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（2023-2024 朝阳九上期末）★★★★

16．已知函数 y1＝kx＋4k－2（k 是常数，k≠0），y2＝ax2＋4ax－5a（a 是常数，a≠0），在

同一平面直角坐标系中，若无论 k 为何值，函数 y1和 y2的图象总有公共点，则 a 的取值范围是

______________．

备用图

吴老师图解

思路一：数形结合

分析

对于 y1＝kx＋4k－2，变形得到 y1＝k（x＋4）－2，说明过定点（－4，－2），即函数 y1

是一条绕点（－4，－2）“随意”旋转的直线，

对于 y2＝ax2＋4ax－5a，根据“五大步”知，函数 y2 是一个顶点在直线 x＝－2（对称

轴）上上下移动，且经过“支撑点”（－5，0）和（1，0）的抛物线，如图：

当 a＜0 时，抛物线开口向下，点（－4，－2）必在抛物线的“内部”，那么，无论直线

y1 绕点（－4，－2）旋转到什么位置，一定会与抛物线有公共点，

当 a＞0 时，抛物线开口向上，同理，要想符合题意，抛物线必须将点（－4，－2）“包

在内部”，故抛物线过点（－4，－2）时为临界状态...

x

y

O

x

y

O x

y

O

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思路&图解

1）直线 y1过定点（－4，－2），

2）抛物线 y2 的顶点在对称轴 x＝－2 上上下移动，且过定点（－5，0）和（1，0），

3）①当 a＞0 时，将点（－4，－2）代入 y2＝ax2＋4ax－5a，解得 a＝

2

5

，故 a≥

2

5

，

②当 a＜0 时，函数 y1和 y2的图象总有公共点，符合题意.

∴综上所述：a＜0 或 a≥

2

5

思路二：联立解析式

分析

大部分同学首先想到的方法应该就是联立解析式了，我们令 y1＝y2，得到方程：

kx＋4k－2＝ax2＋4ax－5a

显然，此方程为一元二次方程，整理得到：

ax2＋（4a－k）x－5a－4k＋2＝0

根据题意，它必有根，则△≥0，易求得△＝（4a－k）2－4a（－5a－4k＋2），

头疼的是，△里有 a 有 k，我们将它化简，可以写成下面 2 种形式的不等式：

①36a

2＋（8k－8）a＋k

2≥0

②k

2＋8ak＋36a

2－8a≥0

以不等式①为例，不等式要想成立，我们可以令 y＝36a

2＋（8k－8）a＋k

2，则该函数是

以 a 为未知数，k 为参数的二次函数，且该函数上所有的点都应该在 x 轴的上方或 x 轴上，

要想满足这个条件，则应保证该二次函数的△≤0，即（8k－8）2－4·36·k

2≤0，显然，求

出来的是 k 的取值范围，与题意不符！

同理，对于不等式②，我们仅需令（8a）2－4·1·（36a

2－8a）≤0 即可...

备注：

对于不等式①，本质上是——不论 a（自变量）为何值，求 k 的取值范围...

对于不等式②，本质上是——不论 k（自变量）为何值，求 a 的取值范围...

思路&图解

1）令 y1＝y2，即 kx＋4k－2＝ax2＋4ax－5a，整理得 ax2＋（4a－k）x－5a－4k＋2＝0，

2）由题知△1＝（4a－k）2－4a（－5a－4k＋2）≥0，化简得 k

2＋8ak＋36a

2－8a≥0，

3）令 y＝k

2＋8ak＋36a

2－8a，则有△2＝（8a）2－4·1·（36a

2－8a）≤0，

化简得 5a

2－2a≥0，因式分解得 a（5a－2）≥0，解得 a＜0 或 a≥

2

5

.

∴综上所述：a＜0 或 a≥

2

5