｔ△ＯＤＥ—，\\z{oÄ] ＯＤ＝槡１０

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专项新评价!数学

１９

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２．（２０２４·hijc$）ŽabðZ+zò

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Ａ．４‰ Ｂ．５‰

Ｃ．６‰ Ｄ．７‰

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Ａ．３‰ Ｂ．４‰

Ｃ．５‰ Ｄ．６‰

４．（２０２４·kl）ab，W=fõt>úÒ

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Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４

第一部分 专项突破

２０

６．（２０２４·`abA$）ab，ŽBÄ_ ４

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Ｃ．槡５－１

２ Ｄ．２（槡５－１）

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７．（２０２４·noA$）&Îß+Ï#õ ｙ（ｇ）

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８．（２０２４·p9）Tþø}Üc±²W3=

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９．（２０２４·qqrs）ab，WQ° Ｒｔ△ＡＢＣ

—，∠ＢＡＣ＝９０°，ＡＢ＝１２．M£ Ｅ，Ｆ3.

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